פרק 8

רשתות HP ו-LP

כיתה י״א · 10 שעות לימוד

נגד אחד וקבל אחד — זו הרשת הפשוטה ביותר באלקטרוניקה, והיא נמצאת כמעט בכל מעגל: במעגל השהיה שמדליק נורה אחרי שתי שניות, במסנן של ספק הכוח מן הפרק הקודם, ובקבל הצימוד שבמגבר הטרנזיסטור. בפרק הזה נשאל שאלה אחת: מה קורה למתח המוצא עם הזמן כאשר מתח המבוא משתנה באופן פתאומי? נראה שהתשובה היא תמיד אותה עקומה, וגודל אחד קובע אותה: קבוע הזמן.

בסוף הפרק הזה נדע:

לסרטט רשת מעבירה נמוכים (LP) ורשת מעבירה גבוהים (HP) ולהבחין ביניהן.
לחשב את קבוע הזמן τ = R·C ולהסביר את משמעותו.
לסרטט את התגובה של כל רשת לאות מדרגה ולחשב את מתח המוצא בכל רגע.
לחשב את הזמן הדרוש כדי שהמתח יגיע לערך נתון.
לסרטט את התגובה של כל רשת לדופק, במקרים t_p ≫ τ, t_p ≈ τ, t_p ≪ τ, ולחשב את הערכים בשתי חזיתות הדופק.
לסרטט את התגובה לאות ריבועי מחזורי כאשר T ≫ τ וכאשר T ≪ τ.
לפתור מעגלי טעינה ופריקה עם מפסק, ומעגלי השהיה עם משווה.

תגובת רשת מעבירה נמוכים (LP) ורשת מעבירה גבוהים (HP) לאות מדרגה ולדופק. סרטוט מתח המוצא וחישוב ערכיו (Step and Pulse Response of RC Networks)

שתי הרשתות:

שתי הרשתות בנויות מאותם שני רכיבים, נגד R וקבל C בטור. ההבדל היחיד הוא מאיפה לוקחים את מתח המוצא.

רשת מעבירה נמוכים, LP: רשת שבה הנגד מחובר בטור למבוא, ומתח המוצא נלקח על הקבל: v_o = v_C.

רשת מעבירה גבוהים, HP: רשת שבה הקבל מחובר בטור למבוא, ומתח המוצא נלקח על הנגד: v_o = v_R.

רשת LP: המוצא על הקבל

רשת HP: המוצא על הנגד

בשתי הרשתות זורם אותו זרם בנגד ובקבל, ולפי חוק המתחים של קירכהוף סכום שני המתחים שווה למתח המבוא בכל רגע:

v_i = v_R + v_C

לכן מספיק לדעת את מתח הקבל v_C; מתח הנגד הוא היתרה: v_R = v_i − v_C.

נזכור: שני כללים על הקבל, שעליהם נשען כל הפרק: (1) מתח הקבל אינו משתנה באופן פתאומי. כדי שמתחו ישתנה צריך מטען להיכנס אליו או לצאת ממנו, וזה דורש זמן. (2) כשהטעינה מסתיימת לא זורם זרם בקבל: במתח ישר הקבל הוא נתק.

אות מדרגה ודופק:

אות מדרגה: אות שקופץ ברגע אחד ממתח קבוע אחד למתח קבוע אחר, ונשאר בו. דוגמה: סוגרים מפסק שמחבר סוללה למעגל ברגע t = 0.

דופק: אות שקופץ למתח V, נשאר בו זמן מוגבל t_p (רוחב הדופק), ואז חוזר לאפס.

תגובה: אות המוצא שהרשת מוציאה כאשר מכניסים אליה אות מסוים.

קבוע הזמן:

קבוע זמן: גודל שקובע את מהירות הטעינה והפריקה של קבל דרך נגד. סימנו τ ויחידתו שנייה. ככל ש-τ גדול יותר, השינוי איטי יותר.

קבוע הזמן

τ = R·C

סימן	משמעות	יחידת מידה
τ	קבוע הזמן	[s]
R	ההתנגדות שדרכה הקבל נטען או מתפרק	[Ω]
C	קיבול הקבל	[F]

דוגמה 8.1

ברשת LP הנגד R = 10 kΩ והקבל C = 100 nF. נחשב את קבוע הזמן.

פתרון:

נמיר ליחידות היסוד: R = 1·10⁴ Ω, C = 1·10⁻⁷ F.

τ = R·C

τ = 1·10⁴·1·10⁻⁷ = 1·10⁻³ s = 1 ms

τ = 1 ms

הערה: דרך לחישוב מהיר: kΩ·µF = ms, וכן MΩ·µF = s וגם kΩ·nF = µs. למשל: 10 kΩ·0.1 µF = 1 ms.

שאלה 8.1: נחשב את קבוע הזמן של נגד 4.7 kΩ וקבל 10 µF.

תגובת רשת LP לאות מדרגה:

הקבל אינו טעון, וברגע t = 0 המבוא קופץ מ-0 אל V. מה קורה?

ברגע t = 0: מתח הקבל אינו יכול לקפוץ, ולכן נשאר v_C = 0. כל מתח המבוא נופל על הנגד, והזרם מרבי: i = VR.
לאחר מכן: הזרם טוען את הקבל ומתחו עולה. המתח על הנגד V − v_C קטן, ולכן הזרם קטן, והטעינה נעשית איטית יותר ויותר.
אחרי זמן רב: הקבל טעון עד v_C = V, הזרם אפס, ושום דבר אינו משתנה עוד. זהו המצב המתמיד.

פרק הזמן שבו המתח משתנה נקרא מצב מעבר. עקומה שעולה במהירות בהתחלה ואחר כך מתקרבת לאט לערכה הסופי נקראת עקומה מעריכית.

