פרק 6

התנע ושימורו

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 20 שעות לימוד

מדוע קשה יותר לעצור משאית מאשר לעצור אופניים הנוסעים באותה מהירות? מדוע כרית האוויר מגינה על הנהג, מדוע הרובה נרתע לאחור בזמן הירי, ואיך רקטה מאיצה בחלל, שבו אין אוויר שידחף אותה? בפרק זה נכיר גודל פיזיקלי חדש — התנע, ואת המתקף שמשנה אותו, ואז נגיע לאחד החוקים החשובים ביותר בפיזיקה: חוק שימור התנע, ונפעיל אותו על התנגשויות, על רתע ועל פיצוץ.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר את התנע p = m·v כווקטור, ונחשב את התנע הכולל של מערכת.
נגדיר את המתקף של כוח קבוע J = F·Δt, ונמצא את המתקף של כוח משתנה מן השטח מתחת לעקומת כוח–זמן.
נוכיח שהמתקף הכולל שווה לשינוי התנע J = Δp, ושהכוח הוא קצב השינוי של התנע.
נבחין בין כוחות פנימיים לכוחות חיצוניים, ונגדיר מערכת סגורה.
נסיק את חוק שימור התנע מן החוק השלישי של ניוטון, וננסח אותו ניסוח מדויק.
נפעיל את החוק על התנגשויות חזיתיות ובמישור, על רתע, על קפיץ דחוס ועל פיצוץ, ועל הנעה רקטית.

מתקף, תנע והקשר ביניהם (Impulse and Momentum)

תנע:

כשרוצים לעצור גוף נע, לא מספיק לדעת את מהירותו: לעצור משאית הנוסעת במהירות 5 m/s קשה הרבה יותר מלעצור כדור הנע באותה מהירות. הגודל המשלב את המסה ואת המהירות הוא התנע.

תנע (מומנטום): התנע של גוף הוא מכפלת המסה שלו במהירותו: p = m·v. זהו גודל וקטורי שכיוונו כיוון המהירות, ויחידתו kg·m/s. בתנועה לאורך קו ישר בוחרים כיוון חיובי, והתנע חיובי או שלילי לפי כיוון המהירות.

תנע

p = m·v

סימן	משמעות	יחידת מידה
p	התנע	[kg·m/s]
m	מסת הגוף	[kg]
v	מהירות הגוף	[m/s]

התנע של העגלה הוא וקטור בכיוון המהירות, וגודלו m·v

לתנע יש שני היבטים שצריך לזכור תמיד: הראשון — הוא תלוי במסה ובמהירות גם יחד, ולכן לגוף כבד ואיטי ולגוף קל ומהיר יכול להיות אותו תנע; השני — הוא וקטור: לשני גופים הנעים באותה מהירות בכיוונים מנוגדים יש תנעים שווים בגודלם ומנוגדים בסימנם.

הגוף	המסה	המהירות	התנע
קליע	0.01 kg	800 m/s	8 kg·m/s
כדור כדורגל	0.45 kg	20 m/s	9 kg·m/s
אדם הולך	70 kg	1.5 m/s	105 kg·m/s
מכונית	1200 kg	25 m/s	30000 kg·m/s
משאית	20000 kg	15 m/s	300000 kg·m/s

דוגמה 6.1

מכונית שמסתה 1200 kg נוסעת מזרחה במהירות 20 m/s.
א. נחשב את התנע שלה.
ב. נשווה אותו לתנע של קליע שמסתו 10 g הנע במהירות 800 m/s.
ג. מהו התנע של המכונית אם היא נוסעת מערבה באותה מהירות?

פתרון:

א. נבחר את כיוון המזרח כחיובי:

p = m·v = 1200 · 20 = 24000 kg·m/s

ב. נמיר את מסת הקליע לקילוגרמים: m = 0.01 kg:

p = 0.01 · 800 = 8 kg·m/s

התנע של המכונית גדול פי 3000, אף שהקליע מהיר ממנה פי ארבעים, כי מסתה גדולה פי מאה ועשרים אלף.

ג. המהירות עכשיו בכיוון השלילי, v = −20 m/s:

p = 1200 · (−20) = −24000 kg·m/s

אותו גודל, אבל הסימן שלילי: התנע הוא וקטור.

p = ±24000 kg·m/s

התנע הכולל של מערכת:

כשהמערכת מורכבת מכמה גופים, התנע הכולל שלה הוא הסכום הווקטורי של התנעים של גופיה. על קו ישר מחברים באופן אלגברי, תוך הקפדה על הסימנים:

p_tot = p₁ + p₂ + ... = m₁·v₁ + m₂·v₂ + ...

דוגמה 6.2

שתי עגלות על מסילה: הראשונה, שמסתה 2 kg, נעה ימינה במהירות 3 m/s, והשנייה, שמסתה 3 kg, נעה שמאלה במהירות 2 m/s. נחשב את התנע הכולל של המערכת.

פתרון:

נבחר את הכיוון ימינה כחיובי, ולכן מהירות השנייה שלילית:

p₁ = m₁·v₁ = 2 · 3 = 6 kg·m/s

p₂ = m₂·v₂ = 3 · (−2) = −6 kg·m/s

p_tot = p₁ + p₂ = 6 + (−6) = 0 kg·m/s

התנע הכולל הוא אפס, אף ששתי העגלות נעות! אילו חיברנו את שני הגדלים בלי סימנים, היינו מקבלים 12 kg·m/s — וזו טעות.

p_tot = 0

שאלה 6.1: כדור שמסתו 0.5 kg נע במהירות 8 m/s.
א. חשבו את התנע שלו.
ב. באיזו מהירות צריך לנוע גוף שמסתו 2 kg כדי שיהיה לו אותו תנע?
ג. מהו התנע הכולל אם שני הגופים נעים בכיוונים מנוגדים?

מתקף של כוח קבוע:

כדי לשנות את התנע של גוף צריך כוח, אבל הכוח לבדו אינו מספיק: כוח גדול הפועל רגע קצר עשוי לשנות את התנועה פחות מכוח קטן הפועל זמן רב. הגודל המשלב את הכוח ואת זמן פעולתו הוא המתקף.

מתקף: המתקף של כוח קבוע F הפועל במשך פרק זמן Δt הוא מכפלת הכוח בזמן פעולתו: J = F·Δt. המתקף הוא וקטור שכיוונו כיוון הכוח, ויחידתו N·s.

מתקף של כוח קבוע

J = F·Δt

סימן	משמעות	יחידת מידה
J	המתקף	[N·s]
F	הכוח הקבוע	[N]
Δt	זמן פעולת הכוח	[s]

הערה: יחידת המתקף זהה ליחידת התנע: 1 N·s = 1 kg·ms²·s = 1 kg·m/s. אין זה מקרה — עוד מעט נראה שהמתקף שווה לשינוי התנע.

ייצוג גרפי של המתקף: נסרטט את הכוח כפונקציה של הזמן. כשהכוח קבוע, הגרף הוא קו אופקי, והמתקף F·Δt הוא בדיוק שטח המלבן הכלוא בין הקו לציר הזמן: גובהו F ורוחבו Δt. הייצוג הזה יהיה הכלי המרכזי כשהכוח משתנה עם הזמן.

כוח קבוע שגודלו 50 N פועל במשך 0.2 s: המתקף שלו הוא שטח המלבן הצבוע

דוגמה 6.3

כוח קבוע שגודלו 50 N פועל על גוף במשך 0.2 s (הגרף למעלה). נחשב את המתקף של הכוח פעם מן הנוסחה ופעם מן השטח.

פתרון:

מן הנוסחה:

J = F·Δt = 50 · 0.2 = 10 N·s

מן הגרף: שטח המלבן שגובהו 50 N ורוחבו 0.2 s:

J = 50 · 0.2 = 10 N·s

J = 10 N·s

מתקף של כוח משתנה — השטח מתחת לעקומת כוח–זמן:

ברוב המקרים המציאותיים הכוח אינו קבוע: כשהמחבט פוגע בכדור, הכוח מתחיל מאפס, גדל במהירות עד ערך מרבי, וחוזר לאפס כשהכדור ניתק מן המחבט. איך מחשבים אז את המתקף? מחלקים את הזמן לפרקי זמן קטנים מאוד, שבכל אחד מהם הכוח כמעט קבוע; המתקף בכל פרק זמן הוא שטח של מלבן צר, והמתקף הכולל הוא סכום השטחים האלה — כלומר השטח מתחת לעקומת כוח–זמן.

מתקף של כוח משתנה = השטח מתחת לעקומת כוח–זמן

J = F_avg·Δt

סימן	משמעות	יחידת מידה
J	המתקף בפרק הזמן: השטח מתחת לעקומה	[N·s]
F_avg	הכוח הממוצע: גובה מלבן שרוחבו Δt ושטחו שווה לשטח מתחת לעקומה	[N]
Δt	פרק הזמן	[s]

כוח ממוצע: הכוח הקבוע שנותן את אותו מתקף באותו פרק זמן: F_avg = JΔt. בגרף: גובה מלבן שרוחבו Δt ושטחו שווה לשטח מתחת לעקומה.

כוח משתנה בזמן מכה: המתקף הוא השטח הצבוע, והמלבן המקווקו — שגובהו הכוח הממוצע — שטחו זהה

דוגמה 6.4

הגרף מתאר את הכוח שמפעילה רגלו של שחקן על כדור: הכוח גדל באופן קווי מאפס עד 400 N במשך 0.02 s, ואז קטן באופן קווי לאפס ברגע t = 0.05 s. נחשב את המתקף של הכוח ואת הכוח הממוצע בזמן הבעיטה.

פתרון:

המתקף הוא שטח המשולש שבסיסו 0.05 s וגובהו 400 N:

J = 12·F_max·Δt = 12 · 400 · 0.05 = 10 N·s

הכוח הממוצע הוא המתקף חלקי זמן המגע כולו:

F_avg = JΔt = 100.05 = 200 N

שימו לב שהכוח הממוצע הוא מחצית הכוח המרבי — וזה נכון לכל עקומה משולשת.

J = 10 N·s , F_avg = 200 N

שאלה 6.2: הגרף מתאר את הכוח הפועל על גוף כפונקציה של הזמן. חשבו את המתקף של הכוח בפרק הזמן מ-0 עד 4 s, ואת הכוח הממוצע בפרק זמן זה. (הדרכה: חלקו את השטח לשני משולשים ולמלבן.)

המתקף הכולל:

כשפועלים על גוף כמה כוחות באותו פרק זמן Δt, לכל כוח יש מתקף משלו. המתקף הכולל הוא הסכום הווקטורי של המתקפים של כל הכוחות, והוא שווה למתקף של הכוח השקול:

J_tot = F₁·Δt + F₂·Δt + ... = ΣF·Δt

דוגמה 6.5

גוף שמסתו 5 kg נמצא על רצפה מחוספסת. אדם דוחף אותו בכוח אופקי קבוע של 20 N במשך 3 s, ופועל עליו כוח חיכוך שגודלו 5 N. נחשב את המתקף של כל כוח ואת המתקף הכולל.

