פרק 8

מערכות עקיבה

כיתה י׳ · 4 שעות לימוד

כל המערכות שבנינו עד עכשיו "שוכחות": המוצא שלהן תלוי רק במה שנמצא במבואות ברגע זה. אבל מעלית צריכה לזכור באיזו קומה היא נמצאת, שעון ספרתי צריך לזכור כמה שניות עברו, ומכונת שתייה צריכה לזכור כמה מטבעות הכנסנו לתוכה. בפרק זה נכיר את המערכות שיש להן זיכרון: כיצד מתארים אותן בעזרת מצבים ומעברים, ומה תפקידו של אות השעון בהן.

בסוף הפרק הזה נדע:

נבחין בין מערכת צירופים למערכת עקיבה.
נסרטט את המודל הבסיסי של מערכת עקיבה: לוגיקה צירופית, זיכרון ומשוב.
נתאר מערכת עקיבה כמכונת מצבים בעזרת דיאגרמת מצבים וטבלת מצבים, ונמצא את רצף המצבים לרצף מבואות נתון.
נחשב את זמן המחזור ואת התדר של אות שעון, ונבחין בין קצה עולה לקצה יורד.
נסביר את ההבדל בין מערכת סינכרונית למערכת אסינכרונית, ומה היתרונות של כל סוג.

מושגי יסוד במערכות עקיבה (Sequential Systems)

מודל בסיסי של מערכת עקיבה, תיאור של מערכת עקיבה כמכונת מצבים:

נפתח בהשוואה בין שני מכשירים פשוטים. פעמון הדלת: כל עוד לוחצים על הלחצן — הפעמון מצלצל; מרימים את האצבע — הוא משתתק. די להסתכל על הלחצן עכשיו כדי לדעת מה עושה הפעמון. מנורת שולחן בעלת לחצן אחד: לחיצה מדליקה אותה ולחיצה שנייה מכבה אותה. אותה לחיצה נותנת פעם "דולקת" ופעם "כבויה"! כדי לדעת מה יקרה צריך לדעת גם מה היה לפני הלחיצה. המנורה "זוכרת".

מערכת צירופים: מערכת לוגית שהמוצאים שלה תלויים רק בערכים הנוכחיים של המבואות. אין לה זיכרון: אותם מבואות נותנים תמיד אותם מוצאים. כל המערכות שבפרקים 5–7 (המסכם, המרבב, המפענח) הן מערכות צירופים.

מערכת עקיבה: מערכת לוגית שהמוצאים שלה תלויים בערכים הנוכחיים של המבואות וגם במה שקרה בעבר. העבר שמור בתוך המערכת בזיכרון. אותם מבואות עשויים לתת מוצאים שונים, לפי מה שהמערכת זוכרת.

	מערכת צירופים	מערכת עקיבה
המוצא תלוי ב-	המבואות הנוכחיים בלבד	המבואות הנוכחיים והמצב השמור בזיכרון
זיכרון	אין	יש (התקני זיכרון)
משוב	אין	יש: המוצאים חוזרים אל המבואות
מתארים אותה בעזרת	טבלת אמת, ביטוי בוליאני	טבלת מצבים, דיאגרמת מצבים, דיאגרמת זמנים
דוגמאות	מסכם, משווה, מרבב, מפענח	דלגלג, אוגר, מונה, רמזור

תרגול מהיר — צירופית או עקיבה?

1פעמון הדלת

2מונה המכוניות בחניון

3מסכם מלא

4מנעול עם ספרות סודיות שמקישים בזו אחר זו

5מפענח לתצוגת 7 מקטעים

6שעון ספרתי

7נורה שדולקת כאשר לוחצים על שני לחצנים יחד

8רמזור

9משווה בין שני מספרים

10לחצן ההפעלה והכיבוי בטלוויזיה

תשובות: 1 צירופית 2 עקיבה 3 צירופית 4 עקיבה 5 צירופית 6 עקיבה 7 צירופית 8 עקיבה 9 צירופית 10 עקיבה

כיצד בונים מערכת שזוכרת? הרעיון הוא משוב: לוקחים מידע מתוך המערכת ומחזירים אותו אל המבואות שלה. כך המערכת "רואה" לא רק את המבואות החיצוניים, אלא גם את מה שהיא עצמה שמרה.

המודל הבסיסי של מערכת עקיבה: לוגיקה צירופית + זיכרון + משוב

במודל שלושה חלקים:

הלוגיקה הצירופית: שערים רגילים. היא מקבלת את המבואות החיצוניים X ואת המצב הנוכחי, ומחשבת שני דברים: את המוצאים Z ואת המצב הבא.
הזיכרון: התקני זיכרון (נבנה אותם בפרק 9 מדלגלגים). כל התקן שומר סיבית אחת.
המשוב: מה שהזיכרון שומר חוזר אל מבוא הלוגיקה הצירופית.

מצב: אוסף הערכים השמורים בהתקני הזיכרון ברגע מסוים. המצב מסכם את כל מה שהמערכת צריכה לזכור מן העבר. המצב השמור עכשיו נקרא המצב הנוכחי ומסומן Q_n, והמצב שאליו המערכת תעבור נקרא המצב הבא ומסומן Q_n+1.

