פרק 14 · נספח

נוסחאון הספר

בנספח הזה ריכזנו את כל נוסחאות הספר במקום אחד, מסודרות לפי הפרקים: לכל נושא סרטוט, הנוסחאות, וטבלה שמסבירה כל סמל. הנוסחאון מיועד לפתרון תרגילים ולחזרה לפני הבחינה — ואילו תנאי השימוש בכל נוסחה והדוגמאות הפתורות שלה נמצאים בפרק שלה.

מטען, כוח ושדה חשמלי

חוק קולון

F = k·Q₁·Q₂r²

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	הכוח החשמלי ההדדי בין שני המטענים	[N]
Q₁ , Q₂	הגודל של כל מטען	[C]
r	המרחק בין שני המטענים	[m]
k	קבוע קולון, 9·10⁹	[N·m²/C²]

עוצמת השדה החשמלי

E = Fq

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	עוצמת השדה החשמלי	[N/C]
F	הכוח הפועל על המטען הנמצא בשדה	[N]
q	המטען הנמצא בשדה	[C]

המתח החשמלי ומקורות מתח

פוטנציאל והפרש פוטנציאלים

V_A = W_Aq

V_AB = V_A − V_B

V_AB = Wq

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_A , V_B	הפוטנציאל של כל נקודה ביחס לנקודת הייחוס	[V]
V_AB	המתח — הפרש הפוטנציאלים — בין הנקודה A לנקודה B	[V]
W_A	העבודה הדרושה להעברת המטען מנקודת הייחוס אל הנקודה A	[J]
W	העבודה הדרושה להעברת המטען בין שתי הנקודות	[J]
q	המטען שהועבר	[C]

שני לוחות מקבילים מחוברים למקור מתח — שדה אחיד ביניהם

שדה אחיד בין לוחות

E = Vd

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	עוצמת השדה החשמלי בין הלוחות	[V/m]
V	המתח בין הלוחות	[V]
d	המרחק בין הלוחות	[m]

המקור המעשי: מקור אידיאלי E והתנגדות פנימית r

מתח ההדקים

V = E − I·r

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	מתח ההדקים (המתח המגיע אל הצרכן)	[V]
E	הכא"מ של המקור	[V]
I	עוצמת הזרם שהמקור מספק	[A]
r	ההתנגדות הפנימית של המקור	[Ω]

זרם חשמלי

עוצמת הזרם

I = Qt

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	עוצמת הזרם	[A]
Q	המטען שעבר דרך חתך המוליך	[C]
t	הזמן	[s]

התנגדות ומוליכות

הגדרת ההתנגדות

R = VI

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	התנגדות המוליך	[Ω]
V	המתח בין קצות המוליך	[V]
I	עוצמת הזרם העובר במוליך	[A]

מוליכות ומוליכות סגולית

G = 1R

σ = 1ρ

סימן	משמעות	יחידת מידה
G	המוליכות	[S]
R	ההתנגדות	[Ω]
σ	המוליכות הסגולית	[S·m/mm²]
ρ	ההתנגדות הסגולית	[Ω·mm²/m]

מוליך שאורכו ℓ ושטח חתכו A מחומר שהתנגדותו הסגולית ρ

התנגדות מוליך

R = ρ·ℓA

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	התנגדות המוליך	[Ω]
ρ	ההתנגדות הסגולית של חומר המוליך	[Ω·mm²/m]
ℓ	אורך המוליך	[m]
A	שטח החתך של המוליך	[mm²]

חוק אום

המעגל הבסיסי: מקור מתח ונגד

חוק אום

I = VR

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	עוצמת הזרם העובר בנגד	[A]
V	המתח בין הדקי הנגד	[V]
R	ערך ההתנגדות	[Ω]

חוקי קירכהוף

צומת: זרמים נכנסים וזרמים יוצאים

חוק הזרמים של קירכהוף

Σ I_in = Σ I_out

Σ I = 0

סימן	משמעות	יחידת מידה
Σ I_in	סכום הזרמים הנכנסים אל הצומת	[A]
Σ I_out	סכום הזרמים היוצאים מן הצומת	[A]
Σ I	הסכום האלגברי: זרם נכנס בסימן (+) וזרם יוצא בסימן (−)	[A]

