בחינת גמר · אביב תשפ"ה 2025 · שאלון 733001 · שאלות 1–10
✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦
💡
על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 733001 — חשמל ואלקטרוניקה לטכנאים, מגמת הנדסת חשמל, בקרה ואנרגייה (כיתה י"ג), אביב תשפ"ה 2025. בשאלון עשר שאלות, והנבחן עונה על חמש בלבד. נוסח השאלות הוא של משרד החינוך; הפתרונות נכתבו במלואם ואומתו נומרית על ידי פהד גאנם.
קריאת המעגל לפני החישוב: הפס התחתון מוארק, ולכן הוא אפס הייחוס. שלושת המקורות מחוברים כך: המקור E₄ פונה עם קוטבו החיובי אל הצומת A, ולכן הקצה השני שלו נמצא ב-VA - 12; המקור E₂ פונה עם קוטבו החיובי כלפי מעלה, ולכן הצומת שבין R₂ ל-E₂ מקובע ל-10 V; והמקור E₃ פונה עם קוטבו החיובי כלפי מטה, אל R₃.
סעיף א — מערכת משוואות הצמתים
בכל צומת סכום הזרמים היוצאים שווה לזרם הנכנס. בענף שיש בו מקור מתח בטור עם נגד, מחסירים או מוסיפים את מתח המקור למונה — לפי הקוטביות שקראנו:
צומת A: 3 = VA5 + VA - VB4 + VA - 12 - VB3
צומת B: VA - VB4 + VA - 12 - VB3 = VB - 102 + VB + 36
סעיף ב — המתחים בצמתים
נכפול את משוואת הצומת הראשון ב-60 ואת השנייה ב-12, ונקבל מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים:
47·VA - 35·VB = 420
7·VA - 15·VB = -6
נחלץ את המתח בצומת A מן המשוואה השנייה ונציב בראשונה:
VA = 15·VB - 67
47 · (15·VB - 6) - 245·VB = 2940
705·VB - 282 - 245·VB = 2940 → 460·VB = 3222
VA = 14.15 V ; VB = 7.00 V
אימות: נציב את שני המתחים בחזרה במשוואת הצומת A ונבדוק שסכום הזרמים היוצאים שווה לזרם שמזרים המקור:
I(R₁) = 14.155 = 2.83 A ; I(R₅) = 14.15 - 7.004 = 1.79 A ; I(R₄) = -1.62 A
2.83 + 1.79 - 1.62 = 3.00 A ✓
סעיף ג — הזרם דרך R₄ וכיוונו
הזרם בענף העליון נקבע מהפרש הפוטנציאלים על פני הענף כולו, כולל מתח המקור שבתוכו:
הסימן השלילי מלמד שהזרם זורם בכיוון ההפוך לזה שהנחנו: הוא נכנס אל הענף מן הצומת B ויוצא אל הצומת A. הסיבה פיזיקלית — המקור E₄ פועל כאן נגד הפרש הפוטנציאלים שבין שני הצמתים, וגובר עליו.
🧪סימולציה בתוך הדף— המעגל פתור מחדש בכל הזזה של מחוון
כל עמודה היא זרם ענף. עמודה ימינה — הזרם בכיוון שהנחנו (מן הצומת אל האדמה, ומ-A ל-B); עמודה שמאלה — הזרם התהפך. הקטינו את E₄ אל מתחת לשבעה וולט וראו את R₄ עובר צד.▶ סימולטור מתחי הצמתים המלא
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — המעגל פתור מחדש בכל הזזה של מחוון.
שני דברים לפני החישוב: ראשית, ארבעת הענפים מחוברים כולם במקביל אל המקור, ולכן אותו מתח מופיע על כל ענף — וזה בדיוק המצב שבו נוח לעבוד במתירויות ולא בעכבות, כי מתירויות מקביליות פשוט מתחברות. שנית, נעבוד בפאזורי משרעת: U = 100∠50° V. מי שעובד בערכים אפקטיביים יחלק את כל התוצאות ב-√2.
החלק המדומה שלילי, ולכן המעגל בכללותו הוא בעל אופי השראותי — שני הסלילים גוברים על הקבל.
