פרק 1

שיטות ספירה

כיתה י׳ · 4 שעות לימוד

אנחנו סופרים בעשר ספרות כי יש לנו עשר אצבעות. למעגל האלקטרוני יש רק "שתי אצבעות": מתח נמוך ומתח גבוה, ולכן הוא סופר בשתי ספרות: 0 ו-1. בפרק זה נלמד איך כותבים כל מספר בשתי הספרות האלה, איך עוברים בין השיטה העשרונית, הבינארית וההקסדצימלית, איך כותבים מספר שלילי בלי סימן מינוס, ואיך מחברים ומחסרים כפי שהמחשב עושה.

בסוף הפרק הזה נדע:

נפרק מספר עשרוני לסכום של חזקות הבסיס 10, ונדע מהו המשקל של כל ספרה.
נמיר מספר מן השיטה הבינארית או ההקסדצימלית לשיטה העשרונית, ולהפך.
נמיר ישירות בין השיטה הבינארית לשיטה ההקסדצימלית בעזרת קבוצות של ארבע סיביות.
נכתוב מספר שלילי בשיטת המשלים ל-1 ובשיטת המשלים ל-2.
נחבר ונחסר מספרים בינאריים, ונחסר באמצעות חיבור המשלים ל-2.
נכתוב מספר עשרוני בקוד BCD, ונבחין בינו לבין המספר הבינארי.

הצגת מספר עשרוני (Decimal Number)

שיטת ספירה: היא דרך לכתוב מספרים בעזרת מספר קבוע של סמלים. מספר הסמלים השונים בשיטה נקרא בסיס.

השיטה שבה אנחנו משתמשים כל יום היא השיטה העשרונית: הבסיס שלה 10 ויש בה עשרה סמלים, מ-0 עד 9. ערך הספרה אינו תלוי רק בספרה עצמה, אלא גם במקומה במספר. במספר 3575 הספרה 5 מופיעה פעמיים: פעם ערכה 500 ופעם ערכה 5.

ספרה ומשקל (מקום): כל מקום במספר נקרא ספרה. לכל ספרה יש משקל שהוא חזקה של הבסיס: לספרה הימנית משקל 10⁰ = 1, לזו שמשמאלה משקל 10¹ = 10, אחריה 10² = 100 וכן הלאה. הסמל הכתוב במקום נקרא מקדם.

המספר 3575: מעל כל ספרה המשקל שלה, ומתחתיה ערך המשקל

פירוק מספר לסכום של חזקות הבסיס

N = a_n·rⁿ + ... + a₂·r² + a₁·r¹ + a₀·r⁰

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	ערך המספר	—
r	הבסיס: 10 בשיטה העשרונית, 2 בבינארית, 16 בהקסדצימלית	—
a₀ ... a_n	המקדמים (ספרות המספר), מן הספרה הימנית a₀ עד השמאלית a_n	—
r⁰ ... rⁿ	משקלי הספרות	—

דוגמה 1.1

נפרק את המספר העשרוני 3575 לסכום של חזקות הבסיס 10.

פתרון:

נכתוב כל ספרה כשהיא מוכפלת במשקל המקום שלה. הספרה הימנית היא ספרה מספר 0.

3575 = 3·10³ + 5·10² + 7·10¹ + 5·10⁰

3575 = 3000 + 500 + 70 + 5

3575 = 3·10³ + 5·10² + 7·10¹ + 5·10⁰

הערה: הפירוק הוא תיאור מקוצר של המספר: במקום לומר "שלושת אלפים חמש מאות שבעים וחמש" כותבים ארבעה מקדמים בלבד, והמקום מלמד אותנו מהו המשקל. אותו רעיון פועל בכל בסיס אחר — מחליפים את 10 בבסיס החדש.

שאלה 1.1: נפרק את המספר 4082 לסכום של חזקות הבסיס 10. מהו המשקל של הספרה 8?

מספרים בבסיס בינארי (2) ובבסיס הקסדצימלי (16) (Binary & Hexadecimal)

הבסיס הבינארי:

השיטה הבינארית: היא שיטת ספירה שהבסיס שלה 2 ויש בה שני סמלים בלבד: 0 ו-1. משקלי הספרות הם חזקות של 2: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 ...

סיבית (bit): היא ספרה אחת במספר הבינארי. הסיבית הימנית נקראת הסיבית הפחות משמעותית (LSB) והסיבית השמאלית נקראת הסיבית המשמעותית ביותר (MSB). קבוצה של 8 סיביות נקראת בית.

כדי לא להתבלבל בין השיטות כותבים את הבסיס בקטן מתחת למספר: 1011₂ הוא מספר בינארי, ו-1011₁₀ הוא המספר העשרוני "אלף ואחד עשר".