חוג יחיד: מתח המקור ושני מפלי מתח

חוק המתחים של קירכהוף

Σ V = 0

Σ E = Σ I·R

סימן	משמעות	יחידת מידה
Σ V	הסכום האלגברי של כל המתחים בחוג	[V]
Σ E	הסכום האלגברי של מתחי המקורות בחוג	[V]
Σ I·R	סכום מפלי המתח על נגדי החוג	[V]

מעגל טורי, מקבילי ומעורב

שלושה נגדים בטור

שלושה נגדים במקביל

זרם ומתחים בטור

I = I₁ = I₂ = I₃

E = V₁ + V₂ + V₃

V₁ = I·R₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	זרם המעגל (הזרם שהמקור מספק)	[A]
E	מתח המקור	[V]
V₁	מפל המתח על הנגד R₁ (וכך לכל נגד)	[V]

התנגדות שקולה בטור

R_T = R₁ + R₂ + R₃ + …

I = ER_T

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_T	ההתנגדות השקולה (הכוללת)	[Ω]
R_n	כל אחד מן הנגדים המחוברים בטור	[Ω]
I	זרם המעגל	[A]
E	מתח המקור	[V]

מחלק המתח: שני נגדים בטור

כלל מחלק המתח

V₁ = V·R₁R₁ + R₂

V₂ = V·R₂R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	המתח הכולל על שני הנגדים	[V]
V₁ , V₂	המתח על R₁ ועל R₂	[V]
R₁ , R₂	שני הנגדים המחוברים בטור	[Ω]

הקו: מוליך הלוך ומוליך חזור בין המקור לצרכן

התנגדות הקו ומפל המתח

R_k = ρ·2·ℓA

ΔV = I·R_k

V_L = E − ΔV

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_k	התנגדות הקו (שני המוליכים יחד)	[Ω]
ρ	ההתנגדות הסגולית של חומר המוליך (לנחושת 0.0175)	[Ω·mm²/m]
ℓ	אורך הקו (מרחק הצרכן מן המקור)	[m]
A	שטח החתך של המוליך	[mm²]
ΔV	מפל המתח על הקו	[V]
E	המתח בתחילת הקו (אצל המקור)	[V]
V_L	המתח בסוף הקו (על הצרכן)	[V]

מתח וזרמים במקביל

E = V₁ = V₂ = V₃

I_T = I₁ + I₂ + I₃

I₁ = ER₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	מתח המקור (המתח המשותף לכל הענפים)	[V]
I_T	הזרם הכולל שהמקור מספק	[A]
I₁	זרם הענף הראשון (וכך לכל ענף, לפי חוק אום)	[A]
R₁	התנגדות הענף	[Ω]

התנגדות שקולה במקביל

1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃ + …

G_T = G₁ + G₂ + G₃ + …

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_T	ההתנגדות השקולה (הכוללת)	[Ω]
R_n	כל אחד מן הנגדים המחוברים במקביל	[Ω]
G_T	המוליכות הכוללת, G_T = 1R_T	[S]
G_n	המוליכות של כל ענף, G_n = 1R_n	[S]

נגדים שווים · שני נגדים במקביל

R_T = Rn

R_T = R₁·R₂R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_T	ההתנגדות השקולה	[Ω]
R , n	ערכו של כל אחד מן הנגדים השווים, ומספרם	[Ω]
R₁ , R₂	שני נגדים במקביל: המכפלה חלקי הסכום	[Ω]

כלל מחלק הזרם

I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

I₂ = I_T·R₁R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
I_T	הזרם הכולל הנכנס אל שני הנגדים	[A]
I₁ , I₂	הזרם ב-R₁ וב-R₂	[A]
R₁ , R₂	שני הנגדים המחוברים במקביל	[Ω]

הספק במעגל חשמלי

אנרגיה חשמלית והספק

W = V·Q

W = V·I·t

P = Wt

W = P·t

סימן	משמעות	יחידת מידה
W	האנרגיה החשמלית (העבודה)	[J]
V	המתח על הצרכן	[V]
Q	המטען שעבר בצרכן	[C]
I	עוצמת הזרם העובר בצרכן	[A]
t	זמן מעבר הזרם	[s]
P	ההספק	[W]

