פרק 7

תכנון ומימוש של מערכות צירופים שימושיות

כיתה י׳ · 6 שעות לימוד

בפרקים הקודמים בנינו כל מעגל משערים בודדים. במכשירים אמיתיים יש מערכות צירופים שחוזרות שוב ושוב, ולכן מייצרים אותן כשבבים מוכנים: מערכת שבוחרת אות אחד מתוך כמה אותות, מערכת שמפלגת אות אל אחד מכמה מוצאים, מערכת שמפענחת קוד בינארי, ומערכת שמפעילה את תצוגת הספרות. בפרק זה נכיר את המערכות האלה, ונלמד כיצד לממש בעזרתן כל פונקציה בוליאנית בלי פישוט ובלי שערים רבים.

בסוף הפרק הזה נדע:

נסביר את פעולת המרבב (MUX) ונכתוב את טבלת הפעולה ואת הביטוי של מרבב 2:1, 4:1 ו-8:1.
נסביר את פעולת המפלג (DEMUX) ונכתוב את ביטויי המוצאים שלו.
נכתוב את טבלת האמת של מפענח 2:4 ו-3:8 עם מבוא אפשור, ונראה את הקשר בינו ובין המפלג.
נבנה את טבלת מפענח התצוגה לתצוגת 7 מקטעים, ונמצא פונקציה של מקטע בעזרת מפת קרנו עם צירופי ברירה.
נסביר את פעולת המקודד 4:2 ואת רעיון העדיפות.
נממש פונקציה בוליאנית באמצעות מרבב, ובאמצעות מפענח (או מפלג) ושער OR.
נממש משווה באמצעות המערכות האלה, ונרחיב אותו לשני מספרים בני שתי סיביות.

מרבבים (Multiplexers) ומפלגים (DeMultiplexers) (MUX & DEMUX)

מרבב (MUX):

במד חום ספרתי יש ארבעה חיישנים בארבעה חדרים, ותצוגה אחת. בכל רגע נרצה להציג את הקריאה של חיישן אחד בלבד. דרוש לנו "מתג סיבובי" אלקטרוני שמחבר אחד מן המבואות אל המוצא, לפי מספר שנכתוב לו. המתג הזה הוא המרבב.

מרבב: מערכת צירופים שיש לה כמה מבואות נתונים D₀, D₁, ... ומוצא אחד Y. קווי הבקרה (קווי הבחירה) S קובעים איזה מבוא מועבר אל המוצא. כל מבוא נתונים נקרא ערוץ.

מספר קווי הבחירה

n = 2^k

סימן	משמעות	יחידת מידה
n	מספר מבואות הנתונים (הערוצים)	—
k	מספר קווי הבחירה	—

המילה הבינארית הכתובה על קווי הבחירה היא מספר הערוץ הנבחר. בקו בחירה אחד בוחרים בין שני ערוצים, בשני קווים בין ארבעה ערוצים, ובשלושה קווים בין שמונה ערוצים.

מרבב 2:1:

מרבב 2:1: שני ערוצים וקו בחירה אחד

S	Y
0	D₀
1	D₁

טבלת הפעולה

כאשר S = 0 המוצא שווה ל-D₀, וכאשר S = 1 המוצא שווה ל-D₁. נכתוב זאת כביטוי: כל ערוץ עובר דרך שער AND ש"נפתח" רק כאשר מספרו כתוב על קו הבחירה, ושער OR מאחד את שני הערוצים.

Y = S·D₀ + S·D₁

מרבב 2:1 בשערים: מהפך, שני שערי AND ושער OR

דוגמה 7.1

אל מרבב 2:1 מגיעים האותות המסורטטים: D₀ אות איטי, D₁ אות מהיר, ו-S קו הבחירה. נסרטט את אות המוצא Y.

פתרון:

כל עוד S = 0 המוצא מעתיק את D₀; מן הרגע שבו S = 1 המוצא מעתיק את D₁.

מרבב 4:1:

מרבב 4:1: ארבעה ערוצים ושני קווי בחירה. S₁ היא הסיבית המשמעותית ביותר

S₁	S₀	Y
0	0	D₀
0	1	D₁
1	0	D₂
1	1	D₃

טבלת הפעולה

מרבב 4 ל-1

Y = S₁·S₀·D₀ + S₁·S₀·D₁ + S₁·S₀·D₂ + S₁·S₀·D₃

סימן	משמעות	יחידת מידה
D₀ ... D₃	מבואות הנתונים (הערוצים)	—
S₁ S₀	שני קווי הבחירה: מספר הערוץ בבסיס הבינארי	—
Y	המוצא	—

בכל מכפלה מופיע מינטרם של שני המשתנים S₁ S₀ כפול הערוץ שנושא את מספרו. בכל רגע רק מינטרם אחד שווה ל-1, ולכן רק ערוץ אחד מגיע אל המוצא.

מרבב 4:1 בשערים: ארבעה שערי AND בעלי שלושה מבואות, ושער OR בעל ארבעה מבואות

דוגמה 7.2

אל מרבב 4:1 מגיעים הנתונים D₀ = 1, D₁ = 0, D₂ = 1, D₃ = 1. מהו ערך המוצא כאשר S₁ S₀ = 10? וכאשר S₁ S₀ = 01?

פתרון:

המילה 10₂ = 2 בוחרת את הערוץ D₂, ולכן Y = D₂ = 1.

המילה 01₂ = 1 בוחרת את הערוץ D₁, ולכן Y = D₁ = 0.

Y = 1 ; Y = 0

שאלה 7.1: באותו מרבב: מהו ערך Y לכל אחת מארבע המילים S₁ S₀?

מרבב 8:1:

מרבב 8:1: שמונה ערוצים ושלושה קווי בחירה

S₂	S₁	S₀	Y
0	0	0	D₀
0	0	1	D₁
0	1	0	D₂
0	1	1	D₃
1	0	0	D₄
1	0	1	D₅
1	1	0	D₆
1	1	1	D₇

טבלת הפעולה

הביטוי של מרבב 8:1 בנוי באותה דרך: שמונה מכפלות, ובכל מכפלה מינטרם של המשתנים S₂ S₁ S₀ כפול הערוץ שלו. למשל המכפלה הראשונה והמכפלה האחרונה:

Y = S₂·S₁·S₀·D₀ + ... + S₂·S₁·S₀·D₇

הערה: בשבבים מוכנים יש לעיתים מבוא אפשור EN שמאפשר לכבות את המרבב כולו, ומוצא נוסף הפוך Y.

תרגול מהיר — איזה ערוץ מגיע אל המוצא?

