פרק 7

אנרגיה מכנית ושימורה

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 30 שעות לימוד

בפרקים הקודמים ניתחנו את התנועה בעזרת כוחות וחוקי ניוטון: מצאנו את הכוח השקול, חישבנו את התאוצה ואז השתמשנו במשוואות התנועה. שיטה זו נכונה תמיד, אבל היא נעשית מייגעת כשהכוחות משתנים לאורך המסלול או כשהמסלול עקום. בפרק זה נכיר שיטה שנייה, קצרה יותר במקרים רבים: שיטת האנרגיה. נגדיר עבודה, אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, נוכיח את משפט עבודה–אנרגיה, ונגיע לאחד החוקים החשובים בפיזיקה: חוק שימור האנרגיה המכנית. לאחר מכן ניישם אותו בתנועה במעגל אנכי, בהתנגשויות, ובחישובי הספק ונצילות.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר אנרגיה קינטית E_k = 12·m·v² ועבודה W = F·d·cos θ, ונחשב עבודה של כוח קבוע ועבודה של כוח משתנה כשטח מתחת לגרף.
נוכיח את משפט עבודה–אנרגיה ΣW = ΔE_k ונשתמש בו כדי למצוא מהירות בלי משוואות התנועה.
נבחין בין כוח משמר לכוח לא משמר, ונגדיר אנרגיה פוטנציאלית כובדית m·g·h ואנרגיה פוטנציאלית אלסטית 12·k·x².
ננסח את חוק שימור האנרגיה המכנית וניישם אותו, ונחשב את האנרגיה שהחיכוך הופך לאנרגיה פנימית.
ננתח תנועה במעגל אנכי בשיקולי כוחות ואנרגיה גם יחד, ונמצא את תנאי ההינתקות מן המסלול.
ננתח את המרות האנרגיה בהתנגשות אלסטית ובהתנגשות פלסטית, ונפתור עד הסוף התנגשות אלסטית בממד אחד.
נגדיר הספק P = Wt = F·v ונצילות η, ונשתמש בהם בבעיות פשוטות.

אנרגיה קינטית, עבודה והקשר ביניהן (Kinetic Energy, Work and the Work–Energy Theorem)

אנרגיה קינטית:

כדור המתגלגל במהירות יכול להזיז גוף אחר כשהוא מתנגש בו, ופטיש היורד במהירות נועץ מסמר בעץ. גוף בתנועה "נושא" משהו שבעזרתו הוא יכול לחולל שינוי בגופים אחרים. הדבר הזה הוא האנרגיה הקינטית.

אנרגיה קינטית: האנרגיה שיש לגוף בזכות תנועתו; היא שווה למחצית מכפלת המסה שלו בריבוע מהירותו. אנרגיה היא גודל סקלרי (לא וקטור): יש לה גודל בלבד ואין לה כיוון, והיא לעולם אינה שלילית.

אנרגיה קינטית

E_k = 12·m·v²

סימן	משמעות	יחידת מידה
E_k	אנרגיה קינטית	[J]
m	מסת הגוף	[kg]
v	מהירות הגוף (גודלה)	[m/s]

יחידת האנרגיה היא ג'אול: 1 J = 1 kg·m²/s². שימו לב שהאנרגיה הקינטית עומדת ביחס ישר לריבוע המהירות: אם המהירות גדלה פי 2, האנרגיה הקינטית גדלה פי 4, ואם המהירות גדלה פי 3 — האנרגיה גדלה פי 9. ומכיוון שהמהירות מופיעה בריבוע, סימן המהירות (כיוון התנועה) אינו משפיע: לגוף הנע ימינה ולגוף זהה הנע שמאלה באותה מהירות יש אותה אנרגיה קינטית.

דוגמה 7.1

מכונית שמסתה 1200 kg נוסעת במהירות 72 km/h. נחשב את האנרגיה הקינטית שלה, ואחר כך נבדוק כמה תהיה האנרגיה אם המהירות תוכפל.

פתרון:

נמיר את המהירות ליחידות SI:

v = 723.6 = 20 m/s

E_k = 12·m·v² = 12 · 1200 · 20² = 240000 J

כשהמהירות מוכפלת (v = 40 m/s) האנרגיה הקינטית היא:

E_k = 12 · 1200 · 40² = 960000 J

כלומר פי ארבעה מן האנרגיה המקורית, ולא פי שניים. מסיבה זו מרחק הבלימה גדל פי ארבעה כשהמהירות מוכפלת.

E_k = 240000 J = 240 kJ

הערה: יחידה גדולה יותר: קילו-ג'אול, 1 kJ = 1000 J. האנרגיה של המכונית בדוגמה היא 240 kJ.

שאלה 7.1: לכדור טניס שמסתו 60 g יש אנרגיה קינטית של 54 J. מהי מהירותו? ומהי האנרגיה הקינטית של כדור שמסתו כפולה, הנע במחצית המהירות?

עבודה של כוח קבוע במסלול ישר:

כיצד גוף מקבל אנרגיה קינטית או מאבד אותה? באמצעות הכוחות הפועלים עליו בזמן תנועתו. הגודל הפיזיקלי המתאר "מה שהכוח עושה" לאורך ההעתק נקרא עבודה. נתחיל במקרה הפשוט ביותר: גוף נקודתי נע במסלול ישר, ופועל עליו כוח קבוע F היוצר זווית θ עם כיוון ההעתק d.

עבודה: העבודה של כוח קבוע על גוף הנע בקו ישר היא מכפלת גודל הכוח בגודל ההעתק ובקוסינוס הזווית ביניהם. עבודה היא גודל סקלרי, והיא יכולה להיות חיובית, שלילית או אפס.

עבודה של כוח קבוע

W = F·d·cos θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
W	העבודה	[J]
F	גודל הכוח	[N]
d	גודל ההעתק	[m]
θ	הזווית בין כיוון הכוח לכיוון ההעתק	[°]

כוח F הנטוי בזווית θ מעל האופק מושך גוף על משטח אופקי למרחק d. רק הרכיב F·cos θ, שבכיוון התנועה, מבצע עבודה; הרכיב F·sin θ ניצב לתנועה ואינו מבצע עבודה

המשמעות הגאומטרית של הנוסחה: F·cos θ הוא רכיב הכוח בכיוון ההעתק. הכוח מבצע עבודה רק ברכיב שלו שבכיוון התנועה; הרכיב הניצב לתנועה אינו מבצע עבודה כלל. יחידת העבודה היא יחידת האנרגיה עצמה, ג'אול: 1 J = 1 N·m.

סימן העבודה נקבע לפי הזווית θ:

הכוח בכיוון התנועה (θ = 0): cos θ = 1 והעבודה חיובית — הכוח "מקדם" את התנועה

הכוח ניצב לתנועה (θ = 90°): cos θ = 0 והעבודה אפס

הכוח מנוגד לתנועה (θ = 180°): cos θ = −1 והעבודה שלילית — הכוח "מעכב" את התנועה

הזווית θ	cos θ	סימן העבודה	דוגמה
0°	1	חיובית, מרבית	המתיחות בחוט אופקי המושך עגלה על משטח אופקי
בין 0° ל-90°	חיובי	חיובית	כוח נטוי כלפי מעלה המושך ארגז
90°	0	אפס	הכוח הנורמלי על גוף המחליק על משטח; המתיחות בתנועה מעגלית
בין 90° ל-180°	שלילי	שלילית	כוח הכובד על גוף העולה במישור משופע
180°	−1	שלילית, מרבית בגודלה	כוח החיכוך הקינטי על גוף מחליק

שימו לב: עבודה היא גודל סקלרי, אבל הסימן שלה חשוב. כוח החיכוך הקינטי מכוון תמיד נגד התנועה, ולכן העבודה שלו תמיד שלילית: W_f = −f_k·d. כוח הכובד מבצע עבודה שלילית כשהגוף עולה, ועבודה חיובית כשהוא יורד.

דוגמה 7.2

ארגז שמסתו 10 kg נמשך על רצפה אופקית חלקה למרחק 8 m בכוח קבוע של 50 N, הנטוי בזווית 37° מעל האופק (cos 37° = 0.8 , sin 37° = 0.6). נחשב את העבודה של כל אחד מן הכוחות הפועלים על הארגז.

פתרון:

על הארגז פועלים שלושה כוחות: הכוח המושך F, כוח הכובד m·g והכוח הנורמלי N. העבודה של הכוח המושך:

W_F = F·d·cos θ = 50 · 8 · 0.8 = 320 J

כוח הכובד מכוון כלפי מטה, כלומר ניצב להעתק האופקי (θ = 90°):

W_mg = m·g·d·cos 90° = 0

גם הכוח הנורמלי ניצב להעתק, ולכן גם העבודה שלו אפס. כדי לחשב את גודלו נכתוב את משוואת שיווי המשקל בכיוון האנכי (הארגז אינו מתרומם מן הרצפה):

N + F·sin θ = m·g

N = 10 · 10 − 50 · 0.6 = 70 N

W_N = N·d·cos 90° = 0

אם כן, רק הכוח המושך מבצע עבודה, וגודלה 320 J.

W_F = 320 J , W_mg = W_N = 0

שימו לב כמה קטן הכוח הנורמלי: הרכיב F·sin θ "נושא" חלק ממשקל הארגז. רכיב זה אינו מבצע עבודה, אבל הוא משפיע בעקיפין כשיש חיכוך, כי כוח החיכוך עומד ביחס ישר ל-N. נראה זאת בדוגמה הבאה, אחרי שנלמד את משפט עבודה–אנרגיה.

שאלה 7.2: ארגז שמסתו 20 kg נדחף על רצפה אופקית למרחק 5 m בכוח של 60 N הנטוי בזווית 53° מתחת לאופק (cos 53° = 0.6). חשבו את העבודה של הכוח הדוחף, וחשבו את הכוח הנורמלי.

עבודה של כוח משתנה במסלול ישר — העבודה כ"שטח":

מה עושים כשגודל הכוח משתנה במהלך התנועה? אי אפשר להציב ב-W = F·d·cos θ ערך יחיד של הכוח. נתחיל מן המקרה הפשוט ונפרש אותו גאומטרית: אם הכוח קבוע ובכיוון התנועה, העבודה W = F·d שווה לשטח המלבן הכלוא מתחת לגרף הכוח כפונקציה של המקום, בין x = 0 ל-x = d:

כוח קבוע: העבודה היא שטח המלבן F·d

כוח שקטן באופן קווי: העבודה היא שטח המשולש

ועכשיו כוח משתנה: נחלק את המסלול לקטעים קטנים מאוד Δx; בכל קטע הכוח קבוע בקירוב, ולכן העבודה בו היא שטח של מלבן צר F·Δx. העבודה הכוללת היא סכום השטחים של כל המלבנים, וככל שהקטעים קטנים יותר, הסכום מתקרב לשטח הכלוא מתחת לעקומה:

כוח משתנה: נחלק את המסלול לקטעים קטנים Δx, והעבודה הכוללת היא סכום שטחי המלבנים הצרים — כלומר השטח מתחת לעקומה בין x₁ ל-x₂

העבודה כשטח מתחת לגרף כוח–מקום

W = ΣF·Δx

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	רכיב הכוח בכיוון התנועה בקטע הקטן	[N]
Δx	אורך הקטע הקטן של המסלול	[m]
W	העבודה = השטח הכלוא בין גרף הכוח כפונקציה של המקום לבין ציר המקום: חיובי מעל הציר, שלילי מתחתיו	[J]

הערה: שטח הנמצא מתחת לציר המקום (כוח שלילי, כלומר מנוגד לכיוון התנועה) נחשב לעבודה שלילית. זו אותה שיטה שלמדנו בקינמטיקה: ההעתק הוא השטח מתחת לגרף המהירות כפונקציה של הזמן.

דוגמה 7.3

על גוף פועל כוח בכיוון תנועתו, שגודלו קטן באופן קווי מ-20 N במקום x = 0 עד אפס במקום x = 4 m (הגרף הימני באיור שלמעלה). נחשב את העבודה של הכוח לאורך מרחק זה.

פתרון:

העבודה היא שטח המשולש הכלוא מתחת לקו הישר:

W = 12 · F₀ · d = 12 · 20 · 4 = 40 J

נשים לב שזה שווה לעבודה של כוח קבוע בגודל 10 N (הכוח הממוצע) לאורך אותו מרחק.

W = 40 J

דוגמה 7.4

הגרף מתאר את הכוח הפועל בכיוון התנועה של גוף שמסתו 2 kg, כפונקציה של המקום. הגוף יוצא ממנוחה ב-x = 0 על משטח חלק. נחשב את העבודה הכוללת עד x = 5 m, ונמצא את מהירות הגוף ב-x = 2 m, ב-x = 3 m וב-x = 5 m.

פתרון:

נחשב את השטח קטע אחר קטע, ונקפיד על הסימן. מ-0 עד 2 m — מלבן, ומ-2 עד 3 m — משולש מעל הציר:

W_0→2 = 10 · 2 = 20 J

W_2→3 = 12 · 1 · 10 = 5 J

מ-3 עד 4 m — משולש מתחת לציר, ומ-4 עד 5 m — מלבן מתחתיו: עבודה שלילית:

W_3→4 = −12 · 1 · 10 = −5 J

W_4→5 = −10 · 1 = −10 J

ΣW_0→5 = 20 + 5 + (−5) + (−10) = 10 J

המהירות בכל מקום נקבעת לפי משפט עבודה–אנרגיה (שנוכיח בקרוב: העבודה הכוללת עד המקום שווה לאנרגיה הקינטית בו):

v₂ = 2 · 202 = 4.47 m/s

v₃ = 2 · 252 = 5 m/s

v₅ = 2 · 102 = 3.16 m/s

המהירות המרבית היא ב-x = 3 m, שם הכוח מתאפס ומחליף סימן: עד שם הכוח האיץ את הגוף, ומשם והלאה הוא מאט אותו.

ΣW = 10 J , v₅ = 3.16 m/s

עבודת כוח הקפיץ:

הדוגמה החשובה ביותר לכוח משתנה היא כוח הקפיץ. למדנו מחוק הוק שהכוח שהקפיץ מפעיל עומד ביחס ישר להתארכותו: F = k·x; לכן הגרף של הכוח כפונקציה של ההתארכות הוא קו ישר העובר בראשית הצירים, והעבודה היא שטח של משולש:

כדי למתוח את הקפיץ לאט, מפעילים כוח חיצוני F = k·x, השווה בגודלו לכוח הקפיץ ומנוגד לו בכיוונו

הגרף של הכוח כפונקציה של ההתארכות: העבודה היא שטח המשולש

W = 12 · גובה · בסיס = 12 · x · k·x

העבודה של הכוח החיצוני המותח את הקפיץ (או דוחס אותו)

W = 12·k·x²

סימן	משמעות	יחידת מידה
k	קבוע הקפיץ	[N/m]
x	ההתארכות (או ההתקצרות) ביחס לאורך הרפוי	[m]

זו העבודה של הכוח החיצוני המותח את הקפיץ. כוח הקפיץ עצמו מכוון נגד ההתארכות, ולכן העבודה שלו בזמן המתיחה שלילית: W_spring = −12·k·x². וכשמשחררים את הקפיץ והוא חוזר לאורכו הרפוי, הקפיץ מבצע על הגוף המחובר אליו עבודה חיובית בגודל 12·k·x².

דוגמה 7.5

קבוע הקפיץ הוא 200 N/m. נחשב את העבודה הדרושה כדי למתוח אותו 10 cm, ואחר כך את העבודה הדרושה כדי למתוח אותו מ-10 cm עד 20 cm.

