כא"מ ומקורות מתח — מתח הדקים והתנגדות פנימית

🔋

EMF & Voltage Sources

כא"מ ומקורות מתח — מתח הדקים והתנגדות פנימית القوة الدافعة ومصادر الجهد — جهد الأطراف والمقاومة الداخلية

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

תיאוריה — מקור אידיאלי ומקור מעשיنظرية — مصدر مثالي ومصدر عملي

מהו כוח אלקטרו־מניע (כא"מ)?ما هي القوة الدافعة الكهربائية؟

מקור מתח — סוללה, גנרטור או ספק כוח — הוא התקן שמשקיע אנרגיה כדי להעביר מטען מההדק השלילי אל ההדק החיובי, כלומר נגד כיוון הכוח החשמלי. הכוח האלקטרו־מניע (כא"מ, מסומן ε או E) הוא האנרגיה שהמקור מוסר לכל יחידת מטען העוברת דרכו. مصدر الجهد — بطارية أو مولّد أو مزوّد قدرة — هو جهاز يستثمر طاقة لنقل شحنة من القطب السالب إلى القطب الموجب، أي عكس اتجاه القوة الكهربائية. القوة الدافعة الكهربائية (ق.د.ك، تُرمز ε أو E) هي الطاقة التي يمنحها المصدر لكل وحدة شحنة تمرّ فيه.

ε = WQ [V] = [J / C]

💡 שים לב לשם המטעה: הכא"מ אינו כוח כלל — יחידתו וולט ולא ניוטון. זהו מתח, והשם ההיסטורי נשאר מהמאה ה-19. 💡 انتبه للاسم المضلّل: القوة الدافعة ليست قوة إطلاقاً — وحدتها فولط وليست نيوتن. إنها جهد، والاسم التاريخي بقي من القرن التاسع عشر.

מקור אידיאלי — מה הוא מבטיחالمصدر المثالي — ماذا يَعِد

מקור מתח אידיאלי שומר על מתח קבוע בין הדקיו, לא משנה כמה זרם נשאב ממנו. אם נחבר אליו עומס של 1 Ω או של 1 MΩ — המתח על ההדקים יישאר בדיוק ε. משמעות הדבר: זרם הקצר שלו הוא אינסופי, וההספק שהוא מסוגל למסור אינו מוגבל. מקור כזה אינו קיים במציאות. مصدر الجهد المثالي يحافظ على جهد ثابت بين طرفيه، مهما كان التيار المسحوب منه. لو وصلنا به حملاً 1 Ω أو 1 MΩ — يبقى الجهد على الأطراف ε بالضبط. معنى ذلك: تيار القصر فيه لا نهائي، والقدرة التي يستطيع تقديمها غير محدودة. مثل هذا المصدر لا وجود له في الواقع.

מקור מעשי — ומדוע המתח יורדالمصدر العملي — ولماذا يهبط الجهد

כל מקור אמיתי בנוי מחומר: אלקטרוליט בסוללה, ליפופי נחושת בגנרטור, רכיבים בספק כוח. לחומר הזה יש התנגדות, והזרם שיוצא מן המקור נאלץ לעבור דרכה. לכן חלק מן הכא"מ "מתבזבז" בתוך המקור עצמו, ומה שנשאר בין ההדקים קטן יותר. كل مصدر حقيقي مبني من مادة: إلكتروليت في البطارية، لفّات نحاس في المولّد، مكوّنات في مزوّد القدرة. لهذه المادة مقاومة، والتيار الخارج من المصدر مجبر على المرور فيها. لذلك يُهدَر جزء من القوة الدافعة داخل المصدر نفسه، وما يتبقّى بين الطرفين أصغر.

כדי לתאר זאת מציגים את המקור המעשי כמקור אידיאלי ε שאליו מחוברת בטור התנגדות פנימית r. שים לב: אין בתוך הסוללה נגד פיזי שאפשר להוציא — זהו מודל, והוא מתאר את התנהגות המקור בדיוק רב. لوصف ذلك نُمثّل المصدر العملي بأنه مصدر مثالي ε متصلة به على التوالي مقاومة داخلية r. انتبه: لا يوجد داخل البطارية مقاوم فيزيائي يمكن إخراجه — هذا نموذج، وهو يصف سلوك المصدر بدقة عالية.

