פרק 9

המרת אותות

כיתה י״א · 10 שעות לימוד

קול, טמפרטורה ועוצמת אור הם אותות אנלוגיים, ואילו המחשב והבקר מבינים רק מספרים. כדי שהמחשב ימדוד טמפרטורה או יקליט קול צריך להמיר את המתח האנלוגי למילה ספרתית, וכדי שישמיע לנו מוזיקה ששמורה בזיכרונו צריך להמיר את המילים הספרתיות בחזרה למתח. בפרק הזה נכיר את שני הממירים שמקשרים בין שני העולמות, ונלמד לחשב את מתח המוצא, את המילה הספרתית ואת כושר ההבחנה.

בסוף הפרק הזה נדע:

להסביר מדוע ממירים אות אנלוגי לספרתי ולהיפך, ולסרטט תרשים מלבנים של מערכת שלמה.
להמיר מילה בינארית למספר עשרוני ולהיפך, ולחשב את מספר הרמות 2ⁿ.
לחשב את כושר ההבחנה ΔV ואת מתח המוצא V_o של ממיר ספרתי לאנלוגי לפי מילת המבוא.
לנתח ממיר מסוג רשת סולם נגדים R–2R עם מגבר שרת ולחשב את מתח המוצא שלו.
לחשב את המילה הספרתית במוצא של ממיר אנלוגי לספרתי לפי מתח המבוא.
להסביר את דרך הפעולה של ממיר "מתח מדרגות" ולחשב את זמן ההמרה.

הצורך בהמרת אותות אנלוגיים לספרתיים ולהיפך (Why Convert Signals)

בפרק 1 למדנו שאות אנלוגי הוא רציף ומקבל כל ערך, ושאות ספרתי בנוי מסיביות שערך כל אחת מהן 0 או 1. החיישנים מוציאים אותות אנלוגיים, והרמקולים והמנועים זקוקים לאותות אנלוגיים, אבל העיבוד עצמו נעשה היום במעגלים ספרתיים. לכן דרושים שני מעגלים שמעבירים את האות מעולם אחד לאחר:

ממיר אנלוגי לספרתי, A/D: מעגל שמקבל מתח אנלוגי V_i ומוציא מילה ספרתית שערכה פרופורציונלי למתח הזה. נסמן אותו ADC או A/D.

ממיר ספרתי לאנלוגי, D/A: מעגל שמקבל מילה ספרתית ומוציא מתח אנלוגי V_o שפרופורציונלי לערך המילה הזאת. נסמן אותו DAC או D/A.

תרשים מלבנים של מערכת שלמה: החיישן מוציא אות אנלוגי חלש, המגבר מגביר אותו, הממיר ADC ממיר אותו למילים ספרתיות, המעבד מעבד אותן או שומר אותן, והממיר DAC מחזיר אותן למתח אנלוגי שמפעיל את רכיב הביצוע

מדוע מעבדים את האות באופן ספרתי?:

חסינות לרעש: באות ספרתי יש שתי רמות בלבד, ולכן הפרעה קטנה במתח אינה הופכת 0 ל-1. באות אנלוגי כל הפרעה מתווספת לאות ואי אפשר להפריד אותה ממנו.
אחסון: מספרים נשמרים בזיכרון בלי להשתנות עם הזמן, ואפשר להעתיק אותם פעמים רבות בלי שיאבדו מאיכותם.
עיבוד: המעבד מבצע במספרים פעולות חשבוניות ולוגיות לפי תוכנית, ואת פעולת המערכת משנים בשינוי התוכנית בלבד, בלי לשנות את המעגל.

תזכורת: מספרים בינאריים:

מילה ספרתית: קבוצה של n סיביות שמייצגות יחד מספר אחד. לכל סיבית יש משקל שהוא חזקה של 2. הסיבית השמאלית היא הסיבית המשמעותית ביותר MSB, והסיבית הימנית היא הסיבית הפחות משמעותית LSB, ומשקלה 1.

הערך העשרוני של מילה ומספר הרמות

N = b_n−1·2ⁿ⁻¹ + ... + b₁·2¹ + b₀·2⁰

M = 2ⁿ

N_max = 2ⁿ − 1

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הערך העשרוני של המילה, ו-b₀ ... b_n−1 הסיביות שלה	—
n	מספר הסיביות	—
M	מספר הרמות: מספר המילים השונות האפשריות	—
N_max	הערך העשרוני הגדול ביותר, כאשר כל הסיביות 1	—

דוגמה 9.1

נמיר את המילה הבינארית 10110100 למספר עשרוני.

