פרק 10 · נספח

נוסחאון הספר

בנספח הזה ריכזנו את כל נוסחאות הספר במקום אחד, מסודרות לפי הפרקים: לכל נושא סרטוט, הנוסחאות, וטבלה שמסבירה כל סמל. בבחינת הבגרות מקבל התלמיד את דף הנוסחאות והנתונים הרשמי של משרד החינוך; הנוסחאון הזה מסדר את נוסחאות הספר לפי פרקיו, לתרגול ולחזרה לפני הבחינה — ואילו תנאי השימוש בכל נוסחה והדוגמאות הפתורות שלה נמצאים בפרק שלה.

תנועה לאורך קו ישר

המרת יחידות מהירות

1 km/h = 1000 m3600 s = 13.6 m/s

סימן	משמעות	יחידת מידה
km/h	קילומטר לשעה	—
m/s	מטר לשנייה (יחידת SI)	—

העתק, מרחק ודרך

Δx = x₂ − x₁

d = |Δx|

s = |Δx₁| + |Δx₂| + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δx	העתק (בעל סימן)	[m]
d	המרחק בין המקום ההתחלתי למקום הסופי	[m]
s	דרך: סכום אורכי קטעי המסלול	[m]

המהירות בתנועה קצובה

v = ΔxΔt = x₂ − x₁t₂ − t₁

x(t) = x₀ + v·t

שיפוע הקו הישר = ΔxΔt = v

סימן	משמעות	יחידת מידה
v	המהירות (קבועה; סימנה מציין את הכיוון)	[m/s]
Δx	ההעתק בפרק הזמן Δt	[m]
Δt	פרק הזמן	[s]
x₀	המקום ההתחלתי (ברגע t = 0)	[m]

מהירות ממוצעת

v_avg = Δx_totalΔt_total = Δx₁ + Δx₂ + ...Δt₁ + Δt₂ + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_avg	מהירות ממוצעת	[m/s]
Δx_total	ההעתק הכולל	[m]
Δt_total	הזמן הכולל	[s]

מהירות ממוצעת ורגעית

v_avg = ΔxΔt = x(t₂) − x(t₁)t₂ − t₁

v = ΔxΔt (Δt → 0)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_avg	המהירות הממוצעת בפרק הזמן: שיפוע המיתר	[m/s]
v	המהירות הרגעית: שיפוע המשיק	[m/s]

תאוצה ומהירות כפונקציה של הזמן

a = ΔvΔt = v − v₀t

v(t) = v₀ + a·t

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	התאוצה (קבועה)	[m/s²]
v₀	המהירות ההתחלתית ברגע t = 0	[m/s]
v	המהירות ברגע t	[m/s]

משוואות התנועה בתאוצה קבועה

v = v₀ + a·t

x = x₀ + v₀·t + 12·a·t²

v² = v₀² + 2·a·Δx

Δx = v₀·t + 12·a·t²

Δx = v₀ + v2·t

השטח מתחת לקו המהירות = מלבן (כחול) + משולש (כתום)

סימן	משמעות	יחידת מידה
x₀ , v₀	המקום והמהירות ברגע t = 0	[m] , [m/s]
x , v	המקום והמהירות ברגע t	[m] , [m/s]
a	התאוצה הקבועה	[m/s²]
Δx	ההעתק x − x₀	[m]

נפילה חופשית ממנוחה (הכיוון החיובי כלפי מטה)

v = g·t

y = 12·g·t²

v² = 2·g·y

סימן	משמעות	יחידת מידה
g	תאוצת הנפילה החופשית, 10 m/s² כלפי מטה	[m/s²]
y	המרחק שהגוף נפל	[m]
v	המהירות אחרי זמן t	[m/s]

זריקה אנכית (הכיוון החיובי כלפי מעלה)

v = v₀ − g·t

y = y₀ + v₀·t − 12·g·t²

v² = v₀² − 2·g·(y − y₀)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₀	מהירות הזריקה: חיובית כלפי מעלה, שלילית כלפי מטה	[m/s]
y₀	גובה נקודת הזריקה	[m]
g	תאוצת הנפילה החופשית 10 m/s² (נכנסת בסימן שלילי)	[m/s²]

גובה מרבי וזמן עלייה

t_up = v₀g

H = v₀²2·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
t_up	זמן העלייה לנקודה העליונה	[s]
H	הגובה המרבי מעל נקודת הזריקה	[m]

תאוצה ממוצעת ורגעית

a_avg = ΔvΔt = v(t₂) − v(t₁)t₂ − t₁

a = ΔvΔt (Δt → 0)