תגובת רשת LP למדרגה (טעינת קבל)

v_o(t) = V·(1 − e^−tτ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_o(t)	מתח המוצא (מתח הקבל) ברגע t	[V]
V	גובה המדרגה במבוא	[V]
t	הזמן שעבר מרגע הקפיצה	[s]
τ	קבוע הזמן, τ = R·C	[s]
e	מספר קבוע, e ≈ 2.718; במחשבון המקש e^x	—

נוסחה זו היא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית למצב המעבר (משוואת הדפקים). כל מתח במעגל שיש בו קבל אחד ונגדים עובר באופן מעריכי מערך התחלתי לערך סופי, ומספיק לדעת שלושה גדלים: מאיפה מתחילים, לאן מגיעים, ומהו קבוע הזמן. בכל הפתרונות בפרק זה נציב בנוסחה הכללית, וכך נפתור באותה דרך טעינה, פריקה ודפקים.

הנוסחה הכללית למצב המעבר

v(t) = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
v(t)	המתח ברגע t	[V]
V₀	הערך ההתחלתי: המתח מיד אחרי השינוי (Δt = 0)	[V]
V_∞	הערך הסופי: המתח במצב המתמיד	[V]
Δt	הזמן שעבר מאז השינוי האחרון (סגירת מפסק או קפיצה במבוא); ברגע השינוי Δt = 0, ובכל שלב חדש מודדים אותו מחדש	[s]
τ	קבוע הזמן	[s]

הערה: נוסחת טעינת הקבל היא הנוסחה הכללית עם V₀ = 0 ו-V_∞ = V: נציב ונקבל v_o = V·(1 − e^−tτ).

דוגמה 8.2

נכניס לרשת LP מן הדוגמה הקודמת (τ = 1 ms) אות מדרגה שגובהו V = 10 V. נחשב את מתח המוצא אחרי 1 ms ואחרי 2 ms, ונסרטט את אות המוצא מתחת לאות המבוא.

פתרון:

הקבל מתחיל ריק, V₀ = 0, ושואף אל V_∞ = 10 V. נציב Δt = 1 ms בנוסחה הכללית. הזמן וקבוע הזמן נתונים באותה יחידה (מילי-שנייה), ולכן נחלק אותם ישירות:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o = 10 + (0 − 10)·e⁻¹¹

v_o = 10 − 10·0.368 = 6.32 V

ובאותה דרך עבור Δt = 2 ms:

v_o = 10 + (0 − 10)·e⁻²¹

v_o = 10 − 10·0.135 = 8.65 V

המוצא מתחיל מאפס בלי קפיצה, ומתקרב אל 10 V (הקו המקווקו) בלי לעבור אותו.

v_o(1 ms) = 6.32 V , v_o(2 ms) = 8.65 V

כמה זמן נמשכת הטעינה? כלל 5τ:

נציב בנוסחה זמנים שהם כפולות שלמות של קבוע הזמן, ונכתוב את התוצאה כאחוז מן הערך הסופי:

הזמן t	טעינה: 1 − e^−tτ	פריקה: e^−tτ
τ	63.2%	36.8%
2τ	86.5%	13.5%
3τ	95%	5%
4τ	98.2%	1.8%
5τ	99.3%	0.7%

עקומת הטעינה ועקומת הפריקה באחוזים מן המתח המלא

אחרי קבוע זמן אחד הקבל מגיע ל-63.2% מן המתח הסופי (בערך שני שלישים).
אחרי 5τ הוא מגיע ליותר מ-99%. נחשיב את מצב המעבר כגמור אחרי 5τ, ואת המעגל כמי שהגיע למצב המתמיד.

שאלה 8.2: ברשת LP קבוע הזמן τ = 2 ms והמדרגה במבוא 5 V. מהו מתח המוצא אחרי 2 ms? ואחרי כמה זמן נחשיב את הטעינה כגמורה?

תגובת רשת HP לאות מדרגה:

ברשת HP המוצא הוא מתח הנגד, v_o = v_i − v_C. הקבל נטען בדיוק כמו ברשת LP, ולכן:

v_o = V − V·(1 − e^−tτ) = V·e^−tτ

ברגע t = 0: הקבל אינו טעון ומתחו אפס, ולכן הקפיצה כולה מופיעה במוצא: v_o = V. אומרים שהקבל מעביר את הקפיצה.
לאחר מכן: הקבל נטען, הזרם קטן, ואיתו קטן מתח הנגד.
במצב המתמיד: הקבל טעון עד V, הזרם אפס, ו-v_o = 0. המתח הישר אינו מגיע למוצא.

תגובת רשת HP למדרגה

v_o(t) = V·e^−tτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_o(t)	מתח המוצא (מתח הנגד) ברגע t	[V]
V	גובה המדרגה במבוא	[V]
τ	קבוע הזמן, τ = R·C	[s]

דוגמה 8.3

נחליף בין הנגד לקבל ברשת הקודמת ונקבל רשת HP עם אותו קבוע זמן τ = 1 ms. המבוא הוא אות מדרגה V = 10 V. נחשב את מתח המוצא ברגע t = 0, אחרי 0.5 ms ואחרי 1 ms, ונסרטט את אות המוצא.

פתרון:

ברגע הקפיצה: v_o(0) = V = 10 V.

המוצא עצמו מציית לנוסחה הכללית: הוא מתחיל מ-V₀ = 10 V ושואף אל V_∞ = 0. נציב Δt = 0.5 ms ואז Δt = 1 ms:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o(0.5 ms) = 0 + (10 − 0)·e^−0.51 = 10·0.607 = 6.07 V

v_o(1 ms) = 0 + (10 − 0)·e⁻¹¹ = 10·0.368 = 3.68 V

נשווה לרשת LP: בכל רגע סכום שני המוצאים שווה ל-10 V, כי v_R + v_C = v_i.

v_o(0) = 10 V , v_o(0.5 ms) = 6.07 V , v_o(1 ms) = 3.68 V

	רשת LP	רשת HP
המוצא נלקח על	הקבל	הנגד
המוצא ברגע הקפיצה	0	V
המוצא במצב המתמיד	V	0
הנוסחה	v_o = V·(1 − e^−tτ)	v_o = V·e^−tτ
המוצא אחרי τ	0.63·V	0.37·V

שאלה 8.3: ברשת HP: R = 2 kΩ, C = 1 µF, והמבוא הוא מדרגה של 6 V. מהו מתח המוצא ברגע הקפיצה? ואחרי 4 ms?

