פרק 10 · נספח

נוסחאון הספר

בנספח הזה ריכזנו את כל נוסחאות הספר במקום אחד, מסודרות לפי הפרקים: לכל נושא סרטוט, הנוסחאות, וטבלה שמסבירה כל סמל. הנוסחאון מיועד לפתרון תרגילים ולחזרה לפני הבחינה — ואילו תנאי השימוש בכל נוסחה והדוגמאות הפתורות שלה נמצאים בפרק שלה.

אותות

זמן מחזור ותדר

f = 1T

ω = 2·π·f

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן המחזור	[s]
f	התדר	[Hz]
ω	התדירות הזוויתית	[rad/s]

ערכי אות הסינוס

V_pp = 2·V_m

V_eff = V_m2

v(t) = V_m·sin(ω·t + φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_m	התנופה (ערך השיא)	[V]
V_pp	המתח משיא לשיא	[V]
V_eff	הערך היעיל	[V]
φ	המופע	[°]

הפרש מופע מהפרש זמנים

φ = ΔtT·360°

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δt	הפרש הזמנים בין שני האותות	[s]
T	זמן המחזור	[s]
φ	הפרש המופע	[°]

אות הכולל DC ו-AC

V_max = V_DC + V_m

V_min = V_DC − V_m

V_RMS = V_DC² + V_m²2

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_DC	הרכיב הישר	[V]
V_m	תנופת אות הסינוס	[V]
V_RMS	הערך היעיל הכולל	[V]

מגבר השרת — יסודות

סמל מגבר השרת והדקיו

הגבר המתח והרוויה

A_V = V_oV_i

V_o = A_OL·(V₊ − V₋)

−V_sat ≤ V_o ≤ +V_sat

V₊ > V₋ → V_o = +V_sat

V₊ < V₋ → V_o = −V_sat

סימן	משמעות	יחידת מידה
A_V	הגבר המתח	—
A_OL	הגבר החוג הפתוח (גדול מאוד)	—
V₊ , V₋	מתחי שני המבואות	[V]
±V_sat	מתחי הרוויה	[V]
V_o = ±V_sat	בחוג פתוח (בלי משוב): המוצא קופץ לרוויה לפי המבוא הגבוה מבין השניים	[V]

שני כללי הניתוח במשוב שלילי

V₊ = V₋

I₊ = I₋ = 0

סימן	משמעות	יחידת מידה
V₊ = V₋	הכלל הראשון: מתחי שני המבואות שווים	—
I₊ = I₋ = 0	הכלל השני: לא נכנס זרם למבואות	—

דציבל ורוחב פס

A_dB = 20·log|A_V|

A_V = 10^A_dB20

A_V(f_H) = A_max2 = 0.707·A_max

BW = f_H − f_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
A_dB	ההגבר בדציבלים	[dB]
A_max	ההגבר הגדול ביותר בתחום	—
f_L , f_H	תדרי חצי ההספק	[Hz]
BW	רוחב הפס	[Hz]

המגבר ההופך

A_V = −R_fR₁

V_o = −R_fR₁·V_i

R_i = R₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_f	נגד המשוב	[Ω]
R₁	נגד המבוא	[Ω]
R_i	התנגדות המבוא של המעגל כולו	[Ω]

האות הגדול ביותר ללא עיוות

V_o,max = V_sat

|A_V|·V_i,max = V_sat

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_i,max	תנופת המבוא הגדולה ביותר בלי קיטום	[V]
V_sat	מתח הרוויה	[V]

המגבר הלא-הופך והחוצץ

המגבר הלא-הופך

המגבר החוצץ (עוקב מתח)

המגבר הלא-הופך

A_V = 1 + R_fR₁

V_o = (1 + R_fR₁)·V_i

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_f	נגד המשוב	[Ω]
R₁	הנגד מן המבוא ההופך אל האדמה	[Ω]

המגבר החוצץ

A_V = 1

V_o = V_i

סימן	משמעות	יחידת מידה
A_V	ההגבר שווה אחד תמיד	—
R_i	התנגדות מבוא גדולה מאוד — אינו מעמיס את המקור	—

המגבר המסכם השלילי

המגבר המסכם השלילי בשני מבואות

הערה: כל מבוא פועל כאילו הוא מגבר הופך נפרד: המבוא ההופך הוא אדמה מדומה, ולכן מבוא אחד אינו "מרגיש" את המבוא האחר. לכן מחשבים את התרומה של כל מבוא לבדו, ואחר כך מחברים את שתי התרומות. לכל תרומה צבע משלה בנוסחאות.

