الفصل 12

التيار المتناوب ومفاهيم أساسية في الإشارات الدورية

זרם חילופין ומושגים בסיסיים באותות מחזוריים

الصف العاشر · 3 ساعات تعليمية

حتى الآن تعاملنا مع مصادر جهد مستمر، يبقى فيها الجهد ثابتا في المقدار وفي القطبية. شبكة الكهرباء التي تغذي بيوتنا تزوّد جهدا متناوبا، يتغير مقداره في كل لحظة وتنعكس قطبيته بشكل منتظم على شكل موجة جيبية. في هذا الفصل نفهم لماذا اختير التيار المتناوب للشبكة، ونتعرف على المقادير التي تصف الإشارة الجيبية.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

للتيار المتناوب أفضليات على التيار المستمر في توليد الطاقة الكهربائية وفي نقلها.
الإشارة الجيبية إشارة دورية، وأننا نصف سرعة تكرارها بزمن الدورة T ، بالتردد f وبالتردد الزاوي ω.
نكتب الإشارة بالصيغة v(t) = V_m·sin(ωt + φ) ، ونحدد زاوية الطور وفرق الطور بين إشارتين.
نميّز بين القيمة العظمى V_m ، القيمة من القمة إلى القمة V_pp والقيمة الفعالة V_eff ، ونحسب كل واحدة من الأخرى.

יתרונות השימוש בזרם חילופין על-פני זרם ישר – أفضليات استعمال التيار المتناوب على التيار المستمر (Advantages of AC over DC)

التيار المستمر والتيار المتناوب (זרם ישר וזרם חילופין): التيار المستمر (DC) يمر في اتجاه واحد ثابت، كتيار البطارية. التيار المتناوب (المتردد) (AC) يغيّر مقداره باستمرار ويعكس اتجاهه بشكل دوري. المصدر الذي يدفعه هو مصدر جهد متناوب (מתח חילופין).

جهد مستمر: ثابت في المقدار وفي القطبية

جهد متناوب: يتغير مقداره وتنعكس قطبيته

شبكات الكهرباء في العالم تعمل بالتيار المتناوب، وذلك لعدة أسباب:

تغيير الجهد بسهولة. المحوّل (שנאי) جهاز بسيط، بلا أجزاء متحركة، يرفع الجهد المتناوب أو يخفضه. المحوّل يعمل في التيار المتناوب فقط.
نقل الطاقة بضياع قليل. القدرة هي P = V·I ، ولذلك يمكن نقل نفس القدرة بجهد عالٍ وتيار صغير. الضياع في مقاومة خط النقل هو I²·R ، فكلما صغر التيار صغر الضياع كثيرا. لهذا نرفع الجهد قبل النقل ونخفضه قرب المستهلك.
توليد بسيط. المولّد في محطة التوليد يدير ملفا داخل مجال مغناطيسي، والجهد الذي ينشأ في ملف يدور هو جهد متناوب بطبيعته.
تحويل سهل إلى تيار مستمر. الأجهزة الإلكترونية تحتاج إلى جهد مستمر، ونحصل عليه من الجهد المتناوب بدائرة تقويم بسيطة. التحويل في الاتجاه المعاكس أعقد.
محركات بسيطة. محركات التيار المتناوب بسيطة في بنائها وقليلة الصيانة.

من محطة التوليد إلى المستهلك: نرفع الجهد للنقل ونخفضه للاستعمال

ملاحظة: للتيار المستمر استعمالاته أيضا: البطاريات، الدوائر الإلكترونية والحواسيب تعمل كلها بجهد مستمر. لذلك نجد في كل شاحن وفي كل جهاز إلكتروني دائرة تحوّل الجهد المتناوب إلى جهد مستمر.

האות הסינוסואידלי כאות מחזורי – الإشارة الجيبية كإشارة دورية (The Sinusoidal Signal)

الإشارة الدورية (אות מחזורי): هي إشارة (جهد أو تيار) تكرر نفسها تماما بعد كل فترة زمنية ثابتة. الجزء الذي يتكرر يسمى دورة (מחזור).

الإشارة الجيبية (אות סינוסואידלי): هي إشارة دورية تتغير قيمتها مع الزمن حسب دالة الجيب sin: ترتفع من الصفر إلى قيمة عظمى موجبة، تعود إلى الصفر، تهبط إلى قيمة عظمى سالبة، ثم تعود إلى الصفر، وهكذا. الجهد في شبكة الكهرباء هو إشارة جيبية.

