الفصل 1

قانون كولون والحقل الكهربائي الساكن

חוק קולון והשדה האלקטרוסטטי

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 20 ساعات تعليمية

نبدأ دراسة الكهرومغناطيسية بأبسط ظاهرة فيها: شحنات كهربائية ساكنة. في هذا الفصل نتعرّف على نوعي الشحنة وعلى سلوك الموصلات والعوازل، ونكتب قانون كولون للقوّة بين شحنتين نقطيتين. على هذا القانون نبني مفهوم الحقل الكهربائي الذي سيرافقنا في كل فصول الكتاب، ونتعلّم أن نرسمه بخطوط الحقل. في نهاية الفصل نتعرّف باختصار على قانون غاوس الذي يربط الحقل بالشحنة التي تولّده.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نميّز بين نوعي الشحنة الكهربائية ونصف القوى بينهما، ونفسّر شحن الأجسام بانتقال الإلكترونات.
نفرّق بين الموصل والعازل، ونفسّر الشحن بالدلك وباللمس، والحثّ الكهروستاتيكي والتأريض.
نصف الاتّزان الكهروستاتيكي في الموصل: الشحنة الفائضة على السطح وتكدّسها في الأطراف المدبّبة.
نطبّق قانون حفظ الشحنة، ونعرف أنّ كل شحنة هي مضاعف صحيح للشحنة الأوّلية: q = n·e.
نحسب القوّة بين شحنتين نقطيتين بقانون كولون F = k·q₁·q₂r²، ونقارنها بقوّة الجاذبية.
نجمع القوى الكهربائية على شحنة بمبدأ التراكب: على خطّ مستقيم، وفي المستوى بتحليل القوى إلى مركّبات.
نعرّف شدّة الحقل الكهربائي E = Fq، نحسب حقل شحنة نقطية وحقل عدّة شحنات، ونرسم خطوط الحقل.
نحسب القوّة على شحنة موضوعة في حقل معلوم: F = q·E.
نعرّف التدفّق الكهربائي، ونستعمل قانون غاوس في حالات متماثلة، ونفسّر الحجب الكهربائي.

תופעות חשמליות – الظواهر الكهربائية (Electric Phenomena)

قبل أكثر من ألفين وخمسمئة سنة لاحظ الإغريق أنّ قطعة الكهرمان التي تُدلَك بالصوف تجذب إليها قصاصات خفيفة من القشّ والريش. من الاسم اليوناني للكهرمان، «إلكترون»، جاءت كلمة الكهرباء في اللغات الأوروبية. اليوم نعرف أنّ وراء هذه الظاهرة البسيطة خاصّية أساسية من خواصّ المادّة، هي الشحنة الكهربائية. في هذا البند نتعرّف على الظواهر الكهربائية بشكل نوعي، دون حسابات، ونبني الصورة التي سنعتمد عليها في كل الفصل.

نوعا الشحنة والقوى بينهما – שני סוגי מטען והכוחות ביניהם:

نُجري تجربة بسيطة: نَدلك قضيبين زجاجيين بقطعة حرير، ونعلّق أحدهما بخيط بحيث يستطيع الدوران بحرّية. عندما نقرّب منه القضيب الزجاجي الثاني يبتعد القضيب المعلّق عنه. نكرّر التجربة بقضيبين من البلاستيك مدلوكين بالصوف — فيتنافران أيضا. أمّا إذا قرّبنا قضيب البلاستيك من القضيب الزجاجي المعلّق فإنّهما يتجاذبان. لا يمكن تفسير هذه النتائج بنوع واحد من الشحنة؛ نحتاج إلى نوعين.

الشحنة الكهربائية (מטען חשמלי): خاصّية للمادّة تجعل الأجسام تؤثّر بعضها على بعض بقوى كهربائية. توجد منها نوعان: موجبة وسالبة. نرمز للشحنة بالحرف q أو Q، ووحدة قياسها الكولون C.

الشحنتان المتماثلتان في الإشارة (موجبة وموجبة، أو سالبة وسالبة) تتنافران.
الشحنتان المختلفتان في الإشارة (موجبة وسالبة) تتجاذبان.
الجسم المتعادل (ניטרלי) يحمل كمّيتين متساويتين من الشحنة الموجبة والسالبة، فلا يؤثّر بقوّة كهربائية على جسم بعيد.
التسمية اصطلاحية واقترحها بنجامين فرانكلين: شحنة الزجاج المدلوك بالحرير سُمّيت موجبة، وشحنة البلاستيك المدلوك بالصوف سالبة.

شحنتان موجبتان: تنافر

شحنتان سالبتان: تنافر

شحنتان مختلفتان: تجاذب

البنية الكهربائية للمادّة – המבנה החשמלי של החומר:

نموذج مبسّط للذرّة: نواة فيها بروتونات ونيوترونات، وإلكترونات حولها

كلّ مادّة مبنيّة من ذرّات. في مركز الذرّة نواة صغيرة جدّا فيها بروتونات موجبة الشحنة ونيوترونات متعادلة، وحول النواة تتحرّك إلكترونات سالبة الشحنة. شحنة الإلكترون تساوي شحنة البروتون في المقدار وتعاكسها في الإشارة. في الذرّة المتعادلة عدد الإلكترونات يساوي عدد البروتونات، ولذلك شحنتها الكلّية صفر.

الجُسيم	الشحنة	الكتلة
الإلكترون	−e = −1.6·10⁻¹⁹ C	9.1·10⁻³¹ kg
البروتون	+e = +1.6·10⁻¹⁹ C	1.67·10⁻²⁷ kg
النيوترون	0	1.67·10⁻²⁷ kg (تقريبا)

البروتونات مرتبطة بالنواة بقوى قويّة جدّا، ولا تنتقل في العمليات الكهربائية العادية. الذي ينتقل بين الأجسام هو الإلكترونات، وخاصّة الإلكترونات الخارجية البعيدة عن النواة. ومن هنا القاعدة الأساسية لكل هذا البند:

القاعدة: الجسم الذي اكتسب إلكترونات زائدة يصبح سالب الشحنة، والجسم الذي فقد إلكترونات يصبح موجب الشحنة. شحن الجسم لا يعني خلق شحنة، بل نقل إلكترونات من جسم إلى آخر.

الموصلات والعوازل – מוליכים ומבדדים:

الموصل (מוליך): مادّة فيها حاملات شحنة تتحرّك بحرّية في كامل حجم الجسم. في الفلزّات (النحاس، الألومنيوم، الحديد) هذه الحاملات هي الإلكترونات الحرّة: إلكترون خارجي واحد أو أكثر من كل ذرّة ينفصل عنها ويتجوّل في كل الفلزّ.

العازل (מבדד): مادّة تبقى فيها الإلكترونات مقيّدة بذرّاتها وجزيئاتها، فلا تستطيع الشحنة أن تنتقل من مكان إلى آخر في الجسم. أمثلة: الزجاج، البلاستيك، المطّاط، الخشب الجافّ والهواء الجافّ.

النتيجة العملية: الشحنة التي نضعها على عازل تبقى في المكان الذي وُضعت فيه، أمّا الشحنة التي نضعها على موصل فتنتشر فورا على سطحه كلّه. لهذا نستطيع شحن قضيب بلاستيكي ونحن نمسكه باليد، لكنّنا لا نستطيع بالطريقة نفسها شحن قضيب نحاسي ممسوك باليد: الشحنة تنتقل عبر القضيب وعبر جسمنا إلى الأرض. لشحن قضيب فلزّي نمسكه بمقبض عازل.

في الموصل تنتشر الشحنة على السطح كلّه؛ في العازل تبقى في منطقة الدلك

موصلات جيّدة	عوازل جيّدة	بين الاثنين
الفلزّات (النحاس، الفضّة، الألومنيوم)	الزجاج والخزف	أشباه الموصلات: السيليكون والجرمانيوم
الغرافيت	البلاستيك والمطّاط	الخشب الرطب
المحاليل الملحية وجسم الإنسان	الهواء الجافّ

الشحن بالدلك وباللمس – טעינה בשפשוף ובמגע:

الشحن بالدلك (טעינה בשפשוף): عندما نَدلك جسمين من مادّتين مختلفتين أحدهما بالآخر، تنتقل إلكترونات من أحدهما إلى الآخر. الجسم الذي اكتسب إلكترونات يُشحن بشحنة سالبة، والذي فقدها يُشحن بشحنة موجبة مساوية لها في المقدار.

دلك قضيب زجاجي بالحرير: تنتقل إلكترونات من الزجاج إلى الحرير، فيُشحن الزجاج بشحنة موجبة والحرير بشحنة سالبة

اتّجاه انتقال الإلكترونات يتعلّق بالمادّتين: بعض المواد تتمسّك بإلكتروناتها أكثر من غيرها. الحرير يأخذ إلكترونات من الزجاج، والبلاستيك يأخذ إلكترونات من الصوف. لذلك نحصل على شحنة موجبة على الزجاج، وعلى شحنة سالبة على البلاستيك.

مثال 1.1

دلكنا قضيبا بلاستيكيا بقطعة صوف، فحصل القضيب على شحنة −4.8 nC. كم إلكترونا انتقل، ومن أيّ جسم إلى أيّ جسم؟ ما هي شحنة الصوف؟ وبكم ازدادت كتلة القضيب؟

الحل:

الشحنة السالبة تعني أنّ القضيب اكتسب إلكترونات، إذًا انتقلت الإلكترونات من الصوف إلى القضيب. عدد الإلكترونات هو مقدار الشحنة مقسوما على شحنة إلكترون واحد:

N = qe = 4.8·10⁻⁹1.6·10⁻¹⁹ = 3·10¹⁰

الصوف فقد هذه الإلكترونات بالضبط، ولذلك شحنته موجبة ومساوية في المقدار: +4.8 nC.

الكتلة المضافة هي كتلة الإلكترونات المنتقلة:

Δm = N·m_e = 3·10¹⁰ · 9.1·10⁻³¹ = 2.73·10⁻²⁰ kg

هذه زيادة لا يمكن قياسها: شحن الأجسام لا يغيّر كتلتها عمليا.

N = 3·10¹⁰ , Δm = 2.73·10⁻²⁰ kg

الشحن باللمس (טעינה במגע): عندما يلمس جسم مشحون موصلا، تنتقل شحنة من أحدهما إلى الآخر، فيُشحن الموصل بشحنة من إشارة شحنة الجسم نفسها. إذا كان الجسمان موصلين متطابقين في الشكل والحجم، تتوزّع الشحنة الكلّية بينهما بالتساوي.

الكشّاف الكهربائي – אלקטרוסקופ:

الكشّاف الكهربائي (אלקטרוסקופ): جهاز بسيط للكشف عن الشحنة الكهربائية، ويسمّى أيضا (الإلكتروسكوب). يتكوّن من قضيب فلزّي في أعلاه كرة أو قرص فلزّي، وفي أسفله ورقتان رقيقتان من الذهب أو الألومنيوم. القضيب مثبّت داخل وعاء زجاجي بواسطة سدادة عازلة.

الكشّاف الكهربائي: غير مشحون (الورقتان منطبقتان)، مشحون باللمس (الورقتان تتنافران)، وقضيب سالب قريب من الكرة دون أن يلمسها (الحثّ يفصل الشحنات)

عندما يُشحن الكشّاف تنتشر الشحنة على القضيب والورقتين معا (كلّها موصلة)، فتحمل الورقتان شحنة من الإشارة نفسها وتتنافران. كلّما كانت الشحنة أكبر انفرجت الورقتان أكثر. يمكن استعمال الكشّاف أيضا لمعرفة إشارة شحنة جسم: نشحن الكشّاف بشحنة معلومة (موجبة مثلا)، ثمّ نقرّب الجسم من الكرة. إذا ازداد انفراج الورقتين فشحنة الجسم موجبة، وإذا قلّ فشحنته سالبة.