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_avg	התאוצה הממוצעת: שיפוע המיתר בגרף המהירות	[m/s²]
a	התאוצה הרגעית: שיפוע המשיק בגרף המהירות	[m/s²]

תנועה במישור ווקטורים

גודל ההעתק וכיוונו

Δr = Δx² + Δy²

tan θ = ΔyΔx

וקטור ההעתק Δr הוא החץ הישר מ-A ל-B, ורכיביו הם Δx ו-Δy

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δr	גודל ההעתק (המרחק בין שני המקומות)	[m]
Δx , Δy	רכיבי ההעתק על הצירים	[m]
θ	הזווית בין ההעתק לציר x	[°]

רכיבי וקטור

A_x = A·cos θ

A_y = A·sin θ

A = A_x² + A_y²

tan θ = A_yA_x

פירוק הווקטור A לרכיביו: A_x על ציר x ו-A_y על ציר y

סימן	משמעות	יחידת מידה
A	גודל הווקטור	—
θ	הזווית בין הווקטור לציר x החיובי	[°]
A_x , A_y	הרכיבים על הצירים (בעלי סימן)	—

חיבור אלגברי

R_x = A_x + B_x

R_y = A_y + B_y

R = R_x² + R_y²

tan θ = R_yR_x

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_x , R_y	רכיבי השקול	—
R	גודל השקול	—
θ	זווית השקול עם ציר x	[°]

מהירות ממוצעת ורגעית במישור

v_avg = ΔrΔt

v = ΔrΔt (Δt → 0)

וקטור המהירות בכל נקודה משיק למסלול; וקטור ההעתק Δr קובע את כיוון המהירות הממוצעת

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δr	וקטור ההעתק בפרק הזמן Δt	[m]
v_avg	וקטור המהירות הממוצעת: בכיוון ההעתק	[m/s]
v	וקטור המהירות הרגעית: משיק למסלול	[m/s]

רכיבי התאוצה

a = a_t² + a_r²

tan φ = a_ra_t

התאוצה מפורקת לרכיב משיקי a_t ולרכיב רדיאלי a_r

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_t	הרכיב המשיקי: שינוי גודל המהירות	[m/s²]
a_r	הרכיב הרדיאלי: שינוי כיוון המהירות	[m/s²]
a	גודל התאוצה הכוללת	[m/s²]
φ	הזווית בין התאוצה למשיק	[°]

כוחות ושיווי משקל

כוח הכובד (משקל)

F = m·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	המשקל: כוח הכובד הפועל על הגוף	[N]
m	מסת הגוף	[kg]
g	תאוצת הנפילה החופשית; ליד פני כדור הארץ נציב g = 10 m/s²	[m/s²]

חוק הוק

F = −k·x

k = ΔFΔx

ההתארכות נמצאת ביחס ישר לכוח

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	הכוח שהקפיץ מפעיל על הגוף — מנוגד תמיד לכיוון ההעתק	[N]
x	ההעתק מהאורך הרפוי: ההתארכות (או ההתקצרות)	[m]
k	קבוע הקפיץ: הכוח הדרוש להתארכות של מטר אחד	[N/m]

שקול שני כוחות ניצבים

ΣF = F₁² + F₂²

tan θ = F₂F₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	גודל השקול	[N]
θ	הזווית בין השקול לבין הכוח F₁	[°]

רכיבי הכוח

F_x = F·cos θ

F_y = F·sin θ

F = F_x² + F_y²

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	גודל הכוח	[N]
θ	הזווית בין הכוח לבין הכיוון החיובי של ציר x	[°]
F_x , F_y	שני הרכיבים; כל אחד מהם מספר שעשוי להיות שלילי	[N]

שקול כמה כוחות בעזרת רכיבים

ΣF_x = F_1x + F_2x + ...

ΣF_y = F_1y + F_2y + ...

ΣF = ΣF_x² + ΣF_y²

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF_x	סכום הרכיבים האופקיים	[N]
ΣF_y	סכום הרכיבים האנכיים	[N]

החוק השלישי של ניוטון

זוג הכוחות: A דוחף את B ימינה, ו-B דוחף את A שמאלה באותו גודל

F_AB = −F_BA

סימן	משמעות	יחידת מידה
F_AB	הכוח שהגוף A מפעיל על הגוף B	[N]
F_BA	הכוח שהגוף B מפעיל על הגוף A	[N]

החוק הראשון של ניוטון (חוק ההתמדה)

