גשר ויטסטון ופוטנציומטר — מעגלים מעורבים מיוחדים

⚖

Wheatstone Bridge & Potentiometer

גשר ויטסטון ופוטנציומטר — מעגלים מעורבים מיוחדים جسر ويتستون والبوتنشيومتر — دوائر مختلطة خاصة

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

תיאוריה — נגד משתנה וגשר מדידהنظرية — مقاومة متغيرة وجسر قياس

נגד משתנה — שני חיבורים שונים לגמריالمقاومة المتغيرة — توصيلان مختلفان تماماً

לנגד משתנה שלושה הדקים: שני קצוות הפס ההתנגדותי, ומגע נע (מחוון) שמחליק עליו. מן השלושה האלה אפשר לבנות שני מעגלים שונים לחלוטין: للمقاومة المتغيرة ثلاثة أطراف: طرفا الشريط المقاوم، ومُلامس متحرك ينزلق عليه. من هذه الثلاثة يمكن بناء دائرتين مختلفتين تماماً:

ריאוסטט (נגד מתכוונן): משתמשים בקצה אחד ובמחוון בלבד. הרכיב מתפקד כנגד רגיל שערכו ניתן לשינוי, והוא מחובר בטור עם העומס כדי לשלוט בזרם. ريوستات (مقاومة قابلة للضبط): نستخدم طرفاً واحداً والمُلامس فقط. يعمل المكوّن كمقاوم عادي قابل لتغيير قيمته، ويوصَّل على التوالي مع الحمل للتحكم بالتيار.
פוטנציומטר (מחלק מתח): משתמשים בשלושת ההדקים. מתח הכניסה מוזן על פני כל הפס, והמוצא נלקח בין המחוון לבין אחד הקצוות. זהו מחלק מתח מתכוונן — בדיוק המעגל שנלמד בפרק המעגל הטורי, אלא שכאן היחס משתנה בסיבוב הכפתור. بوتنشيومتر (مقسّم جهد): نستخدم الأطراف الثلاثة. يُغذّى جهد الدخل على كامل الشريط، ويُؤخذ الخرج بين المُلامس وأحد الطرفين. هذه مقسّم جهد قابل للضبط — بالضبط الدائرة التي تعلّمناها في فصل الدائرة على التوالي، لكن هنا تتغيّر النسبة بإدارة المفتاح.

מוצא הפוטנציומטר — הנוסחה ומה שמקלקל אותהخرج البوتنشيومتر — الصيغة وما يفسدها

נסמן ב-k את מיקום המחוון בשבר מן המסלול (0 בקצה התחתון, 1 בעליון). ללא עומס המוצא הוא מחלק מתח פשוט וליניארי לחלוטין: نرمز بـk لموقع المُلامس ككسر من المسار (0 عند الطرف السفلي، 1 عند العلوي). بدون حمل يكون الخرج مقسّم جهد بسيطاً وخطياً تماماً:

V_out = V_in · k · R_PR_P = k · V_in

ברגע שמחברים עומס R_L אל המוצא, הוא מקביל לחלק התחתון של הפוטנציומטר, וההתנגדות של החלק הזה קטנה. התוצאה: המוצא צונח מתחת לקו הישר, והירידה הגדולה ביותר היא באמצע המסלול. ما إن نوصّل حملاً R_L بالخرج، يصبح موازياً للجزء السفلي من البوتنشيومتر، ومقاومة هذا الجزء تصغر. النتيجة: يهبط الخرج تحت الخط المستقيم، وأكبر هبوط يكون في منتصف المسار.

V_out = V_in · R₂ ∥ R_LR₁ + (R₂ ∥ R_L) R₁ = (1−k)R_P, R₂ = k·R_P

💡 כלל אצבע מעשי: אם R_L ≥ 10·R_P הסטייה מן הקו הישר קטנה מ-3% והפוטנציומטר "מתנהג יפה". לכן בוחרים פוטנציומטר בעל התנגדות קטנה ביחס לעומס — ההפך ממה שרוב התלמידים מנחשים. 💡 قاعدة عملية: إذا كان R_L ≥ 10·R_P يكون الانحراف عن الخط المستقيم أقل من 3% ويتصرّف البوتنشيومتر "بشكل جيد". لذلك نختار بوتنشيومتر ذا مقاومة صغيرة نسبةً للحمل — عكس ما يخمّنه معظم الطلاب.

