פרק 2

הפוטנציאל החשמלי

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 12 שעות לימוד

בפרק הראשון תיארנו את ההשפעה החשמלית בעזרת הכוח והשדה, ושניהם גדלים וקטוריים. בפרק הזה נתבונן באותה תופעה מנקודת המבט של האנרגיה. נראה שהשדה האלקטרוסטטי הוא שדה משמר, כמו שדה הכבידה, ולכן אפשר להגדיר בו אנרגיה פוטנציאלית ולהגדיר את הפוטנציאל החשמלי: גודל סקלרי, בלי כיוון, שמקל מאוד על החישוב. נשתמש בו כדי לתאר את פיזור המטען על מוליכים ולהבין את ההארקה ואת המשטחים שווי-הפוטנציאל, ואחר כך נקטוף את הפירות ביישומים: האצת מטענים בהפרש פוטנציאלים והטיית אלומת אלקטרונים בין שני לוחות — הבסיס לתותח האלקטרונים ולאוסצילוסקופ. הפוטנציאל שנגדיר כאן ילווה אותנו בכל פרקי הספר הבאים: בקבלים, במעגלים החשמליים ובהשראה.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר כוח משמר ושדה משמר, ונראה שהשדה האלקטרוסטטי הוא שדה משמר.
נגדיר אנרגיה פוטנציאלית חשמלית, פוטנציאל והפרש פוטנציאלים, ונשתמש נכון בסימן של העבודה ושל האנרגיה.
נחשב את הפוטנציאל של מטען נקודתי V = k·qr ואת הפוטנציאל של מערך מטענים בחיבור סקלרי.
נתאר את הפוטנציאל של כדור מוליך טעון, את משמעות ההארקה, ואת חלוקת המטען בין שני מוליכים שמחברים ביניהם.
נסרטט משטחים שווי-פוטנציאל יחד עם קווי השדה, ונשתמש בקשר V = E·d בשדה אחיד.
נחשב את מהירותו של מטען שהואץ בהפרש פוטנציאלים, וננתח את הטיית אלומת אלקטרונים בין שני לוחות כזריקה אופקית.

פוטנציאל והפרש פוטנציאלים (Potential and Potential Difference)

כוח משמר ושדה משמר:

למדנו במכניקה שהעבודה של כוח הכובד על גוף שעובר מנקודה לנקודה אינה תלויה במסלול, אלא רק בהפרש הגבהים בין שתי הנקודות. גוף שמסתו m יורד מ-A ל-B לאורך מרחק אנכי h: העבודה של כוח הכובד היא m·g·h, בין שירד ישירות לאורך הקו הישר (1) ובין שירד אנכית ואחר כך נע אופקית (2). בקטע האופקי של מסלול (2) הכוח ניצב להעתק, ולכן העבודה בו אפס.

שמאל: גוף בשדה הכבידה. ימין: מטען חיובי בשדה חשמלי אחיד. בשני המקרים הכוח קבוע (m·g או q·E), והעבודה שלו מ-A ל-B זהה במסלולים 1 ו-2

כוח משמר: כוח שהעבודה שלו על גוף העובר בין שתי נקודות אינה תלויה במסלול ביניהן, אלא רק במיקום נקודת ההתחלה ונקודת הסיום. כתוצאה מכך, העבודה שלו לאורך כל מסלול סגור (שבו הגוף חוזר לנקודת ההתחלה) היא אפס.

שדה משמר: שדה כוח שהכוח שהוא מפעיל על גוף הוא כוח משמר. בשדה משמר אפשר לשייך לכל נקודה אנרגיה פוטנציאלית, כך שהעבודה של כוח השדה בין שתי נקודות שווה למינוס השינוי באנרגיה הפוטנציאלית.

במכניקה כתבנו עבור כוח הכובד W_mg = −ΔU_G: כוח הכובד מבצע עבודה חיובית כשהגוף יורד, והאנרגיה הפוטנציאלית שלו קטנה. עכשיו נבנה בשדה החשמלי בדיוק את אותה תמונה, צעד אחר צעד.

השדה האלקטרוסטטי כשדה משמר:

בשדה אחיד (החלק הימני של הסרטוט הקודם) פועל על המטען q כוח קבוע F = q·E, כמו כוח הכובד הקבוע m·g ליד פני כדור הארץ. החישוב זהה: במסלול (2) העבודה היא q·E·d בקטע המקביל לשדה ואפס בקטע הניצב לו, ובמסלול (1) העבודה היא הכוח כפול רכיב ההעתק בכיוון השדה, וגם הוא d. בשני המסלולים W = q·E·d.

שני מסלולים מ-A ל-B ליד מטען נקודתי

בשדה של מטען נקודתי הכוח אינו קבוע, אבל הוא תמיד רדיאלי: לאורך הקו המחבר את המטען Q עם המטען הנע. נחלק כל מסלול לקטעים רדיאליים ולקשתות של מעגלים סביב Q. על הקשת הכוח ניצב להעתק, ולכן העבודה אפס. נשארת רק העבודה בקטעים הרדיאליים, ובכל מסלול סכומם הוא אותו מעבר מ-r_A ל-r_B. לכן העבודה של כוח קולון מ-A ל-B אינה תלויה במסלול.

כל שדה אלקטרוסטטי (שדה של מטענים נחים) הוא סופרפוזיציה של שדות של מטענים נקודתיים, והעבודה של הכוח השקול היא סכום העבודות. לכן נסיק:

המסקנה: השדה האלקטרוסטטי הוא שדה משמר. העבודה של הכוח החשמלי על מטען העובר בין שתי נקודות תלויה רק בשתי הנקודות, והעבודה שלו לאורך כל מסלול סגור היא אפס. לכן אפשר להגדיר אנרגיה פוטנציאלית חשמלית.

דוגמה 2.1

בשדה חשמלי אחיד שעוצמתו 1000 N/C מעבירים מטען q = +2 μC לאורך המסלול הסגור A → B → C → A: מ-A ל-B מרחק 6 cm בכיוון השדה, אחר כך מ-B ל-C מרחק 8 cm בניצב לשדה, ואז חזרה ל-A. נחשב את העבודה של הכוח החשמלי בכל קטע ולאורך המסלול כולו.

פתרון:

הכוח F = q·E קבוע ופונה ימינה. בקטע AB הכוח בכיוון ההעתק, ובקטע BC הוא ניצב לו:

W_AB = q·E·d_AB = 2·10⁻⁶ · 1000 · 0.06 = 1.2·10⁻⁴ J

W_BC = 0

אורך הקטע CA הוא 0.06² + 0.08² = 0.1 m, והזווית α בין הכוח להעתק קהה: cos α = −0.060.1 = −0.6:

W_CA = q·E·d_CA·cos α = 2·10⁻⁶ · 1000 · 0.1 · (−0.6) = −1.2·10⁻⁴ J

הסכום:

W = W_AB + W_BC + W_CA = 1.2·10⁻⁴ + 0 − 1.2·10⁻⁴ = 0

העבודה של הכוח החשמלי לאורך המסלול הסגור היא אפס, כפי שצריך להיות בשדה משמר. שימו לב שהעבודה בדרך A → B → C שווה לעבודה בדרך הישירה A → C (מינוס W_CA): העבודה אינה תלויה במסלול.

W_AB = 1.2·10⁻⁴ J , W_CA = −1.2·10⁻⁴ J , W = 0

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית:

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית: אנרגיה שיש למטען בגלל מיקומו בשדה חשמלי. מסמנים אותה U_E, כמו בדף הנוסחאות והנתונים. נגדיר את השינוי בה בין שתי נקודות A ו-B כמינוס העבודה של הכוח החשמלי על המטען כשהוא עובר מ-A ל-B: ΔU_E = U_E,B − U_E,A = −W_E. יחידתה הג׳אול [J], כשאר סוגי האנרגיה.

הסימן של העבודה ושל האנרגיה — הכלל שנשתמש בו בכל הפרק. נבחין בין שתי עבודות:

W_E — העבודה של הכוח החשמלי (עבודת השדה). כשהיא חיובית, המטען נע "מעצמו" עם הכוח, והאנרגיה הפוטנציאלית שלו קטנה: ΔU_E = −W_E.
W_ext — העבודה של כוח חיצוני שמעביר את המטען לאט, בלי שינוי באנרגיה הקינטית שלו. הכוח הזה מנוגד לכוח החשמלי בכל נקודה, ולכן W_ext = −W_E = ΔU_E: העבודה שאנחנו מבצעים נאגרת כאנרגיה פוטנציאלית.
מטען חיובי נע מעצמו מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך, ומטען שלילי נע מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה. בשני המקרים האנרגיה הפוטנציאלית קטנה, והכוח החשמלי מבצע עבודה חיובית.

