מבנה המעגל: בצד שמאל הנגד העליון והתחתון מחוברים בטור זה לזה דרך הקצה השמאלי, וצירופם מקביל לנגד האנכי האמצעי. בצד ימין שני הנגדים האנכיים מקבילים זה לזה. המקור מחובר בטור בין שתי הקבוצות, ולכן הזרם הכללי עובר דרך שתיהן.
סעיף א — מתח המקור E
תחילה מחברים בטור את שני הנגדים בצד שמאל, מקבילים את הצירוף לנגד האמצעי, ומקבילים את שני הנגדים בצד ימין:
R₄₅ = R₄ + R₅ = 2.5 + 3.5 = 6 Ω
RL = R₄₅ · R₃R₄₅ + R₃ = 6 × 46 + 4 = 2.4 Ω
RR = R₁ · R₂R₁ + R₂ = 9 × 69 + 6 = 3.6 Ω
ההתנגדות השקולה היא סכום שתי הקבוצות, ומתח המקור מתקבל מחוק אוהם:
RT = RL + RR = 2.4 + 3.6 = 6 Ω
E = I · RT = 2 × 6
E = 12 V
סעיף ב — הזרם דרך הנגד של 9 אום
המתח על הקבוצה הימנית שווה למכפלת הזרם הכללי בהתנגדותה השקולה, ומתח זה נופל על כל אחד משני הנגדים המקבילים:
UR = I · RR = 2 × 3.6 = 7.2 V
I₁ = URR₁ = 7.29
I₁ = 0.8 A
סעיף ג — ההספק על הנגד של 6 אום
תחילה מחשבים את הזרם דרך הנגד, ואז את ההספק כמכפלת המתח בזרם:
I₂ = URR₂ = 7.26 = 1.2 A
P₂ = UR · I₂ = 7.2 × 1.2
סכום הזרמים בשני הענפים המקבילים הוא 0.8 + 1.2 = 2 A, בדיוק הזרם הכללי — הפתרון עקבי.
מבנה המעגל: המקור השמאלי בטור עם R₁, המקור הימני בטור עם R₂, ובענף האמצעי הנגד R₃ המחובר בין הצומת העליונה לצומת התחתונה.
סעיף א — הזרמים בשני הענפים
נפתור בשיטת מתחי הצמתים ונסמן את מתח הצומת העליונה U_A ביחס לצומת התחתונה. לפי חוק הזרמים של קירכהוף, סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לזרם היוצא דרך הנגד האמצעי:
E₁ - UAR₁ + E₂ - UAR₂ = UAR₃
3 - UA3 + 16 - UA5 = UA6
נכפול את שני האגפים ב-30:
10(3 - UA) + 6(16 - UA) = 5 UA
30 - 10 UA + 96 - 6 UA = 5 UA → 126 = 21 UA → UA = 6 V
כעת מחשבים את שני הזרמים לפי הכיוונים המסומנים באיור:
I₁ = E₁ - UAR₁ = 3 - 63 = -1 A
I₂ = E₂ - UAR₂ = 16 - 65 = +2 A
הסימן השלילי מלמד שהזרם בענף השמאלי זורם בפועל בכיוון הפוך לחץ המסומן, כלומר בגודל של אמפר אחד אל תוך המקור השמאלי, והמקור השמאלי נטען.
I₁ = -1 A ; I₂ = 2 A
סעיף ב — הזרם דרך הנגד האמצעי וכיוונו
לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת העליונה:
I₃ = I₁ + I₂ = (-1) + 2
מתח הצומת העליונה גבוה ממתח הצומת התחתונה (6 וולט מול אפס), ולכן הזרם דרך הנגד האמצעי זורם מהנקודה העליונה אל התחתונה, כלומר מ-A ל-B. גם התוצאה החיובית מאשרת זאת.
I₃ = 1 A (מ-A ל-B)
סעיף ג — ההספק על הנגד האמצעי
P₃ = I₃2 · R₃ = 12 × 6
בדיקה דרך המתח: ריבוע המתח על הנגד חלקי ההתנגדות נותן 36 חלקי 6, כלומר אותם 6 W.
