כא"מ ומקורות מתח — מתח הדקים והתנגדות פנימית

🔋

EMF & Voltage Sources

כא"מ ומקורות מתח — מתח הדקים והתנגדות פנימית القوة الدافعة ومصادر الجهد — جهد الأطراف والمقاومة الداخليةEMF and Voltage Sources — Terminal Voltage and Internal Resistance

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦✦ Built by Fahed Ghanem ✦

תיאוריה — מקור אידיאלי ומקור מעשיنظرية — مصدر مثالي ومصدر عمليTheory — ideal and practical source

מהו כוח אלקטרו־מניע (כא"מ)?ما هي القوة الدافعة الكهربائية؟What is electromotive force (EMF)?

מקור מתח — סוללה, גנרטור או ספק כוח — הוא התקן שמשקיע אנרגיה כדי להעביר מטען מההדק השלילי אל ההדק החיובי, כלומר נגד כיוון הכוח החשמלי. הכוח האלקטרו־מניע (כא"מ, מסומן ε או E) הוא האנרגיה שהמקור מוסר לכל יחידת מטען העוברת דרכו. مصدر الجهد — بطارية أو مولّد أو مزوّد قدرة — هو جهاز يستثمر طاقة لنقل شحنة من القطب السالب إلى القطب الموجب، أي عكس اتجاه القوة الكهربائية. القوة الدافعة الكهربائية (ق.د.ك، تُرمز ε أو E) هي الطاقة التي يمنحها المصدر لكل وحدة شحنة تمرّ فيه. A voltage source — a battery, a generator or a power supply — is a device that invests energy to move charge from the negative terminal to the positive terminal, that is, against the direction of the electric force. The electromotive force (EMF, denoted ε or E) is the energy the source delivers to each unit of charge passing through it.

ε = WQ [V] = [J / C]

💡 שים לב לשם המטעה: הכא"מ אינו כוח כלל — יחידתו וולט ולא ניוטון. זהו מתח, והשם ההיסטורי נשאר מהמאה ה-19. 💡 انتبه للاسم المضلّل: القوة الدافعة ليست قوة إطلاقاً — وحدتها فولط وليست نيوتن. إنها جهد، والاسم التاريخي بقي من القرن التاسع عشر. 💡 Mind the misleading name: the EMF is not a force at all — its unit is the volt, not the newton. It is a voltage, and the historical name has remained since the 19th century.

מקור אידיאלי — מה הוא מבטיחالمصدر المثالي — ماذا يَعِدThe ideal source — what it promises

מקור מתח אידיאלי שומר על מתח קבוע בין הדקיו, לא משנה כמה זרם נשאב ממנו. אם נחבר אליו עומס של 1 Ω או של 1 MΩ — המתח על ההדקים יישאר בדיוק ε. משמעות הדבר: זרם הקצר שלו הוא אינסופי, וההספק שהוא מסוגל למסור אינו מוגבל. מקור כזה אינו קיים במציאות. مصدر الجهد المثالي يحافظ على جهد ثابت بين طرفيه، مهما كان التيار المسحوب منه. لو وصلنا به حملاً 1 Ω أو 1 MΩ — يبقى الجهد على الأطراف ε بالضبط. معنى ذلك: تيار القصر فيه لا نهائي، والقدرة التي يستطيع تقديمها غير محدودة. مثل هذا المصدر لا وجود له في الواقع. An ideal voltage source keeps a constant voltage between its terminals, no matter how much current is drawn from it. Whether we connect a load of 1 Ω or 1 MΩ — the voltage across the terminals stays exactly ε. This means: its short-circuit current is infinite, and the power it can deliver is unlimited. Such a source does not exist in reality.

