פרק 9

שיטות לפתרון מעגלים

כיתה י׳ · 9 שעות לימוד

עד עכשיו פתרנו מעגלים שיש בהם מקור אחד: חיברנו נגדים בטור ובמקביל עד שקיבלנו התנגדות שקולה אחת. אבל במעגל שיש בו שני מקורות בשני ענפים שונים השיטה הזאת אינה מועילה, כי הנגדים בו אינם מחוברים לא בטור ולא במקביל. בפרק הזה נלמד שתי שיטות מסודרות: שיטת זרמי החוגים, שנותנת לנו את הזרם בכל ענפי המעגל, ומשפט תבנין, שמחליף מעגל שלם במקור אחד ובנגד אחד כאשר מעניין אותנו רכיב אחד בלבד.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר זרם חוג ונמצא בעזרתו את הזרם בכל ענף של המעגל.
נכתוב את משוואות המתחים בחוגים לפי חוק המתחים של קירכהוף, ונפתור אותן בשיטת ההצבה ובשיטת השוואת המקדמים.
נכתוב את המשוואות ישירות בצורה הסטנדרטית R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁.
כל מעגל שיש בו מקורות ונגדים אפשר להחליף, ביחס לשני הדקים שלו, במקור מתח שקול E_Th ובהתנגדות שקולה R_Th.
נמצא את E_Th ואת R_Th של מעגל נתון, ונחשב בעזרתם את הזרם בעומס ואת המתח עליו.
שתי השיטות נותנות תמיד אותן תוצאות, ואת הפתרון נבדוק בחוק הזרמים של קירכהוף או במאזן הספקים.

תזכורת: צומת, ענף וחוג:

צומת: נקודת הסתעפות שבה נפגשים שלושה מוליכים או יותר. בסרטוט שני צמתים: A ו-B.
ענף: מסלול בין שני צמתים, שבכל רכיביו זורם אותו זרם. בסרטוט שלושה ענפים.
חוג: מסלול סגור במעגל. חוג בלתי תלוי הוא "חלון" בסרטוט שאין בתוכו ענפים. בסרטוט שני חוגים בלתי תלויים.

מעגל שיש בו שני צמתים, שלושה ענפים ושני חוגים בלתי תלויים

אילו פתרנו את המעגל הזה ישירות בחוקי קירכהוף, היינו צריכים שלוש משוואות בשלושה נעלמים, נעלם לכל ענף. שיטת זרמי החוגים מקטינה את מספר המשוואות: במעגל הזה נצטרך שתי משוואות בלבד.

שיטת זרמי החוגים (Mesh Current Method)

המושג זרם חוג:

זרם חוג: זרם שאנחנו מניחים שהוא מסתובב בחוג בלתי תלוי שלם, ועובר בכל רכיביו. לכל חוג בלתי תלוי נקבע זרם חוג אחד, ונסמן את זרמי החוגים I₁, I₂, ...

את כיוון זרם החוג נבחר כרצוננו. נוח לבחור את כל הזרמים עם כיוון השעון.
בענף ששייך לחוג אחד בלבד, זרם הענף שווה לזרם החוג. בסרטוט: הזרם ב-R₁ הוא I₁, והזרם ב-R₂ הוא I₂.
בענף משותף לשני חוגים עוברים שני הזרמים יחד. בסרטוט I₁ עובר ב-R₃ כלפי מטה ו-I₂ עובר בו כלפי מעלה, ולכן הזרם ב-R₃ כלפי מטה הוא I₁ − I₂.

זרמי שני החוגים I₁ ו-I₂, שניהם עם כיוון השעון

הערה: זרם החוג הוא כלי חישוב: הנעלמים הם זרמי החוגים, ומספרם קטן ממספר הענפים. אחרי שנמצא אותם נחשב מהם את זרמי הענפים האמיתיים. אם קיבלנו זרם שלילי, פירוש הדבר שכיוונו האמיתי הפוך לכיוון שבחרנו.

קבלת משוואות המתחים בחוגים ופתרון המשוואות:

לכל חוג בלתי תלוי נכתוב משוואה אחת לפי חוק המתחים של קירכהוף: סכום המתחים במסלול סגור שווה לאפס. שלבי הפתרון:

נקבע את החוגים הבלתי תלויים ונסרטט לכל חוג זרם חוג עם כיוון השעון.
נסתובב בכל חוג בכיוון הזרם שלו ונכתוב את חוק המתחים של קירכהוף: מקור שעוברים בו מן ההדק השלילי אל ההדק החיובי נכתב בסימן חיובי, ומקור שעוברים בו מן החיובי אל השלילי נכתב בסימן שלילי. על כל נגד נופל מתח השווה להתנגדות כפול הזרם שעובר בו בכיוון הסיבוב שלנו.
נסדר את המשוואות ונפתור אותן, ונקבל את זרמי החוגים.
נחשב את זרמי הענפים, ואחר כך את המתחים ואת ההספקים לפי הנדרש.
נבדוק את הפתרון: חוק הזרמים של קירכהוף בצומת, או מאזן הספקים.

דוגמה 9.1

במעגל שבסרטוט שני מקורות ושלושה נגדים. נמצא בשיטת זרמי החוגים את הזרם בכל ענף, ואת המתח V_AB.

פתרון:

שלב 1. במעגל שני חוגים בלתי תלויים. נקבע את הזרם I₁ בחוג השמאלי ואת הזרם I₂ בחוג הימני, שניהם עם כיוון השעון.