▶ניסוי חי — רשתות RC — תגובת המדרגההמעבדה נפתחת על אות מדרגה. משנים את R ואת C ורואים איך מוצא LP מטפס אל הערך הסופי בלי קפיצה, ואיך מוצא HP קופץ במלואו ואז דועך לאפס.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=step

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=step

חישוב הזמן מהנוסחה הכללית:

עד עכשיו הצבנו זמן בנוסחה הכללית וחישבנו מתח. לפעמים השאלה הפוכה: מהו הזמן שבו המתח מגיע לערך מסוים v? נחלץ את הזמן מהנוסחה הכללית ונקבל:

חישוב הזמן מהנוסחה הכללית

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v	המתח המבוקש	[V]
V₀	הערך ההתחלתי: המתח מיד אחרי השינוי	[V]
V_∞	הערך הסופי: המתח במצב המתמיד	[V]
τ	קבוע הזמן	[s]
ln	הלוגריתם הטבעי; במחשבון המקש ln	—

הערה: נוסחה זו היא הנוסחה הכללית עצמה אחרי שמחלצים ממנה את הזמן. במונה ההפרש בין נקודת ההתחלה לערך הסופי, ובמכנה ההפרש בין המתח המבוקש לערך הסופי. התוצאה שבתוך ln חייבת להיות מספר חיובי גדול מ-1; אם אינה כזאת, המתח המבוקש אינו נמצא בין V₀ ל-V_∞ והמעגל לא יגיע אליו לעולם.

דוגמה 8.4

ברשת LP (τ = 1 ms) עם מדרגה V = 10 V: אחרי כמה זמן מגיע מתח המוצא ל-5 V? ול-9 V?

פתרון:

הקבל מתחיל לא טעון, V₀ = 0, ושואף אל V_∞ = 10 V. נציב v = 5 V:

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

Δt = 1·ln(0 − 105 − 10)

Δt = 1·ln(2) = 0.693 ms

ועבור v = 9 V:

Δt = 1·ln(0 − 109 − 10)

Δt = 1·ln(10) = 2.303 ms

כדי להגיע לחצי המתח דרוש רק 0.69·τ, אבל כדי להגיע ל-90% דרוש 2.3·τ.

Δt = 0.693 ms , Δt = 2.303 ms

דוגמה 8.5

קבל C = 50 µF טעון מראש למתח 2 V. ברגע t = 0 מחברים אותו דרך נגד R = 20 kΩ למקור מתח של 12 V. נחשב:
(א) את קבוע הזמן.
(ב) את מתח הקבל אחרי 1 s.
(ג) את הזמן שבו מתח הקבל מגיע ל-10 V.

פתרון:

(א) קבוע הזמן:

τ = R·C = 2·10⁴·5·10⁻⁵ = 1 s

(ב) הקבל אינו מתחיל מאפס: V₀ = 2 V, והוא שואף אל מתח המקור V_∞ = 12 V:

v_C = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_C = 12 + (2 − 12)·e⁻¹¹

v_C = 12 − 10·0.368 = 8.32 V

(ג) נציב v = 10 V בנוסחת הזמן:

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

Δt = 1·ln(2 − 1210 − 12)

Δt = 1·ln(5) = 1.61 s

τ = 1 s , v_C = 8.32 V , t = 1.61 s

שאלה 8.4: קבל טעון למתח 8 V מתפרק דרך נגד, וקבוע הזמן τ = 5 ms. אחרי כמה זמן יורד מתחו ל-2 V?

תגובת רשת LP לדופק:

הדופק הוא שתי מדרגות זו אחר זו: קפיצה כלפי מעלה ב-t = 0, וקפיצה כלפי מטה ב-t = t_p. לכן פותרים בשני שלבים:

בזמן הדופק (0 < t < t_p): הקבל נטען מ-V₀ = 0 לכיוון V_∞ = V. בסוף הדופק הוא מגיע ל-V₁, שאותו נחשב מהנוסחה הכללית.
אחרי הדופק (t > t_p): המבוא אפס, והקבל מתפרק מ-V₀ = V₁ לכיוון V_∞ = 0 באותו קבוע זמן. את הזמן מודדים מחדש, החל מ-t_p.

תגובת רשת LP לדופק (הנוסחה הכללית בשני שלבים)

V₁ = V + (0 − V)·e^−t_pτ

v_o(t) = 0 + (V₁ − 0)·e^{−t − t_pτ}

סימן	משמעות	יחידת מידה
V₁	מתח המוצא בסוף הדופק	[V]
t_p	רוחב הדופק	[s]
v_o(t)	מתח המוצא אחרי סיום הדופק, t > t_p	[V]

צורת המוצא תלויה ביחס בין רוחב הדופק לקבוע הזמן. באיור, דופק שגובהו 5 V ורוחבו t_p = 1 ms נכנס לשלוש רשתות LP שונות.

תגובת רשת LP לדופק שרוחבו 1 ms, לשלושה קבועי זמן. הנקודה מראה את המתח בסוף הדופק

המקרה	קבוע הזמן	המתח בסוף הדופק V₁	צורת המוצא
t_p ≫ τ	0.2 ms	4.97 V	הקבל נטען במלואו ואחר כך מתפרק במלואו. המוצא דומה לדופק, אבל שתי החזיתות שלו מעוגלות
t_p ≈ τ	1 ms	3.16 V	הקבל אינו מגיע ל-V. המוצא דומה לסנפיר של כריש
t_p ≪ τ	5 ms	0.91 V	הקבל כמעט אינו נטען. המוצא קטן ועולה כמעט בקו ישר

דוגמה 8.6

דופק שגובהו V = 5 V ורוחבו t_p = 1 ms נכנס לרשת LP שקבוע הזמן שלה τ = 1 ms. נחשב את מתח המוצא:
(א) בסוף הדופק.
(ב) ברגע t = 2 ms.