פתרון:

נבחר את כיוון הדחיפה כחיובי. כוח הכובד והכוח הנורמלי שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, ולכן המתקפים שלהם מבטלים זה את זה. המתקף של כוח הדחיפה והמתקף של החיכוך:

J_F = F·Δt = 20 · 3 = 60 N·s

J_f = −f·Δt = −5 · 3 = −15 N·s

המתקף הכולל הוא סכומם, והוא גם המתקף של הכוח השקול ΣF = 20 − 5 = 15 N:

J_tot = 60 + (−15) = 45 N·s

J_tot = ΣF·Δt = 15 · 3 = 45 N·s

J_tot = 45 N·s

המתקף הכולל כשינוי התנע:

עכשיו נקשר בין שני המושגים. לפי החוק השני של ניוטון, הכוח השקול שווה למסה כפול התאוצה, והתאוצה היא שינוי המהירות חלקי הזמן:

ΣF = m·a = m·ΔvΔt

ΣF·Δt = m·Δv = m·v₂ − m·v₁

J_tot = p₂ − p₁ = Δp

משפט המתקף והתנע

J_tot = ΣF·Δt = Δp

סימן	משמעות	יחידת מידה
J_tot	המתקף הכולל (המתקף של הכוח השקול)	[N·s]
Δp	שינוי התנע p₂ − p₁	[kg·m/s]
Δt	זמן פעולת הכוחות	[s]

הקשר הזה וקטורי: כיוון המתקף הכולל הוא כיוון שינוי התנע, ולא בהכרח כיוון התנועה. הוא תקף גם לכוח משתנה, כי אז המתקף הוא השטח מתחת לעקומה. והחשוב מכול: Δp הוא הפרש של שני וקטורים, ולכן אם כיוון התנועה מתהפך, השינוי גדול מכל אחד משני הערכים.

דוגמה 6.6

כדור שמסתו 0.2 kg נע לעבר קיר במהירות 6 m/s, פוגע בו וחוזר במהירות 4 m/s. זמן המגע עם הקיר 0.05 s. נחשב את שינוי התנע של הכדור ואת הכוח הממוצע שהפעיל עליו הקיר.

פתרון:

נבחר את הכיוון אל הקיר כחיובי: המהירות לפני ההתנגשות v₁ = +6 m/s ואחריה v₂ = −4 m/s (הסימן שלילי כי הכדור חזר לאחור):

Δp = m·v₂ − m·v₁ = m·(v₂ − v₁) = 0.2 · (−4 − 6) = −2 kg·m/s

הסימן השלילי פירושו ששינוי התנע — וגם המתקף — מכוונים הרחק מן הקיר. הכוח שמפעיל הקיר הוא הכוח האופקי היחיד, ולכן:

F_avg = ΔpΔt = −20.05 = −40 N

הכוח שלילי: הקיר דוחף את הכדור הרחק ממנו בכוח ממוצע של 40 N — בערך פי עשרים ממשקל הכדור.

Δp = −2 kg·m/s , F_avg = −40 N

שימו לב: הטעות הנפוצה היא לחסר את שני הגדלים: 0.2 · (6 − 4) = 0.4 kg·m/s. זו טעות! המהירות התהפכה, ולכן השינוי הוא 0.2 · (6 + 4) = 2 kg·m/s. כתבו תמיד את הסימנים לפני החיסור.

דוגמה 6.7

נחזור לדוגמה 6.5: הגוף שמסתו 5 kg יצא ממנוחה, והופעל עליו מתקף כולל של 45 N·s במשך 3 s. נחשב את מהירותו בסוף פרק הזמן, ונבדוק את התוצאה בעזרת החוק השני של ניוטון.

פתרון:

המתקף הכולל שווה לשינוי התנע, והגוף התחיל ממנוחה (p₁ = 0):

J_tot = Δp = m·v₂ − 0

v₂ = J_totm = 455 = 9 m/s

בדיקה בשיטה שלמדנו בפרק השלישי:

a = ΣFm = 155 = 3 m/s²

v₂ = a·t = 3 · 3 = 9 m/s

שתי השיטות נותנות אותה תוצאה; היתרון של שיטת המתקף הוא שהיא מתאימה גם כשהכוח אינו קבוע.

v₂ = 9 m/s

דוגמה 6.8

כדור שמסתו 0.4 kg נופל ומגיע לרצפה במהירות 5 m/s, וחוזר למעלה במהירות 3 m/s. זמן המגע עם הרצפה 0.02 s. נחשב את שינוי התנע, את הכוח השקול הממוצע בזמן המגע ואת הכוח הממוצע שהפעילה הרצפה על הכדור.

פתרון:

נבחר את הכיוון כלפי מעלה כחיובי: v₁ = −5 m/s , v₂ = +3 m/s:

Δp = m·(v₂ − v₁) = 0.4 · (3 − (−5)) = 3.2 kg·m/s

הכוח השקול הממוצע מתוך הקשר ΣF·Δt = Δp:

ΣF_avg = ΔpΔt = 3.20.02 = 160 N

בזמן המגע פועלים על הכדור שני כוחות: הכוח של הרצפה N כלפי מעלה, וכוח הכובד m·g = 4 N כלפי מטה. הכוח השקול הוא N − m·g:

N − m·g = 160

N = 160 + 4 = 164 N

המתקף של כוח הכובד בזמן המגע הקצר (0.08 N·s) קטן מאוד בהשוואה למתקף הכולל, ולכן מזניחים אותו לעתים קרובות בהתנגשויות קצרות — אבל בדוגמה זו ראינו את החישוב המדויק.

Δp = 3.2 kg·m/s , N ≈ 164 N

דוגמה 6.9

משחררים ממנוחה כדור שמסתו 0.5 kg מגובה 5 m מעל הרצפה. הכדור חוזר למעלה ומגיע לגובה 1.8 m. זמן המגע עם הרצפה 0.1 s. נחשב את שינוי התנע של הכדור בהתנגשות ואת הכוח הממוצע שהפעילה עליו הרצפה. (הזניחו את התנגדות האוויר.)

פתרון:

תחילה נמצא את שתי המהירויות בנוסחאות הנפילה החופשית מן הפרק הראשון. המהירות שבה הכדור מגיע לרצפה:

v₁ = 2·g·h₁ = 2 · 10 · 5 = 10 m/s

המהירות שבה הכדור חוזר למעלה — הוא עולה לגובה 1.8 m ונעצר שם:

v₂ = 2·g·h₂ = 2 · 10 · 1.8 = 6 m/s

כלפי מעלה חיובי: לפני ההתנגשות v₁ = −10 m/s ואחריה v₂ = +6 m/s:

Δp = m·(v₂ − v₁) = 0.5 · (6 − (−10)) = 8 kg·m/s

הכוח השקול הממוצע, ואחריו הכוח של הרצפה (מוסיפים את המשקל m·g = 5 N):

ΣF_avg = ΔpΔt = 80.1 = 80 N

N = ΣF_avg + m·g = 80 + 5 = 85 N

שימו לב איך שאלה אחת שילבה את הפרק הראשון (נפילה חופשית) ואת הפרק הזה (מתקף) — וזה נפוץ מאוד בשאלות הבגרות.

Δp = 8 kg·m/s , N = 85 N

שאלה 6.3: כדור טניס שמסתו 60 g מגיע אל המחבט במהירות 20 m/s, והשחקן מחזיר אותו בכיוון ההפוך במהירות 30 m/s. זמן המגע עם המחבט 4 ms. חשבו את שינוי התנע של הכדור ואת הכוח הממוצע שהפעיל המחבט. (הזניחו את כוח הכובד.)

מתקף ושינוי תנע מגרף מהירות–זמן:

בשאלות רבות בבחינה המהירויות אינן נתונות ישירות, אלא בגרף של המהירות כפונקציה של הזמן. קוראים ממנו את המהירות לפני האינטראקציה ואחריה עם הסימנים שלהן, וכך מקבלים את Δp; קוראים ממנו גם את זמן האינטראקציה, וכך מקבלים את הכוח הממוצע.

דוגמה 6.10

הגרף מתאר את המהירות של גוף שמסתו 2 kg, הנע לאורך קו ישר, כפונקציה של הזמן.
א. תארו את תנועת הגוף.
ב. חשבו את שינוי התנע שלו בין הרגע t = 1 s לרגע t = 1.5 s.
ג. חשבו את הכוח השקול הממוצע הפועל עליו בפרק זמן זה, ואת כיוונו.

פתרון:

א. עד הרגע 1 s הגוף נע במהירות קבועה 4 m/s בכיוון החיובי. בין 1 s ל-1.5 s מהירותו קטנה בקצב קבוע, עוברת דרך אפס ברגע t ≈ 1.33 s, וכיוון תנועתו מתהפך; אחר כך הוא נע במהירות קבועה 2 m/s בכיוון השלילי.

ב. נקרא את שתי המהירויות עם הסימנים שלהן:

Δp = m·(v₂ − v₁) = 2 · (−2 − 4) = −12 kg·m/s

ג. זמן האינטראקציה מן הגרף: Δt = 1.5 − 1 = 0.5 s:

ΣF_avg = ΔpΔt = −120.5 = −24 N

הכוח בכיוון השלילי, והוא קבוע כאן כי הקו ישר (השיפוע קבוע). נבדוק בעזרת החוק השני של ניוטון:

a = ΔvΔt = −2 − 40.5 = −12 m/s²

ΣF = m·a = 2 · (−12) = −24 N

Δp = −12 kg·m/s , ΣF = −24 N

דוגמה 6.11

גוף שמסתו 8 kg נע על משטח חלק במהירות 5 m/s. בכיוון תנועתו פועל עליו כוח משתנה כמתואר בגרף: הכוח גדל באופן קווי עד 80 N במשך שנייה, נשאר קבוע שנייה אחת, ואז קטן באופן קווי לאפס במשך שנייה. נחשב את מהירות הגוף בסוף שלוש השניות.

פתרון:

המתקף הוא השטח מתחת לעקומה: משולש, מלבן ומשולש:

J = 12 · 1 · 80 + 1 · 80 + 12 · 1 · 80 = 160 N·s

המתקף שווה לשינוי התנע, והגוף לא התחיל ממנוחה:

J = m·v₂ − m·v₁

160 = 8·v₂ − 8 · 5

v₂ = 160 + 408 = 25 m/s

כאן אי אפשר להשתמש בנוסחה v = v₀ + a·t, כי התאוצה אינה קבועה — שיטת המתקף היא השיטה המתאימה כשהכוח משתנה.

v₂ = 25 m/s

הכוח כקצב שינוי התנע:

אם נחלק את שני האגפים של הקשר ΣF·Δt = Δp ב-Δt, נקבל ניסוח אחר של החוק השני של ניוטון — הניסוח שכתב ניוטון עצמו:

הכוח כקצב שינוי התנע

ΣF = ΔpΔt

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	הכוח השקול (הממוצע שלו בפרק הזמן Δt)	[N]
Δp	שינוי התנע	[kg·m/s]
Δt	פרק הזמן	[s]

הכוח השקול הוא קצב השינוי של התנע. כשהמסה קבועה, הניסוח הזה חוזר לנוסחה ΣF = m·a, אבל הוא כללי יותר. ויש לו מסקנה מעשית חשובה: בשינוי תנע נתון, ככל שהזמן ארוך יותר, הכוח קטן יותר.