הפוטנציאל החשמלי והפרש פוטנציאלים:

העבודה של הכוח החשמלי יחסית למטען המועבר: על מטען כפול פועל כוח כפול בכל נקודה. לכן המנה W_Eq אינה תלויה במטען המועבר, אלא רק בשתי הנקודות ובשדה. הגודל הזה הוא הפרש הפוטנציאלים. כך מקבלים תכונה של השדה עצמו, בדיוק כפי שקיבלנו את עוצמת השדה E = Fq מן הכוח.

הפרש פוטנציאלים: הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות A ו-B (נקרא גם המתח ביניהן) הוא העבודה של הכוח החשמלי על מטען בוחן חיובי העובר מ-A ל-B, מחולקת בגודל מטען הבוחן. מסמנים אותו V_AB, והוא שווה להפרש V_A − V_B בין הפוטנציאל החשמלי בשתי הנקודות.

הפרש פוטנציאלים ואנרגיה פוטנציאלית

V_AB = V_A − V_B = W_Eq

W_E = q·V_AB

ΔU_E = −W_E = q·(V_B − V_A)

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_AB	הפרש הפוטנציאלים בין A ל-B	[V]
W_E	העבודה של הכוח החשמלי על המטען מ-A ל-B	[J]
q	המטען המועבר, עם הסימן שלו	[C]
ΔU_E	השינוי באנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של המטען	[J]

הפרש הפוטנציאלים קובע רק את ההפרש. כדי לשייך פוטנציאל לכל נקודה לבדה, בוחרים נקודת ייחוס שהפוטנציאל בה אפס, כפי שבחרנו במכניקה מישור אפס לגובה. בשדה של מטענים נקודתיים בוחרים בדרך כלל V = 0 באינסוף (רחוק מאוד מכל המטענים), ובמעגלים חשמליים בוחרים את האדמה. אחרי שבחרנו נקודת ייחוס, האנרגיה הפוטנציאלית של מטען q בנקודה שהפוטנציאל בה V היא:

U_E = q·V

פוטנציאל אינו אנרגיה: הפוטנציאל V הוא תכונה של הנקודה בשדה: אנרגיה ליחידת מטען, ויחידתו הוולט. לעומתו האנרגיה הפוטנציאלית U_E = q·V היא תכונה של המטען המוצב באותה נקודה, ויחידתה הג׳אול. באותה נקודה יש פוטנציאל אחד, אבל האנרגיה הפוטנציאלית תלויה במטען שמציבים בה — בגודלו ובסימנו.

דוגמה 2.2

בשדה חשמלי אחיד שעוצמתו 2000 N/C מעבירים מטען q = +3 μC מן הנקודה A אל הנקודה B, הנמצאת במרחק 5 cm ממנה בכיוון השדה. נחשב:
א. את העבודה של הכוח החשמלי.
ב. את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית החשמלית.
ג. את הפרש הפוטנציאלים V_AB.
ד. את העבודה שמבצע כוח חיצוני כדי להחזיר את המטען לאט מ-B ל-A.

פתרון:

א. הכוח החשמלי F = q·E קבוע ובכיוון ההעתק:

W_E = q·E·d = 3·10⁻⁶ · 2000 · 0.05 = 3·10⁻⁴ J

ב. העבודה חיובית, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית קטנה:

ΔU_E = −W_E = −3·10⁻⁴ J

ג. הפרש הפוטנציאלים הוא העבודה ליחידת מטען:

V_AB = W_Eq = 3·10⁻⁴3·10⁻⁶ = 100 V

הפוטנציאל בנקודה A גבוה מן הפוטנציאל בנקודה B ב-100 V: השדה מכוון מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך.

ד. בדרך חזרה הכוח החיצוני מנוגד לכוח החשמלי, ומחזיר למטען את האנרגיה הפוטנציאלית שאיבד:

W_ext = q·V_BA = 3·10⁻⁶ · 100 = 3·10⁻⁴ J

W_E = 3·10⁻⁴ J , V_AB = 100 V

שאלה 2.1: בשדה אחיד שעוצמתו 500 N/C פרוטון עובר מרחק 4 cm נגד כיוון השדה. מהו הפרש הפוטנציאלים V_B − V_A בין נקודת הסיום לנקודת ההתחלה? מהו השינוי באנרגיה הפוטנציאלית של הפרוטון? האם המעבר הזה מתרחש מעצמו?

וולט:

היחידה של פוטנציאל ושל הפרש פוטנציאלים היא וולט, על שם המדען האיטלקי אלסנדרו וולטה. מן ההגדרה V = Wq:

1 V = 1 J1 C

בין שתי נקודות יש הפרש פוטנציאלים של וולט אחד אם הכוח החשמלי מבצע עבודה של ג׳אול אחד על מטען של קולון אחד העובר ביניהן. מן הקשר W = q·E·d נסיק יחידה נוספת לעוצמת השדה: E = Vd, ולכן

1 N/C = 1 V/m

המקור או המצב	הפרש פוטנציאלים משוער
תא עצב (בין פנים התא לחוץ)	0.07 V
סוללת אצבע	1.5 V
מצבר רכב	12 V
רשת החשמל הביתית	230 V
תותח האלקטרונים בשפופרת ישנה של אוסצילוסקופ	1000–2000 V
קו ההולכה הארצי	400000 V
ברק בין ענן לאדמה	10⁸ V

הפוטנציאל של מטען נקודתי:

נחשב את הפוטנציאל בנקודה במרחק r ממטען נקודתי q, כשנקודת הייחוס היא V = 0 באינסוף. הכוח משתנה עם המרחק, ולכן אי אפשר פשוט להכפיל את הכוח במרחק; מחלקים את הדרך לקטעים קטנים ומחברים את העבודה בכל אחד מהם (השטח מתחת לגרף הכוח כפונקציה של המרחק). התוצאה פשוטה:

הפוטנציאל של מטען נקודתי

V = k·qr

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	הפוטנציאל בנקודה, ביחס לאינסוף	[V]
q	המטען שיוצר את השדה, עם הסימן שלו	[C]
r	מרחק הנקודה מן המטען	[m]
k	קבוע קולון: 9·10⁹ N·m²/C²	[N·m²/C²]

הפוטנציאל סביב מטען נקודתי חיובי כפונקציה של המרחק

עוצמת השדה סביב אותו מטען

סביב מטען חיובי הפוטנציאל חיובי, והוא קטן ככל שמתרחקים; סביב מטען שלילי הפוטנציאל שלילי, והוא גדל (מתקרב לאפס) ככל שמתרחקים. שימו לב להבדל בין שתי הנוסחאות: הפוטנציאל יחסי לגודל 1r, ואילו עוצמת השדה יחסית לגודל 1r². כשמכפילים את המרחק הפוטנציאל קטן פי שניים, ועוצמת השדה קטנה פי ארבעה.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שאין פוטנציאל בנקודה שאין בה מטען בוחן. האמת היא שהפוטנציאל הוא תכונה של הנקודה עצמה במרחב שסביב מטעני המקור: לכל נקודה יש פוטנציאל מוגדר, בין שהנחנו בה מטען ובין שלא. מטען הבוחן מגלה את הפוטנציאל ואינו יוצר אותו — בדיוק כפי שמד-החום מודד טמפרטורה ששררה בחדר עוד לפני שהכנסנו אותו.

דוגמה 2.3

מטען נקודתי Q = +6 nC מקובע במקומו. הנקודה A נמצאת במרחק 20 cm ממנו, והנקודה B במרחק 60 cm. נחשב:
א. את הפוטנציאל בשתי הנקודות.
ב. את העבודה של הכוח החשמלי על מטען q = +2 nC העובר מ-A ל-B.
ג. את העבודה החיצונית הדרושה כדי להעביר אותו לאט מ-B ל-A.

פתרון:

א. נציב בנוסחת הפוטנציאל של מטען נקודתי, ואת המרחקים נבטא במטרים:

V_A = k·Qr_A = 9·10⁹ · 6·10⁻⁹0.2 = 270 V

V_B = k·Qr_B = 9·10⁹ · 6·10⁻⁹0.6 = 90 V

ב. הפרש הפוטנציאלים V_AB = V_A − V_B = 180 V, והעבודה:

W_E = q·V_AB = 2·10⁻⁹ · 180 = 3.6·10⁻⁷ J

העבודה חיובית: שני מטענים חיוביים דוחים זה את זה, והכוח החשמלי דוחף את q הרחק מן Q.

ג. כדי לקרב את q אל Q נגד הדחייה מבצעים עבודה שווה בגודלה, והיא נאגרת כאנרגיה פוטנציאלית:

W_ext = q·(V_A − V_B) = 3.6·10⁻⁷ J

V_A = 270 V , V_B = 90 V , W_E = 3.6·10⁻⁷ J

הפוטנציאל של מערך מטענים נקודתיים:

הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, ולכן מחברים אותו חיבור רגיל. לפי עקרון הסופרפוזיציה, הפוטנציאל בנקודה בגלל כמה מטענים הוא סכום הפוטנציאלים שיוצר כל מטען לבדו, עם הסימן של כל מטען, בלי זוויות ובלי פירוק לרכיבים. זה היתרון הגדול של הפוטנציאל לעומת השדה.