في الرسم الثالث لم يلمس القضيبُ الكشّافَ، ومع ذلك انفرجت الورقتان. هذه هي ظاهرة الحثّ التي نتعرّف عليها الآن.

الحثّ الكهروستاتيكي – השראה אלקטרוסטטית:

الحثّ الكهروستاتيكي (השראה אלקטרוסטטית): إعادة توزيع الشحنات في موصل عندما نقرّب منه جسما مشحونا دون أن يلمسه. الشحنة الكلّية للموصل لا تتغيّر، لكنّ جانبه القريب من الجسم المشحون يُشحن بإشارة معاكسة، وجانبه البعيد بإشارة مماثلة. ويُسمّى الشحن الذي يعتمد على هذه الظاهرة أيضا (الشحن بالتأثير).

قضيب موجب قريب من كرة موصلة متعادلة: الإلكترونات الحرّة تنجذب إلى الجانب القريب، ويبقى الجانب البعيد موجبا. قوّة التجاذب أكبر من قوّة التنافر لأنّ الشحنة السالبة أقرب إلى القضيب

في الرسم: الإلكترونات الحرّة في الكرة تنجذب نحو القضيب الموجب وتتجمّع في الجانب القريب منه، فيبقى في الجانب البعيد نقص في الإلكترونات، أي شحنة موجبة. الشحنتان متساويتان في المقدار، لكنّ الشحنة السالبة أقرب إلى القضيب، والقوّة الكهربائية تكبر كلّما صغرت المسافة (سنرى ذلك في قانون كولون). لذلك التجاذب أكبر من التنافر، والقوّة المحصّلة على الكرة قوّة تجاذب. هذا ما يفسّر لماذا يجذب المشط المشحون قصاصات الورق المتعادلة، ولماذا ينجذب الجسم المتعادل إلى القضيب سواء كانت شحنة القضيب موجبة أو سالبة.

الاستقطاب في العازل – קיטוב במבדד:

في العازل لا توجد إلكترونات حرّة، فلا تنتقل الشحنة عبر الجسم. لكنّ كل جزيء يستقطب (מתקטב) في مكانه: تنزاح إلكتروناته قليلا نحو القضيب الموجب، فيصبح طرفه القريب سالبا وطرفه البعيد موجبا. النتيجة الإجمالية تشبه ما يحدث في الموصل: على سطح العازل القريب من القضيب تظهر شحنة سالبة، ولذلك ينجذب العازل المتعادل أيضا إلى الجسم المشحون، وإن كان بقوّة أضعف.

الاستقطاب: كل جزيء في العازل يستقطب في مكانه، وطرفه السالب نحو القضيب الموجب

الشحن بالحثّ والتأريض – טעינה בהשראה והארקה:

التأريض (הארקה): وصل موصل بالأرض بواسطة موصل آخر (سلك، أو حتى جسم الإنسان). الأرض جسم موصل ضخم جدّا، تستطيع أن تعطي إلكترونات أو أن تأخذها دون أن تتغيّر حالتها.

بالحثّ والتأريض نستطيع أن نشحن موصلا دون أن نلمسه بالجسم المشحون، فيحصل على شحنة معاكسة لشحنة القضيب. الخطوات (حسب الرسم):

شحن كرة موصلة بالحثّ بواسطة قضيب سالب، في أربع خطوات

نقرّب القضيب السالب من الكرة الموصلة المتعادلة الموضوعة على حامل عازل. الحثّ يفصل الشحنات: الجانب القريب موجب والبعيد سالب.
نؤرّض الكرة (نصلها بالأرض). الإلكترونات التي يدفعها القضيب السالب تجد طريقا أبعد — إلى الأرض — فتنتقل إليها.
نفصل التأريض والقضيب ما زال قريبا. الآن لا تستطيع الإلكترونات أن تعود من الأرض.
نُبعد القضيب. الشحنة الموجبة الفائضة تنتشر على كامل سطح الكرة. الكرة مشحونة بشحنة موجبة — معاكسة لشحنة القضيب.

انتبهوا: ترتيب الخطوات مهمّ: إذا أبعدنا القضيب قبل فصل التأريض، تعود الإلكترونات من الأرض إلى الكرة، وتبقى الكرة متعادلة.

سؤال 1.1: كرتان موصلتان متطابقتان A و B على حاملين عازلين تتلامسان. نقرّب قضيبا موجبا من الكرة A دون أن يلمسها، ثمّ نفصل الكرتين والقضيب ما زال قريبا، وبعد ذلك نُبعد القضيب. ما هي إشارة شحنة كل كرة؟ وكيف تقارن مقداري الشحنتين؟

الاتّزان الكهروستاتيكي – שיווי משקל אלקטרוסטטי:

الاتّزان الكهروستاتيكي (שיווי משקל אלקטרוסטטי): حالة الموصل عندما لا تتحرّك الشحنات فيه حركة إجمالية. يصل الموصل إلى هذه الحالة بعد زمن قصير جدّا من كل تغيير (لمس، تأريض، تقريب جسم مشحون).

في الاتّزان الكهروستاتيكي للموصل ثلاث خواصّ مهمّة:

الحقل الكهربائي داخل الموصل يساوي صفرا. لو كان هناك حقل داخل الموصل لأثّر بقوّة على الإلكترونات الحرّة وحرّكها، أي لم يكن الموصل في اتّزان. (الحقل الكهربائي نعرّفه في البند 1.3.)
الشحنة الفائضة كلّها على السطح الخارجي. الشحنات المتماثلة تتنافر، فتبتعد بعضها عن بعض إلى أقصى ما يمكن، أي إلى السطح. داخل الموصل تبقى المادّة متعادلة.
الشحنة تتكدّس في الأطراف المدبّبة. على موصل غير كروي لا تتوزّع الشحنة بالتساوي: كثافتها أكبر حيث يكون السطح أكثر انحناء (نصف قطر الانحناء صغير)، وأكبر ما تكون في الرؤوس الحادّة.

موصل مشحون في الاتّزان الكهروستاتيكي: الشحنة على السطح، والحقل داخله صفر، والشحنة تتكدّس عند الطرف المدبّب

تكدّس الشحنة في الرؤوس الحادّة يولّد حولها حقلا قويّا جدّا، قادرا على تأيين الهواء وتفريغ الشحنة فيه. على هذا المبدأ تعمل مانعة الصواعق (כליא ברק): قضيب فلزّي مدبّب في أعلى المبنى، موصول بالأرض بسلك سميك. الرأس الحادّ يفرّغ الشحنة تدريجيا، وإذا حدثت صاعقة فإنّها تمرّ عبر القضيب والسلك إلى الأرض، لا عبر جدران المبنى.

التيارات العابرة – זרמים חשמליים חולפים:

التيار العابر (זרם חולף): حركة قصيرة لحاملات الشحنة في موصل تحدث عندما ينتقل الموصل من حالة اتّزان كهروستاتيكي إلى حالة اتّزان أخرى. تستمرّ عادة جزءا صغيرا جدّا من الثانية، وتتوقّف عندما يصل الموصل إلى الاتّزان الجديد.

كرة مشحونة A وكرة متعادلة B يصل بينهما سلك ومفتاح

شحنة الكرة B بعد إغلاق المفتاح: تيار عابر، ثمّ اتّزان جديد

في الرسم: الكرة A موجبة والكرة B متعادلة. عندما نغلق المفتاح تنتقل إلكترونات من B إلى A عبر السلك. هذه الحركة هي تيار كهربائي، لكنّه لا يستمرّ: عندما يصل الموصل كلّه (الكرتان والسلك) إلى الاتّزان الجديد يتوقّف انتقال الشحنة. أمثلة أخرى على التيارات العابرة: انتقال الإلكترونات في الموصل عند تقريب جسم مشحون منه (الحثّ)، الانتقال إلى الأرض عند التأريض، الشرارة التي نشعر بها عندما نلمس مقبض الباب بعد المشي على سجّادة، والبرق — وهو تيار عابر ضخم بين الغيمة والأرض. في الفصل الرابع سندرس التيار الذي يستمرّ بلا توقّف، عندما يحافظ مصدر فرق جهد على حركة الشحنات.

حفظ الشحنة – שימור המטען:

حفظ الشحنة (שימור המטען): في منظومة معزولة، لا تدخلها شحنة ولا تخرج منها، المجموع الجبري للشحنات ثابت. الشحنة لا تُخلق من العدم ولا تفنى، بل تنتقل من جسم إلى آخر.

قانون حفظ الشحنة · שימור המטען

Σq = q₁ + q₂ + q₃ + … = const

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Σq	المجموع الجبري لشحنات المنظومة المعزولة (كل شحنة بإشارتها)	[C]

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الدلك «يولّد» شحنة كهربائية جديدة. هذا غير صحيح: الشحنة محفوظة، والدلك لا يخلق شحنة بل ينقل إلكترونات من جسم إلى جسم. لذلك يُشحن الجسمان المدلوكان دائما بشحنتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الإشارة، ويبقى مجموعهما صفرا كما كان قبل الدلك.

عندما يتلامس موصلان متطابقان ثمّ ينفصلان، يحصل كلّ واحد منهما على نصف مجموع شحنتيهما (مع الإشارات):

q' = q₁ + q₂2

مثال 1.2

ثلاث كرات موصلة متطابقة على حوامل عازلة: شحنة A هي +10 nC، وشحنة B هي −4 nC، والكرة C متعادلة. نلمس A بالكرة B ونفصلهما، ثمّ نلمس B بالكرة C ونفصلهما. نجد الشحنة النهائية على كل كرة، ونفحص حفظ الشحنة، ونحسب عدد الإلكترونات التي انتقلت في التلامس الأوّل.

الحل:

التلامس الأوّل: الكرتان متطابقتان، فتتوزّع الشحنة الكلّية بينهما بالتساوي:

q'_A = q'_B = q_A + q_B2 = 10 + (−4)2 = 3 nC

التلامس الثاني: الكرة B وعليها الآن 3 nC مع الكرة C المتعادلة؛ الكرة A مفصولة ولا تتغيّر:

q''_B = q''_C = 3 + 02 = 1.5 nC

فحص حفظ الشحنة: المجموع في البداية 10 − 4 + 0 = 6 nC، وفي النهاية:

Σq = 3 + 1.5 + 1.5 = 6 nC

في التلامس الأوّل تغيّرت شحنة B من −4 nC إلى +3 nC، أي فقدت 7 nC من الشحنة السالبة. إذًا انتقلت إلكترونات من B إلى A:

N = 7·10⁻⁹1.6·10⁻¹⁹ = 4.375·10¹⁰

q_A = 3 nC , q_B = q_C = 1.5 nC

سؤال 1.2: كرة موصلة شحنتها +6 nC تلمس كرة مطابقة شحنتها −2 nC ثمّ تنفصل عنها. ما هي شحنة كل كرة بعد الفصل؟ كم إلكترونا انتقل، وفي أيّ اتّجاه؟

▶تجربة حية — الظواهر الكهربائية والحثّنقرّب قضيبا مشحونا من موصل أو من عازل، نصل التأريض ونفصله، ونتابع توزيع الشحنات وحفظ الشحنة الكلّية في المنظومة.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#phen

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#phen

חוק קולון – قانون كولون (Coulomb's Law)

في البند السابق وصفنا القوى الكهربائية وصفا نوعيا: تنافر أو تجاذب، أقوى عندما تكون الشحنات أقرب. في سنة 1785 قاس الفيزيائي الفرنسي شارل كولون هذه القوّة بدقّة بواسطة ميزان اللَّيّ (מאזני פיתול): كرة مشحونة صغيرة في طرف قضيب معلّق بخيط رفيع، وكرة مشحونة ثانية تقترب منها؛ من زاوية التفاف الخيط حسب القوّة. النتيجة قانون بسيط ودقيق يحمل اسمه.

