פרק 2
מושגי יסוד בלוגיקה
המחשב אינו "מבין" דיבור, אבל הוא יודע לענות במהירות עצומה על שאלה אחת: האם זה אמת או שקר? כל החלטה שמעגל ספרתי מקבל — האם להפעיל את האזעקה, האם לפתוח את הדלת, האם להדליק את הנורה — בנויה ממשפטים קצרים שמקשרים ביניהם בשלוש מילים: "וגם", "או", "לא". בפרק זה נלמד את שפת הלוגיקה: מהו פסוק, מתי הוא אמת ומתי הוא שקר, ואיך מסדרים את כל המצבים האפשריים בטבלה אחת.
בסוף הפרק הזה נדע:
- נבחין בין משפט שהוא פסוק לבין משפט שאינו פסוק.
- נפרק פסוק מורכב לפסוקים בסיסיים ולקשרים לוגיים, ונכתוב אותו בסמלים.
- נקבע את ערך האמת של פסוק מורכב כשידועים ערכי הפסוקים הבסיסיים שבו.
- נדע כמה שורות יש בטבלת האמת של n משתנים, ונכתוב את כל הצירופים בסדר הבינארי.
- נבנה טבלת אמת לפסוק שיש בו שני משתנים או שלושה משתנים.
- נתרגם מעגל של מפסקים ונורה לפסוק לוגי ולטבלת אמת.
מושג הפסוק הבסיסי והפסוק המורכב (Simple & Compound Statements)
פסוק: הוא משפט חיווי שאפשר לקבוע לגביו: האם הוא אמת או שקר. אין אפשרות שלישית, ופסוק אינו יכול להיות אמת ושקר בו בזמן.
המשפט "המספר 7 הוא מספר אי-זוגי" הוא פסוק, והוא אמת. המשפט "בשבוע יש שמונה ימים" הוא גם פסוק, והוא שקר. לא חשוב שהפסוק יהיה אמת; חשוב שנוכל לקבוע את ערכו. שאלה, פקודה וקריאת התפעלות אינן פסוקים, כי אי אפשר לומר עליהן שהן אמת או שקר.
| המשפט | האם הוא פסוק? | הסיבה |
|---|---|---|
| המספר 12 מתחלק ב-4 | כן | אפשר לקבוע את ערכו: אמת |
| 3 + 5 = 9 | כן | אפשר לקבוע את ערכו: שקר |
| הנורה בחדר דולקת עכשיו | כן | מסתכלים על הנורה וקובעים: אמת או שקר |
| מה השעה עכשיו? | לא | שאלה |
| סגור את הדלת בבקשה! | לא | פקודה |
| כמה יפה היום הזה! | לא | קריאת התפעלות |
פסוק בסיסי: הוא פסוק שמוסר דבר אחד בלבד, ואי אפשר לפרק אותו לפסוקים קטנים יותר. כל פסוק בסיסי מסמנים באות: A , B , C ...
פסוק מורכב: הוא פסוק שבנוי מפסוק בסיסי אחד או יותר, בעזרת קשרים לוגיים: "וגם", "או", "לא".
| הקשר | בערבית | הסמל | קוראים | דוגמה |
|---|---|---|---|---|
| "וגם" | و | A·B | A וגם B | הדלת סגורה וגם המפתח במקומו |
| "או" | أو | A + B | A או B | נלחץ הלחצן הראשון או נלחץ הלחצן השני |
| "לא" | ليس | A | לא A | לא נכון שהדלת סגורה |
הערה: הקשרים "וגם" ו"או" מקשרים בין שני פסוקים. הקשר "לא" פועל על פסוק אחד והופך את משמעותו; מסמנים אותו בקו מעל האות: A. הנקודה ב-A·B והסימן + ב-A + B אינם כפל וחיבור רגילים — הם סמלים של הקשרים "וגם" ו"או". את החשבון שלהם נלמד בפרק 3.
דוגמה 2.1
נפרק את הפסוק המורכב: "המכונית נוסעת אם המנוע פועל וגם לא נכון שהבלמים לחוצים". נכתוב אותו בסמלים.