ΣF = 0

v = const

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	הכוח השקול הפועל על הגוף	[N]
v	המהירות קבועה בגודלה ובכיוונה (כולל מצב מנוחה, v = 0). שתי השורות שקולות: כל אחת מהן גוררת את השנייה	[m/s]

תנאי שיווי המשקל

ΣF_x = 0

ΣF_y = 0

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF_x	סכום הרכיבים של כל הכוחות על ציר x	[N]
ΣF_y	סכום הרכיבים של כל הכוחות על ציר y	[N]

חיכוך קינטי

f_k = μ_k·N

ארגז נגרר בכוח אופקי במהירות קבועה: ארבעת הכוחות, והשקול שלהם אפס

סימן	משמעות	יחידת מידה
f_k	כוח החיכוך הקינטי	[N]
μ_k	מקדם החיכוך הקינטי: מספר חסר יחידות, התלוי בחומרים של שני המשטחים ובמצבם	—
N	הכוח הנורמלי בין הגוף למשטח	[N]

חיכוך סטטי

f_s ≤ μ_s·N

f_s,max = μ_s·N

סימן	משמעות	יחידת מידה
f_s	כוח החיכוך הסטטי בפועל (נקבע מתנאי שיווי המשקל)	[N]
μ_s	מקדם החיכוך הסטטי	—
f_s,max	הערך המרבי של החיכוך הסטטי: בו הגוף "על סף החלקה"	[N]

גרירה בכוח נטוי במהירות קבועה

ΣF_y = N + F·sin θ − m·g = 0

N = m·g − F·sin θ

ΣF_x = F·cos θ − μ_k·N = 0

F·cos θ = μ_k·(m·g − F·sin θ)

F = μ_k·m·gcos θ + μ_k·sin θ

ארגז נגרר בחבל נטוי בזווית θ במהירות קבועה: נפרק את F ל-F_x = F·cos θ ול-F_y = F·sin θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית החבל מעל האופק	[°]
N	הכוח הנורמלי — קטן מן המשקל	[N]
F	הכוח הדרוש לתנועה במהירות קבועה	[N]

החוק השני של ניוטון ויישומיו

החוק השני של ניוטון

ΣF = m·a

ΣF_x = m·a_x

ΣF_y = m·a_y

בתנועה בקו ישר: התאוצה תמיד בכיוון הכוח השקול

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	השקול של כל הכוחות הפועלים על הגוף	[N]
m	מסת הגוף (ההתמדית)	[kg]
a	תאוצת הגוף — בכיוון השקול	[m/s²]

צפיפות ומשקל סגולי

ρ = mV

γ = ρ·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
ρ	צפיפות	[kg/m³]
γ	משקל סגולי	[N/m³]
V	נפח	[m³]

התאוצה על מישור משופע חלק

גוף המחליק על מישור משופע חלק: הכוח הנורמלי N ניצב למשטח

m·g·sin θ = m·a

a = g·sin θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	התאוצה לאורך המשטח, כלפי מטה	[m/s²]
θ	זווית השיפוע של המישור	[°]

התאוצה על מישור משופע מחוספס (החלקה כלפי מטה)

גוף המחליק על מישור משופע מחוספס: הכוח הנורמלי N ניצב למשטח, והחיכוך f מנוגד לתנועה

m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

a = g·(sin θ − μ_k·cos θ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
μ_k	מקדם החיכוך הקינטי	—
a	התאוצה במורד המישור	[m/s²]

הוראת מאזני קפיץ במעלית

N − m·g = m·a

N = m·(g + a)

גוף התלוי על מאזני קפיץ מתקרת מעלית מואצת

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הכוח הנורמלי = הוראת המאזניים (המשקל המדומה)	[N]
a	תאוצת המעלית, חיובית כלפי מעלה ושלילית כלפי מטה	[m/s²]

תאוצה מרבית בעזרת חיכוך

f_s,max = μ_s·N = μ_s·m·g

a_max = μ_s·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_max	התאוצה (או ההאטה) המרבית שהכביש יכול להקנות למכונית	[m/s²]
μ_s	מקדם החיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש	—

מד-תאוצה

tan θ = ag

T = m·gcos θ

כשהמכונית מאיצה קדימה, החוט נוטה אחורה בזווית θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית הנטייה של החוט מן האנך	[°]
a	תאוצת המכונית (והכדור)	[m/s²]

גוף על שולחן חלק וגוף תלוי

a = m₂·gm₁ + m₂

T = m₁·a = m₁·m₂·gm₁ + m₂

גוף על שולחן, הקשור בחוט העובר מעל גלגלת לגוף תלוי

סימן	משמעות	יחידת מידה
m₁	מסת הגוף שעל השולחן	[kg]
m₂	מסת הגוף התלוי	[kg]
T	המתיחות בחוט	[N]

