חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי
אנו פותחים את לימוד האלקטרומגנטיות בתופעה הפשוטה ביותר שבה: מטענים חשמליים במנוחה. בפרק זה נכיר את שני סוגי המטען ואת התנהגותם של מוליכים ומבדדים, ונכתוב את חוק קולון לכוח שבין שני מטענים נקודתיים. על חוק זה נבנה את המושג שדה חשמלי, שילווה אותנו בכל פרקי הספר, ונלמד לסרטט אותו בעזרת קווי שדה. בסוף הפרק נכיר בקצרה את חוק גאוס, הקושר בין השדה לבין המטען שיוצר אותו.
- נבחין בין שני סוגי המטען החשמלי ונתאר את הכוחות ביניהם, ונסביר טעינה של גופים במעבר של אלקטרונים.
- נבדיל בין מוליך למבדד, ונסביר טעינה בשפשוף ובמגע, השראה אלקטרוסטטית והארקה.
- נתאר שיווי משקל אלקטרוסטטי במוליך: המטען העודף נמצא על פני השטח ומצטבר בקצוות המחודדים.
- נשתמש בחוק שימור המטען, ונדע שכל מטען הוא כפולה שלמה של המטען היסודי: q = n·e.
- נחשב את הכוח בין שני מטענים נקודתיים בעזרת חוק קולון F = k·q1·q2r2, ונשווה אותו לכוח הכבידה.
- נחבר כוחות חשמליים הפועלים על מטען לפי עקרון הסופרפוזיציה: על קו ישר, ובמישור — בפירוק הכוחות לרכיבים.
- נגדיר את עוצמת השדה החשמלי E = Fq, נחשב את השדה של מטען נקודתי ושל כמה מטענים, ונסרטט קווי שדה.
- נחשב את הכוח על מטען הנמצא בשדה נתון: F = q·E.
- נגדיר שטף חשמלי, נשתמש בחוק גאוס במצבים סימטריים, ונסביר את הסיכוך החשמלי.
תופעות חשמליות (Electric Phenomena)
לפני יותר מאלפיים וחמש מאות שנה הבחינו היוונים שפיסת ענבר ששופשפה בצמר מושכת אליה פיסות קלות של קש ושל נוצות. מן השם היווני של הענבר, "אלקטרון", באה המילה המציינת חשמל בשפות אירופה. כיום אנו יודעים שמאחורי התופעה הפשוטה הזאת עומדת תכונה יסודית של החומר — המטען החשמלי. בסעיף זה נכיר את התופעות החשמליות באופן איכותי, בלי חישובים, ונבנה את התמונה שעליה נסתמך בכל הפרק.
שני סוגי מטען והכוחות ביניהם:
נערוך ניסוי פשוט: נשפשף שני מוטות זכוכית בפיסת משי, ונתלה אחד מהם בחוט כך שיוכל להסתובב בחופשיות. כשנקרב אליו את מוט הזכוכית השני, המוט התלוי יתרחק ממנו. נחזור על הניסוי עם שני מוטות פלסטיק ששופשפו בצמר — גם הם דוחים זה את זה. אבל אם נקרב את מוט הפלסטיק אל מוט הזכוכית התלוי, הם יימשכו זה אל זה. אי אפשר להסביר תוצאות אלה בסוג אחד של מטען; צריך שני סוגים.
- שני מטענים בעלי סימן זהה (חיובי וחיובי, או שלילי ושלילי) דוחים זה את זה.
- שני מטענים בעלי סימנים שונים (חיובי ושלילי) מושכים זה את זה.
- גוף ניטרלי נושא כמויות שוות של מטען חיובי ושל מטען שלילי, ולכן אינו מפעיל כוח חשמלי על גוף רחוק.
- השמות הם מוסכמה, ואת המוסכמה הציע בנג׳מין פרנקלין: המטען של זכוכית ששופשפה במשי נקרא חיובי, והמטען של פלסטיק ששופשף בצמר — שלילי.
המבנה החשמלי של החומר:
כל חומר בנוי מאטומים. במרכז האטום יש גרעין קטן מאוד, ובו פרוטונים בעלי מטען חיובי ונייטרונים ניטרליים, וסביב הגרעין נעים אלקטרונים בעלי מטען שלילי. המטען של האלקטרון שווה בגודלו למטען של הפרוטון והפוך לו בסימן. באטום ניטרלי מספר האלקטרונים שווה למספר הפרוטונים, ולכן המטען הכולל שלו אפס.
| חלקיק | מטען | מסה |
|---|---|---|
| אלקטרון | −e = −1.6·10−19 C | 9.1·10−31 kg |
| פרוטון | +e = +1.6·10−19 C | 1.67·10−27 kg |
| נייטרון | 0 | 1.67·10−27 kg (בקירוב) |
הפרוטונים קשורים לגרעין בכוחות חזקים מאוד, ואינם עוברים בתהליכים חשמליים רגילים. מה שעובר בין גופים הם האלקטרונים, ובמיוחד האלקטרונים החיצוניים, הרחוקים מן הגרעין. מכאן הכלל הבסיסי של כל הסעיף:
מוליכים ומבדדים:
התוצאה המעשית: מטען שמניחים על מבדד נשאר במקום שבו הונח, ואילו מטען שמניחים על מוליך מתפזר מיד על פני כל שטחו. לכן אפשר לטעון מוט פלסטיק כשמחזיקים אותו ביד, אבל אי אפשר לטעון באותה דרך מוט נחושת המוחזק ביד: המטען עובר דרך המוט ודרך גופנו אל האדמה. כדי לטעון מוט מתכת מחזיקים אותו בידית מבודדת.
| מוליכים טובים | מבדדים טובים | בין שניהם |
|---|---|---|
| מתכות (נחושת, כסף, אלומיניום) | זכוכית וחרסינה | מוליכים למחצה: סיליקון וגרמניום |
| גרפיט | פלסטיק וגומי | עץ לח |
| תמיסות מלח וגוף האדם | אוויר יבש |
טעינה בשפשוף ובמגע:
כיוון המעבר של האלקטרונים תלוי בשני החומרים: יש חומרים שמחזיקים באלקטרונים שלהם חזק יותר מאחרים. המשי לוקח אלקטרונים מן הזכוכית, והפלסטיק לוקח אלקטרונים מן הצמר. לכן מתקבל מטען חיובי על הזכוכית, ומטען שלילי על הפלסטיק.