מקור מעשי — ומדוע המתח יורדالمصدر العملي — ولماذا يهبط الجهدThe practical source — and why the voltage drops

כל מקור אמיתי בנוי מחומר: אלקטרוליט בסוללה, ליפופי נחושת בגנרטור, רכיבים בספק כוח. לחומר הזה יש התנגדות, והזרם שיוצא מן המקור נאלץ לעבור דרכה. לכן חלק מן הכא"מ "מתבזבז" בתוך המקור עצמו, ומה שנשאר בין ההדקים קטן יותר. كل مصدر حقيقي مبني من مادة: إلكتروليت في البطارية، لفّات نحاس في المولّد، مكوّنات في مزوّد القدرة. لهذه المادة مقاومة، والتيار الخارج من المصدر مجبر على المرور فيها. لذلك يُهدَر جزء من القوة الدافعة داخل المصدر نفسه، وما يتبقّى بين الطرفين أصغر. Every real source is built of material: electrolyte in a battery, copper windings in a generator, components in a power supply. This material has resistance, and the current leaving the source is forced to pass through it. Part of the EMF is therefore "wasted" inside the source itself, and what remains between the terminals is smaller.

כדי לתאר זאת מציגים את המקור המעשי כמקור אידיאלי ε שאליו מחוברת בטור התנגדות פנימית r. שים לב: אין בתוך הסוללה נגד פיזי שאפשר להוציא — זהו מודל, והוא מתאר את התנהגות המקור בדיוק רב. لوصف ذلك نُمثّل المصدر العملي بأنه مصدر مثالي ε متصلة به على التوالي مقاومة داخلية r. انتبه: لا يوجد داخل البطارية مقاوم فيزيائي يمكن إخراجه — هذا نموذج، وهو يصف سلوك المصدر بدقة عالية. To describe this, the practical source is represented as an ideal source ε with an internal resistance r connected to it in series. Note: there is no physical resistor inside the battery that can be taken out — this is a model, and it describes the behavior of the source very accurately.

U = ε מתח ההדקים אינו תלוי בזרםجهد الأطراف لا يعتمد على التيارThe terminal voltage does not depend on the current

U = ε − I · r כל אמפר מוריד r וולטكل أمبير يُنقص r فولطEvery ampere drops r volts

מתח ההדקים ותלותו בזרםجهد الأطراف واعتماده على التيارTerminal voltage and its dependence on the current

מתח ההדקים הוא המתח שנמדד בפועל בין שני חיבורי המקור, וזה המתח שהעומס "רואה". לפי חוק המתחים של קירכהוף בחוג הסגור: جهد الأطراف هو الجهد المقاس فعلياً بين طرفَي المصدر، وهو الجهد الذي "يراه" الحمل. حسب قانون كيرشهوف للجهود في الحلقة المغلقة: The terminal voltage is the voltage actually measured between the two terminals of the source, and it is the voltage the load "sees". By Kirchhoff’s voltage law around the closed loop:

U = ε − I · r

זהו קו ישר יורד: כאשר הזרם אפס (מעגל פתוח) מתח ההדקים שווה בדיוק לכא"מ, וככל שהזרם גדל המתח יורד. שיפוע הקו הוא −r — כלומר ההתנגדות הפנימית נמדדת ישירות מן הגרף. هذا خط مستقيم هابط: عندما يكون التيار صفراً (دائرة مفتوحة) يساوي جهد الأطراف القوة الدافعة بالضبط، وكلما كبر التيار هبط الجهد. ميل الخط هو −r — أي أن المقاومة الداخلية تُقاس مباشرة من الرسم. This is a descending straight line: when the current is zero (open circuit) the terminal voltage equals the EMF exactly, and as the current grows the voltage drops. The slope of the line is −r — that is, the internal resistance is read directly from the graph.