פתרון:

נכתוב את המילה מתחת למשקלות, ונחבר רק את המשקלות של הסיביות שערכן 1:

N = 2⁷ + 2⁵ + 2⁴ + 2²

N = 128 + 32 + 16 + 4 = 180

N = 180

דוגמה 9.2

נמיר את המספר העשרוני 100 למילה בינארית בת 8 סיביות.

פתרון:

בכל פעם נחפש את המשקל הגדול ביותר שאינו עולה על השארית, נחסר אותו, ונכתוב 1 במקומו:

100 − 64 = 36

36 − 32 = 4

4 − 4 = 0

השתמשנו במשקלות 64 , 32 , 4, ולכן נכתוב 1 במקומותיהם ו-0 בשאר המקומות:

100 = 01100100

שאלה 9.1: (א) מהו הערך העשרוני של המילה 01011010?
(ב) נכתוב את המספר 37 כמילה בת 8 סיביות.
(ג) כמה רמות יש למילה בת 6 סיביות?

המרת אות ספרתי לאנלוגי. חישוב מתח המוצא בתלות במילת המבוא הספרתית. כושר ההבחנה (D/A Conversion)

לממיר DAC יש n מבואות ספרתיים, מבוא לכל סיבית, ומוצא אנלוגי אחד. הממיר זקוק גם למתח ייחוס V_ref קבוע ומדויק, וממנו הוא בונה את מתח המוצא.

מילה בת n סיביות מקבלת רק 2ⁿ ערכים שונים, ולכן מתח המוצא אינו משתנה באופן רציף, אלא קופץ מרמה לרמה במדרגות שוות.

כושר הבחנה (רזולוציה): השינוי הקטן ביותר האפשרי במתח המוצא של הממיר: השיעור שבו עולה מתח המוצא כאשר מילת המבוא גדלה באחת. זהו המתח שתורמת הסיבית LSB. סימנו ΔV, והוא נקרא גם מדרגה.

כושר ההבחנה ומתח המוצא בממיר DAC

ΔV = V_ref2ⁿ

V_o = N·ΔV

V_FS = (2ⁿ − 1)·ΔV

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΔV	כושר ההבחנה: המתח של מדרגה אחת	[V]
V_ref	מתח הייחוס ( n הוא מספר הסיביות)	[V]
N	הערך העשרוני של מילת המבוא	—
V_o	מתח המוצא	[V]
V_FS	מתח הסקלה המלאה: מתח המוצא הגדול ביותר, כאשר כל הסיביות 1. הוא קטן מ-V_ref במדרגה אחת	[V]

סמל של ממיר DAC בן 4 סיביות

דוגמה 9.3

ממיר DAC בן 4 סיביות, ומתח הייחוס שלו V_ref = 8 V. נחשב:
(א) את כושר ההבחנה.
(ב) את מתח המוצא למילה 1011.
(ג) את מתח המוצא הגדול ביותר.

פתרון:

(א) כושר ההבחנה:

ΔV = V_ref2ⁿ

ΔV = 82⁴ = 816 = 0.5 V

(ב) נמיר את המילה למספר עשרוני, ואז נכפול בכושר ההבחנה:

N = 8 + 2 + 1 = 11

V_o = N·ΔV

V_o = 11·0.5 = 5.5 V

(ג) את מתח המוצא הגדול ביותר מקבלים למילה 1111:

V_FS = (2ⁿ − 1)·ΔV

V_FS = 15·0.5 = 7.5 V

ΔV = 0.5 V , V_o = 5.5 V , V_FS = 7.5 V

אם נכניס לממיר את כל המילים לפי הסדר, מאפס עד המילה הגדולה ביותר, ונסרטט את מתח המוצא, נקבל צורת מדרגות. האיור הבא מסורטט לממיר בן 3 סיביות שמתח הייחוס שלו 8 V, כלומר ΔV = 1 V.

מתח המוצא V_o לפי מילת המבוא בממיר DAC בן 3 סיביות: 8 רמות ו-7 מדרגות, והמתח הגדול ביותר הוא 7 V

שימו לב: בחלק מן השאלות לא נתון מתח הייחוס, אלא נתון מתח המוצא הגדול ביותר V_FS (כאשר כל הסיביות 1). אז מחלקים במספר המדרגות ולא במספר הרמות: ΔV = V_FS2ⁿ − 1. למשל: ממיר בן 8 סיביות שמתח המוצא הגדול ביותר שלו 5.1 V, ולכן נחשב ΔV = 5.1255 = 0.02 V = 20 mV. מתח הייחוס של הממיר הזה הוא 5.12 V, ובנוסחה הראשונה מקבלים אותה תוצאה: 5.12256 = 20 mV. קוראים בדיוק את ניסוח השאלה: אם נתון V_ref מחלקים ב-2ⁿ, ואם נתון מתח המוצא הגדול ביותר מחלקים ב-2ⁿ − 1.

