כבידה

רקע היסטורי וחוקי קפלר (Historical Background and Kepler's Laws)

לפני שנכתוב משוואה כלשהי, נתעכב על השאלה שהעסיקה את האדם מימי קדם: כיצד נעים גרמי השמיים, ומה מקומו של כדור הארץ ביניהם? התשובה שאנו מכירים היום לא הגיעה בבת אחת, אלא נבנתה נדבך על גבי נדבך במשך אלפיים שנה. נעקוב כאן אחר התחנות העיקריות בסיפור הזה, כי הבנת הדרך עוזרת להבין את החוק שמחכה לנו בסופה.

פיתגורס ואריסטו — הארץ במרכז:

במאה השישית לפני הספירה לימדו פיתגורס ותלמידיו שהארץ היא כדור, שהיא נחה במרכז היקום, ושהשמש, הירח, כוכבי הלכת והכוכבים סובבים סביבה על גבי כדורים שקופים בתנועה מעגלית קצובה. זהו המודל הגאוצנטרי: הארץ במרכז, והכול סובב סביבה. למודל הזה הייתה תמיכה בתחושה הישירה: איננו מרגישים את תנועת הארץ, ואנו רואים את השמש ואת הכוכבים זורחים במזרח ושוקעים במערב בכל יום.

במאה הרביעית לפני הספירה נתן אריסטו למודל הזה בסיס פילוסופי ופיזיקלי שנשאר שליט כאלפיים שנה. אריסטו חילק את היקום לשני עולמות השונים זה מזה בטבעם:

• העולם התת-ירחי: כל מה שנמצא מתחת לכדור הירח, כלומר הארץ וסביבתה. החומר שלו מורכב מארבעת היסודות (עפר, מים, אוויר, אש), והוא עולם של שינוי וכיליון. התנועה הטבעית בו היא בקו ישר: גופים כבדים נופלים מטה אל מרכז היקום, וגופים קלים עולים מעלה.
• העולם העל-ירחי: הירח ומה שמעליו. החומר שלו הוא יסוד חמישי מושלם שאינו משתנה, "האתר", והתנועה הטבעית בו היא תנועה מעגלית קצובה שאין לה התחלה ואין לה סוף, כי המעגל הוא הצורה המושלמת.

תלמי — מעגל משני ומעגל ראשי:

במודל הכדורים הפשוט היה פגם ברור: כוכבי הלכת אינם נעים בשמיים באופן קצוב. כשעוקבים, למשל, אחר מאדים לילה אחר לילה על רקע הכוכבים, רואים אותו מתקדם מזרחה, ואז מאט ונעצר, ואז חוזר מערבה במשך כמה שבועות, ונעצר שוב וממשיך להתקדם. התופעה הזאת נקראת תנועה נסוגה, ותנועה מעגלית קצובה אחת סביב הארץ אינה יכולה ליצור אותה. בנוסף, בהירות כוכב הלכת משתנה בזמן הזה, כאילו הוא מתקרב ומתרחק.

במאה השנייה לספירה בנה תלמי באלכסנדריה מודל מתמטי שפותר את הבעיה הזאת ושומר על הארץ במרכז ועל התנועה המעגלית הקצובה. הרעיון: כוכב הלכת אינו סובב ישירות סביב הארץ, אלא סובב על מעגל קטן הנקרא מעגל משני (אפיציקל), ומרכזו של המעגל הזה הוא שסובב סביב הארץ על מעגל גדול הנקרא מעגל ראשי. כשכוכב הלכת נמצא בחלק הפנימי של המעגל המשני, תנועתו מנוגדת לתנועת המרכז, ולכן מן הארץ נראה כאילו הוא נסוג, ובאותו זמן הוא קרוב יותר אלינו ובהיר יותר.
בעזרת מעגלים משניים נוספים ותיקונים אחרים הצליח תלמי לחזות את מקומות כוכבי הלכת בדיוק סביר, וספרו "אלמגסט" נשאר הספר המרכזי באסטרונומיה, אצל הערבים ובאירופה, במשך כארבע-עשרה מאות שנים.

קופרניקוס — המודל ההליוצנטרי:

בשנת 1543 פרסם האסטרונום הפולני ניקולאוס קופרניקוס את ספרו "על סיבובי הגלגלים השמימיים", והציע בו את המודל ההליוצנטרי: השמש נחה במרכז, והארץ היא כוכב לכת ככל כוכבי הלכת, הסובב סביבה פעם בשנה וסביב צירו פעם ביום, ורק הירח סובב סביב הארץ.

יתרונות המודל:

• התנועה הנסוגה מוסברת באופן טבעי בלי מעגלים משניים: הארץ, הקרובה יותר לשמש, מהירה ממאדים, וכשהיא עוקפת אותו הוא נראה לנו נסוג, בדיוק כמו שמכונית איטית שאנו עוקפים בכביש נראית כאילו היא נוסעת לאחור. בזמן הזה מאדים קרוב יותר אלינו — ולכן בהירותו גדלה.
• כוכבי הלכת מסתדרים בסדר טבעי אחד לפי מרחקם מן השמש ולפי זמן המחזור שלהם: כוכב חמה הקרוב והמהיר ביותר, ואחריו נוגה, הארץ, מאדים, צדק ושבתאי.
• כוכב חמה ונוגה לעולם אינם מתרחקים בשמיים מן השמש יותר מזווית מוגבלת; במודל של קופרניקוס זה מובן מאליו, כי מסלוליהם נמצאים בתוך מסלול הארץ.
• התנועה היומית של השמיים כולם (זריחה ושקיעה של הכול) מוסברת בסיבוב אחד של הארץ סביב צירה, במקום סיבוב של אלפי כוכבים.

