פרק 5

תנועה מעגלית

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 8 שעות לימוד

גלגל מסתובב, מכונית בעיקול, לוויין סביב כדור הארץ: התנועה המעגלית נמצאת בכל מקום סביבנו. בפרק הזה נלמד תחילה את שפת התנועה המחזורית — זמן המחזור, התדירות והמהירות הזוויתית — ואחר כך נגלה את ההפתעה הגדולה: גוף המסתובב במהירות שגודלה קבוע מאיץ כל העת, מפני שכיוון מהירותו משתנה ללא הרף. נחשב את התאוצה הרדיאלית הזאת, נמצא את הכוח שיוצר אותה, וניישם זאת על הדיסק המסתובב, על פסגת הגבעה, על המטוטלת החרוטית ועל הכביש הנטוי — ונחתום בתנועה מעגלית שגם גודל המהירות משתנה בה.

בסוף הפרק הזה נדע:

נתאר את התנועה המעגלית הקצובה בזמן מחזור, בתדירות ובמהירות זוויתית, ונקשור ביניהם ב-v = ω·r.
נסביר מדוע יש תאוצה אף שגודל המהירות קבוע, ונחשב את התאוצה הרדיאלית a_r = v²r = ω²·r.
נבין ש"הכוח הצנטריפטלי" הוא שם לשקול בכיוון הרדיאלי, ונזהה בכל מצב איזה כוח מוכר ממלא את תפקידו.
נכתוב ΣF_r = m·v²r וננתח את המטוטלת החרוטית, את הכביש המעגלי האופקי, את הכביש הנטוי ואת התנועה מעל פסגת גבעה.
ננתח את התנועה המעגלית שאינה קצובה לרכיב רדיאלי המשנה את כיוון המהירות ולרכיב משיקי המשנה את גודלה.

גלגל מסתובב, לוויין סביב כדור הארץ, מכונית בעיקול, אבן בקלע: כל אלה גופים הנעים במעגל. בתנועה מעגלית כיוון המהירות משתנה ללא הרף, ושינוי הכיוון הוא תאוצה — גם אם גודל המהירות נשאר קבוע. בפרק הזה נחשב את התאוצה הזאת, נמצא את הכוח שיוצר אותה, וניישם זאת בדוגמאות מחיי היום-יום.

תנועה מעגלית קצובה ומהירות זוויתית (Uniform Circular Motion and Angular Velocity)

תנועה מעגלית קצובה כתנועה מחזורית:

תנועה מעגלית קצובה: היא תנועה של גוף במסלול מעגלי שרדיוסו r, במהירות שגודלה קבוע v. התנועה מחזורית: הגוף חוזר לאותה נקודה אחרי כל סיבוב שלם.

זמן מחזור, תדירות ומהירות

T = 2π·rv

f = 1T

v = 2π·rT = 2π·r·f

סימן	משמעות	יחידת מידה
T	זמן מחזור: משך הזמן של סיבוב שלם אחד	[s]
f	תדירות: מספר הסיבובים בשנייה	[Hz]
2π·r	היקף המעגל: הדרך שהגוף עובר בסיבוב אחד	[m]

מהירות זוויתית:

מהירות זוויתית: היא הזווית (ברדיאנים) שבה מסתובב ביחידת זמן הרדיוס המחבר את המרכז לגוף: ω = ΔθΔt, והיא נמדדת ב-rad/s. בתנועה קצובה הגוף עובר זווית של 2π בזמן מחזור אחד, ולכן ω = 2πT.

הקשר בין המהירות הקווית למהירות הזוויתית: אורך הקשת שהגוף עובר כשהרדיוס מסתובב בזווית Δθ (ברדיאנים) הוא Δs = r·Δθ. נחלק ב-Δt:

מהירות זוויתית

ω = 2πT = 2π·f

v = ω·r

סימן	משמעות	יחידת מידה
ω	המהירות הזוויתית	[rad/s]
v	המהירות הקווית (המשיקית)	[m/s]
r	רדיוס המסלול	[m]

הערה: המהירות הזוויתית זהה לכל הנקודות של הגוף המסתובב (כל נקודות הגלגל משלימות סיבוב באותו זמן), אבל המהירות הקווית נמצאת ביחס ישר למרחק מן המרכז: נקודה על שפת הגלגל מהירה יותר מנקודה הקרובה לציר.