U = ε מתח ההדקים אינו תלוי בזרםجهد الأطراف لا يعتمد على التيار

U = ε − I · r כל אמפר מוריד r וולטكل أمبير يُنقص r فولط

מתח ההדקים ותלותו בזרםجهد الأطراف واعتماده على التيار

מתח ההדקים הוא המתח שנמדד בפועל בין שני חיבורי המקור, וזה המתח שהעומס "רואה". לפי חוק המתחים של קירכהוף בחוג הסגור: جهد الأطراف هو الجهد المقاس فعلياً بين طرفَي المصدر، وهو الجهد الذي "يراه" الحمل. حسب قانون كيرشهوف للجهود في الحلقة المغلقة:

U = ε − I · r

זהו קו ישר יורד: כאשר הזרם אפס (מעגל פתוח) מתח ההדקים שווה בדיוק לכא"מ, וככל שהזרם גדל המתח יורד. שיפוע הקו הוא −r — כלומר ההתנגדות הפנימית נמדדת ישירות מן הגרף. هذا خط مستقيم هابط: عندما يكون التيار صفراً (دائرة مفتوحة) يساوي جهد الأطراف القوة الدافعة بالضبط، وكلما كبر التيار هبط الجهد. ميل الخط هو −r — أي أن المقاومة الداخلية تُقاس مباشرة من الرسم.

המצבالحالة	הזרםالتيار	מתח ההדקיםجهد الأطراف
מעגל פתוח (נתק)دائرة مفتوحة	I = 0	U = ε — מודדים את הכא"מ ישירותU = ε — نقيس ق.د.ك مباشرة
עומס רגיל Rحمل عادي R	I = εR + r	U = ε − I·r = I·R
קצר (R = 0)قصر (R = 0)	I_sc = εr	U = 0 — כל הכא"מ נופל על rU = 0 — كل ق.د.ك يقع على r

איך מוצאים את ε ואת r במעבדה?كيف نجد ε و r في المختبر؟

מודדים את מתח ההדקים בשני עומסים שונים ומקבלים שתי נקודות (I₁, U₁) ו-(I₂, U₂). שתי נקודות מגדירות קו ישר יחיד, ולכן: نقيس جهد الأطراف عند حملين مختلفين فنحصل على نقطتين (I₁, U₁) و-(I₂, U₂). نقطتان تحدّدان خطاً مستقيماً واحداً، ولذلك:

r = U₁ − U₂I₂ − I₁ | ε = U₁ + I₁ · r

הספק ונצילות של המקורالقدرة والمردود في المصدر

ההספק הכולל שהמקור מייצר הוא P_tot = ε·I. ממנו, החלק שמגיע לעומס הוא P_L = I²·R, והשאר מתבזבז כחום בתוך המקור: P_r = I²·r. הנצילות היא היחס ביניהם: القدرة الكلية التي يولّدها المصدر هي P_tot = ε·I. منها، الجزء الواصل إلى الحمل هو P_L = I²·R، والباقي يُهدر حرارةً داخل المصدر: P_r = I²·r. المردود هو النسبة بينهما:

η = P_LP_tot = RR + r · 100%

⚖ שתי מטרות מנוגדות: ההספק בעומס מרבי כאשר R = r, ואז P_max = ε²4r‎ — אבל הנצילות שם היא 50% בלבד! ברשת החשמל בוחרים תמיד נצילות גבוהה (R ≫ r), ורק בתקשורת ובאודיו — שם חשוב להוציא כמה שיותר הספק מאות חלש — מתאימים R ל-r. ⚖ هدفان متعارضان: القدرة في الحمل تكون أعظمية عندما R = r، وعندها P_max = ε²4r‎ — لكن المردود هناك 50% فقط! في شبكة الكهرباء نختار دائماً مردوداً عالياً (R ≫ r)، وفقط في الاتصالات والصوت — حيث المهم استخراج أكبر قدرة من إشارة ضعيفة — نُطابق R مع r.

