الفصل 13

حل الدوائر في التيار المتناوب

פתרון מעגלים בזרם חילופין

الصف العاشر · 10 ساعات تعليمية

في الفصل السابق تعرفنا على الإشارة الجيبية وعلى المقادير التي تصفها. الآن نوصل مصدر جهد متناوب بدوائر فيها مقاومات، ملفات ومكثفات. نبدأ بكل عنصر على انفراد، نُعرّف الممانعة، ونتعلم رسم المخطط الطوري. بعد ذلك نحل دوائر التوالي من الأنواع RL ، RC و RLC : نحسب الممانعة، التيار، الجهود على العناصر وزاوية الطور، بمساعدة مثلث قائم الزاوية ونظرية فيثاغورس.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

الملف والمكثف يعارضان التيار المتناوب بمفاعلة تتعلق بالتردد: X_L = 2πfL و X_C = 12πfC.
في المقاومة الجهد والتيار متوافقان في الطور، في الملف يتأخر التيار عن الجهد 90° ، وفي المكثف يتقدم عليه 90°.
الممانعة Z هي النسبة بين الجهد والتيار، وقانون أوم الموسّع هو V = I · Z.
نرسم المخطط الطوري لدائرة على التوالي، ونجمع الجهود جمع متجهات وليس جمع أعداد.
نحسب في دوائر RL ، RC و RLC على التوالي: الممانعة Z ، التيار، الجهد على كل عنصر وزاوية الطور φ.
نحدد طبيعة الدائرة: حثية، سعوية أو مقاوِمة.

העכבה: עכבת נגד, משרן וקבל. דיאגרמת מחוגים – الممانعة: ممانعة المقاومة، الملف والمكثف. المخطط الطوري (Impedance and Phasor Diagrams)

في دائرة التيار المستمر، العنصر الوحيد الذي يحدّ من التيار هو المقاومة. في التيار المتناوب يتغير الجهد والتيار باستمرار، ولذلك يؤثر في الدائرة أيضا الملف والمكثف. نفحص كل عنصر عندما نوصله بمصدر جهد جيبي، ونسأل سؤالين: كم يحدّ العنصر من التيار؟ وما هو فرق الطور بين الجهد عليه والتيار المار فيه؟

اتفاق: في هذا الفصل جميع الجهود والتيارات معطاة بالقيم الفعالة، كما تعرضها أجهزة القياس. فرق الطور بين الجهد والتيار هو φ = φ_v − φ_i : إذا كان موجبا فالجهد يتقدم على التيار (التيار يتأخر)، وإذا كان سالبا فالتيار يتقدم على الجهد.

المتجه الطوري والمخطط الطوري – מחוג (פאזור) ודיאגרמת מחוגים:

رسم الموجات الجيبية يحتاج إلى وقت، ومن الصعب أن نجمع موجتين على الرسم. لذلك نمثل كل إشارة جيبية بسهم واحد:

المتجه الطوري (מחוג / פאזור): هو سهم يمثل إشارة جيبية: طوله يساوي مقدار الإشارة، وزاويته مع المحور الأفقي تساوي زاوية الطور للإشارة. الرسم الذي يجمع المتجهات الطورية لجهود وتيارات الدائرة يسمى المخطط الطوري (דיאגרמת מחוגים).

سهم طوله V_m يدور بالتردد الزاوي ω عكس اتجاه عقارب الساعة: ارتفاع رأسه في كل لحظة هو القيمة اللحظية v

جميع الجهود والتيارات في الدائرة لها نفس التردد، ولذلك تدور أسهمها معا بنفس السرعة، والزوايا بينها لا تتغير. يكفينا إذن أن نرسم الأسهم في لحظة واحدة. قواعد الرسم:

طول كل سهم هو القيمة الفعالة للإشارة، حسب مقياس رسم نختاره، مثلا 1 cm لكل 10 V.
نختار إشارة واحدة مرجعا (מחוג ייחוס) ونرسمها على المحور الأفقي، بزاوية 0°.
الزوايا الموجبة تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. السهم الذي يسبق غيره في هذا الاتجاه يمثل الإشارة المتقدمة.
جمع إشارتين جيبيتين لهما نفس التردد هو جمع متجهات: نرسم متوازي الأضلاع، وقطره هو المجموع.

مثال 13.1

معطى v(t) = 141.42·sin(314t + 30°) V و i(t) = 2.83·sin(314t − 15°) A. نرسم المخطط الطوري، ونحدد فرق الطور.

الحل:

طول كل سهم هو القيمة الفعالة:

V = V_m2 = 141.422 = 100 V

I = I_m2 = 2.832 = 2 A

نرسم سهم الجهد بزاوية 30° فوق المحور الأفقي، وسهم التيار بزاوية 15° تحته. فرق الطور:

φ = φ_v − φ_i = 30° − (−15°) = 45°

سهم الجهد يسبق سهم التيار عكس اتجاه عقارب الساعة: الجهد يتقدم على التيار بزاوية 45° .

φ = 45°

مثال 13.2

جهدان جيبيان لهما نفس التردد: V₁ = 30 V و V₂ = 40 V ، والجهد V₂ يتقدم على V₁ بزاوية 90°. نحسب مجموعهما.

الحل:

نرسم V₁ على المحور الأفقي و V₂ عموديا عليه. المجموع هو قطر المستطيل، ونحسبه بنظرية فيثاغورس:

V = V₁² + V₂² = 30² + 40² = 50 V

زاوية المجموع بالنسبة للجهد V₁ :

α = tan⁻¹(V₂V₁) = tan⁻¹(4030) = 53.13°

ننتبه: المجموع 50 V وليس 30 + 40 = 70 V . نجمع القيم الفعالة جمعا عاديا فقط إذا كانت الإشارتان متوافقتين في الطور.

V = 50 V

المقاومة في التيار المتناوب – נגד במעגל זרם חילופין:

قانون أوم صحيح في المقاومة في كل لحظة: v = i · R. عندما يكبر الجهد يكبر التيار معه، وعندما ينعكس الجهد ينعكس التيار. لذلك يصل الجهد والتيار إلى الصفر وإلى القمة في نفس اللحظة:

المقاومة: الموجتان تمران بالصفر وبالقمة معا

المخطط الطوري: السهمان في نفس الاتجاه

في المقاومة الجهد والتيار متوافقان في الطور: φ = 0°.
قانون أوم صحيح للقيم الفعالة: V_R = I · R.
قيمة المقاومة لا تتعلق بالتردد.

