פרק 15 · נספח

נוסחאון הספר

בנספח הזה ריכזנו את כל נוסחאות הספר במקום אחד, מסודרות לפי הפרקים: לכל נושא סרטוט, הנוסחאות, וטבלה שמסבירה כל סמל. הנוסחאון מיועד לפתרון תרגילים, לחזרה לפני הבחינה ולעבודה בפרויקט — ואילו תנאי השימוש בכל נוסחה, הדוגמאות הפתורות והתוכניות שלה נמצאים בפרק שלה.

מערכת בקרה

חוג סגור: החיישן מחזיר את הערך המצוי לנקודת ההשוואה, וההפרש הוא השגיאה

השגיאה בחוג סגור

e = r − y

סימן	משמעות	יחידת מידה
r	הערך הרצוי: מה שהמשתמש קובע	—
y	הערך המצוי, כפי שהחיישן מודד אותו	—
e	השגיאה: ההפרש בין הרצוי למצוי, ביחידות הגודל המבוקר (למשל °C)	—

רוחב אזור ההיסטרזיס

ΔT = T_OFF − T_ON

סימן	משמעות	יחידת מידה
T_ON	ערך ההפעלה: מתחתיו המפעיל פועל	[°C]
T_OFF	ערך ההפסקה: מעליו המפעיל מפסיק	[°C]
ΔT	רוחב האזור המת בין שני הערכים, שבו מצב המפעיל אינו משתנה	[°C]

תדר הדגימה

f_s = 1T_s

סימן	משמעות	יחידת מידה
T_s	זמן הדגימה: הזמן בין שתי קריאות עוקבות	[s]
f_s	תדר הדגימה: מספר הקריאות בשנייה	[Hz]

הזרם של עומס התנגדותי

I = PV

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	הספק העומס	[W]
V	מתח ההזנה	[V]
I	זרם העומס	[A]

מערך גולמי לטמפרטורה

T = N·T_maxN_max

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הערך הגולמי מן הממיר התקבילי-ספרתי	—
N_max	הערך הגולמי הגדול ביותר (1023 ב-Uno)	—
T_max	הטמפרטורה שמתאימה ל-N_max: סוף התחום של "החיישן"	[°C]
T	הטמפרטורה	[°C]

מאפייני חיישנים ומדידה

תחום המדידה: מ-x_min עד x_max

פונקציית התמסורת של החיישן LM35

רוחב התחום

FS = x_max − x_min

סימן	משמעות	יחידת מידה
x_min	הערך הקטן ביותר שהחיישן מודד לפי גיליון הנתונים	—
x_max	הערך הגדול ביותר שהחיישן מודד לפי גיליון הנתונים	—
FS	רוחב התחום (סקאלה מלאה), ביחידות הגודל הנמדד	—

פונקציית התמסורת של LM35

V_out = 10 mV/°C · T

T = V_out10 mV/°C

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	הטמפרטורה	[°C]
V_out	מתח המוצא של החיישן: כל מעלה צלזיוס מעלה את המוצא ב-10 mV (הרגישות של LM35)	[mV]

רזולוציה ביחידות הגודל הנמדד

ΔV = V_ref2ⁿ

Δx = ΔVS

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΔV	הרזולוציה של הממיר: המתח של מדרגה אחת	[V]
V_ref , n	מתח הייחוס, ומספר הסיביות של הממיר	[V]
S	רגישות החיישן: השינוי במוצא לכל יחידה של הגודל הנמדד	—
Δx	השינוי הקטן ביותר בגודל הנמדד שהקריאה מבחינה בו	—

מבואות ספרתיים

רמות המתח במבוא ספרתי: Arduino Uno ב-5 V ו-ESP32 ב-3.3 V

ספי מבוא ספרתי ב-ATmega328P (Uno)

V_IH = 0.6·V_CC

V_IL = 0.3·V_CC

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_IH	המתח הקטן ביותר שנקרא בוודאות HIGH	[V]
V_IL	המתח הגדול ביותר שנקרא בוודאות LOW	[V]
V_CC	מתח ההזנה של הבקר, 5 V ב-Uno	[V]

ספי מבוא ספרתי ב-ESP32

V_IH = 0.75·V_DD

V_IL = 0.25·V_DD

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_IH	המתח הקטן ביותר שנקרא בוודאות HIGH	[V]
V_IL	המתח הגדול ביותר שנקרא בוודאות LOW	[V]
V_DD	מתח ההזנה של ESP32: ‏3.3 V	[V]