דוגמה 5.1

גלגל שרדיוסו 0.3 m מסתובב בקצב של 120 סיבובים בדקה. נחשב את התדירות שלו, את זמן המחזור, את המהירות הזוויתית ואת המהירות של נקודה על שפתו.

פתרון:

f = 12060 = 2 Hz

T = 1f = 0.5 s

ω = 2π·f = 2π · 2 = 12.57 rad/s

v = ω·r = 12.57 · 0.3 = 3.77 m/s

נבדוק: v = 2π·rT = 2π · 0.30.5 = 3.77 m/s.

f = 2 Hz , T = 0.5 s , ω = 12.57 rad/s , v = 3.77 m/s

שאלה 5.1: אורך מחוג הדקות בשעון 12 cm. חשבו את מהירותו הזוויתית ואת מהירות הקצה שלו. מהו היחס בין המהירות הזוויתית של מחוג הדקות למהירות הזוויתית של מחוג השעות?

תאוצה רדיאלית והכוח אל המרכז (Radial Acceleration and the Centripetal Force)

בין שני מקומות קרובים על המעגל משתנה כיוון המהירות ולא גודלה; וקטור השינוי Δv = v₂ − v₁ מכוון אל המרכז, וכך גם התאוצה

גודל המהירות קבוע, אבל הווקטור v משתנה כי כיוונו מסתובב. נסרטט את v₁ ואת v₂ מנקודה אחת: ההפרש Δv מכוון אל מרכז המעגל (ככל שפרק הזמן Δt קטן יותר, כיוונו קרוב יותר לכיוון הרדיוס). לתאוצה a = ΔvΔt יש אותו כיוון. את גודלה נקבל מדמיון המשולשים: משולש המהירויות (צלעותיו v, v, Δv) דומה למשולש שבמעגל (צלעותיו r, r, והמיתר ≈ v·Δt):

Δvv = v·Δtr

a = ΔvΔt = v²r

תאוצה רדיאלית: (נקראת גם תאוצה צנטריפטלית) היא תאוצת הגוף בתנועה מעגלית קצובה. היא מכוונת תמיד אל מרכז המעגל, בניצב למהירות, וגודלה a_r = v²r. מכיוון שהיא ניצבת למהירות, היא משנה רק את כיוון המהירות ולא את גודלה.

תאוצה וכוח בתנועה מעגלית קצובה

a_r = v²r = ω²·r

ΣF_r = m·v²r

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_r	התאוצה הרדיאלית, אל המרכז	[m/s²]
ΣF_r	הכוח השקול בכיוון הרדיאלי (הכוח הצנטריפטלי)	[N]
r	רדיוס המסלול	[m]

בכל נקודה של המסלול: המהירות משיקה למעגל, והתאוצה הרדיאלית ניצבת לה ומכוונת אל המרכז

שימו לב: "הכוח הצנטריפטלי" אינו כוח חדש שמוסיפים לתרשים הכוחות. זהו שם לכוח השקול בכיוון הרדיאלי, ואת תפקידו ממלא תמיד כוח מוכר: מתיחות החוט, החיכוך, הכוח הנורמלי או כוח הכובד. וגם אין "כוח צנטריפוגלי" הדוחף את הגוף החוצה: הגוף "מנסה" להמשיך בקו ישר לפי חוק ההתמדה, והכוח המכוון אל המרכז הוא שמכופף את מסלולו למעגל. אם החוט נקרע, הגוף ממשיך בקו ישר לאורך המשיק.

דוגמה 5.2

כדור שמסתו 0.4 kg קשור בחוט שאורכו 0.8 m ומסתובב על שולחן אופקי חלק במעגל, במהירות קבועה של 4 m/s. נחשב את התאוצה הרדיאלית, את המתיחות בחוט, את המהירות הזוויתית ואת זמן המחזור. ומה קורה למתיחות אם המהירות מוכפלת?