פתרון:
נחפש את הפסוקים הבסיסיים וניתן לכל אחד אות:
A : "המנוע פועל" ; B : "הבלמים לחוצים" ; F : "המכונית נוסעת".
הפסוק "לא נכון שהבלמים לחוצים" הוא B. הקשר בין A לבין B הוא "וגם", ולכן:
F = A·B
דוגמה 2.2
בבית יש פעמון. הפעמון מצלצל אם לוחצים על הלחצן שליד הדלת הקדמית או על הלחצן שליד הדלת האחורית. נכתוב את הפסוק בסמלים.
פתרון:
A : "הלחצן הקדמי לחוץ" ; B : "הלחצן האחורי לחוץ" ; F : "הפעמון מצלצל".
מספיק שאחד משני הלחצנים יהיה לחוץ, ולכן הקשר הוא "או":
F = A + B
שאלה 2.1: נפרק את הפסוק: "המזגן פועל אם החדר חם וגם החלון סגור". מהם הפסוקים הבסיסיים? נכתוב את הפסוק בסמלים.
תרגול מהיר — האם המשפט הוא פסוק? אם כן — האם הוא אמת או שקר?
1המספר 10 גדול מן המספר 3
2איפה שמת את הספר?
32·2 = 5
4בשיטה הבינארית יש שתי ספרות בלבד
5כתוב את הפתרון במחברת!
6המספר 10112 שווה ל-1110
7בית הוא 4 סיביות
8הלוואי שהחופשה תתחיל מחר!
תשובות: 1 פסוק, אמת 2 אינו פסוק 3 פסוק, שקר 4 פסוק, אמת 5 אינו פסוק 6 פסוק, אמת 7 פסוק, שקר 8 אינו פסוק
תרגול מהיר — נכתוב בסמלים. A : "הנורה דולקת" , B : "הדלת פתוחה" , C : "הלחצן לחוץ"
1הנורה דולקת וגם הדלת פתוחה
2הנורה דולקת או הלחצן לחוץ
3לא נכון שהדלת פתוחה
4הדלת פתוחה וגם לא נכון שהלחצן לחוץ
5הנורה אינה דולקת או הדלת פתוחה
6הנורה דולקת וגם הדלת פתוחה וגם הלחצן לחוץ
7הלחצן לחוץ וגם (הנורה דולקת או הדלת פתוחה)
8לא נכון ש(הנורה דולקת וגם הלחצן לחוץ)
תשובות: 1 A·B 2 A + C 3 B 4 B·C 5 A + B 6 A·B·C 7 C·(A + B) 8 A·C
מושג האמת והשקר (True & False)
ערך אמת: הוא הקביעה לגבי הפסוק: אמת או שקר. כותבים 1 במקום "אמת" ו-0 במקום "שקר".
לפסוק יש שני ערכים אפשריים בלבד — זה בדיוק מה שהמעגל הספרתי צריך, כי יש בו שני מצבים בלבד. אותו רעיון מופיע בשמות שונים:
| הערך 1 | הערך 0 | |
|---|---|---|
| הפסוק | אמת | שקר |
| המפסק החשמלי | סגור — מוליך זרם | פתוח — אינו מוליך זרם |
| הנורה | דולקת | כבויה |
| המתח במעגל הספרתי | רמה לוגית גבוהה (5 V) | רמה לוגית נמוכה (0 V) |
הערה: שני המונחים: רמה לוגית גבוהה לערך 1 ורמה לוגית נמוכה לערך 0. שימו לב למפסק: מפסק סגור פירושו שהמעגל סגור והזרם עובר, ולכן ערכו 1.
ערך האמת של פסוק מורכב:
ערך האמת של פסוק מורכב תלוי רק בערכי הפסוקים הבסיסיים שבו ובקשר שביניהם. לכל קשר יש כלל אחד:
- "וגם" — הפסוק A·B הוא אמת רק כאשר A אמת וגם B אמת. מספיק שאחד מהם יהיה שקר כדי שהפסוק כולו יהיה שקר.
- "או" — הפסוק A + B הוא אמת כאשר לפחות אחד משני הפסוקים אמת. הוא שקר רק כאשר A שקר וגם B שקר.