إشارة جيبية: زمن الدورة T ، القيمة العظمى V_m والقيمة من القمة إلى القمة V_pp

القيمة اللحظية (ערך רגעי): هي قيمة الإشارة في لحظة معينة t. نرمز لها بحرف صغير: v للجهد و i للتيار.

في النصف الأول من الدورة القيمة اللحظية موجبة، وفي النصف الثاني سالبة: القطبية انعكست، والتيار يمر في الاتجاه المعاكس. توجد إشارات دورية أخرى، مثل الموجة المربعة والموجة المثلثة، لكن الإشارة الجيبية هي الأهم: هذا شكل جهد الشبكة، وهي الإشارة الوحيدة التي تحافظ على شكلها في دائرة فيها مقاومات، ملفات ومكثفات.

זמן מחזור, תדר ותדר זוויתי, גודל זווית ומופע – زمن الدورة، التردد والتردد الزاوي، الزاوية والطور (Period, Frequency, Angle and Phase)

زمن الدورة (זמן מחזור): هو الزمن اللازم لإتمام دورة كاملة واحدة. يرمز له بالحرف T ويقاس بالثانية [s].

التردد (תדר): هو عدد الدورات الكاملة التي تتمها الإشارة في ثانية واحدة. يرمز له بالحرف f ويقاس بالهرتس (הרץ) [Hz]. هرتس واحد يعني دورة واحدة في الثانية.

f = 1T

T = 1f

مثال 12.1

زمن الدورة لجهد شبكة الكهرباء هو 20 ms. نحسب تردد الشبكة.

الحل:

نحوّل زمن الدورة إلى ثوانٍ: T = 20 ms = 20·10⁻³ s.

f = 1T = 120·10⁻³ = 50 Hz

أي أن جهد الشبكة يتم 50 دورة كاملة في كل ثانية.

f = 50 Hz

سؤال 12.1: إشارة جيبية تتم 5 دورات كاملة خلال 2 ms. ما هو زمن الدورة؟ وما هو التردد؟

الزاوية والتردد الزاوي – גודל זווית ותדר זוויתי:

دالة الجيب تعمل على زاوية، وليس على زمن. في دورة كاملة واحدة تتغير الزاوية بمقدار 360°. في حسابات التيار المتناوب نقيس الزاوية أيضا بوحدة الراديان (רדיאן) [rad] ، والدورة الكاملة فيها تساوي 2π rad ، أي أن 180° = π rad :

الزاوية بالدرجات	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
الزاوية بالراديان	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π

التردد الزاوي (תדר זוויתי): هو الزاوية (بالراديان) التي تقطعها الإشارة في ثانية واحدة. يرمز له بالحرف ω ويقاس بوحدة راديان في الثانية [rad/s].

التردد الزاوي · תדר זוויתי

ω = 2πf

ω = 2πT

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ω	التردد الزاوي	[rad/s]
f	التردد	[Hz]
T	زمن الدورة	[s]

لشبكة الكهرباء، التي ترددها 50 Hz ، نحصل على ω = 2π · 50 = 100π = 314.16 rad/s ، ونقرّبها غالبا إلى 314 rad/s. التردد f والتردد الزاوي ω يصفان الشيء نفسه، أي سرعة تكرار الإشارة، لكن بوحدتين مختلفتين.

سؤال 12.2: زمن الدورة لإشارة جيبية هو 4 ms. ما هو ترددها؟ وما هو ترددها الزاوي؟

الطور وفرق الطور – מופע והפרש מופע:

الإشارة الجيبية لا تبدأ دائما من الصفر. في اللحظة t = 0 ، التي نبدأ منها قياس الزمن، قد تكون الإشارة في أي نقطة من دورتها.

زاوية الطور (מופע / זווית מופע): هي الزاوية التي تحدد موقع الإشارة داخل دورتها في اللحظة t = 0. نرمز لها بالحرف φ ونقيسها بالدرجات.