الملف في التيار المتناوب: المفاعلة الحثية – משרן (סליל) במעגל זרם חילופין: היגב השראותי:

تعلمنا في الفصل 11 أن الملف يعارض كل تغيّر في التيار المار فيه. في التيار المتناوب يتغير التيار طوال الوقت، ولذلك يعارضه الملف طوال الوقت. النتيجة: التيار «يتأخر» في اللحاق بالجهد، ويصل إلى قمته بعد ربع دورة من وصول الجهد إلى قمته.

الملف: قمة التيار تأتي بعد قمة الجهد بربع دورة

المخطط الطوري: سهم التيار متأخر 90°

في الملف يتأخر التيار عن الجهد بزاوية 90° ، أي أن φ = +90°.

المفاعلة الحثية (היגב השראותי): هي المعارضة التي يبديها الملف لمرور التيار المتناوب. نرمز لها X_L وتقاس بالأوم [Ω]. تساوي النسبة بين القيمة الفعالة للجهد على الملف والقيمة الفعالة للتيار المار فيه.

المفاعلة الحثية · היגב השראותי

X_L = ωL = 2πfL

V_L = I · X_L

الرمز	المعنى	وحدة القياس
X_L	المفاعلة الحثية	[Ω]
f	تردد المصدر	[Hz]
L	حث الملف	[H]
ω	التردد الزاوي، ω = 2πf	[rad/s]

المفاعلة الحثية تكبر مع التردد: كلما تغيّر التيار أسرع عارضه الملف أكثر.
في التيار المستمر f = 0 ، ولذلك X_L = 0 : الملف في التيار المستمر، بعد انتهاء الحالة العابرة، يتصرف مثل دائرة قصر.
نفترض أن الملف مثالي، أي أن مقاومة سلكه صفر. الملف الحقيقي نمثله بملف مثالي موصول على التوالي مع مقاومة.

مثال 13.3

ملف مثالي حثه 10 mH موصول بمصدر جهده 12 V وتردده 1 kHz. نحسب:
أ. المفاعلة الحثية.
ب. التيار في الملف.
ج. المفاعلة والتيار إذا ضاعفنا التردد إلى 2 kHz .

الحل:

نحوّل إلى الوحدات الأساسية: L = 10 mH = 0.01 H ، f = 1 kHz = 1000 Hz.

أ. المفاعلة الحثية:

X_L = 2πfL = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω

ب. التيار:

I = V_LX_L = 1262.83 = 0.191 A = 191 mA

ج. عند مضاعفة التردد تتضاعف المفاعلة، ولذلك يصغر التيار إلى النصف:

X_L = 2π · 2000 · 0.01 = 125.66 Ω

I = 12125.66 = 0.0955 A

X_L = 62.83 Ω

المكثف في التيار المتناوب: المفاعلة السعوية – קבל במעגל זרם חילופין: היגב קיבולי:

التيار المستمر لا يمر عبر المكثف، لأن بين لوحيه مادة عازلة. في التيار المتناوب يُشحن المكثف ويُفرَّغ في كل دورة، ولذلك يمر في الموصلات الموصولة به تيار متناوب. يكون التيار في قمته عندما يتغير الجهد بأقصى سرعة، أي عند مروره بالصفر، ويكون صفرا عندما يصل الجهد إلى قمته، لأن المكثف أتم شحنه. النتيجة: التيار يسبق الجهد بربع دورة.

المكثف: قمة التيار تأتي قبل قمة الجهد بربع دورة

المخطط الطوري: سهم التيار متقدم 90°

في المكثف يتقدم التيار على الجهد بزاوية 90° ، أي أن φ = −90°.

المفاعلة السعوية (היגב קיבולי): هي المعارضة التي يبديها المكثف لمرور التيار المتناوب. نرمز لها X_C وتقاس بالأوم [Ω]. تساوي النسبة بين القيمة الفعالة للجهد على المكثف والقيمة الفعالة للتيار المار فيه.

المفاعلة السعوية · היגב קיבולי

X_C = 1ωC = 12πfC

V_C = I · X_C

الرمز	المعنى	وحدة القياس
X_C	المفاعلة السعوية	[Ω]
f	تردد المصدر	[Hz]
C	سعة المكثف	[F]
ω	التردد الزاوي، ω = 2πf	[rad/s]

المفاعلة السعوية تصغر عندما يكبر التردد أو عندما تكبر السعة.
في التيار المستمر f = 0 ، ولذلك تكون X_C لانهائية: المكثف في التيار المستمر، بعد انتهاء الشحن، يتصرف مثل دائرة مفتوحة (قطع).

مثال 13.4

مكثف سعته 100 nF موصول بمصدر جهده 5 V وتردده 1 kHz. نحسب:
أ. المفاعلة السعوية.
ب. التيار في المكثف.

الحل:

نحوّل السعة إلى الوحدة الأساسية: C = 100 nF = 100·10⁻⁹ F.

أ. المفاعلة السعوية:

X_C = 12πfC = 12π · 1000 · 100·10⁻⁹ = 1591.55 Ω

ب. التيار:

I = V_CX_C = 51591.55 = 0.00314 A = 3.14 mA

X_C = 1591.55 Ω

المفاعلة كدالة للتردد: X_L ترتفع بخط مستقيم، و X_C تهبط كلما ارتفع التردد

سؤال 13.1: أ. ما هي المفاعلة الحثية لملف حثه 50 mH عند التردد 50 Hz ؟ وعند التردد 1 kHz ؟
ب. ما هي المفاعلة السعوية لمكثف سعته 100 µF عند نفس الترددين؟

تعريف الممانعة – הגדרת העכבה:

المقاومة، المفاعلة الحثية والمفاعلة السعوية تقاس كلها بالأوم، وكلها تجيب عن نفس السؤال: كم فولت نحتاج لكل أمبير؟ نجمعها تحت اسم واحد:

الممانعة (المعاوقة) (עכבה): هي المعارضة الكلية التي تبديها دائرة أو عنصر لمرور التيار المتناوب. نرمز لها Z ونقيسها بالأوم [Ω]. تساوي النسبة بين القيمة الفعالة للجهد والقيمة الفعالة للتيار.