עקרון הסופרפוזיציה לפוטנציאל

V = k·q₁r₁ + k·q₂r₂ + k·q₃r₃ + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
q_i	המטען מספר i, עם הסימן שלו	[C]
r_i	מרחק הנקודה מן המטען מספר i	[m]

דוגמה 2.4

המטענים q₁ = +8 nC ו-q₂ = −4 nC נמצאים במרחק 60 cm זה מזה. הנקודה M נמצאת באמצע המרחק ביניהם, והנקודה P נמצאת 40 cm מעל M. נחשב:
א. את הפוטנציאל בנקודה M ובנקודה P.
ב. את העבודה של הכוח החשמלי על מטען +1 nC העובר מ-M ל-P.

פתרון:

א. המרחק של M מכל מטען הוא 0.3 m. נחבר את שני הפוטנציאלים עם הסימנים:

V_M = k·q₁0.3 + k·q₂0.3 = 9·10⁹ · (8·10⁻⁹ − 4·10⁻⁹)0.3 = 120 V

המרחק של P מכל מטען (לפי פיתגורס): r = 0.3² + 0.4² = 0.5 m:

V_P = 9·10⁹ · (8·10⁻⁹ − 4·10⁻⁹)0.5 = 72 V

ב. הפרש הפוטנציאלים V_MP = 120 − 72 = 48 V, והעבודה:

W_E = q·V_MP = 1·10⁻⁹ · 48 = 4.8·10⁻⁸ J

שימו לב שלא נזקקנו לשום זווית. אילו חישבנו את השדה בנקודה P, היינו צריכים לפרק שני וקטורים לרכיבים.

V_M = 120 V , V_P = 72 V , W_E = 4.8·10⁻⁸ J

שאלה 2.2: באותה מערכת, היכן נמצאות הנקודות על הקו המחבר את המטענים שבהן הפוטנציאל אפס? (רמז: נקודה אחת בין המטענים ונקודה אחרת מאחורי q₂.) האם השדה בנקודות האלה אפס?

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהפוטנציאל והשדה "מתאפסים יחד": היכן ש-V = 0 גם E = 0, ולהפך. האמת היא שאלה שני גדלים בלתי תלויים: באמצע המרחק בין שני מטענים שווים בגודלם ומנוגדים בסימנם הפוטנציאל אפס והשדה חזק, ובאמצע המרחק בין שני מטענים שווים ושווי סימן השדה אפס והפוטנציאל אינו אפס. השדה תלוי במידת ההשתנות של הפוטנציאל מנקודה לנקודה, לא בערך הפוטנציאל עצמו.

האנרגיה הפוטנציאלית של שני מטענים:

נשוב עתה אל האנרגיה. נציב את המטען q₂ בנקודה שהפוטנציאל בה, בגלל q₁, הוא V = k·q₁r. האנרגיה הפוטנציאלית היא U_E = q₂·V:

שני מטענים נקודתיים

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של שני מטענים נקודתיים

U_E = k·q₁·q₂r

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_E	האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת (אפס כשהמטענים רחוקים מאוד זה מזה)	[J]
r	המרחק בין המטענים	[m]

זו האנרגיה שכוח חיצוני צריך להשקיע כדי להביא את שני המטענים לאט מן האינסוף למרחק r. אם המטענים שווי סימן, האנרגיה הפוטנציאלית חיובית: צריך "לדחוף" אותם זה אל זה נגד הדחייה. אם הם מנוגדי סימן, האנרגיה הפוטנציאלית שלילית: השדה עצמו מקרב אותם, וכדי להפריד ביניהם צריך לבצע עבודה.

דוגמה 2.5

שני מטענים, q₁ = +2 μC ו-q₂ = −3 μC, נמצאים במרחק 30 cm זה מזה. נחשב את האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של המערכת, ואת העבודה החיצונית המזערית הדרושה כדי להרחיק את המטענים למרחק גדול מאוד.

פתרון:

U_E = k·q₁·q₂r = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · (−3·10⁻⁶)0.3 = −0.18 J

האנרגיה הפוטנציאלית שלילית, כי המטענים מושכים זה את זה. כשמרחיקים אותם לאינסוף האנרגיה הפוטנציאלית נעשית אפס, כלומר היא גדלה בשיעור:

W_ext = ΔU_E = 0 − (−0.18) = 0.18 J

U_E = −0.18 J , W_ext = 0.18 J

חישוב הפרש פוטנציאלים:

כשעל מטען נע פועל רק הכוח החשמלי, נשמר סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית החשמלית שלו:

E_k,A + q·V_A = E_k,B + q·V_B

ΔE_k = q·(V_A − V_B) = q·V_AB

השינוי באנרגיה הקינטית שווה לעבודה של הכוח החשמלי, והיא המטען כפול הפרש הפוטנציאלים. בדרך הזו אין צורך לדעת את הכוח בכל נקודה במסלול, ולכן זו הדרך המועדפת בכל שדה שאינו אחיד.

דוגמה 2.6

מטען נקודתי Q = +2 μC מקובע במקומו. פרוטון משתחרר ממנוחה במרחק 2 cm ממנו. נחשב את מהירות הפרוטון כשהוא מגיע למרחק 8 cm מן המטען, ואת מהירותו כשהוא רחוק מאוד ממנו.

פתרון:

נחשב את הפוטנציאל בשתי הנקודות:

V₁ = k·Qr₁ = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶0.02 = 9·10⁵ V

V₂ = k·Qr₂ = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶0.08 = 2.25·10⁵ V

הפרוטון חיובי, ולכן הוא נע מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך וצובר אנרגיה קינטית:

E_k = e·(V₁ − V₂) = 1.6·10⁻¹⁹ · 6.75·10⁵ = 1.08·10⁻¹³ J

v = 2·E_km_p = 2 · 1.08·10⁻¹³1.67·10⁻²⁷ = 1.14·10⁷ m/s

רחוק מאוד מן המטען הפוטנציאל אפס, ולכן כל האנרגיה הפוטנציאלית ההתחלתית e·V₁ הופכת לאנרגיה קינטית:

E_k,∞ = e·V₁ = 1.44·10⁻¹³ J

v_∞ = 2 · 1.44·10⁻¹³1.67·10⁻²⁷ = 1.31·10⁷ m/s

v = 1.14·10⁷ m/s , v_∞ = 1.31·10⁷ m/s

שאלה 2.3: בדוגמה הקודמת, מהי מהירות הפרוטון כשהוא מגיע למרחק 4 cm מן המטען?

פוטנציאל של כדור מוליך טעון:

ראינו בפרק הראשון שמוליך במצב של שיווי משקל אלקטרוסטטי מתאפיין בכך שהשדה בתוכו אפס, ושהמטען העודף מתפזר על פניו החיצוניים. מכאן נובעת מסקנה חשובה לגבי הפוטנציאל:

בתוך המוליך אין שדה, ולכן אין עבודה בהעברת מטען בין שתי נקודות בתוכו: לכל נקודות המוליך אותו פוטנציאל, בתוכו ועל פניו.
פני המוליך הם משטח שווה-פוטנציאל, ולכן קווי השדה מחוצה לו יוצאים ניצבים לפני השטח.
מחוץ לכדור מוליך שטעון במטען Q, השדה והפוטנציאל זהים לשדה ולפוטנציאל של מטען נקודתי Q הנמצא במרכז הכדור.

פוטנציאל של כדור מוליך שרדיוסו R

V = k·QR (r ≤ R)

V = k·Qr (r ≥ R)

סימן	משמעות	יחידת מידה
Q	מטען הכדור	[C]
R	רדיוס הכדור	[m]
r	המרחק ממרכז הכדור	[m]

עוצמת השדה, לעומת זאת, היא אפס בתוך הכדור, ומחוצה לו היא כמו השדה של מטען נקודתי:

E = 0 (r < R)

E = k·Qr² (r > R)

הפוטנציאל של כדור מוליך: קבוע בתוכו ושווה ל-V₀ = k·QR

השדה אפס בתוך הכדור, ומרבי על פניו E₀ = k·QR²

דוגמה 2.7

כדור מוליך שרדיוסו 10 cm טעון במטען +5 nC. נחשב את הפוטנציאל במרכז הכדור, על פניו, ובמרחק 30 cm ממרכזו; ואת עוצמת השדה על פני הכדור ובמרכזו.

פתרון:

על פני הכדור ובכל נקודות המוליך:

V_center = V_surface = k·QR = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.1 = 450 V

מחוץ לכדור — כמו מטען נקודתי:

V(0.3 m) = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.3 = 150 V

E_surface = k·QR² = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.1² = 4500 V/m

ובמרכז השדה אפס, אף שהפוטנציאל שם 450 V.

V_center = 450 V , E_center = 0

שימו לב שעל פני הכדור E₀ = V₀R. בכדור שהפוטנציאל שלו נתון, ככל שהרדיוס קטן יותר השדה על פניו גדול יותר. נחזור לתוצאה הזו כשנחבר בין שני כדורים.