סעיף ב — זרמי הענפים והזרם הכולל
הזרם בכל ענף הוא מכפלת מתח המקור במתירות של אותו ענף:
I₁ = U · Y₁ = 100∠50° × 100·10-6∠89.9° = 0.01∠139.9° A
I₂ = U · Y₂ = 100∠50° × 0.0333∠0° = 3.33∠50° A
I₃ = U · Y₃ = 100∠50° × 0.0894∠-26.6° = 8.94∠23.4° A
I₄ = U · Y₄ = 100∠50° × 0.1∠-90° = 10∠-40° A
I = U · Y = 100∠50° × 0.18∠-51° = 18∠-1° A
I = 18∠-1° A
אימות: נחבר את ארבעת זרמי הענפים בהצגה מלבנית ונשווה לזרם הכולל:
Re: -0.008 + 2.14 + 8.21 + 7.66 = 18.00
Im: 0.006 + 2.55 + 3.56 - 6.43 = -0.31
|I| = 18.00 A ∠ -1° ✓
💡
מה מספר לנו הענף הראשון: הזרם דרכו הוא 10 mA בלבד, שלושה סדרי גודל פחות מן האחרים. הסיבה: X(C₁) = 10 kΩ מול R₁ = 20 Ω — הקבל חוסם כמעט לחלוטין, והנגד שבטור איתו כמעט אינו משפיע.
ההנמקה בלי חישוב: בענף הזה הקבל הוא השולט המוחלט — הריאקטנס שלו גדול פי חמש מאות מן הנגד שבטור. לכן עכבת הענף כמעט שווה לריאקטנס עצמו, וכשהוא מוכפל, הזרם נחלק בשניים.
🧪סימולציה בתוך הדף— דיאגרמת הפאזורים של זרמי הענפים
הזיזו את מחוון התדר וראו את I₄ מתקצר ואת הזרם בענף הקיבולי מתארך — זו התשובה לסעיף ג, ובה בעת מסתובב הזרם הכולל. הפאזור של הענף הראשון אינו נראה בתרשים: הוא אלפית מן האחרים, וזה בדיוק מה שהשאלה רוצה שתבחינו בו.▶ מעבדת המעגל המקבילי המלאה
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — דיאגרמת הפאזורים של זרמי הענפים.
שימו לב לתופעה ב-Z₁: הריאקטנסים שווים בגודלם, ולמרות זאת המקבילית אינה מתאפסת ואינה אינסופית — כי הענף ההשראותי כולל גם נגד. השוויון |X(L)| = |X(C)| מבטל את החלק המדומה רק במעגל טורי טהור.
סעיף ג — הזרם הכולל ואופי המעגל
I = UZAB = 120∠0°34∠36°
I = 3.53∠-36° A — אופי המעגל השראותי
זווית העכבה חיובית, כלומר הזרם מפגר אחרי המתח — סימן ההיכר של מעגל השראותי.
סעיף ד — הזרמים I₁ ו-I₂
שני הזרמים האלה מתחלקים בתוך הקבוצה הראשונה, ולכן נחשב תחילה את המתח על אותה קבוצה:
U(Z₁) = I · Z₁ = 3.53∠-36° × 11.18∠-63.4° = 39.46∠-99.5° V
I₁ = U(Z₁)R₁ + jX(L₁) = 39.46∠-99.5°22.36∠26.6° = 1.76∠-126° A
I₂ = U(Z₁)-jX(C₁) = 39.46∠-99.5°10∠-90° = 3.95∠-9.5° A
I₁ = 1.76∠-126° A ; I₂ = 3.95∠-9.5° A
אימות: סכום שני הזרמים הוא 2.85 - j2.08, שגודלו 3.53 A וזוויתו -36° — בדיוק הזרם הכולל שחישבנו בסעיף ג ✓
🧪סימולציה בתוך הדף— שתי המקביליות, העכבה השקולה ושלושת הזרמים
הציר האופקי הוא כיוון מתח המקור, ולכן זווית כל פאזור נמדדת ממנו. שימו לב שהזרם בענף הקיבולי מקדים את המתח כמעט בתשעים מעלות בעוד הזרם הכולל מפגר — וששני הזרמים האלה גדולים מן הזרם הכולל.▶ מעבדת המספרים המרוכבים והפאזורים
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שתי המקביליות, העכבה השקולה ושלושת הזרמים.
שאלה 4 — העמסת מד המתח ושגיאת המדידה
נתונים: U = 100 V · R₁ = 20 kΩ · R₂ = 40 kΩ
💡
הרעיון של השאלה כולה: מד מתח אמיתי אינו צופה מן הצד — הוא נגד שמתחבר במקביל לנגד הנמדד, ובכך משנה את המעגל שאותו הוא מודד. ככל שהתנגדותו הפנימית גדולה יותר, כך ההפרעה קטנה יותר.
