פרק 5
תכנון ומימוש מערכות צירופים
בפרקים הקודמים אספנו את הכלים: השערים הלוגיים, האלגברה הבוליאנית ומפת קרנו. בפרק הזה נשתמש בהם יחד כדי לבנות דבר שעובד. ניקח משימה שכתובה במילים — אזעקה, הצבעה, משאבת מים — ונהפוך אותה למעגל של שערים. אחר כך נלך בדרך ההפוכה: ניקח מעגל מסורטט, נגלה מה הוא עושה, נפשט אותו, ונסרטט איך המוצא שלו משתנה עם הזמן.
בסוף הפרק הזה נדע:
- נתכנן מערכת צירופים מתיאור מילולי: טבלת אמת, מפת קרנו, ביטוי מפושט וסרטוט.
- נממש ביטוי בצורת סכום מכפלות בשערי AND, OR ו-NOT, ונספור את השערים.
- נממש כל פונקציה בשערי NAND בלבד או בשערי NOR בלבד.
- נחשב כמה רכיבים משולבים מן הסוגים 7400, 7404, 7408 ו-7432 דרושים למימוש מעגל.
- ננתח מעגל נתון: נכתוב את ביטוי המוצא שער אחר שער, נפשט אותו ונסרטט את המעגל המפושט.
- נסרטט את צורת הגל של המוצא בדיאגרמת זמנים כאשר צורות הגל של המבואות נתונות.
מימוש בעזרת שערים לוגיים בסיסיים (Implementation with Basic Gates)
מערכת צירופים: זהו מעגל לוגי שהמוצא שלו בכל רגע תלוי רק בערכי המבואות שלו באותו רגע. אין בו זיכרון: אותו צירוף של מבואות נותן תמיד אותו מוצא. לכן אפשר לתאר את כולו בטבלת אמת אחת.
ההפך ממנה הוא מערכת עקיבה, ובה המוצא תלוי גם במה שקרה קודם; נכיר אותה בפרק 8.
שלבי התכנון:
תכנון: זוהי הדרך מתיאור מילולי של משימה אל מעגל מסורטט של שערים. המימוש הוא השלב האחרון בה: בחירת השערים וסרטוט המעגל.
- נקרא את התיאור ונקבע מהם המבואות ומהו המוצא. ניתן לכל מבוא אות, ונכתוב בבירור מה פירוש 1 ומה פירוש 0.
- נכתוב את טבלת האמת: לכל צירוף של המבואות נחליט, לפי התיאור, אם המוצא הוא 1 או 0.
- נעביר את הטבלה למפת קרנו ונקבץ את המשבצות הסמוכות לקבוצות גדולות ככל האפשר.
- נכתוב את הביטוי המפושט בצורת סכום מכפלות.
- נסרטט את המעגל, נספור את השערים ונבדוק את המעגל מול הטבלה.
חמשת שלבי התכנון, מימין לשמאל
דוגמה 5.1
נתכנן מערכת אזעקה לבית. למערכת יש מתג הפעלה ושני חיישנים: חיישן על הדלת וחיישן על החלון. צופר האזעקה פועל אם המערכת מופעלת ונפתחה הדלת או נפתח החלון (או שניהם).
פתרון:
שלב 1 — המבואות והמוצא. A = 1: המערכת מופעלת. B = 1: הדלת פתוחה. C = 1: החלון פתוח. המוצא F = 1: הצופר פועל.
שלב 2 — טבלת האמת. כאשר A = 0 המערכת כבויה והצופר אינו פועל לעולם. כאשר A = 1 הצופר פועל אם B = 1 או C = 1.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
F(A,B,C) = Σ(5,6,7)
שלב 3 — מפת קרנו. בשלוש משבצות יש 1, ונקבץ אותן לשתי קבוצות של שתי משבצות:
שלב 4 — הביטוי המפושט:
F = A·C + A·B
שלב 5 — המעגל. שער AND לכל מכפלה ושער OR שמחבר אותן:
מעגל האזעקה: 2 AND + 1 OR = 3
בדיקה: נבחר שורה מן הטבלה, למשל A = 1, B = 0, C = 1. השער התחתון נותן 1·1 = 1 ולכן F = 1 — כמו בטבלה.
F = A·C + A·B
דוגמה 5.2
האם אפשר לבנות את מעגל האזעקה מן הדוגמה הקודמת במספר קטן יותר של שערים?
פתרון:
F = A·C + A·B
בשני האיברים מופיע A. נוציא אותו כגורם משותף (חוק הפילוג):
F = A·(B + C)
עכשיו דרושים רק שער OR אחד ושער AND אחד:
מעגל האזעקה אחרי הוצאת הגורם המשותף: 1 AND + 1 OR = 2
הביטוי החדש אומר בדיוק את מה שאמר התיאור המילולי: "המערכת מופעלת וגם (הדלת פתוחה או החלון פתוח)".
F = A·(B + C)
הערה: מפת קרנו נותנת לנו את סכום המכפלות הפשוט ביותר, והוא ממומש תמיד בשתי דרגות של שערים. לפעמים, אחרי הוצאת גורם משותף, מקבלים מעגל שיש בו פחות שערים אבל יותר דרגות. בבחינה מממשים לפי הצורה שהשאלה דורשת.
שאלה 5.1: מכבש במפעל פועל (F = 1) רק אם העובד לוחץ על שני לחצנים בשתי ידיו (A = 1 ו-B = 1) ודלת המגן סגורה (C = 1). נכתוב את טבלת האמת ואת הביטוי. איזה שער דרוש?
תרגול מהיר — נכתוב ביטוי בוליאני למוצא F לפי התיאור
1הנורה דולקת אם המתג A סגור והמתג B סגור
2הפעמון מצלצל אם נלחץ הלחצן A או הלחצן B
3המאוורר פועל אם A = 1 ו-B = 0
4המנוע פועל אם A = 1, וגם B = 1 או C = 1
5הדלת נפתחת אם A = 1 ו-B = 1, או אם C = 1
6האור האדום דולק אם לא מתקיים A = 1 וגם לא מתקיים B = 1
7הצופר פועל אם רק אחד משני המבואות A, B שווה ל-1
8המשאבה פועלת אם A = 0, או אם B = 1 ו-C = 0
תשובות: 1 F = A·B 2 F = A + B 3 F = A·B 4 F = A·(B + C) 5 F = A·B + C 6 F = A·B 7 F = A·B + A·B 8 F = A + B·C
מימוש בשערי AND, OR, NOT:
ביטוי בצורת סכום מכפלות מממשים ישירות במעגל של שתי דרגות — מימוש דו-דרגתי: בדרגה הראשונה שערי AND, ובדרגה השנייה שער OR אחד. לפניהם מהפכים למשתנים שמופיעים עם קו עליון.
מספר השערים במימוש סכום מכפלות
N = NNOT + NAND + NOR
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| NNOT | מספר המהפכים: מהפך אחד לכל משתנה שמופיע בביטוי עם קו עליון | — |
| NAND | מספר שערי AND: שער לכל מכפלה שיש בה שני ליטרלים או יותר | — |
| NOR | שער OR אחד אם יש בביטוי שני איברים או יותר; מספר המבואות שלו שווה למספר האיברים | — |
| N | מספר השערים הכולל | — |
הערה: איבר שיש בו ליטרל אחד בלבד (כמו C בביטוי A·B + C) אינו צריך שער AND: מחברים אותו ישירות לשער OR.
דוגמה 5.3
ועדה של שלושה שופטים מצביעה על החלטה. כל שופט לוחץ על לחצן: 1 = בעד, 0 = נגד. נתכנן מעגל שמדליק נורה ירוקה (F = 1) אם הרוב הצביע בעד, ונממש אותו בשערי AND ו-OR.
