פרק 6

מסכמים ומשווים

כיתה י׳ · 4 שעות לימוד

בפרק הראשון חיברנו מספרים בינאריים על הנייר, עמודה אחר עמודה. עכשיו נבנה את המעגל שעושה זאת: מעגל שמחבר שתי סיביות, מעגל שמחבר שלוש סיביות, ומשניהם מעגל שמחבר שני מספרים שלמים. המעגל הזה הוא הלב של כל מחשב ושל כל מחשבון. בסוף הפרק נבנה מעגל שני שימושי מאוד: מעגל שמשווה בין שתי סיביות ומודיע איזו מהן גדולה יותר.

בסוף הפרק הזה נדע:

נכתוב את טבלת האמת של המסכם למחצה (HA) ונבנה אותו משער XOR ומשער AND.
נכתוב את טבלת האמת של המסכם המלא (FA) ונפיק ממנה את הביטויים של הסכום S ושל הנשא היוצא C_out.
נבנה מסכם מלא משני מסכמים למחצה ומשער OR.
נחבר מסכם למחצה ומסכם מלא לחיבור שני מספרים בני שתי סיביות, ונעקוב אחר הנשא בתוך המעגל.
נכתוב את טבלת האמת של משווה לסיבית אחת ונבנה אותו משערים.

מסכמים (Adders)

ניזכר איך מחברים שני מספרים בינאריים: מתחילים מן העמודה הימנית, מחברים את שתי הסיביות, כותבים את הסכום מתחת לעמודה, ואם הגענו ל-2 מעבירים נשא 1 לעמודה שמשמאל. בכל עמודה חוץ מן הימנית מחברים אפוא שלוש סיביות: סיבית מכל מספר, והנשא שהגיע מימין.

	1	1		הנשא
		1	1	המספר A
+		0	1	המספר B
=	1	0	0	הסכום

בעמודה הימנית מחברים שתי סיביות בלבד; בעמודה השנייה מחברים שלוש סיביות — וזה ההבדל בין המסכם למחצה למסכם המלא

מסכם: הוא מערכת צירופים שמחברת סיביות. המוצאים שלה יוצרים יחד מספר בינארי השווה למספר האחדות שבמבואות שלה.

מסכם למחצה (HA):

מסכם למחצה, Half Adder: הוא מערכת צירופים שיש לה שני מבואות A ו-B ושני מוצאים: הסכום S (Sum) והנשא C (Carry). הוא מחבר שתי סיביות בלבד, ואין לו מבוא לנשא שמגיע מימין — לכן שמו "למחצה".

את שני המוצאים C ו-S קוראים יחד כמספר בינארי בן שתי ספרות: המשקל של C הוא 2 והמשקל של S הוא 1. למשל 1 + 1 = 2 = 10₂ , ולכן C = 1 ו-S = 0.

טבלת האמת של המסכם למחצה
A	B	C	S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

אותה טבלה: החיבור העשרוני והמספר C S
A	B	A + B	C S
0	0	0	00₂
0	1	1	01₂
1	0	1	01₂
1	1	2	10₂

נפיק את שני הביטויים מן הטבלה כפי שלמדנו בפרק 4. העמודה S שווה 1 בשורות 01 ו-10, והעמודה C שווה 1 בשורה 11 בלבד:

S = A·B + A·B

S = A ⊕ B

C = A·B

מסכם למחצה

S = A ⊕ B

C = A·B

סימן	משמעות	יחידת מידה
A, B	שתי הסיביות שמחברים	—
S	הסכום: 1 כאשר רק אחת משתי הסיביות היא 1	—
C	הנשא: 1 כאשר שתי הסיביות יחד הן 1	—

מבנה המסכם למחצה: שער XOR לסכום ושער AND לנשא

הסמל המקוצר של המסכם למחצה

דוגמה 6.1

מכניסים למסכם למחצה A = 1 ו-B = 1. מהם ערכי שני המוצאים? ומה פירוש התוצאה?

פתרון:

נחשב את המוצא של כל שער:

S = A ⊕ B = 1 ⊕ 1 = 0

C = A·B = 1·1 = 1

נקרא את שני המוצאים יחד: C S = 10₂ = 2₁₀. ואכן 1 + 1 = 2.

C = 1 , S = 0

שאלה 6.1: מדוע אי אפשר לקבל ממסכם למחצה C = 1 ו-S = 1 בו בזמן?

תרגול מהיר — מסכם למחצה: נכתוב את ערכי המוצאים C ו-S , או את ערכי המבואות

1A = 0 , B = 1

2A = 1 , B = 1

3A = 1 , B = 0

4A = 0 , B = 0

5C = 1 , S = 0 ← A , B ?

6C = 0 , S = 0 ← A , B ?