המגבר המסכם השלילי

V_o1 = −R_fR₁·V₁

V_o2 = −R_fR₂·V₂

V_o = V_o1 + V_o2

V_o = −R_fR₁·V₁ −R_fR₂·V₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o1	התרומה של המבוא הראשון: מגבר הופך, כאילו V₂ = 0	[V]
V_o2	התרומה של המבוא השני: מגבר הופך, כאילו V₁ = 0	[V]
V₁ , V₂	מתחי המבוא	[V]
R₁ , R₂	נגדי המבוא	[Ω]
R_f	נגד המשוב	[Ω]

מקרה פרטי: נגדים שווים

R₁ = R₂ = R_f

V_o = −(V₁ + V₂)

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o	השורה הראשונה היא התנאי: כל הנגדים שווים; אז המוצא הוא סכום מתחי המבוא, בסימן הפוך	[V]

המגבר המסכם החיובי

המגבר המסכם החיובי בשני מבואות: שני המבואות מגיעים אל המבוא הלא-הופך

הערה: כל מבוא פועל כאילו הוא מגבר לא-הופך (שומר מופע) נפרד. מחשבים את התרומה של כל מבוא לבדו, כשהמבוא האחר מחובר לאדמה, ואחר כך מחברים את שתי התרומות. שימו לב: המבוא הלא-הופך אינו אדמה מדומה, ולכן כל מבוא משפיע על האחר — כשמחשבים את התרומה של V₁, הנגד R₂ מחובר לאדמה ויוצר עם R₁ מחלק מתח.

המגבר המסכם החיובי

V_o1 = (1 + R_fR₃)·R₂R₁ + R₂·V₁

V_o2 = (1 + R_fR₃)·R₁R₁ + R₂·V₂

V_o = V_o1 + V_o2

V_o = (1 + R_fR₃)·R₂R₁ + R₂·V₁ + (1 + R_fR₃)·R₁R₁ + R₂·V₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o1	התרומה של V₁: מחלק R₁–R₂ ואחריו מגבר לא-הופך, כאילו V₂ = 0	[V]
V_o2	התרומה של V₂: מחלק R₂–R₁ ואחריו מגבר לא-הופך, כאילו V₁ = 0	[V]
R₂R₁ + R₂	באדום — מחלק המתח: החלק של V₁ שמגיע אל המבוא הלא-הופך	—
R₁R₁ + R₂	באדום — מחלק המתח: החלק של V₂ שמגיע אל המבוא הלא-הופך	—
V₁ , V₂	מתחי המבוא	[V]
R₁ , R₂	נגדי המבוא אל המבוא הלא-הופך	[Ω]
R₃	הנגד מן המבוא ההופך אל האדמה	[Ω]
R_f	נגד המשוב	[Ω]

מקרה פרטי: נגדי מבוא שווים

R₁ = R₂

V_o = (1 + R_fR₃)·V₁ + V₂2

סימן	משמעות	יחידת מידה
R₁ = R₂	התנאי: שני נגדי המבוא שווים	—
V_o	אם גם R_f = R₃ , אז V_o = V₁ + V₂	[V]

מגבר הפרש (מגבר מחסר)

הערה: מגבר ההפרש (המגבר המחסר) הוא מגבר הופך ומגבר לא-הופך יחד: V₁ מגיע אל המבוא ההופך דרך R₁, ו-V₂ מגיע אל המבוא הלא-הופך דרך מחלק המתח R₂–R₃. מחשבים את התרומה של כל מבוא לבדו, ואחר כך מחברים את שתי התרומות.

מגבר הפרש (מגבר מחסר)

V_o1 = −R_fR₁·V₁

V_o2 = (1 + R_fR₁)·R₃R₂ + R₃·V₂

V_o = V_o1 + V_o2

V_o = −R_fR₁·V₁ + (1 + R_fR₁)·R₃R₂ + R₃·V₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o1	התרומה של V₁: מגבר הופך, כאילו V₂ = 0	[V]
V_o2	התרומה של V₂: מחלק מתח ואחריו מגבר לא-הופך, כאילו V₁ = 0	[V]
R₃R₂ + R₃	באדום — מחלק המתח R₂–R₃: החלק של V₂ שמגיע אל המבוא הלא-הופך	—
V₁	המתח על המבוא ההופך (דרך R₁)	[V]
V₂	המתח על המבוא הלא-הופך (דרך המחלק R₂–R₃)	[V]

מקרה פרטי: מגבר הפרש מאוזן

R₃R₂ = R_fR₁

V_o = R_fR₁·(V₂ − V₁)

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o	השורה הראשונה היא תנאי האיזון (בדרך כלל בוחרים R₂ = R₁ ו-R₃ = R_f). במגבר מאוזן המוצא תלוי רק בהפרש V₂ − V₁ , בהגבר R_fR₁	[V]