الممانعة وقانون أوم الموسّع · עכבה · חוק אוהם מורחב

Z = VI

V = I · Z

I = VZ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z	الممانعة	[Ω]
V	القيمة الفعالة للجهد	[V]
I	القيمة الفعالة للتيار	[A]

الممانعة لا تكفي وحدها لوصف العنصر: يجب أن نعرف أيضا فرق الطور بين الجهد والتيار. الجدول يلخص العناصر الثلاثة:

	المقاومة R	الملف L	المكثف C
الممانعة	Z_R = R	Z_L = X_L = 2πfL	Z_C = X_C = 12πfC
العلاقة بين الجهد والتيار	V_R = I · R	V_L = I · X_L	V_C = I · X_C
عندما يرتفع التردد	لا تتغير	تكبر	تصغر
في التيار المستمر	R	دائرة قصر	دائرة مفتوحة
التيار بالنسبة للجهد	متوافق في الطور	يتأخر 90°	يتقدم 90°
فرق الطور φ	0°	+90°	−90°

مثال 13.5

نوصل حملا بمصدر جهده 24 V وتردده 50 Hz ، فيمر فيه تيار شدته 60 mA.
أ. نحسب ممانعة الحمل.
ب. إذا كان الحمل ملفا مثاليا، ما هو حثه؟

الحل:

أ. الممانعة هي النسبة بين الجهد والتيار:

Z = VI = 2460·10⁻³ = 400 Ω

ب. في الملف المثالي الممانعة هي المفاعلة الحثية، Z = X_L = 2πfL ، ومنها:

L = X_L2πf = 4002π · 50 = 1.27 H

Z = 400 Ω

سؤال 13.2: يمر في مكثف موصول بمصدر جهده 9 V وتردده 400 Hz تيار شدته 45 mA. ما هي ممانعة المكثف؟ وما هي سعته؟

מעגל RL טורי – دائرة RL على التوالي (Series RL Circuit)

دائرة RL على التوالي: نفس التيار I يمر في المقاومة وفي الملف

في دائرة التوالي يمر نفس التيار في جميع العناصر، ولذلك نختار التيار مرجعا ونرسمه على المحور الأفقي. نبني المخطط الطوري خطوة خطوة:

نرسم سهم التيار I على المحور الأفقي.
الجهد على المقاومة V_R = I · R متوافق في الطور مع التيار، فنرسمه في اتجاه التيار.
الجهد على الملف V_L = I · X_L يتقدم على التيار 90° ، فنرسمه إلى الأعلى.
جهد المصدر V هو مجموع السهمين V_R و V_L ، أي قطر المستطيل.

المخطط الطوري لدائرة RL على التوالي

السهمان V_R و V_L متعامدان، ولذلك تكوّن الجهود الثلاثة مثلثا قائم الزاوية، هو مثلث الجهود (משולש המתחים)، وجهد المصدر هو وتره: V = V_R² + V_L². إذا قسمنا كل ضلع على التيار I حصلنا على مثلث مشابه، أضلاعه R ، X_L و Z ، هو مثلث الممانعات (משולש העכבות). الزاوية φ في المثلثين هي فرق الطور بين جهد المصدر والتيار.

مثلث الجهود

مثلث الممانعات

دائرة RL على التوالي · מעגל RL טורי

Z = R² + X_L²

I = VZ

V = V_R² + V_L²

φ = tan⁻¹(X_LR) = tan⁻¹(V_LV_R)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z	ممانعة الدائرة	[Ω]
V_R	الجهد على المقاومة V_R = I · R ، متوافق في الطور مع التيار	[V]
V_L	الجهد على الملف V_L = I · X_L ، يتقدم على التيار 90°	[V]
φ	فرق الطور: جهد المصدر يتقدم على التيار، 0° < φ < 90°	[°]

طريقة الحل في دوائر التوالي:

نحسب المفاعلة من الحث (أو السعة) ومن التردد.
نحسب ممانعة الدائرة Z حسب مثلث الممانعات.
نحسب التيار بقانون أوم الموسّع: I = VZ.
نحسب الجهد على كل عنصر: نضرب التيار في مقاومة العنصر أو في مفاعلته.
نحسب زاوية الطور φ ونحدد من يتقدم: الجهد أم التيار.
نفحص النتيجة بمثلث الجهود، ونرسم المخطط الطوري.

مثال 13.6

في دائرة RL على التوالي: R = 40 Ω ، L = 95.5 mH ، وجهد المصدر V = 100 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. زاوية الطور، ونرسم المخطط الطوري ومثلث الممانعات.

الحل:

أ. نحسب المفاعلة الحثية، ثم الممانعة:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.0955 = 30 Ω

Z = R² + X_L² = 40² + 30² = 50 Ω

ب. التيار:

I = VZ = 10050 = 2 A

ج. الجهود:

V_R = I · R = 2 · 40 = 80 V

V_L = I · X_L = 2 · 30 = 60 V

نفحص بمثلث الجهود:

V = V_R² + V_L² = 80² + 60² = 100 V

حصلنا على جهد المصدر. ننتبه: V_R + V_L = 80 + 60 = 140 V ، وهذا ليس جهد المصدر، لأن الجهدين غير متوافقين في الطور.

د. زاوية الطور:

φ = tan⁻¹(X_LR) = tan⁻¹(3040) = 36.87°

المخطط الطوري: V يتقدم على I بزاوية φ = 36.87°

مثلث الممانعات

الدائرة حثية: جهد المصدر يتقدم على التيار بزاوية 36.87° ، أي أن التيار يتأخر.

Z = 50 Ω

الموجتان. المخطط الطوري يصف موجتين حقيقيتين. إذا بدأنا قياس الزمن من مرور التيار بالصفر، فإن التيار والجهد في المثال السابق هما:

i(t) = 2 · 2 · sin(314t) = 2.83·sin(314t) A

v(t) = 2 · 100 · sin(314t + 36.87°) = 141.42·sin(314t + 36.87°) V

دائرة RL : قمة جهد المصدر v تأتي قبل قمة التيار i بزاوية φ

سؤال 13.3: في الدائرة المرسومة: R = 60 Ω ، X_L = 80 Ω وجهد المصدر 200 V. ما هي الممانعة؟ ما هو التيار؟ ما هو الجهد على كل عنصر؟ وما هي زاوية الطور؟

قاعدة مُجزِّء الجهد وقانون أوم الموسّع – כלל מחלק המתח (חוק אוהם מורחב):

في دائرة المقاومات على التوالي حسبنا الجهد على كل مقاومة بقاعدة مُجزِّء الجهد. القاعدة صحيحة في التيار المتناوب أيضا، إذا وضعنا الممانعة Z مكان المقاومة الكلية. نعوّض I = VZ في قانوني الجهدين V_R و V_L فنحصل على:

مُجزِّء الجهد في دائرة RL · כלל מחלק המתח

V_R = V · RZ

V_L = V · X_LZ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	جهد المصدر	[V]
Z	ممانعة الدائرة، Z = R² + X_L²	[Ω]

مثال 13.7

في دائرة RL على التوالي: R = 1.5 kΩ ، L = 100 mH ، وجهد المصدر 10 V بتردد 2 kHz. نحسب الجهد على كل عنصر بقاعدة مُجزِّء الجهد.

