פרק 19

מערכות תלת-מופעיות

כיתה י״א · 24 שעות לימוד

החשמל מיוצר בתחנות הכוח, מועבר בקווי הרשת ומחולק למפעלים ולבתים בעזרת מערכת תלת-מופעית: שלושה מתחי חילופין שווים, שביניהם הפרש מופע של 120°. בפרק הזה נכיר את המחולל התלת-מופעי, את שתי דרכי החיבור של מקורות ועומסים (כוכב ומשולש), את הקשרים בין מתחי וזרמי הקו והמופע, ואת חישוב ההספק בעומסים סימטריים. בסוף הפרק נבין מדוע מעדיפים את המערכת התלת-מופעית על פני המערכת החד-מופעית.

בסוף הפרק הזה נדע:

שהמחולל התלת-מופעי מפיק שלושה מתחים סינוסואידליים שווים בערכם ובתדירותם, שביניהם הפרש מופע של 120°, ושסכומם אפס בכל רגע.
להבחין בין חיבור כוכב לחיבור משולש במקורות ובעומסים, ולסרטט כל אחד מהם.
להבחין בין מתח קו למתח מופע ובין זרם קו לזרם מופע, ולהשתמש בקשרים: בכוכב U_L = 3·U_ph, ובמשולש I_L = 3·I_ph.
לחשב את ההספקים בעומס סימטרי: P = 3·U_L·I_L·cos φ, וכן את Q ואת S.
שכאשר משנים את חיבור העומס מכוכב למשולש, ההספק גדל פי שלושה.
לחשב מתחים, זרמים והספקים של עומסים סימטריים המחוברים לרשת 400/230 V.
למנות את יתרונות המערכת התלת-מופעית, ולהסביר את תפקידו של מוליך האפס.

מחולל חד-מופעי, רב-מופעי ותלת-מופעי (Single-, Multi- and Three-Phase Generator)

מחולל חד-מופעי:

נזכור מן הפרק שעסק בזרם חילופין: כאשר מגנט מסתובב ליד סליל (או סליל מסתובב בתוך שדה מגנטי), נוצר בסליל מתח סינוסואידלי. מחולל שיש בו סליל אחד מפיק מתח חילופין אחד, והוא נקרא מחולל חד-מופעי. יוצאים ממנו שני מוליכים, והמתח הרגעי שלו:

u = U_m·sin(ωt)

מחולל רב-מופעי:

אם מציבים באותו מחולל כמה סלילים זהים, המפוזרים סביב ציר הסיבוב בזוויות שוות, כל סליל מפיק מתח סינוסואידלי משלו. כל המתחים שווים בערך השיא ובתדירות, אבל כל סליל מגיע לערך השיא שלו אחרי הסליל שלפניו, כי המגנט חולף על פניו כעבור זמן מסוים. מחולל כזה נקרא מחולל רב-מופעי.

מופע: במערכות רב-מופעיות קוראים לכל סליל מסלילי המחולל, יחד עם המתח שהוא מפיק, מופע. במערכת שיש בה m מופעים סימטריים, הפרש המופע בין שני מתחים עוקבים הוא 360°m.

חד-מופעי: סליל אחד

דו-מופעי: שני סלילים

תלת-מופעי: שלושה סלילים, 120° בין כל שניים

מחולל תלת-מופעי:

המערכת המשמשת ברשתות החשמל בכל העולם היא המערכת התלת-מופעית. במחולל יש שלושה סלילים זהים לגמרי, הנקראים ליפופים, והזווית בין כל שני ליפופים 360°3 = 120°. כאשר המגנט מסתובב נוצרים בליפופים שלושה מתחים:

מתחי המחולל התלת-מופעי

u₁ = U_m·sin(ωt)

u₂ = U_m·sin(ωt − 120°)

u₃ = U_m·sin(ωt − 240°)

סימן	משמעות	יחידת מידה
u₁ , u₂ , u₃	הערכים הרגעיים של מתחי שלושת המופעים	[V]
U_m	ערך השיא, והוא שווה בשלושת המופעים	[V]
ω	התדירות הזוויתית, והיא שווה בשלושת המופעים	[rad/s]

מתחי שלושת המופעים: אותו ערך שיא ואותה תדירות, וכל מתח מפגר אחרי קודמו בזווית 120°, כלומר בשליש מחזור

את שלושת המתחים מייצגים בשלושה פאזורים שווים באורכם, והזווית בין כל שניים מהם 120°. בהצגה הקוטבית, כאשר בוחרים את U₁ כייחוס:

הדיאגרמה הפאזורית של שלושת המתחים

U₁ = U∠0°

U₂ = U∠−120°

U₃ = U∠+120°

המתח U₂ מפגר אחרי U₁ בזווית 120°, והמתח U₃ מפגר אחרי U₂ בזווית 120°. הסדר הזה נקרא סדר המופעים.

מערכת תלת-מופעית סימטרית: מערכת שיש בה שלושה מתחים סינוסואידליים בעלי אותו ערך יעיל ואותה תדירות, והפרש המופע בין כל שני מתחים עוקבים הוא 120°.

הערה: התכונה החשובה ביותר של המערכת הסימטרית: סכום שלושת המתחים שווה לאפס בכל רגע: u₁ + u₂ + u₃ = 0. רואים זאת בגרף: כאשר אחד המתחים נמצא בשיאו החיובי, כל אחד משני האחרים שלילי וערכו חצי מן השיא. רואים זאת גם בדיאגרמה הפאזורית: אם מחברים את שלושת הפאזורים ראש לזנב, מקבלים משולש סגור.

דוגמה 19.1

ערך השיא של מתח כל מופע במחולל תלת-מופעי הוא U_m = 325 V. נחשב את הערכים הרגעיים של שלושת המתחים ברגע שבו ωt = 90°, ונבדוק את סכומם.

פתרון:

u₁ = 325 · sin(90°) = 325 V

u₂ = 325 · sin(90° − 120°) = 325 · sin(−30°) = −162.5 V

u₃ = 325 · sin(90° − 240°) = 325 · sin(−150°) = −162.5 V

u₁ + u₂ + u₃ = 325 − 162.5 − 162.5 = 0

המופע הראשון נמצא בשיאו החיובי, ושני המופעים האחרים שליליים וערכו של כל אחד מהם חצי מן השיא.

שאלה 19.1: באותו מחולל (U_m = 325 V) נחשב את u₁, u₂ ו-u₃ ברגע שבו ωt = 30°, ונבדוק שסכומם אפס.

שאלה 19.2: א. מהו הפרש המופע בין שני מתחים עוקבים במערכת שיש בה שישה מופעים?
ב. במחולל התלת-מופעי, תדירות הרשת 50 Hz. כמה מילישניות אחרי השיא של u₁ מגיע השיא של u₂?