פתרון:
המבואות: A, B, C — קולות שלושת השופטים. רוב פירושו: לפחות שניים הצביעו בעד. נעבור על השורות ונספור כמה פעמים מופיע 1 בכל שורה; אם המספר הוא 2 או 3 נכתוב F = 1.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7)
שלוש קבוצות של שתי משבצות. המשבצת 7 משותפת לשלושתן
F = B·C + A·C + A·B
אין בביטוי משתנה עם קו עליון ← אין צורך במהפכים. שלוש מכפלות ← שלושה שערי AND; ושער OR אחד בעל שלושה מבואות:
מעגל הרוב: 3 AND + 1 OR = 4
F = B·C + A·C + A·B
דוגמה 5.4
מספר עשרוני מ-0 עד 9 נכנס למעגל בקוד BCD בארבעה קווים A, B, C, D (A היא הסיבית המשמעותית ביותר). נתכנן מעגל שהמוצא שלו F = 1 כאשר המספר הוא 5 או יותר.
פתרון:
בקוד BCD הצירופים מ-1010 עד 1111 אינם מופיעים לעולם. לא חשוב לנו מה יהיה המוצא בהם, ולכן נכתוב בהם X: אלה צירופי ברירה.
| A | B | C | D | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | X |
| 1 | 0 | 1 | 1 | X |
| 1 | 1 | 0 | 0 | X |
| 1 | 1 | 0 | 1 | X |
| 1 | 1 | 1 | 0 | X |
| 1 | 1 | 1 | 1 | X |
F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)
במפה נשתמש במשבצות X כאילו היו 1 כאשר הן עוזרות לנו להגדיל את הקבוצה:
בזכות משבצות X קיבלנו קבוצה של שמונה משבצות ושתי קבוצות של ארבע
F = B·D + B·C + A
המעגל: 2 AND + 1 OR = 3 . האיבר A נכנס ישירות לשער OR
F = B·D + B·C + A
שאלה 5.2: נתכנן מעגל לפונקציה F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5) : מפת קרנו, ביטוי מפושט, ומספר השערים במימוש בשערי AND, OR ו-NOT.
תרגול מהיר — נפשט במפת קרנו, ונספור את השערים במימוש בשערי AND, OR ו-NOT
1F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3)
2F(A,B,C) = Σ(3,7)
3F(A,B,C) = Σ(0,2,4,6)
4F(A,B,C) = Σ(2,3,5,6,7)
5F(A,B,C) = Σ(0,1,5,7)
6F(A,B,C) = Σ(1,2,3,5,7)
7F(A,B,C,D) = Σ(0,1,2,3,8,9,10,11)
8F(A,B,C,D) = Σ(5,7,13,15)
9F(A,B,C,D) = Σ(0,2,8,10,12,14)
תשובות: 1 A ; 1 NOT 2 B·C ; 1 AND 3 C ; 1 NOT 4 B + A·C ; 1 AND + 1 OR = 2 5 A·C + A·B ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5 6 C + A·B ; 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3 7 B ; 1 NOT 8 B·D ; 1 AND 9 B·D + A·D ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
מימוש בשערי NAND בלבד:
שער אוניברסלי: זהו שער שממנו לבדו אפשר לבנות כל פונקציה בוליאנית. השערים NAND ו-NOR הם שערים אוניברסליים: מכל אחד מהם בונים מהפך, שער AND ושער OR.
למה זה חשוב? כי אז המפעל או המעבדה צריכים רק סוג אחד של שבבים. נתחיל בבניית שלושת השערים הבסיסיים מ-NAND:
מהפך: F = A·A = A
AND: F = A·B = A·B
OR: F = A·B = A + B
הערה: המהפך הוא שער NAND ששני מבואותיו מחוברים יחד. שער AND הוא NAND ואחריו מהפך. שער OR הוא מהפך על כל מבוא ואחריהם NAND — וזהו כלל דה-מורגן.
מסכום מכפלות למימוש NAND–NAND
F = A·B + C·D
F = A·B + C·D
F = A·B·C·D
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| X | שלילה כפולה: שני קווים מעל ביטוי אינם משנים את ערכו, X = X | — |
| X + Y | כלל דה-מורגן: שוברים את הקו, והחיבור הופך לכפל: X + Y = X·Y | — |
| A·B | כל קו מעל מכפלה הוא שער NAND אחד | — |
- נכתוב את הפונקציה בצורת סכום מכפלות מפושט.
- נשים מעל הביטוי כולו שני קווים (שלילה כפולה).
- נשבור את הקו התחתון בכלל דה-מורגן: כל מכפלה מקבלת קו מעליה, וסימן החיבור הופך לכפל.
- נסרטט: שער NAND לכל מכפלה, ושער NAND אחרון שמחבר אותן. המהפכים, אם דרושים, גם הם שערי NAND.
נזכור: בסרטוט זה קל יותר: מסרטטים את המעגל הדו-דרגתי משערי AND ו-OR, ואז מחליפים כל שער בו בשער NAND. המעגל ממשיך לבצע אותה פעולה.
דוגמה 5.5
נממש בשערי NAND בלבד את הפונקציה F = A·B + A·C.
פתרון:
F = A·B + A·C
הביטוי כתוב כסכום מכפלות. נשים מעליו שני קווים:
F = A·B + A·C
נשבור את הקו התחתון בכלל דה-מורגן:
F = A·B·A·C
בביטוי שלושה קווים מעל מכפלות ← שלושה שערי NAND. המשתנה A צריך מהפך, ונבנה אותו משער NAND רביעי.
המימוש בשערי NAND. המהפך המסורטט הוא שער NAND ששני מבואותיו מחוברים יחד — בסך הכול 4 שערי NAND
F = A·B·A·C
שימו לב: איבר שיש בו ליטרל אחד נכנס לשער NAND האחרון כשהוא הפוך. אחרי דה-מורגן הליטרל A הופך ל-A, והליטרל A הופך ל-A.
דוגמה 5.6
נממש בשערי NAND בלבד את הפונקציה F = B·C + A.
פתרון:
F = B·C + A
F = B·C + A
דה-מורגן: מעל כל איבר קו, והחיבור הופך לכפל. האיבר A הופך ל-A:
F = B·C·A
בסך הכול 3 שערי NAND: מהפך למשתנה A, שער לאיבר B·C ושער אחרון
F = B·C·A
שאלה 5.3: נממש בשערי NAND בלבד את מעגל הרוב F = B·C + A·C + A·B. נכתוב את הביטוי ונספור את השערים.
תרגול מהיר — נכתוב בצורת NAND בלבד, ונספור את שערי NAND (כולל המהפכים)
1F = C + A·B
2F = A·C + A·B
3F = A·B + A·B
4F = B + A
5F = C + A·B
6F = B·C + A
7F = A·B + A·B
8F = B·C + A·C
תשובות: 1 C·A·B ← 3 2 A·C·A·B ← 3 3 A·B·A·B ← 5 4 B·A ← 3 5 C·A·B ← 4 6 B·C·A ← 2 7 A·B·A·B ← 5 8 B·C·A·C ← 4
מימוש בשערי NOR בלבד:
מהפך: F = A + A = A
OR: F = A + B = A + B
AND: F = A + B = A·B
כדי לממש פונקציה שלמה בשערי NOR עובדים עם האפסים של הפונקציה במקום עם האחדות:
- במפת קרנו נקבץ את המשבצות שיש בהן 0. כך נקבל ביטוי מפושט לפונקציה ההפוכה F בצורת סכום מכפלות.
- נהפוך את שני האגפים: F היא NOR של כל המכפלות.
- כל מכפלה נהפוך ל-NOR בכלל דה-מורגן: X·Y = X + Y. כלומר: נהפוך כל ליטרל בה ונשים שער NOR.
- איבר שיש בו ליטרל אחד נכנס ישירות לשער NOR האחרון, כמות שהוא.
דוגמה 5.7
נממש בשערי NOR בלבד את מעגל האזעקה F(A,B,C) = Σ(5,6,7).
