על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, בגרות קיץ תשע״ז 2017. במבחן המקורי נדרש הנבחן לענות על שתי שאלות מהפרק הראשון, שתי שאלות מהפרק השני ושאלה אחת מהפרק השלישי; במסמך זה נפתרו כל עשר השאלות במלואן. השאלון בנוי משלושה פרקים: תורת החשמל (שאלות 1–4), זרם חילופין (שאלות 5–8) ומערכות ספרתיות (שאלות 9–10).
שאלה 1 — משפט תבנין
נתונים: E = 80V · R₁ = R₂ = R₃ = 12kΩ · RL מחובר בין A ל-B
💡
מבנה המעגל: הנגד R₁ מחובר בין המקור לצומת A, והנגדים R₂ ו-R₃ מחוברים בטור זה לזה ויוצרים ענף שני בין הצומת A להדק B. נגד העומס RL מחובר בין ההדקים A ו-B.
סעיף א — מעגל תבנין שקול עבור RL
לפי משפט תבנין, כל רשת ליניארית הנראית משני הדקים ניתנת להחלפה במקור מתח שקול אחד בטור עם נגד שקול אחד. מעגל התבנין השקול הוא מקור מתח Uth בטור עם התנגדות פנימית Rth, וההדקים A–B שאליהם מתחבר נגד העומס RL.
סעיף ב — התנגדות תבנין Rth
מנתקים את RL, מקצרים את מקור המתח E ומחשבים את ההתנגדות הנראית מההדקים A–B. במצב זה R₁ מקביל לצירוף הטורי R₂ + R₃:
מבנה המעגל: בין הצמתים B ו-C שני ענפים מקבילים — R₅ + R₆ בטור וכן R₃ + R₄ בטור. הנגד R₂ מחובר בין A ל-B, הנגד R₇ מחובר דרך המפסק S₁ בין A ל-C, והמפסק S₂ נמצא בין R₁ לצומת A. הצומת C מוארק ומחובר להדק השני של המקור.
סעיף א — המפסקים S₁ ו-S₂ פתוחים
ההתנגדות בין B ל-C היא צירוף מקבילי של שני הענפים הטוריים:
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שני המפסקים והתנגדות המקור.
שאלה 3 — מעגל קבלים
נתונים: 6 קבלים זהים · εr = 5 · A = 0.5 m2 · d = 1cm = 0.01m
💡
מבנה המעגל: בצד שמאל שני קבלים בטור המחוברים ישירות על המקור. בצד ימין ענף טורי — קבל עליון שעליו מחובר וולטמטר, ובטור אליו צירוף מקבילי של שני קבלים בטור יחד עם קבל בודד.
סעיף א — הקיבול של כל קבל
C = ε₀ · εr · Ad = 8.85 × 10-12 × 5 × 0.50.01 = 2.21 × 10-9 F
C ≈ 2.21 nF
סעיף ב — הקיבול השקול של המעגל
בענף השמאלי שני קבלים זהים בטור. בענף הימני שני הקבלים הטוריים נותנים C/2, ובמקביל אליהם קבל בודד C, והצירוף מחובר בטור לקבל העליון:
C₁ = C2 = 0.5C
C₂ = C2 + C = 1.5C
C₃ = C × 1.5CC + 1.5C = 1.5C22.5C = 0.6C
Ceq = 0.5C + 0.6C = 1.1C = 1.1 × 2.21 = 2.43 nF
Ceq ≈ 2.43 nF
סעיף ג — מתח המקור E כאשר הוולטמטר מראה 30V
הוולטמטר מודד את המתח על הקבל העליון בענף הימני. בענף טורי המטען זהה בשני חלקי הענף:
Q = C × 30 = 30C
U₂ = Q1.5C = 30C1.5C = 20 V
E = 30 + 20 = 50 V
E = 50 V
🧪סימולציה בתוך הדף— קיבול מן הגאומטריה ומתח המקור
שנו את המרווח d או את החומר הדיאלקטרי וראו איך כל ששת הקבלים משתנים יחד — ואילו מתח המקור E אינו משתנה, כי C מצטמצם ביחס שבין המתחים.▶ פתח את מעבדת הקבלים
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — קיבול מן הגאומטריה ומתח המקור.