נגד משיכה למעלה חיצוני במבוא ספרתי

הזרם בנגד משיכה למעלה או למטה בלחיצה

I = V_CCR

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	נגד המשיכה למעלה או למטה (בפרק 14: R_PU)	[Ω]
V_CC	מתח ההזנה	[V]
I	הזרם בנגד כשהלחצן לחוץ	[A]

חיישן ספרתי שעובד ב-5 V מחובר להדק של ESP32 דרך מחלק מתח

מחלק מתח

V_out = V_in·R₂R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_in	מתח המוצא של החיישן	[V]
V_out	המתח בהדק הבקר	[V]
R₁ , R₂	הנגד בטור, והנגד אל GND	[Ω]

אות תעשייתי מבודד במצמד האופטי לפני ההדק של הבקר

המצמד האופטי

R_LED = V_in − V_FI_F

CTR = I_CI_F

CTR·I_F ≥ V_CC − V_CE,satR_PU

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_in	מתח האות במבוא המצמד	[V]
V_F , I_F	המתח הקדמי והזרם הקדמי של ה-LED שבמצמד	[V] , [A]
CTR	יחס העברת הזרם מגיליון הנתונים	—
I_C	הזרם בטרנזיסטור של המצמד	[A]
V_CE,sat	מתח הרוויה של הטרנזיסטור	[V]
R_PU	נגד המשיכה למעלה בהדק הבקר	[Ω]
CTR·I_F	השורה השלישית היא תנאי הרוויה: הזרם שהטרנזיסטור נותן גדול מהזרם ש-R_PU דורש	[A]

מוצא TACH של מאוורר מחובר להדק פסיקה עם נגד משיכה למעלה

מהירות סיבוב מתוך הפולסים

n = 60·Np

סימן	משמעות	יחידת מידה
n	מהירות הסיבוב	[rpm]
N	מספר הפולסים בשנייה אחת	—
p	מספר הפולסים בכל סיבוב	—

מבואות תקביליים

הערך הגולמי במדרגות: רוחב כל מדרגה Δ V

ממיר תקבילי-ספרתי

N_max = 2ⁿ − 1

Δ V = V_ref2ⁿ

V = N·V_refN_max

N = V·N_maxV_ref

סימן	משמעות	יחידת מידה
n , N	מספר הסיביות של הממיר · הערך הגולמי (מ-0 עד N_max)	—
2ⁿ	מספר הרמות של הממיר	—
N_max	הערך הגולמי הגדול ביותר: 1023 ב-Uno, 4095 ב-ESP32	—
V , V_ref	המתח במבוא · מתח הייחוס (המתח הגבוה ביותר שהממיר מודד)	[V]
Δ V	רזולוציה: רוחב מדרגה אחת	[V]
N	בשורה הרביעית לוקחים רק את החלק השלם	—

נגד תלוי-טמפרטורה (NTC) בחלק התחתון של מחלק המתח, ונגד קבוע R_F בחלק העליון

מחלק מתח, החיישן למטה

V_out = V_CC·R_SR_F + R_S

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_out	המתח בנקודת החיבור, אל המבוא התקבילי	[V]
R_S , R_F	התנגדות החיישן (למטה) · הנגד הקבוע (למעלה)	[Ω]

חיישני טמפרטורה

הקריאה T_m כפונקציה של הטמפרטורה האמיתית T: מדרגות ברוחב ΔT

רזולוציה במעלות (LM35)

ΔT = V_ref2ⁿ · 10 mV/°C

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΔT	השינוי הקטן ביותר בטמפרטורה שהקריאה מבחינה בו	[°C]
V_ref , n	מתח הייחוס של הממיר, ומספר הסיביות שלו	[V]

חיישני אור

הנגד התלוי-אור למעלה, והנגד הקבוע למטה

מחלק מתח עם נגד תלוי-אור

V_out = V_CC·R_FR_F + R_LDR

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_out	המתח במבוא התקבילי	[V]
V_CC	מתח ההזנה (5 V ב-Uno)	[V]
R_F	הנגד הקבוע (אל האדמה)	[Ω]
R_LDR	התנגדות הנגד התלוי-אור (אל ההזנה)	[Ω]

הערך הגולמי ב-Uno

N = V_out·10235

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_out	המתח במבוא התקבילי	[V]
N	הערך הגולמי (החלק השלם), כאשר V_ref = 5 V ו-N_max = 1023	—

מדידת מרחק בשיטת ההד

המשדר T שולח את הפולס, והמקלט R קולט את ההד

מרחק בשיטת ההד

d = v·t2

סימן	משמעות	יחידת מידה
d	המרחק בין החיישן לגוף	[m]
t	זמן ההלוך ושוב, שהוא רוחב הפולס בהדק ECHO	[s]
v	מהירות הקול באוויר, כ-343 m/s	[m/s]