الشحنة النقطية – מטען נקודתי:

الشحنة النقطية (מטען נקודתי): جسم مشحون أبعاده صغيرة جدّا بالنسبة إلى المسافات بينه وبين الأجسام المشحونة الأخرى، بحيث لا يهمّ شكله ولا كيفية توزّع الشحنة عليه. كرة صغيرة مشحونة على بعد متر من كرة أخرى تُعامَل كشحنة نقطية. وسنرى في البند 1.4 أنّ كرة مشحونة بانتظام تتصرّف خارجها كشحنة نقطية في مركزها، مهما كان حجمها.

قانون كولون – חוק קולון:

وجد كولون أنّ القوّة بين شحنتين نقطيتين ساكنتين:

تتناسب طرديا مع حاصل ضرب مقداري الشحنتين: مضاعفة إحدى الشحنتين تضاعف القوّة.
تتناسب عكسيا مع مربّع المسافة بينهما: مضاعفة المسافة تقلّل القوّة أربع مرّات.
تؤثّر على امتداد الخطّ الواصل بين الشحنتين: تنافر بين شحنتين متماثلتين، وتجاذب بين شحنتين مختلفتين.

قانون كولون · חוק קולון

F = k·q₁·q₂r²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	مقدار القوّة التي تؤثّر بها كلّ شحنة على الأخرى	[N]
q₁ , q₂	مقدارا الشحنتين (نعوّض بلا إشارة)	[C]
r	المسافة بين الشحنتين	[m]
k	ثابت كولون: k = 9·10⁹ N·m²/C²	[N·m²/C²]

كيف نستعمل القانون: نعوّض في القانون مقداري الشحنتين فقط، فنحصل على مقدار القوّة. الاتّجاه نحدّده من الإشارتين، لا من الحساب: شحنتان متماثلتان — كل واحدة تُدفع بعيدا عن الأخرى؛ شحنتان مختلفتان — كل واحدة تُشدّ نحو الأخرى.

القوّتان اللتان تؤثّر بهما الشحنتان إحداهما على الأخرى هما زوج فعل وردّ فعل حسب قانون نيوتن الثالث: متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتّجاه، حتى عندما تكون إحدى الشحنتين أكبر بكثير من الأخرى. في الرسم نرمز بـ F₁₂ للقوّة التي تؤثّر بها q₁ على q₂، وبـ F₂₁ للقوّة التي تؤثّر بها q₂ على q₁:

F₁₂ = −F₂₁

القوّتان بين شحنتين متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتّجاه، حتى عندما تختلف الشحنتان في المقدار

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الشحنة الكبيرة تؤثّر على الشحنة الصغيرة بقوّة أكبر من القوّة التي تؤثّر بها الصغيرة على الكبيرة. في الحقيقة القوّتان متساويتان في المقدار دائما: هذا ما يقوله قانون نيوتن الثالث، وهو ظاهر أيضا في قانون كولون نفسه — المقدار k·q₁·q₂r² واحد للقوّتين، ولا يهمّ أيّ الشحنتين أكبر. الذي قد يختلف هو التسارع: الجسم الأصغر كتلةً يتسارع أكثر تحت القوّة نفسها.

يُكتب ثابت كولون أحيانا بواسطة ثابت آخر، ε₀، يسمّى عازلية الفراغ (דיאלקטריות הריק). سنستعمله في البند 1.4 وفي الفصل الثاني:

k = 14π·ε₀

ε₀ = 8.85·10⁻¹²  C² N·m²

k = 14π · 8.85·10⁻¹² = 8.99·10⁹ N·m²/C²

مثال 1.3

شحنة نقطية q₁ = +4 μC وشحنة نقطية q₂ = −6 μC تبعد إحداهما عن الأخرى 30 cm. نحسب مقدار القوّة بينهما ونحدّد اتّجاهها.

الحل:

نحوّل إلى وحدات SI: q₁ = 4·10⁻⁶ C ، q₂ = 6·10⁻⁶ C (المقدار فقط) ، r = 0.3 m. نعوّض في قانون كولون:

F = k·q₁·q₂r² = 9·10⁹ · 4·10⁻⁶ · 6·10⁻⁶0.3² = 2.4 N

الإشارتان مختلفتان، فالقوّة قوّة تجاذب: على q₁ تتّجه نحو q₂ (إلى اليمين)، وعلى q₂ تتّجه نحو q₁ (إلى اليسار). مقدار القوّتين متساوٍ.

F = 2.4 N

مثال 1.4

في المثال السابق نقرّب الشحنتين حتى تصبح المسافة بينهما 15 cm، ونقلّل في الوقت نفسه q₂ إلى النصف. ما هي القوّة الآن؟

الحل:

لا حاجة إلى الحساب من جديد. نكتب النسبة بين القوّة الجديدة والقديمة:

F'F = q₂'q₂ · (rr')² = 12 · 2² = 2

نصف الشحنة يقلّل القوّة إلى النصف، ونصف المسافة يضاعفها أربع مرّات:

F' = 2 · 2.4 = 4.8 N

F' = 4.8 N

القوّة بين الشحنتين من المثال 1.3 كدالّة للمسافة: كلّما ضاعفنا المسافة تقلّ القوّة إلى الربع

مثال 1.5

كرتان صغيرتان تحمل كلّ منهما شحنة +3 μC تتنافران بقوّة 0.9 N. ما هي المسافة بينهما؟

الحل:

نعزل r من قانون كولون:

r² = k·q₁·q₂F

r = k·q₁·q₂F = 9·10⁹ · (3·10⁻⁶)²0.9 = 0.3 m

r = 0.3 m = 30 cm

سؤال 1.3: شحنتان نقطيتان +2 nC و +8 nC تبعد إحداهما عن الأخرى 4 cm. احسبوا مقدار القوّة بينهما، وارسموا في دفتركم القوّة على كل شحنة. ما هي القوّة التي تؤثّر بها الشحنة الصغيرة على الكبيرة؟

وحدة الشحنة: الكولون – הקולון:

الكولون (קולון): وحدة قياس الشحنة الكهربائية في جهاز الوحدات الدولي، ورمزها C. شحنة مقدارها 1 C كبيرة جدّا: تساوي شحنة 6.25·10¹⁸ إلكترونا. في التجارب نصادف عادة شحنات من رتبة الميكروكولون 1 μC = 10⁻⁶ C والنانوكولون 1 nC = 10⁻⁹ C.

ملاحظة: التعريف الدقيق للكولون يعتمد على وحدة التيار، الأمبير: الكولون هو الشحنة التي تمرّ في ثانية واحدة عبر مقطع سلك يجري فيه تيار شدّته 1 A. سنعود إلى ذلك في الفصل الرابع.

مثال 1.6

لنشعر بمقدار الكولون: ما هي القوّة بين شحنتين نقطيتين مقدار كلّ منهما 1 C على بعد 1 m؟ ما هي الكتلة التي وزنها يساوي هذه القوّة؟

الحل:

F = k·q₁·q₂r² = 9·10⁹ · 1 · 11² = 9·10⁹ N

m = Fg = 9·10⁹10 = 9·10⁸ kg

هذه كتلة سفينة شحن ضخمة! لذلك لا نصادف في الطبيعة أجساما تحمل شحنة صافية من رتبة الكولون: المادّة متعادلة تقريبا دائما، والشحنات التي نحصل عليها بالدلك صغيرة جدّا.

F = 9·10⁹ N

الشحنة الأوّلية – קיום מטען יסודי:

الشحنة الأوّلية (מטען יסודי): أصغر شحنة حرّة موجودة في الطبيعة، وهي مقدار شحنة الإلكترون (أو البروتون): e = 1.6·10⁻¹⁹ C. شحنة كلّ جسم هي مضاعف صحيح للشحنة الأوّلية، ولذلك نقول إنّ الشحنة مكمّاة (מקוונטט).

تكمية الشحنة · קוונטיזציה של המטען

q = n·e

الرمز	المعنى	وحدة القياس
q	شحنة الجسم	[C]
n	عدد صحيح: عدد الإلكترونات الزائدة أو الناقصة	—
e	الشحنة الأوّلية: 1.6·10⁻¹⁹ C	[C]

أثبت الفيزيائي الأمريكي روبرت ميليكان وجود الشحنة الأوّلية في تجربة قطرات الزيت المشهورة (1909): قاس شحنات قطرات زيت صغيرة جدّا معلّقة بين لوحين مشحونين، فوجد أنّها جميعا مضاعفات صحيحة لمقدار واحد. سنحلّل هذه التجربة في البند 1.3. الشحنة الأوّلية صغيرة جدّا، ولذلك لا نلاحظ «قفزاتها» في الأجسام العادية، وتبدو الشحنة لنا كمقدار متّصل.

مثال 1.7

أعلن طالب أنّه قاس على قطرة زيت شحنة 4.0·10⁻¹⁹ C، وعلى قطرة أخرى شحنة 4.8·10⁻¹⁹ C. هل يمكن أن تكون القياسات صحيحة؟

الحل:

نحسب عدد الشحنات الأوّلية في كل قياس:

n₁ = 4.0·10⁻¹⁹1.6·10⁻¹⁹ = 2.5

n₂ = 4.8·10⁻¹⁹1.6·10⁻¹⁹ = 3

القياس الأوّل يعطي عددا غير صحيح — لا توجد شحنة كهذه، والقياس خاطئ. القياس الثاني ممكن: نقص أو زيادة ثلاثة إلكترونات.

n₁ = 2.5 , n₂ = 3

سؤال 1.4: جسم شحنته −8 nC. كم إلكترونا زائدا يحمل؟ وهل يمكن أن تكون شحنة جسم 2.0·10⁻¹⁹ C؟

مقارنة بين القوّة الكهربائية وقوّة الجاذبية – השוואה בין כוחות חשמליים לכוחות כבידה:

قانون كولون يشبه كثيرا قانون الجذب العامّ لنيوتن الذي تعلّمناه في كتاب الميكانيكا: F = G·m₁·m₂r² ، حيث G = 6.67·10⁻¹¹ N·m²/kg². في القانونين القوّة تتناسب عكسيا مع مربّع المسافة، وتؤثّر على امتداد الخطّ الواصل بين الجسمين. لكن بينهما فروقا جوهرية:

	قوّة الجاذبية	القوّة الكهربائية
الصيغة	F = G·m₁·m₂r²	F = k·q₁·q₂r²
المقدار المسبّب للقوّة	الكتلة	الشحنة
الثابت	G = 6.67·10⁻¹¹	k = 9·10⁹
نوع القوّة	تجاذب فقط	تجاذب أو تنافر
التعلّق بالمسافة	1r²	1r²
هل يمكن حجبها؟	لا	نعم (البند 1.4)

مثال 1.8

في ذرّة الهيدروجين يدور إلكترون حول بروتون واحد على بعد 5.3·10⁻¹¹ m تقريبا. نحسب القوّة الكهربائية وقوّة الجاذبية بين الجسيمين، والنسبة بينهما.