משקלי הספרות במספר הבינארי 101101₂

המרה מבינארי לעשרוני:

נכתוב מתחת לכל סיבית את המשקל שלה, ואז נחבר רק את המשקלים שמעליהם הסיבית 1. הסיבית 0 אינה מוסיפה דבר.

דוגמה 1.2

נמיר את המספר הבינארי 101101₂ לשיטה העשרונית.

פתרון:

נפרק את המספר לסכום של חזקות הבסיס 2:

101101₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰

101101₂ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1

101101₂ = 45₁₀

נזכור: ב-n סיביות אפשר לכתוב 2ⁿ מספרים שונים, מ-0 עד 2ⁿ − 1. למשל ב-4 סיביות: 16 מספרים, מ-0 עד 15; ב-8 סיביות: 256 מספרים, מ-0 עד 255.

תרגול מהיר — נמיר מבינארי לעשרוני

1101₂

21001₂

31100₂

410011₂

510110₂

611011₂

7100110₂

8101101₂

9110011₂

10111100₂

111100100₂

1211111111₂

תשובות: 1 5 2 9 3 12 4 19 5 22 6 27 7 38 8 45 9 51 10 60 11 100 12 255

המרה מעשרוני לבינארי:

נחלק את המספר ב-2 שוב ושוב, ובכל פעם נרשום את השארית. נעצור כשהמנה תהיה 0. השארית הראשונה היא הסיבית הפחות משמעותית, והשארית האחרונה היא הסיבית המשמעותית ביותר, ולכן קוראים את השאריות מלמטה למעלה.

דוגמה 1.3

נמיר את המספר העשרוני 45₁₀ לשיטה הבינארית.

פתרון:

החילוק	המנה	השארית	קוראים מלמטה למעלה
45 : 2	22	1	הסיבית הפחות משמעותית (LSB) ↓
22 : 2	11	0
11 : 2	5	1
5 : 2	2	1
2 : 2	1	0
1 : 2	0	1	הסיבית המשמעותית ביותר (MSB) ↑

נקרא את השאריות מלמטה למעלה:

45₁₀ = 101101₂

בדיקה: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45.

45₁₀ = 101101₂

דוגמה 1.4

נמיר את המספר 100₁₀ לשיטה הבינארית בשיטת המשקלים, בלי חילוק.

פתרון:

נכתוב את משקלי הספרות: 128 , 64 , 32 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1. נחפש את המשקל הגדול ביותר שאינו עולה על המספר, נחסר אותו, ונמשיך עם השארית.

100 − 64 = 36

36 − 32 = 4

4 − 4 = 0

השתמשנו במשקלים 64 , 32 ו-4: נכתוב 1 במקומות שלהם ו-0 בשאר המקומות.

100₁₀ = 1100100₂

תרגול מהיר — נמיר מעשרוני לבינארי

16₁₀

211₁₀

314₁₀

421₁₀

529₁₀

633₁₀

747₁₀

858₁₀

964₁₀

1077₁₀

11129₁₀

12200₁₀

תשובות: 1 110₂ 2 1011₂ 3 1110₂ 4 10101₂ 5 11101₂ 6 100001₂ 7 101111₂ 8 111010₂ 9 1000000₂ 10 1001101₂ 11 10000001₂ 12 11001000₂

הבסיס ההקסדצימלי:

השיטה ההקסדצימלית (בסיס 16): היא שיטת ספירה שהבסיס שלה 16 ויש בה שישה עשר סמלים: הספרות 0 עד 9, ואחריהן האותיות A , B , C , D , E , F לערכים מ-10 עד 15. משקלי הספרות הם חזקות של 16: 1 , 16 , 256 , 4096 ...

המספר הבינארי ארוך וקשה לקריאה. השיטה ההקסדצימלית היא דרך מקוצרת לכתוב אותו: כל ספרה הקסדצימלית מתאימה בדיוק לארבע סיביות, כי 16 = 2⁴. לכן פוגשים אותה בכתובות זיכרון, בצבעי המסך ובשפות תכנות (שם כותבים 0x2F).

Dec	Bin	Hex
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7

טבלת היסוד: עשרוני — בינארי — הקסדצימלי. כדאי לזכור אותה בעל-פה
Dec	Bin	Hex
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

דוגמה 1.5

נמיר את המספר ההקסדצימלי 2F₁₆ לשיטה העשרונית.

פתרון:

נחליף כל אות בערכה (F = 15) ונפרק לסכום של חזקות הבסיס 16:

2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰

2F₁₆ = 32 + 15

2F₁₆ = 47₁₀

דוגמה 1.6

נמיר את המספר העשרוני 427₁₀ לשיטה ההקסדצימלית.

פתרון:

נחלק ב-16 שוב ושוב ונרשום את השאריות. שארית גדולה מ-9 נכתוב כאות.