המודל הבסיסי של מערכת עקיבה

Q_n+1 = f(X, Q_n)

Z = g(X, Q_n)

סימן	משמעות	יחידת מידה
X	המבואות החיצוניים	—
Z	המוצאים	—
Q_n	המצב הנוכחי (השמור בזיכרון)	—
Q_n+1	המצב הבא	—
f, g	שתי פונקציות בוליאניות שהלוגיקה הצירופית מממשת	—

מספר המצבים

N = 2ⁿ

סימן	משמעות	יחידת מידה
n	מספר התקני הזיכרון (כל התקן שומר סיבית אחת)	—
N	המספר הגדול ביותר האפשרי של מצבים שונים	—

דוגמה 8.1

לרמזור יש 4 מצבים שונים. כמה התקני זיכרון דרושים לפחות? וכמה התקנים דרושים למערכת שיש בה 10 מצבים?

פתרון:

נחפש את ה-n הקטן ביותר שעבורו 2ⁿ אינו קטן ממספר המצבים.

2² = 4 ≥ 4

לארבעה מצבים מספיקים שני התקנים. לעשרה מצבים:

2³ = 8 < 10

2⁴ = 16 ≥ 10

דרושים 4 התקנים, ונשארים 16 − 10 = 6 מצבים שאינם בשימוש.

n = 2 ; n = 4

תרגול מהיר — כמה מצבים? כמה התקני זיכרון?

1מספר המצבים האפשריים עם 1 התקן זיכרון

2מספר המצבים האפשריים עם 2 התקני זיכרון

3מספר המצבים האפשריים עם 3 התקני זיכרון

4מספר המצבים האפשריים עם 5 התקני זיכרון

5מספר התקני הזיכרון הקטן ביותר ל-8 מצבים

6מספר התקני הזיכרון הקטן ביותר ל-12 מצבים

7מספר התקני הזיכרון הקטן ביותר ל-16 מצבים

8מספר התקני הזיכרון הקטן ביותר ל-30 מצבים

9מספר התקני הזיכרון הקטן ביותר ל-60 מצבים

10מספר התקני הזיכרון הקטן ביותר ל-100 מצבים

תשובות: 1 2 2 4 3 8 4 32 5 3 6 4 7 4 8 5 9 6 10 7

מכונת מצבים. במקום לחשוב על שערים וחוטים, נתאר את מערכת העקיבה בדרך פשוטה יותר: נמנה את כל המצבים שהיא יכולה להימצא בהם, ונכתוב לכל מצב לאן עוברים ממנו בכל מבוא.

מכונת מצבים: תיאור של מערכת עקיבה בעזרת: (1) רשימת המצבים, (2) המעברים בין המצבים לפי המבואות, (3) המוצא בכל מצב, ו-(4) המצב ההתחלתי שממנו המערכת מתחילה.

דיאגרמת מצבים: סרטוט של מכונת המצבים: כל מצב הוא עיגול שכותבים בו את שם המצב (ואת המוצא בו), וכל מעבר הוא חץ ממצב למצב, שלצידו כותבים את ערך המבוא שגורם למעבר הזה. חץ שיוצא מן המצב וחוזר אליו פירושו: המערכת נשארת באותו מצב.

טבלת מצבים: אותו מידע כתוב בטבלה: לכל מצב נוכחי ולכל ערך של המבוא יש שורה שמראה את המצב הבא ואת המוצא. טבלת המצבים היא "טבלת האמת" של מערכת העקיבה.

דוגמה 8.2

מנורת השולחן: כל לחיצה על הלחצן B הופכת את מצב המנורה L. נתאר את המנורה כמכונת מצבים: נסרטט את דיאגרמת המצבים, נכתוב את טבלת המצבים, ונמצא את רצף המצבים כאשר B = 1, 0, 1, 1, 0, 1 (ערך בכל דופק שעון, משמאל לימין). המנורה מתחילה כבויה.

פתרון:

למנורה שני מצבים: S₀ — כבויה (L = 0), ו-S₁ — דולקת (L = 1). המצב ההתחלתי S₀.

אם B = 0 (לא לוחצים) המערכת נשארת במצבה. אם B = 1 (לחיצה) היא עוברת למצב האחר.

דיאגרמת המצבים של מנורת השולחן. החץ הקטן שמשמאל מציין את המצב ההתחלתי

נכתוב את טבלת המצבים: שורה לכל מצב נוכחי ולכל ערך של המבוא.

המצב הנוכחי	המבוא B	המצב הבא	המוצא L במצב הנוכחי
S₀	0	S₀	0
S₀	1	S₁	0
S₁	0	S₁	1
S₁	1	S₀	1

נעקוב אחרי הרצף: נתחיל מ-S₀, ובכל דופק נקרא מן הטבלה את המצב הבא.

הדופק	1	2	3	4	5	6
המבוא B	1	0	1	1	0	1
המצב לפני הדופק	S₀	S₁	S₁	S₀	S₁	S₁
המצב אחרי הדופק	S₁	S₁	S₀	S₁	S₁	S₀
המנורה L אחרי הדופק	1	1	0	1	1	0

S₀ → S₁ → S₁ → S₀ → S₁ → S₁ → S₀

הערה: במכונת מצבים מניחים שהמעבר מתרחש פעם אחת בכל דופק שעון. מיד נראה מהו אות השעון ומדוע הוא דרוש.

שאלה 8.1: מנורת השולחן מן הדוגמה הקודמת מתחילה דולקת (המצב S₁). מהו רצף המצבים כאשר B = 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1? והאם המנורה דולקת בסוף?