שאלה 2.4: האוויר מאבד את תכונת הבידוד (נוצר ניצוץ) כשעוצמת השדה עולה על 3·10⁶ V/m. מהו המטען הגדול ביותר שיכול לשאת באוויר כדור מוליך שרדיוסו 10 cm? מה הפוטנציאל שלו אז?

הארקה:

הארקה: חיבור של מוליך לאדמה באמצעות מוליך. האדמה היא מוליך ענק: כשמטען נכנס אליה או יוצא ממנה, הפוטנציאל שלה כמעט אינו משתנה, ולכן בוחרים בה כנקודת ייחוס: V_earth = 0. אחרי ההארקה הפוטנציאל של המוליך הוא אפס.

שמאל: כדור מבודד טעון במטען חיובי, והפוטנציאל שלו חיובי. ימין: אחרי ההארקה עולים אלקטרונים מן האדמה אל הכדור עד שהפוטנציאל שלו נעשה אפס

כשמאריקים כדור טעון במטען חיובי, שהפוטנציאל שלו גבוה מזה של האדמה, עוברים אלקטרונים מן האדמה אל הכדור (זרם חולף קצר) עד שהפוטנציאלים משתווים. הפוטנציאל של כדור הרחוק מכל מטען אחר הוא אפס רק אם המטען שלו אפס, ולכן ההארקה פורקת אותו לגמרי. כדור טעון במטען שלילי נפרק באותה דרך, אבל האלקטרונים עוברים ממנו אל האדמה.

הערה: הארקה אין פירושה תמיד "מטען אפס", אלא "פוטנציאל אפס". אם מקרבים מוט טעון חיובית לכדור מוארק, עולים אלקטרונים מן האדמה ונשאר על הכדור מטען שלילי, כי את הפוטנציאל של המוט החיובי צריך לאזן פוטנציאל שלילי של מטען הכדור. אם מנתקים את ההארקה ואחר כך מרחיקים את המוט, הכדור נשאר טעון במטען שלילי — וזו הטעינה בהשראה שלמדנו בפרק הראשון.

מסיבה זו מאריקים בבית מכשירים חשמליים בעלי מעטפת מתכת: אם תיל חשוף נוגע בטעות במעטפת, הפוטנציאל של המעטפת נשאר אפס והזרם עובר לאדמה, במקום לעבור בגופו של מי שנוגע במכשיר.

חיבור שני מוליכים טעונים:

יש לנו שני כדורים מוליכים רחוקים זה מזה, שרדיוסיהם R₁ ו-R₂ ומטעניהם Q₁ ו-Q₂. מחברים ביניהם בתיל מוליך דק וארוך. מה קורה?

שני כדורים מוליכים המחוברים בתיל: אחרי שיווי המשקל יש להם אותו פוטנציאל, וצפיפות המטען על הכדור הקטן גדולה יותר

שני הכדורים והתיל נעשו מוליך אחד. אם הפוטנציאלים שלהם שונים, המטען נע בתיל עד שהפוטנציאלים משתווים, ואז נעצר (שיווי משקל אלקטרוסטטי).
התיל דק והכדורים רחוקים, ולכן הפוטנציאל של כל כדור נקבע רק על ידי המטען שלו עצמו: V₁ = k·Q′₁R₁ ו-V₂ = k·Q′₂R₂.
מטען אינו נעלם ואינו נוצר (שימור המטען): סכום המטענים אחרי החיבור שווה לסכומם לפניו.

חלוקת מטען בין כדורים

Q′₁R₁ = Q′₂R₂

Q′₁ + Q′₂ = Q₁ + Q₂

Q′₁ = (Q₁ + Q₂)·R₁R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
Q′₁ , Q′₂	מטעני הכדורים אחרי החיבור	[C]
R₁ , R₂	רדיוסי הכדורים	[m]

המטען מתחלק ביחס הרדיוסים: הכדור הגדול מקבל מטען גדול יותר. אבל עוצמת השדה על פני הכדור, E = VR, גדולה יותר על הכדור הקטן. מסיבה זו השדה מתרכז ליד הקצוות המחודדים של מוליך טעון, ושם הוא עלול לעבור את סף הבידוד של האוויר, והמטען נפרק. על העיקרון הזה פועל כליא הברק: מוט מתכת מחודד ומוארק על גג הבניין.

דוגמה 2.8

כדור מוליך שרדיוסו 10 cm טעון במטען +12 nC, וכדור מוליך אחר שרדיוסו 5 cm אינו טעון ונמצא רחוק ממנו. מחברים בין הכדורים בתיל דק. נחשב:
א. את הפוטנציאל של הכדור הראשון לפני החיבור.
ב. את המטען של כל כדור ואת הפוטנציאל המשותף אחרי החיבור.
ג. את עוצמת השדה על פני כל כדור אחרי החיבור.

פתרון:

V₁ = k·Q₁R₁ = 9·10⁹ · 12·10⁻⁹0.1 = 1080 V

ב. לפני החיבור הפוטנציאל של הכדור השני אפס, ולכן עובר אליו מטען חיובי (כלומר עוברים ממנו אלקטרונים אל הכדור הראשון) עד שהפוטנציאלים משתווים:

Q′₁ = (Q₁ + Q₂)·R₁R₁ + R₂ = 12 · 0.10.15 = 8 nC

Q′₂ = 12 − 8 = 4 nC

V = k·Q′₁R₁ = 9·10⁹ · 8·10⁻⁹0.1 = 720 V

נבדוק בעזרת הכדור השני: 9·10⁹ · 4·10⁻⁹0.05 = 720 V — אותו פוטנציאל.

ג. השדה על פני הכדורים:

E₁ = k·Q′₁R₁² = 7200 V/m

E₂ = k·Q′₂R₂² = 14400 V/m

על הכדור הקטן מטען קטן יותר, אבל השדה על פניו גדול פי שניים.

Q′₁ = 8 nC , Q′₂ = 4 nC , V = 720 V

דוגמה 2.9

שני כדורים מוליכים רחוקים זה מזה: לראשון רדיוס 6 cm ומטען +10 nC, ולשני רדיוס 3 cm ומטען −4 nC. מחברים ביניהם בתיל. נמצא את המטען של כל כדור אחרי החיבור, את הפוטנציאל המשותף, ואת מספר האלקטרונים שעברו בתיל ואת כיוון מעברם.

פתרון:

סכום המטענים נשמר, עם הסימנים: Q₁ + Q₂ = 10 + (−4) = 6 nC.

Q′₁ = 6 · 0.060.09 = 4 nC

Q′₂ = 6 − 4 = 2 nC

V = 9·10⁹ · 4·10⁻⁹0.06 = 600 V

המטען של הכדור השני היה −4 nC ונעשה +2 nC, כלומר גדל ב-6 nC. האלקטרונים שליליים, ולכן הם יצאו מן הכדור השני ועברו אל הכדור הראשון. מספרם:

N = Δqe = 6·10⁻⁹1.6·10⁻¹⁹ = 3.75·10¹⁰

Q′₁ = 4 nC , Q′₂ = 2 nC , V = 600 V

שאלה 2.5: שני כדורים מוליכים זהים, האחד טעון במטען +8 nC והאחר במטען −2 nC. מביאים אותם למגע ואחר כך מפרידים ביניהם. מה המטען של כל אחד מהם? ומה יהיו המטענים אם רדיוס הכדור הראשון 2 cm ורדיוס השני 6 cm, המטען ההתחלתי +16 nC נמצא רק על הראשון, ומחברים ביניהם בתיל כשהם רחוקים זה מזה?

משטחים שווי-פוטנציאל וקווי שדה:

משטח שווה-פוטנציאל: משטח שלכל נקודותיו אותו פוטנציאל. בסרטוט מישורי רואים את החתך שלו: קו שווה-פוטנציאל. העברת מטען על משטח שווה-פוטנציאל אינה דורשת עבודה, כי V_AB = 0 בין כל שתי נקודות עליו.

אם אין עבודה באף העתק קטן על המשטח, הכוח החשמלי — וגם השדה — ניצבים למשטח בכל נקודה. זו התכונה הבסיסית שבעזרתה מסרטטים את המשטחים: קווי השדה חותכים את המשטחים שווי-הפוטנציאל בזווית ישרה.

מטען נקודתי: קווי השדה רדיאליים, והמשטחים שווי-הפוטנציאל הם ספרות (מעגלים בסרטוט), V₁ > V₂ > V₃

שדה אחיד בין שני לוחות: המשטחים שווי-הפוטנציאל הם מישורים המקבילים ללוחות, ובמרווחים שווים כשהפרשי הפוטנציאלים שווים

שני מטענים שווים בגודלם ומנוגדים בסימנם: הפוטנציאל של המישור שבאמצע המרחק ביניהם אפס

שני מטענים חיוביים שווים: קרוב לכל מטען המשטחים כמעט כדוריים, ורחוק מהם הם מקיפים את שני המטענים יחד

קווי השדה (כתום) והמשטחים שווי-הפוטנציאל (ירוק מקווקו) — חושבו באופן מספרי מחוק קולון.