1S₁ S₀ = 10

2S₁ S₀ = 01

3S₁ S₀ = 11

4S₂ S₁ S₀ = 101

5S₂ S₁ S₀ = 010

6S₂ S₁ S₀ = 111

7S₂ S₁ S₀ = 100

8S₂ S₁ S₀ = 001

9S₂ S₁ S₀ = 110

תשובות: 1 D₂ 2 D₁ 3 D₃ 4 D₅ 5 D₂ 6 D₇ 7 D₄ 8 D₁ 9 D₆

תרגול מהיר — מרבב 8:1, והנתונים שלו D₇ D₆ ... D₀ = 1001 0110. מהו ערך Y לכל מילת בחירה S₂ S₁ S₀?

1000

2011

3101

4110

5001

6111

7010

8100

תשובות: 1 D₀ = 0 2 D₃ = 0 3 D₅ = 0 4 D₆ = 0 5 D₁ = 1 6 D₇ = 1 7 D₂ = 1 8 D₄ = 1

תרגול מהיר — כמה קווי בחירה? כמה ערוצים?

1מרבב 16:1 — כמה קווי בחירה?

2מרבב בעל 5 קווי בחירה — כמה ערוצים?

3מרבב 2:1 — כמה קווי בחירה?

4מרבב בעל 3 קווי בחירה — כמה ערוצים?

5לבחירת אחד מתוך 6 חיישנים — כמה קווים לפחות?

6מרבב 64:1 — כמה קווי בחירה?

תשובות: 1 4 2 32 3 1 4 8 5 3 (מרבב 8:1) 6 6

מפלג (DEMUX):

מפלג: מערכת צירופים שפועלת הפוך מן המרבב: יש לה מבוא נתונים אחד D וכמה מוצאים Y₀, Y₁, .... קווי הבחירה קובעים אל איזה מוצא מועבר המבוא; כל שאר המוצאים נשארים 0.

מפלג 1:4

S₁	S₀	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃
0	0	D	0	0	0
0	1	0	D	0	0
1	0	0	0	D	0
1	1	0	0	0	D

טבלת הפעולה

כל מוצא הוא המינטרם של מספרו (של שני המשתנים S₁ S₀) כפול D:

Y₀ = S₁·S₀·D

Y₁ = S₁·S₀·D

Y₂ = S₁·S₀·D

Y₃ = S₁·S₀·D

מפלג 1:4 בשערים: ארבעה שערי AND, והמבוא D מגיע אל כולם

דוגמה 7.3

אל מפלג 1:4 מגיע D = 1, ושני קווי הבחירה S₁ S₀ = 11. מהם ערכי המוצאים? ומה קורה אם D = 0?

פתרון:

המילה 11₂ = 3 בוחרת את המוצא Y₃, ולכן Y₃ = D = 1 ושאר המוצאים 0.

אם D = 0 אז Y₃ = D = 0, וכל המוצאים נעשים 0.

Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ = 1000

למפלג 1:8 יש שלושה קווי בחירה S₂ S₁ S₀ ושמונה מוצאים. הביטוי של כל מוצא הוא המינטרם של מספרו כפול D, למשל Y₅ = S₂·S₁·S₀·D.

מרבב ומפלג יחד: ארבעה ערוצים נשלחים, אחד אחרי השני, על קו אחד. שני הצדדים משתמשים באותה מילת בחירה

תרגול מהיר — המפלג: נכתוב את מילת המוצאים (Y₃ ... Y₀ או Y₇ ... Y₀)

1D = 1, S₁ S₀ = 10

2D = 1, S₁ S₀ = 00

3D = 0, S₁ S₀ = 11

4D = 1, S₂ S₁ S₀ = 101

5D = 1, S₂ S₁ S₀ = 110

6D = 0, S₂ S₁ S₀ = 001

תשובות: 1 0100 2 0001 3 0000 4 00100000 5 01000000 6 00000000

▶ניסוי חי — המרבב והמפלג במעבדהבפרק המערכות הספרתיות שבאתר: נשנה את מילת הבחירה ונראה איזה ערוץ מגיע אל המוצא, ואל איזה מוצא מגיע מבוא המפלג.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/electronics/digital_systems

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/electronics/digital_systems

מפענחים (Decoders), מפענחי תצוגה, מקודדים (Encoders) (Decoders & Encoders)

מפענח:

מפענח: מערכת צירופים שיש לה k מבואות ו-2^k מוצאים. לכל מילה בינארית במבואות רק מוצא אחד שווה ל-1: המוצא שמספרו שווה לערך המילה.

מפענח 2:4. A היא הסיבית המשמעותית ביותר

A	B	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

טבלת האמת

נתבונן בעמודות המוצאים: בכל עמודה יש 1 אחד בלבד. פירוש הדבר שכל מוצא הוא מינטרם אחד של המבואות:

מפענח 2 ל-4

Y₀ = A·B = m₀

Y₁ = A·B = m₁

Y₂ = A·B = m₂

Y₃ = A·B = m₃

סימן	משמעות	יחידת מידה
A, B	המבואות: מילה בינארית בת שתי סיביות	—
Y_i	המוצא שמספרו i: שווה למינטרם m_i	—

מפענח 2:4 בשערים: שער AND לכל מינטרם

מבוא אפשור:

ברוב המפענחים יש מבוא נוסף EN (Enable). כאשר EN = 1 המפענח פועל כרגיל; כאשר EN = 0 כל המוצאים 0, ולא חשוב מה יש במבואות. בטבלה נכתוב X במשבצת של מבוא שאינו משפיע.

מפענח 2:4 עם מבוא אפשור

EN	A	B	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃
0	X	X	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	1

טבלת האמת עם EN

Y₀ = EN·A·B

Y₃ = EN·A·B

שימו לב: לא להתבלבל: במרבב יש מוצא אחד והמילה בוחרת מבוא. במפענח אין מבואות נתונים, והמילה מפעילה מוצא אחד מתוך כמה מוצאים.

הערה: בשבבים רבים (כמו 74138) המוצאים ומבוא האפשור פעילים בנמוך: המוצא הנבחר שווה ל-0 וכל השאר 1. בסרטוט מופיע עיגול קטן על ההדקים האלה. בספר זה נעבוד עם מוצאים פעילים בגבוה, אלא אם נאמר אחרת.

מפענח 3:8:

מפענח 3:8

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

טבלת האמת כאשר EN = 1

במפענח 3:8 כל מוצא הוא מינטרם של שלושה משתנים: Y₀ = A·B·C, ..., Y₅ = A·B·C, ..., Y₇ = A·B·C. לכן אומרים שהמפענח הוא "מחולל מינטרמים" — ואת זה ננצל בסעיף 7.3.

דוגמה 7.4

אל מפענח 3:8 מגיעה המילה A B C = 101 ו-EN = 1. איזה מוצא שווה ל-1? ומה קורה כאשר EN = 0?

פתרון:

נחשב את ערך המילה: 101₂ = 5. המוצא Y₅ שווה ל-1 וכל שאר המוצאים 0.

כאשר EN = 0 המפענח כבוי: כל שמונת המוצאים 0.