- "לא" — הפסוק A הוא אמת כאשר A שקר, ושקר כאשר A אמת.
מעגל חשמלי פשוט מדגים את שלושת הקשרים. בכל מעגל: מפסק סגור הוא 1, מפסק פתוח הוא 0, נורה דולקת היא F = 1.
שני מפסקים בטור: הנורה דולקת רק אם A סגור וגם B סגור ← F = A·B
שני מפסקים במקביל: הנורה דולקת אם A סגור או B סגור ← F = A + B
המפסק A פתוח ← הזרם עובר בנורה: F = 1
המפסק A סגור ← הזרם מעדיף את הדרך הקלה, והנורה כבויה: F = 0
במעגל האחרון המפסק מחובר במקביל לנורה. כשסוגרים את המפסק כל הזרם עובר דרכו ולא נשאר זרם לנורה. הנורה פועלת תמיד הפוך מן המפסק, וזהו הקשר "לא": F = A. (הנגד R מגן על הסוללה כשהמפסק סגור.)
שימו לב: בדיבור היומיומי אומרים "תה או קפה" ומתכוונים רק לאחד מהם. בלוגיקה "או" פירושו לפחות אחד: אם A אמת וגם B אמת, הפסוק A + B הוא אמת. במעגל: אם סוגרים את שני המפסקים המחוברים במקביל, הנורה דולקת.
דוגמה 2.3
נתון: A : "המספר 8 זוגי" , B : "המספר 8 גדול מ-10". מהו ערך האמת של הפסוק F = A·B ?
פתרון:
נקבע את הערך של כל פסוק בסיסי: המספר 8 זוגי ← A = 1. המספר 8 אינו גדול מ-10 ← B = 0.
נחשב תחילה את ה"לא": B = 1 , כי B = 0.
עכשיו "וגם" בין A = 1 לבין B = 1: שני הפסוקים אמת, ולכן הפסוק כולו אמת.
F = 1
דוגמה 2.4
נתון A = 0 , B = 1 , C = 1. נחשב את ערך הפסוק F = (A + B)·C.
פתרון:
נחשב תחילה את מה שבתוך הסוגריים: A + B — לפחות אחד אמת (B = 1) ← A + B = 1.
נחשב את ה"לא": C = 1 ← C = 0.
עכשיו "וגם" בין 1 לבין 0: אחד מהם שקר, ולכן הפסוק כולו שקר.
F = 0
הערה: סדר החישוב: תחילה מה שבתוך הסוגריים, אחר כך "לא", אחר כך "וגם", ולבסוף "או" — בדיוק כמו שמחשבים סוגריים, אחר כך כפל ואחר כך חיבור בחשבון הרגיל.
שאלה 2.2: נתון A = 1 , B = 1 , C = 0. מהו ערך הפסוק F = A·B + C ? ומהו הערך של G = A + C ?
תרגול מהיר — נחשב את הערך של כל פסוק כאשר A = 1 , B = 0 , C = 1
1A·B
2A + B
3A
4B
5A·C
6B + C
7A·B
8A + B
9A·B·C
10A + B + C
11A·B
12(A + B)·C
תשובות: 1 0 2 1 3 0 4 1 5 1 6 1 7 1 8 0 9 0 10 1 11 1 12 1
תרגול מהיר — נחשב את הערך של כל פסוק כאשר A = 0 , B = 1 , C = 0
1A + C
2A·B
3A·C
4A·B + C
5A + C
6B·(A + C)
7B + A·C
8B·C · B
תשובות: 1 1 2 1 3 1 4 0 5 1 6 0 7 0 8 1
טבלאות אמת (Truth Tables)
טבלת אמת: היא טבלה שמציגה את כל הצירופים האפשריים של ערכי הפסוקים הבסיסיים, ולצד כל צירוף — את ערך הפסוק המורכב. הפסוקים הבסיסיים הם המבואות, והפסוק המורכב הוא המוצא.