▶ניסוי חי — המחולל התלת-מופעירואים את שלושת האותות הסינוסואידליים שהמחולל מפיק בהפרש מופע של 120° ביניהם, ואת הפאזורים שלהם.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

חיבור כוכב וחיבור משולש של מקורות וצרכנים (Star and Delta Connections)

לכל ליפוף במחולל יש שני קצוות, כלומר שישה קצוות לשלושת הליפופים. אילו חיברנו כל ליפוף לעומס שלו בנפרד, היינו זקוקים לשישה מוליכים. במקום זה מחברים את שלושת הליפופים זה לזה, ומסתפקים בשלושה מוליכים או בארבעה. יש שתי דרכי חיבור: כוכב ומשולש. באותן שתי דרכים מחברים גם את שלוש העכבות של העומס.

חיבור כוכב: מחברים קצה אחד של כל ליפוף (או של כל עכבה) לנקודה משותפת הנקראת נקודת הכוכב. משלושת הקצוות האחרים יוצאים מוליכי הקו L1, L2, L3. מנקודת הכוכב יכול לצאת מוליך רביעי, והוא מוליך האפס N. חיבור כוכב מסומן באות Y.

חיבור משולש: מחברים את הסוף של כל ליפוף (או עכבה) להתחלה של הליפוף שאחריו, ומקבלים חוג סגור שצורתו משולש. משלושת קודקודי המשולש יוצאים מוליכי הקו L1, L2, L3. בחיבור משולש אין נקודת כוכב, ולכן אין מוליך אפס. חיבור משולש מסומן באות Δ.

מקור בחיבור כוכב: ארבעה מוליכים L1, L2, L3, N

מקור בחיבור משולש: שלושה מוליכים L1, L2, L3

עומס בחיבור כוכב

עומס בחיבור משולש

עומס סימטרי: עומס (צרכן) תלת-מופעי ששלוש העכבות שלו שוות לגמרי: אותו גודל Z ואותה זווית φ. דוגמאות: מנוע תלת-מופעי, תנור שיש בו שלושה גופי חימום זהים. בפרק הזה נעסוק בעומסים סימטריים בלבד.

את המקור ואת העומס מחברים כל אחד בדרך המתאימה לו, ולכן יש כמה צירופים אפשריים. הסרטוט הבא מראה מערכת שלמה: מחולל בחיבור כוכב מזין עומס בחיבור כוכב דרך ארבעה מוליכים:

מערכת תלת-מופעית בארבעה מוליכים: מחולל בחיבור כוכב ועומס בחיבור כוכב

מערכת תלת-מופעית בשלושה מוליכים: מחולל בחיבור כוכב ועומס בחיבור משולש

	חיבור כוכב Y	חיבור משולש Δ
דרך החיבור	קצה אחד של כל עכבה לנקודה משותפת	העכבות בחוג סגור
מספר מוליכי הקו	שלושה	שלושה
מוליך האפס	אפשרי (מנקודת הכוכב)	אינו קיים
כל עכבה מחוברת בין	מוליך קו לנקודת הכוכב	שני מוליכי קו

שאלה 19.3: א. כמה מוליכים יוצאים ממחולל המחובר בכוכב עם מוליך אפס?
ב. האם אפשר לחבר מוליך אפס לעומס המחובר במשולש?
ג. בין אילו שתי נקודות מחוברת כל עכבה בעומס המחובר במשולש?

מתח מופע ומתח קו; זרם מופע וזרם קו (Phase and Line Quantities)

במערכת התלת-מופעית מבחינים בין גודלי "הקו", שאותם מודדים במוליכי הרשת, לבין גודלי "המופע", השייכים לעכבה אחת של העומס או לליפוף אחד של המחולל:

מתח מופע: המתח על עכבה אחת של העומס (או על ליפוף אחד של המחולל). בחיבור כוכב זהו המתח בין מוליך קו לבין מוליך האפס. סימונו U_ph.

מתח קו / מתח שלוב: המתח בין שני מוליכי קו, למשל בין L1 ל-L2. סימונו U_L.

זרם מופע: הזרם העובר בעכבה אחת של העומס (או בליפוף אחד של המחולל). סימונו I_ph.

זרם קו: הזרם העובר במוליך קו אחד, בין המקור לעומס. סימונו I_L.

הערה: בפרק הזה האות L ב-U_L וב-I_L פירושה "קו" (Line), ולא "סליל" כמו בפרקים הקודמים.

הקשרים בחיבור כוכב:

עומס בחיבור כוכב: מתח המופע בין מוליך הקו למוליך האפס, ומתח הקו בין שני מוליכי קו

הזרם: כל עכבה מחוברת בטור למוליך הקו שמזין אותה, ולכן הזרם שעובר בקו הוא אותו זרם שעובר בעכבה.

המתח: מתח הקו U₁₂ הוא ההפרש בין שני מתחי מופע, U₁₂ = U₁ − U₂. אבל בין שני המתחים יש הפרש מופע של 120°, ולכן מחסרים אותם כפאזורים ולא כמספרים:

מתח הקו U₁₂ הוא הסכום של U₁ ושל −U₂

הפאזור U₁ והפאזור −U₂ שווים באורכם, והזווית ביניהם 60°. הפאזור U₁₂ חוצה את הזווית הזאת, ולכן הזווית בינו לבין כל אחד מהם 30°. ההיטל של כל אחד מהם על הכיוון של U₁₂ הוא U_ph·cos 30° :

U_L = 2·U_ph·cos 30°

U_L = 2·U_ph·32

U_L = 3·U_ph

חיבור כוכב

U_L = 3·U_ph

I_L = I_ph

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_L	מתח הקו	[V]
U_ph	מתח המופע	[V]
I_L	זרם הקו	[A]
I_ph	זרם המופע	[A]

הערה: מן הדיאגרמה הפאזורית רואים גם שמתח הקו U₁₂ מקדים את מתח המופע U₁ בזווית 30°. שלושת מתחי הקו U₁₂, U₂₃, U₃₁ יוצרים גם הם מערכת סימטרית: הם שווים בערכם, וביניהם 120°.

דוגמה 19.2

ברשת המתח הנמוך מתח המופע (בין כל מוליך קו למוליך האפס) הוא 230 V. נחשב את מתח הקו.

פתרון:

U_L = 3·U_ph = 3 · 230 = 398.4 V

נעגל את התוצאה ל-400 V. לכן אומרים שהרשת היא רשת 400/230 V : בין כל שני מוליכי קו 400 V, ובין כל מוליך קו למוליך האפס 230 V.

U_L ≈ 400 V

הערה: בהמשך הפרק נניח שמתח הקו ברשת הוא U_L = 400 V בדיוק, ונחשב ממנו את מתח המופע: U_ph = 4003 = 230.9 V. ההבדל בין הערך הזה לבין 230 V הוא הבדל של עיגול בלבד.

דוגמה 19.3

שלושה נגדים שווים, שהתנגדות כל אחד מהם 46 Ω, מחוברים בכוכב לרשת שמתח הקו שלה 400 V. נחשב את מתח המופע, את זרם המופע ואת זרם הקו.

פתרון:

כל נגד מחובר בין מוליך קו לנקודת הכוכב, ולכן שורר עליו מתח המופע:

U_ph = U_L3 = 4003 = 230.9 V

I_ph = U_phR = 230.946 = 5.02 A

בחיבור כוכב זרם הקו שווה לזרם המופע:

I_L = I_ph = 5.02 A

I_L = 5.02 A

הקשרים בחיבור משולש:

עומס בחיבור משולש: כל עכבה מחוברת ישירות בין שני מוליכי קו

המתח: כל עכבה מחוברת ישירות בין שני מוליכי קו, ולכן המתח עליה הוא מתח הקו עצמו.

