הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל
בגרות · קיץ נבצרים תשפ״א 2021 · שאלון 845381 · שאלות 1–10
✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦
💡על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, מועד נבצרים קיץ תשפ״א 2021. השאלון בנוי משלושה פרקים ובהם עשר שאלות: פרק ראשון — זרם ישר (שאלות 1–4), פרק שני — זרם חילופין (שאלות 5–8), ופרק שלישי — מערכות ספרתיות (שאלות 9–10).
שאלה 1 — מעגל משולב בזרם ישר
נתונים: R₁ = 9 Ω · R₂ = 6 Ω · R₃ = 4 Ω · R₄ = 2.5 Ω · R₅ = 3.5 Ω · I = 2A
💡מבנה המעגל: בצד ימין של המקור מחוברים R₁ ו-R₂ במקביל. בצד שמאל מחובר R₃ במקביל לצירוף הטורי של R₄ ו-R₅. שני הצירופים השקולים מחוברים זה לזה בטור דרך המקור.
סעיף א — מתח המקור E
תחילה מפשטים את המעגל. בצד שמאל הנגדים R₄ ו-R₅ מחוברים בטור זה לזה, והצירוף שלהם מקביל לנגד R₃:
בצד ימין הנגדים R₁ ו-R₂ מחוברים במקביל:
שתי ההתנגדויות השקולות מחוברות בטור, ולכן ההתנגדות הכוללת היא סכומן, ומתח המקור מתקבל מחוק אוהם:
E = 12 V
סעיף ב — הזרם דרך הנגד R₁
הזרם הכולל זורם דרך הצירוף המקבילי הימני, ולכן המתח על שני הנגדים R₁ ו-R₂ הוא:
I₁ = 0.8 A
סעיף ג — ההספק על הנגד R₂
המתח על R₂ הוא אותו מתח מקבילי. תחילה מחשבים את הזרם דרך R₂ ואחר כך את ההספק:
בדיקה: סכום זרמי שני הענפים הוא 0.8 + 1.2 = 2 A, בהתאמה מלאה לזרם המקור.
P₂ = 8.64 W
🧪סימולציה בתוך הדף— שני צירופים מקבילים בטור
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שני צירופים מקבילים בטור.
שאלה 2 — מעגל עם שני מקורות (שיטת החוגים)
נתונים: E₁ = 3V · R₁ = 3 Ω · E₂ = 16V · R₂ = 5 Ω · R₃ = 6 Ω
💡מבנה המעגל: המקור E₁ בטור עם R₁ בענף השמאלי, המקור E₂ בטור עם R₂ בענף הימני, והנגד R₃ בענף האמצעי בין הצמתים A ל-B. הזרמים I₁ ו-I₂ מסומנים באיור כנכנסים אל הצומת A.
סעיף א — הזרמים I₁ ו-I₂
לפי חוק הזרמים של קירכהוף, הזרם דרך R₃ (מ-A אל B) הוא סכום שני הזרמים הנכנסים:
נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף עבור החוג השמאלי ועבור החוג הימני:
מסדרים את שתי המשוואות ופותרים את המערכת:
הסימן השלילי של I₁ מלמד שכיוון הזרם בפועל הפוך לחץ שסומן באיור: זרם בגודל 1 אמפר זורם בענף השמאלי מן הצומת A אל המקור E₁, שכן המקור החזק E₂ דוחף זרם דרך E₁.
I₁ = -1 A ; I₂ = 2 A
סעיף ב(1) — הזרם דרך הנגד R₃
I₃ = 1 A
סעיף ב(2) — כיוון הזרם בנגד R₃
הזרם I₃ יצא חיובי לפי הכיוון שהונח, מ-A אל B. אל הצומת A נכנסים בפועל 2 אמפר מן הענף הימני, ומן הצומת יוצא 1 אמפר אל הענף השמאלי. לפי חוק הזרמים של קירכהוף, יתרת הזרם, 1 אמפר, זורמת מן הצומת A דרך R₃ אל הצומת B.