השפעת מספר הסיביות: ככל שמספר הסיביות גדל, המדרגה קטנה ומתח המוצא קרוב יותר לאות רציף. הטבלה הבאה מחושבת למתח ייחוס V_ref = 10.24 V:

מספר הסיביות n	מספר הרמות 2ⁿ	כושר ההבחנה ΔV
4	16	640 mV
6	64	160 mV
8	256	40 mV
10	1024	10 mV

שאלה 9.2: ממיר DAC בן 4 סיביות שמתח הייחוס שלו 4 V. מהו כושר ההבחנה? ומהו מתח המוצא למילה 0110?

ממיר D/A מסוג רשת סולם נגדים R–2R, חישובים בממיר (R–2R Ladder DAC)

איך בונים מעגל שמתח המוצא שלו פרופורציונלי לערך המילה? הרעיון: כל סיבית תורמת למוצא שיעור שפרופורציונלי למשקלה, ואחר כך מסכמים את כל התרומות. המעגל שמסכם הוא המגבר המסכם שלמדנו בפרק 2.

הרעיון הפשוט: נגדים משוקללים:

נחבר כל סיבית אל המבוא ההופך של המגבר המסכם דרך נגד. לסיבית המשמעותית ביותר נבחר את הנגד הקטן ביותר R, ולכל סיבית שאחריה נגד כפול: 2R, 4R, 8R. כך כל סיבית מעבירה חצי מן הזרם של הסיבית שלפניה. מתח הסיבית הוא V_H כאשר ערכה 1 ו-0 V כאשר ערכה 0.

ממיר DAC בן 4 סיביות בנגדים משוקללים: מגבר מסכם שנגדיו R, 2R, 4R, 8R

דוגמה 9.4

במעגל שבאיור: R = 10 kΩ, R_f = 8 kΩ, ומתח הסיבית במצב 1 הוא V_H = 5 V. נחשב את מתח המוצא למילה 1010.

פתרון:

המבוא ההופך הוא אדמה מדומה (0 V), ולכן הזרם של כל סיבית שערכה 1 הוא מתחה חלקי הנגד שלה. במילה 1010 ערכן של שתי הסיביות b₃ ו-b₁ הוא 1:

I₃ = V_HR = 5 V10 kΩ = 0.5 mA

I₁ = V_H4R = 5 V40 kΩ = 0.125 mA

שני הזרמים מתחברים ועוברים בנגד המשוב R_f:

V_o = −R_f·(I₃ + I₁)

V_o = −8 kΩ·0.625 mA = −5 V

הסימן השלילי נובע מן המגבר ההופך.

V_o = −5 V

הערה: החיסרון של השיטה הזאת: כל סיבית דורשת נגד בערך אחר ומדויק מאוד. בממיר בן 8 סיביות הנגד הגדול ביותר הוא 128R, ושגיאה קטנה בנגד הקטן ביותר מקלקלת את תרומת הסיביות הנמוכות. לכן משתמשים בפועל ברשת שיש בה שני ערכים בלבד.

רשת סולם נגדים R–2R:

רשת סולם נגדים R–2R: רשת שבנויה מנגדים בשני ערכים בלבד: R ו-2R, שמסודרים בצורת סולם. הרשת מחלקת את זרם מקור הייחוס לשני חצאים שוב ושוב, כך שבכל "שלב" של הסולם עובר חצי מן הזרם שעובר בשלב שלפניו.

ממיר DAC בן 4 סיביות מסוג רשת סולם נגדים עם מגבר שרת. המפסקים מסורטטים למילה 1010

לכל סיבית יש מפסק דו-מצבי. כאשר ערך הסיבית 1 המפסק מחבר את הנגד 2R אל המבוא ההופך של מגבר השרת, וכאשר ערכה 0 הוא מחבר אותו אל האדמה. המבוא ההופך הוא אדמה מדומה שמתחה 0 V, ולכן:

הרעיון הראשון: בשני המצבים הקצה התחתון של הנגד 2R נמצא במתח 0 V. לכן הזרמים I₃, I₂, I₁, I₀ ברשת אינם משתנים כאשר משנים את המילה. המפסק קובע רק לאן הזרם הולך: אל המגבר (ואז הוא תורם למוצא) או אל האדמה (ואז אינו תורם).