מגבר רב-דרגתי

שלוש דרגות הגברה בטור

ההגבר הכולל

A_V = A₁·A₂·A₃

A_dB = A_1,dB + A_2,dB + A_3,dB

סימן	משמעות	יחידת מידה
A₁ , A₂ , A₃	ההגבר של כל דרגה	—
A_V	ההגבר הכולל: מכפלת ההגברים	—
A_dB	בדציבלים: ההגברים מתחברים	[dB]

חיישנים

מחלק מתח עם חיישן

האופיין הלינארי של חיישן

a = ΔR_tΔθ = R₂ − R₁θ₂ − θ₁

R_t = R₁ + a·(θ − θ₁)

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	שיפוע הישר (ב-NTC שלילי)	[kΩ/°C]
R₁ , R₂	ההתנגדות בשתי נקודות ידועות	[kΩ]
θ	הטמפרטורה	[°C]

מתח המוצא במחלק מתח עם חיישן

V_o = V_CC·R_tR₁ + R_t

V_o = V_CC·R₁R₁ + R_t

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_t	התנגדות החיישן (תרמיסטור או נגד תלוי אור)	[Ω]
R₁	הנגד הקבוע	[Ω]
V_o	הנוסחה הראשונה כשהחיישן למטה, והשנייה כשהוא למעלה	[V]

המשווה

המשווה — מגבר שרת בלי משוב

כלל המשווה

V₊ > V₋ → V_o = +V_sat

V₊ < V₋ → V_o = −V_sat

סימן	משמעות	יחידת מידה
V₊ , V₋	מתחי שני המבואות	[V]
V_o	המוצא תמיד באחת משתי הרוויות	[V]

מתח הייחוס ורגעי ההיפוך

V_ref = V_CC·R₂R₁ + R₂

t₁ = T360°·sin⁻¹(V_refV_m)

t₂ = T2 − t₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_ref	מתח הייחוס ממחלק המתח	[V]
t₁ , t₂	רגעי ההיפוך לאות סינוס שמתחיל מאפס	[s]

נגד הגבלת הזרם לדפ"א במוצא המשווה

R = V_sat − V_LEDI_LED

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_LED	מתח הדפ"א בהולכה	[V]
I_LED	הזרם הדרוש בדפ"א	[A]

דיודות

דיודה מוליכה לפי מודל מקור המתח

V_D = V_D,on = 0.7 V

I_D = V_S − V_D,onR

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_D,on	מתח הסף (סיליקון: 0.7 V)	[V]
V_S	מתח המקור	[V]
R	הנגד בטור	[Ω]
I_D	הזרם בדיודה המוליכה	[A]

משוואת קו העבודה

I_D = V_S − V_DR

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_D	המתח על הדיודה	[V]
I_D	הזרם בה — נקודת העבודה היא חיתוך הקו עם האופיין	[A]

הנגד בטור לדפ"א

R = V_S − V_LEDI_LED

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_LED	מתח הדפ"א בהולכה	[V]
I_LED	זרם העבודה הדרוש	[A]

מייצב מתח בדיודת זנר

V_o = V_Z

I_R = V_S − V_ZR_S

I_L = V_ZR_L

I_Z = I_R − I_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_Z	מתח הזנר: המתח הקבוע על העומס	[V]
R_S	נגד הטור	[Ω]
I_R	הזרם ב-R_S	[A]
I_L	זרם העומס	[A]
I_Z	הזרם בזנר	[A]

טרנזיסטורים

מעגל פולט משותף

יחסי הזרמים

I_E = I_C + I_B

I_C = β·I_B

I_E = (β + 1)·I_B

סימן	משמעות	יחידת מידה
I_B , I_C , I_E	זרמי הבסיס, הקולט והפולט	[A]
β	הגבר הזרם	—

נקודת עבודה — נגד בסיס אל המקור

I_B = V_CC − V_BER_B

I_C = β·I_B

V_CE = V_CC − I_C·R_C

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_BE	מתח בסיס-פולט (0.7 V)	[V]
R_B , R_C	נגדי הבסיס והקולט	[Ω]

נקודת עבודה — עם נגד פולט

I_B = V_CC − V_BER_B + (β + 1)·R_E

V_CE = V_CC − I_C·R_C − I_E·R_E

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_E	נגד הפולט	[Ω]

נקודת עבודה — ממתח עצמי

I_B = V_CC − V_BER_B + (β + 1)·R_C

V_CE = V_BE + I_B·R_B

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_B	מן הקולט אל הבסיס	[Ω]

קו העבודה והתנופה המרבית

V_CE = V_CC − I_C·R_C

I_C,max = V_CCR_C

V_o,max = min(V_CC − V_CE , V_CE − V_CE,sat)

סימן	משמעות	יחידת מידה
I_C,max	זרם הרוויה על קו העבודה	[A]
V_o,max	תנופת המוצא הגדולה ביותר בלי קיטום	[V]

