الفصل 1

أنظمة العد

שיטות ספירה

الصف العاشر · 4 ساعات تعليمية

نحن نعدّ بعشرة أرقام لأن لنا عشرة أصابع. الدائرة الإلكترونية لها «إصبعان» فقط: جهد منخفض وجهد عال، ولذلك تعدّ برقمين: 0 و 1. في هذا الفصل نتعلم كيف نكتب أي عدد بهذين الرقمين، كيف ننتقل بين النظام العشري، الثنائي والسداسي عشر، كيف نكتب عددا سالبا بدون إشارة ناقص، وكيف نجمع ونطرح كما يفعل الحاسوب.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نفكّك عددا عشريا إلى مجموع قوى للأساس 10، ونعرف ما هو وزن كل خانة.
نحوّل عددا من النظام الثنائي أو السداسي عشر إلى النظام العشري، وبالعكس.
نحوّل مباشرة بين النظام الثنائي والنظام السداسي عشر بواسطة مجموعات من أربعة بتات.
نكتب عددا سالبا بطريقة المتمم إلى 1 وبطريقة المتمم إلى 2.
نجمع ونطرح أعدادا ثنائية، ونطرح بواسطة جمع المتمم إلى 2.
نكتب عددا عشريا بشيفرة BCD، ونميّز بينها وبين العدد الثنائي.

הצגת מספר עשרוני – عرض العدد العشري (Decimal Number)

نظام العد (שיטת ספירה): هو طريقة لكتابة الأعداد بواسطة عدد محدد من الرموز. عدد الرموز المختلفة في النظام يسمى الأساس (בסיס).

النظام الذي نستعمله كل يوم هو النظام العشري (השיטה העשרונית): أساسه 10 ورموزه عشرة، من 0 حتى 9. قيمة الرقم لا تتعلق بالرقم نفسه فقط، بل أيضا بمكانه في العدد. في العدد 3575 الرقم 5 يظهر مرتين: مرة قيمته 500 ومرة قيمته 5.

الخانة والوزن (ספרה ומשקל (מקום)): كل مكان في العدد يسمى خانة. لكل خانة وزن هو قوة للأساس: الخانة اليمنى وزنها 10⁰ = 1، التي على يسارها وزنها 10¹ = 10، ثم 10² = 100 وهكذا. الرقم المكتوب في الخانة يسمى المعامل (מקדם).

العدد 3575: فوق كل خانة وزنها، وتحتها قيمة الوزن

تفكيك عدد إلى مجموع قوى للأساس · פירוק מספר לסכום של חזקות הבסיס

N = a_n·rⁿ + ... + a₂·r² + a₁·r¹ + a₀·r⁰

الرمز	المعنى	وحدة القياس
N	قيمة العدد	—
r	الأساس: 10 في النظام العشري، 2 في الثنائي، 16 في السداسي عشر	—
a₀ ... a_n	المعاملات (أرقام العدد)، من الخانة اليمنى a₀ إلى اليسرى a_n	—
r⁰ ... rⁿ	أوزان الخانات	—

مثال 1.1

نفكّك العدد العشري 3575 إلى مجموع قوى للأساس 10.

الحل:

نكتب كل رقم مضروبا في وزن خانته. الخانة اليمنى هي الخانة رقم 0.

3575 = 3·10³ + 5·10² + 7·10¹ + 5·10⁰

3575 = 3000 + 500 + 70 + 5

3575 = 3·10³ + 5·10² + 7·10¹ + 5·10⁰

ملاحظة: التفكيك هو وصف مختصر للعدد: بدل أن نقول «ثلاثة آلاف وخمسمئة وخمسة وسبعون» نكتب أربعة معاملات فقط، والمكان يخبرنا عن الوزن. نفس الفكرة تعمل في أي أساس آخر — نبدّل 10 بالأساس الجديد.

سؤال 1.1: نفكّك العدد 4082 إلى مجموع قوى للأساس 10. ما هو وزن الرقم 8؟

מספרים בבסיס בינארי (2) ובבסיס הקסדצימלי (16) – الأعداد في النظام الثنائي والنظام السداسي عشر (Binary & Hexadecimal)

النظام الثنائي – הבסיס הבינארי:

النظام الثنائي (השיטה הבינארית): هو نظام عد أساسه 2 ورموزه اثنان فقط: 0 و 1. أوزان الخانات هي قوى العدد 2: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ...

البت (סיבית (bit)): هو خانة واحدة في العدد الثنائي. البت الأيمن يسمى البت الأدنى وزنا (LSB) والبت الأيسر يسمى البت الأعلى وزنا (MSB). مجموعة من 8 بتات تسمى بايت (בית).

لكي لا نخلط بين الأنظمة نكتب الأساس صغيرا تحت العدد: 1011₂ هو عدد ثنائي، و 1011₁₀ هو العدد العشري «ألف وأحد عشر».