פתרון:

בכיוון האופקי פועלת על הכדור רק המתיחות, והיא שממלאת את תפקיד הכוח הצנטריפטלי:

a_r = v²r = 4²0.8 = 20 m/s²

T = m·a_r = 0.4 · 20 = 8 N

ω = vr = 40.8 = 5 rad/s

t_cycle = 2π·rv = 2π · 0.84 = 1.26 s

אם המהירות מוכפלת, המתיחות גדלה פי ארבעה (32 N), כי המהירות מופיעה בריבוע — ולכן מעל מהירות מסוימת החוט נקרע.

a_r = 20 m/s² , T = 8 N , ω = 5 rad/s

שאלה 5.2: מכונית שמסתה 1000 kg נוסעת בעיקול מעגלי שרדיוסו 50 m במהירות קבועה של 10 m/s. חשבו את התאוצה הרדיאלית שלה ואת הכוח הצנטריפטלי הדרוש. איזה כוח ממלא את התפקיד הזה?

יישומי התנועה המעגלית הקצובה (Applications of Uniform Circular Motion)

"הכוח הצנטריפטלי" אינו כוח חדש: בכל יישום ממלא את תפקידו כוח מוכר או רכיב שלו. בדוגמאות הבאות נזהה בכל מצב מי ממלא את התפקיד הזה, ונכתוב את משוואת הכוחות בכיוון הרדיאלי.

דוגמה: מטבע על דיסק מסתובב:

מטבע על דיסק מסתובב: החיכוך הסטטי המכוון אל המרכז הוא הכוח הצנטריפטלי

מטבע מונח במרחק r ממרכז דיסק אופקי המסתובב במהירות זוויתית ω. המטבע מסתובב עם הדיסק במעגל, והכוח היחיד שיכול לכופף את מסלולו אל המרכז הוא החיכוך הסטטי בינו לבין הדיסק (סטטי, כי המטבע אינו מחליק על הדיסק). בכיוון האנכי N = m·g, ובכיוון המרכז f_s = m·ω²·r. כשמהירות הסיבוב גדלה, החיכוך מגיע לערכו המרבי μ_s·m·g, והמטבע מחליק החוצה — לאורך המשיק.

m·ω²·r ≤ μ_s·m·g

ω_max = μ_s·gr

דוגמה 5.3

מטבע נמצא במרחק 20 cm ממרכז דיסק מסתובב, ומקדם החיכוך הסטטי ביניהם 0.4. נחשב את המהירות הזוויתית הגדולה ביותר שבה הדיסק יכול להסתובב לפני שהמטבע מחליק, ואת התדירות המתאימה בסיבובים לדקה. האם התוצאה משתנה למטבע כבד יותר?

פתרון:

ω_max = μ_s·gr = 0.4 · 100.2 = 20 = 4.47 rad/s

f = ω2π = 0.71 Hz

n = f · 60 = 43

המסה הצטמצמה: מטבע כבד ומטבע קל מחליקים באותה מהירות זוויתית. לעומת זאת, מטבע רחוק יותר מן המרכז מחליק ראשון, כי ω_max קטנה כש-r גדל.

ω_max = 4.47 rad/s ≈ 43 rpm

דוגמה: מכונית על פסגת גבעה:

מכונית העוברת על פסגת גבעה מעגלית: התאוצה הרדיאלית מכוונת כלפי מטה, ולכן N < m·g

מכונית עוברת על פסגת גבעה מעוגלת שרדיוסה r במהירות v. בפסגה מרכז המעגל נמצא מתחת למכונית, ולכן הכוח הצנטריפטלי הוא m·g − N (כוח הכובד פחות הכוח הנורמלי):
m·g − N = m·v²r ומכאן N = m·(g − v²r).
ככל שהמהירות גדלה הכוח הנורמלי קטן — הנוסעים חשים "קלים" — וכאשר v = g·r הוא מתאפס: המכונית מתנתקת מן הכביש וממשיכה כגוף נזרק. בתחתית שקע מעגלי קורה ההפך: N = m·(g + v²r), גדול מן המשקל.

דוגמה 5.4

מכונית שמסתה 1000 kg עוברת על פסגת גבעה שרדיוסה 50 m במהירות של 10 m/s. נחשב את הכוח הנורמלי שהכביש מפעיל על המכונית, ואת המהירות שבה המכונית מתנתקת מן הכביש.

פתרון:

m·g − N = m·v²r

N = m·(g − v²r) = 1000 · (10 − 10²50) = 8000 N

הכוח הנורמלי קטן מן המשקל (10000 N). ההתנתקות מתרחשת כאשר N = 0:

v = g·r = 10 · 50 = 22.4 m/s

כלומר כ-80 km/h — ולכן מגבילים את המהירות בכבישים גליים.