סעיף א — מד מתח מנותק (מדידה אידאלית)
בלי המד, שני הנגדים מהווים מחלק מתח פשוט:
V(R₂) = U · R₂R₁ + R₂ = 100 × 4020 + 40
V(R₂) = 66.67 V
סעיף ב — מד מתח שהתנגדותו 40 kΩ
המד מתחבר במקביל ל-R₂, ולכן הזרוע התחתונה של המחלק קטנה:
R₂ ∥ RV = 40 × 4040 + 40 = 20 kΩ
V = 100 × 2020 + 20 = 50 V
המד יראה 50 V במקום 66.67 V
סעיף ג — מד מתח שהתנגדותו 1 MΩ
R₂ ∥ RV = 40 × 100040 + 1000 = 38.46 kΩ
V = 100 × 38.4620 + 38.46 = 65.79 V
המד יראה 65.79 V
סעיף ד — שגיאה מוחלטת ושגיאה יחסית
שגיאה מוחלטת היא ההפרש בין הערך האמיתי לערך הנמדד, והיא נמדדת באותן יחידות של הגודל עצמו — כאן בוולט. שגיאה יחסית היא היחס בין השגיאה המוחלטת לערך האמיתי, ומבוטאת באחוזים; היא זו שאומרת אם המדידה טובה או לא, כי היא מנרמלת את השגיאה לגודל הנמדד.
עבור המד של 40 kΩ: 66.67 - 50 = 16.67 V ; 16.6766.67 × 100 = 25%
עבור המד של 1 MΩ: 66.67 - 65.79 = 0.88 V ; 0.8866.67 × 100 = 1.32%
25% מול 1.32% — מד בעל התנגדות פנימית גבוהה פי 25 מקטין את השגיאה פי 19
🧪סימולציה בתוך הדף— עקומת השגיאה כפונקציה של התנגדות המד
הציר האופקי לוגריתמי, מקילואוהם אחד עד עשרה מגה-אוהם. הקו הירוק הוא הערך האמיתי, והכחול הוא מה שהמד מראה. גררו את המחוון אל 40 kΩ ואל 1 MΩ וקראו את שתי התשובות של השאלה — ואז המשיכו ימינה וראו כמה מהר השגיאה נעלמת.▶ סימולטור המעגל המעורב
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — עקומת השגיאה כפונקציה של התנגדות המד.
פרק שני — אלקטרוניקה א׳ ומערכות ספרתיות · שאלות 5–8
את הזרם דרך R₃ כבר חישבנו, והוא ממשיך במלואו דרך R₄ — שכן אל כניסת המגבר אין זרם. הזרם דרך R₅ הוא זרם מחלק המתח, והזרם דרך R₇ הוא זרם העומס שמספק המגבר:
I(R₃) = 0.6 mA
I(R₅) = V₂ - VCR₅ = 6 - 44·103 = 0.5 mA
I(R₇) = VoR₇ = -22·103 = -1 mA
I(R₃) = 0.6 mA ; I(R₅) = 0.5 mA ; I(R₇) = 1 mA (מן האדמה אל מוצא המגבר)
הסימן השלילי בזרם האחרון אינו תקלה: מתח המוצא שלילי, ולכן הזרם בנגד R₇ זורם מן האדמה אל המוצא, והמגבר בולע אותו.
🧪סימולציה בתוך הדף— שרשרת המתחים בשתי הקומות
כל עמודה היא מתח בנקודה אחת במעגל, והקווים האדומים הם מתחי ההזנה. הגדילו את R₂ וראו את הקומה הראשונה נתקעת ברוויה — וברגע שהיא נתקעת, גם המוצא מפסיק לציית לנוסחה.▶ מעבדת מגברי השרת
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שרשרת המתחים בשתי הקומות.
שאלה 6 — רשת RC בכניסת אות ריבועי
נתונים: R = 10 kΩ · C = 0.1 μF · V(C) = 5 V בזמן t = 0 · אות הכניסה: 5 V עד t = 1 msec, -7.5 V עד t = 3 msec, ואז 5 V
סעיף א — סוג הרשת וקבוע הזמן
הנגד בטור והמוצא נלקח על הקבל — זוהי רשת מעבירת נמוכים (רשת אינטגרציה). מתח הקבל אינו יכול להשתנות בקפיצה, ולכן המוצא אינו מעתיק את קפיצות הכניסה אלא מטפס אליהן מעריכית:
τ = R · C = 10·103 × 0.1·10-6 = 1 msec
רשת מעבירת נמוכים ; τ = 1 msec
סעיף ב — צורת אות המוצא
בקטע הראשון, בין אפס לזמן 1 msec, מתח הכניסה הוא 5 V ומתח הקבל כבר 5 V — אין הפרש, ולכן שום דבר אינו קורה והמוצא נשאר קבוע.