أوزان الخانات في العدد الثنائي 101101₂

من الثنائي إلى العشري – המרה מבינארי לעשרוני:

نكتب تحت كل بت وزنه، ثم نجمع الأوزان التي فوقها البت 1 فقط. البت 0 لا يضيف شيئا.

مثال 1.2

نحوّل العدد الثنائي 101101₂ إلى النظام العشري.

الحل:

نفكّك العدد إلى مجموع قوى للأساس 2:

101101₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰

101101₂ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1

101101₂ = 45₁₀

نتذكر: بـ n بتات نستطيع أن نكتب 2ⁿ أعدادا مختلفة، من 0 حتى 2ⁿ − 1. مثلا بـ 4 بتات: 16 عددا، من 0 حتى 15؛ بـ 8 بتات: 256 عددا، من 0 حتى 255.

تدريب سريع — نحوّل من الثنائي إلى العشري

1101₂

21001₂

31100₂

410011₂

510110₂

611011₂

7100110₂

8101101₂

9110011₂

10111100₂

111100100₂

1211111111₂

الإجابات: 1 5 2 9 3 12 4 19 5 22 6 27 7 38 8 45 9 51 10 60 11 100 12 255

من العشري إلى الثنائي – המרה מעשרוני לבינארי:

نقسم العدد على 2 مرة بعد مرة، وفي كل مرة نسجل الباقي. نتوقف عندما يصبح الناتج 0. الباقي الأول هو البت الأدنى وزنا، والباقي الأخير هو البت الأعلى وزنا، ولذلك نقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى.

مثال 1.3

نحوّل العدد العشري 45₁₀ إلى النظام الثنائي.

الحل:

القسمة	الناتج	الباقي	نقرأ من الأسفل إلى الأعلى
45 : 2	22	1	البت الأدنى وزنا (LSB) ↓
22 : 2	11	0
11 : 2	5	1
5 : 2	2	1
2 : 2	1	0
1 : 2	0	1	البت الأعلى وزنا (MSB) ↑

نقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى:

45₁₀ = 101101₂

فحص: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45.

45₁₀ = 101101₂

مثال 1.4

نحوّل العدد 100₁₀ إلى النظام الثنائي بطريقة الأوزان، بدون قسمة.

الحل:

نكتب أوزان الخانات: 128 ، 64 ، 32 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1. نبحث عن أكبر وزن لا يزيد عن العدد، نطرحه، ونكمل مع الباقي.

100 − 64 = 36

36 − 32 = 4

4 − 4 = 0

استخدمنا الأوزان 64 ، 32 و 4: نكتب 1 في خاناتها و 0 في باقي الخانات.

100₁₀ = 1100100₂

تدريب سريع — نحوّل من العشري إلى الثنائي

16₁₀

211₁₀

314₁₀

421₁₀

529₁₀

633₁₀

747₁₀

858₁₀

964₁₀

1077₁₀

11129₁₀

12200₁₀

الإجابات: 1 110₂ 2 1011₂ 3 1110₂ 4 10101₂ 5 11101₂ 6 100001₂ 7 101111₂ 8 111010₂ 9 1000000₂ 10 1001101₂ 11 10000001₂ 12 11001000₂

النظام السداسي عشر – הבסיס ההקסדצימלי:

النظام السداسي عشر (השיטה ההקסדצימלית (בסיס 16)): هو نظام عد أساسه 16 ورموزه ستة عشر: الأرقام 0 حتى 9، ثم الأحرف A ، B ، C ، D ، E ، F للقيم من 10 حتى 15. أوزان الخانات هي قوى العدد 16: 1 ، 16 ، 256 ، 4096 ...

العدد الثنائي طويل وصعب القراءة. النظام السداسي عشر هو طريقة مختصرة لكتابته: كل خانة سداسية عشرية تقابل بالضبط أربعة بتات، لأن 16 = 2⁴. لذلك نجده في عناوين الذاكرة، في ألوان الشاشة وفي لغات البرمجة (حيث يُكتب 0x2F).

Dec	Bin	Hex
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7

الجدول الأساسي: عشري — ثنائي — سداسي عشر. نحفظه غيبا
Dec	Bin	Hex
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

مثال 1.5

نحوّل العدد السداسي عشر 2F₁₆ إلى النظام العشري.

الحل:

نبدّل كل حرف بقيمته (F = 15) ونفكّك إلى مجموع قوى للأساس 16:

2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰

2F₁₆ = 32 + 15

2F₁₆ = 47₁₀

مثال 1.6

نحوّل العدد العشري 427₁₀ إلى النظام السداسي عشر.

الحل:

نقسم على 16 مرة بعد مرة ونسجل البواقي. باقٍ أكبر من 9 نكتبه كحرف.

القسمة	الناتج	الباقي	نقرأ من الأسفل إلى الأعلى
427 : 16	26	11 = B	الخانة الأدنى وزنا ↓
26 : 16	1	10 = A
1 : 16	0	1	الخانة الأعلى وزنا ↑

427₁₀ = 1AB₁₆

فحص: 256 + 160 + 11 = 427.