N = 8000 N , v = 22.4 m/s

דוגמה: מטוטלת חרוטית:

מטוטלת חרוטית: היא גוף התלוי בחוט שאורכו ℓ ומסתובב במעגל אופקי במהירות קבועה, כך שהחוט יוצר זווית קבועה θ עם האנך ומשרטט מעטפת של חרוט.

מטוטלת חרוטית: הגוף מסתובב במעגל אופקי שרדיוסו r = ℓ·sin θ; הרכיב האנכי של המתיחות מאזן את המשקל, והרכיב האופקי הוא הכוח הצנטריפטלי

על הגוף פועלים שני כוחות בלבד: המתיחות T לאורך החוט וכוח הכובד m·g. מרכז המעגל נמצא בגובה הגוף, במישור האופקי שלו (ולא בנקודת התלייה!), ולכן נפרק את המתיחות לרכיב אנכי T·cos θ ולרכיב אופקי T·sin θ המכוון אל המרכז:

y: T·cos θ = m·g

r: T·sin θ = m·v²r

r = ℓ·sin θ

נחלק את המשוואה השנייה בראשונה:

מטוטלת חרוטית

tan θ = v²r·g

T = m·gcos θ

t_cycle = 2π·ℓ·cos θg

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית החוט מן האנך	[°]
r	רדיוס המעגל האופקי, r = ℓ·sin θ	[m]
t_cycle	זמן המחזור	[s]

דוגמה 5.5

מטוטלת חרוטית: גוף שמסתו 0.2 kg תלוי בחוט שאורכו 1 m ומסתובב במעגל אופקי, והחוט יוצר זווית 37° עם האנך. נחשב את רדיוס המעגל, את המתיחות, את מהירות הגוף ואת זמן המחזור.

פתרון:

r = ℓ·sin θ = 1 · 0.6 = 0.6 m

מן המשוואה האנכית:

T = m·gcos θ = 0.2 · 100.8 = 2.5 N

מן המשוואה הרדיאלית:

T·sin θ = m·v²r

v² = T·sin θ·rm = 2.5 · 0.6 · 0.60.2 = 4.5

v = 2.12 m/s

t_cycle = 2π·rv = 2π · 0.62.12 = 1.78 s

נבדוק בנוסחה: t_cycle = 2π·ℓ·cos θg = 2π·0.810 = 1.78 s — מתאים. זמן המחזור אינו תלוי במסה.

r = 0.6 m , T = 2.5 N , v = 2.12 m/s , t = 1.78 s

שאלה 5.3: אורך החוט של מטוטלת חרוטית 0.5 m ומסת הגוף 0.1 kg; היא מסתובבת כשהחוט יוצר זווית 53° עם האנך. חשבו את רדיוס המעגל, את המתיחות ואת מהירות הגוף. מה קורה לזווית אם מהירות הסיבוב גדלה?

דוגמה: תנועה על כביש מעגלי אופקי:

מכונית בעיקול אופקי: מלמעלה רואים את המהירות המשיקית ואת החיכוך המכוון אל המרכז; ומאחור רואים את שלושת הכוחות: N, m·g, f

על כביש אופקי אין כוח המכוון אל המרכז מלבד החיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש (סטטי, כי הצמיגים אינם מחליקים הצידה). בכיוון האנכי: N = m·g. ובכיוון המרכז: f_s = m·v²r. ככל שהמהירות גדלה המכונית זקוקה לחיכוך גדול יותר, והחיכוך הסטטי מוגבל ל-μ_s·N:

m·v²r ≤ μ_s·m·g

v_max = μ_s·g·r

הערה: המהירות המרבית בעיקול אינה תלויה במסת המכונית, אלא ברדיוס העיקול ובמצב הכביש: על כביש רטוב (μ_s קטן) המהירות הבטוחה קטנה. מי שעובר אותה "מחליק" החוצה — לא מפני שכוח כלשהו דוחף אותו, אלא מפני שהחיכוך כבר אינו מספיק כדי לכופף את מסלולו למעגל.