שלב 2, החוג השמאלי. נסתובב בכיוון I₁ החל מן הצומת B: נעבור במקור E₁ מן השלילי אל החיובי (+E₁), ואחר כך נופל מתח על R₁. בנגד המשותף R₃ הזרם בכיוון הסיבוב שלנו הוא I₁ − I₂:

E₁ − R₁·I₁ − R₃·(I₁ − I₂) = 0

28 − 4·I₁ − 8·(I₁ − I₂) = 0

12·I₁ − 8·I₂ = 28 (1)

החוג הימני. נסתובב בכיוון I₂ החל מן הצומת A: נופל מתח על R₂, ואחר כך נעבור במקור E₂ מן החיובי אל השלילי (−E₂). ב-R₃ הזרם בכיוון הסיבוב שלנו הוא I₂ − I₁:

−R₂·I₂ − E₂ − R₃·(I₂ − I₁) = 0

−2·I₂ − 14 − 8·(I₂ − I₁) = 0

−8·I₁ + 10·I₂ = −14 (2)

שלב 3. נפתור את שתי המשוואות בשיטת ההצבה. תחילה נפשט: נחלק את משוואה (1) ב-4 ואת משוואה (2) ב-2:

3·I₁ − 2·I₂ = 7

−4·I₁ + 5·I₂ = −7

מן המשוואה הראשונה נבטא את I₁ באמצעות I₂:

I₁ = 7 + 2·I₂3

נציב את הביטוי הזה במשוואה השנייה, ונכפול את שני האגפים ב-3:

−4·7 + 2·I₂3 + 5·I₂ = −7

−28 − 8·I₂ + 15·I₂ = −21

7·I₂ = 7

I₂ = 1 A

I₁ = 7 + 2 · 13 = 3 A

שלב 4. זרמי הענפים:

I_R1 = I₁ = 3 A

I_R2 = I₂ = 1 A

I_R3 = I₁ − I₂ = 3 − 1 = 2 A

שני הזרמים חיוביים, כלומר כיוונם האמיתי הוא כפי שבחרנו: הזרם ב-R₁ זורם אל הצומת A, הזרם ב-R₂ יוצא מן הצומת A ימינה, והזרם ב-R₃ זורם מ-A אל B.

המתח בין שני הצמתים:

V_AB = I_R3·R₃ = 2 · 8 = 16 V

שלב 5, בדיקה. נחשב את V_AB פעם נוספת דרך הענף השמאלי, ועלינו לקבל אותה תוצאה:

V_AB = E₁ − R₁·I₁ = 28 − 4 · 3 = 16 V

I₁ = 3 A , I₂ = 1 A , I_R3 = 2 A

מאזן הספקים: בדוגמה הקודמת הזרם נכנס אל המקור E₂ דרך ההדק החיובי שלו. מקור כזה אינו מספק הספק אלא צורך אותו, כמו מצבר בזמן טעינה. מאזן ההספקים: המקור E₁ מספק 84 W, שלושת הנגדים מפזרים יחד 70 W, והמקור E₂ צורך 14 W. ואכן: 84 = 70 + 14.

פתרון שתי משוואות בשני נעלמים:

בדוגמה הקודמת פתרנו את שתי המשוואות בשיטת ההצבה: ביטאנו נעלם אחד באמצעות האחר והצבנו במשוואה השנייה. שיטה שנייה, נוחה יותר ברוב המקרים, היא שיטת השוואת המקדמים: נכפול את שתי המשוואות במספרים מתאימים עד שהמקדמים של אחד הנעלמים ישתוו, ואז נחבר את המשוואות או נחסר אותן. הנעלם הזה מתבטל ונשארת משוואה אחת בנעלם אחד.

דוגמה 9.2

במעגל שבסרטוט נמצא את זרמי החוגים בשיטת השוואת המקדמים, ואחר כך נחשב את הזרם בכל ענף.

פתרון:

נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף בכל חוג, כמו בדוגמה הקודמת:

26 − 4·I₁ − 2·(I₁ − I₂) = 0

−3·I₂ − 13 − 2·(I₂ − I₁) = 0

נסדר את שתי המשוואות:

6·I₁ − 2·I₂ = 26 (1)

−2·I₁ + 5·I₂ = −13 (2)

נרצה להעלים את הנעלם I₂. נכפול את משוואה (1) ב-5 ואת משוואה (2) ב-2, והמקדמים של I₂ יהיו שווים בגודלם:

30·I₁ − 10·I₂ = 130

−4·I₁ + 10·I₂ = −26

נחבר את שתי המשוואות, ו-I₂ מתבטל:

26·I₁ = 104

I₁ = 10426 = 4 A

נציב I₁ = 4 במשוואה (1) ונמצא את I₂:

6 · 4 − 2·I₂ = 26

−2·I₂ = 2

I₂ = −1 A

הזרם I₂ שלילי: הכיוון האמיתי של הזרם בחוג הימני הפוך לכיוון השעון. כלומר הזרם ב-R₂, שגודלו 1 A, זורם אל הצומת A.

הזרם בענף המשותף, מ-A אל B (נשים לב לסימן):

I_R3 = I₁ − I₂ = 4 − (−1) = 5 A

בדיקה לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A: נכנסים אליו 4 A משמאל ו-1 A מימין, ויוצאים ממנו 5 A כלפי מטה. 4 + 1 = 5.

I₁ = 4 A , I₂ = −1 A , I_R3 = 5 A

שאלה 9.1:

במעגל שבסרטוט נכתוב את משוואות שני החוגים, נפתור אותן, ונמצא את הזרם בכל נגד.