גשר ויטסטון — מדידה בעזרת אפסجسر ويتستون — قياس بواسطة الصفر

גשר ויטסטון הוא שני מחלקי מתח המחוברים במקביל לאותו מקור, ובין נקודות האמצע שלהם מחובר גלוונומטר. אם שני המחלקים מחלקים באותו יחס — שתי נקודות האמצע נמצאות באותו פוטנציאל, ולכן לא זורם זרם דרך הגלוונומטר. זה מצב האיזון. جسر ويتستون هو مقسّما جهد موصولان على التوازي بنفس المصدر، وبين نقطتَي المنتصف فيهما يوصَّل جلفانومتر. إذا قسّم المقسّمان بنفس النسبة — تكون نقطتا المنتصف عند نفس الجهد، ولذلك لا يمرّ تيار في الجلفانومتر. هذه حالة التوازن.

R₁R₂ = R₃R_x ⇒ R_x = R₂ · R₃R₁

מדוע זו שיטת מדידה מדויקת כל כך?لماذا هذه طريقة قياس دقيقة إلى هذا الحد؟

אין תלות במתח המקור. תנאי האיזון אינו מכיל את V כלל — סוללה חלשה או מתח לא יציב אינם משנים את התוצאה. لا اعتماد على جهد المصدر. شرط التوازن لا يحتوي V إطلاقاً — بطارية ضعيفة أو جهد غير مستقر لا يغيّران النتيجة.
אין תלות בהתנגדות הגלוונומטר. באיזון הזרם דרכו אפס בכל מקרה, ולכן גם ההתנגדות שלו אינה משפיעה. لا اعتماد على مقاومة الجلفانومتر. عند التوازن يكون التيار فيه صفراً على أي حال، فلا تؤثّر مقاومته.
מודדים אפס, לא ערך. קל הרבה יותר לזהות "אין תנועה במחוג" מאשר לקרוא ערך מדויק על סקאלה. זהו יתרונן של כל שיטות האפס במדידה. نقيس صفراً، لا قيمة. من الأسهل بكثير تمييز "لا حركة في المؤشر" من قراءة قيمة دقيقة على تدريج. هذه ميزة كل طرق الصفر في القياس.

גשר לא מאוזן — וזה בדיוק מה שהופך אותו לחיישןجسر غير متوازن — وهذا بالضبط ما يجعله حسّاساً

כשהגשר אינו מאוזן קיים מתח בין שתי נקודות האמצע. אם הגלוונומטר מנותק (מדידה במעגל פתוח) המתח הוא הפרש שני המחלקים: عندما لا يكون الجسر متوازناً يوجد جهد بين نقطتَي المنتصف. إذا كان الجلفانومتر مفصولاً (قياس في دائرة مفتوحة) يكون الجهد فرق المقسّمين:

U_AB = V · R₂R₁+R₂ − V · R_xR₃+R_x

בחיישנים אמיתיים אחת מזרועות הגשר היא הרכיב הרגיש — מד־מאמץ (Strain Gauge) שהתנגדותו משתנה עם הכיפוף, תרמיסטור שהתנגדותו משתנה עם החום, או חיישן לחות. שינוי זעיר בהתנגדות מתורגם למתח מדיד, ומשם למגבר וללוח בקרה. כל משקל דיגיטלי בעולם עובד כך. في الحسّاسات الحقيقية تكون إحدى ذراعَي الجسر هي المكوّن الحسّاس — مقياس إجهاد (Strain Gauge) تتغير مقاومته مع الانحناء، أو ثرمستور تتغير مقاومته مع الحرارة، أو حسّاس رطوبة. يُترجَم تغيّر ضئيل في المقاومة إلى جهد قابل للقياس، ومنه إلى مضخّم ولوحة تحكّم. كل ميزان رقمي في العالم يعمل هكذا.

⚠ טעות נפוצה במבחן: הגשר אינו מעגל שאפשר לפרק לטור-מקביל פשוט כשהוא לא מאוזן — הגלוונומטר יוצר "גשר" שמונע זאת. במצב לא מאוזן פותרים בעזרת משפט תבנין או בעזרת חוקי קירכהוף. רק כאשר הגלוונומטר מנותק אפשר לחשב שני מחלקי מתח נפרדים. ⚠ خطأ شائع في الامتحان: الجسر ليس دائرة يمكن تفكيكها إلى توالٍ-توازٍ بسيط عندما لا يكون متوازناً — الجلفانومتر يُنشئ "جسراً" يمنع ذلك. في الحالة غير المتوازنة نحلّ بواسطة مبرهنة ثيفنين أو بقوانين كيرشهوف. فقط عندما يكون الجلفانومتر مفصولاً يمكن حساب مقسّمَي جهد منفصلين.