Y₅ = 1

הקשר בין מפענח למפלג:

נשווה את הביטוי של מפענח עם מבוא אפשור אל הביטוי של המפלג:

DEC: Y₂ = EN·A·B

DEMUX: Y₂ = D·S₁·S₀

שני הביטויים זהים אם נחליף את השמות: A, B הם שני קווי הבחירה, ו-EN הוא מבוא הנתונים D. כלומר מפענח עם מבוא אפשור הוא מפלג, ולכן אותו שבב נמכר בשני השמות Decoder / Demultiplexer. ולהפך: מפלג שמחברים את המבוא D שלו אל 1 פועל כמפענח.

תרגול מהיר — המפענח: איזה מוצא שווה ל-1?

1EN = 1, A B = 01

2EN = 1, A B = 10

3EN = 1, A B C = 110

4EN = 1, A B C = 011

5EN = 0, A B C = 100

6EN = 1, A B = 00

7EN = 1, A B C = 111

8EN = 0, A B = 11

9EN = 1, A B C = 001

תשובות: 1 Y₁ 2 Y₂ 3 Y₆ 4 Y₃ 5 אין — כל המוצאים 0 6 Y₀ 7 Y₇ 8 אין — כל המוצאים 0 9 Y₁

שאלה 7.2: כמה מבואות דרושים למפענח שיש לו 16 מוצאים? ואיזה מוצא שווה ל-1 כאשר המילה במבואותיו היא 1011?

מפענח תצוגה:

תצוגת 7 מקטעים: תצוגה שיש בה שבע נורות מוארכות (LED) המסודרות בצורת הספרה 8. המקטעים מסומנים באותיות a עד g: a למעלה, ואחריו בכיוון השעון b, c, d, e, f, ו-g באמצע. הדלקת חלק מן המקטעים מציירת ספרה עשרונית.

שמות המקטעים

עשר הספרות על התצוגה

מפענח תצוגה: מערכת צירופים שמקבלת ספרה עשרונית בקוד BCD (ארבע סיביות A B C D, ו-A היא הסיבית המשמעותית ביותר) ויש לה שבעה מוצאים a ... g, מוצא לכל מקטע. המוצא שווה ל-1 כאשר המקטע שלו צריך לדלוק.

מפענח התצוגה מחובר אל התצוגה: שבעה קווים, קו לכל מקטע

נבנה את טבלת האמת מצורות הספרות: לכל ספרה נכתוב 1 מתחת לכל מקטע דולק. למפענח שבעה מוצאים, כלומר שבע פונקציות של המשתנים A, B, C, D.

טבלת מפענח התצוגה. הצירופים 1010 עד 1111 אינם מופיעים בקוד BCD: הם צירופי ברירה (X)
Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

דוגמה 7.5

אל מפענח התצוגה מגיעה המילה A B C D = 0100. מהם ערכי שבעת המוצאים, ומה מופיע על התצוגה?

פתרון:

0100_BCD = 4. בשורת הספרה 4 בטבלה המקטעים הדולקים הם b, c, f, g:

המקטעים a, d ו-e כבויים, ועל התצוגה מופיעה הספרה 4.

a b c d e f g = 0110011

כיצד מממשים פונקציה של מקטע אחד? ניקח את העמודה שלו מן הטבלה ונפשט אותה במפת קרנו של ארבעה משתנים. ששת הצירופים 1010 עד 1111 אינם מגיעים לעולם אל המפענח, ולכן נכתוב במשבצות שלהם X וננצל אותן להגדלת הקבוצות, כפי שלמדנו בפרק 4.

דוגמה 7.6

נמצא פונקציה מפושטת למקטע a (המקטע העליון).

פתרון:

המקטע a דולק בספרות 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, וכבוי רק ב-1 וב-4:

a(A,B,C,D) = Σ(0,2,3,5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)

ניצור את הקבוצות הגדולות ביותר האפשריות, ונכניס אליהן משבצות X כאשר זה עוזר. נקבל 4 קבוצות:

a = C + B·D + B·D + A

בדיקה מהירה: לספרה 1 (0001) כל המכפלות 0 ← המקטע כבוי; לספרה 7 (0111) המכפלה C שווה ל-1 ← המקטע דולק.

a = C + B·D + B·D + A

דוגמה 7.7

נמצא פונקציה מפושטת למקטע e (המקטע השמאלי התחתון).

פתרון:

המקטע e דולק בארבע ספרות בלבד: 0, 2, 6, 8.

e(A,B,C,D) = Σ(0,2,6,8) + d(10,11,12,13,14,15)

e = C·D + B·D

המשתנה D מופיע בכל המכפלות: המקטע e אינו דולק לעולם בספרה אי-זוגית.

e = C·D + B·D

שאלה 7.3: נכתוב את רשימת המינטרמים של המקטע c עם צירופי הברירה, ונפשט אותה במפת קרנו.

הערה: יש שני סוגי תצוגות: בתצוגת קתודה משותפת המקטע דולק כאשר מגיע אליו 1 (כמו בטבלה שלנו), ובתצוגת אנודה משותפת הוא דולק כאשר מגיע אליו 0, ולה מתאים מפענח שמוצאיו הפוכים (כמו השבב 7447).

שימו לב: בספר זה A היא תמיד הסיבית המשמעותית ביותר. בדפי הנתונים של שבבים רבים (כמו 7447 ו-74138) הסדר הפוך: A היא הסיבית הפחות משמעותית. לפני שמחברים שבב אמיתי בודקים בדף הנתונים איזה מבוא הוא המשמעותי ביותר.

תרגול מהיר — אילו מקטעים דולקים להצגת הספרה? וכמה מקטעים?

1הספרה 2

2הספרה 5

3הספרה 7

4הספרה 0

5הספרה 9

6הספרה 3

7הספרה 6

8הספרה 1

תשובות: 1 a, b, d, e, g — 5 2 a, c, d, f, g — 5 3 a, b, c — 3 4 a, b, c, d, e, f — 6 5 a, b, c, d, f, g — 6 6 a, b, c, d, g — 5 7 a, c, d, e, f, g — 6 8 b, c — 2

תרגול מהיר — מפענח התצוגה: נכתוב את מילת המוצאים a b c d e f g למילה A B C D

10110

21001

30010

41000

50101

60000

תשובות: 1 1011111 2 1111011 3 1101101 4 1111111 5 1011011 6 1111110

מקודד:

מקודד: מערכת צירופים שפועלת הפוך מן המפענח: יש לה 2^k מבואות ו-k מוצאים. מניחים שרק מבוא אחד שווה ל-1, והמוצאים נותנים את מספרו של המבוא הזה בבסיס הבינארי.

מקודד 4:2

I₃	I₂	I₁	I₀	Y₁	Y₀
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
1	0	0	0	1	1

טבלת האמת: בכל שורה רק מבוא אחד שווה 1

נקרא מן הטבלה: Y₁ = 1 כאשר המבוא הפעיל הוא I₂ או I₃, ו-Y₀ = 1 כאשר הוא I₁ או I₃. המבוא I₀ אינו מופיע באף ביטוי: כאשר הוא הפעיל המוצאים 00.