המצבالحالةThe case	הזרםالتيارCurrent	מתח ההדקיםجهد الأطرافTerminal voltage
מעגל פתוח (נתק)دائرة مفتوحةOpen circuit	I = 0	U = ε — מודדים את הכא"מ ישירותU = ε — نقيس ق.د.ك مباشرةU = ε — the EMF is measured directly
עומס רגיל Rحمل عادي RNormal load R	I = εR + r	U = ε − I·r = I·R
קצר (R = 0)قصر (R = 0)Short circuit (R = 0)	I_sc = εr	U = 0 — כל הכא"מ נופל על rU = 0 — كل ق.د.ك يقع على rU = 0 — the whole EMF falls on r

איך מוצאים את ε ואת r במעבדה?كيف نجد ε و r في المختبر؟How are ε and r found in the lab?

מודדים את מתח ההדקים בשני עומסים שונים ומקבלים שתי נקודות (I₁, U₁) ו-(I₂, U₂). שתי נקודות מגדירות קו ישר יחיד, ולכן: نقيس جهد الأطراف عند حملين مختلفين فنحصل على نقطتين (I₁, U₁) و-(I₂, U₂). نقطتان تحدّدان خطاً مستقيماً واحداً، ولذلك: The terminal voltage is measured at two different loads, giving two points (I₁, U₁) and (I₂, U₂). Two points define a single straight line, therefore:

r = U₁ − U₂I₂ − I₁ | ε = U₁ + I₁ · r

הספק ונצילות של המקורالقدرة والمردود في المصدرPower and efficiency of the source

ההספק הכולל שהמקור מייצר הוא P_tot = ε·I. ממנו, החלק שמגיע לעומס הוא P_L = I²·R, והשאר מתבזבז כחום בתוך המקור: P_r = I²·r. הנצילות היא היחס ביניהם: القدرة الكلية التي يولّدها المصدر هي P_tot = ε·I. منها، الجزء الواصل إلى الحمل هو P_L = I²·R، والباقي يُهدر حرارةً داخل المصدر: P_r = I²·r. المردود هو النسبة بينهما: The total power the source produces is P_tot = ε·I. Of it, the part reaching the load is P_L = I²·R, and the rest is wasted as heat inside the source: P_r = I²·r. The efficiency is the ratio between them:

η = P_LP_tot = RR + r · 100%

⚖ שתי מטרות מנוגדות: ההספק בעומס מרבי כאשר R = r, ואז P_max = ε²4r‎ — אבל הנצילות שם היא 50% בלבד! ברשת החשמל בוחרים תמיד נצילות גבוהה (R ≫ r), ורק בתקשורת ובאודיו — שם חשוב להוציא כמה שיותר הספק מאות חלש — מתאימים R ל-r. ⚖ هدفان متعارضان: القدرة في الحمل تكون أعظمية عندما R = r، وعندها P_max = ε²4r‎ — لكن المردود هناك 50% فقط! في شبكة الكهرباء نختار دائماً مردوداً عالياً (R ≫ r)، وفقط في الاتصالات والصوت — حيث المهم استخراج أكبر قدرة من إشارة ضعيفة — نُطابق R مع r. ⚖ Two opposing goals: the power in the load is maximal when R = r, and then P_max = ε²4r — but the efficiency there is only 50%! In the power grid a high efficiency (R ≫ r) is always chosen, and only in communications and audio — where extracting as much power as possible from a weak signal matters — is R matched to r.

מדוע התנגדות פנימית גדולה היא בעיהلماذا المقاومة الداخلية الكبيرة مشكلةWhy a large internal resistance is a problem