פתרון:
נסרטט מפת קרנו לפונקציה ההפוכה F : יש בה 1 בכל משבצת שבה היה F = 0. נקבץ את המשבצות האלה:
מפת F : קבוצה של ארבע משבצות וקבוצה של שתי משבצות
F = B·C + A
נהפוך את שני האגפים, ואז נהפוך את המכפלה B·C ל-NOR בכלל דה-מורגן:
F = B·C + A
F = B + C + A
המימוש בשערי NOR. המהפך הוא שער NOR ששני מבואותיו מחוברים יחד — בסך הכול 3 שערי NOR
F = B + C + A
תרגול מהיר — נקבץ את האפסים, נכתוב את F ואז נכתוב את F בצורת NOR בלבד ונספור את שערי NOR (כולל המהפכים)
1F(A,B,C) = Σ(0,1,2)
2F(A,B,C) = Σ(0,4,5)
3F(A,B,C) = Σ(1,3,5)
4F(A,B,C) = Σ(0,1,6,7)
5F(A,B,C) = Σ(2,3,4,5)
6F(A,B,C) = Σ(0,2,3,7)
תשובות: 1 F = B·C + A ; F = B + C + A ← 4 2 F = B + A·C ; F = B + A + C ← 3 3 F = C + A·B ; F = C + A + B ← 5 4 F = A·B + A·B ; F = A + B + A + B ← 5 5 F = A·B + A·B ; F = A + B + A + B ← 5 6 F = B·C + A·C ; F = B + C + A + C ← 5
מימוש ברכיבים משולבים:
רכיב משולב – שבב: זהו רכיב אלקטרוני קטן שבתוכו כמה שערים מוכנים, ויש לו הדקים (רגליים ממתכת) שאליהם מחברים את החוטים. במעבדה לא קונים "שער AND"; קונים שבב שיש בו כמה שערים מאותו סוג.
| מספר השבב | מה יש בתוכו | מספר השערים |
|---|---|---|
| 7400 | שערי NAND בעלי שני מבואות | 4 |
| 7404 | מהפכים (NOT) | 6 |
| 7408 | שערי AND בעלי שני מבואות | 4 |
| 7432 | שערי OR בעלי שני מבואות | 4 |
השבב 7400 במבט מלמעלה: ארבעה שערי NAND ו-14 הדקים. הדק 14 מחובר למתח ההספקה VCC = 5 V והדק 7 לאדמה (GND)
הערה: לכל שבב יש דף נתונים ובו סרטוט ההדקים. בלי חיבור ההספקה והאדמה השבב אינו פועל, גם אם משתמשים רק בשער אחד ממנו.
מספר הרכיבים הדרושים
NIC ≥ Ngatesn
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| NIC | מספר השבבים מסוג מסוים — מספר שלם, מעגלים כלפי מעלה | — |
| Ngates | מספר השערים הדרושים מן הסוג הזה | — |
| n | מספר השערים בשבב אחד (4 או 6) | — |
דוגמה 5.8
נממש את הפונקציה F = A·B + A·C ברכיבים משולבים. כמה שבבים דרושים:
(א) במימוש בשערי AND, OR ו-NOT?
(ב) במימוש בשערי NAND בלבד?
(א) במימוש בשערי AND, OR ו-NOT?
(ב) במימוש בשערי NAND בלבד?
פתרון:
(א) נספור את השערים: 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 . כל סוג מגיע בשבב אחר:
| השער | המספר הדרוש | השבב | מספר השבבים |
|---|---|---|---|
| NOT | 1 | 7404 | 1 |
| AND | 2 | 7408 | 1 |
| OR | 1 | 7432 | 1 |
בסך הכול 3 שבבים, ויש בהם 6 + 4 + 4 = 14 שערים — משתמשים רק ב-4 מהם.
(ב) בדוגמה הקודמת מצאנו שהמימוש בשערי NAND דורש 4 שערים בעלי שני מבואות. בשבב 7400 אחד יש בדיוק 4 שערים:
NIC ≥ 44 = 1
שבב אחד במקום שלושה: מעגל קטן יותר, זול יותר, ויש בו פחות חוטים. זהו היתרון של השער האוניברסלי.
(a) 3 IC , (b) 1 IC
דוגמה 5.9
בשבבים 7408 ו-7432 לכל שער יש רק שני מבואות. איך נממש בעזרתם את מעגל הרוב F = B·C + A·C + A·B, וכמה שבבים דרושים?
פתרון:
שער OR בעל שלושה מבואות בונים משני שערי OR בעלי שני מבואות, לפי חוק הקיבוץ:
X + Y + Z = (X + Y) + Z
דרושים אפוא 3 שערי AND ו-2 שערי OR:
N7408 ≥ 34 → 1
N7432 ≥ 24 → 1
שני שבבים: 7408 אחד (נשאר בו שער אחד ללא שימוש) ו-7432 אחד (נשארים בו שני שערים).
1 · 7408 + 1 · 7432
שאלה 5.4: מעגל צריך 7 שערי AND בעלי שני מבואות, 3 שערי OR בעלי שני מבואות ו-5 מהפכים. כמה שבבים מכל סוג דרושים, וכמה שבבים בסך הכול?
תרגול מהיר — כמה שבבים דרושים למספר הזה של שערים?
13 שערי NAND
25 שערי NAND
39 שערי NAND
46 שערי NOT
57 שערי NOT
64 שערי AND
710 שערי AND
82 שערי OR
913 שערי OR
תשובות: 1 1 2 2 3 3 4 1 5 2 6 1 7 3 8 1 9 4
▶ניסוי חי — בונה המעגלים הלוגייםגוררים שערים אל לוח העבודה, מחברים אותם בחוטים, והאתר מחשב לנו את טבלת האמת של המעגל שבנינו. נבנה את מעגל הרוב פעם בשערי AND ו-OR ופעם בשערי NAND ונשווה.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld
ניתוח מערכות צירופים המורכבות משערים שונים. פישוטן על-ידי שימוש בכללי האלגברה הבוליאנית ומפות קרנו. מימוש המערכות המפושטות (Analysis & Simplification)
ניתוח: זוהי הדרך ההפוכה לתכנון: נתון לנו מעגל מסורטט של שערים, ואנחנו מוצאים מה הוא עושה — כותבים את ביטוי המוצא ובונים את טבלת האמת.
- ניתן שם למוצא של כל שער בתוך המעגל (X, Y, Z ...). הנקודות האלה נקראות נקודות ביניים.
- נתקדם מן המבואות אל המוצא, ונכתוב ביטוי למוצא של כל שער לפי סוגו ולפי המבואות שלו.
- נציב את ביטויי הביניים ונקבל ביטוי אחד למוצא F במשתנים A, B, C ...
- נבנה את טבלת האמת, ובה עמודה לכל נקודת ביניים.
- נפשט — בכללי האלגברה הבוליאנית או במפת קרנו — ונסרטט את המעגל המפושט.
- נשווה: כמה שערים היו במעגל המקורי וכמה נשארו.
דוגמה 5.10
ננתח את המעגל המסורטט: נכתוב ביטוי למוצא F, נפשט אותו בכללי האלגברה הבוליאנית ונסרטט את המעגל המפושט.
פתרון:
נכתוב ביטוי למוצא של כל שער, משמאל לימין:
X = A + B
Y = A + C
F = X·Y
נציב את X ואת Y בביטוי האחרון:
F = (A + B)·(A + C)
נפתח את הסוגריים בחוק הפילוג:
F = A·A + A·C + B·A + B·C
נשתמש בזהות A·A = A :
F = A + A·C + A·B + B·C
נוציא את A כגורם משותף משלושת האיברים הראשונים:
F = A·(1 + C + B) + B·C
נשתמש בזהות 1 + X = 1 :
F = B·C + A
המעגל המפושט:
במעגל המקורי 1 AND + 2 OR = 3 , ובמעגל המפושט 1 AND + 1 OR = 2 . שני המעגלים נותנים אותה טבלת אמת.
F = B·C + A
הערה: מה שמצאנו הוא הצורה השנייה של חוק הפילוג: (A + B)·(A + C) = A + B·C. כדאי לזכור אותה.
דוגמה 5.11
ננתח את המעגל המסורטט ניתוח מלא: ביטויי נקודות הביניים, טבלת אמת, פישוט במפת קרנו, סרטוט המעגל המפושט והשוואה.