427₁₀ = 1AB₁₆

بين الثنائي والسداسي عشر – המרה בין בינארי להקסדצימלי:

من الثنائي إلى السداسي عشر: نقسّم العدد إلى مجموعات من أربعة بتات، ابتداء من اليمين؛ إذا نقصت المجموعة اليسرى نكمّلها بأصفار. نبدّل كل مجموعة بالخانة السداسية عشرية التي تقابلها في الجدول. من السداسي عشر إلى الثنائي: نبدّل كل خانة بأربعة بتات.

مثال 1.7

نحوّل العدد الثنائي 1011010111₂ إلى النظام السداسي عشر.

الحل:

نقسّم إلى مجموعات من أربعة بتات من اليمين، ونضيف صفرين في اليسار لإكمال المجموعة الأخيرة:

0010 1101 0111

نبدّل كل مجموعة: 0010 = 2 ، 1101 = D ، 0111 = 7.

1011010111₂ = 2D7₁₆

مثال 1.8

نحوّل العدد السداسي عشر C5A₁₆ إلى النظام الثنائي.

الحل:

نبدّل كل خانة بأربعة بتات: C = 1100 ، 5 = 0101 ، A = 1010.

C5A₁₆ = 1100 0101 1010₂

تدريب سريع — نحوّل من السداسي عشر إلى الثنائي وإلى العشري

11A₁₆

23C₁₆

37F₁₆

4A5₁₆

5B2₁₆

6E9₁₆

710F₁₆

82B4₁₆

9FFF₁₆

الإجابات: 1 0001 1010₂ = 26₁₀ 2 0011 1100₂ = 60₁₀ 3 0111 1111₂ = 127₁₀ 4 1010 0101₂ = 165₁₀ 5 1011 0010₂ = 178₁₀ 6 1110 1001₂ = 233₁₀ 7 0001 0000 1111₂ = 271₁₀ 8 0010 1011 0100₂ = 692₁₀ 9 1111 1111 1111₂ = 4095₁₀

تدريب سريع — نحوّل من الثنائي إلى السداسي عشر

11001 1100₂

20101 1010₂

31111 0001₂

40010 1111₂

51100 1000₂

61010 0101₂

الإجابات: 1 9C₁₆ 2 5A₁₆ 3 F1₁₆ 4 2F₁₆ 5 C8₁₆ 6 A5₁₆

▶تجربة حية — محوّل أنظمة العدنكتب عددا في أحد الأنظمة ونرى فورا قيمته في الأنظمة الأخرى، مع أوزان الخانات خطوة بعد خطوة.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=num

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=num

הצגת מספרים שליליים – عرض الأعداد السالبة (Negative Numbers)

على الورق نكتب إشارة ناقص أمام العدد. في الدائرة الرقمية لا يوجد إلا 0 و 1، ولذلك نتفق على طريقة تجعل أحد البتات يخبرنا عن الإشارة. في كل الطرق نعمل بعدد ثابت من البتات (مثلا 4 أو 8)، والبت الأيسر هو بت الإشارة (סיבית הסימן): 0 للعدد الموجب و 1 للعدد السالب.

المتمم إلى 1 – שיטת המשלים ל-1:

المتمم إلى $1$ (המשלים ל-1): نحصل عليه عندما نعكس كل بت في العدد: كل 0 يصبح 1 وكل 1 يصبح 0. في طريقة المتمم إلى 1 العدد السالب −N هو المتمم إلى 1 للعدد الموجب +N.

المتمم إلى 1 لعدد من n بتات · המשלים ל-1

C₁(N) = (2ⁿ − 1) − N

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C₁(N)	المتمم إلى 1 للعدد N	—
n	عدد البتات	—
2ⁿ − 1	العدد الذي كل بتاته 1	—

مثال 1.9

نكتب العدد −13 بطريقة المتمم إلى 1، بـ 8 بتات.

الحل:

نكتب أولا العدد الموجب +13 بـ 8 بتات:

+13 = 0000 1101

نعكس كل بت:

−13 = 1111 0010

البت الأيسر هو 1، وهذا يدل على أن العدد سالب.

−13 = 1111 0010

انتبه: في طريقة المتمم إلى 1 يوجد للصفر شكلان: 0000 0000 (صفر موجب) و 1111 1111 (صفر سالب). هذا يربك الدوائر الحسابية، ولذلك تستعمل الحواسيب طريقة المتمم إلى 2.

المتمم إلى 2 – שיטת המשלים ל-2:

المتمم إلى $2$ (המשלים ל-2): نحصل عليه عندما نحسب المتمم إلى 1 ثم نضيف 1. في طريقة المتمم إلى 2 العدد السالب −N هو المتمم إلى 2 للعدد الموجب +N.