מבנה המעגל: שני קבלים מחוברים בטור בענף העליון, ומד-המתח מחובר על הקבל השני שבהם. קבל נוסף מחובר במקביל לענף הטורי הזה, וכל הצירוף מחובר בטור עם הקבל הרביעי אל מקור המתח.
סעיף א — המתח והמטען על הקבל השני ועל הקבל הרביעי
מד-המתח מודד את המתח על הקבל השלישי, ומכאן המטען עליו. בחיבור טורי המטען זהה בשני הקבלים, ולכן נחשב את המתח על הקבל השני:
Q₃ = C₃ · U₃ = 6 × 2 = 12 µC
Q₂ = Q₃ = 12 µC
U₂ = Q₂C₂ = 124 = 3 V
המתח הכולל על הענף הטורי העליון הוא סכום שני המתחים, וזהו גם המתח על הקבל המקביל. הקבל הרביעי בטור לכל הקבוצה, ולכן המטען עליו שווה לסכום המטענים של שני הענפים המקבילים:
U₂₃ = U₂ + U₃ = 3 + 2 = 5 V → U₁ = 5 V
Q₁ = C₁ · U₁ = 2 × 5 = 10 µC
Q₄ = Q₁ + Q₂ = 10 + 12 = 22 µC
U₄ = Q₄C₄ = 228
U₂ = 3V ; Q₂ = 12 µC ; U₄ = 2.75 V ; Q₄ = 22 µC
סעיף ב — גודל מקור המתח E
מתח המקור שווה לסכום המתח על הקבוצה המקבילה והמתח על הקבל הרביעי:
E = U₂₃ + U₄ = 5 + 2.75
E = 7.75 V
סעיף ג — הקיבול השקול של המעגל
C₂₃ = C₂ · C₃C₂ + C₃ = 4 × 64 + 6 = 2.4 µF
CP = C₂₃ + C₁ = 2.4 + 2 = 4.4 µF
CT = CP · C₄CP + C₄ = 4.4 × 84.4 + 8 = 35.212.4
בדיקה: המטען הכולל חלקי מתח המקור נותן 22 חלקי 7.75, כלומר כ-2.84 µF — זהה לתוצאה.
CT ≈ 2.84 µF
🧪סימולציה בתוך הדף— קריאת מד-המתח קובעת את כל המטענים
מטען אחד בענף הטורי, סכום שני מטענים בקבל הרביעי — וכך מתקבל מתח המקור.▶ פתח את מעבדת הקבלים
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — קריאת מד-המתח קובעת את כל המטענים.
שאלה 4 — מעגל ביתי עם שלושה צרכנים
נתונים: E = 250V · P₁ = 1.5kW · P₂ = 1.2kW · P₃ = 1.8kW · חיבור מקבילי
סעיף א — שלושת הזרמים
בחיבור מקבילי כל צרכן מקבל את מלוא מתח המקור, ולכן זרם כל צרכן שווה להספקו חלקי המתח:
I₁ = P₁E = 1500250 = 6 A
I₂ = P₂E = 1200250 = 4.8 A
I₃ = P₃E = 1800250 = 7.2 A
I₁ = 6 A ; I₂ = 4.8 A ; I₃ = 7.2 A
סעיף ב — התנגדות כל צרכן
לפי חוק אוהם, התנגדות כל צרכן היא המתח חלקי הזרם דרכו:
R₁ = EI₁ = 2506 ≈ 41.67 Ω
R₂ = EI₂ = 2504.8 ≈ 52.08 Ω
R₃ = EI₃ = 2507.2 ≈ 34.72 Ω
ככל שההספק גדול יותר ההתנגדות קטנה יותר, ולכן לתנור האפייה ההתנגדות הקטנה ביותר.
R₁ ≈ 41.67 Ω ; R₂ ≈ 52.08 Ω ; R₃ ≈ 34.72 Ω
סעיף ג — הספק המקור
הספק המקור שווה לסכום הספקי כל הצרכנים:
PT = P₁ + P₂ + P₃ = 1.5 + 1.2 + 1.8
בדיקה: הזרם הכללי הוא 6 + 4.8 + 7.2 = 18 A, ומכפלתו במתח נותנת 250 × 18 = 4500 W — זהה.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שלוש מדידות מתח בונות את המעגל.