▶ניסוי חי — זרמי חוגים — מעגל עם שני מקורותנשנה את המתח של כל מקור ואת הערך של כל נגד, ונראה את שתי המשוואות, את פתרונן ואת כיוון הזרם בכל ענף.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

הצורות הסטנדרטיות של המשוואות בשיטת זרמי החוגים:

אם נתבונן במשוואות המסודרות בשתי הדוגמאות הקודמות, נראה שיש להן תמיד אותה צורה. לכן אין צורך להסתובב בחוג בכל פעם: נכתוב את המשוואות ישירות לפי הצורה הסטנדרטית. למעגל שיש בו שני חוגים:

הצורה הסטנדרטית — שני חוגים

R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁

−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
R₁₁	ההתנגדות העצמית של חוג 1: סכום כל ההתנגדויות שבחוג. באותו אופן R₂₂ לחוג 2	[Ω]
R₁₂	ההתנגדות המשותפת: ההתנגדות שבענף המשותף לשני החוגים. תמיד R₂₁ = R₁₂	[Ω]
E₁₁	הסכום האלגברי של מקורות המתח בחוג 1. באותו אופן E₂₂ לחוג 2	[V]
I₁ , I₂	זרמי שני החוגים, שניהם עם כיוון השעון	[A]

סימן המקור: מקור שדוחף את הזרם בכיוון זרם החוג (זרם החוג יוצא מן ההדק החיובי שלו) נכתב בסימן חיובי, ומקור שדוחף נגד כיוון זרם החוג נכתב בסימן שלילי.
סימן ההתנגדות המשותפת שלילי תמיד, בתנאי שבחרנו את כל זרמי החוגים באותו כיוון סיבוב.
למעגל שיש בו שלושה חוגים נכתוב שלוש משוואות באותו אופן. אם אין לשני חוגים ענף משותף, ההתנגדות המשותפת שלהם היא אפס.

פתרון מוכן לשתי המשוואות

D = R₁₁·R₂₂ − R₁₂²

I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂D

I₂ = E₂₂·R₁₁ + E₁₁·R₁₂D

סימן	משמעות	יחידת מידה
D	גודל עזר (דטרמיננטה)	[Ω²]

דוגמה 9.3

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה. נכתוב את שתי המשוואות ישירות בצורה הסטנדרטית, ונמצא את זרמי החוגים ואת הזרם ב-R₃.

פתרון:

ההתנגדות העצמית של כל חוג וההתנגדות המשותפת:

R₁₁ = R₁ + R₃ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂₂ = R₂ + R₃ = 10 + 3 = 13 Ω

R₁₂ = R₃ = 3 Ω

מקורות המתח: בחוג השמאלי E₁ דוחף בכיוון I₁. בחוג הימני I₂ יוצא מן ההדק החיובי של המקור E₂, כלומר גם E₂ דוחף בכיוון I₂:

E₁₁ = +E₁ = 24 V

E₂₂ = +E₂ = 8 V

שתי המשוואות:

5·I₁ − 3·I₂ = 24 (1)

−3·I₁ + 13·I₂ = 8 (2)

נפתור בעזרת הפתרון המוכן:

D = 5 · 13 − 3² = 56

I₁ = 24 · 13 + 8 · 356 = 33656 = 6 A

I₂ = 8 · 5 + 24 · 356 = 11256 = 2 A

הזרם ב-R₃, מ-A אל B, והמתח בין שני הצמתים:

I_R3 = I₁ − I₂ = 6 − 2 = 4 A

V_AB = I_R3·R₃ = 4 · 3 = 12 V

בדיקה במאזן הספקים: ההספק ששני המקורות מספקים, ואחריו ההספק המתפזר בשלושת הנגדים:

24 · 6 + 8 · 2 = 160 W

72 + 40 + 48 = 160 W

I₁ = 6 A , I₂ = 2 A , I_R3 = 4 A

שאלה 9.2:

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה. נכתוב את שתי המשוואות בצורה הסטנדרטית, ונמצא את זרמי החוגים ואת הזרם ב-R₃.

דוגמה 9.4

במעגל שבסרטוט שלושה מקורות וחמישה נגדים. נמצא בשיטת זרמי החוגים את הזרם בכל נגד, ונבדוק את הפתרון במאזן הספקים.

פתרון:

במעגל שלושה חוגים בלתי תלויים, ולכן נכתוב שלוש משוואות בצורה הסטנדרטית. ההתנגדויות העצמיות והמשותפות:

R₁₁ = R₁ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂₂ = R₄ + R₂ + R₅ = 4 + 2 + 2 = 8 Ω

R₃₃ = R₅ + R₃ = 2 + 2 = 4 Ω

R₁₂ = R₄ = 4 Ω

R₂₃ = R₅ = 2 Ω

R₁₃ = 0

מקורות המתח: E₁ דוחף בכיוון I₁, E₂ דוחף בכיוון I₂, ואילו E₃ דוחף נגד כיוון I₃, ולכן E₃₃ = −E₃. המשוואות:

8·I₁ − 4·I₂ = 24 (1)

−4·I₁ + 8·I₂ − 2·I₃ = 10 (2)

−2·I₂ + 4·I₃ = −4 (3)

נפשט: נחלק את משוואה (1) ב-4, את משוואה (2) ב-2 ואת משוואה (3) ב-2:

2·I₁ − I₂ = 6

−2·I₁ + 4·I₂ − I₃ = 5

−I₂ + 2·I₃ = −2

במשוואה הראשונה שני נעלמים בלבד, וכך גם בשלישית. מן הראשונה נבטא את I₂ באמצעות I₁, ואחר כך מן השלישית נבטא את I₃ באמצעות I₁:

I₂ = 2·I₁ − 6

2·I₃ = I₂ − 2 = 2·I₁ − 6 − 2

I₃ = I₁ − 4

נציב את שני הביטויים במשוואה השנייה, ונשארת משוואה בנעלם אחד:

−2·I₁ + 4·(2·I₁ − 6) − (I₁ − 4) = 5

5·I₁ = 25

I₁ = 5 A

I₂ = 2 · 5 − 6 = 4 A

I₃ = 5 − 4 = 1 A

הזרמים בשני הנגדים המשותפים, כלפי מטה:

I_R4 = I₁ − I₂ = 5 − 4 = 1 A

I_R5 = I₂ − I₃ = 4 − 1 = 3 A

ב-R₁ עובר I₁, ב-R₂ עובר I₂ וב-R₃ עובר I₃. הזרם I₃ חיובי, כלומר הוא נכנס אל המקור E₃ דרך ההדק החיובי שלו: המקור הזה צורך הספק.