פתרון:

(א) בזמן הדופק הקבל נטען מ-V₀ = 0 לכיוון V_∞ = 5 V. נציב t = t_p בנוסחה הכללית:

V₁ = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−t_pτ

V₁ = 5 + (0 − 5)·e⁻¹¹ = 3.16 V

(ב) אחרי הדופק הקבל מתפרק: V₀ = 3.16 V ו-V_∞ = 0. הזמן שעבר מסוף הדופק הוא 2 − 1 = 1 ms:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o = 0 + (3.16 − 0)·e⁻¹¹ = 1.16 V

V₁ = 3.16 V , v_o(2 ms) = 1.16 V

תגובת רשת HP לדופק:

ברשת HP הקבל מחובר בטור למבוא, ומתחו אינו משתנה ברגע הקפיצה. לכן כל קפיצה במבוא עוברת כמות שהיא אל המוצא: אם המבוא קופץ ב-V כלפי מעלה, המוצא קופץ ב-V כלפי מעלה, ואם המבוא קופץ ב-V כלפי מטה, המוצא קופץ ב-V כלפי מטה. בין קפיצה לקפיצה המוצא חוזר לכיוון אפס באופן מעריכי.

החזית העולה (t = 0): המוצא קופץ מ-0 אל V.
בזמן הדופק: המוצא יורד מ-V₀ = V לכיוון V_∞ = 0, ובסוף הדופק הוא מגיע ל-V₁, שאותו נחשב מהנוסחה הכללית.
החזית היורדת (t = t_p): המבוא קופץ ב-V כלפי מטה, והמוצא קופץ איתו אל V₂ = V₁ − V. זהו ערך שלילי.
אחרי הדופק: המוצא חוזר מ-V₀ = V₂ לכיוון V_∞ = 0, מן הצד השלילי.

תגובת רשת HP לדופק (הנוסחה הכללית בשני שלבים)

V₁ = 0 + (V − 0)·e^−t_pτ

V₂ = V₁ − V

v_o(t) = 0 + (V₂ − 0)·e^{−t − t_pτ}

סימן	משמעות	יחידת מידה
V₁	מתח המוצא בסוף הדופק, לפני החזית היורדת	[V]
V₂	מתח המוצא מיד אחרי החזית היורדת (שלילי)	[V]
v_o(t)	מתח המוצא אחרי סיום הדופק, t > t_p	[V]

תגובת רשת HP לאותו דופק. שתי הנקודות מראות את המתח לפני החזית היורדת ואחריה

המקרה	קבוע הזמן	V₁	V₂	צורת המוצא
t_p ≫ τ	0.2 ms	0.03 V	−4.97 V	דוקרן חיובי בחזית העולה ודוקרן שלילי בחזית היורדת
t_p ≈ τ	1 ms	1.84 V	−3.16 V	דופק משופע, ואחריו זנב שלילי
t_p ≪ τ	5 ms	4.09 V	−0.91 V	המוצא דומה לדופק עם שיפוע קטן בראשו, ואחריו זנב שלילי קטן וארוך

הערה: המקרה t_p ≫ τ ברשת HP חשוב במעגלים ספרתיים: הרשת הופכת כל חזית באות לדוקרן קצר, חיובי בחזית העולה ושלילי בחזית היורדת. כך "מגלים" את רגע השינוי של האות.

דוגמה 8.7

אותו דופק (V = 5 V, t_p = 1 ms) נכנס לרשת HP שקבוע הזמן שלה τ = 1 ms. נחשב את מתח המוצא:
(א) בתחילת הדופק.
(ב) בסוף הדופק, לפני החזית היורדת.
(ג) מיד אחרי החזית היורדת.
(ד) ברגע t = 2 ms.

פתרון:

(א) הקפיצה עוברת כולה אל המוצא: v_o(0) = 5 V.

(ב) בזמן הדופק המוצא יורד מ-V₀ = 5 V לכיוון V_∞ = 0. נציב t = t_p בנוסחה הכללית:

V₁ = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−t_pτ

V₁ = 0 + (5 − 0)·e⁻¹¹ = 1.84 V

(ג) המבוא קופץ 5 V כלפי מטה, והמוצא קופץ איתו:

V₂ = V₁ − V

V₂ = 1.84 − 5 = −3.16 V

(ד) אחרי הדופק: V₀ = −3.16 V ו-V_∞ = 0:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o = 0 + (−3.16 − 0)·e⁻¹¹ = −1.16 V

V₁ = 1.84 V , V₂ = −3.16 V , v_o(2 ms) = −1.16 V

שאלה 8.5: דופק שגובהו 10 V ורוחבו 2 ms נכנס לרשת שקבוע הזמן שלה τ = 2 ms. מהו המוצא בסוף הדופק:
(א) אם הרשת היא LP?
(ב) אם הרשת היא HP, לפני החזית היורדת ואחריה?

▶ניסוי חי — מעבדת הקבל — תגובת הדופקהמעבדה נפתחת על לשונית המסננים עם דופק יחיד במבוא. משנים את רוחב הדופק ואת קבוע הזמן, ורואים יחד את מתח הקבל Vc (מוצא LP) ואת מתח הנגד Vr (מוצא HP).

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/capacitor?tab=4

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/capacitor?tab=4

התגובה לאות ריבועי מחזורי:

האות הריבועי הוא דפקים שחוזרים על עצמם: חצי מזמן המחזור המתח V, ובחצי האחר אפס. מה שקובע את צורת המוצא הוא היחס בין זמן המחזור T לקבוע הזמן τ. בשני האיורים אות ריבועי בין 0 ל-5 V, זמן המחזור שלו T = 1 ms, והמוצא מסורטט אחרי שהמעגל התייצב (כפי שרואים אותו במשקף התנודות).