المتمم إلى 2 لعدد من n بتات · המשלים ל-2

C₂(N) = C₁(N) + 1

C₂(N) = 2ⁿ − N

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C₂(N)	المتمم إلى 2 للعدد N	—
C₁(N)	المتمم إلى 1 للعدد N	—
n	عدد البتات	—

مثال 1.10

نكتب العدد −13 بطريقة المتمم إلى 2، بـ 8 بتات.

الحل:

العدد الموجب: +13 = 0000 1101. نعكس كل بت لنحصل على المتمم إلى 1، ثم نضيف 1:

	1	1	1	1	0	0	1	0	المتمم إلى 1
+								1
=	1	1	1	1	0	0	1	1	المتمم إلى 2

فحص بالقانون الثاني: 2⁸ − 13 = 243 ، وهذا هو 11110011₂.

−13 = 1111 0011

ملاحظة: طريقة مختصرة: نمرّ على العدد الموجب من اليمين إلى اليسار. ننسخ البتات كما هي حتى أول 1 (وننسخه هو أيضا)، ثم نعكس كل البتات التي على يساره. مثلا 0000 1100 ← 1111 0100.

كيف نقرأ عددا مكتوبا بالمتمم إلى 2؟ إذا كان البت الأيسر 0 فالعدد موجب ونحوّله كالعادة. إذا كان 1 فالعدد سالب: نحسب المتمم إلى 2 له لنحصل على مقداره، ونضع أمامه إشارة ناقص.

مثال 1.11

العدد 1110 1010 مكتوب بطريقة المتمم إلى 2 بـ 8 بتات. ما هي قيمته العشرية؟

الحل:

البت الأيسر 1 ← العدد سالب. نحسب المتمم إلى 2 له:

C₁ = 0001 0101

C₂ = 0001 0101 + 1 = 0001 0110

مقدار العدد: 00010110₂ = 22₁₀ ، ولذلك:

1110 1010 = −22

كل الأعداد التي نستطيع كتابتها بـ 4 بتات بطريقة المتمم إلى 2: من −8 حتى +7

مجال الأعداد بطريقة المتمم إلى 2 · תחום המספרים בשיטת המשלים ל-2

−2ⁿ⁻¹ ≤ N ≤ 2ⁿ⁻¹ − 1

الرمز	المعنى	وحدة القياس
n	عدد البتات	—
N	العدد المُشار (مع إشارة)	—

ملاحظة: بـ 8 بتات: من −128 حتى +127. للصفر شكل واحد فقط، وهذه أفضلية المتمم إلى 2.

العدد	إشارة ومقدار	المتمم إلى 1	المتمم إلى 2
+5	0101	0101	0101
+3	0011	0011	0011
+1	0001	0001	0001
−1	1001	1110	1111
−3	1011	1100	1101
−5	1101	1010	1011
−7	1111	1000	1001

تدريب سريع — نكتب بطريقة المتمم إلى 2، بـ 8 بتات

1−1

2−2

3−5

4−9

5−16

6−20

7−37

8−64

9−100

الإجابات: 1 1111 1111 2 1111 1110 3 1111 1011 4 1111 0111 5 1111 0000 6 1110 1100 7 1101 1011 8 1100 0000 9 1001 1100

تدريب سريع — الأعداد مكتوبة بالمتمم إلى 2 بـ 8 بتات. ما قيمتها العشرية؟

11111 1100

21111 0001

31000 0000

40111 1111

51100 1110

61011 0100

الإجابات: 1 −4 2 −15 3 −128 4 127 5 −50 6 −76

חיבור וחיסור בבסיס בינארי – الجمع والطرح في النظام الثنائي (Binary Addition & Subtraction)

الجمع الثنائي – חיבור בינארי:

نجمع عمودا بعد عمود من اليمين إلى اليسار، كما في الجمع العشري. الفرق الوحيد: عندما يصل المجموع إلى 2 نكتب 0 ونحمل 1 إلى العمود التالي. الواحد المحمول يسمى الحمل (נשא, Carry).

قواعد الجمع في عمود واحد: A و B البتان، C_in الحمل الداخل، S المجموع و C_out الحمل الخارج
A	B	C_in	C_out	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

ملاحظة: أربع قواعد تكفي: 0 + 0 = 0 ؛ 0 + 1 = 1 ؛ 1 + 1 = 10₂ (نكتب 0 ونحمل 1) ؛ 1 + 1 + 1 = 11₂ (نكتب 1 ونحمل 1).

مثال 1.12

نجمع العددين الثنائيين 1011₂ و 0110₂ ونفحص النتيجة في النظام العشري.

الحل:

	1	1	1			الحمل
		1	0	1	1
+		0	1	1	0
=	1	0	0	0	1	المجموع

فحص: 11 + 6 = 17 ، وفعلا 10001₂ = 17₁₀.