המטען השלילי פירושו שהמוט קיבל אלקטרונים, ולכן האלקטרונים עברו מן הצמר אל המוט. מספר האלקטרונים הוא גודל המטען חלקי המטען של אלקטרון אחד:
הצמר איבד בדיוק את האלקטרונים האלה, ולכן המטען שלו חיובי ושווה בגודלו: +4.8 nC.
המסה הנוספת היא מסת האלקטרונים שעברו:
זו תוספת שאי אפשר למדוד: טעינת גופים כמעט אינה משנה את מסתם.
אלקטרוסקופ:
כשהאלקטרוסקופ נטען, המטען מתפזר על המוט ועל שני העלים יחד (כולם מוליכים), ולכן העלים נושאים מטען בעל אותו סימן ודוחים זה את זה. ככל שהמטען גדול יותר, העלים נפתחים יותר. אפשר להשתמש באלקטרוסקופ גם כדי לגלות את סימן המטען של גוף: טוענים את האלקטרוסקופ במטען ידוע (חיובי, למשל), ואחר כך מקרבים את הגוף אל הכדור. אם פתיחת העלים גדלה — המטען של הגוף חיובי, ואם קטנה — המטען שלו שלילי.
בסרטוט השלישי המוט לא נגע באלקטרוסקופ, ובכל זאת העלים נפתחו. זו תופעת ההשראה, שנכיר עכשיו.
השראה אלקטרוסטטית:
בסרטוט: האלקטרונים החופשיים בכדור נמשכים אל המוט החיובי ומתרכזים בצד הקרוב אליו, ולכן בצד הרחוק נוצר חוסר באלקטרונים, כלומר מטען חיובי. שני המטענים שווים בגודלם, אבל המטען השלילי קרוב יותר למוט, והכוח החשמלי גדל ככל שהמרחק קטן (נראה זאת בחוק קולון). לכן המשיכה גדולה מן הדחייה, והכוח השקול על הכדור הוא כוח משיכה. זה מסביר מדוע מסרק טעון מושך פיסות נייר ניטרליות, ומדוע גוף ניטרלי נמשך אל המוט בין שהמטען של המוט חיובי ובין שהוא שלילי.
קיטוב במבדד:
במבדד אין אלקטרונים חופשיים, ולכן המטען אינו עובר דרך הגוף. אבל כל מולקולה מתקטבת במקומה: האלקטרונים שלה זזים מעט לכיוון המוט החיובי, והקצה הקרוב שלה נעשה שלילי והקצה הרחוק — חיובי. התוצאה הכוללת דומה למה שקורה במוליך: על פני המבדד הקרובים למוט מופיע מטען שלילי, ולכן גם מבדד ניטרלי נמשך אל הגוף הטעון, אם כי בכוח חלש יותר.
טעינה בהשראה והארקה:
בעזרת השראה והארקה אפשר לטעון מוליך בלי לגעת בו בגוף הטעון, והמוליך מקבל מטען הפוך למטען המוט. השלבים (לפי הסרטוט):
- נקרב את המוט השלילי אל הכדור המוליך הניטרלי, המונח על מעמד מבודד. ההשראה מפרידה בין המטענים: הצד הקרוב חיובי והרחוק שלילי.
- נאריק את הכדור (נחבר אותו לאדמה). האלקטרונים שהמוט השלילי דוחה מוצאים דרך להתרחק עוד יותר — אל האדמה — ועוברים אליה.
- ננתק את ההארקה כשהמוט עדיין קרוב. עכשיו האלקטרונים אינם יכולים לחזור מן האדמה.
- נרחיק את המוט. המטען החיובי העודף מתפזר על פני כל הכדור. הכדור טעון במטען חיובי — הפוך למטען המוט.
שיווי משקל אלקטרוסטטי:
למוליך בשיווי משקל אלקטרוסטטי שלוש תכונות חשובות:
- השדה החשמלי בתוך המוליך שווה לאפס. אילו היה שדה בתוך המוליך, הוא היה מפעיל כוח על האלקטרונים החופשיים ומניע אותם, כלומר המוליך לא היה בשיווי משקל. (את השדה החשמלי נגדיר בסעיף 1.3.)
- כל המטען העודף נמצא על פני השטח החיצוניים. מטענים זהים דוחים זה את זה, ולכן הם מתרחקים זה מזה ככל האפשר, כלומר אל פני השטח. בתוך המוליך החומר נשאר ניטרלי.
- המטען מצטבר בקצוות המחודדים. על מוליך שאינו כדורי המטען אינו מתפזר באופן אחיד: צפיפותו גדולה יותר היכן שפני השטח מעוקמים יותר (רדיוס העקמומיות קטן), והיא מרבית בחודים.
הצטברות המטען בחודים יוצרת סביבם שדה חזק מאוד, המסוגל ליינן את האוויר ולפרוק בו את המטען. על עיקרון זה פועל כליא ברק: מוט מתכת מחודד בראש הבניין, המחובר לאדמה בתיל עבה. החוד פורק את המטען בהדרגה, ואם פוגע ברק, הוא עובר דרך המוט והתיל אל האדמה, ולא דרך קירות הבניין.
זרמים חשמליים חולפים:
בסרטוט: הכדור A חיובי והכדור B ניטרלי. כשסוגרים את המפסק, אלקטרונים עוברים מ-B אל A דרך התיל. תנועה זו היא זרם חשמלי, אבל היא אינה נמשכת: כשהמוליך כולו (שני הכדורים והתיל) מגיע לשיווי המשקל החדש, מעבר המטען נפסק. דוגמאות נוספות לזרמים חולפים: מעבר של אלקטרונים במוליך כשמקרבים אליו גוף טעון (השראה), המעבר אל האדמה בהארקה, הניצוץ שאנו חשים כשנוגעים בידית הדלת אחרי הליכה על שטיח, והברק — זרם חולף עצום בין הענן לאדמה. בפרק הרביעי נלמד על זרם הנמשך בלי הפסקה, כשמקור מתח שומר על תנועת המטענים.