הזרם: בכל קודקוד של המשולש זרם הקו מתפצל לשתי עכבות. לפי חוק הזרמים של קירכהוף, זרם הקו הוא ההפרש בין שני זרמי מופע, למשל I_L1 = I₁₂ − I₃₁. בין שני זרמי המופע יש הפרש מופע של 120°, ולכן מקבלים, בדיוק כמו במתחי הכוכב:

זרם הקו I_L1 הוא הסכום של I₁₂ ושל −I₃₁

I_L = 2·I_ph·cos 30°

I_L = 3·I_ph

זרם הקו גדול מזרם המופע, כי מוליך הקו מזין שתי עכבות יחד.

חיבור משולש

U_L = U_ph

I_L = 3·I_ph

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_L	מתח הקו	[V]
U_ph	מתח המופע	[V]
I_L	זרם הקו	[A]
I_ph	זרם המופע	[A]

דוגמה 19.4

שלוש עכבות שוות, שגודל כל אחת מהן 50 Ω, מחוברות במשולש לרשת שמתח הקו שלה 400 V. נחשב את מתח המופע, את זרם המופע ואת זרם הקו.

פתרון:

בחיבור משולש מתח המופע שווה למתח הקו:

U_ph = U_L = 400 V

I_ph = U_phZ = 40050 = 8 A

זרם הקו גדול מזרם המופע:

I_L = 3·I_ph = 3 · 8 = 13.86 A

I_L = 13.86 A

הגודל	חיבור כוכב Y	חיבור משולש Δ
המתח	U_L = 3·U_ph	U_L = U_ph
הזרם	I_L = I_ph	I_L = 3·I_ph
איך זוכרים?	העכבה בטור לקו: אותו זרם	העכבה בין שני קווים: אותו מתח

שאלה 19.4: עומס סימטרי מחובר בכוכב, וזרם הקו שלו 12 A. מתח הקו 400 V.
א. מהו זרם המופע?
ב. מהו מתח המופע?
ג. מהו גודל העכבה Z של כל מופע?

שאלה 19.5: עומס סימטרי מחובר במשולש לרשת 400 V, וזרם הקו שלו 26 A.
א. מהו מתח המופע?
ב. מהו זרם המופע?
ג. מהו גודל העכבה Z של כל מופע?

▶ניסוי חי — מעבדת המערכות התלת-מופעיותבוחרים חיבור כוכב או משולש, משנים את העכבה ורואים את מתחי וזרמי הקו והמופע ואת הדיאגרמה הפאזורית.

⚠

https://fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

חישוב ההספק הנוצר בצרכן סימטרי המחובר בכוכב (Power in a Symmetric Star Load)

העומס התלת-מופעי מורכב משלוש עכבות. כל עכבה היא עומס חד-מופעי, וההספק שלה לפי מה שלמדנו בפרק 17: P_ph = U_ph·I_ph·cos φ. בעומס סימטרי שלוש העכבות שוות, ולכן ההספק הכולל הוא פי שלושה מן ההספק של מופע אחד:

P = 3·P_ph = 3·U_ph·I_ph·cos φ

בפועל קל יותר למדוד את גודלי הקו: את מתח הקו בין שני מוליכים, ואת זרם הקו במוליך. לכן כותבים את הנוסחה בעזרת גודלי הקו. בכוכב U_ph = U_L3 ו-I_ph = I_L :

P = 3·U_L3·I_L·cos φ

P = 3·U_L·I_L·cos φ

הערה: השתמשנו כאן בכך ש-33 = 3, כי 3 = 3·3.

ההספקים בעומס תלת-מופעי סימטרי

P = 3·U_L·I_L·cos φ

Q = 3·U_L·I_L·sin φ

S = 3·U_L·I_L

S = P² + Q²

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	ההספק הפעיל הכולל של העומס	[W]
Q	ההספק ההיגבי הכולל של העומס	[VAR]
S	ההספק המדומה הכולל של העומס	[VA]
U_L , I_L	מתח הקו וזרם הקו	[V] , [A]
φ	זווית העכבה: הפרש המופע בין מתח המופע לזרם המופע	[°]

דוגמה 19.5

עומס סימטרי מחובר בכוכב לרשת 400 V. כל עכבה מורכבת מהתנגדות R = 8 Ω ומהיגב השראותי X_L = 6 Ω בטור. נחשב:
א. את גודל העכבה ואת מקדם ההספק.
ב. את זרם המופע ואת זרם הקו.
ג. את ההספקים P, Q ו-S.

פתרון:

א. העכבה ומקדם ההספק:

Z = R² + X_L² = 8² + 6² = 10 Ω

cos φ = RZ = 810 = 0.8

ב. בכוכב שורר על כל עכבה מתח המופע:

U_ph = U_L3 = 4003 = 230.9 V

I_ph = U_phZ = 230.910 = 23.09 A

I_L = I_ph = 23.09 A

ג. ההספקים:

P = 3·U_L·I_L·cos φ = 3 · 400 · 23.09 · 0.8 = 12800 W

Q = 3·U_L·I_L·sin φ = 3 · 400 · 23.09 · 0.6 = 9600 VAR

S = 3·U_L·I_L = 3 · 400 · 23.09 = 16000 VA

בדיקה בעזרת רכיבי העכבה:

P = 3·I_ph²·R = 3 · 23.09² · 8 = 12800 W

P = 12.8 kW

כפי שראינו בבדיקה האחרונה, אפשר לחשב את ההספקים גם ישירות מרכיבי העכבה. אם כל עכבה מורכבת מהתנגדות R ומהיגב X בטור:

P = 3·I_ph²·R

Q = 3·I_ph²·X

S = 3·I_ph²·Z = 3·U_ph·I_ph

דוגמה 19.6

בתנור חשמלי שלושה גופי חימום, שהתנגדות כל אחד מהם 23 Ω, והם מחוברים בכוכב לרשת 400 V. נחשב את זרם הקו ואת הספק התנור.

פתרון:

גופי החימום הם נגדים בלבד, ולכן cos φ = 1.

U_ph = 4003 = 230.9 V

I_L = I_ph = U_phR = 230.923 = 10.04 A

P = 3·U_L·I_L·cos φ = 3 · 400 · 10.04 · 1 = 6957 W

P ≈ 6.96 kW

שאלה 19.6: עומס סימטרי מחובר בכוכב לרשת 400 V. גודל כל עכבה 20 Ω ומקדם ההספק 0.8 השראותי. נחשב:
א. את זרם הקו.
ב. את P, Q ו-S.

▶ניסוי חי — רשת תלת-מופעית — כוכב ומשולשמחברים את העומס בכוכב או במשולש, משנים את העכבה וקוראים מתחי וזרמי מופע וקו ואת ההספק.