בדיקה במאזן הספקים. ההספק שהמקורות מספקים (אחרי שמחסרים את מה ש-E₃ צורך):

24 · 5 + 10 · 4 − 4 · 1 = 156 W

ההספק המתפזר בנגדים, לפי P = I²·R, בסדר R₁, R₂, R₃, R₄, R₅:

100 + 32 + 2 + 4 + 18 = 156 W

I₁ = 5 A , I₂ = 4 A , I₃ = 1 A

▶ניסוי חי — זרמי חוגים — מעגל עם שלושה מקורותמעגל גדול יותר, שיש בו שלושה מקורות. נשנה את הנתונים ונעקוב אחרי כתיבת המשוואות ופתרונן צעד אחר צעד.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

משפט תבנין (Thevenin's Theorem)

במעגלים רבים מעניין אותנו רכיב אחד בלבד, שנקרא לו עומס, ונסמן את התנגדותו R_L: נרצה לדעת מהו הזרם שעובר בו ומהו המתח עליו. לפעמים נחליף את העומס בעומס אחר ונשאל שוב אותה שאלה. בשיטת זרמי החוגים עלינו לפתור את כל המעגל בכל פעם מחדש. משפט תבנין נותן לנו דרך קצרה יותר: נחליף את כל המעגל, חוץ מן העומס, במעגל פשוט מאוד שיש בו מקור אחד ונגד אחד.

ניסוח המשפט:

משפט תבנין: כל מעגל שבנוי ממקורות מתח ומנגדים, ואנחנו מתבוננים בו משני הדקים A ו-B, אפשר להחליף במעגל שקול שיש בו מקור מתח אחד E_Th המחובר בטור לנגד אחד R_Th. המעגל השקול מספק לכל עומס שנחבר בין ההדקים אותו זרם ואותו מתח שמספק המעגל המקורי.

המעגל המקורי, והעומס R_L מחובר בין ההדקים A ו-B

המעגל השקול של תבנין

מקור המתח השקול: המתח שלו, E_Th, שווה למתח בין ההדקים A ו-B כאשר העומס מנותק, כלומר כאשר ההדקים פתוחים. המתח הזה נקרא מתח הריקם.

ההתנגדות השקולה: ההתנגדות R_Th היא ההתנגדות ש"רואים" בין ההדקים A ו-B כאשר העומס מנותק וכל המקורות מאופסים. איפוס מקור מתח פירושו להחליף אותו בתיל מוליך, כלומר בקצר, כי המתח של מקור מאופס הוא אפס.

זרם העומס ומתחו

I_L = E_ThR_Th + R_L

V_L = I_L·R_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
E_Th	המתח של מקור המתח השקול (מתח תבנין)	[V]
R_Th	ההתנגדות השקולה (התנגדות תבנין)	[Ω]
R_L	התנגדות העומס	[Ω]
I_L	הזרם בעומס	[A]
V_L	המתח על העומס, והוא המתח V_AB כאשר העומס מחובר	[V]

שלבי הפתרון:

נקבע מהו העומס, ננתק אותו מן המעגל, ונקרא לשני ההדקים שאליהם היה מחובר A ו-B.
נחשב את המתח V_AB בין ההדקים הפתוחים. זהו E_Th.
נאפס את המקורות: נחליף כל מקור מתח בתיל מוליך, ונחשב את ההתנגדות בין A ל-B. זוהי R_Th.
נסרטט את המעגל השקול של תבנין: E_Th בטור עם R_Th, ונחבר מחדש את העומס בין A ל-B.
נחשב את זרם העומס I_L = E_ThR_Th + R_L ואת המתח עליו.

הערה: כאשר ההדקים A ו-B פתוחים, לא עובר זרם בשום נגד שמחובר בטור לאחד ההדקים, ולכן לא נופל עליו מתח. ההערה הזאת מקלה על חישוב E_Th במעגלים רבים.

דוגמה 9.5

במעגל שבסרטוט מקור ושני נגדים, והעומס הוא הנגד R_L. נמצא את המעגל השקול של תבנין בין ההדקים A ו-B, ואחר כך נחשב את זרם העומס ואת המתח עליו.

פתרון:

שלב 1. ננתק את העומס R_L מן המעגל. ההדקים A ו-B נשארים פתוחים.

שלב 2: ההדקים פתוחים, נחשב את V_AB

שלב 3: המקור הוחלף בתיל, נחשב את ההתנגדות בין A ל-B

שלב 2. כאשר ההדקים פתוחים, הנגדים R₁ ו-R₂ מחוברים בטור, והמתח בין A ל-B הוא המתח על R₂. לפי כלל מחלק המתח:

E_Th = V_AB = E·R₂R₁ + R₂

E_Th = 24·124 + 12 = 18 V

שלב 3. נחליף את המקור בתיל מוליך. אם "ניכנס" עכשיו אל המעגל מן ההדק A, נמצא לפנינו שתי דרכים אל ההדק B: דרך R₂, או דרך R₁ והתיל. כלומר R₁ ו-R₂ מחוברים במקביל בין ההדקים:

R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂

R_Th = 4 · 124 + 12 = 3 Ω

שלב 4. נסרטט את המעגל השקול של תבנין ונחבר מחדש את העומס:

המעגל השקול של תבנין למעגל שבדוגמה, עם העומס

שלב 5. זרם העומס והמתח עליו:

I_L = E_ThR_Th + R_L = 183 + 6 = 2 A

V_L = I_L·R_L = 2 · 6 = 12 V

בדיקה. נפתור את המעגל המקורי בדרך שאנחנו מכירים. R₂ ו-R_L במקביל, ו-R₁ בטור אליהם:

R_2L = R₂·R_LR₂ + R_L = 12 · 612 + 6 = 4 Ω

R_T = R₁ + R_2L = 4 + 4 = 8 Ω

I = ER_T = 248 = 3 A

V_L = I·R_2L = 3 · 4 = 12 V

קיבלנו אותו מתח על העומס, 12 V, ולכן גם אותו זרם בעומס.