פתרון:

נמיר למטרים: x₁ = 0.1 m , x₂ = 0.2 m. העבודה מן האורך הרפוי עד x₁:

W₁ = 12·k·x₁² = 12 · 200 · 0.1² = 1 J

העבודה מן האורך הרפוי עד x₂:

W₂ = 12 · 200 · 0.2² = 4 J

העבודה הדרושה כדי לעבור מ-x₁ ל-x₂ היא ההפרש ביניהן (שטח הטרפז שבין שני הקווים):

W_1→2 = W₂ − W₁ = 4 − 1 = 3 J

עשרת הסנטימטרים השניים דורשים עבודה גדולה פי שלושה מעשרת הראשונים, כי הכוח גדל עם ההתארכות.

W₁ = 1 J , W_1→2 = 3 J

שאלה 7.3: קפיץ שקבועו 500 N/m נדחס ב-6 cm. מהי העבודה שהושקעה כדי לדחוס אותו? האם התשובה תשתנה אם הקפיץ יימתח 6 cm במקום להידחס?

עבודה של כוח משתנה במסלול עקום:

המקרה הכללי ביותר: כוח שגודלו וכיוונו משתנים, וגוף הנע במסלול עקום. הרעיון זהה לזה שהשתמשנו בו קודם: נחלק את המסלול להעתקים קטנים מאוד Δs₁, Δs₂, …, קטנים עד כדי כך שכל אחד מהם ישר בקירוב והכוח בו קבוע בקירוב. בכל העתק קטן נחשב את העבודה בנוסחה המוכרת, ואז נסכם:

מסלול עקום מ-A ל-B, המחולק להעתקים קטנים. בכל העתק Δs הכוח יוצר זווית θ עם כיוון התנועה (המשיק)

W = F₁·Δs₁·cos θ₁ + F₂·Δs₂·cos θ₂ + … = ΣF_i·Δs_i·cos θ_i

בספר זה לא נצטרך לחשב את הסכום הזה באופן כללי, אבל הרעיון עצמו נותן לנו שתי תוצאות חשובות מאוד:

כוח שנשאר ניצב למסלול בכל רגע אינו מבצע עבודה, כי cos 90° = 0 בכל העתק קטן.
העבודה של כוח קבוע בגודלו ובכיוונו (כמו כוח הכובד ליד פני כדור הארץ) בכל מסלול שווה למכפלת גודלו ברכיב הכולל של ההעתק בכיוונו — נחזור לכך בסעיף הבא.

עבודת הכוח השקול בתנועה מעגלית קצובה:

בתנועה מעגלית קצובה הכוח השקול רדיאלי והמהירות משיקית: הזווית ביניהם היא תמיד 90°

בתנועה מעגלית קצובה הכוח השקול מכוון תמיד אל המרכז (הוא שמספק את התאוצה הרדיאלית), ואילו המהירות משיקה למעגל. הזווית בין הכוח להעתק הקטן היא 90° בכל נקודה של המסלול, ולכן:
W = ΣF·Δs·cos 90° = 0
העבודה של הכוח השקול בתנועה מעגלית קצובה שווה לאפס. וזה הגיוני: גודל המהירות אינו משתנה, האנרגיה הקינטית קבועה, ואין עבודה שמשנה אותה. המתיחות בחוט המסתובב במישור אופקי, והכוח הנורמלי על עגלה במסלול מעגלי אופקי — אף אחד מהם אינו מבצע עבודה.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים שכל כוח הפועל על גוף נע מבצע עבודה. למעשה, כוח שנשאר ניצב לכיוון התנועה אינו מבצע עבודה כלל, יהיה גודלו אשר יהיה: הכוח הנורמלי על גוף המחליק על משטח, מתיחות החוט בתנועה מעגלית, והכוח המגנטי על חלקיק טעון (תלמדו עליו באלקטרומגנטיות) — כולם משנים את כיוון התנועה או מונעים חדירה, אבל אינם מוסיפים לגוף אנרגיה ואינם נוטלים ממנו, כי cos 90° = 0 בכל העתק קטן.

משפט עבודה–אנרגיה:

הגיע הזמן לקשר בין שני המושגים. מהו הקשר בין העבודה שהכוחות מבצעים על הגוף לבין האנרגיה הקינטית שלו? נוכיח זאת תחילה במקרה (1): כוח שקול קבוע ΣF בכיוון התנועה, במסלול ישר.

ההוכחה למקרה (1). לפי החוק השני של ניוטון, תאוצת הגוף קבועה: a = ΣFm. ולפי משוואות התנועה בתאוצה קבועה, אחרי העתק d המהירות משתנה מ-v₀ ל-v לפי:

v² = v₀² + 2·a·d

נבודד את a·d ונציב a = ΣFm:

a·d = v² − v₀²2

ΣFm·d = v² − v₀²2

ΣF·d = 12·m·v² − 12·m·v₀²

האגף השמאלי הוא העבודה של הכוח השקול ΣW, והאגף הימני הוא השינוי באנרגיה הקינטית. קיבלנו:

משפט עבודה–אנרגיה

ΣW = ΔE_k

ΣW = 12·m·v² − 12·m·v₀²

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣW	סכום העבודות של כל הכוחות הפועלים על הגוף (= העבודה של הכוח השקול)	[J]
ΔE_k	השינוי באנרגיה הקינטית: הסופית פחות ההתחלתית	[J]

מקרה (2) — כוח משתנה במסלול ישר. נחלק את המסלול לקטעים קטנים שבהם הכוח קבוע בקירוב. בכל קטע מתקיימת התוצאה שהוכחנו: העבודה של הכוח השקול בקטע שווה לשינוי באנרגיה הקינטית במהלכו. נסכם על כל הקטעים: סכום העבודות הוא העבודה הכוללת (השטח מתחת לגרף), וסכום השינויים באנרגיה הקינטית הוא השינוי הכולל מן ההתחלה עד הסוף, כי ערכי הביניים מצטמצמים. לכן המשפט נכון גם לכוח משתנה.

מקרה (3) — מסלול עקום. רכיב הכוח השקול הניצב למסלול משנה רק את כיוון המהירות ואינו מבצע עבודה, והרכיב המשיקי משנה את גודל המהירות בדיוק כמו בתנועה בקו ישר. ניישם את מקרה (2) על כל העתק קטן לאורך המסלול ונסכם, וכך המשפט נשאר נכון לכל מסלול ולכל כוח: העבודה של הכוח השקול שווה תמיד לשינוי באנרגיה הקינטית.

הערה: המשפט עוסק בסכום העבודות של כל הכוחות. אם הסכום חיובי — המהירות גדלה; אם הוא שלילי — היא קטנה; ואם הוא אפס — גודל המהירות נשאר קבוע (כמו בתנועה מעגלית קצובה). העבודה יכולה לשנות רק את האנרגיה הקינטית, ולא את הכיוון באופן ישיר.

דוגמה 7.6

ארגז שמסתו 5 kg נמשך ממנוחה על רצפה אופקית למרחק 4 m בכוח קבוע של 50 N, הנטוי בזווית 37° מעל האופק. מקדם החיכוך הקינטי בין הארגז לרצפה הוא 0.2. נחשב את העבודה של כל כוח, את העבודה הכוללת ואת מהירות הארגז בסוף המרחק.

פתרון:

א. העבודה של הכוח המושך:

W_F = F·d·cos θ = 50 · 4 · 0.8 = 160 J

ב. הכוח הנורמלי וכוח החיכוך. בכיוון האנכי אין תאוצה:

N = m·g − F·sin θ = 50 − 50 · 0.6 = 20 N

f_k = μ·N = 0.2 · 20 = 4 N

כוח החיכוך מנוגד לתנועה (θ = 180°), ולכן העבודה שלו שלילית:

W_f = −f_k·d = −4 · 4 = −16 J

ג. כוח הכובד והכוח הנורמלי ניצבים לתנועה: W_mg = W_N = 0. העבודה הכוללת:

ΣW = W_F + W_f + W_mg + W_N = 160 + (−16) + 0 + 0 = 144 J

ד. המהירות הסופית לפי משפט עבודה–אנרגיה. הארגז יצא ממנוחה, ולכן האנרגיה הקינטית ההתחלתית שלו אפס:

ΣW = 12·m·v² − 0

v = 2·ΣWm = 2 · 1445 = 7.59 m/s

ΣW = 144 J , v = 7.59 m/s

השוו לשיטת הכוחות: היינו מחשבים את הכוח השקול האופקי F·cos θ − f_k = 36 N, אחר כך את התאוצה a = 7.2 m/s², ואז v² = 2·a·d. התוצאה זהה, אבל שיטת האנרגיה מגיעה אליה ישירות, בלי התאוצה.

דוגמה 7.7

מכונית שמסתה 1000 kg נוסעת במהירות 20 m/s. הנהג לוחץ על הבלמים, ועל המכונית פועל כוח בלימה קבוע של 5000 N. נחשב את מרחק הבלימה עד לעצירה.

פתרון:

העבודה היחידה היא העבודה של כוח הבלימה (שלילית, נגד התנועה), והאנרגיה הקינטית הסופית היא אפס:

ΣW = ΔE_k

−F·d = 0 − 12·m·v₀²

d = m·v₀²2·F = 1000 · 20²2 · 5000 = 40 m

אילו המהירות הייתה 40 m/s, מרחק הבלימה היה גדל פי ארבעה: 160 m.

d = 40 m

דוגמה 7.8

כדור שמסתו 2 kg נופל נפילה חופשית ממנוחה מגובה 1.8 m. נחשב את מהירותו כשהוא מגיע לקרקע בעזרת משפט עבודה–אנרגיה.

פתרון:

הכוח היחיד הוא כוח הכובד, והוא בכיוון התנועה (θ = 0), ולכן העבודה שלו חיובית:

W_mg = m·g·h·cos 0 = 2 · 10 · 1.8 = 36 J

ΣW = 12·m·v² − 0

v = 2 · 362 = 2·g·h = 6 m/s

התוצאה v = 2·g·h היא מה שקיבלנו בקינמטיקה לנפילה חופשית, והיא אינה תלויה במסה.

v = 6 m/s

דוגמה 7.9

גוף שמסתו 4 kg משוחרר ממנוחה מראש מישור משופע חלק שאורכו 5 m וזווית שיפועו 37°. נחשב את העבודה של כל כוח לאורך המישור, ואת מהירות הגוף בתחתיתו.

פתרון:

הכוח הנורמלי N ניצב לתנועה, ולכן העבודה שלו אפס. כוח הכובד מכוון כלפי מטה, וההעתק הוא לאורך המישור כלפי מטה; הזווית ביניהם היא α = 90° − θ = 53°:

W_mg = m·g·d·cos α = 4 · 10 · 5 · cos 53° = 4 · 10 · 5 · 0.6 = 120 J

נשים לב ש-d·cos α = d·sin θ = h הוא גובה המישור המשופע (h = 5 · 0.6 = 3 m); כלומר העבודה של כוח הכובד היא בדיוק m·g·h, כמו בנפילה חופשית. לפי משפט עבודה–אנרגיה:

ΣW = 12·m·v²

v = 2 · 1204 = 7.746 m/s

זו אותה מהירות שהגוף היה מגיע אליה אילו נפל נפילה חופשית מגובה 3 m.

W_mg = 120 J , v = 7.746 m/s

הערה: העבודה של כוח הכובד אינה תלויה באורך המישור המשופע או בזווית השיפוע שלו, אלא רק בהפרש הגבהים: בירידה W_mg = m·g·h, ובעלייה העבודה היא −m·g·h. הבחנה זו היא המפתח לסעיף הבא.

דוגמה 7.10

גוף שמסתו 4 kg נמשך ממנוחה במעלה מישור משופע מחוספס שזווית שיפועו 37°, בעזרת חבל המקביל למישור; המתיחות בחבל היא 40 N. מקדם החיכוך הקינטי הוא 0.25. נחשב את העבודה של כל כוח לאורך 5 m, את העבודה הכוללת ואת מהירות הגוף אחרי מרחק זה.

פתרון:

ארבעה כוחות: המתיחות T בכיוון התנועה, החיכוך f_k נגדה, הכוח הנורמלי N ניצב לה, וכוח הכובד, היוצר עם כיוון התנועה (במעלה המישור) זווית 90° + θ. העבודה של המתיחות:

W_T = T·d·cos 0 = 40 · 5 = 200 J

הכוח הנורמלי והחיכוך:

N = m·g·cos θ = 4 · 10 · 0.8 = 32 N

f_k = μ·N = 0.25 · 32 = 8 N

W_f = −f_k·d = −8 · 5 = −40 J

העבודה של כוח הכובד: הגוף עולה לגובה h = d·sin θ = 5 · 0.6 = 3 m, ולכן העבודה שלו שלילית:

W_mg = −m·g·h = −4 · 10 · 3 = −120 J

W_N = 0

ΣW = 200 + (−40) + (−120) + 0 = 40 J

v = 2·ΣWm = 2 · 404 = 4.47 m/s

ΣW = 40 J , v = 4.47 m/s

שאלה 7.4: גוף שמסתו 2 kg נמשך ממנוחה במעלה מישור משופע חלק שזווית שיפועו 30°, בכוח של 15 N המקביל למישור, למרחק 4 m. חשבו את העבודה של כל כוח ואת המהירות הסופית.

שאלה 7.5: דיסקית עץ שמסתה 0.5 kg מחליקה על רצפה אופקית במהירות התחלתית 6 m/s, ומקדם החיכוך הקינטי הוא 0.3. חשבו את העבודה של החיכוך עד לעצירה, ואת המרחק שהדיסקית עוברת. האם המרחק תלוי במסה?

▶ניסוי חי — עבודה, אנרגיה קינטית ומשפט עבודה–אנרגיהנשנה את גודל הכוח המושך ואת זוויתו ואת מקדם החיכוך, נעקוב אחר עמודות העבודה של כל כוח ושל העבודה הכוללת, ונבדוק שהעבודה הכוללת שווה תמיד לשינוי באנרגיה הקינטית.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#work

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#work

אנרגיה פוטנציאלית (Potential Energy)

כוחות משמרים וכוחות שאינם משמרים:

ראינו בסוף הסעיף הקודם שהעבודה של כוח הכובד על גוף היורד מגובה h היא m·g·h, בין שנפל נפילה חופשית ובין שהחליק על מישור משופע. נבדוק תכונה זו ביתר דיוק: נעביר גוף מנקודה A לנקודה B, הנמצאת מתחתיה בהפרש גבהים h, בשלושה מסלולים שונים.

שלושה מסלולים מ-A ל-B: ישר (1), אנכי ואחר כך אופקי (2), ועקום (3). העבודה של כוח הכובד בשלושת המסלולים היא אותה m·g·h

במסלול (2) כוח הכובד מבצע עבודה m·g·h בקטע האנכי ואפס בקטע האופקי. במסלול (1) הזווית בין m·g להעתק היא α, והעבודה היא m·g·d·cos α = m·g·h, כי d·cos α הוא הרכיב האנכי של ההעתק. ובמסלול (3) נחלק את העקומה להעתקים קטנים; העבודה של כוח הכובד בכל אחד מהם היא m·g כפול ה"ירידה" הקטנה, וסכום כל הירידות הקטנות הוא h. בשלושת המקרים: W_mg = m·g·h.

כוח משמר: כוח שהעבודה שלו בין שתי נקודות אינה תלויה במסלול שהגוף עובר ביניהן, אלא רק במקום של נקודת ההתחלה ושל נקודת הסיום. כתוצאה מכך: העבודה של כוח משמר במסלול סגור (שבו הגוף חוזר לנקודת ההתחלה) שווה לאפס. שני הכוחות המשמרים בספר זה הם כוח הכובד וכוח הקפיץ.

כוח שאינו משמר: כוח שהעבודה שלו תלויה במסלול. הדוגמה העיקרית היא כוח החיכוך הקינטי: העבודה שלו, −f_k·s, עומדת ביחס ישר לאורך הדרך s, כך שככל שהמסלול בין שתי הנקודות ארוך יותר, העבודה השלילית גדולה יותר, ובמסלול סגור העבודה אינה חוזרת לאפס אלא מצטברת.