בזמן 1 msec צונחת הכניסה ל--7.5 V. הקבל מתחיל להיפרק ואז להיטען בקוטביות הפוכה, לעבר -7.5 V, לפי המשוואה הכללית:
הקטע הזה נמשך שתי מילישניות — שני קבועי זמן בלבד — ולכן הקבל אינו מספיק להגיע ליעדו. בזמן 3 msec עולה הכניסה בחזרה ל-5 V, והקבל מתחיל להיטען כלפי מעלה מן הערך שאליו הגיע.
Vo(0…1 msec) = 5 V → Vo(3 msec) = -5.81 V → Vo(t→∞) = 5 V
סעיף ג — מתח המוצא בשני זמנים
1. בזמן 3 msec — בסוף הקטע השני, שני קבועי זמן אחרי תחילתו:
2. בזמן 4 msec — קבוע זמן אחד אחרי הקפיצה חזרה, כשנקודת המוצא היא -5.81 V והיעד 5 V:
Vo(t) = 5 + (-5.81 - 5) · e-(t-3)/1ms
Vo(4 msec) = 5 - 10.81 × e-1 = 5 - 10.81 × 0.3679
Vo(4 msec) = 1.02 V
🧪סימולציה בתוך הדף— אות הכניסה ומתח הקבל על אותו ציר זמן
האפור המקווקו הוא אות הכניסה והירוק הוא המוצא. הנקודה האדומה היא התשובה לסעיף הראשון והכחולה לשני. הגדילו את הנגד וראו את הקבל מפסיק להספיק — ואז הקטינו אותו עד שהמוצא כמעט מעתיק את הכניסה.▶ מעבדת רשתות RC
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — אות הכניסה ומתח הקבל על אותו ציר זמן.
בזרם ישר הקבלים מהווים נתק. נכתוב משוואת מתחים ללולאת הבסיס: מן המקור דרך R(B), מעבר הבסיס-פולט, ונגד הפולט אל האדמה. דרך נגד הפולט זורם זרם הפולט, ולכן הוא מופיע במשוואה מוכפל ב-(1+β):
IE = 101 × 26·10-6 = 2.63 mA → VE = 2.63·10-3 × 500 = 1.31 V
כעת לולאת המוצא — מן המקור, דרך R(C), דרך הטרנזיסטור מקולט לפולט, ודרך R(E) אל האדמה:
VCE = VCC - IC · RC - VE = 15 - 2.6 - 1.31
IC = 2.6 mA ; VCE = 11.09 V
⚠️
אל תשמיטו את מתח הפולט: חישוב שמחסיר רק את המפל על נגד הקולט, בלי המפל על נגד הפולט, היה נותן 12.4 V — נקודת עבודה שגויה. נגד הפולט מרים את הפולט מעל האדמה, וחייבים להחסיר גם אותו.
סעיף ב — מעגל התמורה לאות חילופין
בזרם חילופין הקבלים מהווים קצר: קבל המעקף מקצר את נגד הפולט אל האדמה, ומקור ההזנה נחשב אף הוא אדמה. מעגל התמורה כולל אפוא: בכניסה — מקור האות מול R(B) במקביל ל-h(ie); ביציאה — מקור זרם מבוקר בעוצמת h(fe)·i(b) מול R(C) במקביל ל-R(L).
RB ∥ hie = 500 kΩ ∥ 1 kΩ ≈ 0.998 kΩ
RC ∥ RL = 1 × 31 + 3 = 0.75 kΩ
סעיף ג — הגבר המתח
מתח המוצא הוא זרם המקור המבוקר כפול העכבה שהוא רואה, ומתח הכניסה הוא זרם הבסיס כפול h(ie). הסימן השלילי מבטא את היפוך הפאזה של מגבר בפולט משותף:
מדוע ההגבר צנוע יחסית: העומס 3 kΩ מקטין את נגד הקולט 1 kΩ ל-0.75 kΩ. בלי העומס היה מתקבל הגבר של -100 — וזו בדיוק הסיבה שקבל הצימוד והעומס נכנסים לחישוב האות ולא לחישוב הקיטוב.
