פרק 8

תנועה הרמונית פשוטה

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 10 שעות לימוד

תנועות רבות סביבנו חוזרות על עצמן: מטוטלת השעון, הנדנדה, מיתר הגיטרה, ואפילו מסה התלויה על קפיץ. בפרק הזה נכיר את התנועה המחזורית, ואחר כך סוג מיוחד וחשוב שלה — התנודה ההרמונית הפשוטה. נכתוב את משוואת התנועה שלה ונפתור אותה, ונחיל את הפתרון על קפיץ אנכי ועל מטוטלת פשוטה.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר תנועה מחזורית ונתאר אותה בעזרת זמן המחזור T, התדירות f והתדירות הזוויתית ω.
נאפיין תנודה הרמונית פשוטה לפי הצורה המתמטית של הכוח המחזיר: F = −k·x.
נכתוב את משוואת התנועה של אוסצילטור הרמוני ונפרש את משמעות הקבועים בפתרונה x(t) = A·cos(ω·t + φ).
נחשב את המהירות ואת התאוצה כפונקציה של הזמן, ואת המהירות המרבית והתאוצה המרבית.
נגזור את הנוסחה לזמן המחזור T = 2π·mk ונשתמש בה.
ננתח את הכוחות ואת המרות האנרגיה בתנודות של גוף הקשור לקפיץ אנכי.
נגזור את זמן המחזור של מטוטלת פשוטה T = 2π·ℓg בקירוב הזוויות הקטנות.

תנועה מחזורית, תנודות ותנודות הרמוניות (Periodic Motion, Oscillations, Harmonic Oscillations)

תנועה מחזורית:

תנועה מחזורית: תנועה שחוזרת על עצמה באותה צורה בפרקי זמן שווים. בסוף כל פרק זמן כזה הגוף חוזר לאותו מקום ובאותה מהירות (בגודל ובכיוון). פרק הזמן הקצר ביותר כזה נקרא זמן מחזור.

מבחינה מתמטית, התנועה מחזורית אם בכל רגע t מתקיים:

x(t + T) = x(t)

גרף המקום כפונקציה של הזמן בתנועה מחזורית: אותה צורה חוזרת בכל זמן מחזור T

נתאר את התנועה המחזורית בעזרת שלושה גדלים הקשורים זה לזה:

זמן מחזור, תדירות ותדירות זוויתית

f = 1T

ω = 2πT = 2π·f

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור: הזמן של מחזור שלם אחד	[s]
f	תדירות: מספר המחזורים בשנייה אחת	[Hz]
ω	תדירות זוויתית	[rad/s]

הערה: יחידת התדירות היא הרץ: 1 Hz = 11 s. התדירות הזוויתית נמדדת ברדיאנים לשנייה, ובסעיף הבא נראה מדוע מופיע בה המספר 2π: מחזור שלם מתאים לזווית של 2π רדיאנים בתנועה המעגלית הנלווית.

התנועה	זמן מחזור משוער	מה חוזר על עצמו?
סיבוב כדור הארץ סביב צירו	24 h	מקום השמש בשמיים
מטוטלת שעון הקיר	2 s	מקום המטוטלת ומהירותה
דופק הלב במנוחה	0.8 s	התכווצות שריר הלב
תנודת מיתר הגיטרה (הצליל לה)	2.3 ms	מקום המיתר
המתח ברשת החשמל	20 ms	ערך המתח וכיוונו

דוגמה 8.1

לב של אדם במנוחה פועם בזמן מחזור של 0.8 s. נחשב את תדירות הדופק בהרץ ובפעימות לדקה, ואחר כך את התדירות הזוויתית.

פתרון:

התדירות היא ההופכי של זמן המחזור:

f = 1T = 10.8 = 1.25 Hz

בדקה אחת יש 60 שניות, ולכן מספר הפעימות בדקה:

N = f · 60 = 1.25 · 60 = 75

התדירות הזוויתית:

ω = 2π·f = 2π · 1.25 = 7.85 rad/s

f = 1.25 Hz , ω = 7.85 rad/s

שאלה 8.1: תדירות המתח ברשת החשמל בישראל היא 50 Hz. מהו זמן המחזור, ומהי התדירות הזוויתית?

תנודות:

תנודה: תנועה מחזורית שבה הגוף נע הלוך ושוב סביב נקודה קבועה הנקראת נקודת שיווי משקל, שבה הכוח השקול על הגוף שווה לאפס. התנודות הן משפחה מתוך התנועות המחזוריות: כל תנודה היא מחזורית, אבל לא כל תנועה מחזורית היא תנודה (סיבוב כדור הארץ, למשל, הוא תנועה מחזורית ואינו תנודה).

הדוגמה הבסיסית לתנודה היא גוף הקשור לקפיץ על משטח אופקי חלק. כשמסיטים את הגוף מנקודת שיווי המשקל ומשחררים אותו, הקפיץ מפעיל עליו כוח שמחזיר אותו אל נקודת שיווי המשקל; לכן הכוח הזה נקרא כוח מחזיר. הגוף מגיע לנקודת שיווי המשקל במהירות, עובר אותה, ואז הכוח מחזיר אותו מן הצד השני, וחוזר חלילה.

גוף הקשור לקפיץ אופקי: בנקודת שיווי המשקל הקפיץ אינו מפעיל כוח; בהתארכות או בכיווץ כוח הקפיץ מכוון תמיד אל נקודת שיווי המשקל

משרעת: המרחק הגדול ביותר שאליו מגיע הגוף המתנודד מנקודת שיווי המשקל, ומסמנים אותה באות A. הגוף נע בין המקומות x = +A ו-x = −A, ובמחזור אחד הוא עובר דרך שאורכה 4A.