⚠

https://fahed-lab.com/three-phase/three_phase_sim

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/three_phase_sim

חישובי הספק בצרכן סימטרי המחובר במשולש (Power in a Symmetric Delta Load)

נתחיל שוב מן ההספק של שלושה מופעים, P = 3·U_ph·I_ph·cos φ, ונציב הפעם את קשרי המשולש: U_ph = U_L ו-I_ph = I_L3 :

P = 3·U_L·I_L3·cos φ

P = 3·U_L·I_L·cos φ

קיבלנו בדיוק אותה נוסחה. זו תוצאה חשובה: הנוסחאות P = 3·U_L·I_L·cos φ, Q = 3·U_L·I_L·sin φ ו-S = 3·U_L·I_L נכונות לכל עומס סימטרי, בין שהוא מחובר בכוכב ובין שהוא מחובר במשולש. לכן מספיק לדעת את מתח הקו, את זרם הקו ואת מקדם ההספק, ואין צורך לדעת מהו החיבור הפנימי של העומס.

שימו לב: הנוסחה אחת, אבל הערכים אינם זהים: אם מחברים אותן עכבות פעם בכוכב ופעם במשולש, זרם הקו משתנה, ולכן ההספק משתנה. נראה זאת בהמשך הפרק, בשינוי חיבור העומס.

דוגמה 19.7

אותן עכבות מן הדוגמה הקודמת, R = 8 Ω ו-X_L = 6 Ω בטור בכל מופע, מחוברות עכשיו במשולש לרשת 400 V. נחשב:
א. את זרם המופע ואת זרם הקו.
ב. את ההספקים P, Q ו-S.

פתרון:

א. במשולש שורר על כל עכבה מתח הקו כולו. העכבה לא השתנתה: Z = 10 Ω, cos φ = 0.8.

U_ph = U_L = 400 V

I_ph = U_phZ = 40010 = 40 A

I_L = 3·I_ph = 3 · 40 = 69.28 A

ב. ההספקים:

P = 3·U_L·I_L·cos φ = 3 · 400 · 69.28 · 0.8 = 38400 W

Q = 3·U_L·I_L·sin φ = 3 · 400 · 69.28 · 0.6 = 28800 VAR

S = 3·U_L·I_L = 3 · 400 · 69.28 = 48000 VA

בדיקה:

P = 3·I_ph²·R = 3 · 40² · 8 = 38400 W

P = 38.4 kW

דוגמה 19.8

מנוע תלת-מופעי שליפופיו מחוברים במשולש צורך מרשת 400 V זרם קו שעוצמתו 20 A במקדם הספק 0.85 השראותי. נחשב:
א. את ההספקים S, P ו-Q.
ב. את הזרם בכל ליפוף של המנוע.

פתרון:

א. הנתונים הם גודלי קו, ולכן מציבים ישירות:

S = 3·U_L·I_L = 3 · 400 · 20 = 13856 VA

P = S·cos φ = 13856 · 0.85 = 11778 W

sin φ = 1 − 0.85² = 0.527

Q = S·sin φ = 13856 · 0.527 = 7299 VAR

ב. הזרם בליפוף הוא זרם המופע. במשולש:

I_ph = I_L3 = 203 = 11.55 A

P ≈ 11.78 kW

שאלה 19.7: שלושה נגדים, שהתנגדות כל אחד מהם 60 Ω, מחוברים במשולש לרשת 400 V. נחשב:
א. את זרם המופע.
ב. את זרם הקו.
ג. את ההספק הכולל.

▶ניסוי חי — עומס בחיבור משולשעוקבים אחר זרמי המופע וזרמי הקו בעומס המחובר במשולש, ובודקים את היחס של שורש 3 ביניהם.

⚠

https://fahed-lab.com/three-phase/delta_sim

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/delta_sim

שינוי החיבור של עכבות העומס ושינוי ההספק של העומס התלת-מופעי (Changing the Load Connection)

מה קורה אם לוקחים שלוש עכבות המחוברות בכוכב ומחברים אותן במשולש, לאותה רשת? העכבות לא השתנו ומתח הקו לא השתנה, אבל המתח על כל עכבה השתנה:

בכוכב שורר על כל עכבה מתח המופע: U_L3.
במשולש שורר על כל עכבה מתח הקו כולו: U_L, כלומר מתח גדול פי 3.
לכן הזרם בכל עכבה גדל פי 3. ההספק תלוי בריבוע הזרם, ולכן ההספק של כל עכבה גדל פי (3)² = 3.

נראה זאת בנוסחאות. הספק העומס הוא P = 3·I_ph²·R, וזרם המופע בכל חיבור:

I_ph,Y = U_L3·Z

I_ph,Δ = U_LZ = 3·I_ph,Y

P_ΔP_Y = 3·I_ph,Δ²·R3·I_ph,Y²·R = (3)² = 3

שינוי החיבור מכוכב למשולש באותה רשת

P_Δ = 3·P_Y

I_L,Δ = 3·I_L,Y

סימן	משמעות	יחידת מידה
P_Δ , P_Y	הספק העומס בחיבור משולש ובחיבור כוכב	[W]
I_L,Δ , I_L,Y	זרם הקו בחיבור משולש ובחיבור כוכב	[A]

מדוע זרם הקו גדל פי שלושה ולא פי 3? כי זרם המופע גדל פי 3, ובמשולש זרם הקו גדול מזרם המופע פי 3 נוספת: 3 · 3 = 3.

הגודל	חיבור כוכב Y	חיבור משולש Δ	היחס
המתח על כל עכבה	230.9 V	400 V	3
זרם המופע	23.09 A	40 A	3
זרם הקו	23.09 A	69.28 A	3
ההספק הפעיל P	12.8 kW	38.4 kW	3
ההספק ההיגבי Q	9.6 kVAR	28.8 kVAR	3
ההספק המדומה S	16 kVA	48 kVA	3
מקדם ההספק	0.8	0.8	אינו משתנה

הטבלה מסכמת את תוצאות שתי הדוגמאות הקודמות: אותן עכבות Z = 10 Ω באותה רשת 400 V, פעם בכוכב ופעם במשולש.

דוגמה 19.9

בתנור תעשייתי שלושה גופי חימום, שהתנגדות כל אחד מהם 30 Ω. בעזרת מפסק אפשר לחבר את הגופים בכוכב או במשולש לרשת 400 V. נחשב את הספק התנור בכל חיבור.

פתרון:

חיבור כוכב: על כל גוף חימום U_ph = 4003 = 230.9 V.

P_Y = 3·U_ph²R = 3 · 230.9²30 = 5333 W

חיבור משולש: על כל גוף חימום U_ph = 400 V.

P_Δ = 3·U_ph²R = 3 · 400²30 = 16000 W

בדיקה:

P_ΔP_Y = 160005333 = 3

כך מקבלים מאותם גופי חימום שתי דרגות חימום: דרגה נמוכה בכוכב ודרגה גבוהה במשולש.

P_Δ = 16 kW

יישום: התנעת כוכב-משולש של מנוע: ברגע ההתנעה המנוע צורך זרם גדול מאוד. לכן מחברים את ליפופיו תחילה בכוכב, ואז זרם הקו הוא שליש מן הזרם במשולש, ואחרי שהמנוע מגיע למהירותו מעבירים את החיבור למשולש כדי שייתן את מלוא הספקו.