שתי עקומות כוח–זמן עם אותו שטח (אותו מתקף): הארכת הזמן מקטינה את הכוח המרבי

זה עקרון הפעולה של כל אמצעי הבטיחות: כרית האוויר מאריכה את זמן העצירה של הנהג, וכך הכוח עליו קטן; חזית המכונית מתוכננת להימעך בהתנגשות כדי להאריך את זמן העצירה; הכפפה המרופדת של השחקן מאריכה את זמן תפיסת הכדור; וכיפוף הברכיים בקפיצה מגובה מאריך את זמן הנחיתה. בכל המקרים שינוי התנע נקבע מראש, והדבר היחיד שבשליטתנו הוא הזמן.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שכוח גדול תמיד יוצר שינוי גדול בתנע. האמת היא שאת השינוי קובע המתקף F·Δt — הכוח והזמן יחד: כוח עצום הפועל רגע קצר מאוד עשוי לשנות את התנע פחות מכוח קטן הפועל זמן ארוך. ובכיוון ההפוך: כששינוי התנע נקבע מראש — כמו בעצירת נהג בתאונה או בנחיתת קופץ — איננו יכולים להקטין את המתקף, אבל אנחנו יכולים להאריך את זמן העצירה, וכך הכוח קטן. זה בדיוק מה שעושים כרית האוויר וכיפוף הברכיים.

דוגמה 6.12

אדם שמסתו 60 kg קופץ מגובה ומגיע לרצפה במהירות 6 m/s. נחשב את הכוח השקול הממוצע הפועל עליו בזמן העצירה בשני מקרים:
א. הוא נוחת ברגליים ישרות ונעצר תוך 0.05 s.
ב. הוא מכופף את ברכיו ונעצר תוך 0.5 s.

פתרון:

נבחר את הכיוון כלפי מעלה כחיובי. בשני המקרים התנע משתנה מן הערך m·v = 60 · (−6) לאפס:

Δp = 0 − (−360) = 360 kg·m/s

א. ברגליים ישרות:

ΣF_avg = ΔpΔt = 3600.05 = 7200 N

ב. בכיפוף הברכיים:

ΣF_avg = 3600.5 = 720 N

במקרה הראשון הכוח השקול גדול פי 12 ממשקל הגוף (600 N) — כוח שעלול לשבור עצמות; במקרה השני הוא גדול פי 1.2 בלבד. הכוח של הרצפה עצמו גדול מן הכוח השקול בשיעור המשקל: N = ΣF + m·g.

ΣF_avg = 7200 N , 720 N

שינוי התנע במישור:

כשכיוון התנועה משתנה במישור, Δp הוא הפרש של שני וקטורים לא מקבילים. אז מפרקים את התנע לשני רכיבים לאורך שני צירים ניצבים, ומחשבים את השינוי בכל רכיב בנפרד.

דוגמה 6.13

כדור שמסתו 0.5 kg מגיע לרצפה חלקה במהירות 10 m/s, בכיוון היוצר זווית 30° עם הרצפה, וחוזר באותה מהירות ובאותה זווית. נחשב את שינוי התנע שלו.

פתרון:

נפרק את המהירות לרכיב אופקי ולרכיב אנכי (כלפי מעלה חיובי):

v_x = v·cos 30° = 10 · 0.866 = 8.66 m/s

v_y = v·sin 30° = 10 · 0.5 = 5 m/s

הרכיב האופקי אינו משתנה בהתנגשות (הרצפה חלקה, אין כוח אופקי), ולכן השינוי בו אפס:

Δp_x = m·(v_x − v_x) = 0

הרכיב האנכי מתהפך: לפני ההתנגשות −5 m/s ואחריה +5 m/s:

Δp_y = m·(v_y − (−v_y)) = 2·m·v_y = 2 · 0.5 · 5 = 5 kg·m/s

שינוי התנע הוא וקטור הניצב לרצפה וכלפי מעלה — בכיוון הכוח שהפעילה הרצפה — וגודלו 5 kg·m/s.

Δp_y = 5 kg·m/s , Δp_x = 0

שאלה 6.4: דיסקית הוקי שמסתה 0.16 kg נעה מזרחה במהירות 20 m/s. שחקן מכה בה, והיא ממשיכה באותה מהירות צפונה. סרטטו את וקטורי התנע לפני ואחרי, וחשבו את גודל שינוי התנע ואת כיוונו.

▶ניסוי חי — מתקף ותנעמשנים את הכוח ואת זמן המגע, ועוקבים אחר השטח מתחת לעקומת כוח–זמן ואחר שינוי התנע. מאריכים את זמן המגע פי עשרה ורואים איך הכוח צונח — זה מה שעושה כרית האוויר.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#impulse

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#impulse

חוק שימור התנע (Conservation of Momentum)

מערכת סגורה וכוחות פנימיים וחיצוניים:

עד כה התבוננו בגוף אחד ובכוחות הפועלים עליו. עכשיו נתבונן במערכת של כמה גופים, ונבחין בין שני סוגים של כוחות:

כוח פנימי וכוח חיצוני: כוח פנימי הוא כוח שגוף אחד במערכת מפעיל על גוף אחר בה (למשל: כוח המגע בין שתי עגלות מתנגשות). כוח חיצוני הוא כוח שגוף מחוץ למערכת מפעיל על אחד מגופיה (למשל: החיכוך עם המסילה, דחיפה של יד מבחוץ).

מערכת סגורה: מערכת שלא פועלים עליה כוחות חיצוניים, או שהשקול של הכוחות החיצוניים עליה הוא אפס. החלוקה לכוחות פנימיים וחיצוניים תלויה בבחירת גבולות המערכת: החיכוך בין העגלה למסילה הוא כוח חיצוני אם המערכת היא שתי העגלות, וכוח פנימי אם נכלול את כדור הארץ במערכת.

גבול המערכת (הקו המקווקו): כוחות המגע בין העגלות פנימיים; הדחיפה מבחוץ והחיכוך עם המסילה הם כוחות חיצוניים

המערכת	כוחות פנימיים	כוחות חיצוניים	האם המערכת סגורה?
שתי עגלות על מסילה אופקית חלקה	כוחות המגע בין העגלות	כוח הכובד והכוח הנורמלי (מבטלים זה את זה)	כן (בכיוון האופקי)
שתי עגלות על מסילה מחוספסת	כוחות המגע	החיכוך	לא
רובה וקליע ברגע הירי	כוח הגזים על הקליע ועל הרובה	כוח הכובד (זניח ברגע הקצר)	בקירוב
כדור הפוגע בקיר	—	הכוח של הקיר	לא (הקיר מחוץ למערכת)
כדור, קיר וכדור הארץ כולו	הכוח של הקיר על הכדור	—	כן

שימור התנע במערכת דו-גופית:

במהלך המגע עגלה 1 מפעילה על עגלה 2 את הכוח F₁₂, ועגלה 2 מפעילה על עגלה 1 את הכוח F₂₁ — שני הכוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם

נתבונן במערכת סגורה של שתי עגלות המתנגשות על מסילה חלקה. במהלך המגע, הנמשך פרק זמן Δt, העגלה הראשונה מפעילה על השנייה כוח F₁₂, והשנייה מפעילה על הראשונה כוח F₂₁. לפי החוק השלישי של ניוטון שני הכוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, והם פועלים במשך אותו פרק זמן בדיוק. לכן גם המתקפים שלהם שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם:

F₂₁ = −F₁₂

F₂₁·Δt = −F₁₂·Δt

Δp₁ = −Δp₂

שינוי התנע של העגלה הראשונה שווה בדיוק לשינוי התנע של השנייה בסימן הפוך: מה שאחת מפסידה — השנייה מרוויחה. מכאן ששינוי התנע הכולל הוא אפס:

Δp₁ + Δp₂ = 0

p₁ + p₂ = const

חוק שימור התנע (מערכת דו-גופית)

p_tot,before = p_tot,after

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₁ , v₂	מהירויות הגופים לפני האינטראקציה	[m/s]
v′₁ , v′₂	מהירויות הגופים אחרי האינטראקציה	[m/s]
m₁ , m₂	מסות הגופים	[kg]

הערה: המסקנה אינה תלויה בסוג הכוח שבין הגופים, בגודלו או במשך פעולתו — רק בכך שהוא כוח פנימי. לכן היא תקפה להתנגשות הנמשכת אלפית שנייה, וגם לקפיץ הדוחף את העגלות במשך כמה שניות.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהגוף הגדול או המהיר "מכה חזק יותר": שהמשאית מפעילה על המכונית הקטנה כוח גדול מן הכוח שהמכונית מפעילה עליה. האמת היא ששני הכוחות שווים בגודלם תמיד — זהו החוק השלישי של ניוטון, והוא אינו תלוי לא במסות ולא במהירויות. כל ההבדל הוא בתוצאה: אותו כוח מקנה לגוף הקל תאוצה גדולה בהרבה (a = Fm), ולכן מהירותו משתנה שינוי גדול יותר — ומשום כך נוסעי המכונית הקטנה נפגעים יותר, אף שהכוח עליה אינו גדול יותר.

ניסוח החוק:

חוק שימור התנע: במערכת סגורה (השקול של הכוחות החיצוניים עליה הוא אפס) התנע הכולל נשאר קבוע בגודלו ובכיוונו, יהיו הכוחות הפנימיים הפועלים בין גופיה אשר יהיו.

נדגיש ארבע הערות חשובות לשימוש בחוק:

החוק וקטורי. על קו ישר בוחרים כיוון חיובי ונותנים לכל מהירות את הסימן שלה; במישור כותבים משוואת שימור לכל ציר בנפרד.
השימור מתקיים בכל רגע. התנע הכולל קבוע לפני האינטראקציה, במהלכה ואחריה — לא רק ברגעי "לפני" ו"אחרי".
התנע נשמר גם כשהאנרגיה אובדת. בהתנגשות שבה העגלות נצמדות, הרבה אנרגיה קינטית הופכת לחום ולעיוות, אבל התנע הכולל אינו משתנה. (נדון באנרגיה בפרק השביעי.)
קירוב ההתנגשות הקצרה. אם הכוחות החיצוניים (כמו החיכוך) קטנים מאוד בהשוואה לכוחות הפנימיים העצומים בזמן ההתנגשות, המתקף שלהם במשך ההתנגשות הקצרה זניח, ומתייחסים לתנע כנשמר בין הרגע שממש לפני ההתנגשות לרגע שממש אחריה.

דוגמה 6.14

עגלה שמסתה 3 kg נעה על מסילה אופקית חלקה במהירות 4 m/s ומתנגשת בעגלה נחה שמסתה 5 kg. העגלות נצמדות ונעות יחד. נחשב את מהירותן המשותפת אחרי ההתנגשות.

פתרון:

המסילה חלקה, וכוח הכובד והכוח הנורמלי מבטלים זה את זה, ולכן המערכת סגורה בכיוון האופקי. נבחר את כיוון תנועת העגלה הראשונה כחיובי. התנע הכולל לפני ההתנגשות:

p_before = m₁·v₁ + m₂·v₂ = 3 · 4 + 5 · 0 = 12 kg·m/s

אחרי ההתנגשות העגלות נעות כגוף אחד שמסתו m₁ + m₂ = 8 kg במהירות v′:

p_after = (m₁ + m₂)·v′ = 8·v′

נשווה את התנע לפני לתנע אחרי:

8·v′ = 12

v′ = 128 = 1.5 m/s

המהירות חיובית: העגלות נעות בכיוון תנועת העגלה הראשונה, לאט יותר ממנה.

v′ = 1.5 m/s

דוגמה 6.15

שתי עגלות נעות זו לקראת זו על מסילה חלקה: הראשונה, שמסתה 1.5 kg, נעה ימינה במהירות 4 m/s, והשנייה, שמסתה 2.5 kg, נעה שמאלה במהירות 2 m/s. אחרי ההתנגשות חוזרת העגלה הראשונה שמאלה במהירות 2 m/s. נחשב את מהירות השנייה אחרי ההתנגשות.