דוגמה 5.6

עיקול אופקי שרדיוסו 50 m, ומקדם החיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש 0.5. נחשב את המהירות המרבית שבה מכונית עוברת את העיקול בבטחה, במטרים לשנייה ובקילומטרים לשעה.

פתרון:

v_max = μ_s·g·r = 0.5 · 10 · 50 = 250 = 15.8 m/s

v_max = 15.8 · 3.6 = 57 km/h

למכונית שמסתה טון ולמשאית שמסתה עשרה טונות יש אותה מהירות מרבית.

v_max = 15.8 m/s ≈ 57 km/h

דוגמה: כביש נטוי:

כביש נטוי: הוא כביש בעיקול שנבנה בנטייה לעבר פנים העיקול בזווית θ, כך שהכוח הנורמלי עוזר לכופף את מסלול המכונית למעגל, והמכונית אינה נשענת על החיכוך בלבד.

חתך בכביש נטוי: הכוח הנורמלי N ניצב לפני הכביש; הרכיב האופקי שלו N·sin θ מכוון אל מרכז העיקול, והרכיב האנכי שלו מאזן את המשקל

נזניח את החיכוך. על המכונית פועלים שני כוחות: m·g ו-N. שימו לב: כאן איננו מטים את הצירים יחד עם המשטח כמו במישור משופע, כי התאוצה אופקית (אל מרכז העיקול); נפרק את N לרכיב אנכי ולרכיב אופקי:

y: N·cos θ = m·g

r: N·sin θ = m·v²r

כביש נטוי ללא חיכוך

tan θ = v²r·g

v = r·g·tan θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית הנטייה של הכביש	[°]
v	המהירות שבה המכונית עוברת את העיקול ללא חיכוך	[m/s]

הקשר זהה לזה שמצאנו במטוטלת החרוטית — והסיבה היא ששני המצבים זהים מבחינת הכוחות: כוח הנוטה בזווית θ מן האנך (N כאן, T שם) וכוח הכובד. במהירות הזאת בדיוק המכונית אינה זקוקה לשום חיכוך. במהירות גדולה יותר נדרש חיכוך כלפי פנים (במורד הנטייה), ובמהירות קטנה יותר — חיכוך כלפי חוץ.

דוגמה 5.7

עיקול שרדיוסו 100 m מתוכנן למהירות של 20 m/s (72 km/h). נחשב את זווית הנטייה של הכביש שמאפשרת למכונית לעבור את העיקול במהירות זו ללא חיכוך.

פתרון:

tan θ = v²r·g = 20²100 · 10 = 0.4

θ = 21.8°

הזווית אינה תלויה במסת המכונית. במסלולי מרוצים זווית הנטייה מגיעה ליותר מ-30°, כי המהירויות גדולות מאוד.

θ = 21.8°

שאלה 5.4: כביש נטוי בזווית 37° בעיקול שרדיוסו 80 m. באיזו מהירות מכונית עוברת את העיקול ללא חיכוך? ומהו אז הכוח הנורמלי על מכונית שמסתה 1200 kg?

▶ניסוי חי — תנועה מעגלית קצובהנשנה את הרדיוס ואת המהירות ונקרא את התאוצה הרדיאלית, את המתיחות ואת זמן המחזור; אחר כך נחתוך את החוט ונראה את הגוף ממשיך בקו ישר לאורך המשיק.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#circular

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#circular

תנועה מעגלית שאינה קצובה (Non-Uniform Circular Motion)

אם גם גודל המהירות משתנה (מכונית המאיצה בעיקול, מטוטלת מתנדנדת), התאוצה אינה מכוונת בדיוק אל המרכז. נפרק אותה לשני רכיבים:

התאוצה בתנועה מעגלית שאינה קצובה: רכיב משיקי משנה את גודל המהירות, ורכיב רדיאלי משנה את כיוונה

הרכיב הרדיאלי a_r = v²r — אל המרכז, משנה את כיוון המהירות; כאן v היא המהירות הרגעית.
הרכיב המשיקי a_t — לאורך המשיק, משנה את גודל המהירות: a_t = ΔvΔt, בכיוון התנועה אם הגוף מאיץ ונגדו אם הוא מאט.
גודל התאוצה הכוללת: a = a_r² + a_t².
המהירות הזוויתית הרגעית: ω = vr — משתנה עם הזמן.