החילוק	המנה	השארית	קוראים מלמטה למעלה
427 : 16	26	11 = B	הספרה הפחות משמעותית ↓
26 : 16	1	10 = A
1 : 16	0	1	הספרה המשמעותית ביותר ↑

427₁₀ = 1AB₁₆

בדיקה: 256 + 160 + 11 = 427.

427₁₀ = 1AB₁₆

המרה בין בינארי להקסדצימלי:

מבינארי להקסדצימלי: נחלק את המספר לקבוצות של ארבע סיביות, החל מימין; אם בקבוצה השמאלית חסרות סיביות, נשלים אותה באפסים. נחליף כל קבוצה בספרה ההקסדצימלית שמתאימה לה בטבלה. מהקסדצימלי לבינארי: נחליף כל ספרה בארבע סיביות.

דוגמה 1.7

נמיר את המספר הבינארי 1011010111₂ לשיטה ההקסדצימלית.

פתרון:

נחלק לקבוצות של ארבע סיביות מימין, ונוסיף שני אפסים משמאל כדי להשלים את הקבוצה האחרונה:

0010 1101 0111

נחליף כל קבוצה: 0010 = 2 , 1101 = D , 0111 = 7.

1011010111₂ = 2D7₁₆

דוגמה 1.8

נמיר את המספר ההקסדצימלי C5A₁₆ לשיטה הבינארית.

פתרון:

נחליף כל ספרה בארבע סיביות: C = 1100 , 5 = 0101 , A = 1010.

C5A₁₆ = 1100 0101 1010₂

תרגול מהיר — נמיר מהקסדצימלי לבינארי ולעשרוני

11A₁₆

23C₁₆

37F₁₆

4A5₁₆

5B2₁₆

6E9₁₆

710F₁₆

82B4₁₆

9FFF₁₆

תשובות: 1 0001 1010₂ = 26₁₀ 2 0011 1100₂ = 60₁₀ 3 0111 1111₂ = 127₁₀ 4 1010 0101₂ = 165₁₀ 5 1011 0010₂ = 178₁₀ 6 1110 1001₂ = 233₁₀ 7 0001 0000 1111₂ = 271₁₀ 8 0010 1011 0100₂ = 692₁₀ 9 1111 1111 1111₂ = 4095₁₀

תרגול מהיר — נמיר מבינארי להקסדצימלי

11001 1100₂

20101 1010₂

31111 0001₂

40010 1111₂

51100 1000₂

61010 0101₂

תשובות: 1 9C₁₆ 2 5A₁₆ 3 F1₁₆ 4 2F₁₆ 5 C8₁₆ 6 A5₁₆

▶ניסוי חי — ממיר שיטות הספירהכותבים מספר באחת השיטות ורואים מיד את ערכו בשיטות האחרות, עם משקלי הספרות צעד אחר צעד.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=num

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=num

הצגת מספרים שליליים (Negative Numbers)

על הנייר כותבים סימן מינוס לפני המספר. במעגל הספרתי יש רק 0 ו-1, ולכן מסכימים על שיטה שבה אחת הסיביות מלמדת על הסימן. בכל השיטות עובדים במספר קבוע של סיביות (למשל 4 או 8), והסיבית השמאלית היא סיבית הסימן: 0 למספר חיובי ו-1 למספר שלילי.

שיטת המשלים ל-1:

המשלים ל-1: מקבלים אותו כאשר הופכים כל סיבית במספר: כל 0 נעשה 1 וכל 1 נעשה 0. בשיטת המשלים ל-1 המספר השלילי −N הוא המשלים ל-1 של המספר החיובי +N.

המשלים ל-1

C₁(N) = (2ⁿ − 1) − N

סימן	משמעות	יחידת מידה
C₁(N)	המשלים ל-1 של המספר N	—
n	מספר הסיביות	—
2ⁿ − 1	המספר שכל הסיביות שלו 1	—

דוגמה 1.9

נכתוב את המספר −13 בשיטת המשלים ל-1, ב-8 סיביות.

פתרון:

נכתוב תחילה את המספר החיובי +13 ב-8 סיביות:

+13 = 0000 1101

נהפוך כל סיבית:

−13 = 1111 0010

הסיבית השמאלית היא 1, וזה מלמד שהמספר שלילי.

−13 = 1111 0010

שימו לב: בשיטת המשלים ל-1 יש לאפס שתי צורות: 0000 0000 (אפס חיובי) ו-1111 1111 (אפס שלילי). הדבר מבלבל את המעגלים החשבוניים, ולכן המחשבים משתמשים בשיטת המשלים ל-2.

שיטת המשלים ל-2:

המשלים ל-2: מקבלים אותו כאשר מחשבים את המשלים ל-1 ואז מוסיפים 1. בשיטת המשלים ל-2 המספר השלילי −N הוא המשלים ל-2 של המספר החיובי +N.