E_Th = 18 V , R_Th = 3 Ω , I_L = 2 A

היתרון של המעגל השקול:

בדוגמה הקודמת גם הפתרון הישיר היה קצר. היתרון מתגלה כאשר משנים את העומס: E_Th ו-R_Th אינם תלויים בעומס, ולכן נחשב אותם פעם אחת בלבד, ולכל עומס חדש מספיק חישוב קצר אחד. הטבלה הבאה מציגה את זרם העומס ואת המתח עליו במעגל של הדוגמה הקודמת (E_Th = 18 V, R_Th = 3 Ω) לכמה עומסים:

התנגדות העומס R_L [Ω]	זרם העומס I_L = E_ThR_Th + R_L [A]	המתח על העומס V_L = I_L·R_L [V]
0 (קצר בין ההדקים)	6	0
1	4.5	4.5
3	3	9
6	2	12
15	1	15
ההדקים פתוחים (בלי עומס)	0	18

ככל שהתנגדות העומס גדלה, הזרם קטן והמתח על העומס עולה ומתקרב אל E_Th.
בלי עומס לא עובר זרם, והמתח בין ההדקים הוא בדיוק E_Th. כך מודדים את E_Th במעבדה: במד-מתח בין ההדקים הפתוחים.
המעגל השקול של תבנין דומה למקור מעשי: E_Th הוא הכא"מ ו-R_Th היא ההתנגדות הפנימית. המתח על העומס קטן מ-E_Th בשיעור מפל המתח על R_Th: V_L = E_Th − I_L·R_Th.

שאלה 9.3:

במעגל שבסרטוט נמצא:
א. את מתח תבנין E_Th בין ההדקים A ו-B.
ב. את התנגדות תבנין R_Th.
ג. את זרם העומס ואת המתח עליו.
ד. את זרם העומס אם נחליף את העומס בנגד של 16 Ω.

דוגמה 9.6

במעגל שבסרטוט שלושה נגדים ועומס R_L. נמצא את המעגל השקול של תבנין בין ההדקים A ו-B, ונחשב את זרם העומס ואת המתח עליו.

פתרון:

ננתק את העומס ונסרטט את המעגל פעמיים: פעם עם המקור, לחישוב E_Th, ופעם אחרי איפוסו, לחישוב R_Th.

ההדקים פתוחים: לא עובר זרם ב-R₃

המקור מאופס: R₃ בטור עם R₁ ו-R₂ המחוברים במקביל

מתח תבנין. ההדקים פתוחים, ולכן לא עובר זרם ב-R₃ ולא נופל עליו מתח. המתח בין A ל-B שווה למתח על R₂:

E_Th = E·R₂R₁ + R₂ = 30·36 + 3 = 10 V

התנגדות תבנין. אחרי החלפת המקור בתיל, R₁ ו-R₂ במקביל, ו-R₃ בטור אליהם:

R_Th = R₃ + R₁·R₂R₁ + R₂

R_Th = 4 + 6 · 36 + 3 = 4 + 2 = 6 Ω

העומס. נחבר את העומס אל המעגל השקול של תבנין:

I_L = E_ThR_Th + R_L = 106 + 4 = 1 A

V_L = I_L·R_L = 1 · 4 = 4 V

E_Th = 10 V , R_Th = 6 Ω , I_L = 1 A

שימו לב: נגד שמחובר בטור לאחד ההדקים (כמו R₃ בדוגמה) אינו משפיע על E_Th, אבל הוא נכנס לחישוב R_Th. ונזכור: את המקורות מאפסים רק בחישוב R_Th. בחישוב E_Th המקורות נשארים במקומם.

דוגמה 9.7

במעגל שבסרטוט שני מקורות ושלושה נגדים. נמצא בעזרת משפט תבנין את הזרם בנגד R₃ ואת המתח עליו, ואחר כך נבדוק את התוצאה בשיטת זרמי החוגים.

פתרון:

שלב 1. העומס הוא R₃. ננתק אותו מן המעגל, וההדקים A ו-B נשארים פתוחים.

בלי R₃ נשאר חוג אחד, ומסתובב בו זרם I

שני המקורות מאופסים: R₁ ו-R₂ במקביל בין A ל-B

שלב 2, מתח תבנין. אחרי ניתוק R₃ נשאר חוג אחד, ובו שני המקורות והנגדים R₁ ו-R₂ בטור. שני המקורות דוחפים בכיוונים מנוגדים, ו-E₁ גדול יותר, ולכן הזרם מסתובב עם כיוון השעון:

I = E₁ − E₂R₁ + R₂ = 30 − 123 + 6 = 2 A

נחשב את המתח בין A ל-B דרך הענף השמאלי: מתח המקור E₁ פחות מפל המתח על R₁:

E_Th = V_AB = E₁ − I·R₁ = 30 − 2 · 3 = 24 V

בדיקה דרך הענף הימני, שבו הזרם נכנס אל E₂ דרך ההדק החיובי שלו: V_AB = E₂ + I·R₂ = 12 + 2 · 6 = 24 V.

שלב 3, התנגדות תבנין. נחליף כל מקור בתיל. מן ההדק A אל ההדק B יש שתי דרכים: דרך R₁ או דרך R₂. שני הנגדים במקביל:

R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂ = 3 · 63 + 6 = 2 Ω

שלבים 4 ו-5. נחבר מחדש את R₃ אל המעגל השקול של תבנין ונחשב:

I_R3 = E_ThR_Th + R₃ = 242 + 6 = 3 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 3 · 6 = 18 V

בדיקה בשיטת זרמי החוגים. נחזור אל המעגל המקורי ונכתוב את שתי המשוואות בצורה הסטנדרטית: R₁₁ = 9 Ω, R₂₂ = 12 Ω, R₁₂ = 6 Ω, E₁₁ = 30 V, E₂₂ = −12 V.