שאלה 19.8: עומס סימטרי המחובר במשולש צורך 18 kW וזרם קו שעוצמתו 30 A. מחברים את אותן עכבות בכוכב לאותה רשת. מהו ההספק ומהו זרם הקו עכשיו?

▶ניסוי חי — החלפת חיבור ויתרונותמעבירים את חיבור העומס מכוכב למשולש ומשווים את ההספק הנצרך בשני המצבים.

⚠

https://fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

גורם ההספק (Power Factor)

מקדם ההספק של עומס תלת-מופעי סימטרי הוא מקדם ההספק של עכבה אחת. הזווית φ היא זווית העכבה, כלומר הפרש המופע בין מתח המופע לזרם המופע. כמו בפרק 17, זהו היחס בין ההספק הפעיל להספק המדומה:

מקדם ההספק בעומס תלת-מופעי סימטרי

cos φ = PS = P3·U_L·I_L

cos φ = RZ

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	ההספק הפעיל הכולל	[W]
S	ההספק המדומה הכולל	[VA]
R , Z	ההתנגדות והעכבה של מופע אחד	[Ω]

שימו לב: הזווית φ אינה הפרש המופע בין מתח הקו לזרם הקו. בין מתח הקו למתח המופע יש זווית נוספת של 30°, ולכן מחשבים את φ תמיד מן העכבה או מן ההספקים.

משולש ההספקים של עומס תלת-מופעי סימטרי

דוגמה 19.10

עומס תלת-מופעי סימטרי מחובר לרשת 400 V. נמדדו זרם קו 25 A והספק פעיל כולל 12 kW. נחשב את מקדם ההספק ואת ההספק ההיגבי.

פתרון:

S = 3·U_L·I_L = 3 · 400 · 25 = 17321 VA

cos φ = PS = 1200017321 = 0.693

Q = S² − P² = 17321² − 12000² = 12490 VAR

cos φ = 0.693

על לוחית המנוע רשום ההספק המכני שהוא נותן על הציר שלו, ולא ההספק החשמלי שהוא לוקח מן הרשת. ההספק החשמלי גדול יותר, בגלל ההפסדים במנוע: P_in = P_outη. מן ההספק החשמלי מחשבים את זרם הקו:

I_L = P_in3·U_L·cos φ

דוגמה 19.11

על לוחית של מנוע תלת-מופעי רשום: 7.5 kW, 400 V, cos φ = 0.82, והנצילות η = 88 %. נחשב את זרם הקו שהמנוע צורך בעומס מלא.

פתרון:

ההספק החשמלי שהמנוע לוקח מן הרשת:

P_in = P_outη = 75000.88 = 8523 W

זרם הקו:

I_L = P_in3·U_L·cos φ = 85233 · 400 · 0.82 = 15 A

I_L = 15 A

שיפור מקדם ההספק במערכת תלת-מופעית:

כמו במערכת החד-מופעית, משפרים את מקדם ההספק בעזרת קבלים המחוברים במקביל לעומס. כאן דרושים שלושה קבלים שווים, המחוברים בדרך כלל במשולש. את ההספק ההיגבי הכולל של הקבלים מחשבים באותה נוסחה מפרק 17, כאשר P הוא ההספק הכולל של העומס:

Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)

כל קבל מספק שליש מן ההספק הזה. בחיבור משולש שורר על כל קבל מתח הקו, ולכן Q_C = 3·ω·C·U_L², ומכאן הקיבול של כל קבל:

C = Q_C3·ω·U_L²

דוגמה 19.12

מפעל צורך 20 kW מרשת 400 V, 50 Hz במקדם הספק 0.7 השראותי. רוצים לשפר את מקדם ההספק ל-0.95 בעזרת שלושה קבלים המחוברים במשולש. נחשב:
א. את ההספק ההיגבי הכולל של הקבלים.
ב. את הקיבול של כל קבל.
ג. את זרם הקו לפני השיפור ואחריו.

פתרון:

א. נחשב את הטנגנס של שתי הזוויות:

cos φ₁ = 0.7 → tan φ₁ = 1.02

cos φ₂ = 0.95 → tan φ₂ = 0.329

Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) = 20000 · (1.02 − 0.329) = 13830 VAR

ב. הקיבול של כל קבל:

C = Q_C3·ω·U_L² = 138303 · 314.2 · 400² = 91.7 µF

ג. זרם הקו:

I₁ = P3·U_L·cos φ₁ = 200003 · 400 · 0.7 = 41.24 A

I₂ = P3·U_L·cos φ₂ = 200003 · 400 · 0.95 = 30.39 A

C = 91.7 µF

שאלה 19.9: עומס תלת-מופעי סימטרי צורך מרשת 400 V זרם קו שעוצמתו 15 A והספק של 8.3 kW. מהו מקדם ההספק?

▶ניסוי חי — הספק ומקדם הספקמשנים את העכבה ואת זוויתה ורואים את ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה ואת מקדם ההספק.

⚠

https://fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/three_phase_lab

חיבור צרכנים סימטריים לרשת תלת-מופעית וחישוב מתחים, זרמים והספקים (Symmetric Loads on a Three-Phase Network)

רשת המתח הנמוך שמזינה את הבתים ואת המפעלים היא רשת תלת-מופעית בארבעה מוליכים, 400/230 V, ותדירותה 50 Hz. מן הרשת הזאת מקבלים שני מתחים:

230 V בין כל מוליך קו למוליך האפס. במתח הזה פועלים המכשירים החד-מופעיים: התאורה, בתי התקע והמכשירים הביתיים.
400 V בין כל שני מוליכי קו. במתח הזה פועלים העומסים התלת-מופעיים: המנועים, התנורים והמזגנים הגדולים.

עומסים תלת-מופעיים המחוברים במקביל לרשת 400/230 V

שיטת הפתרון:

נקבע את דרך החיבור של העומס, וממנה את מתח המופע: בכוכב U_ph = U_L3, ובמשולש U_ph = U_L.
נחשב את זרם המופע לפי חוק אום למופע אחד: I_ph = U_phZ.
נחשב את זרם הקו: בכוכב I_L = I_ph, ובמשולש I_L = 3·I_ph.
נחשב את ההספקים: P = 3·U_L·I_L·cos φ, Q = 3·U_L·I_L·sin φ, S = 3·U_L·I_L.

הערה: אם הנתונים הם ההספק ומקדם ההספק (כמו על לוחית המכשיר), פועלים בכיוון ההפוך: מחשבים את זרם הקו מתוך I_L = P3·U_L·cos φ, וממנו את זרם המופע ואת העכבה.

דוגמה 19.13

עומס סימטרי מחובר בכוכב לרשת 400/230 V וצורך זרם קו שעוצמתו 10 A במקדם הספק 0.6 השראותי. נחשב:
א. את גודל עכבת המופע.
ב. את ההתנגדות ואת ההיגב של המופע.
ג. את ההספק הפעיל.

פתרון:

א. בכוכב: U_ph = 230.9 V ו-I_ph = I_L = 10 A.