מדוע התנגדות פנימית גדולה היא בעיהلماذا المقاومة الداخلية الكبيرة مشكلة

סוללה ישנה: ההתנגדות הפנימית עולה עם הבלאי. במעגל פתוח היא עדיין מראה 1.5 V, אבל ברגע שמחברים עומס המתח צונח — ולכן פנס דועך אף שהמודד מראה מתח תקין. بطارية قديمة: المقاومة الداخلية ترتفع مع التآكل. في الدائرة المفتوحة ما زالت تُظهر 1.5 V، لكن لحظة توصيل حمل يهبط الجهد — ولذلك يخفت الكشّاف رغم أن المقياس يُظهر جهداً سليماً.
התנעת מנוע: מתנע רכב שואב מאות אמפרים לרגע. אם r גדולה, הצניחה במתח מכבה את מערכת המולטימדיה ומעמעמת את הפנסים. تشغيل محرّك: بادئ حركة السيارة يسحب مئات الأمبيرات للحظة. إذا كانت r كبيرة، يُطفئ هبوط الجهد نظام الوسائط ويُخفت الأضواء.
קצר: ההתנגדות הפנימית היא הדבר היחיד שמגביל את זרם הקצר. בסוללת ליתיום r קטנה מאוד ⇐ זרם קצר עצום ⇐ סכנת שריפה. قصر: المقاومة الداخلية هي الشيء الوحيد الذي يحدّ تيار القصر. في بطارية ليثيوم r صغيرة جداً ⇐ تيار قصر هائل ⇐ خطر حريق.

פרמטרים ובקרהإعدادات وتحكم

כא"מ של המקור εق.د.ك للمصدر ε12.0 V

התנגדות פנימית rالمقاومة الداخلية r2.0 Ω

עומס חיצוני Rالحمل الخارجي R8.0 Ω

CURRENT I

1.200 A

TERMINAL U

9.60 V

LOST ON r

2.40 V

SHORT I_sc

6.00 A

P LOAD

11.52 W

P INSIDE

2.88 W

EFFICIENCY

80.0 %

המעגל — המקור המעשי ועומס חיצוניالدائرة — مصدر عملي وحمل خارجي

U = ε − I·r

P_LOAD vs R

מערך התאיםترتيب الخلايا

תאים בטור בכל ענף nخلايا على التوالي في كل فرع n3

ענפים במקביל mفروع على التوازي m1

כא"מ של תא בודדق.د.ك لخلية مفردة1.5 V

התנגדות פנימית של תאالمقاومة الداخلية لخلية0.6 Ω

עומס Rالحمل R6.0 Ω

ε EQUIVALENT

4.50 V

r EQUIVALENT

1.80 Ω

TOTAL I

0.577 A

I PER BRANCH

0.577 A

TERMINAL U

3.46 V

מערך המקורות והעומסترتيب المصادر والحمل

שלושת כללי החיבורقواعد التوصيل الثلاث

אופן החיבורطريقة التوصيل	ε_eq	r_eq	מתי משתמשיםمتى نستخدم
n תאים בטורn خلايا على التوالي	n · ε	n · r	צריך מתח גבוה יותרنحتاج جهداً أعلى
m תאים זהים במקבילm خلايا متطابقة على التوازي	ε	rm	צריך זרם גדול, מתח נשמרنحتاج تياراً كبيراً، الجهد يبقى
מעורב — m ענפים של nمختلط — m فروع من n	n · ε	n · rm	גם מתח וגם זרםجهد وتيار معاً

⚠ אזהרה מעשית: מחברים במקביל רק מקורות בעלי כא"מ זהה. אם ε שונים, המקור החזק ידחוף זרם לתוך החלש — זרם מעגלי שמחמם ועלול לגרום לפיצוץ. בטור אין מגבלה כזו, אך הזרם המרבי נקבע לפי התא החלש ביותר. ⚠ تحذير عملي: نوصّل على التوازي فقط مصادر ذات ق.د.ك متطابقة. إذا اختلفت ε، سيدفع المصدر القوي تياراً داخل الضعيف — تيار دائري يُسخّن وقد يسبّب انفجاراً. على التوالي لا يوجد هذا القيد، لكن التيار الأقصى يتحدّد حسب أضعف خلية.