פתרון:
הביטויים. במעגל חמישה שערים. נכתוב ביטוי למוצא של כל אחד:
X = A·B
Y = B + C
Z = X·Y
W = A·C
F = Z + W
נציב ונקבל את ביטוי המוצא:
F = A·B·(B + C) + A·C
טבלת האמת. נמלא עמודה אחר עמודה: תחילה X ו-Y מן המבואות, אחר כך Z ו-W, ולבסוף F.
| A | B | C | X | Y | Z | W | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
F(A,B,C) = Σ(1,2,3,5,7)
הפישוט. נעביר את עמודת F למפת קרנו:
קבוצה של ארבע משבצות וקבוצה של שתי משבצות
F = C + A·B
המעגל המפושט:
ההשוואה. המעגל המקורי: 2 AND + 2 OR + 1 NAND = 5 . המעגל המפושט: 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3 . חסכנו שני שערים, ושני המעגלים מבצעים אותה פעולה.
F = C + A·B
שאלה 5.5: ננתח את המעגל: נכתוב את הביטויים של X, Y ו-F, נבנה את טבלת האמת, ונמצא שער אחד שמבצע אותה פעולה.
תרגול מהיר — נכתוב ביטוי למוצא של כל מעגל
1
2
3
4
5
6
תשובות: 1 F = A·B + C 2 F = (A + B)·C 3 F = A + B·C 4 F = A ⊕ B 5 F = A·B + C 6 F = B·C ⊕ A
פישוט בכללי האלגברה הבוליאנית:
כאשר הביטוי קצר, הפישוט בכללים מהיר יותר מן המפה. נזכיר את הכללים שמשתמשים בהם יותר מכול:
| הכלל | שמו |
|---|---|
| A + A·B = A | בליעה |
| A + A·B = A + B | בליעה |
| A·B + A·B = A | פילוג ו-B + B = 1 |
| (A + B)·(A + C) = A + B·C | פילוג |
| A·B = A + B | דה-מורגן |
| A + B = A·B | דה-מורגן |
דוגמה 5.12
ננתח את המעגל ונפשט אותו בכללי האלגברה הבוליאנית. כמה שערים חוסכים?
פתרון:
X = A·B
Y = A·B
Z = A·B
F = X + Y + Z
F = A·B + A·B + A·B
נוציא את A כגורם משותף משני האיברים הראשונים:
F = A·(B + B) + A·B
נשתמש בזהות B + B = 1 :
F = A + A·B
כלל הבליעה A + A·B = A + B :
F = B + A
המעגל המקורי: 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6 . אחרי הפישוט מספיק שער OR אחד — חסכנו 5 שערים.
F = B + A
תרגול מהיר — נפשט בכללי האלגברה הבוליאנית
1F = A·B + A·B
2F = A + A·B
3F = (A + B)·(A + B)
4F = A·B
5F = A·(A + B)
6F = A·B + A·B + A·B
7F = A·B·A
8F = A·B + A·B
9F = A·B·C + A·B·C
10F = (A + B)·(A + C)
11F = A·B + A·C + B·C
12F = A + B·A
תשובות: 1 A 2 A 3 A 4 B + A 5 A·B 6 B + A 7 B + A 8 1 9 A·B 10 B·C + A 11 A·B + A·C 12 0
פישוט במפת קרנו ומימוש המערכת המפושטת:
כאשר המעגל גדול, הדרך הבטוחה היא: ביטוי ← טבלת אמת ← מפת קרנו ← ביטוי מפושט ← מעגל חדש.
דוגמה 5.13
ננתח את המעגל, נפשט אותו במפת קרנו ונממש את המעגל המפושט.
פתרון:
כל שער AND נותן מכפלה של שלושה ליטרלים, כלומר מינטרם אחד:
F = A·B·C + A·B·C + A·B·C
F(A,B,C) = Σ(3,6,7)
שתי קבוצות של שתי משבצות; המשבצת 7 משותפת
F = B·C + A·B
המעגל המפושט: 2 AND + 1 OR = 3
אפשר להמשיך ולהוציא את B כגורם משותף: F = B·(A + C) — ואז מספיקים שני שערים.
| המעגל | השערים | בסך הכול |
|---|---|---|
| המקורי | 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6 | 6 |
| המפושט (סכום מכפלות) | 2 AND + 1 OR = 3 | 3 |
| אחרי הוצאת גורם משותף | 1 AND + 1 OR = 2 | 2 |
F = B·C + A·B = B·(A + C)
מעגלים משערי NAND ו-NOR:
במעגל של שערי NAND או NOR מופיעים קווים עליונים ארוכים. כותבים את הביטוי כמות שהוא, ואז "שוברים" את הקווים בכלל דה-מורגן, מן הקו החיצוני פנימה.
דוגמה 5.14
ננתח את המעגל הבנוי מארבעה שערי NAND. איזה שער מוכר מבצע אותה פעולה?
פתרון:
X = A·B
Y = A·X
Z = X·B
F = Y·Z
נציב את Y ואת Z בביטוי של F, ונשבור את הקו החיצוני בכלל דה-מורגן (שני קווים זה מעל זה מבטלים זה את זה):
F = A·X·X·B
F = A·X + X·B
F = X·(A + B)
עכשיו נציב X = A·B = A + B :
F = A·B·(A + B)
F = (A + B)·(A + B)
נפתח את הסוגריים:
F = A·A + A·B + B·A + B·B
נשתמש בזהות A·A = 0 :
F = A·B + A·B
F = A ⊕ B
נבדוק בטבלת אמת:
| A | B | X | Y | Z | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
המוצא 1 רק כאשר שני המבואות שונים: זהו שער XOR. כך בונים XOR בשבב 7400 אחד.
F = A ⊕ B
שימו לב: הטעות הנפוצה ביותר בניתוח: לכתוב A·B = A·B. זו טעות. כששוברים את הקו הפעולה מתחלפת: A·B = A + B ו-A + B = A·B.
שאלה 5.6: ננתח את המעגל הבנוי משלושה שערי NOR: נכתוב את הביטוי של F, נשבור את הקווים בכלל דה-מורגן ונפשט.
תרגול מהיר — נשבור את הקווים בכלל דה-מורגן ונכתוב ביטוי מפושט בלי קווים ארוכים
1F = A·B
2F = A + B
3F = A·B·C
4F = A + B + C
5F = A·B·A·C
6F = A + B + A + C
7F = A·A·B
8F = A·A·B·B
תשובות: 1 B + A 2 A·B 3 C + A·B 4 B·C + A·C 5 A·C + A·B 6 B·C + A 7 B + A 8 B + A
▶ניסוי חי — מפת קרנו אינטראקטיביתממלאים את המפה מטבלת האמת, והאתר מסרטט את הקבוצות וכותב את הביטוי המפושט. נבדוק בעזרתו כל פישוט שעשינו בפרק הזה.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=kmap
ניתוח פעולות מערכת צירופים במישור הזמן. התווית צורות גלים של אותות מוצא בתלות באותות מבוא נתונים (Timing Analysis)
טבלת האמת אומרת מה יהיה המוצא לכל צירוף של המבואות. אבל במעגל אמיתי המבואות משתנים עם הזמן: חיישן נפתח, לחצן נלחץ ואז משוחרר. כדי לראות מה קורה מסרטטים את האותות זה מתחת לזה על ציר זמן משותף.
דיאגרמת זמנים: זהו סרטוט שיש בו שורה לכל אות. הציר האופקי הוא הזמן, וכל אות מסורטט בשתי רמות: קו גבוה לערך 1 וקו נמוך לערך 0. הצורה שהאות מסרטט נקראת צורת גל.
- נחלק את ציר הזמן לקטעים: בכל רגע שבו משתנה אחד המבואות נסרטט קו אנכי מקווקו.
- בתוך כל קטע המבואות קבועים. נקרא את ערכיהם מלמעלה למטה (A, B, C) — זהו צירוף אחד מטבלת האמת.
- נמצא את המוצא לצירוף הזה, מן הביטוי או מן הטבלה, ונסרטט אותו באותו קטע: קו גבוה או קו נמוך.
- נחבר את הקטעים בקווים אנכיים במקומות שבהם המוצא משתנה.
הערה: בפרק הזה נניח שהשערים אידאליים: המוצא משתנה באותו רגע שבו משתנה המבוא. בשער אמיתי המוצא מתעכב מעט — כמה מיליארדיות של שנייה — וזה נקרא זמן השהיה.
אותם שני מבואות A ו-B בארבעה שערים: AND, OR, NAND ו-XOR. המספרים למטה הם מספרי הקטעים
- מוצא AND גבוה רק בקטעים שבהם שני המבואות גבוהים יחד.