Z = U_phI_ph = 230.910 = 23.09 Ω

ב. ממשולש העכבות:

R = Z·cos φ = 23.09 · 0.6 = 13.86 Ω

sin φ = 1 − 0.6² = 0.8

X_L = Z·sin φ = 23.09 · 0.8 = 18.48 Ω

ג. ההספק הפעיל:

P = 3·U_L·I_L·cos φ = 3 · 400 · 10 · 0.6 = 4157 W

P = 4157 W

דוגמה 19.14

באולם יש 30 נורות, שהספק כל אחת מהן 100 W ומתחה 230 V. הנורות חולקו שווה בשווה בין שלושת המופעים של רשת 400/230 V : עשר נורות בין כל מוליך קו למוליך האפס. נקבע ונחשב:
א. את דרך החיבור של העומס.
ב. את ההספק הכולל.
ג. את זרם הקו.

פתרון:

א. כל קבוצת נורות מחוברת בין מוליך קו למוליך האפס, כלומר למתח המופע. זהו עומס סימטרי בחיבור כוכב.

ב. ההספק הכולל הוא סכום ההספקים של הנורות:

P = 30 · 100 = 3000 W

ג. הנורות הן נגדים, cos φ = 1 :

I_L = P3·U_L·cos φ = 30003 · 400 · 1 = 4.33 A

בדיקה לפי מופע אחד: עשר נורות צורכות 1000 W במתח המופע:

I_ph = 1000230.9 = 4.33 A

I_L = 4.33 A

כמה עומסים על אותה רשת:

כאשר כמה עומסים סימטריים מחוברים במקביל לאותה רשת, אין מחברים את זרמי הקו חיבור רגיל, כי לכל עומס זווית מופע שונה. משתמשים בכלל מפרק 17: מחברים את ההספקים הפעילים, מחברים את ההספקים ההיגביים, ומשני הסכומים מחשבים את ההספק המדומה ואת הזרם:

P = P₁ + P₂ + …

Q = Q₁ + Q₂ + …

S = P² + Q²

I_L = S3·U_L

cos φ = PS

דוגמה 19.15

לרשת 400/230 V מחוברים שני עומסים סימטריים: תנור חימום תלת-מופעי שהספקו 9 kW (נגדים בלבד), ומנוע הצורך 15 kW במקדם הספק 0.8 השראותי. נחשב:
א. את זרם הקו של כל עומס.
ב. את ההספקים הכוללים.
ג. את זרם הקו הכולל ואת מקדם ההספק הכולל.

פתרון:

א. הזרם של כל עומס:

I₁ = P₁3·U_L·cos φ₁ = 90003 · 400 · 1 = 12.99 A

I₂ = P₂3·U_L·cos φ₂ = 150003 · 400 · 0.8 = 27.06 A

ב. התנור: Q₁ = 0. המנוע: cos φ₂ = 0.8, ולכן tan φ₂ = 0.75.

Q₂ = P₂·tan φ₂ = 15000 · 0.75 = 11250 VAR

P = P₁ + P₂ = 9000 + 15000 = 24000 W

Q = Q₁ + Q₂ = 11250 VAR

S = P² + Q² = 24000² + 11250² = 26506 VA

ג. הזרם הכולל ומקדם ההספק:

I_L = S3·U_L = 265063 · 400 = 38.26 A

cos φ = PS = 2400026506 = 0.905

נשים לב: I₁ + I₂ = 40.05 A, וזה גדול מן הזרם הכולל האמיתי 38.26 A.

I_L = 38.26 A

שאלה 19.10: לרשת 400 V מחוברים שני עומסים סימטריים: תאורה בהספק 6 kW ובמקדם הספק 1, ומנוע הצורך 10 kW במקדם הספק 0.6 השראותי. נחשב:
א. את P, Q ו-S הכוללים.
ב. את זרם הקו הכולל.
ג. את מקדם ההספק הכולל.

▶ניסוי חי — תרגול במערכות תלת-מופעיותשאלות פתורות ותרגילים אינטראקטיביים בחישוב מתחים, זרמים והספקים בחיבור כוכב ובחיבור משולש.

⚠

https://fahed-lab.com/three-phase/three_phase_practice

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/three-phase/three_phase_practice

יתרונות מערכת תלת-מופעית לעומת מערכת חד-מופעית (Advantages of Three-Phase Systems)

חיסכון במוליכים: כדי להעביר אותו הספק דרושה במערכת התלת-מופעית כמות קטנה יותר של נחושת, והפסדי ההספק בקווים קטנים יותר.
הספק קבוע: בעומס סימטרי סכום ההספקים הרגעיים של שלושת המופעים קבוע ואינו מתנדנד, ולכן המנועים מסתובבים בשקט ובמומנט קבוע.
שדה מגנטי מסתובב: שלושה ליפופים שעובר בהם זרם תלת-מופעי יוצרים שדה מגנטי שמסתובב מעצמו. על העיקרון הזה פועלים המנועים התלת-מופעיים, והם פשוטים, זולים ומתחילים להסתובב בלי אמצעי עזר.
שני מתחים מאותה רשת: 400 V לעומסים הגדולים ו-230 V למכשירים הביתיים.
מחוללים ומנועים קטנים יותר: בעבור אותו הספק, המכונה התלת-מופעית קטנה וקלה מן המכונה החד-מופעית.

ההספק הרגעי קבוע:

בפרק 17 למדנו שההספק הרגעי במערכת החד-מופעית מתנדנד בתדירות כפולה, ויורד לאפס פעמיים בכל מחזור. במערכת התלת-מופעית לכל מופע יש הספק מתנדנד כזה, אבל שלושת ההספקים מוזזים זה מזה, וסכומם קבוע בכל רגע ושווה ל-P :

ההספק הרגעי של כל מופע מתנדנד, אבל סכום שלושת ההספקים קבוע (עומס התנגדותי סימטרי)

חיסכון במוליכים ובהפסדים:

דוגמה 19.16

רוצים להזין עומס שהספקו 12 kW ומקדם ההספק שלו 1. נשווה בין שתי דרכים:
א. קו חד-מופעי, 230 V, בשני מוליכים.
ב. קו תלת-מופעי, 400 V, בשלושה מוליכים. התנגדות כל מוליך 0.2 Ω. נחשב בכל מקרה את הזרם ואת הפסדי ההספק בקו.

פתרון:

א. חד-מופעי: הזרם עובר בשני מוליכים (הלוך וחזור).

I = PU = 12000230 = 52.17 A

ΔP = 2·I²·R = 2 · 52.17² · 0.2 = 1089 W

ב. תלת-מופעי: הזרם עובר בשלושה מוליכים.

I_L = P3·U_L = 120003 · 400 = 17.32 A

ΔP = 3·I_L²·R = 3 · 17.32² · 0.2 = 180 W

בקו התלת-מופעי הזרם בכל מוליך קטן פי שלושה, והפסדי ההספק קטנים בערך פי 6, אף שהוספנו מוליך אחד בלבד.