תנודה הרמונית פשוטה:

תנודה הרמונית פשוטה: תנודה שבה הכוח המחזיר נמצא ביחס ישר להעתק מנקודת שיווי המשקל ומנוגד לו בכיוונו. זו הצורה המתמטית של הכוח כפונקציה של המקום: F = −k·x.

הכוח המחזיר בתנודה הרמונית

F = −k·x

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	הכוח המחזיר (הכוח השקול לאורך התנועה)	[N]
x	ההעתק מנקודת שיווי המשקל	[m]
k	קבוע היחס (בקפיץ: קבוע הקפיץ)	[N/m]

הסימן השלילי הוא לב ההגדרה: כשהגוף מימין לנקודת שיווי המשקל (x > 0) הכוח מכוון שמאלה (F < 0), וכשהוא משמאלה (x < 0) הכוח מכוון ימינה (F > 0). גרף הכוח כפונקציה של המקום הוא קו ישר העובר בראשית, ושיפועו הוא −k. אם הגרף אינו קו ישר, התנודה מחזורית אבל אינה הרמונית.

תנודה הרמונית: קו ישר ששיפועו −k

תנודה לא הרמונית: הכוח אינו ביחס ישר ל-x

דוגמה 8.2

גוף קשור לקפיץ שקבועו 25 N/m על משטח אופקי חלק. נחשב את הכוח המחזיר כשהגוף נמצא במרחק 4 cm מימין לנקודת שיווי המשקל, ואחר כך כשהוא במרחק 4 cm משמאלה.

פתרון:

נמיר את ההעתק למטרים: x = 4 cm = 0.04 m. מימין x = +0.04 m:

F = −k·x = −25 · 0.04 = −1 N

הסימן השלילי פירושו שהכוח מכוון שמאלה, כלומר אל נקודת שיווי המשקל. משמאל x = −0.04 m:

F = −25 · (−0.04) = 1 N

עכשיו הכוח חיובי, כלומר מכוון ימינה — ושוב אל נקודת שיווי המשקל.

F = ∓1 N

שאלה 8.2: בגרף של הכוח המחזיר כפונקציה של המקום התקבל קו ישר העובר בנקודות (0, 0) ו-(0.1 m, −6 N). האם התנודה הרמונית? מהו ערכו של k?

▶ניסוי חי — תנועה מחזורית ותנודה הרמוניתנשנה את קבוע הקפיץ, את המסה ואת המשרעת, נעקוב אחר גרף הכוח כפונקציה של המקום, ונעבור לתנודה לא הרמונית כדי לראות את ההבדל.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#periodic

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#periodic

נוסחאות קינמטיות לתיאור תנועתו של אוסצילטור הרמוני (Kinematics of the Harmonic Oscillator)

משוואת התנועה:

נכתוב את החוק השני של ניוטון לגוף שמסתו m הקשור לקפיץ שקבועו k על משטח אופקי חלק. הכוח היחיד לאורך התנועה הוא כוח הקפיץ:

ΣF = m·a

−k·x = m·a

a = −km·x

זו משוואת התנועה של האוסצילטור ההרמוני: התאוצה נמצאת ביחס ישר להעתק ומנוגדת לו בכיוונה. התאוצה אינה קבועה, ולכן נוסחאות התנועה בתאוצה קבועה שלמדנו בפרק הראשון אינן מתאימות כאן. אנו זקוקים לפונקציה x(t) שהתאוצה שלה שווה למינוס קבוע כפול הפונקציה עצמה.

הפתרון הכללי של משוואת התנועה:

הפונקציה שמקיימת זאת היא פונקציית הקוסינוס (או הסינוס). הפתרון הכללי של משוואת התנועה הוא:

מקום כפונקציה של הזמן

x(t) = A·cos(ω·t + φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
A	משרעת: ההעתק הגדול ביותר מנקודת שיווי המשקל	[m]
ω	תדירות זוויתית, ω = km	[rad/s]
φ	מופע התחלתי: קובע את מקום הגוף ברגע t = 0	[rad]
ω·t + φ	המופע ברגע t	[rad]

משמעות הקבועים: המשרעת A והמופע ההתחלתי φ נקבעים לפי תנאי ההתחלה (היכן היה הגוף ומה הייתה מהירותו ברגע t = 0), ואילו התדירות הזוויתית ω נקבעת על ידי המערכת עצמה: המסה וקבוע הקפיץ בלבד. אם משחררים את הגוף ממנוחה במקום x = A, אז φ = 0 והפתרון הופך ל-x(t) = A·cos(ω·t); זה המקרה שבו נשתמש לרוב.