ההספק על הנגד

P = V·I

P = I²·R

P = V²R

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	ההספק המתפתח על הנגד	[W]
V	המתח על הנגד	[V]
I	עוצמת הזרם בנגד	[A]
R	ההתנגדות	[Ω]

הספק המקור ומאזן ההספקים

P_E = E·I

P_E = P₁ + P₂ + P₃ + …

סימן	משמעות	יחידת מידה
P_E	ההספק שהמקור מספק	[W]
E	מתח המקור	[V]
I	עוצמת הזרם היוצא מן המקור	[A]
P₁ , P₂	ההספק המתפתח על כל נגד	[W]

שיטות לפתרון מעגלים

מעגל בשני חוגים: זרמי החוגים I₁ ו-I₂ עם כיוון השעון

שיטת זרמי החוגים — הצורה הסטנדרטית

R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁

−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
R₁₁	ההתנגדות העצמית של חוג 1: סכום כל ההתנגדויות שבחוג. באותו אופן R₂₂ לחוג 2	[Ω]
R₁₂	ההתנגדות המשותפת: ההתנגדות שבענף המשותף לשני החוגים. תמיד R₂₁ = R₁₂	[Ω]
E₁₁	הסכום האלגברי של מקורות המתח בחוג 1. באותו אופן E₂₂ לחוג 2	[V]
I₁ , I₂	זרמי שני החוגים, שניהם עם כיוון השעון	[A]

פתרון מוכן לשתי המשוואות

D = R₁₁·R₂₂ − R₁₂²

I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂D

I₂ = E₂₂·R₁₁ + E₁₁·R₁₂D

סימן	משמעות	יחידת מידה
D	גודל עזר (דטרמיננטה)	[Ω²]

המעגל השקול של תבנין עם העומס R_L

משפט תבנין — זרם העומס ומתחו

I_L = E_ThR_Th + R_L

V_L = I_L·R_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
E_Th	המתח של מקור המתח השקול (מתח תבנין)	[V]
R_Th	ההתנגדות השקולה (התנגדות תבנין)	[Ω]
R_L	התנגדות העומס	[Ω]
I_L	הזרם בעומס	[A]
V_L	המתח על העומס, והוא המתח V_AB כאשר העומס מחובר	[V]

קבל לוחות, טעינה ופריקה

מבנה קבל הלוחות

מעגל הטעינה והפריקה: מצב 1 טעינה, ומצב 2 פריקה

הקיבול והמטען האגור

C = QV

Q = C·V

סימן	משמעות	יחידת מידה
C	קיבול הקבל	[F]
Q	המטען האגור על כל אחד משני הלוחות	[C]
V	המתח בין הלוחות. בסוף הטעינה הוא שווה למתח הסוללה	[V]

קיבול קבל לוחות

C = ε₀·ε_r·Ad

סימן	משמעות	יחידת מידה
C	קיבול הקבל	[F]
ε₀	המקדם הדיאלקטרי של הריק, 8.85·10⁻¹² F/m	[F/m]
ε_r	המקדם הדיאלקטרי היחסי של החומר המבודד (מספר בלי יחידה)	—
A	שטח הלוח האחד (השטח החופף)	[m²]
d	המרחק בין הלוחות	[m]

קבוע הזמן, טעינה ופריקה

τ = R·C

t = 5·τ

v_C = 0.63·E

v_C = 0.37·V₀

סימן	משמעות	יחידת מידה
τ	קבוע הזמן	[s]
R	הנגד שדרכו הקבל נטען (או נפרק)	[Ω]
C	קיבול הקבל	[F]
t	זמן הטעינה או הפריקה המלאה	[s]
v_C	המתח על הקבל אחרי τ אחד: מתחילת הטעינה (הנוסחה השלישית) או מתחילת הפריקה (הרביעית)	[V]
E , V₀	מתח המקור בטעינה, ומתח הקבל בתחילת הפריקה	[V]

השראות עצמית והמשרן

מעגל ובו מקור, מפסק, נגד וסליל

הכא"מ המושרה בסליל

e = −L·ΔIΔt

סימן	משמעות	יחידת מידה
e	הכא"מ המושרה בין הדקי הסליל	[V]
L	ההשראות העצמית של הסליל	[H]
ΔI	השינוי בזרם: הזרם בסוף פחות הזרם בהתחלה, ΔI = I₂ − I₁	[A]
Δt	הזמן שבו התרחש השינוי	[s]