תרגילים פתורים — צעד אחר צעדتمارين محلولة — خطوة بخطوة

ε = 12 Vr = 0.5 ΩR = 5.5 Ω

סוללה שהכא"מ שלה 12 V והתנגדותה הפנימית 0.5 Ω מחוברת לנגד עומס 5.5 Ω. חשב את הזרם במעגל, את מתח ההדקים, ואת ההספק המתבזבז בתוך הסוללה. بطارية قوّتها الدافعة 12 V ومقاومتها الداخلية 0.5 Ω موصولة بمقاوم حمل 5.5 Ω. احسب التيار في الدائرة، جهد الأطراف، والقدرة المهدورة داخل البطارية.

1הזרם — חוג סגור אחדالتيار — حلقة مغلقة واحدة

הכא"מ מתחלק בין העומס לבין ההתנגדות הפנימית, ולכן שתיהן בטור:تتوزّع القوة الدافعة بين الحمل والمقاومة الداخلية، فهما على التوالي:

I = εR + r = 125.5 + 0.5 = 126 = 2 A

2מתח ההדקיםجهد الأطراف

U = ε − I·r = 12 − 2×0.5 = 11 V

בדיקה חוזרת דרך העומס:تحقّق عبر الحمل:

U = I·R = 2 × 5.5 = 11 V ✓

3ההספק בתוך הסוללהالقدرة داخل البطارية

P_r = I²·r = 2² × 0.5 = 2 W

לשם השוואה, ההספק בעומס הוא P = 2²×5.5 = 22 W, והנצילות η = 2224 = 91.7%. للمقارنة، القدرة في الحمل P = 2²×5.5 = 22 W، والمردود η = 2224 = 91.7%.

I₁ = 1 A → U₁ = 11.4 VI₂ = 3 A → U₂ = 10.2 V

במעבדה מדדו מקור מתח בשני עומסים שונים וקיבלו: בזרם 1 A מתח ההדקים 11.4 V, ובזרם 3 A מתח ההדקים 10.2 V. מצא את הכא"מ ואת ההתנגדות הפנימית, וחשב את זרם הקצר. في المختبر قِيس مصدر جهد عند حملين مختلفين فنتج: عند تيار 1 A جهد الأطراف 11.4 V، وعند تيار 3 A جهد الأطراف 10.2 V. جد القوة الدافعة والمقاومة الداخلية، واحسب تيار القصر.

1שתי משוואות לאותו קו ישרمعادلتان لنفس الخط المستقيم

11.4 = ε − 1·r | 10.2 = ε − 3·r

2חיסור המשוואות מבטל את εطرح المعادلتين يُلغي ε

11.4 − 10.2 = (3 − 1)·r ⇒ 1.2 = 2r ⇒ r = 0.6 Ω

זהו בדיוק שיפוע הגרף בערכו המוחלט.هذا بالضبط ميل الرسم بقيمته المطلقة.

3הצבה חזרהالتعويض للخلف

ε = 11.4 + 1 × 0.6 = 12 V

4זרם הקצרتيار القصر

I_sc = εr = 120.6 = 20 A

שים לב שאין למדוד זאת בפועל — זרם כזה שורף את המקור.انتبه: لا تقس هذا فعلياً — تيار كهذا يحرق المصدر.

4 × (1.5 V, 0.4 Ω)R = 4.4 Ω

ארבעה תאים זהים, כל אחד 1.5 V עם התנגדות פנימית 0.4 Ω, מחוברים בטור אל נגד 4.4 Ω. חשב את הכא"מ השקול, את ההתנגדות הפנימית השקולה, את הזרם ואת המתח על הנגד. أربع خلايا متطابقة، كل واحدة 1.5 V بمقاومة داخلية 0.4 Ω، موصولة على التوالي بمقاوم 4.4 Ω. احسب القوة الدافعة المكافئة، المقاومة الداخلية المكافئة، التيار والجهد على المقاوم.