1011₂ + 0110₂ = 10001₂

مثال 1.13

نجمع 110111₂ + 011101₂.

الحل:

	1	1	1	1	1	1		الحمل
		1	1	0	1	1	1
+		0	1	1	1	0	1
=	1	0	1	0	1	0	0

فحص: 55 + 29 = 84.

110111₂ + 011101₂ = 1010100₂

تدريب سريع — نجمع في النظام الثنائي

1101 + 011

21100 + 0101

31111 + 0001

410110 + 01011

511011 + 10111

6101010 + 010111

الإجابات: 1 1000 2 10001 3 10000 4 100001 5 110010 6 1000001

الطرح الثنائي – חיסור בינארי:

نطرح عمودا بعد عمود من اليمين. عندما نحتاج إلى طرح 1 من 0 نستلف 1 من العمود الذي على اليسار؛ الواحد المُستلَف قيمته 2 في عمودنا، ولذلك 10₂ − 1 = 1. الاستلاف يسمى بالعبرية לווה (Borrow).

ملاحظة: قواعد الطرح: 0 − 0 = 0 ؛ 1 − 0 = 1 ؛ 1 − 1 = 0 ؛ 0 − 1 = 1 مع استلاف 1 من العمود التالي.

مثال 1.14

نطرح 1101₂ − 0110₂.

الحل:

العمود الأيمن: 1 − 0 = 1. العمود الثاني: 0 − 1 ← نستلف من العمود الثالث: 10₂ − 1 = 1. العمود الثالث: بعد الاستلاف بقي فيه 0، و 0 − 1 ← نستلف من العمود الرابع: 10₂ − 1 = 1. العمود الرابع: بقي فيه 0، و 0 − 0 = 0.

	1	1	0	1
−	0	1	1	0
=	0	1	1	1

فحص: 13 − 6 = 7.

1101₂ − 0110₂ = 0111₂

الطرح بواسطة جمع المتمم إلى 2 – חיסור באמצעות חיבור המשלים ל-2:

الحاسوب لا يبني دائرة خاصة للطرح. بدل أن يحسب A − B هو يحسب A + (−B): يحوّل B إلى متممه إلى 2 ثم يجمع بنفس دائرة الجمع. نعمل بعدد ثابت من البتات، والحمل الذي يخرج من البت الأيسر نهمله.

نكتب العددين بنفس عدد البتات.
نحسب المتمم إلى 2 للمطروح B.
نجمع A مع المتمم.
نهمل الحمل الخارج من البت الأيسر. إذا كان بت الإشارة في النتيجة 0 فالنتيجة موجبة؛ إذا كان 1 فالنتيجة سالبة ومكتوبة بالمتمم إلى 2.

مثال 1.15

نحسب 13 − 6 بواسطة جمع المتمم إلى 2، بـ 8 بتات.

الحل:

A = 13 = 0000 1101 ، B = 6 = 0000 0110.

المتمم إلى 2 للعدد B: نعكس البتات ← 1111 1001 ، ونضيف 1 ← 1111 1010.

	1	1	1	1	1
		0	0	0	0	1	1	0	1	A
+		1	1	1	1	1	0	1	0	المتمم إلى 2 للعدد B
=	1	0	0	0	0	0	1	1	1	الحمل الأيسر نهمله

بت الإشارة 0 ← النتيجة موجبة: 00000111₂ = 7₁₀.

13 − 6 = 0000 0111 = 7

مثال 1.16

نحسب 6 − 13 بواسطة جمع المتمم إلى 2، بـ 8 بتات.

الحل:

A = 6 = 0000 0110 ، B = 13 = 0000 1101.

المتمم إلى 2 للعدد B: نعكس البتات ← 1111 0010 ، ونضيف 1 ← 1111 0011.

					1	1
	0	0	0	0	0	1	1	0	A
+	1	1	1	1	0	0	1	1	المتمم إلى 2 للعدد B
=	1	1	1	1	1	0	0	1	لا يوجد حمل خارج

بت الإشارة 1 ← النتيجة سالبة. مقدارها هو المتمم إلى 2 لها: 00000111₂ = 7₁₀.

6 − 13 = 1111 1001 = −7

انتبه: إذا جمعنا عددين موجبين وخرجت النتيجة مع بت إشارة 1، أو جمعنا عددين سالبين وخرجت مع بت إشارة 0، فالنتيجة خاطئة: هي أكبر من المجال الذي تسمح به البتات. هذه الحالة تسمى الفيضان (גלישה, Overflow). مثلا بـ 8 بتات: 100 + 50 = 150 ، وهذا أكبر من +127.

