גשר ויטסטון ופוטנציומטר — מעגלים מעורבים מיוחדים

⚖

Wheatstone Bridge & Potentiometer

גשר ויטסטון ופוטנציומטר — מעגלים מעורבים מיוחדים جسر ويتستون والبوتنشيومتر — دوائر مختلطة خاصةWheatstone Bridge and Potentiometer — special mixed circuits

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦✦ Built by Fahed Ghanem ✦

תיאוריה — נגד משתנה וגשר מדידהنظرية — مقاومة متغيرة وجسر قياسTheory — variable resistor and measuring bridge

נגד משתנה — שני חיבורים שונים לגמריالمقاومة المتغيرة — توصيلان مختلفان تماماًThe variable resistor — two completely different connections

לנגד משתנה שלושה הדקים: שני קצוות הפס ההתנגדותי, ומגע נע (מחוון) שמחליק עליו. מן השלושה האלה אפשר לבנות שני מעגלים שונים לחלוטין: للمقاومة المتغيرة ثلاثة أطراف: طرفا الشريط المقاوم، ومُلامس متحرك ينزلق عليه. من هذه الثلاثة يمكن بناء دائرتين مختلفتين تماماً:A variable resistor has three terminals: the two ends of the resistive track, and a moving contact (wiper) that slides along it. From these three, two completely different circuits can be built:

ריאוסטט (נגד מתכוונן): משתמשים בקצה אחד ובמחוון בלבד. הרכיב מתפקד כנגד רגיל שערכו ניתן לשינוי, והוא מחובר בטור עם העומס כדי לשלוט בזרם. ريوستات (مقاومة قابلة للضبط): نستخدم طرفاً واحداً والمُلامس فقط. يعمل المكوّن كمقاوم عادي قابل لتغيير قيمته، ويوصَّل على التوالي مع الحمل للتحكم بالتيار.Rheostat (adjustable resistor): only one end and the wiper are used. The component acts as an ordinary resistor whose value can be changed, and it is connected in series with the load to control the current.
פוטנציומטר (מחלק מתח): משתמשים בשלושת ההדקים. מתח הכניסה מוזן על פני כל הפס, והמוצא נלקח בין המחוון לבין אחד הקצוות. זהו מחלק מתח מתכוונן — בדיוק המעגל שנלמד בפרק המעגל הטורי, אלא שכאן היחס משתנה בסיבוב הכפתור. بوتنشيومتر (مقسّم جهد): نستخدم الأطراف الثلاثة. يُغذّى جهد الدخل على كامل الشريط، ويُؤخذ الخرج بين المُلامس وأحد الطرفين. هذه مقسّم جهد قابل للضبط — بالضبط الدائرة التي تعلّمناها في فصل الدائرة على التوالي، لكن هنا تتغيّر النسبة بإدارة المفتاح.Potentiometer (voltage divider): all three terminals are used. The input voltage feeds the whole track, and the output is taken between the wiper and one of the ends. This is an adjustable voltage divider — exactly the circuit we learned in the series-circuit chapter, except that here the ratio changes by turning the knob.

מוצא הפוטנציומטר — הנוסחה ומה שמקלקל אותהخرج البوتنشيومتر — الصيغة وما يفسدهاThe potentiometer output — the formula and what spoils it

נסמן ב-k את מיקום המחוון בשבר מן המסלול (0 בקצה התחתון, 1 בעליון). ללא עומס המוצא הוא מחלק מתח פשוט וליניארי לחלוטין: نرمز بـk لموقع المُلامس ككسر من المسار (0 عند الطرف السفلي، 1 عند العلوي). بدون حمل يكون الخرج مقسّم جهد بسيطاً وخطياً تماماً:Let k denote the wiper position as a fraction of the track (0 at the bottom end, 1 at the top). With no load the output is a simple, perfectly linear voltage divider:

V_out = V_in · k · R_PR_P = k · V_in

ברגע שמחברים עומס R_L אל המוצא, הוא מקביל לחלק התחתון של הפוטנציומטר, וההתנגדות של החלק הזה קטנה. התוצאה: המוצא צונח מתחת לקו הישר, והירידה הגדולה ביותר היא באמצע המסלול. ما إن نوصّل حملاً R_L بالخرج، يصبح موازياً للجزء السفلي من البوتنشيومتر، ومقاومة هذا الجزء تصغر. النتيجة: يهبط الخرج تحت الخط المستقيم، وأكبر هبوط يكون في منتصف المسار.As soon as a load R_L is connected to the output, it is in parallel with the lower part of the potentiometer, and the resistance of that part drops. The result: the output sinks below the straight line, and the largest drop is at mid-track.