שימור המטען:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| Σq | הסכום האלגברי של מטעני המערכת המבודדת (כל מטען עם סימנו) | [C] |
כששני מוליכים זהים נוגעים זה בזה ואחר כך נפרדים, כל אחד מהם מקבל מחצית מסכום שני המטענים שלהם (עם הסימנים):
המגע הראשון: הכדורים זהים, ולכן המטען הכולל מתחלק ביניהם שווה בשווה:
המגע השני: הכדור B, שעליו עכשיו 3 nC, עם הכדור C הניטרלי; הכדור A מופרד ואינו משתנה:
בדיקת שימור המטען: הסכום בהתחלה 10 − 4 + 0 = 6 nC, ובסוף:
במגע הראשון המטען של B היה −4 nC ונעשה +3 nC, כלומר הוא איבד 7 nC של מטען שלילי. מכאן שאלקטרונים עברו מ-B אל A:
חוק קולון (Coulomb's Law)
בסעיף הקודם תיארנו את הכוחות החשמליים באופן איכותי: דחייה או משיכה, חזקות יותר כשהמטענים קרובים יותר. בשנת 1785 מדד הפיזיקאי הצרפתי שארל קולון את הכוח הזה במדויק בעזרת מאזני פיתול: כדור טעון קטן בקצה מוט התלוי בחוט דק, וכדור טעון שני המתקרב אליו; מזווית הפיתול של החוט חישב את הכוח. התוצאה היא חוק פשוט ומדויק הנושא את שמו.
מטען נקודתי:
חוק קולון:
קולון מצא שהכוח בין שני מטענים נקודתיים במנוחה:
- עומד ביחס ישר למכפלת הגדלים של שני המטענים: הכפלת אחד המטענים מכפילה את הכוח.
- עומד ביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם: הכפלת המרחק מקטינה את הכוח פי ארבעה.
- פועל לאורך הקו המחבר את שני המטענים: דחייה בין שני מטענים זהים, ומשיכה בין שני מטענים שונים.
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| F | גודל הכוח שכל מטען מפעיל על המטען האחר | [N] |
| q1 , q2 | הגדלים של שני המטענים (מציבים בלי סימן) | [C] |
| r | המרחק בין שני המטענים | [m] |
| k | קבוע קולון: k = 9·109 N·m²/C² | [N·m²/C²] |
שני הכוחות שהמטענים מפעילים זה על זה הם זוג של פעולה ותגובה לפי החוק השלישי של ניוטון: שווים בגודלם והפוכים בכיוונם, גם כאשר אחד המטענים גדול בהרבה מן האחר. בסרטוט מסמנים ב-F12 את הכוח שהמטען q1 מפעיל על q2, וב-F21 את הכוח שהמטען q2 מפעיל על q1:
לעיתים כותבים את קבוע קולון בעזרת קבוע אחר, ε0, הנקרא דיאלקטריות הריק. נשתמש בו בסעיף 1.4 ובפרק השני:
נעביר ליחידות SI: q1 = 4·10−6 C, q2 = 6·10−6 C (הגודל בלבד), r = 0.3 m. נציב בחוק קולון:
הסימנים שונים, ולכן הכוח הוא כוח משיכה: על q1 הוא פונה אל q2 (ימינה), ועל q2 הוא פונה אל q1 (שמאלה). גודלי שני הכוחות שווים.
אין צורך לחשב מחדש. נכתוב את היחס בין הכוח החדש לכוח הקודם:
מחצית המטען מקטינה את הכוח לחצי, ומחצית המרחק מגדילה אותו פי ארבעה:
נבודד את r מחוק קולון:
הקולון:
זו מסה של אוניית משא ענקית! לכן איננו פוגשים בטבע גופים הנושאים מטען נקי בסדר גודל של קולון: החומר כמעט תמיד ניטרלי, והמטענים שמקבלים בשפשוף קטנים מאוד.
קיום מטען יסודי:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| q | המטען של הגוף | [C] |
| n | מספר שלם: מספר האלקטרונים העודפים או החסרים | — |
| e | המטען היסודי: 1.6·10−19 C | [C] |
הפיזיקאי האמריקני רוברט מיליקן הוכיח את קיום המטען היסודי בניסוי טיפות השמן המפורסם (1909): הוא מדד את המטענים של טיפות שמן זעירות שריחפו בין שני לוחות טעונים, ומצא שכולם כפולות שלמות של גודל אחד. ננתח ניסוי זה בסעיף 1.3. המטען היסודי קטן מאוד, ולכן איננו מבחינים ב"קפיצות" שלו בגופים רגילים, והמטען נראה לנו כגודל רציף.
נחשב את מספר המטענים היסודיים בכל מדידה:
המדידה הראשונה נותנת מספר שאינו שלם — מטען כזה אינו קיים, והמדידה שגויה. המדידה השנייה אפשרית: חוסר או עודף של שלושה אלקטרונים.
השוואה בין כוחות חשמליים לכוחות כבידה:
חוק קולון דומה מאוד לחוק הכבידה העולמי של ניוטון, שלמדנו בספר המכניקה: F = G·m1·m2r2, כאשר G = 6.67·10−11 N·m²/kg². בשני החוקים הכוח עומד ביחס הפוך לריבוע המרחק, ופועל לאורך הקו המחבר את שני הגופים. אבל יש ביניהם הבדלים מהותיים:
| כוח הכבידה | הכוח החשמלי | |
|---|---|---|
| הנוסחה | F = G·m1·m2r2 | F = k·q1·q2r2 |
| הגודל הגורם לכוח | המסה | המטען |
| הקבוע | G = 6.67·10−11 | k = 9·109 |
| סוג הכוח | משיכה בלבד | משיכה או דחייה |
| התלות במרחק | 1r2 | 1r2 |
| האם אפשר לסכך מפניו? | לא | כן (סעיף 1.4) |
הכוח החשמלי גדול מכוח הכבידה פי 1039 בערך! ברמת האטום הכבידה זניחה לחלוטין. שימו לב שהיחס אינו תלוי במרחק, כי שני הכוחות קטנים ביחס הפוך לריבוע המרחק.