תגובת רשת LP לאות ריבועי: באמצע T ≫ τ, למטה T ≪ τ

T ≫ τ: בכל חצי מחזור הזמן מספיק לטעינה מלאה או לפריקה מלאה. המוצא הוא אות ריבועי שחזיתותיו מעוגלות. התנאי המעשי: T2 ≥ 5τ.
T ≪ τ: הקבל כמעט אינו מספיק להיטען, וכבר הוא מתחיל להתפרק. המוצא מתנדנד מעט סביב הערך הממוצע של המבוא, V2 = 2.5 V, בין 2.38 V ל-2.62 V, וצורתו דומה לאות משולש. הרשת "מחליקה" את האות ומשאירה ממנו רק את המתח הישר.

תגובת רשת HP לאותו אות ריבועי: באמצע T ≫ τ, למטה T ≪ τ

T ≫ τ: דוקרן חיובי בכל חזית עולה ודוקרן שלילי בכל חזית יורדת, וגובה כל אחד מהם V.
T ≪ τ: המוצא הוא אות ריבועי שדומה למבוא, אבל הוא סימטרי סביב האפס: בין +2.5 V ל-−2.5 V בקירוב. הרשת מעבירה את השינויים המהירים ומסלקת את המתח הישר.

דוגמה 8.8

רשת LP: R = 1 kΩ, C = 10 nF. נכניס אליה אות ריבועי בין 0 ל-5 V.
(א) נחשב את קבוע הזמן.
(ב) מהו התדר הגבוה ביותר שבו הקבל עדיין נטען ומתפרק במלואו בכל מחזור?
(ג) איך נראה המוצא בתדר 1 MHz?

פתרון:

(א) קבוע הזמן:

τ = R·C = 1·10³·1·10⁻⁸ = 1·10⁻⁵ s = 10 µs

(ב) טעינה מלאה דורשת 5τ, והיא צריכה להסתיים בתוך חצי מחזור:

T2 = 5·τ

T = 10·τ = 10·10 = 100 µs

f = 1T = 11·10⁻⁴ = 10 kHz

(ג) בתדר 1 MHz זמן המחזור T = 1 µs, והוא קטן בהרבה מ-τ = 10 µs. המוצא הוא בקירוב מתח ישר 2.5 V, ועליו אות משולש קטן.

τ = 10 µs , f = 10 kHz

פעילות: ניסוי — תגובת רשת LP לאות ריבועי. נבנה רשת LP מ-R = 10 kΩ ו-C = 10 nF ונחשב את τ. נכניס ממחולל האותות אות ריבועי בין 0 ל-5 V, ונציג את v_i ואת v_o בשני הערוצים של משקף התנודות. (1) נבחר תדר שבו T > τ בהרבה (למשל 500 Hz) ונסרטט את המוצא. נמדוד על המסך את הזמן שבו המוצא מגיע ל-63% מ-5 V ונשווה אותו ל-τ המחושב. (2) נעלה את התדר עד T = τ, ואחר כך עד T < τ בהרבה (למשל 100 kHz), ובכל פעם נסרטט את המוצא ונמדוד את מתחו משיא לשיא. (3) נחליף בין הנגד לקבל ונחזור על הניסוי עבור רשת HP.

▶ניסוי חי — רשתות RC — האות הריבועיהמעבדה נפתחת על האות הריבועי. בוחרים רשת LP או HP, משנים את ההתנגדות, את הקיבול ואת זמן המחזור, ורואים איך צורת המוצא משתנה כאשר τ עובר מערך קטן לערך גדול.

⚠

https://fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=square

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=square

מדוע "מעבירה נמוכים" ו"מעבירה גבוהים"?:

ראינו שהקבל זקוק לזמן כדי לשנות את מתחו. אות איטי (תדר נמוך, ובמקרה הקיצוני מתח ישר) נותן לו די זמן: מתח הקבל עוקב אחרי המבוא, ולכן האות מגיע למוצא של רשת LP ואינו מגיע למוצא של רשת HP. אות מהיר (תדר גבוה) אינו נותן לו זמן: מתח הקבל כמעט אינו משתנה, וכל השינוי מופיע על הנגד, כלומר במוצא של רשת HP. מכאן שני השמות: רשת LP מעבירה את התדרים הנמוכים, ורשת HP מעבירה את התדרים הגבוהים.

הערה: גם את הגבול בין "נמוך" ל"גבוה" קובע קבוע הזמן: זהו התדר f_c = 12·π·R·C. ניתוח שתי הרשתות לפי התדר אינו חלק מן הפרק הזה.

מעגלי טעינה ופריקה עם מפסק:

בשאלות רבות המילה "מדרגה" אינה מופיעה: במקומה יש מקור מתח ישר ומפסק. סגירת המפסק היא בדיוק אות מדרגה. פותרים תמיד באותם צעדים:

נקבע את V₀: מתח הקבל לפני הזזת המפסק. הוא אינו משתנה ברגע ההזזה.
נקבע את V_∞: מתח הקבל אחרי זמן רב, כאשר לא זורם בו זרם (נחליף אותו בנתק).
נחשב τ = R·C, כאשר R היא ההתנגדות שדרכה זורם זרם הקבל במצב החדש של המפסק.
נציב בנוסחה הכללית.

דוגמה 8.9

במעגל שבאיור הקבל אינו טעון. ברגע t = 0 סוגרים את המפסק S. נחשב:
(א) את קבוע הזמן.
(ב) את הזרם ברגע הסגירה.
(ג) את מתח הקבל ואת מתח הנגד אחרי 0.2 s.
(ד) את הזרם באותו רגע.
(ה) אחרי כמה זמן מסתיימת הטעינה?