V_out = V_in · R₂ ∥ R_LR₁ + (R₂ ∥ R_L) R₁ = (1−k)R_P, R₂ = k·R_P

💡 כלל אצבע מעשי: אם R_L ≥ 10·R_P הסטייה מן הקו הישר קטנה מ-3% והפוטנציומטר "מתנהג יפה". לכן בוחרים פוטנציומטר בעל התנגדות קטנה ביחס לעומס — ההפך ממה שרוב התלמידים מנחשים. 💡 قاعدة عملية: إذا كان R_L ≥ 10·R_P يكون الانحراف عن الخط المستقيم أقل من 3% ويتصرّف البوتنشيومتر "بشكل جيد". لذلك نختار بوتنشيومتر ذا مقاومة صغيرة نسبةً للحمل — عكس ما يخمّنه معظم الطلاب.💡 A practical rule of thumb: if R_L ≥ 10·R_P the deviation from the straight line is under 3% and the potentiometer "behaves nicely". That is why we choose a potentiometer whose resistance is small relative to the load — the opposite of what most students guess.

גשר ויטסטון — מדידה בעזרת אפסجسر ويتستون — قياس بواسطة الصفرThe Wheatstone bridge — measuring by means of zero

גשר ויטסטון הוא שני מחלקי מתח המחוברים במקביל לאותו מקור, ובין נקודות האמצע שלהם מחובר גלוונומטר. אם שני המחלקים מחלקים באותו יחס — שתי נקודות האמצע נמצאות באותו פוטנציאל, ולכן לא זורם זרם דרך הגלוונומטר. זה מצב האיזון. جسر ويتستون هو مقسّما جهد موصولان على التوازي بنفس المصدر، وبين نقطتَي المنتصف فيهما يوصَّل جلفانومتر. إذا قسّم المقسّمان بنفس النسبة — تكون نقطتا المنتصف عند نفس الجهد، ولذلك لا يمرّ تيار في الجلفانومتر. هذه حالة التوازن.A Wheatstone bridge is two voltage dividers connected in parallel to the same source, with a galvanometer connected between their midpoints. If both dividers divide in the same ratio — the two midpoints sit at the same potential, so no current flows through the galvanometer. This is the balance condition.

R₁R₂ = R₃R_x ⇒ R_x = R₂ · R₃R₁

מדוע זו שיטת מדידה מדויקת כל כך?لماذا هذه طريقة قياس دقيقة إلى هذا الحد؟Why is this such an accurate measuring method?

אין תלות במתח המקור. תנאי האיזון אינו מכיל את V כלל — סוללה חלשה או מתח לא יציב אינם משנים את התוצאה. لا اعتماد على جهد المصدر. شرط التوازن لا يحتوي V إطلاقاً — بطارية ضعيفة أو جهد غير مستقر لا يغيّران النتيجة.No dependence on the source voltage. The balance condition does not contain V at all — a weak battery or an unstable voltage does not change the result.
אין תלות בהתנגדות הגלוונומטר. באיזון הזרם דרכו אפס בכל מקרה, ולכן גם ההתנגדות שלו אינה משפיעה. لا اعتماد على مقاومة الجلفانومتر. عند التوازن يكون التيار فيه صفراً على أي حال، فلا تؤثّر مقاومته.No dependence on the galvanometer resistance. At balance the current through it is zero anyway, so its resistance has no effect.
מודדים אפס, לא ערך. קל הרבה יותר לזהות "אין תנועה במחוג" מאשר לקרוא ערך מדויק על סקאלה. זהו יתרונן של כל שיטות האפס במדידה. نقيس صفراً، لا قيمة. من الأسهل بكثير تمييز "لا حركة في المؤشر" من قراءة قيمة دقيقة على تدريج. هذه ميزة كل طرق الصفر في القياس.We measure zero, not a value. It is far easier to detect "no needle movement" than to read an exact value off a scale. This is the advantage of all null methods in measurement.