الحل:

F_e = k·e²r² = 9·10⁹ · (1.6·10⁻¹⁹)²(5.3·10⁻¹¹)² = 8.2·10⁻⁸ N

F_g = G·m_e·m_pr² = 6.67·10⁻¹¹ · 9.1·10⁻³¹ · 1.67·10⁻²⁷(5.3·10⁻¹¹)² = 3.61·10⁻⁴⁷ N

F_eF_g = 2.27·10³⁹

القوّة الكهربائية أكبر من قوّة الجاذبية بنحو 10³⁹ مرّة! على مستوى الذرّة الجاذبية مهملة تماما. ولاحظوا أنّ النسبة لا تتعلّق بالمسافة، لأنّ القوّتين تتناقصان بمربّع المسافة.

F_e = 8.2·10⁻⁸ N , F_eF_g = 2.27·10³⁹

إذا كانت القوّة الكهربائية أقوى إلى هذا الحدّ، فلماذا تسيطر الجاذبية على حركة الكواكب والنجوم؟ لأنّ الأجسام الكبيرة متعادلة تقريبا: الشحنات الموجبة والسالبة فيها متساوية، فتلغي قواها الكهربائية بعضها بعضا. أمّا الكتلة فهي دائما موجبة، وقوى الجاذبية تتراكم ولا تلغي بعضها.

سؤال 1.5: احسبوا النسبة بين القوّة الكهربائية وقوّة الجاذبية بين بروتونين. هل تتعلّق النسبة بالمسافة بينهما؟

مبدأ التراكب – עקרון הסופרפוזיציה:

مبدأ التراكب (עקרון הסופרפוזיציה): عندما تؤثّر عدّة شحنات على شحنة ما، تؤثّر كلّ واحدة منها بالقوّة نفسها التي كانت ستؤثّر بها لو كانت وحدها؛ والقوّة المحصّلة هي المجموع الاتّجاهي لهذه القوى.

القوّة المحصّلة على شحنة · עקרון הסופרפוזיציה

F = F₁ + F₂ + F₃ + …

F_x = ΣF_ix , F_y = ΣF_iy

F = F_x² + F_y²

tan α = F_yF_x

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F_i	القوّة التي تؤثّر بها الشحنة رقم i وحدها	[N]
F_x , F_y	مركّبتا القوّة المحصّلة	[N]
α	زاوية القوّة المحصّلة مع المحور x	—

طريقة العمل:

نرسم الشحنة التي نحسب القوّة عليها، ونرسم عليها سهما لكل قوّة على حدة: بعيدا عن الشحنة المؤثّرة في التنافر، ونحوها في التجاذب.
نحسب مقدار كل قوّة بقانون كولون، بمقداري الشحنتين فقط.
على خطّ مستقيم: نختار اتّجاها موجبا، ونجمع القوى مع إشاراتها.
في المستوى: نحلّل كل قوّة إلى مركّبتين x و y، نجمع المركّبات، ثمّ نجد مقدار المحصّلة واتّجاهها.

التراكب على خطّ مستقيم – סופרפוזיציה על קו ישר:

مثال 1.9

ثلاث شحنات نقطية على خطّ مستقيم: q_A = +4 μC في النقطة x = 0 ، q_B = −1 μC في x = 20 cm ، و q_C = +2 μC في x = 30 cm. نحسب القوّة المحصّلة على الشحنة q_B.

الحل:

الشحنة q_A موجبة و q_B سالبة: تجاذب، فالقوّة على q_B نحو q_A — إلى اليسار:

F_A = k·q_A·q_Br_AB² = 9·10⁹ · 4·10⁻⁶ · 1·10⁻⁶0.2² = 0.9 N

الشحنة q_C موجبة: تجاذب أيضا، فالقوّة على q_B نحو q_C — إلى اليمين:

F_C = k·q_C·q_Br_CB² = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 1·10⁻⁶0.1² = 1.8 N

نختار اتّجاه اليمين موجبا ونجمع:

F = F_C − F_A = 1.8 − 0.9 = 0.9 N

القوّة المحصّلة على q_B مقدارها 0.9 N واتّجاهها نحو اليمين، أي نحو q_C. مع أنّ q_A أكبر، فإنّ q_C أقرب.

F = 0.9 N

مثال 1.10

شحنتان نقطيتان q₁ = +1 μC في x = 0 و q₂ = +4 μC في x = 60 cm. أين نضع شحنة ثالثة q₃ بحيث تكون القوّة المحصّلة عليها صفرا؟

الحل:

القوّتان يجب أن تكونا متعاكستين في الاتّجاه. خارج المقطع بين الشحنتين القوّتان في الاتّجاه نفسه (كلتاهما تنافر أو كلتاهما تجاذب)، لذلك النقطة بين الشحنتين. نسمّي بعدها عن q₁ بالرمز x، فبعدها عن q₂ هو 0.6 − x. نساوي مقداري القوّتين:

k·q₁·q₃x² = k·q₂·q₃(0.6 − x)²

(0.6 − x)²x² = q₂q₁ = 4

0.6 − xx = 2

x = 0.2 m

لاحظوا أنّ q₃ اختُصرت: النقطة لا تتعلّق بمقدار الشحنة الثالثة ولا بإشارتها. النقطة أقرب إلى الشحنة الصغيرة — كي يعوّض القربُ صغرَ الشحنة.

x = 0.2 m = 20 cm

ملاحظة: عندما تكون الشحنتان مختلفتين في الإشارة، تكون نقطة انعدام القوّة خارج المقطع بينهما، بجانب الشحنة الأصغر في المقدار.

سؤال 1.6: شحنة +9 nC في x = 0 وشحنة −1 nC في x = 20 cm. أين تنعدم القوّة المحصّلة على شحنة ثالثة توضع على الخطّ؟

التراكب في المستوى – סופרפוזיציה במישור:

مثال 1.11

الشحنة q₀ = +2 μC موجودة في رأس الزاوية القائمة. على بعد 30 cm منها إلى اليمين توجد q_A = +3 μC، وعلى بعد 40 cm منها إلى الأعلى توجد q_B = −4 μC. نحسب القوّة المحصّلة على q₀ (المقدار والاتّجاه).

الحل:

القوّة من q_A: تنافر (شحنتان موجبتان)، فهي تدفع q₀ بعيدا عن q_A — في الاتّجاه السالب للمحور x:

F_A = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 3·10⁻⁶0.3² = 0.6 N

القوّة من q_B: تجاذب، فهي تشدّ q₀ نحو q_B — في الاتّجاه الموجب للمحور y:

F_B = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 4·10⁻⁶0.4² = 0.45 N

القوّتان متعامدتان، فهما نفسهما مركّبتا المحصّلة: F_x = −0.6 N ، F_y = +0.45 N:

F = F_x² + F_y² = 0.6² + 0.45² = 0.75 N

tan α = F_BF_A = 0.450.6 = 0.75

α = 36.9°

القوّة المحصّلة تتّجه إلى الأعلى واليسار، بزاوية 36.9° فوق الاتّجاه السالب للمحور x.

F = 0.75 N , α = 36.9°

مثال 1.12

ثلاث شحنات مقدار كلّ منها 2 μC في رؤوس مثلّث متساوي الأضلاع طول ضلعه 10 cm: q_A و q_C موجبتان، و q_B سالبة (انظروا الرسم). نحسب القوّة المحصّلة على q_C.

الحل:

المسافة بين q_C وكل من الشحنتين الأخريين متساوية، والشحنات متساوية في المقدار، لذلك القوّتان متساويتان في المقدار:

F_A = F_B = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 2·10⁻⁶0.1² = 3.6 N

F_A تنافر: تتّجه من q_A نحو q_C وما بعدها، بزاوية 60° فوق الأفق. F_B تجاذب: تتّجه من q_C نحو q_B، بزاوية 60° تحت الأفق. نحلّل:

F_x = F_A·cos 60° + F_B·cos 60° = 2 · 3.6 · 0.5 = 3.6 N

F_y = F_A·sin 60° − F_B·sin 60° = 0 N

المركّبتان العموديتان تلغي إحداهما الأخرى. القوّة المحصّلة أفقية، نحو اليمين، أي موازية للضلع AB في الاتّجاه من A إلى B.

F = 3.6 N

سؤال 1.7: شحنة q₀ = −1 μC في رأس زاوية قائمة. على بعد 20 cm منها إلى اليسار شحنة +2 μC، وعلى بعد 20 cm منها إلى الأسفل شحنة +2 μC. احسبوا القوّة المحصّلة على q₀ وحدّدوا اتّجاهها.

▶تجربة حية — قانون كولون ومبدأ التراكبنغيّر الشحنتين والمسافة بينهما ونقرأ القوّة، ثمّ نحرّك شحنة اختبار في المستوى ونتابع المركّبتين F_x و F_y للقوّة المحصّلة ومقارنتها بقوّة الجاذبية.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#coulomb

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#coulomb

השדה האלקטרוסטטי, המושג "שדה" בפיזיקה – الحقل الكهروستاتيكي (The Electrostatic Field)

مفهوم الحقل – המושג "שדה":

قانون كولون يصف قوّة بين شحنتين بعيدتين لا تتلامسان. كيف «تعرف» الشحنة q₂ أنّ هناك شحنة q₁ على بعد منها؟ اقترح مايكل فاراداي جوابا غيّر الفيزياء: الشحنة q₁ تغيّر خواصّ الحيّز من حولها، فتولّد فيه حقلا. الشحنة q₂ لا تتأثّر بالشحنة q₁ مباشرة، بل بالحقل الموجود في المكان الذي هي فيه. بهذه الطريقة نفصل المسألة إلى خطوتين: الشحنات تولّد حقلا، والحقل يؤثّر بقوّة على كل شحنة توضع فيه.

في الفيزياء، الحقل هو مقدار فيزيائي معرّف في كل نقطة من نقاط الحيّز. نصادف حقولا في ميادين مختلفة:

الحقل	نوعه	ما الذي يُعطى في كل نقطة
درجة الحرارة في غرفة	حقل عددي	عدد واحد: درجة الحرارة
الضغط الجوّي على خريطة الطقس	حقل عددي	عدد واحد: الضغط
سرعة الريح	حقل اتّجاهي	مقدار واتّجاه السرعة
حقل الجاذبية	حقل اتّجاهي	القوّة على كل كيلوغرام: g = Fm
الحقل الكهربائي	حقل اتّجاهي	القوّة على كل كولون: E = Fq

تذكير: حقل الجاذبية – תזכורת: שדה הכבידה:

حقل الجاذبية حول الأرض يتّجه نحو مركزها

تعلّمنا في كتاب الميكانيكا أنّ الأرض تؤثّر على كل جسم كتلته m بقوّة F = m·g. يمكن أن ننظر إلى ذلك كحقل: الأرض تولّد حولها حقل جاذبية شدّته g = Fm — القوّة على كل كيلوغرام. قرب سطح الأرض g = 10 N/kg نحو الأسفل، وبعيدا عنها يقلّ الحقل بمربّع المسافة: g = G·Mr². الحقل الكهربائي مبنيّ بالطريقة نفسها تماما، مع الشحنة مكان الكتلة.

شدّة الحقل الكهربائي – עוצמת השדה החשמלי:

الحقل الكهربائي (שדה חשמלי): الحيّز حول شحنة كهربائية (أو عدّة شحنات) الذي تتأثّر فيه كل شحنة أخرى بقوّة كهربائية (ويسمّى أيضا الحقل). نصف الحقل في كل نقطة بمقدار اتّجاهي هو شدّة الحقل الكهربائي E.