אם הכוח החשמלי חזק כל כך, מדוע הכבידה היא ששולטת בתנועת כוכבי הלכת והכוכבים? כי גופים גדולים הם כמעט ניטרליים: המטענים החיוביים והשליליים שבהם שווים, והכוחות החשמליים שלהם מבטלים זה את זה. ואילו המסה תמיד חיובית, וכוחות הכבידה מצטברים ואינם מבטלים זה את זה.
עקרון הסופרפוזיציה:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| Fi | הכוח שמפעיל המטען שמספרו i לבדו | [N] |
| Fx , Fy | שני הרכיבים של הכוח השקול | [N] |
| α | הזווית בין הכוח השקול לציר x | — |
דרך העבודה:
- נסרטט את המטען שעליו אנו מחשבים את הכוח, ונסרטט עליו חץ לכל כוח בנפרד: הרחק מן המטען המפעיל אותו בדחייה, ואליו במשיכה.
- נחשב את גודל כל כוח בחוק קולון, בגדלים של המטענים בלבד.
- על קו ישר: נבחר כיוון חיובי, ונחבר את הכוחות עם סימניהם.
- במישור: נפרק כל כוח לשני רכיבים, x ו-y, נחבר את הרכיבים, ואחר כך נמצא את גודל השקול ואת כיוונו.
סופרפוזיציה על קו ישר:
המטען qA חיובי ו-qB שלילי: משיכה, ולכן הכוח על qB פונה אל qA — שמאלה:
המטען qC חיובי: גם כאן משיכה, ולכן הכוח על qB פונה אל qC — ימינה:
נבחר את הכיוון ימינה כחיובי ונחבר:
הכוח השקול על qB גודלו 0.9 N וכיוונו ימינה, כלומר אל qC. אף ש-qA גדול יותר, qC קרוב יותר.
שני הכוחות צריכים להיות הפוכים בכיוונם. מחוץ לקטע שבין המטענים שני הכוחות פועלים באותו כיוון (שניהם דחייה או שניהם משיכה), ולכן הנקודה נמצאת בין המטענים. נסמן את מרחקה מ-q1 באות x, ואז מרחקה מ-q2 הוא 0.6 − x. נשווה את הגדלים של שני הכוחות:
שימו לב ש-q3 הצטמצם: הנקודה אינה תלויה בגודל המטען השלישי ולא בסימנו. הנקודה קרובה יותר למטען הקטן — כדי שהקרבה תפצה על קוטנו של המטען.
סופרפוזיציה במישור:
הכוח מ-qA: דחייה (שני מטענים חיוביים), ולכן הוא דוחף את q0 הרחק מ-qA — בכיוון השלילי של ציר x:
הכוח מ-qB: משיכה, ולכן הוא מושך את q0 אל qB — בכיוון החיובי של ציר y:
שני הכוחות מאונכים זה לזה, ולכן הם עצמם הרכיבים של השקול: Fx = −0.6 N, Fy = +0.45 N:
הכוח השקול פונה למעלה ושמאלה, בזווית 36.9° מעל הכיוון השלילי של ציר x.
המרחק בין qC לכל אחד משני המטענים האחרים שווה, והמטענים שווים בגודלם, ולכן שני הכוחות שווים בגודלם:
הכוח FA הוא דחייה: הוא פונה מ-qA אל qC והלאה, בזווית 60° מעל האופק. הכוח FB הוא משיכה: הוא פונה מ-qC אל qB, בזווית 60° מתחת לאופק. נפרק לרכיבים:
הרכיבים האנכיים מבטלים זה את זה. הכוח השקול אופקי ופונה ימינה, כלומר הוא מקביל לצלע AB, בכיוון מ-A אל B.
השדה האלקטרוסטטי, המושג "שדה" בפיזיקה (The Electrostatic Field)
המושג "שדה":
חוק קולון מתאר כוח בין שני מטענים רחוקים שאינם נוגעים זה בזה. איך "יודע" המטען q2 שיש מטען q1 במרחק ממנו? מייקל פארדיי הציע תשובה ששינתה את הפיזיקה: המטען q1 משנה את תכונות המרחב שסביבו, ויוצר בו שדה. המטען q2 אינו מושפע מן המטען q1 ישירות, אלא מן השדה הקיים במקום שבו הוא נמצא. כך אנו מפרקים את הבעיה לשני שלבים: המטענים יוצרים שדה, והשדה מפעיל כוח על כל מטען המונח בו.
בפיזיקה, שדה הוא גודל פיזיקלי המוגדר בכל נקודה במרחב. אנו פוגשים שדות בתחומים שונים:
| השדה | סוגו | מה נתון בכל נקודה |
|---|---|---|
| הטמפרטורה בחדר | שדה סקלרי | מספר אחד: הטמפרטורה |
| לחץ האוויר במפת מזג האוויר | שדה סקלרי | מספר אחד: הלחץ |
| מהירות הרוח | שדה וקטורי | הגודל והכיוון של המהירות |
| שדה הכבידה | שדה וקטורי | הכוח על כל קילוגרם: g = Fm |
| השדה החשמלי | שדה וקטורי | הכוח על כל קולון: E = Fq |
תזכורת: שדה הכבידה:
בספר המכניקה למדנו שכדור הארץ מפעיל על כל גוף שמסתו m כוח F = m·g. אפשר להתייחס לכך כאל שדה: כדור הארץ יוצר סביבו שדה כבידה שעוצמתו g = Fm — הכוח על כל קילוגרם. ליד פני כדור הארץ g = 10 N/kg כלפי מטה, ובהתרחקות ממנו השדה קטן ביחס הפוך לריבוע המרחק: g = G·Mr2. השדה החשמלי בנוי בדיוק באותה דרך, כשהמטען בא במקום המסה.
עוצמת השדה החשמלי:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| E | עוצמת השדה החשמלי בנקודה | [N/C] |
| F | הכוח הפועל על מטען הבוחן בנקודה | [N] |
| q | מטען הבוחן | [C] |
- כיוון השדה בנקודה הוא כיוון הכוח הפועל על מטען בוחן חיובי המונח בה.