פתרון:

(א) קבוע הזמן:

τ = R·C = 2·10⁴·1·10⁻⁵ = 0.2 s

(ב) ברגע הסגירה v_C = 0, וכל מתח המקור נופל על הנגד:

i(0) = VR = 1220000 = 0.6 mA

(ג) הזמן המבוקש שווה לקבוע זמן אחד. V₀ = 0 ו-V_∞ = 12 V:

v_C = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_C = 12 + (0 − 12)·e^−0.20.2 = 7.59 V

v_R = V − v_C = 12 − 7.59 = 4.41 V

(ד) הזרם הוא זרם הנגד:

i = v_RR = 4.4120000 = 0.22 mA

(ה) נחשיב את הטעינה כגמורה אחרי 5τ:

t = 5·τ = 5·0.2 = 1 s

τ = 0.2 s , i(0) = 0.6 mA , v_C = 7.59 V , v_R = 4.41 V

הערה: שימו לב לקשר אל שתי הרשתות: מתח הקבל v_C במעגל הזה הוא המוצא של רשת LP, ומתח הנגד v_R הוא המוצא של רשת HP. לזרם i = v_RR יש אותה צורה כמו ל-v_R: מרבי ברגע הסגירה, ואחר כך יורד לכיוון אפס.

מעגל עם שני קבועי זמן:

כאשר המפסק משנה את ההתנגדות שדרכה הקבל נטען, קבוע הזמן משתנה באמצע הדרך. פותרים כל שלב בנפרד עם קבוע הזמן שלו, והערך שבו מסתיים שלב אחד הוא הערך ההתחלתי V₀ של השלב הבא. מתח הקבל עצמו אינו קופץ ברגע הזזת המפסק.

דוגמה 8.10

במעגל שבאיור הקבל אינו טעון והמפסק S פתוח. ברגע t = 0 מכניסים אות מדרגה שגובהו 12 V. ברגע שבו מתח המוצא מגיע ל-6 V סוגרים את המפסק S. נחשב:
(א) את קבוע הזמן כאשר המפסק פתוח.
(ב) את הרגע שבו סוגרים את המפסק.
(ג) את קבוע הזמן אחרי סגירת המפסק.
(ד) את מתח המוצא 10 ms אחרי סגירת המפסק.
(ה) כמה זמן אחרי סגירת המפסק מגיע המוצא ל-11 V? נסרטט את v_o כפונקציה של הזמן.

פתרון:

(א) כאשר המפסק פתוח, זרם הקבל עובר ב-R₁ וב-R₂ בטור:

τ₁ = (R₁ + R₂)·C = (1·10⁴ + 3·10⁴)·1·10⁻⁶ = 40 ms

(ב) שלב ראשון: V₀ = 0, V_∞ = 12 V, ונחפש את הזמן שבו v = 6 V:

t₁ = τ₁·ln(V₀ − V_∞v − V_∞) = 40·ln(0 − 126 − 12)

t₁ = 40·ln(2) = 27.7 ms

(ג) המפסק הסגור הוא קצר במקביל ל-R₂, ולכן לא זורם בו זרם. נשאר רק R₁:

τ₂ = R₁·C = 1·10⁴·1·10⁻⁶ = 10 ms

(ד) שלב שני: מתח הקבל אינו קופץ, ולכן V₀ = 6 V. הערך הסופי הוא עדיין V_∞ = 12 V. את הזמן מודדים מרגע הסגירה:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ₂

v_o = 12 + (6 − 12)·e⁻¹⁰¹⁰ = 9.79 V

(ה) נציב בנוסחת הזמן עם τ₂:

Δt = τ₂·ln(V₀ − V_∞v − V_∞) = 10·ln(6 − 1211 − 12)

Δt = 10·ln(6) = 17.9 ms

עד רגע הסגירה הטעינה איטית (τ₁ = 40 ms), ואחריו היא מהירה פי ארבעה (τ₂ = 10 ms): בעקומה יש "שבר" ברור. הקו המקווקו מראה איך הייתה הטעינה נמשכת אילו נשאר המפסק פתוח.

τ₁ = 40 ms , t₁ = 27.7 ms , τ₂ = 10 ms , v_o = 9.79 V , Δt = 17.9 ms

שאלה 8.6: במעגל של הדוגמה הקודמת משאירים את המפסק פתוח כל הזמן. כמה זמן אחרי הקפיצה מגיע מתח המוצא ל-11 V?

מעגל השהיה עם משווה:

בפרק 4 למדנו שהמשווה משווה בין שני מתחים: אם V₊ > V₋ המוצא שלו +V_sat, ואם V₊ < V₋ המוצא שלו −V_sat. אם נחבר לאחד ממבואותיו קבל שנטען לאט, ולמבוא האחר מתח ייחוס קבוע, המוצא יתהפך אחרי זמן מוגדר מרגע סגירת המפסק. זהו מעגל השהיה.

דוגמה 8.11

במעגל שבאיור מגבר השרת אידיאלי ופועל כמשווה, V_CC = 12 V ו-V_sat = ±12 V. הקבל אינו טעון, וברגע t = 0 סוגרים את המפסק S. נחשב:
(א) את מתח הייחוס V_ref.
(ב) את קבוע הזמן.
(ג) את מתח המוצא מיד אחרי סגירת המפסק.
(ד) את הרגע שבו המוצא מתהפך.
(ה) איזה נגד R נבחר כדי שההשהיה תהיה 2 s? נסרטט את v_C ואת V_o.

פתרון:

(א) לא נכנס זרם אל מבוא המגבר, ולכן R₁ ו-R₂ הם מחלק מתח:

V_ref = V_CC·R₂R₁ + R₂

V_ref = 12·2010 + 20 = 8 V

(ב) מאותה סיבה כל הזרם של הנגד R טוען את הקבל:

τ = R·C = 1·10⁵·1·10⁻⁵ = 1 s

(ג) בהתחלה V₊ = v_C = 0, והוא קטן מ-V₋ = V_ref = 8 V, ולכן V_o = −V_sat = −12 V.

(ד) המוצא מתהפך כאשר מתח הקבל מגיע למתח הייחוס. הקבל נטען מ-V₀ = 0 לכיוון V_∞ = 12 V, ונחפש את הזמן שבו v_C = 8 V:

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

Δt = 1·ln(0 − 128 − 12)

Δt = 1·ln(3) = 1.1 s

החל מרגע זה V₊ > V₋ והמוצא +12 V.