המשלים ל-2

C₂(N) = C₁(N) + 1

C₂(N) = 2ⁿ − N

סימן	משמעות	יחידת מידה
C₂(N)	המשלים ל-2 של המספר N	—
C₁(N)	המשלים ל-1 של המספר N	—
n	מספר הסיביות	—

דוגמה 1.10

נכתוב את המספר −13 בשיטת המשלים ל-2, ב-8 סיביות.

פתרון:

המספר החיובי: +13 = 0000 1101. נהפוך כל סיבית כדי לקבל את המשלים ל-1, ואז נוסיף 1:

	1	1	1	1	0	0	1	0	המשלים ל-1
+								1
=	1	1	1	1	0	0	1	1	המשלים ל-2

בדיקה לפי הנוסחה השנייה: 2⁸ − 13 = 243 , וזהו 11110011₂.

−13 = 1111 0011

הערה: דרך קצרה: עוברים על המספר החיובי מימין לשמאל. מעתיקים את הסיביות כמות שהן עד ה-1 הראשון (וגם אותו מעתיקים), ואז הופכים את כל הסיביות שמשמאלו. למשל 0000 1100 ← 1111 0100.

איך קוראים מספר שכתוב במשלים ל-2? אם הסיבית השמאלית היא 0 המספר חיובי וממירים אותו כרגיל. אם היא 1 המספר שלילי: מחשבים את המשלים ל-2 שלו כדי לקבל את גודלו, ושמים לפניו סימן מינוס.

דוגמה 1.11

המספר 1110 1010 כתוב בשיטת המשלים ל-2 ב-8 סיביות. מהו ערכו העשרוני?

פתרון:

הסיבית השמאלית 1 ← המספר שלילי. נחשב את המשלים ל-2 שלו:

C₁ = 0001 0101

C₂ = 0001 0101 + 1 = 0001 0110

גודל המספר: 00010110₂ = 22₁₀ , ולכן:

1110 1010 = −22

כל המספרים שאפשר לכתוב ב-4 סיביות בשיטת המשלים ל-2: מן −8 עד +7

תחום המספרים בשיטת המשלים ל-2

−2ⁿ⁻¹ ≤ N ≤ 2ⁿ⁻¹ − 1

סימן	משמעות	יחידת מידה
n	מספר הסיביות	—
N	המספר המסומן (עם סימן)	—

הערה: ב-8 סיביות: מן −128 עד +127. לאפס יש צורה אחת בלבד, וזה היתרון של המשלים ל-2.

המספר	סימן וגודל	המשלים ל-1	המשלים ל-2
+5	0101	0101	0101
+3	0011	0011	0011
+1	0001	0001	0001
−1	1001	1110	1111
−3	1011	1100	1101
−5	1101	1010	1011
−7	1111	1000	1001

תרגול מהיר — נכתוב בשיטת המשלים ל-2, ב-8 סיביות

1−1

2−2

3−5

4−9

5−16

6−20

7−37

8−64

9−100

תשובות: 1 1111 1111 2 1111 1110 3 1111 1011 4 1111 0111 5 1111 0000 6 1110 1100 7 1101 1011 8 1100 0000 9 1001 1100

תרגול מהיר — המספרים כתובים במשלים ל-2 ב-8 סיביות. מהו ערכם העשרוני?

11111 1100

21111 0001

31000 0000

40111 1111

51100 1110

61011 0100

תשובות: 1 −4 2 −15 3 −128 4 127 5 −50 6 −76

חיבור וחיסור בבסיס בינארי (Binary Addition & Subtraction)

חיבור בינארי:

מחברים עמודה אחר עמודה מימין לשמאל, כמו בחיבור עשרוני. ההבדל היחיד: כשהסכום מגיע ל-2 כותבים 0 ומעבירים 1 לעמודה הבאה. הסיבית המועברת נקראת נשא (Carry).

כללי החיבור בעמודה אחת: A ו-B שתי הסיביות, C_in הנשא הנכנס, S הסכום ו-C_out הנשא היוצא
A	B	C_in	C_out	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

הערה: ארבעה כללים מספיקים: 0 + 0 = 0 ; 0 + 1 = 1 ; 1 + 1 = 10₂ (כותבים 0 ומעבירים נשא 1) ; 1 + 1 + 1 = 11₂ (כותבים 1 ומעבירים נשא 1).

דוגמה 1.12

נחבר את שני המספרים הבינאריים 1011₂ ו-0110₂ ונבדוק את התוצאה בשיטה העשרונית.

פתרון:

	1	1	1			הנשא
		1	0	1	1
+		0	1	1	0
=	1	0	0	0	1	הסכום

בדיקה: 11 + 6 = 17 , ואכן 10001₂ = 17₁₀.