הרעיון השני: ההתנגדות שרואים מכל צומת ימינה היא R. נתחיל מן הקצה הימני של הסולם ונפשט צעד אחר צעד:

(1) בצומת האחרון שני נגדים 2R במקביל

(2) השקול R בטור עם R

(3) שוב 2R במקביל ל-2R

2R ∥ 2R = 2R·2R2R + 2R = R

R + R = 2R

התמונה חוזרת בכל צומת: הזרם שמגיע לצומת מוצא לפניו שני ענפים שווים, הנגד 2R היורד ושאר הסולם, שגם ההתנגדות השקולה שלו 2R. לכן הזרם מתחלק בכל צומת לשני חצאים שווים. ההתנגדות שרואה מקור הייחוס היא R, והזרם שלו I = V_refR, ומכאן:

I₃ = I2, I₂ = I4, I₁ = I8, I₀ = I16. הזרם I_T שמגיע אל המגבר הוא סכום הזרמים של הסיביות שערכן 1 בלבד, והוא עובר ב-R_f:

I_T = V_refR·(b₃2 + b₂4 + b₁8 + b₀16) = V_refR·N16

V_o = −R_f·I_T

מתח המוצא בממיר רשת סולם נגדים R–2R

V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ

ΔV = R_fR·V_ref2ⁿ

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_o	מתח המוצא, ו-V_ref מתח הייחוס	[V]
R_f	נגד המשוב	[Ω]
R	נגד הרשת (הנגדים האופקיים)	[Ω]
N	הערך העשרוני של המילה בת n הסיביות	—
ΔV	כושר ההבחנה (גודל המדרגה)	[V]

הערה: אם נבחר R_f = R נקבל V_o = −N·V_ref2ⁿ, כלומר אותה נוסחה של הסעיף הקודם עם סימן שלילי שמקורו במגבר ההופך. כדי לקבל מתח מוצא חיובי משתמשים במתח ייחוס שלילי.

דוגמה 9.5

במעגל שבאיור הקודם: V_ref = 8 V, R = 10 kΩ, 2R = 20 kΩ, R_f = 10 kΩ. נחשב את זרמי הרשת ואת מתח המוצא למילה 1010.

פתרון:

ההתנגדות שרואה מקור הייחוס היא R, ולכן זרם המקור:

I = V_refR = 8 V10 kΩ = 0.8 mA

הזרם מתחלק לשני חצאים בכל צומת:

I₃ = 0.82 = 0.4 mA

I₂ = 0.42 = 0.2 mA

I₁ = 0.22 = 0.1 mA

I₀ = 0.12 = 0.05 mA

במילה 1010 שני המפסקים b₃ ו-b₁ נמצאים במצב 1, ולכן הזרמים שלהם מגיעים אל המגבר:

I_T = I₃ + I₁ = 0.4 + 0.1 = 0.5 mA

V_o = −R_f·I_T

V_o = −10 kΩ·0.5 mA = −5 V

בדיקה בעזרת הנוסחה, עם N = 10:

V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ = −1010·8·1016 = −5 V

I = 0.8 mA , V_o = −5 V

באותו ממיר גודל המדרגה הוא ΔV = R_fR·V_ref2ⁿ = 0.5 V, ולכל מילה V_o = −N·ΔV. רואים בטבלה שהסיבית b₃ לבדה נותנת חצי ממתח הייחוס, וכל סיבית שאחריה נותנת חצי מתרומת הסיבית שלפניה:

המילה	הערך העשרוני N	מתח המוצא V_o
0001	1	−0.5 V
0010	2	−1 V
0100	4	−2 V
1000	8	−4 V
1111	15	−7.5 V

הערה: יתרונות רשת הסולם: דרושים רק שני ערכים של נגדים, יהיה מספר הסיביות אשר יהיה, וזרם מקור הייחוס קבוע ואינו תלוי במילה. אם R_f שונה מ-R, גודל המדרגה משתנה ביחס R_fR.

שאלה 9.3: בממיר רשת סולם נגדים בן 4 סיביות: V_ref = 8 V ו-R_f = R. מהו מתח המוצא למילה 0110? ומהי התרומה של הסיבית b₂ לבדה?

המרת אות אנלוגי לספרתי. חישוב מילת המוצא הספרתית בתלות במתח המבוא התקבילי. חישוב כושר ההבחנה (A/D Conversion)

הממיר ADC פועל בכיוון ההפוך: הוא מודד את מתח המבוא V_i ומוציא את המספר שאומר כמה מדרגות שלמות מכיל המתח הזה. זה דומה למדידת אורך בסרגל שמחולק למילימטרים: קוראים את מספר המילימטרים השלמים, ואת מה שקטן ממילימטר איננו רואים.