שאלה 4 — רשת תלת-מופעית
נתונים: U(קווי) = 400V · f = 50Hz · מנוע P = 15kW, cos φ = 0.8 השראותי · גוף חימום R = 35 Ω בכוכב · קבלים C = 40µF במשולש
סעיף א — הזרמים I₁ ו-I₂
זרם המנוע נקבע מהספקו כעומס תלת-מופעי:
I₁ = P√3 · U(קווי) · cos φ = 150001.732 × 400 × 0.8 = 27.06 A
גוף החימום מחובר בכוכב, ולכן על כל נגד שורר המתח המופעי, וזרם הקו שווה לזרם המופעי:
U(מופעי) = U(קווי)√3 = 4001.732 = 230.9 V
I₂ = U(מופעי)R = 230.935 = 6.6 A
I₁ ≈ 27.1 A ; I₂ ≈ 6.6 A
סעיף ב — קריאת האמפרמטרים A₁ ו-A₂
הקבלים מחוברים במשולש, ולכן על כל קבל שורר המתח הקווי. האמפרמטר A₂ מחובר בקו ההזנה של סוללת הקבלים ולכן מודד זרם קו; האמפרמטר A₁ מחובר בטור לקבל אחד בתוך המשולש ולכן מודד זרם מופעי:
XC = 12π f C = 12π × 50 × 40 × 10-6 = 79.58 Ω
I(מופעי) = U(קווי)XC = 40079.58 = 5.03 A
I(קווי) = √3 · I(מופעי) = 1.732 × 5.03 = 8.71 A
A₁ ≈ 5.03 A ; A₂ ≈ 8.7 A
סעיף ג — הזרם I₄ בקו ההזנה
מחברים את ההספקים של כל העומסים. תחילה ההספק הפעיל הכולל:
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מנוע, חימום וקבלים על אותה רשת.
🔌 פרק שני — זרם חילופין
שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין
נתונים: UR = 3V · UL = 12V · UC = 8V · I = 2A · f = 50Hz
סעיף א — מתח המקור U
במעגל טורי המתח על הסליל מקדים את הזרם ב-90° והמתח על הקבל מפגר אחריו ב-90°, ולכן מחסרים אותם זה מזה, ואת ההפרש מחברים וקטורית למתח על הנגד:
U = √UR2 + (UL - UC)2 = √32 + (12 - 8)2 = √25 = 5 V
U = 5 V
סעיף ב — התנגדות הנגד, השראות הסליל וקיבול הקבל
R = URI = 32 = 1.5 Ω
XL = ULI = 122 = 6 Ω → L = XL2π f = 6314.16 = 0.0191 H
XC = UCI = 82 = 4 Ω → C = 12π f XC = 1314.16 × 4 = 7.96 × 10-4 F
R = 1.5 Ω ; L ≈ 19.1 mH ; C ≈ 796 µF
סעיף ג — דיאגרמה פאזורית של המתחים
מסרטטים את פאזור הזרם I כציר הייחוס האופקי. המתח UR בפאזה עם הזרם, המתח UL מקדים אותו ב-90° כלפי מעלה, והמתח UC מפגר אחריו ב-90° כלפי מטה. ההפרש UL − UC מצביע כלפי מעלה, ומתח המקור הוא היתר של משולש שניצביו 3V ו-4V:
φ = arctan(UL - UCUR) = arctan(43) = 53.13°
המעגל השראותי — הזרם מפגר אחרי מתח המקור בזווית של כ-53°.
φ = 53.13° (המעגל השראותי)
סעיף ד — הספקים ומשולש ההספקים
ההספק בכל אחד ממרכיבי המעגל:
P(R) = UR · I = 3 × 2 = 6 W
Q(L) = UL · I = 12 × 2 = 24 var
Q(C) = UC · I = 8 × 2 = 16 var
הניצב האופקי במשולש ההספקים הוא ההספק הפעיל, הניצב האנכי הוא ההספק ההיגבי השקול, והיתר הוא ההספק המדומה:
Q = Q(L) - Q(C) = 24 - 16 = 8 var
S = U · I = 5 × 2 = 10 VA
S = √62 + 82 = 10 VA ✓
P = 6 W ; Q = 8 var ; S = 10 VA
🧪סימולציה בתוך הדף— בניית המעגל מתוך שלוש מדידות מתח
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — בניית המעגל מתוך שלוש מדידות מתח.