תנועה מעגלית שאינה קצובה

a_r = v²r

a_t = ΔvΔt

a = a_r² + a_t²

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_r	הרכיב הרדיאלי	[m/s²]
a_t	הרכיב המשיקי	[m/s²]

דוגמה 5.8

מכונית נוסעת בעיקול מעגלי שרדיוסו 100 m. ברגע מסוים מהירותה 10 m/s, והיא מגבירה את מהירותה בקצב של 2 m/s בכל שנייה. נחשב את שני רכיבי התאוצה שלה, את גודל התאוצה הכוללת ואת המהירות הזוויתית שלה ברגע זה.

פתרון:

a_r = v²r = 10²100 = 1 m/s²

a_t = 2 m/s²

a = 1² + 2² = 2.24 m/s²

ω = vr = 10100 = 0.1 rad/s

כעבור שניות אחדות המהירות גדלה, ולכן גדלים הרכיב הרדיאלי והמהירות הזוויתית, ואילו הרכיב המשיקי נשאר 2 m/s².

a_r = 1 m/s² , a_t = 2 m/s² , a = 2.24 m/s²

דוגמה: הכוחות על מטוטלת פשוטה בנקודה כלשהי:

גוף המטוטלת בזווית θ ובמהירות v: המתיחות לאורך החוט אל נקודת התלייה, וכוח הכובד מתפרק לרכיב לאורך החוט ולרכיב משיקי

המטוטלת מתנדנדת על קשת של מעגל שרדיוסו ℓ ומרכזו בנקודת התלייה, ומהירותה משתנה: לכן תנועתה מעגלית שאינה קצובה. בנקודה כלשהי החוט יוצר זווית θ עם האנך ומהירות הגוף v. נפרק את הכוחות לכיוון הרדיאלי (לאורך החוט, אל נקודת התלייה) ולכיוון המשיקי:

r: T − m·g·cos θ = m·v²ℓ

t: m·g·sin θ = m·a_t

המתיחות גדולה מ-m·g·cos θ כל עוד הגוף בתנועה, כי היא צריכה לספק את התאוצה הרדיאלית נוסף על איזון רכיב כוח הכובד.
בנקודה הנמוכה ביותר (θ = 0): T = m·g + m·v²ℓ — המתיחות מרבית, והתאוצה רדיאלית בלבד.
בנקודת הקצה (v = 0): T = m·g·cos θ — המתיחות הקטנה ביותר, והתאוצה משיקית בלבד, a_t = g·sin θ.

דוגמה 5.9

מטוטלת פשוטה שאורך החוט שלה 2 m ומסת הגוף שלה 0.5 kg. ברגע מסוים החוט יוצר זווית 37° עם האנך, ומהירות הגוף 2 m/s. נחשב את המתיחות בחוט, את שני רכיבי התאוצה ואת גודלה ברגע זה. אחר כך נחשב את המתיחות כשהגוף עובר בנקודה הנמוכה ביותר במהירות של 4 m/s.

פתרון:

בכיוון הרדיאלי (אל נקודת התלייה):

T − m·g·cos θ = m·v²ℓ

T = 0.5 · 10 · 0.8 + 0.5 · 2²2 = 4 + 1 = 5 N

שני הרכיבים:

a_r = v²ℓ = 2²2 = 2 m/s²

a_t = g·sin θ = 10 · 0.6 = 6 m/s²

a = 2² + 6² = 6.32 m/s²

בנקודה הנמוכה ביותר θ = 0 ו-v = 4 m/s:

T = m·g + m·v²ℓ = 5 + 0.5 · 162 = 9 N

המתיחות בנקודה הנמוכה ביותר (9 N) גדולה ממשקל הגוף (5 N): מי שחושב שהחוט נושא רק את המשקל טועה.

T = 5 N , a = 6.32 m/s² ; T = 9 N

שאלה 5.5: אותה מטוטלת (ℓ = 2 m, m = 0.5 kg) מגיעה לסטייה המרבית שלה בזווית 53°. חשבו את המתיחות ואת שני רכיבי התאוצה ברגע זה.