9·I₁ − 6·I₂ = 30 (1)

−6·I₁ + 12·I₂ = −12 (2)

D = 9 · 12 − 6² = 72

I₁ = 30 · 12 + (−12) · 672 = 4 A

I₂ = (−12) · 9 + 30 · 672 = 1 A

I_R3 = I₁ − I₂ = 4 − 1 = 3 A

שתי השיטות נותנות אותו זרם ב-R₃: 3 A. שיטת זרמי החוגים נתנה לנו גם את הזרמים בשני הענפים האחרים. משפט תבנין נתן לנו רק את מה שביקשנו, אבל בחישובים פשוטים יותר, ובלי לפתור שתי משוואות.

E_Th = 24 V , R_Th = 2 Ω , I_R3 = 3 A

שאלה 9.4:

במעגל שבסרטוט העומס הוא R₃. נמצא:
א. את הזרם שמסתובב בחוג אחרי ניתוק R₃.
ב. את E_Th ואת R_Th בין A ל-B.
ג. את הזרם ב-R₃ ואת המתח עליו.

דוגמה 9.8

המעגל שבסרטוט נקרא מעגל גשר: שני ענפים מחוברים אל המקור, בכל ענף שני נגדים, והנגד R₅ "מגשר" בין שתי נקודות האמצע A ו-B. נמצא את הזרם ב-R₅ ואת המתח עליו.

פתרון:

אי אפשר לפתור את המעגל הזה בחיבור נגדים בטור ובמקביל, כי R₅ אינו מחובר לא בטור ולא במקביל לשום נגד אחר. בשיטת זרמי החוגים נצטרך שלוש משוואות. במשפט תבנין הפתרון קצר.

שלב 1. העומס הוא R₅. ננתק אותו, וההדקים A ו-B נשארים פתוחים.

בלי R₅: כל ענף הוא מחלק מתח עצמאי

המקור מאופס: התיל מחבר את הקו העליון אל הקו התחתון

שלב 2, מתח תבנין. בלי R₅ כל ענף הוא מחלק מתח שמחובר ישירות אל המקור. נחשב את המתח של כל נקודת אמצע ביחס לקו התחתון: המתח של A הוא המתח על R₂, והמתח של B הוא המתח על R₄:

V_A = E·R₂R₁ + R₂ = 24·63 + 6 = 16 V

V_B = E·R₄R₃ + R₄ = 24·412 + 4 = 6 V

E_Th = V_AB = V_A − V_B = 16 − 6 = 10 V

התוצאה חיובית: המתח של A גבוה מן המתח של B, ולכן הזרם ב-R₅ יזרום מ-A אל B.

שלב 3, התנגדות תבנין. נחליף את המקור בתיל. התיל מחבר את הקו העליון אל הקו התחתון, והם נעשים נקודה אחת. עכשיו R₁ ו-R₂ מחוברים בין A ובין הנקודה הזאת, כלומר במקביל, וכך גם R₃ ו-R₄ בין B ובין הנקודה הזאת. נסרטט את המעגל מחדש:

המעגל בין A ל-B אחרי איפוס המקור: שני זוגות במקביל, המחוברים זה לזה בטור

R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂ + R₃·R₄R₃ + R₄

R_Th = 3 · 63 + 6 + 12 · 412 + 4 = 2 + 3 = 5 Ω

שלבים 4 ו-5. נחבר את R₅ אל המעגל השקול של תבנין:

I_R5 = E_ThR_Th + R₅ = 105 + 5 = 1 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 1 · 5 = 5 V

בדיקה. במעגל המקורי, עם R₅, המתח של הנקודה B ביחס לקו התחתון הוא 9 V, והמתח של הנקודה A גבוה ממנו ב-V_R5, כלומר 14 V. נוודא זאת בחוק הזרמים של קירכהוף בצומת B. הזרם שנכנס אליו דרך R₃ והזרם שיוצא ממנו דרך R₄:

I_R3 = E − V_BR₃ = 24 − 912 = 1.25 A

I_R4 = V_BR₄ = 94 = 2.25 A

I_R3 + I_R5 = 1.25 + 1 = 2.25 A

סכום שני הזרמים שנכנסים אל B שווה לזרם שיוצא ממנו. הפתרון נכון.

E_Th = 10 V , R_Th = 5 Ω , I_R5 = 1 A

הערה: אם V_A = V_B כאשר ההדקים פתוחים, אז E_Th = 0 ולא עובר זרם ב-R₅, יהיה ערכו אשר יהיה. במקרה כזה אומרים שהגשר מאוזן. זה קורה כאשר R₁R₂ = R₃R₄.

שאלה 9.5:

במעגל הגשר שבסרטוט נמצא בעזרת משפט תבנין:
א. את E_Th בין A ל-B אחרי ניתוק R₅.
ב. את R_Th.
ג. את הזרם ב-R₅ ואת כיוונו.

▶ניסוי חי — משפט תבנין — צעד אחר צעדנשנה את המקורות ואת הנגדים, ננתק את העומס, ונעקוב אחרי חישוב E_Th ו-R_Th ואחרי סרטוט המעגל השקול.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_thevenin_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_thevenin_pro

מתי נבחר בכל שיטה:

	זרמי חוגים	משפט תבנין
מה מקבלים?	את הזרם בכל ענפי המעגל	את הזרם ואת המתח ברכיב אחד, העומס
מה עושים?	משוואה לכל חוג בלתי תלוי, ופתרון המשוואות יחד	שני חישובים קצרים: E_Th ו-R_Th, ואחריהם מעגל של חוג אחד
כשמשנים את העומס	פותרים את המשוואות מחדש	מציבים רק את R_L החדש
מתי נעדיף אותה?	כשצריך את כל הזרמים, או את מאזן ההספקים	כשמעניין אותנו רכיב אחד, ובייחוד אם הוא משתנה