טבלת האמת עונה בבת אחת על כל השאלות מן הסוג "מה קורה אם...". אלה שלוש טבלאות היסוד — טבלה לכל קשר. "וגם" הוא אמת בשורה אחת בלבד, ו"או" הוא שקר בשורה אחת בלבד:
| A | A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| A | B | A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| A | B | A + B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
מספר השורות בטבלה:
לכל משתנה יש שני ערכים. משתנה אחד ← שתי שורות; שני משתנים ← 2·2 = 4 שורות; שלושה משתנים ← 2·2·2 = 8 שורות. כל משתנה חדש מכפיל את מספר השורות.
מספר השורות בטבלת האמת
N = 2n
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| N | מספר השורות (מספר הצירופים האפשריים) | — |
| n | מספר המשתנים (המבואות) | — |
| מספר המשתנים n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| מספר השורות 2n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
סדר השורות:
כותבים את הצירופים כמספרים בינאריים בסדר עולה: השורה הראשונה היא המספר 0 והשורה האחרונה היא המספר 2n − 1. המשתנה השמאלי A הוא הסיבית המשמעותית ביותר (MSB). כך לא שוכחים צירוף ולא חוזרים על צירוף.
| A | B |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 1 |
| A | B | C | Dec |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 0 | 0 | 4 |
| 1 | 0 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 0 | 6 |
| 1 | 1 | 1 | 7 |
הערה: דרך מהירה למילוי: בעמודה הימנית כותבים 0 , 1 , 0 , 1 ... (החלפה בכל שורה). בעמודה שמשמאלה: 0 , 0 , 1 , 1 ... (החלפה כל שתי שורות). בעמודה הבאה: ארבעה אפסים ואחריהם ארבע אחדות (החלפה כל ארבע שורות), וכן הלאה.
בניית טבלת אמת לפסוק מורכב:
- נספור את המשתנים n ונשרטט טבלה שיש בה 2n שורות.
- נכתוב את כל הצירופים בסדר הבינארי העולה.
- נוסיף עמודת עזר לכל חלק של הפסוק: לכל "לא" ולכל סוגריים.
- נחשב את העמודה האחרונה — המוצא F — שורה אחר שורה.
דוגמה 2.5
נבנה טבלת אמת לפסוק F = A·B (המכונית נוסעת אם המנוע פועל וגם לא נכון שהבלמים לחוצים).
פתרון:
שני משתנים ← 22 = 4 שורות. נוסיף עמודת עזר לפסוק B: נהפוך בה כל ערך מעמודת B.
| A | B | B | A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
בעמודה האחרונה נכתוב 1 רק היכן ש-A = 1 וגם B = 1. זה קורה בשורה אחת: A = 1 , B = 0 — המנוע פועל והבלמים אינם לחוצים.
F = 1 ⇔ A = 1 , B = 0
דוגמה 2.6
נבנה טבלת אמת לפסוק F = (A + B)·C.
פתרון:
שלושה משתנים ← 23 = 8 שורות. שתי עמודות העזר: A + B ו-C.
| A | B | C | A + B | C | (A + B)·C |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
העמודה A + B שווה 0 רק בשתי השורות שבהן A = 0 ו-B = 0. המוצא F שווה 1 היכן ששתי עמודות העזר הן 1: ב-3 שורות.
F = 1 ⇔ ABC = 010 , 100 , 110
שאלה 2.3: נבנה טבלת אמת לפסוק F = A + B. בכמה שורות F = 1 ?
מתיאור מילולי לטבלת אמת:
דוגמה 2.7
מערכת אזעקה בבית: האזעקה פועלת אם המערכת דרוכה וגם (הדלת פתוחה או החלון פתוח). נכתוב את הפסוק ונבנה את טבלת האמת.
פתרון:
נבחר אותיות: A : "המערכת דרוכה" ; B : "הדלת פתוחה" ; C : "החלון פתוח" ; F : "האזעקה פועלת".
F = A·(B + C)
| A | B | C | B + C | A·(B + C) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
בארבע השורות הראשונות המערכת אינה דרוכה (A = 0), ולכן האזעקה אינה פועלת בשום מקרה. בארבע השורות האחרונות המערכת דרוכה, והאזעקה פועלת אם נפתחו הדלת או החלון או שניהם.