מכונת אטווד

a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂

T = m₁·(g + a) = 2·m₁·m₂·gm₁ + m₂

מכונת אטווד: הגוף הכבד יורד והקל עולה באותה תאוצה

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	תאוצת הגופים (הכבד כלפי מטה)	[m/s²]
T	המתיחות, בין m₁·g ל-m₂·g	[N]

זריקות

התאוצה בזריקה

a_x = 0

a_y = −g

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_x	אין כוח אופקי ← הרכיב האופקי של המהירות קבוע: תנועה קצובה	[m/s²]
a_y	כוח הכובד כלפי מטה ← תנועה בתאוצה קבועה (הכיוון החיובי כלפי מעלה)	[m/s²]

משוואות הזריקה האופקית

x = v₀·t

y = h − 12·g·t²

v_x = v₀

v_y = −g·t

זריקה אופקית: הרכיב האופקי של המהירות אינו משתנה, והרכיב האנכי גדל

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₀	המהירות ההתחלתית (אופקית)	[m/s]
h	גובה נקודת הזריקה	[m]
v_y	הרכיב האנכי של המהירות, שלילי כי הוא מכוון כלפי מטה	[m/s]

משוואות הזריקה המשופעת

x = v₀·cos θ·t

y = v₀·sin θ·t − 12·g·t²

v_x = v₀·cos θ

v_y = v₀·sin θ − g·t

זריקה משופעת: בנקודה הגבוהה ביותר v_y מתאפס ו-v_x נשאר

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₀	גודל המהירות ההתחלתית	[m/s]
θ	זווית הזריקה מעל האופק	[°]

זריקה משופעת מן הקרקע אל הקרקע

t_f = 2·v₀·sin θg

h_max = v₀²·sin² θ2·g

R = v₀²·sin 2θg

סימן	משמעות	יחידת מידה
t_f	זמן המעוף הכולל	[s]
h_max	הגובה המרבי מעל נקודת הזריקה	[m]
R	הטווח האופקי	[m]

תנועה מעגלית

זמן מחזור, תדירות ומהירות

T = 2π·rv

f = 1T

v = 2π·rT = 2π·r·f

בכל נקודה של המסלול: המהירות משיקה למעגל, והתאוצה הרדיאלית ניצבת לה ומכוונת אל המרכז

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור: משך הזמן של סיבוב שלם אחד	[s]
f	תדירות: מספר הסיבובים בשנייה	[Hz]
2π·r	היקף המעגל: הדרך שהגוף עובר בסיבוב אחד	[m]

מהירות זוויתית

ω = 2πT = 2π·f

v = ω·r

סימן	משמעות	יחידת מידה
ω	המהירות הזוויתית	[rad/s]
v	המהירות הקווית (המשיקית)	[m/s]
r	רדיוס המסלול	[m]

תאוצה וכוח בתנועה מעגלית קצובה

a_r = v²r = ω²·r

ΣF_r = m·v²r

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_r	התאוצה הרדיאלית, אל המרכז	[m/s²]
ΣF_r	הכוח השקול בכיוון הרדיאלי (הכוח הצנטריפטלי)	[N]
r	רדיוס המסלול	[m]

מטוטלת חרוטית

tan θ = v²r·g

T = m·gcos θ

t_cycle = 2π·ℓ·cos θg

מטוטלת חרוטית: הגוף מסתובב במעגל אופקי שרדיוסו r = ℓ·sin θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית החוט מן האנך	[°]
r	רדיוס המעגל האופקי, r = ℓ·sin θ	[m]
t_cycle	זמן המחזור	[s]

כביש נטוי ללא חיכוך

tan θ = v²r·g

v = r·g·tan θ

חתך בכביש נטוי: הרכיב האופקי של הכוח הנורמלי, N·sin θ, מכוון אל מרכז העיקול

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית הנטייה של הכביש	[°]
v	המהירות שבה המכונית עוברת את העיקול ללא חיכוך	[m/s]

תנועה מעגלית שאינה קצובה

a_r = v²r

a_t = ΔvΔt

a = a_r² + a_t²

התאוצה בתנועה מעגלית שאינה קצובה: רכיב משיקי משנה את גודל המהירות, ורכיב רדיאלי משנה את כיוונה

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_r	הרכיב הרדיאלי	[m/s²]
a_t	הרכיב המשיקי	[m/s²]