الحل:

X_L = 2πfL = 2π · 2000 · 0.1 = 1256.64 Ω

Z = R² + X_L² = 1500² + 1256.64² = 1956.82 Ω

V_R = V · RZ = 10 · 15001956.82 = 7.67 V

V_L = V · X_LZ = 10 · 1256.641956.82 = 6.42 V

نفحص: 7.67² + 6.42² = 10 V .

V_L = 6.42 V

الملف الحقيقي – סליל מעשי:

لسلك الملف الحقيقي مقاومة. لذلك نمثل الملف الحقيقي بدائرة RL على التوالي: مقاومة السلك R وحث مثالي L. في التيار المستمر تؤثر المقاومة فقط، وفي التيار المتناوب تؤثر الممانعة كلها. هكذا يمكن قياس الاثنين:

مثال 13.8

نوصل ملفا حقيقيا بمصدر جهد مستمر 12 V ، فيمر فيه تيار شدته 0.5 A. بعد ذلك نوصله بمصدر جهد متناوب 12 V بتردد 50 Hz ، فيمر فيه تيار شدته 0.3 A. نحسب مقاومة الملف وحثه.

الحل:

في التيار المستمر المفاعلة صفر، والتيار تحدده المقاومة فقط:

R = VI = 120.5 = 24 Ω

في التيار المتناوب نحصل من القياس على الممانعة:

Z = VI = 120.3 = 40 Ω

من مثلث الممانعات نحسب المفاعلة، ومنها الحث:

X_L = Z² − R² = 40² − 24² = 32 Ω

L = X_L2πf = 322π · 50 = 0.1019 H = 101.86 mH

L = 101.86 mH

تأثير التردد – השפעת התדר:

المفاعلة الحثية تكبر مع التردد، ولذلك تتغير الدائرة كلها عندما نغيّر تردد المصدر. نحسب للدائرة التي حللناها (R = 40 Ω ، L = 95.5 mH ، V = 100 V) عند عدة ترددات:

f	X_L	Z	I	V_R	V_L	φ
25 Hz	15 Ω	42.7 Ω	2.34 A	93.6 V	35.1 V	20.6°
50 Hz	30 Ω	50 Ω	2 A	80 V	60 V	36.9°
100 Hz	60 Ω	72.1 Ω	1.39 A	55.6 V	83.4 V	56.3°
200 Hz	120 Ω	126.5 Ω	0.79 A	31.6 V	94.8 V	71.6°

عندما يرتفع التردد تكبر الممانعة ويصغر التيار.
الجهد على الملف يكبر والجهد على المقاومة يصغر: في الترددات العالية يقع معظم جهد المصدر على الملف.
زاوية الطور تقترب من 90° : الدائرة تتصرف أكثر فأكثر مثل ملف مثالي. في الترددات المنخفضة تقترب الزاوية من 0° ، والدائرة تتصرف مثل مقاومة.

مثال 13.9

في دائرة RL على التوالي نقيس بالفولتمتر: جهد المصدر 10 V والجهد على المقاومة 6 V. الأمبيرمتر يعرض 20 mA. نحسب:
أ. الجهد على الملف.
ب. زاوية الطور.
ج. المقاومة، المفاعلة والممانعة.

الحل:

أ. من مثلث الجهود:

V_L = V² − V_R² = 10² − 6² = 8 V

ب. زاوية الطور:

φ = tan⁻¹(V_LV_R) = tan⁻¹(86) = 53.13°

ج. نقسم كل جهد على التيار:

R = V_RI = 620·10⁻³ = 300 Ω

X_L = V_LI = 820·10⁻³ = 400 Ω

Z = VI = 1020·10⁻³ = 500 Ω

V_L = 8 V

سؤال 13.4: ملف حقيقي مقاومته 100 Ω وحثه 200 mH موصول بمصدر جهده 24 V وتردده 50 Hz. ما هي مفاعلته؟ ما هي ممانعته؟ ما هو التيار؟ وبأي زاوية يتأخر التيار عن الجهد؟

מעגל RC טורי – دائرة RC على التوالي (Series RC Circuit)

دائرة RC على التوالي: نفس التيار I يمر في المقاومة وفي المكثف

نبني المخطط الطوري بنفس الطريقة، والتيار هو المرجع. الفرق الوحيد: الجهد على المكثف V_C = I · X_C يتأخر عن التيار 90° ، ولذلك نرسمه إلى الأسفل. جهد المصدر V هو مجموع السهمين V_R و V_C ، ويقع تحت المحور الأفقي: جهد المصدر يتأخر عن التيار، أي أن التيار يتقدم على جهد المصدر.

المخطط الطوري لدائرة RC

مثلث الجهود

مثلث الممانعات

دائرة RC على التوالي · מעגל RC טורי

Z = R² + X_C²

I = VZ

V = V_R² + V_C²

φ = −tan⁻¹(X_CR) = −tan⁻¹(V_CV_R)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z	ممانعة الدائرة	[Ω]
V_R	الجهد على المقاومة V_R = I · R ، متوافق في الطور مع التيار	[V]
V_C	الجهد على المكثف V_C = I · X_C ، يتأخر عن التيار 90°	[V]
φ	فرق الطور: سالب، التيار يتقدم على جهد المصدر، −90° < φ < 0°	[°]

ملاحظة: إشارة الناقص في زاوية الطور تذكّرنا بأن جهد المصدر يتأخر عن التيار. في الحساب نجد مقدار الزاوية من المثلث، ثم نكتب بالكلمات من يتقدم.

مثال 13.10

في دائرة RC على التوالي: R = 60 Ω ، C = 39.79 µF ، وجهد المصدر V = 200 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. زاوية الطور، ونرسم المخطط الطوري ومثلث الممانعات.