تدريب سريع — نطرح بواسطة جمع المتمم إلى 2، بـ 8 بتات. نكتب النتيجة الثنائية وقيمتها

19 − 4

212 − 7

35 − 9

420 − 33

550 − 18

67 − 7

الإجابات: 1 0000 0101 = 5 2 0000 0101 = 5 3 1111 1100 = −4 4 1111 0011 = −13 5 0010 0000 = 32 6 0000 0000 = 0

▶تجربة حية — أنظمة العد والحساب الثنائيفي الدرس الأول من فصل الأنظمة الرقمية: محاكاة للتحويل بين الأنظمة، للمتمم إلى 2 وللجمع الثنائي عمودا بعد عمود.

⚠

https://fahed-lab.com/electronics/digital_systems

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/electronics/digital_systems

ייצוג מספרים עשרוניים בקוד BCD – تمثيل الأعداد العشرية بشيفرة BCD (Binary Coded Decimal)

شيفرة BCD (קוד BCD): هي طريقة لكتابة عدد عشري حيث نكتب كل رقم عشري لوحده بأربعة بتات. الاسم اختصار لـ Binary Coded Decimal: «عشري مشفّر بالثنائي».

في شيفرة BCD نستعمل عشرة تركيبات فقط من أصل ستة عشر: من 0000 (الرقم 0) حتى 1001 (الرقم 9). التركيبات الستة من 1010 حتى 1111 غير مسموحة، لأنه لا يوجد رقم عشري يقابلها.

Dec	BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100

Dec	BCD
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

تركيبات غير مسموحة
Bin	BCD
1010	—
1011	—
1100	—
1101	—
1110	—
1111	—

مثال 1.17

نكتب العدد العشري 279 بشيفرة BCD، ونقارن مع كتابته في النظام الثنائي.

الحل:

نبدّل كل رقم عشري بأربعة بتات: 2 → 0010 ، 7 → 0111 ، 9 → 1001.

279₁₀ = 0010 0111 1001_BCD

في النظام الثنائي العادي نحوّل العدد كله مرة واحدة:

279₁₀ = 1 0001 0111₂

النتيجتان مختلفتان: شيفرة BCD احتاجت 12 بتا، والنظام الثنائي 9 بتات فقط.

279₁₀ = 0010 0111 1001_BCD

مثال 1.18

ما هو العدد العشري المكتوب بشيفرة BCD هكذا: 1000 0101 0011 ؟

الحل:

نقرأ كل مجموعة من أربعة بتات كرقم عشري واحد: 1000 → 8 ، 0101 → 5 ، 0011 → 3.

1000 0101 0011_BCD = 853₁₀

ملاحظة: لماذا نحتاج BCD إذا كانت تحتاج إلى بتات أكثر؟ لأنها مريحة للعرض: كل أربعة بتات تذهب مباشرة إلى شاشة عرض واحدة ذات سبع قطع (תצוגת 7 מקטעים). نجدها في الساعات الرقمية، في العدادات وفي الآلات الحاسبة. سنقابلها ثانية في الفصل 7 وفي الفصل 11.

العدد 279 على ثلاث شاشات عرض: كل شاشة تستقبل أربعة بتات BCD

تدريب سريع — نكتب بشيفرة BCD

225

348

490

5136

6309

7574

8860

91995

الإجابات: 1 0111 2 0010 0101 3 0100 1000 4 1001 0000 5 0001 0011 0110 6 0011 0000 1001 7 0101 0111 0100 8 1000 0110 0000 9 0001 1001 1001 0101

تدريب سريع — هل هذه شيفرة BCD صحيحة؟ إذا نعم — ما هو العدد؟

10101 1001

20011 1100

31001 0000 0111

41010 0001

50110 0110

60001 1111 0010

الإجابات: 1 59 2 غير صحيحة 3 907 4 غير صحيحة 5 66 6 غير صحيحة

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
تفكيك عدد إلى مجموع قوى للأساس	N = a_n·rⁿ + ... + a₁·r¹ + a₀·r⁰
عدد التركيبات بـ n بتات	2ⁿ
أكبر عدد بدون إشارة بـ n بتات	2ⁿ − 1
خانة سداسية عشرية واحدة	1 hex = 4 bits
المتمم إلى 1	C₁(N) = (2ⁿ − 1) − N
المتمم إلى 2	C₂(N) = C₁(N) + 1 = 2ⁿ − N
مجال المتمم إلى 2 بـ n بتات	−2ⁿ⁻¹ ≤ N ≤ 2ⁿ⁻¹ − 1
الطرح بواسطة المتمم	A − B = A + C₂(B)