מקודד 4 ל-2

Y₁ = I₂ + I₃

Y₀ = I₁ + I₃

סימן	משמעות	יחידת מידה
I₀ ... I₃	המבואות: רק אחד מהם שווה 1	—
Y₁ Y₀	מספר המבוא הפעיל בבסיס הבינארי	—

מקודד 4:2 בשערים: שני שערי OR. המבוא I₀ אינו מחובר

מקלדת היא דוגמה טובה: לכל מקש יש קו משלו, והמקודד הופך את "מקש מספר 6 לחוץ" למילה 110.

רעיון העדיפות. מה קורה אם לוחצים על שני מקשים יחד? במקודד הפשוט מתקבלת תוצאה שגויה: אם I₁ = I₂ = 1 אז Y₁ Y₀ = 11, כאילו המבוא I₃ הוא הפעיל. מקודד עדיפות (Priority Encoder) פותר את הבעיה: הוא נותן את מספר המבוא הפעיל הגבוה ביותר ומתעלם מן המבואות שמתחתיו. מוצא נוסף V מודיע לנו אם יש בכלל מבוא פעיל.

מקודד עדיפות 4:2: X במבואות פירושו "לא חשוב", כי מבוא גבוה ממנו פעיל
I₃	I₂	I₁	I₀	Y₁	Y₀	V
0	0	0	0	X	X	0
0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	X	0	1	1
0	1	X	X	1	0	1
1	X	X	X	1	1	1

תרגול מהיר — המקודד 4:2: נכתוב את Y₁ Y₀ למילה I₃ I₂ I₁ I₀. בתרגילים 5–8 המקודד הוא מקודד עדיפות

10100

20001

31000

40010

50110

61011

70011

80101

תשובות: 1 10 2 00 3 11 4 01 5 10 6 11 7 01 8 10

מימוש פונקציות בוליאניות באמצעות מרבבים ומפלגים (Implementing Functions)

עד עכשיו מימשנו פונקציה כך: טבלת אמת ← מפת קרנו ← ביטוי מפושט ← שערים. יש דרך קצרה יותר: שבב מוכן אחד, בלי פישוט. הרעיון: המרבב "קורא" את טבלת האמת שורה אחר שורה, והמפענח "מחולל" את כל המינטרמים.

מימוש באמצעות מרבב 8:1:

לפונקציה של שלושה משתנים יש טבלת אמת בת 8 שורות, ולמרבב 8:1 יש שמונה ערוצים. נחבר את המשתנים A, B, C אל קווי הבחירה S₂, S₁, S₀, ונחבר כל מבוא נתונים D_i אל הערך הכתוב בשורה i של הטבלה: 0 (אדמה) או 1 (מתח ההזנה).

מימוש פונקציה במרבב

D_i = F(i)

סימן	משמעות	יחידת מידה
D_i	מבוא הנתונים שמספרו i במרבב	—
F(i)	ערך הפונקציה בשורה i של טבלת האמת	—

דוגמה 7.8

נממש את הפונקציה F(A,B,C) = Σ(1,2,6,7) באמצעות מרבב 8:1.

פתרון:

נכתוב את טבלת האמת, ולצד כל שורה את מבוא הנתונים שמתאים לה:

נחבר A → S₂, B → S₁, C → S₀, ונחבר את המבואות D₁ , D₂ , D₆ , D₇ אל 1 ואת שאר המבואות אל 0:

A	B	C	F	המבוא
0	0	0	0	D₀ = 0
0	0	1	1	D₁ = 1
0	1	0	1	D₂ = 1
0	1	1	0	D₃ = 0
1	0	0	0	D₄ = 0
1	0	1	0	D₅ = 0
1	1	0	1	D₆ = 1
1	1	1	1	D₇ = 1

בדיקה: למילה A B C = 110 המרבב בוחר את D₆ = 1, ואכן m₆ נמצא ברשימת הפונקציה.

D₇ ... D₀ = 11000110

נזכור: עמודת המוצא בטבלת האמת, כשקוראים אותה מלמעלה למטה, היא בדיוק D₀, D₁, ... , D₇. אין צורך בשום פישוט.

מימוש באמצעות מרבב 4:1:

אפשר לממש פונקציה של שלושה משתנים במרבב קטן יותר, שיש בו רק 4 ערוצים. נחבר את A ואת B אל שני קווי הבחירה, ואת המשתנה השלישי C נכניס דרך מבואות הנתונים. נחלק את טבלת האמת לזוגות של שורות: בכל זוג A B קבועים ו-C משתנה מ-0 ל-1. לכל זוג יש ארבע אפשרויות:

F(C=0)	F(C=1)	D_i	הסבר
0	0	0	הפונקציה תמיד 0
1	1	1	הפונקציה תמיד 1
0	1	C	הפונקציה שווה ל-C
1	0	C	הפונקציה הפוכה מ-C

דוגמה 7.9

נממש את אותה פונקציה F(A,B,C) = Σ(1,2,6,7) באמצעות מרבב 4:1 ומהפך אחד.

פתרון:

נכתוב את הטבלה בזוגות: לכל צירוף A B נכתוב את ערך F כאשר C = 0 וכאשר C = 1, ונשווה את שתי העמודות אל C:

נחבר A → S₁ ו-B → S₀, ונחבר את מבואות הנתונים לפי העמודה האחרונה. למבוא C דרוש מהפך אחד:

A	B	F(C=0)	F(C=1)	המבוא
0	0	0	1	D₀ = C
0	1	1	0	D₁ = C
1	0	0	0	D₂ = 0
1	1	1	1	D₃ = 1

בדיקה: למילה A B C = 011 המרבב בוחר את D₁ = C = 0, ואכן m₃ אינו ברשימה.

D₀ = C ; D₁ = C ; D₂ = 0 ; D₃ = 1

שאלה 7.4: נממש את הפונקציה F(A,B,C) = Σ(0,3,5,6) פעם במרבב 8:1 ופעם במרבב 4:1 (המשתנה C במבואות הנתונים). נכתוב את מבואות הנתונים בכל מקרה.

דוגמה 7.10

★ נממש פונקציה של ארבעה משתנים F(A,B,C,D) = Σ(0,1,5,6,7,10,13,14,15) באמצעות מרבב 8:1.