1011₂ + 0110₂ = 10001₂

דוגמה 1.13

נחבר 110111₂ + 011101₂.

פתרון:

	1	1	1	1	1	1		הנשא
		1	1	0	1	1	1
+		0	1	1	1	0	1
=	1	0	1	0	1	0	0

בדיקה: 55 + 29 = 84.

110111₂ + 011101₂ = 1010100₂

תרגול מהיר — נחבר בשיטה הבינארית

1101 + 011

21100 + 0101

31111 + 0001

410110 + 01011

511011 + 10111

6101010 + 010111

תשובות: 1 1000 2 10001 3 10000 4 100001 5 110010 6 1000001

חיסור בינארי:

מחסרים עמודה אחר עמודה מימין. כשצריך לחסר 1 מ-0 לווים 1 מן העמודה שמשמאל; ערכה של האחת שלווינו הוא 2 בעמודה שלנו, ולכן 10₂ − 1 = 1. האחת שלווינו נקראת לווה (Borrow).

הערה: כללי החיסור: 0 − 0 = 0 ; 1 − 0 = 1 ; 1 − 1 = 0 ; 0 − 1 = 1 עם לווה 1 מן העמודה הבאה.

דוגמה 1.14

נחסר 1101₂ − 0110₂.

פתרון:

העמודה הימנית: 1 − 0 = 1. העמודה השנייה: 0 − 1 ← לווים מן העמודה השלישית: 10₂ − 1 = 1. העמודה השלישית: אחרי הלווה נשאר בה 0, ו-0 − 1 ← לווים מן העמודה הרביעית: 10₂ − 1 = 1. העמודה הרביעית: נשאר בה 0, ו-0 − 0 = 0.

	1	1	0	1
−	0	1	1	0
=	0	1	1	1

בדיקה: 13 − 6 = 7.

1101₂ − 0110₂ = 0111₂

חיסור באמצעות חיבור המשלים ל-2:

המחשב אינו בונה מעגל מיוחד לחיסור. במקום לחשב A − B הוא מחשב A + (−B): הוא ממיר את B למשלים ל-2 שלו ואז מחבר באותו מעגל חיבור. עובדים במספר קבוע של סיביות, ומן הנשא שיוצא מהסיבית השמאלית מתעלמים.

נכתוב את שני המספרים באותו מספר סיביות.
נחשב את המשלים ל-2 של המחסר B.
נחבר את A עם המשלים.
נתעלם מן הנשא היוצא מהסיבית השמאלית. אם סיבית הסימן בתוצאה היא 0 התוצאה חיובית; אם היא 1 התוצאה שלילית וכתובה במשלים ל-2.

דוגמה 1.15

נחשב 13 − 6 באמצעות חיבור המשלים ל-2, ב-8 סיביות.

פתרון:

A = 13 = 0000 1101 , B = 6 = 0000 0110.

המשלים ל-2 של המספר B: נהפוך את הסיביות ← 1111 1001 , ונוסיף 1 ← 1111 1010.

	1	1	1	1	1
		0	0	0	0	1	1	0	1	A
+		1	1	1	1	1	0	1	0	המשלים ל-2 של B
=	1	0	0	0	0	0	1	1	1	מן הנשא השמאלי מתעלמים

סיבית הסימן 0 ← התוצאה חיובית: 00000111₂ = 7₁₀.

13 − 6 = 0000 0111 = 7

דוגמה 1.16

נחשב 6 − 13 באמצעות חיבור המשלים ל-2, ב-8 סיביות.

פתרון:

A = 6 = 0000 0110 , B = 13 = 0000 1101.

המשלים ל-2 של המספר B: נהפוך את הסיביות ← 1111 0010 , ונוסיף 1 ← 1111 0011.

					1	1
	0	0	0	0	0	1	1	0	A
+	1	1	1	1	0	0	1	1	המשלים ל-2 של B
=	1	1	1	1	1	0	0	1	אין נשא יוצא

סיבית הסימן 1 ← התוצאה שלילית. גודלה הוא המשלים ל-2 שלה: 00000111₂ = 7₁₀.

6 − 13 = 1111 1001 = −7

שימו לב: אם חיברנו שני מספרים חיוביים והתוצאה יצאה עם סיבית סימן 1, או חיברנו שני מספרים שליליים והיא יצאה עם סיבית סימן 0, התוצאה שגויה: היא גדולה מן התחום שהסיביות מאפשרות. מצב זה נקרא גלישה (Overflow). למשל ב-8 סיביות: 100 + 50 = 150 , וזה גדול מ-+127.