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
نظام العد	שיטת ספירה	Number system
الأساس	בסיס	Base / Radix
النظام العشري	השיטה העשרונית	Decimal
النظام الثنائي	השיטה הבינארית	Binary
النظام السداسي عشر	השיטה ההקסדצימלית	Hexadecimal
خانة	ספרה	Digit
وزن الخانة	משקל (ערך המקום)	Weight
المعامل	מקדם	Coefficient
قوة	חזקה	Power
بت	סיבית	Bit
بايت	בית	Byte
البت الأعلى وزنا	הסיבית המשמעותית ביותר	MSB
البت الأدنى وزنا	הסיבית הפחות משמעותית	LSB
تحويل	המרה	Conversion
الباقي	שארית	Remainder
عدد سالب	מספר שלילי	Negative number
بت الإشارة	סיבית הסימן	Sign bit
المتمم إلى 1	המשלים ל-1	1's complement
المتمم إلى 2	המשלים ל-2	2's complement
الجمع	חיבור	Addition
الطرح	חיסור	Subtraction
الحمل	נשא	Carry
الاستلاف	לווה	Borrow
الفيضان	גלישה	Overflow
شيفرة BCD	קוד BCD	Binary Coded Decimal
شاشة العرض ذات السبع قطع	תצוגת 7 מקטעים	7-segment display

أسئلة للتمرين:

المستوى الأول — أساسي

نفكّك كل عدد إلى مجموع قوى لأساسه:
(أ) 6209₁₀
(ب) 11010₂
(ج) 3B7₁₆.

الإجابات: (أ) 6·10³ + 2·10² + 0·10¹ + 9·10⁰ (ب) 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ (ج) 3·16² + 11·16¹ + 7·16⁰

نحوّل إلى النظام العشري: 1101₂ ، 10110₂ ، 111000₂ ، 1010101₂.

الإجابات: 13 ، 22 ، 56 ، 85

نحوّل إلى النظام الثنائي بطريقة القسمة المتكررة: 18₁₀ ، 43₁₀ ، 96₁₀ ، 150₁₀.

الإجابات: 10010₂ ، 101011₂ ، 1100000₂ ، 10010110₂

نحوّل إلى النظام العشري: 2A₁₆ ، 9D₁₆ ، 1C8₁₆ ، FA0₁₆.

الإجابات: 42 ، 157 ، 456 ، 4000

نحوّل إلى النظام السداسي عشر: 75₁₀ ، 255₁₀ ، 500₁₀ ، 1000₁₀.

الإجابات: 4B₁₆ ، FF₁₆ ، 1F4₁₆ ، 3E8₁₆

نحوّل إلى النظام السداسي عشر بواسطة مجموعات من أربعة بتات: 11100110₂ ، 101111₂ ، 1001001101₂.

الإجابات: E6₁₆ ، 2F₁₆ ، 24D₁₆

نحوّل إلى النظام الثنائي: 4E₁₆ ، B07₁₆ ، FACE₁₆.

الإجابات: 0100 1110₂ ، 1011 0000 0111₂ ، 1111 1010 1100 1110₂

كم عددا مختلفا نستطيع أن نكتب بـ 5 بتات؟ بـ 10 بتات؟ وما هو أكبر عدد (بدون إشارة) في كل حالة؟

الإجابات: 2⁵ = 32 ، أكبر عدد 31 ؛ 2¹⁰ = 1024 ، أكبر عدد 1023

نكتب بشيفرة BCD: 4 ، 61 ، 208 ، 1470.

الإجابات: 0100 ؛ 0110 0001 ؛ 0010 0000 1000 ؛ 0001 0100 0111 0000

10.

نجمع في النظام الثنائي ونفحص في النظام العشري: 1001 + 0011 ؛ 10101 + 01110 ؛ 111111 + 000001.

الإجابات: 1100₂ = 12 ؛ 100011₂ = 35 ؛ 1000000₂ = 64

المستوى الثاني — متوسط

11.

نكتب كل عدد بطريقة المتمم إلى 1 وبطريقة المتمم إلى 2، بـ 8 بتات: −6 ، −25 ، −77.

الإجابات: −6: 1111 1001 و 1111 1010 ؛ −25: 1110 0110 و 1110 0111 ؛ −77: 1011 0010 و 1011 0011

12.

الأعداد التالية مكتوبة بطريقة المتمم إلى 2 بـ 8 بتات. ما هي قيمها العشرية؟ 1111 1011 ، 1001 1100 ، 0110 0100 ، 1100 0000.

الإجابات: −5 ، −100 ، 100 ، −64

13.

ما هو مجال الأعداد التي نستطيع كتابتها بطريقة المتمم إلى 2:
(أ) بـ 4 بتات؟
(ب) بـ 6 بتات؟
(ج) بـ 16 بتا؟

الإجابات: (أ) من −8 حتى +7 (ب) من −32 حتى +31 (ج) من −32768 حتى +32767

14.

نحسب بواسطة جمع المتمم إلى 2 بـ 8 بتات، ونكتب النتيجة الثنائية وقيمتها العشرية: 25 − 9 ؛ 9 − 25 ؛ 100 − 27 ؛ 33 − 64.

الإجابات: 0001 0000 = 16 ؛ 1111 0000 = −16 ؛ 0100 1001 = 73 ؛ 1110 0001 = −31

15.

نطرح مباشرة (مع استلاف) في النظام الثنائي: 1100 − 0101 ؛ 10010 − 00111 ؛ 110000 − 001011.