7A = 1 , S = 1 ← B ?

8B = 1 , C = 1 ← A ?

9B = 1 , S = 1 ← C ?

תשובות: 1 C = 0 , S = 1 2 C = 1 , S = 0 3 C = 0 , S = 1 4 C = 0 , S = 0 5 A = 1 , B = 1 6 A = 0 , B = 0 7 B = 0 8 A = 1 9 C = 0

דוגמה 6.2

אל שני המבואות של מסכם למחצה מגיעים האותות A ו-B שבסרטוט. נשרטט את אותות המוצאים S ו-C.

פתרון:

נחלק את ציר הזמן למרווחים, ובכל מרווח נקרא את A ואת B ונחשב S = A ⊕ B ו-C = A·B. המוצא S גבוה רק כאשר שני האותות שונים, והמוצא C גבוה רק כאשר שני האותות גבוהים יחד.

מסכם מלא (FA):

מסכם מלא, Full Adder: הוא מערכת צירופים שמחברת שלוש סיביות: שתי הסיביות A ו-B והנשא הנכנס C_in שמגיע מן העמודה הקודמת. יש לו שני מוצאים: הסכום S והנשא היוצא C_out שעובר לעמודה הבאה.

טבלת האמת של המסכם המלא
A	B	C_in	C_out	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

מספר האחדות במבואות, כתוב כמספר בינארי
A + B + C_in	C_out S
0	00₂
1	01₂
1	01₂
2	10₂
1	01₂
2	10₂
2	10₂
3	11₂

דרך מהירה: אין צורך לזכור את הטבלה בעל-פה. סופרים את האחדות בשלושת המבואות וכותבים את המספר בשיטה הבינארית: אין אחדות ← 00 ; אחת ← 01 ; שתיים ← 10 ; שלוש ← 11. הספרה השמאלית היא C_out והימנית היא S.

הסמל המקוצר של המסכם המלא: שלושה מבואות ושני מוצאים

איך בונים מסכם מלא? מחברים תחילה את A ואת B במסכם למחצה, ואחר כך מחברים את התוצאה עם C_in במסכם למחצה שני. כל אחד משני המסכמים עשוי להוציא נשא, ונשא אחד מספיק כדי ש-C_out = 1 — לכן מחברים את שני הנשאים בשער OR.

מסכם מלא משני מסכמים למחצה ושער OR

נכתוב את הביטוי של כל אות בסרטוט. שני המוצאים של המסכם הראשון הם A ⊕ B ו-A·B. המסכם השני מחבר את A ⊕ B עם C_in:

מסכם מלא

S = A ⊕ B ⊕ C_in

C_out = A·B + C_in·(A ⊕ B)

סימן	משמעות	יחידת מידה
A, B	שתי הסיביות שמחברים	—
C_in	הנשא הנכנס, מן העמודה הקודמת	—
S	הסכום: 1 כאשר מספר האחדות במבואות אי-זוגי	—
C_out	הנשא היוצא: 1 כאשר יש במבואות שתי אחדות לפחות	—

המסכם המלא בשערים: שני שערי XOR , שני שערי AND ושער OR

דוגמה 6.3

מכניסים למסכם המלא A = 1 , B = 0 , C_in = 1. נעקוב אחר האותות בתוך המעגל ונמצא את S ואת C_out.

פתרון:

המסכם למחצה הראשון מחבר את A ואת B:

A ⊕ B = 1 ⊕ 0 = 1

A·B = 1·0 = 0

המסכם למחצה השני מחבר את התוצאה 1 עם C_in = 1:

S = 1 ⊕ 1 = 0

C_in·(A ⊕ B) = 1·1 = 1

שער ה-OR מחבר את שני הנשאים:

C_out = 0 + 1 = 1

בדיקה: במבואות יש שתי אחדות, ו-2 = 10₂.

C_out = 1 , S = 0

שאלה 6.2: מכניסים למסכם המלא A = 1 , B = 1 , C_in = 1. מהו ערך המוצאים של כל אחד משני המסכמים למחצה, ומהם ערכי S ו-C_out?

הערה: אם מחברים את C_in ל-0 המסכם המלא נעשה מסכם למחצה: S = A ⊕ B ⊕ 0 = A ⊕ B ו-C_out = A·B + 0 = A·B.