שער מסתובב בכניסה לאצטדיון או לתחנת רכבת הוא דוגמה מוכרת למכונת מצבים. לשער שני מצבים: נעול ופתוח. ויש לו שני אירועים (מבואות): C — הכנסנו מטבע, ו-P — דחפנו את השער כדי לעבור.

דוגמה 8.3

נתאר את השער המסתובב כמכונת מצבים. השער מתחיל נעול. מהו רצף המצבים לאירועים P, C, P, P, C, C, P? וכמה אנשים עברו?

פתרון:

במצב נעול (S₀): דחיפה P אינה עושה דבר; מטבע C פותח את השער.

במצב פתוח (S₁): דחיפה P מעבירה אדם אחד ונועלת את השער; מטבע נוסף C משאיר אותו פתוח.

דיאגרמת המצבים של השער המסתובב

המצב הנוכחי	האירוע	המצב הבא	מה קרה?
S₀ נעול	C	S₁ פתוח	השער נפתח
S₀ נעול	P	S₀ נעול	דבר — איש אינו עובר
S₁ פתוח	C	S₁ פתוח	נשאר פתוח (המטבע אבד)
S₁ פתוח	P	S₀ נעול	אדם אחד עובר והשער ננעל

נעקוב אחרי האירועים בזה אחר זה מן המצב S₀:

S₀ → S₀ → S₁ → S₀ → S₀ → S₁ → S₁ → S₀

אדם עובר רק כאשר מגיע האירוע P והשער פתוח. זה קרה 2 פעמים.

S₀ → S₀ → S₁ → S₀ → S₀ → S₁ → S₁ → S₀ ; N = 2

הערה: נשים לב: אותו אירוע P נותן שתי תוצאות שונות — פעם דבר אינו קורה ופעם יש מעבר. זה בדיוק הסימן של מערכת עקיבה: התוצאה תלויה במצב.

תרגול מהיר — נכתוב את רצף המצבים (מתחילים מ-S₀)

1המנורה: B = 1, 1, 0, 1

2המנורה: B = 0, 0, 1, 0

3המנורה: B = 1, 1, 1, 1

4המנורה: B = 1, 0, 0, 1, 1

5המנורה: B = 0, 1, 0, 1, 0

6השער: C, P, P

7השער: P, P, C

8השער: C, C, P, P

9השער: C, P, C, P

10השער: P, C, C, P, C

תשובות: 1 S₀ → S₁ → S₀ → S₀ → S₁ 2 S₀ → S₀ → S₀ → S₁ → S₁ 3 S₀ → S₁ → S₀ → S₁ → S₀ 4 S₀ → S₁ → S₁ → S₁ → S₀ → S₁ 5 S₀ → S₀ → S₁ → S₁ → S₀ → S₀ 6 S₀ → S₁ → S₀ → S₀ 7 S₀ → S₀ → S₀ → S₁ 8 S₀ → S₁ → S₁ → S₀ → S₀ 9 S₀ → S₁ → S₀ → S₁ → S₀ 10 S₀ → S₀ → S₁ → S₁ → S₀ → S₁

הרמזור הוא מכונת מצבים בלי מבוא חיצוני: בכל דופק שעון הוא עובר למצב הבא, ואחרי המצב האחרון הוא חוזר לראשון. מכונה כזאת נקראת גם מכונה מחזורית.

דיאגרמת המצבים של הרמזור: ארבעה מצבים שחוזרים בלי סוף

R אדום, Y צהוב, G ירוק
State	R	Y	G	Next	האור
S₀	1	0	0	S₁	אדום
S₁	1	1	0	S₂	אדום + צהוב
S₂	0	0	1	S₃	ירוק
S₃	0	1	0	S₀	צהוב

דוגמה 8.4

הרמזור מתחיל במצב S₀ (אדום). באיזה מצב הוא יהיה אחרי 10 דפקי שעון?

פתרון:

המצבים חוזרים כל 4 דפקים, ולכן חשובה לנו רק השארית מחילוק מספר הדפקים ב-4.

10 : 4 = 2

10 − 2·4 = 2

אחרי 8 דפקים חוזרים אל S₀, ואחרי שני דפקים נוספים מגיעים אל S₂ — ירוק.

S₂

תרגול מהיר — הרמזור מתחיל מ-S₀. באיזה מצב הוא אחרי מספר דפקים נתון?

1דפקים: 1

2דפקים: 3

3דפקים: 4

4דפקים: 6

5דפקים: 9

6דפקים: 15

7דפקים: 21

8דפקים: 40

תשובות: 1 S₁ (אדום + צהוב) 2 S₃ (צהוב) 3 S₀ (אדום) 4 S₂ (ירוק) 5 S₁ (אדום + צהוב) 6 S₃ (צהוב) 7 S₁ (אדום + צהוב) 8 S₀ (אדום)

דוגמה 8.5

מכונת שתייה מוכרת פחית ב-3 שקלים ומקבלת רק מטבעות של שקל אחד. המבוא C = 1 פירושו: בדופק הזה נכנס מטבע. המוצא Z = 1 פירושו: המכונה מוציאה פחית. נתאר את המכונה כמכונת מצבים, ונמצא את רצף המצבים כאשר C = 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0.

פתרון:

המכונה צריכה לזכור כמה שקלים נכנסו עד עכשיו. המצבים: S₀ — כלום, S₁ — שקל אחד, S₂ — שני שקלים, S₃ — שלושה שקלים: הפחית יוצאת.