פרמטרים ובקרהإعدادات وتحكم

מתח כניסה Vinجهد الدخل Vin10.0 V

התנגדות הפוטנציומטר Rpمقاومة البوتنشيومتر Rp10.0 kΩ

מיקום המחוון kموقع المُلامس k0.50

עומס RLالحمل RL10.0 kΩ

R1 = (1-k)Rp

5.00 k

R2 = k·Rp

5.00 k

IDEAL Vout

5.00 V

ACTUAL Vout

3.33 V

ERROR FROM LOADING

-33.3 %

המעגל — הפוטנציומטר והעומסالدائرة — البوتنشيومتر والحمل

Vout vs WIPER POSITION k

זרועות הגשרأذرع الجسر

מתח המקור Vجهد المصدر V12.0 V

R1100 Ω

R2200 Ω

R3150 Ω

Rx (הנעלם)(المجهول)250 Ω

התנגדות הגלוונומטר Rgمقاومة الجلفانومتر Rg50 Ω

V_A

8.00 V

V_B

7.50 V

U_AB OPEN

0.50 V

R THÉVENIN

160 Ω

GALVANOMETER I_g

2.381 mA

Rx AT BALANCE = R₂·R₃R₁

300 Ω

הגשר והגלוונומטרالجسر والجلفانومتر

U_AB vs Rx

תרגילים פתורים — צעד אחר צעדتمارين محلولة — خطوة بخطوة

R1 = 120 ΩR2 = 300 ΩR3 = 200 ΩV = 9 V

בגשר ויטסטון הזרוע R1 מחוברת בטור ל-R2 בענף אחד, ו-R3 בטור ל-Rx בענף השני. הגלוונומטר בין נקודות האמצע מראה אפס. חשב את Rx, ואת הזרם הכולל שהמקור מספק. في جسر ويتستون الذراع R1 موصولة على التوالي مع R2 في فرع، و-R3 على التوالي مع Rx في الفرع الثاني. الجلفانومتر بين نقطتَي المنتصف يُظهر صفراً. احسب Rx، والتيار الكلي الذي يزوّده المصدر.

1תנאי האיזוןشرط التوازن

R1R2 = R3Rx ⇒ Rx = R2·R3R1

Rx = 300 × 200120 = 60000120 = 500 Ω

2באיזון אין זרם בגלוונומטרعند التوازن لا تيار في الجلفانومتر

ולכן שני הענפים פשוט מקבילים זה לזה, וכל ענף הוא טור:ولذلك الفرعان متوازيان ببساطة، وكل فرع توالٍ:

Branch 1 = 120 + 300 = 420 Ω | Branch 2 = 200 + 500 = 700 Ω

3ההתנגדות השקולה והזרםالمقاومة المكافئة والتيار

R_eq = 420 × 700420 + 700 = 2940001120 = 262.5 Ω

I = 9262.5 = 0.0343 A = 34.3 mA

בדיקה: הזרם בענף הראשון 9420‎ = 21.4 mA, בשני 9700‎ = 12.9 mA, וסכומם 34.3 mA ✓ تحقّق: التيار في الفرع الأول 9420‎ = 21.4 mA، وفي الثاني 9700‎ = 12.9 mA، ومجموعهما 34.3 mA ✓

R1 = 100 ΩR2 = 100 ΩR3 = 100 ΩRx = 110 ΩV = 10 V

גשר שהיה מאוזן, וזרוע Rx בו היא תרמיסטור שהתחמם והתנגדותו עלתה מ-100 Ω ל-110 Ω. הגלוונומטר מנותק. חשב את המתח בין נקודות האמצע, ואת התנגדות תבנין שרואה הגלוונומטר. جسر كان متوازناً، وذراع Rx فيه ثرمستور سخن فارتفعت مقاومته من 100 Ω إلى 110 Ω. الجلفانومتر مفصول. احسب الجهد بين نقطتَي المنتصف، ومقاومة ثيفنين التي يراها الجلفانومتر.

1כשהגלוונומטר מנותק — שני מחלקי מתח בלתי תלוייםعندما يُفصل الجلفانومتر — مقسّما جهد مستقلّان

V_A = 10 · 100100 + 100 = 5.000 V

V_B = 10 · 110100 + 110 = 1100210 = 5.238 V

2המתח על הגשרالجهد على الجسر

U_AB = 5.000 − 5.238 = −0.238 V

שינוי של 10% בהתנגדות נתן 238 mV — אות מדיד בהחלט. זהו העיקרון שמאחורי כל חיישן גשר. تغيّر 10% في المقاومة أعطى 238 mV — إشارة قابلة للقياس تماماً. هذا هو المبدأ خلف كل حسّاس جسر.

3התנגדות תבנין — מכבים את המקור (קצר)مقاومة ثيفنين — نُلغي المصدر (قصر)

כשמקצרים את המקור, R1 מקביל ל-R2, ו-R3 מקביל ל-Rx, ושני הזוגות בטור: عند قصر المصدر، تصبح R1 موازية لـR2، وR3 موازية لـRx، والزوجان على التوالي:

R_th = (100∥100) + (100∥110) = 50 + 52.38 = 102.4 Ω

אם נחבר עכשיו גלוונומטר בעל 50 Ω, יזרום דרכו:إذا وصلنا الآن جلفانومتر بـ50 Ω، يمرّ فيه:

I_g = 0.238102.4 + 50 = 1.56 mA

Vin = 12 VRp = 10 kΩk = 0.5RL = 10 kΩ

פוטנציומטר 10 kΩ מוזן ב-12 V, והמחוון באמצע המסלול. חשב את מתח המוצא ללא עומס, ואת מתח המוצא כאשר מחובר עומס 10 kΩ. מה השגיאה באחוזים? بوتنشيومتر 10 kΩ مُغذّى بـ12 V، والمُلامس في منتصف المسار. احسب جهد الخرج بدون حمل، وجهد الخرج عند توصيل حمل 10 kΩ. ما نسبة الخطأ؟

1ללא עומס — מחלק מתח פשוטبدون حمل — مقسّم جهد بسيط

R1 = R2 = 5 kΩ ⇒ Vout = 12 · 510 = 6 V

2עם עומס — RL מקביל לחלק התחתוןمع حمل — RL موازية للجزء السفلي

R2 ∥ RL = 5 × 105 + 10 = 5015 = 3.333 kΩ

Vout = 12 · 3.3335 + 3.333 = 408.333 = 4.8 V

3השגיאהالخطأ

error = 4.8 − 66 = −0.20 = −20%

שגיאה של 20% היא עצומה. אילו היה העומס 100 kΩ (פי עשרה מ-Rp) המוצא היה 5.86 V — שגיאה של 2.3% בלבד. خطأ 20% هائل. لو كان الحمل 100 kΩ (عشرة أضعاف Rp) لكان الخرج 5.86 V — خطأ 2.3% فقط.

V = 24 VR_lamp = 40 ΩI רצוי = 0.4 A

נורה שהתנגדותה 40 Ω מחוברת למקור 24 V דרך ריאוסטט. רוצים להגביל את הזרם ל-0.4 A. מה הערך הדרוש של הריאוסטט, ואיזה הספק מתפתח עליו? مصباح مقاومته 40 Ω موصول بمصدر 24 V عبر ريوستات. نريد تحديد التيار عند 0.4 A. ما القيمة المطلوبة للريوستات، وما القدرة المتولّدة عليه؟

1ההתנגדות הכוללת הדרושהالمقاومة الكلية المطلوبة

R_total = VI = 240.4 = 60 Ω

2הריאוסטט בטור עם הנורהالريوستات على التوالي مع المصباح

R_rheo = 60 − 40 = 20 Ω

3ההספק המתבזבזالقدرة المهدورة

P_rheo = I²·R = 0.4² × 20 = 3.2 W

P_lamp = 0.4² × 40 = 6.4 W

שליש מן ההספק מתבזבז כחום בריאוסטט. זו בדיוק הסיבה שבבקרת עוצמה מודרנית משתמשים ב-PWM ולא בנגד משתנה — שם אין הפסד. ثلث القدرة يُهدر حرارةً في الريوستات. لهذا السبب بالذات يُستخدم PWM في التحكم بالشدة حديثاً بدل مقاومة متغيرة — هناك لا فقد.