תרגול מהיר — מסכם מלא: נכתוב את C_out ואת S

1A = 0 , B = 0 , C_in = 1

2A = 1 , B = 0 , C_in = 1

3A = 1 , B = 0 , C_in = 0

4A = 1 , B = 1 , C_in = 0

5A = 0 , B = 0 , C_in = 0

6A = 0 , B = 1 , C_in = 0

7A = 0 , B = 1 , C_in = 1

8A = 1 , B = 1 , C_in = 1

תשובות: 1 C_out = 0 , S = 1 2 C_out = 1 , S = 0 3 C_out = 0 , S = 1 4 C_out = 1 , S = 0 5 C_out = 0 , S = 0 6 C_out = 0 , S = 1 7 C_out = 1 , S = 0 8 C_out = 1 , S = 1

מסכם לשני מספרים בני שתי סיביות:

רוצים לחבר שני מספרים, שבכל אחד מהם שתי סיביות: A = A₁ A₀ ו-B = B₁ B₀. הסיביות A₀ ו-B₀ הן הסיביות הפחות משמעותיות (LSB). נקצה מסכם לכל עמודה:

העמודה הימנית (משקלה 1): מחברים רק את A₀ ואת B₀, ואין נשא נכנס ← מסכם למחצה. המוצאים שלו S₀ והנשא C₁.
העמודה השנייה (משקלה 2): מחברים את A₁ , B₁ ואת הנשא C₁ ← מסכם מלא. המוצאים שלו S₁ והנשא C_out.
התוצאה היא מספר בן שלוש סיביות: C_out S₁ S₀. הנשא האחרון C_out הוא הספרה העליונה, ומשקלו 4.

מסכם לשני מספרים בני שתי סיביות: הנשא C₁ עובר מן המסכם למחצה (מימין) אל המסכם המלא (משמאל)

הערה: שרטטנו את המעגל כפי שכותבים את החיבור על הנייר: העמודה הפחות משמעותית מימין, והנשא נע שמאלה. מכיוון שהנשא "מתגלגל" ממסכם אל המסכם שאחריו, המעגל הזה נקרא באנגלית Ripple Carry Adder.

דוגמה 6.4

נחבר בעזרת המעגל את שני המספרים A = 11₂ ו-B = 01₂. נעקוב אחר כל מסכם ונבדוק את התוצאה.

פתרון:

נכתוב את הסיביות: A₁ = 1 , A₀ = 1 , B₁ = 0 , B₀ = 1.

המסכם למחצה (העמודה הימנית) מחבר את A₀ ואת B₀:

S₀ = 1 ⊕ 1 = 0

C₁ = 1·1 = 1

המסכם המלא (העמודה השנייה) מחבר את A₁ = 1 , B₁ = 0 ואת הנשא C₁ = 1. במבואות שלו שתי אחדות , ולכן:

C_out S₁ = 10₂

נקרא את התוצאה: C_out S₁ S₀ = 100₂. בדיקה בשיטה העשרונית: 3 + 1 = 4.

11₂ + 01₂ = 100₂

דוגמה 6.5

מהו הסכום הגדול ביותר שהמסכם יכול לחשב? נעקוב אחר המעגל במקרה הזה.

פתרון:

המספר הגדול ביותר בן שתי סיביות הוא 11₂ = 3 , ולכן הסכום הגדול ביותר הוא 3 + 3 = 6.

המסכם למחצה: 1 + 1 ← S₀ = 0 , C₁ = 1.

המסכם המלא: 1 + 1 + 1 ← S₁ = 1 , C_out = 1.

התוצאה 110₂ = 6₁₀. לתוצאה דרושות שלוש סיביות, ובלי C_out היינו קוראים 10₂ = 2 — תוצאה שגויה.

11₂ + 11₂ = 110₂

שאלה 6.3: נחבר בעזרת המעגל A = 10₂ ו-B = 11₂. מהו הערך של C₁ , ומהי התוצאה C_out S₁ S₀?

אפשר לבנות את אותו מעגל משני מסכמים מלאים: מחברים את מבוא הנשא C_in של המסכם הימני ל-0, והוא פועל כמסכם למחצה. כך בנויים הרכיבים המשולבים המוכנים: כל הדרגות זהות, וכדי לחבר שני מספרים בני n סיביות מחברים n מסכמים מלאים בשרשרת.

אותו מסכם משני מסכמים מלאים: מבוא הנשא הראשון מחובר ל-0

A₀	B₁	B₀	C_out	S₁	S₀
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1
1	1	1	1	0	0

טבלת האמת המלאה של המסכם: 16 שורות, ובכל שורה C_out S₁ S₀ = A + B
A₁	A₀	B₁	B₀	C_out	S₁	S₀
1	0	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	0	0
1	1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1	0

תרגול מהיר — מסכם לשני מספרים בני שתי סיביות: נכתוב את הנשא הפנימי C₁ ואת התוצאה C_out S₁ S₀