פתרון:

אותה שיטה: A, B, C אל קווי הבחירה, והמשתנה האחרון D אל מבואות הנתונים. לכל צירוף A B C נשווה את זוג השורות אל D:

A	B	C	F(D=0)	F(D=1)	המבוא
0	0	0	1	1	D₀ = 1
0	0	1	0	0	D₁ = 0
0	1	0	0	1	D₂ = D
0	1	1	1	1	D₃ = 1
1	0	0	0	0	D₄ = 0
1	0	1	1	0	D₅ = D
1	1	0	0	1	D₆ = D
1	1	1	1	1	D₇ = 1

תרגול מהיר — מרבב 8:1, והמשתנים A B C על קווי הבחירה. נכתוב את מילת הנתונים D₇ D₆ ... D₀

1F = Σ(1,4,5,7)

2F = Σ(0,2,3,5)

3F = Σ(2,3,4)

4F = Σ(0,6,7)

5F = Σ(1,2,4,7)

6F = Σ(3,5,6,7)

תשובות: 1 1011 0010 2 0010 1101 3 0001 1100 4 1100 0001 5 1001 0110 6 1110 1000

תרגול מהיר — מרבב 4:1, A B על שני קווי הבחירה. נכתוב את D₀, D₁, D₂, D₃ בעזרת 0, 1, C, C

1F = Σ(1,4,5,7)

2F = Σ(0,2,3,5)

3F = Σ(2,3,4)

4F = Σ(0,6,7)

5F = Σ(1,2,4,7)

6F = Σ(3,5,6,7)

תשובות: 1 C , 0 , 1 , C 2 C , 1 , C , 0 3 0 , 1 , C , 0 4 C , 0 , 0 , 1 5 C , C , C , C 6 0 , C , C , 1

מימוש באמצעות מפענח או מפלג:

כל מוצא של המפענח הוא מינטרם: Y_i = m_i. וכל פונקציה היא סכום של מינטרמים. לכן: נחבר את המשתנים אל מבואות המפענח, ונאחד בשער OR את המוצאים שמספריהם מופיעים ברשימת Σ של הפונקציה.

מימוש פונקציה במפענח

F = Σ(i, j, ...) = Y_i + Y_j + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
Y_i	מוצא המפענח שמספרו i, שהוא המינטרם m_i	—
F	המוצא של שער OR	—

דוגמה 7.11

נממש את הפונקציה F(A,B,C) = Σ(1,2,6,7) באמצעות מפענח 3:8 ושער OR.

פתרון:

ברשימה ארבעה מינטרמים, ולכן דרוש שער OR בעל ארבעה מבואות, שנחבר אל המוצאים Y₁ , Y₂ , Y₆ , Y₇:

F = Y₁ + Y₂ + Y₆ + Y₇

בדיקה: למילה A B C = 010 עולה המוצא Y₂, והוא מחובר אל שער OR ← F = 1. למילה 100 עולה Y₄, והוא אינו מחובר ← F = 0.

F = Y₁ + Y₂ + Y₆ + Y₇

במפלג: ראינו שמפלג שהמבוא שלו D = 1 הוא מפענח. לכן מממשים את הפונקציה בדיוק באותה דרך: המשתנים אל קווי הבחירה, D אל 1, ושער OR מאחד את המוצאים הדרושים.

מפלג 1:4 עם D = 1 פועל כמפענח: Y_i = m_i

הפונקציה F(A,B) = Σ(0,3) במפענח 2:4 ושער OR

הערה: היתרון של המפענח: ממפענח אחד מממשים כמה פונקציות של אותם משתנים — שער OR לכל פונקציה. למשל מסכם מלא: S = Y₁ + Y₂ + Y₄ + Y₇ ו-C_out = Y₃ + Y₅ + Y₆ + Y₇, ממפענח 3:8 אחד ושני שערי OR. המרבב מממש פונקציה אחת בלבד.

שאלה 7.5: נממש במפענח 3:8 את הפונקציה F = A·B + A·B·C. אילו מוצאים נחבר אל שער OR?

תרגול מהיר — מפענח 3:8 ושער OR: נכתוב את רשימת Σ של הפונקציה, או את המוצאים שמחברים

1F = Y₀ + Y₅

2F = Y₁ + Y₂ + Y₇

3F = Σ(3,4,6)

4F = A·B·C

5F = A·B

6F = C

תשובות: 1 Σ(0,5) 2 Σ(1,2,7) 3 Y₃ , Y₄ , Y₆ 4 Y₇ 5 Y₄ , Y₅ 6 Y₀ , Y₂ , Y₄ , Y₆

▶ניסוי חי — נממש פונקציה במרבבבבונה המעגלים נציב מרבב, נחבר את מבואות הנתונים אל 0 ואל 1 לפי טבלת האמת, ונבדוק שהמוצא מתאים לפונקציה בכל השורות.

⚠

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

מימוש מערכת צירופית לדוגמה — מימוש של משווה (Design Example: Comparator)

נאסוף עכשיו את כל מה שלמדנו בדוגמה אחת שלמה. ניקח מערכת שאנחנו מכירים מפרק 6 — משווה לסיבית אחת — ונממש אותה בשלוש דרכים שונות, ואז נרחיב אותה לשני מספרים בני שתי סיביות. שלבי התכנון הם תמיד אותם שלבים:

הגדרת המבואות והמוצאים: שני מבואות A ו-B ; שלושה מוצאים G (A > B), E (A = B), L (A < B).
טבלת אמת.
רשימת המינטרמים של כל מוצא.
בחירת דרך המימוש: שערים, מפענח או מרבב.
בדיקה: נעבור על כל שורות הטבלה.

טבלת האמת של משווה לסיבית אחת
A	B	G	E	L
0	0	0	1	0
0	1	0	0	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	0

G(A,B) = Σ(2)

E(A,B) = Σ(0,3)

L(A,B) = Σ(1)

דרך ראשונה: שערים:

זה מה שעשינו בפרק 6: G = A·B, L = A·B, E = G + L — שני מהפכים, שני שערי AND ושער NOR: חמישה שערים.

דרך שנייה: מפענח 2:4:

במפענח 2:4 כל מוצא הוא מינטרם מוכן. כל אחד מן המוצאים G ו-L הוא מינטרם אחד, ולכן אינו צריך שום שער; המוצא E הוא סכום של שני מינטרמים:

G = Y₂

L = Y₁

E = Y₀ + Y₃

משווה לסיבית אחת במפענח 2:4 ושער OR אחד

דוגמה 7.12

נבדוק את מעגל המשווה הבנוי ממפענח, לכל צירופי המבואות.

פתרון:

לכל מילה A B נכתוב איזה מוצא של המפענח עולה, ומהם ערכי G, E, L:

A	B	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	G = Y₂	E = Y₀ + Y₃	L = Y₁
0	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	0	1	0	1	0

שלוש העמודות האחרונות מתאימות לטבלת האמת של המשווה.