למה קוסינוס? הקשר לתנועה מעגלית קצובה:

נקודה P נעה בתנועה מעגלית קצובה ברדיוס A; ההיטל שלה על הקוטר האופקי מבצע תנודה הרמונית

נתבונן בנקודה P הנעה על מעגל שרדיוסו A במהירות זוויתית קבועה ω. הזווית שהיא עוברת בזמן t היא ω·t, ולכן שיעור ההיטל שלה על הקוטר האופקי הוא x = A·cos(ω·t) — בדיוק הנוסחה של תנודה הרמונית.
למדנו בפרק החמישי שהתאוצה בתנועה מעגלית קצובה היא רדיאלית וגודלה a_r = ω²·A. ההיטל של תאוצה זו על הציר האופקי הוא a = −ω²·A·cos(ω·t) = −ω²·x. נשווה למשוואת התנועה a = −km·x ונקבל:

ω² = km

ω = km

ומן הקשר ω = 2πT נקבל את הנוסחה לזמן המחזור:

זמן המחזור של אוסצילטור הרמוני

T = 2π·mk

f = 12π·km

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור	[s]
m	מסת הגוף המתנודד	[kg]
k	קבוע הקפיץ	[N/m]

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהגדלת המשרעת מאריכה את זמן המחזור — "דרך ארוכה יותר דורשת זמן רב יותר". בתנודה הרמונית זה אינו נכון: מסה המתנודדת במשרעת 2 cm ומסה המתנודדת במשרעת 10 cm על אותו קפיץ משלימות מחזור באותו זמן, כי השנייה עוברת דרך ארוכה יותר אבל נעה מהר יותר באותו יחס. את זמן המחזור קובעים רק המסה וקבוע הקפיץ, והתכונה הזאת נקראת איזוכרוניות.

המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן:

מן התנועה המעגלית הנלווית נקבל גם את המהירות: גודל מהירותה של הנקודה P על המעגל הוא ω·A, וההיטל שלה על הציר האופקי הוא −ω·A·sin(ω·t). כך נקבל את שלוש הנוסחאות (במקרה φ = 0):

מקום, מהירות ותאוצה

x(t) = A·cos(ω·t)

v(t) = −A·ω·sin(ω·t)

a(t) = −A·ω²·cos(ω·t) = −ω²·x(t)

סימן	משמעות	יחידת מידה
A·ω	המהירות המרבית v_max, בנקודת שיווי המשקל	[m/s]
A·ω²	התאוצה המרבית a_max, בקצות התנועה x = ±A	[m/s²]

המקום (כחול), המהירות (ירוק) והתאוצה (כתום) כפונקציה של הזמן. כשהמקום מרבי המהירות מתאפסת והתאוצה מרבית בכיוון ההפוך; וכשהגוף עובר בנקודת שיווי המשקל המהירות מרבית והתאוצה אפס.

בקצות התנועה (x = ±A): המהירות אפס, והתאוצה מרבית, גודלה A·ω² והיא מכוונת אל נקודת שיווי המשקל.
בנקודת שיווי המשקל (x = 0): התאוצה אפס, והמהירות מרבית וגודלה A·ω.
המהירות והתאוצה מקדימות את המקום במופע: המהירות ברבע מחזור, והתאוצה בחצי מחזור.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים ש"הכול מתאפס" בקצות התנודה, כי הגוף עוצר שם לרגע. האמת היא שרק המהירות מתאפסת בקצוות, ואילו הכוח המחזיר והתאוצה מגיעים שם דווקא לערכיהם המרביים (k·A ו-ω²·A) — אלמלא כן היה הגוף נשאר תקוע בקצה ולא היה חוזר לעולם. ובנקודת שיווי המשקל המצב הפוך בדיוק: המהירות מרבית, והכוח והתאוצה אפס.

דוגמה 8.3

גוף שמסתו 0.5 kg קשור לקפיץ שקבועו 200 N/m על משטח אופקי חלק. מושכים את הגוף למרחק 4 cm מנקודת שיווי המשקל ומשחררים אותו ממנוחה ברגע t = 0. נחשב:
א. את התדירות הזוויתית, את זמן המחזור ואת התדירות.
ב. את המהירות המרבית ואת התאוצה המרבית.
ג. את מקום הגוף ואת מהירותו ברגע t = 0.1 s.

פתרון:

א. את התדירות הזוויתית קובעים המסה וקבוע הקפיץ:

ω = km = 2000.5 = 20 rad/s

T = 2πω = 2π20 = 0.314 s

f = 1T = 3.18 Hz

ב. הגוף שוחרר ממנוחה במרחק 4 cm, ולכן המשרעת היא A = 0.04 m:

v_max = A·ω = 0.04 · 20 = 0.8 m/s

a_max = A·ω² = 0.04 · 20² = 16 m/s²

ג. הגוף שוחרר ממנוחה ב-x = A, ולכן φ = 0, ונציב בנוסחאות (הזווית ברדיאנים):

x(0.1) = A·cos(ω·t) = 0.04 · cos(20 · 0.1) = 0.04 · cos(2) = −0.0166 m

v(0.1) = −A·ω·sin(ω·t) = −0.04 · 20 · sin(2) = −0.727 m/s

המקום שלילי והמהירות שלילית: הגוף נמצא משמאל לנקודת שיווי המשקל ומתרחק ממנה לעבר הקצה x = −A.

T = 0.314 s , v_max = 0.8 m/s , x(0.1) = −0.0166 m

שימו לב: כשמחשבים cos(ω·t) יש לכוון את המחשבון למצב רדיאנים (RAD), כי ω·t היא זווית ברדיאנים ולא במעלות.

דוגמה 8.4

מקומו של גוף מתנודד נתון בפונקציה x(t) = 0.06·cos(5·t) (ביחידות SI). נמצא את המשרעת, את התדירות הזוויתית, את זמן המחזור, את המהירות המרבית ואת התאוצה המרבית.

פתרון:

נשווה לנוסחה הכללית x(t) = A·cos(ω·t) ונקרא ישירות:

A = 0.06 m

ω = 5 rad/s

T = 2πω = 2π5 = 1.26 s

v_max = A·ω = 0.06 · 5 = 0.3 m/s

a_max = A·ω² = 0.06 · 25 = 1.5 m/s²

T = 1.26 s , v_max = 0.3 m/s , a_max = 1.5 m/s²

שאלה 8.3: גוף שמסתו 2 kg קשור לקפיץ שקבועו 50 N/m ומתנודד במשרעת 10 cm. חשבו את זמן המחזור ואת המהירות המרבית. מה קורה לזמן המחזור אם מכפילים את המשרעת?