I₃ = 1 A (A → B)
סעיף ג — ההספק הנצרך על הנגד R₃
P₃ = 6 W
🧪סימולציה בתוך הדף— שיטת החוגים — ומה אומר סימן שלילי
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שיטת החוגים — ומה אומר סימן שלילי.
שאלה 3 — מעגל קבלים
נתונים: C₁ = 2 µF · C₂ = 4 µF · C₃ = 6 µF · C₄ = 8 µF · U(מדוד על C₃) = 2V
💡מבנה המעגל: הקבלים C₂ ו-C₃ מחוברים בטור זה לזה, והצירוף הטורי שלהם מקביל לקבל C₁. הצירוף המקבילי כולו מחובר בטור לקבל C₄ ולמקור E. מד-מתח אידיאלי מודד את המתח על C₃.
סעיף א — המתח והמטען על הקבלים C₂ ו-C₄
המטען על C₃ מחושב ישירות מהמתח המדוד עליו. בחיבור טורי המטען זהה על שני הקבלים, ולכן המטען על C₂ שווה למטען על C₃:
המתח על הצירוף המקבילי (וגם על C₁) הוא סכום המתחים בענף הטורי, וממנו מחשבים את מטען C₁:
הקבל C₄ מחובר בטור אל הצירוף המקבילי כולו, ולכן המטען עליו שווה לסכום מטעני שני הענפים המקביליים:
U₂ = 3 V ; Q₂ = 12 µC ; U₄ = 2.75 V ; Q₄ = 22 µC
סעיף ב — מתח המקור E
לפי חוק המתחים של קירכהוף, מתח המקור שווה לסכום המתח על הצירוף המקבילי והמתח על C₄:
E = 7.75 V
סעיף ג — הקיבול השקול של המעגל
בדיקה: מכפלת הקיבול השקול במתח המקור נותנת מטען כולל של כ-22 µC, בהתאמה למטען שחושב על C₄.
Ceq ≈ 2.84 µF
🧪סימולציה בתוך הדף— מד-המתח קובע את כל המטענים
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מד-המתח קובע את כל המטענים.
שאלה 4 — צרכנים ביתיים במקביל
נתונים: E = 250V · P₁ = 1.5 kW · P₂ = 1.2 kW · P₃ = 1.8 kW · חיבור מקבילי
סעיף א — הזרמים I₁, I₂ ו-I₃
בחיבור מקבילי כל צרכן מקבל את מלוא מתח המקור, ולכן הזרם דרך כל צרכן מתקבל מנוסחת ההספק:
I₁ = 6 A ; I₂ = 4.8 A ; I₃ = 7.2 A
סעיף ב — התנגדות כל אחד מהצרכנים
R₁ ≈ 41.67 Ω ; R₂ ≈ 52.08 Ω ; R₃ ≈ 34.72 Ω
סעיף ג — הספק המקור
בחיבור מקבילי הספק המקור שווה לסכום הספקי הצרכנים:
בדיקה: הזרם הכולל הוא 18 אמפר, ומכפלתו במתח המקור נותנת 250 × 18 = 4500 W.
PT = 4500 W = 4.5 kW
🧪סימולציה בתוך הדף— שלושה צרכנים ביתיים
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שלושה צרכנים ביתיים.