F = A·(B + C)
ממעגל מפסקים לטבלת אמת:
דוגמה 2.8
במעגל שבסרטוט שלושה מפסקים ונורה. נכתוב את הפסוק שמתאר מתי הנורה דולקת, ונבנה את טבלת האמת.
פתרון:
בענף העליון המפסקים A ו-B מחוברים בטור: הזרם עובר בו אם A סגור וגם B סגור ← A·B.
בענף התחתון נמצא המפסק C לבדו, והוא מחובר במקביל לענף העליון: הזרם מגיע לנורה מן הענף העליון או מן הענף התחתון.
F = A·B + C
| A | B | C | A·B | A·B + C |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
הנורה דולקת ב-5 צירופים מתוך 8.
F = A·B + C
הערה: לשני פסוקים שנראים שונה עשויה להיות אותה טבלת אמת. במקרה כזה אומרים שהם שווים, ואפשר להחליף אחד באחר. זהו הרעיון שעליו נשען פישוט המעגלים בפרק 3.
שאלה 2.4: במעגל: המפסק A מחובר במקביל לענף שבו המפסקים B ו-C בטור. נכתוב את הפסוק ונמצא בכמה צירופים הנורה דולקת.
תרגול מהיר — כמה שורות בטבלת האמת?
1פסוק שיש בו שני משתנים
2פסוק שיש בו 3 משתנים
3פסוק שיש בו 4 משתנים
4פסוק שיש בו 5 משתנים
5פסוק שיש בו 6 משתנים
6פסוק שיש בו 8 משתנים
תשובות: 1 22 = 4 2 23 = 8 3 24 = 16 4 25 = 32 5 26 = 64 6 28 = 256
תרגול מהיר — נבנה טבלת אמת לכל פסוק ונכתוב את עמודת F מלמעלה למטה
1F = A·B
2F = A + B
3F = A·B
4F = A + B
5F = A + B
6F = A·B
7F = A·B
8F = A + B
9F = A·B + A·B
תשובות: 1 0 0 0 1 2 0 1 1 1 3 0 1 0 0 4 1 0 1 1 5 1 1 1 0 6 1 0 0 0 7 1 1 1 0 8 1 0 0 0 9 0 1 1 0
תרגול מהיר — שלושה משתנים: נכתוב את עמודת F מלמעלה למטה (8 שורות)
1F = A·B·C
2F = A + B + C
3F = A·B + C
4F = A·(B + C)
5F = A·B·C
6F = (A + B)·C
7F = A + B·C
8F = A + B·C
תשובות: 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1 1 1 4 0 0 0 0 0 1 1 1 5 0 0 0 1 0 0 0 0 6 0 0 0 1 0 1 0 1 7 0 1 0 0 1 1 1 1 8 1 1 1 1 0 0 1 0
▶ניסוי חי — מעבדת השערים הלוגייםמשנים את ערכי המבואות A ו-B בלחיצה ורואים מיד את ערך המוצא ואת השורה המתאימה בטבלת האמת, לכל אחד מן הקשרים "וגם", "או", "לא".
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=gates
סיכום נוסחאות הפרק:
| החוק | הנוסחה |
|---|---|
| הקשר "וגם": אמת רק אם שניהם אמת | F = A·B |
| הקשר "או": אמת אם לפחות אחד אמת | F = A + B |
| הקשר "לא": הופך את הערך | F = A |
| מספר השורות בטבלת האמת של n משתנים | N = 2n |
| שני מפסקים בטור | F = A·B |
| שני מפסקים במקביל | F = A + B |
| סדר החישוב | ( ) → A → A·B → A + B |
מילון מונחים:
| עברית | English | العربية |
|---|---|---|
| לוגיקה | Logic | المنطق |
| פסוק | Statement / Proposition | العبارة |
| פסוק בסיסי | Simple statement | عبارة بسيطة |
| פסוק מורכב | Compound statement | عبارة مركّبة |
| קשר לוגי | Logical connective | الرابط المنطقي |
| וגם | AND | «و» |
| או | OR | «أو» |
| לא | NOT | «ليس» |
| אמת | True | صواب |
| שקר | False | خطأ |
| ערך אמת | Truth value | قيمة الصواب |
| טבלת אמת | Truth table | جدول الصواب |
| צירוף | Combination | تركيبة |
| משתנה | Variable | متغير |
| מבוא | Input | المدخل |
| מוצא | Output | المخرج |
| רמה לוגית גבוהה | Logic high | المستوى المنطقي العالي |
| רמה לוגית נמוכה | Logic low | المستوى المنطقي المنخفض |
| מפסק | Switch | مفتاح |
| נורה | Lamp | مصباح |
| בטור | In series | على التوالي |
| במקביל | In parallel | على التوازي |
שאלות לתרגול:
רמה ראשונה — בסיסי
1.