1בטור — הכל מתחברعلى التوالي — كل شيء يُجمع

ε_eq = 4 × 1.5 = 6 V | r_eq = 4 × 0.4 = 1.6 Ω

2הזרםالتيار

I = 64.4 + 1.6 = 66 = 1 A

3המתח על העומסالجهد على الحمل

U = I·R = 1 × 4.4 = 4.4 V

מן הכא"מ 6 V אבדו 1.6 V בתוך התאים — כמעט 27%. זהו המחיר של חיבור טורי בעל התנגדות פנימית מצטברת. من ق.د.ك البالغة 6 V فُقدت 1.6 V داخل الخلايا — نحو 27%. هذا ثمن التوصيل على التوالي ذي المقاومة الداخلية المتراكمة.

n = 3, m = 2ε = 2 V, r = 0.3 ΩR = 5.55 Ω

שישה תאים זהים (2 V, 0.3 Ω כל אחד) מחוברים בחיבור מעורב: שני ענפים במקביל, ובכל ענף שלושה תאים בטור. העומס 5.55 Ω. חשב את ε השקול, את r השקול, את הזרם הכולל ואת הזרם בכל ענף. ست خلايا متطابقة (2 V، 0.3 Ω لكل واحدة) موصولة توصيلاً مختلطاً: فرعان على التوازي، وفي كل فرع ثلاث خلايا على التوالي. الحمل 5.55 Ω. احسب ε المكافئة، r المكافئة، التيار الكلي والتيار في كل فرع.

1קודם ענף אחדأولاً فرع واحد

ε_branch = 3 × 2 = 6 V | r_branch = 3 × 0.3 = 0.9 Ω

2שני ענפים זהים במקבילفرعان متطابقان على التوازي

הכא"מ אינו מוכפל — שני ענפים בעלי אותו מתח מחוברים זה לצד זה:القوة الدافعة لا تتضاعف — فرعان بنفس الجهد متصلان جنباً إلى جنب:

ε_eq = 6 V | r_eq = 0.92 = 0.45 Ω

3הזרם הכוללالتيار الكلي

I = 65.55 + 0.45 = 66 = 1 A

4הזרם בכל ענףالتيار في كل فرع

הענפים זהים ולכן הזרם מתחלק שווה בשווה:الفرعان متطابقان ولذلك ينقسم التيار بالتساوي:

I_branch = 12 = 0.5 A

זהו היתרון של החיבור המעורב: אותו מתח כמו שלושה תאים, אבל כל תא נושא רק חצי מן הזרם — ולכן הסוללה מחזיקה זמן כפול. هذه ميزة التوصيل المختلط: نفس جهد ثلاث خلايا، لكن كل خلية تحمل نصف التيار فقط — ولذلك تدوم البطارية ضعف الزمن.

ε = 20 Vr = 4 Ω

מקור שהכא"מ שלו 20 V והתנגדותו הפנימית 4 Ω. באיזה ערך של עומס R יתקבל הספק מרבי בעומס, מהו ההספק הזה, ומהי הנצילות באותה נקודה? مصدر قوّته الدافعة 20 V ومقاومته الداخلية 4 Ω. عند أي قيمة للحمل R نحصل على قدرة عظمى في الحمل، وما هي هذه القدرة، وما المردود عند تلك النقطة؟

1תנאי ההתאמהشرط المطابقة

ההספק בעומס הוא P = I²R = ε²R(R+r)². גוזרים לפי R ומשווים לאפס, ומקבלים תנאי פשוט: القدرة في الحمل هي P = I²R = ε²R(R+r)². نشتقّ بالنسبة لـ R ونساوي صفراً، فنحصل على شرط بسيط:

R = r = 4 Ω

2הזרם וההספק בנקודה זוالتيار والقدرة عند هذه النقطة

I = 204 + 4 = 2.5 A

P_max = I²·R = 2.5² × 4 = 25 W

אפשר גם ישירות מן הנוסחה: P_max = ε²4r = 40016 = 25 W. ويمكن مباشرة من الصيغة: P_max = ε²4r = 40016 = 25 W.

3הנצילות — ההפתעהالمردود — المفاجأة

η = RR + r = 48 = 0.5 = 50%

בדיוק מחצית מן האנרגיה מתבזבזת בתוך המקור. לכן בהולכת חשמל לעולם לא עובדים בנקודה זו — שם דורשים R ≫ r כדי לקבל נצילות של 95% ומעלה, גם במחיר הספק קטן יותר. نصف الطاقة بالضبط يُهدَر داخل المصدر. لذلك في نقل الكهرباء لا نعمل أبداً عند هذه النقطة — هناك نطلب R ≫ r للحصول على مردود 95% وأكثر، ولو على حساب قدرة أقل.