פתרון:

ימינה חיובי. התנע הכולל לפני ההתנגשות (שימו לב לסימן של המהירות השנייה):

p_before = 1.5 · 4 + 2.5 · (−2) = 6 + (−5) = 1 kg·m/s

אחרי ההתנגשות מהירות הראשונה v′₁ = −2 m/s, ומהירות השנייה v′₂ אינה ידועה:

p_after = 1.5 · (−2) + 2.5·v′₂ = −3 + 2.5·v′₂

שימור התנע:

−3 + 2.5·v′₂ = 1

v′₂ = 42.5 = 1.6 m/s

המהירות חיובית: גם כיוון העגלה השנייה התהפך, והיא נעה עכשיו ימינה במהירות 1.6 m/s.

v′₂ = 1.6 m/s

שאלה 6.5: כדור שמסתו 0.2 kg נע במהירות 5 m/s ומתנגש התנגשות חזיתית בכדור נח שמסתו 0.3 kg. אחרי ההתנגשות הכדור הראשון חוזר לאחור במהירות 1 m/s. חשבו את מהירות הכדור השני אחרי ההתנגשות.

כשהמערכת אינה סגורה:

אם פועל על המערכת כוח חיצוני שקול שאינו אפס, התנע הכולל משתנה — ושינויו שווה בדיוק למתקף של הכוחות החיצוניים: ΣF_ext·Δt = Δp_tot. הכוחות הפנימיים אינם יכולים לשנות את התנע הכולל, גדולים ככל שיהיו.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהתנע "נשמר תמיד", ומפעילים את חוק השימור בכל שאלה. האמת היא שהחוק תקף רק כשהשקול של הכוחות החיצוניים על המערכת הוא אפס (או כשהמתקף שלהם זניח במהלך התנגשות קצרה). התנע של כדור הנופל נפילה חופשית גדל והולך, והתנע של עגלה על מסילה מחוספסת קטן — וייתכן שהתנע נשמר רק לאורך ציר מסוים, כפי שנראה בסעיף 6.3. לפני כל שימוש בחוק שאלו: מהי המערכת? ומהם הכוחות החיצוניים הפועלים עליה?

דוגמה 6.16

עגלה שמסתה 2 kg נעה על מסילה מחוספסת במהירות 3 m/s, ומקדם החיכוך הקינטי ביניהן 0.1. נחשב את התנע של העגלה כעבור שנייה אחת, ונראה ששינויו שווה למתקף של כוח החיכוך.

פתרון:

החיכוך הוא כוח חיצוני הפועל על העגלה, ולכן התנע שלה אינו נשמר. גודל כוח החיכוך:

f = μ·N = μ·m·g = 0.1 · 2 · 10 = 2 N

המתקף של החיכוך במשך שנייה אחת (כיוון התנועה חיובי, והחיכוך מנוגד לו):

J_f = −f·Δt = −2 · 1 = −2 N·s

p₂ = p₁ + J_f = 2 · 3 + (−2) = 4 kg·m/s

התנע קטן מן הערך 6 kg·m/s לערך 4 kg·m/s, כלומר מהירות העגלה היא עכשיו 2 m/s. אילו כללנו את כדור הארץ במערכת, החיכוך היה כוח פנימי, והתנע הכולל (עגלה + כדור הארץ) היה נשמר: כדור הארץ מקבל את התנע שהעגלה הפסידה — אבל מסתו עצומה, ולכן איננו מבחינים בשום מהירות שלו.

p₂ = 4 kg·m/s

הערה: זו הסיבה שהתנע של כדור נופל אינו נשמר (כוח הכובד הוא כוח חיצוני עליו), ואילו התנע של המערכת "כדור + כדור הארץ" נשמר: כדור הארץ "נופל" אל הכדור במהירות שאי אפשר למדוד.

פעילות: בדיקת חוק השימור על מסלול אוויר:

פעילות: על מסלול אוויר (החיכוך בו זניח) משגרים עגלה לעבר עגלה נחה או נעה, והעגלות נצמדות זו לזו בעזרת סרט הדבקה. שני שערים אופטיים מודדים את המהירות לפני ההתנגשות ואחריה. בטבלה תוצאות של ארבעה ניסויים: חשבו את התנע הכולל לפני ההתנגשות ואחריה בכל ניסוי, והשוו. מה אתם מבחינים בניסוי השלישי?

מערך הניסוי: מסלול אוויר, שתי עגלות ושני שערים אופטיים למדידת המהירות

ניסוי	m₁	v₁	m₂	v₂	v′ (יחד)	p_before	p_after
1	0.25 kg	0.8 m/s	0.25 kg	0 m/s	0.4 m/s	0.2 kg·m/s	0.2 kg·m/s
2	0.25 kg	0.8 m/s	0.5 kg	0 m/s	0.27 m/s	0.2 kg·m/s	0.203 kg·m/s
3	0.25 kg	0.6 m/s	0.25 kg	−0.6 m/s	0 m/s	0 kg·m/s	0 kg·m/s
4	0.5 kg	0.4 m/s	0.25 kg	0 m/s	0.27 m/s	0.2 kg·m/s	0.203 kg·m/s

בכל הניסויים התנע הכולל אחרי ההתנגשות שווה לתנע שלפניה (ההפרש הזעיר בניסויים 2 ו-4 נובע מדיוק המדידה). בניסוי השלישי התנעים היו שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, ולכן התנע הכולל אפס — והעגלות שנצמדו נעצרות לגמרי.

▶ניסוי חי — שימור התנע במערכת סגורהקובעים את מסות העגלות ואת מהירויותיהן, ועוקבים אחר מדי התנע לפני ההתנגשות, במהלכה ואחריה. מפעילים כוח חיצוני ורואים איך השימור מפסיק.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#pcons

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#pcons

יישומים של חוק שימור התנע (Applications of Momentum Conservation)

התנגשויות וסוגיהן:

התנגשות: אינטראקציה קצרה בין שני גופים או יותר, שבה פועלים כוחות פנימיים גדולים במשך זמן קצר. בכל התנגשות במערכת סגורה התנע הכולל נשמר. מסווגים את ההתנגשויות לפי מה שקורה לאנרגיה הקינטית הכוללת:

סוג ההתנגשות	מה קורה לגופים?	התנע	האנרגיה הקינטית הכוללת
התנגשות אלסטית	הגופים נפרדים אחרי ההתנגשות בלי עיוות קבוע	נשמר	נשמרת
התנגשות לא אלסטית	הגופים נפרדים, אבל עם עיוות או התחממות	נשמר	קטנה
התנגשות פלסטית לחלוטין	הגופים נצמדים ונעים יחד במהירות משותפת	נשמר	קטנה במידה המרבית האפשרית

הערה: בפרק זה אנו משתמשים רק בשימור התנע, והוא תקף לכל סוגי ההתנגשות. חישוב האנרגיה הקינטית וההבחנה הכמותית בין אלסטית ללא אלסטית יבואו בפרק השביעי. התנגשות נקראת חזיתית כשהתנועה לפניה ואחריה היא לאורך קו ישר אחד (ממד אחד).

התנגשות חזיתית פלסטית לחלוטין:

כשהגופים נצמדים, יש להם אחרי ההתנגשות מהירות משותפת אחת, ושימור התנע מספיק כדי למצוא אותה:

המהירות המשותפת אחרי ההיצמדות

m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂)·v′

v′ = m₁·v₁ + m₂·v₂m₁ + m₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
v′	המהירות המשותפת אחרי ההתנגשות	[m/s]
v₁ , v₂	המהירויות לפני ההתנגשות (עם הסימנים שלהן)	[m/s]

דוגמה 6.17

קליע שמסתו 20 g נע אופקית במהירות 300 m/s, חודר לגוש עץ נח שמסתו 1.98 kg, המונח על רצפה חלקה, ונשאר בתוכו. נחשב את מהירות הגוש עם הקליע אחרי ההתנגשות.

פתרון:

לפני

אחרי

ההתנגשות קצרה מאוד והרצפה חלקה, ולכן התנע האופקי נשמר. מסת הקליע 0.02 kg, וכיוון תנועתו חיובי:

m·v = (m + M)·v′

0.02 · 300 = (0.02 + 1.98)·v′

v′ = 62 = 3 m/s

הקליע הקל והמהיר מסר את כל התנע שלו לגוף כבד ממנו פי מאה, ולכן הגוף נע במהירות קטנה פי מאה.

v′ = 3 m/s

דוגמה 6.18

מכונית שמסתה 1000 kg נוסעת במהירות 20 m/s ומתנגשת מאחור במכונית שמסתה 1500 kg, הנוסעת לפניה באותו כיוון במהירות 10 m/s. המכוניות מסתבכות זו בזו ונעות יחד. נחשב את מהירותן מיד אחרי ההתנגשות.

פתרון:

שתי המכוניות נעות באותו כיוון, ולכן שתי המהירויות חיוביות:

p_before = 1000 · 20 + 1500 · 10 = 35000 kg·m/s

v′ = p_beforem₁ + m₂ = 350002500 = 14 m/s

המהירות המשותפת נמצאת בין שתי המהירויות המקוריות, כצפוי: הראשונה האטה והשנייה האיצה.

v′ = 14 m/s

דוגמה 6.19

שלוש עגלות על מסילה חלקה: A, שמסתה 1 kg, נעה במהירות 6 m/s לעבר B הנחה, שמסתה 2 kg, ואחריה C הנחה, שמסתה 3 kg. בכל התנגשות העגלות נצמדות. נחשב את המהירות אחרי ההתנגשות הראשונה ואחרי ההתנגשות השנייה.

פתרון:

ההתנגשות הראשונה: A נצמדת ל-B:

m_A·v_A = (m_A + m_B)·v′₁

1 · 6 = 3·v′₁

v′₁ = 2 m/s

ההתנגשות השנייה: AB (שמסתן 3 kg) נצמדות ל-C:

(m_A + m_B)·v′₁ = (m_A + m_B + m_C)·v′₂

3 · 2 = 6·v′₂

v′₂ = 1 m/s

דרך מהירה יותר: התנע הכולל של המערכת כולה (A, B ו-C) נשמר מן ההתחלה ועד הסוף, ולכן אפשר לדלג ישר למצב הסופי:

m_A·v_A = (m_A + m_B + m_C)·v′₂

v′₂ = 66 = 1 m/s

אותה תוצאה — כי כל הכוחות בין העגלות פנימיים, ולא משנה כמה התנגשויות היו ביניהן.

v′₁ = 2 m/s , v′₂ = 1 m/s

שאלה 6.6: עגלה שמסתה 4 kg נעה ימינה במהירות 3 m/s, ועגלה שמסתה 2 kg נעה שמאלה במהירות 6 m/s. העגלות מתנגשות ונצמדות. חשבו את מהירותן המשותפת. מה אתם מסיקים?