🧪סימולציה בתוך הדף— קו העומס ונקודת העבודה
הקו הכחול הוא קו העומס והנקודה הכתומה היא נקודת העבודה. הקטינו את R(B) וראו אותה מטפסת עד שהיא נתקעת בקיר הרוויה; הגדילו אותו וראו אותה יורדת אל החתך. שינוי R(L) אינו מזיז אותה כלל — הוא נוגע רק בהגבר.▶ מעבדת המגבר בפולט משותף
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — קו העומס ונקודת העבודה.
שאלה 8 — פישוט פונקציה בוליאנית
נתונים: f(A,B,C) = A·B·C + A·C + A·B·C
סעיף א — ערך הפונקציה בצירוף נתון
נציב A=0, B=0, C=1. אז המשלים של A הוא 1, המשלים של B הוא 1, והמשלים של C הוא 0:
f = (1 · 1 · 1) + (1 · 0) + (1 · 0 · 0)
f = 1 + 0 + 0
f(0,0,1) = 1
מספיק שאיבר אחד בסכום מקבל אחד כדי שהפונקציה כולה תקבל אחד — כאן זהו האיבר הראשון.
סעיף ב — פישוט למינימום ליטרלים
המשלים של A משותף לשלושת האיברים, ולכן נוציא אותו כגורם משותף:
f = A · (B·C + C + B·C)
בתוך הסוגריים נוציא את המשלים של C כגורם משותף משני האיברים האחרונים, ונשתמש בכך שסכום של משתנה עם אחד הוא תמיד אחד:
C + B·C = C · (1 + B) = C
f = A · (B·C + C)
נותר לפשט את הסוגריים. לפי כלל הבליעה, סכום של משתנה עם מכפלה שמכילה את משלימו מוותר על המשלים:
C + B·C = C + B
f = A · (B + C) = A · B · C
f = A · (B + C) — שלושה ליטרלים
בהצגת סכום-של-מכפלות אפשר לכתוב את אותה פונקציה גם כך:
f = A·B + A·C
שתי ההצגות שקולות; הראשונה חסכונית יותר בליטרלים והשנייה נוחה יותר למימוש ישיר בשערי AND ו-OR. נוודא בטבלת אמת:
A
B
C
f
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
הפונקציה מקבלת אחד רק כאשר A הוא אפס וגם B ו-C אינם שניהם אחד — בדיוק מה שאומרת הצורה המפושטת.
סעיף ג — מימוש בשערים לוגיים
הצורה המפושטת מתורגמת ישירות לשלושה שערים: שער NOT על A, שער NAND על B ועל C, ושער AND שמכפיל את שני המוצאים:
f = A · B · C → NOT(A) → AND ← NAND(B, C)
💡
אפשרות שקולה: מימוש הצורה השנייה דורש שלושה שערי NOT, שני שערי AND ושער OR — שישה שערים במקום שלושה. זה בדיוק מה שמרוויחים מן הפישוט לפני המימוש.
🧪סימולציה בתוך הדף— שלושת השערים של הצורה המפושטת, חיים
לחצו על הביטים והחוטים ייצבעו: ירוק הוא אחד, אפור הוא אפס. לצד התרשים מוצגות שתי הפונקציות זו לצד זו — המקורית בת שלושת האיברים והמפושטת בת שלושת השערים. עברו על כל שמונה הצירופים; הן לעולם לא ייפרדו.▶ המעבדה הספרתית — מפת קרנו
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שלושת השערים של הצורה המפושטת, חיים.
פרק שלישי — אנגלית טכנית · שאלות 9–10
שאלות 9–10 — אנגלית טכנית
שתי השאלות האחרונות נשענות על קטעי קריאה באנגלית המצורפים לשאלון בנספחים א׳ ו-ב׳: שאלה 9 עוסקת באנרגייה סולרית, ושאלה 10 בבית חכם. בכל שאלה ארבעה סעיפים, והנבחן עונה על אחת מהן בלבד.
💡
שלושה כללים שמזכים בניקוד המלא: עונים בעברית ולא באנגלית; מסתמכים רק על הכתוב בקטע ולא על ידע כללי; ולכל סעיף מציינים את מספרי השורות בקטע שעליהן מבוססת התשובה — סעיף בלי מספרי שורות מאבד ניקוד גם אם תוכנו נכון.
מכיוון שהתשובות נגזרות ישירות מנוסח הקטעים המצורפים, אין כאן פתרון מספרי לצטט. עברו על הקטע, סמנו בו את השורות הרלוונטיות לכל סעיף, וכתבו תשובה קצרה ומדויקת המפנה אליהן.