شحنة الاختبار (מטען בוחן): شحنة نقطية موجبة صغيرة جدّا نضعها في نقطة لقياس الحقل فيها. نختارها صغيرة كي لا تحرّك الشحنات التي تولّد الحقل ولا تغيّره.

شدّة الحقل الكهربائي · עוצמת השדה החשמלי

E = Fq

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E	شدّة الحقل الكهربائي في النقطة	[N/C]
F	القوّة التي تؤثّر على شحنة الاختبار في النقطة	[N]
q	شحنة الاختبار	[C]

اتّجاه الحقل في نقطة هو اتّجاه القوّة التي تؤثّر على شحنة اختبار موجبة موضوعة فيها.
الحقل لا يتعلّق بشحنة الاختبار: إذا ضاعفنا شحنة الاختبار تتضاعف القوّة، لكنّ النسبة Fq تبقى كما هي. الحقل موجود في النقطة حتى عندما لا تكون فيها أيّ شحنة.
وحدة شدّة الحقل هي نيوتن لكل كولون ( N/C). في الفصل الثاني سنرى أنّها تساوي وحدة أخرى: ڤولط لكل متر ( V/m).

حقل شحنة نقطية – השדה של מטען נקודתי:

نضع شحنة اختبار q على بعد r من شحنة نقطية Q. حسب قانون كولون القوّة عليها F = k·Q·qr²، ونقسم على q:

شدّة حقل شحنة نقطية · שדה של מטען נקודתי

E = k·Qr²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E	مقدار شدّة الحقل	[N/C]
Q	مقدار الشحنة التي تولّد الحقل	[C]
r	بعد النقطة عن الشحنة	[m]

حول شحنة موجبة يتّجه الحقل في كل نقطة بعيدا عن الشحنة (شعاعيا إلى الخارج).
حول شحنة سالبة يتّجه الحقل في كل نقطة نحو الشحنة (شعاعيا إلى الداخل).
المقدار متساوٍ في كل النقاط التي على البعد نفسه، ويقلّ بمربّع المسافة.

حقل شحنة موجبة: إلى الخارج

حقل شحنة سالبة: إلى الداخل

شدّة حقل شحنة نقطية كدالّة للبعد: مضاعفة البعد تقلّل الحقل إلى الربع، ومضاعفته ثلاث مرّات إلى التُّسع

مثال 1.13

شحنة نقطية Q = +5 μC. نحسب شدّة الحقل في النقطة P التي تبعد عنها 30 cm، ثمّ القوّة والتسارع لبروتون ولإلكترون موضوعين في P (نُهمل الجاذبية).

الحل:

E = k·Qr² = 9·10⁹ · 5·10⁻⁶0.3² = 5·10⁵ N/C

الشحنة موجبة، فالحقل في P يتّجه بعيدا عن Q (إلى اليمين في الرسم). القوّة على البروتون والإلكترون متساوية في المقدار:

F = e·E = 1.6·10⁻¹⁹ · 5·10⁵ = 8·10⁻¹⁴ N

على البروتون القوّة في اتّجاه الحقل، وعلى الإلكترون عكس اتّجاه الحقل (نحو Q). التسارعات حسب قانون نيوتن الثاني:

a_p = Fm_p = 8·10⁻¹⁴1.67·10⁻²⁷ = 4.79·10¹³ m/s²

a_e = Fm_e = 8·10⁻¹⁴9.1·10⁻³¹ = 8.79·10¹⁶ m/s²

القوّتان متساويتان، لكنّ تسارع الإلكترون أكبر بنحو 1800 مرّة لأنّ كتلته أصغر بهذه النسبة.

E = 5·10⁵ N/C , F = 8·10⁻¹⁴ N

سؤال 1.8: على أيّ بعد من شحنة نقطية −8 nC تكون شدّة الحقل 1800 N/C؟ ما اتّجاه الحقل هناك؟

تراكب الحقول – סופרפוזיציה של שדות:

لأنّ القوى تُجمع جمعا اتّجاهيا، فالحقول أيضا تُجمع جمعا اتّجاهيا: الحقل في نقطة هو مجموع الحقول التي تولّدها فيها كل شحنة وحدها.

مبدأ التراكب للحقول · סופרפוזיציה של שדות

E = E₁ + E₂ + E₃ + …

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E_i	الحقل الذي تولّده الشحنة رقم i وحدها في النقطة	[N/C]

مثال 1.14

شحنتان نقطيتان q₁ = +2 μC و q₂ = −2 μC تبعد إحداهما عن الأخرى 40 cm. نحسب الحقل في النقطة M التي في منتصف المسافة بينهما.

الحل:

كل شحنة تبعد عن M مسافة 0.2 m، ولذلك مقدارا الحقلين متساويان:

E₁ = E₂ = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶0.2² = 4.5·10⁵ N/C

الحقل E₁ يتّجه بعيدا عن الشحنة الموجبة — نحو اليمين. الحقل E₂ يتّجه نحو الشحنة السالبة — نحو اليمين أيضا. الحقلان يتجمّعان:

E = E₁ + E₂ = 9·10⁵ N/C

E = 9·10⁵ N/C

ملاحظة: بين شحنتين مختلفتين في الإشارة، الحقلان في المقطع بينهما في الاتّجاه نفسه دائما (من الموجبة نحو السالبة). أمّا بين شحنتين متماثلتين فهما متعاكسان، وفي منتصف المسافة بين شحنتين متماثلتين متساويتين الحقل صفر.

مثال 1.15

الشحنة q₁ = +1 μC في النقطة x = 0، والشحنة q₂ = −4 μC في النقطة x = 30 cm. أين على المحور ينعدم الحقل الكهربائي؟

الحل:

بين الشحنتين الحقلان في الاتّجاه نفسه، فلا ينعدم الحقل هناك. يمين q₂ النقطة أقرب إلى الشحنة الكبيرة، فحقلها أكبر دائما. لذلك النقطة يسار q₁ (بجانب الشحنة الصغيرة). نسمّي بعدها عن q₁ بالرمز d ونساوي المقدارين:

k·q₁d² = k·q₂(d + 0.3)²

d + 0.3d = q₂q₁ = 2

d = 0.3 m

نفحص الاتّجاهين: في P الحقل E₁ يتّجه بعيدا عن q₁ (إلى اليسار)، والحقل E₂ يتّجه نحو q₂ (إلى اليمين) — متعاكسان ومتساويان، فالحقل المحصّل صفر.

x = −0.3 m

مثال 1.16

شحنتان q₁ = +5 nC و q₂ = −5 nC تبعد إحداهما عن الأخرى 6 cm. النقطة P تقع على العمود المنصّف للقطعة الواصلة بينهما، على بعد 4 cm من منتصفها. نحسب الحقل في P.

الحل:

بعد P عن كل شحنة (فيثاغورس):

r = 0.03² + 0.04² = 0.05 m

مقدارا الحقلين متساويان:

E₁ = E₂ = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.05² = 18000 N/C

E₁ يتّجه بعيدا عن q₁ (إلى الأعلى واليمين)، و E₂ يتّجه نحو q₂ (إلى الأسفل واليمين). زاوية كل منهما مع الأفق تحقّق cos θ = 0.030.05 = 0.6. المركّبتان العموديتان تلغي إحداهما الأخرى، والأفقيتان تتجمّعان:

E_x = 2·E₁·cos θ = 2 · 18000 · 0.6 = 21600 N/C

E_y = 0

الحقل في P موازٍ للقطعة الواصلة بين الشحنتين، في الاتّجاه من الموجبة نحو السالبة.

E = 21600 N/C

سؤال 1.9: الشحنة q₁ = +4 nC تبعد 20 cm إلى يسار النقطة P، والشحنة q₂ = −3 nC تبعد 10 cm إلى أسفل P. احسبوا الحقل في P: كل مركّبة على حدة، ثمّ المقدار والاتّجاه.

خطوط الحقل – קווי שדה:

خطوط الحقل (קווי שדה): خطوط وهمية نرسمها لتمثيل الحقل: المماسّ للخطّ في كل نقطة يعطي اتّجاه الحقل فيها، وكثافة الخطوط تعبّر عن شدّة الحقل.

خطوط الحقل اخترعها فاراداي كأداة تصويرية، وهي تتبع قواعد ثابتة:

تخرج الخطوط من الشحنات الموجبة وتدخل إلى الشحنات السالبة (أو تمتدّ إلى اللانهاية).
عدد الخطوط التي تخرج من شحنة أو تدخل إليها يتناسب مع مقدارها.
حيث تتقارب الخطوط يكون الحقل قويّا، وحيث تتباعد يكون ضعيفا.
الخطوط لا تتقاطع أبدا: في كل نقطة للحقل اتّجاه واحد فقط.
خطوط الحقل تصل إلى سطح الموصل في الاتّزان الكهروستاتيكي عمودية عليه، ولا تدخل إليه.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ خطوط الحقل هي مسارات تتحرّك عليها الشحنات. في الحقيقة الخطّ يبيّن اتّجاه القوّة على شحنة موجبة في كل نقطة؛ أمّا مسار الحركة فيتعلّق أيضا بالسرعة الابتدائية. شحنة تنطلق من السكون في حقل متجانس تتحرّك فعلا على امتداد خطّ الحقل، لكنّ شحنة لها سرعة ابتدائية غير موازية للحقل تنحرف عنه — تماما كما ينحرف الجسم المقذوف أفقيا عن اتّجاه قوّة الجاذبية.

شحنتان متساويتان ومختلفتان في الإشارة: الخطوط تخرج من الموجبة وتنتهي في السالبة

شحنتان موجبتان متساويتان: الخطوط تتنافر، وفي المنتصف نقطة حقلها صفر

الشحنة +2q والشحنة −q: نصف الخطوط فقط يدخل إلى السالبة، والباقي يمتدّ إلى اللانهاية

لوحان متوازيان مشحونان بشحنتين متعاكستين: الحقل بينهما متجانس، ويتشوّه قليلا عند الأطراف

الحقل المتجانس (שדה אחיד): حقل شدّته متساوية في المقدار والاتّجاه في كل نقاط الحيّز. خطوطه مستقيمة ومتوازية ومتساوية الأبعاد. نحصل عليه تقريبا بين لوحين متوازيين مشحونين بشحنتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الإشارة، بعيدا عن طرفي اللوحين.

سؤال 1.10: يبيّن الرسم خطوط الحقل حول شحنتين نقطيتين A و B (الإشارتان مخفيّتان). حدّدوا إشارة كل شحنة، وأيّهما أكبر في المقدار، وبأيّ نسبة.

القوّة على شحنة في حقل كهربائي – כוח על מטען בשדה:

إذا كان الحقل E في نقطة معلوما، فلا حاجة إلى معرفة الشحنات التي تولّده كي نحسب القوّة على شحنة q نضعها هناك:

القوّة على شحنة في حقل كهربائي · כוח על מטען בשדה

F = q·E

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	القوّة الكهربائية على الشحنة	[N]
q	الشحنة (بإشارتها)	[C]
E	الحقل في مكان الشحنة (دون حقل الشحنة نفسها)	[N/C]

الشحنة الموجبة تتأثّر بقوّة في اتّجاه الحقل، والشحنة السالبة بقوّة عكس اتّجاه الحقل. في الحقل المتجانس القوّة ثابتة في كل مكان، ولذلك يتحرّك الجسيم المشحون بتسارع ثابت — ونستطيع استعمال صيغ الحركة بتسارع ثابت من كتاب الميكانيكا.