101 + 01

210 + 01

301 + 10

411 + 10

510 + 10

601 + 11

700 + 11

811 + 11

910 + 11

תשובות: 1 C₁ = 1 , 010₂ 2 C₁ = 0 , 011₂ 3 C₁ = 0 , 011₂ 4 C₁ = 0 , 101₂ 5 C₁ = 0 , 100₂ 6 C₁ = 1 , 100₂ 7 C₁ = 0 , 011₂ 8 C₁ = 1 , 110₂ 9 C₁ = 0 , 101₂

▶ניסוי חי — בונים מסכם בעצמנובבונה המעגלים משרטטים מסכם למחצה משער XOR ומשער AND, משנים את המבואות ורואים את טבלת האמת מחושבת אוטומטית. אחר כך בונים מסכם מלא.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

טבלאות אמת של מסכם למחצה ומסכם מלא:

נציב את שתי הטבלאות זו לצד זו. ארבע השורות בטבלת המסכם המלא שבהן C_in = 0 מחזירות לנו את המסכם למחצה; בשורות שבהן C_in = 1 הסכום גדל באחת.

המסכם למחצה (HA)
A	B	C	S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

המסכם המלא (FA) — השורות הצבועות: C_in = 1
A	B	C_in	C_out	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

עכשיו נפיק את שני הביטויים של המסכם המלא ישירות מן הטבלה, בעזרת מפת קרנו, ונבדוק שמתקבל אותו דבר שקיבלנו מבניית המעגל.

S(A,B,C_in) = Σ(1,2,4,7)

C_out(A,B,C_in) = Σ(3,5,6,7)

דוגמה 6.6

נפיק מן המפה את הביטוי של הסכום S.

פתרון:

במפה של S האחדות מסודרות כמו לוח שחמט: אין שתי משבצות סמוכות, ולכן אי אפשר ליצור אף קבוצה. נכתוב את הצורה הקנונית:

S = A·B·C_in + A·B·C_in + A·B·C_in + A·B·C_in

נוציא את A כגורם משותף משני המינטרמים הראשונים, ואת A משני האחרונים (חוק הפילוג):

S = A·(B·C_in + B·C_in) + A·(B·C_in + B·C_in)

הסוגריים הראשונים הם B ⊕ C_in , והסוגריים השניים הם ההיפוך שלו:

S = A·(B ⊕ C_in) + A·B ⊕ C_in

זוהי צורת XOR בין A לבין B ⊕ C_in:

S = A ⊕ B ⊕ C_in

דוגמה 6.7

נפיק מן המפה את הביטוי של הנשא היוצא C_out , ונשווה אותו לביטוי שקיבלנו מן המעגל.

פתרון:

במפה של C_out שלוש קבוצות, ובכל אחת שתי משבצות. כל קבוצה נותנת מכפלה של שני ליטרלים:

C_out = B·C_in + A·C_in + A·B

משמעות הביטוי: הנשא היוצא הוא 1 כאשר לפחות שניים משלושת המבואות הם 1.

במעגל קיבלנו C_out = A·B + C_in·(A ⊕ B). האם זו אותה פונקציה? נבדוק בטבלת אמת:

A	B	C_in	A·B	C_in·(A ⊕ B)	A·B + C_in·(A ⊕ B)	C_out
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	1	0	1	1

שתי העמודות האחרונות זהות בכל השורות, ולכן שני הביטויים שווים. בוחרים בשני כשבונים משני מסכמים למחצה, כי A ⊕ B כבר מוכן אצלנו.

C_out = B·C_in + A·C_in + A·B

שימו לב: לא מתבלבלים בין שני המוצאים: S הוא הספרה הימנית (משקלה 1) ו-C_out הוא הספרה השמאלית (משקלה 2). במבוא 1 + 1 + 0 התוצאה היא C_out = 1 ו-S = 0 , ולא להפך.

שאלה 6.4: נכתוב בייצוג מספרי Σ את שתי הפונקציות של המסכם למחצה S(A,B) ו-C(A,B).

תרגול מהיר — נחבר שלוש סיביות ונכתוב את התוצאה כמספר בינארי בן שתי ספרות C_out S

11 + 1 + 0

20 + 0 + 1

31 + 1 + 1

40 + 1 + 1

51 + 0 + 0

60 + 0 + 0

71 + 0 + 1

80 + 1 + 0

תשובות: 1 10₂ 2 01₂ 3 11₂ 4 10₂ 5 01₂ 6 00₂ 7 10₂ 8 01₂

תרגול מהיר — נכון או לא נכון?

1למסכם למחצה יש שלושה מבואות.

2במסכם המלא S = 1 כאשר מספר האחדות במבואות אי-זוגי.

3במסכם המלא C_out = 1 רק כאשר שלושת המבואות הם 1.

4מסכם מלא עם C_in = 0 פועל כמסכם למחצה.

5מסכם לשני מספרים בני שתי סיביות מוציא תוצאה בת שתי סיביות.