🔌 פרק שני — זרם חילופין
שאלה 5 — מעגל RLC טורי לפי מדידות מתח
נתונים: f = 50Hz · I = 2A · UR = 3V · UL = 12V · UC = 8V · חיבור טורי
סעיף א — מתח המקור U (הערך היעיל)
במעגל טורי המתח על הנגד במופע עם הזרם, המתח על המשרן מקדים את הזרם ב-90°, והמתח על הקבל מפגר אחריו ב-90°. לכן מחברים את המתחים חיבור וקטורי:
U = 5 V
סעיף ב — התנגדות הנגד, השראות המשרן וקיבול הקבל
בכל רכיב הזרם הוא 2 אמפר, ולכן מחלקים את המתח על כל רכיב בזרם:
R = 1.5 Ω ; L ≈ 19.1 mH ; C ≈ 796 µF
סעיף ג — ההספק בכל אחד ממרכיבי המעגל
הנגד צורך הספק ממשי, ואילו המשרן והקבל צורכים הספק היגבי בלבד:
בדיקה: ההספק המדומה של המקור מתקבל בשתי דרכים ומתלכד:
PR = 6 W ; QL = 24 var ; QC = 16 var
🧪סימולציה בתוך הדף— שלוש מדידות בונות את המעגל
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שלוש מדידות בונות את המעגל.
שאלה 6 — מעגל RLC מקבילי
נתונים: U = 50 ∠ 0° V · ω = 600 rad/s · C = 400 µF · L = 13.3 mH · חיבור מקבילי
⚠️נתון חסר: בשאלון המודפס לא מופיע ערך הנגד R (ככל הנראה פגם בהדפסה). הפתרון נכתב תחת ההנחה R = 10 \,\Omega, וכל שלבי החישוב מנוסחים כך שאפשר להציב כל ערך אחר של R באותה דרך.
סעיף א — היגב המשרן והיגב הקבל
XL ≈ 7.98 Ω ; XC ≈ 4.17 Ω
סעיף ב — עכבת המעגל ואופיו
במעגל מקבילי נוח לעבוד עם מוליכויות. המוליכות הכוללת היא סכום מוליכויות הענפים — ענף הקבל תורם מוליכות היגבית חיובית וענף המשרן שלילית:
זרם הקבל גדול מזרם המשרן, ולכן הרכיב ההיגבי הקיבולי גובר, הזרם הכולל מקדים את המתח, ואופי המעגל קיבולי.
Z ≈ 6.57 Ω ; אופי המעגל — קיבולי
סעיף ג — הזרמים I₁, I₂ וזרם המקור הכולל
המתח המשותף על כל הענפים הוא 50 וולט, ולכן:
זרם המקור הוא הסכום הווקטורי של זרמי הענפים:
I₁ ≈ 6.27 A ; I₂ = 12 A ; IT ≈ 7.61 ∠ 48.9° A
🧪סימולציה בתוך הדף— מעגל מקבילי קיבולי
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מעגל מקבילי קיבולי.
שאלה 7 — עומס תלת-מופעי בחיבור משולש
נתונים: חיבור משולש · U(קווי) = 400V · f = 50Hz · Z = 16 + j12 Ω לכל מופע
סעיף א — הזרם המופעי והזרם בקווי ההזנה
בחיבור משולש המתח על כל מופע שווה למתח הקווי. תחילה מחשבים את גודל העכבה:
בחיבור משולש הזרם הקווי גדול מן הזרם המופעי פי שורש שלוש:
I(מופעי) = 20 A ; I(קווי) ≈ 34.64 A
סעיף ב — מקדם ההספק
מקדם ההספק הוא היחס בין ההתנגדות הממשית לגודל העכבה:
cos φ = 0.8 (מפגר, השראתי)
סעיף ג — ההספק הממשי, ההיגבי והמדומה
בדיקה לפי משולש ההספקים:
P = 19.2 kW ; Q = 14.4 kvar ; S = 24 kVA
🧪סימולציה בתוך הדף— עומס מרוכב בחיבור משולש
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — עומס מרוכב בחיבור משולש.