התנע ושימורו

תנע

התנע של העגלה הוא וקטור בכיוון המהירות, וגודלו m·v

p = m·v

p_tot = m₁·v₁ + m₂·v₂ + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
p	התנע	[kg·m/s]
m	מסת הגוף	[kg]
v	מהירות הגוף	[m/s]
p_tot	התנע הכולל של מערכת	[kg·m/s]

מתקף של כוח קבוע

J = F·Δt

סימן	משמעות	יחידת מידה
J	המתקף	[N·s]
F	הכוח הקבוע	[N]
Δt	זמן פעולת הכוח	[s]

מתקף של כוח משתנה = השטח מתחת לעקומת כוח–זמן

J = F_avg·Δt

F_avg = JΔt

כוח משתנה בזמן מכה: המתקף הוא השטח הצבוע, והמלבן המקווקו — שגובהו הכוח הממוצע — שטחו זהה

סימן	משמעות	יחידת מידה
J	המתקף בפרק הזמן: השטח מתחת לעקומה	[N·s]
F_avg	הכוח הממוצע: גובה מלבן שרוחבו Δt ושטחו שווה לשטח מתחת לעקומה	[N]
Δt	פרק הזמן	[s]

משפט המתקף והתנע

J_tot = ΣF·Δt = Δp

סימן	משמעות	יחידת מידה
J_tot	המתקף הכולל (המתקף של הכוח השקול)	[N·s]
Δp	שינוי התנע p₂ − p₁	[kg·m/s]
Δt	זמן פעולת הכוחות	[s]

הכוח כקצב שינוי התנע

ΣF = ΔpΔt

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	הכוח השקול (הממוצע שלו בפרק הזמן Δt)	[N]
Δp	שינוי התנע	[kg·m/s]
Δt	פרק הזמן	[s]

חוק שימור התנע (מערכת דו-גופית)

במהלך המגע עגלה 1 מפעילה על עגלה 2 את הכוח F₁₂, ועגלה 2 מפעילה על עגלה 1 את הכוח F₂₁

p_tot,before = p_tot,after

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁ , v₂	מהירויות הגופים לפני האינטראקציה	[m/s]
v′₁ , v′₂	מהירויות הגופים אחרי האינטראקציה	[m/s]
m₁ , m₂	מסות הגופים	[kg]

המהירות המשותפת אחרי ההיצמדות

m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂)·v′

v′ = m₁·v₁ + m₂·v₂m₁ + m₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
v′	המהירות המשותפת אחרי ההתנגשות	[m/s]
v₁ , v₂	המהירויות לפני ההתנגשות (עם הסימנים שלהן)	[m/s]

שימור התנע במישור

Σp_x : m₁·v_1x + m₂·v_2x = m₁·v′_1x + m₂·v′_2x

Σp_y : m₁·v_1y + m₂·v_2y = m₁·v′_1y + m₂·v′_2y

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_1x , v_1y	רכיבי המהירות של גוף 1 על שני הצירים	[m/s]
v′	המהירות אחרי ההתנגשות	[m/s]

מהירות הרתע (מערכת נחה לפני הירי)

רתע: המערכת נחה לפני הירי

M·V + m·v = 0

V = −m·vM

סימן	משמעות	יחידת מידה
M , V	מסת הגוף המשגר ומהירות הרתע שלו	[kg] , [m/s]
m , v	מסת הקליע ומהירותו	[kg] , [m/s]

אנרגיה מכנית ושימורה

אנרגיה קינטית

E_k = 12·m·v²

סימן	משמעות	יחידת מידה
E_k	אנרגיה קינטית	[J]
m	מסת הגוף	[kg]
v	מהירות הגוף (גודלה)	[m/s]

עבודה של כוח קבוע

W = F·d·cos θ

כוח F הנטוי בזווית θ מעל האופק מושך גוף על משטח אופקי למרחק d

סימן	משמעות	יחידת מידה
W	העבודה	[J]
F	גודל הכוח	[N]
d	גודל ההעתק	[m]
θ	הזווית בין כיוון הכוח לכיוון ההעתק	[°]

העבודה כשטח מתחת לגרף כוח–מקום

W = ΣF·Δx

כוח משתנה: העבודה הכוללת היא סכום שטחי המלבנים הצרים — כלומר השטח מתחת לגרף

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	רכיב הכוח בכיוון התנועה בקטע הקטן	[N]
Δx	אורך הקטע הקטן של המסלול	[m]
W	העבודה = השטח הכלוא בין גרף הכוח כפונקציה של המקום לבין ציר המקום: חיובי מעל הציר, שלילי מתחתיו	[J]

העבודה של הכוח החיצוני המותח את הקפיץ (או דוחס אותו)