אנרגיה בתנודה הרמונית:

על משטח חלק אין כוחות לא משמרים, ולכן האנרגיה המכנית נשמרת: סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית האלסטית של הקפיץ (פרק 4) קבוע לאורך כל התנועה. בקצות התנועה כל האנרגיה אלסטית, ובנקודת שיווי המשקל כולה קינטית:

שימור האנרגיה בתנודה

E = 12·k·A² = 12·m·v² + 12·k·x²

v = ω·A² − x²

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	האנרגיה המכנית הכוללת	[J]
x	המקום הרגעי	[m]
v	המהירות במקום x	[m/s]

דוגמה 8.5

במערכת של דוגמה 8.3 (m = 0.5 kg , k = 200 N/m , A = 4 cm) נחשב את האנרגיה הכוללת ואת מהירות הגוף כשהוא עובר במקום x = 2 cm.

פתרון:

האנרגיה הכוללת שווה לאנרגיה הפוטנציאלית האלסטית בקצה:

E = 12·k·A² = 12 · 200 · 0.04² = 0.16 J

במקום x = 0.02 m חלק מן האנרגיה אלסטי והשאר קינטי:

12·m·v² = E − 12·k·x² = 0.16 − 12 · 200 · 0.02² = 0.12 J

v = 2 · 0.120.5 = 0.693 m/s

נבדוק בנוסחה השנייה: v = ω·A² − x² = 20 · 0.04² − 0.02² = 0.693 m/s — אותה תוצאה.

E = 0.16 J , v = 0.693 m/s

▶ניסוי חי — נוסחאות קינמטיות של אוסצילטור הרמונינכוון את המשרעת, את התדירות הזוויתית ואת המופע ההתחלתי, ונעקוב בו-זמנית אחר גרפי המקום, המהירות והתאוצה ואחר הגדלים האופייניים: המהירות המרבית והתאוצה המרבית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#shmkin

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#shmkin

דוגמאות: תנודות גוף הקשור לקפיץ אנכי ותנודות של מטוטלת פשוטה (Vertical Spring and Simple Pendulum)

תנודות גוף הקשור לקפיץ אנכי — ניתוח כוחות:

נתלה גוף שמסתו m על קפיץ אנכי שקבועו k. על הגוף פועלים שני כוחות: כוח הכובד m·g כלפי מטה, וכוח הקפיץ כלפי מעלה. במצב שיווי משקל הקפיץ מתארך בשיעור x₀ שבו שני הכוחות מאזנים זה את זה:

k·x₀ = m·g

x₀ = m·gk

קפיץ אנכי: חופשי, בשיווי משקל עם המסה (התארכות x₀), ובנקודה התחתונה במהלך התנודה (התארכות x₀ + A)

עכשיו נמשוך את הגוף למרחק A מתחת לנקודת שיווי המשקל ונשחרר אותו. נמדוד את ההעתק x מנקודת שיווי המשקל החדשה (הכיוון החיובי כלפי מטה). התארכות הקפיץ היא x₀ + x, והכוח השקול על הגוף:

ΣF = m·g − k·(x₀ + x) = m·g − k·x₀ − k·x

ΣF = −k·x

המשקל התקזז לגמרי עם החלק הקבוע של כוח הקפיץ, ונשארה אותה משוואת תנועה של הקפיץ האופקי. התוצאה חשובה:

הערה: כוח הכובד אינו משנה את זמן המחזור של התנודות על קפיץ אנכי; תפקידו היחיד הוא להזיז את נקודת שיווי המשקל כלפי מטה בשיעור x₀ = m·gk. זמן המחזור נשאר T = 2π·mk, ו-g אינו מופיע בו כלל.

דוגמה 8.6

גוף שמסתו 0.4 kg תלוי על קפיץ אנכי שקבועו 80 N/m. מושכים את הגוף 3 cm מתחת לנקודת שיווי המשקל שלו ומשחררים אותו ממנוחה. נחשב:
א. את התארכות הקפיץ בשיווי משקל.
ב. את זמן המחזור ואת המהירות המרבית.
ג. את הכוח שמפעיל הקפיץ בנקודה התחתונה ובנקודה העליונה.

פתרון:

א. בשיווי משקל כוח הקפיץ שווה למשקל:

x₀ = m·gk = 0.4 · 1080 = 0.05 m = 5 cm

ב. זמן המחזור כמו בקפיץ האופקי, והמשרעת היא מרחק המשיכה A = 0.03 m:

T = 2π·mk = 2π·0.480 = 0.444 s

ω = km = 14.14 rad/s

v_max = A·ω = 0.03 · 14.14 = 0.424 m/s

ג. בנקודה התחתונה התארכות הקפיץ היא הגדולה ביותר, x₀ + A, ובנקודה העליונה — הקטנה ביותר, x₀ − A:

F_max = k·(x₀ + A) = 80 · (0.05 + 0.03) = 6.4 N

F_min = k·(x₀ − A) = 80 · (0.05 − 0.03) = 1.6 N

בנקודה התחתונה כוח הקפיץ גדול מן המשקל (4 N), ולכן הגוף מאיץ כלפי מעלה; בנקודה העליונה הוא קטן מן המשקל, ולכן הגוף מאיץ כלפי מטה.