- השדה אינו תלוי במטען הבוחן: אם מכפילים את מטען הבוחן הכוח מוכפל, אבל היחס Fq נשאר כפי שהיה. השדה קיים בנקודה גם כאשר אין בה שום מטען.
- יחידת עוצמת השדה היא ניוטון לקולון ( N/C). בפרק השני נראה שהיא שווה ליחידה אחרת: וולט למטר ( V/m).
השדה של מטען נקודתי:
נציב מטען בוחן q במרחק r ממטען נקודתי Q. לפי חוק קולון הכוח עליו הוא F = k·Q·qr2, ונחלק ב-q:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| E | גודל עוצמת השדה | [N/C] |
| Q | גודל המטען שיוצר את השדה | [C] |
| r | המרחק של הנקודה מן המטען | [m] |
- סביב מטען חיובי השדה בכל נקודה פונה הרחק מן המטען (רדיאלית, החוצה).
- סביב מטען שלילי השדה בכל נקודה פונה אל המטען (רדיאלית, פנימה).
- הגודל שווה בכל הנקודות שבאותו מרחק, וקטן ביחס הפוך לריבוע המרחק.
המטען חיובי, ולכן השדה ב-P פונה הרחק מ-Q (ימינה בסרטוט). הכוחות על הפרוטון ועל האלקטרון שווים בגודלם:
על הפרוטון הכוח פועל בכיוון השדה, ועל האלקטרון — נגד כיוון השדה (אל Q). התאוצות לפי החוק השני של ניוטון:
הכוחות שווים, אבל התאוצה של האלקטרון גדולה פי 1800 בערך, כי המסה שלו קטנה באותו יחס.
סופרפוזיציה של שדות:
מכיוון שכוחות מתחברים חיבור וקטורי, גם שדות מתחברים חיבור וקטורי: השדה בנקודה הוא סכום השדות שכל מטען יוצר בה לבדו.
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| Ei | השדה שיוצר בנקודה המטען שמספרו i לבדו | [N/C] |
המרחק של M מכל אחד מן המטענים הוא 0.2 m, ולכן הגדלים של שני השדות שווים:
השדה E1 פונה הרחק מן המטען החיובי — ימינה. השדה E2 פונה אל המטען השלילי — גם הוא ימינה. שני השדות מתחברים:
בין המטענים שני השדות פונים לאותו כיוון, ולכן השדה אינו מתאפס שם. מימין ל-q2 הנקודה קרובה יותר למטען הגדול, ולכן השדה שלו תמיד גדול יותר. לכן הנקודה נמצאת משמאל ל-q1 (בצד המטען הקטן). נסמן את מרחקה מ-q1 באות d ונשווה את הגדלים:
נבדוק את הכיוונים: ב-P השדה E1 פונה הרחק מ-q1 (שמאלה), והשדה E2 פונה אל q2 (ימינה) — הם הפוכים ושווים, ולכן השדה השקול אפס.
המרחק של P מכל מטען (פיתגורס):
הגדלים של שני השדות שווים:
השדה E1 פונה הרחק מ-q1 (למעלה וימינה), והשדה E2 פונה אל q2 (למטה וימינה). הזווית של כל אחד מהם עם האופק מקיימת cos θ = 0.030.05 = 0.6. הרכיבים האנכיים מבטלים זה את זה, והאופקיים מתחברים:
השדה ב-P מקביל לקטע המחבר בין המטענים, בכיוון מן החיובי אל השלילי.
קווי שדה:
את קווי השדה המציא פארדיי ככלי להמחשה, והם מצייתים לכללים קבועים:
- הקווים יוצאים ממטענים חיוביים ונכנסים למטענים שליליים (או נמשכים עד אינסוף).
- מספר הקווים היוצאים ממטען או הנכנסים אליו עומד ביחס ישר לגודלו.
- במקום שבו הקווים צפופים השדה חזק, ובמקום שבו הם מתרחקים זה מזה השדה חלש.
- הקווים לעולם אינם חותכים זה את זה: בכל נקודה יש לשדה כיוון אחד בלבד.
- קווי השדה מגיעים אל פני השטח של מוליך בשיווי משקל אלקטרוסטטי בניצב להם, ואינם חודרים לתוכו.
כוח על מטען בשדה:
אם השדה E בנקודה ידוע, אין צורך לדעת אילו מטענים יוצרים אותו כדי לחשב את הכוח על מטען q שמציבים שם:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| F | הכוח החשמלי על המטען | [N] |
| q | המטען (עם סימנו) | [C] |
| E | השדה במקום המטען (בלי השדה של המטען עצמו) | [N/C] |
על מטען חיובי פועל כוח בכיוון השדה, ועל מטען שלילי — כוח נגד כיוון השדה. בשדה אחיד הכוח קבוע בכל מקום, ולכן החלקיק הטעון נע בתאוצה קבועה — ואפשר להשתמש בנוסחאות התנועה בתאוצה קבועה מספר המכניקה.
השדה פונה מן הלוח החיובי אל השלילי — כלפי מטה. המטען של האלקטרון שלילי, ולכן הכוח עליו פונה כלפי מעלה:
המשקל של האלקטרון, והיחס:
המשקל זניח לחלוטין לעומת הכוח החשמלי. בכל הבעיות של חלקיקים יסודיים בשדות חשמליים נזניח את הכבידה.
הטיפה בשיווי משקל, ולכן הכוח החשמלי מנוגד למשקל — כלפי מעלה. השדה כלפי מטה והכוח כלפי מעלה, ולכן המטען של הטיפה שלילי. נשווה את הגדלים של שני הכוחות:
על הטיפה יש שני אלקטרונים עודפים. כך מדד מיליקן את המטענים של מאות טיפות, ותמיד מצא מספרים שלמים.
על הכדור פועלים שלושה כוחות: המשקל כלפי מטה, הכוח החשמלי בכיוון השדה (המטען חיובי) — ימינה, וכוח המתיחות לאורך החוט:
בשיווי משקל: הרכיב האופקי של המתיחות מאזן את הכוח החשמלי, והרכיב האנכי מאזן את המשקל:
הכדור נוטה ימינה — בכיוון הכוח החשמלי.