- מוצא OR נמוך רק בקטעים שבהם שני המבואות נמוכים יחד.
- מוצא NAND הוא תמונה הפוכה של מוצא AND.
- מוצא XOR גבוה בקטעים שבהם שני המבואות שונים.
דוגמה 5.15
נתונות הפונקציה F = C + A·B וצורות הגל של המבואות A, B ו-C. נסרטט את צורת הגל של המוצא F.
פתרון:
הדיאגרמה מחולקת ל-12 קטעים. בכל קטע נקרא את ערכי המבואות ונחשב את F. למשל בקטע 5: A = 1, B = 0, C = 0, ולכן:
F = 1·0 + 0 = 1
נחזור על כך בכל הקטעים ונרכז את התוצאות בטבלה:
| t | A | B | C | F |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 9 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 12 | 1 | 0 | 0 | 1 |
נסרטט קו גבוה בקטעים שבהם F = 1 וקו נמוך בשאר:
המוצא F גבוה בכל קטע שבו C = 1, וגם כאשר A = 1 ו-B = 0
F : 0101 1101 0011
הערה: דרך מהירה: במקום לחשב קטע אחר קטע, מחפשים את הקטעים שבהם מתקיים כל איבר של הביטוי. כאן: תחילה מעלים את F בכל מקום שבו C = 1, ואז מוסיפים את הקטעים שבהם A גבוה ו-B נמוך.
דוגמה 5.16
נחזור למעגל שניתחנו בדוגמה 5.11 , ומצאנו שהמוצא שלו F = C + A·B. נסרטט את צורת הגל של F למבואות הנתונים.
פתרון:
אין צורך לחשב את נקודות הביניים X, Y, Z, W : הביטוי המפושט נותן אותו מוצא. נעלה את F בכל קטע שבו C = 1, ואז בקטעים שבהם A = 0 ו-B = 1 :
F : 0100 1111 0011 1011
תרגול מהיר — שני אותות בני שמונה קטעים נכנסים לשער. נכתוב את ערכי המוצא קטע אחר קטע
1שער AND : A = 0011 0101, B = 0101 0011
2שער OR : A = 0011 0101, B = 0101 0011
3שער NAND : A = 1100 1010, B = 0110 1100
4שער NOR : A = 1100 1010, B = 0110 1100
5שער XOR : A = 0101 1100, B = 0011 0110
6שער XNOR : A = 0101 1100, B = 0011 0110
תשובות: 1 0001 0001 2 0111 0111 3 1011 0111 4 0001 0001 5 0110 1010 6 1001 0101
ממישור הזמן אל הפונקציה:
לפעמים נתונה לנו דיאגרמת זמנים שיש בה המבואות והמוצא, ונדרש למצוא את הפונקציה. מכל קטע קוראים שורה אחת של טבלת האמת, וכשהטבלה מתמלאת מפשטים כרגיל.
דוגמה 5.17
בדיאגרמת הזמנים נתונות צורות הגל של המבואות A, B, C ושל המוצא F של מערכת צירופים לא ידועה. נמצא ביטוי מפושט לפונקציה F.
פתרון:
נעבור על הקטעים. לכל צירוף של המבואות נרשום את ערכו של F, ונכתוב לצדו את מספר הקטע הראשון שבו הופיע:
| A | B | C | F | t |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 3 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 6 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 8 |
כל שמונת הצירופים הופיעו בדיאגרמה, ולכן הטבלה מלאה. (אילו חסר צירוף, היינו כותבים בו X.)
F(A,B,C) = Σ(0,2,3,7)
F = B·C + A·C
בדיקה: בקטע 6 המבואות A = 1, B = 0, C = 1, והביטוי נותן F = 0 — כמו בדיאגרמה.
F = B·C + A·C
שימו לב: מערכת צירופים נותנת תמיד אותו מוצא לאותם מבואות. אם מצאנו בדיאגרמה שני קטעים שבהם אותו צירוף של מבואות והמוצא שונה — או שקראנו לא נכון, או שהמערכת אינה מערכת צירופים.
תרגול מהיר — נשלים את צורת הגל של המוצא F, ונכתוב את ערכיו קטע אחר קטע
1F = A·B
2F = A + B
3F = A + B
4F = A ⊕ B
תשובות: 1 00 1001 0000 2 11 0110 1111 3 10 0010 0001 4 10 0110 1001
▶ניסוי חי — השערים הלוגיים על ציר הזמןבוחרים שער, משנים את המבואות ורואים את המוצא משתנה מיד. נשתמש בה לבדיקת צורות הגל שסרטטנו.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=gates
סיכום נוסחאות הפרק:
| החוק | הנוסחה |
|---|---|
| מספר השערים בסכום מכפלות | N = NNOT + NAND + NOR |
| מהפך מ-NAND / מ-NOR | A = A·A = A + A |
| סכום מכפלות בשערי NAND | A·B + C·D = A·B·C·D |
| איבר בן ליטרל אחד במימוש NAND | A + B·C = A·B·C |
| מימוש NOR מאפסי הפונקציה | F = X·Y + Z → F = X + Y + Z |
| כללי דה-מורגן | A·B = A + B , A + B = A·B |
| הצורה השנייה של חוק הפילוג | (A + B)·(A + C) = A + B·C |
| XOR מארבעה שערי NAND | A ⊕ B = A·B + A·B |
| מספר השבבים | NIC ≥ Ngatesn |
| השבבים 7400 ו-7404 | 7400: 4 NAND , 7404: 6 NOT |
| השבבים 7408 ו-7432 | 7408: 4 AND , 7432: 4 OR |
מילון מונחים:
| עברית | English | العربية |
|---|---|---|
| מערכת צירופים | Combinational circuit | دائرة توافقية |
| מערכת עקיבה | Sequential circuit | دائرة تتابعية |
| תכנון | Design | تصميم |
| מימוש | Implementation | بناء |
| ניתוח | Analysis | تحليل |
| תיאור מילולי | Word description | وصف كلامي |
| מבוא | Input | المدخل |
| מוצא | Output | المخرج |
| טבלת אמת | Truth table | جدول الصواب |
| מפת קרנו | Karnaugh map | خريطة كارنو |
| פישוט | Simplification | التبسيط |
| סכום מכפלות | Sum of products (SOP) | مجموع حواصل الضرب |
| צירופי ברירה | Don't-care conditions | حالات اللامبالاة |
| מימוש דו-דרגתי | Two-level implementation | بناء من مستويين |
| שער לוגי | Logic gate | البوابة المنطقية |
| מהפך | Inverter | العاكس |
| שער אוניברסלי | Universal gate | البوابة الشاملة |
| שלילה כפולה | Double negation | النفي المزدوج |
| כללי דה-מורגן | De Morgan's laws | قانونا دي مورغان |
| גורם משותף | Common factor | عامل مشترك |
| רכיב משולב (שבב) | Integrated circuit (IC) | الدائرة المتكاملة (الشريحة) |
| הדק | Pin | رِجل الشريحة |
| דף נתונים | Datasheet | صفحة البيانات |
| מתח הספקה | Supply voltage | جهد التغذية |
| נקודת ביניים | Intermediate node | نقطة وسطية |
| דיאגרמת זמנים | Timing diagram | مخطط الزمن |
| צורת גל | Waveform | شكل الموجة |
| מישור הזמן (ציר הזמן) | Time axis | محور الزمن |
| זמן השהיה | Propagation delay | زمن التأخير |
שאלות לתרגול:
רמה ראשונה — בסיסי
1.
במכונית שלושה אותות: A = 1 המנוע פועל, B = 1 מישהו יושב במושב הנהג, C = 1 חגורת הבטיחות חגורה. נורת האזהרה דולקת (F = 1) אם המנוע פועל, יושב נהג והחגורה אינה חגורה. נכתוב את טבלת האמת, את הביטוי, ואת מספר השערים במימוש בשערי AND, OR ו-NOT.
תשובות: F(A,B,C) = Σ(6) ; F = A·B·C ; 1 NOT + 1 AND = 2
2.