φ = 0°: تبدأ من الصفر

φ = +60°: تبدأ بقيمة موجبة

φ = −60°: تبدأ بقيمة سالبة

ثلاثة مقادير تكفي لوصف إشارة جيبية وصفا كاملا: القيمة العظمى تحدد الارتفاع، التردد الزاوي يحدد السرعة، وزاوية الطور تحدد نقطة البداية:

الصيغة الرياضية للإشارة الجيبية · הצגה מתמטית

v(t) = V_m·sin(ωt + φ)

i(t) = I_m·sin(ωt + φ)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v , i	القيمة اللحظية للجهد وللتيار في اللحظة t	[V] , [A]
V_m , I_m	القيمة العظمى	[V] , [A]
ω	التردد الزاوي	[rad/s]
φ	زاوية الطور	[°]

مثال 12.2

معطى الجهد v(t) = 100·sin(314t + 30°) V.
أ. نحدد القيمة العظمى، التردد وزاوية الطور.
ب. نحسب القيمة اللحظية في اللحظة t = 5 ms.

الحل:

أ. نقارن بالصيغة العامة v(t) = V_m·sin(ωt + φ) :

V_m = 100 V

ω = 314 rad/s

φ = 30°

f = ω2π = 3142π ≈ 50 Hz

ب. حاصل الضرب ωt يعطي زاوية بالراديان، وزاوية الطور معطاة بالدرجات. لذلك نحسب ωt بالدرجات مباشرة:

ωt = 360° · f · t = 360° · 50 · 5·10⁻³ = 90°

v = 100 · sin(90° + 30°) = 100 · 0.866 = 86.6 V

v = 86.6 V

فرق الطور (הפרש מופע): هو الفرق بين زاويتي الطور لإشارتين لهما نفس التردد: φ = φ₁ − φ₂. يبيّن بكم درجة تسبق إحدى الإشارتين الأخرى.

الإشارة التي تصل إلى قمتها أولا، أي في زمن أبكر، هي الإشارة المتقدمة (מקדים)، والإشارة الأخرى هي المتأخرة (מפגר). في الرسم، قمة الإشارة المتقدمة تقع إلى اليسار. إذا كان φ = 0° فالإشارتان متوافقتان في الطور (באותו מופע).

الإشارة v تصل إلى قمتها قبل الإشارة i : v تتقدم على i بزاوية φ ، أو: i تتأخر عن v بزاوية φ

دورة كاملة، أي زمن مقداره T ، تقابل زاوية مقدارها 360°. لذلك، إذا كانت إحدى الإشارتين مزاحة عن الأخرى بزمن مقداره Δt ، فإن فرق الطور بينهما:

φ = ΔtT · 360°

مثال 12.3

في دائرة موصولة بشبكة الكهرباء (f = 50 Hz) يصل التيار إلى قمته بعد 2.5 ms من وصول الجهد إلى قمته. نحسب فرق الطور بين الجهد والتيار.

الحل:

زمن الدورة: T = 1f = 150 = 20 ms.

φ = ΔtT · 360° = 2.520 · 360° = 45°

التيار يصل إلى قمته بعد الجهد، ولذلك فإن التيار يتأخر عن الجهد بزاوية 45°.

φ = 45°

سؤال 12.3: معطى v(t) = 20·sin(314t + 50°) V و i(t) = 2·sin(314t − 20°) A. ما هو فرق الطور بين الجهد والتيار؟ وأيهما يتقدم؟

ערך-שיא, ערך שיא-לשיא וערך אפקטיבי – القيمة العظمى، القيمة من القمة إلى القمة والقيمة الفعالة (Peak, Peak-to-Peak and RMS Values)

القيمة العظمى (ערך-שיא): هي أكبر قيمة تصل إليها الإشارة، أي ارتفاع القمة فوق محور الزمن. نرمز لها V_m للجهد و I_m للتيار. تسمى أيضا المطال (משרעת / אמפליטודה).

القيمة من القمة إلى القمة (ערך שיא-לשיא): هي الفرق بين القمة الموجبة والقمة السالبة للإشارة. نرمز لها V_pp. في الإشارة الجيبية: V_pp = 2·V_m.

المعدّل الحسابي لإشارة جيبية خلال دورة كاملة يساوي صفرا، لأن النصف الموجب يلغي النصف السالب. ومع ذلك فإن التيار المتناوب يسخّن المقاومة في نصفي الدورة. لذلك نقارن التيار المتناوب بالتيار المستمر حسب الحرارة التي ينتجها:

القيمة الفعالة (ערך אפקטיבי / יעיל): القيمة الفعالة لتيار متناوب هي قيمة التيار المستمر الذي ينتج في نفس المقاومة وخلال نفس الزمن نفس كمية الحرارة. نرمز لها V_eff و I_eff ، وتسمى بالإنجليزية RMS.