חוק גאוס והקשר לחוק קולון (Gauss's Law)
בסעיף זה נכיר בקצרה את חוק גאוס: דרך אחרת להסתכל על הקשר בין המטען לשדה. החוק שימושי מאוד כאשר פיזור המטען סימטרי — כדור, קליפה כדורית, לוח גדול — ובעזרתו נבין גם מדוע השדה בתוך מוליך הוא אפס.
שטף חשמלי:
עבור משטח מישורי ששטחו A בשדה אחיד E: השטף הגדול ביותר כשהמשטח ניצב לקווים, והוא אפס כשהמשטח מקביל להם. את הנטייה של המשטח מתארים בזווית θ שבין השדה לבין הווקטור הניצב למשטח n:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| Φ | השטף החשמלי | [N·m²/C] |
| E | עוצמת השדה | [N/C] |
| A | שטח המשטח | [m²] |
| θ | הזווית בין השדה לבין הניצב למשטח | — |
השטף הגדול ביותר מתקבל כשהמשטח ניצב לשדה (θ = 0):
במשטח סגור (כמו כדור או תיבה) בוחרים את הניצב לכל חלק של המשטח כך שיפנה החוצה. קווים היוצאים מן המשטח תורמים שטף חיובי, וקווים הנכנסים אליו תורמים שטף שלילי. השטף הכולל הוא "מספר הקווים היוצאים פחות מספר הקווים הנכנסים".
חוק גאוס:
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| Φ | השטף הכולל דרך משטח גאוס הסגור | [N·m²/C] |
| Qin | סכום המטענים שבתוך המשטח (עם סימניהם) | [C] |
| ε0 | דיאלקטריות הריק: 8.85·10−12 | [C²/N·m²] |
החוק אומר שהשטף דרך משטח סגור תלוי רק במטען שבתוכו — לא בצורת המשטח, לא בגודלו ולא במטענים שמחוצה לו. הסיבה ברורה בשפת הקווים: כל קו שמתחיל במטען חיובי שבתוך המשטח חייב לצאת ממנו; וכל קו שמגיע ממטען חיצוני נכנס למשטח מצד אחד ויוצא מן הצד האחר, ולכן אינו תורם לסכום.
| המשטח | המטען שבתוכו | השטף |
|---|---|---|
| S1 | +q | +qε0 (הקווים יוצאים) |
| S2 | −q | −qε0 (הקווים נכנסים) |
| S3 | +q − q = 0 | 0 (כל קו יוצא וחוזר) |
| S4 | אין מטען | 0 (כל קו שנכנס — יוצא) |
מחוק גאוס לחוק קולון:
נבחר משטח גאוס כדורי שרדיוסו r ומרכזו במטען נקודתי Q. בגלל הסימטריה השדה שווה בגודלו בכל נקודות המשטח, והוא פונה רדיאלית — כלומר ניצב למשטח (θ = 0). לכן השטף הוא מכפלת השדה בשטח הכדור 4π·r2:
קיבלנו את השדה של מטען נקודתי, וממנו את חוק קולון. שני החוקים שקולים עבור מטענים במנוחה, וכאן אנו רואים גם מדוע k = 14π·ε0.
שדה של קליפה כדורית טעונה:
- מחוץ לקליפה (r > R): משטח גאוס כדורי מקיף את כל המטען Q, והחישוב זהה לחישוב עבור מטען נקודתי: E = k·Qr2. הקליפה מתנהגת כאילו כל המטען שלה מרוכז במרכזה.
- בתוך הקליפה (r < R): משטח גאוס פנימי אינו מקיף שום מטען, ולכן השטף אפס; ובגלל הסימטריה גם השדה עצמו אפס: E = 0.
הנקודה שבמרחק 5 cm נמצאת בתוך הקליפה: E = 0.
סמוך לפני השטח מבחוץ (r = R = 0.1 m) ובמרחק 0.2 m — כמו מטען נקודתי במרכז:
השדה פונה רדיאלית החוצה (המטען חיובי).
השדה בין לוחות קבל:
שני לוחות מתכת מקבילים, ששטחו של כל אחד מהם A, טעונים במטען +Q ובמטען −Q, והמרחק ביניהם קטן ביחס לממדיהם. נגדיר את צפיפות המטען המשטחית σ — המטען על כל מטר רבוע של הלוח. מחוק גאוס מתקבלת התוצאה הבאה (בלי הוכחה):
| סימן | משמעות | יחידת מידה |
|---|---|---|
| E | עוצמת השדה האחיד בין הלוחות | [N/C] |
| σ | צפיפות המטען המשטחית על כל לוח | [C/m²] |
| Q | גודל המטען על כל לוח | [C] |
| A | שטח הלוח | [m²] |
- השדה בין הלוחות אחיד: הוא אינו תלוי במרחק מן הלוחות, אלא בצפיפות המטען בלבד.
- השדה פונה מן הלוח החיובי אל הלוח השלילי.
- מחוץ ללוחות השדה בקירוב אפס (השדות של שני הלוחות מבטלים שם זה את זה).
הכוח על האלקטרון שווה בכל נקודה בין הלוחות, וכיוונו אל הלוח החיובי (נגד השדה).
סיכוך ודלי פארדיי:
הסיבה: בשיווי משקל אלקטרוסטטי המטענים מסתדרים על פני השטח החיצוניים של המוליך כך שהשדה שלהם מבטל את השדה החיצוני בכל הפנים. יש יישומים רבים לסיכוך: כלוב פארדיי (כלוב של רשת מתכת) מגן על מכשירים רגישים; מכונית ומטוס מגינים על הנוסעים כשפוגע בהם ברק, כי שלד המתכת שלהם הוא מוליך סגור; וכבלים מסוככים (כמו כבל האנטנה) מקיפים את תיל האות ברשת מתכת המגינה עליו מפני הפרעות.
פארדיי ערך ניסוי מפורסם בעזרת כלי מתכת הנקרא דלי פארדיי, המונח על מעמד מבודד:
- נוריד כדור טעון במטען חיובי לתוך הדלי בלי שייגע בו. בהשראה מופיע על הדופן הפנימית מטען שלילי השווה למטען הכדור, ועל פני השטח החיצוניים מטען חיובי שווה. המטען על פני השטח החיצוניים אינו תלוי במקום הכדור בתוך הדלי.