דוגמה 7.11

נעביר ארגז שמסתו 2 kg על רצפה אופקית מנקודה A לנקודה B; המרחק בקו ישר ביניהן הוא 4 m, ומקדם החיכוך הקינטי הוא 0.25. נחשב את העבודה של החיכוך במסלול הישר, ואת העבודה שלו במסלול מפותל שאורכו 10 m בין אותן שתי נקודות. אחר כך נחשב את העבודה של כוח הכובד בשני המסלולים.

פתרון:

כוח החיכוך על הרצפה האופקית: f_k = μ·m·g = 0.25 · 2 · 10 = 5 N, והוא תמיד נגד התנועה. במסלול הישר:

W_f,1 = −f_k·s₁ = −5 · 4 = −20 J

במסלול המפותל:

W_f,2 = −f_k·s₂ = −5 · 10 = −50 J

שתי העבודות שונות, אף שנקודות ההתחלה והסיום זהות: החיכוך הוא כוח שאינו משמר. כוח הכובד, לעומת זאת, ניצב לרצפה בשני המסלולים, והעבודה שלו אפס בשניהם (הפרש הגבהים אפס): כוח משמר.

W_f,1 = −20 J , W_f,2 = −50 J , W_mg = 0

	כוח משמר	כוח שאינו משמר
דוגמאות	כוח הכובד, כוח הקפיץ	חיכוך, התנגדות האוויר, מתיחות בחוט, כוח של מנוע
העבודה בין שתי נקודות	תלויה בשני המקומות בלבד	תלויה במסלול
העבודה במסלול סגור	אפס	שונה מאפס (בחיכוך: תמיד שלילית)
אפשר להגדיר אנרגיה פוטנציאלית?	כן	לא

אנרגיה פוטנציאלית כובדית:

מכיוון שהעבודה של כוח הכובד תלויה רק בגובה, אפשר לייחס לכל גובה "מאגר" של אנרגיה: גוף שהורם לגובה h יכול, כשהוא יורד, לקבל אנרגיה קינטית בגודל m·g·h. המאגר הזה הוא האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית.

אנרגיה פוטנציאלית כובדית: האנרגיה שיש לגוף בזכות גובהו מעל מישור שאנו בוחרים כגובה אפס; היא שווה למכפלת משקלו בגובה: U_G = m·g·h. העבודה של כוח הכובד שווה למינוס השינוי באנרגיה הפוטנציאלית.

אנרגיה פוטנציאלית כובדית

U_G = m·g·h

W_mg = −ΔU_G = −(U_G,2 − U_G,1)

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_G	אנרגיה פוטנציאלית כובדית	[J]
m	מסת הגוף	[kg]
g	תאוצת הנפילה החופשית	[m/s²]
h	גובה הגוף מעל מישור האפס (שלילי מתחתיו)	[m]

למה הסימן השלילי? כשהגוף עולה (Δh > 0) האנרגיה הפוטנציאלית שלו גדלה, ואילו כוח הכובד מבצע עבודה שלילית (הכוח כלפי מטה וההעתק כלפי מעלה). וכשהגוף יורד, האנרגיה הפוטנציאלית שלו קטנה וכוח הכובד מבצע עבודה חיובית. בשני המקרים W_mg = −ΔU_G.

אותו גוף: האנרגיה הפוטנציאלית שלו היא m·g·h₁ ביחס לרצפה, ו-m·g·h₂ ביחס לשולחן

בחירת גובה האפס. הנוסחה מדברת על "גובה", וגובה נמדד תמיד ממישור כלשהו. אנו חופשיים לבחור את המישור הזה: הרצפה, פני השולחן או הנקודה הנמוכה ביותר בתנועה. הערך של U_G עצמו משתנה לפי הבחירה, והוא עשוי להיות שלילי לגוף הנמצא מתחת לגובה האפס — וזה תקין לגמרי. הגודל שיש לו משמעות פיזיקלית הוא השינוי ΔU_G = m·g·Δh בין שני מצבים, והוא אינו תלוי בבחירת המישור, כי המישור מצטמצם בחיסור. הכלל המעשי: נבחר את גובה האפס כך שהחישובים יהיו פשוטים ככל האפשר, ונציין אותו בבירור בפתרון.

דוגמה 7.12

גוף שמסתו 3 kg מורם מגובה 2 m מעל הרצפה לגובה 5 m. נחשב את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שלו ואת העבודה של כוח הכובד, פעם כשגובה האפס על הרצפה ופעם כשהוא בגובה 5 m.

פתרון:

גובה האפס על הרצפה:

U_G,1 = m·g·h₁ = 3 · 10 · 2 = 60 J

U_G,2 = m·g·h₂ = 3 · 10 · 5 = 150 J

ΔU_G = 150 − 60 = 90 J

גובה האפס בגובה 5 m: עכשיו המקום ההתחלתי מתחת למישור האפס (h₁ = −3 m), והמקום הסופי עליו (h₂ = 0):

U_G,1 = 3 · 10 · (−3) = −90 J

U_G,2 = 0

ΔU_G = 0 − (−90) = 90 J

הערך ההתחלתי והערך הסופי השתנו, ואחד מהם אף נעשה שלילי, אבל השינוי זהה. העבודה של כוח הכובד בזמן ההרמה:

W_mg = −ΔU_G = −90 J

ΔU_G = 90 J , W_mg = −90 J

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים שלגוף יש אנרגיה פוטנציאלית "משלו", בעלת ערך נכון אחד. למעשה האנרגיה הפוטנציאלית שייכת למערכת כולה — הגוף וכדור הארץ יחד: אלמלא כדור הארץ והמשיכה שלו, לגובה לא הייתה שום משמעות. וערכה תלוי בבחירה החופשית שלנו של גובה האפס, והוא עשוי להיות שלילי; הגודל היחיד שיש לו משמעות פיזיקלית מוחלטת הוא השינוי ΔU_G בין שני מצבים, והוא אינו תלוי בבחירה. ובכל זאת, לשם הקיצור אומרים "האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף".

שאלה 7.6: אדם שמסתו 60 kg עולה במדרגות מקומת הקרקע לקומה הרביעית, לגובה 12 m. מהו השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שלו? ומהי העבודה של כוח הכובד? מה ישתנה בתשובה אם יעלה במעלית במקום במדרגות?

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית:

גם כוח הקפיץ הוא כוח משמר: העבודה שהקפיץ מבצע בין שתי התארכויות תלויה רק בשתי ההתארכויות (השטח מתחת לקו הישר F = k·x), ולא באופן המעבר ביניהן. לכן אפשר להגדיר לקפיץ אנרגיה פוטנציאלית: העבודה שהשקענו כדי למתוח אותו, 12·k·x², "אצורה" בו, והקפיץ יכול להחזיר אותה במלואה כשמשחררים אותו.

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית: האנרגיה האצורה בקפיץ שנמתח או נדחס ב-x ביחס לאורכו הרפוי: U_sp = 12·k·x². בניגוד לאנרגיה הכובדית, כאן מישור האפס אינו נתון לבחירה: האנרגיה האלסטית היא אפס רק באורך הרפוי.

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית

U_sp = 12·k·x²

W_spring = −ΔU_sp

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_sp	אנרגיה פוטנציאלית אלסטית	[J]
k	קבוע הקפיץ	[N/m]
x	ההתארכות או ההתקצרות ביחס לאורך הרפוי	[m]

האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית כפונקציה של ההעתק: פרבולה סימטרית — התארכות והתקצרות באותו גודל אוצרות אותה אנרגיה

הגרף של האנרגיה האלסטית כפונקציה של ההעתק הוא פרבולה: האנרגיה עומדת ביחס ישר לריבוע ההעתק. הכפלת ההתארכות מגדילה את האנרגיה פי ארבעה. ומכיוון ש-x מופיע בריבוע, האנרגיה תמיד חיובית, ואין הבדל בין מתיחת הקפיץ לבין דחיסתו באותו שיעור.
כמו בכוח הכובד, העבודה של כוח הקפיץ שווה למינוס השינוי באנרגיה האלסטית: כשמותחים את הקפיץ הוא מבצע עבודה שלילית והאנרגיה שלו גדלה, וכשהוא חוזר — הוא מבצע עבודה חיובית והאנרגיה קטנה.

דוגמה 7.13

קבוע הקפיץ הוא 400 N/m. נחשב את האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית שלו כשהוא נמתח 5 cm, וכשהוא נדחס 10 cm, ואת העבודה של כוח הקפיץ במעבר מן המצב הראשון לשני.

פתרון:

U_sp,1 = 12·k·x₁² = 12 · 400 · 0.05² = 0.5 J

הדחיסה היא x₂ = −0.1 m, וההעלאה בריבוע מבטלת את הסימן:

U_sp,2 = 12 · 400 · (−0.1)² = 2 J

העבודה של כוח הקפיץ ממצב 1 למצב 2 היא מינוס השינוי באנרגיה האלסטית:

W_spring = −(U_sp,2 − U_sp,1) = −(2 − 0.5) = −1.5 J

העבודה שלילית: האנרגיה האצורה גדלה, ולשם כך כוח חיצוני היה חייב לבצע עבודה חיובית בגודל 1.5 J.

U_sp,1 = 0.5 J , U_sp,2 = 2 J , W_spring = −1.5 J

	אנרגיה פוטנציאלית כובדית	אנרגיה פוטנציאלית אלסטית
הנוסחה	m·g·h	12·k·x²
תלויה ב-	גובה (בחזקת 1)	ההעתק מן האורך הרפוי (בחזקת 2)
מישור האפס	לבחירתנו	האורך הרפוי של הקפיץ — לא לבחירתנו
הסימן	חיובית או שלילית, לפי המישור	תמיד חיובית
העבודה שהכוח מבצע	W_mg = −ΔU_G	W_spring = −ΔU_sp

שאלה 7.7: בקפיץ שקבועו 800 N/m אצורה אנרגיה אלסטית של 1 J. מהי התארכותו? ומה תהיה האנרגיה אם יימתח פי שלושה מהתארכות זו?

▶ניסוי חי — אנרגיה פוטנציאלית כובדית ואלסטיתנרים את הגוף ונשנה את גובה האפס, ונראה שערך האנרגיה משתנה אבל ההפרש בין שני מצבים קבוע; אחר כך נעבור לקפיץ ונבדוק שהאנרגיה עומדת ביחס ישר לריבוע ההעתק.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#epot

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#epot

שימור אנרגיה מכנית (Conservation of Mechanical Energy)

אנרגיה מכנית כוללת:

אנרגיה מכנית: סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיות הפוטנציאליות (הכובדית והאלסטית) של המערכת: E = E_k + U_G + U_sp. אם אין במערכת קפיץ, E = 12·m·v² + m·g·h.

חוק שימור האנרגיה המכנית:

נגזור את החוק ממשפט עבודה–אנרגיה. נחלק את העבודות של הכוחות הפועלים על הגוף לעבודה של הכוחות המשמרים W_c ולעבודה של הכוחות שאינם משמרים W_nc:

ΣW = W_c + W_nc = ΔE_k

העבודה של הכוחות המשמרים שווה למינוס השינוי באנרגיה הפוטנציאלית: W_c = −ΔU (כאן הכוונה לסכום האנרגיה הכובדית והאלסטית). נציב ונעביר אגף:

−ΔU + W_nc = ΔE_k

ΔE_k + ΔU = W_nc

ΔE = W_nc

כלומר, השינוי באנרגיה המכנית הכוללת שווה לעבודה של הכוחות שאינם משמרים בלבד. וכשלא פועלים כוחות שאינם משמרים, או שהם פועלים אבל אינם מבצעים עבודה (כמו הכוח הנורמלי על משטח חלק, והמתיחות בחוט של מטוטלת), מתקיים W_nc = 0 ומקבלים:

חוק שימור האנרגיה המכנית

E₁ = E₂

12·m·v₁² + m·g·h₁ + 12·k·x₁² = 12·m·v₂² + m·g·h₂ + 12·k·x₂²

סימן	משמעות	יחידת מידה
E₁	האנרגיה המכנית במצב ההתחלתי	[J]
E₂	האנרגיה המכנית במצב הסופי	[J]
W_nc	העבודה של הכוחות שאינם משמרים — חייבת להיות אפס	[J]

במילים: כשרק הכוחות המשמרים מבצעים עבודה, האנרגיה המכנית נשארת קבועה לאורך כל התנועה. האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית מתחלפות זו בזו — כל ג'אול שנגרע מאחת מהן מופיע בשנייה — אבל הסכום שלהן אינו משתנה.

שיטת הפתרון: איך פותרים בעזרת חוק השימור? (1) נסרטט את שני המצבים ונבחר גובה אפס. (2) נוודא שהכוחות שאינם משמרים אינם מבצעים עבודה. (3) נכתוב את האנרגיה המכנית בכל מצב, איבר אחר איבר. (4) נשווה ונבודד את הנעלם. לא נזדקק לתאוצה, לזמן או לצורת המסלול!

דוגמה 7.14

גוף משוחרר ממנוחה מגובה 5 m על מסלול עקום חלק, המסתיים בקטע אופקי. נחשב את מהירות הגוף בתחתית המסלול, ואת מהירותו כשהוא עובר בנקודה שגובהה 3.2 m. האם התוצאות תלויות במסה?

פתרון:

נבחר את גובה האפס בתחתית המסלול. הכוחות על הגוף: כוח הכובד (משמר) והכוח הנורמלי (ניצב למסלול, אינו מבצע עבודה), ולכן האנרגיה המכנית נשמרת. בנקודת השחרור v₁ = 0 , h₁ = 5 m; בתחתית h₂ = 0:

E₁ = E₂

m·g·h₁ = 12·m·v₂²

v₂ = 2·g·h₁ = 2 · 10 · 5 = 10 m/s

המסה מופיעה בשני האגפים ומצטמצמת: המהירות אינה תלויה במסה. בנקודה שגובהה h₃ = 3.2 m:

m·g·h₁ = 12·m·v₃² + m·g·h₃

v₃ = 2·g·(h₁ − h₃) = 2 · 10 · (5 − 3.2) = 6 m/s

שימו לב שלא נזקקנו כלל לצורת המסלול, וגם לא היינו יכולים לפתור את הבעיה בחוקי ניוטון, כי התאוצה משתנה לאורך העקומה.

v₂ = 10 m/s , v₃ = 6 m/s

גרפים של אנרגיה:

כדאי לראות את חוק השימור בגרף. גוף שמסתו 2 kg נופל נפילה חופשית ממנוחה מגובה 5 m (גובה האפס על הרצפה). האנרגיה המכנית שלו, E = m·g·h₀ = 100 J, קבועה. בכל גובה h האנרגיה הפוטנציאלית היא m·g·h, והאנרגיה הקינטית היא היתרה:

h [m]	U_G [J]	E_k [J]	E [J]	v [m/s]
5	100	0	100	0
4	80	20	100	4.47
3	60	40	100	6.32
2	40	60	100	7.75
1	20	80	100	8.94
0	0	100	100	10

האנרגיה הפוטנציאלית (כחול) היא קו ישר העומד ביחס ישר לגובה, האנרגיה הקינטית (ירוק) היא קו ישר בשיפוע הפוך, וסכומן (אדום) קבוע. במחצית הגובה שתי האנרגיות שוות

דוגמה 7.15

לפי הגרף שלמעלה: באיזה גובה האנרגיה הקינטית שווה לאנרגיה הפוטנציאלית? ומהי מהירות הגוף שם?