מקרה פרטי: הקיצור בתוכנית

v = 343 m/s

d[cm] ≈ t[µs]58

t[µs] ≈ 58·d[cm]

סימן	משמעות	יחידת מידה
v	השורה הראשונה היא התנאי: מהירות הקול באוויר; אז מספיק לחלק את זמן ההד ב-58	[m/s]
d	המרחק בסנטימטרים	[cm]
t	זמן ההד במיקרו-שניות	[µs]

חיישנים תעשייתיים

עקרון הפעולה של מפסק לחץ

הפרש המיתוג של מפסק לחץ

P_on = P_off − ΔP

סימן	משמעות	יחידת מידה
P_off	הלחץ שבו המפסק מנתק	[bar]
ΔP	הפרש המיתוג: ההיסטרזיס שמונע חיבור וניתוק מהירים	[bar]
P_on	הלחץ שבו הוא חוזר לפעול	[bar]

לולאת זרם 4–20 mA: הספק, המשדר, התנגדות הגידים ונגד המדידה

מזרם הלולאה לגודל הנמדד

x = x_min + I − 416·(x_max − x_min)

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	זרם הלולאה	[mA]
x	הגודל הנמדד ביחידות הנדסיות	[bar, °C, m]
x_min	תחילת התחום של המשדר (ב-4 mA)	[bar, °C, m]
x_max	סוף התחום של המשדר (ב-20 mA)	[bar, °C, m]

המתח על נגד המדידה והערך הגולמי

V = I·R_sh

V = N·51023

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_sh	נגד המדידה, בדרך כלל 250 Ω	[Ω]
I	זרם הלולאה	[A]
V	המתח על נגד המדידה, שהוא המתח במבוא התקבילי	[V]
N	הערך הגולמי ב-Uno	—

מדידת זרם, מתח והספק

מדידת מתח גבוה מתחום הממיר: המחלק R₁, R₂ אל ההדק A0

מן הערך הגולמי אל המתח הנמדד

V_pin = N·V_refN_max

V_in = k·V_pin

k = R₁ + R₂R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הערך הגולמי (V_ref = 5 V, N_max = 1023 בכרטיס Uno)	—
V_pin	המתח על ההדק (על R₂)	[V]
V_in	המתח שאנו מודדים, לפני המחלק	[V]
k	מקדם החלוקה	—
R₁ , R₂	נגדי המחלק: R₂ הוא הנגד אל האדמה	[Ω]

פונקציית ההעברה של החיישן ACS712 (הדגם 5 A)

המרת מוצא ACS712 לזרם

I = V_out − V₀S

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_out	מתח המוצא, מן הערך הגולמי	[V]
V₀	מתח האפס: המוצא בזרם אפס, כ-2.5 V	[V]
S	הרגישות: 0.185 V/A בדגם 5 A	[V/A]
I	הזרם הנמדד (חיובי או שלילי)	[A]

הספק בעומס זרם ישר

P = V·I

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	ההספק	[W]
V	המתח על העומס	[V]
I	הזרם בעומס	[A]

הפעלת עומסים

שלוש נוריות על הדקי הבקר, כל אחת עם הנגד שלה

נגד טורי לנורית (נורית חיווי)

R = V_CC − V_FI_F

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	התנגדות הנגד שבטור עם ה-LED	[Ω]
V_CC	מתח ההדק במצב HIGH (5 V ב-Uno)	[V]
V_F , I_F	המתח הקדמי והזרם הקדמי של ה-LED	[V] , [A]

מחזור עבודה 25%

מחזור עבודה 75%

מחזור עבודה ב-Arduino

D = t_onT

D = N255

P_avg = D·P

סימן	משמעות	יחידת מידה
D	מחזור העבודה (נכתב גם באחוזים)	—
t_on , T	זמן ההדלקה וזמן המחזור	[s]
N	הערך ב-analogWrite(pin, N), מ-0 עד 255	—
P_avg , P	ההספק הממוצע של העומס, וההספק שלו כשהוא פועל כל הזמן	[W]

ההדק מניע את הטרנזיסטור דרך נגד הבסיס, והטרנזיסטור מפעיל את סליל הממסר; דיודת החופש על הסליל

זרם הסליל של הממסר וההספק שלו

I_coil = V_coilR_coil

P_coil = V_coil²R_coil

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_coil	המתח הנקוב של הסליל	[V]
R_coil	התנגדות הסליל	[Ω]
I_coil	זרם הסליל	[A]
P_coil	ההספק שהסליל צורך	[W]