- ניגע בכדור בדופן הפנימית. המטען השלילי שעל הדופן הפנימית מנטרל בדיוק את מטען הכדור, והכדור נעשה ניטרלי, ולא נשאר שום מטען על פני השטח הפנימיים. המטען החיובי שעל פני השטח החיצוניים אינו משתנה.
- התוצאה: כל המטען של הכדור עבר אל פני השטח החיצוניים של הדלי. זו הוכחה ניסויית לכך שהמטען העודף במוליך מתייצב על פני השטח החיצוניים שלו, וגם דרך להעביר את כל המטען של גוף אל מוליך אחר.
עיקרי הדברים:
- המטען החשמלי הוא משני סוגים: חיובי ושלילי. מטענים זהים דוחים זה את זה ומטענים שונים מושכים זה את זה, וגוף נטען במעבר אלקטרונים — לא ביצירת מטען.
- במוליך יש נושאי מטען הנעים בחופשיות, ובמבדד המטען נשאר במקום שבו הונח. בשיווי משקל אלקטרוסטטי כל המטען העודף נמצא על פני השטח החיצוניים, והשדה בתוך המוליך אפס.
- המטען נשמר ומקוונטט: הסכום האלגברי שלו במערכת מבודדת קבוע, וכל מטען הוא כפולה שלמה של המטען היסודי.
- חוק קולון: הכוח בין שני מטענים נקודתיים עומד ביחס ישר למכפלת הגדלים של שני המטענים וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם, ושני הכוחות ההדדיים שווים בגודלם תמיד.
- כשכמה מטענים פועלים על מטען, מחברים את הכוחות חיבור וקטורי (עקרון הסופרפוזיציה): עם הסימנים על קו ישר, ולפי רכיבים במישור.
- השדה החשמלי הוא "הכוח על כל קולון": המטענים יוצרים שדה במרחב, והשדה מפעיל את הכוח F = q·E על כל מטען המוצב בו.
- קווי השדה יוצאים מן המטענים החיוביים ונכנסים אל השליליים, וצפיפותם מבטאת את עוצמת השדה — והם אינם מסלולי התנועה של המטענים.
- חוק גאוס: השטף החשמלי דרך משטח סגור תלוי רק במטען הכלוא בתוכו. ממנו מקבלים את השדה של הקליפה הכדורית, את השדה האחיד בין שני לוחות מקבילים, ואת ההסבר לסיכוך.
סיכום נוסחאות הפרק:
| החוק | הנוסחה |
|---|---|
| קוונטיזציה של המטען | q = n·e |
| שימור המטען | Σq = const |
| מגע בין שני מוליכים זהים | q' = q1 + q22 |
| חוק קולון | F = k·q1·q2r2 |
| קבוע קולון | k = 14π·ε0 = 9·109 N·m²/C² |
| עקרון הסופרפוזיציה לכוחות | F = F1 + F2 + … |
| גודל השקול לפי רכיביו | F = Fx2 + Fy2 |
| כיוון השקול | tan α = FyFx |
| עוצמת השדה החשמלי | E = Fq |
| שדה של מטען נקודתי | E = k·Qr2 |
| עקרון הסופרפוזיציה לשדות | E = E1 + E2 + … |
| כוח על מטען בשדה | F = q·E |
| שטף חשמלי | Φ = E·A·cos θ |
| חוק גאוס | Φ = Qinε0 |
| קליפה כדורית — מחוצה לה (r > R) | E = k·Qr2 |
| קליפה כדורית — בתוכה (r < R) | E = 0 |
| השדה בין שני לוחות מקבילים | E = σε0 |
| צפיפות המטען המשטחית | σ = QA |
מילון מונחים:
| עברית | English | العربية |
|---|---|---|
| מטען חשמלי | Electric charge | الشحنة الكهربائية |
| מטען נקודתי | Point charge | شحنة نقطية |
| מטען יסודי | Elementary charge | الشحنة الأوّلية |
| מוליך | Conductor | الموصل |
| מבדד | Insulator | العازل |
| אלקטרונים חופשיים | Free electrons | الإلكترونات الحرّة |
| טעינה בשפשוף | Charging by friction | الشحن بالدلك |
| טעינה במגע | Charging by contact | الشحن باللمس |
| השראה אלקטרוסטטית | Electrostatic induction | الحثّ الكهروستاتيكي (الشحن بالتأثير) |
| קיטוב | Polarization | الاستقطاب |
| הארקה | Grounding | التأريض |
| אלקטרוסקופ | Electroscope | الكشّاف الكهربائي (الإلكتروسكوب) |
| שיווי משקל אלקטרוסטטי | Electrostatic equilibrium | الاتّزان الكهروستاتيكي |
| זרם חולף | Transient current | تيار عابر |
| כליא ברק | Lightning rod | مانعة الصواعق |
| שימור המטען | Conservation of charge | حفظ الشحنة |
| חוק קולון | Coulomb's law | قانون كولون |
| קבוע קולון | Coulomb's constant | ثابت كولون |
| דיאלקטריות הריק | Vacuum permittivity | عازلية الفراغ |
| עקרון הסופרפוזיציה | Superposition principle | مبدأ التراكب |
| שדה חשמלי | Electric field | الحقل الكهربائي (المجال الكهربائي) |
| עוצמת השדה החשמלי | Electric field strength | شدّة الحقل الكهربائي |
| מטען בוחן | Test charge | شحنة الاختبار |
| קווי שדה | Field lines | خطوط الحقل |
| שדה אחיד | Uniform field | حقل متجانس |
| שטף חשמלי | Electric flux | التدفّق الكهربائي (الفيض) |
| חוק גאוס | Gauss's law | قانون غاوس |
| משטח גאוס | Gaussian surface | سطح غاوس |
| קליפה כדורית | Spherical shell | قشرة كروية |
| צפיפות מטען משטחית | Surface charge density | كثافة الشحنة السطحية |
| סיכוך | Electrostatic shielding | الحجب الكهربائي |
| דלי פארדיי | Faraday ice pail | دلو فاراداي |
תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:
א. מכפילים כל אחד משני המטענים?