بين لوحين مشحونين: القوّة على البروتون في اتّجاه الحقل، وعلى الإلكترون عكس اتّجاه الحقل

مثال 1.17

إلكترون موجود بين لوحين أفقيين: اللوح العلوي موجب والسفلي سالب، والحقل بينهما متجانس وشدّته 2000 N/C. نحسب القوّة على الإلكترون، وتسارعه، ونقارن القوّة الكهربائية بوزنه.

الحل:

الحقل يتّجه من اللوح الموجب إلى السالب — إلى الأسفل. شحنة الإلكترون سالبة، فالقوّة عليه إلى الأعلى:

F = e·E = 1.6·10⁻¹⁹ · 2000 = 3.2·10⁻¹⁶ N

a = Fm_e = 3.2·10⁻¹⁶9.1·10⁻³¹ = 3.52·10¹⁴ m/s²

وزن الإلكترون والنسبة:

m_e·g = 9.1·10⁻³¹ · 10 = 9.1·10⁻³⁰ N

Fm_e·g = 3.5·10¹³

الوزن مهمل تماما إلى جانب القوّة الكهربائية. في كل مسائل الجسيمات الأوّلية في الحقول الكهربائية نُهمل الجاذبية.

F = 3.2·10⁻¹⁶ N , a = 3.52·10¹⁴ m/s²

مثال 1.18

في تجربة من نوع تجربة ميليكان، قطرة زيت صغيرة كتلتها 3.2·10⁻¹⁵ kg تبقى معلّقة في الهواء بلا حركة بين لوحين أفقيين، والحقل بينهما متجانس وشدّته 1·10⁵ N/C ويتّجه إلى الأسفل. نجد شحنة القطرة: إشارتها، مقدارها، وعدد الشحنات الأوّلية فيها.

الحل:

القطرة في اتّزان، فالقوّة الكهربائية تعاكس الوزن — إلى الأعلى. الحقل إلى الأسفل والقوّة إلى الأعلى، إذًا شحنة القطرة سالبة. نساوي مقداري القوّتين:

q·E = m·g

q = m·gE = 3.2·10⁻¹⁵ · 101·10⁵ = 3.2·10⁻¹⁹ C

n = qe = 3.2·10⁻¹⁹1.6·10⁻¹⁹ = 2

على القطرة إلكترونان زائدان. هكذا قاس ميليكان شحنات مئات القطرات، ووجد دائما أعدادا صحيحة.

q = −3.2·10⁻¹⁹ C , n = 2

مثال 1.19

كرة صغيرة كتلتها 2 g وشحنتها +0.5 μC معلّقة بخيط عازل في حقل كهربائي أفقي متجانس شدّته 3·10⁴ N/C يتّجه إلى اليمين. الكرة في اتّزان والخيط مائل. نحسب زاوية ميل الخيط عن العمود، وقوّة الشدّ في الخيط.

الحل:

تؤثّر على الكرة ثلاث قوى: الوزن إلى الأسفل، القوّة الكهربائية في اتّجاه الحقل (الشحنة موجبة) إلى اليمين، وقوّة الشدّ على امتداد الخيط:

m·g = 0.002 · 10 = 0.02 N

q·E = 0.5·10⁻⁶ · 3·10⁴ = 0.015 N

في الاتّزان: المركّبة الأفقية للشدّ توازن القوّة الكهربائية، والمركّبة العمودية توازن الوزن:

T·sin θ = q·E

T·cos θ = m·g

tan θ = q·Em·g = 0.0150.02 = 0.75

θ = 36.9°

T = (q·E)² + (m·g)² = 0.015² + 0.02² = 0.025 N

الكرة تميل إلى اليمين — في اتّجاه القوّة الكهربائية.

θ = 36.9° , T = 0.025 N

سؤال 1.11: إلكترون يبدأ الحركة من السكون قرب اللوح السالب في حقل متجانس شدّته 1000 N/C، ويقطع 2 cm حتى اللوح الموجب. احسبوا تسارعه وسرعته عند وصوله إلى اللوح الموجب (استعملوا v² = 2·a·d).

▶تجربة حية — الحقل الكهربائي وخطوط الحقلنختار شحنتين متعاكستين، أو متماثلتين، أو لوحين متوازيين، ونرسم خطوط الحقل وشبكة متّجهاته؛ ثمّ نحرّك شحنة اختبار ونقرأ الحقل والقوّة F = q·E في كل نقطة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#efield

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#efield

חוק גאוס והקשר לחוק קולון – قانون غاوس والعلاقة بقانون كولون (Gauss's Law)

في هذا البند نتعرّف باختصار على قانون غاوس: طريقة أخرى للنظر إلى العلاقة بين الشحنة والحقل. يكون القانون مفيدا جدّا عندما يكون توزيع الشحنة متماثلا — كرة، قشرة كروية، لوح كبير — وبواسطته نفهم أيضا لماذا يكون الحقل داخل الموصل صفرا.

التدفّق الكهربائي – שטף חשמלי:

التدفّق الكهربائي (שטף חשמלי): مقدار يعبّر عن «عدد خطوط الحقل» التي تخترق سطحا ما (ويسمّى أيضا الفيض). نرمز له بالحرف Φ.

لسطح مستوٍ مساحته A في حقل متجانس E: التدفّق أكبر ما يكون عندما يكون السطح عموديا على الخطوط، وصفر عندما يكون السطح موازيا لها. نصف ميل السطح بالزاوية θ بين الحقل وبين المتّجه العمودي على السطح n:

التدفّق الكهربائي عبر سطح مستوٍ في حقل متجانس · שטף חשמלי

Φ = E·A·cos θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Φ	التدفّق الكهربائي	[N·m²/C]
E	شدّة الحقل	[N/C]
A	مساحة السطح	[m²]
θ	الزاوية بين الحقل والعمودي على السطح	—

السطح عمودي على الحقل: Φ = E·A

سطح مائل: Φ = E·A·cos θ

السطح موازٍ للحقل: Φ = 0

مثال 1.20

سطح مستطيل أبعاده 20 cm × 10 cm موجود في حقل متجانس شدّته 500 N/C. العمودي على السطح يصنع مع الحقل زاوية 60°. نحسب التدفّق عبر السطح، وأكبر تدفّق ممكن عبره.

الحل:

A = 0.2 · 0.1 = 0.02 m²

Φ = E·A·cos θ = 500 · 0.02 · cos 60° = 5 N·m²/C

أكبر تدفّق عندما يكون السطح عموديا على الحقل (θ = 0):

Φ_max = E·A = 500 · 0.02 = 10 N·m²/C

Φ = 5 N·m²/C

في سطح مغلق (مثل كرة أو صندوق) نختار العمودي على كل جزء من السطح متّجها إلى الخارج. الخطوط التي تخرج من السطح تساهم بتدفّق موجب، والخطوط التي تدخل إليه بتدفّق سالب. التدفّق الكلّي هو «عدد الخطوط الخارجة ناقص عدد الخطوط الداخلة».

قانون غاوس – חוק גאוס:

سطح غاوس (משטח גאוס): سطح مغلق وهمي نختاره في الحيّز لنحسب التدفّق عبره. ليس سطحا ماديا؛ نحن نختار شكله ومكانه بما يسهّل الحساب.

قانون غاوس · חוק גאוס

Φ = Q_inε₀

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Φ	التدفّق الكلّي عبر سطح غاوس المغلق	[N·m²/C]
Q_in	مجموع الشحنات داخل السطح (بإشاراتها)	[C]
ε₀	عازلية الفراغ: 8.85·10⁻¹²	[C²/N·m²]

القانون يقول إنّ التدفّق عبر سطح مغلق يتعلّق فقط بالشحنة التي في داخله — لا بشكل السطح، ولا بحجمه، ولا بالشحنات التي خارجه. السبب واضح بلغة الخطوط: كل خطّ يبدأ في شحنة موجبة داخل السطح يجب أن يخرج منه؛ وكل خطّ يأتي من شحنة خارجية يدخل السطح من جهة ويخرج من الجهة الأخرى، فلا يساهم في المجموع.

أربعة سطوح غاوس حول شحنتين متساويتين ومختلفتين في الإشارة

السطح	الشحنة داخله	التدفّق
S₁	+q	+qε₀ (الخطوط تخرج)
S₂	−q	−qε₀ (الخطوط تدخل)
S₃	+q − q = 0	0 (كل خطّ يخرج ثمّ يعود)
S₄	لا شيء	0 (كل خطّ يدخل يخرج)

ملاحظة: تدفّق صفر لا يعني أنّ الحقل على السطح صفر! على السطح S₃ الحقل ليس صفرا في أيّ نقطة تقريبا، لكنّ مجموع التدفّق الداخل والخارج صفر.

من قانون غاوس إلى قانون كولون – מחוק גאוס לחוק קולון:

نختار سطح غاوس كرويا نصف قطره r ومركزه في شحنة نقطية Q. بسبب التماثل، الحقل في كل نقاط السطح متساوٍ في المقدار، ومتّجه شعاعيا — أي عمودي على السطح (θ = 0). لذلك التدفّق هو حاصل ضرب الحقل في مساحة الكرة 4π·r²:

Φ = E · 4π·r² = Qε₀

E = Q4π·ε₀·r² = 14π·ε₀·Qr² = k·Qr²

حصلنا على حقل الشحنة النقطية، ومنه على قانون كولون. القانونان متكافئان في الشحنات الساكنة، ونرى هنا أيضا لماذا k = 14π·ε₀.

حقل قشرة كروية مشحونة – שדה של קליפה כדורית טעונה:

القشرة الكروية (קליפה כדורית): سطح كروي رقيق نصف قطره R تتوزّع عليه شحنة Q بانتظام. هذا ما يحدث مثلا لكرة فلزّية مشحونة، مجوّفة أو مصمتة: الشحنة كلّها على سطحها الخارجي.

قشرة كروية مشحونة وسطحا غاوس: داخلها وخارجها

خارج القشرة (r > R): سطح غاوس كروي يحيط بكل الشحنة Q، والحساب مطابق للشحنة النقطية: E = k·Qr². القشرة تتصرّف كأنّ كل شحنتها مركّزة في مركزها.
داخل القشرة (r < R): سطح غاوس داخلي لا يحيط بأيّ شحنة، فالتدفّق صفر؛ وبسبب التماثل الحقل نفسه صفر: E = 0.

مثال 1.21

كرة فلزّية مجوّفة نصف قطرها 10 cm مشحونة بشحنة +2 nC. نحسب الحقل على بعد 5 cm من مركزها، قرب سطحها من الخارج، وعلى بعد 20 cm من مركزها، ونرسم الحقل كدالّة للبعد.

الحل:

النقطة على بعد 5 cm داخل القشرة: E = 0.

قرب السطح من الخارج (r = R = 0.1 m) وعلى بعد 0.2 m — كشحنة نقطية في المركز:

E(R) = 9·10⁹ · 2·10⁻⁹0.1² = 1800 N/C

E(0.2) = 9·10⁹ · 2·10⁻⁹0.2² = 450 N/C

الحقل صفر داخل القشرة، يقفز عند السطح إلى قيمته العظمى، ثمّ يتناقص بمربّع البعد

الحقل يتّجه شعاعيا إلى الخارج (الشحنة موجبة).