שאלה 6 — מעגל מקבילי בזרם חילופין
נתונים: U = 50∠0° V · ω = 600 rad/s · C = 400µF · L = 13.3mH
⚠️
נתון חסר בשאלון: באיור לא מודפס ערך מספרי לנגד. לצורך פתרון מלא הונח R = 12.5 Ω — הנחה המביאה לתוצאות עגולות ואופייניות לשאלוני הבגרות. דרך הפתרון זהה לכל ערך אחר של הנגד.
סעיף א — היגב המשרן והיגב הקבל
XL = ω L = 600 × 0.0133 = 7.98 ≈ 8 Ω
XC = 1ω C = 1600 × 400 × 10-6 = 10.24 ≈ 4.17 Ω
XL ≈ 8 Ω ; XC ≈ 4.17 Ω
סעיף ב — עכבת המעגל ואופיו
במעגל מקבילי נוח לחשב תחילה את ההולכה הכוללת — ההולכה הממשית של הנגד וההפרש בין הולכות הקבל והמשרן:
G = 1R = 112.5 = 0.08 S
BC = 1XC = 0.24 S ; BL = 1XL = 0.125 S
Y = √G2 + (BC - BL)2 = √0.082 + 0.1152 ≈ 0.14 S
Z = 1Y = 10.14 ≈ 7.14 Ω
הולכת הקבל גדולה מהולכת המשרן, ולכן הזרם הכולל מקדים את המתח — אופי המעגל קיבולי. זווית הפאזה:
φ = arctan(BC - BLG) = arctan(0.1150.08) ≈ 55.2°
Z ≈ 7.14 Ω ∠ 55.2° ; אופי קיבולי
סעיף ג — הזרמים במעגל
המתח המשותף נופל על כל ענף, ולכן זרם כל ענף שווה למתח חלקי העכבה שלו. זרם המשרן מפגר ב-90° וזרם הקבל מקדים ב-90°:
IR = UR = 5012.5 = 4 A
I₁ = UXL = 508 = 6.25 A
I₂ = UXC = 504.17 = 12 A
הזרם הכולל מתקבל מחיבור וקטורי — הרכיב הממשי הוא זרם הנגד, והרכיב ההיגבי הוא הפרש זרמי הקבל והמשרן:
IT = √IR2 + (I₂ - I₁)2 = √42 + (12 - 6.25)2 = √49.06 ≈ 7 A
בדיקה: מכפלת המתח בהולכה הכוללת נותנת 50 × 0.14 ≈ 7 A — זהה.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — עומס מרוכב בחיבור משולש.
שאלה 8 — מעגל טורי ותהודה
נתונים: R = 4 Ω · L = 6.37mH · C = 159µF · U = 120V · f = 200Hz
סעיף א1 — חישוב הזרם
תחילה מחשבים את ההיגבים בתדר הנתון, ואז את העכבה הכוללת של המעגל הטורי:
XL = 2π f L = 2π × 200 × 0.00637 ≈ 8 Ω
XC = 12π f C = 12π × 200 × 159 × 10-6 ≈ 5 Ω
Z = √R2 + (XL - XC)2 = √42 + (8 - 5)2 = √25 = 5 Ω
I = UZ = 1205
I = 24 A
סעיף א2 — המתחים על שלושת הרכיבים
UR = I · R = 24 × 4 = 96 V
UL = I · XL = 24 × 8 = 192 V
UC = I · XC = 24 × 5 = 120 V
💡
שימו לב: מתח המשרן גדול ממתח המקור — תופעה אפשרית במעגל טורי סמוך לתהודה, כי המתחים ההיגביים מנוגדים בפאזה ומבטלים זה את זה חלקית. בדיקה וקטורית: שורש של 96 בריבוע ועוד 72 בריבוע נותן בדיוק 120 V.