מ-S₃ המכונה חוזרת תמיד אל S₀ בדופק הבא, ומתחילה מחדש.

דיאגרמת המצבים של מכונת השתייה

הדופק	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
המבוא C	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0
המצב אחרי הדופק	S₁	S₁	S₂	S₃	S₀	S₀	S₁	S₂	S₃	S₀
המוצא Z	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0

הפחית יוצאת אחרי הדפקים 4 ו-9.

S₀ → S₁ → S₁ → S₂ → S₃ → S₀ → S₀ → S₁ → S₂ → S₃ → S₀

שאלה 8.2: מכונת השתייה מן הדוגמה מתחילה מ-S₀ והמבוא הוא C = 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0. נכתוב את רצף המצבים. כמה פחיות יצאו? ובאיזה מצב נשארה המכונה?

הערה: כמה התקני זיכרון דרושים לכל מכונה? המנורה והשער: שני מצבים ← התקן אחד. הרמזור ומכונת השתייה: 4 מצבים ← שני התקנים. ניתן לכל מצב קוד בינארי: למשל S₀ = 00, S₁ = 01, S₂ = 10, S₃ = 11, ושתי הסיביות Q₁ Q₀ הן מה שהזיכרון שומר.

כאשר כותבים את המצבים בקוד בינארי, טבלת המצבים נעשית טבלת אמת רגילה: עמודות המבואות הן המצב הנוכחי Q₁ Q₀ והמבוא X, ועמודות המוצאים הן המצב הבא. הטבלה הזאת מתארת מכונה בת 4 מצבים: כאשר X = 0 היא נשארת במקומה, וכאשר X = 1 היא מתקדמת מצב אחד.

טבלת מצבים בקוד בינארי
Q₁	Q₀	X	Q₁	Q₀	המעבר
0	0	0	0	0	נשארת
0	0	1	0	1	מתקדמת
0	1	0	0	1	נשארת
0	1	1	1	0	מתקדמת
1	0	0	1	0	נשארת
1	0	1	1	1	מתקדמת
1	1	0	1	1	נשארת
1	1	1	0	0	מתקדמת

שאלה 8.3: המכונה שבטבלה מתחילה מן המצב 00 והמבוא הוא X = 1, 1, 0, 1, 1, 1. מהו רצף המצבים?

מערכות סינכרוניות ואסינכרוניות:

במכונת המצבים אמרנו "בכל דופק המערכת עוברת מצב אחד". מי קובע מתי בדיוק מתרחש המעבר? ברוב המערכות הספרתיות יש "מנצח" שנותן את הקצב לכל ההתקנים: אות השעון.

אות שעון: אות ספרתי מחזורי שמתחלף כל הזמן בין 0 ל-1 בקצב קבוע. מסמנים אותו CLK. כל מחזור אחד שלו נקרא דופק.

אות השעון: זמן המחזור T, הקצה העולה והקצה היורד

זמן מחזור ותדר: זמן המחזור T הוא הזמן שנמשך דופק שלם אחד (מקצה עולה עד הקצה העולה הבא), והוא נמדד בשניות. התדר f הוא מספר הדפקים בשנייה אחת, והוא נמדד בהרץ.

הקשר בין תדר לזמן מחזור

f = 1T

T = 1f

סימן	משמעות	יחידת מידה
f	התדר של אות השעון	Hz
T	זמן המחזור	s

קצה עולה וקצה יורד: קצה עולה הוא רגע המעבר של האות מ-0 ל-1. קצה יורד הוא רגע המעבר שלו מ-1 ל-0. בכל דופק שעון יש קצה עולה אחד וקצה יורד אחד.

דוגמה 8.6

(א) זמן המחזור של אות שעון הוא T = 20 ms. מהו התדר שלו?
(ב) התדר של אות שעון אחר הוא f = 2 kHz. מהו זמן המחזור?
(ג) כמה קצוות עולים יש באות השני במשך 50 ms?

פתרון:

(א) נמיר לשניות ונציב: 20 ms = 0.02 s.

f = 1T

f = 10.02

f = 50 Hz

(ב) נמיר להרץ: 2 kHz = 2000 Hz.

T = 1f

T = 12000

T = 0.0005 s = 500 µs

(ג) בכל שנייה 2000 דפקים, ובכל דופק קצה עולה אחד:

N = f·t

N = 2000·0.05

N = 100

f = 50 Hz ; T = 500 µs ; N = 100

נזכור: יחידות שימושיות: 1 ms = 10⁻³ s, 1 µs = 10⁻⁶ s, 1 ns = 10⁻⁹ s ; 1 kHz = 10³ Hz, 1 MHz = 10⁶ Hz. נזכור את הזוגות: 1 ms ↔ 1 kHz, 1 µs ↔ 1 MHz.

תרגול מהיר — זמן המחזור נתון — נחשב את התדר

1T = 1 ms

2T = 2 ms

3T = 5 ms

4T = 100 ms

5T = 10 µs

6T = 1 µs

7T = 250 µs

8T = 40 ns

תשובות: 1 1 kHz 2 500 Hz 3 200 Hz 4 10 Hz 5 100 kHz 6 1 MHz 7 4 kHz 8 25 MHz

תרגול מהיר — התדר נתון — נחשב את זמן המחזור

1f = 50 Hz

2f = 100 Hz

3f = 400 Hz

4f = 1 kHz

5f = 4 kHz

6f = 25 kHz

7f = 1 MHz

8f = 8 MHz

תשובות: 1 20 ms 2 10 ms 3 2.5 ms 4 1 ms 5 250 µs 6 40 µs 7 1 µs 8 125 ns

דוגמה 8.7

בסרטוט אות שעון על ציר זמן במילישניות. מהו זמן המחזור? מהו התדר? וכמה קצוות עולים וכמה קצוות יורדים מופיעים בסרטוט?