6הנשא במסכם למחצה הוא C = A + B.

תשובות: 1 לא נכון — יש לו שני מבואות 2 נכון 3 לא נכון — מספיקים שני מבואות 4 נכון 5 לא נכון — בת שלוש סיביות 6 לא נכון — C = A·B

משווים (Comparators)

לעיתים קרובות המעגל הספרתי צריך לדעת מה היחס בין שני מספרים: האם הטמפרטורה גבוהה מן הטמפרטורה הרצויה? האם הקוד הסודי שהוקש שווה לקוד השמור? האם המונה הגיע למספר הרצוי? המעגל שעונה על השאלות האלה הוא המשווה.

משווה, Comparator: הוא מערכת צירופים שמקבלת שני מספרים בינאריים A ו-B ומודיעה מה היחס ביניהם בעזרת שלושה מוצאים: A > B , A = B , A < B. בכל רגע רק מוצא אחד שווה 1.

משווה לסיבית אחת:

נתחיל במשווה הפשוט ביותר: כל מספר הוא סיבית אחת. נקרא לשלושת המוצאים באותיות קצרות:

G (Greater) — שווה 1 כאשר A > B.
E (Equal) — שווה 1 כאשר A = B.
L (Less) — שווה 1 כאשר A < B.

הסמל המקוצר של משווה לסיבית אחת

מתי סיבית אחת גדולה מסיבית אחרת? יש רק אפשרות אחת: A = 1 ו-B = 0. ומתי היא קטנה ממנה? רק כאשר A = 0 ו-B = 1. בשני המצבים הנותרים (00 ו-11) שתי הסיביות שוות. מכאן כותבים את הביטויים ישירות:

משווה לסיבית אחת

G = A·B

E = A ⊕ B

L = A·B

סימן	משמעות	יחידת מידה
G	המוצא A > B	—
E	המוצא A = B : שער XNOR	—
L	המוצא A < B	—

אין צורך בשער XNOR מיוחד למוצא E. אם A אינו גדול מ-B ואינו קטן ממנו הרי הוא שווה לו, כלומר E = 1 כאשר G = 0 ו-L = 0:

E = G + L

משווה לסיבית אחת בשערים: שני מהפכים, שני שערי AND ושער NOR

דוגמה 6.8

מכניסים למשווה A = 1 ו-B = 0. נעקוב אחר המעגל ונמצא את שלושת המוצאים.

פתרון:

המוצאים של שני המהפכים: A = 0 ו-B = 1.

G = A·B = 1·1 = 1

L = A·B = 0·0 = 0

E = G + L = 1 + 0 = 0

רק המוצא G שווה 1: המעגל מודיע ש-A > B.

G = 1 , E = 0 , L = 0

שאלה 6.5: מכניסים למשווה A = 1 ו-B = 1. מהו ערך המוצאים של שני שערי ה-AND, ומהם ערכי שלושת המוצאים?

טבלת אמת של משווה לסיבית אחת:

טבלת האמת של משווה לסיבית אחת: בכל שורה רק מוצא אחד שווה 1
A	B	G	E	L	היחס
0	0	0	1	0	A = B
0	1	0	0	1	A < B
1	0	1	0	0	A > B
1	1	0	1	0	A = B

נקרא מן הטבלה, עמודה אחר עמודה:

העמודה G שווה 1 בשורה 10 בלבד ← G = A·B , כלומר G(A,B) = Σ(2).
העמודה L שווה 1 בשורה 01 בלבד ← L = A·B , כלומר L(A,B) = Σ(1).
העמודה E שווה 1 בשורות 00 ו-11 ← E = A·B + A·B , כלומר E(A,B) = Σ(0,3).

הביטוי A·B + A·B הוא בדיוק ההיפוך של XOR. שער XNOR הוא אפוא שער השוויון: המוצא שלו 1 כאשר שני המבואות שלו שווים.

שער XNOR בודק שוויון: F = A ⊕ B

A	B	A ⊕ B	A ⊕ B
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

★ הרחבה: כדי להשוות שני מספרים בני כמה סיביות מתחילים מן הסיבית המשמעותית ביותר (MSB): אם הן שונות, הן מכריעות את התוצאה; אם הן שוות, עוברים לסיבית הבאה. בפרק 7 נבנה את המשווה בדרכים אחרות ונרחיב אותו לשני מספרים בני שתי סיביות.

תרגול מהיר — משווה לסיבית אחת: נכתוב את המוצאים G , E , L , או נמצא את המבואות

1A = 0 , B = 1

2A = 1 , B = 1

3A = 1 , B = 0

4A = 0 , B = 0

5G = 1 ← A , B ?

6L = 1 ← A , B ?