פתרון:

כשהן שוות, כל אחת מהן היא מחצית האנרגיה הכוללת:

m·g·h = 12·E = 12·m·g·h₀

h = h₀2 = 2.5 m

12·m·v² = 12·E

v = Em = 1002 = 7.07 m/s

נשים לב שהשוויון מתקיים במחצית הגובה, ולא במחצית הזמן: הגוף שוהה מעל נקודה זו יותר ממחצית זמן הנפילה, כי שם הוא איטי יותר.

h = 2.5 m , v = 7.07 m/s

שאלה 7.8: באותה מערכת, באיזה גובה מהירות הגוף היא מחצית מהירותו כשהוא מגיע לרצפה? (רמז: האנרגיה הקינטית שם היא רבע מן האנרגיה הכוללת.)

דוגמה 7.16

מטוטלת שאורך החוט שלה 2 m ומסת הגוף שלה 1 kg משוחררת ממנוחה כשהחוט יוצר זווית 60° עם האנך. נחשב את מהירות הגוף כשהוא עובר בנקודה הנמוכה ביותר, ואת המתיחות בחוט שם.

פתרון:

המתיחות ניצבת למסלול המעגלי בכל רגע, ולכן אינה מבצעת עבודה; כוח הכובד משמר. אם כן, האנרגיה המכנית נשמרת. נבחר את גובה האפס בנקודה הנמוכה ביותר. גובה נקודת השחרור מעליה (ראו בסרטוט):

h = ℓ − ℓ·cos θ = ℓ·(1 − cos θ) = 2 · (1 − 0.5) = 1 m

m·g·h = 12·m·v²

v = 2·g·h = 2 · 10 · 1 = 4.47 m/s

כדי לחשב את המתיחות נחזור לכוחות: בנקודה הנמוכה ביותר התאוצה רדיאלית וכלפי מעלה, והכוח השקול הוא T − m·g:

T − m·g = m·v²ℓ

T = m·g + m·v²ℓ = 1 · 10 + 1 · 202 = 20 N

המתיחות גדולה מן המשקל פי שניים בדיוק — האנרגיה נותנת לנו את המהירות, והכוחות נותנים לנו את המתיחות. בשילוב הזה נשתמש בסעיף 7.4.

v = 4.47 m/s , T = 20 N

דוגמה 7.17

כדור נזרק מפני הקרקע במהירות 10 m/s בזווית 37° מעל האופק. נחשב בעזרת האנרגיה את מהירותו כשהוא בגובה 1 m, ואת הגובה המרבי שאליו הוא מגיע. נזניח את התנגדות האוויר.

פתרון:

הכוח היחיד הוא כוח הכובד, ולכן האנרגיה המכנית נשמרת. גובה האפס על הקרקע:

12·m·v₀² = 12·m·v² + m·g·h

v = v₀² − 2·g·h = 10² − 2 · 10 · 1 = 8.94 m/s

זו אותה מהירות בעלייה ובירידה, והיא אינה תלויה בזווית הזריקה או במסה — האנרגיה נותנת רק את גודל המהירות, ולא את כיוונה. בגובה המרבי המהירות אינה מתאפסת (התנועה האופקית נמשכת); נשאר ממנה הרכיב האופקי v_x = v₀·cos θ = 8 m/s:

12·m·v₀² = 12·m·v_x² + m·g·h_max

h_max = v₀² − v_x²2·g = 100 − 6420 = 1.8 m

בדיקה בקינמטיקה: v_0y = v₀·sin θ = 6 m/s ו-h_max = v_0y²2·g = 1.8 m — אותה תוצאה.

v = 8.94 m/s , h_max = 1.8 m

דוגמה 7.18

קפיץ שקבועו 800 N/m דחוס ב-10 cm ונוגע בגוף שמסתו 0.5 kg המונח על משטח אופקי חלק. משחררים את הקפיץ והוא משגר את הגוף, והגוף ממשיך בתנועתו על מישור משופע חלק שזווית שיפועו 30°. נחשב את מהירות הגוף כשהוא ניתק מן הקפיץ, את הגובה המרבי שאליו הוא מגיע על המישור המשופע ואת המרחק שהוא עובר עליו.

פתרון:

כל הכוחות משמרים או אינם מבצעים עבודה. האנרגיה המכנית ההתחלתית כולה אלסטית:

E = 12·k·x² = 12 · 800 · 0.1² = 4 J

כשהקפיץ חוזר לאורכו הרפוי, כל האנרגיה הזאת הופכת לאנרגיה קינטית:

12·m·v² = 4

v = 2 · 40.5 = 4 m/s

על המישור המשופע האנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיה פוטנציאלית כובדית, עד שהגוף נעצר לרגע (v = 0):

m·g·h = 4

h = 40.5 · 10 = 0.8 m

המרחק לאורך המישור המשופע:

d = hsin θ = 0.80.5 = 1.6 m

v = 4 m/s , h = 0.8 m , d = 1.6 m

דוגמה 7.19

קפיץ אנכי שקבועו 500 N/m מקובע לרצפה. גוף שמסתו 2 kg משוחרר ממנוחה מגובה 30 cm מעל הקצה העליון של הקפיץ. נחשב את מהירות הגוף ברגע שהוא נוגע בקפיץ, ואת הדחיסה המרבית של הקפיץ.

פתרון:

נבחר את גובה האפס בקצה העליון של הקפיץ הרפוי. עד רגע המגע — נפילה חופשית:

m·g·h = 12·m·v²

v = 2·g·h = 2 · 10 · 0.3 = 2.45 m/s

בדחיסה המרבית x הגוף נעצר לרגע, והוא נמצא עכשיו מתחת לגובה האפס בשיעור x (גובהו −x). נכתוב את השימור בין נקודת השחרור לנקודה זו:

m·g·h = −m·g·x + 12·k·x²

2 · 10 · 0.3 = −2 · 10 · x + 12 · 500 · x²

250·x² − 20·x − 6 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית וניקח את השורש החיובי:

x = 20 + 20² + 4 · 250 · 62 · 250 = 0.2 m = 20 cm

שימו לב: במהלך הדחיסה הגוף יורד מרחק נוסף x, ולכן הופיע האיבר −m·g·x. מי ששוכח איבר זה מקבל דחיסה קטנה מן הנכונה.

v = 2.45 m/s , x = 20 cm

שימו לב: בבעיות של קפיץ אנכי משתנים הגובה והדחיסה יחד. כתבו את שלושת האיברים (קינטית, כובדית, אלסטית) בכל מצב, ובדקו שסימן הגובה נכון ביחס לגובה האפס שבחרתם.

שאלה 7.9: ילד יוצא מראש מגלשת מים חלקה שגובהה 20 m במהירות התחלתית 4 m/s. חשבו את מהירותו בתחתית המגלשה. האם ילד כבד ממנו פי שניים יגיע למהירות אחרת?

שאלה 7.10: משגר צעצוע יורה אנכית כלפי מעלה כדור שמסתו 0.5 kg בעזרת קפיץ שקבועו 100 N/m, הדחוס ב-20 cm. לאיזה גובה מעל נקודת השיגור מגיע הכדור? (הזניחו את התנגדות האוויר, ושימו לב שהכדור עולה 20 cm בזמן שהקפיץ מתארך.)

▶ניסוי חי — שימור אנרגיה מכניתנשחרר את הגוף מגבהים שונים על מסלול חלק ונעקוב אחר עמודות האנרגיה: האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית מתחלפות, אבל הסכום קבוע; אחר כך נוסיף חיכוך ונראה לאן האנרגיה הולכת.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#econs

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#econs

עם כוח חיכוך: עבודת החיכוך = ההפסד:

מה קורה כשפועל חיכוך? נחזור למשוואה הכללית שגזרנו: ΔE = W_nc. החיכוך הקינטי הוא כוח שאינו משמר, והעבודה שלו תמיד שלילית, ולכן האנרגיה המכנית קטנה בשיעור השווה בדיוק לגודל העבודה של החיכוך:

עבודת החיכוך = ההפסד באנרגיה המכנית

E₂ − E₁ = W_f = −f_k·s

E₁ = E₂ + f_k·s

סימן	משמעות	יחידת מידה
E₁ , E₂	האנרגיה המכנית לפני ואחרי	[J]
f_k	כוח החיכוך הקינטי	[N]
s	אורך הדרך שלאורכה פועל החיכוך	[m]
f_k·s	האנרגיה המכנית ה"אבודה" — הפכה לאנרגיה פנימית	[J]

אנרגיה פנימית: האנרגיה שאליה הופכת האנרגיה המכנית שאבדה בגלל החיכוך: הטמפרטורה של שני המשטחים הנוגעים זה בזה עולה (חום), ולעתים נשמע קול ונוצרת שחיקה. אנרגיה לעולם אינה נעלמת, אלא משנה את צורתה; זהו חוק שימור האנרגיה הכללי: E₁ = E₂ + Q, כאשר Q = f_k·s היא האנרגיה הפנימית שנוצרה.

שימו לב להבדל: ב-W_f = −f_k·s הגודל s הוא הדרך שהגוף עבר על המשטח המחוספס, ולא ההעתק ולא הפרש הגבהים. גוף הנע הלוך ושוב על משטח מחוספס מאבד אנרגיה בשני הכיוונים.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים שהאנרגיה "הולכת לאיבוד" או "נעלמת" בחיכוך. למעשה לא אובד ממנה ג'אול אחד: כל ההפסד באנרגיה המכנית מופיע כאנרגיה פנימית בשני המשטחים — התחממות, קול ושחיקה — וחוק שימור האנרגיה הכללי E₁ = E₂ + Q נשאר נכון תמיד. מה שאינו נשמר בנוכחות חיכוך הוא האנרגיה המכנית לבדה; לכן כתבו בפתרון "הפכה לאנרגיה פנימית" ולא "אבדה".

דוגמה 7.20

גוף שמסתו 2 kg משוחרר ממנוחה מגובה 1.8 m על מישור משופע חלק, ואחר כך ממשיך בתנועתו על משטח אופקי שבו מתחיל קטע מחוספס בנקודה A; מקדם החיכוך הקינטי בקטע זה הוא 0.3. נחשב את מהירות הגוף בנקודה A, את המרחק שהוא עובר בקטע המחוספס עד שהוא נעצר, ואת האנרגיה הפנימית שנוצרה.

פתרון:

מן השחרור עד A: המשטח חלק והאנרגיה נשמרת. גובה האפס על המשטח האופקי:

m·g·h = 12·m·v_A²

v_A = 2·g·h = 2 · 10 · 1.8 = 6 m/s

האנרגיה המכנית ב-A כולה קינטית: E_A = m·g·h = 36 J.

בקטע המחוספס: כוח החיכוך הוא f_k = μ·N = μ·m·g = 0.3 · 2 · 10 = 6 N. הגוף נעצר כשכל האנרגיה המכנית שלו הופכת לאנרגיה פנימית:

E_A = E_B + f_k·d

36 = 0 + 6 · d

d = 366 = 6 m

האנרגיה הפנימית שנוצרה שווה לכל האנרגיה המכנית ההתחלתית: Q = f_k·d = 36 J.

v_A = 6 m/s , d = 6 m , Q = 36 J

שימו לב לצמצום היפה: m·g·h = μ·m·g·d, ומכאן d = hμ — המרחק אינו תלוי במסה ולא בזווית המישור המשופע.

דוגמה 7.21

גוף שמסתו 2 kg מחליק ממנוחה על מישור משופע מחוספס שאורכו 10 m וזווית שיפועו 37°, ומגיע לתחתיתו במהירות 6 m/s. נחשב את האנרגיה המכנית שאבדה, את כוח החיכוך ואת מקדם החיכוך הקינטי.

פתרון:

גובה המישור: h = L·sin θ = 10 · 0.6 = 6 m. גובה האפס בתחתית. האנרגיה למעלה (במנוחה) ולמטה:

E₁ = m·g·h = 2 · 10 · 6 = 120 J

E₂ = 12·m·v² = 12 · 2 · 6² = 36 J

ההפרש הוא גודל העבודה של החיכוך לאורך המישור:

f_k·L = E₁ − E₂ = 120 − 36 = 84 J

f_k = 8410 = 8.4 N

הכוח הנורמלי על המישור המשופע הוא N = m·g·cos θ = 2 · 10 · 0.8 = 16 N, ומכאן מקדם החיכוך:

μ = f_kN = 8.416 = 0.525

f_k·L = 84 J , f_k = 8.4 N , μ = 0.525

בדיקה בשיטת הכוחות: הכוח השקול לאורך המישור הוא m·g·sin θ − f_k = 12 − 8.4 = 3.6 N, התאוצה a = 1.8 m/s², ו-v² = 2·a·L = 36, כלומר v = 6 m/s — בדיוק כמו בנתונים.

דוגמה 7.22

גוף שמסתו 2 kg משוחרר ממנוחה מגובה 2 m על מישור משופע חלק, ומחליק אל משטח אופקי שבו קטע מחוספס AB באורך 4 m, שמקדם החיכוך בו 0.25; אחריו בא משטח חלק המסתיים בקפיץ שקבועו 1000 N/m. נחשב את מהירות הגוף ב-B ואת הדחיסה המרבית של הקפיץ, ואחר כך נתאר מה קורה לגוף אחרי שהקפיץ משגר אותו בחזרה.

פתרון:

נעקוב אחר "מאזן" האנרגיה שלב אחר שלב. האנרגיה ההתחלתית (גובה האפס על המשטח האופקי):

E₀ = m·g·h = 2 · 10 · 2 = 40 J

בקטע המחוספס החיכוך לוקח f_k·d מן האנרגיה:

f_k = μ·m·g = 0.25 · 2 · 10 = 5 N

E_B = E₀ − f_k·d = 40 − 5 · 4 = 20 J

v_B = 2·E_Bm = 2 · 202 = 4.47 m/s

מ-B עד הקפיץ המשטח חלק, ולכן כל האנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיה אלסטית בדחיסה המרבית:

12·k·x² = E_B

x = 2 · 201000 = 0.2 m = 20 cm

הקפיץ מחזיר לגוף את כל 20 J (כוח משמר) ומשגר אותו בחזרה לעבר B. במעבר השני בקטע המחוספס הגוף מאבד עוד 20 J:

E_A = E_B − f_k·d = 20 − 20 = 0 J

הגוף מגיע ל-A עם אנרגיה אפס בדיוק — כלומר הוא נעצר בתחילת הקטע המחוספס ואינו חוזר למישור המשופע. כל האנרגיה ההתחלתית (40 J) הפכה לאנרגיה פנימית בשני מעברים בקטע המחוספס.

v_B = 4.47 m/s , x = 20 cm

שאלה 7.11: באותה מערכת שוחרר הגוף מגובה 3 m. חשבו את הדחיסה המרבית של הקפיץ, ואת הגובה שאליו מגיע הגוף על המישור המשופע בדרכו חזרה.

דוגמה 7.23

גוף שמסתו 0.5 kg נלחץ אל קפיץ שקבועו 200 N/m עד שהקפיץ נדחס ב-10 cm, על רצפה אופקית מחוספסת שמקדם החיכוך בה 0.4. משחררים את הגוף. נחשב את המרחק הכולל שהוא עובר עד שהוא נעצר (מנקודת השחרור), ואת מהירותו ברגע שהוא ניתק מן הקפיץ.