(ה) ההשהיה פרופורציונלית ל-τ, כלומר ל-R. נחלץ את R מאותה נוסחה:

τ = Δtln(3) = 21.099 = 1.82 s

R = τC = 1.821·10⁻⁵ = 182 kΩ

V_ref = 8 V , τ = 1 s , t = 1.1 s , R = 182 kΩ

הערה: מתח הייחוס חייב להיות נמוך מן המתח שאליו הקבל נטען. אם V_ref ≥ V_CC, מתח הקבל לא יגיע אליו לעולם, והמוצא לא יתהפך.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
קבוע הזמן	τ = R·C
הנוסחה הכללית למצב המעבר	v(t) = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ
הזמן הדרוש כדי להגיע למתח v	Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)
סוף מצב המעבר	t = 5·τ
רשת LP: התגובה לאות מדרגה (V₀ = 0, V_∞ = V)	v_o = V·(1 − e^−tτ)
רשת HP: התגובה לאות מדרגה (V₀ = V, V_∞ = 0)	v_o = V·e^−tτ
רשת LP: המתח בסוף הדופק	V₁ = V + (0 − V)·e^−t_pτ
רשת HP: המתח לפני החזית היורדת	V₁ = 0 + (V − 0)·e^−t_pτ
רשת HP: המתח אחרי החזית היורדת	V₂ = V₁ − V
הקשר בין המתחים ברשת	v_i = v_R + v_C

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
רשת מעבירה נמוכים	Low-pass network (LP)	مرشح الترددات المنخفضة
רשת מעבירה גבוהים	High-pass network (HP)	مرشح الترددات المرتفعة
תגובה	Response	الاستجابة
אות מדרגה	Step signal	إشارة الدرجة
דופק	Pulse	النبضة
רוחב הדופק	Pulse width	عرض النبضة
חזית עולה / יורדת	Rising / Falling edge	الحافة الصاعدة / الهابطة
קבוע זמן	Time constant	ثابت الزمن
טעינה / פריקה	Charging / Discharging	الشحن / التفريغ
מצב מעבר	Transient state	الحالة العابرة
מצב מתמיד	Steady state	الحالة المستقرة
ערך התחלתי / סופי	Initial / Final value	القيمة الابتدائية / النهائية
אות ריבועי	Square wave	إشارة مربعة
מעגל השהיה	Delay circuit	دائرة تأخير
משווה	Comparator	المُقارن
מתח ייחוס	Reference voltage	الجهد المرجعي

שאלות לתרגול:

נחשב את קבוע הזמן של רשת שבה R = 4.7 kΩ ו-C = 100 nF. אחרי כמה זמן מסתיים מצב המעבר?

תשובות: τ = 0.47 ms, 5τ = 2.35 ms

איזה נגד נחבר עם קבל של 22 nF כדי שקבוע הזמן יהיה 1 ms?

תשובות: R = 45.45 kΩ

נסרטט רשת LP ורשת HP, ונכתוב לכל אחת: על איזה רכיב נלקח המוצא? מהו המוצא ברגע הקפיצה ומהו במצב המתמיד, כאשר המבוא הוא מדרגה שגובהה V?

תשובות: רשת LP: על הקבל; 0 ואחר כך V. רשת HP: על הנגד; V ואחר כך 0

נכניס לרשת LP שבאיור מדרגה שגובהה 5 V. נחשב את קבוע הזמן ואת מתח המוצא אחרי 0.5 ms, 1 ms ו-3 ms, ונסרטט את המוצא מתחת למבוא.

תשובות: τ = 1 ms; 1.97 V, 3.16 V, 4.75 V

ברשת של השאלה הקודמת: אחרי כמה זמן מגיע מתח המוצא ל-4 V?

תשובות: Δt = 1·ln(5) = 1.61 ms

נכניס לרשת HP שבאיור מדרגה שגובהה 8 V. נחשב את מתח המוצא ברגע הקפיצה, אחרי 1 ms ואחרי 2 ms. אחרי כמה זמן יורד המוצא ל-2 V?

תשובות: τ = 1 ms; 8 V, 2.94 V, 1.08 V; Δt = 1.39 ms

אחרי כמה קבועי זמן מגיע קבל שנטען ל-95% בקירוב ממתחו הסופי? וכמה אחוזים ממתחו נשארים בקבל שמתפרק אחרי 2τ?

תשובות: אחרי 3τ; נשארים 13.5%

קבל טעון למתח 3 V מחובר ברגע t = 0 דרך נגד למקור של 9 V. קבוע הזמן 2 ms. נחשב את מתח הקבל אחרי 2 ms, ואת הזמן שבו הוא מגיע ל-6 V.

תשובות: v_C = 6.79 V, Δt = 1.39 ms

דופק שגובהו 10 V ורוחבו 2 ms נכנס לרשת LP שקבוע הזמן שלה 1 ms. נחשב את מתח המוצא בסוף הדופק וברגע t = 3 ms, ונסרטט את המוצא.

תשובות: V₁ = 8.65 V, v_o(3 ms) = 3.18 V

10.

אותו דופק נכנס לרשת HP שקבוע הזמן שלה 1 ms. נחשב את מתח המוצא לפני החזית היורדת, מיד אחריה, וברגע t = 3 ms, ונסרטט את המוצא.

תשובות: V₁ = 1.35 V, V₂ = −8.65 V, v_o(3 ms) = −3.18 V

11.

רשת LP: R = 10 kΩ, C = 10 nF, והמבוא הוא אות ריבועי. מהו התדר הגבוה ביותר שבו הקבל נטען טעינה מלאה בכל חצי מחזור? ואיך נראה המוצא בתדר 100 kHz?

תשובות: τ = 0.1 ms, T = 10τ = 1 ms, f = 1 kHz; בתדר 100 kHz: אות משולש קטן סביב הערך הממוצע

12.

במעגל שבאיור הקבל אינו טעון, וסוגרים את המפסק ברגע t = 0. נחשב את קבוע הזמן, את הזרם ברגע הסגירה, את מתח הקבל אחרי 3 s, ואת הזמן שבו מתח הקבל מגיע ל-6 V.