הזרם במצב המתמיד

I = ER

I = ER + r

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	הזרם הקבוע אחרי תום מצב המעבר: הסליל מתנהג כתיל	[A]
E	מתח המקור	[V]
R	התנגדות המעגל	[Ω]
r	התנגדות ליפופי הסליל — הנוסחה השנייה לסליל לא אידיאלי	[Ω]

זרם חילופין ואותות מחזוריים

אות סינוסואידלי: זמן המחזור T , ערך השיא V_m וערך השיא-לשיא V_pp

תדר זוויתי

ω = 2πf

ω = 2πT

סימן	משמעות	יחידת מידה
ω	התדר הזוויתי	[rad/s]
f	התדר	[Hz]
T	זמן המחזור	[s]

הצגה מתמטית של האות הסינוסואידלי

v(t) = V_m·sin(ωt + φ)

i(t) = I_m·sin(ωt + φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v , i	הערך הרגעי של המתח ושל הזרם ברגע t	[V] , [A]
V_m , I_m	ערך השיא	[V] , [A]
ω	התדר הזוויתי	[rad/s]
φ	זווית המופע	[°]

הערך האפקטיבי של אות סינוסואידלי

V_eff = V_m2 = 0.707·V_m

I_eff = I_m2 = 0.707·I_m

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_eff , I_eff	הערך האפקטיבי של המתח ושל הזרם	[V] , [A]
V_m , I_m	ערך השיא של המתח ושל הזרם	[V] , [A]

פתרון מעגלים בזרם חילופין

היגב השראותי והיגב קיבולי

X_L = ωL = 2πfL

V_L = I · X_L

X_C = 1ωC = 12πfC

V_C = I · X_C

סימן	משמעות	יחידת מידה
X_L	ההיגב ההשראותי	[Ω]
X_C	ההיגב הקיבולי	[Ω]
f	תדר המקור	[Hz]
L	השראות הסליל	[H]
C	קיבול הקבל	[F]
ω	התדר הזוויתי, ω = 2πf	[rad/s]

עכבה · חוק אוהם מורחב

Z = VI

V = I · Z

I = VZ

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z	העכבה	[Ω]
V	הערך האפקטיבי של המתח	[V]
I	הערך האפקטיבי של הזרם	[A]

מעגל RL טורי

Z = R² + X_L²

I = VZ

V = V_R² + V_L²

φ = tan⁻¹(X_LR) = tan⁻¹(V_LV_R)

V_R = V · RZ

V_L = V · X_LZ

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z	עכבת המעגל	[Ω]
V_R	המתח על הנגד V_R = I · R , באותו מופע עם הזרם	[V]
V_L	המתח על הסליל V_L = I · X_L , מקדים את הזרם ב-90°	[V]
φ	הפרש המופע: מתח המקור מקדים את הזרם, 0° < φ < 90°	[°]
V_R , V_L	שתי הנוסחאות האחרונות: כלל מחלק המתח	[V]

מעגל RC טורי

Z = R² + X_C²

I = VZ

V = V_R² + V_C²

φ = −tan⁻¹(X_CR) = −tan⁻¹(V_CV_R)

V_R = V · RZ

V_C = V · X_CZ

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z	עכבת המעגל	[Ω]
V_R	המתח על הנגד V_R = I · R , באותו מופע עם הזרם	[V]
V_C	המתח על הקבל V_C = I · X_C , מפגר אחרי הזרם ב-90°	[V]
φ	הפרש המופע: שלילי, הזרם מקדים את מתח המקור, −90° < φ < 0°	[°]
V_R , V_C	שתי הנוסחאות האחרונות: כלל מחלק המתח	[V]

מעגל RLC טורי

מעגל RLC טורי

Z = R² + (X_L − X_C)²

I = VZ

V = V_R² + (V_L − V_C)²

φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z	עכבת המעגל	[Ω]
X	ההיגב הכולל של המעגל, X = X_L − X_C	[Ω]
V	מתח המקור. המתחים על הרכיבים: V_R = I · R , V_L = I · X_L , V_C = I · X_C	[V]
φ	הפרש המופע בין מתח המקור לזרם, חיובי או שלילי	[°]