תרגול מהיר — נחסר באמצעות חיבור המשלים ל-2, ב-8 סיביות. נכתוב את התוצאה הבינארית ואת ערכה

19 − 4

212 − 7

35 − 9

420 − 33

550 − 18

67 − 7

תשובות: 1 0000 0101 = 5 2 0000 0101 = 5 3 1111 1100 = −4 4 1111 0011 = −13 5 0010 0000 = 32 6 0000 0000 = 0

▶ניסוי חי — שיטות ספירה וחשבון בינאריבשיעור הראשון של פרק המערכות הספרתיות: סימולציה של המרה בין השיטות, של המשלים ל-2 ושל חיבור בינארי עמודה אחר עמודה.

⚠

https://fahed-lab.com/electronics/digital_systems

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/electronics/digital_systems

ייצוג מספרים עשרוניים בקוד BCD (Binary Coded Decimal)

קוד BCD: הוא דרך לכתוב מספר עשרוני שבה כותבים כל ספרה עשרונית בנפרד בארבע סיביות. השם הוא קיצור של Binary Coded Decimal: "עשרוני מקודד בבינארי".

בקוד BCD משתמשים רק בעשרה צירופים מתוך שישה עשר: מ-0000 (הספרה 0) עד 1001 (הספרה 9). ששת הצירופים מ-1010 עד 1111 אינם מותרים, כי אין ספרה עשרונית שמתאימה להם.

Dec	BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100

Dec	BCD
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

צירופים שאינם מותרים
Bin	BCD
1010	—
1011	—
1100	—
1101	—
1110	—
1111	—

דוגמה 1.17

נכתוב את המספר העשרוני 279 בקוד BCD, ונשווה לכתיבתו בשיטה הבינארית.

פתרון:

נחליף כל ספרה עשרונית בארבע סיביות: 2 → 0010 , 7 → 0111 , 9 → 1001.

279₁₀ = 0010 0111 1001_BCD

בשיטה הבינארית הרגילה ממירים את המספר כולו בבת אחת:

279₁₀ = 1 0001 0111₂

שתי התוצאות שונות: קוד BCD דרש 12 סיביות, והשיטה הבינארית 9 סיביות בלבד.

279₁₀ = 0010 0111 1001_BCD

דוגמה 1.18

מהו המספר העשרוני שכתוב בקוד BCD כך: 1000 0101 0011 ?

פתרון:

נקרא כל קבוצה של ארבע סיביות כספרה עשרונית אחת: 1000 → 8 , 0101 → 5 , 0011 → 3.

1000 0101 0011_BCD = 853₁₀

הערה: למה צריך BCD אם הוא דורש יותר סיביות? כי הוא נוח לתצוגה: כל ארבע סיביות עוברות ישירות לתצוגת 7 מקטעים אחת. פוגשים אותו בשעונים ספרתיים, במונים ובמחשבונים. נפגוש אותו שוב בפרק 7 ובפרק 11.

המספר 279 על שלוש תצוגות: כל תצוגה מקבלת ארבע סיביות BCD

תרגול מהיר — נכתוב בקוד BCD

225

348

490

5136

6309

7574

8860

91995

תשובות: 1 0111 2 0010 0101 3 0100 1000 4 1001 0000 5 0001 0011 0110 6 0011 0000 1001 7 0101 0111 0100 8 1000 0110 0000 9 0001 1001 1001 0101

תרגול מהיר — האם זהו קוד BCD תקין? אם כן — מהו המספר?

10101 1001

20011 1100

31001 0000 0111

41010 0001

50110 0110

60001 1111 0010

תשובות: 1 59 2 אינו תקין 3 907 4 אינו תקין 5 66 6 אינו תקין

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
פירוק מספר לסכום של חזקות הבסיס	N = a_n·rⁿ + ... + a₁·r¹ + a₀·r⁰
מספר הצירופים ב-n סיביות	2ⁿ
המספר הגדול ביותר בלי סימן ב-n סיביות	2ⁿ − 1
ספרה הקסדצימלית אחת	1 hex = 4 bits
המשלים ל-1	C₁(N) = (2ⁿ − 1) − N
המשלים ל-2	C₂(N) = C₁(N) + 1 = 2ⁿ − N
תחום המשלים ל-2 ב-n סיביות	−2ⁿ⁻¹ ≤ N ≤ 2ⁿ⁻¹ − 1
חיסור באמצעות המשלים	A − B = A + C₂(B)