x₀ = 5 cm , T = 0.444 s , F_max = 6.4 N

המרות אנרגיה בקפיץ אנכי:

בקפיץ אנכי יש שלושה סוגי אנרגיה: קינטית, פוטנציאלית אלסטית בקפיץ, ופוטנציאלית כובדית. סכומן קבוע. כשהגוף יורד מן הנקודה העליונה אל הנקודה התחתונה, האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית קטנה ב-m·g·2A, והאנרגיה הפוטנציאלית האלסטית גדלה בדיוק באותו שיעור — בשתי נקודות הקצה המהירות אפס, ולכן אין ביניהן הפרש. בנקודות הביניים האנרגיה האלסטית שנצברה קטנה מן הכובדית שאבדה, וההפרש הוא האנרגיה הקינטית. ביחס לנקודת שיווי המשקל החדשה אפשר לקצר את החישוב: סכום האנרגיה הכובדית והאלסטית מתנהג בדיוק כמו אנרגיה פוטנציאלית אלסטית אחת 12·k·x² הנמדדת מנקודת שיווי המשקל, ולכן הנוסחה E = 12·k·A² נשארת תקפה.

דוגמה 8.7

במערכת של הדוגמה הקודמת נחשב את האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית בנקודה התחתונה ובנקודה העליונה, ונראה שההפרש שווה לשינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית.

פתרון:

U_sp,low = 12·k·(x₀ + A)² = 12 · 80 · 0.08² = 0.256 J

U_sp,high = 12·k·(x₀ − A)² = 12 · 80 · 0.02² = 0.016 J

ההפרש ביניהן:

ΔU_sp = 0.256 − 0.016 = 0.24 J

השינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית בין שתי הנקודות (הפרש הגבהים 2A):

ΔU_G = m·g·2A = 0.4 · 10 · 0.06 = 0.24 J

בשתי הנקודות המהירות אפס, ואין אנרגיה קינטית; האנרגיה האלסטית שנוספה שווה בדיוק לאנרגיה הכובדית שאבדה — האנרגיה נשמרת.

ΔU_sp = ΔU_G = 0.24 J

שאלה 8.4: מסה של 0.2 kg תלויה על קפיץ אנכי שקבועו 50 N/m ומתנודדת במשרעת 4 cm. חשבו את התארכות הקפיץ בשיווי משקל, את זמן המחזור ואת כוח הקפיץ המרבי.

▶ניסוי חי — תנודות גוף הקשור לקפיץ אנכינתלה את המסה ונבחין בנקודת שיווי המשקל החדשה, ואחר כך נמשוך אותה ונעקוב אחר המרות שלושת סוגי האנרגיה ואחר כוח הקפיץ במהלך התנודה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#vspring

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#vspring

מטוטלת פשוטה וקירוב הזוויות הקטנות:

מטוטלת פשוטה: גוף נקודתי שמסתו m התלוי על חוט חסר מסה ובלתי מתיח שאורכו ℓ. כשמסיטים אותו מן המצב האנכי ומשחררים אותו, הוא מתנודד הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל.

הכוחות על גוף המטוטלת: המתיחות לאורך החוט, וכוח הכובד שאותו נפרק לרכיב לאורך החוט (m·g·cos θ) ולרכיב משיקי למסלול (m·g·sin θ) — וזהו הכוח המחזיר

על הגוף פועלים שני כוחות: המתיחות T לאורך החוט, וכוח הכובד m·g. נפרק את כוח הכובד לשני רכיבים: m·g·cos θ לאורך החוט, ו-m·g·sin θ משיקי למסלול. הרכיב המשיקי הוא הכוח המחזיר, כי הוא מכוון תמיד אל נקודת שיווי המשקל:

F = −m·g·sin θ

הכוח הזה נמצא ביחס ישר ל-sin θ ולא להעתק עצמו, ולכן התנודה של המטוטלת אינה הרמונית במדויק. אבל בזוויות קטנות (עד כ-10°) הסינוס שווה בקירוב לזווית ברדיאנים: sin θ ≈ θ. ההעתק לאורך הקשת הוא x = ℓ·θ, ומכאן θ = xℓ:

F ≈ −m·g·θ = −m·gℓ·x

קיבלנו כוח מחזיר מהצורה F = −k·x עם קבוע אפקטיבי k = m·gℓ. נציב בנוסחה לזמן המחזור:

T = 2π·mk = 2π·mm·g/ℓ

זמן המחזור של מטוטלת פשוטה

T = 2π·ℓg

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור	[s]
ℓ	אורך החוט (עד מרכז הגוף)	[m]
g	תאוצת הנפילה החופשית	[m/s²]

הערה: זמן המחזור של המטוטלת אינו תלוי במסת הגוף ולא במשרעת (כל עוד הזוויות קטנות), אלא רק באורך החוט ובתאוצת הנפילה החופשית. כדי להכפיל את זמן המחזור צריך חוט ארוך פי ארבעה.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שמטוטלת שמסתה גדולה יותר מתנדנדת מהר יותר (או לאט יותר). האמת היא שזמן המחזור אינו תלוי במסה כלל: הגדלת המסה מגדילה את הכוח המחזיר m·g·sin θ ומגדילה את ההתמדה באותו יחס, והמסה מצטמצמת ממשוואת התנועה — בדיוק כפי שכל הגופים נופלים באותה תאוצה בנפילה חופשית. ובזכות אי-התלות גם במשרעת (איזוכרוניות) שימשה המטוטלת לב השעונים המדויקים במשך מאות שנים.