שאלה 6 — מעגל RLC טורי בתהודה
נתונים: BW = 1kHz · Q₀ = 10 · U = 250V · L = 500mH = 0.5H
סעיף א — התדירות הזוויתית בתהודה
f₀ = BW · Q₀ = 1000 × 10 = 10000 Hz
ω₀ = 2π f₀ = 2π × 10000 = 62832 rad/s
f₀ = 10 kHz ; ω₀ ≈ 62832 rad/s
סעיף ב — המתחים UL ו-UC
בתהודה טורית המתח על הסליל ועל הקבל גדול פי גורם הטיב ממתח המקור:
UL = UC = Q₀ · U = 10 × 250 = 2500 V
UL = UC = 2500 V
סעיף ג — התנגדות הנגד R וקיבול הקבל C
מנוסחת גורם הטיב של מעגל טורי, ומתנאי התהודה:
R = ω₀ · LQ₀ = 62832 × 0.510 = 3141.6 Ω
C = 1ω₀2 · L = 1628322 × 0.5 = 5.07 × 10-10 F
R ≈ 3142 Ω ≈ 3.14 kΩ ; C ≈ 0.507 nF
סעיף ד — הזרם הזורם במעגל
בתהודה ההיגבים XL ו-XC מבטלים זה את זה, והעכבה שווה להתנגדות בלבד:
I = UR = 2503141.6 = 0.0796 A
I ≈ 79.6 mA
🧪סימולציה בתוך הדף— תהודה מרוחב הסרט ומן הטיב
הגדילו את הטיב Q₀ כשרוחב הסרט קבוע וראו את תדר התהודה עולה, f₀ = BW·Q₀ — והעקומה מתחדדת סביבו.▶ פתח את מעבדת RLC — תהודה
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — תהודה מרוחב הסרט ומן הטיב.
שאלה 7 — מעגל על מטריצה וזיהוי נגדים לפי קוד צבעים
נתונים: ספק כפול · E₁ = 40V · E₂ = 30V · חמישה נגדים מזוהים בקוד צבעים
⚠️
קריאת הנתונים מהאיור: ערכי הנגדים זוהו לפי פסי הצבע, כשהפס הרביעי, זהב, מציין דיוק ±5%, ומתחי הספקים נקראו מצגי ספק הכוח הכפול — 40V ליחידה השמאלית ו-30V ליחידה הימנית.
זיהוי הנגדים לפי פסי הצבע:
הנגד
פסי הצבע
חישוב
ערך
R₁
כחול, אפור, חום, זהב
68 × 10
680 Ω
R₂
אדום, אדום, אדום, זהב
22 × 100
2.2 kΩ
R₃
אפור, אדום, חום, זהב
82 × 10
820 Ω
R₄
ירוק, חום, אדום, זהב
51 × 100
5.1 kΩ
R₅
חום, שחור, אדום, זהב
10 × 100
1 kΩ
סעיף א.1 — סרטוט המעגל החשמלי
מעקב אחר החיווט על המטריצה מראה מעגל בעל שני חוגים עם ענף משותף. ההדק החיובי של E₁ מחובר דרך R₁ לצומת A וההדק השלילי דרך R₂ לצומת B; ההדק החיובי של E₂ מחובר דרך R₄ לצומת B וההדק השלילי דרך R₃ לצומת A; והנגד R₅ מחובר בענף המשותף בין הצמתים A ו-B.
סעיף א.2 — ההספק בנגד R₄
נסמן U = V(A) − V(B) את המתח בין הצמתים, ונרשום משוואת זרמים לצומת A — הזרם הנכנס מענף E₁ שווה לסכום הזרמים היוצאים דרך R₅ ודרך הענף של E₂:
E₁ - UR₁ + R₂ = UR₅ + U + E₂R₃ + R₄
40 - U2880 = U1000 + U + 305920 → U = 5.82 V
הזרם בענף של E₂ זורם דרך R₃ ודרך R₄:
I(R₄) = U + E₂R₃ + R₄ = 5.82 + 305920 = 0.00605 A = 6.05 mA
נוודא את משוואת הצומת:
I(R₁) = 40 - 5.822880 = 11.87 mA ; I(R₅) = 5.821000 = 5.82 mA
11.87 ≈ 6.05 + 5.82 ✓
P(R₄) = I2 · R₄ = 0.006052 × 5100 = 0.187 W
P(R₄) ≈ 0.19 W = 187 mW
סעיף ב — מנתקים את הנגד R₅ שבענף AB
לאחר ניתוק R₅ נותר חוג טורי יחיד שבו שני המקורות פועלים באותו כיוון ומסייעים זה לזה, וכל ארבעת הנגדים מחוברים בטור. הזרם דרך R₁ לפי חוק המתחים של קירכהוף בחוג יחיד:
הסבר: שני חלקי המסלול המגנטי מחוברים בטור ולכן המיאונים מתחברים. אף שחריץ האוויר קצר מאוד, המיאון שלו גדול פי עשרה בקירוב מזה של הברזל, בגלל החדירות הנמוכה של האוויר.