דרך שלישית: מרבבים:

מרבב מממש פונקציה אחת, ולכן דרוש מרבב לכל מוצא. במרבב 4:1 (A B על שני קווי הבחירה) מבואות הנתונים הם פשוט עמודת המוצא שבטבלה:

G : D₃ ... D₀ = 0100

E : D₃ ... D₀ = 1001

L : D₃ ... D₀ = 0010

ובמרבב 2:1 קטן יותר: נחבר את A אל קו הבחירה, ונכניס את B דרך מבואות הנתונים. נחלק את הטבלה לשני זוגות (A = 0 ו-A = 1) ונשווה כל זוג אל B:

המשווה בשלושה מרבבי 2:1: A על קו הבחירה
OUT	D₀	D₁	הביטוי
G	0	B	G = A·(0) + A·(B)
E	B	B	E = A·(B) + A·(B)
L	B	0	L = A·(B) + A·(0)

דרך המימוש	מה דרוש	מתי בוחרים בה
שערים	שני מהפכים, שני שערי AND, שער NOR	מעגל קטן, ורוצים מספר קטן ככל האפשר של שבבים שונים
מפענח	מפענח 2:4 ושער OR	כמה מוצאים לאותם מבואות
מרבבים	מרבב לכל מוצא (ומהפך)	פונקציה אחת, או כאשר רוצים לשנות את הפונקציה בקלות

★ הרחבה: משווה לשני מספרים בני שתי סיביות:

נשווה את A = A₁ A₀ אל B = B₁ B₀ כמו שמשווים שני מספרים עשרוניים: מתחילים מן הספרה הגבוהה. אם A₁ שונה מ-B₁ הם מכריעים את התוצאה; אם הם שווים (E₁ = 1) מכריעה הספרה הנמוכה. נשתמש במשווה לסיבית אחת לכל ספרה, ונסמן את המוצאים שלהם G₁, E₁, L₁ ו-G₀, E₀, L₀:

משווה לשתי סיביות

G = G₁ + E₁·G₀

E = E₁·E₀

L = L₁ + E₁·L₀

סימן	משמעות	יחידת מידה
G₁, E₁, L₁	מוצאי המשווה של הספרה הגבוהה (A₁ מול B₁)	—
G₀, E₀, L₀	מוצאי המשווה של הספרה הנמוכה (A₀ מול B₀)	—

משווה לשני מספרים בני שתי סיביות: שני משווים לסיבית אחת, שלושה שערי AND ושני שערי OR

דוגמה 7.13

נשווה בעזרת המעגל את A = 10₂ אל B = 11₂.

פתרון:

הספרה הגבוהה: A₁ = 1, B₁ = 1 ← G₁ = 0, E₁ = 1, L₁ = 0.

הספרה הנמוכה: A₀ = 0, B₀ = 1 ← G₀ = 0, E₀ = 0, L₀ = 1.

G = 0 + 1·0 = 0

E = 1·0 = 0

L = 0 + 1·1 = 1

הספרות הגבוהות שוות, ולכן הכריעה הספרה הנמוכה: A < B, ואכן 2 < 3.

G = 0 , E = 0 , L = 1

תרגול מהיר — משווה לשני מספרים בני שתי סיביות: נכתוב את G E L

1A = 11, B = 01

2A = 01, B = 01

3A = 00, B = 10

4A = 10, B = 01

5A = 11, B = 11

6A = 01, B = 10

תשובות: 1 100 2 010 3 001 4 100 5 010 6 001

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
מספר הערוצים ומספר קווי הבחירה	n = 2^k
מרבב 2:1	Y = S·D₀ + S·D₁
מרבב 4:1	Y = S₁·S₀·D₀ + S₁·S₀·D₁ + S₁·S₀·D₂ + S₁·S₀·D₃
מפלג 1:4 — המוצא Y₂	Y₂ = S₁·S₀·D
מפענח — כל מוצא הוא מינטרם	Y_i = EN·m_i
מקודד 4:2	Y₁ = I₂ + I₃ ; Y₀ = I₁ + I₃
המקטע a במפענח התצוגה	a = C + B·D + B·D + A
המקטע e במפענח התצוגה	e = C·D + B·D
מימוש פונקציה במרבב 8:1	D_i = F(i)
מימוש פונקציה במפענח	F = Σ(i, j, ...) = Y_i + Y_j + ...
משווה במפענח 2:4	G = Y₂ ; E = Y₀ + Y₃ ; L = Y₁
משווה לשני מספרים בני שתי סיביות	G = G₁ + E₁·G₀ ; E = E₁·E₀

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
מרבב	Multiplexer (MUX)	الناخب
מפלג	Demultiplexer (DEMUX)	الموزِّع
קווי בקרה (בחירה)	Select lines	خطوط الاختيار
ערוץ	Channel	قناة
מבוא נתונים	Data input	مدخل معطيات
מפענח	Decoder	مفكّك الشيفرة
מקודד	Encoder	المشفِّر
מקודד עדיפות	Priority encoder	مشفِّر الأفضلية
מבוא אפשור	Enable (EN)	مدخل التمكين
פעיל בנמוך	Active low	فعّال في المستوى المنخفض
מפענח תצוגה	Display decoder	مفكّك شيفرة العرض
תצוגת 7 מקטעים	7-segment display	شاشة العرض ذات السبع قطع
מקטע	Segment	قطعة
קוד BCD	Binary Coded Decimal	شيفرة BCD
צירופי ברירה	Don't care	حالات اللامبالاة
מינטרם	Minterm	الحد الأصغري
טבלת אמת	Truth table	جدول الصواب
מימוש פונקציה	Implementation	بناء دالة
מערכת צירופים	Combinational circuit	دائرة توافقية
רכיב משולב (שבב)	Integrated circuit (IC)	الدائرة المتكاملة (الشريحة)
משווה	Comparator	المُقارِن

שאלות לתרגול:

רמה ראשונה — בסיסי

נשלים:
(א) למרבב 8:1 יש ... קווי בחירה.
(ב) למרבב בעל 4 קווי בחירה יש ... ערוצים.
(ג) למפענח בעל 3 מבואות יש ... מוצאים.
(ד) למקודד בעל 8 מבואות יש ... מוצאים.

תשובות: (א) 3 (ב) 16 (ג) 8 (ד) 3

נכתוב את טבלת הפעולה ואת ביטוי המוצא של מרבב 2:1, ונסרטט אותו בשערים.

תשובות: S = 0 ← Y = D₀ ; S = 1 ← Y = D₁ ; Y = S·D₀ + S·D₁

אל מרבב 4:1 מגיעים הנתונים D₃ D₂ D₁ D₀ = 0110. מהו ערך Y לכל אחת מארבע המילים S₁ S₀?

תשובות: 00 ← Y = D₀ = 0 ; 01 ← Y = D₁ = 1 ; 10 ← Y = D₂ = 1 ; 11 ← Y = D₃ = 0

מרבב 8:1:
(א) איזה ערוץ מגיע אל המוצא כאשר S₂ S₁ S₀ שווה ל-011, 110, 100?
(ב) איזו מילת בחירה בוחרת את D₅? את D₂?

תשובות: (א) D₃, D₆, D₄ (ב) 101, 010

אל מפלג 1:4 מגיע D = 1. נכתוב את מילת המוצאים Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ לכל מילת בחירה S₁ S₀: 00, 01, 10, 11. מה יהיו המילים אם D = 0?