עיקרי הדברים:

בתנועה מעגלית קצובה גודל המהירות קבוע אבל כיוונה משתנה ללא הרף — ולכן יש תאוצה: התאוצה הרדיאלית a_r = v²r, המכוונת תמיד אל מרכז המעגל.
השקול בתנועה מעגלית קצובה מכוון אל המרכז, ו"הכוח הצנטריפטלי" אינו אלא שם לשקול הזה, שאת תפקידו ממלא כוח מוכר: מתיחות החוט, החיכוך, הכוח הנורמלי או הכובד.
אין "כוח צנטריפוגלי": הגוף "מנסה" להמשיך בקו ישר מכוח התמדתו, ואם הכוח אל המרכז נעלם — הוא ממשיך בתנועתו בקו ישר לאורך המשיק.
המהירות הזוויתית אחת היא לכל נקודות הגוף המסתובב, והמהירות הקווית עומדת ביחס ישר למרחק מן המרכז: v = ω·r.
בתנועה מעגלית שאינה קצובה מפרקים את התאוצה לרכיב רדיאלי המשנה את כיוון המהירות ולרכיב משיקי המשנה את גודלה.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
זמן מחזור, תדירות ומהירות זוויתית	T = 2π·rv , f = 1T , ω = 2πT , v = ω·r
תאוצה רדיאלית וכוח צנטריפטלי	a_r = v²r = ω²·r , ΣF_r = m·v²r
מטוטלת חרוטית וכביש נטוי	tan θ = v²r·g
תנועה מעגלית שאינה קצובה	a_t = ΔvΔt , a = a_r² + a_t²

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
תנועה מעגלית קצובה	Uniform circular motion	الحركة الدائرية المنتظمة
תאוצה רדיאלית	Centripetal (radial) acceleration	التسارع الراديالي (المركزي)
כוח צנטריפטלי (רדיאלי)	Centripetal force	القوّة المركزية
זמן מחזור	Period	زمن الدورة
תדירות	Frequency	التردّد
מהירות זוויתית	Angular velocity	السرعة الزاوية
רדיאן	Radian	الراديان
מטוטלת חרוטית	Conical pendulum	البندول المخروطي
כביש נטוי	Banked road	طريق مائل (منحدر)
רכיב משיקי	Tangential component	المركّبة المماسّية
רכיב רדיאלי	Radial component	المركّبة الراديالية

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 5.2) כדור שמסתו 0.3 kg קשור בחוט שאורכו 0.5 m ומסתובב במעגל אופקי על שולחן חלק בתדירות של 2 Hz. חשבו את המהירות הזוויתית, את המהירות הקווית, את התאוצה הרדיאלית ואת המתיחות בחוט. אם החוט נקרע במתיחות של 100 N, מהי התדירות הגדולה ביותר האפשרית?

תשובות: ω = 12.57 rad/s, v = 6.28 m/s, a_r = 79 m/s², T = 23.7 N; f_max = 4.11 Hz

תרגילי סיכום:

כביש נטוי בזווית 37° בעיקול שרדיוסו 60 m.
א. באיזו מהירות מכונית עוברת את העיקול ללא חיכוך?
ב. מהו אז הכוח הנורמלי על מכונית שמסתה 1000 kg?
ג. אילו הכביש היה אופקי, עם מקדם חיכוך סטטי 0.5, מהי המהירות המרבית באותו עיקול?

תשובות: v = 21.2 m/s, N = 12500 N, v_max = 17.3 m/s

תרגילי העמקה:

(*) מטוטלת חרוטית: כדור שמסתו 2 kg תלוי על חוט שאורכו 2 m, הנוטה בזווית קבועה 37° מן האנך ומסרטט מעגל אופקי.
א. מהו רדיוס המעגל?
ב. מהי מהירות הכדור?
ג. מהו זמן המחזור?
ד. מהי המתיחות בחוט?

תשובות: א. r = 1.2 m ; ב. v = 3 m/s ; ג. T = 2.51 s ; ד. T_חוט = 25 N

(*) מכונית שמסתה 800 kg עוברת במהירות קבועה של 15 m/s מעל פסגת גבעה שרדיוס העקמומיות שלה 40 m, ואחר כך בתחתית עמק באותו רדיוס.
א. מהו הכוח הנורמלי על הפסגה?
ב. ומהו בתחתית העמק? השוו בין התוצאות ונמקו.
ג. באיזו מהירות מרבית אפשר לעבור מעל הפסגה בלי שהמכונית "תעוף" מן הכביש?