תפקיד מוליך האפס בעומס סימטרי בחיבור כוכב:

בחיבור כוכב בארבעה מוליכים, שלושת הזרמים מגיעים לנקודת הכוכב, ומוליך האפס מחזיר את סכומם אל המקור. לפי חוק הזרמים של קירכהוף:

I_N = I₁ + I₂ + I₃

הזרמים של עומס סימטרי

בעומס סימטרי שלושת הזרמים שווים בערכם וביניהם 120°, בדיוק כמו המתחים. לכן סכומם, כפאזורים, שווה לאפס:

I_N = 0

כלומר, בעומס סימטרי לא עובר זרם במוליך האפס. בכל רגע, הזרם שנכנס באחד המוליכים חוזר בשני המוליכים האחרים.

עומס סימטרי, כמו מנוע תלת-מופעי, אפשר לחבר בשלושה מוליכים בלבד, בלי מוליך אפס.
אם העומס אינו סימטרי (למשל מכשירים ביתיים שונים על כל מופע), עובר במוליך האפס זרם. במקרה כזה מוליך האפס הכרחי: הוא ששומר על מתח מופע קבוע, 230 V, על כל עומס.
לכן רשת החלוקה לבתים היא תמיד בארבעה מוליכים.

דוגמה 19.17

בעומס התנגדותי סימטרי המחובר בכוכב זרם הקו 10 A, כלומר ערך השיא של כל זרם I_m = 14.14 A. נחשב את הערכים הרגעיים של שלושת הזרמים כאשר ωt = 60°, ונחשב את זרם מוליך האפס ברגע הזה.

פתרון:

i₁ = 14.14 · sin(60°) = 12.25 A

i₂ = 14.14 · sin(60° − 120°) = −12.25 A

i₃ = 14.14 · sin(60° − 240°) = 0 A

i_N = i₁ + i₂ + i₃ = 12.25 − 12.25 + 0 = 0

ברגע הזה הזרם נכנס במוליך הראשון וחוזר כולו במוליך השני. הזרם במוליך האפס הוא אפס.

שאלה 19.11: עומס סימטרי מחובר בכוכב בארבעה מוליכים, והזרם בכל קו 16 A.
א. מהו הזרם במוליך האפס?
ב. מה קורה לזרמי הקו אם מוליך האפס מתנתק?

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
מתחי המחולל התלת-מופעי	u₁ + u₂ + u₃ = 0
חיבור כוכב	U_L = 3·U_ph , I_L = I_ph
חיבור משולש	U_L = U_ph , I_L = 3·I_ph
חוק אום למופע אחד	I_ph = U_phZ
הספק פעיל	P = 3·U_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
הספק היגבי	Q = 3·U_L·I_L·sin φ
הספק מדומה	S = 3·U_L·I_L = P² + Q²
מקדם ההספק	cos φ = PS = RZ
זרם הקו מתוך ההספק	I_L = P3·U_L·cos φ
שינוי החיבור באותה רשת	P_Δ = 3·P_Y , I_L,Δ = 3·I_L,Y
הזרם במוליך האפס בעומס סימטרי	I_N = 0

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
מערכת תלת-מופעית	Three-phase system	نظام ثلاثي الطور
חד-מופעי	Single-phase	أحادي الطور
רב-מופעי	Multi-phase (polyphase)	متعدد الأطوار
מחולל	Generator	المولّد
ליפופים	Windings	ملفات المولّد
מופע	Phase	الطور
סדר המופעים	Phase sequence	تتابع الأطوار
חיבור כוכב	Star (wye) connection	ربط النجمة
חיבור משולש	Delta connection	ربط المثلث (دلتا)
נקודת הכוכב	Star (neutral) point	نقطة النجمة
מוליך האפס	Neutral conductor	الموصل المحايد
מוליך מופע / קו	Line conductor	موصل الخط
מתח מופע	Phase voltage	جهد الطور
מתח קו / מתח שלוב	Line voltage	جهد الخط
זרם מופע	Phase current	تيار الطور
זרם קו	Line current	تيار الخط
צרכן סימטרי / עומס סימטרי	Symmetric (balanced) load	حمل متماثل
גורם ההספק / מקדם ההספק	Power factor	معامل القدرة
נצילות	Efficiency	الكفاءة
התנעת כוכב-משולש	Star-delta starting	تشغيل نجمة–مثلث
שדה מגנטי מסתובב	Rotating magnetic field	مجال مغناطيسي دوّار

שאלות לתרגול:

א. מהם שלושת התנאים למערכת מתחים תלת-מופעית סימטרית?
ב. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית של שלושת המתחים.
ג. למה שווה סכום שלושת המתחים בכל רגע?

תשובות: א. אותו ערך יעיל, אותה תדירות, והפרש מופע של 120° בין כל שני מתחים עוקבים. ג. אפס

ערך השיא של מתח המופע במחולל תלת-מופעי U_m = 565.7 V.
א. נחשב את הערך היעיל של מתח המופע.
ב. נחשב את u₁, u₂ ו-u₃ כאשר ωt = 150°.

תשובות: א. U_ph = 400 V. ב. u₁ = 282.8 V, u₂ = 282.8 V, u₃ = −565.7 V

נשלים:
א. מתח המופע ברשת 127 V. מהו מתח הקו?
ב. מתח הקו ברשת 690 V. מהו מתח המופע?
ג. מתח הקו ברשת מתח גבוה 22 kV. מהו מתח המופע?

תשובות: א. U_L = 220 V. ב. U_ph = 398 V. ג. U_ph = 12.7 kV

שלוש עכבות שוות, שגודל כל אחת מהן 25 Ω, מחוברות בכוכב לרשת 400 V. נחשב:
א. את מתח המופע.
ב. את זרם המופע.
ג. את זרם הקו.

תשובות: א. U_ph = 230.9 V. ב. I_ph = 9.24 A. ג. I_L = 9.24 A

אותן עכבות מן השאלה הקודמת (25 Ω) מחוברות במשולש לרשת 400 V. נחשב:
א. את מתח המופע.
ב. את זרם המופע.
ג. את זרם הקו.
ד. פי כמה גדל זרם הקו?

תשובות: א. U_ph = 400 V. ב. I_ph = 16 A. ג. I_L = 27.71 A. ד. פי שלושה

עומס סימטרי מחובר בכוכב לרשת 400 V. בכל מופע התנגדות R = 12 Ω והיגב השראותי X_L = 16 Ω בטור. נחשב:
א. את Z ואת cos φ.
ב. את זרם הקו.
ג. את P, Q ו-S.

תשובות: א. Z = 20 Ω, cos φ = 0.6. ב. I_L = 11.55 A. ג. P = 4800 W, Q = 6400 VAR, S = 8000 VA

אותו עומס מן השאלה הקודמת (R = 12 Ω, X_L = 16 Ω) מחובר עכשיו במשולש לרשת 400 V. נחשב:
א. את זרם המופע ואת זרם הקו.
ב. את P, Q ו-S.
ג. נבדוק שההספק גדל פי שלושה.

תשובות: א. I_ph = 20 A, I_L = 34.64 A. ב. P = 14400 W, Q = 19200 VAR, S = 24000 VA. ג. 144004800 = 3

מנוע תלת-מופעי צורך מרשת 400 V זרם קו שעוצמתו 32 A במקדם הספק 0.75 השראותי. נחשב את S, P ו-Q.