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
שיטת ספירה	Number system	نظام العد
בסיס	Base / Radix	الأساس
השיטה העשרונית	Decimal	النظام العشري
השיטה הבינארית	Binary	النظام الثنائي
השיטה ההקסדצימלית	Hexadecimal	النظام السداسي عشر
ספרה	Digit	خانة
משקל (ערך המקום)	Weight	وزن الخانة
מקדם	Coefficient	المعامل
חזקה	Power	قوة
סיבית	Bit	بت
בית	Byte	بايت
הסיבית המשמעותית ביותר	MSB	البت الأعلى وزنا
הסיבית הפחות משמעותית	LSB	البت الأدنى وزنا
המרה	Conversion	تحويل
שארית	Remainder	الباقي
מספר שלילי	Negative number	عدد سالب
סיבית הסימן	Sign bit	بت الإشارة
המשלים ל-1	1's complement	المتمم إلى 1
המשלים ל-2	2's complement	المتمم إلى 2
חיבור	Addition	الجمع
חיסור	Subtraction	الطرح
נשא	Carry	الحمل
לווה	Borrow	الاستلاف
גלישה	Overflow	الفيضان
קוד BCD	Binary Coded Decimal	شيفرة BCD
תצוגת 7 מקטעים	7-segment display	شاشة العرض ذات السبع قطع

שאלות לתרגול:

רמה ראשונה — בסיסי

נפרק כל מספר לסכום של חזקות הבסיס שלו:
(א) 6209₁₀
(ב) 11010₂
(ג) 3B7₁₆.

תשובות: (א) 6·10³ + 2·10² + 0·10¹ + 9·10⁰ (ב) 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ (ג) 3·16² + 11·16¹ + 7·16⁰

נמיר לשיטה העשרונית: 1101₂ , 10110₂ , 111000₂ , 1010101₂.

תשובות: 13 , 22 , 56 , 85

נמיר לשיטה הבינארית בשיטת החילוק החוזר: 18₁₀ , 43₁₀ , 96₁₀ , 150₁₀.

תשובות: 10010₂ , 101011₂ , 1100000₂ , 10010110₂

נמיר לשיטה העשרונית: 2A₁₆ , 9D₁₆ , 1C8₁₆ , FA0₁₆.

תשובות: 42 , 157 , 456 , 4000

נמיר לשיטה ההקסדצימלית: 75₁₀ , 255₁₀ , 500₁₀ , 1000₁₀.

תשובות: 4B₁₆ , FF₁₆ , 1F4₁₆ , 3E8₁₆

נמיר לשיטה ההקסדצימלית בעזרת קבוצות של ארבע סיביות: 11100110₂ , 101111₂ , 1001001101₂.

תשובות: E6₁₆ , 2F₁₆ , 24D₁₆

נמיר לשיטה הבינארית: 4E₁₆ , B07₁₆ , FACE₁₆.

תשובות: 0100 1110₂ , 1011 0000 0111₂ , 1111 1010 1100 1110₂

כמה מספרים שונים אפשר לכתוב ב-5 סיביות? ב-10 סיביות? ומהו המספר הגדול ביותר (בלי סימן) בכל מקרה?

תשובות: 2⁵ = 32 , המספר הגדול ביותר 31 ; 2¹⁰ = 1024 , המספר הגדול ביותר 1023

נכתוב בקוד BCD: 4 , 61 , 208 , 1470.

תשובות: 0100 ; 0110 0001 ; 0010 0000 1000 ; 0001 0100 0111 0000

10.

נחבר בשיטה הבינארית ונבדוק בשיטה העשרונית: 1001 + 0011 ; 10101 + 01110 ; 111111 + 000001.

תשובות: 1100₂ = 12 ; 100011₂ = 35 ; 1000000₂ = 64

רמה שנייה — בינוני

11.

נכתוב כל מספר בשיטת המשלים ל-1 ובשיטת המשלים ל-2, ב-8 סיביות: −6 , −25 , −77.

תשובות: −6: 1111 1001 ו-1111 1010 ; −25: 1110 0110 ו-1110 0111 ; −77: 1011 0010 ו-1011 0011

12.

המספרים הבאים כתובים בשיטת המשלים ל-2 ב-8 סיביות. מהם ערכיהם העשרוניים? 1111 1011 , 1001 1100 , 0110 0100 , 1100 0000.

תשובות: −5 , −100 , 100 , −64

13.

מהו תחום המספרים שאפשר לכתוב בשיטת המשלים ל-2:
(א) ב-4 סיביות?
(ב) ב-6 סיביות?
(ג) ב-16 סיביות?

תשובות: (א) מן −8 עד +7 (ב) מן −32 עד +31 (ג) מן −32768 עד +32767

14.

נחשב באמצעות חיבור המשלים ל-2 ב-8 סיביות, ונכתוב את התוצאה הבינארית ואת ערכה העשרוני: 25 − 9 ; 9 − 25 ; 100 − 27 ; 33 − 64.

תשובות: 0001 0000 = 16 ; 1111 0000 = −16 ; 0100 1001 = 73 ; 1110 0001 = −31

15.

נחסר ישירות (עם לווה) בשיטה הבינארית: 1100 − 0101 ; 10010 − 00111 ; 110000 − 001011.

תשובות: 0111₂ = 7 ; 01011₂ = 11 ; 100101₂ = 37

16.