הזווית θ	θ ברדיאנים	sin θ	השגיאה היחסית
5°	0.0873	0.0872	0.13 %
10°	0.1745	0.1736	0.51 %
20°	0.3491	0.342	2.1 %
45°	0.7854	0.7071	11.1 %

הטבלה מראה את גבולות הקירוב: עד 10° השגיאה קטנה מחצי אחוז, וב-45° הקירוב כבר אינו קביל.

דוגמה 8.8

אורך החוט של מטוטלת פשוטה הוא 1 m. נחשב את זמן המחזור שלה, ואחר כך נמצא את האורך הדרוש לזמן מחזור של שתי שניות בדיוק (מטוטלת השניות).

פתרון:

T = 2π·ℓg = 2π·110 = 1.99 s

כדי לקבל T = 2 s נבודד את האורך מן הנוסחה:

T² = 4π²·ℓg

ℓ = g·T²4π² = 10 · 2²4π² = 1.013 m

T = 1.99 s , ℓ = 1.013 m

מדידת תאוצת הנפילה החופשית בעזרת מטוטלת:

הנוסחה לזמן המחזור נותנת לנו דרך מדויקת למדוד את g: נמדוד את הזמן של 10 מחזורים (כדי להקטין את שגיאת המדידה) ונחשב את זמן המחזור, ואז נבודד את g:

g = 4π²·ℓT²

דוגמה 8.9

תלמיד מדד את הזמן של 10 מחזורים שלמים של מטוטלת שאורכה 0.8 m וקיבל 17.9 s. נחשב את תאוצת הנפילה החופשית.

פתרון:

זמן מחזור אחד:

T = 17.910 = 1.79 s

g = 4π²·ℓT² = 4π² · 0.81.79² = 9.86 m/s²

התוצאה קרובה לערך המוכר, וההבדל נובע מדיוק המדידה ומכך שהזוויות אינן קטנות לגמרי.

g ≈ 9.9 m/s²

שאלה 8.5: מטוטלת שאורכה 2.5 m נמצאת על פני הירח, שם g = 1.6 m/s². חשבו את זמן המחזור שלה, והשוו לזמן המחזור של אותה מטוטלת על פני כדור הארץ.

▶ניסוי חי — מטוטלת פשוטהנשנה את אורך החוט, את המסה ואת זווית ההתחלה, ונבדוק מתי זמן המחזור עדיין מתאים לנוסחה ומתי קירוב הזוויות הקטנות מתחיל להיכשל.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#pend

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_shm#pend

השוואה: גרף כוח–מקום בתנודה הרמונית ולא הרמונית:

הכוח המחזיר כפונקציה של המקום: קו ישר בקפיץ, ועקומה במטוטלת בזוויות גדולות

בקפיץ אידיאלי גרף הכוח המחזיר כפונקציה של המקום הוא קו ישר העובר בראשית, בכל משרעת; לכן זמן המחזור נשאר קבוע. במטוטלת הכוח נמצא ביחס ישר ל-sin θ: קרוב לראשית העקומה מתלכדת עם הקו הישר, וככל שהזווית גדלה העקומה מתכופפת אל מתחת לקו — הכוח המחזיר קטן ממה שדורשת תנודה הרמונית, ולכן זמן המחזור מתארך מעט כשהמשרעת גדלה.
הכלל הכללי: כל עקומת כוח–מקום שאינה קו ישר העובר בראשית מתארת תנודה מחזורית אך לא הרמונית, וזמן המחזור שלה תלוי במשרעת.

עיקרי הדברים:

תנועה מחזורית חוזרת על עצמה באותה צורה בכל זמן מחזור; התדירות היא מספר המחזורים בשנייה אחת, והתדירות הזוויתית קושרת את התנודה לתנועה המעגלית הנלווית.
תנודה היא תנועה מחזורית הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל, והכוח המחזיר מכוון תמיד אל הנקודה הזאת.
התנודה הרמונית פשוטה רק כאשר הכוח המחזיר נמצא ביחס ישר להעתק ומנוגד לו: גרף הכוח כפונקציה של המקום הוא קו ישר העובר בראשית.
פתרון משוואת התנועה הוא פונקציית הקוסינוס: המשרעת והמופע ההתחלתי נקבעים לפי תנאי ההתחלה, ואילו את התדירות הזוויתית קובעת המערכת עצמה.
בקצות התנועה המהירות אפס והתאוצה מרבית; בנקודת שיווי המשקל המהירות מרבית והתאוצה אפס.
זמן המחזור אינו תלוי במשרעת (איזוכרוניות), ובמטוטלת פשוטה הוא אינו תלוי גם במסה.
האנרגיה המכנית נשמרת בתנודה: היא מומרת בין קינטית לאלסטית (ולכובדית בקפיץ אנכי), וסכומן קבוע.
המטוטלת הפשוטה הרמונית בקירוב רק בזוויות קטנות; אז זמן המחזור שלה תלוי רק באורך החוט ובתאוצת הנפילה החופשית.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
תדירות ותדירות זוויתית	f = 1T , ω = 2πT = 2π·f
הכוח המחזיר בתנודה הרמונית	F = −k·x
משוואת התנועה	a = −km·x = −ω²·x
מקום כפונקציה של הזמן	x(t) = A·cos(ω·t + φ)
מהירות ותאוצה	v(t) = −A·ω·sin(ω·t) , a(t) = −A·ω²·cos(ω·t)
ערכים מרביים	v_max = A·ω , a_max = A·ω²
זמן המחזור של מסה וקפיץ	T = 2π·mk
האנרגיה בתנודה	E = 12·k·A² = 12·m·v² + 12·k·x²
המהירות במקום x	v = ω·A² − x²
התארכות בשיווי משקל בקפיץ אנכי	x₀ = m·gk
זמן המחזור של מטוטלת פשוטה	T = 2π·ℓg