תשובות: S = 22170 VA, P = 16628 W, Q = 14664 VAR

במחמם מים תעשייתי שלושה גופי חימום, שהתנגדות כל אחד מהם 40 Ω, והרשת 400 V. נחשב את הספק המחמם:
א. כאשר גופי החימום מחוברים בכוכב.
ב. כאשר הם מחוברים במשולש.

תשובות: א. P_Y = 4000 W. ב. P_Δ = 12000 W

10.

על לוחית של מנוע תלת-מופעי: 11 kW, 400 V, cos φ = 0.85, η = 90 %. נחשב:
א. את ההספק החשמלי שהמנוע לוקח.
ב. את זרם הקו.
ג. את הזרם בכל ליפוף, אם הליפופים מחוברים במשולש.

תשובות: א. P_in = 12222 W. ב. I_L = 20.75 A. ג. I_ph = 11.98 A

11.

עומס סימטרי מחובר במשולש לרשת 400 V וצורך זרם קו שעוצמתו 17.3 A במקדם הספק 0.8 השראותי. נחשב:
א. את זרם המופע.
ב. את גודל עכבת המופע.
ג. את ההתנגדות ואת ההיגב של המופע.
ד. את ההספק הפעיל.

תשובות: א. I_ph ≈ 10 A. ב. Z ≈ 40 Ω. ג. R ≈ 32 Ω, X_L ≈ 24 Ω. ד. P ≈ 9589 W

12.

לרשת 400/230 V מחוברים שלושה עומסים סימטריים: תנור חימום 5 kW (מקדם הספק 1), מנוע הצורך 12 kW במקדם הספק 0.8 השראותי, ומנוע הצורך 8 kW במקדם הספק 0.6 השראותי. נחשב:
א. את P, Q ו-S הכוללים.
ב. את זרם הקו הכולל.
ג. את מקדם ההספק הכולל.

תשובות: א. P = 25 kW, Q = 19.67 kVAR, S = 31.81 kVA. ב. I_L = 45.91 A. ג. cos φ = 0.79

13.

רוצים לשפר את מקדם ההספק של המתקן מן השאלה הקודמת ל-0.92 בעזרת שלושה קבלים המחוברים במשולש (תדירות הרשת 50 Hz). נחשב:
א. את ההספק ההיגבי הכולל של הקבלים.
ב. את הקיבול של כל קבל.
ג. את זרם הקו אחרי השיפור.

תשובות: א. Q_C ≈ 9.02 kVAR. ב. C ≈ 60 µF. ג. I_L ≈ 39.22 A

14.

א. נמנה שלושה יתרונות של המערכת התלת-מופעית לעומת המערכת החד-מופעית.
ב. מדוע אפשר לחבר מנוע תלת-מופעי בלי מוליך אפס?
ג. מדוע יש מוליך אפס ברשת החלוקה לבתים?

תשובות: ב. כי הוא עומס סימטרי, וסכום שלושת הזרמים שלו אפס. ג. כי העומסים הביתיים חד-מופעיים ואינם סימטריים, והם זקוקים למתח המופע 230 V

תשובות סופיות לשאלות הפרק

19.1 u₁ = 162.5 V, u₂ = −325 V, u₃ = 162.5 V, והסכום אפס

19.2 א. 60°. ב. שליש מחזור: 20 ms3 ≈ 6.67 ms

19.3 א. ארבעה מוליכים. ב. לא, כי במשולש אין נקודת כוכב. ג. בין שני מוליכי קו

19.4 א. I_ph = 12 A. ב. U_ph = 230.9 V. ג. Z = 19.25 Ω

19.5 א. U_ph = 400 V. ב. I_ph = 15.01 A. ג. Z = 26.65 Ω

19.6 א. I_L = 11.55 A. ב. P = 6400 W, Q = 4800 VAR, S = 8000 VA

19.7 א. I_ph = 6.67 A. ב. I_L = 11.55 A. ג. P = 8000 W

19.8 P_Y = 6 kW, I_L = 10 A

19.9 cos φ ≈ 0.8

19.10 א. P = 16 kW, Q = 13.33 kVAR, S = 20.83 kVA. ב. I_L = 30.06 A. ג. cos φ = 0.77

19.11 א. I_N = 0. ב. דבר אינו משתנה, כי במוליך האפס לא עבר זרם

שאלות בגרות לפרק 19

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 8 — רשת תלת-מופעית, חיבור משולש (Δ)

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם המופעי והזרם הקווי	בפתרון המלא
סעיף ב	ההספקים P, Q, S	P = 38.4 kW ; Q = 19.2 kvar ; S ≈ 42.93 kVA
סעיף ג	משולש ההספקים	בפתרון המלא
סעיף ד	אופי הרשת	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

בגרות 2025 שאלה 8 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור כוכב

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם המופעי והזרם הקווי	בפתרון המלא
סעיף ב	ההספקים P, Q, S	P ≈ 16 kW ; Q ≈ 8 kvar ; S ≈ 17.9 kVA
סעיף ג	מעבר מחיבור כוכב לחיבור משולש	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

בגרות 2024 שאלה 8 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור משולש

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם המופעי והזרם הקווי	בפתרון המלא
סעיף ב	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה של הרשת	P ≈ 10.39 kW ; Q = 6 kvar ; S = 12 kVA
סעיף ג	משולש ההספקים של הרשת	φ = 30°

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

בגרות 2023 שאלה 7 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור כוכב

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם הקווי והזרם המופעי	בפתרון המלא
סעיף ב	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה של הרשת	P = 9.6 kW ; Q = 12.8 kvar ; S = 16 kVA
סעיף ג	משולש ההספקים של הרשת	בפתרון המלא
סעיף ד	מקדם ההספק של הרשת	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

בגרות 2022 שאלה 7 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור משולש

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם המופעי והזרם הקווי	בפתרון המלא
סעיף ב	מקדם ההספק	בפתרון המלא
סעיף ג	ההספק הפעיל, ההספק ההיגבי וההספק המדומה	P ≈ 21.57 kW ; Q ≈ 13.48 kvar ; S ≈ 25.44 kVA
סעיף ד	משולש ההספקים	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2022

בגרות 2021 (מועד מיוחד) שאלה 7 — עומס תלת-מופעי בחיבור משולש

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם המופעי והזרם בקווי ההזנה	בפתרון המלא
סעיף ב	מקדם ההספק	בפתרון המלא
סעיף ג	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה	P = 19.2 kW ; Q = 14.4 kvar ; S = 24 kVA

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021-makeup

בגרות 2021 שאלה 8 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור כוכב

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם הקווי והזרם המופעי	בפתרון המלא
סעיף ב	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה	P = 5120 W ; Q = 3840 var ; S = 6400 VA
סעיף ג	משולש ההספקים	S = 6400 VA ∠ 36.87°

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021

בגרות 2020 שאלה 8 — עומס תלת-מופעי סימטרי בחיבור משולש

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם המופעי	בפתרון המלא
סעיף ב	הזרם הקווי	בפתרון המלא
סעיף ג	ההספקים P, Q, S	P = 5.76 kW ; Q = 7.68 kvar ; S = 9.6 kVA

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2020

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.