סמל של ממיר ADC בן 4 סיביות

כושר ההבחנה ומילת המוצא בממיר ADC

ΔV = V_ref2ⁿ

N = V_iΔV

V_i,max = (2ⁿ − 1)·ΔV

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΔV	כושר ההבחנה: השינוי הקטן ביותר במתח המבוא שמשנה את מילת המוצא	[V]
V_i	מתח המבוא האנלוגי	[V]
N	הערך העשרוני של מילת המוצא: לוקחים רק את החלק השלם של תוצאת החילוק	—
V_i,max	מתח המבוא שבו מתחילה המילה הגדולה ביותר (כל הסיביות 1)	[V]

שגיאת הכימוי (קוונטיזציה): ההפרש בין מתח המבוא האמיתי למתח שמייצגת מילת המוצא, N·ΔV. הממיר "זורק" את השבר, ולכן השגיאה תמיד קטנה ממדרגה אחת ΔV.

דוגמה 9.6

ממיר ADC בן 3 סיביות, ומתח הייחוס שלו V_ref = 8 V. נכניס אליו את המתח V_i = 5.6 V. נחשב את מילת המוצא ואת שגיאת הכימוי.

פתרון:

ΔV = V_ref2ⁿ = 88 = 1 V

V_iΔV = 5.61 = 5.6

ניקח רק את החלק השלם, ונמיר אותו למילה בינארית בת 3 סיביות:

N = 5 = 101

המילה מייצגת את המתח N·ΔV, והשארית היא שגיאת הכימוי:

N·ΔV = 5·1 = 5 V

5.6 − 5 = 0.6 V

N = 101

אופיין המעבר של ממיר ADC בן 3 סיביות, V_ref = 8 V: מילת המוצא נשארת קבועה לאורך מדרגה שלמה ואז קופצת. הקו המקווקו הוא הקו הישר האידיאלי, והמרחק האופקי בינו לבין המדרגות הוא שגיאת הכימוי

הערה: כל המתחים בין 5 V ל-6 V נותנים אותה מילה 101, והממיר אינו מבחין ביניהם. כאשר מתח המבוא מגיע ל-V_i,max = 7 V מקבלים את המילה הגדולה ביותר 111, וכל מתח גבוה מזה נותן אותה מילה: הממיר הגיע לקצה התחום שלו.

דוגמה 9.7

כאשר מכניסים לממיר ADC בן 8 סיביות את המתח V_i = 1.2 V מקבלים במוצא שלו את המילה 01111000. למתח 0 V מקבלים את המילה 00000000.
(א) מהו כושר ההבחנה?
(ב) איזו מילה מקבלים למתח V_i = 0.45 V?
(ג) איזה מתח מבוא מתאים למילה 11001000?
(ד) איזו מילה מקבלים למתח V_i = 3 V?

פתרון:

(א) נמיר את המילה הנתונה למספר עשרוני. המספר הזה הוא מספר המדרגות שמכיל המתח 1.2 V:

N = 64 + 32 + 16 + 8 = 120

ΔV = V_iN = 1.2120 = 0.01 V = 10 mV

(ב) נחלק את המתח בכושר ההבחנה ונמיר למילה בינארית:

N = V_iΔV = 0.450.01 = 45

45 = 00101101

(ג) נמיר את המילה למספר עשרוני ונכפול בכושר ההבחנה:

N = 128 + 64 + 8 = 200

V_i = N·ΔV = 200·0.01 = 2 V

(ד) נבדוק תחילה את המתח שבו מתחילה המילה הגדולה ביותר:

V_i,max = (2ⁿ − 1)·ΔV = 255·0.01 = 2.55 V

המתח 3 V גבוה מן הערך הזה, ולכן הממיר הגיע לקצה התחום שלו ומוציא את המילה הגדולה ביותר: 11111111.

ΔV = 10 mV , 00101101 , V_i = 2 V , 11111111

הערה: בקרים, כמו Arduino UNO, מכילים ממיר ADC פנימי בן 10 סיביות שפועל במתח ייחוס של 5 V: כושר ההבחנה שלו 5 V1024 ≈ 4.88 mV, והערך הגדול ביותר שהוא מוציא הוא 1023.

שאלה 9.4: ממיר ADC בן 4 סיביות, V_ref = 8 V. מהי מילת המוצא למתח V_i = 3.8 V? ומהי שגיאת הכימוי?

ממיר A/D מסוג "מתח מדרגות" (Counter-Ramp ADC)

איך בונים ממיר ADC? הדרך הפשוטה ביותר משתמשת במה שלמדנו עד כה: בונים מתח שעולה מדרגה אחר מדרגה בעזרת מונה וממיר DAC, ומשווים אותו למתח המבוא בעזרת משווה. מספר המדרגות שעלינו עד שעברנו את מתח המבוא הוא המילה המבוקשת.