القيمة الفعالة لإشارة جيبية · ערך אפקטיבי

V_eff = V_m2 = 0.707·V_m

I_eff = I_m2 = 0.707·I_m

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V_eff , I_eff	القيمة الفعالة للجهد وللتيار	[V] , [A]
V_m , I_m	القيمة العظمى للجهد وللتيار	[V] , [A]

أجهزة القياس (الفولتمتر والأمبيرمتر) تعرض في التيار المتناوب القيمة الفعالة.
القيم المكتوبة على الأجهزة الكهربائية، مثل 230 V ، هي قيم فعالة.
عندما نكتب V أو I في التيار المتناوب بدون أي إشارة أخرى، نقصد القيمة الفعالة.
العلاقة V_eff = V_m2 صحيحة للإشارة الجيبية فقط.

مثال 12.4

القيمة الفعالة لجهد شبكة الكهرباء 230 V. نحسب:
أ. القيمة العظمى للجهد.
ب. القيمة من القمة إلى القمة.

الحل:

أ. نُخرج القيمة العظمى من قانون القيمة الفعالة:

V_m = 2·V_eff = 2 · 230 = 325.27 V

ب. القيمة من القمة إلى القمة:

V_pp = 2·V_m = 2 · 325.27 = 650.54 V

نلاحظ أن الجهد في المقبس يصل في كل دورة إلى نحو 325 V ، مع أن الفولتمتر يعرض 230 V.

V_m = 325.27 V

القراءة عن شاشة راسم الإشارة. راسم الإشارة (אוסצילוסקופ) يرسم الجهد كدالة للزمن على شاشة مقسّمة إلى مربعات. المفتاح Volt/div يحدد كم فولت يساوي كل مربع عمودي، والمفتاح Time/div يحدد كم من الزمن يساوي كل مربع أفقي. نعدّ المربعات من القمة السالبة إلى القمة الموجبة فنحصل على V_pp ، ونعدّ المربعات لدورة كاملة فنحصل على T.

مثال 12.5

تظهر على شاشة راسم الإشارة الإشارة المرسومة. المفتاحان موجّهان إلى 5 V/div و 5 ms/div. نحسب: القيمة من القمة إلى القمة، القيمة العظمى، القيمة الفعالة، زمن الدورة والتردد.

الحل:

من القمة السالبة إلى القمة الموجبة 6 مربعات، وطول الدورة الكاملة 4 مربعات:

V_pp = 6 · 5 = 30 V

V_m = V_pp2 = 302 = 15 V

V_eff = V_m2 = 152 = 10.61 V

T = 4 · 5 = 20 ms

f = 1T = 120·10⁻³ = 50 Hz

V_eff = 10.61 V

سؤال 12.4: القيمة من القمة إلى القمة لجهد جيبي هي 34 V. ما هي قيمته العظمى؟ وما هي قيمته الفعالة؟

▶تجربة حية — مختبر الإشارة الجيبية وراسم الإشارةنغيّر القيمة العظمى، التردد وزاوية الطور ونرى الموجة تتغير، ونتدرب على قراءة Volt/div و Time/div عن الشاشة.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
التردد وزمن الدورة	f = 1T
التردد الزاوي	ω = 2πf = 2πT
الصيغة الرياضية للإشارة	v(t) = V_m·sin(ωt + φ)
الزاوية بالدرجات	ωt = 360° · f · t
فرق الطور	φ = φ₁ − φ₂
فرق الطور من فرق الزمن	φ = ΔtT · 360°
القيمة من القمة إلى القمة	V_pp = 2·V_m
القيمة الفعالة	V_eff = V_m2

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
التيار المتناوب (المتردد)	זרם חילופין	Alternating current (AC)
التيار المستمر	זרם ישר	Direct current (DC)
المحوّل	שנאי	Transformer
إشارة دورية	אות מחזורי	Periodic signal
إشارة جيبية	אות סינוסואידלי	Sinusoidal signal
دورة	מחזור	Cycle
زمن الدورة	זמן מחזור	Period
التردد	תדר	Frequency
التردد الزاوي	תדר זוויתי	Angular frequency
القيمة اللحظية	ערך רגעי	Instantaneous value
القيمة العظمى (المطال)	ערך-שיא / משרעת	Peak value / Amplitude
من القمة إلى القمة	ערך שיא-לשיא	Peak-to-peak
القيمة الفعالة	ערך אפקטיבי / יעיל	Effective (RMS) value
زاوية الطور	מופע / זווית מופע	Phase angle
فرق الطور	הפרש מופע	Phase difference
يتقدم · يتأخر	מקדים · מפגר	Leads · Lags
راسم الإشارة	אוסצילוסקופ	Oscilloscope