7E = 1 ו-A = 0 ← B ?

8E = 0 ו-B = 1 ← A ? ואיזה מוצא 1 ?

9האם ייתכן G = 1 ו-L = 1 יחד?

תשובות: 1 G = 0 , E = 0 , L = 1 2 G = 0 , E = 1 , L = 0 3 G = 1 , E = 0 , L = 0 4 G = 0 , E = 1 , L = 0 5 A = 1 , B = 0 6 A = 0 , B = 1 7 B = 0 8 A = 0 ; L = 1 9 לא

▶ניסוי חי — המשווה בבונה המעגליםבונים משווה לסיבית אחת משני מהפכים, שני שערי AND ושער NOR, ובודקים שבכל מצב דולק רק מוצא אחד.

⚠

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

דוגמה 6.9

אל מבואות המשווה מגיעים האותות A ו-B שבסרטוט. נשרטט את המוצאים G , E ו-L.

פתרון:

בכל מרווח משווים בין הרמה של A לרמה של B: אם A גבוה ו-B נמוך, G עולה ; אם להפך, L עולה ; ואם שניהם באותה רמה, E עולה.

בדיקה: בכל מרווח רק אות אחד מן השלושה גבוה.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
מסכם למחצה — הסכום	S = A ⊕ B
מסכם למחצה — הנשא	C = A·B
מסכם מלא — הסכום	S = A ⊕ B ⊕ C_in
מסכם מלא — הנשא היוצא (מן המעגל)	C_out = A·B + C_in·(A ⊕ B)
מסכם מלא — הנשא היוצא (מן המפה)	C_out = B·C_in + A·C_in + A·B
מסכם לשני מספרים בני שתי סיביות — התוצאה	C_out S₁ S₀ = A₁ A₀ + B₁ B₀
המשווה — A > B	G = A·B
המשווה — A = B	E = A ⊕ B = G + L
המשווה — A < B	L = A·B

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
מסכם	Adder	الجامع
מסכם למחצה	Half Adder (HA)	الجامع النصفي
מסכם מלא	Full Adder (FA)	الجامع الكامل
סכום	Sum	المجموع
נשא	Carry	الحمل
נשא נכנס	Carry in	الحمل الداخل
נשא יוצא	Carry out	الحمل الخارج
סיבית	Bit	بت
הסיבית הפחות משמעותית	LSB	البت الأدنى وزنا
הסיבית המשמעותית ביותר	MSB	البت الأعلى وزنا
טבלת אמת	Truth table	جدول الصواب
מפת קרנו	Karnaugh map	خريطة كارنو
מערכת צירופים	Combinational circuit	دائرة توافقية
משווה	Comparator	المُقارِن
גדול מ־	Greater than	أكبر من
שווה ל־	Equal	يساوي
קטן מ־	Less than	أصغر من
מבוא	Input	المدخل
מוצא	Output	المخرج
דיאגרמת זמנים	Timing diagram	مخطط الزمن

שאלות לתרגול:

רמה ראשונה — בסיסי

נכתוב מן הזיכרון את טבלת האמת של המסכם למחצה, ואחר כך נכתוב את הביטויים של שני המוצאים.

תשובות: השורות 00, 01, 10, 11 ← C S = 00 , 01 , 01 , 10 ; S = A ⊕ B , C = A·B

נשלים את שני המוצאים של המסכם המלא C_out ו-S לכל צירוף של המבואות A B C_in : 011 , 100 , 111 , 001.

תשובות: 011 ← C_out = 1 , S = 0 ; 100 ← C_out = 0 , S = 1 ; 111 ← C_out = 1 , S = 1 ; 001 ← C_out = 0 , S = 1

כמה מבואות וכמה מוצאים יש:
(א) למסכם למחצה?
(ב) למסכם מלא?
(ג) למסכם של שני מספרים בני שתי סיביות? וכמה שורות יש בטבלת האמת של כל אחד?

תשובות: (א) 2 ו-2 , 4 שורות (ב) 3 ו-2 , 8 שורות (ג) 4 ו-3 , 16 שורות

נחשב ונכתוב את התוצאה כמספר בינארי בן שתי ספרות: 1 + 0 + 1 ; 1 + 1 + 0 ; 1 + 1 + 1 ; 0 + 1 + 0.

תשובות: 10₂ ; 10₂ ; 11₂ ; 01₂

נחבר במסכם לשני מספרים בני שתי סיביות, ונכתוב את התוצאה C_out S₁ S₀ ואת ערכה העשרוני: 01₂ + 10₂ ; 11₂ + 01₂ ; 10₂ + 10₂.

תשובות: 011₂ = 3 ; 100₂ = 4 ; 100₂ = 4

נכתוב את טבלת האמת של משווה לסיבית אחת עם המוצאים G (A > B) , E (A = B) , L (A < B).