תשובות: τ = 3 s, i(0) = 0.3 mA, v_C = 5.69 V, Δt = 3.3 s

13.

במעגל שבאיור הקבל נטען דרך R₁ כאשר המפסק במצב 1, ומתפרק דרך R₂ כאשר המפסק במצב 2. המפסק נשאר במצב 1 זמן רב, וברגע t = 0 מעבירים אותו למצב 2. נחשב את קבוע הזמן בכל מצב, את מתח הקבל ברגע t = 0, את מתחו אחרי 40 ms, ואת הזמן שבו הוא יורד ל-3 V.

תשובות: τ₁ = 10 ms, τ₂ = 40 ms; 12 V; 4.41 V; Δt = 55.5 ms

14.

במעגל ההשהיה שבאיור V_CC = 10 V ו-V_sat = ±10 V, והקבל אינו טעון. סוגרים את המפסק ברגע t = 0. נחשב את V_ref, את קבוע הזמן, ואת הרגע שבו המוצא מתהפך. מהו מתח המוצא לפני רגע זה ואחריו?

תשובות: V_ref = 5 V, τ = 1 s, Δt = 0.69 s; לפניו −10 V ואחריו +10 V

תשובות סופיות לשאלות הפרק

8.1 τ = 47 ms

8.2 v_o = 3.16 V; אחרי 5τ = 10 ms

8.3 τ = 2 ms, v_o(0) = 6 V, v_o(4 ms) = 0.81 V

8.4 Δt = 5·ln(4) = 6.93 ms

8.5 (א) 6.32 V, (ב) 3.68 V לפניה ו-−6.32 V אחריה

8.6 Δt = 40·ln(12) = 99.4 ms

שאלות בגרות לפרק 8

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, במקצוע אלקטרוניקה ומחשבים. מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 5 — משווה עם רשת השהיה (LP) ו-LED

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	Y ומתח המוצא (המפסק פתוח)	בפתרון המלא
סעיף ב	קבוע הזמן, זמן ההדלקה, ומתח X ב-t=20s	בפתרון המלא
סעיף ג	סרטוט X(t) ו-V_o(t) עבור 0<t<30s	בפתרון המלא
סעיף ד	הנגד R₄ להפעלה תקינה של ה-LED	R₄ = 960 Ω

הפתרון המלא של בחינת 2026: fahed-lab.com/exams

בגרות 2025 שאלה 5 — מעגל טעינת RC עם מפסק ומדרגת מתח

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	קבוע הזמן τ (המפסק פתוח)	τ = 25 s
סעיף ב	הזמן שבו המוצא מגיע ל-5V	t ≈ 7.19 s
סעיף ג	מתח המוצא 2 שניות אחרי סגירת המפסק	בפתרון המלא
סעיף ד	סרטוט V_o(t)	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2025: fahed-lab.com/exams

בגרות 2024 שאלה 5 — מסנן LP, מגבר יחידה ונורית LED

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	מתח המוצא V_o בזמנים t = 8s ו-t = 20s	V_o(8s) ≈ 7.36 V ; V_o(20s) ≈ 1.0 V
סעיף ב	סרטוט V_i(t) ו-V_o(t) בקטע 0 < t < 20s	בפתרון המלא
סעיף ג	פרק הזמן שבו נורית ה-LED דולקת	בפתרון המלא
סעיף ד	ערך הנגד R₂ לפעולה תקינה	R₂ = 400 Ω

הפתרון המלא של בחינת 2024: fahed-lab.com/exams

בגרות 2022 שאלה 3 — משווה עם רשת HP (מעביר גבוהים)

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתחים בנקודות A, B ובמוצא (המפסק פתוח)	בפתרון המלא
סעיף ב	צורות הגלים V_o ו-V_B לאחר סגירת המפסק (0 ≤ t ≤ 50s)	בפתרון המלא
סעיף ג	הזמנים שבהם מתח המוצא משנה את ערכו	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2022: fahed-lab.com/exams

בגרות 2021 (מועד ב) שאלה 5 — מסנן RC מעביר-נמוכים עם מבוא פולס

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	סרטוט מתח המוצא V_o(t)	בפתרון המלא
סעיף ב	הערך המרבי של V_o	V_o(max) ≈ 3.57 V
סעיף ג	מתח המוצא ב-t = 15 ms	V_o(15ms) ≈ 1.91 V
סעיף ד	הקטנת הנגד R פי שניים	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2021: fahed-lab.com/exams

בגרות 2021 שאלה 5 — מסנן מעביר-גבוהים (HP) בתגובה לאות דמוי-מדרגה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	סוג המסנן	בפתרון המלא
סעיף ב	צורת אות המוצא V_o(t)	בפתרון המלא
סעיף ג	מתח המוצא ב-t = 3 ms	V_o(3ms) ≈ -5.27 V
סעיף ד	הזמן t שבו V_o = -8V	t ≈ 2.58 ms

הפתרון המלא של בחינת 2021: fahed-lab.com/exams

בגרות 2020 שאלה 5 — מסנן מעביר גבוהים (HPF) ומשווה עם נורית LED

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח בנקודות A ו-B ומתח המוצא (המפסק פתוח)	בפתרון המלא
סעיף ב	סרטוט V_B(t) ו-V_o(t) לאחר סגירת המפסק ב-t=0	בפתרון המלא
סעיף ג	משך הזמן שבו נורית ה-LED דולקת	בפתרון המלא
סעיף ד	פתיחת המפסק ל-10 שניות וסגירתו מחדש	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2020: fahed-lab.com/exams

בגרות 2017 שאלה 3 — מסנן LP, משווה ונורית LED

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח בנקודה X	V_X = 6 V
סעיף ב	סרטוט V_C(t) ו-V_o(t)	בפתרון המלא
סעיף ג	הזמן עד הדלקת ה-LED	t ≈ 1.39 s
סעיף ד	ההתנגדות של הנגד R_L	R_L = 1050 Ω

הפתרון המלא של בחינת 2017: fahed-lab.com/exams

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.