E(5 cm) = 0 , E(R) = 1800 N/C , E(20 cm) = 450 N/C

الحقل بين لوحي مكثّف – השדה בין לוחות קבל:

لوحان فلزّيان متوازيان مساحة كل منهما A، مشحونان بشحنتين +Q و −Q، والمسافة بينهما صغيرة بالنسبة إلى أبعادهما. نعرّف كثافة الشحنة السطحية σ — الشحنة على كل متر مربّع من اللوح. من قانون غاوس نحصل على النتيجة التالية (دون برهان):

الحقل بين لوحين متوازيين · שדה בין לוחות

E = σε₀

σ = QA

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E	شدّة الحقل المتجانس بين اللوحين	[N/C]
σ	كثافة الشحنة السطحية على كل لوح	[C/m²]
Q	مقدار الشحنة على كل لوح	[C]
A	مساحة اللوح	[m²]

الحقل بين اللوحين متجانس: لا يتعلّق بالبعد عن اللوحين، بل بكثافة الشحنة فقط.
الحقل يتّجه من اللوح الموجب إلى اللوح السالب.
خارج اللوحين الحقل صفر تقريبا (حقلا اللوحين يلغي أحدهما الآخر هناك).

مثال 1.22

لوحان متوازيان مساحة كل منهما 0.01 m² مشحونان بالشحنتين +8.85 nC و −8.85 nC. نحسب شدّة الحقل بينهما، والقوّة على إلكترون بينهما.

الحل:

σ = QA = 8.85·10⁻⁹0.01 = 8.85·10⁻⁷ C/m²

E = σε₀ = 8.85·10⁻⁷8.85·10⁻¹² = 1·10⁵ N/C

F = e·E = 1.6·10⁻¹⁹ · 1·10⁵ = 1.6·10⁻¹⁴ N

القوّة على الإلكترون متساوية في كل نقطة بين اللوحين، واتّجاهها نحو اللوح الموجب (عكس الحقل).

E = 1·10⁵ N/C

الحجب الكهربائي ودلو فاراداي – סיכוך ודלי פארדיי:

الحجب الكهربائي (סיכוך): إذا أحاط موصل مغلق بحيّز لا شحنة فيه، فالحقل الكهربائي داخل هذا الحيّز صفر، مهما كان الحقل الكهربائي خارج الموصل. الموصل «يحجب» داخله عن الحقول الخارجية.

السبب: في الاتّزان الكهروستاتيكي تترتّب الشحنات على السطح الخارجي للموصل بحيث يلغي حقلُها الحقلَ الخارجي في كل الداخل. تطبيقات الحجب كثيرة: قفص فاراداي (قفص من شبكة فلزّية) يحمي الأجهزة الحسّاسة؛ السيّارة والطائرة تحميان الركّاب عند إصابتهما بصاعقة لأنّ هيكلهما الفلزّي موصل مغلق؛ والكوابل المحجوبة (مثل كابل الهوائي) تحيط سلك الإشارة بشبكة فلزّية تحميه من التشويش.

أجرى فاراداي تجربة شهيرة باستعمال وعاء فلزّي يسمّى دلو فاراداي (דלי פארדיי)، موضوع على حامل عازل:

دلو فاراداي: الكرة المشحونة داخل الدلو، ثمّ تلمس جداره الداخلي

ننزل كرة مشحونة بشحنة موجبة داخل الدلو دون أن تلمسه. بالحثّ تظهر على الجدار الداخلي شحنة سالبة مساوية لشحنة الكرة، وعلى السطح الخارجي شحنة موجبة مساوية. الشحنة على السطح الخارجي لا تتعلّق بمكان الكرة داخل الدلو.
نلمس الجدار الداخلي بالكرة. الشحنة السالبة على الجدار الداخلي تعادل شحنة الكرة تماما، فتصبح الكرة متعادلة، ولا تبقى أيّ شحنة على السطح الداخلي. الشحنة الموجبة على السطح الخارجي لا تتغيّر.
النتيجة: كل شحنة الكرة انتقلت إلى السطح الخارجي للدلو. هذا تأكيد تجريبي على أنّ الشحنة الفائضة في الموصل تستقرّ على سطحه الخارجي، وطريقة لنقل شحنة جسم كلّها إلى موصل آخر.

سؤال 1.12: لماذا يكون الجلوس داخل سيّارة آمنا عند العاصفة الرعدية، بينما الوقوف قرب شجرة في حقل مفتوح خطير؟

سؤال 1.13: سطح غاوس مغلق يحيط بالشحنتين +5 nC و −2 nC، وخارجه شحنة ثالثة +4 nC. احسبوا التدفّق الكهربائي الكلّي عبر السطح. هل يتغيّر التدفّق إذا قرّبنا الشحنة الثالثة من السطح دون أن تدخله؟

▶تجربة حية — التدفّق الكهربائي وقانون غاوسنغيّر نصف قطر سطح غاوس وموقعه حول شحنة نقطية، وننتقل إلى قشرة كروية وإلى لوحي مكثّف، ونتابع الحقل والمساحة وحاصل ضربهما.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#gauss

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_electrostatics#gauss

أهمّ أفكار الفصل:

الشحنة الكهربائية نوعان: موجبة وسالبة. المتماثلتان تتنافران والمختلفتان تتجاذبان، والجسم يُشحن بانتقال إلكترونات — لا بخلق شحنة.
في الموصل حاملات شحنة تتحرّك بحرّية، وفي العازل تبقى الشحنة حيث وُضعت. في الاتّزان الكهروستاتيكي الشحنة الفائضة كلّها على السطح الخارجي، والحقل داخل الموصل صفر.
الشحنة محفوظة ومكمّاة: مجموعها الجبري في منظومة معزولة ثابت، وكل شحنة مضاعف صحيح للشحنة الأوّلية.
قانون كولون: القوّة بين شحنتين نقطيتين تتناسب طرديا مع حاصل ضرب مقداري الشحنتين وعكسيا مع مربّع المسافة بينهما، والقوّتان المتبادلتان متساويتان في المقدار دائما.
عندما تؤثّر عدّة شحنات على شحنة، نجمع القوى جمعا اتّجاهيا (مبدأ التراكب): بالإشارات على خطّ مستقيم، وبالمركّبات في المستوى.
الحقل الكهربائي هو «القوّة على كل كولون»: الشحنات تولّد حقلا في الحيّز، والحقل يؤثّر بالقوّة F = q·E على كل شحنة توضع فيه.
خطوط الحقل تخرج من الشحنات الموجبة وتدخل إلى السالبة، وتقاربها يعبّر عن شدّة الحقل — وهي ليست مسارات حركة الشحنات.
قانون غاوس: التدفّق الكهربائي عبر سطح مغلق يتعلّق فقط بالشحنة المحصورة داخله. منه نحصل على حقل القشرة الكروية، وعلى الحقل المتجانس بين لوحين متوازيين، وعلى تفسير الحجب الكهربائي.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
تكمية الشحنة	q = n·e
حفظ الشحنة	Σq = const
تلامس موصلين متطابقين	q' = q₁ + q₂2
قانون كولون	F = k·q₁·q₂r²
ثابت كولون	k = 14π·ε₀ = 9·10⁹ N·m²/C²
مبدأ التراكب للقوى	F = F₁ + F₂ + …
مقدار المحصّلة من مركّبتيها	F = F_x² + F_y²
اتّجاه المحصّلة	tan α = F_yF_x
شدّة الحقل الكهربائي	E = Fq
حقل شحنة نقطية	E = k·Qr²
مبدأ التراكب للحقول	E = E₁ + E₂ + …
القوّة على شحنة في حقل	F = q·E
التدفّق الكهربائي	Φ = E·A·cos θ
قانون غاوس	Φ = Q_inε₀
قشرة كروية — خارجها (r > R)	E = k·Qr²
قشرة كروية — داخلها (r < R)	E = 0
الحقل بين لوحين متوازيين	E = σε₀
كثافة الشحنة السطحية	σ = QA

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الشحنة الكهربائية	מטען חשמלי	Electric charge
شحنة نقطية	מטען נקודתי	Point charge
الشحنة الأوّلية	מטען יסודי	Elementary charge
الموصل	מוליך	Conductor
العازل	מבדד	Insulator
الإلكترونات الحرّة	אלקטרונים חופשיים	Free electrons
الشحن بالدلك	טעינה בשפשוף	Charging by friction
الشحن باللمس	טעינה במגע	Charging by contact
الحثّ الكهروستاتيكي (الشحن بالتأثير)	השראה אלקטרוסטטית	Electrostatic induction
الاستقطاب	קיטוב	Polarization
التأريض	הארקה	Grounding
الكشّاف الكهربائي (الإلكتروسكوب)	אלקטרוסקופ	Electroscope
الاتّزان الكهروستاتيكي	שיווי משקל אלקטרוסטטי	Electrostatic equilibrium
تيار عابر	זרם חולף	Transient current
مانعة الصواعق	כליא ברק	Lightning rod
حفظ الشحنة	שימור המטען	Conservation of charge
قانون كولون	חוק קולון	Coulomb's law
ثابت كولون	קבוע קולון	Coulomb's constant
عازلية الفراغ	דיאלקטריות הריק	Vacuum permittivity
مبدأ التراكب	עקרון הסופרפוזיציה	Superposition principle
الحقل الكهربائي (المجال الكهربائي)	שדה חשמלי	Electric field
شدّة الحقل الكهربائي	עוצמת השדה החשמלי	Electric field strength
شحنة الاختبار	מטען בוחן	Test charge
خطوط الحقل	קווי שדה	Field lines
حقل متجانس	שדה אחיד	Uniform field
التدفّق الكهربائي (الفيض)	שטף חשמלי	Electric flux
قانون غاوس	חוק גאוס	Gauss's law
سطح غاوس	משטח גאוס	Gaussian surface
قشرة كروية	קליפה כדורית	Spherical shell
كثافة الشحنة السطحية	צפיפות מטען משטחית	Surface charge density
الحجب الكهربائي	סיכוך	Electrostatic shielding
دلو فاراداي	דלי פארדיי	Faraday ice pail

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 1.1) دُلك قضيب زجاجي بقطعة حرير فحصل على شحنة +6.4 nC. كم إلكترونا انتقل، ومن أيّ جسم إلى أيّ جسم؟ ما هي شحنة الحرير؟

الإجابات: 4·10¹⁰ إلكترون من الزجاج إلى الحرير؛ شحنة الحرير −6.4 nC

(للبند 1.1) ثلاث كرات موصلة متطابقة: A شحنتها +9 nC، و B شحنتها −3 nC، و C متعادلة. نلمس A بالكرة B ونفصلهما، ثمّ نلمس A بالكرة C ونفصلهما. ما هي الشحنة النهائية على كل كرة؟ تحقّقوا من حفظ الشحنة.

الإجابات: q_A = 1.5 nC ، q_B = 3 nC ، q_C = 1.5 nC ؛ المجموع 6 nC

(للبند 1.2) كيف تتغيّر القوّة بين شحنتين نقطيتين إذا:
أ. ضاعفنا كل واحدة من الشحنتين؟
ب. ضاعفنا المسافة؟
ج. ضاعفنا الشحنتين وقلّلنا المسافة إلى النصف؟

الإجابات: أ. تكبر 4 مرّات؛ ب. تقلّ إلى الربع؛ ج. تكبر 16 مرّة

(للبند 1.2) شحنتان نقطيتان موجبتان، إحداهما ثلاثة أضعاف الأخرى، على بعد 50 cm إحداهما من الأخرى، تتنافران بقوّة 0.108 N. احسبوا الشحنتين.