תכונות המשטחים שווי-הפוטנציאל:

העברת מטען על משטח שווה-פוטנציאל אינה דורשת עבודה.
קווי השדה ניצבים למשטחים שווי-הפוטנציאל בכל נקודה.
קווי השדה מכוונים מן המשטח שהפוטנציאל שלו גבוה יותר אל המשטח שהפוטנציאל שלו נמוך יותר.
אם מסרטטים את המשטחים להפרשי פוטנציאלים שווים, אז היכן שהמשטחים צפופים השדה חזק, והיכן שהם מרווחים השדה חלש.
שני משטחים שווי-פוטנציאל שונים לעולם אינם נחתכים (לנקודה אחת אין שני פוטנציאלים).
פני כל מוליך בשיווי משקל אלקטרוסטטי הם משטח שווה-פוטנציאל.

שאלה 2.6: שני קווים שווי-פוטנציאל סמוכים: הפוטנציאל של הראשון 60 V ושל השני 45 V. מעבירים מטען −2 μC מנקודה על הקו הראשון לנקודה על הקו השני. מהי העבודה של הכוח החשמלי? ומהי העבודה אם מעבירים אותו בין שתי נקודות על הקו הראשון עצמו?

▶ניסוי חי — פוטנציאל ומשטחים שווי-פוטנציאלמציבים שני מטענים ומשנים את גודלם ואת סימנם, רואים את מפת הפוטנציאל ואת המשטחים שווי-הפוטנציאל עם קווי השדה, ומעבירים מטען בוחן בשני מסלולים שונים כדי לבדוק שהעבודה אינה תלויה במסלול.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#potential

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#potential

הקשר בין הפרש פוטנציאלים לשדה:

בשדה אחיד הכוח על המטען קבוע, וראינו ש-W_E = q·E·d, כאשר d הוא ההעתק בכיוון השדה. נחלק ב-q:

הפרש פוטנציאלים בשדה אחיד

V_AB = E·d

E = V_ABd

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	עוצמת השדה האחיד	[V/m]
d	המרחק בין שתי הנקודות בכיוון קווי השדה	[m]
V_AB	הפרש הפוטנציאלים; A היא הנקודה הקרובה יותר למקור קווי השדה (הפוטנציאל הגבוה)	[V]

בין שני לוחות מקבילים טעונים, שהמרחק ביניהם d והפרש הפוטנציאלים ביניהם V, השדה אחיד ועוצמתו E = Vd. הפוטנציאל יורד באופן קווי מן הלוח החיובי אל הלוח השלילי, וגרף הפוטנציאל כפונקציה של המקום הוא קו ישר ששיפועו שלילי וגודלו E. ובאופן כללי, גם בשדה שאינו אחיד: עוצמת השדה שווה לשיפוע גרף הפוטנציאל כפונקציה של המקום, בסימן שלילי E = −ΔVΔx — השדה מכוון לכיוון ירידת הפוטנציאל, והוא חזק יותר היכן שהפוטנציאל משתנה מהר.

שני לוחות אופקיים: הפוטנציאל של העליון 300 V, והתחתון מוארק

הפוטנציאל בין שני לוחות כפונקציה של המרחק x מן הלוח החיובי

דוגמה 2.10

שני לוחות מתכת אופקיים ומקבילים, והמרחק ביניהם 2 cm. הפוטנציאל של הלוח העליון +300 V, והלוח התחתון מוארק. נחשב:
א. את עוצמת השדה בין הלוחות ואת כיוונו.
ב. את הפוטנציאל בנקודה P הנמצאת 0.5 cm מעל הלוח התחתון.
ג. את העבודה של הכוח החשמלי על אלקטרון העובר מן הלוח התחתון אל הלוח העליון.

פתרון:

E = Vd = 3000.02 = 15000 V/m

השדה מכוון מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך, כלומר כלפי מטה.

ב. מן הלוח התחתון (V = 0) אל P נעים נגד השדה מרחק 0.005 m, ולכן הפוטנציאל עולה בשיעור E·d:

V_P = 0 + E·d = 15000 · 0.005 = 75 V

ג. מטען האלקטרון q = −e, והוא עובר מ-A (הלוח התחתון, 0 V) ל-B (הלוח העליון, 300 V):

W_E = q·V_AB = (−1.6·10⁻¹⁹) · (0 − 300) = 4.8·10⁻¹⁷ J

העבודה חיובית: האלקטרון השלילי נע מעצמו לעבר הפוטנציאל הגבוה, והאנרגיה הפוטנציאלית שלו קטנה.

E = 15000 V/m , V_P = 75 V , W_E = 4.8·10⁻¹⁷ J

שאלה 2.7: עוצמת השדה בין שני לוחות מקבילים 4000 V/m, והמרחק ביניהם 5 mm. מהו הפרש הפוטנציאלים בין הלוחות? אם מכפילים את המרחק ומשאירים את הפרש הפוטנציאלים כמות שהוא, מה תהיה עוצמת השדה?

יישומים: האצת מטענים והטיית אלומה (Applications: Acceleration and Deflection)

האצת מטענים בשדה:

מטען q שמסתו m משתחרר ממנוחה ליד אחד משני לוחות שביניהם הפרש פוטנציאלים V, ונע לעבר הלוח השני. הכוח החשמלי, שהוא הכוח היחיד, מבצע עליו עבודה q·V, ולכן המטען צובר אנרגיה קינטית באותו שיעור:

אלקטרון משתחרר ליד הלוח השלילי: הכוח עליו מנוגד לשדה, ולכן הוא מואץ לעבר הלוח החיובי ויוצא דרך חור בלוח במהירות v

האצת מטען

12·m·v² = q·V

v = 2·q·Vm

סימן	משמעות	יחידת מידה
q	גודל המטען של החלקיק	[C]
V	הפרש הפוטנציאלים שהחלקיק עבר (מתח ההאצה)	[V]
m	מסת החלקיק	[kg]
v	המהירות הסופית	[m/s]

שתי מסקנות חשובות: האנרגיה הסופית תלויה רק במטען ובהפרש הפוטנציאלים, ואינה תלויה במרחק בין הלוחות; המהירות הסופית תלויה גם במסה. אלקטרון ופרוטון שעוברים אותו הפרש פוטנציאלים (כל אחד בכיוון המתאים לו) צוברים אותה אנרגיה, אבל הפרוטון יוצא איטי הרבה יותר.

דוגמה 2.11

אלקטרון משתחרר ממנוחה ליד הלוח השלילי ומואץ לעבר הלוח החיובי. הפרש הפוטנציאלים בין הלוחות 2000 V, והמרחק ביניהם 4 cm. נחשב:
א. את האנרגיה הקינטית ואת המהירות ליד הלוח החיובי.
ב. את התאוצה ואת זמן התנועה בין הלוחות.
ג. את מהירותו של פרוטון המואץ באותו הפרש פוטנציאלים.

פתרון:

א. משימור האנרגיה:

E_k = e·V = 1.6·10⁻¹⁹ · 2000 = 3.2·10⁻¹⁶ J

v = 2·E_km_e = 2 · 3.2·10⁻¹⁶9.1·10⁻³¹ = 2.65·10⁷ m/s

ב. השדה אחיד, ולכן הכוח קבוע והתאוצה קבועה:

E = Vd = 20000.04 = 5·10⁴ V/m

a = e·Em_e = 1.6·10⁻¹⁹ · 5·10⁴9.1·10⁻³¹ = 8.79·10¹⁵ m/s²

t = va = 2.65·10⁷8.79·10¹⁵ = 3.02·10⁻⁹ s

נבדוק בעזרת הקינמטיקה: v² = 2·a·d נותן v² = 2 · 8.79·10¹⁵ · 0.04 = 7.03·10¹⁴ m²/s², וזה אכן ריבוע המהירות מסעיף א.

ג. הפרוטון צובר אותה אנרגיה, 3.2·10⁻¹⁶ J, אבל המסה שלו גדולה יותר:

v_p = 2 · 3.2·10⁻¹⁶1.67·10⁻²⁷ = 6.19·10⁵ m/s

יחס המהירויות: v_ev_p = m_pm_e = 42.8.

v_e = 2.65·10⁷ m/s , t = 3.02·10⁻⁹ s , v_p = 6.19·10⁵ m/s

שאלה 2.8: חלקיק אלפא שמטענו 2e ומסתו 4·m_p מואץ ממנוחה בהפרש פוטנציאלים 1000 V. מהי האנרגיה הקינטית שלו בג׳אול? מהי מהירותו הסופית?