الحل:

أ. نحسب المفاعلة السعوية، ثم الممانعة:

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 39.79·10⁻⁶ = 80 Ω

Z = R² + X_C² = 60² + 80² = 100 Ω

ب. التيار:

I = VZ = 200100 = 2 A

ج. الجهود:

V_R = I · R = 2 · 60 = 120 V

V_C = I · X_C = 2 · 80 = 160 V

نفحص بمثلث الجهود:

V = V_R² + V_C² = 120² + 160² = 200 V

د. زاوية الطور:

φ = −tan⁻¹(X_CR) = −tan⁻¹(8060) = −53.13°

المخطط الطوري: V يتأخر عن I بزاوية 53.13°

مثلث الممانعات: الضلع X_C يتجه إلى الأسفل

الدائرة سعوية: التيار يتقدم على جهد المصدر بزاوية 53.13° .

Z = 100 Ω

الموجتان. إذا بدأنا قياس الزمن من مرور التيار بالصفر، فإن التيار والجهد في المثال السابق هما:

i(t) = 2 · 2 · sin(314t) = 2.83·sin(314t) A

v(t) = 2 · 200 · sin(314t − 53.13°) = 282.84·sin(314t − 53.13°) V

دائرة RC : قمة التيار i تأتي قبل قمة جهد المصدر v بزاوية φ

سؤال 13.5: في الدائرة المرسومة: R = 80 Ω ، X_C = 60 Ω وجهد المصدر 50 V. ما هي الممانعة؟ ما هو التيار؟ ما هو الجهد على كل عنصر؟ وهل التيار يتقدم على جهد المصدر أم يتأخر عنه؟

قاعدة مُجزِّء الجهد في دائرة RC – כלל מחלק המתח במעגל RC:

مُجزِّء الجهد في دائرة RC · כלל מחלק המתח

V_R = V · RZ

V_C = V · X_CZ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	جهد المصدر	[V]
Z	ممانعة الدائرة، Z = R² + X_C²	[Ω]

مثال 13.11

في دائرة RC على التوالي: R = 1 kΩ ، C = 100 nF ، وجهد المصدر 5 V بتردد 1 kHz. نحسب الجهد على كل عنصر بقاعدة مُجزِّء الجهد، ونحسب زاوية الطور.

الحل:

X_C = 12πfC = 12π · 1000 · 100·10⁻⁹ = 1591.55 Ω

Z = R² + X_C² = 1000² + 1591.55² = 1879.64 Ω

V_R = V · RZ = 5 · 10001879.64 = 2.66 V

V_C = V · X_CZ = 5 · 1591.551879.64 = 4.23 V

φ = −tan⁻¹(X_CR) = −tan⁻¹(1591.551000) = −57.86°

نفحص: 2.66² + 4.23² = 5 V . التيار يتقدم على جهد المصدر بزاوية 57.86° .

V_C = 4.23 V

مثال 13.12

مقاومة R = 220 Ω موصولة على التوالي مع مكثف سعته غير معروفة، بمصدر جهده 24 V وتردده 50 Hz. نقيس على المقاومة جهدا مقداره 14.4 V. نحسب:
أ. الجهد على المكثف.
ب. التيار.
ج. سعة المكثف.

الحل:

أ. من مثلث الجهود:

V_C = V² − V_R² = 24² − 14.4² = 19.2 V

ب. التيار مشترك، ونحسبه من المقاومة:

I = V_RR = 14.4220 = 0.06545 A = 65.45 mA

ج. المفاعلة السعوية، ومنها السعة:

X_C = V_CI = 19.20.06545 = 293.33 Ω

C = 12πf·X_C = 12π · 50 · 293.33 = 1.085·10⁻⁵ F = 10.85 µF

C = 10.85 µF

تأثير التردد – השפעת התדר:

المفاعلة السعوية تصغر عندما يرتفع التردد. نحسب للدائرة من المثال قبل السابق (R = 1 kΩ ، C = 100 nF ، V = 5 V) عند عدة ترددات:

f	X_C	Z	I	V_R	V_C	φ
0.2 kHz	7958 Ω	8020 Ω	0.62 mA	0.62 V	4.96 V	−82.8°
1 kHz	1592 Ω	1880 Ω	2.66 mA	2.66 V	4.23 V	−57.9°
5 kHz	318.3 Ω	1049 Ω	4.76 mA	4.76 V	1.52 V	−17.7°
20 kHz	79.6 Ω	1003 Ω	4.98 mA	4.98 V	0.4 V	−4.6°

عندما يرتفع التردد تصغر الممانعة ويكبر التيار.
الجهد على المكثف يصغر والجهد على المقاومة يكبر: في الترددات العالية يقع معظم جهد المصدر على المقاومة، وفي الترددات المنخفضة يقع معظمه على المكثف.
زاوية الطور تقترب من 0° في الترددات العالية، ومن −90° في الترددات المنخفضة.

ملاحظة: دائرة RC ودائرة RL هما إذن مُجزِّئا جهد يتعلقان بالتردد. على هذه الخاصية تعتمد المرشِّحات (מסננים) التي تمرّر ترددات معينة وتُضعف ترددات أخرى، وسنقابلها في دروس الإلكترونيات.

	دائرة RL على التوالي	دائرة RC على التوالي
الممانعة	Z = R² + X_L²	Z = R² + X_C²
اتجاه سهم المفاعلة في المخطط	إلى الأعلى	إلى الأسفل
زاوية الطور φ	موجبة	سالبة
التيار بالنسبة لجهد المصدر	يتأخر	يتقدم
طبيعة الدائرة	حثية	سعوية
عندما يرتفع التردد	Z تكبر، I يصغر	Z تصغر، I يكبر

سؤال 13.6: مقاومة 470 Ω ومكثف 4.7 µF موصولان على التوالي بمصدر جهده 12 V وتردده 50 Hz. ما هي المفاعلة السعوية؟ ما هي الممانعة؟ ما هو التيار؟ وما هو الجهد على كل عنصر؟

מעגל RLC טורי – دائرة RLC على التوالي (Series RLC Circuit)

دائرة RLC على التوالي: نفس التيار I يمر في العناصر الثلاثة

في دائرة RLC على التوالي يمر نفس التيار في العناصر الثلاثة. الجهد على الملف يتقدم على التيار 90° والجهد على المكثف يتأخر عنه 90° ، أي أن السهمين V_L و V_C متعاكسان، ويلغي أحدهما جزءا من الآخر. يبقى في الاتجاه العمودي الفرق V_L − V_C فقط:

المخطط الطوري لدائرة RLC ، في الحالة V_L > V_C

مثلث الجهود: الضلع العمودي هو V_L − V_C

مثلث الممانعات: X = X_L − X_C

دائرة RLC على التوالي · מעגל RLC טורי

Z = R² + (X_L − X_C)²

I = VZ

V = V_R² + (V_L − V_C)²

φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z	ممانعة الدائرة	[Ω]
X	المفاعلة الكلية للدائرة، X = X_L − X_C	[Ω]
V	جهد المصدر. الجهود على العناصر: V_R = I · R ، V_L = I · X_L ، V_C = I · X_C	[V]
φ	فرق الطور بين جهد المصدر والتيار، موجب أو سالب	[°]

قاعدة مُجزِّء الجهد صحيحة هنا أيضا: V_R = V · RZ ، V_L = V · X_LZ ، V_C = V · X_CZ .