תשובות: השורות 00, 01, 10, 11 ← G E L = 010 , 001 , 100 , 010

איזה שער לוגי יחיד נותן:
(א) את הסכום של המסכם למחצה?
(ב) את הנשא של המסכם למחצה?
(ג) את המוצא A = B של המשווה?

תשובות: (א) XOR (ב) AND (ג) XNOR

אל שני המבואות של מסכם למחצה מגיעים האותות A ו-B. נשלים בדיאגרמה את אותות המוצאים S ו-C.

תשובות: במרווחים 1 עד 8: S = 0 1 0 1 0 0 1 1 ; C = 0 0 1 0 1 0 0 0

רמה שנייה — בינוני

מסכם מלא בנוי משני מסכמים למחצה ומשער OR (כמו בסרטוט). מכניסים A = 1 , B = 1 , C_in = 0. נמצא: את המוצאים של המסכם הראשון, את המוצאים של המסכם השני, ואת C_out.

תשובות: המסכם הראשון: S = 0 , C = 1 ; המסכם השני: S = 0 , C = 0 ; C_out = 1

10.

תלמיד כתב את טבלת האמת של המסכם המלא, וטעה בשתי שורות. נמצא את שתי השורות השגויות ונתקן אותן.

A	B	C_in	C_out	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

תשובות: השורה 011: הנכון C_out = 1 , S = 0 ; השורה 101: הנכון C_out = 1 , S = 0

11.

נשרטט מפת קרנו לנשא היוצא C_out של המסכם המלא ונכתוב את הביטוי המפושט. כמה שערי AND וכמה שערי OR דרושים כדי לממש אותו בשתי דרגות?

תשובות: C_out = B·C_in + A·C_in + A·B ; שלושה שערי AND בעלי שני מבואות ושער OR אחד בעל שלושה מבואות

12.

נעקוב אחר מסכם של שני מספרים בני שתי סיביות (מסכם למחצה ומסכם מלא). לכל זוג נכתוב את C₁ , S₀ , S₁ , C_out : 11₂ + 11₂ ; 10₂ + 11₂ ; 01₂ + 11₂.

תשובות: C₁ = 1 , S₀ = 0 , S₁ = 1 , C_out = 1 ; C₁ = 0 , S₀ = 1 , S₁ = 0 , C_out = 1 ; C₁ = 1 , S₀ = 0 , S₁ = 0 , C_out = 1

13.

במסכם מלא חיברנו את המבוא B ל-1 באופן קבוע. נכתוב את הביטויים של S ושל C_out כפונקציות של שני המשתנים A ו-C_in בלבד.

תשובות: S = A·C_in + A·C_in = A ⊕ C_in ; C_out = C_in + A

14.

נוכיח בטבלת אמת ש-E = G + L במשווה לסיבית אחת, כאשר G = A·B ו-L = A·B.

תשובות: השורות 00, 01, 10, 11 : G + L = 0 , 1 , 1 , 0 ← G + L = 1 , 0 , 0 , 1 , וזוהי העמודה E

15.

אל שני המבואות של משווה לסיבית אחת מגיעים האותות A ו-B. נשלים בדיאגרמה את אותות המוצאים G , E , L.

תשובות: במרווחים 1 עד 8: G = 0 0 0 1 0 0 1 0 ; E = 1 0 1 0 1 1 0 0 ; L = 0 1 0 0 0 0 0 1

16.

בחדר שלושה חיישני תנועה A , B , C. רוצים מעגל שמוציא מספר בינארי בן שתי סיביות Y₁ Y₀ השווה למספר החיישנים הפעילים. איזה מעגל מן הפרק הזה פותר את הבעיה? נכתוב את הביטויים של Y₁ ושל Y₀.

תשובות: מסכם מלא, שהמבואות שלו הם שלושת החיישנים: Y₀ = S = A ⊕ B ⊕ C ; Y₁ = C_out = B·C + A·C + A·B

17.

ועדה של שלושה חברים מצביעה בלחצנים A , B , C (1 = בעד). נורה דולקת כאשר הרוב בעד. איזה משני המוצאים של המסכם המלא מפעיל את הנורה? נכתוב את הביטוי שלו ואת רשימת המינטרמים.

תשובות: המוצא C_out : B·C + A·C + A·B ; F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7)

18.

המעגל שבסרטוט בנוי משער אחד. איזה ממוצאי המשווה הוא נותן? נכתוב את טבלת האמת.

תשובות: המוצא E (A = B): F = A ⊕ B ; השורות 00, 01, 10, 11 ← F = 1 , 0 , 0 , 1

רמה שלישית — אתגר

19.