פתרון:

האנרגיה ההתחלתית כולה אלסטית, והחיכוך פועל לאורך כל הדרך (כולל הקטע שבו הקפיץ מתארך):

E₁ = 12·k·x² = 12 · 200 · 0.1² = 1 J

f_k = μ·m·g = 0.4 · 0.5 · 10 = 2 N

בעצירה האנרגיה המכנית היא אפס (הקפיץ חזר לאורכו הרפוי ואינו נוגע עוד בגוף):

E₁ = 0 + f_k·d

d = 12 = 0.5 m

הגוף ניתק מן הקפיץ כשהקפיץ חוזר לאורכו הרפוי, כלומר אחרי x = 0.1 m מן השחרור. עד שם הגוף איבד f_k·x = 0.2 J:

12·k·x² − f_k·x = 12·m·v²

v = 2 · (1 − 0.2)0.5 = 1.79 m/s

d = 0.5 m , v = 1.79 m/s

השיטה	מתי נעדיף אותה?	מה היא נותנת?
כוחות וחוקי ניוטון	כוחות קבועים, מסלול ישר, כשמבקשים את התאוצה, את הזמן או כוח	התאוצה, הכוחות, הזמן
אנרגיה	מסלול עקום, כוחות משתנים (קפיץ), כשמבקשים לקשר בין המהירות למקום	המהירות במקום מסוים, הגובה, הדחיסה
אנרגיה עם f_k·s	יש חיכוך, ואורך הדרך ידוע	האנרגיה שאבדה, מרחק העצירה, מקדם החיכוך

שאלה 7.12: גולש שמסתו 50 kg מגיע לתחתית מדרון במהירות 8 m/s, ואחר כך עולה על גבעת שלג שגובהה 2.5 m במסלול שאורכו 10 m, ומגיע לראשה במהירות 2 m/s. חשבו את האנרגיה המכנית שאבדה בגלל החיכוך ואת כוח החיכוך הממוצע לאורך המסלול.

שאלה 7.13: כדור שמסתו 1 kg משוחרר מגובה 2 m על מסלול חלק, ואחר כך עובר בקטע אופקי מחוספס שאורכו 4 m ומקדם החיכוך בו 0.2, ואחריו עולה על מסלול חלק. לאיזה גובה הוא מגיע? וכמה פעמים יעבור בקטע המחוספס לפני שייעצר בו?

תנועה במעגל אנכי (Motion in a Vertical Circle)

שיקולי כוחות ואנרגיה:

גוף קשור לחוט המסתובב במעגל אנכי, קרונית ב"לולאת המוות" בלונה פארק, או מכונית החוצה ראש גבעה: בכל המקרים האלה הגוף נע במסלול מעגלי במישור אנכי, וכוח הכובד פועל עליו לאורך כל התנועה. בניגוד לתנועה מעגלית קצובה, כאן גודל המהירות משתנה: הגוף מאט כשהוא עולה ומאיץ כשהוא יורד. כדי לפתור בעיות כאלה נשתמש בשני כלים יחד:

שיקול אנרגיה: אם המסלול חלק (או שהחוט מתוח תמיד), הכוח הנורמלי (או המתיחות) אינו מבצע עבודה, והאנרגיה המכנית נשמרת. כך מקשרים בין המהירות בנקודה אחת למהירות בנקודה אחרת.
שיקול כוחות: בכל נקודה, הכוח השקול בכיוון הרדיאלי (אל מרכז המעגל) שווה ל- m·v²R. מכאן מקבלים את המתיחות או את הכוח הנורמלי באותה נקודה.

גוף קשור לחוט המסתובב במעגל אנכי שרדיוסו R. בנקודה התחתונה A המתיחות כלפי מעלה והמשקל כלפי מטה; בנקודה העליונה B שני הכוחות כלפי מטה, אל המרכז

בנקודה התחתונה A: המרכז מעל הגוף. המתיחות מכוונת אל המרכז (כלפי מעלה) והמשקל — הרחק ממנו (כלפי מטה):

T_A − m·g = m·v_A²R

T_A = m·g + m·v_A²R

בנקודה העליונה B: המרכז מתחת לגוף. המתיחות והמשקל מכוונים שניהם אל המרכז (כלפי מטה):

T_B + m·g = m·v_B²R

T_B = m·v_B²R − m·g

הקשר בין שתי המהירויות נובע משימור האנרגיה (גובה האפס ב-A, והנקודה B גבוהה ממנה ב-2R):

12·m·v_A² = 12·m·v_B² + m·g·(2R)

v_A² = v_B² + 4·g·R

מעגל אנכי — נקודה כללית

T − m·g·cos φ = m·v²R

12·m·v_A² = 12·m·v² + m·g·R·(1 − cos φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
φ	הזווית בין החוט לאנך, הנמדדת מן הנקודה התחתונה: בנקודה A הזווית φ = 0 , ובנקודה B הזווית φ = 180°	[°]
T	המתיחות בחוט (או הכוח הנורמלי N של מסילה)	[N]
m·g·cos φ	רכיב המשקל לאורך הרדיוס; בחצי התחתון הוא מושך הרחק מן המרכז, ובחצי העליון (cos φ שלילי) — אל המרכז	[N]
R·(1 − cos φ)	גובה הנקודה מעל הנקודה התחתונה	[m]

הערה: כלל מעשי: בכל נקודה נסרטט את הכוחות, נקבע את כיוון המרכז ונכתוב: סכום הכוחות אל המרכז, פחות סכום הכוחות הרחק מן המרכז, שווה ל-m·v²R. המתיחות (או הכוח הנורמלי) מרבית בנקודה התחתונה — המהירות שם מרבית והמשקל מנוגד למתיחות — ומזערית בנקודה העליונה.

דוגמה 7.24

גוף שמסתו 0.5 kg, הקשור לחוט שאורכו 1 m, מסתובב במעגל אנכי. מהירותו בנקודה התחתונה A היא 10 m/s. נחשב את מהירותו בנקודה העליונה B, ואת המתיחות בחוט ב-A, ב-B ובנקודה C שבה החוט אופקי.

פתרון:

המהירות ב-B לפי שימור האנרגיה (המתיחות אינה מבצעת עבודה, כי היא ניצבת למסלול):

v_B² = v_A² − 4·g·R = 10² − 4 · 10 · 1 = 60

v_B = 7.75 m/s

המתיחות ב-A:

T_A = m·g + m·v_A²R = 0.5 · 10 + 0.5 · 10²1 = 55 N

המתיחות ב-B:

T_B = m·v_B²R − m·g = 0.5 · 601 − 0.5 · 10 = 25 N

ב-C (החוט אופקי, φ = 90°): הנקודה גבוהה מ-A ב-R, והמשקל ניצב לחוט, ולכן אין לו רכיב בכיוון הרדיאלי:

v_C² = v_A² − 2·g·R = 100 − 20 = 80

T_C = m·v_C²R = 0.5 · 801 = 40 N

ההפרש בין המתיחות ב-A לבין המתיחות ב-B הוא 30 N, כלומר 6·m·g — וזו תוצאה כללית שאינה תלויה במהירות (בדקו אותה באלגברה!).

v_B = 7.75 m/s , T_A = 55 N , T_B = 25 N , T_C = 40 N

דוגמה 7.25

כדור קטן שמסתו 0.2 kg משוחרר ממנוחה משפת קערה חצי-כדורית חלקה שרדיוסה 0.5 m. נחשב את מהירות הכדור בתחתית הקערה ואת הכוח הנורמלי שהקערה מפעילה עליו שם.

פתרון:

הכוח הנורמלי ניצב תמיד למסלול המעגלי, ולכן אינו מבצע עבודה; האנרגיה נשמרת. השפה גבוהה מן התחתית ב-R:

m·g·R = 12·m·v_B²

v_B = 2·g·R = 2 · 10 · 0.5 = 3.16 m/s

בתחתית המרכז מעל הכדור: הכוח הנורמלי מכוון אל המרכז (כלפי מעלה) והמשקל — הרחק ממנו:

N − m·g = m·v_B²R

N = m·g + m·(2·g·R)R = 3·m·g = 3 · 0.2 · 10 = 6 N

תוצאה כללית: גוף המשוחרר ממנוחה מגובה R על מסלול מעגלי שרדיוסו R לוחץ בתחתית בכוח השווה לשלושה משקליו, יהיו המסה והרדיוס אשר יהיו.

v_B = 3.16 m/s , N = 3·m·g = 6 N

שאלה 7.14: באותה קערה, חשבו את הכוח הנורמלי כשהכדור עובר בנקודה שבה הרדיוס אליה יוצר זווית φ = 60° עם האנך (גובהה מעל התחתית R·(1 − cos φ)). ובאיזו זווית הכוח הנורמלי שווה לפעמיים המשקל?

הינתקות מן המסלול:

חוט יכול רק למשוך, ואינו יכול לדחוף; ומסלול יכול רק לדחוף (הכוח הנורמלי), ואינו יכול למשוך. לכן המתיחות והכוח הנורמלי לעולם אינם שליליים: T ≥ 0 , N ≥ 0. מה קורה אם המשוואה דורשת ערך שלילי? פירוש הדבר שהמהירות קטנה מכדי להשאיר את הגוף על המעגל: החוט מתרפה, או שהגוף ניתק מן המסלול, ומאותו רגע הוא נע כמו קליע חופשי בהשפעת כוח הכובד בלבד.

הינתקות מן המסלול: הרגע שבו מתאפס הכוח שהמסלול (או החוט) מפעיל על הגוף: N = 0 (או T = 0). ברגע זה המשקל (או הרכיב הרדיאלי שלו) הוא לבדו מספק את הכוח הרדיאלי. התנאי להישארות הגוף על המסלול המעגלי: N ≥ 0 בכל נקודה.

הנקודה הקריטית היא הנקודה העליונה B, כי המהירות בה מזערית והמשקל כולו מכוון אל המרכז. נציב N_B = 0 במשוואת הכוחות:

0 + m·g = m·v_B²R

v_B,min = g·R

מהירות מזערית בנקודה העליונה

v_B,min = g·R

v_A,min = 5·g·R

h_min = 2.5·R

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_B,min	המהירות המזערית בנקודה העליונה המשאירה את הגוף על המסלול (אינה תלויה במסה)	[m/s]
v_A,min	המהירות המזערית בנקודה התחתונה המספיקה להשלמת הסיבוב	[m/s]
h_min	גובה השחרור המזערי (ממנוחה) שממנו הגוף משלים את הלולאה, הנמדד מתחתית הלולאה	[m]

שתי המהירויות האחרות נובעות משימור האנרגיה: v_A² = v_B² + 4·g·R = g·R + 4·g·R = 5·g·R. ואם הגוף משוחרר ממנוחה מגובה h מעל תחתית הלולאה: m·g·h = 12·m·v_B² + m·g·(2R) = 12·m·g·R + 2·m·g·R, כלומר h = 2.5·R.

מסלול חלק עם לולאה אנכית שרדיוסה R. בנקודה העליונה B פועלים על הגוף הכוח הנורמלי N והמשקל m·g, ושניהם מכוונים אל המרכז (כלפי מטה)

שימו לב: טעות נפוצה: לחשוב שהמהירות בנקודה העליונה יכולה להיות אפס. אילו הגוף היה נעצר למעלה, הוא היה נופל אנכית — ולמעשה הוא היה ניתק מן המסלול הרבה לפני כן. בנקודה העליונה המהירות חייבת להיות לפחות g·R, והגוף אינו נשאר על המסלול בזכות "כוח צנטריפוגלי" — כוח כזה אינו קיים במערכת הייחוס שבה אנו עובדים.

דוגמה 7.26

קרונית שמסתה 0.5 kg משוחררת ממנוחה על מסלול חלק המסתיים בלולאה אנכית שרדיוסה 2 m (כמו באיור).
א. מהו גובה השחרור המזערי שמאפשר לקרונית להשלים את הלולאה?
ב. הקרונית שוחררה מגובה 6 m. נחשב את הכוח הנורמלי בנקודה התחתונה A, בנקודה C (בגובה R) ובנקודה העליונה B.

פתרון:

א. בנקודה העליונה המהירות חייבת להיות לפחות g·R:

v_B,min = g·R = 10 · 2 = 4.47 m/s

h_min = 2.5·R = 2.5 · 2 = 5 m

ב. גובה השחרור h = 6 m גדול מ-h_min, ולכן הקרונית משלימה את הלולאה. גובה האפס ב-A. ב-A (h_A = 0):

m·g·h = 12·m·v_A²

v_A² = 2·g·h = 2 · 10 · 6 = 120

N_A − m·g = m·v_A²R

N_A = 0.5 · 10 + 0.5 · 1202 = 35 N

ב-C (h_C = R = 2 m): הכוח הנורמלי אופקי ומכוון אל המרכז, והמשקל ניצב לו:

v_C² = 2·g·(h − R) = 2 · 10 · (6 − 2) = 80

N_C = m·v_C²R = 0.5 · 802 = 20 N

ב-B (h_B = 2R = 4 m):

v_B² = 2·g·(h − 2R) = 2 · 10 · (6 − 4) = 40

N_B + m·g = m·v_B²R

N_B = 0.5 · 402 − 0.5 · 10 = 5 N

הכוח הנורמלי ב-B חיובי, ולכן הקרונית אינה ניתקת. תוצאה כללית יפה: בשחרור מגובה h = 3R מתקיים בדיוק N_B = m·g, לכל מסה ולכל רדיוס.

h_min = 5 m , N_A = 35 N , N_C = 20 N , N_B = 5 N

דוגמה 7.27

מכונית חוצה ראש גבעה מעוגלת שרדיוס העקמומיות שלה 40 m. מהי המהירות המרבית שבה היא יכולה לעבור את הראש בלי שגלגליה יינתקו מן הכביש?

פתרון:

בראש הגבעה המרכז מתחת למכונית. המשקל מכוון אל המרכז, והכוח הנורמלי — הרחק ממנו:

m·g − N = m·v²R

N = m·g − m·v²R

ככל שהמהירות גדלה, הכוח הנורמלי קטן. ההינתקות מתרחשת כאשר N = 0:

v_max = g·R = 10 · 40 = 20 m/s = 72 km/h

במהירות גדולה מזו המכונית "עפה" מעל הראש ונעה כמו קליע עד שהיא חוזרת לכביש. שימו לב שהתנאי זהה לתנאי בנקודה העליונה של הלולאה: שם המסלול דוחף מבחוץ פנימה, וכאן הכביש דוחף מבפנים, אבל הגבול N = 0 זהה.

v_max = 20 m/s

דוגמה 7.28

כדור קשור לחוט שאורכו 1 m עובר בנקודה התחתונה במהירות 6 m/s. האם הכדור ישלים סיבוב שלם? אם לא, נמצא את הזווית שבה החוט מתרפה ואת גובה הכדור באותו רגע.

פתרון:

המהירות המזערית להשלמת הסיבוב היא 5·g·R = 50 = 7.07 m/s, והמהירות הנתונה קטנה ממנה, ולכן החוט מתרפה במקום כלשהו בחצי העליון של המעגל. נחפש את הנקודה שבה T = 0. בזווית φ מן הנקודה התחתונה, גובה הכדור הוא h = R·(1 − cos φ), ומהירותו לפי שימור האנרגיה:

v² = v_A² − 2·g·R·(1 − cos φ)

משוואת הכוחות בכיוון הרדיאלי עם T = 0 (בחצי העליון cos φ שלילי, ולכן האיבר −m·g·cos φ חיובי — המשקל מושך אל המרכז):

T − m·g·cos φ = m·v²R

−m·g·cos φ = m·(v_A² − 2·g·R + 2·g·R·cos φ)R

נצמצם את m, נכפול ב-R ונבודד:

−g·R·cos φ = v_A² − 2·g·R + 2·g·R·cos φ

−3·g·R·cos φ = v_A² − 2·g·R

cos φ = 2·g·R − v_A²3·g·R = 20 − 3630 = −0.533

φ = 122.2°

שימו לב: cos φ שלילי, כפי שציפינו — הנקודה בחצי העליון. הגובה מעל הנקודה התחתונה:

h = R·(1 − cos φ) = 1 · (1 + 0.533) = 1.53 m

ברגע זה מהירות הכדור היא v = v_A² − 2·g·h = 2.31 m/s, והיא אינה אפס: הכדור ממשיך לנוע כקליע במהירות זו בכיוון המשיק.