שאלה 2.9: אלקטרון שמהירותו 4·10⁶ m/s נכנס דרך חור בלוח לאזור של שדה אחיד, ונע לעבר לוח אחר שהפוטנציאל שלו נמוך יותר. מהו הפרש הפוטנציאלים הקטן ביותר בין הלוחות שיעצור את האלקטרון לפני שיגיע ללוח השני?

▶ניסוי חי — האצת מטענים בשדהבוחרים אלקטרון או פרוטון, משנים את מתח ההאצה ואת המרחק בין הלוחות, וקוראים את האנרגיה בג׳אול ובאלקטרון-וולט ואת המהירות הסופית. בודקים שהמרחק משנה את התאוצה, אבל אינו משנה את האנרגיה הסופית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#accel

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#accel

אלקטרון-וולט:

אלקטרון-וולט: יחידת אנרגיה השווה לאנרגיה הקינטית שצובר חלקיק שמטענו המטען היסודי e כשהוא מואץ בהפרש פוטנציאלים של וולט אחד. סימנה eV.

אלקטרון-וולט

1 eV = 1.6·10⁻¹⁹ C · 1 V = 1.6·10⁻¹⁹ J

E_k[eV] = E_k[J]1.6·10⁻¹⁹

סימן	משמעות	יחידת מידה
1 eV	האנרגיה שצובר המטען e בהפרש פוטנציאלים 1 V	[J]
1 keV , 1 MeV	קילו-אלקטרון-וולט 10³ eV , מגה-אלקטרון-וולט 10⁶ eV	—

היחידה הזו נוחה מאוד בחישובי האצה: חלקיק שמטענו e שהואץ ממנוחה בהפרש פוטנציאלים של V וולט צובר בדיוק V אלקטרון-וולט, בלי שום חישוב. האלקטרון בדוגמת ההאצה בין הלוחות צבר 2000 eV = 2 keV, וחלקיק האלפא (שמטענו 2e) צבר במתח 1000 V גם הוא 2000 eV.

דוגמה 2.12

א. פרוטון הואץ ממנוחה בהפרש פוטנציאלים 5 kV. נבטא את האנרגיה שלו באלקטרון-וולט ובג׳אול.
ב. מהי האנרגיה באלקטרון-וולט של אלקטרון שמהירותו 10⁷ m/s?

פתרון:

E_k = e·V = 5000 eV = 5 keV

E_k = 5000 · 1.6·10⁻¹⁹ = 8·10⁻¹⁶ J

ב. נחשב את האנרגיה בג׳אול ואחר כך נמיר:

E_k = 12·m_e·v² = 12 · 9.1·10⁻³¹ · (10⁷)² = 4.55·10⁻¹⁷ J

E_k = 4.55·10⁻¹⁷1.6·10⁻¹⁹ = 284.4 eV

E_k,p = 5 keV , E_k,e = 284.4 eV

שאלה 2.10: האנרגיה הדרושה כדי לתלוש את האלקטרון מאטום מימן היא 13.6 eV. בטאו אותה בג׳אול. מהו הפרש הפוטנציאלים המזערי שבו צריך להאיץ אלקטרון ממנוחה כדי שהאנרגיה שלו תהיה שווה לאנרגיה הזו?

הטיית אלומת אלקטרונים בשדה אחיד:

אלומת אלקטרונים שהואצה במתח V_a נכנסת במהירות אופקית v₀ באמצע המרחק בין שני לוחות אופקיים שאורכם L והמרחק ביניהם d, וביניהם הפרש פוטנציאלים V_d (מתח ההטיה). הלוח העליון חיובי, ולכן השדה מכוון כלפי מטה, והכוח על האלקטרון השלילי מכוון כלפי מעלה. נבחר שני צירים: x בכיוון הכניסה ו-y כלפי מעלה, וראשית הצירים בנקודת הכניסה.

המצב הזה דומה לגמרי לזריקה אופקית במכניקה: בכיוון x אין כוח, ולכן המהירות קבועה; בכיוון y כוח קבוע e·E נותן תאוצה קבועה a = e·Em, והמהירות ההתחלתית בכיוון הזה אפס. הכוח החשמלי בא במקום כוח הכובד, וההבדל היחיד הוא שכאן ההטיה כלפי מעלה (לעבר הלוח החיובי).

נבטל את הזמן t = xv₀ משתי משוואות התנועה ונקבל את משוואת המסלול בין הלוחות, שהיא משוואה של פרבולה:

y = a2·v₀²·x²

נציב 12·m·v₀² = e·V_a ו-a = e·V_dm·d, והמטען והמסה מצטמצמים:

y = V_d4·d·V_a·x²

המסלול אינו תלוי בסוג החלקיק או במסתו, אלא רק בשני המתחים ובגאומטריה של הלוחות.

הטיית אלקטרון בין שני לוחות: מסלול פרבולי בין הלוחות, ואחר כך קו ישר עד המסך. ההמשך לאחור של הקו הישר עובר באמצע הלוחות. (המידות האנכיות מוגדלות בסרטוט)

זריקה אופקית: אותו מסלול, וכוח הכובד בתפקיד הכוח החשמלי

הטיית אלומה

t = Lv₀

y₁ = 12·a·t² = V_d·L²4·d·V_a

tan θ = v_yv₀ = V_d·L2·d·V_a

Y = y₁ + D·tan θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_a , V_d	מתח ההאצה ומתח ההטיה	[V]
L , d	אורך הלוחות והמרחק ביניהם	[m]
y₁	ההטיה ביציאה מן הלוחות	[m]
θ	זווית התנועה ביציאה מן הלוחות	[°]
D	מרחק המסך מקצה הלוחות	[m]
Y	ההטיה על המסך	[m]

	זריקה אופקית	אלקטרון בין שני לוחות
הכוח הקבוע	m·g כלפי מטה	e·E לעבר הלוח החיובי
התאוצה	g	a = e·Em = e·V_dm·d
התנועה בכיוון x	x = v₀·t	x = v₀·t
התנועה בכיוון הניצב	y = 12·g·t²	y = 12·a·t²
המסלול	פרבולה	פרבולה

דוגמה 2.13

אלקטרונים שהואצו ממנוחה במתח 1500 V נכנסים אופקית באמצע המרחק בין שני לוחות הטיה שאורכם 5 cm והמרחק ביניהם 1.5 cm, וביניהם הפרש פוטנציאלים 120 V. המסך נמצא במרחק 20 cm מקצה הלוחות. נחשב:
א. את מהירות הכניסה.
ב. את ההטיה ביציאה מן הלוחות ואת זווית היציאה.
ג. את ההטיה על המסך.

פתרון:

v₀ = 2·e·V_am_e = 2 · 1.6·10⁻¹⁹ · 15009.1·10⁻³¹ = 2.3·10⁷ m/s

ב. התאוצה האנכית וזמן השהייה בין הלוחות:

a = e·V_dm_e·d = 1.6·10⁻¹⁹ · 1209.1·10⁻³¹ · 0.015 = 1.41·10¹⁵ m/s²

t = Lv₀ = 0.052.3·10⁷ = 2.18·10⁻⁹ s

y₁ = 12·a·t² = 3.33·10⁻³ m = 3.33 mm

נבדוק בעזרת הנוסחה הסימבולית: y₁ = V_d·L²4·d·V_a = 120 · 0.05²4 · 0.015 · 1500 = 3.33 mm. וזווית היציאה:

v_y = a·t = 3.06·10⁶ m/s

tan θ = v_yv₀ = 0.1333

θ = 7.6°

ג. מחוץ ללוחות אין שדה, ולכן האלקטרון נע בקו ישר:

Y = y₁ + D·tan θ = 0.00333 + 0.2 · 0.1333 = 0.03 m

y₁ = 3.33 mm , Y = 3 cm

דוגמה 2.14

באותה מערכת מגדילים בהדרגה את מתח ההטיה. מהו מתח ההטיה הגדול ביותר שבו האלקטרונים עדיין יוצאים מבין הלוחות בלי להתנגש בלוח העליון?

פתרון:

האלקטרונים נכנסים באמצע המרחק, ולכן ההטיה המרבית האפשרית ביציאה היא d2:

V_d·L²4·d·V_a = d2

V_d,max = 2·d²·V_aL² = 2 · 0.015² · 15000.05² = 270 V

במתח גדול מזה האלומה פוגעת בלוח החיובי לפני סופו.

V_d,max = 270 V

שאלה 2.11: בדוגמה הראשונה בסעיף הזה מכפילים את מתח ההאצה ל-3000 V ומשאירים את מתח ההטיה 120 V. מה תהיה ההטיה על המסך? הסבירו.

▶ניסוי חי — הטיית אלומת אלקטרוניםמשנים את מתח ההאצה, את מתח ההטיה ואת מידות הלוחות, עוקבים אחר המסלול הפרבולי ואחר הנקודה על המסך, ומציגים את ההשוואה לזריקה אופקית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#deflect

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#deflect

יישומים: תותח אלקטרונים ואוסצילוסקופ:

תותח אלקטרונים: מכשיר שמפיק אלומה דקה של אלקטרונים מהירים. תיל חימום מחמם את הקתודה, וממנה נפלטים אלקטרונים (פליטה תרמית). מתח האצה גבוה בין הקתודה לאנודה מאיץ את האלקטרונים, והם יוצאים דרך חור באנודה כאלומה שמהירותה v = 2·e·V_am_e.