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
זרם הענף המשותף לשני חוגים	I_R3 = I₁ − I₂
הצורה הסטנדרטית, חוג 1	R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁
הצורה הסטנדרטית, חוג 2	−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂
הפתרון המוכן למשוואות שני החוגים	I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂R₁₁·R₂₂ − R₁₂²
מתח תבנין: המתח בין ההדקים הפתוחים	E_Th = V_AB
מתח תבנין של מחלק מתח	E_Th = E·R₂R₁ + R₂
התנגדות תבנין של מחלק מתח (המקור מאופס)	R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂
זרם העומס	I_L = E_ThR_Th + R_L
המתח על העומס	V_L = I_L·R_L = E_Th − I_L·R_Th

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
צומת	Node	عُقدة
ענף	Branch	فرع
חוג	Loop / mesh	حلقة
חוג בלתי תלוי	Independent loop	حلقة مستقلة
שיטת זרמי החוגים	Mesh current method	طريقة تيارات الحلقات
זרם חוג	Mesh current	تيار الحلقة
ענף משותף	Shared branch	فرع مشترك
התנגדות עצמית	Self resistance	المقاومة الذاتية
התנגדות משותפת	Mutual resistance	المقاومة المشتركة
הצורה הסטנדרטית	Standard form	الصيغة القياسية
דטרמיננטה	Determinant	المحدِّد
שיטת ההצבה	Substitution	طريقة التعويض
שיטת השוואת המקדמים	Elimination	طريقة الحذف
מאזן הספקים	Power balance	ميزان القدرة
משפט תבנין	Thevenin's theorem	نظرية ثيفنين
מקור המתח השקול	Thevenin voltage source	مصدر الجهد المكافئ
ההתנגדות השקולה	Thevenin resistance	المقاومة المكافئة (مقاومة ثيفنين)
המעגל השקול	Equivalent circuit	الدائرة المكافئة
עומס	Load	الحِمل
הדקים	Terminals	الطرفان
מתח הריקם	Open-circuit voltage	جهد الدائرة المفتوحة
איפוס מקור מתח	Zeroing a voltage source	إلغاء مصدر جهد
מעגל גשר	Bridge circuit	دائرة جسر

שאלות לתרגול:

נפתור כל זוג משוואות, פעם בשיטת ההצבה ופעם בשיטת השוואת המקדמים:
א. 3·I₁ + 2·I₂ = 16 ו-5·I₁ − 4·I₂ = 12.
ב. 7·I₁ − 3·I₂ = 5 ו-−3·I₁ + 5·I₂ = 9.

תשובות: א. I₁ = 4 A, I₂ = 2 A. ב. I₁ = 2 A, I₂ = 3 A

במעגל שבסרטוט:
א. נכתוב את משוואות שני החוגים.
ב. נמצא את זרמי החוגים.
ג. נמצא את הזרם ב-R₃ ואת המתח V_AB.
ד. מה פירוש הסימן השלילי של הזרם I₂?

תשובות: 7·I₁ − 2·I₂ = 30, −2·I₁ + 12·I₂ = −20 · I₁ = 4 A, I₂ = −1 A, I_R3 = 5 A, V_AB = 10 V. ד. הכיוון האמיתי של הזרם בחוג הימני הפוך לכיוון השעון

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה. נכתוב את שתי המשוואות בצורה הסטנדרטית ונמצא את זרמי החוגים, את הזרם ב-R₃ ואת המתח V_AB.

תשובות: 9·I₁ − 6·I₂ = 24, −6·I₁ + 18·I₂ = 12 · I₁ = 4 A, I₂ = 2 A, I_R3 = 2 A, V_AB = 12 V

במעגל שבסרטוט:
א. נמצא את זרמי החוגים.
ב. נחשב את ההספק המתפזר בכל נגד.
ג. איזה מקור מספק הספק ואיזה מקור צורך הספק? נוודא את מאזן ההספקים.

תשובות: א. I₁ = 2 A, I₂ = 1 A. ב. P₁ = 12 W, P₂ = 2 W, P₃ = 10 W. ג. E₁ מספק 32 W, ו-E₂ צורך 8 W

במעגל שבסרטוט שלושה חוגים.
א. נכתוב את שלוש המשוואות בצורה הסטנדרטית.
ב. נמצא את זרמי החוגים.
ג. נמצא את הזרם ב-R₄ וב-R₅.
ד. נוודא את מאזן ההספקים.

תשובות: ב. I₁ = 4 A, I₂ = 2 A, I₃ = −1 A. ג. I_R4 = 2 A, I_R5 = 3 A. ד. 74 W

במעגל שבסרטוט העומס הוא R_L.
א. נמצא את E_Th בין ההדקים A ו-B.
ב. נמצא את R_Th.
ג. נסרטט את המעגל השקול של תבנין.
ד. נחשב את זרם העומס ואת המתח עליו.

תשובות: א. E_Th = 9 V. ב. R_Th = 1.5 Ω. ד. I_L = 2 A, V_L = 6 V

במעגל שבסרטוט:
א. נמצא את E_Th ואת R_Th בין ההדקים A ו-B.
ב. נחשב את זרם העומס ואת המתח עליו.
ג. נחשב את זרם העומס אם נחליף את העומס בנגד של 4 Ω, ואחר כך בנגד של 16 Ω.

תשובות: א. E_Th = 24 V, R_Th = 8 Ω. ב. I_L = 1.5 A, V_L = 12 V. ג. 2 A, 1 A

במעגל שבסרטוט העומס הוא R₃. נמצא בעזרת משפט תבנין:
א. את הזרם בחוג אחרי ניתוק R₃.
ב. את E_Th ואת R_Th.
ג. את הזרם ב-R₃ ואת המתח עליו.

תשובות: א. I = 0.75 A. ב. E_Th = 21 V, R_Th = 3 Ω. ג. I_R3 = 1.5 A, V_R3 = 16.5 V

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה, והעומס הוא R₃. אחרי ניתוק R₃ שני המקורות דוחפים את הזרם באותו כיוון סיבוב. נמצא:
א. את הזרם בחוג אחרי ניתוק R₃.
ב. את E_Th ואת R_Th.
ג. את הזרם ב-R₃ ואת המתח עליו.