φ ≈ 122° , h ≈ 1.53 m

שאלה 7.15: כדור שמסתו 0.2 kg, הקשור לחוט שאורכו 1.5 m, מסתובב במעגל אנכי. חשבו את המהירות המזערית בנקודה העליונה, ואת המתיחות בנקודה התחתונה כשהכדור מסתובב בדיוק במהירות המזערית הזאת.

שאלה 7.16: קרונית במסלול חלק עם לולאה שרדיוסה 0.8 m משוחררת ממנוחה מגובה h. מהו h המזערי להשלמת הלולאה? אם היא שוחררה מגובה 1.6 m (כלומר 2R), האם תגיע לנקודה העליונה? מהו גובה הנקודה שבה היא ניתקת מן המסלול? (רמז: אותה משוואה כמו בדוגמה האחרונה, עם N = 0.)

▶ניסוי חי — תנועה במעגל אנכי והינתקות מן המסלולנשנה את הרדיוס ואת המהירות בנקודה התחתונה, ונקרא את המתיחות בכל נקודה במעגל; נקטין את המהירות בהדרגה עד שהכוח מתאפס בנקודה העליונה, ונראה את רגע ההינתקות.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#vcirc

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#vcirc

היבטים אנרגטיים בהתנגשות (Energy in Collisions)

למדנו בפרק 6 שהתנע הכולל של מערכת סגורה נשמר בכל התנגשות, כי הכוחות בין שני הגופים הם כוחות פנימיים. האם גם האנרגיה הקינטית נשמרת? לא תמיד. בזמן ההתנגשות הגופים מתעוותים, הטמפרטורה שלהם עולה ונשמע קול — כל זה צורך אנרגיה. נבחין בין שני סוגי התנגשות, לפי מה שקורה לאנרגיה הקינטית.

התנגשות פלסטית והמרות אנרגיה:

התנגשות פלסטית: התנגשות שבה האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת קטנה: חלק ממנה הופך לאנרגיה פנימית (חום, עיוות קבוע, קול). המקרה הקיצוני הוא התנגשות פלסטית לחלוטין, שבה שני הגופים נצמדים וממשיכים לנוע יחד במהירות משותפת אחת; בה הירידה באנרגיה הקינטית היא הגדולה ביותר. התנע נשמר בכל מקרה.

דוגמה 7.29

עגלה שמסתה 3 kg נעה במהירות 8 m/s ומתנגשת בעגלה נחה שמסתה 5 kg, ושתי העגלות נצמדות. נחשב את המהירות המשותפת שלהן אחרי ההתנגשות, את האנרגיה הקינטית של המערכת לפני ההתנגשות ואחריה, ואת האנרגיה שהפכה לאנרגיה פנימית ואת חלקה היחסי.

פתרון:

שימור התנע (הכיוון החיובי הוא כיוון התנועה ההתחלתית):

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·v

v = 3 · 83 + 5 = 3 m/s

האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות:

E_k,1 = 12·m₁·v₁² = 12 · 3 · 8² = 96 J

אחרי ההתנגשות: מסה אחת של 8 kg במהירות 3 m/s:

E_k,2 = 12·(m₁ + m₂)·v² = 12 · 8 · 3² = 36 J

האנרגיה שהפכה לאנרגיה פנימית:

Q = E_k,1 − E_k,2 = 96 − 36 = 60 J

QE_k,1 = 6096 = 0.625 = 62.5 %

התנע נשמר במלואו (24 kg·m/s לפני ואחרי), ואילו יותר ממחצית האנרגיה הקינטית "נעלמה" מן המאזן המכני והפכה לחום ולעיוות.

v = 3 m/s , Q = 60 J (62.5 %)

אפשר להוכיח שהחלק היחסי של האנרגיה האבודה בהתנגשות פלסטית לחלוטין בגוף נח הוא תמיד m₂m₁ + m₂, תהיה המהירות אשר תהיה: ככל שהגוף הנח כבד יותר, חלק גדול יותר מן האנרגיה הולך לאיבוד. בדוגמה שלנו 58 = 0.625.

דוגמה 7.30

עגלה שמסתה 2 kg נעה במהירות 6 m/s ומתנגשת בעגלה נחה שמסתה 4 kg. אחרי ההתנגשות העגלה הראשונה נעצרת לגמרי. נחשב את מהירות העגלה השנייה אחרי ההתנגשות ואת האנרגיה שהפכה לאנרגיה פנימית, ונקבע את סוג ההתנגשות.

פתרון:

שימור התנע (הראשונה נעצרת: v₁′ = 0):

m₁·v₁ = m₂·v₂′

v₂′ = 2 · 64 = 3 m/s

E_k,1 = 12 · 2 · 6² = 36 J

E_k,2 = 12 · 4 · 3² = 18 J

Q = 36 − 18 = 18 J

מחצית האנרגיה הקינטית אבדה, אבל העגלות לא נצמדו (מהירויותיהן שונות אחרי ההתנגשות), ולכן ההתנגשות פלסטית חלקית: היא אינה אלסטית (האנרגיה לא נשמרה) ואינה פלסטית לחלוטין (אין מהירות משותפת). המהירות היחסית לפני ההתנגשות היא 6 m/s ואחריה −3 m/s — היא התהפכה וקטנה.

v₂′ = 3 m/s , Q = 18 J

שימו לב: בהתנגשות פלסטית אסור להשתמש בשימור האנרגיה המכנית בין המצב שלפני ההתנגשות לבין המצב שאחריה. הכלי היחיד שתקף במהלך ההתנגשות עצמה הוא שימור התנע. לפני ההתנגשות ואחריה — בתנועה החופשית — מותר להשתמש באנרגיה.

מטוטלת בליסטית:

יישום קלסי המשלב את שני הכלים: קליע קטן נורה אל גוש עץ התלוי בחוטים ונתקע בו, ואז הגוש עם הקליע עולה לגובה h שאותו אנו מודדים. מגובה זה אנו מסיקים את מהירות הקליע — שקשה למדוד אותה ישירות.

דוגמה 7.31

קליע שמסתו 10 g נתקע בגוש עץ תלוי שמסתו 990 g, והגוש עם הקליע עולה לגובה 20 cm. נחשב את מהירות הגוש עם הקליע מיד אחרי ההתנגשות, את מהירות הקליע לפניה, ואת החלק היחסי של האנרגיה הקינטית שהפך לאנרגיה פנימית.

פתרון:

השלב השני — העלייה (אחרי ההתנגשות): המתיחות אינה מבצעת עבודה והאנרגיה המכנית נשמרת. המסה הכוללת היא m + M = 1 kg:

12·(m + M)·v² = (m + M)·g·h

v = 2·g·h = 2 · 10 · 0.2 = 2 m/s

השלב הראשון — ההתנגשות: פלסטית לחלוטין; נשתמש בשימור התנע בלבד:

m·v₀ = (m + M)·v

v₀ = (m + M)·vm = 1 · 20.01 = 200 m/s

מאזן האנרגיה:

E_k,1 = 12·m·v₀² = 12 · 0.01 · 200² = 200 J

E_k,2 = 12·(m + M)·v² = 12 · 1 · 2² = 2 J

E_k,1 − E_k,2E_k,1 = 198200 = 99 %

תשעים ותשעה אחוזים מן האנרגיה של הקליע הפכו לחום ולעיוות בעץ! אילו השתמשנו — בטעות — בשימור האנרגיה המכנית בהתנגשות עצמה, היינו מקבלים מהירות קליע קטנה פי עשרה מן הנכונה.

v = 2 m/s , v₀ = 200 m/s , 99 % אבדו

הערה: ההתנגשות עצמה נמשכת חלק קטן מאוד של שנייה, ולכן במהלכה הגוש זז מרחק זניח בלבד, והחוטים נשארים אנכיים: הכוחות החיצוניים (המשקל והמתיחות) מאזנים זה את זה בכיוון האופקי, ולכן שימור התנע האופקי מדויק.

התנגשות אלסטית:

התנגשות אלסטית: התנגשות שבה נשמרת האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת, בנוסף לתנע: סכום האנרגיות הקינטיות אחרי ההתנגשות שווה לסכומן לפניה. במהלך ההתנגשות האנרגיה הקינטית הופכת זמנית לאנרגיה פוטנציאלית אלסטית בגופים המתעוותים, ואחר כך חוזרת כולה להיות אנרגיה קינטית. התנגשות של כדורי ביליארד והתנגשות של מולקולות בגז קרובות להתנגשות אלסטית.

התנגשות אלסטית חד-ממדית

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v₁′ + m₂·v₂′

12·m₁·v₁² + 12·m₂·v₂² = 12·m₁·v₁′² + 12·m₂·v₂′²

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁ , v₂	שתי המהירויות לפני ההתנגשות (עם הסימן)	[m/s]
v₁′ , v₂′	שתי המהירויות אחרי ההתנגשות	[m/s]

פתרון שתי המשוואות יחד מייגע בגלל הריבוע. אבל אפשר להפיק מהן קשר פשוט יותר. בכל משוואה נעביר את האיברים של הגוף הראשון לאגף אחד ואת האיברים של הגוף השני לאגף השני:

m₁·(v₁ − v₁′) = m₂·(v₂′ − v₂)

m₁·(v₁² − v₁′²) = m₂·(v₂′² − v₂²)

נפרק את הפרש הריבועים במשוואה השנייה: v₁² − v₁′² = (v₁ − v₁′)·(v₁ + v₁′), וכך גם באגף השני, ואז נחלק את המשוואה השנייה בראשונה:

m₁·(v₁ − v₁′)·(v₁ + v₁′)m₁·(v₁ − v₁′) = m₂·(v₂′ − v₂)·(v₂′ + v₂)m₂·(v₂′ − v₂)

v₁ + v₁′ = v₂′ + v₂

המהירות היחסית מתהפכת

v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁ − v₂	המהירות היחסית (מהירות ההתקרבות) לפני ההתנגשות	[m/s]
v₁′ − v₂′	המהירות היחסית (מהירות ההתרחקות) אחרי ההתנגשות	[m/s]

במילים: בהתנגשות אלסטית המהירות היחסית בין שני הגופים מתהפכת בכיוונה ושומרת על גודלה: הגופים מתרחקים זה מזה באותה מהירות שבה התקרבו. זו משוואה קווית, ואנו פותרים אותה יחד עם משוואת שימור התנע במקום משוואת האנרגיה — וכך נפטרים מן הריבוע. היא גם בדיקה מהירה: אם המהירות היחסית לא התהפכה, ההתנגשות אינה אלסטית.

שיטת הפתרון: דרך הפתרון של התנגשות אלסטית בממד אחד: (1) נבחר כיוון חיובי ונכתוב את המהירויות עם הסימנים שלהן. (2) נכתוב את שימור התנע. (3) נכתוב את היפוך המהירות היחסית. (4) נפתור את שתי המשוואות הקוויות. (5) נבדוק בעזרת שימור האנרגיה הקינטית.

דוגמה 7.32

כדור שמסתו 2 kg נע במהירות 6 m/s ומתנגש התנגשות אלסטית בכדור נח שמסתו 4 kg. נחשב את מהירות כל כדור אחרי ההתנגשות, ונבדוק את שימור האנרגיה הקינטית.

פתרון:

הכיוון החיובי הוא כיוון התנועה של הכדור הראשון. שימור התנע:

m₁·v₁ + 0 = m₁·v₁′ + m₂·v₂′

2 · 6 = 2·v₁′ + 4·v₂′

12 = 2·v₁′ + 4·v₂′

היפוך המהירות היחסית:

v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)

6 − 0 = v₂′ − v₁′

v₂′ = v₁′ + 6

נציב במשוואה הראשונה:

12 = 2·v₁′ + 4·(v₁′ + 6) = 6·v₁′ + 24

v₁′ = 12 − 246 = −2 m/s

v₂′ = −2 + 6 = 4 m/s

הכדור הראשון (הקל יותר) ניתז לאחור במהירות 2 m/s, והשני יצא קדימה במהירות 4 m/s. בדיקה בעזרת האנרגיה:

E_k,1 = 12 · 2 · 6² = 36 J

E_k,2 = 12 · 2 · (−2)² + 12 · 4 · 4² = 4 + 32 = 36 J

האנרגיה הקינטית נשמרת, כפי שצריך בהתנגשות אלסטית. (השוו להתנגשות פלסטית לחלוטין באותן מסות: שם המהירות המשותפת היא 2 m/s, והאנרגיה אחרי ההתנגשות היא 12 J בלבד.)

v₁′ = −2 m/s , v₂′ = 4 m/s

דוגמה 7.33

עגלה שמסתה 1 kg נעה ימינה במהירות 5 m/s, ועגלה שמסתה 3 kg נעה לקראתה (שמאלה) במהירות 1 m/s. העגלות מתנגשות התנגשות אלסטית. נחשב את מהירויותיהן אחרי ההתנגשות.

פתרון:

הכיוון החיובי ימינה: v₁ = +5 m/s , v₂ = −1 m/s. שימור התנע:

1 · 5 + 3 · (−1) = 1·v₁′ + 3·v₂′

2 = v₁′ + 3·v₂′

היפוך המהירות היחסית:

5 − (−1) = −(v₁′ − v₂′)

v₂′ = v₁′ + 6

2 = v₁′ + 3·(v₁′ + 6)

v₁′ = 2 − 184 = −4 m/s

v₂′ = −4 + 6 = 2 m/s

העגלה הקלה ניתזה שמאלה במהירות 4 m/s, וכיוון התנועה של הכבדה התהפך והיא נעה ימינה במהירות 2 m/s. בדיקה בעזרת האנרגיה:

E_k,1 = 12 · 1 · 5² + 12 · 3 · 1² = 14 J

E_k,2 = 12 · 1 · 4² + 12 · 3 · 2² = 14 J

נבדוק גם את התנע: 1 · (−4) + 3 · 2 = 2 kg·m/s — כמו לפני ההתנגשות.

v₁′ = −4 m/s , v₂′ = 2 m/s

מקרים מיוחדים:

כשהגוף השני נח (v₂ = 0), אפשר לפתור את שתי המשוואות באופן כללי, ומקבלים:

v₁′ = m₁ − m₂m₁ + m₂·v₁

v₂′ = 2·m₁m₁ + m₂·v₁

המקרה	v₁′	v₂′	מה קורה?
m₁ = m₂	0	v₁	החלפת מהירויות: הראשון נעצר, והשני יוצא במהירות של הראשון (כדורי ביליארד)
m₁ ≪ m₂ (גוף קל מתנגש בקיר)	≈ −v₁	≈ 0	הקל ניתז בערך באותה מהירות, והכבד כמעט אינו זז
m₁ ≫ m₂ (גוף כבד מתנגש בקל)	≈ v₁	≈ 2·v₁	הכבד ממשיך כאילו לא קרה דבר, והקל יוצא במהירות כפולה ממהירותו

המקרה של גוף קל המתנגש בקיר קבוע חשוב: כדור המתנגש בקיר התנגשות אלסטית חוזר באותו גודל מהירות ובכיוון ההפוך — התנע שלו השתנה ב-2·m·v (תנע זה עבר לכדור הארץ דרך הקיר), אבל האנרגיה הקינטית שלו לא השתנתה.

סוג ההתנגשות	התנע	האנרגיה הקינטית	המהירות היחסית אחרי ההתנגשות
אלסטית	נשמר	נשמרת	מתהפכת ושומרת על גודלה
פלסטית (חלקית)	נשמר	קטנה	מתהפכת וגודלה קטן
פלסטית לחלוטין (היצמדות)	נשמר	קטנה במידה המרבית	אפס — מהירות משותפת

הערה: והאם יש התנגשויות שבהן האנרגיה הקינטית גדלה? כן — כשמשתחררת במגע אנרגיה אצורה, כמו קפיץ דחוס בין שתי עגלות שמשתחרר, או התפוצצות פגז לרסיסים. גם "התנגשויות הפוכות" אלה כפופות לשימור התנע, והאנרגיה הקינטית העודפת מקורה באנרגיה האלסטית או הכימית האצורה.