גשר לא מאוזן — וזה בדיוק מה שהופך אותו לחיישןجسر غير متوازن — وهذا بالضبط ما يجعله حسّاساًAn unbalanced bridge — and that is exactly what makes it a sensor

כשהגשר אינו מאוזן קיים מתח בין שתי נקודות האמצע. אם הגלוונומטר מנותק (מדידה במעגל פתוח) המתח הוא הפרש שני המחלקים: عندما لا يكون الجسر متوازناً يوجد جهد بين نقطتَي المنتصف. إذا كان الجلفانومتر مفصولاً (قياس في دائرة مفتوحة) يكون الجهد فرق المقسّمين:When the bridge is not balanced there is a voltage between the two midpoints. If the galvanometer is disconnected (an open-circuit measurement) the voltage is the difference of the two dividers:

U_AB = V · R₂R₁+R₂ − V · R_xR₃+R_x

בחיישנים אמיתיים אחת מזרועות הגשר היא הרכיב הרגיש — מד־מאמץ (Strain Gauge) שהתנגדותו משתנה עם הכיפוף, תרמיסטור שהתנגדותו משתנה עם החום, או חיישן לחות. שינוי זעיר בהתנגדות מתורגם למתח מדיד, ומשם למגבר וללוח בקרה. כל משקל דיגיטלי בעולם עובד כך. في الحسّاسات الحقيقية تكون إحدى ذراعَي الجسر هي المكوّن الحسّاس — مقياس إجهاد (Strain Gauge) تتغير مقاومته مع الانحناء، أو ثرمستور تتغير مقاومته مع الحرارة، أو حسّاس رطوبة. يُترجَم تغيّر ضئيل في المقاومة إلى جهد قابل للقياس، ومنه إلى مضخّم ولوحة تحكّم. كل ميزان رقمي في العالم يعمل هكذا.In real sensors one of the bridge arms is the sensitive component — a strain gauge whose resistance changes with bending, a thermistor whose resistance changes with heat, or a humidity sensor. A tiny change in resistance is translated into a measurable voltage, and from there to an amplifier and a control board. Every digital scale in the world works this way.

⚠ טעות נפוצה במבחן: הגשר אינו מעגל שאפשר לפרק לטור-מקביל פשוט כשהוא לא מאוזן — הגלוונומטר יוצר "גשר" שמונע זאת. במצב לא מאוזן פותרים בעזרת משפט תבנין או בעזרת חוקי קירכהוף. רק כאשר הגלוונומטר מנותק אפשר לחשב שני מחלקי מתח נפרדים. ⚠ خطأ شائع في الامتحان: الجسر ليس دائرة يمكن تفكيكها إلى توالٍ-توازٍ بسيط عندما لا يكون متوازناً — الجلفانومتر يُنشئ "جسراً" يمنع ذلك. في الحالة غير المتوازنة نحلّ بواسطة مبرهنة ثيفنين أو بقوانين كيرشهوف. فقط عندما يكون الجلفانومتر مفصولاً يمكن حساب مقسّمَي جهد منفصلين.⚠ A common exam mistake: the bridge is not a circuit that can be reduced to simple series-parallel when it is unbalanced — the galvanometer forms a "bridge" that prevents it. In the unbalanced case we solve with Thevenin's theorem or with Kirchhoff's laws. Only when the galvanometer is disconnected can two separate voltage dividers be computed.

פרמטרים ובקרהإعدادات وتحكمParameters and control

מתח כניסה Vinجهد الدخل VinInput voltage Vin10.0 V

התנגדות הפוטנציומטר Rpمقاومة البوتنشيومتر RpPotentiometer resistance Rp10.0 kΩ

מיקום המחוון kموقع المُلامس kWiper position k0.50

עומס RLالحمل RLLoad RL10.0 kΩ

R1 = (1-k)Rp

5.00 k

R2 = k·Rp

5.00 k

IDEAL Vout

5.00 V

ACTUAL Vout

3.33 V

ERROR FROM LOADING

-33.3 %

המעגל — הפוטנציומטר והעומסالدائرة — البوتنشيومتر والحملThe circuit — the potentiometer and the load

Vout vs WIPER POSITION k

זרועות הגשרأذرع الجسرThe bridge arms

מתח המקור Vجهد المصدر VSource voltage V12.0 V

R1100 Ω

R2200 Ω

R3150 Ω

Rx (הנעלם)(المجهول)(the unknown)250 Ω

התנגדות הגלוונומטר Rgمقاومة الجلفانومتر RgGalvanometer resistance Rg50 Ω

V_A

8.00 V

V_B

7.50 V

U_AB OPEN

0.50 V

R THÉVENIN

160 Ω

GALVANOMETER I_g

2.381 mA

Rx AT BALANCE = R₂·R₃R₁

300 Ω

הגשר והגלוונומטרالجسر والجلفانومترThe bridge and the galvanometer

U_AB vs Rx

תרגילים פתורים — צעד אחר צעדتمارين محلولة — خطوة بخطوةSolved exercises — step by step