חסרונות המודל וקשייו:

• קופרניקוס נשאר נאמן לתנועה המעגלית הקצובה, ולכן גם הוא נזקק למעגלים משניים קטנים כדי לקרב את החישובים לתצפיות, ותחזיותיו לא היו מדויקות יותר משל תלמי.
• לא נצפתה שום פרלקסה של הכוכבים (שינוי קל בכיוונם כשהארץ עוברת מצד אחד של מסלולה לצד השני). תשובתו של קופרניקוס — שהכוכבים רחוקים מאוד — הייתה נכונה, אבל היא הוכחה רק בשנת 1838.
• המודל סתר את הפיזיקה של אריסטו: אם הארץ נעה במהירות עצומה, מדוע איננו מרגישים בכך? ומדוע אבן נופלת אנכית ואינה מפגרת מערבה? עדיין לא הייתה תורת תנועה שתענה על כך (את זו ייסדו גלילאו וניוטון מאוחר יותר).
• אנשי הדת התנגדו לו, משום שהזיז את הארץ — ואיתה את האדם — ממרכז היקום.

טיכו ברהה — תצפיות:

את המחלוקת בין שני המודלים לא הכריע הוויכוח הפילוסופי, אלא המדידה. האסטרונום הדני טיכו ברהה (1546–1601) בנה באי שלו מצפה ענק ומכשירי תצפית גדולים ומדויקים (בלי טלסקופ, שעוד לא הומצא), ובמשך יותר מעשרים שנה צפה במקומות כוכבי הלכת והכוכבים בדיוק שאיש לא השיג לפניו: כדקת קשת אחת, כלומר חלק השישים של מעלה — מדויק פי עשרה מכל מה שקדם לו. הוא גם צפה בשנת 1572 בכוכב חדש שהופיע ואחר כך דעך (סופרנובה), ובשנת 1577 בשביט שנע הרחק מעבר לירח — שתי ראיות לכך שהשמיים "המושלמים שאינם משתנים" של אריסטו אכן משתנים.

טיכו לא קיבל את המודל של קופרניקוס, והציע מודל ביניים שבו כוכבי הלכת סובבים סביב השמש, והשמש עם כל כוכבי הלכת סובבת סביב ארץ נחה. אבל הדבר החשוב ביותר שהשאיר אחריו אינו המודל שלו, אלא טבלאות התצפית המדויקות שלו — ובמיוחד התצפיות במאדים — שירש עוזרו הצעיר יוהנס קפלר.

גלילאו — תגליות בטלסקופ:

בשנת 1609 שמע גלילאו גליליי על המצאת הטלסקופ בהולנד, בנה לעצמו טלסקופ משופר וכיוון אותו לשמיים. בתוך חודשים ספורים גילה ארבע תופעות ששינו את תמונת היקום:

1. פני הירח: הוא ראה הרים, מכתשים, מישורים וצללים המשתנים עם גובה השמש מעליהם, ומדד את גובה ההרים מאורכי צלליהם. הירח, אם כן, הוא גוף שטבעו כטבע הארץ, ולא כדור חלק ומושלם של "אתר" כפי שאמר אריסטו.
2. שביל החלב: התברר שהרצועה המעורפלת שחוצה את השמיים מורכבת מאלפי כוכבים חלשים שהעין הבלתי מזוינת אינה רואה. היקום גדול ועשיר בהרבה ממה שחשבו, והכוכבים עשויים להיות רחוקים מאוד — וזה תומך בתשובתו של קופרניקוס בעניין הפרלקסה.
3. ירחי צדק: הוא ראה ליד צדק ארבע נקודות מאירות שמשנות את מקומן לילה אחר לילה, ועקב אחריהן עד שהשתכנע שאלה ירחים הסובבים סביבו. זו מכה ניצחת לטענה מרכזית נגד קופרניקוס: "אילו הארץ סבבה סביב השמש, הירח היה מפגר אחריה". הנה גופים הסובבים סביב גוף נע, והנה מרכז סיבוב ביקום שאינו הארץ.
4. מופעי נוגה: הוא ראה שלנוגה יש מופעים כמו מופעי הירח — סהר, חצי, גיבנת ומלא — ושגודלו הנראה משתנה מאוד ממופע למופע.

גילוי מופעי נוגה היה החשוב מכולם: במודל של תלמי נוגה נשאר תמיד בין הארץ לשמש, ולכן אפשר לראות ממנו רק סהר. אבל לראות את נוגה מלא וקטן, ואחר כך סהר גדול, אפשר להסביר רק בכך שנוגה סובב סביב השמש, ולפעמים הוא מאחוריה ולפעמים לפניה. גלילאו כתב על התגליות האלה ב"שליח הכוכבים" (1610), והפך למגן המפורסם ביותר של המודל של קופרניקוס, ושילם על כך במשפט ובמעצר בית.