אילו מן המשפטים הבאים הם פסוקים? לכל פסוק נקבע את ערך האמת.
(א) המספר 9 מתחלק ב-3.
(ב) סיימת את שיעורי הבית?
(ג) המספר 1F16 שווה ל-3010.
(ד) הפעל את המחשב!
(ה) בשלוש סיביות כותבים שמונה מספרים שונים.
(א) המספר 9 מתחלק ב-3.
(ב) סיימת את שיעורי הבית?
(ג) המספר 1F16 שווה ל-3010.
(ד) הפעל את המחשב!
(ה) בשלוש סיביות כותבים שמונה מספרים שונים.
תשובות: (א) פסוק, אמת (ב) אינו פסוק (ג) פסוק, שקר (1F16 = 31) (ד) אינו פסוק (ה) פסוק, אמת
2.
בכל פסוק מורכב נקבע מהם הפסוקים הבסיסיים ומהו הקשר הלוגי:
(א) "המדפסת פועלת אם יש בה נייר ויש בה דיו".
(ב) "הדלת נפתחת אם הקשנו את הקוד הסודי או השתמשנו במפתח".
(ג) "האור הירוק דולק אם האור האדום אינו דולק".
(א) "המדפסת פועלת אם יש בה נייר ויש בה דיו".
(ב) "הדלת נפתחת אם הקשנו את הקוד הסודי או השתמשנו במפתח".
(ג) "האור הירוק דולק אם האור האדום אינו דולק".
תשובות: (א) "יש בה נייר" , "יש בה דיו" , הקשר "וגם": F = A·B (ב) "הקשנו את הקוד" , "השתמשנו במפתח" , הקשר "או": F = A + B (ג) "האור האדום דולק" , הקשר "לא": F = A
3.
נתון A : "התלמיד עבר את הבחינה העיונית" , B : "התלמיד עבר את הבחינה המעשית". נכתוב בסמלים:
(א) עבר את שתי הבחינות.
(ב) עבר לפחות אחת.
(ג) לא עבר את העיונית.
(ד) עבר את העיונית ולא עבר את המעשית.
(א) עבר את שתי הבחינות.
(ב) עבר לפחות אחת.
(ג) לא עבר את העיונית.
(ד) עבר את העיונית ולא עבר את המעשית.
תשובות: (א) A·B (ב) A + B (ג) A (ד) A·B
4.
כמה שורות יש בטבלת האמת של פסוק שיש בו:
(א) שני משתנים?
(ב) 4 משתנים?
(ג) 7 משתנים?
(ד) 10 משתנים?
(א) שני משתנים?
(ב) 4 משתנים?
(ג) 7 משתנים?
(ד) 10 משתנים?
תשובות: (א) 4 (ב) 16 (ג) 128 (ד) 1024
5.
נתון A = 1 , B = 0. נחשב את הערך של כל פסוק: A·B , A + B , A , B , A + B , A·B.
תשובות: 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1
6.
נבנה טבלת אמת לפסוק F = A + B עם עמודת עזר.
תשובות: עמודת F מלמעלה למטה: 1 0 1 1
7.
נבנה טבלת אמת לפסוק F = A·B עם עמודת עזר.
תשובות: עמודת F מלמעלה למטה: 0 1 0 0
8.
במעגל שלושה מפסקים בטור ונורה.
(א) נכתוב את הפסוק שמתאר מתי הנורה דולקת.