התנגשות חזיתית אלסטית:

בהתנגשות אלסטית הגופים נפרדים במהירויות שונות, ולכן יש שני נעלמים. שימור התנע נותן משוואה אחת בלבד, ולכן דרוש נתון נוסף: מהירות של אחד הגופים אחרי ההתנגשות (כמו בדוגמאות כאן), או שימור האנרגיה הקינטית (הפרק השביעי).

דוגמה 6.20

כדור שמסתו 2 kg נע במהירות 6 m/s ומתנגש התנגשות אלסטית חזיתית בכדור נח שמסתו 4 kg. אחרי ההתנגשות הכדור הראשון חוזר לאחור במהירות 2 m/s. נחשב את מהירות הכדור השני אחרי ההתנגשות.

פתרון:

כיוון התנועה המקורי חיובי, ולכן מהירות הראשון אחרי ההתנגשות v′₁ = −2 m/s:

m₁·v₁ + 0 = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

2 · 6 = 2 · (−2) + 4·v′₂

12 = −4 + 4·v′₂

v′₂ = 164 = 4 m/s

הכדור השני נע בכיוון המקורי במהירות 4 m/s. שימו לב: הכדור הקל חוזר לאחור כשהוא מתנגש בכדור כבד ממנו.

v′₂ = 4 m/s

הערה: מקרה פרטי חשוב — מסות שוות: אם כדור מתנגש התנגשות אלסטית חזיתית בכדור נח בעל אותה מסה, הראשון נעצר והשני יוצא לדרך במהירות של הראשון — שני הכדורים מחליפים ביניהם מהירויות. זה מה שרואים בביליארד וב"עריסת ניוטון". בדקו בעזרת שימור התנע: אם הראשון נעצר, אז m·v₁ = m·v′₂, כלומר v′₂ = v₁.

הערה: התנגשות בגוף כבד מאוד: כשכדור מתנגש בקיר או ברצפה, "הגוף השני" הוא הקיר יחד עם כדור הארץ כולו. התנע של המערכת "כדור + כדור הארץ" נשמר, וכדור הארץ מקבל תנע השווה למה שהכדור הפסיד — אבל מסתו עצומה, ולכן שינוי מהירותו אינו ניתן למדידה. לכן מתייחסים לקיר כאל גוף שאינו זז, ומחשבים רק את מה שקורה לכדור בעזרת המתקף, כפי שעשינו בסעיף 6.1.

דוגמה בסגנון הבגרות: קריאת גרף מהירות–זמן:

דוגמה 6.21

הגרף מתאר את המהירויות של שני גופים, A ו-B, הנעים על מסילה חלקה לאורך אותו קו ישר, לפני התנגשותם, במהלכה ואחריה. מסת הגוף A היא 2 kg.
א. תארו מה קרה.
ב. חשבו את מסת הגוף B.
ג. חשבו את הכוח הממוצע שהפעיל A על B בזמן ההתנגשות, ואת הכוח הממוצע שהפעיל B על A.

פתרון:

א. עד הרגע t = 2 s הגוף A נע במהירות 6 m/s והגוף B במהירות 1 m/s באותו כיוון, ולכן A משיג את B. ההתנגשות נמשכת מ-2 s עד 2.2 s: מהירות A יורדת ל-1 m/s ומהירות B עולה ל-3.5 m/s, ואחריה שניהם נעים במהירויות קבועות (התנגשות אלסטית או לא אלסטית — הגופים לא נצמדו).

ב. המסילה חלקה, ולכן התנע הכולל נשמר: מה ש-A הפסיד, B הרוויח. שינוי התנע של A:

Δp_A = m_A·(v′_A − v_A) = 2 · (1 − 6) = −10 kg·m/s

Δp_B = −Δp_A = 10 kg·m/s

m_B·(v′_B − v_B) = 10

m_B = 103.5 − 1 = 4 kg

ג. הכוח הוא קצב שינוי התנע, וזמן ההתנגשות מן הגרף הוא Δt = 0.2 s:

F_A→B = Δp_BΔt = 100.2 = 50 N

לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהפעיל B על A שווה לו בגודלו ומנוגד לו בכיוונו: F_B→A = −50 N. אפשר לבדוק זאת מן הגרף: שיפוע הקו של A בזמן ההתנגשות הוא התאוצה שלו, וממנה מקבלים את הכוח:

a_A = Δv_AΔt = 1 − 60.2 = −25 m/s²

F_B→A = m_A·a_A = 2 · (−25) = −50 N

m_B = 4 kg , F = ±50 N

הערה: בשאלות בגרות מסוג זה זכרו: הקריאה מן הגרף נותנת את המהירויות עם הסימנים שלהן; זמן ההתנגשות הוא רוחב פרק הזמן שבו שתי המהירויות משתנות; והשיפוע של כל קו בזמן ההתנגשות הוא התאוצה של אותו גוף.

שאלה 6.7: גוף שמסתו 3 kg נע במהירות 4 m/s ומתנגש התנגשות חזיתית בגוף נח שמסתו 1 kg. אחרי ההתנגשות הגוף הקל נע במהירות 6 m/s. חשבו את מהירות הגוף הכבד אחרי ההתנגשות, וקבעו את כיוונה.

▶ניסוי חי — התנגשות חזיתית: אלסטית מול לא אלסטיתקובעים את המסות ואת המהירויות, בוחרים את סוג ההתנגשות, ועוקבים אחר התנע הכולל — שנשמר תמיד — ואחר המהירויות אחרי ההתנגשות.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#col1d

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#col1d

התנגשות במישור — שימור ברכיבים:

כשההתנגשות אינה חזיתית, הגופים נעים אחריה בשני כיוונים שונים במישור. חוק שימור התנע הוא חוק וקטורי, ולכן הוא מתקיים בכל ציר בנפרד: בוחרים שני צירים ניצבים, x ו-y, וכותבים משוואת שימור לכל אחד מהם.

שימור התנע במישור

Σp_x : m₁·v_1x + m₂·v_2x = m₁·v′_1x + m₂·v′_2x

Σp_y : m₁·v_1y + m₂·v_2y = m₁·v′_1y + m₂·v′_2y

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_1x , v_1y	רכיבי המהירות של גוף 1 על שני הצירים	[m/s]
v′	המהירות אחרי ההתנגשות	[m/s]

הרכיבים של וקטור שגודלו v, היוצר זווית θ עם ציר x, הם v·cos θ על ציר x ו-v·sin θ על ציר y, עם סימן לפי הכיוון. בבחינה משתמשים בקירובים sin 37° ≈ 0.6 ו-cos 37° ≈ 0.8 (ומהם sin 53° ≈ 0.8 ו-cos 53° ≈ 0.6).

דוגמה 6.22

דיסקית שמסתה 0.2 kg מחליקה על משטח אופקי חלק במהירות 5 m/s ומתנגשת בדיסקית זהה נחה. אחרי ההתנגשות הדיסקית הראשונה נעה בכיוון היוצר זווית 37° מעל כיוונה המקורי, והשנייה בכיוון היוצר זווית 53° מתחתיו. נחשב את מהירות כל דיסקית אחרי ההתנגשות.

פתרון:

נבחר את ציר x בכיוון התנועה המקורית ואת ציר y כלפי מעלה. המסות שוות, ולכן m מצטמצם מכל המשוואות. שימור הרכיב y (לפני ההתנגשות אין תנועה בכיוון y):

0 = v′₁·sin 37° − v′₂·sin 53°

0.6·v′₁ = 0.8·v′₂

v′₂ = 0.75·v′₁

שימור הרכיב x:

v = v′₁·cos 37° + v′₂·cos 53°

5 = 0.8·v′₁ + 0.6·v′₂

נציב v′₂ = 0.75·v′₁:

5 = 0.8·v′₁ + 0.6 · 0.75·v′₁ = 1.25·v′₁

v′₁ = 51.25 = 4 m/s

v′₂ = 0.75 · 4 = 3 m/s

נבדוק בציר y: 0.2 · 4 · 0.6 = 0.48 ו-0.2 · 3 · 0.8 = 0.48 — שני הרכיבים שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, כמו לפני ההתנגשות.

v′₁ = 4 m/s , v′₂ = 3 m/s

דוגמה 6.23

בצומת מתנגשת מכונית A, שמסתה 1000 kg והיא נוסעת מזרחה במהירות 15 m/s, במכונית B, שמסתה 1500 kg והיא נוסעת צפונה במהירות 10 m/s. המכוניות מסתבכות זו בזו ונעות יחד. נחשב את גודל מהירותן המשותפת ואת כיוונה מיד אחרי ההתנגשות.

פתרון:

ציר x מזרחה וציר y צפונה. לפני ההתנגשות למכונית A יש רק רכיב x, ולמכונית B רק רכיב y:

p_x = m_A·v_A = 1000 · 15 = 15000 kg·m/s

p_y = m_B·v_B = 1500 · 10 = 15000 kg·m/s

אחרי ההתנגשות המסה הכוללת, 2500 kg, נעה במהירות v′ שרכיביה:

v′_x = p_xm_A + m_B = 150002500 = 6 m/s

v′_y = p_ym_A + m_B = 150002500 = 6 m/s

גודל המהירות וכיוונה:

v′ = v′_x² + v′_y² = 6² + 6² = 8.49 m/s

tan α = v′_yv′_x = 66 = 1

α = 45°

המכוניות נעות יחד לכיוון צפון-מזרח, בזווית 45° עם כיוון המזרח.

v′ = 8.49 m/s , α = 45°

שאלה 6.8: כדור שמסתו 1 kg נע לאורך ציר x במהירות 6 m/s ומתנגש בכדור נח שמסתו 2 kg. אחרי ההתנגשות הכדור הראשון נע בכיוון החיובי של ציר y במהירות 3 m/s. חשבו את רכיבי המהירות של הכדור השני אחרי ההתנגשות, את גודל מהירותו ואת הזווית שהיא יוצרת עם ציר x.

▶ניסוי חי — התנגשות במישורמשנים את המסות ואת פרמטר הפגיעה, ועוקבים אחר רכיבי התנע בשני הצירים: כל רכיב נשמר בנפרד.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#col2d

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#col2d

רתע:

עד כה הגופים נעו ואז התנגשו. עכשיו ההפך: מערכת נחה מתפצלת לפתע לשני חלקים. התנע הכולל לפני ההתפצלות הוא אפס, ולכן הוא נשאר אפס גם אחריה: שני החלקים נעים בכיוונים מנוגדים, ותנעיהם שווים בגודלם.

רתע: תנועה של הגוף המשגר (רובה, תותח) בכיוון ההפוך לתנועת הקליע, כתוצאה משימור התנע. ככל שהגוף המשגר כבד יותר, מהירות הרתע שלו קטנה יותר.

מהירות הרתע (מערכת נחה לפני הירי)

M·V + m·v = 0

V = −m·vM

סימן	משמעות	יחידת מידה
M , V	מסת הגוף המשגר ומהירות הרתע שלו	[kg] , [m/s]
m , v	מסת הקליע ומהירותו	[kg] , [m/s]

דוגמה 6.24

רובה שמסתו 3 kg יורה קליע שמסתו 8 g במהירות 600 m/s. הרובה חופשי לנוע ונח לפני הירי. נחשב את מהירות הרתע שלו.