UR = 96 V ; UL = 192 V ; UC = 120 V
סעיף ב — תדר התהודה
בתהודה היגב המשרן שווה להיגב הקבל, והתדר מתקבל מנוסחת תומסון:
f₀ = 12π √L C = 12π √0.00637 × 159 × 10-6
L C ≈ 1.0128 × 10-6 → √L C ≈ 1.0064 × 10-3
f₀ ≈ 158 Hz
כדי להביא את המעגל לתהודה יש להנמיך את תדר המקור מ-200 Hz לכ-158 Hz. בתדר זה העכבה מזערית ושווה להתנגדות בלבד, והזרם מרבי.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — עובדים ליד תדר התהודה.
📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות
שאלה 9 — פישוט פונקציה בינארית ומימושה
נתונים: F(A,B,C) = A + A · C · B + B · C + B
סעיף א — פישוט וביטוי במינימום משתנים
נפשט תחילה את הביטוי הפנימי שבתוך השלילה, צעד אחר צעד. לפי כלל הבליעה האיבר השלישי נבלע ברביעי, ולפי הכלל שבו איבר ועוד שלילתו כפול ביטוי שווים לאיבר ועוד הביטוי:
B · C + B = B
A + A · (C · B) = A + C · B
B + B · C = B + C
ולכן הביטוי הפנימי כולו מצטמצם לסכום שלושת המשתנים, ומפעילים עליו את השלילה החיצונית לפי דה-מורגן:
A + A · C · B + B · C + B = A + B + C
F = A + B + C = A · B · C
הפונקציה שווה אחת רק כאשר שלושת המשתנים שווים אפס — שלושה ליטרלים בלבד, וזהו המינימום.
F = A · B · C = A + B + C
סעיף ב — מימוש בשערים לוגיים
המימוש הפשוט ביותר הוא שער או-לא (NOR) בעל שלוש כניסות, שאליו מחוברים שלושת המשתנים ישירות. מימוש חלופי שקול: שלושה שערי לא (NOT), אחד לכל משתנה, ולאחריהם שער וגם (AND) בעל שלוש כניסות המקבל את שלוש היציאות ההפוכות.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — ביטוי ארוך שמתגלה כשער NOR.
שאלה 10 — פונקציה בוליאנית מטבלת אמת
נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים A, B, C נתונה בטבלת אמת — שווה אחת בשלוש שורות בלבד
סעיף א — כתיבת ביטוי מתוך הטבלה
הפונקציה שווה אחת בשלוש שורות: כאשר שלושת המשתנים אפס, כאשר רק B שווה אחת, וכאשר רק A שווה אחת. טבלת האמת:
A
B
C
F
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
כותבים סכום של מכפלות (מינטרמים) עבור השורות שבהן הפונקציה שווה אחת:
F = A · B · C + A · B · C + A · B · C
סעיף ב — פישוט באלגברה בוליאנית
מקבצים את שני האיברים הראשונים ומוציאים גורם משותף, ואז מוציאים גורם משותף מהביטוי שנותר ומפשטים לפי הכלל שבו איבר ועוד שלילתו כפול ביטוי שווים לאיבר ועוד הביטוי:
A · B · C + A · B · C = A · C (B + B) = A · C
F = A · C + A · B · C = C (A + A · B) = C (A + B)
אפשר לרשום את התוצאה גם בצורה נוחה למימוש, לפי דה-מורגן:
F = A · C + B · C = C · A · B = A · B + C
F = A · C + B · C = A · B + C
סעיף ג — מימוש בשערים לוגיים
המימוש החסכוני ביותר משתמש בשני שערים בלבד: שער וגם (AND) בעל שתי כניסות המקבל את A ו-B, ולאחריו שער או-לא (NOR) בעל שתי כניסות המקבל את יציאת שער הוגם ואת המשתנה C:
F = A · B + C
מימוש חלופי לפי הצורה המפושטת: שער לא-וגם (NAND) ל-A ו-B, שער לא (NOT) ל-C, ושער וגם (AND) המכפיל את שתי היציאות. אימות: הפונקציה שווה אחת רק כאשר C אפס וגם לא מתקיים ש-A ו-B שווים אחת בו-זמנית — בדיוק שלוש השורות שבטבלת האמת.