מנועים

זרם התנעה (הציר עומד)

I_st = V_MR_M

סימן	משמעות	יחידת מידה
I_st	זרם ההתנעה: הזרם כאשר הציר עומד	[A]
V_M	מתח המקור של המנוע	[V]
R_M	התנגדות סליל המנוע; מודדים אותה באוהממטר בין הדקיו	[Ω]

שלושה מחזורי עבודה באותו תדר; הקו המקווקו הוא המתח הממוצע על המנוע

מחזור עבודה ומתח ממוצע

D = t_onT

V_avg = D·V_M

D = x255

סימן	משמעות	יחידת מידה
D	מחזור העבודה (נכתב גם באחוזים)	—
t_on	זמן הפולס בכל מחזור (המפסק סגור)	[ms]
T	זמן המחזור: T = 1f	[ms]
V_avg	המתח הממוצע על המנוע	[V]
x	הערך שנכתוב בפונקציה analogWrite(), מ-0 עד 255	—

האות של מנוע סרוו: זמן מחזור קבוע, ורוחב הפולס קובע את הזווית

רוחב פולס וזווית

t_p = t_min + θ180°·(t_max − t_min)

סימן	משמעות	יחידת מידה
t_p	רוחב הפולס	[µs]
θ	הזווית הרצויה	[°]
t_min	רוחב הפולס ב-0°	[µs]
t_max	רוחב הפולס ב-180°	[µs]

זווית צעד

θ_s = 360°N_rev

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ_s	זווית הצעד	[°]
N_rev	מספר הצעדים בסיבוב אחד	—

מפעילים תעשייתיים

זרם של עומס התנגדותי או של סליל

I = PU

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	הספק העומס או הספק הסליל	[W]
U	המתח	[V]
I	הזרם	[A]

המיכל, המצופים והמשאבה

נפח המים בין שני המצופים

V = A·(h_H − h_L)

סימן	משמעות	יחידת מידה
h_L , h_H	הגובה של המצוף התחתון LOW ושל המצוף העליון HIGH	[m]
A	שטח הבסיס של המיכל	[m²]
V	נפח המים בין שני המצופים	[m³]

חיווי ותצוגה

זמן המחזור של צליל הזמזם

T_p = 1f

סימן	משמעות	יחידת מידה
f	תדר הצליל	[Hz]
T_p	זמן המחזור של הגל המרובע (מחזור העבודה שלו 50 %)	[s]

המרת הערך הגולמי של LM35 למעלות

T = N·5001023

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הערך הגולמי במבוא התקבילי ב-Uno	—
T	הטמפרטורה: 5 V חלקי 10 mV/°C נותן את המספר 500	[°C]

הספרות בתצוגת שבעה מקטעים

קוד הספרה באנודה משותפת

CA = 127 − CC

סימן	משמעות	יחידת מידה
CC	הבית של הספרה בתצוגה עם קתודה משותפת: סיבית 0 למקטע a … סיבית 6 למקטע g, ו-1 = מואר	—
CA	הבית של אותה ספרה בתצוגה עם אנודה משותפת: שבע הסיביות הפוכות	—

זיכרון התמונה של OLED

buffer = W·H8

סימן	משמעות	יחידת מידה
W , H	רוחב הצג וגובהו בפיקסלים	—
buffer	גודל זיכרון התמונה בבתים: כל פיקסל הוא סיבית אחת	—

הפרויקט המסכם: שער החניון

מבט מלמעלה על כניסת החניון: חיישן הכניסה לפני הזרוע, קרן הבטיחות אחריה, וחיישן היציאה

מקומות פנויים

free = CAPACITY − cars

סימן	משמעות	יחידת מידה
CAPACITY	מספר המקומות בחניון (קבוע בתוכנית)	—
cars	מספר המכוניות בחניון כעת	—
free	מספר המקומות הפנויים	—

פסק הזמן לתנועה

t_max = 1.5·t_move

סימן	משמעות	יחידת מידה
t_move	זמן התנועה של הזרוע, נמדד בדגם	[s]
t_max	פסק הזמן: אם התנועה לא הסתיימה בתוכו, המערכת עוברת למצב תקלה	[s]

זמן קטיעת הקרן על ידי מכונית

t = L_carv

סימן	משמעות	יחידת מידה
L_car	אורך המכונית	[m]
v	מהירות המכונית	[m/s]
t	הזמן שבו קרן הבטיחות נשארת קטועה	[s]