קפלר — שלושת החוקים:

יוהנס קפלר (1571–1630) ניסה במשך שנים רבות להתאים את תצפיותיו של טיכו במאדים למסלול מעגלי סביב השמש, ונשאר הפרש קטן ועיקש של שמונה דקות קשת. קפלר סמך על הדיוק של טיכו יותר משסמך על המעגל, ולכן ויתר על רעיון בן אלפיים שנה וניסה צורה אחרת: האליפסה. כאן התאים החישוב לתצפית בדיוק. קפלר ניסח את תוצאותיו בשלושה חוקים: את שני הראשונים פרסם בשנת 1609 ואת השלישי בשנת 1619.

ניסוח החוק הראשון: כל כוכב לכת סובב סביב השמש במסלול שצורתו אליפסה, והשמש נמצאת באחד ממוקדיה.

ניסוח החוק השני (חוק השטחים): הקו המחבר את השמש לכוכב הלכת סורק שטחים שווים בפרקי זמן שווים.

משמעות החוק: מהירות כוכב הלכת אינה קבועה. כשהוא מתקרב לשמש הוא מאיץ, וכשהוא מתרחק הוא מאט. אפשר להפיק מן החוק קשר כמותי בנקודות הפריהליון והאפהליון: בזמן קצר Δt כוכב הלכת עובר קשת קטנה שאורכה v·Δt, והשטח שסורק הקו המחבר הוא בקירוב שטח של משולש שבסיסו v·Δt וגובהו r (בפריהליון ובאפהליון המהירות ניצבת לקו המחבר):

מכיוון שהשטחים הנסרקים באותו זמן שווים, נקבל:

ניסוח החוק השלישי (חוק הזמנים): ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת סביב השמש נמצא ביחס ישר לחזקה השלישית של חצי הציר הראשי של מסלולו. היחס T²a³ זהה לכל כוכבי הלכת הסובבים סביב אותה שמש.

הטבלה מציגה את ערך היחס T²a³ לשישה כוכבי לכת. המרחק נמדד ביחידה אסטרונומית 1 AU = 1.5·10¹¹ m, שהיא המרחק הממוצע בין הארץ לשמש, והזמן בשנים. ביחידות האלה היחס שווה ל-1 בדיוק עבור הארץ, ובקירוב ל-1 עבור כל שאר כוכבי הלכת — זהו החוק השלישי.
היחס קבוע לכל הגופים הסובבים סביב אותו גוף מרכזי; לירחי צדק יש קבוע אחר, וללוויינים של כדור הארץ קבוע שלישי. בסעיף הבא נבין מאין מגיע הקבוע הזה.

חוק הכבידה (The Law of Universal Gravitation)

מחוק קפלר השלישי לחוק הריבוע ההפוך:

קפלר תיאר כיצד נעים כוכבי הלכת, אבל לא ידע מדוע. התשובה הגיעה מאייזק ניוטון בשנת 1687 בספרו "פרינקיפיה". נלך בדרכו ונשתמש בקירוב המסלול המעגלי: כוכב לכת שמסתו m סובב סביב השמש במעגל שרדיוסו r בזמן מחזור T. למדנו בפרק החמישי שתנועה מעגלית קצובה דורשת כוח רדיאלי שגודלו:

(כי v = 2π·rT). עכשיו נכניס את חוק קפלר השלישי: T² = k·r³, כאשר k הוא קבוע אחד לכל כוכבי הלכת. נציב:

קיבלנו תוצאה חשובה: הכוח שמחזיק את כוכב הלכת במסלולו נמצא ביחס ישר למסת כוכב הלכת וביחס הפוך לריבוע מרחקו מן השמש:

לפי החוק השלישי של ניוטון, כוכב הלכת מושך את השמש בכוח שווה בגודלו; ומטעמי סימטריה הכוח הזה צריך להיות ביחס ישר גם למסת השמש M. כך הגיע ניוטון לצורה הכללית F ∝ M·mr². נותרה שאלה נועזת: האם זהו אותו כוח שמפיל גופים על הארץ?

"הירח נופל" — הרעיון הגדול של ניוטון:

סיפור התפוח מפורסם, ועיקרו זה: התפוח נופל לעבר הארץ בתאוצה g. והירח? אילו לא פעל עליו כוח, הוא היה נע בקו ישר לפי חוק ההתמדה. אבל הוא נע במעגל, כלומר סוטה כל הזמן מן הקו הישר לעבר הארץ. גם הירח, אם כן, נופל, בתאוצה רדיאלית a = 4π²·rT² — אבל הוא לעולם אינו מגיע לארץ, כי יש לו מהירות משיקית גדולה.
ניוטון שאל: אם הכוח שמפיל את התפוח והכוח שמפיל את הירח הם כוח אחד שנמצא ביחס ישר ל-1r², אז היחס בין תאוצת התפוח לתאוצת הירח צריך להיות שווה ליחס ההפוך בין ריבועי מרחקיהם ממרכז הארץ. התפוח נמצא במרחק R (רדיוס הארץ) והירח במרחק r:

ניסוח חוק הכבידה:

• r הוא המרחק בין המרכזים, ולא בין פני הגופים. לגוף על פני הארץ r = R (רדיוס הארץ) ולא אפס. ניוטון הוכיח שכדור אחיד מושך כאילו כל מסתו מרוכזת במרכזו.
• שני הכוחות על שני הגופים שווים תמיד בגודלם: הארץ מושכת את התפוח בכוח F, והתפוח מושך את הארץ באותו כוח F. מה שונה הוא התאוצה a = Fm, ולכן התפוח נע והארץ אינה זזה במידה מורגשת.
• הכפלת המרחק מקטינה את הכוח פי ארבעה; הגדלת המרחק פי שלושה מקטינה אותו פי תשעה. הכוח לעולם אינו מתאפס לגמרי, אבל הוא נעשה קטן מאוד.
• הקבוע G קטן מאוד, ולכן איננו מרגישים במשיכה בין גופים רגילים, אלא רק כשאחת המסות עצומה, כמו מסה של כוכב לכת.