פתרון:

המערכת: הרובה והקליע. כוח הגזים הוא כוח פנימי, ולכן התנע האופקי נשמר. לפני הירי המערכת נחה, ולכן התנע שלה אפס. נבחר את כיוון הקליע כחיובי; מסתו 0.008 kg:

0 = m·v + M·V

0 = 0.008 · 600 + 3·V

V = −4.83 = −1.6 m/s

הסימן השלילי פירושו שהרובה נרתע לאחור. התנע של הרובה (4.8 kg·m/s) שווה בגודלו לתנע של הקליע, אבל מהירותו קטנה פי 375, כי מסתו גדולה פי אותו מספר.

V = −1.6 m/s

הערה: אף שהתנעים של הקליע ושל הרובה שווים בגודלם, האנרגיה הקינטית מתחלקת ביניהם חלוקה לא שווה כלל — הגוף הקל מקבל את רוב האנרגיה. נחשב זאת בפרק השביעי.

דוגמה 6.25

תותח מותקן על עגלה הנעה בחופשיות על מסילה אופקית חלקה; מסת העגלה עם התותח 500 kg. התותח יורה פגז שמסתו 5 kg במהירות 200 m/s, בכיוון היוצר זווית 37° עם האופק. נחשב את מהירות הרתע של העגלה.

פתרון:

בכיוון האופקי אין כוח חיצוני (המסילה חלקה), ולכן הרכיב האופקי של התנע נשמר. בכיוון האנכי, לעומת זאת, המסילה מפעילה על העגלה בזמן הירי כוח נורמלי חיצוני גדול, שמונע ממנה לשקוע באדמה — לכן הרכיב האנכי אינו נשמר, וכותבים את השימור לציר האופקי בלבד.

הרכיב האופקי של מהירות הפגז:

v_x = v·cos 37° = 200 · 0.8 = 160 m/s

שימור התנע האופקי (לפני הירי הכול נח):

0 = m·v_x + M·V

V = −m·v_xM = −5 · 160500 = −1.6 m/s

העגלה נרתעת לאחור במהירות 1.6 m/s. אילו התותח היה יורה את הפגז אופקית, הרתע היה גדול יותר: 2 m/s.

V = −1.6 m/s

שימו לב: את חוק השימור מפעילים על כל ציר בנפרד: די שהכוח החיצוני השקול יתאפס בכיוון מסוים, כדי שרכיב התנע בכיוון הזה יישמר, גם אם בכיוון אחר הוא אינו נשמר.

דוגמה 6.26

אדם שמסתו 50 kg עומד על עגלה ארוכה ונחה שמסתה 100 kg, על מסילה חלקה, ואז מתחיל ללכת עליה במהירות 1.5 m/s ביחס לעגלה. נחשב את מהירות העגלה ביחס לקרקע ואת מהירות האדם ביחס לקרקע.

פתרון:

כוח החיכוך בין כפות רגליו של האדם לעגלה הוא כוח פנימי, ולכן התנע הכולל (ביחס לקרקע) נשמר ושווה לאפס. שימו לב: המהירות הנתונה היא ביחס לעגלה, ואת חוק השימור כותבים במהירויות ביחס למערכת ייחוס אחת — הקרקע. אם העגלה נעה במהירות V (כיוון ההליכה של האדם חיובי), מהירות האדם ביחס לקרקע היא v = 1.5 + V:

0 = m·(1.5 + V) + M·V

0 = 50 · 1.5 + 50·V + 100·V

V = −75150 = −0.5 m/s

v = 1.5 + (−0.5) = 1 m/s

העגלה נעה לאחור במהירות 0.5 m/s, והאדם מתקדם ביחס לקרקע במהירות 1 m/s בלבד. נבדוק: 50 · 1 + 100 · (−0.5) = 0.

V = −0.5 m/s , v = 1 m/s

שימו לב: כשנתונה מהירות "ביחס לעגלה" או "ביחס לסירה", לא מציבים אותה ישירות בחוק השימור. תחילה הופכים אותה למהירות ביחס לקרקע, על ידי חיבורה עם מהירות העגלה (עם הסימן שלה).

שאלה 6.9: אדם שמסתו 60 kg עומד בחרטום של סירה נחה שמסתה 180 kg על אגם שקט, ואז קופץ למים אופקית במהירות 3 m/s ביחס לאגם. הזניחו את התנגדות המים. חשבו את מהירות הסירה מיד אחרי הקפיצה, וקבעו את כיוונה.

שימור תנע במהלך אינטראקציה: קפיץ דחוס ו"פיצוץ":

חוק השימור אינו מוגבל להתנגשויות קצרות. בכל אינטראקציה שפועלים בה כוחות פנימיים בלבד — קפיץ דחוס שדוחף שתי עגלות, או פיצוץ שמפרק גוף לרסיסים — התנע הכולל נשאר כפי שהיה לפני האינטראקציה. ואם המערכת נחה בהתחלה, סכום התנעים נשאר אפס.

דוגמה 6.27

שתי עגלות שמסותיהן 1 kg ו-3 kg נמצאות על מסילה חלקה, ביניהן קפיץ דחוס, וחוט מחזיק אותן. חותכים את החוט, הקפיץ דוחף את העגלות והן מתרחקות זו מזו. מהירות העגלה הקלה אחרי ההיפרדות נמדדה, והיא 3 m/s. נחשב את מהירות העגלה הכבדה, ונמצא את היחס בין מהירויות העגלות.

פתרון:

כוח הקפיץ הוא כוח פנימי, והמערכת נחה לפני חיתוך החוט, ולכן התנע שלה אפס. נבחר את כיוון העגלה הקלה כחיובי:

0 = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

0 = 1 · 3 + 3·v′₂

v′₂ = −33 = −1 m/s

העגלה הכבדה נעה בכיוון ההפוך. היחס בין גודלי המהירויות:

v′₁v′₂ = m₂m₁ = 31 = 3

המהירויות ביחס הפוך למסות: הקלה מהירה פי שלושה. התוצאה הזאת אינה תלויה בקשיחות הקפיץ או במידת הדחיסה שלו — קפיץ חזק יותר נותן מהירויות גדולות יותר, אבל היחס ביניהן נשאר 3.

v′₂ = −1 m/s , v′₁v′₂ = 3

דוגמה 6.28

פגז נח שמסתו 9 kg מתפוצץ לשלושה רסיסים: הראשון, שמסתו 2 kg, ניתז מזרחה במהירות 6 m/s, והשני, שמסתו 3 kg, ניתז צפונה במהירות 4 m/s. נחשב את מהירות הרסיס השלישי ואת כיוונה.

פתרון:

מסת הרסיס השלישי 9 − 2 − 3 = 4 kg. ציר x מזרחה וציר y צפונה. לפני הפיצוץ התנע אפס בכל ציר, ולכן אחריו סכום הרכיבים בכל ציר הוא אפס:

x : 0 = 2 · 6 + 0 + p_3x

p_3x = −12 kg·m/s

y : 0 = 0 + 3 · 4 + p_3y

p_3y = −12 kg·m/s

גודל התנע של הרסיס השלישי ומהירותו:

p₃ = 12² + 12² = 16.97 kg·m/s

v₃ = p₃m₃ = 16.974 = 4.24 m/s

שני הרכיבים שליליים ושווים, ולכן הרסיס השלישי ניתז לכיוון דרום-מערב, בזווית 45° עם כל אחד מן הצירים — בכיוון ההפוך לתנע השקול של שני הרסיסים הראשונים.

v₃ = 4.24 m/s

דוגמה 6.29

פגז שמסתו 6 kg נורה בזריקה משופעת, ובנקודה הגבוהה ביותר במסלולו — שם מהירותו אופקית וגודלה 20 m/s — התפוצץ לשני חלקים שווי מסה. מיד אחרי הפיצוץ מהירות החלק הראשון הייתה אפס (ולכן הוא נפל אנכית). נחשב את מהירות החלק השני מיד אחרי הפיצוץ.

פתרון:

הפיצוץ קצר מאוד, והמתקף של כוח הכובד במהלכו זניח, ולכן התנע נשמר ברגע הפיצוץ. בנקודה הגבוהה ביותר אין למהירות רכיב אנכי. ציר x בכיוון התנועה:

m·v_x = m₁·v₁ + m₂·v₂

6 · 20 = 3 · 0 + 3·v₂

v₂ = 1203 = 40 m/s

החלק השני ממשיך לנוע אופקית במהירות כפולה ממהירות הפגז המקורי. הרכיב האנכי, לעומת זאת, נשאר אפס לשני החלקים, ולכן שניהם מגיעים לקרקע באותו רגע — הראשון בדיוק מתחת לנקודת הפיצוץ, והשני במרחק כפול מן הטווח שנותר.

v₂ = 40 m/s

שאלה 6.10: עגלה שמסתה 2 kg נעה במהירות 2 m/s ומתפוצצת לשני חצאים שווים, הממשיכים לנוע לאורך אותו קו. אחד החצאים נעצר לגמרי. חשבו את מהירות החצי השני.

הנעה רקטית:

הרקטה פולטת גז לאחור במהירות u, והיא עצמה נדחפת קדימה

איך רקטה נעה בחלל, שבו אין אוויר ואין קרקע שתוכל להידחף מהם? התשובה — בשימור התנע. הרקטה שורפת את הדלק שלה ופולטת את הגזים הנוצרים לאחור במהירות גדולה. המערכת "רקטה + גז" סגורה, ולכן התנע הכולל נשמר: הגז הנפלט נושא תנע לאחור, ולכן הרקטה מקבלת תנע שווה קדימה. בשפת הכוחות: הרקטה דוחפת את הגז לאחור, והגז — לפי החוק השלישי — דוחף את הרקטה קדימה בכוח שווה ומנוגד. הרקטה אינה צריכה אוויר כדי להישען עליו; היא אף פועלת טוב יותר בריק, כי אין בו התנגדות אוויר.

הנעה רקטית: הנעה של גוף קדימה על ידי פליטת חלק ממסתו (הגז) לאחור. כוח הדחף גדל ככל שמהירות פליטת הגז גדולה יותר, וככל שמסת הגז הנפלטת בכל שנייה גדולה יותר.

כוח הדחף תלוי במהירות פליטת הגז u ביחס לרקטה ובמסת הגז הנפלטת ביחידת זמן — ולא במהירות הרקטה עצמה.
מסת הרקטה הולכת וקטנה ככל שהדלק נשרף, ולכן אותו כוח דחף יוצר תאוצה הולכת וגדלה.
אותו עיקרון פועל בבלון מנופח שמשחררים (האוויר נפלט לאחור והבלון עף קדימה), בדיונון שפולט מים, ובאסטרונאוט שזורק כלי כדי לחזור לחללית שלו.

דוגמה 6.30

רקטה קטנה שמסתה הכוללת 1000 kg נחה בחלל, רחוק מכל כוכב לכת. היא פולטת בבת אחת 10 kg של גז לאחור במהירות 2000 m/s ביחס למערכת הייחוס שבה הייתה נחה. נחשב את מהירות הרקטה אחרי הפליטה.