דוגמה 7.34

שתי עגלות שמסותיהן 1 kg ו-3 kg נחות על משטח אופקי חלק; ביניהן קפיץ דחוס שאצורה בו אנרגיה של 6 J, והן קשורות זו לזו בחוט. חותכים את החוט, והעגלות יוצאות לכיוונים מנוגדים. נחשב את מהירות כל עגלה אחרי שהיא ניתקת מן הקפיץ, ואיך האנרגיה מתחלקת ביניהן.

פתרון:

אין כוחות חיצוניים אופקיים: התנע הכולל נשמר, והוא היה אפס לפני החיתוך. הכיוון החיובי ימינה (כיוון העגלה השנייה):

0 = −m₁·v₁ + m₂·v₂

v₂ = m₁m₂·v₁ = v₁3

כל האנרגיה האלסטית הופכת לאנרגיה קינטית (הקפיץ והמשטח חלקים):

12·m₁·v₁² + 12·m₂·v₂² = 6

12 · 1 · v₁² + 12 · 3 · (v₁3)² = 6

23·v₁² = 6

v₁ = 3 m/s , v₂ = 1 m/s

חלוקת האנרגיה: העגלה הקלה מקבלת 12 · 1 · 3² = 4.5 J, והכבדה רק 1.5 J — האנרגיה מתחלקת ביחס הפוך למסה, כי גודלי התנע של שתי העגלות שווים, ו-E_k = p²2·m. זהו עקרון הרתע שלמדנו בפרק 6, בשפת האנרגיה.

v₁ = 3 m/s , v₂ = 1 m/s

שאלה 7.17: כדור שמסתו 1 kg נע במהירות 4 m/s ומתנגש התנגשות אלסטית בכדור נח שמסתו 3 kg. חשבו את מהירויות שני הכדורים אחרי ההתנגשות, ובדקו את שימור האנרגיה הקינטית.

שאלה 7.18: שתי עגלות שוות מסה נעות זו לקראת זו במהירויות 3 m/s ו-2 m/s. מהן מהירויותיהן אחרי התנגשות אלסטית? ומהי המהירות המשותפת שלהן אחרי התנגשות פלסטית לחלוטין, ואיזה חלק מן האנרגיה אובד בה?

▶ניסוי חי — האנרגיה בהתנגשותנשנה את המסות, את המהירויות ואת מידת האלסטיות, מהיצמדות מלאה ועד התנגשות אלסטית, ונעקוב אחר עמודת התנע שאינה משתנה, אחר עמודת האנרגיה הקינטית שקטנה ואחר מד המהירות היחסית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#ecol

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#ecol

הספק ונצילות (Power and Efficiency)

הספק:

שני עגורנים מרימים אותו מטען לאותו גובה, ולכן מבצעים אותה עבודה; אבל אחד מהם עושה זאת בדקה, והשני בעשר דקות. העבודה אינה מבחינה ביניהם — מה שמבחין ביניהם הוא הקצב שבו מתבצעת העבודה.

הספק: העבודה המבוצעת ביחידת זמן (או האנרגיה המומרת ביחידת זמן): P = Wt. יחידתו היא ואט: 1 W = 1 J/s.

כשכוח קבוע F פועל בכיוון התנועה של גוף הנע במהירות v, העבודה בזמן t היא W = F·d = F·v·t, ומכאן ההספק של הכוח:

הספק

P = Wt

P = F·v

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	הספק	[W]
W	העבודה המבוצעת (או האנרגיה המומרת)	[J]
t	הזמן	[s]
F	הכוח בכיוון התנועה	[N]
v	המהירות	[m/s]

הנוסחה P = F·v מתאימה גם להספק הרגעי כשהמהירות משתנה. יחידות נפוצות: קילוואט, 1 kW = 1000 W. ומן ההספק מקבלים יחידת אנרגיה מעשית: קילוואט-שעה, 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6·10⁶ J — היחידה שמופיעה בחשבון החשמל.

דוגמה 7.35

מנוע של מעלית מרים תא שמסתו (עם הנוסעים) 600 kg במהירות קבועה של 2 m/s. נחשב את ההספק של המנוע, ואת העבודה שהוא מבצע בנסיעה כלפי מעלה שנמשכת 15 s.

פתרון:

המהירות קבועה, ולכן הכוח השקול אפס, והכוח שהכבל מפעיל שווה למשקל:

F = m·g = 600 · 10 = 6000 N

P = F·v = 6000 · 2 = 12000 W = 12 kW

העבודה ב-15 s:

W = P·t = 12000 · 15 = 180000 J

וזו בדיוק m·g·h לגובה h = v·t = 30 m — כל העבודה הפכה לאנרגיה פוטנציאלית.

P = 12 kW , W = 180000 J

דוגמה 7.36

מכונית נוסעת בכביש אופקי במהירות קבועה של 30 m/s (108 km/h), ופועלים עליה כוחות התנגדות (אוויר וחיכוך) שהשקול שלהם 500 N. נחשב את הספק המנוע.

פתרון:

במהירות קבועה, כוח הדחף של המנוע שווה לכוחות ההתנגדות. ההספק:

P = F·v = 500 · 30 = 15000 W = 15 kW

אילו המהירות הוכפלה, ההספק הדרוש היה גדל פי שניים — ואף יותר, כי התנגדות האוויר עצמה גדלה עם המהירות.

P = 15 kW

נצילות:

אף מנוע אינו הופך את כל האנרגיה שהוא צורך לעבודה מועילה: חלק ממנה הופך תמיד לחום בגלל חיכוך והתנגדות חשמלית. היחס בין מה שמקבלים לבין מה שמשקיעים נקרא נצילות.

נצילות: היחס בין האנרגיה המועילה (או ההספק המועיל) שיוצאת מן המכונה לבין האנרגיה (או ההספק) שהיא צורכת: η = E_outE_in. נצילות היא מספר חסר יחידות, בין 0 ל-1, ובדרך כלל מבטאים אותה באחוזים. אין מכונה שנצילותה 100 אחוזים.

נצילות

η = E_outE_in = P_outP_in

E_in = E_out + Q

סימן	משמעות	יחידת מידה
η	נצילות	[—]
E_out , P_out	האנרגיה או ההספק המועילים	[J] , [W]
E_in , P_in	האנרגיה או ההספק הנצרכים	[J] , [W]
Q	האנרגיה המבוזבזת (חום)	[J]

דוגמה 7.37

מנוע המעלית מן הדוגמה הקודמת צורך מן הרשת הספק חשמלי של 15 kW. נחשב את הנצילות שלו, ואת ההספק המבוזבז כחום.

פתרון:

η = P_outP_in = 1200015000 = 0.8 = 80 %

P_lost = P_in − P_out = 15000 − 12000 = 3000 W

בכל שנייה הופכים 3000 J לחום במנוע ובכבלים.

η = 80 % , P_lost = 3 kW

שאלה 7.19: עגורן מרים מטען שמסתו 200 kg לגובה 15 m במשך 20 s במהירות קבועה. חשבו את ההספק המועיל, ואת ההספק שהמנוע שלו צורך אם נצילותו 75 אחוזים.

▶ניסוי חי — הספק ונצילותנשנה את מסת המטען, את מהירות ההרמה ואת ההספק הנצרך מן הרשת, ונקרא את ההספק המועיל, את ההספק המבוזבז ואת הנצילות.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#mpower

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#mpower

עיקרי הדברים:

העבודה מודדת כמה אנרגיה הכוח מעביר לאורך ההעתק: חיובית כשהכוח דוחף את התנועה, שלילית כשהוא מפריע לה, ואפס כשהוא ניצב לה.
עבודת הכוח השקול שווה תמיד לשינוי באנרגיה הקינטית — בכל מסלול, ישר או עקום, ולכל כוח, קבוע או משתנה.
העבודה של כוח משתנה היא השטח הכלוא בין גרף הכוח כפונקציה של המקום לבין ציר המקום: חיובי מעל הציר ושלילי מתחתיו.
עבודתו של כוח משמר (כוח הכובד והקפיץ) אינה תלויה במסלול, ולכן אנו אוגרים אותה באנרגיה פוטנציאלית; החיכוך הוא כוח שאינו משמר, ואין לו אנרגיה פוטנציאלית.
כשרק כוחות משמרים מבצעים עבודה, האנרגיה המכנית נשארת קבועה: האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית מתחלפות זו בזו, והסכום נשמר.
החיכוך אינו מכלה את האנרגיה אלא הופך אותה לאנרגיה פנימית; ההפסד באנרגיה המכנית שווה למכפלת כוח החיכוך באורך הדרך שנעברה.
במעגל האנכי אנו משלבים שני כלים: האנרגיה קושרת את המהירויות בין הנקודות, והכוחות בכיוון הרדיאלי נותנים את המתיחות או את הכוח הנורמלי; והגוף ניתק מן המסלול בנקודה שבה הם מתאפסים.
התנע נשמר בכל התנגשות, ואילו האנרגיה הקינטית נשמרת בהתנגשות אלסטית בלבד; ההספק הוא קצב ביצוע העבודה, והנצילות היא היחס בין האנרגיה המועילה לאנרגיה הנצרכת.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
אנרגיה קינטית	E_k = 12·m·v²
עבודה של כוח קבוע	W = F·d·cos θ
עבודה של כוח משתנה (השטח מתחת לגרף)	W = ΣF·Δx
עבודת מתיחת הקפיץ	W = 12·k·x²
משפט עבודה–אנרגיה	ΣW = ΔE_k = 12·m·v² − 12·m·v₀²
אנרגיה פוטנציאלית כובדית	U_G = m·g·h , W_mg = −ΔU_G
אנרגיה פוטנציאלית אלסטית	U_sp = 12·k·x²
אנרגיה מכנית	E = E_k + U_G + U_sp
שימור אנרגיה מכנית	E₁ = E₂
עם חיכוך	E₁ = E₂ + f_k·s
מעגל אנכי — הנקודה התחתונה	T_A − m·g = m·v_A²R
מעגל אנכי — הנקודה העליונה	T_B + m·g = m·v_B²R
מהירות מזערית בנקודה העליונה	v_B,min = g·R , v_A,min = 5·g·R
התנגשות אלסטית	v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)
התנגשות אלסטית בגוף נח	v₁′ = m₁ − m₂m₁ + m₂·v₁ , v₂′ = 2·m₁m₁ + m₂·v₁
הספק	P = Wt = F·v
נצילות	η = E_outE_in = P_outP_in

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
עבודה	Work	الشغل
אנרגיה קינטית	Kinetic energy	الطاقة الحركية
ג'אול	Joule	الجول
משפט עבודה–אנרגיה	Work–energy theorem	نظرية الشغل والطاقة
כוח משמר	Conservative force	القوّة الحافظة
כוח שאינו משמר	Non-conservative force	القوّة غير الحافظة
אנרגיה פוטנציאלית כובדית	Gravitational potential energy	طاقة الثقل الوضعية (الطاقة الكامنة)
אנרגיה פוטנציאלית אלסטית	Elastic potential energy	طاقة المرونة الوضعية
גובה האפס	Reference level	مستوى الصفر
אנרגיה מכנית	Mechanical energy	الطاقة الميكانيكية
שימור האנרגיה המכנית	Conservation of mechanical energy	حفظ الطاقة الميكانيكية
אנרגיה פנימית	Internal energy	الطاقة الداخلية
תנועה במעגל אנכי	Vertical circular motion	الحركة في دائرة عمودية
הינתקות מן המסלול	Leaving the track	الانفصال عن المسار
התנגשות אלסטית	Elastic collision	الاصطدام المرن
התנגשות פלסטית	Inelastic collision	الاصطدام غير المرن (اللدن)
מהירות יחסית	Relative velocity	السرعة النسبية
מטוטלת בליסטית	Ballistic pendulum	البندول البالستي
הספק	Power	القدرة
ואט	Watt	الواط
נצילות	Efficiency	الكفاءة (المردود)

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 7.1) אצן שמסתו 70 kg רץ במהירות 8 m/s. חשבו את האנרגיה הקינטית שלו. באיזו מהירות עליו לרוץ כדי שהאנרגיה הקינטית שלו תוכפל?

תשובות: E_k = 2240 J ; v = 11.31 m/s

(לסעיף 7.1) עגלה נמשכת על רצפה אופקית למרחק 10 m בכוח של 40 N היוצר זווית 60° עם האופק. חשבו את העבודה של הכוח. אם פועל על העגלה כוח חיכוך של 5 N, מהי העבודה הכוללת?

תשובות: W_F = 200 J ; ΣW = 150 J

(לסעיף 7.2) ספר שמסתו 0.8 kg מורם מהרצפה אל מדף שגובהו 1.6 m. חשבו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית הכובדית ואת העבודה של כוח הכובד בזמן ההרמה. מהי האנרגיה הפוטנציאלית של הספר על המדף ביחס לפני שולחן שגובהו 0.8 m?

תשובות: ΔU_G = 12.8 J , W_mg = −12.8 J ; ביחס לשולחן U_G = 6.4 J

(לסעיף 7.2) קפיץ שקבועו 250 N/m נדחס ב-8 cm. חשבו את האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית האצורה בו. מה תהיה האנרגיה אם הקפיץ יידחס פי שניים?

תשובות: U_sp = 0.8 J ; 3.2 J — פי ארבעה

(לסעיף 7.3) ילד מחליק ממנוחה על מגלשה חלקה שגובהה 3.2 m. חשבו את מהירותו בתחתית המגלשה. האם התוצאה תשתנה אם המגלשה תהיה ארוכה ומתונה יותר, באותו גובה?

תשובות: v = 2·g·h = 8 m/s ; לא — המהירות תלויה בגובה בלבד

(לסעיף 7.3) גוף משוחרר ממנוחה מגובה 5 m על מישור משופע חלק, ואחר כך מגיע לרצפה אופקית מחוספסת שמקדם החיכוך בה 0.25. באיזה מרחק מתחילת הרצפה המחוספסת הוא נעצר? הראו שהתשובה אינה תלויה במסה ולא בזווית המישור.

תשובות: d = hμ = 20 m

(לסעיף 7.4) מכונית חוצה ראש גבעה שרדיוס העקמומיות שלה 50 m. מהי המהירות המרבית (במטרים לשנייה ובקילומטרים לשעה) שבה היא יכולה לעבור את הראש בלי להינתק מן הכביש? אם היא עוברת במהירות 10 m/s, מהו היחס בין הכוח הנורמלי למשקלה?

תשובות: v_max = 22.36 m/s = 80.5 km/h ; Nm·g = 0.8

(לסעיף 7.5) עגלה שמסתה 4 kg נעה במהירות 5 m/s ומתנגשת בעגלה נחה שמסתה 6 kg, והן נצמדות. חשבו את המהירות המשותפת שלהן, את האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות ואחריה, ואת החלק היחסי של האנרגיה שאבדה.

תשובות: v = 2 m/s ; E_k,1 = 50 J , E_k,2 = 20 J ; אבדו 60 אחוזים

(לסעיף 7.5) כדור שמסתו 3 kg נע במהירות 4 m/s ומתנגש התנגשות אלסטית בכדור נח שמסתו 1 kg. חשבו את מהירויות שני הכדורים אחרי ההתנגשות, ובדקו את שימור האנרגיה הקינטית.

תשובות: v₁′ = 2 m/s , v₂′ = 6 m/s ; E_k = 24 J לפני ואחרי

10.

(לסעיף 7.6) מנוע של מעלית מרים תא שמסתו 300 kg במהירות קבועה של 1.5 m/s. חשבו את הכוח שהכבל מפעיל על התא, ואת ההספק המועיל של המנוע.