ממיר "מתח מדרגות" (ממיר מונה): ממיר ADC שבנוי ממונה, מממיר DAC וממשווה. המונה סופר את דפקי אות השעון, הממיר DAC ממיר את המספר למתח מדרגות V_DAC, והמשווה עוצר את הספירה כאשר המתח הזה עובר את מתח המבוא.

תרשים מלבנים של ממיר "מתח מדרגות": המשווה משווה את מתח המבוא V_i למתח המדרגות V_DAC, והמוצא שלו פותח את השער בפני דפקי השעון או סוגר אותו

בתחילת ההמרה מאפסים את המונה, ואז N = 0 ומתח המדרגות V_DAC = 0 V.
כל עוד V_i > V_DAC מוצא המשווה נמצא ברמה הגבוהה, והשער AND מעביר את דפקי השעון אל המונה.
עם כל דופק שעון המונה גדל באחת, ומתח המדרגות עולה מדרגה אחת ΔV.
כאשר V_DAC נעשה גדול מ-V_i מוצא המשווה עובר לרמה הנמוכה, השער נסגר והמונה נעצר.
המספר שנשאר במונה הוא מילת המוצא. אחרי שקוראים אותה מאפסים את המונה ומתחילים המרה חדשה.

זמן ההמרה בממיר "מתח מדרגות"

t_c = N·T_CLK

t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK

T_CLK = 1f_CLK

סימן	משמעות	יחידת מידה
t_c	זמן ההמרה: מתחילת הספירה עד עצירת המונה	[s]
N	מספר הדפקים שהמונה ספר, והוא ערך מילת המוצא	—
T_CLK	זמן המחזור של אות השעון, ו-f_CLK התדר שלו	[s]
t_c,max	זמן ההמרה הארוך ביותר, כאשר המונה מגיע למילה הגדולה ביותר	[s]

דוגמה 9.8

ממיר "מתח מדרגות" בן 4 סיביות: V_ref = 8 V ותדר אות השעון f_CLK = 1 kHz. נכניס אליו את המתח V_i = 3.3 V. נחשב:
(א) את מילת המוצא.
(ב) את זמן ההמרה.
(ג) את זמן ההמרה הארוך ביותר האפשרי.

פתרון:

גודל המדרגה וזמן המחזור של אות השעון:

ΔV = V_ref2ⁿ = 816 = 0.5 V

T_CLK = 1f_CLK = 11000 = 0.001 s = 1 ms

(א) מתח המדרגות עולה 0.5 V עם כל דופק. אחרי 6 דפקים V_DAC = 3 V, והוא עדיין קטן מ-V_i. אחרי הדופק שמספרו 7 נעשה V_DAC = 3.5 V, גדול מ-3.3 V, ולכן המונה נעצר:

N = 7 = 0111

(ב) המונה ספר 7 דפקים:

t_c = N·T_CLK = 7·1 = 7 ms

(ג) במקרה הגרוע ביותר המונה סופר עד המילה 1111:

t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK = 15·1 = 15 ms

N = 0111 , t_c = 7 ms , t_c,max = 15 ms

שימו לב: בממיר הזה המונה נעצר במדרגה הראשונה שגבוהה ממתח המבוא, ולכן המילה כאן גדולה באחת מן החלק השלם של החילוק V_iΔV (בדוגמה: 3.30.5 = 6.6 והמונה נעצר ב-7). השגיאה נשארת קטנה ממדרגה אחת. בשאלה על ממיר ADC כללי מחשבים לפי הנוסחה של הסעיף הקודם.

דוגמה 9.9

ממיר "מתח מדרגות" פועל עם אות שעון שהתדר שלו f_CLK = 100 kHz. נחשב את זמן ההמרה הארוך ביותר:
(א) לממיר בן 8 סיביות.
(ב) לממיר בן 10 סיביות.

פתרון:

T_CLK = 1f_CLK = 1100000 = 10 µs

(א) לממיר בן 8 סיביות:

t_c,max = (2⁸ − 1)·T_CLK = 255·10 µs = 2.55 ms

(ב) לממיר בן 10 סיביות:

t_c,max = (2¹⁰ − 1)·T_CLK = 1023·10 µs = 10.23 ms

t_c,max = 2.55 ms , t_c,max = 10.23 ms

מדוע הממיר הזה איטי? כי הוא עולה רק מדרגה אחת בכל דופק שעון, ותמיד מתחיל מאפס. כל סיבית נוספת מכפילה את מספר המדרגות, ובכך מכפילה בקירוב את זמן ההמרה הארוך ביותר, כפי שראינו בדוגמה: תוספת של שתי סיביות האריכה את הזמן פי ארבעה בקירוב. חיסרון נוסף: זמן ההמרה אינו קבוע, אלא תלוי במתח המבוא. לכן הממיר הזה מתאים לאותות שמשתנים לאט, כמו טמפרטורה, ויתרונו שהוא פשוט וזול. יש ממירים מהירים יותר, כמו ממיר בקירובים עוקבים (SAR) וממיר הבזק (Flash), אבל הם מחוץ לחומר של הפרק הזה.