פתרון:

המספרים שמתחת לסרטוט הם הזמן במילישניות

נבחר קצה עולה ונחפש את הקצה העולה הבא: הראשון ב-t = 4 ms והבא ב-t = 8 ms.

T = 8 − 4 = 4 ms

f = 1T = 10.004

f = 250 Hz

נספור את הקצוות: קצה עולה בכל מקום שבו האות קופץ למעלה, וקצה יורד בכל מקום שבו הוא יורד. נמצא 4 קצוות עולים ו-5 קצוות יורדים.

T = 4 ms ; f = 250 Hz

תרגול מהיר — כמה קצוות עולים וכמה קצוות יורדים בכל אות?

תשובות: 1 עולים 5, יורדים 5 2 עולים 4, יורדים 4 3 עולים 4, יורדים 4 4 עולים 4, יורדים 4 5 עולים 4, יורדים 4 6 עולים 4, יורדים 5

עכשיו נוכל להגדיר את שני הסוגים של מערכות עקיבה.

מערכת עקיבה סינכרונית: מערכת עקיבה שכל התקני הזיכרון בה מחוברים אל אותו אות שעון, והמצב משתנה רק בקצה השעון (העולה או היורד, לפי סוג ההתקן). בין קצה לקצה המצב אינו משתנה, גם אם המבואות השתנו.

מערכת עקיבה אסינכרונית: מערכת עקיבה שאין לה אות שעון משותף. המצב משתנה מיד כאשר אחד המבואות משתנה (אחרי זמן השהיה קצר מאוד של השערים), ולא ברגעים שנקבעו מראש.

אותם שני מבואות S ("קבע Q = 1") ו-R ("קבע Q = 0") לשתי מערכות: Q_a מוצא של מערכת אסינכרונית, ו-Q_s מוצא של מערכת סינכרונית שפועלת בקצה העולה

בסרטוט רואים את ההבדל בבירור. המוצא Q_a מגיב באותו רגע שבו המבוא משתנה. המוצא Q_s "מחכה" לקצה העולה הבא: הוא משתנה רק על הקווים המקווקווים. לכן כל השינויים במערכת הסינכרונית מסודרים על רשת זמן אחת.

שאלה 8.4: נתבונן בדיאגרמת הזמנים שלמעלה. באילו דפקים (לפי המספרים שמתחת לסרטוט) השתנה המוצא הסינכרוני Q_s? וכמה פעמים השתנה Q_a?

ההבדל בין מערכות סינכרוניות ואסינכרוניות:

	מערכת סינכרונית	מערכת אסינכרונית
אות השעון	שעון אחד משותף לכל התקני הזיכרון	אין שעון משותף
מתי המצב משתנה?	רק בקצה השעון	מיד, בכל שינוי במבואות
שינוי ההתקנים	כל ההתקנים משתנים יחד, באותו רגע	ההתקנים משתנים בזה אחר זה
המהירות	מוגבלת על ידי תדר השעון	מהירה: אינה מחכה לשעון
התכנון והבדיקה	קלים ומסודרים: בודקים את המצב פעם אחת בכל דופק	קשים: צריך לחשב את ההשהיה של כל שער
הרגישות לרעש	קטנה: שינויים קצרים בין הקצוות אינם משפיעים	גדולה: כל דופק קצר שגוי עלול לשנות את המצב
מספר הרכיבים	גדול יותר (חלוקת השעון לכל ההתקנים)	קטן יותר
דוגמאות	מונה סינכרוני, אוגר הזזה, מעבד המחשב	נועל SR, מונה גלי, מעגל לחצן האיפוס

הערה: במערכת אסינכרונית כל התקן "מעיר" את ההתקן שאחריו, ולכן זמן ההשהיה מצטבר מהתקן להתקן. במונה הגלי (פרק 11) נראה שהמוצא האחרון משתנה אחרי המוצא הראשון בזמן השווה לסכום ההשהיות. במערכת סינכרונית כל המוצאים משתנים יחד — ולכן רוב המערכות הספרתיות הגדולות, כמו המחשב, הן מערכות סינכרוניות.

דוגמה 8.8

במערכת אסינכרונית יש 4 התקני זיכרון המחוברים בזה אחר זה, וזמן ההשהיה של כל התקן 15 ns. אחרי כמה זמן מתייצב המוצא האחרון? ובמערכת סינכרונית מאותם התקנים?

פתרון:

במערכת האסינכרונית כל התקן מחכה להתקן שלפניו, ולכן ההשהיות מתחברות:

t = 4·15 ns

t = 60 ns

במערכת הסינכרונית כל ההתקנים מקבלים את קצה השעון באותו רגע, וכל המוצאים מתייצבים אחרי השהיה של התקן אחד: 15 ns.

t = 60 ns ; t = 15 ns

תרגול מהיר — סינכרונית או אסינכרונית?