פתרון:

המערכת סגורה ונחה בהתחלה. אחרי הפליטה מסת הרקטה 1000 − 10 = 990 kg. נבחר את כיוון תנועת הרקטה כחיובי, ולכן מהירות הגז שלילית:

0 = (M − Δm)·V + Δm·(−u)

0 = 990·V − 10 · 2000

V = 20000990 = 20.2 m/s

ברקטה אמיתית הגז נפלט ברציפות ולא בבת אחת, והמסה קטנה בהדרגה, אבל העיקרון זהה: כל קילוגרם של גז שנפלט לאחור דוחף את הרקטה קדימה.

V = 20.2 m/s

שאלה 6.11: אסטרונאוט שמסתו עם החליפה 100 kg מרחף במנוחה במרחק כמה מטרים מן החללית שלו, ובידו פטיש שמסתו 2 kg. הסבירו איך הוא יכול לחזור לחללית, ובאיזה כיוון עליו לזרוק את הפטיש. אם הוא זורק אותו במהירות 10 m/s, באיזו מהירות ינוע הוא עצמו?

▶ניסוי חי — רתע והנעה רקטיתבמצב הראשון משנים את מסת המשגר ואת מסת הקליע ועוקבים אחר מהירות הרתע; במצב השני עוקבים אחר רקטה שפולטת גז ברציפות ומסתה קטנה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#recoil

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_momentum#recoil

עיקרי הדברים:

התנע p = m·v הוא וקטור: הגודל לבדו אינו מספיק, והסימן (או הרכיבים במישור) הוא חלק מן התשובה.
המתקף מצרף את הכוח ואת זמן פעולתו; כשהכוח משתנה, המתקף הוא השטח מתחת לעקומת כוח–זמן.
המתקף הכולל שווה לשינוי התנע — והניסוח הזה כללי יותר מ-ΣF = m·a, כי הוא תקף גם כשהכוח משתנה.
כששינוי התנע נקבע מראש, הארכת זמן העצירה מקטינה את הכוח — זה העיקרון של כרית האוויר ושל כיפוף הברכיים.
במערכת סגורה הכוחות הפנימיים — גדולים ככל שיהיו — אינם משנים את התנע הכולל: מה שגוף אחד מפסיד, האחר מרוויח.
חוק השימור אינו חוק ש"תקף תמיד": לפני השימוש בו מגדירים את המערכת ובודקים את הכוחות החיצוניים, וייתכן שהוא מתקיים על ציר אחד בלבד.
כשהגופים נצמדים, די בשימור התנע למציאת המהירות המשותפת; כשהם נפרדים, נדרש נתון נוסף.
רתע, פיצוץ והנעה רקטית הם פנים שונות של אותו רעיון: מערכת שהתנע הכולל שלה אפס נשארת כך.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
תנע	p = m·v
התנע הכולל של מערכת	p_tot = m₁·v₁ + m₂·v₂ + ...
מתקף של כוח קבוע	J = F·Δt
מתקף של כוח משתנה (השטח מתחת לעקומת כוח–זמן)	J = F_avg·Δt
כוח ממוצע	F_avg = JΔt
המתקף הכולל ושינוי התנע	ΣF·Δt = Δp = m·v₂ − m·v₁
הכוח כקצב שינוי התנע	ΣF = ΔpΔt
שימור התנע (שני גופים)	m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂
התנגשות פלסטית לחלוטין	v′ = m₁·v₁ + m₂·v₂m₁ + m₂
השימור במישור	Σp_x = const , Σp_y = const
רתע (מערכת נחה)	m·v + M·V = 0 , V = −m·vM

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
תנע	Momentum	كمّيّة الحركة (الزخم)
מתקף	Impulse	الدفع
כוח ממוצע	Average force	معدّل القوّة (القوّة المتوسّطة)
גרף כוח–זמן	Force–time graph	منحنى القوّة–الزمن
מתקף כולל	Total (net) impulse	الدفع الكلّي
שינוי התנע	Change in momentum	التغيّر في كمّيّة الحركة
מערכת	System	المنظومة
מערכת סגורה	Closed (isolated) system	منظومة مغلقة
כוח פנימי	Internal force	قوّة داخلية
כוח חיצוני	External force	قوّة خارجية
שימור התנע	Conservation of momentum	حفظ كمّيّة الحركة
התנגשות	Collision	الاصطدام (التصادم)
התנגשות חזיתית (בממד אחד)	Head-on collision	اصطدام مباشر
התנגשות אלסטית	Elastic collision	اصطدام مرن
התנגשות לא אלסטית (פלסטית)	Inelastic collision	اصطدام غير مرن (لدن)
התנגשות פלסטית לחלוטין	Perfectly inelastic collision	اصطدام غير مرن تماما
התנגשות במישור	Collision in a plane	الاصطدام في المستوى
רכיב	Component	المركّبة
רתע	Recoil	الارتداد
פיצוץ	Explosion	الانفجار
הנעה רקטית	Rocket propulsion	الدفع الصاروخي

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 6.1) משאית שמסתה 3000 kg נוסעת במהירות 15 m/s.
א. חשבו את התנע שלה.
ב. באיזו מהירות צריך לנוע כדור שמסתו 0.5 kg כדי שיהיה לו אותו תנע? האם זה אפשרי מעשית?

תשובות: א. 45000 kg·m/s ; ב. 90000 m/s — מהר יותר מן הקול, לא אפשרי מעשית

(לסעיף 6.1) כוח קבוע שגודלו 12 N פועל במשך 5 s על גוף שמסתו 4 kg, הנח על משטח חלק. חשבו את המתקף של הכוח, את שינוי התנע של הגוף ואת מהירותו בסוף פרק הזמן.

תשובות: J = Δp = 60 N·s , v = 15 m/s

(לסעיף 6.2) בהתנגשות בין שתי עגלות על מסילה אופקית חלקה קטן התנע של העגלה הראשונה ב-6 kg·m/s.
א. מהו שינוי התנע של העגלה השנייה?
ב. מהו שינוי התנע הכולל של המערכת?

תשובות: א. הוא גדל ב-6 kg·m/s, כי Δp₂ = −Δp₁ ; ב. אפס — כוחות המגע פנימיים

(לסעיף 6.2) עגלה שמסתה 2 kg נעה במהירות 6 m/s על מסילה חלקה, מתנגשת בעגלה נחה שמסתה 4 kg ונצמדת אליה. חשבו את מהירותן המשותפת אחרי ההתנגשות.

תשובות: v′ = 2 m/s בכיוון התנועה המקורי

(לסעיף 6.3) רובה שמסתו 5 kg יורה קליע שמסתו 15 g במהירות 500 m/s. חשבו את מהירות הרתע של הרובה. מדוע היורה מצמיד את הרובה לכתפו?

תשובות: V = 1.5 m/s ; כדי שמסת הגוף הנרתע (רובה + גוף היורה) תגדל, ומהירות הרתע תקטן

(לסעיף 6.3) שתי עגלות שמסותיהן 2 kg ו-6 kg נמצאות על מסילה חלקה, וביניהן קפיץ דחוס. אחרי שחרור הקפיץ העגלה הכבדה נעה במהירות 0.5 m/s. חשבו את מהירות העגלה הקלה. האם התשובה משתנה אם משתמשים בקפיץ חזק יותר?

תשובות: v′₁ = 1.5 m/s ; כן, שתי המהירויות משתנות, אבל היחס ביניהן נשאר 3

תרגילי סיכום:

הגרף מתאר את הכוח הפועל על גוף שמסתו 2 kg, שהיה במנוחה: הכוח גדל באופן קווי מאפס עד 200 N במשך 0.2 s, ואז קטן באופן קווי לאפס ברגע 0.4 s. חשבו את המתקף הכולל, את הכוח הממוצע ואת מהירות הגוף ברגע 0.4 s.

תשובות: J = 40 N·s , F_avg = 100 N , v = 20 m/s

כדור בייסבול שמסתו 150 g מגיע אל החובט במהירות 20 m/s, והחובט מחזיר אותו בכיוון ההפוך במהירות 25 m/s. זמן המגע 5 ms. חשבו את שינוי התנע של הכדור ואת הכוח הממוצע שהפעיל המחבט.

תשובות: Δp = 6.75 kg·m/s , F_avg = 1350 N

ביצה שמסתה 60 g נופלת, מגיעה לרצפה במהירות 4 m/s ונעצרת.
א. חשבו את הכוח השקול הממוצע הפועל עליה אם היא נעצרת על אריחים תוך 2 ms.
ב. ואם היא נעצרת על כרית ספוג תוך 0.1 s? הסבירו מדוע היא נשברת רק במקרה הראשון.

תשובות: א. 120 N ; ב. 2.4 N — הכוח קטן פי חמישים, כי הזמן ארוך פי חמישים

כדור שמסתו 0.2 kg נע במהירות 8 m/s ופוגע בקיר חלק בכיוון היוצר זווית 30° עם הקיר, וחוזר באותה מהירות ובאותה זווית. חשבו את גודל שינוי התנע שלו ואת כיוונו. (הדרכה: הרכיב המקביל לקיר אינו משתנה.)

תשובות: Δp = 1.6 kg·m/s , ניצב לקיר ומכוון הרחק ממנו

שתי עגלות שמסותיהן 3 kg ו-2 kg נעות זו לקראת זו, כל אחת במהירות 5 m/s, ונצמדות בהתנגשות. חשבו את מהירותן המשותפת ואת כיוונה.

תשובות: v′ = 1 m/s בכיוון התנועה של העגלה הכבדה

כדור שמסתו 1 kg נע במהירות 8 m/s ומתנגש התנגשות אלסטית חזיתית בכדור נח שמסתו 3 kg. אחרי ההתנגשות הראשון חוזר לאחור במהירות 4 m/s. חשבו את מהירות הכדור השני אחרי ההתנגשות.

תשובות: v′₂ = 4 m/s

אדם שמסתו 50 kg עומד על סירה נחה שמסתה 100 kg, וקופץ ממנה אופקית במהירות 2 m/s ביחס למים. חשבו את מהירות הסירה אחרי הקפיצה.

תשובות: V = 1 m/s בכיוון ההפוך

תרגילי העמקה:

(*) הגרף מתאר את המהירויות של שני גופים, A (שמסתו 3 kg) ו-B, לפני ההתנגשות ואחריה: B היה במנוחה, ואחרי התנגשות שנמשכה 0.3 s נע A במהירות 2 m/s ו-B במהירות 4.5 m/s. חשבו את מסת B ואת הכוח הממוצע בין הגופים בזמן ההתנגשות.

תשובות: m_B = 2 kg , F = 30 N

(*) דיסקית שמסתה 0.5 kg מחליקה במהירות 6 m/s לאורך ציר x ומתנגשת בדיסקית נחה שמסתה 1 kg. אחרי ההתנגשות הדיסקית הראשונה נעה בכיוון החיובי של ציר y במהירות 2 m/s. חשבו את רכיבי המהירות של הדיסקית השנייה, את גודל מהירותה ואת הזווית שהיא יוצרת עם ציר x.

תשובות: v′_2x = 3 m/s , v′_2y = −1 m/s , v′₂ = 3.16 m/s , 18.4° מתחת לציר x

(*) גוף נח שמסתו 4 kg מתפוצץ לשלושה רסיסים: 1 kg במהירות 4 m/s בכיוון החיובי של ציר x, ו-1 kg במהירות 3 m/s בכיוון החיובי של ציר y. חשבו את מהירות הרסיס השלישי ואת הזווית שהוא יוצר עם הכיוון השלילי של ציר x.