סעיף ב — השטף המגנטי בליבת המעגל
על הליבה סליל בעל N = 600 כריכות שבו זורם זרם I = 2 A:
N · I = 600 × 2 = 1200 AT
Φ = N · IRₘ = 12002.04 × 107 = 5.88 × 10-5 Wb
Φ ≈ 58.8 µWb
סעיף ג — השדה המגנטי של המעגל
B = ΦA = 5.88 × 10-564 × 10-6 = 0.92 T
B ≈ 0.92 T
🧪סימולציה בתוך הדף— חריץ האוויר שולט במיאון
הזיזו את החריץ מאפס ומעלה: חצי מילימטר של אוויר כבר מוריד את השטף יותר מכל הברזל.▶ פתח את מעבדת המגנטיות
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — חריץ האוויר שולט במיאון.
📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות
שאלה 9 — פישוט ומימוש פונקציה בינארית
נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים A, B, C נתונה כביטוי משלים
סעיף א.1 — פישוט הפונקציה למינימום ליטרלים
הפונקציה הנתונה, כשקו עליון מסמן היפוך:
F(A,B,C) = A + A · C · B + B · C + B
לפי כלל הבליעה, הסכום B · C + B שווה ל-B, ולכן בתוך הסוגריים נותר:
A + B + A · B · C
לפי הכלל X + X · Y = X + Y כאשר X = A + B, האיבר A · B · C הוא בדיוק A + B · C:
A + B + A · B · C = A + B + C
לבסוף, לפי כלל דה-מורגן:
F = A + B + C = A · B · C
F = A · B · C (3 ליטרלים)
סעיף א.2 — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים
נדרשים שלושה מהפכים (רכיב 7404) ושני שערי וגם (רכיב 7408): שלושת המהפכים נותנים את המשלימים של A, B ו-C; שער הוגם הראשון מקבל את המשלימים של A ו-B; ושער הוגם השני מקבל את מוצא הראשון ואת המשלים של C, ובמוצאו מתקבלת הפונקציה.
סעיף ב — קריאת מערך השערים המשולב ורישום הביטוי במוצא
הכניסות A ו-B מחוברות לשער או (7432), מוצאו נכנס לשער וגם (7408) יחד עם הכניסה C, ומוצא שער הוגם נכנס למהפך (7404) שמוצאו הוא F. השתלשלות האותות:
A + B
(A + B) · C
F = (A + B) · C
באמצעות כלל דה-מורגן אפשר לרשום את המוצא גם בצורה:
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — הביטוי המשלים ומערך השערים.
שאלה 10 — פונקציה הנתונה במפת קרנו
נתונים: F(X,Y,Z) = 1 בתאים 0, 4, 6, 3 · מצב חופשי Φ בתא 7 · אחרת 0
סעיף א — פישוט הפונקציה למינימום ליטרלים
מבצעים קיבוצים במפה, כשהמצב החופשי בתא 7 מנוצל כ-1. קיבוץ התאים 0 ו-4 (סמיכות גלילית) מבטל את X ונותן Y · Z; קיבוץ התאים 4 ו-6 מבטל את Y ונותן X · Z; קיבוץ התאים 3 ו-7 מבטל את X ונותן Y · Z:
F = Y · Z + X · Z + Y · Z
F = Y · Z + X · Z + Y · Z
סעיף ב — ערך הפונקציה כאשר X = Y וגם Z = 1
מציבים Z = 1 בפונקציה המפושטת. האיברים Y · Z ו-X · Z מתאפסים ונותר:
F = Y · Z = Y · 1 = Y
מכיוון ש-X = Y, ערך הפונקציה שווה לערך המשותף של הכניסות: אם X = Y = 0 מתקבל F = 0, ואם X = Y = 1 מתקבל F = 1 (תא 7 — המצב החופשי שמומש כ-1).
F = X = Y
סעיף ג — מימוש הפונקציה המפושטת על גבי המערך שבנספח
נדרשים שני מהפכים (7404), שלושה שערי וגם (7408) ושני שערי או (7432). המהפכים נותנים את המשלימים של Y ושל Z; שער הוגם הראשון נותן Y · Z, השני נותן X · Z, והשלישי נותן Y · Z; שער האו הראשון מאחד את שני האיברים הראשונים, ושער האו השני מוסיף את האיבר השלישי ומפיק את הפונקציה. בכל רכיב מחוברת רגל 14 ל-VCC ורגל 7 ל-GND.