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
תנועה מחזורית	Periodic motion	الحركة الدورية
זמן מחזור	Period	زمن الدورة
תדירות	Frequency	التردّد
תדירות זוויתית	Angular frequency	التردّد الزاوي
תנודה	Oscillation	الاهتزاز
נקודת שיווי משקל	Equilibrium point	نقطة الاتّزان
כוח מחזיר	Restoring force	القوّة المُرجِعة
תנודה הרמונית פשוטה	Simple harmonic motion	الاهتزاز التوافقي البسيط
אוסצילטור הרמוני	Harmonic oscillator	المهتزّ التوافقي
משרעת	Amplitude	السعة
מופע (מופע התחלתי)	Phase (initial phase)	الطور (الطور الابتدائي)
משוואת תנועה	Equation of motion	معادلة الحركة
קבוע הקפיץ	Spring constant	ثابت النابض
התארכות	Extension	الاستطالة
אנרגיה פוטנציאלית אלסטית	Elastic potential energy	طاقة المرونة الوضعية (الطاقة الكامنة المرنة)
מטוטלת פשוטה	Simple pendulum	البندول البسيط
קירוב הזוויות הקטנות	Small-angle approximation	تقريب الزوايا الصغيرة
רדיאן	Radian	الراديان

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 8.1) לוחית מתכת מתנודדת בתדירות 4 Hz. חשבו את זמן המחזור, את התדירות הזוויתית ואת מספר התנודות השלמות בדקה.

תשובות: T = 0.25 s , ω = 25.1 rad/s , 240 תנודות

(לסעיף 8.1) גוף מתנודד בין המקומות x = −6 cm ו-x = +6 cm ומשלים 20 תנודות שלמות ב-10 s.
א. מהי משרעת התנודה?
ב. חשבו את זמן המחזור ואת התדירות.
ג. מה אורך הדרך שהגוף עובר במחזור אחד?

תשובות: A = 6 cm , T = 0.5 s , f = 2 Hz , הדרך 24 cm

(לסעיף 8.2) גוף שמסתו 4 kg קשור לקפיץ שקבועו 400 N/m על משטח אופקי חלק. חשבו את זמן המחזור ואת התדירות.

תשובות: T = 0.628 s , f = 1.59 Hz

(לסעיף 8.2) גוף מבצע תנודה הרמונית במשרעת 5 cm ובזמן מחזור 0.5 s. חשבו את המהירות המרבית ואת התאוצה המרבית, וכתבו את x(t) אם התנועה התחילה מן הקצה החיובי.

תשובות: v_max = 0.628 m/s , a_max = 7.9 m/s² , x(t) = 0.05·cos(4π·t)

(לסעיף 8.3) אורכה של מטוטלת פשוטה 40 cm. חשבו את זמן המחזור שלה ואת תדירותה.

תשובות: T = 1.26 s , f = 0.8 Hz

(לסעיף 8.3) מהו אורכה של מטוטלת שזמן המחזור שלה 3 s? ומה קורה לזמן המחזור אם מכפילים את מסת הגוף התלוי?

תשובות: ℓ = 2.28 m ; זמן המחזור אינו משתנה

תרגילי סיכום:

גוף שמסתו 0.25 kg קשור לקפיץ שקבועו 100 N/m ומתנודד במשרעת 8 cm. חשבו את מהירותו כשהוא עובר במקום x = 4 cm, ואת תאוצתו שם.

תשובות: v = 1.39 m/s , a = 16 m/s² (אל נקודת שיווי המשקל)

גוף שמסתו 0.6 kg תלוי על קפיץ אנכי שקבועו 120 N/m ומתנודד במשרעת 3 cm. חשבו את ההתארכות בשיווי משקל, ואת כוח הקפיץ המרבי והמזערי במהלך התנודה.

תשובות: x₀ = 5 cm , F_max = 9.6 N , F_min = 2.4 N

גוף שמסתו 0.2 kg קשור לקפיץ אופקי שקבועו 80 N/m. ברגע מסוים מקומו 3 cm ומהירותו 0.4 m/s. חשבו את משרעת התנודה (השתמשו בשימור האנרגיה).

תשובות: A = 3.6 cm

זמן המחזור של גוף על קפיץ הוא 1.2 s. מהו זמן המחזור אם מכפילים את המסה? ואם מכפילים את קבוע הקפיץ (עם המסה המקורית)?

תשובות: הכפלת המסה: T = 1.7 s ; הכפלת הקבוע: T = 0.85 s

מסה של 0.5 kg נתלתה על קפיץ אנכי, והקפיץ התארך ב-10 cm בשיווי משקל. חשבו את קבוע הקפיץ ואת זמן המחזור של התנודות סביב שיווי המשקל.

תשובות: k = 50 N/m , T = 0.63 s

האנרגיה הכוללת של אוסצילטור הרמוני היא 0.5 J, קבוע הקפיץ 250 N/m והמסה 0.5 kg. חשבו את המשרעת ואת המהירות המרבית.

תשובות: A = 6.32 cm , v_max = 1.41 m/s

בניסוי למדידת g מדדו התלמידים את הזמן של 20 מחזורים של מטוטלת שאורכה 1.5 m וקיבלו 25 s (לא על כדור הארץ!). חשבו את g על אותו כוכב לכת.