אוסצילוסקופ: מכשיר שמציג על מסך מתח משתנה כפונקציה של הזמן. בצורתו הקלסית יש בו תותח אלקטרונים, שני זוגות של לוחות הטיה, ומסך מצופה בחומר שזוהר במקום שהאלומה פוגעת בו — כולם בתוך שפופרת ריקה מאוויר.

שפופרת האוסצילוסקופ: הקתודה והאנודה (תותח האלקטרונים), לוחות Y להטיה אנכית, לוחות X להטיה אופקית (ניצבים למישור הסרטוט), והמסך

לוחות Y (אופקיים) מטים את האלומה כלפי מעלה או כלפי מטה. מחברים אליהם את המתח שרוצים למדוד. ראינו שההטיה על המסך יחסית ישר למתח ההטיה, ולכן המסך נעשה "סרגל" של מתח.
לוחות X (אנכיים) מטים את האלומה אופקית. מחברים אליהם מתח סריקה בצורת "שן מסור": הוא גדל בקצב קבוע עם הזמן ואז חוזר בבת אחת להתחלה. כך הנקודה נעה על המסך משמאל לימין במהירות קבועה, והציר האופקי נעשה ציר זמן.
כששני זוגות הלוחות פועלים יחד, הנקודה משרטטת על המסך את המתח כפונקציה של הזמן. זה הרעיון של האוסצילוסקופ.

מתח הסריקה על לוחות X: גדל באופן קווי במשך הזמן T ואז חוזר מיד לאפס

דוגמה 2.15

באוסצילוסקופ שמידותיו כמו בדוגמת ההטיה (V_a = 1500 V) חישבנו שמתח הטיה של 120 V מסיט את הנקודה 3 cm על המסך. נחשב את הרגישות של המכשיר (ההטיה לכל וולט), ואת מתח ההטיה שמסיט את הנקודה 1.5 cm.

פתרון:

ההטיה יחסית ישר למתח ההטיה, ולכן הרגישות קבועה:

S = YV_d = 30 mm120 V = 0.25 mm/V

V_d = YS = 150.25 = 60 V

S = 0.25 mm/V , V_d = 60 V

הערה: כיום החליפו את שפופרת האוסצילוסקופ מכשיר ספרתי ומסך שטוח, אבל העיקרון של תותח האלקטרונים עדיין פועל במיקרוסקופ האלקטרונים, בשפופרת קרני הרנטגן בבית החולים, ובמאיצי חלקיקים.

עיקרי הדברים:

השדה האלקטרוסטטי הוא שדה משמר: העבודה של הכוח החשמלי בין שתי נקודות אינה תלויה במסלול, ולכן אפשר להגדיר אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל.
הפוטנציאל הוא תכונה של הנקודה בשדה — אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען — והוא גודל סקלרי שמחברים חיבור רגיל בלי כיוונים, וזה יתרונו הגדול על השדה.
מטען חיובי נע מעצמו אל הפוטנציאל הנמוך, ומטען שלילי אל הפוטנציאל הגבוה; בשני המקרים האנרגיה הפוטנציאלית קטנה.
לכל הנקודות של מוליך בשיווי משקל אלקטרוסטטי אותו פוטנציאל, וקווי השדה יוצאים ניצבים לפני המוליך ולכל משטח שווה-פוטנציאל.
השדה מכוון תמיד מן הפוטנציאל הגבוה אל הפוטנציאל הנמוך, והוא חזק היכן שהמשטחים שווי-הפוטנציאל צפופים והפוטנציאל משתנה מהר.
מטען המואץ בהפרש פוטנציאלים צובר אנרגיה קינטית השווה למטענו כפול הפרש הפוטנציאלים, בלי תלות במרחק; ותנועת אלומה בין שני לוחות היא "זריקה אופקית" חשמלית.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הפרש פוטנציאלים ועבודת הכוח החשמלי	V_AB = V_A − V_B = W_Eq
אנרגיה פוטנציאלית ועבודה	ΔU_E = −W_E = q·(V_B − V_A)
אנרגיה פוטנציאלית בפוטנציאל V	U_E = q·V
הפוטנציאל של מטען נקודתי	V = k·qr
הפוטנציאל של מערך מטענים	V = Σk·q_ir_i
האנרגיה הפוטנציאלית של שני מטענים	U_E = k·q₁·q₂r
פוטנציאל של כדור מוליך (על פניו ובתוכו)	V = k·QR
חלוקת המטען בין שני כדורים מחוברים	Q′₁R₁ = Q′₂R₂
הפרש פוטנציאלים בשדה אחיד	V = E·d
האצת מטען ממנוחה	12·m·v² = q·V
ההטיה בין שני לוחות	y₁ = V_d·L²4·d·V_a
אלקטרון-וולט	1 eV = 1.6·10⁻¹⁹ J

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
כוח משמר	Conservative force	القوّة الحافظة
שדה משמר	Conservative field	الحقل الحافظ
אנרגיה פוטנציאלית חשמלית	Electric potential energy	الطاقة الكهربائية الوضعية
פוטנציאל חשמלי	Electric potential	الجهد الكهربائي
הפרש פוטנציאלים · מתח	Potential difference · Voltage	فرق الجهد · الجهد
וולט	Volt	ڤولط
מטען בוחן	Test charge	شحنة الاختبار
עקרון הסופרפוזיציה	Superposition principle	مبدأ التراكب
שיווי משקל אלקטרוסטטי	Electrostatic equilibrium	الاتّزان الكهروستاتيكي
הארקה	Grounding (earthing)	التأريض
זרם חולף	Transient current	تيار عابر
משטח שווה-פוטנציאל	Equipotential surface	سطح متساوي الجهد
שדה אחיד	Uniform field	حقل متجانس
האצה	Acceleration	تسريع
הטיה (הסחה) של אלומה	Beam deflection	انحراف الحزمة
תותח אלקטרונים	Electron gun	مدفع الإلكترونات
קתודה · אנודה	Cathode · Anode	المهبط · المصعد
אוסצילוסקופ	Oscilloscope	راسم الإشارات (الأوسيلوسكوب)
אלקטרון-וולט	Electron-volt	إلكترون ڤولط

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 2.1) בשדה אחיד שעוצמתו 3000 N/C עובר מטען q = −2 μC מ-A ל-B מרחק 10 cm בכיוון השדה.
א. חשבו את העבודה של הכוח החשמלי.
ב. חשבו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית ואת הפרש הפוטנציאלים V_AB.
ג. האם המטען נע מעצמו מ-A ל-B?

תשובות: W_E = −6·10⁻⁴ J , ΔU_E = +6·10⁻⁴ J , V_AB = 300 V ; לא

(לסעיף 2.1) מטען נקודתי Q = −3 nC. הנקודה A נמצאת במרחק 45 cm ממנו, והנקודה B במרחק 15 cm.
א. חשבו את הפוטנציאל בשתי הנקודות.
ב. חשבו את העבודה של הכוח החשמלי על פרוטון העובר מ-A ל-B, והסבירו את סימן העבודה.

תשובות: V_A = −60 V , V_B = −180 V , W_E = 1.92·10⁻¹⁷ J (חיובית: משיכה)

(לסעיף 2.1) כדור מוליך שרדיוסו 5 cm טעון במטען +2 nC.
א. חשבו את הפוטנציאל של הכדור.
ב. חשבו את הפוטנציאל בנקודה במרחק 20 cm ממרכזו.
ג. מה יהיה הפוטנציאל של הכדור אם נאריק אותו?

תשובות: V = 360 V , V(20 cm) = 90 V ; אפס — ההארקה פורקת את הכדור

(לסעיף 2.2) אלקטרון מואץ ממנוחה בהפרש פוטנציאלים 4500 V.
א. מהי האנרגיה הקינטית שלו באלקטרון-וולט ובג׳אול?
ב. מהי מהירותו הסופית?

תשובות: 4500 eV = 7.2·10⁻¹⁶ J , v = 3.98·10⁷ m/s

תרגילי סיכום:

בקדקודי ריבוע שאורך צלעו 30 cm נמצאים המטענים +3 nC , +3 nC , +3 nC, ובקדקוד הרביעי המטען −1 nC.
א. חשבו את הפוטנציאל במרכז הריבוע O.
ב. מדוע התשובה אינה תלויה בסידור המטענים בקדקודים?

תשובות: V_O = 339.4 V ; הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, וכל המרחקים שווים

כדור מוליך שרדיוסו 20 cm, והפוטנציאל שלו 900 V.
א. חשבו את מטענו.
ב. את עוצמת השדה על פניו.
ג. את הפוטנציאל במרחק 60 cm ממרכזו.
ד. מהי עוצמת השדה במרכזו?