המעגל שבסרטוט בנוי מחמישה שערי NAND. נכתוב את הביטוי של כל מוצא ונקבע איזה מעגל מן הפרק הזה הוא.

תשובות: X = A ⊕ B ו-Y = A·B — זהו מסכם למחצה: X הוא הסכום ו-Y הוא הנשא

20.

רוצים לחבר שני מספרים בני שלוש סיביות.
(א) כמה מסכמים מלאים דרושים אם משתמשים במסכמים מלאים בלבד?
(ב) כמה סיביות יש בתוצאה?
(ג) נעקוב אחר החיבור 101₂ + 011₂ : נכתוב את הנשא היוצא מכל דרגה ואת התוצאה.

תשובות: (א) 3 (ב) 4 סיביות (ג) הנשאים מימין: 1 , 1 , 1 ; התוצאה 1000₂ = 8

21.

מהו הסכום הגדול ביותר שמחשב מסכם לשני מספרים בני:
(א) שתי סיביות?
(ב) ארבע סיביות?
(ג) שמונה סיביות? נכתוב כל סכום בשיטה הבינארית.

תשובות: (א) 3 + 3 = 6 = 110₂ (ב) 15 + 15 = 30 = 11110₂ (ג) 255 + 255 = 510 = 111111110₂

22.

רוצים מעגל שבודק אם שני מספרים בני שתי סיביות A₁ A₀ ו-B₁ B₀ שווים. נכתוב את הביטוי של המוצא E בעזרת שערי XNOR, ונמצא בכמה שורות מתוך 16 השורות שבטבלת האמת מתקיים E = 1.

תשובות: E = A₁ ⊕ B₁ · A₀ ⊕ B₀ ; ב-4 שורות

23.

נכתוב בייצוג מספרי Σ את שתי הפונקציות של המסכם המלא. באילו צירופים של המבואות שני המוצאים S ו-C_out שווים?

תשובות: S(A,B,C_in) = Σ(1,2,4,7) ; C_out(A,B,C_in) = Σ(3,5,6,7) ; הם שווים ב-000 ו-111

24.

במסכם לשני מספרים בני שתי סיביות חיברנו את המספר B ל-01₂ באופן קבוע, והמעגל מחשב עכשיו A + 1. נכתוב ביטויים מפושטים למוצאים S₀ , S₁ , C_out כפונקציות של שני המשתנים A₁ ו-A₀.

תשובות: S₀ = A₀ ; S₁ = A₁·A₀ + A₁·A₀ = A₁ ⊕ A₀ ; C_out = A₁·A₀

25.

תלמיד בנה מסכם מלא ושכח את שער ה-OR: הוא לקח את C_out מן הנשא של המסכם למחצה השני בלבד. באילו צירופים של המבואות A B C_in התוצאה שלו שגויה?

תשובות: הוא טועה כאשר הנשא של המסכם הראשון A·B = 1 : בשני הצירופים 110 ו-111

26.

במכל מים יש חיישן A שנותן 1 כאשר המים מעל המפלס הרצוי, ומפסק B שהמפעיל מעביר ל-1 כשהוא רוצה מכל מלא. משאבת המילוי פועלת כאשר רוצים מכל מלא והמים אינם מעל המפלס. איזה ממוצאי המשווה לסיבית אחת (שמבואותיו A ו-B) מפעיל את המשאבה?

תשובות: המוצא L (A < B): L = A·B — שווה 1 רק כאשר A = 0 ו-B = 1

תשובות סופיות לשאלות הפרק

6.1 כי C S = 11₂ = 3 , וסכום של שתי סיביות אינו עולה על 2. בטבלה אין שורה שבה C = S = 1

6.2 המסכם הראשון: A ⊕ B = 0 , A·B = 1 ; המסכם השני: S = 0 ⊕ 1 = 1 , הנשא שלו 0 ; C_out = 1 + 0 = 1 , כלומר C_out S = 11₂ = 3

6.3 C₁ = 0 ; C_out S₁ S₀ = 101₂ = 5₁₀

6.4 S(A,B) = Σ(1,2) ; C(A,B) = Σ(3)

6.5 המוצאים של שני שערי ה-AND: G = 1·0 = 0 ו-L = 0·1 = 0 ; E = 0 + 0 = 1

שאלות בגרות לפרק 6

המקצוע "מערכות ספרתיות" נבחן במגמת האלקטרוניקה בבחינה פנימית. שאלות הבגרות שבספר לקוחות משאלון 845381 של מגמת החשמל, שבכל שנה יש בו שתי שאלות על מערכות ספרתיות; אין בו שאלה עצמאית על חומר הפרק הזה. מתרגלים אותו ב"שאלות לתרגול" ובמבחנים העצמיים שבפרק 12.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.