ניסוי קוונדיש ו"שקילת" כדור הארץ:

ניוטון לא ידע את ערכו של G. הכוחות בין כוכבי הלכת נותנים לנו רק את המכפלה G·M, ואיננו יכולים להפריד את G ממסת השמש או מסת הארץ. כדי למדוד את G צריך למדוד את כוח המשיכה בין שתי מסות ידועות במעבדה — וזהו כוח קטן כל כך שקשה להאמין, כפי שראינו בדוגמת שני התלמידים.

בשנת 1798 הצליח בכך הפיזיקאי האנגלי הנרי קוונדיש בעזרת מאזני פיתול: מוט ובקצותיו שני כדורי עופרת קטנים, תלוי מאמצעו על חוט דק. קוונדיש קירב שני כדורי עופרת גדולים (מסת כל אחד כ-160 kg) אל הכדורים הקטנים, והם משכו אותם, והמשיכה סובבה את המוט בזווית קטנה מאוד. קוונדיש מדד את הזווית בעזרת מראה וקרן אור, וידע מהו הכוח הדרוש כדי לפתל את החוט בכל זווית, וכך קיבל את כוח המשיכה, וממנו את G. הערך שקיבל היה קרוב מאוד לערך המקובל היום:

קוונדיש קרא לניסוי שלו "שקילת הארץ", כי הידיעה של G מאפשרת מיד לחשב את מסת הארץ. נכתוב את כוח המשיכה על גוף שמסתו m על פני הארץ בשתי דרכים: זהו כוח הכובד m·g, וזהו גם כוח הכבידה לפי חוק הכבידה:

הטבלה מציגה את תאוצת הנפילה החופשית על פני גרמים שונים, מחושבת מן הנוסחה g = G·MR². שימו לב שצדק כבד מן הארץ פי 318 בערך, אבל g על פניו גדול רק פי 2.6 בערך — כי גם הרדיוס שלו גדול, והוא מופיע במכנה בריבוע.

הצלחות נוספות: גילוי נפטון, גאות ושפל:

גילוי נפטון (1846). אחרי גילוי כוכב הלכת אורנוס בשנת 1781 חישבו האסטרונומים את מסלולו לפי חוק הכבידה, אבל התצפיות סטו מן החישוב סטייה קטנה והולכת וגדלה. האסטרונומים לה-ורייה בצרפת ואדמס באנגליה, כל אחד בנפרד, הניחו שכוכב לכת לא ידוע שמעבר לאורנוס מושך אותו ומסיט אותו, וחישבו מן הסטיות היכן צריך להימצא כוכב הלכת הזה. מצפה ברלין כיוון את הטלסקופ שלו אל המקום המחושב ומצא את כוכב הלכת כבר בלילה הראשון, במרחק מעלה אחת בלבד מן המקום הצפוי. זה היה הניצחון הגדול ביותר של חוק ניוטון: כוכב לכת שהתגלה בחוד העט לפני שנראה בעין.

גאות ושפל. פעמיים ביום פני הים בחוף עולים (גאות) ויורדים (שפל). ניוטון הסביר את התופעה כתוצאה של חוק הריבוע ההפוך: משיכת הירח את המים בצד הקרוב אליו חזקה ממשיכתו את מרכז הארץ, ומשיכתו את המים בצד הרחוק חלשה ממשיכתו את המרכז. לכן המים בצד הקרוב נמשכים לעבר הירח יותר מן הארץ כולה, והארץ כולה נמשכת לעבר הירח יותר מן המים בצד הרחוק — והמים בולטים בשני הצדדים יחד.

• בגלל שתי הבליטות יש בערך שתי גאויות ושני שפלים בכל יום; והמרווח ביניהם הוא כ-12 שעות ו-25 דקות, כי הירח מתקדם במסלולו במשך היום.
• גם השמש יוצרת גאות, אבל היא חלשה בערך בחצי מן הגאות של הירח למרות מסתה העצומה, כי מה שחשוב בגאות אינו המשיכה עצמה אלא ההבדל בה בין שני צדי הארץ, וההבדל הזה קטן מהר עם המרחק.
• כשהשמש, הירח והארץ נמצאים על קו אחד (ירח מלא ומולד הירח), שתי הגאויות מצטרפות והגאות היא הגבוהה ביותר (גאות שיא); וכשהם בזווית ישרה זה לזה (רבע) הגאות היא החלשה ביותר.