طبيعة الدائرة – אופי המעגל: השראותי, קיבולי או התנגדותי:

في دائرة RLC على التوالي «يتنافس» الملف والمكثف، وطبيعة الدائرة (אופי המעגל) يحددها العنصر الذي مفاعلته أكبر:

الشرط	المفاعلة الكلية	زاوية الطور	طبيعة الدائرة	التيار بالنسبة لجهد المصدر
X_L > X_C	X > 0	φ > 0°	حثية (השראותי)	يتأخر
X_L < X_C	X < 0	φ < 0°	سعوية (קיבולי)	يتقدم
X_L = X_C	X = 0	φ = 0°	مقاوِمة (התנגדותי)	متوافق في الطور

مثال 13.13

في دائرة RLC على التوالي: R = 30 Ω ، L = 254.65 mH ، C = 79.58 µF ، وجهد المصدر V = 100 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. زاوية الطور وطبيعة الدائرة، ونرسم المخطط الطوري.

الحل:

أ. نحسب المفاعلتين، ثم الممانعة:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.25465 = 80 Ω

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 79.58·10⁻⁶ = 40 Ω

X = X_L − X_C = 80 − 40 = 40 Ω

Z = R² + X² = 30² + 40² = 50 Ω

ب. التيار:

I = VZ = 10050 = 2 A

ج. الجهود:

V_R = I · R = 2 · 30 = 60 V

V_L = I · X_L = 2 · 80 = 160 V

V_C = I · X_C = 2 · 40 = 80 V

نفحص بمثلث الجهود:

V = V_R² + (V_L − V_C)² = 60² + (160 − 80)² = 100 V

ننتبه إلى أن الجهد على الملف، 160 V ، أكبر من جهد المصدر. هذا ممكن في التيار المتناوب، لأن جهد المكثف يعاكسه ويلغي جزءا منه.

د. زاوية الطور:

φ = tan⁻¹(X_L − X_CR) = tan⁻¹(4030) = 53.13°

المخطط الطوري: V_L و V_C متعاكسان، والخط المتقطع هو الفرق بينهما

مثلث الممانعات: X = X_L − X_C

المفاعلة الكلية موجبة (X_L > X_C) ، ولذلك الدائرة حثية: التيار يتأخر عن جهد المصدر بزاوية 53.13° .

Z = 50 Ω

مثال 13.14

في دائرة RLC على التوالي: R = 30 Ω ، X_L = 20 Ω ، X_C = 60 Ω ، وجهد المصدر 100 V. نحدد طبيعة الدائرة، ونحسب التيار، الجهود على العناصر وزاوية الطور.

الحل:

نقارن المفاعلتين: X_L < X_C ، ولذلك الدائرة سعوية والتيار يتقدم على جهد المصدر.

X = X_L − X_C = 20 − 60 = −40 Ω

Z = R² + X² = 30² + (−40)² = 50 Ω

I = VZ = 10050 = 2 A

V_R = I · R = 2 · 30 = 60 V

V_L = I · X_L = 2 · 20 = 40 V

V_C = I · X_C = 2 · 60 = 120 V

φ = tan⁻¹(XR) = tan⁻¹(−4030) = −53.13°

الزاوية سالبة: التيار يتقدم على جهد المصدر بزاوية 53.13° . في المخطط الطوري السهم V_C أطول من V_L ، وجهد المصدر يقع تحت المحور الأفقي.

I = 2 A

الحالة الخاصة: تساوي المفاعلتين – המקרה המיוחד: היגבים שווים:

إذا كانت X_L = X_C فإن المفاعلتين تلغي إحداهما الأخرى تماما: X = 0 ، والممانعة Z = R هي أصغر قيمة ممكنة، فيكون التيار أكبر ما يمكن. الجهدان V_L و V_C متساويان ومتعاكسان، فيقع جهد المصدر كله على المقاومة، والتيار متوافق في الطور مع جهد المصدر. مثلا، إذا كانت R = 30 Ω و X_L = X_C = 60 Ω وجهد المصدر 100 V ، فإن I = 10030 ≈ 3.33 A و V_L = V_C = 100 · 6030 = 200 V : الجهد على كل من الملف والمكثف أكبر من جهد المصدر. تسمى هذه الحالة الرنين (תהודה)، وهي خارج مادة هذا الكتاب.

▶تجربة حية — مختبر دوائر RLCنغيّر المقاومة، الحث، السعة والتردد، ونرى كيف تتغير الممانعة، التيار، الجهود على العناصر والمخطط الطوري.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

من القياسات إلى المخطط الطوري – מן המדידות אל דיאגרמת המחוגים:

مثال 13.15

في دائرة RLC على التوالي نقيس بالفولتمتر: V_R = 12 V ، V_L = 25 V ، V_C = 9 V. نحسب جهد المصدر وزاوية الطور، ونحدد طبيعة الدائرة.

الحل:

لا نجمع القراءات جمعا عاديا. نطرح الجهدين المتعاكسين، ثم نستعمل مثلث الجهود:

V_L − V_C = 25 − 9 = 16 V

V = V_R² + (V_L − V_C)² = 12² + 16² = 20 V

φ = tan⁻¹(V_L − V_CV_R) = tan⁻¹(1612) = 53.13°

الزاوية موجبة (V_L > V_C) ، ولذلك الدائرة حثية: التيار يتأخر عن جهد المصدر بزاوية 53.13° . مجموع القراءات الثلاث 46 V ، وهو أكبر كثيرا من جهد المصدر.