(ב) בכמה צירופים מתוך 8 הנורה דולקת?
(א) נכתוב את הפסוק שמתאר מתי הנורה דולקת.
(ב) בכמה צירופים מתוך 8 הנורה דולקת?
תשובות: (א) F = A·B·C (ב) בצירוף אחד בלבד: ABC = 111
רמה שנייה — בינוני
9.
נבנה טבלת אמת לפסוק F = A·B + C . בכמה שורות F = 1 ?
תשובות: עמודת F: 0 1 0 1 0 1 1 1 ; ב-5 שורות
10.
נבנה טבלת אמת לפסוק F = (A + B)·C . בכמה שורות F = 1 ?
תשובות: עמודת F: 0 0 1 0 1 0 1 0 ; ב-3 שורות
11.
נבנה טבלת אמת לפסוק F = A·B + C . בכמה שורות F = 1 ?
תשובות: עמודת F: 0 1 1 1 0 1 0 1 ; ב-5 שורות
12.
במכונית: זמזם האזהרה פועל אם המנוע פועל וגם לא נכון שחגורת הבטיחות חגורה.
(א) נבחר אותיות ונכתוב את הפסוק.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) מתי הזמזם פועל?
(א) נבחר אותיות ונכתוב את הפסוק.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) מתי הזמזם פועל?
תשובות: (א) A : "המנוע פועל" , B : "החגורה חגורה" , F = A·B (ב) עמודת F: 0 0 1 0 (ג) רק כאשר A = 1 ו-B = 0
13.
במעגל: המפסקים A ו-B במקביל, ואחריהם המפסק C בטור.
(א) נכתוב את הפסוק.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) האם הנורה דולקת כאשר C פתוח?
(א) נכתוב את הפסוק.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) האם הנורה דולקת כאשר C פתוח?
תשובות: (א) F = (A + B)·C (ב) עמודת F: 0 0 0 1 0 1 0 1 (ג) לא — כאשר C = 0 תמיד F = 0
14.
נתונה טבלת אמת. איזה פסוק מן השלושה מתאים לטבלה: F = A·B , F = A + B , F = A + B ?
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
תשובות: F = A + B (שני הפסוקים האחרים נותנים 0 0 1 0 ו-1 1 0 1)
15.
תלמיד בנה טבלת אמת לפסוק F = A·(B + C) , וטעה בשורה אחת. נמצא את השורה השגויה ונתקן אותה.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
תשובות: הטעות בשורה ABC = 101 : הערך הנכון F = 1
16.
בלי לבנות את הטבלה כולה: בכמה שורות F = 1 ?
(א) F = A·B·C ;
(ב) F = A + B + C ;
(ג) F = A·B·C·D ;
(ד) F = A + B + C + D
(א) F = A·B·C ;
(ב) F = A + B + C ;
(ג) F = A·B·C·D ;
(ד) F = A + B + C + D
תשובות: (א) 1 מתוך 8 ; (ב) 7 מתוך 8 ; (ג) 1 מתוך 16 ; (ד) 15 מתוך 16
17.
נתון A : "המספר x גדול מ-5" , B : "המספר x זוגי". נחשב את ערכי הפסוקים A·B , A + B , A·B כאשר: x = 4 , x = 7 , x = 8.
תשובות: x = 4 ← 0 , 1 , 1 ; x = 7 ← 0 , 1 , 0 ; x = 8 ← 1 , 1 , 0
רמה שלישית — אתגר
18.
נבנה טבלת אמת לפסוק F = A·B וטבלת אמת לפסוק G = A + B. מה רואים?
תשובות: שתי העמודות שוות: 1 1 1 0 . שני הפסוקים שווים (זהו כלל דה-מורגן, נלמד אותו בפרק 3)
19.
בוועדה שלושה שופטים. ההחלטה מתקבלת אם הסכימו לפחות שני שופטים. A , B , C : "השופט הסכים".
(א) נבנה את טבלת האמת של המוצא F : "ההחלטה התקבלה".
(ב) בכמה צירופים ההחלטה מתקבלת?
(ג) נבדוק שהפסוק F = A·B + A·C + B·C מתאים לטבלה.
(א) נבנה את טבלת האמת של המוצא F : "ההחלטה התקבלה".
(ב) בכמה צירופים ההחלטה מתקבלת?
(ג) נבדוק שהפסוק F = A·B + A·C + B·C מתאים לטבלה.
תשובות: (א) עמודת F: 0 0 0 1 0 1 1 1 (ב) ב-4 צירופים (ג) הפסוק נותן אותה עמודה
20.
בחדר המדרגות נורה אחת ושני מפסקים, אחד למטה ואחד למעלה. הנורה דולקת אם שני המפסקים באותו מצב.
(א) נבנה את טבלת האמת.
(ב) נבדוק שהפסוק F = A·B + A·B מתאים לטבלה.
(א) נבנה את טבלת האמת.
(ב) נבדוק שהפסוק F = A·B + A·B מתאים לטבלה.
תשובות: (א) עמודת F: 1 0 0 1 (ב) כן, אותה עמודה
21.
המלצר שואל: "תה או קפה?" ומתכוון רק לאחד מהם, לא לשניהם יחד.
(א) נבנה טבלת אמת ל"או" היומיומי הזה.
(ב) נבדוק שהפסוק F = (A + B)·A·B מתאים לטבלה.
(ג) באיזו שורה הוא שונה מן ה"או" הלוגי?
(א) נבנה טבלת אמת ל"או" היומיומי הזה.
(ב) נבדוק שהפסוק F = (A + B)·A·B מתאים לטבלה.
(ג) באיזו שורה הוא שונה מן ה"או" הלוגי?
תשובות: (א) עמודת F: 0 1 1 0 (ב) כן (ג) בשורה AB = 11 : כאן F = 0 , וב"או" הלוגי A + B = 1
22.
בלוח בקרה 10 מפסקים ונורה אחת.
(א) כמה צירופים שונים יש למפסקים?
(ב) בכמה צירופים הנורה דולקת אם כל המפסקים מחוברים בטור?
(ג) ואם כולם מחוברים במקביל?
(א) כמה צירופים שונים יש למפסקים?
(ב) בכמה צירופים הנורה דולקת אם כל המפסקים מחוברים בטור?
(ג) ואם כולם מחוברים במקביל?
תשובות: (א) 210 = 1024 (ב) בצירוף אחד — כל המפסקים סגורים (ג) ב-1023 צירופים — כל הצירופים חוץ מ"כולם פתוחים"
23.
מעלית נוסעת אם הדלת סגורה וגם (נלחץ לחצן בתוך המעלית או המעלית הוזמנה מבחוץ) וגם לא נכון שיש עומס יתר. A : "הדלת סגורה" , B : "נלחץ לחצן בפנים" , C : "הוזמנה מבחוץ" , D : "יש עומס יתר".
(א) נכתוב את הפסוק.
(ב) כמה שורות יש בטבלת האמת?
(ג) באילו צירופים ABCD המעלית נוסעת?
(א) נכתוב את הפסוק.
(ב) כמה שורות יש בטבלת האמת?
(ג) באילו צירופים ABCD המעלית נוסעת?
תשובות: (א) F = A·(B + C)·D (ב) 24 = 16 (ג) ב-3 צירופים: 1010 , 1100 , 1110
תשובות סופיות לשאלות הפרק
2.1 A : "החדר חם" , B : "החלון סגור" ; F = A·B
2.2 F = 1 , G = 0
2.3 עמודת F מלמעלה למטה: 1 1 0 1 ; ב-3 שורות
2.4 F = A + B·C ; דולקת ב-5 צירופים
שאלות בגרות לפרק 2
המקצוע "מערכות ספרתיות" נבחן במגמת האלקטרוניקה בבחינה פנימית. שאלות הבגרות שבספר לקוחות משאלון 845381 של מגמת החשמל, שבכל שנה יש בו שתי שאלות על מערכות ספרתיות; אין בו שאלה עצמאית על חומר הפרק הזה. מתרגלים אותו ב"שאלות לתרגול" ובמבחנים העצמיים שבפרק 12.
נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.