תנועת לוויינים במסלולים מעגליים:

נכתוב את החוק השני של ניוטון ללוויין שמסתו m הסובב סביב כוכב לכת שמסתו M במעגל שרדיוסו r (נמדד ממרכז כוכב הלכת): הכוח השקול הוא כוח המשיכה, והתאוצה רדיאלית:

מסת הלוויין הצטמצמה: המהירות במסלול אינה תלויה במסת הלוויין, אלא רק במסת כוכב הלכת וברדיוס המסלול. זמן המחזור הוא היקף המסלול חלקי המהירות:

מצאנו שוב את חוק קפלר השלישי — אבל הפעם הקבוע ידוע: T²r³ = 4π²G·M. הוא תלוי רק במסת הגוף המרכזי, ולכן הוא שונה בשמש, בארץ ובצדק. ומהיפוך הנוסחה נקבל כלי רב-עוצמה: מסת כוכב לכת מתוך נתוני ירח הסובב סביבו.

לוויין גאוסטציונרי: לוויין תקשורת ושידור צריך להיראות מן הארץ קבוע בנקודה אחת בשמיים, כדי שהאנטנות יישארו מכוונות אליו. לכן הוא צריך לסוב סביב הארץ בזמן מחזור השווה לזמן הסיבוב של הארץ סביב צירה (24 שעות), במישור קו המשווה, ובכיוון הסיבוב של הארץ. לכל זמן מחזור יש רק רדיוס מסלול אחד — ולכן כל הלוויינים האלה סובבים באותה טבעת.

המושג "שדה", עבודה ואנרגיה בשדה הכבידה (The Field Concept; Work and Energy in the Gravitational Field)

עצמת שדה הכבידה:

עד עכשיו תיארנו את הכבידה ככוח בין שני גופים: הארץ מושכת את התפוח. יש דרך אחרת להסתכל על כך, והיא התבררה כפורייה בהרבה: הארץ יוצרת סביבה, בכל המרחב, שדה כבידה, בין שיש שם תפוח ובין שאין; וכשמניחים את התפוח בנקודה כלשהי, השדה שקיים שם מפעיל עליו כוח. כך אנו מפרקים את הבעיה לשני שלבים: איזה שדה יוצר המקור? ואיזה כוח מפעיל השדה על גוף?

נחשב את עצמת השדה שיוצרת מסה M במרחק r ממרכזה: הכוח על גוף בוחן שמסתו m הוא G·M·mr², ונחלק אותו ב-m:

על פני הארץ r = R, ונקבל g₀ = G·MR² ≈ 10 m/s² — תאוצת הנפילה החופשית המוכרת היא פשוט עצמת שדה הכבידה על פני הארץ. וככל שמתרחקים מן המרכז, השדה נחלש ביחס הפוך לריבוע המרחק:

שדה רדיאלי ושדה אחיד:

מתארים את השדה בקווי שדה: קווים שמראים בכל נקודה את כיוון g, והם צפופים במקום שבו השדה חזק ודלילים במקום שבו הוא חלש.

• שדה רדיאלי: השדה של גרם כדורי. קוויו ישרים ומכוונים אל המרכז, ועצמתו g = G·Mr² משתנה עם המרחק. זה השדה שבו נשתמש ללוויינים, לכוכבי לכת ולכל מה שמתרחק הרבה מפני הארץ.
• שדה אחיד: ליד פני הארץ, כשהגובה h קטן מאוד ביחס ל-R = 6370 km, השינוי ב-g זניח (בגובה 10 km הוא קטן בכ-0.3 אחוזים בלבד). לכן נתייחס לשדה כאל קבוע בגודלו ובכיוונו: קווים מקבילים במרווחים שווים, ו-F = m·g עם g = 10 m/s². זה הקירוב שבו השתמשנו בכל הפרקים הקודמים.

מה התועלת בתיאור הכבידה באמצעות שדה?

1. התיאור מפריד בין המקור לבין הגוף המושפע: מחשבים את השדה פעם אחת, ואחר כך מחשבים בקלות את הכוח על כל גוף: F = m·g.
2. השדה הוא גודל מקומי: מה שקורה לגוף בנקודה מסוימת נקבע רק על ידי השדה בנקודה הזאת, ולא על ידי הגוף הרחוק שיצר אותו. זה פותר את בעיית "הפעולה מרחוק" שהטרידה את ניוטון עצמו.
3. אותו תיאור משמש בחשמל ובמגנטיות: השדה החשמלי E = Fq מוגדר בדיוק כמו g, ותפגשו אותו בפרק הבא של הפיזיקה.
4. הוא מקל על הכללה למקורות רבים: השדה של כמה מסות הוא הסכום הווקטורי של השדות שלהן.

שדה הכבידה כשדה משמר — האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית:

למדנו בפרק השביעי שכוח הכובד הוא כוח משמר: העבודה שלו בין שתי נקודות אינה תלויה במסלול, אלא רק בשתי הנקודות, ולכן אפשר להגדיר לו אנרגיה פוטנציאלית. שם הגדרנו U_G = m·g·h — וזה נכון בשדה האחיד ליד פני הארץ. אבל כשהלוויין עולה אלפי קילומטרים, הכוח נחלש לאורך הדרך, ואי אפשר להכפיל כוח קבוע במרחק. אנו זקוקים לנוסחה כללית לאנרגיה הפוטנציאלית בשדה הרדיאלי.