ב. מכפילים את המרחק?
ג. מכפילים את שני המטענים ומקטינים את המרחק לחצי?
א. שני קווי שדה יכולים לחתוך זה את זה בנקודה אחת.
ב. במקום שבו קווי השדה צפופים יותר השדה חזק יותר.
ג. מספר הקווים היוצאים ממטען +2q כפול ממספר הקווים היוצאים ממטען +q.
א. משטח גאוס S מקיף את המטענים q1 = +3 nC ו-q2 = −5 nC, והמטען q3 = +4 nC נמצא מחוצה לו. חשבו את השטף דרך S.
ב. כדור מתכת חלול שרדיוסו 5 cm טעון במטען +3 nC. חשבו את השדה במרחק 3 cm ובמרחק 15 cm ממרכזו.
תרגילי סיכום:
תרגילי העמקה:
שאלות בגרות לפרק 1
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| א | תרשים הכוחות והביטוי לתאוצה | שני כוחות בלבד — qE כלפי מעלה ו-mg כלפי מטה — ומהם a = (q/m)E − g |
| ב | דיאגרמת הפיזור וקו המגמה | הנקודות נופלות בקירוב על ישר עולה — ראו את הגרף שלמעלה |
| ג | היחס בין המטען למסה | q/m ≈ 8·10⁻⁵ C/kg |
| ד | האם ההדמיה סותרת את הפיזיקה | כן — קו המגמה חותך את ציר התאוצה בכ-−13 m/s², בעוד הפיזיקה מחייבת בדיוק −g = −10 m/s² |
| ה | טיפות טעונות וטיפות ניטרליות | הטעונות נדחות כי מטענן זהה בסימנו לכדור · הניטרליות מתקטבות, והצד הקרוב נמשך חזק מן הצד הרחוק שנדחה |
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| א | תרשים הכוחות והביטוי למתיחות | על B פועלים mg כלפי מטה מכדור הארץ, T_B כלפי מעלה מן החוט, ו-F_E כלפי מטה מכדור A · ומהם T_B = mg + kq²/r² |
| ב | המשתנה החדש שהופך את הגרף לישר | המשתנה החדש הוא 1 חלקי r², ויחידותיו m⁻² · ערכיו 39.06 · 30.86 · 25.00 · 20.66 · 17.36 |
| ג | דיאגרמת הפיזור וקו המגמה | חמש הנקודות נופלות על ישר עולה שחיתוכו עם ציר המתיחות חיובי — ראו את הגרף שלמעלה |
| ד | חישוב המטען והמסה מן הגרף | |q| = 1.0·10⁻⁶ C = 1 μC · m = 5.77·10⁻³ kg ≈ 5.8 גרם |
| ה | איזה חוט נקרע ראשון | החוט הקשור לכדור B נקרע ראשון · T_B − T_A = 2mg > 0 בכל מרחק |
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| א | הקשר בין זווית הסטייה לעוצמת השדה וגודל המטען q₁ | tanα = q₁E חלקי mg · ומכאן E = mg·tanα חלקי q₁ · המטען חיובי · q₁ = 8.7·10⁻⁸ C |
| ב | תרשים הכוחות בניסוי השני | ארבעה כוחות · mg כלפי מטה מכדור הארץ · T לאורך החוט מן החוט · q₁E ימינה ממקור השדה · kq₁q₂ חלקי r² שמאלה מן הכדור השני |
| ג | פיתוח הביטוי לעוצמת השדה כתלות במרחק | E = k·q₂ חלקי r² ועוד mg חלקי q₁ כפול tanβ — כנדרש |
| ד | חילוץ המטען q₂ והזווית β מן הגרף | q₂ = 5.5·10⁻⁹ C ≈ 5.5 nC · β ≈ 5° |
| ה | האם אפשר ששני הכדורים יסטו באותה זווית | התשובה הנכונה היא 3 · כן, ובמקרה זה q₂ קטן מ-q₁ |
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| א | המטען של כל אחד משלושת הכדורים | A טעון שלילית · B ניטרלי · C טעון חיובית |
| ב | שלושה כוחות — כוח הכובד mg מטה, כוח הנורמל N מעלה, וכוח קולון של משיכה מ-P אל A במישור האופקי | |
| ג | חישוב מטען הכדור C | q(C) = +2·10⁻⁶ C = +2 μC |
| ד | השינוי במספר האלקטרונים בכדור C | מספר האלקטרונים בכדור C קטן ב-1.25·10¹³ אלקטרונים |
| ה | האם תנועת כדור A זהה | כן — התנועה זהה לחלוטין, אותו רדיוס, אותה מהירות ואותו זמן הקפה |
| ו | כאשר הכדור האמצעי הוא מבודד | שלושת הכדורים A, C ו-D ניטרליים |
| סעיף | הנדרש | תשובה סופית |
|---|---|---|
| א | תרשים הכוחות על הכדור התלוי | שלושה כוחות — כוח הכובד m₁g אנכית מטה · מתיחות החוט T לאורך החוט · הכוח החשמלי q₁E אופקית לעבר הלוח |
| ב | דיאגרמת הפיזור וקו המגמה | חמש נקודות מסומנות, ודרכן ודרך הראשית מועבר קו מגמה ישר יחיד — כי σ = 0 מחייב tan(α) = 0 |
| ג | חישוב השיפוע של קו המגמה | השיפוע הוא 0.0438 ליחידת 10⁻⁷ C/m² , כלומר 4.4·10⁵ m²/C |
| ד | פיתוח הביטוי של tan(α) כפונקציה של σ | tan(α) = [ q₁ ÷ (2·ε₀·m₁·g) ] · σ — קו ישר דרך הראשית ששיפועו q₁ חלקי 2ε₀m₁g |
| ה | סימן המטען q₁ וגודלו | המטען שלילי · |q₁| = 7.7·10⁻⁸ C , כלומר q₁ = −7.7·10⁻⁸ C |
| ו | איזה מן ארבעת התרשימים אפשרי | תרשים 1 — שני הכדורים באותו צד של הלוח, q₁ קרוב ללוח ו-q₂ רחוק ממנו |