תשובות: א. N = 3500 N ; ב. N = 12500 N — בתחתית השקול כלפי מעלה, ולכן הנורמלי גדול מן המשקל ; ג. v_max = 20 m/s (כאשר N = 0)

תשובות סופיות לשאלות הפרק

5.1 ω = 1.75·10⁻³ rad/s, v = 0.209 mm/s; היחס 12

5.2 a_r = 2 m/s², F = 2000 N; החיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש

5.3 r = 0.4 m, T = 1.67 N, v = 2.31 m/s; הזווית גדלה (מתקרבת ל-90° ואינה מגיעה אליה)

5.4 v = 24.5 m/s, N = m·gcos θ = 15000 N

5.5 T = m·g·cos θ = 3 N, a_r = 0, a_t = g·sin θ = 8 m/s²

שאלות בגרות לפרק 5

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2025 שאלה 3 — כדור על שני חוטים סביב מוט מסתובב — תנועה מעגלית במישור אופקי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים הכוחות	שלושה כוחות בלבד · mg = 2 N כלפי מטה · T_A לאורך החוט A אל ראש המוט · T_B = 3 N אופקי אל המוט
ב	חישוב כוח המתיחות T_A	T_A = 2.5 N
ג	חישוב תדירות הסיבוב f	ω = 10 rad/s , f = 1.59 Hz , T = 0.63 s
ד	האם T_A מבצעת עבודה לאורך רבע מעגל	לא · העבודה של T_A שווה לאפס , W = 0
ה	שינוי התדירות כדי שהמתיחות בחוט B תתאפס	יש להקטין את התדירות · f′ = 0.92 Hz במקום 1.59 Hz
ו	האם גודל T_A משתנה לאחר הגדלת התדירות	לא · גודל T_A אינו משתנה ונשאר 2.5 N , ואילו T_B גדל

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 3 — גוף על חוט בקצה מוט אופקי מסתובב — מטוטלת חרוטית סביב ציר אנכי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	בחירת תרשים הכוחות	התרשים המתאים הוא תרשים 2 · שני כוחות בלבד · T·cos α = m·g = 20 N
ב	כוח המתיחות בזמן הסיבוב	T = 23.1 N · הערך המדויק 23.094 N
ג	המתיחות כאשר המתקן אינו מסתובב	כוח המתיחות במנוחה קטן יותר · T₀ = m·g = 20 N מול T = 23.09 N
ד	חישוב תדירות הסיבוב f	ω = 1.284 rad/s , f = 0.204 Hz , זמן מחזור 4.89 s
ה	תדירות הסיבוב המרבית לפני קריעת החוט	f_max = 0.362 Hz · α_max = 63.61° · r_max = 3.896 m · זמן מחזור מזערי 2.76 s

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 (נבצרים) שאלה 3 — מטוטלת חרוטית על ציר של מנוע — פיתוח הקשר בין קוסינוס זווית הנטייה להופכי ריבוע התדירות, חילוץ אורך החוט מן השיפוע וקביעת התדירות המזערית

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים הכוחות והביטוי לקוסינוס הזווית	על הכדור פועלים שני כוחות בלבד — m·g כלפי מטה ו T לאורך החוט · אנכית T·cos α = m·g · אופקית T·sin α = m·(2π·f)²·L·sin α · ומכאן cos α = g מחולק ב 4π²·L , כפול 1 מחולק ב f² — ישר דרך הראשית ששיפועו g מחולק ב 4π²·L
ב	השלמת הטבלה ושרטוט הגרף	1 מחולק ב f² = 4.94 , 4.00 , 2.78 , 2.04 , 1.00 שניות בריבוע · cos α = 0.848 , 0.707 , 0.454 , 0.342 , 0.174 · הגרף יוצא ישר העובר דרך הראשית
ג	חישוב אורך החוט מן השיפוע	השיפוע 0.169 s⁻² , ומכאן L = 1.4988 m , כלומר L ≈ 1.5 m
ד	התדירות המזערית לתנועה מעגלית	f מזערי ≈ 0.411 Hz , כלומר כ 0.41 Hz · תנועה מעגלית מתקיימת בכל תדירות הגדולה מן הערך הזה

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.