W = 12·k·x²

סימן	משמעות	יחידת מידה
k	קבוע הקפיץ	[N/m]
x	ההתארכות (או ההתקצרות) ביחס לאורך הרפוי	[m]

משפט עבודה–אנרגיה

ΣW = ΔE_k

ΣW = 12·m·v² − 12·m·v₀²

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣW	סכום העבודות של כל הכוחות הפועלים על הגוף (= העבודה של הכוח השקול)	[J]
ΔE_k	השינוי באנרגיה הקינטית: הסופית פחות ההתחלתית	[J]

אנרגיה פוטנציאלית כובדית

U_G = m·g·h

W_mg = −ΔU_G = −(U_G,2 − U_G,1)

אותו גוף: האנרגיה הפוטנציאלית שלו היא m·g·h₁ ביחס לרצפה, ו-m·g·h₂ ביחס לשולחן

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_G	אנרגיה פוטנציאלית כובדית	[J]
m	מסת הגוף	[kg]
g	תאוצת הנפילה החופשית	[m/s²]
h	גובה הגוף מעל מישור האפס (שלילי מתחתיו)	[m]

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית

U_sp = 12·k·x²

W_spring = −ΔU_sp

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_sp	אנרגיה פוטנציאלית אלסטית	[J]
k	קבוע הקפיץ	[N/m]
x	ההתארכות או ההתקצרות ביחס לאורך הרפוי	[m]

חוק שימור האנרגיה המכנית

E = E_k + U_G + U_sp

E₁ = E₂

12·m·v₁² + m·g·h₁ + 12·k·x₁² = 12·m·v₂² + m·g·h₂ + 12·k·x₂²

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	האנרגיה המכנית: סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיות הפוטנציאליות	[J]
E₁	האנרגיה המכנית במצב ההתחלתי	[J]
E₂	האנרגיה המכנית במצב הסופי	[J]
W_nc	העבודה של הכוחות שאינם משמרים — חייבת להיות אפס	[J]

עבודת החיכוך = ההפסד באנרגיה המכנית

E₂ − E₁ = W_f = −f_k·s

E₁ = E₂ + f_k·s

סימן	משמעות	יחידת מידה
E₁ , E₂	האנרגיה המכנית לפני ואחרי	[J]
f_k	כוח החיכוך הקינטי	[N]
s	אורך הדרך שלאורכה פועל החיכוך	[m]
f_k·s	האנרגיה המכנית ה"אבודה" — הפכה לאנרגיה פנימית	[J]

מעגל אנכי — נקודה כללית

גוף קשור לחוט המסתובב במעגל אנכי שרדיוסו R: הנקודה התחתונה A והנקודה העליונה B

T − m·g·cos φ = m·v²R

12·m·v_A² = 12·m·v² + m·g·R·(1 − cos φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
φ	הזווית בין החוט לאנך, הנמדדת מן הנקודה התחתונה: בנקודה A הזווית φ = 0 , ובנקודה B הזווית φ = 180°	[°]
T	המתיחות בחוט (או הכוח הנורמלי N של מסילה)	[N]
m·g·cos φ	רכיב המשקל לאורך הרדיוס; בחצי התחתון הוא מושך הרחק מן המרכז, ובחצי העליון (cos φ שלילי) — אל המרכז	[N]
R·(1 − cos φ)	גובה הנקודה מעל הנקודה התחתונה	[m]

מעגל אנכי — הנקודה התחתונה והעליונה

T_A − m·g = m·v_A²R

T_B + m·g = m·v_B²R

סימן	משמעות	יחידת מידה
T_A	המתיחות בנקודה התחתונה A	[N]
T_B	המתיחות בנקודה העליונה B	[N]
v_A , v_B	המהירות בשתי הנקודות	[m/s]

מהירות מזערית בנקודה העליונה

v_B,min = g·R

v_A,min = 5·g·R

h_min = 2.5·R

מסלול חלק עם לולאה אנכית שרדיוסה R

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_B,min	המהירות המזערית בנקודה העליונה המשאירה את הגוף על המסלול (אינה תלויה במסה)	[m/s]
v_A,min	המהירות המזערית בנקודה התחתונה המספיקה להשלמת הסיבוב	[m/s]
h_min	גובה השחרור המזערי (ממנוחה) שממנו הגוף משלים את הלולאה, הנמדד מתחתית הלולאה	[m]