נתחיל בהסכמה על נקודת האפס. בשדה האחיד בחרנו את האפס על הארץ או בכל מקום נוח. בשדה הרדיאלי יש בחירה טבעית אחת: האנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס במרחק אינסופי, שם השדה מתאפס. הנוסחה המתקבלת מן הבחירה הזאת (ואפשר להוכיח אותה בחלוקת הדרך לקטעים קטנים וסכימת העבודה עליהם) היא:

מדוע הסימן שלילי? כי האפס נמצא באינסוף, וכוח הכבידה הוא כוח משיכה: כדי להרחיק את הגוף מכוכב הלכת צריך להשקיע עבודה חיובית נגד המשיכה, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית גדלה מערך שלילי עד שהיא מגיעה לאפס. גוף הקרוב לכוכב הלכת נמצא "בבור" של אנרגיה, וככל שהוא קרוב יותר — הבור עמוק יותר. מה שחשוב בחישובים הוא תמיד ההפרש באנרגיה הפוטנציאלית בין שתי נקודות, והוא אינו תלוי בבחירת האפס:

האם הנוסחה מתיישבת עם m·g·h? נרים גוף מפני הארץ (r₁ = R) לגובה קטן h (r₂ = R + h):

כאשר h קטן מאוד ביחס ל-R, מתקיים R + h ≈ R, ונקבל ΔU_G ≈ G·MR²·m·h = m·g₀·h — בדיוק הנוסחה הישנה. אם כן, m·g·h אינה שגויה, אלא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית לגבהים קטנים.

המרות אנרגיה בשדה הכבידה:

מכיוון שכוח המשיכה הוא כוח משמר, האנרגיה המכנית נשמרת לגוף הנע בשדה הכבידה בלבד (בלי חיכוך ובלי מנוע): סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית קבוע.

זהו הכלי המרכזי בכל בעיות השיגור והנפילה מגבהים גדולים. שימו לב שמסת הגוף m מופיעה בכל האיברים, ולכן היא מצטמצמת: המהירויות אינן תלויות במסת הגוף המשוגר.

מהירות המילוט ואנרגיית הקשר:

בדוגמה 9.22 הגוף עלה לגובה מוגבל ואז חזר, כי האנרגיה הכוללת שלו הייתה שלילית. ככל שמהירות השיגור גדלה, האנרגיה הכוללת עולה ונקודת המפנה מתרחקת (ראו את גרף האנרגיה הפוטנציאלית). כשהאנרגיה הכוללת מגיעה לאפס, נקודת המפנה עוברת לאינסוף: הגוף מתרחק לעד, ומהירותו קטנה לעבר אפס אך אינה מתאפסת. זהו מצב המילוט.

• מהירות המילוט אינה תלויה במסת הגוף המשוגר ולא בכיוון השיגור (כל עוד אינו פוגע בגרם), אלא רק במסת הגרם וברדיוס שלו.
• השוו למהירות במסלול ליד פני הגרם v = G·MR: מהירות המילוט גדולה ממנה פי 2 בלבד.
• ככל שהגרם כבד יותר וקטן יותר, מהירות המילוט ממנו גדולה יותר. מהירות המילוט מכוכב נייטרונים מגיעה לכמחצית ממהירות האור, וחור שחור הוא גרם שמהירות המילוט ממנו גדולה ממהירות האור — ולכן אפילו האור אינו נמלט ממנו.

האנרגיה הכוללת של לוויין במסלול מעגלי:

נאסוף את מה שלמדנו. ללוויין במסלול מעגלי שרדיוסו r מצאנו v² = G·Mr, ולכן האנרגיה הקינטית שלו:

והאנרגיה הפוטנציאלית שלו U_G = −G·M·mr, שהיא שלילית וגדולה פי שניים מן האנרגיה הקינטית בערכה המוחלט. האנרגיה הכוללת:

הטבלה מסכמת שלושה מסלולים נפוצים: ככל שהמסלול גבוה יותר, המהירות קטנה, זמן המחזור ארוך יותר, והאנרגיה הכוללת גבוהה יותר (פחות שלילית).

איך פותרים שאלה בכבידה?:

1. נקבע מהו הגוף המרכזי (הארץ? השמש? הירח?) וניקח את המסה ואת הרדיוס שלו מנספח הנתונים; מסת הגוף הסובב מצטמצמת בדרך כלל.
2. נמיר את כל הנתונים ליחידות SI: קילומטרים למטרים, ימים ושעות לשניות, טונות לקילוגרמים.
3. נחשב את המרחק מן המרכז r = R + h — לעולם לא נציב את הגובה לבדו.
4. בעיה של כוחות ותנועה מעגלית: נשווה את כוח המשיכה לכוח הרדיאלי G·M·mr² = m·v²r, וממנו נקבל את v, את T ואת M.
5. בעיה של שינוי במרחק או במהירות: נכתוב את שימור האנרגיה עם הנוסחה הכללית U_G = −G·M·mr, ונשתמש ב-m·g·h רק כאשר h ≪ R.
6. נבדוק את הסימן ואת ההיגיון: האנרגיה הכוללת של גוף כבול שלילית; המסלול הגבוה איטי יותר וזמן המחזור בו ארוך יותר; g קטן עם הגובה.