תשובות: 0001, 0010, 0100, 1000 ; עם D = 0 כל המוצאים 0000

נכתוב את טבלת האמת של מפענח 2:4 ואת הביטויים של ארבעת מוצאיו.

תשובות: Y₀ = A·B, Y₁ = A·B, Y₂ = A·B, Y₃ = A·B ; בכל שורה 1 אחד: Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ = 0001 , 0010 , 0100 , 1000

מפענח 3:8 עם EN = 1:
(א) איזה מוצא שווה ל-1 למילים A B C: 011, 110, 101?
(ב) איזו מילה מעלה את Y₄?
(ג) מה קורה כאשר EN = 0?

תשובות: (א) Y₃, Y₆, Y₅ (ב) 100 (ג) כל המוצאים 0

אילו מקטעים דולקים בתצוגת 7 המקטעים להצגת כל ספרה: 2, 5, 7? ואיזו ספרה מדליקה את כל המקטעים?

תשובות: 2: a, b, d, e, g ; 5: a, c, d, f, g ; 7: a, b, c ; הספרה 8

לכל תצוגה בסרטוט נכתוב את הספרה המוצגת ואת המילה A B C D שבמבואות מפענח התצוגה.

תשובות: (א) 3 ← 0011 ; (ב) 6 ← 0110 ; (ג) 4 ← 0100 ; (ד) 9 ← 1001

10.

מקודד 4:2: מהי המילה Y₁ Y₀ כאשר המבוא הפעיל היחיד הוא:
(א) I₂?
(ב) I₁?
(ג) I₃?
(ד) I₀?

תשובות: (א) 10 (ב) 01 (ג) 11 (ד) 00

11.

נכתוב את מילת המוצאים של מפענח התצוגה a b c d e f g לכל מילת BCD: 0110, 1001, 0001.

תשובות: 0110 (הספרה 6) ← 1011111 ; 1001 (הספרה 9) ← 1111011 ; 0001 (הספרה 1) ← 0110000

12.

נכון או לא נכון?
(א) במפענח רק מוצא אחד פעיל בכל רגע.
(ב) למרבב 4:1 יש ארבעה מוצאים.
(ג) מפלג עם D = 1 פועל כמפענח.
(ד) המקודד פועל הפוך מן המפענח.
(ה) למפענח התצוגה יש שבעה מבואות.

תשובות: (א) נכון (ב) לא נכון — מוצא אחד וארבעה מבואות נתונים (ג) נכון (ד) נכון (ה) לא נכון — ארבעה מבואות ושבעה מוצאים

רמה שנייה — בינוני

13.

אל מרבב 2:1 מגיעים האותות S, D₀, D₁ המסורטטים. נשלים את אות המוצא Y.

תשובות: בפרקי הזמן 1 עד 8: Y = 0 0 1 1 1 1 0 0

14.

נממש את הפונקציה F(A,B,C) = Σ(0,2,3,5) במרבב 8:1. נכתוב את הערך של כל מבוא נתונים, ונציין איזה משתנה מחובר אל כל קו בחירה.

תשובות: A → S₂, B → S₁, C → S₀ ; D₇ ... D₀ = 00101101

15.

נממש את אותה פונקציה F(A,B,C) = Σ(0,2,3,5) במרבב 4:1, כאשר A B על שני קווי הבחירה. נכתוב את D₀ עד D₃.

תשובות: D₀ = C, D₁ = 1, D₂ = C, D₃ = 0

16.

המעגל שבסרטוט מממש פונקציה F(A,B,C) במרבב 8:1. נכתוב את רשימת המינטרמים של הפונקציה, ונפשט אותה במפת קרנו.

תשובות: F(A,B,C) = Σ(0,3,4,5) ; F = B·C + A·B + A·B·C

17.

המעגל שבסרטוט מממש פונקציה F(A,B,C) במרבב 4:1. נכתוב את טבלת האמת של הפונקציה, את רשימת המינטרמים וביטוי מפושט.

תשובות: F(A,B,C) = Σ(1,2,3,4) ; F = A·B·C + A·C + A·B

18.

המעגל שבסרטוט בנוי ממפענח 3:8 ושער OR. נכתוב את רשימת המינטרמים של הפונקציה F וביטוי מפושט שלה.

תשובות: F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5,7) ; F = B + A·C

19.

נרצה לממש את הפונקציה F = A·B + C במפענח 3:8 ושער OR. אילו מוצאים נחבר אל שער OR, וכמה מבואות יש לו?

תשובות: F(A,B,C) = Σ(0,2,4,6,7) ← המוצאים Y₀ , Y₂ , Y₄ , Y₆ , Y₇ ; שער OR בעל 5 מבואות

20.

נכתוב לכל מקטע את רשימת המינטרמים עם צירופי הברירה, ונפשט אותה במפת קרנו:
(א) המקטע b
(ב) המקטע f.

תשובות: (א) b(A,B,C,D) = Σ(0,1,2,3,4,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ← b = C·D + C·D + B (ב) f(A,B,C,D) = Σ(0,4,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ← f = C·D + B·D + B·C + A

21.

מטבלת מפענח התצוגה:
(א) באילו ספרות דולק המקטע g?
(ב) איזה מקטע דולק במספר הספרות הגדול ביותר?
(ג) איזה מקטע דולק במספר הספרות הקטן ביותר?

תשובות: (א) 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 (ב) c — ב-9 ספרות (ג) e — ב-4 ספרות

22.

מפלג 1:8:
(א) איזו מילת בחירה S₂ S₁ S₀ מעבירה את D אל המוצא Y₅?
(ב) נכתוב את הביטוי של Y₅.
(ג) D = 1 ו-S₂ S₁ S₀ = 010: מהי מילת המוצאים Y₇ ... Y₀?

תשובות: (א) 101 (ב) Y₅ = S₂·S₁·S₀·D (ג) 0000 0100

23.

תלמיד מימש את הפונקציה F(A,B,C) = Σ(1,4,5,7) במרבב 8:1, וחיבר את מבואות הנתונים כמו בסרטוט. הוא טעה בשני מבואות. באילו שני מבואות, ואיזו פונקציה הוא מימש בפועל?

תשובות: הטעות ב-D₂ (צריך 0) וב-D₅ (צריך 1) ; הפונקציה שמימש: F(A,B,C) = Σ(1,2,4,7)

24.

בבית יש ארבעה חיישני טמפרטורה, בארבעה חדרים, ותצוגה אחת.
(א) איזו מערכת מחברת חיישן אחד אל התצוגה?
(ב) כמה קווי בחירה דרושים?
(ג) החיישנים מחוברים אל D₀ עד D₃. מהי מילת הבחירה להצגת חיישן החדר המחובר אל D₂?

תשובות: (א) מרבב 4:1 (ב) שני קווים (ג) S₁ S₀ = 10

25.