1המצב משתנה רק בקצה השעון

2המוצא מגיב מיד לשינוי במבוא

3כל התקני הזיכרון מחוברים אל אותו CLK

4כל התקן מפעיל את ההתקן שאחריו

5קלה לתכנון ולבדיקה

6רגישה מאוד לדפקי רעש קצרים

7ההשהיות מצטברות מהתקן להתקן

8מעבד המחשב

תשובות: 1 סינכרונית 2 אסינכרונית 3 סינכרונית 4 אסינכרונית 5 סינכרונית 6 אסינכרונית 7 אסינכרונית 8 סינכרונית

▶ניסוי חי — הדלגלגים ודיאגרמות הזמניםנשנה את המבואות וניתן דפקי שעון בזה אחר זה, ונראה מתי המצב משתנה: רק בקצה השעון.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=ff

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=ff

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
מערכת עקיבה: המצב הבא	Q_n+1 = f(X, Q_n)
מערכת עקיבה: המוצאים	Z = g(X, Q_n)
מספר המצבים עם n התקני זיכרון	N = 2ⁿ
התדר	f = 1T
זמן המחזור	T = 1f
מספר הדפקים במשך זמן t	N = f·t

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
מערכת צירופים	Combinational circuit	دائرة توافقية
מערכת עקיבה	Sequential circuit	دائرة تتابعية
זיכרון	Memory	الذاكرة
התקן זיכרון	Memory element	عنصر ذاكرة
משוב	Feedback	التغذية الراجعة
מכונת מצבים	State machine	آلة الحالات
מצב	State	حالة
המצב הנוכחי	Present state	الحالة الحالية
המצב הבא	Next state	الحالة التالية
מצב התחלתי	Initial state	الحالة الابتدائية
מעבר	Transition	انتقال
דיאגרמת מצבים	State diagram	مخطط الحالات
טבלת מצבים	State table	جدول الحالات
אות שעון	Clock	إشارة الساعة
דופק	Pulse	نبضة
זמן מחזור	Period	زمن الدورة
תדר	Frequency	التردد
קצה עולה	Rising edge	الحافة الصاعدة
קצה יורד	Falling edge	الحافة الهابطة
סינכרוני	Synchronous	متزامن
אסינכרוני	Asynchronous	غير متزامن
זמן השהיה	Propagation delay	زمن التأخير
דיאגרמת זמנים	Timing diagram	مخطط الزمن

שאלות לתרגול:

רמה ראשונה — בסיסי

לכל מערכת נקבע: מערכת צירופים או מערכת עקיבה?
(א) מרבב (MUX) בעל ארבעה ערוצים.
(ב) מונה המבקרים בכניסה למוזיאון.
(ג) שער XOR.
(ד) מעלית בבניין.
(ה) מסכם למחצה.
(ו) מכונת כביסה שעוברת שלבים: מים, כביסה, סחיטה.

תשובות: (א) צירופית (ב) עקיבה (ג) צירופית (ד) עקיבה (ה) צירופית (ו) עקיבה

(א) כמה מצבים שונים יכולים להיות למערכת עקיבה שיש בה 3 התקני זיכרון? ושיש בה 7 התקנים?
(ב) כמה התקני זיכרון דרושים לפחות למערכת שיש בה 6 מצבים? 20 מצבים? 64 מצבים? 65 מצבים?

תשובות: (א) 2³ = 8, 2⁷ = 128 (ב) 3, 5, 6, 7

נחשב את התדר של אות שעון שזמן המחזור שלו: 4 ms, 500 ms, 50 µs, 200 ns.

תשובות: 250 Hz, 2 Hz, 20 kHz, 5 MHz

נחשב את זמן המחזור של אות שעון שהתדר שלו: 60 Hz, 500 Hz, 20 kHz, 2 MHz.

תשובות: 16.667 ms, 2 ms, 50 µs, 500 ns

כמה קצוות עולים וכמה קצוות יורדים יש באות X שבסרטוט?

תשובות: 5 קצוות עולים ו-5 קצוות יורדים

מנורת השולחן (לחיצה B = 1 הופכת את המצב) מתחילה מ-S₀ — כבויה. המבוא: B = 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1. נכתוב את רצף המצבים. אחרי כמה דפקים הייתה המנורה דולקת?

תשובות: S₀ → S₁ → S₀ → S₁ → S₁ → S₁ → S₀ → S₀ → S₁ ; מספר הדפקים שאחריהם המנורה דולקת: 5

רמזור בעל ארבעה מצבים S₀ (אדום) ← S₁ (אדום + צהוב) ← S₂ (ירוק) ← S₃ (צהוב) מתחיל מ-S₀. באיזה מצב הוא אחרי: 2, 5, 12, 23, 100 דפקים?

תשובות: S₂, S₁, S₀, S₃, S₀

הטבלה היא טבלת מצבים של מכונה בת שלושה מצבים ומבוא אחד X.
(א) לאן עוברת המכונה מ-S₁ כאשר X = 0?
(ב) באילו מצבים המכונה נשארת במקומה, ולאיזה ערך של X?
(ג) מאילו מצבים אפשר להגיע ישירות אל S₁?