תשובות: F = m·g = 3000 N , P = F·v = 4500 W = 4.5 kW

11.

(לסעיף 7.6) עגורן מרים מטען שמסתו 500 kg לגובה 20 m במשך 25 s במהירות קבועה. חשבו את ההספק המועיל. אם נצילות המנוע היא 80 אחוזים, מהו ההספק שהוא צורך? וכמה ג'אול מבוזבזים כחום בכל שנייה?

תשובות: P_out = 4000 W ; P_in = 5000 W ; 1000 J בשנייה

תרגילי סיכום:

קבוע הקפיץ הוא 150 N/m. חשבו את העבודה הדרושה כדי למתוח אותו 20 cm מאורכו הרפוי, ואחר כך את העבודה הדרושה כדי למתוח אותו מ-20 cm עד 30 cm. מדוע העבודה בשלב השני גדולה יותר?

תשובות: W₁ = 3 J ; W_1→2 = 3.75 J — הכוח גדל עם ההתארכות

הגרף מתאר את הכוח הפועל על גוף שמסתו 2 kg בכיוון תנועתו, כפונקציה של המקום. הגוף יוצא ממנוחה ב-x = 0 על משטח חלק. חשבו את העבודה הכוללת עד x = 5 m, ואת מהירות הגוף שם.

תשובות: W = 35 J ; v = 5.92 m/s

מכונית שמסתה 800 kg נוסעת במהירות 25 m/s ונעצרת אחרי בלימה למרחק 50 m. חשבו את כוח הבלימה (הקבוע) בעזרת משפט עבודה–אנרגיה. מהו מרחק הבלימה באותו כוח ממהירות של 50 m/s?

תשובות: F = 5000 N ; d = 200 m

מטוטלת שאורכה 1.5 m ומסת הגוף שלה 0.4 kg משוחררת ממנוחה כשהחוט יוצר זווית 37° עם האנך. חשבו את מהירות הגוף בנקודה הנמוכה ביותר ואת המתיחות בחוט שם.

תשובות: h = 0.3 m , v = 2.45 m/s , T = 5.6 N

גוף שמסתו 3 kg מחליק ממנוחה על מישור משופע מחוספס שאורכו 4 m וזווית שיפועו 53°, ומקדם החיכוך הקינטי הוא 0.2. חשבו את האנרגיה שהפכה לאנרגיה פנימית לאורך המישור, ואת מהירות הגוף בתחתיתו.

תשובות: Q = 14.4 J ; v = 7.38 m/s

קרונית שמסתה 0.5 kg משוחררת ממנוחה על מסלול חלק המסתיים בלולאה אנכית שרדיוסה 0.8 m.
א. מהו גובה השחרור המזערי להשלמת הלולאה?
ב. הקרונית שוחררה מגובה 2.8 m: חשבו את מהירותה בנקודה העליונה ואת הכוח הנורמלי שם.

תשובות: h_min = 2 m ; v_B = 4.9 m/s , N_B = 10 N

קליע שמסתו 20 g נורה במהירות 300 m/s ונתקע בגוש עץ תלוי שמסתו 1.98 kg. חשבו את המהירות המשותפת אחרי ההתנגשות, את הגובה שאליו עולה הגוש, ואת האנרגיה שהפכה לאנרגיה פנימית.

תשובות: v = 3 m/s ; h = 0.45 m ; Q = 891 J

תרגילי העמקה:

(*) גוף שמסתו 1 kg נלחץ אל קפיץ שקבועו 400 N/m עד שהקפיץ נדחס ב-20 cm, על משטח אופקי חלק. בין הקפיץ לתחתית מישור משופע חלק משתרע קטע מחוספס AB שאורכו 1.5 m, שמקדם החיכוך הקינטי בו 0.2. משחררים את הגוף.
א. חשבו את מהירותו ברגע הינתקותו מן הקפיץ.
ב. לאיזה גובה הוא מגיע על המישור המשופע?
ג. מהי הדחיסה המרבית של הקפיץ אחרי שהגוף חוזר?
ד. היכן נעצר הגוף סופית?

תשובות: א. v = 4 m/s ב. h = 0.5 m ג. x = 10 cm ד. בתוך הקטע המחוספס, במרחק 1 m מקצהו הקרוב לקפיץ

(*) כדור נע על משטח אופקי חלק במהירות v₁ ומתנגש התנגשות אלסטית בכדור נח שמסתו שווה למסתו. אחרי ההתנגשות נכנס הכדור השני ללולאה אנכית חלקה שרדיוסה 0.5 m.
א. מהי המהירות המזערית v₁ המאפשרת לכדור השני להשלים את הלולאה? ומה קורה לכדור הראשון במקרה זה?
ב. אם v₁ = 4 m/s, באיזה גובה מעל תחתית הלולאה ניתק הכדור השני מן המסלול?

תשובות: א. v₁ = 5·g·R = 5 m/s ; הכדור הראשון נעצר לגמרי (חילוף מהירויות) ב. cos φ = −0.4 , h = 0.7 m

(*) מכונית שמסתה 1200 kg עולה בכביש ישר ששיפועו sin θ = 0.1 במהירות קבועה 20 m/s, ופועלים עליה כוחות התנגדות שהשקול שלהם 400 N.
א. חשבו את הכוח המניע ואת הספק המנוע.
ב. בכביש אופקי כוחות ההתנגדות מגיעים ל-800 N בגלל המהירות הגבוהה; מהי המהירות המרבית שאליה מגיעה המכונית באותו הספק?
ג. אם המנוע ממיר רק 25 אחוזים מאנרגיית הדלק לעבודה מועילה, באיזה קצב נצרכת אנרגיית הדלק בזמן העלייה?

תשובות: א. F = 1600 N , P = 32 kW ב. v_max = 40 m/s ג. P_in = 128 kW

תשובות סופיות לשאלות הפרק

7.1 v = 42.4 m/s ; האנרגיה השנייה 27 J

7.2 W = 180 J , N = 248 N

7.3 W = 0.9 J ; לא תשתנה, כי x מופיע בריבוע

7.4 W_T = 60 J , W_mg = −40 J , W_N = 0 ; v = 4.47 m/s

7.5 W_f = −9 J , d = 6 m ; אינו תלוי במסה

7.6 ΔU_G = 7200 J , W_mg = −7200 J ; שום דבר לא ישתנה — כוח הכובד הוא כוח משמר

7.7 x = 5 cm ; U_sp = 9 J

7.8 h = 34·h₀ = 3.75 m

7.9 v = 20.4 m/s ; לא, המהירות אינה תלויה במסה

7.10 h = 0.4 m מעל נקודת השיגור (כלומר 20 cm מעל הקצה החופשי של הקפיץ)

7.11 x = 28.3 cm ; h = 1 m

7.12 E_lost = 250 J , f = 25 N

7.13 מגיע לגובה h = 1.2 m ; עובר בקטע פעמיים במלואו, ונעצר במעבר השלישי

7.14 N = 3·m·g·cos φ = 3 N ; כאשר cos φ = 23, כלומר φ = 48.2°

7.15 v_B,min = 3.87 m/s , T_A = 12 N (כלומר 6·m·g)

7.16 h_min = 2 m ; לא תגיע; ניתקת בגובה 1.333 m מעל תחתית הלולאה

7.17 v₁′ = −2 m/s , v₂′ = 2 m/s ; E_k = 8 J לפני ואחרי

7.18 אלסטית: החלפת מהירויות — 3 m/s ו-2 m/s בכיוונים ההפוכים; פלסטית לחלוטין: v = 0.5 m/s, האנרגיה שאבדה: 96.2 אחוזים

7.19 P_out = 1500 W , P_in = 2000 W

שאלות בגרות לפרק 7

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 4 — מסילה משופעת וארבעה ניסויים — משפט עבודה-אנרגיה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הגובה בניסוי הראשון	h = 0.80 m
ב	עבודת כוח החיכוך בניסוי השני	W(f) = −0.16 J
ג		v ≈ 3.1 m/s
ד	עבודת הכוח החיצוני בניסוי השלישי	W(F) = 0.80 J
ה	הכוח האופקי בניסוי הרביעי	הגוף הגיע למהירות 4 m/s לפני הנקודה A₁

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2026 שאלה 3 — מסילה עם לולאה אנכית — שימור אנרגיה, תנועה במעגל וזריקה משופעת

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א		H = 1.1 m = 110 cm
ב		תרשים 3 — רכיב רדיאלי אל המרכז ורכיב משיקי הפוך לכיוון התנועה
ג	מהירות הפגיעה בקרקע	v = 4.69 m/s בזווית 47° מתחת לאופק
ד(1)		שני כוחות בלבד, שניהם אנכיים כלפי מטה — הכובד mg והנורמל N
ד(2)	גובה השחרור המינימלי	H₁ = 2.5·r = 0.25 m = 25 cm
ה	הגובה המרבי לאחר העזיבה	הגובה המרבי קטן מ-H — הוא 0.588 m לעומת H = 1.1 m

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 5 — גוף על משטח אופקי מחוספס בכוח משתנה — שטח מתחת לגרף, עבודת חיכוך ומרחק עצירה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	מה מבטא השטח וכמה הוא	השטח מבטא את עבודת הכוח F · W_F = 15 + 20 = 35 J
ב		W_חיכוך = −μ·m·g·x_A = −20 J
ג		½·m·v_A² = 35 − 20 = 15 J · v_A² = 15 m²/s² · v_A = 3.87 m/s
ד		d = 3.75 m · x_B = 5 + 3.75 = 8.75 m
ה	השוואה בין x_C לבין x_B	הביטוי הנכון הוא מספר 3 · x_C גדול מ־x_B

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 5 — מישור משופע חלק ומשטח אופקי מחוספס — שימור אנרגיה, מקדם חיכוך, התנגשות אלסטית והשוואת דחפים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	שימור אנרגיה מכאנית ושימור תנע	א(1) על המדרון החלק נשמרת , על המשטח המחוספס אינה נשמרת · א(2) התנע אינו נשמר בשני הקטעים , כי בשניהם הכוח השקול שונה מאפס
ב	חישוב מקדם החיכוך של גוף A	μ = 0.4 , גודל חסר יחידות · המהירות בתחתית 3.46 m/s והתאוטה על המשטח 4 m/s²
ג	המרחק שיעבור גוף B	המרחק שווה בדיוק , x גדול B שווה x גדול A שווה 1.5 m , כי המסה מצטמצמת ולכן x שווה h חלקי μ
ד	הדחף שהשפיע על גוף B בהתנגשות	J גדול B שווה מינוס 2.4 N·s · גודלו 2.4 N·s שהם 2.4 kg·m/s , וכיוונו שמאלה כלומר בכיוון השלילי
ה	השוואת הדחפים בשני המדרונות	הביטוי הנכון הוא מספר 2 , כלומר J₁ שווה J₂ , כי הדחף השקול שווה m·v והמהירות בתחתית תלויה בגובה H בלבד

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 4 — מסילה חלקה עם לולאה אנכית — חילוץ הרדיוס והמסה מקריאת החיישן בראש הלולאה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א (1)		שני כוחות בלבד , שניהם אנכית כלפי מטה אל המרכז O : כוח הכובד mg מכדור הארץ , והכוח הנורמלי N מן המסילה. אין חיכוך ואין כוח צנטריפטלי נפרד
א (2)	הביטוי לכוח על המגש כפונקציה של h	N_C = 2·m·g·h מחולק ב R , פחות 5·m·g
ב	הרסם המפוזר וקו המגמה	חמש הנקודות מסתדרות על ישר , וקו המגמה הוא N_C = 1.20·h − 0.47 , שיפוע 1.20 N/m וחיתוך −0.47 N
ג	חילוץ הרדיוס R ומסת הכדור m	m = 0.0094 kg ≈ 9.4 g , R = 0.157 m (כ 16 ס״מ)
ד	הגובה המינימלי שממנו הנורה נדלקת	h_min = 0.8917 m ≈ 0.89 m , וכל גובה שגדול ממנו או שווה לו ידליק את הנורה
ה		h₁ = 0.3917 m ≈ 0.39 m · לא , המהירות בנקודה C אינה אפס אלא v_C = 1.25 m/s

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 (נבצרים) שאלה 4 — שני ניסויים על מישור משופע 30° — זיהוי מישור חסר חיכוך מתוך שוויון המהירויות, חישוב עבודת החיכוך וכוח החיכוך, קריאת השטח שמתחת לגרף המהירות וזיהוי צורת גרף האנרגיה הקינטית

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	חישוב המהירות ההתחלתית v_A	v_A = 3 m/s · במישור הראשון אין חיכוך כלל, ולכן האנרגיה המכנית נשמרת
ב	האנרגיות בניסוי השני, עבודת החיכוך וכוח החיכוך	E_k,A = 0.9 J , U_G,A = 0 J , E_k,B₂ = 0 J , U_G,B₂ = 0.6 J · W_f = −0.3 J · L = 0.6 m ולכן f = 0.5 N
ג	השטח שמתחת לגרף המהירות וחישוב הזמן t₁	השטח מייצג את המרחק שעבר הגוף · t₁ = 0.4 s
ד	הגרף המתאר את האנרגיה הקינטית בזמן העלייה	הגרף הנכון הוא גרף I · E_k = 0.1·(3 − 7.5·t)² היא פונקציה ריבועית יורדת הקעורה כלפי מעלה, המתאפסת ב t₁ = 0.4 s

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 4 — גוף מחליק על מסילה שרק הקטע האופקי BC שבה מחוספס, מתנגש אלסטית בקיר וחוזר — מן תרשים הכוחות ועד לקריאת h₀ ו־μ מתוך קו המגמה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים הכוחות בקטע BC	כוח הכובד m·g אנכית מטה (כדור הארץ) , הכוח הנורמלי N = m·g אנכית מעלה (המסילה) , כוח החיכוך f = μ·m·g אופקית נגד כיוון התנועה (המסילה)
ב	עבודת כוח החיכוך מן הגובה h₀ ועד הגובה h₁	עבודת כוח החיכוך = −2·μ·m·g·ℓ , עבודה שלילית , השקולה ל m·g·h₁ − m·g·h₀
ג	פיתוח הביטוי לגובה h_n	h_n = h₀ − 2·μ·ℓ·n
ד	הרסם הבייני המבוזר וקו המגמה	הנקודות מסתדרות על ישר יורד , וקו המגמה הוא h_n = 1.491 − 0.193·n , כלומר שיפוע −0.193 m לכל מדידה וחיתוך 1.491 m
ה	קריאת הגובה ההתחלתי ומקדם החיכוך מן הגרף	h₀ = 1.491 m ≈ 1.5 m , μ = 0.386 ≈ 0.39
ו	סימן העבודה של הכוח הנורמלי מצד הקיר	העבודה שלילית , מפני שהכוח הנורמלי של הקיר הוא הכוח היחיד שמבצע עבודה בהתנגשות ולכן W = ΔE_k , והאנרגיה הקינטית ירדה , כלומר W = −m·g·(h₁ − h₁ עם גרש)

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 (נבצרים) שאלה 4 — תיבה, מרדף ומאוורר — שימור אנרגיה מכנית, עבודת כוח משתנה כשטח מתחת לגרף, ותיאור התנועה בדרך חזרה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א		v מזערית = 5 m/s, והתוצאה אינה תלויה במסה.
ב	עבודת הכוח מן B ועד C	עבודת הכוח מן B ועד C היא מינוס 11 ג׳אול.
ג	המרחק בין B ובין C	BC = שורש 11, כלומר כ 3.32 מטר.
ד	תיאור התנועה מן C ועד B	תנועה מואצת, תאוצה משתנה ויורדת מ 3.32 מטר לשנייה בריבוע בנקודה C עד אפס בנקודה B, וגודל המהירות הולך וגדל עד 3.32 מטר לשנייה בנקודה B.

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.