התנגשות אלסטית חד-ממדית

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v₁′ + m₂·v₂′

12·m₁·v₁² + 12·m₂·v₂² = 12·m₁·v₁′² + 12·m₂·v₂′²

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁ , v₂	שתי המהירויות לפני ההתנגשות (עם הסימן)	[m/s]
v₁′ , v₂′	שתי המהירויות אחרי ההתנגשות	[m/s]

המהירות היחסית מתהפכת

v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁ − v₂	המהירות היחסית (מהירות ההתקרבות) לפני ההתנגשות	[m/s]
v₁′ − v₂′	המהירות היחסית (מהירות ההתרחקות) אחרי ההתנגשות	[m/s]

מקרה פרטי: התנגשות אלסטית בגוף נח

v₂ = 0

v₁′ = m₁ − m₂m₁ + m₂·v₁

v₂′ = 2·m₁m₁ + m₂·v₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁′ , v₂′	השורה הראשונה היא התנאי: הגוף השני נח לפני ההתנגשות; אז אלה שתי המהירויות אחרי ההתנגשות	[m/s]

הספק

P = Wt

P = F·v

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	הספק	[W]
W	העבודה המבוצעת (או האנרגיה המומרת)	[J]
t	הזמן	[s]
F	הכוח בכיוון התנועה	[N]
v	המהירות	[m/s]

נצילות

η = E_outE_in = P_outP_in

E_in = E_out + Q

סימן	משמעות	יחידת מידה
η	נצילות	[—]
E_out , P_out	האנרגיה או ההספק המועילים	[J] , [W]
E_in , P_in	האנרגיה או ההספק הנצרכים	[J] , [W]
Q	האנרגיה המבוזבזת (חום)	[J]

תנועה הרמונית פשוטה

זמן מחזור, תדירות ותדירות זוויתית

f = 1T

ω = 2πT = 2π·f

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור: הזמן של מחזור שלם אחד	[s]
f	תדירות: מספר המחזורים בשנייה אחת	[Hz]
ω	תדירות זוויתית	[rad/s]

הכוח המחזיר בתנודה הרמונית

F = −k·x

a = −km·x = −ω²·x

גוף הקשור לקפיץ אופקי: בנקודת שיווי המשקל הקפיץ אינו מפעיל כוח

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	הכוח המחזיר (הכוח השקול לאורך התנועה)	[N]
x	ההעתק מנקודת שיווי המשקל	[m]
k	קבוע היחס (בקפיץ: קבוע הקפיץ)	[N/m]
a	התאוצה — משוואת התנועה	[m/s²]

מקום כפונקציה של הזמן

x(t) = A·cos(ω·t + φ)

נקודה P נעה בתנועה מעגלית קצובה ברדיוס A; ההיטל שלה על הקוטר האופקי מבצע תנודה הרמונית

סימן	משמעות	יחידת מידה
A	משרעת: ההעתק הגדול ביותר מנקודת שיווי המשקל	[m]
ω	תדירות זוויתית, ω = km	[rad/s]
φ	מופע התחלתי: קובע את מקום הגוף ברגע t = 0	[rad]
ω·t + φ	המופע ברגע t	[rad]

זמן המחזור של אוסצילטור הרמוני

T = 2π·mk

f = 12π·km

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור	[s]
m	מסת הגוף המתנודד	[kg]
k	קבוע הקפיץ	[N/m]

מקום, מהירות ותאוצה

x(t) = A·cos(ω·t)

v(t) = −A·ω·sin(ω·t)

a(t) = −A·ω²·cos(ω·t) = −ω²·x(t)

v_max = A·ω

a_max = A·ω²

סימן	משמעות	יחידת מידה
A·ω	המהירות המרבית v_max, בנקודת שיווי המשקל	[m/s]
A·ω²	התאוצה המרבית a_max, בקצות התנועה x = ±A	[m/s²]

שימור האנרגיה בתנודה

E = 12·k·A² = 12·m·v² + 12·k·x²

v = ω·A² − x²

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	האנרגיה המכנית הכוללת	[J]
x	המקום הרגעי	[m]
v	המהירות במקום x	[m/s]

התארכות בשיווי משקל בקפיץ אנכי

x₀ = m·gk

קפיץ אנכי: חופשי, בשיווי משקל עם המסה (התארכות x₀), ובנקודה התחתונה במהלך התנודה

סימן	משמעות	יחידת מידה
x₀	התארכות הקפיץ בנקודת שיווי המשקל עם המסה	[m]
T	זמן המחזור: כוח הכובד אינו משנה אותו, T = 2π·mk כמו בקפיץ אופקי	[s]