בחדר המדרגות נורה ושני מתגים: A למטה ו-B למעלה. הנורה דולקת (F = 1) כאשר שני המתגים נמצאים במצבים שונים. נכתוב את טבלת האמת ואת הביטוי בצורת סכום מכפלות, ונספור את השערים. איזה שער יחיד מבצע אותה פעולה?
תשובות: F(A,B) = Σ(1,2) ; F = A·B + A·B ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5 ; שער XOR
3.
לכספת שני מפתחות A ו-B ולחצן הפעלה C. הכספת נפתחת (F = 1) אם הלחצן C לחוץ והוכנס לפחות אחד משני המפתחות. נתכנן את המעגל: טבלת אמת, מפת קרנו וביטוי מפושט. אחר כך נוציא גורם משותף — כמה שערים מספיקים?
תשובות: F(A,B,C) = Σ(3,5,7) ; F = B·C + A·C ; 2 AND + 1 OR = 3 ; F = C·(A + B) : שני שערים
4.
נפשט במפת קרנו:
(א) F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5) ;
(ב) F(A,B,C) = Σ(1,3,7) ;
(ג) F(A,B,C) = Σ(0,2,3,6).
(א) F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5) ;
(ב) F(A,B,C) = Σ(1,3,7) ;
(ג) F(A,B,C) = Σ(0,2,3,6).
תשובות: (א) B ; (ב) B·C + A·C ; (ג) B·C + A·C + A·B
5.
כמה שערים מכל סוג דרושים למימוש כל ביטוי בשערי AND, OR ו-NOT (בלי פישוט נוסף)?
(א) F = A·B + A·C ;
(ב) F = A·B·C + B ;
(ג) F = A·B + A·C + B·C.
(א) F = A·B + A·C ;
(ב) F = A·B·C + B ;
(ג) F = A·B + A·C + B·C.
תשובות: (א) 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 ; (ב) 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3 ; (ג) 3 NOT + 3 AND + 1 OR = 7
6.
נסרטט בשערי NAND בלבד:
(א) מהפך
(ב) שער AND
(ג) שער OR. נכתוב ביטוי לכל סרטוט, וכמה שערי NAND יש בכל אחד.
(א) מהפך
(ב) שער AND
(ג) שער OR. נכתוב ביטוי לכל סרטוט, וכמה שערי NAND יש בכל אחד.
תשובות: (א) A·A : 1 (ב) A·B·A·B : 2 (ג) A·A·B·B : 3
7.
נכתוב כל פונקציה בצורת NAND בלבד ונספור את שערי NAND:
(א) F = A·B + C·D ;
(ב) F = A·C + B ;
(ג) F = A·B + B·C + A·C.
(א) F = A·B + C·D ;
(ב) F = A·C + B ;
(ג) F = A·B + B·C + A·C.
תשובות: (א) C·D·A·B ← 3 ; (ב) B·A·C ← 2 ; (ג) B·C·A·C·A·B ← 4
8.
(א) כמה שערים יש בכל שבב: 7400, 7404, 7408, 7432, ומאיזה סוג?
(ב) מעגל צריך 6 שערי NAND בעלי שני מבואות ו-8 מהפכים. כמה שבבים דרושים?
(ב) מעגל צריך 6 שערי NAND בעלי שני מבואות ו-8 מהפכים. כמה שבבים דרושים?
תשובות: (א) 4 NAND ; 6 NOT ; 4 AND ; 4 OR (ב) 2 · 7400 ו-2 · 7404 — בסך הכול 4 שבבים
9.
ננתח את המעגל: נכתוב ביטוי לנקודה X ולמוצא F, ונבנה את טבלת האמת.
תשובות: X = A + B ; F = (A + B)·C ; F(A,B,C) = Σ(3,5,7)
10.
ננתח את המעגל: נכתוב ביטוי לנקודה X ולמוצא F, ונבנה את טבלת האמת.
תשובות: X = A·B ; F = A·B + C ; F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3,4,5,7)
11.
ננתח את המעגל: נכתוב ביטוי לנקודה X ולמוצא F, ונבנה את טבלת האמת.
תשובות: X = A·B ; F = A·B + C ; F(A,B,C) = Σ(0,2,6)
12.
ננתח את המעגל: נכתוב את הביטוי של F ונבנה את טבלת האמת. איזה שער יחיד מבצע אותה פעולה? כמה שערים חוסכים?
תשובות: F = A·B + A·B ; F(A,B) = Σ(1,2) ; שער XOR — חוסכים 4 שערים
13.
נשלים בדיאגרמת הזמנים את צורת הגל של מוצא שער AND (F1 = A·B) ושל מוצא שער OR (F2 = A + B).
תשובות: F1 : 0001 0000 1010 ; F2 : 0111 1101 1110
14.
נשלים את צורת הגל של מוצא שער NAND (F1) ושל מוצא שער NOR (F2) לאותם שני מבואות.
תשובות: F1 : 1101 1101 1011 ; F2 : 1000 0001 0001
15.
נשלים את צורת הגל של מוצא שער XOR (F1 = A ⊕ B) ושל מוצא שער XNOR (F2). מה רואים?
תשובות: F1 : 0010 0101 0110 ; F2 : 1101 1010 1001 — כל אחד הוא תמונה הפוכה של האחר
16.
נמצא את הטעות: תלמיד המיר את הפונקציה F = A·B + C לצורת NAND בלבד וכתב F = A·B·C. היכן טעה, ומהו הביטוי הנכון?
תשובות: באיבר C יש ליטרל אחד והוא חייב להיכנס הפוך: F = A·B·C (3 שערי NAND)
רמה שנייה — בינוני
17.
במכל מים שני חיישנים: A = 1 כאשר המים מכסים את החיישן התחתון, ו-B = 1 כאשר המים מכסים את החיישן העליון. C = 1 כאשר מתג המילוי הידני לחוץ. המשאבה פועלת (F = 1) אם המים מתחת לחיישן התחתון, או אם המתג לחוץ והמים לא הגיעו לחיישן העליון. הצירוף A = 0, B = 1 אינו אפשרי — נתייחס אליו כאל צירוף ברירה. נתכנן את המעגל: טבלת אמת עם X, מפת קרנו, ביטוי מפושט ומספר השערים.
תשובות: F(A,B,C) = Σ(0,1,5) + d(2,3) ; F = B·C + A ; 2 NOT + 1 AND + 1 OR = 4
18.
בחממה חקלאית שלושה חיישנים: A = 1 הטמפרטורה גבוהה, B = 1 האדמה יבשה, C = 1 עכשיו יום. משאבת ההשקיה (F1) פועלת אם האדמה יבשה ועכשיו לילה, או אם האדמה יבשה והטמפרטורה גבוהה. המאוורר (F2) פועל אם הטמפרטורה גבוהה, אלא אם עכשיו לילה והאדמה יבשה. נכתוב טבלת אמת אחת שיש בה שני המוצאים, ונפשט כל מוצא.
תשובות: F1(A,B,C) = Σ(2,6,7) ; F1 = B·C + A·B ; F2(A,B,C) = Σ(4,5,7) ; F2 = A·C + A·B
19.
במכונית: A = 1 האורות דולקים, B = 1 המנוע פועל, C = 1 דלת הנהג פתוחה. זמזם ההתרעה פועל (F = 1) אם הנהג שכח את האורות דולקים: האורות דולקים, המנוע כבוי והדלת פתוחה.
(א) נכתוב את הביטוי.
(ב) נכתוב אותו בצורת NAND בלבד ונספור את השערים.
(א) נכתוב את הביטוי.
(ב) נכתוב אותו בצורת NAND בלבד ונספור את השערים.
תשובות: (א) F = A·B·C (ב) F = A·B·C ← 3 שערי NAND (אחד בעל שלושה מבואות ושני מהפכים)
20.
נפשט במפת קרנו עם צירופי הברירה, ונספור את השערים במימוש בשערי AND, OR ו-NOT:
(א) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10) + d(13,15) ;
(ב) F(A,B,C,D) = Σ(1,3,4,5,9) + d(11,12,13).
(א) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10) + d(13,15) ;
(ב) F(A,B,C,D) = Σ(1,3,4,5,9) + d(11,12,13).
תשובות: (א) F = B·D + B·D ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5 ; (ב) F = B·C + B·D ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
21.