שאלה 9.5: בממיר "מתח מדרגות" בן 4 סיביות גודל המדרגה ΔV = 0.5 V ותדר השעון 2 kHz. נכניס את המתח V_i = 5.2 V. באיזה מספר נעצר המונה? ומהו זמן ההמרה?

▶ניסוי חי — מעבדה

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/AD_DA/adc_dac_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/AD_DA/adc_dac_lab

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הערך העשרוני של מילה בת n סיביות	N = b_n−1·2ⁿ⁻¹ + ... + b₁·2¹ + b₀·2⁰
מספר הרמות והערך הגדול ביותר	M = 2ⁿ , N_max = 2ⁿ − 1
כושר ההבחנה (נתון V_ref)	ΔV = V_ref2ⁿ
כושר ההבחנה (נתון מתח המוצא הגדול ביותר V_FS)	ΔV = V_FS2ⁿ − 1
מתח המוצא בממיר DAC	V_o = N·ΔV
ממיר רשת סולם נגדים R–2R	V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ
מילת המוצא בממיר ADC (החלק השלם)	N = V_iΔV
זמן ההמרה בממיר "מתח מדרגות"	t_c = N·T_CLK
זמן ההמרה הארוך ביותר	t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
המרת אותות	Signal conversion	تحويل الإشارات
ממיר אנלוגי לספרתי (A/D)	Analog-to-Digital Converter (ADC)	محوِّل تماثلي إلى رقمي
ממיר ספרתי לאנלוגי (D/A)	Digital-to-Analog Converter (DAC)	محوِّل رقمي إلى تماثلي
סיבית	Bit	بت
מילה ספרתית	Digital word	الكلمة الرقمية
הסיבית המשמעותית ביותר	MSB	البت الأعلى وزنا
הסיבית הפחות משמעותית	LSB	البت الأدنى وزنا
כושר הבחנה (רזולוציה)	Resolution (step)	قدرة التمييز (الدرجة)
מתח ייחוס	Reference voltage	الجهد المرجعي
מתח סקלה מלאה	Full-scale voltage	جهد السلّم الكامل
רשת סולם נגדים	R–2R ladder	شبكة السلم
שגיאת כימוי (קוונטיזציה)	Quantisation error	خطأ التكميم
ממיר "מתח מדרגות"	Counter (staircase) ADC	محوِّل «جهد الدرجات»
מונה	Counter	العدّاد
משווה	Comparator	المُقارن
זמן המרה	Conversion time	زمن التحويل
רעש	Noise	الضجيج

שאלות לתרגול:

נציין שלוש סיבות שבגללן ממירים אות אנלוגי לספרתי לפני שמעבדים אותו. איזה ממיר בא לפני המעבד ואיזה ממיר אחריו?

תשובות: חסינות לרעש, אחסון נוח, עיבוד בתוכנית; לפני המעבד ADC ואחריו DAC

נמיר למספר עשרוני:
(א) 1101.
(ב) 10010110.

תשובות: (א) 13, (ב) 150

נכתוב כמילה בינארית בת 8 סיביות:
(א) 77.
(ב) 200. כמה רמות יש למילה בת 6 סיביות, ומהו הערך הגדול ביותר שלה?

תשובות: (א) 01001101, (ב) 11001000; 64 רמות, הערך הגדול ביותר 63

ממיר DAC בן 8 סיביות שמתח הייחוס שלו 10.24 V.
(א) מהו כושר ההבחנה?
(ב) מהו מתח המוצא למילה 01100100?
(ג) איזו מילה נותנת V_o = 6 V?

תשובות: (א) ΔV = 40 mV, (ב) V_o = 4 V, (ג) N = 150 = 10010110

מתח המוצא הגדול ביותר של ממיר DAC בן 4 סיביות (למילה 1111) הוא 6 V. נחשב את כושר ההבחנה ואת מתח המוצא למילה 0101.

תשובות: ΔV = 615 = 0.4 V, V_o = 2 V

בממיר הנגדים המשוקללים שבאיור: R = 5 kΩ, R_f = 4 kΩ, ומתח הסיבית במצב 1 הוא 5 V. נחשב את כושר ההבחנה ואת מתח המוצא למילה 0110.