תשובות: v₃ = 2.5 m/s , בזווית 36.9° מתחת לכיוון השלילי של ציר x

תשובות סופיות לשאלות הפרק

6.1 א. 4 kg·m/s ; ב. 2 m/s ; ג. אפס

6.2 J = 180 N·s , F_avg = 45 N

6.3 Δp = 3 kg·m/s , F_avg = 750 N בכיוון ההחזרה

6.4 Δp = 4.53 kg·m/s לכיוון צפון-מערב (בזווית 45° עם כל אחד מן הצירים)

6.5 v′₂ = 4 m/s בכיוון התנועה המקורי של הכדור הראשון

6.6 v′ = 0 — העגלות נעצרות, כי התנעים שלהן היו שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם

6.7 v′₁ = 2 m/s בכיוון המקורי

6.8 v′_2x = 3 m/s , v′_2y = −1.5 m/s , v′₂ = 3.35 m/s בזווית 26.6° מתחת לציר x

6.9 V = 1 m/s בכיוון ההפוך לקפיצת האדם

6.10 v′ = 4 m/s בכיוון התנועה המקורי

6.11 עליו לזרוק את הפטיש בכיוון ההפוך לחללית; V = 0.2 m/s לעבר החללית

שאלות בגרות לפרק 6

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 5 — קליע שנתקע בגוף קשור — שימור תנע, אנרגייה בהתנגשות ותנועה מעגלית

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	שימור אנרגייה בהתנגשות	בפתרון המלא
ב	המהירות המשותפת בשלושת המקרים	בפתרון המלא
ג	מתיחות החוט בתנועה המעגלית	בפתרון המלא
ד	באיזה מקרה ייקרע החוט	המקרה השלישי — קליע 0.5m במהירות 2v · שם המתיחות מרבית
ה	שימור תנע ברבע סיבוב	בפתרון המלא

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2025 שאלה 4 — פיצוץ קפיץ בין שני גופים והתנגשות אלסטית חד-ממדית — שימור תנע ומאזן אנרגיה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	מדוע A, B והקפיץ הם מערכת סגורה	סכום הכוחות החיצוניים אפס — הכובד והנורמל מבטלים זה את זה, החיכוך זניח, וכוחות הקפיץ פנימיים — ולכן המערכת סגורה והתנע נשמר
ב	חישוב המהירות u_B מיד לאחר ההיפרדות	u_B = 0.9 m/s , בכיוון ימינה
ג	העבודה שבוצעה על הגוף A בזמן ההיפרדות	W_A = −0.018 J , עבודה שלילית שגודלה 18 mJ
ד	חישוב u_C, מהירות הגוף C לאחר ההתנגשות	u_C = 0.45 m/s , בכיוון ימינה
ה	חישוב m_C, מסת הגוף C	m_C = 0.6 kg

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 4 — שתי קופסאות הנעות זו לקראת זו — התנגשות, דחף וממוצע הכוח

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	איזה גרף מייצג את הקופסה B	גרף 2 מייצג את הקופסה B , וגרף 1 מייצג את הקופסה A
ב	חישוב מסת הקופסה B	m_B = 0.04 kg , כלומר 40 גרם
ג	הדחף שהקופסה B הפעילה על הקופסה A	גודל הדחף 0.28 N·s , וכיוונו שמאלה , כלומר J = −0.28 N·s
ד	ממוצע הכוח שהקופסה B הפעילה על הקופסה A	גודל ממוצע הכוח 56 N , וכיוונו שמאלה , כלומר F = −56 N
ה	מי מן התלמידים צודק	התלמיד ב צודק · על כל אחת מן הקופסאות פעל דחף שגודלו 0.28 N·s

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 (נבצרים) שאלה 5 — קפיץ דחוס בין שני גופים, החזרה מרנית מן הקיר, קריאת הדחף מגרף הכוח מול הזמן והתנגשות שבה הגופים נצמדים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א(1)	כמות התנועה של המערכת מיד אחרי שחרור הקפיץ	כמות התנועה הכוללת של מערכת הגופים A ו B מיד אחרי שחרור הקפיץ היא אפס
א(2)	מהירות הגוף B, גודלה וכיוונה	גודל מהירות הגוף B הוא 0.35 m/s , בכיוון ההפוך לתנועת הגוף A , כלומר במרוחק מן הקיר ולכיוון הגוף C
ב(1)	מהירות הגוף A מיד אחרי ההתנגשות המרנית בקיר	גודל מהירות הגוף A מיד אחרי ההתנגשות הוא 0.7 m/s , בכיוון המרוחק מן הקיר , כלומר בסימון הצירי v_A = −0.7 m/s
ב(2)	גודל הדחף שהקיר מפעיל על הגוף A וכיוונו	גודל הדחף שהקיר מפעיל על הגוף A הוא 0.14 N·s , בכיוון המרוחק מן הקיר
ג(1)	מה מייצג השטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן	השטח מייצג את גודל הדחף שהקיר מפעיל על הגוף A , ששווה לגודל השינוי בתנע של הגוף A בזמן ההתנגשות
ג(2)	חישוב הכוח המרבי בעזרת הגרף	הכוח המרבי שהקיר הפעיל על הגוף A הוא F_max = 3.5 N
ד(1)	חישוב מהירות הגוף C לפני ההתנגשות	v_C = 0.28 m/s , בכיוון הקיר , כלומר לקראת הגוף B
ד(2)	כיוון תנועת הגופים המוצמדים כאשר מהירות הגוף C קטנה יותר	הגופים המוצמדים B ו C ינועו בכיוון תנועתו של הגוף B , כלומר במרוחק מן הקיר

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 5 — כדור התעמלות אמנותית — משימור אנרגיה במעוף, דרך הדחף והעבודה ברגע הפגיעה בקרקע, ועד להתנגשות אלסטית בין שני כדורים זהים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	מהירות הכדור ברגע הפגיעה בקרקע	v = √120 = 10.95 m/s , בערך 11 m/s , כלפי מטה
ב	השוואה בין המהירות ביציאה מהיד ובין המהירות בפגיעה	קטן יותר. v₀ = 10.00 m/s לעומת v = 10.95 m/s , בגלל האנרגיה הפוטנציאלית הנוספת בגובה מטר אחד
ג	הדחף שהופעל על הכדור בזמן הפגיעה	כן. J = 2·m·v = 8.76 N·s , וכיוון הדחף כלפי מעלה
ד	העבודה שבוצעה על הכדור בזמן הפגיעה	לא בוצעה עבודה כוללת. W = ΔEk = 24 − 24 = 0 J , כי גודל המהירות לא השתנה
ה	מהירויות שני הכדורים מיד עם תום ההתנגשות	u₁ = 0 , כדור 1 נעצר לגמרי · u₂ = 10.00 m/s כלפי מעלה
ו	איזה מהתרשימים 1 עד 4 יכול לתאר את מצב הכדורים	התרשים היחיד שיכול לתאר את מצב שני הכדורים הוא תרשים 3
סיכום התשובות	שאלה 5	א 10.95 m/s · ב קטן יותר · ג 8.76 N·s · ד אפס · ה 0 ו 10.00 m/s · ו תרשים 3

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 (נבצרים) שאלה 5 — התנגשות אלסטית חזיתית בין שני דיסקים — המהירויות אחרי ההתנגשות, הביטוי הכללי, והכוח שמכתיב החוק השלישי של ניוטון

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	המהירויות אחרי ההתנגשות	u₁ = 0.1 m/s בכיוון התנועה המקורי · u₂ = 0.4 m/s בכיוון התנועה המקורי
ב	הביטוי הכללי למהירות הדיסק הנייח	u₂ = 2·m₁·v₁ חלקי (m₁ + m₂) · ובדרך אגב u₁ = (m₁ − m₂)·v₁ חלקי (m₁ + m₂)
ג	הוכחת אי-השוויון	v₁ − u₂ = v₁·(m₂ − m₁) חלקי (m₁ + m₂) · הפרש חיובי כאשר m₂ גדולה מ-m₁, ולכן u₂ קטנה מ-v₁
ד	הגרף של הכוח על הדיסק השני	(1) גרף B · (2) גרף B — לפי החוק השלישי של ניוטון, ללא תלות ביחס המסות

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 שאלה 5 — התנגשות אלסטית בין שתי עגלות — הדחף כשטח מתחת לגרף הכוח, שתי משוואות השימור ובחירת גרף המהירות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הגודל הפיזיקלי שמייצג השטח מתחת לעקומה	השטח מייצג את הדחף שהפעילה עגלה 1 על עגלה 2, ולפי משפט הדחף ותנע הוא שווה לשינוי התנע של עגלה 2 · J = 5 N·s בכיוון ימינה
ב	חישוב המסה m₂ של עגלה 2	m₂ = 4 kg
ג	שתי המשוואות למציאת v₁	שימור תנע — 2·v₁ = 2·u₁ + 4 · 1.25 , כלומר 2·v₁ = 2·u₁ + 5 · שימור אנרגיה קינטית — ½ · 2 · v₁² = ½ · 2 · u₁² + ½ · 4 · (1.25)² , כלומר v₁² = u₁² + 3.125
ד	הוספת עקומת הכוח שפעל על עגלה 1	לפי החוק השלישי של ניוטון העקומה היא שיקוף מדויק של המשולש הנתון מתחת לציר הזמן — מאפס בזמן 0 , למינימום −10⁴ N בזמן 0.5 · 10⁻³ s , וחזרה לאפס בזמן 1 · 10⁻³ s · השטח שלה −5 N·s
ה	בחירת הגרף המתאים לתנועת עגלה 2	גרף (1) · על AB מהירות קבועה 1.25 m/s , על המדרון BC האטה קבועה בתאוצה a = −g·sin θ ולכן קו ישר יורד , ועל CD שוב מהירות קבועה אך קטנה יותר 0.75 m/s

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2020 שאלה 4 — התנגשות קופסה בקיר ומד כוח — הדחף כשטח שמתחת לגרף הכוח, היפוך כיוון התנועה, גרף התאוצה והכוח הקבוע השקול

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הגודל שהשטח מבטא וחישובו	השטח מבטא את הדחף · J = 2.2 N·s , כיוונו שמאלה , ובסימון סקלרי J = −2.2 N·s
ב	שרטוט וקטור התנע ווקטור הדחף	p₀ = 1.6 kg·m/s ימינה , J = 2.2 N·s שמאלה , היחס בין אורכי החצים 1.375 , כלומר 11 מול 8
ג	גודל מהירות הקופסה אחרי ההתנגשות	v_f = −0.3 m/s , כלומר גודל המהירות 0.3 m/s והכיוון שמאלה
ד	גרף התאוצה מול הזמן	a = 0 בין 0 ל 10 ms , ירידה ישרה עד −20 m/s² ברגע 20 ms , קבוע −20 m/s² עד 40 ms , עלייה ישרה חזרה ל 0 ברגע 100 ms
ה	הכוח הקבוע השקול	Δt = 0.090 s , F = 24.44 N , בקירוב 24.4 N , בכיוון שמאלה

הפתרון המלא לבחינת 2020 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.