נממש בשערי NOR בלבד: נקבץ את האפסים במפת קרנו, נכתוב את F, ואז נכתוב את F ונספור את השערים.
(א) F(A,B,C) = Σ(1,3,6,7) ;
(ב) F(A,B,C) = Σ(0,1,2,4).
(א) F(A,B,C) = Σ(1,3,6,7) ;
(ב) F(A,B,C) = Σ(0,1,2,4).
תשובות: (א) F = A·B + A·C ; F = A + B + A + C ← 4 שערי NOR ; (ב) F = B·C + A·C + A·B ; F = B + C + A + C + A + B ← 7 שערי NOR
22.
נתונה הפונקציה F(A,B,C) = Σ(2,3,5,7).
(א) נפשט אותה.
(ב) כמה שבבים דרושים במימוש בשערי AND, OR ו-NOT?
(ג) נכתוב אותה בצורת NAND בלבד; כמה שבבי 7400 דרושים?
(א) נפשט אותה.
(ב) כמה שבבים דרושים במימוש בשערי AND, OR ו-NOT?
(ג) נכתוב אותה בצורת NAND בלבד; כמה שבבי 7400 דרושים?
תשובות: (א) F = A·C + A·B (ב) 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 ← 3 שבבים (7404, 7408, 7432) (ג) F = A·C·A·B ← 4 שערי NAND ← שבבים: 1
23.
ננתח את המעגל:
(א) נכתוב את הביטוי של F.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) נפשט במפת קרנו. איזה שער AND מיותר ואפשר להשמיט אותו?
(ד) כמה שערים במעגל לפני הפישוט ואחריו?
(א) נכתוב את הביטוי של F.
(ב) נבנה את טבלת האמת.
(ג) נפשט במפת קרנו. איזה שער AND מיותר ואפשר להשמיט אותו?
(ד) כמה שערים במעגל לפני הפישוט ואחריו?
תשובות: (א) F = A·B + B·C + A·C (ב) F(A,B,C) = Σ(0,4,5,7) (ג) F = B·C + A·C — השער X מיותר (ד) לפני: 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6 ; אחרי: 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
24.
ננתח את המעגל: נכתוב את הביטויים של X, Y ו-F, נבנה את טבלת האמת, ונמצא איזה שער מוכר מבצע אותה פעולה.
תשובות: X = A + B ; Y = A·B ; F = A + B + A·B ; F(A,B) = Σ(1,2) ← F = A·B + A·B : שער XOR
25.
ננתח את המעגל הבנוי משערי NAND: נכתוב ביטוי לכל נקודה, נשבור את הקווים בכלל דה-מורגן ונכתוב את F בצורת סכום מכפלות מפושט.
תשובות: X = A·B ; Y = A·B·C ; F = A·B·C·A ; F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3,5) ← F = B·C + A
26.
ננתח את המעגל: נכתוב את הביטוי של F, נפתח את הסוגריים ונפשט בכללי האלגברה הבוליאנית. נבדוק את התוצאה במפת קרנו.
תשובות: F = (A + B)·(B + C) ; F(A,B,C) = Σ(1,5,6,7) ← F = B·C + A·B
27.
נמצא את הטעות: תלמיד ניתח את המעגל וכתב X = A + B = A + B ולכן F = (A + B)·C. היכן הטעות? נכתוב את הביטוי הנכון ואת טבלת האמת.
תשובות: הטעות היא בדה-מורגן: A + B = A·B. הנכון: F = A + B·C = A·B·C ; F(A,B,C) = Σ(1)
28.
המעגל המסורטט מממש את הפונקציה F = A·B + C. נשלים את צורת הגל של המוצא F בדיאגרמת הזמנים.
תשובות: F : 0010 1011 1101 1111
29.
המעגל בנוי משערי NAND ומממש את הפונקציה F = A·B·A·C.
(א) נכתוב את הביטוי של F בצורת סכום מכפלות.
(ב) נשלים את צורת הגל של F.
(ג) מה עושה המעגל כאשר A = 1, ומה הוא עושה כאשר A = 0?
(א) נכתוב את הביטוי של F בצורת סכום מכפלות.
(ב) נשלים את צורת הגל של F.
(ג) מה עושה המעגל כאשר A = 1, ומה הוא עושה כאשר A = 0?
תשובות: (א) F = A·B + A·C (ב) F : 0110 0011 0010 0100 (ג) כאשר A = 1 : F = B ; כאשר A = 0 : F = C — המעגל בוחר אחד משני המבואות
30.
בדיאגרמת הזמנים שני מבואות A, B ושני מוצאים F1, F2 של שני מעגלים שונים. נבנה טבלת אמת לכל מוצא ונמצא את הביטוי שלו. איזה מהם הוא שער מוכר?
תשובות: F1(A,B) = Σ(0) ← F1 = A + B : שער NOR ; F2(A,B) = Σ(2) ← F2 = A·B
31.
המעגל המסורטט הוא מימוש אחר של מעגל הרוב.
(א) נכתוב את הביטוי של F ונוכיח, בטבלת אמת, שהוא שווה ל-B·C + A·C + A·B.
(ב) כל השערים בסרטוט בעלי שני מבואות. כמה שבבי 7408 וכמה שבבי 7432 דרושים?
(א) נכתוב את הביטוי של F ונוכיח, בטבלת אמת, שהוא שווה ל-B·C + A·C + A·B.
(ב) כל השערים בסרטוט בעלי שני מבואות. כמה שבבי 7408 וכמה שבבי 7432 דרושים?
תשובות: (א) F = (B + C)·A + B·C ; F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7) (ב) 2 AND + 2 OR = 4 ← 7408 אחד ו-7432 אחד
רמה שלישית — אתגר
32.
מספר מ-0 עד 15 נכנס למעגל בארבע סיביות A, B, C, D (A היא הסיבית המשמעותית ביותר). נתכנן מעגל שהמוצא שלו F = 1 כאשר המספר ראשוני (2, 3, 5, 7, 11, 13).
תשובות: F(A,B,C,D) = Σ(2,3,5,7,11,13) ; F = B·C·D + B·C·D + A·C·D + A·B·C (יש יותר מפתרון מפושט אחד) ; 3 NOT + 4 AND + 1 OR = 8
33.
ספרה עשרונית נכנסת בקוד BCD בקווים A, B, C, D. נתכנן מעגל שהמוצא שלו F = 1 כאשר הספרה היא 3, 6 או 9. נשתמש בצירופים שאינם מותרים ב-BCD כצירופי ברירה.
תשובות: F(A,B,C,D) = Σ(3,6,9) + d(10,11,12,13,14,15) ; F = B·C·D + B·C·D + A·D ; 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6
34.
שני מספרים בני שתי סיביות: המספר הראשון A B והמספר השני C D (A ו-C הן הסיביות המשמעותיות ביותר). נתכנן מעגל שהמוצא שלו F = 1 כאשר המספר הראשון גדול מן השני.
תשובות: F(A,B,C,D) = Σ(4,8,9,12,13,14) ; F = B·C·D + A·C + A·B·D ; 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6
35.
ועדה של ארבעה חברים מצביעה על החלטה; A הוא קולו של היושב ראש. ההחלטה מתקבלת (F = 1) אם לפחות שלושה חברים הצביעו בעד, או אם בדיוק שני חברים הצביעו בעד ואחד מהם הוא היושב ראש. נתכנן את המעגל.
תשובות: F(A,B,C,D) = Σ(7,9,10,11,12,13,14,15) ; F = B·C·D + A·D + A·C + A·B ; 4 AND + 1 OR = 5
36.
דלת מעלית: A = 1 המעלית נעה, B = 1 המעלית עומדת בדיוק מול קומה, C = 1 נלחץ לחצן פתיחת הדלת, D = 1 חיישן מזהה אדם בפתח. הדלת נפתחת (F = 1) רק אם המעלית אינה נעה והיא עומדת מול קומה, וגם נלחץ הלחצן או שיש אדם בפתח.
(א) נתכנן את המעגל בצורת סכום מכפלות.
(ב) נוציא גורם משותף ונספור את השערים מחדש.
(א) נתכנן את המעגל בצורת סכום מכפלות.
(ב) נוציא גורם משותף ונספור את השערים מחדש.