נכתוב את המספר 95 פעם בשיטה הבינארית ופעם בקוד BCD. כמה סיביות דרושות בכל שיטה?

תשובות: בינארי: 1011111₂ (7 סיביות) ; BCD: 1001 0101 (8 סיביות)

17.

נסדר את המספרים מן הקטן אל הגדול: 3F₁₆ , 111101₂ , 62₁₀ , 0110 0100_BCD.

תשובות: 111101₂ = 61 , 62₁₀ , 3F₁₆ = 63 , 0110 0100_BCD = 64

18.

נשלים את הטבלה: נכתוב כל מספר בשלוש השיטות.
(א) 7C₁₆
(ב) 10010011₂
(ג) 171₁₀.

תשובות: (א) 7C₁₆ = 0111 1100₂ = 124₁₀ (ב) 10010011₂ = 93₁₆ = 147₁₀ (ג) 171₁₀ = 1010 1011₂ = AB₁₆

19.

נחבר את שני המספרים 1011 0110₂ ו-0110 1101₂ . נכתוב את התוצאה בשיטה הבינארית ובשיטה ההקסדצימלית.

תשובות: 1 0010 0011₂ = 123₁₆

20.

צבע במסך המחשב נכתב כך: #FF8000 — שתי ספרות הקסדצימליות לכל אחד מן הצבעים אדום, ירוק וכחול. מהו הערך העשרוני של כל צבע?

תשובות: אדום FF₁₆ = 255 , ירוק 80₁₆ = 128 , כחול 00₁₆ = 0

רמה שלישית — אתגר

21.

נחשב ב-8 סיביות בשיטת המשלים ל-2: (−20) + (−30) . נכתוב את שני המספרים, נחבר, ונבדוק את התוצאה.

תשובות: 1110 1100 + 1110 0010 = 1100 1110 (אחרי שמתעלמים מן הנשא השמאלי) = −50

22.

נחשב ב-8 סיביות בשיטת המשלים ל-2: 90 + 60 . מה קרה? מדוע התוצאה שגויה?

תשובות: התוצאה 1001 0110 , וסיבית הסימן שלה 1 ולכן היא נקראת −106. אירעה גלישה: 150 גדול מ-+127

23.

מספר בינארי של 8 סיביות שכל הסיביות שלו 1. מהו ערכו:
(א) כמספר בלי סימן?
(ב) בשיטת המשלים ל-2?
(ג) בשיטת המשלים ל-1?

תשובות: (א) 255 (ב) −1 (ג) −0 (אפס שלילי)

24.

כמה סיביות לפחות דרושות כדי לכתוב בלי סימן:
(א) את המספר 100?
(ב) את המספר 1000?
(ג) את מספר ימי השנה 365?

תשובות: (א) 7 סיביות (2⁷ = 128) (ב) 10 סיביות (2¹⁰ = 1024) (ג) 9 סיביות (2⁹ = 512)

25.

מונה ספרתי מציג מספרים מ-0 עד 999 על שלוש תצוגות. כמה סיביות הוא צריך בקוד BCD? וכמה סיביות היו מספיקות בשיטה הבינארית הרגילה?

תשובות: BCD: 3·4 = 12 סיביות ; בינארי: 10 סיביות, כי 2¹⁰ = 1024 > 999

26.

נוכיח בדוגמה של 4 סיביות שהמשלים ל-2 של המשלים ל-2 מחזיר אותנו למספר המקורי. ניקח את המספר 0110.

תשובות: 0110 → 1010 → 0110

27.

כתובת בזיכרון המחשב היא 1F40₁₆.
(א) מהי הכתובת בשיטה העשרונית?
(ב) מהי הכתובת שבאה 16₁₀ מקומות אחריה, בשיטה ההקסדצימלית?

תשובות: (א) 8000 (ב) 1F50₁₆

28.

נכפול את המספר 1011₂ ב-2 , אחר כך ב-4 , ואחר כך ב-8. מה רואים?

תשובות: 10110₂ , 101100₂ , 1011000₂ — בכל כפל ב-2 נוסף אפס מימין (הזזה שמאלה)

תשובות סופיות לשאלות הפרק

1.1 4082 = 4·10³ + 0·10² + 8·10¹ + 2·10⁰ ; המשקל של הספרה 8 הוא 10¹ = 10

שאלות בגרות לפרק 1

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2020 שאלה 9 — בסיסי ספירה ושערים לוגיים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הצגת המספר 37 בבסיסים 2, 8, 16	(37)₁₀ = (100101)₂ = (45)₈ = (25)₁₆
סעיף ב1	כתיבת הפונקציה מן האיור	F = A · B
סעיף ב2	פישוט באמצעות האלגברה הבוליאנית	F = A + B

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2020

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.