במעלית יש מונה שנותן את מספר הקומה כמספר בינארי בן שלוש סיביות (0 עד 7). מעל הדלת שמונה נורות, נורה לכל קומה, ונרצה שתדלוק רק הנורה של הקומה הנוכחית.
(א) איזו מערכת דרושה?
(ב) איזו נורה דולקת כאשר המונה נותן 110?
(ג) כיצד מכבים את כל הנורות כאשר המעלית בתחזוקה?

תשובות: (א) מפענח 3:8 (ב) הנורה של קומה 6 (Y₆) (ג) קובעים EN = 0

26.

נכתוב את טבלת האמת המלאה של מפענח 2:4 עם מבוא אפשור EN: שמונה שורות למבואות EN A B, ולכל שורה את מילת המוצאים Y₃ Y₂ Y₁ Y₀.

תשובות: 000 ← 0000, 001 ← 0000, 010 ← 0000, 011 ← 0000, 100 ← 0001, 101 ← 0010, 110 ← 0100, 111 ← 1000

רמה שלישית — אתגר

27.

נממש את הפונקציה F(A,B,C,D) = Σ(1,2,3,7,8,9,12,14) במרבב 8:1, כאשר A B C על קווי הבחירה והמשתנה D במבואות הנתונים. נכתוב את D₀ עד D₇.

תשובות: D₀ = D, D₁ = 1, D₂ = 0, D₃ = D, D₄ = 1, D₅ = 0, D₆ = D, D₇ = D

28.

נממש מסכם מלא (מבואותיו A, B, C_in) במפענח 3:8 ושני שערי OR. אילו מוצאים נחבר אל שער S ואילו אל שער C_out? איזה מוצא משותף לשני השערים?

תשובות: S: Y₁ , Y₂ , Y₄ , Y₇ ; C_out: Y₃ , Y₅ , Y₆ , Y₇ ; המוצא המשותף Y₇

29.

נממש מסכם מלא בשני מרבבי 4:1, כאשר A B על שני קווי הבחירה בשני המרבבים ו-C (הנשא הנכנס) במבואות הנתונים. נכתוב את D₀ ... D₃ למרבב הסכום S ולמרבב הנשא C_out.

תשובות: S: C , C , C , C ; C_out: 0 , C , C , 1

30.

יש לנו רק שלושה מרבבי 2:1. כיצד נחבר אותם כדי לקבל מרבב 4:1? איזה קו בחירה מחובר אל איזה מרבב?

תשובות: שני מרבבים בדרגה הראשונה: הראשון בוחר בין D₀ ל-D₁, והשני בין D₂ ל-D₃, וקו הבחירה של שניהם הוא S₀ ; המרבב השלישי בוחר בין שני המוצאים שלהם, וקו הבחירה שלו S₁

31.

משווה לשני מספרים בני שתי סיביות, הבנוי משני משווים לסיבית אחת.
(א) לכל זוג נחשב את G₁ E₁ L₁, G₀ E₀ L₀ ואת המוצאים הסופיים G E L: A = 01 , B = 10 ; A = 11 , B = 10 ; A = 10 , B = 10.
(ב) בכמה שורות מתוך 16 השורות של טבלת האמת מתקיים G = 1? E = 1? L = 1?

תשובות: (א) 001, 100 ← 001 ; 010, 100 ← 100 ; 010, 010 ← 010 (ב) 6, 4, 6

32.

ועדה של שלושה חברים מצביעה בלחצנים A, B, C. נורה דולקת כאשר הרוב בעד. נממש את המעגל במרבב 4:1 אחד, בלי שום שער נוסף. נכתוב את D₀ ... D₃.

תשובות: F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7) ; D₀ = 0, D₁ = C, D₂ = C, D₃ = 1

33.

את הפונקציה F = A ⊕ B ⊕ C אי אפשר לפשט במפת קרנו. נממש אותה:
(א) במרבב 4:1 ומהפך אחד — נכתוב את D₀ ... D₃.
(ב) במפענח 3:8 ושער OR — אילו מוצאים?

תשובות: (א) C , C , C , C (ב) Y₁ , Y₂ , Y₄ , Y₇

34.

(א) נפשט את הפונקציה של המקטע g במפת קרנו עם צירופי הברירה.
(ב) מדוע מותר לנו לכתוב X במשבצות 10 עד 15?
(ג) כמה משבצות X יש במפה?

תשובות: (א) g(A,B,C,D) = Σ(2,3,4,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ← g = C·D + B·C + B·C + A (יש יותר מפתרון מפושט אחד) (ב) כי הצירופים האלה אינם מופיעים לעולם בקוד BCD, ולכן לא חשוב לנו מה התצוגה מציגה עבורם (ג) 6

35.

מקודד עדיפות 4:2 עם מוצא התקפות V. נכתוב את Y₁ Y₀ ואת V לכל מילת מבואות I₃ I₂ I₁ I₀: 0110, 1011, 0000, 0101. מהו הביטוי של Y₀ במקודד העדיפות?

תשובות: 0110 ← Y₁ Y₀ = 10, V = 1 ; 1011 ← Y₁ Y₀ = 11, V = 1 ; 0000 ← V = 0 (אין מבוא פעיל) ; 0101 ← Y₁ Y₀ = 10, V = 1 ; Y₀ = I₃ + I₂·I₁

36.

נחבר אות D אל מבוא האפשור EN של מפענח 2:4, ונחבר את S₁ S₀ אל A B.
(א) מהי מילת המוצאים Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ כאשר D = 1 ו-A B = 10?
(ב) וכאשר D = 0?
(ג) איזו מערכת קיבלנו?

תשובות: (א) 0100 (ב) 0000 (ג) מפלג 1:4: המוצא הנבחר מעתיק את D

תשובות סופיות לשאלות הפרק

7.1 00 ← Y = 1 ; 01 ← Y = 0 ; 10 ← Y = 1 ; 11 ← Y = 1

7.2 4 מבואות (2⁴ = 16) ; המוצא Y₁₁, כי 1011₂ = 11

7.3 c(A,B,C,D) = Σ(0,1,3,4,5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ; c = D + C + B

7.4 מרבב 8:1: D₇ ... D₀ = 01101001 ; מרבב 4:1: D₀ = C, D₁ = C, D₂ = C, D₃ = C

7.5 F(A,B,C) = Σ(1,6,7) ← המוצאים Y₁ , Y₆ , Y₇

שאלות בגרות לפרק 7

המקצוע "מערכות ספרתיות" נבחן במגמת האלקטרוניקה בבחינה פנימית. שאלות הבגרות שבספר לקוחות משאלון 845381 של מגמת החשמל, שבכל שנה יש בו שתי שאלות על מערכות ספרתיות; אין בו שאלה עצמאית על חומר הפרק הזה. מתרגלים אותו ב"שאלות לתרגול" ובמבחנים העצמיים שבפרק 12.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1