أسئلة للتمرين:

نذكر ثلاث أفضليات للتيار المتناوب على التيار المستمر، ونشرح لماذا ننقل الطاقة الكهربائية بجهد عالٍ.

الإجابات: تغيير الجهد بالمحوّل، نقل بضياع قليل، توليد بسيط. بجهد عالٍ يصغر التيار، فيصغر الضياع I²·R في الخط

زمن الدورة لإشارة جيبية 2.5 ms. نحسب:
أ. التردد.
ب. التردد الزاوي.

الإجابات: أ. f = 400 Hz. ب. ω = 2513.3 rad/s

تردد إشارة جيبية 400 Hz. نحسب:
أ. زمن الدورة.
ب. التردد الزاوي.
ج. عدد الدورات التي تتمها الإشارة في 0.1 s.

الإجابات: أ. T = 2.5 ms. ب. ω = 2513.3 rad/s. ج. 40 دورة

نحوّل:
أ. 120° إلى راديان.
ب. π5 rad إلى درجات.

الإجابات: أ. 2π3 = 2.094 rad. ب. 36°

القيمة العظمى لتيار جيبي 8.5 A. نحسب:
أ. القيمة الفعالة.
ب. القيمة من القمة إلى القمة.

الإجابات: أ. I_eff = 6.01 A. ب. I_pp = 17 A

محوّل يعطي جهدا جيبيا قيمته الفعالة 12 V. نحسب:
أ. القيمة العظمى.
ب. القيمة من القمة إلى القمة.

الإجابات: أ. V_m = 16.97 V. ب. V_pp = 33.94 V

مكثف مكتوب عليه أن أقصى جهد يتحمله هو 300 V. هل يمكن وصله مباشرة بشبكة الكهرباء، التي قيمة جهدها الفعالة 230 V؟ نعلل.

الإجابات: لا، لأن القيمة العظمى لجهد الشبكة 325 V ، وهي أكبر من 300 V

معطى الجهد v(t) = 170·sin(377t + 60°) V. نحدد:
أ. القيمة العظمى والقيمة الفعالة.
ب. التردد وزمن الدورة.
ج. زاوية الطور.

الإجابات: أ. V_m = 170 V ، V_eff = 120.2 V. ب. f = 60 Hz ، T = 16.67 ms. ج. φ = 60°

نكتب الصيغة الرياضية لتيار جيبي قيمته الفعالة 5 A ، تردده 50 Hz وزاوية طوره −30°.

الإجابات: i(t) = 7.07·sin(314t − 30°) A

10.

معطى التيار i(t) = 3·sin(314t + 18°) A. نحسب القيمة اللحظية للتيار في اللحظة t = 4 ms.

الإجابات: ωt = 72° ، i = 3 A

11.

في دائرة ترددها 1 kHz يتأخر التيار عن الجهد بزمن مقداره 0.125 ms. نحسب فرق الطور بينهما.

الإجابات: φ = 45°

12.

على شاشة راسم الإشارة تظهر الإشارة المرسومة. المفتاحان موجّهان إلى 10 V/div و 1 ms/div. نحسب:
أ. القيمة العظمى والقيمة الفعالة.
ب. زمن الدورة والتردد.

الإجابات: أ. V_m = 25 V ، V_eff = 17.68 V. ب. T = 5 ms ، f = 200 Hz

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

12.1 T = 0.4 ms ، f = 2.5 kHz

12.2 f = 250 Hz ، ω = 1570.8 rad/s

12.3 φ = 70° ، الجهد يتقدم على التيار

12.4 V_m = 17 V ، V_eff = 12.02 V

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 12

مادة هذا الفصل أساس لأسئلة البجروت في علم الكهرباء، ولا يظهر في الامتحان سؤال مستقل عنها. نتدرب على أسئلة البجروت في الفصول 7، 9 و 13.

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)