State	X	Next
S₀	0	S₀
S₀	1	S₁
S₁	0	S₂
S₁	1	S₁
S₂	0	S₀
S₂	1	S₁

תשובות: (א) אל S₂ (ב) S₀ כאשר X = 0, S₁ כאשר X = 1 (ג) מ-S₀, S₁, S₂

רמה שנייה — בינוני

שער מסתובב (מטבע C פותח, דחיפה P מעבירה אדם ונועלת) מתחיל נעול (S₀). האירועים: C, P, P, C, C, P, P, C, P.
(א) נכתוב את רצף המצבים.
(ב) כמה אנשים עברו?
(ג) כמה דחיפות לא הצליחו?

תשובות: (א) S₀ → S₁ → S₀ → S₀ → S₁ → S₁ → S₀ → S₀ → S₁ → S₀ (ב) 3 (ג) 2

10.

מכונת השתייה מן הפרק (פחית בשלושה שקלים; מ-S₃ היא חוזרת תמיד אל S₀) מתחילה מ-S₀. המבוא: C = 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0.
(א) נכתוב את רצף המצבים.
(ב) אחרי אילו דפקים יצאה פחית?
(ג) איזה מטבע "אבד" ומדוע?

תשובות: (א) S₀ → S₁ → S₂ → S₃ → S₀ → S₀ → S₁ → S₂ → S₂ → S₃ → S₀ → S₁ → S₁ (ב) אחרי הדפקים 3, 9 (ג) המטבע שבדופק 4, 10 — הוא נכנס כאשר המכונה הייתה ב-S₃, ומשם המכונה חוזרת אל S₀ בלי לספור אותו

11.

לפנינו דיאגרמת מצבים של מכונה בת שלושה מצבים.
(א) נכתוב את טבלת המצבים.
(ב) המכונה מתחילה מ-S₀ והמבוא X = 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0. מהו רצף המצבים?

תשובות: (א)

State	X	Next
S₀	0	S₀
S₀	1	S₁
S₁	0	S₂
S₁	1	S₁
S₂	0	S₀
S₂	1	S₁

(ב) S₀ → S₁ → S₂ → S₁ → S₁ → S₂ → S₀ → S₁ → S₂

12.

הטבלה היא טבלת מצבים בקוד בינארי: משמאל המצב הנוכחי Q₁ Q₀ והמבוא X, ומימין המצב הבא.
(א) המכונה מתחילה מ-00 והמבוא X = 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0. נכתוב את רצף המצבים.
(ב) מה עושה המכונה כאשר X = 1? וכאשר X = 0?

Q₁	Q₀	X	Q₁	Q₀
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0

תשובות: (א) 00 → 01 → 10 → 11 → 10 → 01 → 10 → 01 → 00 → 11 (ב) כאשר X = 1 היא סופרת למעלה, וכאשר X = 0 היא סופרת למטה

13.

בסרטוט אות שעון על ציר זמן במיקרושניות (µs).
(א) מהו זמן המחזור?
(ב) מהו התדר?
(ג) כמה זמן האות נמצא ברמה הגבוהה בכל מחזור?

תשובות: (א) T = 40 µs (ב) f = 25 kHz (ג) 25 µs

14.

כמה דפקי שעון עוברים:
(א) בתדר 1 kHz במשך 250 ms ;
(ב) בתדר 50 Hz במשך 60 s ;
(ג) בתדר 2 MHz במשך 1 ms ;
(ד) בתדר 400 Hz במשך 20 ms?

תשובות: (א) 250 (ב) 3000 (ג) 2000 (ד) 8

15.

מערכת סינכרונית פשוטה מעתיקה את ערך המבוא X אל המוצא Q בכל קצה עולה של השעון, ובין הקצוות Q שומר על ערכו. בהתחלה Q = 0. נשלים את האות Q בסרטוט, ונכתוב את ערך Q אחרי כל דופק.

תשובות: Q אחרי כל דופק: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0

16.

בכל משפט יש טעות אחת. נמצא אותה ונתקן.
(א) "במערכת צירופים המוצא תלוי במבואות הנוכחיים ובמצב הקודם."
(ב) "בשלושה התקני זיכרון מקבלים 6 מצבים לכל היותר."
(ג) "במערכת סינכרונית המצב משתנה מיד כאשר המבוא משתנה."
(ד) "אם תדר השעון גדל, זמן המחזור גדל."
(ה) "בכל דופק שעון יש שני קצוות עולים."

תשובות: (א) זו ההגדרה של מערכת עקיבה; במערכת צירופים — המבואות הנוכחיים בלבד (ב) 2³ = 8 מצבים (ג) הוא משתנה רק בקצה השעון (ד) זמן המחזור קטן, כי T = 1f (ה) קצה עולה אחד וקצה יורד אחד

רמה שלישית — אתגר

17.

נתכנן מכונת מצבים ש"מגלה" מתי הגיעו אל המבוא X לפחות שני אחדים רצופים: המוצא Z = 1 רק אם ערך X בשני הדפקים האחרונים היה 1. המצבים: S₀ — הערך האחרון 0 ; S₁ — הגיע אחד בודד ; S₂ — הגיעו שני אחדים רצופים או יותר (Z = 1).
(א) נכתוב את טבלת המצבים ונסרטט את דיאגרמת המצבים.
(ב) נמצא את רצף המצבים ואת המוצא Z למבוא X = 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0 (מתחילים מ-S₀).

תשובות: (א)

State	X	Next	Z
S₀	0	S₀	0
S₀	1	S₁	0
S₁	0	S₀	0
S₁	1	S₂	0
S₂	0	S₀	1
S₂	1	S₂	1

(ב) S₀ → S₀ → S₁ → S₂ → S₀ → S₁ → S₂ → S₂ → S₀ → S₁ → S₀ ; Z = 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0

18.