עיקרי הדברים:

• המחלוקת בין המודל הגאוצנטרי למודל ההליוצנטרי לא הוכרעה בוויכוח אלא בתצפית: מופעי נוגה וירחי צדק שגילה גלילאו, ודיוק מדידותיו של טיכו שהוביל את קפלר אל האליפסה.
• שלושת חוקי קפלר מתארים איך נעים כוכבי הלכת: מסלולים אליפטיים והשמש במוקד, שטחים שווים בזמנים שווים (מהר יותר בפריהליון, לאט יותר באפהליון), והיחס בין ריבוע זמן המחזור לחזקה השלישית של חצי הציר הראשי קבוע לכל מה שסובב סביב אותו גוף מרכזי.
• חוק הכבידה מסביר מדוע: הכוח שמפיל את התפוח הוא הכוח שמחזיק את הירח ואת כוכבי הלכת במסלוליהם, והוא עומד ביחס ישר למכפלת המסות וביחס הפוך לריבוע המרחק בין המרכזים.
• שני כוחות המשיכה ההדדיים בין שני גופים שווים תמיד בגודלם, יהיה הבדל המסות אשר יהיה; מה ששונה הוא התאוצה. והמרחק r בכל נוסחאות הפרק נמדד ממרכז הגרם: r = R + h.
• הלוויין אינו זקוק למנוע במסלולו: כוח המשיכה לבדו ממלא את תפקיד הכוח הרדיאלי, ומהירותו וזמן המחזור שלו אינם תלויים במסתו. מתוך זמן המחזור של ירח ורדיוס מסלולו מחשבים את מסת הגוף המרכזי.
• הגרם יוצר סביבו שדה כבידה הנחלש ביחס הפוך לריבוע המרחק; קרוב לפני השטח, כאשר h ≪ R, אנו מתייחסים אל השדה כאל שדה אחיד — וזה הקירוב ששימש אותנו בפרקים הקודמים.
• בשדה הרדיאלי האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלילית והאפס שלה באינסוף, ו-m·g·h אינה אלא מקרה פרטי לגבהים קטנים. גוף שהאנרגיה הכוללת שלו שלילית כבול אל הגרם, וגוף שאנרגייתו אפס או חיובית נמלט — ומכאן מהירות המילוט ואנרגיית הקשר.

סיכום נוסחאות הפרק:

מילון מונחים:

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

תרגילי סיכום:

תרגילי העמקה:

שאלות בגרות לפרק 9

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 6 — כבידה — מסלול אליפטי, חוק השטחים ושדה הכבידה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	מיקום כוכב הלכת	כוכב הלכת נמצא בנקודה P
ב	שלושת ההיגדים על הלוויינים המעגליים	היגד 1 שגוי · היגד 2 נכון · היגד 3 שגוי
ג	מסת כוכב הלכת מתוך הגרף	M ≈ 5.9 · 10²⁴ kg
ד	ביטוי למהירות המילוט	בפתרון המלא
ה	רדיוס כוכב הלכת מתוך הגרף	R ≈ 6.5 · 10⁶ m

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2025 שאלה 6 — הלוויין אקספלורר 1 — מסלול אליפטי מול מסלול מעגלי, שימור אנרגיה, חוק קפלר והעבודה להעלאת מסלול

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	השוואת גודל המהירות ב-A וב-B	גודל המהירות בנקודה A קטן מגודל המהירות בנקודה B
ב	האם כוח הכבידה מבצע עבודה בין A ל-B	כן · כוח הכבידה מבצע עבודה חיובית · W ≈ 2.0×10⁸ J
ג	רדיוס המסלול המעגלי	r ≈ 7.14×10⁶ m ≈ 7,140 km · גובה של כ-770 km מעל פני כדור הארץ
ד	העבודה הדרושה להעלאת הלוויין ב-1,000 km	W ≈ 4.8×10⁷ J
ה	זמן המחזור במסלול החדש	T₂ ≈ 122 min · ארוך מ-100 דקות בכ-22 דקות

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 6 — אורנוס, ירחיו ולוויינים במסלולים מעגליים — כבידה וחוק קפלר השלישי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תאוצת הנפילה החופשית על פני אורנוס	בפתרון המלא
ב	התאוצה הרדיאלית של מירנדה	בפתרון המלא
ג	זמן המחזור של מירנדה	T_M = 1.22271·10⁵ s ≈ 1.22·10⁵ s , כלומר 33.96 שעות
ד	היחס בין זמן המחזור של אריאל לזה של מירנדה	בפתרון המלא
ה	שני לוויינים מלאכותיים סביב כדור הארץ	בפתרון המלא

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 6 — מערכת טראפיסט-1 — חוק קפלר השלישי, שדה הכבידה, מסת הכוכב ואנרגיית המילוט

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	השלמת שתי המשבצות החסרות בטבלה	T של c = 2.41 ימים = 2.0787·10⁵ s , r של d = 3.34·10⁹ m
ב	האם אימן צודק	אימן אינו צודק · v שווה לשורש של G·M חלקי r , ולכן ככל שהמרחק גדל המהירות קטנה
ג(1)	ביטוי לתאוצת כוכב הלכת b	g של b שווה ל 4π²·r חלקי T² , ומספרית 4.01 m/s² ובקירוב 4.0 m/s²
ג(2)	האם המשקל על פני כוכב הלכת b הוא m · g של b	לא · g של b היא עוצמת שדה הכבידה של טראפיסט-1 במקום המסלול , והמשקל על פני כוכב הלכת נקבע מן המסה ומן הרדיוס של כוכב הלכת עצמו
ד	חישוב מסת הכוכב טראפיסט-1	M = 4π²·r³ חלקי מכפלת G ב T² , ומספרית M = 1.80·10²⁹ kg
ה	היחס בין תוספות אנרגיית המילוט	ΔE = G·M·m של s חלקי 2R , ולכן היחס שווה למסת השמש חלקי מסת טראפיסט-1 ומספרית 11.1