סוללה ישנה: ההתנגדות הפנימית עולה עם הבלאי. במעגל פתוח היא עדיין מראה 1.5 V, אבל ברגע שמחברים עומס המתח צונח — ולכן פנס דועך אף שהמודד מראה מתח תקין. بطارية قديمة: المقاومة الداخلية ترتفع مع التآكل. في الدائرة المفتوحة ما زالت تُظهر 1.5 V، لكن لحظة توصيل حمل يهبط الجهد — ولذلك يخفت الكشّاف رغم أن المقياس يُظهر جهداً سليماً. An old battery: the internal resistance rises with wear. In an open circuit it still shows 1.5 V, but the moment a load is connected the voltage collapses — which is why a flashlight fades even though the meter shows a healthy voltage.
התנעת מנוע: מתנע רכב שואב מאות אמפרים לרגע. אם r גדולה, הצניחה במתח מכבה את מערכת המולטימדיה ומעמעמת את הפנסים. تشغيل محرّك: بادئ حركة السيارة يسحب مئات الأمبيرات للحظة. إذا كانت r كبيرة، يُطفئ هبوط الجهد نظام الوسائط ويُخفت الأضواء. Starting an engine: a car starter draws hundreds of amperes for a moment. If r is large, the voltage dip shuts off the multimedia system and dims the lights.
קצר: ההתנגדות הפנימית היא הדבר היחיד שמגביל את זרם הקצר. בסוללת ליתיום r קטנה מאוד ⇐ זרם קצר עצום ⇐ סכנת שריפה. قصر: المقاومة الداخلية هي الشيء الوحيد الذي يحدّ تيار القصر. في بطارية ليثيوم r صغيرة جداً ⇐ تيار قصر هائل ⇐ خطر حريق. Short circuit: the internal resistance is the only thing limiting the short-circuit current. In a lithium battery r is very small ⇒ an enormous short-circuit current ⇒ a fire hazard.

פרמטרים ובקרהإعدادات وتحكمParameters & control

כא"מ של המקור εق.د.ك للمصدر εEMF of the source ε12.0 V

התנגדות פנימית rالمقاومة الداخلية rInternal resistance r2.0 Ω

עומס חיצוני Rالحمل الخارجي RExternal load R8.0 Ω

CURRENT I

1.200 A

TERMINAL U

9.60 V

LOST ON r

2.40 V

SHORT I_sc

6.00 A

P LOAD

11.52 W

P INSIDE

2.88 W

EFFICIENCY

80.0 %

המעגל — המקור המעשי ועומס חיצוניالدائرة — مصدر عملي وحمل خارجيThe circuit — practical source and external load

U = ε − I·r

P_LOAD vs R

מערך התאיםترتيب الخلاياCell arrangement

תאים בטור בכל ענף nخلايا على التوالي في كل فرع nCells in series per branch n3

ענפים במקביל mفروع على التوازي mBranches in parallel m1

כא"מ של תא בודדق.د.ك لخلية مفردةEMF of a single cell1.5 V

התנגדות פנימית של תאالمقاومة الداخلية لخليةInternal resistance of a cell0.6 Ω

עומס Rالحمل RLoad R6.0 Ω

ε EQUIVALENT

4.50 V

r EQUIVALENT

1.80 Ω

TOTAL I

0.577 A

I PER BRANCH

0.577 A

TERMINAL U

3.46 V

מערך המקורות והעומסترتيب المصادر والحملThe source bank and the load

שלושת כללי החיבורقواعد التوصيل الثلاثThe three connection rules

אופן החיבורطريقة التوصيلConnection	ε_eq	r_eq	מתי משתמשיםمتى نستخدمWhen to use
n תאים בטורn خلايا على التواليn cells in series	n · ε	n · r	צריך מתח גבוה יותרنحتاج جهداً أعلىA higher voltage is needed
m תאים זהים במקבילm خلايا متطابقة على التوازيm identical cells in parallel	ε	rm	צריך זרם גדול, מתח נשמרنحتاج تياراً كبيراً، الجهد يبقىA large current is needed, the voltage is kept
מעורב — m ענפים של nمختلط — m فروع من nMixed — m branches of n	n · ε	n · rm	גם מתח וגם זרםجهد وتيار معاًBoth voltage and current

⚠ אזהרה מעשית: מחברים במקביל רק מקורות בעלי כא"מ זהה. אם ε שונים, המקור החזק ידחוף זרם לתוך החלש — זרם מעגלי שמחמם ועלול לגרום לפיצוץ. בטור אין מגבלה כזו, אך הזרם המרבי נקבע לפי התא החלש ביותר. ⚠ تحذير عملي: نوصّل على التوازي فقط مصادر ذات ق.د.ك متطابقة. إذا اختلفت ε، سيدفع المصدر القوي تياراً داخل الضعيف — تيار دائري يُسخّن وقد يسبّب انفجاراً. على التوالي لا يوجد هذا القيد، لكن التيار الأقصى يتحدّد حسب أضعف خلية. ⚠ A practical warning: only sources with identical EMF are connected in parallel. If the ε values differ, the stronger source will push current into the weaker one — a circulating current that heats up and can cause an explosion. In series there is no such restriction, but the maximum current is set by the weakest cell.

תרגילים פתורים — צעד אחר צעדتمارين محلولة — خطوة بخطوةSolved exercises — step by step

ε = 12 Vr = 0.5 ΩR = 5.5 Ω

סוללה שהכא"מ שלה 12 V והתנגדותה הפנימית 0.5 Ω מחוברת לנגד עומס 5.5 Ω. חשב את הזרם במעגל, את מתח ההדקים, ואת ההספק המתבזבז בתוך הסוללה. بطارية قوّتها الدافعة 12 V ومقاومتها الداخلية 0.5 Ω موصولة بمقاوم حمل 5.5 Ω. احسب التيار في الدائرة، جهد الأطراف، والقدرة المهدورة داخل البطارية. A battery with EMF 12 V and internal resistance 0.5 Ω is connected to a load resistor 5.5 Ω. Calculate the current in the circuit, the terminal voltage, and the power wasted inside the battery.

1הזרם — חוג סגור אחדالتيار — حلقة مغلقة واحدةThe current — one closed loop

הכא"מ מתחלק בין העומס לבין ההתנגדות הפנימית, ולכן שתיהן בטור:تتوزّع القوة الدافعة بين الحمل والمقاومة الداخلية، فهما على التوالي:The EMF divides between the load and the internal resistance, so they are in series:

I = εR + r = 125.5 + 0.5 = 126 = 2 A

2מתח ההדקיםجهد الأطرافThe terminal voltage

U = ε − I·r = 12 − 2×0.5 = 11 V

בדיקה חוזרת דרך העומס:تحقّق عبر الحمل:Re-checking through the load:

U = I·R = 2 × 5.5 = 11 V ✓

3ההספק בתוך הסוללהالقدرة داخل البطاريةThe power inside the battery

P_r = I²·r = 2² × 0.5 = 2 W

לשם השוואה, ההספק בעומס הוא P = 2²×5.5 = 22 W, והנצילות η = 2224 = 91.7%. للمقارنة، القدرة في الحمل P = 2²×5.5 = 22 W، والمردود η = 2224 = 91.7%. For comparison, the power in the load is P = 2²×5.5 = 22 W, and the efficiency η = 2224 = 91.7%.

I₁ = 1 A → U₁ = 11.4 VI₂ = 3 A → U₂ = 10.2 V

במעבדה מדדו מקור מתח בשני עומסים שונים וקיבלו: בזרם 1 A מתח ההדקים 11.4 V, ובזרם 3 A מתח ההדקים 10.2 V. מצא את הכא"מ ואת ההתנגדות הפנימית, וחשב את זרם הקצר. في المختبر قِيس مصدر جهد عند حملين مختلفين فنتج: عند تيار 1 A جهد الأطراف 11.4 V، وعند تيار 3 A جهد الأطراف 10.2 V. جد القوة الدافعة والمقاومة الداخلية، واحسب تيار القصر. In the lab a voltage source was measured at two different loads: at a current of 1 A the terminal voltage is 11.4 V, and at a current of 3 A the terminal voltage is 10.2 V. Find the EMF and the internal resistance, and calculate the short-circuit current.

1שתי משוואות לאותו קו ישרمعادلتان لنفس الخط المستقيمTwo equations for the same straight line

11.4 = ε − 1·r | 10.2 = ε − 3·r

2חיסור המשוואות מבטל את εطرح المعادلتين يُلغي εSubtracting the equations eliminates ε

11.4 − 10.2 = (3 − 1)·r ⇒ 1.2 = 2r ⇒ r = 0.6 Ω

זהו בדיוק שיפוע הגרף בערכו המוחלט.هذا بالضبط ميل الرسم بقيمته المطلقة.This is exactly the slope of the graph in absolute value.

3הצבה חזרהالتعويض للخلفSubstituting back

ε = 11.4 + 1 × 0.6 = 12 V

4זרם הקצרتيار القصرThe short-circuit current

I_sc = εr = 120.6 = 20 A

שים לב שאין למדוד זאת בפועל — זרם כזה שורף את המקור.انتبه: لا تقس هذا فعلياً — تيار كهذا يحرق المصدر.Note that this must not actually be measured — such a current burns the source.

4 × (1.5 V, 0.4 Ω)R = 4.4 Ω

ארבעה תאים זהים, כל אחד 1.5 V עם התנגדות פנימית 0.4 Ω, מחוברים בטור אל נגד 4.4 Ω. חשב את הכא"מ השקול, את ההתנגדות הפנימית השקולה, את הזרם ואת המתח על הנגד. أربع خلايا متطابقة، كل واحدة 1.5 V بمقاومة داخلية 0.4 Ω، موصولة على التوالي بمقاوم 4.4 Ω. احسب القوة الدافعة المكافئة، المقاومة الداخلية المكافئة، التيار والجهد على المقاوم. Four identical cells, each 1.5 V with an internal resistance of 0.4 Ω, are connected in series to a 4.4 Ω resistor. Calculate the equivalent EMF, the equivalent internal resistance, the current and the voltage across the resistor.

1בטור — הכל מתחברعلى التوالي — كل شيء يُجمعIn series — everything adds up

ε_eq = 4 × 1.5 = 6 V | r_eq = 4 × 0.4 = 1.6 Ω

2הזרםالتيارThe current

I = 64.4 + 1.6 = 66 = 1 A

3המתח על העומסالجهد على الحملThe voltage across the load

U = I·R = 1 × 4.4 = 4.4 V

מן הכא"מ 6 V אבדו 1.6 V בתוך התאים — כמעט 27%. זהו המחיר של חיבור טורי בעל התנגדות פנימית מצטברת. من ق.د.ك البالغة 6 V فُقدت 1.6 V داخل الخلايا — نحو 27%. هذا ثمن التوصيل على التوالي ذي المقاومة الداخلية المتراكمة. Of the 6 V EMF, 1.6 V were lost inside the cells — almost 27%. That is the price of a series connection with accumulating internal resistance.

n = 3, m = 2ε = 2 V, r = 0.3 ΩR = 5.55 Ω

שישה תאים זהים (2 V, 0.3 Ω כל אחד) מחוברים בחיבור מעורב: שני ענפים במקביל, ובכל ענף שלושה תאים בטור. העומס 5.55 Ω. חשב את ε השקול, את r השקול, את הזרם הכולל ואת הזרם בכל ענף. ست خلايا متطابقة (2 V، 0.3 Ω لكل واحدة) موصولة توصيلاً مختلطاً: فرعان على التوازي، وفي كل فرع ثلاث خلايا على التوالي. الحمل 5.55 Ω. احسب ε المكافئة، r المكافئة، التيار الكلي والتيار في كل فرع. Six identical cells (2 V, 0.3 Ω each) are connected in a mixed arrangement: two parallel branches, each with three cells in series. The load is 5.55 Ω. Calculate the equivalent ε, the equivalent r, the total current and the current in each branch.

1קודם ענף אחדأولاً فرع واحدFirst, a single branch

ε_branch = 3 × 2 = 6 V | r_branch = 3 × 0.3 = 0.9 Ω

2שני ענפים זהים במקבילفرعان متطابقان على التوازيTwo identical branches in parallel

הכא"מ אינו מוכפל — שני ענפים בעלי אותו מתח מחוברים זה לצד זה:القوة الدافعة لا تتضاعف — فرعان بنفس الجهد متصلان جنباً إلى جنب:The EMF is not doubled — two branches of the same voltage sit side by side:

ε_eq = 6 V | r_eq = 0.92 = 0.45 Ω

3הזרם הכוללالتيار الكليThe total current

I = 65.55 + 0.45 = 66 = 1 A

4הזרם בכל ענףالتيار في كل فرعThe current in each branch

הענפים זהים ולכן הזרם מתחלק שווה בשווה:الفرعان متطابقان ولذلك ينقسم التيار بالتساوي:The branches are identical, so the current splits equally:

I_branch = 12 = 0.5 A

זהו היתרון של החיבור המעורב: אותו מתח כמו שלושה תאים, אבל כל תא נושא רק חצי מן הזרם — ולכן הסוללה מחזיקה זמן כפול. هذه ميزة التوصيل المختلط: نفس جهد ثلاث خلايا، لكن كل خلية تحمل نصف التيار فقط — ولذلك تدوم البطارية ضعف الزمن. That is the advantage of the mixed connection: the same voltage as three cells, but each cell carries only half the current — so the battery lasts twice as long.

ε = 20 Vr = 4 Ω

מקור שהכא"מ שלו 20 V והתנגדותו הפנימית 4 Ω. באיזה ערך של עומס R יתקבל הספק מרבי בעומס, מהו ההספק הזה, ומהי הנצילות באותה נקודה? مصدر قوّته الدافعة 20 V ومقاومته الداخلية 4 Ω. عند أي قيمة للحمل R نحصل على قدرة عظمى في الحمل، وما هي هذه القدرة، وما المردود عند تلك النقطة؟ A source with EMF 20 V and internal resistance 4 Ω. At what value of the load R is the power in the load maximal, what is that power, and what is the efficiency at that point?

1תנאי ההתאמהشرط المطابقةThe matching condition

ההספק בעומס הוא P = I²R = ε²R(R+r)². גוזרים לפי R ומשווים לאפס, ומקבלים תנאי פשוט: القدرة في الحمل هي P = I²R = ε²R(R+r)². نشتقّ بالنسبة لـ R ونساوي صفراً، فنحصل على شرط بسيط: The power in the load is P = I²R = ε²R(R+r)². Differentiating with respect to R and setting it to zero gives a simple condition:

R = r = 4 Ω

2הזרם וההספק בנקודה זוالتيار والقدرة عند هذه النقطةThe current and the power at this point

I = 204 + 4 = 2.5 A

P_max = I²·R = 2.5² × 4 = 25 W

אפשר גם ישירות מן הנוסחה: P_max = ε²4r = 40016 = 25 W. ويمكن مباشرة من الصيغة: P_max = ε²4r = 40016 = 25 W. It also follows directly from the formula: P_max = ε²4r = 40016 = 25 W.

3הנצילות — ההפתעהالمردود — المفاجأةThe efficiency — the surprise

η = RR + r = 48 = 0.5 = 50%

בדיוק מחצית מן האנרגיה מתבזבזת בתוך המקור. לכן בהולכת חשמל לעולם לא עובדים בנקודה זו — שם דורשים R ≫ r כדי לקבל נצילות של 95% ומעלה, גם במחיר הספק קטן יותר. نصف الطاقة بالضبط يُهدَر داخل المصدر. لذلك في نقل الكهرباء لا نعمل أبداً عند هذه النقطة — هناك نطلب R ≫ r للحصول على مردود 95% وأكثر، ولو على حساب قدرة أقل. Exactly half the energy is wasted inside the source. That is why power transmission never operates at this point — there R ≫ r is required, for an efficiency of 95% and up, even at the price of less power.