תשובות: (א) F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7) ; F = A·B·D + A·B·C ; 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 (ב) F = A·B·(C + D) ← 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3
37.
נחזור לחממה ונוסיף חיישן רביעי: A = 1 הטמפרטורה גבוהה, B = 1 האדמה יבשה, C = 1 עכשיו יום, D = 1 מכל מי ההשקיה ריק. משאבת ההשקיה פועלת (F = 1) אם האדמה יבשה והמכל אינו ריק, וגם עכשיו לילה או שהטמפרטורה גבוהה. באזור הזה הטמפרטורה אינה גבוהה בלילה: כל צירוף שבו A = 1 ו-C = 0 הוא צירוף ברירה. נתכנן את המעגל.
תשובות: F(A,B,C,D) = Σ(4,14) + d(8,9,12,13) ; F = B·C·D + A·B·D ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
38.
ננתח את המעגל:
(א) נכתוב את הביטוי של F.
(ב) בכמה שורות של טבלת האמת F = 0, ומה הן?
(ג) נכתוב את F בצורת סכום מכפלות מפושט.
(ד) נכתוב את F בצורת שער NAND אחד עם מהפך. איזה מבוא אינו משפיע כלל על המוצא?
(א) נכתוב את הביטוי של F.
(ב) בכמה שורות של טבלת האמת F = 0, ומה הן?
(ג) נכתוב את F בצורת סכום מכפלות מפושט.
(ד) נכתוב את F בצורת שער NAND אחד עם מהפך. איזה מבוא אינו משפיע כלל על המוצא?
תשובות: (א) F = A·B·(C + D) + D (ב) שתי שורות: 1100, 1110 (ג) F = D + B + A (ד) F = A·B·D ; המבוא C אינו משפיע
39.
לפנינו שני מעגלים שונים. נכתוב את ביטוי המוצא של כל אחד, נבנה טבלת אמת לכל אחד, ונוכיח שהם מבצעים אותה פעולה.
תשובות: F1 = A·B·A·C ; F2 = (A + B)·(A + C) ; לשניהם F(A,B,C) = Σ(1,3,6,7) ← F = A·B + A·C
40.
למעגל המסורטט:
(א) נכתוב את הביטוי של F ונפשט אותו.
(ב) נשלים את צורת הגל של F בעזרת הביטוי המפושט.
(א) נכתוב את הביטוי של F ונפשט אותו.
(ב) נשלים את צורת הגל של F בעזרת הביטוי המפושט.
תשובות: (א) F = A·B·(B + C) + A·C = C + A·B (ב) F : 0101 1101 1010 1011
41.
בדיאגרמת הזמנים מבואות ומוצא של מערכת צירופים לא ידועה.
(א) נבנה את טבלת האמת מן הדיאגרמה.
(ב) נפשט במפת קרנו.
(ג) נכתוב את F בצורת NAND בלבד.
(ד) מתי F = 0? נתאר זאת במילים.
(א) נבנה את טבלת האמת מן הדיאגרמה.
(ב) נפשט במפת קרנו.
(ג) נכתוב את F בצורת NAND בלבד.
(ד) מתי F = 0? נתאר זאת במילים.
תשובות: (א) F(A,B,C) = Σ(1,2,3,4,5,6) (ב) F = B·C + A·C + A·B (יש פתרון מפושט נוסף באותו גודל) (ג) F = B·C·A·C·A·B (ד) כאשר שלושת המבואות שווים: כולם 0 או כולם 1
42.
למעגל XOR מארבעה שערי NAND הוספנו שער NAND חמישי ששני מבואותיו מחוברים יחד.
(א) מה עושה השער החמישי?
(ב) נכתוב את טבלת האמת למוצא F וניתן שם לפונקציה.
(ג) נשלים את צורת הגל של F.
(ד) כמה שבבי 7400 דרושים?
(א) מה עושה השער החמישי?
(ב) נכתוב את טבלת האמת למוצא F וניתן שם לפונקציה.
(ג) נשלים את צורת הגל של F.
(ד) כמה שבבי 7400 דרושים?
תשובות: (א) פועל כמהפך (ב) F(A,B) = Σ(0,3) ← F = A·B + A·B : פונקציית XNOR (ג) F : 1001 1010 1101 (ד) 5 שערים ← שבבים: 2
תשובות סופיות לשאלות הפרק
5.1 F(A,B,C) = Σ(7) ; F = A·B·C ; שער AND אחד בעל שלושה מבואות
5.2 F = A·B + A·C ; 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
5.3 F = B·C·A·C·A·B ; 4 שערי NAND (אחד מהם בעל שלושה מבואות)
5.4 7408: 2 ; 7432: 1 ; 7404: 1 ; בסך הכול 4 שבבים
5.5 X = A ⊕ B ; Y = A·B ; F = (A ⊕ B) + A·B ; F(A,B) = Σ(1,2,3) ← F = B + A : שער OR אחד
5.6 F = A + B + A + C = (A + B)·(A + C) = B·C + A
שאלות בגרות לפרק 5
השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.
בגרות 2026 שאלה 10 — מערכת שערים לוגיים
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | ביטוי הפונקציה | בפתרון המלא |
| סעיף ב | פישוט | בפתרון המלא |
| סעיף ג | מימוש בשער יחיד | בפתרון המלא |
בגרות 2025 שאלה 10 — שערים בסיסיים ומערכת לוגית
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א1 | טבלת האמת של שער NAND | בפתרון המלא |
| סעיף א2 | טבלת האמת של שער NOR | בפתרון המלא |
| סעיף ב | הביטוי במוצא המערכת | בפתרון המלא |
| סעיף ג | פישוט | בפתרון המלא |
בגרות 2024 שאלה 9 — מערכת שערים לוגיים
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | ביטוי עבור הפונקציה F | בפתרון המלא |
| סעיף ב | פישוט הפונקציה למינימום משתנים | F = A · B + A · B |
| סעיף ג | מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים | בפתרון המלא |
בגרות 2023 שאלה 9 — מימוש פונקציה בשערים לוגיים
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | כתיבת ביטוי עבור הפונקציה | F(A,B,C) = (A · B · C) + C |
| סעיף ב | פישוט הפונקציה למינימום משתנים | בפתרון המלא |
| סעיף ג | ביטוי הפונקציה באמצעות מערכת מתגים | בפתרון המלא |
בגרות 2021 שאלה 10 — מערכת שערים ופישוטה
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | ביטויי הפונקציות F₁, F₂ ו-F | F₁ = X · Y ; F₂ = Y · Z = Y + Z ; F = X · Y + Y + Z |
| סעיף ב | פישוט F למינימום משתנים | F = X + Y + Z |
| סעיף ג | ערך הפונקציה עבור X = 1, Y = 0, Z = 0 | F = 1 |
בגרות 2019 שאלה 9 — מערכת שערים לוגיים
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | הביטוי במוצא המערכת F | F = A · B + A · C + B · C |
| סעיף ב | טבלת האמת של המערכת | בפתרון המלא |
| סעיף ג | שערים בודדים | F₁ = A ; F₂ = A |
בגרות 2018 שאלה 9 — מערכי שערים לוגיים
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א1 | הביטויים במוצאי המערכים | בפתרון המלא |
| סעיף א2 | הוכחת הזהות בין X₁ ל-X₂ | בפתרון המלא |
| סעיף ב1 | הביטויים במוצאי השערים x ו-y | x = A + B + C ; y = A · B · C |
| סעיף ב2 | האם הביטויים שקולים כאשר C = 1 | בפתרון המלא |
בגרות 2017 שאלה 9 — פישוט ומימוש פונקציה בינארית
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א.1 | פישוט הפונקציה למינימום ליטרלים | בפתרון המלא |
| סעיף א.2 | מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים | בפתרון המלא |
| סעיף ב | קריאת מערך השערים המשולב ורישום הביטוי במוצא | F = (A + B) · C = A · B + C |
בגרות 2016 שאלה 10 — רכיב 7400 עם שערי NAND
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| סעיף א | מציאת הפונקציה במוצא F | F = A · B + C |
| סעיף ב | טבלת אמת של הפונקציה F | בפתרון המלא |
נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.