المخطط الطوري حسب القياسات

V = 20 V

تأثير التردد على طبيعة الدائرة – השפעת התדר על אופי המעגל:

عندما يرتفع التردد تكبر X_L وتصغر X_C. لذلك تكون نفس الدائرة سعوية في الترددات المنخفضة وحثية في الترددات العالية. نحسب لدائرة فيها R = 100 Ω ، L = 50 mH ، C = 1 µF وجهد المصدر 10 V :

f	X_L	X_C	Z	I	φ	طبيعة الدائرة
300 Hz	94.2 Ω	530.5 Ω	447.6 Ω	22.3 mA	−77.1°	سعوية
500 Hz	157.1 Ω	318.3 Ω	189.7 Ω	52.7 mA	−58.2°	سعوية
1000 Hz	314.2 Ω	159.2 Ω	184.5 Ω	54.2 mA	57.2°	حثية
2000 Hz	628.3 Ω	79.6 Ω	557.8 Ω	17.9 mA	79.7°	حثية

سؤال 13.7: في الدائرة المرسومة: R = 8 Ω ، X_L = 12 Ω ، X_C = 6 Ω وجهد المصدر 50 V. ما هي الممانعة؟ ما هي طبيعة الدائرة؟ ما هو التيار؟ ما هو الجهد على كل عنصر؟ وما هي زاوية الطور؟

سؤال 13.8: في دائرة RLC على التوالي نقيس: V_R = 40 V ، V_L = 20 V ، V_C = 50 V. ما هو جهد المصدر؟ ما هي زاوية الطور؟ وما هي طبيعة الدائرة؟

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
المفاعلة الحثية	X_L = 2πfL
المفاعلة السعوية	X_C = 12πfC
الممانعة وقانون أوم الموسّع	Z = VI
الممانعة في دائرة RL	Z = R² + X_L²
الممانعة في دائرة RC	Z = R² + X_C²
الممانعة في دائرة RLC	Z = R² + (X_L − X_C)²
الجهود على العناصر	V_R = I·R , V_L = I·X_L , V_C = I·X_C
مثلث الجهود	V = V_R² + (V_L − V_C)²
زاوية الطور	φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)
مُجزِّء الجهد	V_R = V · RZ

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
المتجه الطوري	מחוג / פאזור	Phasor
المخطط الطوري	דיאגרמת מחוגים	Phasor diagram
المتجه المرجعي	מחוג ייחוס	Reference phasor
المفاعلة الحثية	היגב השראותי	Inductive reactance
المفاعلة السعوية	היגב קיבולי	Capacitive reactance
الممانعة (المعاوقة)	עכבה	Impedance
قانون أوم الموسّع	חוק אוהם מורחב	Extended Ohm's law
قاعدة مُجزِّء الجهد	כלל מחלק המתח	Voltage-divider rule
مثلث الممانعات	משולש העכבות	Impedance triangle
مثلث الجهود	משולש המתחים	Voltage triangle
زاوية الطور	זווית המופע	Phase angle
يتقدم · يتأخر	מקדים · מפגר	Leads · Lags
دائرة على التوالي	מעגל טורי	Series circuit
طبيعة الدائرة	אופי המעגל	Circuit character
حثية · سعوية · مقاوِمة	השראותי · קיבולי · התנגדותי	Inductive · Capacitive · Resistive
الملف الحقيقي	סליל מעשי	Practical coil
الرنين	תהודה	Resonance

أسئلة للتمرين:

ملف مثالي حثه 150 mH. نحسب مفاعلته الحثية:
أ. عند التردد 50 Hz.
ب. عند التردد 400 Hz.
ج. في التيار المستمر.

الإجابات: أ. X_L = 47.12 Ω. ب. X_L = 376.99 Ω. ج. X_L = 0

مكثف سعته 2.2 µF موصول بمصدر جهده 12 V وتردده 100 Hz. نحسب:
أ. المفاعلة السعوية.
ب. التيار.
ج. التيار إذا رفعنا التردد إلى 1 kHz.

الإجابات: أ. X_C = 723.43 Ω. ب. I = 16.59 mA. ج. I = 165.88 mA

معطى v(t) = 170·sin(314t + 20°) V و i(t) = 4.24·sin(314t − 40°) A.
أ. نحسب القيمتين الفعالتين.
ب. نحسب فرق الطور ونحدد من يتقدم.
ج. نحسب ممانعة الحمل.
د. نرسم المخطط الطوري.

الإجابات: أ. V = 120.21 V ، I = 3 A. ب. φ = 60° ، الجهد يتقدم. ج. Z = 40.09 Ω

جهدان جيبيان لهما نفس التردد: V₁ = 9 V و V₂ = 12 V ، وبينهما فرق طور مقداره 90°. ما هو مجموعهما؟

الإجابات: V = 15 V

في دائرة RL على التوالي: R = 120 Ω ، X_L = 160 Ω وجهد المصدر 100 V. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. زاوية الطور.
هـ. نرسم المخطط الطوري.

الإجابات: أ. Z = 200 Ω. ب. I = 0.5 A. ج. V_R = 60 V ، V_L = 80 V. د. φ = 53.13° ، التيار يتأخر

مقاومة 200 Ω وملف مثالي حثه 0.5 H موصولان على التوالي بشبكة الكهرباء (230 V ، 50 Hz). نحسب:
أ. المفاعلة والممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. زاوية الطور.

الإجابات: أ. X_L = 157.08 Ω ، Z = 254.31 Ω. ب. I = 0.9 A. ج. V_R = 180.88 V ، V_L = 142.06 V. د. φ = 38.15°

نوصل ملفا حقيقيا بجهد مستمر 6 V فيمر فيه تيار 150 mA ، ثم بجهد متناوب 6 V بتردد 100 Hz فيمر فيه تيار 100 mA. نحسب مقاومة الملف، مفاعلته وحثه.

الإجابات: R = 40 Ω ، Z = 60 Ω ، X_L = 44.72 Ω ، L = 71.18 mH

في دائرة RC على التوالي: R = 2.2 kΩ ، C = 47 nF ، وجهد المصدر 6 V بتردد 2 kHz. نحسب:
أ. المفاعلة والممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر بقاعدة مُجزِّء الجهد.
د. زاوية الطور.

الإجابات: أ. X_C = 1693.14 Ω ، Z = 2776.1 Ω. ب. I = 2.16 mA. ج. V_R = 4.75 V ، V_C = 3.66 V. د. φ = −37.58° ، التيار يتقدم

مقاومة 330 Ω موصولة على التوالي مع مكثف، بمصدر جهده 15 V وتردده 1 kHz. الجهد على المقاومة 9 V. نحسب:
أ. الجهد على المكثف.
ب. التيار.
ج. المفاعلة السعوية والسعة.

الإجابات: أ. V_C = 12 V. ب. I = 27.27 mA. ج. X_C = 440 Ω ، C = 361.72 nF

10.