זמן המחזור של מטוטלת פשוטה

T = 2π·ℓg

הכוחות על גוף המטוטלת: המתיחות לאורך החוט, וכוח הכובד מפורק לשני רכיבים

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור	[s]
ℓ	אורך החוט (עד מרכז הגוף)	[m]
g	תאוצת הנפילה החופשית	[m/s²]

כבידה

חוק קפלר הראשון

r₁ + r₂ = 2a

האליפסה: השמש באחד המוקדים, והמוקד השני ריק

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	חצי הציר הראשי של המסלול	[m]
r₁ , r₂	מרחקי כוכב הלכת משני המוקדים	[m]

חוק קפלר השני — חוק השטחים

r_p·v_p = r_a·v_a

חוק השטחים: שני השטחים הצבועים שווים, וכוכב הלכת סורק אותם באותו זמן

סימן	משמעות	יחידת מידה
r_p , v_p	המרחק מן השמש והמהירות בפריהליון	[m] , [m/s]
r_a , v_a	המרחק מן השמש והמהירות באפהליון	[m] , [m/s]

חוק קפלר השלישי — חוק הזמנים

T²a³ = const

T₁²T₂² = a₁³a₂³

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן המחזור של כוכב הלכת סביב השמש	[s]
a	חצי הציר הראשי (במסלול מעגלי: הרדיוס r)	[m]

חוק הכבידה

זוג כוחות המשיכה בין שני גופים: שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם

F = G·m₁·m₂r²

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	כוח המשיכה בין שני הגופים	[N]
m₁ , m₂	מסות הגופים	[kg]
r	המרחק בין מרכזי שני הגופים	[m]
G	קבוע הכבידה: G = 6.67·10⁻¹¹ N·m²/kg²	[N·m²/kg²]

תאוצת הנפילה על פני גרם שמיים

g = G·MR²

M = g·R²G

סימן	משמעות	יחידת מידה
g	תאוצת הנפילה החופשית על פני הגרם	[m/s²]
M	מסת הגרם (כוכב לכת, ירח, כוכב)	[kg]
R	רדיוס הגרם	[m]

לוויין במסלול מעגלי

v = G·Mr

T = 2π·r³G·M

M = 4π²·r³G·T²

לוויין במסלול מעגלי: המהירות משיקה למסלול, וכוח המשיכה אל המרכז ניצב לה

סימן	משמעות	יחידת מידה
v	המהירות במסלול	[m/s]
r	רדיוס המסלול ממרכז כוכב הלכת: r = R + h	[m]
h	גובה המסלול מעל פני כוכב הלכת	[m]
T	זמן מחזור	[s]
M	מסת כוכב הלכת (הגוף המרכזי)	[kg]

עצמת שדה הכבידה

g = G·Mr²

F = m·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
g	עצמת השדה במרחק r מן המרכז	[N/kg]
M	מסת הגרם שהוא המקור	[kg]
r	המרחק ממרכז הגרם (r ≥ R)	[m]
F	הכוח על גוף שמסתו m בנקודה הזאת	[N]

אנרגיה פוטנציאלית כובדית

U_G = −G·M·mr

האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית כפונקציה של המרחק מן המרכז: תמיד שלילית, ועולה לעבר אפס עם המרחק

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_G	האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של המערכת (הגרם והגוף)	[J]
M	מסת הגרם שהוא המקור	[kg]
m	מסת הגוף	[kg]
r	המרחק בין המרכזים	[m]

שימור האנרגיה בשדה רדיאלי

E = 12·m·v² − G·M·mr = const

12·m·v₁² − G·M·mr₁ = 12·m·v₂² − G·M·mr₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	האנרגיה המכנית הכוללת	[J]
v₁ , v₂	המהירות במרחקים r₁ ו-r₂	[m/s]

מהירות מילוט

v_esc = 2·G·MR

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_esc	מהירות המילוט מפני הגרם	[m/s]
M	מסת הגרם	[kg]
R	רדיוס הגרם (או המרחק שממנו משוגר הגוף)	[m]

אנרגיית לוויין במסלול מעגלי

E_k = G·M·m2r

U_G = −G·M·mr

E = E_k + U_G = −G·M·m2r

E_b = −E

האנרגיות של לוויין במסלול מעגלי: U_G = −2E_k , E = −E_k

סימן	משמעות	יחידת מידה
E_k	האנרגיה הקינטית	[J]
U_G	האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית	[J]
E	האנרגיה הכוללת: שלילית — הלוויין כבול	[J]
r	רדיוס המסלול	[m]
E_b	אנרגיית הקשר: האנרגיה הקטנה ביותר שיש לתת לגוף כדי שיימלט	[J]