תשובות: ΔV = 0.5 V, V_o = −3 V

בממיר רשת סולם הנגדים שבאיור: V_ref = 4 V, R = R_f = 2 kΩ, והמפסקים במצב של המילה 1110. נחשב:
(א) את זרם מקור הייחוס I.
(ב) את הזרם I₃.
(ג) את כושר ההבחנה.
(ד) את מתח המוצא.

תשובות: (א) I = 2 mA, (ב) I₃ = 1 mA, (ג) ΔV = 0.25 V, (ד) V_o = −3.5 V

בממיר רשת סולם נגדים בן 4 סיביות: V_ref = −4 V ו-R = 10 kΩ. רוצים כושר הבחנה ΔV = 0.5 V. מהו הערך הדרוש של R_f? ומהו מתח המוצא למילה 1111?

תשובות: R_f = 20 kΩ, V_o = 7.5 V

ממיר ADC בן 4 סיביות, V_ref = 8 V. נכניס את המתח V_i = 6.2 V. נחשב את מילת המוצא ואת שגיאת הכימוי.

תשובות: ΔV = 0.5 V, N = 12 = 1100, השגיאה 0.2 V

10.

כאשר מכניסים לממיר ADC בן 8 סיביות את המתח 2.4 V מקבלים את המילה 01111000, ולמתח 0 V מקבלים את המילה אפס.
(א) מהו כושר ההבחנה?
(ב) איזו מילה מקבלים למתח 3.5 V?
(ג) מהו מתח המבוא שבו מתחילה המילה 11111111?

תשובות: (א) ΔV = 20 mV, (ב) N = 175 = 10101111, (ג) V_i = 5.1 V

11.

ממיר ADC שמתח הייחוס שלו 8 V. כמה סיביות דרושות לפחות כדי שכושר ההבחנה לא יעלה על 10 mV? ומהו כושר ההבחנה שמתקבל?

תשובות: n = 10, ΔV ≈ 7.81 mV

12.

ממיר "מתח מדרגות" בן 8 סיביות: גודל המדרגה ΔV = 20 mV ותדר אות השעון 50 kHz. נכניס את המתח V_i = 1.01 V.
(א) באיזה מספר נעצר המונה?
(ב) מהו זמן ההמרה?
(ג) מהו זמן ההמרה הארוך ביותר האפשרי?

תשובות: (א) N = 51 = 00110011, (ב) t_c = 1.02 ms, (ג) t_c,max = 5.1 ms

13.

האיור מתאר את מתח המדרגות V_DAC ואת מתח המבוא V_i בממיר "מתח מדרגות" בן 3 סיביות. נקרא מן האיור:
(א) את גודל המדרגה ΔV.
(ב) את זמן המחזור של אות השעון ואת התדר שלו.
(ג) את מילת המוצא.
(ד) את זמן ההמרה.

תשובות: (א) ΔV = 1 V, (ב) T_CLK = 2 ms, f_CLK = 500 Hz, (ג) N = 5 = 101, (ד) t_c = 10 ms

תשובות סופיות לשאלות הפרק

9.1 (א) N = 90, (ב) 00100101, (ג) 64

9.2 ΔV = 0.25 V, V_o = 1.5 V

9.3 V_o = −3 V, התרומה של b₂ היא −2 V

9.4 ΔV = 0.5 V, N = 7 = 0111, השגיאה 0.3 V

9.5 N = 11 = 1011, t_c = 5.5 ms

שאלות בגרות לפרק 9

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, במקצוע אלקטרוניקה ומחשבים. מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2019 שאלה 11 — ממיר אנלוגי-ספרתי (A/D) בן שמונה סיביות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	כושר ההבחנה (הרזולוציה)	בפתרון המלא
סעיף ב	הערך הבינארי במוצא	V_in=2V → 01100100 ; V_in=3.045V → 10011000
סעיף ג	תחום מתח-המבוא עבור הערך 01100001₂	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2019: fahed-lab.com/exams

בגרות 2018 שאלה 11 — ממיר אנלוגי-לספרתי (A/D) בעל 8 סיביות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	כושר ההבחנה (הרזולוציה)	בפתרון המלא
סעיף ב	המילה הבינארית עבור מתחי המבוא	200 mV → 00001010₍₂₎ ; 5.1 V → 11111111₍₂₎
סעיף ג	מתח המבוא עבור המילה 10101001₍₂₎	V_i = 3.38 V

הפתרון המלא של בחינת 2018: fahed-lab.com/exams

בגרות 2017 שאלה 12 — חיישן אור LDR וממיר A/D

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח בהדק A₀ בהארה 6 lux	V_A₀ = 2.5 V
סעיף ב	התוכנית בשפת C (Arduino)	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2017: fahed-lab.com/exams

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.