الإجابات: 0111₂ = 7 ؛ 01011₂ = 11 ؛ 100101₂ = 37

16.

نكتب العدد 95 مرة في النظام الثنائي ومرة بشيفرة BCD. كم بتا نحتاج في كل طريقة؟

الإجابات: ثنائي: 1011111₂ (7 بتات) ؛ BCD: 1001 0101 (8 بتات)

17.

نرتب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر: 3F₁₆ ، 111101₂ ، 62₁₀ ، 0110 0100_BCD.

الإجابات: 111101₂ = 61 ، 62₁₀ ، 3F₁₆ = 63 ، 0110 0100_BCD = 64

18.

نكمل الجدول: نكتب كل عدد في الأنظمة الثلاثة.
(أ) 7C₁₆
(ب) 10010011₂
(ج) 171₁₀.

الإجابات: (أ) 7C₁₆ = 0111 1100₂ = 124₁₀ (ب) 10010011₂ = 93₁₆ = 147₁₀ (ج) 171₁₀ = 1010 1011₂ = AB₁₆

19.

نجمع العددين 1011 0110₂ و 0110 1101₂ . نكتب النتيجة في النظام الثنائي وفي النظام السداسي عشر.

الإجابات: 1 0010 0011₂ = 123₁₆

20.

لون في شاشة الحاسوب يُكتب هكذا: #FF8000 — خانتان سداسيتان عشريتان لكل من الأحمر، الأخضر والأزرق. ما هي القيمة العشرية لكل لون؟

الإجابات: الأحمر FF₁₆ = 255 ، الأخضر 80₁₆ = 128 ، الأزرق 00₁₆ = 0

المستوى الثالث — تحدٍّ

21.

نحسب بـ 8 بتات بطريقة المتمم إلى 2: (−20) + (−30) . نكتب العددين، نجمع، ونفحص النتيجة.

الإجابات: 1110 1100 + 1110 0010 = 1100 1110 (بعد إهمال الحمل الأيسر) = −50

22.

نحسب بـ 8 بتات بطريقة المتمم إلى 2: 90 + 60 . ماذا حدث؟ لماذا النتيجة خاطئة؟

الإجابات: النتيجة 1001 0110 ، وبت الإشارة فيها 1 فتُقرأ −106. حدث فيضان: 150 أكبر من +127

23.

عدد ثنائي من 8 بتات كل بتاته 1. ما هي قيمته:
(أ) كعدد بدون إشارة؟
(ب) بطريقة المتمم إلى 2؟
(ج) بطريقة المتمم إلى 1؟

الإجابات: (أ) 255 (ب) −1 (ج) −0 (صفر سالب)

24.

كم بتا على الأقل نحتاج لكي نكتب بدون إشارة:
(أ) العدد 100؟
(ب) العدد 1000؟
(ج) عدد أيام السنة 365؟

الإجابات: (أ) 7 بتات (2⁷ = 128) (ب) 10 بتات (2¹⁰ = 1024) (ج) 9 بتات (2⁹ = 512)

25.

عدّاد رقمي يعرض أعدادا من 0 حتى 999 على ثلاث شاشات عرض. كم بتا يحتاج بشيفرة BCD؟ وكم بتا كان يكفي في النظام الثنائي العادي؟

الإجابات: BCD: 3·4 = 12 بتا ؛ ثنائي: 10 بتات، لأن 2¹⁰ = 1024 > 999

26.

نبرهن بمثال من 4 بتات أن المتمم إلى 2 للمتمم إلى 2 يعيدنا إلى العدد الأصلي. نأخذ العدد 0110.

الإجابات: 0110 → 1010 → 0110

27.

عنوان في ذاكرة الحاسوب هو 1F40₁₆.
(أ) ما هو العنوان في النظام العشري؟
(ب) ما هو العنوان الذي يأتي بعده بـ 16₁₀ خانة، في النظام السداسي عشر؟

الإجابات: (أ) 8000 (ب) 1F50₁₆

28.

نضرب العدد 1011₂ في 2 ، ثم في 4 ، ثم في 8. ماذا نلاحظ؟

الإجابات: 10110₂ ، 101100₂ ، 1011000₂ — في كل ضرب في 2 يُضاف صفر في اليمين (إزاحة إلى اليسار)

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

1.1 4082 = 4·10³ + 0·10² + 8·10¹ + 2·10⁰ ؛ وزن الرقم 8 هو 10¹ = 10

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 1

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وهي من فصل الأنظمة الرقمية فيه، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2020 السؤال 9 — أنظمة العدّ وبوّابات منطقيّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	تمثيل العدد 37 في الأسس 2, 8, 16	(37)₁₀ = (100101)₂ = (45)₈ = (25)₁₆
البند ب1	كتابة الدالّة من الرسم	F = A · B
البند ب2	التبسيط بواسطة الجبر البولياني	F = A + B

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2020

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 13 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)