في دائرة RC على التوالي R = X_C.
أ. ما هي زاوية الطور؟
ب. ما هو الجهد على كل عنصر إذا كان جهد المصدر 10 V؟

الإجابات: أ. φ = −45°. ب. V_R = V_C = 7.07 V

11.

في دائرة RLC على التوالي: R = 12 Ω ، X_L = 25 Ω ، X_C = 9 Ω وجهد المصدر 60 V. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. زاوية الطور وطبيعة الدائرة.
هـ. نرسم المخطط الطوري.

الإجابات: أ. Z = 20 Ω. ب. I = 3 A. ج. V_R = 36 V ، V_L = 75 V ، V_C = 27 V. د. φ = 53.13° ، حثية

12.

في دائرة RLC على التوالي: R = 50 Ω ، L = 100 mH ، C = 47 µF ، وجهد المصدر 24 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. المفاعلتين.
ب. الممانعة.
ج. التيار.
د. زاوية الطور وطبيعة الدائرة.

الإجابات: أ. X_L = 31.42 Ω ، X_C = 67.73 Ω. ب. Z = 61.79 Ω. ج. I = 388.39 mA. د. φ = −35.99° ، سعوية

13.

في دائرة RLC على التوالي نقيس: V_R = 24 V ، V_L = 10 V ، V_C = 42 V. نحسب جهد المصدر وزاوية الطور، ونحدد طبيعة الدائرة.

الإجابات: V = 40 V ، φ = −53.13° ، سعوية

14.

في دائرة RLC على التوالي: R = 50 Ω ، X_L = 200 Ω ، جهد المصدر 65 V والتيار 0.5 A. معلوم أن الدائرة حثية. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. المفاعلة الكلية.
ج. المفاعلة السعوية.

الإجابات: أ. Z = 130 Ω. ب. X = 120 Ω. ج. X_C = 80 Ω

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

13.1 أ. X_L = 15.71 Ω ، X_L = 314.16 Ω. ب. X_C = 31.83 Ω ، X_C = 1.59 Ω

13.2 Z = X_C = 200 Ω ، C = 1.99 µF

13.3 Z = 100 Ω ، I = 2 A ، V_R = 120 V ، V_L = 160 V ، φ = 53.13°

13.4 X_L = 62.83 Ω ، Z = 118.1 Ω ، I = 203.22 mA ، φ = 32.14°

13.5 Z = 100 Ω ، I = 0.5 A ، V_R = 40 V ، V_C = 30 V ، التيار يتقدم بزاوية 36.87°

13.6 X_C = 677.26 Ω ، Z = 824.36 Ω ، I = 14.56 mA ، V_R = 6.84 V ، V_C = 9.86 V

13.7 Z = 10 Ω ، حثية ، I = 5 A ، V_R = 40 V ، V_L = 60 V ، V_C = 30 V ، φ = 36.87°

13.8 V = 50 V ، φ = −36.87° ، سعوية

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 13

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، في موضوع الإلكترونيات والحاسوب (אלקטרוניקה ומחשבים)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. في بعض الأسئلة يُرمز للجهد بالحرف U كما في نص الامتحان، وهو نفس الجهد الذي نرمز له في الكتاب بالحرف V. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 2 — دائرة RC على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار الفعّال في الدائرة	I = 2 mA
البند ب	ممانعة الدائرة	Z = 10 kΩ
البند ج	مفاعلة المكثّف والسعة	X_C = 9.6 kΩ ; C ≈ 3.32 nF
البند د	شكل الجهد على المكثّف u_C(t)	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2025 السؤال 2 — دائرة RL على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	المحاثّة L	L = 0.07 H = 70 mH
البند ب	ممانعة الدائرة وفرق الطور	في الحل الكامل
البند ج	الجهد على المقاوم وعلى الملفّ	U_R = 24 V ; U_L = 7 V
البند د	زيادة التردّد إلى 3 أمثاله	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2023 السؤال 2 — دائرة RC على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	زمن الدورة والتردّد الزاويّ لجهد المصدر	T = 500 µs ; ω ≈ 12566 rad/s (4000π)
البند ب	مقاومة المقاوم R	R = 6 kΩ
البند ج	سعة المكثّف C	X_C = 1.75 kΩ ; C ≈ 45.5 nF
البند د	جهد المصدر U (قيمة فعّالة)	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2022 السؤال 4 — دائرة RC على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	مفاعلة المكثّف X_C	X_C = 50 Ω
البند ب	ممانعة الدائرة Z	Z = 130 Ω
البند ج	مقاومة المقاوم R	R = 120 Ω
البند د	رسم دورتين من جهد المصدر U	U_max = +36.77 V ; U_min = −36.77 V ; T ≈ 3.14 ms

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2021 (موعد ب) السؤال 2 — دائرة RC على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	زمن الدورة لجهد المصدر	T = 250 µs = 0.25 ms
البند ب	سعة المكثّف C	C ≈ 265 nF (0.265 µF)
البند ج	ممانعة الدائرة Z	Z = 170 Ω
البند د	الجهد الفعّال على المقاوم R	U_R = 8 V

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021-b في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2021 السؤال 2 — دائرة RC على التوالي في تيّار متناوب مع مفتاح مُقصِّر

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد الفعّال للمصدر	U_eff = 12 V
البند ب	مقاومة المقاوم R (المفتاح مغلق)	R = 24 Ω
البند ج	الممانعة الكلّيّة Z ومفاعلة المكثّف X_C (المفتاح مفتوح)	Z = 25 Ω ; X_C = 7 Ω
البند د	سعة المكثّف C	C ≈ 2.27 µF

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2020 السؤال 2 — دائرة RL على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	مفاعلة الملفّ X_L	X_L = 30 Ω
البند ب	ممانعة الدائرة Z	Z = 50 Ω
البند ج	المقاومة R	R = 40 Ω
البند د	زاوية الطور بين جهد المصدر والتيّار	في الحل الكامل
البند هـ	مخطّط فازوريّ للممانعة Z	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2019 السؤال 2 — دائرة RC على التوالي في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار الفعّال في الدائرة	I = 5 mA
البند ب	تردّد مصدر الجهد (من الشاشة)	f = 40 Hz
البند ج	قيمة المكثّف C	X_C = 1.6 kΩ ; C ≈ 2.49 µF ≈ 2.5 µF
البند د	الجهد الفعّال لمصدر الجهد	V_s = 10 V

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2019 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)