תשובות: א. I = 21 + 63 + 6 = 3 A. ב. E_Th = 12 V, R_Th = 2 Ω. ג. I_R3 = 2 A, V_R3 = 8 V

10.

במעגל הגשר שבסרטוט:
א. נמצא את המתח של כל אחת מן הנקודות A ו-B אחרי ניתוק R₅.
ב. נמצא את E_Th ואת R_Th.
ג. נמצא את גודל הזרם ב-R₅.
ד. מהו כיוון הזרם הזה?

תשובות: א. V_A = 12 V, V_B = 24 V. ב. E_Th = 12 V (המתח של B הוא הגבוה), R_Th = 4 Ω. ג. I_R5 = 1.2 A. ד. מ-B אל A

11.

נפתור את המעגל שבסרטוט בשתי השיטות:
א. בשיטת זרמי החוגים נמצא את I₁, את I₂ ואת הזרם ב-R₃.
ב. במשפט תבנין נמצא את E_Th, את R_Th ואת הזרם ב-R₃.
ג. נשווה את שתי התוצאות.

תשובות: א. I₁ = 5 A, I₂ = 1 A, I_R3 = 4 A. ב. E_Th = 32 V, R_Th = 3 Ω, I_R3 = 4 A. ג. אותו זרם

12.

מדדנו את המתח בין שני ההדקים של מעגל לא ידוע כאשר ההדקים היו פתוחים, ומצאנו 12 V. חיברנו בין ההדקים עומס שהתנגדותו 10 Ω, והמתח ירד ל-10 V.
א. מהו E_Th של המעגל?
ב. מהו זרם העומס?
ג. מהי R_Th?
ד. מהו זרם העומס אם נחבר עומס שהתנגדותו 4 Ω?

תשובות: א. E_Th = 12 V. ב. I_L = 1 A. ג. R_Th = 12 − 101 = 2 Ω. ד. I_L = 2 A

13.

המעגל השקול של תבנין למעגל מסוים הוא E_Th = 20 V ו-R_Th = 5 Ω. נחשב את זרם העומס ואת המתח עליו לכל אחד מן העומסים:
א. R_L = 5 Ω.
ב. R_L = 15 Ω.
ג. R_L = 35 Ω.
ד. מה קורה למתח על העומס ככל שהתנגדותו גדלה?

תשובות: א. 2 A, 10 V. ב. 1 A, 15 V. ג. 0.5 A, 17.5 V. ד. עולה ומתקרב אל E_Th

תשובות סופיות לשאלות הפרק

9.1 16·I₁ − 12·I₂ = 20, −12·I₁ + 14·I₂ = −10 · I₁ = 2 A, I₂ = 1 A, I_R3 = 1 A

9.2 5·I₁ − 3·I₂ = 12, −3·I₁ + 15·I₂ = 6 · I₁ = 3 A, I₂ = 1 A, I_R3 = 2 A

9.3 א. E_Th = 16 V. ב. R_Th = 4 Ω. ג. I_L = 1.6 A, V_L = 9.6 V. ד. I_L = 0.8 A

9.4 א. I = 1 A. ב. E_Th = 16 V, R_Th = 2 Ω. ג. I_R3 = 1 A, V_R3 = 14 V

9.5 א. E_Th = 18 − 6 = 12 V. ב. R_Th = 2.4 + 1.6 = 4 Ω. ג. I_R5 = 2 A, מ-A אל B

שאלות בגרות לפרק 9

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, במקצוע אלקטרוניקה ומחשבים. מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 1 — מעגל גשר עם שני מקורות ומפסק

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם דרך R₁ (המפסק פתוח)	I(R₁) ≈ 0.167 A (≈ 1/6 A)
סעיף ב1	המתח על R₂	U(R₂) ≈ 3.33 V
סעיף ב2	המתח בין A ל-B	U_AB ≈ 6.67 V
סעיף ג	הזרם דרך R₃ (המפסק סגור)	I(R₃) ≈ 0.182 A
סעיף ד	ההספק שמספק E₂ (המפסק סגור)	P(E₂) ≈ 2.27 W

הפתרון המלא של בחינת 2026: fahed-lab.com/exams

בגרות 2025 שאלה 1 — מעגל עם שלושה מקורות ומפסק

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם דרך R₁ (המפסק פתוח)	I(R₁) = 0.05 A = 50 mA
סעיף ב	ההספק ב-R₂ (המפסק פתוח)	P(R₂) = 0.5 W
סעיף ג	הזרם דרך R₃ (המפסק סגור)	I(R₃) ≈ 0.0643 A ≈ 64.3 mA
סעיף ד	ההספק ב-R₂ (המפסק סגור)	P(R₂) ≈ 0.163 W = 163 mW

הפתרון המלא של בחינת 2025: fahed-lab.com/exams

בגרות 2024 שאלה 2 — שני מקורות, מד-זרם ומפסק

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	ערך הנגד R₂ (המפסק פתוח)	R₂ = 600 Ω
סעיף ב	המתח בין A ל-B (המפסק פתוח)	U_AB = 20 V
סעיף ג	קריאת מד-הזרם (המפסק סגור, R₃ = 350 Ω)	בפתרון המלא
סעיף ד	המתח בין A ל-B (המפסק סגור)	U_AB = 14 V

הפתרון המלא של בחינת 2024: fahed-lab.com/exams

בגרות 2020 שאלה 1 — מעגל עם שני מקורות ושני מדי-זרם

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח בין A ל-B	U_AB = 3 V
סעיף ב	ההתנגדות R₂	R₂ = 3 Ω
סעיף ג	ההתנגדות R₃	R₃ = 7 Ω

הפתרון המלא של בחינת 2020: fahed-lab.com/exams

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 14 — נוסחאון הספר.