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 (נבצרים) שאלה 6 — ירחי מאדים פובוס ודימוס — חוק קפלר השלישי, מסת מאדים, התנגשות פלסטית וזריקה אופקית מגובה הריחוף

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א (1)	רדיוס מסלול דימוס	r_D = 2.346·10⁷ m , כלומר בקירוב 2.35·10⁷ m
א (2)	האם אפשר לחשב את רדיוס מסלול ירח כדור הארץ	לא, אי אפשר. הקבוע של קפלר תלוי במסת הגוף המרכזי, והקבוע שחושב מפובוס ומדימוס שייך למאדים בלבד. מסת כדור הארץ אינה נתונה, ולכן יש משוואה אחת בשני נעלמים
ב	מסת כוכב הלכת מאדים	M = 6.43·10²³ kg
ג	מהירות הגוף המורכב מיד לאחר ההתנגשות	v = 0.299 m/s , כלומר בקירוב 0.30 m/s , בכיוון האופקי של תנועת המטאוריט
ד (1)	תאוצת הכובד ליד פני מאדים	g = 3.71 m/s²
ד (2)	הזמן מן ההתנגשות ועד הפגיעה בפני מאדים	t = 3.28 s , כלומר בקירוב 3.3 שניות לאחר ההתנגשות

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 6 — החללית בראשית 2 — נקודת השוויון בין כוחות הכבידה, יחס רדיוסי המסלולים סביב הירח, התאוצה הצנטריפטלית ובחירת התרשים שמאפשר עצירה רגעית

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	המרחק שבו שני כוחות הכבידה שווים בגודלם	x = 3.457·10⁸ m ממרכז כדור הארץ , כלומר 3.832·10⁷ m ממרכז הירח
ב	היחס בין רדיוסי שני המסלולים	היחס בין r₁ לבין r₂ שווה 1.073 , ובשתי ספרות משמעותיות 1.07
ג	האם יש לגשוש 2 תאוצה, ומה גודלה	כן , יש תאוצה צנטריפטלית המכוונת אל מרכז הירח , וגודלה a = 1.23 m/s²
ד	איזה חוק של ניוטון מתאים לסימטריה של המסות	החוק השלישי של ניוטון , חוק הפעולה והתגובה . הסימטריה של המסות במכפלה m₁·m₂ מבטיחה שוויון בגודל שני הכוחות ההדדיים
ה		תרשים ב . הגז נפלט כלפי פני הירח , ולכן הדחף כלפי מעלה וגדול מכוח הכבידה , השקול כלפי מעלה , הגשוש מאט ועוצר עצירה רגעית בנקודה O

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 (נבצרים) שאלה 6 — לוויין התקשורת עמוס 1 — זמן המחזור, גובה המסלול, התאוצה, חוק קפלר השלישי, והשוואת המהירויות עם נקודה על פני כדור הארץ

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	זמן המחזור של עמוס 1	T = 24 h = 86400 s — מפני שהמהירות הזוויתית של הלוויין שווה לזו של סיבוב כדור הארץ
ב	גובה המסלול מעל פני כדור הארץ	r = 4.23·10⁷ m · h = r − R_E = 3.59·10⁷ m, כלומר כ-35,900 קילומטר מעל פני כדור הארץ
ג	גודל תאוצת הלוויין	a = 0.223 m/s², מכוונת אל מרכז כדור הארץ
ד	גובה מסלולו של הלוויין השני	r₂ = 2.95·10⁷ m · h₂ = 2.31·10⁷ m, כלומר כ-23,100 קילומטר מעל פני כדור הארץ
ה	שלושת ההיגדים	ההיגדים הנכונים הם 1 ו-3 · היגד 2 אינו נכון

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 שאלה 6 — מגדל חלל בקו המשווה — כוח הכבידה בגובה, הכוח שהרצפה מפעילה, זמן ההקפה של לוויין והגובה הגאוסטציונרי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים הכוחות על אכרם	שני כוחות בלבד · כוח הכבידה כלפי מרכז כדור הארץ, מפעיל אותו כדור הארץ · הכוח הנורמלי כלפי מעלה, מפעילה אותו רצפת המגדל · שני החצים שווים באורכם
ב	גודל הכוח שהרצפה מפעילה	N = F_g(r) = 310.14 N ≈ 3.1·10² N
ג	האם הכוח קטן, שווה או גדול	הכוח קטן מזה שבסעיף ב · דרוש שקול כלפי מרכז המעגל m·ω²·r ולכן N = F_g − m·ω²·r ≈ 306.59 N ≈ 307 N
ד	זמן ההקפה של כדור הטניס	T = 9234 s ≈ 9.23·10³ s ≈ 2.565 שעות, כלומר כשעתיים ו 34 דקות
ה	הגובה שבו הרצפה אינה מפעילה כוח	h = r₁ − R = 4.2493·10⁷ − 6.37·10⁶ = 3.6123·10⁷ m ≈ 3.61·10⁷ m ≈ 36100 km

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics