פרק 3
יסודות האלגברה הבוליאנית
בפרק הקודם למדנו לקשר בין פסוקים בשלושה קשרים: "וגם", "או", "לא". עכשיו נהפוך את הקשרים האלה לחשבון של ממש, שיש לו כללים, בדיוק כמו שלחיבור ולכפל יש כללים. החשבון הזה נקרא אלגברה בוליאנית, והוא השפה שבה כותבים כל מעגל ספרתי. בעזרתו נכתוב פונקציה שמתארת מה המעגל צריך לעשות, נפשט את הפונקציה עד שתהיה קצרה יותר, ואז נבנה אותה משערים לוגיים. פונקציה קצרה יותר פירושה פחות שערים: מעגל זול יותר, קטן יותר ומהיר יותר.
בסוף הפרק הזה נדע:
- נגדיר את שלוש הפעולות היסודיות NOT, AND, OR, ונסרטט את השער שמבצע כל פעולה.
- נחשב את ערכו של ביטוי בוליאני לפי סדר הפעולות, ונבנה לו טבלת אמת.
- נעבור מביטוי בוליאני למעגל שערים, וממעגל שערים לביטוי.
- נשתמש בכללים היסודיים: כללי הקבועים, כללי המשתנה האחד, חילוף, קיבוץ ופילוג, ונסביר את עקרון הדואליות.
- נפשט ביטויים בעזרת כללי הצמצום.
- ניישם את כללי דה-מורגן על ביטוי שלול.
- נכיר את השערים NAND, NOR, XOR, XNOR: הסמל, טבלת האמת והביטוי.
- נכתוב פונקציה בוליאנית מתוך תיאור במילים ונפשט אותה צעד אחר צעד.
מושגי יסוד ופעולות יסודיות של האלגברה הבוליאנית: NOT, AND, OR. הכרת השערים לביצוע פעולות אלו (Basic Operations & Gates)
אלגברה בוליאנית: זהו חשבון שפועל על שני ערכים בלבד: 0 ו-1. יש בו שלוש פעולות יסודיות: NOT, AND, OR — והן הקשרים "לא", "וגם", "או" מפרק 2.
את יסודות החשבון הזה הניח המדען האנגלי ג׳ורג׳ בול במאה התשע-עשרה, כדי לכתוב את כללי החשיבה הלוגית כמשוואות. כמאה שנה אחר כך הבחין המהנדס קלוד שאנון שמעגלי מפסקים חשמליים מתנהגים בדיוק לפי החשבון הזה — ומכאן התחיל תכנון המעגלים הספרתיים.
משתנה בוליאני: זוהי אות (A, B, C ...) שמייצגת אות חשמלי במעגל, וערכה 0 או 1 בלבד. קבוע הוא ערך שאינו משתנה: 0 או 1.
שער לוגי: זהו מעגל אלקטרוני קטן שמבצע פעולה בוליאנית אחת. יש לו מבוא אחד או יותר ומוצא אחד. בסרטוט: המבואות משמאל והמוצא מימין.
תזכורת: במעגל אמיתי הערך 1 הוא מתח גבוה (בערך 5 V) והערך 0 הוא מתח נמוך (בערך 0 V). המתח המדויק אינו מעניין אותנו — חשוב לנו רק: גבוה או נמוך.
פעולת NOT – המהפך:
פעולת NOT (היפוך): הופכת את הערך: אם נכנס 0 יוצא 1, ואם נכנס 1 יוצא 0. כותבים אותה כקו מעל המשתנה: A, וקוראים "לא A" או "A שלול". השער שמבצע אותה נקרא מהפך.
סמל המהפך: משולש שבראשו עיגול קטן. העיגול הקטן הוא סימן ההיפוך
| A | F = A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
פעולת AND:
פעולת AND (וגם): המוצא 1 רק כאשר כל המבואות 1. די במבוא אחד שערכו 0 כדי שהמוצא יהיה 0. כותבים אותה בנקודה: A·B, וקוראים "A וגם B".
סמל שער AND: גב ישר וחזית מעוגלת
| A | B | F = A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
הערה: פעולת AND דומה לכפל רגיל: 0·0 = 0, 0·1 = 0, 1·0 = 0, 1·1 = 1. לכן קוראים ל-A·B מכפלה. במעגל חשמלי: שני מפסקים בטור.
פעולת OR:
פעולת OR (או): המוצא 1 כאשר לפחות מבוא אחד ערכו 1. המוצא 0 רק כאשר כל המבואות 0. כותבים אותה בסימן פלוס: A + B, וקוראים "A או B".
סמל שער OR: גב קשתי וחזית מחודדת
| A | B | F = A + B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
שימו לב: פעולת OR דומה לחיבור רגיל בשלוש שורות: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1. אבל בשורה הרביעית: 1 + 1 = 1, ולא 2 ולא 102. באלגברה בוליאנית אין ערך מלבד 0 ו-1. במעגל חשמלי: שני מפסקים במקביל.
שערים בעלי יותר משני מבואות:
הכלל אינו משתנה כשמוסיפים מבואות: מוצא AND הוא 1 רק אם כל המבואות 1; מוצא OR הוא 0 רק אם כל המבואות 0. למהפך יש תמיד מבוא אחד.
F = A·B·C
| A | B | C | A·B·C | A + B + C |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G = A + B + C
| הפעולה | בערבית | הביטוי | המוצא 1 כאשר | מעגל המפסקים |
|---|---|---|---|---|
| NOT | ليس (العكس) | F = A | המבוא 0 | מפסק במקביל לנורה |
| AND | و | F = A·B | כל המבואות 1 | מפסקים בטור |
| OR | أو | F = A + B | לפחות מבוא אחד 1 | מפסקים במקביל |
דוגמה 3.1
לשער AND ולשער OR שלושה מבואות: A = 1, B = 0, C = 1. מהו המוצא של כל שער? ומהו המוצא של מהפך שהמבוא שלו B?
פתרון:
שער AND: לא כל המבואות 1 (המבוא B = 0) ← המוצא 0.
שער OR: יש לפחות מבוא אחד שערכו 1 ← המוצא 1.
המהפך: B = 0 ← B = 1.
A·B·C = 0 , A + B + C = 1 , B = 1
צורות גל במבואות ובמוצא:
במעגל אמיתי המבואות משתנים כל הזמן. מסרטטים כל אות כקו שעולה ל-1 ויורד ל-0; סרטוט כזה נקרא דיאגרמת זמנים. כדי למצוא את המוצא מחלקים את הזמן לפרקי זמן, ובכל פרק זמן מחשבים את המוצא לפי טבלת האמת.
דוגמה 3.2
האותות A ו-B נכנסים לשער AND שהמוצא שלו X, ולשער OR שהמוצא שלו Y. נסרטט את שני המוצאים.
פתרון:
נעבור על פרקי הזמן משמאל לימין. המוצא X = A·B עולה ל-1 רק בפרקי הזמן שבהם A ו-B שניהם 1.
המוצא Y = A + B יורד ל-0 רק בפרקי הזמן שבהם A ו-B שניהם 0.
X = A·B (הקו השלישי), Y = A + B (הקו הרביעי)
במספרים, פרק זמן אחר פרק זמן: X = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0, Y = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0.
שאלה 3.1: האותות A ו-B שבסרטוט נכנסים לשער AND. נכתוב את ערך המוצא F בכל פרק זמן (משמאל לימין) ונסרטט אותו בשורה הריקה.
תרגול מהיר — מהו מוצא השער?
1AND, המבואות: 1 , 1
2AND, המבואות: 1 , 0
3OR, המבואות: 0 , 0
4OR, המבואות: 0 , 1
5NOT, המבואות: 1
6NOT, המבואות: 0
7AND, המבואות: 1 , 1 , 0
8AND, המבואות: 1 , 1 , 1
9OR, המבואות: 0 , 0 , 0
10OR, המבואות: 0 , 1 , 0
11AND, המבואות: 0 , 0 , 0
12OR, המבואות: 1 , 1 , 1
תשובות: 1 1 2 0 3 0 4 1 5 0 6 1 7 0 8 1 9 0 10 1 11 0 12 1
תרגול מהיר — נחשוב על השערים
1לשער AND יש 4 מבואות. בכמה צירופים המוצא 1?
2לשער OR יש 4 מבואות. בכמה צירופים המוצא 1?
3לשער OR יש 3 מבואות. בכמה צירופים המוצא 0?
4לשער AND יש 3 מבואות. בכמה צירופים המוצא 0?
5מוצא שער AND הוא 1. מה ידוע לנו על המבואות?
6מוצא שער OR הוא 0. מה ידוע לנו על המבואות?
תשובות: 1 1 מתוך 16 2 15 מתוך 16 3 1 מתוך 8 4 7 מתוך 8 5 כולם 1 6 כולם 0
▶ניסוי חי — מעבדת השערים הלוגייםבוחרים שער, משנים את המבואות בלחיצה ורואים את המוצא, את טבלת האמת ואת דיאגרמת הזמנים.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=gates
ביטויים בוליאניים והסדר לביצוע פעולות בוליאניות. פונקציות בוליאניות (Expressions & Functions)
ביטוי בוליאני: זהו כתיב שבנוי ממשתנים, מקבועים ומפעולות בוליאניות, ויכול להכיל סוגריים. למשל: A·B + C או (A + B)·A·C.
סדר ביצוע הפעולות:
כמו בחשבון רגיל, צריך להסכים על סדר הפעולות כדי שכולם יקבלו אותה תוצאה:
- סוגריים — תחילה מחשבים את מה שבתוכם.
- NOT — ההיפוך. קו מעל ביטוי שלם פועל כמו סוגריים: תחילה מחשבים את כל מה שמתחת לקו, ואז הופכים את התוצאה.
- AND — הכפל.
- OR — החיבור, בסוף.
דוגמה 3.3
נחשב את ערך הביטוי F = A + B·C כאשר A = 0, B = 1, C = 0.
פתרון:
נציב את הערכים:
F = 0 + 1·0
תחילה NOT: 0 = 1.
F = 0 + 1·1
אחר כך AND: 1·1 = 1.
F = 0 + 1
ובסוף OR: 0 + 1 = 1.
F = 1
דוגמה 3.4
נחשב את ערך הביטוי F = A + B·C + A·C כאשר A = 0, B = 0, C = 1.
פתרון:
הקו שמעל A + B פועל כמו סוגריים: תחילה נחשב A + B = 0 + 0 = 0, ואז נהפוך: A + B = 1.
ההיפוך השני: C = 1 = 0.
F = 1·1 + 0·0
כפל לפני חיבור: 1·1 = 1 ו-0·0 = 0.
F = 1 + 0
F = 1
שימו לב: קו אחד ארוך אינו כמו שני קווים קצרים! הביטוי A·B פירושו: תחילה כופלים ואז הופכים. הביטוי A·B פירושו: הופכים כל משתנה ואז כופלים. הטבלה מראה שהתוצאות שונות בשתי שורות.
| A | B | A·B | A·B | A | B | A·B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
שאלה 3.2: נחשב את ערכו של F = A·B + C ואת ערכו של G = A·B + C כאשר A = 1, B = 0, C = 1.
תרגול מהיר — נחשב את ערך הביטוי כאשר A = 1, B = 0, C = 1
1A·B + C
2A·(B + C)
3A + B·C
4A + B
5A + B
6A·B·C
7A·C + B
8(A + B)·(B + C)
9A·B·C
10A·C + A·C
11A + B
12A·B + C
תשובות: 1 1 2 1 3 0 4 0 5 1 6 1 7 0 8 1 9 1 10 0 11 1 12 0
תרגול מהיר — נחשב את ערך הביטוי כאשר A = 0, B = 1, C = 1, D = 0
1A·B + C·D
2(A + B)·(C + D)
3A·B·D
4A + B·C
5A + D·C
6A·B + C·D
7B·C + D
8A·B·C
תשובות: 1 0 2 1 3 1 4 0 5 1 6 1 7 0 8 0
פונקציה בוליאנית:
פונקציה בוליאנית: זהו כלל שנותן לכל צירוף של ערכי המבואות ערך אחד למוצא: 0 או 1. כותבים F(A,B,C) וקוראים "F היא פונקציה של המשתנים A, B, C".
אפשר להציג אותה פונקציה בשלוש דרכים, ולעבור מדרך אחת לאחרת: ביטוי בוליאני, טבלת אמת, מעגל שערים. לפונקציה יש טבלת אמת אחת בלבד, אבל לפונקציות רבות יש יותר מביטוי אחד — וזה מה שמאפשר לנו לפשט.
דוגמה 3.5
נתונה הפונקציה F(A,B,C) = A·B + C. נבנה לה טבלת אמת.
פתרון:
שלושה משתנים ← 23 = 8 שורות. נוסיף שתי עמודות עזר לפי סדר הפעולות: תחילה B, אחר כך A·B, ובסוף החיבור עם C.
| A | B | C | B | A·B | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
הפונקציה שווה 1 ב-5 שורות: בכל שורה שבה C = 1, וגם בשורה ABC = 100.
תרגול מהיר — נבנה טבלת אמת לפונקציה ונכתוב את עמודת F מלמעלה למטה
1F = A·B + C
2F = (A + B)·C
3F = A·B + C
4F = A·B + C
5F = A·B + A·B
6F = A + B + C
תשובות: 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 0 1 3 1 1 1 1 1 1 0 1 4 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 1 1 1 0 0 6 1 0 0 0 0 0 0 0
מביטוי למעגל שערים:
מסרטטים באותו סדר שבו מחשבים: הפעולה שמחשבים ראשונה היא השער הקרוב ביותר למבואות, והפעולה האחרונה היא השער שממנו יוצא F. כל משתנה נכנס מקו אנכי בצד שמאל של הסרטוט; נקודה שחורה פירושה ששני החוטים מחוברים, והצטלבות בלי נקודה פירושה שאינם מחוברים.
דוגמה 3.6
נסרטט מעגל שערים שמממש את הפונקציה F = A·B + C.
פתרון:
הפעולה האחרונה היא OR, ולכן השער האחרון הוא שער OR בעל שני מבואות: A·B ו-C.
המבוא A·B יוצא משער AND שמבואותיו A ו-B. המבוא C יוצא ממהפך שהמבוא שלו C.
המעגל שמממש את F = A·B + C
נדרשו 3 שערים: NOT × 1, AND × 1, OR × 1.
ממעגל שערים לביטוי:
מתקדמים מן המבואות אל המוצא: כותבים ליד המוצא של כל שער את הביטוי שיוצא ממנו, עד שמגיעים לשער האחרון. כשנכנס לשער AND ביטוי שיש בו חיבור — שמים אותו בסוגריים.
דוגמה 3.7
נכתוב את הביטוי הבוליאני של המוצא F במעגל שבסרטוט, ונחשב את F כאשר A = 1, B = 1, C = 0.
פתרון:
נקרא למוצאי השערים הפנימיים X, Y, Z ונכתוב את הביטוי של כל אחד:
X = A + B
Y = B·C
Z = Y = B·C
השער האחרון הוא AND בין X לבין Z. בביטוי X יש חיבור, ולכן נשים אותו בסוגריים:
F = X·Z
כאשר A = 1, B = 1, C = 0: X = 1, Y = 0, Z = 1, ולכן F = 1.
F = (A + B)·B·C
שאלה 3.3: נכתוב את הביטוי הבוליאני של המוצא F במעגל, ונבנה את טבלת האמת.
תרגול מהיר — נכתוב את הביטוי הבוליאני של המוצא F
1
2
3
4
5
6
תשובות: 1 F = A·B + C 2 F = (A + B)·C 3 F = A·B + C 4 F = A + B·C 5 F = A·B + A·C 6 F = (A + B)·(B + C)
תרגול מהיר — נסרטט מעגל שערים לכל פונקציה. כמה שערים נדרשים ומאיזה סוג?
1F = A·B·C
2F = A + B·C
3F = (A + B)·(A + C)
4F = A·B
5F = A + B + C
6F = A·B + A·B
7F = A·(B + C)
8F = A·B·C
תשובות: 1 AND × 1 2 AND × 1, OR × 1 3 AND × 1, OR × 2 4 NOT × 2, AND × 1 5 NOT × 1, OR × 2 6 NOT × 2, AND × 2, OR × 1 7 NOT × 1, AND × 1, OR × 1 8 NOT × 1, AND × 1
▶ניסוי חי — בונה המעגלים הלוגייםגוררים שערים אל לוח העבודה, מחברים ביניהם בחוטים ורואים את טבלת האמת של המעגל שבנינו.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld
כללים יסודיים באלגברה הבוליאנית: זהויות בוליאניות, כללים לגבי משתנה אחד, פעולות בין משתנה לקבועים, כללים לגבי מספר משתנים (חילוף, קיבוץ, פילוג), עקרון הדואליות (Basic Laws)
זהות בוליאנית: זהו שוויון בין שני ביטויים שנשאר נכון לכל הערכים האפשריים של המשתנים. לשני ביטויים זהים יש אותה טבלת אמת, ולכן אפשר להחליף אחד באחר.
כל כלל בסעיף הזה הוא זהות. מוכיחים זהות בדרך פשוטה: בונים טבלת אמת לשני האגפים ובודקים ששתי העמודות שוות בכל השורות. מכיוון שמספר השורות סופי, הבדיקה מלאה ולא נשאר ספק.
פעולות בין משתנה לקבועים:
מה קורה כשאחד משני המבואות של השער מחובר תמיד ל-0 או תמיד ל-1?
כללי הקבועים
A + 0 = A
A·1 = A
A + 1 = 1
A·0 = 0
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| A + 0 | האפס אינו משפיע ב-OR: המוצא עוקב אחרי A | — |
| A·1 | האחד אינו משפיע ב-AND: המוצא עוקב אחרי A | — |
| A + 1 | אחד במבוא של OR קובע את המוצא ל-1 | — |
| A·0 | אפס במבוא של AND קובע את המוצא ל-0 | — |
| A | A + 0 | A·1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| A | A + 1 | A·0 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
הערה: בלשון המפסקים: מפסק A במקביל לחוט שמחובר תמיד (1) — הזרם עובר תמיד: A + 1 = 1. מפסק A בטור עם חוט שמנותק תמיד (0) — הזרם אינו עובר לעולם: A·0 = 0.
כללים לגבי משתנה אחד:
כללים לגבי משתנה אחד
A + A = A
A·A = A
A + A = 1
A·A = 0
A = A
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| A + A | כלל החזרה: משתנה עם עצמו נותן את עצמו — ב-OR וב-AND | — |
| A + A | כלל המשלים: משתנה עם ההיפוך שלו — ב-OR תמיד 1, ב-AND תמיד 0 | — |
| A | שלילה כפולה: היפוך של היפוך מחזיר אותנו למקור | — |
| A | A | A + A | A·A | A + A | A·A | A |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
הערה: מדוע A + A = 1? כי אחד מן השניים, A או A, הוא תמיד 1. ומדוע A·A = 0? כי אחד מהם הוא תמיד 0. הכללים נכונים גם כשמחליפים את A בביטוי שלם: למשל A·B + A·B = 1.
תרגול מהיר — נשלים לפי כללי הקבועים וכללי המשתנה האחד
1A + 0 =
2A·1 =
3A + 1 =
4A·0 =
5B + B =
6B·B =
7C + C =
8C·C =
9B =
101 + 0 =
111·0 =
120 =
13A·B + 0 =
14(A + B)·1 =
15A·B·0 =
16A·B + 1 =
17A·B + A·B =
18(A + C)·A + C =
תשובות: 1 A 2 A 3 1 4 0 5 B 6 B 7 1 8 0 9 B 10 1 11 0 12 1 13 A·B 14 A + B 15 0 16 1 17 A·B 18 0
כללים לגבי מספר משתנים: חילוף, קיבוץ, פילוג:
חוק החילוף
A + B = B + A
A·B = B·A
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| A , B | סדר המשתנים ב-OR או ב-AND אינו חשוב: אין הבדל איזה חוט מחברים לאיזה מבוא | — |
חוק הקיבוץ
(A + B) + C = A + (B + C)
(A·B)·C = A·(B·C)
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| ( ) | כשכל הפעולות מאותו סוג, מקום הסוגריים אינו חשוב — ולכן כותבים בפשטות A + B + C או A·B·C | — |
חוק הפילוג
A·(B + C) = A·B + A·C
A + B·C = (A + B)·(A + C)
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| (1) | פילוג AND על OR — כמו באלגברה רגילה. בכיוון ההפוך זו הוצאת גורם משותף | — |
| (2) | פילוג OR על AND — כלל מיוחד לאלגברה הבוליאנית, שאינו קיים באלגברה רגילה | — |
דוגמה 3.8
נוכיח בטבלת אמת את חוק הפילוג השני: A + B·C = (A + B)·(A + C).
פתרון:
נבנה עמודה לאגף שמאל ועמודה לאגף ימין, עם עמודות העזר:
| A | B | C | B·C | A + B·C | A + B | A + C | (A + B)·(A + C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
העמודה A + B·C והעמודה (A + B)·(A + C) שוות בכל שמונה השורות, ולכן הזהות נכונה.
דוגמה 3.9
נוכיח את אותו חוק בדרך אלגברית: נתחיל מן האגף (A + B)·(A + C) ונגיע ל-A + B·C.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = (A + B)·(A + C) | נתון |
| F = A·A + A·C + B·A + B·C | חוק הפילוג: נכפול כל איבר בסוגריים הראשונים בכל איבר בסוגריים השניים. |
| F = A + A·C + A·B + B·C | כלל החזרה A·A = A, וחוק החילוף B·A = A·B. |
| F = A·(1 + C + B) + B·C | נוציא את הגורם המשותף A משלושת האיברים הראשונים (A = A·1). |
| F = A·1 + B·C | כללי הקבועים: 1 + C + B = 1. |
| F = A + B·C | כללי הקבועים: A·1 = A. |
F = A + B·C
שימו לב: באלגברה בוליאנית אין חיסור ואין חילוק. אי אפשר "לצמצם" את A משני האגפים: מ-A + B = A + C לא נובע ש-B = C (למשל כאשר A = 1 שני האגפים שווים, יהיו B ו-C אשר יהיו).
עקרון הדואליות:
עקרון הדואליות: אם ניקח זהות נכונה ונחליף בה כל פעולת OR בפעולת AND, כל פעולת AND בפעולת OR, כל 0 ב-1 וכל 1 ב-0 — נקבל זהות נכונה אחרת. המשתנים וקווי השלילה אינם משתנים. הזהות החדשה נקראת הדואלית של הראשונה.
זו הסיבה שהכללים באים תמיד בזוגות. שימו לב לסוגריים: לפני ההחלפה שמים סוגריים סביב כל מכפלה, כדי לשמור על סדר הפעולות.
| שם הכלל | הזהות | הזהות הדואלית |
|---|---|---|
| כללי הקבועים | A + 0 = A | A·1 = A |
| כללי הקבועים | A + 1 = 1 | A·0 = 0 |
| כלל החזרה | A + A = A | A·A = A |
| כלל המשלים | A + A = 1 | A·A = 0 |
| שלילה כפולה | A = A | A = A |
| חוק החילוף | A + B = B + A | A·B = B·A |
| חוק הקיבוץ | (A + B) + C = A + (B + C) | (A·B)·C = A·(B·C) |
| חוק הפילוג | A·(B + C) = A·B + A·C | A + B·C = (A + B)·(A + C) |
דוגמה 3.10
נכתוב את הזהות הדואלית של הזהות A·(B + C) = A·B + A·C.
פתרון:
נשים סוגריים סביב כל מכפלה באגף ימין: (A·B) + (A·C).
נחליף כל כפל (AND) בחיבור (OR) וכל חיבור בכפל. המשתנים וקו השלילה שמעל C אינם משתנים:
A + B·C = (A + B)·(A + C)
קיבלנו את חוק הפילוג השני — והוא אכן זהות נכונה.
A + B·C = (A + B)·(A + C)
תרגול מהיר — נכתוב את הזהות הדואלית
1A + A = 1
2A·0 = 0
3A·(A + B) = A
4A + A·B = A + B
5A·B = A + B
6A·B + A·B = A
תשובות: 1 A·A = 0 2 A + 1 = 1 3 A + A·B = A 4 A·(A + B) = A·B 5 A + B = A·B 6 (A + B)·(A + B) = A
פישוט בעזרת הכללים היסודיים:
פישוט הוא כתיבת אותה פונקציה בביטוי קצר יותר. בכל צעד משתמשים בכלל אחד וכותבים את שמו.
דוגמה 3.11
נפשט את הפונקציה F = A·A + B·1.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·A + B·1 | נתון |
| F = 0 + B·1 | כלל המשלים: A·A = 0. |
| F = 0 + B | כללי הקבועים: B·1 = B. |
| F = B | כללי הקבועים: 0 + B = B. |
F = B
דוגמה 3.12
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + A·B | נתון |
| F = B·A + B·A | חוק החילוף: נכתוב את B ראשון בכל מכפלה. |
| F = B·(A + A) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף B. |
| F = B·1 | כלל המשלים: A + A = 1. |
| F = B | כללי הקבועים: B·1 = B. |
F = B
הערה: התוצאה הגיונית: ב-A·B + A·B המשתנה A מופיע פעם כמות שהוא ופעם מהופך, עם אותו שותף B. פירוש הדבר שערכו של A אינו חשוב — המוצא תלוי ב-B בלבד.
דוגמה 3.13
נפשט את הפונקציה F = A·B·C + A·B·C + A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B·C + A·B·C + A·B | נתון |
| F = A·B·(C + C) + A·B | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף A·B משני האיברים הראשונים. |
| F = A·B·1 + A·B | כלל המשלים: C + C = 1. |
| F = A·B + A·B | כללי הקבועים: A·B·1 = A·B. |
| F = A·B | כלל החזרה: X + X = X, כאן X = A·B. |
F = A·B
שאלה 3.4: נפשט את הפונקציה F = (A + A)·B + B·C·0 ונכתוב את שם הכלל בכל צעד.
תרגול מהיר — מה שם הכלל שהשתמשנו בו?
1A + B = B + A
2A·(B + C) = A·B + A·C
3B·B = 0
4C + C = C
5(A·B)·C = A·(B·C)
6A·B + 0 = A·B
7C = C
8A + B·C = (A + B)·(A + C)
9A·B + C = C + A·B
10(A + B) + A + B = 1
תשובות: 1 חוק החילוף 2 חוק הפילוג 3 כלל המשלים 4 כלל החזרה 5 חוק הקיבוץ 6 כללי הקבועים 7 שלילה כפולה 8 חוק הפילוג 9 חוק החילוף 10 כלל המשלים
תרגול מהיר — נפשט בעזרת הכללים היסודיים
1F = A·B + A·B
2F = A·B + A·B
3F = A·1 + A·0
4F = (A + B)·(A + B)
5F = A·B·B + C
6F = A·A + B + B
7F = (A + A)·(B + B)
8F = A·B·C + A·B·C
9F = A·(B + B) + A
10F = A·B + A·B
תשובות: 1 A 2 A 3 A 4 A 5 C 6 B 7 1 8 B·C 9 1 10 A·B
כללי צמצום (Absorption Rules)
הכללים היסודיים מספיקים לפישוט כל ביטוי, אבל הדרך עלולה להיות ארוכה. כללי הצמצום הם זהויות מוכנות, שהוכחנו פעם אחת ומשתמשים בהן אחר כך בצעד אחד. כל כלל בא יחד עם הכלל הדואלי שלו.
כלל הבליעה:
כלל הבליעה (צמצום)
A + A·B = A
A·(A + B) = A
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| (1) | איבר שמכיל את A כפול משהו אחר "נבלע" בתוך A | — |
| (2) | הכלל הדואלי | — |
דוגמה 3.14
נוכיח את כלל הבליעה A + A·B = A בדרך אלגברית, ונבדוק בטבלת אמת.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A + A·B | נתון |
| F = A·1 + A·B | כללי הקבועים: נכתוב את A בצורה A·1. |
| F = A·(1 + B) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף A. |
| F = A·1 | כללי הקבועים: 1 + B = 1. |
| F = A | כללי הקבועים: A·1 = A. |
| A | B | A·B | A + A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
העמודה האחרונה שווה לעמודה A בכל השורות.
A + A·B = A
הערה: מדוע זה הגיוני? אם A = 1 התוצאה 1 בלי להביט ב-B. ואם A = 0 גם האיבר A·B הוא 0 והתוצאה 0. בשני המקרים התוצאה היא A.
דוגמה 3.15
נוכיח את הכלל הדואלי A·(A + B) = A.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·(A + B) | נתון |
| F = A·A + A·B | חוק הפילוג. |
| F = A + A·B | כלל החזרה: A·A = A. |
| F = A | כלל הבליעה שהוכחנו. |
A·(A + B) = A
כלל הצמצום השני — השמטת המשתנה המהופך:
כלל השמטת המשתנה המהופך
A + A·B = A + B
A·(A + B) = A·B
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| (1) | אם A מופיע לבדו, ולצדו איבר שיש בו A — משמיטים את A מאותו איבר | — |
| (2) | הכלל הדואלי | — |
דוגמה 3.16
נוכיח את הכלל A + A·B = A + B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A + A·B | נתון |
| F = (A + A)·(A + B) | חוק הפילוג השני: X + Y·Z = (X + Y)·(X + Z). |
| F = 1·(A + B) | כלל המשלים: A + A = 1. |
| F = A + B | כללי הקבועים. |
A + A·B = A + B
דוגמה 3.17
נוכיח את הכלל הדואלי A·(A + B) = A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·(A + B) | נתון |
| F = A·A + A·B | חוק הפילוג. |
| F = 0 + A·B | כלל המשלים: A·A = 0. |
| F = A·B | כללי הקבועים. |
A·(A + B) = A·B
כלל האיחוד:
כלל האיחוד (צמצום)
A·B + A·B = A
(A + B)·(A + B) = A
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| (1) | שני איברים ששווים בכול חוץ ממשתנה אחד, שמופיע פעם כמות שהוא ופעם מהופך — מאחדים אותם ומשמיטים את המשתנה הזה | — |
| (2) | הכלל הדואלי | — |
דוגמה 3.18
נוכיח את כלל האיחוד A·B + A·B = A.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + A·B | נתון |
| F = A·(B + B) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף A. |
| F = A·1 | כלל המשלים. |
| F = A | כללי הקבועים. |
A·B + A·B = A
הערה: בכל הכללים האותיות A ו-B מייצגות ביטוי כלשהו. למשל לפי כלל הבליעה: C·D + C·D·E = C·D (כאן C·D ממלא את תפקיד A), ולפי כלל השמטת המשתנה המהופך: B + B·C = B + C (כאן B ממלא את תפקיד A).
תרגול מהיר — ניישם כלל צמצום אחד
1A + A·C =
2B·(B + C) =
3A + A·C =
4B·(B + C) =
5A·C + A·C =
6(B + C)·(B + C) =
7A + A·B =
8B + B·C =
9A·B + A·B·C =
10A·B + A·B =
11A·B + A·B·C =
12C·(C + A·B) =
תשובות: 1 A 2 B 3 A + C 4 B·C 5 A 6 B 7 A + B 8 B 9 A·B 10 A 11 A·B + C 12 A·B·C
פישוט בעזרת כללי הצמצום:
דוגמה 3.19
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B·C + A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + A·B·C + A·B | נתון |
| F = A·B + A·B | כלל הבליעה: X + X·C = X, כאן X = A·B. |
| F = B | כלל האיחוד: שני האיברים שווים חוץ מ-A, שמופיע פעם כמות שהוא ופעם מהופך. |
F = B
דוגמה 3.20
נפשט את הפונקציה F = A + A·B + A·C.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A + A·B + A·C | נתון |
| F = A + A·C + A·B | חוק החילוף: נקרב זה לזה את שני האיברים שיש בהם A. |
| F = A + A·B | כלל הבליעה: A + A·C = A. |
| F = A + B | כלל השמטת המשתנה המהופך. |
F = A + B
דוגמה 3.21
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B·C ונשווה בין המעגל שלפני הפישוט למעגל שאחריו.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + A·B·C | נתון |
| F = A·(B + B·C) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף A. |
| F = A·(B + C) | כלל השמטת המשתנה המהופך: B + B·C = B + C. |
לפני הפישוט: 4 שערים (NOT × 1, AND × 2, OR × 1)
אחרי הפישוט: שני שערים (AND × 1, OR × 1)
שני המעגלים נותנים אותה טבלת אמת, אבל השני דורש חצי ממספר השערים.
F = A·(B + C)
דוגמה 3.22
נפשט את הפונקציה F = (A + B)·(A + B)·C + A·C.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = (A + B)·(A + B)·C + A·C | נתון |
| F = A·C + A·C | כלל האיחוד הדואלי: (A + B)·(A + B) = A. |
| F = A | כלל האיחוד: A·C + A·C = A. |
התוצאה מפתיעה: הפונקציה אינה תלויה ב-B וגם לא ב-C. במקום מעגל של כמה שערים די בחוט אחד מן המבוא A אל המוצא.
F = A
שאלה 3.5: נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B + A·B. (הדרכה: לפי כלל החזרה מותר לכתוב את האיבר A·B פעמיים.)
תרגול מהיר — נפשט לביטוי הקצר ביותר
1F = A + A·B + A·C
2F = A·B + A·B + A·B
3F = A·(A + B) + B
4F = A + A·B + A·B
5F = A·B + A·B·C + A·B·C
6F = (A + B)·(A + C)
7F = A·B + B
8F = A·B·C + A·B·C + A·B
9F = A + A·B + A·B
10F = B·(A + B) + A·B
תשובות: 1 A 2 A + B 3 A + B 4 1 5 A·B 6 A + B·C 7 A + B 8 A 9 1 10 A·B
כללי דה-מורגן (De Morgan's Laws)
ראינו ש-A·B אינו שווה ל-A·B. אם כן, במה מחליפים קו ארוך שמעל ביטוי? התשובה נמצאת בשני כללים שגילה המתמטיקאי אוגוסטוס דה-מורגן.
כללי דה-מורגן
A·B = A + B
A + B = A·B
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| A·B | היפוך המכפלה שווה לסכום ההיפוכים | — |
| A + B | היפוך הסכום שווה למכפלת ההיפוכים | — |
| A | B | A·B | A + B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| A | B | A + B | A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
הערה: כלל שקל לזכור: "שוברים את הקו ומחליפים את הסימן". שוברים את הקו הארוך לקווים קצרים מעל כל חלק, ומחליפים את הפעולה שהייתה מתחת למקום השבירה: הכפל נעשה חיבור, והחיבור נעשה כפל. שני הכללים דואליים זה לזה.
שני הכללים נכונים לכל מספר של משתנים:
A·B·C = A + B + C
A + B + C = A·B·C
בלשון השערים: שער AND עם מהפך במוצאו שווה לשער OR עם מהפך בכל מבוא, ולהפך. העיגול הקטן שבסרטוט הוא מהפך.
A·B = A + B
A + B = A·B
דוגמה 3.23
נפשט את הביטוי F = A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B | נתון |
| F = A + B | דה-מורגן: שוברים את הקו שמעל הכפל, והכפל נעשה חיבור. |
| F = A + B | שלילה כפולה: B = B. |
F = A + B
דוגמה 3.24
ניישם את כללי דה-מורגן על F = A·B + C עד שלא יישאר קו מעל יותר ממשתנה אחד.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + C | נתון |
| F = A·B·C | דה-מורגן על החיבור: הפעולה האחרונה שמתחת לקו היא +, ולכן שוברים את הקו בה והחיבור נעשה כפל. |
| F = (A + B)·C | דה-מורגן על הכפל A·B. שמים סוגריים, כי את החיבור החדש צריך לחשב לפני הכפל ב-C. |
F = (A + B)·C
שימו לב: הטעות הנפוצה ביותר: לשכוח את הסוגריים. A·B·C שווה ל-(A + B)·C ולא ל-A + B·C. כששוברים קו מעל מכפלה ומקבלים חיבור — מקיפים אותו תמיד בסוגריים אם הוא מוכפל במשהו.
דוגמה 3.25
ניישם את כללי דה-מורגן על F = (A + B)·C.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = (A + B)·C | נתון |
| F = A + B + C | דה-מורגן על הכפל שבין הסוגריים לבין C. |
| F = A + B + C | שלילה כפולה. |
| F = A·B + C | דה-מורגן על החיבור A + B. |
F = A·B + C
דוגמה 3.26
נפשט את הפונקציה F = A + B + A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A + B + A·B | נתון |
| F = A·B + A·B | דה-מורגן על החיבור A + B. |
| F = A·B + A·B | שלילה כפולה: A = A. |
| F = A | כלל האיחוד. |
F = A
דוגמה 3.27
נפשט את הפונקציה F = A·B·A·C.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B·A·C | נתון |
| F = A·B + A·C | דה-מורגן על הקו הארוך: הכפל שבין שני החלקים נעשה חיבור. |
| F = A·B + A·C | שלילה כפולה, פעמיים. |
| F = A·(B + C) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף A. |
F = A·(B + C)
שאלה 3.6: ניישם את כללי דה-מורגן ונפשט:
(א) A·B
(ב) A + B·C.
(א) A·B
(ב) A + B·C.
תרגול מהיר — ניישם את כלל דה-מורגן (ושלילה כפולה אם צריך)
1A·B
2A + B
3A·B
4A + B
5A + B
6A·B
7A·B·C
8A + B + C
9A·B·C
10A + B + C
תשובות: 1 A + B 2 A·B 3 A + B 4 A·B 5 A·B 6 A + B 7 A + B + C 8 A·B·C 9 A + B + C 10 A·B·C
תרגול מהיר — ניישם את כללי דה-מורגן עד שהשלילה תישאר מעל משתנים בלבד
1A·B + C
2(A + B)·C
3A·B + C·D
4(A + B)·(C + D)
5A·B + C
6A·B + C
7A + B·C
8A + B·C
תשובות: 1 (A + B)·C 2 A·B + C 3 (A + B)·(C + D) 4 A·B + C·D 5 (A + B)·C 6 A·B·C 7 A·B·C 8 A + B + C
תרגול מהיר — נפשט בעזרת דה-מורגן ושאר הכללים
1F = A + B·B
2F = A·B + A
3F = A + B + A·B
4F = A·B·A
5F = A·B·A
6F = A + B + A + B
7F = A + B + A + B
8F = A·B·A·B
תשובות: 1 0 2 1 3 B 4 A·B 5 A·B 6 A 7 A 8 B
פעולות בוליאניות נוספות: NOR, NAND, XOR, XNOR. הצגת הסמלים של שערים אלו — (א) יצירת פונקציות בוליאניות (ב) פישוט פונקציות בוליאניות באמצעות כללי האלגברה הבוליאנית (More Gates)
משלוש הפעולות היסודיות בונים ארבע פעולות נוספות, ולכל אחת מהן יש שער מוכן בעל סמל משלו. עיגול קטן במוצא השער פירושו תמיד: המוצא מהופך.
שער NAND:
פעולת NAND (לא-וגם): זוהי AND ואחריה NOT (השם בא מ-NOT-AND). המוצא 0 רק כאשר כל המבואות 1; בשאר המקרים המוצא 1.
סמל NAND: שער AND עם עיגול ההיפוך
| A | B | A·B | F = A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
שער NOR:
פעולת NOR (לא-או): זוהי OR ואחריה NOT (השם בא מ-NOT-OR). המוצא 1 רק כאשר כל המבואות 0; בשאר המקרים המוצא 0.
סמל NOR: שער OR עם עיגול ההיפוך
| A | B | A + B | F = A + B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
שער XOR:
פעולת XOR (או מוציא): זוהי "או מוציא" (Exclusive OR): המוצא 1 כאשר שני המבואות שונים, ו-0 כאשר הם שווים. כותבים אותה A ⊕ B.
סמל XOR: שער OR עם קשת נוספת בגב
| A | B | F = A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
XOR באמצעות הפעולות היסודיות
A ⊕ B = A·B + A·B
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| A·B | שווה 1 בשורה AB = 10 | — |
| A·B | שווה 1 בשורה AB = 01 | — |
הערה: זו ה"או" שבה משתמשים בדיבור היומיומי: "תה או קפה" — אחד מהם, לא שניהם. ההבדל בין XOR לבין OR הוא בשורה האחרונה בלבד: 1 + 1 = 1 אבל 1 ⊕ 1 = 0.
שער XNOR:
פעולת XNOR (שוויון): זוהי XOR ואחריה NOT. המוצא 1 כאשר שני המבואות שווים, ולכן השער נקרא גם שער השוויון. כותבים אותה A ⊕ B.
סמל XNOR: שער XOR עם עיגול ההיפוך
| A | B | F = A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
XNOR באמצעות הפעולות היסודיות
A ⊕ B = A·B + A·B
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| A·B | שווה 1 בשורה AB = 11 | — |
| A·B | שווה 1 בשורה AB = 00 | — |
| השער | הסמל | הביטוי | עמודת F למבואות 00 , 01 , 10 , 11 | המוצא 1 כאשר |
|---|---|---|---|---|
| AND | A·B | 0 0 0 1 | כל המבואות 1 | |
| OR | A + B | 0 1 1 1 | לפחות מבוא אחד 1 | |
| NAND | A·B | 1 1 1 0 | לפחות מבוא אחד 0 | |
| NOR | A + B | 1 0 0 0 | כל המבואות 0 | |
| XOR | A ⊕ B | 0 1 1 0 | שני המבואות שונים | |
| XNOR | A ⊕ B | 1 0 0 1 | שני המבואות שווים |
הערה: ארבע תכונות שימושיות של פעולת XOR: A ⊕ 0 = A; A ⊕ 1 = A; A ⊕ A = 0; A ⊕ A = 1. התכונה השנייה פירושה ששער XOR הוא מהפך נשלט: כשהמבוא השני 0 האות A עובר כמות שהוא, וכשהוא 1 הוא יוצא מהופך.
העשרה ★: בשער XOR בעל שלושה מבואות או יותר: המוצא 1 כאשר מספר המבואות שערכם 1 הוא אי-זוגי. למשל 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 ו-1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0.
תרגול מהיר — מהו מוצא השער?
1NAND, המבואות: 1 , 1
2NAND, המבואות: 0 , 1
3NOR, המבואות: 0 , 0
4NOR, המבואות: 1 , 0
5XOR, המבואות: 1 , 1
6XOR, המבואות: 0 , 1
7XNOR, המבואות: 0 , 0
8XNOR, המבואות: 1 , 0
9NAND, המבואות: 0 , 0
10NOR, המבואות: 1 , 1
11XOR, המבואות: 0 , 0
12XNOR, המבואות: 1 , 1
תשובות: 1 0 2 1 3 1 4 0 5 0 6 1 7 1 8 0 9 1 10 0 11 0 12 1
דוגמה 3.28
האותות A ו-B נכנסים לשער NAND שהמוצא שלו X, ולשער XOR שהמוצא שלו Y. נסרטט את שני המוצאים.
פתרון:
המוצא X = A·B יורד ל-0 רק בפרקי הזמן שבהם A ו-B שניהם 1.
המוצא Y = A ⊕ B עולה ל-1 בפרקי הזמן שבהם A ו-B שונים.
X = A·B, Y = A ⊕ B
תרגול מהיר — נחשב את ערך הביטוי כאשר A = 1, B = 1, C = 0
1A ⊕ B
2A ⊕ B
3A·B
4A + B
5A ⊕ B ⊕ C
6A·B ⊕ C
7A + C·B
8(A ⊕ C) + B·C
תשובות: 1 0 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 1
העשרה ★ — NAND ו-NOR הם שערים אוניברסליים:
משערי NAND בלבד אפשר לבנות את המהפך, את שער AND ואת שער OR — כלומר כל מעגל אפשרי. לכן NAND נקרא שער אוניברסלי, והוא הדין בשער NOR. זה נוח בתעשייה: קונים סוג אחד של שבבים.
מהפך: A·A = A
AND: הופכים את מוצא NAND
OR: A·B = A + B
(א) יצירת פונקציות בוליאניות:
יצירת פונקציה היא מעבר מתיאור במילים לביטוי בוליאני. עובדים תמיד באותם צעדים:
- קובעים את המבואות ואת המוצא ונותנים לכל אחד אות. כותבים בבירור מה פירוש הערך 1 לכל אות.
- בונים טבלת אמת: לכל צירוף שואלים "מה צריך להיות המוצא?".
- כותבים ביטוי: לכל שורה שבה F = 1 כותבים מכפלה של כל המשתנים — משתנה שערכו 1 כותבים כמות שהוא, ומשתנה שערכו 0 כותבים מהופך. מחברים את המכפלות.
- מפשטים את הביטוי ומסרטטים את המעגל.
דוגמה 3.29
במחסן יש שתי דלתות, ועל כל דלת חיישן: A = 1 פירושו "הדלת הראשונה פתוחה" ו-B = 1 פירושו "הדלת השנייה פתוחה". נורת האזהרה F צריכה לדלוק אם לפחות דלת אחת פתוחה. נבנה את הפונקציה בארבעת הצעדים.
פתרון:
טבלת האמת לפי התיאור:
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
בשלוש שורות F = 1. נכתוב מכפלה לכל שורה: השורה 01 ← A·B; השורה 10 ← A·B; השורה 11 ← A·B. נחבר:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + A·B + A·B | נתון |
| F = A·B + A | כלל האיחוד על שני האיברים האחרונים: A·B + A·B = A. |
| F = A + A·B | חוק החילוף. |
| F = A + B | כלל השמטת המשתנה המהופך. |
קיבלנו שער OR אחד — כפי שציפינו מן התיאור "לפחות אחת".
F = A + B
דוגמה 3.30
נורת חדר המדרגות מופעלת משני מפסקים, A למטה ו-B למעלה. כל שינוי באחד המפסקים צריך לשנות את מצב הנורה. כששני המפסקים במצב 0 הנורה כבויה. נבנה את הפונקציה.
פתרון:
נתחיל מן השורה AB = 00, שבה F = 0. שינוי של מפסק אחד מדליק את הנורה: בשורות 01 ו-10 נכתוב F = 1. שינוי נוסף מכבה אותה: בשורה 11 נכתוב F = 0.
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
המכפלות של שתי השורות שבהן F = 1:
F = A·B + A·B
זו בדיוק ההגדרה של XOR, ולכן די בשער אחד:
F = A ⊕ B
F = A ⊕ B
דוגמה 3.31
למכונת חיתוך במפעל יש שני מגיני בטיחות. A = 1: "המגן הראשון סגור", B = 1: "המגן השני סגור". נורה אדומה F דולקת כשהעבודה במכונה אינה בטוחה, כלומר כשלא נכון ששני המגינים סגורים. נבנה את הפונקציה ונבחר שער.
פתרון:
"שני המגינים סגורים" הוא A·B. הנורה דולקת כשזה אינו נכון:
F = A·B
זהו שער NAND אחד. לפי דה-מורגן אפשר לקרוא אותו גם כך: F = A + B — "המגן הראשון פתוח או המגן השני פתוח".
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
F = A·B = A + B
דוגמה 3.32
בוועדה יש יושב ראש A ושני חברים B ו-C. ההחלטה F מתקבלת אם יושב הראש הסכים וגם הסכים איתו לפחות חבר אחד. (הערך 1 פירושו "הסכים".) נבנה את הפונקציה, נפשט אותה ונסרטט את המעגל.
פתרון:
נבנה את טבלת האמת: F = 1 רק בשורות שבהן A = 1 וגם לפחות אחד מבין B, C שווה 1.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
בשלוש שורות F = 1: 101, 110, 111. נכתוב מכפלה לכל שורה ונחבר:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B·C + A·B·C + A·B·C | נתון |
| F = A·B·C + A·B | כלל האיחוד על שני האיברים האחרונים: A·B·C + A·B·C = A·B. |
| F = A·(B·C + B) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף A. |
| F = A·(B + C) | כלל השמטת המשתנה המהופך: B + B·C = B + C. |
המעגל אחרי הפישוט: שני שערים בלבד
F = A·(B + C)
שאלה 3.7: במכל מים יש שני חיישנים: A = 1 "המים הגיעו לחיישן התחתון", B = 1 "המים הגיעו לחיישן העליון". נורת תקלה F דולקת אם החיישן העליון מדווח על מים והחיישן התחתון אינו מדווח על מים — מצב שאינו אפשרי במכל תקין. נכתוב את הפונקציה ואת טבלת האמת.
ניתוח מעגל עם השערים החדשים:
דוגמה 3.33
במעגל יש שלושה שערי NAND. נכתוב את הביטוי של המוצא F ונפשט אותו.
פתרון:
מוצאי שני השערים הראשונים:
X = A·B
Y = C·D
השער האחרון הוא NAND בין X לבין Y: F = X·Y. נציב:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B·C·D | נתון |
| F = A·B + C·D | דה-מורגן על הקו הארוך. |
| F = A·B + C·D | שלילה כפולה, פעמיים. |
שלושה שערי NAND פועלים כמו שני שערי AND ואחריהם שער OR. כך מממשים בפועל "סכום מכפלות" משערי NAND בלבד.
F = A·B + C·D
תרגול מהיר — נכתוב את הביטוי הבוליאני של המוצא F (כמות שהוא, בלי פישוט)
1
2
3
4
5
6
תשובות: 1 F = A·B + C 2 F = A + B·C 3 F = (A ⊕ B)·C 4 F = A + B + C 5 F = A·B·B·C 6 F = A ⊕ B + A·C
(ב) פישוט פונקציות בוליאניות באמצעות כללי האלגברה הבוליאנית:
עכשיו נאסוף את כל הכלים. תכנית עבודה טובה לפישוט:
- אם יש קו שלילה מעל ביטוי שלם — שוברים אותו בעזרת דה-מורגן, ומוחקים כל שלילה כפולה.
- פותחים את הסוגריים בעזרת חוק הפילוג, ומוחקים כל איבר שיש בו X·X.
- מחפשים איברים שנבלעים (X + X·Y) ואיברים שמתאחדים (X·Y + X·Y).
- מחפשים משתנה מהופך שאפשר להשמיט (X + X·Y).
- בסוף מוציאים גורם משותף אם זה חוסך שערים.
דוגמה 3.34
נפשט את הפונקציה F = (A + B)·A·B. איזה שער יחיד מממש את הפונקציה הזאת?
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = (A + B)·A·B | נתון |
| F = (A + B)·(A + B) | דה-מורגן. |
| F = A·A + A·B + B·A + B·B | חוק הפילוג: נכפול כל איבר בכל איבר. |
| F = 0 + A·B + B·A + 0 | כלל המשלים: A·A = 0 ו-B·B = 0. |
| F = A·B + A·B | כללי הקבועים וחוק החילוף. |
זהו הביטוי של XOR.
F = A·B + A·B = A ⊕ B
דוגמה 3.35
נוכיח בדרך אלגברית שההיפוך של XOR הוא A·B + A·B: נפשט את F = A·B + A·B.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B + A·B | נתון |
| F = A·B·A·B | דה-מורגן על החיבור. |
| F = (A + B)·(A + B) | דה-מורגן על כל מכפלה, עם שלילה כפולה. |
| F = A·A + A·B + B·A + B·B | חוק הפילוג. |
| F = A·B + A·B | כלל המשלים: A·A = 0 ו-B·B = 0. |
A ⊕ B = A·B + A·B
דוגמה 3.36
במעגל יש שני שערי NOR שמוצאיהם נכנסים לשער OR: F = A + B + A + B. נפשט.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A + B + A + B | נתון |
| F = A·B + A·B | דה-מורגן על כל אחד משני האיברים. |
| F = A·B + A·B | שלילה כפולה. |
| F = A | כלל האיחוד. |
שלושה שערים ומהפך — וכולם שווים למהפך אחד על המבוא A.
F = A
דוגמה 3.37
נפשט את הפונקציה F = A·B·C + A·B·C + A·B·C ונשווה את מספר השערים לפני הפישוט ואחריו.
פתרון:
| הביטוי | הכלל שהשתמשנו בו |
|---|---|
| F = A·B·C + A·B·C + A·B·C | נתון |
| F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C | כלל החזרה: נכתוב את האיבר A·B·C פעמיים, כדי להשתמש בו בשני איחודים. |
| F = A·B + A·B·C + A·B·C | כלל האיחוד על שני האיברים הראשונים: C מושמט. |
| F = A·B + B·C | כלל האיחוד על שני האיברים האחרונים: A מושמט. |
| F = B·(A + C) | חוק הפילוג: נוציא את הגורם המשותף B. |
לפני הפישוט: 6 שערים
אחרי הפישוט: 2 שערים
לפני הפישוט: NOT × 2, AND × 3, OR × 1. אחרי הפישוט: AND × 1, OR × 1.
F = B·(A + C)
שאלה 3.8: נפשט את הפונקציה F = A·B·(A + B).
תרגול מהיר — נפשט לביטוי הקצר ביותר
1F = A·B·A
2F = A + B + B
3F = (A ⊕ B) + A·B
4F = (A ⊕ B)·A
5F = A·B·A·B
6F = A + B + A + C
7F = A·B + A·C + A·B
8F = A·B·A·B
9F = A·B·C + A·B·C + A·C
10F = (A + B)·(A + B)·(A + C)
11F = A + B·(A + B)
12F = A·B + A + B + A·B
תשובות: 1 A·B 2 A + B 3 A + B 4 A·B 5 A 6 A + B·C 7 A + C 8 B 9 C 10 A·B + B·C 11 A·B 12 A + B
▶ניסוי חי — אלגברה בוליאנית ושעריםבשיעור על השערים והאלגברה הבוליאנית: כותבים ביטוי, רואים את טבלת האמת ואת המעגל, ומשווים בין הביטוי שלפני הפישוט לביטוי שאחריו.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/electronics/digital_systems
סיכום נוסחאות הפרק:
| החוק | הנוסחה |
|---|---|
| כללי הקבועים | A + 0 = A |
| A·1 = A | |
| A + 1 = 1 | |
| A·0 = 0 | |
| כלל החזרה | A + A = A |
| A·A = A | |
| כלל המשלים | A + A = 1 |
| A·A = 0 | |
| שלילה כפולה | A = A |
| חוק הפילוג | A·(B + C) = A·B + A·C |
| A + B·C = (A + B)·(A + C) | |
| כלל הבליעה | A + A·B = A |
| A·(A + B) = A | |
| כלל השמטת המשתנה המהופך | A + A·B = A + B |
| A·(A + B) = A·B | |
| כלל האיחוד | A·B + A·B = A |
| (A + B)·(A + B) = A | |
| כללי דה-מורגן | A·B = A + B |
| A + B = A·B |
מילון מונחים:
| עברית | English | العربية |
|---|---|---|
| אלגברה בוליאנית | Boolean algebra | الجبر البولياني |
| משתנה בוליאני | Boolean variable | متغير بولياني |
| קבוע | Constant | ثابت |
| פעולה | Operation | عملية |
| ביטוי בוליאני | Boolean expression | تعبير بولياني |
| פונקציה בוליאנית | Boolean function | دالة بوليانية |
| סדר הפעולות | Order of operations | ترتيب العمليات |
| שער לוגי | Logic gate | البوابة المنطقية |
| מהפך | Inverter (NOT) | العاكس |
| מבוא | Input | المدخل |
| מוצא | Output | المخرج |
| טבלת אמת | Truth table | جدول الصواب |
| דיאגרמת זמנים | Timing diagram | مخطط الزمن |
| מכפלה | Product | حاصل ضرب |
| סכום | Sum | مجموع |
| זהות | Identity | متطابقة |
| כלל | Rule | قاعدة |
| חוק | Law | قانون |
| חוק החילוף | Commutative law | قانون التبديل |
| חוק הקיבוץ | Associative law | قانون التجميع |
| חוק הפילוג | Distributive law | قانون التوزيع |
| גורם משותף | Common factor | عامل مشترك |
| משלים | Complement | المتمم |
| שלילה כפולה | Double negation | النفي المزدوج |
| עקרון הדואליות | Duality principle | مبدأ الثنوية |
| כללי צמצום | Reduction rules | قواعد الاختصار |
| בליעה | Absorption | الامتصاص |
| כללי דה-מורגן | De Morgan's laws | قانونا دي مورغان |
| פישוט | Simplification | التبسيط |
| שער אוניברסלי | Universal gate | بوابة شاملة |
| או מוציא (XOR) | Exclusive OR | أو الحصرية |
| שער שוויון (XNOR) | Equivalence gate | بوابة المساواة |
שאלות לתרגול:
רמה ראשונה — בסיסי
1.
מהו המוצא של כל שער?
(א) AND, המבואות 1 , 0;
(ב) OR, המבואות 1 , 0;
(ג) NOT, המבואות 1;
(ד) AND, המבואות 1 , 1 , 1;
(ה) OR, המבואות 0 , 0 , 0;
(ו) AND, המבואות 1 , 0 , 1
(א) AND, המבואות 1 , 0;
(ב) OR, המבואות 1 , 0;
(ג) NOT, המבואות 1;
(ד) AND, המבואות 1 , 1 , 1;
(ה) OR, המבואות 0 , 0 , 0;
(ו) AND, המבואות 1 , 0 , 1
תשובות: (א) 0; (ב) 1; (ג) 0; (ד) 1; (ה) 0; (ו) 0
2.
נבנה טבלת אמת לשער AND בעל שלושה מבואות ולשער OR בעל שלושה מבואות. בכמה שורות המוצא של כל שער הוא 1?
תשובות: שער AND — עמודת F: 0 0 0 0 0 0 0 1, בשורה אחת; שער OR — עמודת F: 0 1 1 1 1 1 1 1, ב-7 שורות
3.
נחשב את ערכו של כל ביטוי כאשר A = 1, B = 0, C = 1:
(א) A·B + C;
(ב) A + B;
(ג) A·B·C;
(ד) A + B;
(ה) A·B;
(ו) (A + B)·C
(א) A·B + C;
(ב) A + B;
(ג) A·B·C;
(ד) A + B;
(ה) A·B;
(ו) (A + B)·C
תשובות: (א) 1; (ב) 0; (ג) 1; (ד) 0; (ה) 1; (ו) 0
4.
נחשב כאשר A = 1, B = 0, C = 0 את ערכו של F = A + B·C ואת ערכו של G = (A + B)·C. מדוע התוצאות שונות?
תשובות: F = 1, G = 0 — ב-F הכפל מחושב לפני החיבור, וב-G הסוגריים משנים את הסדר
5.
נבנה טבלת אמת לפונקציה F = A·B + C עם עמודות עזר. בכמה שורות F = 1?
תשובות: עמודת F: 1 0 1 0 1 0 1 1; ב-5 שורות
6.
נכתוב את הביטוי הבוליאני של המוצא F במעגל, ונחשב את F כאשר A = 0, B = 0, C = 1.
תשובות: F = (A + B)·C; F = 1
7.
נסרטט מעגל שערים לפונקציה F = (A + B)·C. אילו שערים נדרשים?
תשובות: NOT × 1, AND × 1, OR × 1
8.
נשלים:
(א) A + 0 = ;
(ב) A·0 = ;
(ג) A + 1 = ;
(ד) A·1 = ;
(ה) A + A = ;
(ו) A·A = ;
(ז) A + A = ;
(ח) A =
(א) A + 0 = ;
(ב) A·0 = ;
(ג) A + 1 = ;
(ד) A·1 = ;
(ה) A + A = ;
(ו) A·A = ;
(ז) A + A = ;
(ח) A =
תשובות: (א) A; (ב) 0; (ג) 1; (ד) A; (ה) A; (ו) 0; (ז) 1; (ח) A
9.
נכתוב את שם הכלל:
(א) A·(B + C) = A·B + A·C;
(ב) A·B = B·A;
(ג) B + B = 1;
(ד) A + (B + C) = (A + B) + C;
(ה) A·B = A + B;
(ו) A + A·B = A
(א) A·(B + C) = A·B + A·C;
(ב) A·B = B·A;
(ג) B + B = 1;
(ד) A + (B + C) = (A + B) + C;
(ה) A·B = A + B;
(ו) A + A·B = A
תשובות: (א) חוק הפילוג; (ב) חוק החילוף; (ג) כלל המשלים; (ד) חוק הקיבוץ; (ה) כלל דה-מורגן; (ו) כלל הבליעה
10.
נכתוב את הזהות הדואלית של כל זהות:
(א) A·1 = A;
(ב) A + A·B = A + B;
(ג) A·(B + C) = A·B + A·C
(א) A·1 = A;
(ב) A + A·B = A + B;
(ג) A·(B + C) = A·B + A·C
תשובות: (א) A + 0 = A; (ב) A·(A + B) = A·B; (ג) A + B·C = (A + B)·(A + C)
11.
נפשט בצעד אחד או בשניים:
(א) A·B + A·B;
(ב) A·A + B;
(ג) (A + A)·B;
(ד) A·1 + 0;
(ה) A·B·0 + C
(א) A·B + A·B;
(ב) A·A + B;
(ג) (A + A)·B;
(ד) A·1 + 0;
(ה) A·B·0 + C
תשובות: (א) A·B; (ב) B; (ג) B; (ד) A; (ה) C
12.
האותות A ו-B שבסרטוט נכנסים לשער AND שהמוצא שלו X ולשער OR שהמוצא שלו Y. נכתוב את ערכי X ו-Y בכל פרק זמן ונסרטט אותם.
תשובות: X = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1; Y = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
13.
ניישם את כלל דה-מורגן:
(א) A·B;
(ב) A + B + C;
(ג) A·B;
(ד) A + B
(א) A·B;
(ב) A + B + C;
(ג) A·B;
(ד) A + B
תשובות: (א) A + B; (ב) A·B·C; (ג) A + B; (ד) A·B
14.
נחשב את המוצא של כל אחד מן השערים NAND, NOR, XOR, XNOR:
(א) כאשר A = 1, B = 1
(ב) כאשר A = 0, B = 1.
(א) כאשר A = 1, B = 1
(ב) כאשר A = 0, B = 1.
תשובות: (א) NAND = 0, NOR = 0, XOR = 0, XNOR = 1 (ב) NAND = 1, NOR = 0, XOR = 1, XNOR = 0
רמה שנייה — בינוני
15.
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B + B צעד אחר צעד ונכתוב את שם הכלל בכל צעד.
תשובות: F = A + B
16.
נפשט את הפונקציה F = A + A·B + A·C צעד אחר צעד ונכתוב את שם הכלל בכל צעד.
תשובות: F = A
17.
נפשט את הפונקציה F = A·(A + B) + B·B צעד אחר צעד ונכתוב את שם הכלל בכל צעד.
תשובות: F = A
18.
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B + A·B צעד אחר צעד ונכתוב את שם הכלל בכל צעד.
תשובות: F = A + B
19.
נפשט את הפונקציה F = A·B·C + A·B·C + A·B צעד אחר צעד ונכתוב את שם הכלל בכל צעד.
תשובות: F = A
20.
נפשט את הפונקציה F = (A + B)·(A + C), ונבדוק את התוצאה בטבלת אמת.
תשובות: F = A + B·C; עמודת F לשני הביטויים: 0 0 0 1 1 1 1 1
21.
ניישם את כללי דה-מורגן עד שהשלילה תישאר מעל משתנים בלבד:
(א) A + B;
(ב) A·B;
(ג) A·B;
(ד) A·B + C;
(ה) (A + B)·C
(א) A + B;
(ב) A·B;
(ג) A·B;
(ד) A·B + C;
(ה) (A + B)·C
תשובות: (א) A·B; (ב) A + B; (ג) A + B; (ד) (A + B)·C; (ה) A·B + C
22.
נפשט את הפונקציה F = A·B·(A + B). איזה שער יחיד מממש אותה?
תשובות: F = A·B + A·B = A ⊕ B — שער XOR
23.
תלמיד כתב: A + B = A + B.
(א) נמצא בטבלת אמת באילו שורות שני האגפים שונים.
(ב) נכתוב את השוויון הנכון.
(א) נמצא בטבלת אמת באילו שורות שני האגפים שונים.
(ב) נכתוב את השוויון הנכון.
תשובות: (א) עמודת אגף שמאל: 1 0 0 0, עמודת אגף ימין: 1 1 1 0; שונים בשורות AB = 01 , 10 (ב) A + B = A·B
24.
למעגל שבסרטוט:
(א) נכתוב ביטוי לכל אחד מן המוצאים הפנימיים X, Y, Z ולמוצא F.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) נחשב את F כאשר A = 1, B = 1, C = 0.
(א) נכתוב ביטוי לכל אחד מן המוצאים הפנימיים X, Y, Z ולמוצא F.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) נחשב את F כאשר A = 1, B = 1, C = 0.
תשובות: (א) X = A + B, Y = A·C, Z = A·C, F = (A + B)·A·C (ב) עמודת F: 0 0 1 1 1 0 1 0 (ג) F = 1
25.
במעגל יש שערי NAND ומהפך.
(א) נכתוב את הביטוי של המוצא F כמות שהוא.
(ב) נפשט אותו בעזרת דה-מורגן.
(א) נכתוב את הביטוי של המוצא F כמות שהוא.
(ב) נפשט אותו בעזרת דה-מורגן.
תשובות: (א) F = A·B·A·C (ב) F = A·B + A·C
26.
מאוורר האוורור F בחממה חקלאית פועל אם הטמפרטורה גבוהה (A = 1) או אם הלחות גבוהה (B = 1) וגם לא נכון שהחלון פתוח (C = 1: החלון פתוח).
(א) נכתוב את הפונקציה.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) אילו שערים נדרשים למימושה?
(א) נכתוב את הפונקציה.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) אילו שערים נדרשים למימושה?
תשובות: (א) F = A + B·C (ב) עמודת F: 0 0 1 0 1 1 1 1 (ג) NOT × 1, AND × 1, OR × 1
27.
סיבית הזוגיות. כדי לגלות שגיאות בהעברת מידע מוסיפים לכל מילה סיבית נוספת P = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D. נחשב את P למילים ABCD: 1011, 0110, 1111, 1000. מה מלמדת אותנו P?
תשובות: 1, 0, 0, 1 — P = 1 כאשר מספר האחדות במילה אי-זוגי
28.
נבנה טבלת אמת לפונקציה F = (A ⊕ B) + A·B. איזה שער יחיד מממש אותה פונקציה?
תשובות: עמודת F: 0 1 1 1; F = A + B — שער OR
29.
האותות A ו-B נכנסים לשער NOR שהמוצא שלו X ולשער XOR שהמוצא שלו Y. נכתוב את ערכי X ו-Y בכל פרק זמן ונסרטט אותם.
תשובות: X = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0; Y = 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
30.
נפשט את הפונקציה F = A + B·A + B.
תשובות: F = 0
31.
נתונה טבלת האמת של הפונקציה F.
(א) נכתוב מכפלה לכל שורה שבה F = 1 ונחבר.
(ב) נפשט.
(א) נכתוב מכפלה לכל שורה שבה F = 1 ונחבר.
(ב) נפשט.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
תשובות: (א) F = A·B·C + A·B·C + A·B·C (ב) F = A·C + B·C
רמה שלישית — אתגר
32.
נוכיח בדרך אלגברית, בלי טבלת אמת, ש-A + A·B = A + B. (הדרכה: חוק הפילוג השני.)
תשובות: A + A·B = (A + A)·(A + B) = 1·(A + B) = A + B
33.
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·C + B·C. (הדרכה: נכפול את האיבר B·C ב-(A + A), וזה אינו משנה אותו.)
תשובות: F = A·B + A·C — האיבר B·C מיותר
34.
נפשט את הפונקציה F = A·B + A·B. איזה שער יחיד מממש אותה?
תשובות: F = A·B + A·B — שער XOR
35.
נפשט את הפונקציה F = (A + B)·(A + B). איזה שער יחיד מממש אותה?
תשובות: F = A·B + A·B — שער XNOR
36.
נפשט את הפונקציה F = A·B·C·D + A·B·C·D + A·B·D + B·D.
תשובות: F = B
37.
נבנה משערי NAND בלבד (שני מבואות לכל שער):
(א) מהפך
(ב) שער AND
(ג) שער OR. נכתוב את הביטוי של כל מעגל ואת מספר השערים.
(א) מהפך
(ב) שער AND
(ג) שער OR. נכתוב את הביטוי של כל מעגל ואת מספר השערים.
תשובות: (א) A·A = A — שער אחד (ב) A·B·A·B = A·B — שני שערים (ג) A·A·B·B = A + B — שלושה שערים
38.
בוועדה יש שלושה שופטים, וההחלטה מתקבלת אם לפחות שני שופטים הסכימו. מטבלת האמת קיבלנו F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C. נפשט. (הדרכה: נכתוב את האיבר A·B·C שלוש פעמים.) כמה שערים נדרשים אחרי הפישוט?
תשובות: F = A·B + A·C + B·C; AND × 3, OR × 1
39.
אזעקת המכונית F פועלת רק כשהמערכת דרוכה (A = 1), ובמצב זה היא פועלת אם הדלת אינה סגורה (B = 1: הדלת סגורה) או אם חיישן התנועה גילה תנועה (C = 1).
(א) נבנה את טבלת האמת.
(ב) נכתוב מכפלה לכל שורה שבה F = 1 ונחבר.
(ג) נפשט ונוציא גורם משותף.
(א) נבנה את טבלת האמת.
(ב) נכתוב מכפלה לכל שורה שבה F = 1 ונחבר.
(ג) נפשט ונוציא גורם משותף.
תשובות: (א) עמודת F: 0 0 0 0 1 1 0 1 (ב) F = A·B·C + A·B·C + A·B·C (ג) F = A·B + A·C = A·(B + C)
40.
נשתמש בביטוי A ⊕ B = A·B + A·B כדי להוכיח:
(א) A ⊕ 1 = A
(ב) A ⊕ A = 0.
(ג) למה שווה A ⊕ B ⊕ B?
(א) A ⊕ 1 = A
(ב) A ⊕ A = 0.
(ג) למה שווה A ⊕ B ⊕ B?
תשובות: (א) A·1 + A·1 = A·0 + A = A (ב) A·A + A·A = 0 + 0 = 0 (ג) A ⊕ (B ⊕ B) = A ⊕ 0 = A
41.
למעגל שבסרטוט:
(א) נכתוב את הביטוי של המוצא F.
(ב) נפשט אותו.
(ג) כמה שערים יש במעגל המקורי וכמה שערים אחרי הפישוט?
(א) נכתוב את הביטוי של המוצא F.
(ב) נפשט אותו.
(ג) כמה שערים יש במעגל המקורי וכמה שערים אחרי הפישוט?
תשובות: (א) F = A·B + A·B + A·B (ב) F = A + B (ג) 6 שערים לפני הפישוט, ושער OR אחד אחריו
42.
נכתוב את ההיפוך של הפונקציה G = A·B + C·(A + D), כלומר F = G, כך שהשלילה תישאר מעל משתנים בלבד.
תשובות: F = (A + B)·(C + A·D)
43.
תלמיד פישט כך: F = A + A·B = (A + A)·B = 1·B = B. באיזה צעד הטעות? מהי התוצאה הנכונה?
תשובות: הטעות בצעד הראשון: A + A·B אינו שווה ל-(A + A)·B, כי הכפל מחושב לפני החיבור. התוצאה הנכונה: F = A + B
תשובות סופיות לשאלות הפרק
3.1 F = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
3.2 F = 1, G = 0
3.3 F = A·B + C; עמודת F: 1 1 1 1 1 1 0 1
3.4 F = B (כלל המשלים, כללי הקבועים)
3.5 F = A + B
3.6 (א) A + B (ב) A·(B + C)
3.7 F = A·B; עמודת F: 0 1 0 0
3.8 F = A
שאלות בגרות לפרק 3
השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.
בגרות 2021 (מועד מיוחד) שאלה 9 — פישוט פונקציה בינארית
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | פישוט הפונקציה למינימום משתנים | F = A · B · C |
| סעיף ב | מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים | F = A + B + C = A · B · C |
בגרות 2021 שאלה 9 — פישוט פונקציות בוליאניות
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | פישוט הפונקציה F₁ | F₁ = A + C |
| סעיף ב1 | מפת קרנו לפונקציה F₂ ופישוטה | F₂ = B + A · C + A · C |
| סעיף ב2 | מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים | בפתרון המלא |
בגרות 2016 שאלה 9 — פישוט פונקציה בינארית
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | פישוט הפונקציה במינימום ליטרלים | בפתרון המלא |
| סעיף ב | מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים | בפתרון המלא |
נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.