תשובות: T = 1.25 s , g = 37.9 m/s²

תרגילי העמקה:

(*) גוף שמסתו 0.3 kg נקשר לקצהו התחתון של קפיץ אנכי שקבועו 60 N/m, ואז משוחרר ממנוחה מן המקום שבו הקפיץ נמצא באורכו הרפוי.
א. הראו שהגוף מבצע תנודה הרמונית שמשרעתה A = m·gk וחשבו אותה.
ב. חשבו את זמן המחזור ואת המהירות המרבית.
ג. חשבו את כוח הקפיץ המרבי במהלך התנודה והראו שהוא שווה לכפליים ממשקל הגוף.

תשובות: A = 5 cm , T = 0.44 s , v_max = 0.71 m/s , F_max = 6 N

(*) גוף מבצע תנודה הרמונית בזמן מחזור 1.2 s, ומשוחרר ממנוחה מן הקצה x = A ברגע t = 0.
א. חשבו את הרגע שבו הגוף עובר בפעם הראשונה במקום x = A2.
ב. איזה חלק מן האנרגיה הכוללת הוא אנרגיה קינטית שם?

תשובות: t = T6 = 0.2 s ; 75 % מן האנרגיה קינטית

(*) מקומו של גוף שמסתו 0.5 kg נתון בפונקציה x(t) = 0.08·cos(4π·t) (ביחידות SI).
א. חשבו את קבוע הקפיץ השקול.
ב. חשבו את האנרגיה הכוללת של התנודה.
ג. באילו מקומות האנרגיה הקינטית שווה לאנרגיה הפוטנציאלית האלסטית?

תשובות: k = 79 N/m , E = 0.25 J , x = ±5.7 cm

תשובות סופיות לשאלות הפרק

8.1 T = 20 ms , ω = 314.2 rad/s

8.2 כן, כי הגרף הוא קו ישר העובר בראשית; k = 60 N/m

8.3 T = 1.26 s , v_max = 0.5 m/s ; זמן המחזור אינו משתנה

8.4 x₀ = 4 cm , T = 0.4 s , F_max = 4 N

8.5 על הירח T = 7.85 s , על כדור הארץ T = 3.14 s

שאלות בגרות לפרק 8

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2025 שאלה 5 — תנועה הרמונית פשוטה — קפיץ אופקי, גרף הכוח מול המקום וקו מגמה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	האם כל תנועה מחזורית היא הרמונית פשוטה	לא · דוגמה נגדית: כדור המוקפץ אלסטית מן הרצפה — מחזורי, אך הכוח השקול עליו קבוע ושווה ל-mg
ב	גרף הפיזור וקו המגמה	קו המגמה הוא F = −15.9·x · שיפוע −15.85 N/m · חיתוך +0.05 N ≈ 0
ג	חישוב המהירות הזוויתית ω	k = 15.85 N/m · ω ≈ 5.6 rad/s · T = 1.12 s
ד	מקום המהירות המרבית וגודלה	המהירות מרבית בנקודת שיווי המשקל x = 0 · v_max = A·ω ≈ 3.4 m/s
ה	השוואת התדירויות בין שני הניסויים	התדירות בניסוי השני שווה לתדירות בניסוי הראשון · f = 0.90 Hz · המשרעת בניסוי השני היא 1.2 m

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2020 שאלה 5 — משקולת על קפיץ אנכי בשני ניסויים — ביטוי המקום בזמן, המהירות במעבר, המסה הנוספת, הסטת נקודת שיווי המשקל וזיהוי גרף התאוצה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	ביטוי המקום y כפונקציה של הזמן	y(t) = 0.20·cos(4·π·t) m , כלומר y(t) = 0.20·cos(12.57·t) m
ב	המהירות במעבר הראשון דרך מחצית ההזזה	גודל המהירות 2.18 m/s , הכיוון כלפי מעלה , כלומר הכיוון השלילי של ציר y , והדבר קורה ברגע t = 0.083 s
ג	חישוב המסה הנוספת m₂	m₂ = 0.0264 kg = 26.4 g
ד		Δ = 0.0279 m , כלומר 2.79 cm , ונקודת שיווי המשקל בניסוי השני נמוכה יותר
ה	זיהוי הגרף של התאוצה כפונקציה של ההעתק	גרף 1 , מפני ש a = −ω²·y הוא ישר דרך ראשית הצירים בשיפוע קבוע ושלילי −157.9 לשנייה בריבוע

הפתרון המלא לבחינת 2020 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2019 שאלה 5 — תנועה הרמונית · מדידת מסה בעזרת קפיץ — זמן המחזור, הגרף של mB מול T, קבוע הקפיץ וארבעת תרשימי הכוחות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	התועלת שבמדידת זמן של 10 מחזורים	השגיאה היחסית קטנה פי 10, מ-10% ל-1%, ולכן ΔT = 0.02 s
ב	ביטוי למסת הגוף B כפונקציה של זמן המחזור	בפתרון המלא
ג	מדוע אין במערכת זמני מחזור קטנים משנייה אחת	T_min = 1.0 s, כי mB = 0 היא המסה הקטנה ביותר האפשרית וכל תוספת מסה רק מאריכה את זמן המחזור
ד	חישוב קבוע הקפיץ	k = 4π² = 39.4784 ≈ 39.5 N/m · והחוק של הגרף הוא mB = T² − 1
ה	ארבעת תרשימי הכוחות ומיקום המסה	(1) מעל · (2) בנקודת שיווי המשקל · (3) מעל · (4) מתחת

הפתרון המלא לבחינת 2019 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.