R1 = 120 ΩR2 = 300 ΩR3 = 200 ΩV = 9 V

בגשר ויטסטון הזרוע R1 מחוברת בטור ל-R2 בענף אחד, ו-R3 בטור ל-Rx בענף השני. הגלוונומטר בין נקודות האמצע מראה אפס. חשב את Rx, ואת הזרם הכולל שהמקור מספק. في جسر ويتستون الذراع R1 موصولة على التوالي مع R2 في فرع، و-R3 على التوالي مع Rx في الفرع الثاني. الجلفانومتر بين نقطتَي المنتصف يُظهر صفراً. احسب Rx، والتيار الكلي الذي يزوّده المصدر.In a Wheatstone bridge, arm R1 is connected in series with R2 in one branch, and R3 in series with Rx in the second branch. The galvanometer between the midpoints reads zero. Compute Rx, and the total current supplied by the source.

1תנאי האיזוןشرط التوازنThe balance condition

R1R2 = R3Rx ⇒ Rx = R2·R3R1

Rx = 300 × 200120 = 60000120 = 500 Ω

2באיזון אין זרם בגלוונומטרعند التوازن لا تيار في الجلفانومترAt balance no current flows in the galvanometer

ולכן שני הענפים פשוט מקבילים זה לזה, וכל ענף הוא טור:ولذلك الفرعان متوازيان ببساطة، وكل فرع توالٍ:So the two branches are simply in parallel, and each branch is a series connection:

Branch 1 = 120 + 300 = 420 Ω | Branch 2 = 200 + 500 = 700 Ω

3ההתנגדות השקולה והזרםالمقاومة المكافئة والتيارThe equivalent resistance and the current

R_eq = 420 × 700420 + 700 = 2940001120 = 262.5 Ω

I = 9262.5 = 0.0343 A = 34.3 mA

בדיקה: הזרם בענף הראשון 9420‎ = 21.4 mA, בשני 9700‎ = 12.9 mA, וסכומם 34.3 mA ✓ تحقّق: التيار في الفرع الأول 9420‎ = 21.4 mA، وفي الثاني 9700‎ = 12.9 mA، ومجموعهما 34.3 mA ✓Check: the current in the first branch is 9420 = 21.4 mA, in the second 9700 = 12.9 mA, and their sum is 34.3 mA ✓

R1 = 100 ΩR2 = 100 ΩR3 = 100 ΩRx = 110 ΩV = 10 V

גשר שהיה מאוזן, וזרוע Rx בו היא תרמיסטור שהתחמם והתנגדותו עלתה מ-100 Ω ל-110 Ω. הגלוונומטר מנותק. חשב את המתח בין נקודות האמצע, ואת התנגדות תבנין שרואה הגלוונומטר. جسر كان متوازناً، وذراع Rx فيه ثرمستور سخن فارتفعت مقاومته من 100 Ω إلى 110 Ω. الجلفانومتر مفصول. احسب الجهد بين نقطتَي المنتصف، ومقاومة ثيفنين التي يراها الجلفانومتر.A bridge that was balanced; its Rx arm is a thermistor that heated up, raising its resistance from 100 Ω to 110 Ω. The galvanometer is disconnected. Compute the voltage between the midpoints, and the Thevenin resistance seen by the galvanometer.

1כשהגלוונומטר מנותק — שני מחלקי מתח בלתי תלוייםعندما يُفصل الجلفانومتر — مقسّما جهد مستقلّانWith the galvanometer disconnected — two independent voltage dividers

V_A = 10 · 100100 + 100 = 5.000 V

V_B = 10 · 110100 + 110 = 1100210 = 5.238 V

2המתח על הגשרالجهد على الجسرThe voltage across the bridge

U_AB = 5.000 − 5.238 = −0.238 V

שינוי של 10% בהתנגדות נתן 238 mV — אות מדיד בהחלט. זהו העיקרון שמאחורי כל חיישן גשר. تغيّر 10% في المقاومة أعطى 238 mV — إشارة قابلة للقياس تماماً. هذا هو المبدأ خلف كل حسّاس جسر.A 10% change in resistance gave 238 mV — a perfectly measurable signal. This is the principle behind every bridge sensor.

3התנגדות תבנין — מכבים את המקור (קצר)مقاومة ثيفنين — نُلغي المصدر (قصر)Thevenin resistance — the source is switched off (shorted)

כשמקצרים את המקור, R1 מקביל ל-R2, ו-R3 מקביל ל-Rx, ושני הזוגות בטור: عند قصر المصدر، تصبح R1 موازية لـR2، وR3 موازية لـRx، والزوجان على التوالي:With the source shorted, R1 is in parallel with R2, R3 in parallel with Rx, and the two pairs are in series:

R_th = (100∥100) + (100∥110) = 50 + 52.38 = 102.4 Ω

אם נחבר עכשיו גלוונומטר בעל 50 Ω, יזרום דרכו:إذا وصلنا الآن جلفانومتر بـ50 Ω، يمرّ فيه:If we now connect a galvanometer of 50 Ω, the current through it will be:

I_g = 0.238102.4 + 50 = 1.56 mA

Vin = 12 VRp = 10 kΩk = 0.5RL = 10 kΩ

פוטנציומטר 10 kΩ מוזן ב-12 V, והמחוון באמצע המסלול. חשב את מתח המוצא ללא עומס, ואת מתח המוצא כאשר מחובר עומס 10 kΩ. מה השגיאה באחוזים? بوتنشيومتر 10 kΩ مُغذّى بـ12 V، والمُلامس في منتصف المسار. احسب جهد الخرج بدون حمل، وجهد الخرج عند توصيل حمل 10 kΩ. ما نسبة الخطأ؟A 10 kΩ potentiometer is fed with 12 V, with the wiper at mid-track. Compute the output voltage with no load, and the output voltage when a 10 kΩ load is connected. What is the error in percent?

1ללא עומס — מחלק מתח פשוטبدون حمل — مقسّم جهد بسيطNo load — a simple voltage divider

R1 = R2 = 5 kΩ ⇒ Vout = 12 · 510 = 6 V

2עם עומס — RL מקביל לחלק התחתוןمع حمل — RL موازية للجزء السفليWith a load — RL in parallel with the lower part

R2 ∥ RL = 5 × 105 + 10 = 5015 = 3.333 kΩ

Vout = 12 · 3.3335 + 3.333 = 408.333 = 4.8 V

3השגיאהالخطأThe error

error = 4.8 − 66 = −0.20 = −20%

שגיאה של 20% היא עצומה. אילו היה העומס 100 kΩ (פי עשרה מ-Rp) המוצא היה 5.86 V — שגיאה של 2.3% בלבד. خطأ 20% هائل. لو كان الحمل 100 kΩ (عشرة أضعاف Rp) لكان الخرج 5.86 V — خطأ 2.3% فقط.A 20% error is enormous. Had the load been 100 kΩ (ten times Rp) the output would have been 5.86 V — an error of only 2.3%.

V = 24 VR_lamp = 40 ΩI רצויdesired = 0.4 A

נורה שהתנגדותה 40 Ω מחוברת למקור 24 V דרך ריאוסטט. רוצים להגביל את הזרם ל-0.4 A. מה הערך הדרוש של הריאוסטט, ואיזה הספק מתפתח עליו? مصباح مقاومته 40 Ω موصول بمصدر 24 V عبر ريوستات. نريد تحديد التيار عند 0.4 A. ما القيمة المطلوبة للريوستات، وما القدرة المتولّدة عليه؟A lamp of resistance 40 Ω is connected to a 24 V source through a rheostat. We want to limit the current to 0.4 A. What rheostat value is required, and what power develops across it?

1ההתנגדות הכוללת הדרושהالمقاومة الكلية المطلوبةThe required total resistance

R_total = VI = 240.4 = 60 Ω

2הריאוסטט בטור עם הנורהالريوستات على التوالي مع المصباحThe rheostat in series with the lamp

R_rheo = 60 − 40 = 20 Ω

3ההספק המתבזבזالقدرة المهدورةThe wasted power

P_rheo = I²·R = 0.4² × 20 = 3.2 W

P_lamp = 0.4² × 40 = 6.4 W

שליש מן ההספק מתבזבז כחום בריאוסטט. זו בדיוק הסיבה שבבקרת עוצמה מודרנית משתמשים ב-PWM ולא בנגד משתנה — שם אין הפסד. ثلث القدرة يُهدر حرارةً في الريوستات. لهذا السبب بالذات يُستخدم PWM في التحكم بالشدة حديثاً بدل مقاومة متغيرة — هناك لا فقد.A third of the power is wasted as heat in the rheostat. This is exactly why modern intensity control uses PWM rather than a variable resistor — there, nothing is lost.