תשובות: Q = 2·10⁻⁸ C , E = 4500 V/m , V = 300 V ; אפס

כדור מוליך שרדיוסו 4 cm ומטענו +9 nC, וכדור שרדיוסו 8 cm ומטענו +3 nC, רחוקים זה מזה. מחברים אותם בתיל דק.
א. חשבו את המטען של כל כדור ואת הפוטנציאל המשותף אחרי החיבור.
ב. איזה מטען עבר, ובאיזה כיוון?

תשובות: Q′₁ = 4 nC , Q′₂ = 8 nC , V = 900 V ; עבר מטען 5 nC מן הכדור הקטן אל הגדול

בסרטוט מוצגים קווים שווי-פוטנציאל של שדה אחיד, והמרחק בין כל שני קווים סמוכים 2 cm.
א. מהי עוצמת השדה ומהו כיוונו?
ב. מהי העבודה של הכוח החשמלי על מטען +3 μC העובר מ-A ל-B?
ג. ומהי העבודה מ-A ל-C?

תשובות: E = 500 V/m ימינה (לכיוון ירידת הפוטנציאל) ; W_AB = 9·10⁻⁵ J ; מ-A ל-C אפס

אלקטרון נכנס במהירות אופקית 2·10⁷ m/s באמצע המרחק בין שני לוחות שאורכם 4 cm והמרחק ביניהם 2 cm, וביניהם הפרש פוטנציאלים 100 V (הלוח העליון חיובי).
א. חשבו את זמן השהייה בין הלוחות.
ב. את ההטיה ביציאה ואת זווית היציאה.
ג. לאיזה צד סוטה האלקטרון?

תשובות: t = 2·10⁻⁹ s , y₁ = 1.76 mm , θ = 5° ; כלפי מעלה, לעבר הלוח החיובי

תרגילי העמקה:

(*) שלושה מטענים שווים q = +1 μC נמצאים בקדקודי משולש שווה-צלעות שאורך צלעו 10 cm. מהי העבודה החיצונית הדרושה כדי לקבץ אותם ממרחקים גדולים מאוד? (רמז: מחברים את האנרגיה הפוטנציאלית של שלושת הזוגות.)

תשובות: W_ext = U_E = 0.27 J

תשובות סופיות לשאלות הפרק

2.1 V_B − V_A = 20 V , ΔU_E = 3.2·10⁻¹⁸ J ; לא, נדרשת עבודה חיצונית

2.2 במרחק 0.4 m ו-1.2 m מן q₁ ; לא, השדה בהן אינו אפס

2.3 v = 9.29·10⁶ m/s

2.4 Q_max = 3.33·10⁻⁶ C , V_max = 3·10⁵ V

2.5 +3 nC לכל אחד ; 4 nC ו-12 nC

2.6 W_E = −3·10⁻⁵ J ; אפס

2.7 V = 20 V ; E = 2000 V/m

2.8 E_k = 3.2·10⁻¹⁶ J , v = 3.1·10⁵ m/s

2.9 V = 45.5 V

2.10 2.18·10⁻¹⁸ J ; 13.6 V

2.11 Y = 1.5 cm (חצי): האלומה המהירה יותר שוהה זמן קצר יותר בין הלוחות

שאלות בגרות לפרק 2

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון האלקטרומגנטיות (36371). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 2 — שתי מעטפות כדוריות טעונות — פוטנציאל, שימור מטען ומעבר אלקטרונים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	המטען שעל מעטפת א	Q₁ = +2·10⁻⁹ C = 2 nC — מטען חיובי
ב	המהירות ההתחלתית המינימלית של הפרוטון	v₀ = 1.86·10⁵ m/s
ג	חלוקת המטען זמן רב לאחר החיבור	Q₁′ = 1.71 nC חיובי · Q₂′ = 10.29 nC חיובי · שתיהן בפוטנציאל 154.3 V
ד	כיוון תנועת האלקטרונים ומספרם	האלקטרונים עברו ממעטפת ב אל מעטפת א · n = 1.79·10⁹ אלקטרונים
ה	מדוע דרוש מרחק גדול בין המעטפות	רק במרחק גדול אין תרומה הדדית לפוטנציאל ואין השראת מטענים, ולכן הצפיפות נשארת אחידה והתנאי לשוויון הפוטנציאלים תקף

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 2 — שני מטענים חיוביים על ציר y — שדה, פוטנציאל ומשטחים שווי פוטנציאל

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	השדה החשמלי בראשית הצירים	E = k(Q − q) חלקי d² · הכיוון כלפי מטה, בכיוון השלילי של ציר y
ב		לא, אין נקודה כזאת · שני המטענים חיוביים ולכן שני איברי הפוטנציאל חיוביים ממש בכל נקודה סופית
ג	חישוב המטען q מתוך תרשים משטחי הפוטנציאל	q ≈ 2.2·10⁻¹⁰ C ≈ 0.2 nC
ד		v_B = 6.2·10⁶ m/s · הפוזיטרון מאיץ מפני שהוא נע מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך
ה		כיוון 2 · ימינה ולמטה

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 1 — כדור מוליך טעון — קווי שווי פוטנציאל ותנועת גופים טעונים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	המרחק AO	AO = 0.54 m = 54 cm
ב		E(A) = 9.26·10⁴ V/m · הכיוון רדיאלי החוצה, על הישר OA ובהמשכו
ג		E(P) = 0 · V(P) = 90,000 V
ד		v(B) = 1.28 m/s
ה	השוואה בין המרחק AC למרחק AB	AC = 9 cm קטן מ-AB = 13.5 cm · הסיבה היא צפיפות גדולה יותר של קווי שווי הפוטנציאל בקרבת הכדור

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 1 — מטען נקודתי ליד לוח אין־סופי טעון — שדה, פוטנציאל וסוג התנועה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	ביטוי לשדה לאורך ציר ה-x	E(x) = kQ/x² + σ/(2ε₀) , בכיוון החיובי של ציר ה-x
ב	חילוץ σ ו-Q מן הגרף	σ = 3.0·10⁻⁸ C/m² · Q = 2.0·10⁻⁷ C
ג	סוג התנועה במרחק גדול	היגד 1 נכון · במרחק גדול נשאר רק שדה הלוח האחיד, ולכן הכוח קבוע והתנועה שוות תאוצה בקירוב
ד	הפרש הפוטנציאלים בין x = d ל-x = 2d	V(d) − V(2d) ≈ 7.0·10³ V
ה	הזזת הלוח אל x = d/2	הפרש הפוטנציאלים לא משתנה · שדה הלוח האין־סופי אחיד ואינו תלוי במרחק ממנו, והמטען הנקודתי לא הוזז

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 שאלה 2 — שדה ופוטנציאל של שני מטענים · וגרף פוטנציאל לאורך ציר

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	השדה השקול בקודקוד C	E = 1.73·10³ V/m · הכיוון ניצב לצלע AB, מאמצע AB דרך C והלאה
ב	הפוטנציאל בקודקוד C	V(C) = 1200 V
ג		כן — באמצע הקטע AB · שם E = 0 אבל V = 2400 V
ד	גרף השדה החשמלי לאורך ציר ה-x	0–2 cm: E = −300 V/m · 2–4 cm: E = 0 · 4–8 cm: E = +150 V/m
ה	לאיזה כיוון נע החלקיק	החלקיק נע בכיוון השלילי של ציר ה-x
ו	מסת החלקיק	m = 3·10⁻³ kg = 3 גרם

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2019 שאלה 1 — שני מטענים נגדיים · תמונת קווי השדה, הפוטנציאל והאנרגייה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הגדרת קו שדה חשמלי	קו שדה חשמלי הוא עקום שהמשיק לו בכל נקודה נותן את כיוון השדה החשמלי באותה נקודה, וצפיפות הקווים מייצגת את גודל עוצמת השדה
ב	מדוע המטענים שווים בערכם המוחלט	מספר הקווים היוצא ממטען 1 שווה למספר הנכנס למטען 2, והתמונה סימטרית ביחס לאנך האמצעי — ולכן \|q₁\| = \|q₂\|
ג1		לא, עוצמת השדה ב-A אינה אפס. E(A) = 2·10⁵ V/m בכיוון ממטען 1 לעבר מטען 2
ג2		כן, הפוטנציאל בנקודה A הוא אפס. הפוטנציאל סקלרי, ושני התרומות שוות בגודלן והפוכות בסימנן
ד		הכוח מקביל לישר המחבר את המטענים ומצביע מכיוון מטען 2 לעבר מטען 1
ה	היכן השדה חזק יותר — ב-A או ב-C	עוצמת השדה גדולה יותר בנקודה C, כי היא סמוכה למטען 1 וצפיפות קווי השדה שם גדולה בהרבה
ו	האנרגייה הפוטנציאלית של המערכת	U = −1.5·10⁻⁵ J

הפתרון המלא לבחינת 2019 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 7 — נוסחאון הספר.