מעלית בבניין בן שלוש קומות: 0, 1, 2. יש לה שתי פקודות: U — עלי קומה, D — רדי קומה. אם המעלית בקומה העליונה ומגיעה הפקודה U (או שהיא למטה ומגיעה D) היא נשארת במקומה.
(א) כמה מצבים וכמה התקני זיכרון?
(ב) המעלית מתחילה מקומה 0, והפקודות: U, U, U, D, U, D, D, D, U. נכתוב את רצף הקומות.
(ג) כמה פקודות לא הזיזו את המעלית?

תשובות: (א) 3 מצבים, שני התקנים (2² = 4 ≥ 3) (ב) 0 → 1 → 2 → 2 → 1 → 2 → 1 → 0 → 0 → 1 (ג) 2

19.

למנעול אלקטרוני שני לחצנים A ו-B, והוא נפתח רק אחרי הרצף A, B, A. המצבים: S₀ — הרצף לא התחיל ; S₁ — הגיע A ; S₂ — הגיעו A, B ; S₃ — המנעול פתוח (ונשאר פתוח). לחיצה שגויה מחזירה את המנעול אל S₀, אלא אם היא A — אז היא מתחילה רצף חדש (S₁).
(א) נכתוב את טבלת המצבים.
(ב) אילו מן הרצפים הבאים פותחים את המנעול? A, B, A ; A, A, B, A ; A, B, B, A ; B, A, B, A ; A, B, A, B, A ; A, A, B.

תשובות: (א)

המצב הבא לכל לחצן
State	A	B
S₀	S₁	S₀
S₁	S₁	S₂
S₂	S₃	S₀
S₃	S₃	S₃

(ב) A, B, A — פותח ; A, A, B, A — פותח ; A, B, B, A — אינו פותח ; B, A, B, A — פותח ; A, B, A, B, A — פותח ; A, A, B — אינו פותח

20.

רמזור פועל עם שעון שהתדר שלו f = 0.5 Hz. נרצה: אדום 5 דפקים, אדום + צהוב דופק אחד, ירוק 6 דפקים, צהוב דופק אחד. כדי שהרמזור "יספור" את הדפקים ניתן לכל דופק במחזור מצב משלו.
(א) מהו זמן המחזור של השעון?
(ב) כמה מצבים יש במכונה?
(ג) כמה התקני זיכרון דרושים לפחות?
(ד) כמה שניות נמשך מחזור שלם של הרמזור, וכמה שניות דולק הירוק?

תשובות: (א) T = 2 s (ב) 13 מצבים (ג) 4 (ד) 26 s, והירוק 12 s

21.

במונה אסינכרוני יש 6 התקני זיכרון המחוברים בזה אחר זה, וזמן ההשהיה של כל התקן 8 ns.
(א) אחרי כמה זמן מתייצב המוצא האחרון במקרה הגרוע ביותר?
(ב) כדי לקרוא תוצאה נכונה, זמן המחזור של השעון צריך להיות גדול מן הזמן הזה. מהו תדר השעון הגבוה ביותר האפשרי (בקירוב)?
(ג) במונה סינכרוני מאותם התקנים, אחרי כמה זמן מתייצבים כל המוצאים?

תשובות: (א) 6·8 ns = 48 ns (ב) f = 148 ns ≈ 20.8 MHz (ג) אחרי 8 ns — כולם יחד

22.

לשתי מערכות אותם שני מבואות: S = 1 מבקש "קבע Q = 1" ו-R = 1 מבקש "קבע Q = 0". המערכת הראשונה אסינכרונית (המוצא שלה Q_a) והשנייה סינכרונית ובודקת את שני המבואות רק בקצה העולה של השעון (המוצא שלה Q_s). בהתחלה Q = 0.
(א) נשלים את שני האותות.
(ב) נכתוב את ערך Q_s אחרי כל דופק.
(ג) אילו דפקי מבוא המערכת הסינכרונית "לא ראתה", ומדוע?

תשובות: (ב) 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0 ; Q_a השתנה 4 פעמים ו-Q_s השתנה 2 פעמים (ג) הדופק הקצר של S, הדופק הקצר של R — התחיל והסתיים בין שני קצוות עולים

תשובות סופיות לשאלות הפרק

8.1 S₁ → S₁ → S₀ → S₁ → S₀ → S₀ → S₀ → S₁ ; בסוף המנורה דולקת

8.2 S₀ → S₁ → S₂ → S₂ → S₃ → S₀ → S₁ → S₂ → S₂ ; מספר הפחיות שיצאו: 1 ; המצב האחרון S₂

8.3 00 → 01 → 10 → 10 → 11 → 00 → 01

8.4 Q_s השתנה בדפקים 2, 5, 8, 10 ; Q_a השתנה 4 פעמים

שאלות בגרות לפרק 8

המקצוע "מערכות ספרתיות" נבחן במגמת האלקטרוניקה בבחינה פנימית. שאלות הבגרות שבספר לקוחות משאלון 845381 של מגמת החשמל, שבכל שנה יש בו שתי שאלות על מערכות ספרתיות; אין בו שאלה עצמאית על חומר הפרק הזה. מתרגלים אותו ב"שאלות לתרגול" ובמבחנים העצמיים שבפרק 12.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 13 — נוסחאון הספר.