מעגל התמורה לאות חילופין

מגבר פולט משותף לאות חילופין

v_be = h_ie·i_b

i_c = h_fe·i_b

A_V = −h_fe·(R_C∥R_L)h_ie

R_C∥R_L = R_C·R_LR_C + R_L

R_i = R_B∥h_ie

R_o ≈ R_C

A_I = A_V·R_iR_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
h_ie	התנגדות המבוא של הטרנזיסטור	[Ω]
h_fe	הגבר הזרם לאות	—
R_C∥R_L	שני הנגדים במקביל	[Ω]
A_I	הגבר הזרם של המגבר	—

הטרנזיסטור כמתג (ברוויה)

I_C,sat = V_CC − V_CE,satR_C

I_B = V_i − V_BER_B

β·I_B > I_C,sat

R_B,max = V_i − V_BEI_B,min

I_B,min = I_C,satβ

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_CE,sat	מתח הרוויה (0.2 V)	[V]
I_C,sat	זרם הקולט ברוויה	[A]
R_B,max	נגד הבסיס הגדול ביותר שמבטיח רוויה	[Ω]

דפ"א עם טרנזיסטור

R_C = V_CC − V_LED − V_CE,satI_LED

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_LED	מתח הדפ"א בהולכה	[V]
I_LED	זרם הדפ"א (I_C,sat = I_LED)	[A]

ספקים ומייצבי מתח

תרשים המלבנים של ספק הכוח

השנאי

V_sV_p = N_sN_p

V_m = 2·V_s

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_p , V_s	המתחים היעילים הראשוני והמשני	[V]
N_p , N_s	מספרי הכריכות	—
V_m	ערך השיא במשני	[V]

היישור

V_o,m = V_m − V_D,on

V_o,m = V_m − 2·V_D,on

f_o = f

f_o = 2·f

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o,m	ערך השיא של המוצא: הנוסחה הראשונה לחצי גל (דיודה אחת), והשנייה לגשר (שתי דיודות)	[V]
f_o	תדר המוצא: שווה f בחצי גל, ו-2·f בגל שלם	[Hz]

האדווה והמייצב

V_r ≈ I_Lf_o·C

V_i,min = V_o + V_drop

I_L = V_oR_L

P_reg = (V_i − V_o)·I_L

P_L = V_o·I_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_r	מתח האדווה	[V]
C	קבל הסינון	[F]
V_drop	הפרש המתח הקטן ביותר שהמייצב דורש	[V]
P_reg	ההספק המתבזבז במייצב	[W]

רשתות RC

רשת מעבירת-נמוכים LP

רשת מעבירת-גבוהים HP

קבוע הזמן ומשוואת המעבר הכללית

τ = R·C

v(t) = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

סימן	משמעות	יחידת מידה
τ	קבוע הזמן	[s]
V₀	המתח בתחילת השלב	[V]
V_∞	המתח הסופי אילו נמשך השלב עד אינסוף	[V]
Δt	הזמן מתחילת השלב	[s]

התגובה לאות מדרגה

v_o(t) = V·(1 − e^−tτ)

v_o(t) = V·e^−tτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_o(t)	הנוסחה הראשונה לרשת LP (טעינת הקבל), והשנייה לרשת HP	[V]
V	גובה המדרגה	[V]

הערה: את התגובה לדופק פותרים במשוואה הכללית בשני שלבים: שלב בזמן הדופק (0 ≤ t ≤ t_p) ושלב אחריו, ובכל שלב קובעים מחדש את V₀ ואת V_∞. הפירוט והדוגמאות בפרק השמיני.

המרת אותות

המילה הספרתית

N = b_n−1·2ⁿ⁻¹ + ... + b₁·2¹ + b₀·2⁰

M = 2ⁿ

N_max = 2ⁿ − 1

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הערך העשרוני של המילה	—
n	מספר הסיביות	—
M	מספר הרמות	—

ממיר DAC

ΔV = V_ref2ⁿ

V_o = N·ΔV

V_FS = (2ⁿ − 1)·ΔV

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΔV	כושר ההבחנה (המדרגה)	[V]
V_ref	מתח הייחוס	[V]
V_FS	מתח הסקלה המלאה	[V]

רשת סולם R–2R

V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ

ΔV = R_fR·V_ref2ⁿ

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	נגד הרשת	[Ω]
R_f	נגד המשוב	[Ω]

ממיר ADC

ΔV = V_ref2ⁿ

N = V_iΔV

V_i,max = (2ⁿ − 1)·ΔV

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_i	מתח המבוא התקבילי	[V]
N	מילת המוצא: החלק השלם בלבד	—

זמן ההמרה בממיר "מתח מדרגות"

t_c = N·T_CLK

t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK

T_CLK = 1f_CLK

סימן	משמעות	יחידת מידה
T_CLK	זמן מחזור השעון	[s]
t_c	זמן ההמרה למילה N	[s]