שאלה 8 — מעגל RLC טורי ותהודה
נתונים: R = 4 Ω · L = 6.37 mH · C = 159 µF · U = 120V · f = 200Hz · חיבור טורי
סעיף א(1) — חישוב הזרם I
מחשבים תחילה את ההיגבים בתדר הנתון, ומהם את העכבה השקולה:
I = 24 A
סעיף א(2) — המתחים על הנגד, על המשרן ועל הקבל
בדיקה: החיבור הווקטורי של המתחים מחזיר את מתח המקור:
UR = 96 V ; UL = 192 V ; UC = 120 V
סעיף ב — תדר התהודה
בתדר הנתון היגב המשרן גדול מהיגב הקבל, ולכן המעגל השראתי. במצב תהודה נדרש שוויון בין שני ההיגבים, ולכן יש להנמיך את תדר המקור. תדר התהודה מתקבל מנוסחת תומסון:
f₀ ≈ 158 Hz
🧪סימולציה בתוך הדף— מעגל טורי ליד תדר התהודה
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מעגל טורי ליד תדר התהודה.
📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות
שאלה 9 — פישוט פונקציה בינארית
נתונים: F(A,B,C) = A + A · C · B + B · C + B
סעיף א — פישוט הפונקציה למינימום משתנים
מפשטים תחילה את הביטוי שבתוך הסוגריים, מתחת לקו השלילה. לפי כלל הבליעה המשתנה B בולע את המכפלה שהוא מופיע בה:
לפי הכלל X + X · Y = X + Y, המשתנה A בולע את המשלים שלו שבמכפלה:
מפעילים את אותו כלל פעם נוספת על המשתנה B והמשלים שלו:
כעת מפעילים את השלילה החיצונית לפי משפט דה-מורגן:
בדיקה: הפונקציה שווה 1 רק כאשר שלושת המשתנים שווים 0, בהתאמה מלאה בכל שמונה שורות טבלת האמת.
F = A · B · C
סעיף ב — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים
הפונקציה המפושטת שקולה לפי משפט דה-מורגן לשלילה של סכום שלושת המשתנים:
המימוש הפשוט ביותר הוא שער NOR יחיד בעל שלוש כניסות — הכניסות A, B, C והיציאה F. לחלופין אפשר לממש בשערים בסיסיים: שלושה מהפכים היוצרים את שלושת המשלימים, ושער AND בעל שלוש כניסות שמכפיל אותם ומוציא את F.
F = A + B + C = A · B · C
🧪סימולציה בתוך הדף— ביטוי ארוך שמתגלה כשער NOR
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — ביטוי ארוך שמתגלה כשער NOR.
שאלה 10 — פונקציה בוליאנית מטבלת אמת
נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים A, B, C נתונה בטבלת אמת
סעיף א — כתיבת ביטוי לפונקציה F לפי טבלת האמת
טבלת האמת של הפונקציה, שבה F שווה 1 בשלוש שורות בלבד:
| A | B | C | F |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
כותבים את הפונקציה כסכום של מכפלות (מינטרמים) עבור השורות שבהן F = 1:
F = A · B · C + A · B · C + A · B · C
סעיף ב — פישוט הפונקציה בכללי האלגברה הבוליאנית
מאחדים את שני האיברים הראשונים באמצעות הוצאת גורם משותף:
מוציאים גורם משותף נוסף ומשתמשים בכלל X + X · Y = X + Y:
בדיקה: הביטוי המפושט הושווה מול כל שמונה שורות טבלת האמת ונמצאה התאמה מלאה.
F = C(A + B) = A · C + B · C
סעיף ג — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים
מימוש הצורה המפושטת דורש שני מהפכים היוצרים את המשלימים של A ו-B, שער OR המחבר אותם, מהפך על C, ושער AND המכפיל את מוצא שער ה-OR במשלים של C. דרך חסכונית בשלושה שערים בלבד מתקבלת לפי משפט דה-מורגן:
לפי צורה זו מספיק שער AND על הכניסות A ו-B, שער OR המחבר את המכפלה עם C, ושער NOT ביציאה.
F = C(A + B) = A · B + C
🧪סימולציה בתוך הדף— מטבלת האמת אל שני שערים
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מטבלת האמת אל שני שערים.