الإجابات: q = 1 μC و 3q = 3 μC

(للبند 1.3) شدّة الحقل على بعد 20 cm من شحنة نقطية موجبة هي 4500 N/C. احسبوا الشحنة، وشدّة الحقل على بعد 60 cm منها.

الإجابات: Q = 20 nC ، E = 500 N/C

(للبند 1.3) حدّدوا لكل جملة ممّا يلي إذا كانت صحيحة أم خاطئة، مع التعليل:
(أ) يمكن أن يتقاطع خطّا حقل في نقطة واحدة.
(ب) حيث تكون خطوط الحقل أكثر تقاربا يكون الحقل أقوى.
(ج) عدد الخطوط الخارجة من شحنة +2q ضعف عدد الخطوط الخارجة من شحنة +q.

الإجابات: أ. خاطئة — في كل نقطة للحقل اتّجاه واحد فقط؛ ب. صحيحة؛ ج. صحيحة — عدد الخطوط يتناسب مع مقدار الشحنة

(للبند 1.4)
أ. سطح غاوس S يحيط بالشحنتين q₁ = +3 nC و q₂ = −5 nC، والشحنة q₃ = +4 nC خارجه. احسبوا التدفّق عبر S.
ب. كرة فلزّية مجوّفة نصف قطرها 5 cm مشحونة بشحنة +3 nC. احسبوا الحقل على بعد 3 cm وعلى بعد 15 cm من مركزها.

الإجابات: أ. Φ = −226 N·m²/C ؛ ب. E = 0 و E = 1200 N/C

تمارين تلخيصية:

ثلاث شحنات على خطّ مستقيم: q₁ = +2 μC في x = 0 ، q₂ = −3 μC في x = 30 cm ، q₃ = +4 μC في x = 60 cm. احسبوا القوّة المحصّلة على q₂ وعلى q₃ (المقدار والاتّجاه).

الإجابات: على q₂: 0.6 N إلى اليمين؛ على q₃: 1 N إلى اليسار

كرتان صغيرتان متطابقتان، كتلة كل منهما 3.6 g، معلّقتان بخيطين عازلين من نقطة واحدة، وتحملان شحنتين متساويتين. في الاتّزان المسافة بينهما 10 cm، وكل خيط يصنع مع العمود زاوية θ تحقّق tan θ = 0.25. احسبوا شحنة كل كرة.

الإجابات: F = m·g·tan θ = 0.009 N ، q = 0.1 μC

شحنتان موجبتان +9 nC و +4 nC تبعد إحداهما عن الأخرى 50 cm. أين على الخطّ الواصل بينهما ينعدم الحقل؟

الإجابات: بين الشحنتين، على بعد 30 cm من الشحنة 9 nC

شحنتان متساويتان +2 nC في رأسين من رؤوس مثلّث متساوي الأضلاع طول ضلعه 30 cm. احسبوا الحقل في الرأس الثالث P (المقدار والاتّجاه).

الإجابات: E = 346.4 N/C ، عمودي على الضلع الواصل بين الشحنتين، بعيدا عنه

ما هي شدّة الحقل الكهربائي واتّجاهه الذي يُبقي إلكترونا معلّقا في الهواء بلا حركة قرب سطح الأرض؟ ماذا تستنتجون عن تأثير الجاذبية على الإلكترونات؟

الإجابات: E = 5.69·10⁻¹¹ N/C نحو الأسفل؛ حقل صغير جدّا يكفي، والجاذبية مهملة

كرة صغيرة كتلتها 4 g وشحنتها −2 μC معلّقة بخيط في حقل أفقي متجانس. في الاتّزان يميل الخيط 45° عن العمود والكرة منحرفة إلى اليمين. احسبوا شدّة الحقل وحدّدوا اتّجاهه.

الإجابات: E = 2·10⁴ N/C نحو اليسار (الشحنة سالبة والقوّة عليها نحو اليمين)

بروتون يتحرّر من السكون في حقل متجانس شدّته 5·10⁴ N/C. احسبوا تسارعه، وسرعته بعد أن يقطع 1 cm، والزمن اللازم لذلك.

الإجابات: a = 4.79·10¹² m/s² ، v = 3.1·10⁵ m/s ، t = 6.46·10⁻⁸ s

تمارين تعمّق:

(*) أربع شحنات متساوية +1 μC في رؤوس مربّع طول ضلعه 30 cm. احسبوا القوّة المحصّلة على الشحنة في الرأس C وحدّدوا اتّجاهها.

الإجابات: F = 0.191 N على امتداد القطر AC إلى خارج المربّع

(*) الشحنة q₁ = +1 μC في النقطة x = 0 والشحنة q₂ = +4 μC في النقطة x = 60 cm. أين نضع شحنة ثالثة q₃، وما إشارتها ومقدارها، بحيث تكون كل واحدة من الشحنات الثلاث في اتّزان (القوّة المحصّلة على كل واحدة منها صفر)؟

الإجابات: في x = 20 cm ؛ الشحنة سالبة ومقدارها q₃ = 0.44 μC (موازنة القوى على q₁ وعلى q₂ تعطي المقدار نفسه)

(*) في نموذج بور لذرّة الهيدروجين يدور الإلكترون حول البروتون في مسار دائري نصف قطره 5.3·10⁻¹¹ m، والقوّة الكهربائية بينهما هي التي تولّد التسارع الراديالي (المركزي). احسبوا سرعة الإلكترون في مساره، وعدد الدورات التي يُتمّها في الثانية الواحدة.

الإجابات: v = 2.19·10⁶ m/s ، f = v2π·r = 6.56·10¹⁵ دورة في الثانية

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

1.1 الكرة A (القريبة) سالبة، والكرة B موجبة، والشحنتان متساويتان في المقدار (حفظ الشحنة)

1.2 q = +2 nC لكل كرة؛ 2.5·10¹⁰ إلكترون انتقلت من الكرة السالبة إلى الموجبة

1.3 F = 9·10⁻⁵ N تنافر؛ الشحنة الصغيرة تؤثّر على الكبيرة بالقوّة نفسها 9·10⁻⁵ N

1.4 n = 5·10¹⁰ إلكترون؛ لا، لأنّ 1.25 ليس عددا صحيحا

1.5 F_eF_g = 1.24·10³⁶ ؛ لا تتعلّق بالمسافة

1.6 x = 30 cm (خارج المقطع، بعد الشحنة السالبة)

1.7 F = 0.636 N ، بزاوية 45° نحو الأسفل واليسار (كل قوّة 0.45 N نحو الشحنة المؤثّرة)

1.8 r = 0.2 m ؛ الحقل يتّجه نحو الشحنة

1.9 E₁ = 900 N/C إلى اليمين، E₂ = 2700 N/C إلى الأسفل؛ E = 2846 N/C بزاوية 71.6° تحت الأفق نحو اليمين

1.10 الشحنة A موجبة (الخطوط تخرج منها) والشحنة B سالبة؛ B أكبر في المقدار بمرّتين (عدد خطوطها ضعف عدد خطوط A)

1.11 a = 1.76·10¹⁴ m/s² ، v = 2.65·10⁶ m/s

1.12 هيكل السيّارة الفلزّي موصل مغلق يحجب الحقل عن داخلها، وشحنة الصاعقة تمرّ على السطح الخارجي إلى الأرض؛ الشجرة مرتفعة ومدبّبة فتجذب الصاعقة، والتيار يمرّ في الأرض حولها

1.13 Φ = 339 N·m²/C ؛ لا يتغيّر

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 1

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الكهرومغناطيسية (אלקטרומגנטיות — 36371)، بالنسخة العربية الرسمية للامتحان (2019–2026). تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 1 — قطرة زيت في حقل كهربائيّ — تحليل محاكاة كتبها ذكاء اصطناعيّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى وعبارة التسارع	قوّتان فقط — qE إلى الأعلى و mg إلى الأسفل — ومنهما a = (q/m)E − g
ب	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	النقاط تقع تقريبًا على خطّ مستقيم صاعد — انظروا الرسم أعلاه
ج	النسبة بين الشحنة والكتلة	q/m ≈ 8·10⁻⁵ C/kg
د	هل تناقض المحاكاة الفيزياء	نعم — خطّ الاتّجاه يقطع محور التسارع عند نحو −13 m/s²، بينما تفرض الفيزياء بالضبط −g = −10 m/s²
هـ	قطرات مشحونة وقطرات متعادلة	المشحونة تنطرد لأنّ شحنتها من إشارة الكرة ذاتها · المتعادلة تستقطب، والجهة القريبة تنجذب أقوى من الجهة البعيدة التي تنطرد

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2025 السؤال 1 — كرتان مشحونتان في محاكاة — توتّر الخيط كدالّة للمسافة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى وعبارة التوتّر	تؤثّر على B قوّة mg إلى الأسفل من الكرة الأرضيّة، T_B إلى الأعلى من الخيط، و F_E إلى الأسفل من الكرة A · ومنها T_B = mg + kq²/r²
ب	المتغيّر الجديد الذي يجعل المنحنى مستقيمًا	المتغيّر الجديد هو 1 مقسومًا على r²، ووحداته m⁻² · قيمه 39.06 · 30.86 · 25.00 · 20.66 · 17.36
ج	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	النقاط الخمس تقع على خطّ مستقيم صاعد تقاطعه مع محور التوتّر موجب — انظروا الرسم أعلاه
د	حساب الشحنة والكتلة من المنحنى	\|q\| = 1.0·10⁻⁶ C = 1 μC · m = 5.77·10⁻³ kg ≈ 5.8 غرام
هـ	أيّ خيط ينقطع أوّلًا	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 1 — كرة مشحونة معلّقة في حقل كهربائيّ متجانس — زاوية الانحراف وشحنة الكرة الثانية

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	العلاقة بين زاوية الانحراف وشدّة الحقل ومقدار الشحنة q₁	tanα = q₁E مقسومًا على mg · ومنها E = mg·tanα مقسومًا على q₁ · الشحنة موجبة · q₁ = 8.7·10⁻⁸ C
ب	مخطّط القوى في التجربة الثانية	أربع قوى · mg إلى الأسفل من الكرة الأرضيّة · T على امتداد الخيط من الخيط · q₁E إلى اليمين من مصدر الحقل · kq₁q₂ مقسومًا على r² إلى اليسار من الكرة الثانية
ج	تطوير عبارة شدّة الحقل بدلالة المسافة	E = k·q₂ مقسومًا على r² زائد mg مقسومًا على q₁ مضروبًا في tanβ — كما هو مطلوب
د	استخراج الشحنة q₂ والزاوية β من المنحنى	q₂ = 5.5·10⁻⁹ C ≈ 5.5 nC · β ≈ 5°
هـ	هل يمكن أن تنحرف الكرتان بالزاوية ذاتها	الجواب الصحيح هو 3 · نعم، وفي هذه الحالة q₂ أصغر من q₁

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 1 — الشحن بالتأثير وحركة دائريّة لكرات مشحونة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	شحنة كلّ واحدة من الكرات الثلاث	A مشحونة سالبًا · B متعادلة · C مشحونة موجبًا
ب		ثلاث قوى — قوّة الجاذبيّة mg إلى الأسفل، قوّة العموديّ N إلى الأعلى، وقوّة كولون التجاذبيّة من P إلى A في المستوى الأفقيّ
ج	حساب شحنة الكرة C	q(C) = +2·10⁻⁶ C = +2 μC
د	التغيّر في عدد الإلكترونات في الكرة C	قلّ عدد الإلكترونات في الكرة C بمقدار 1.25·10¹³ إلكترونًا
هـ	هل حركة الكرة A مطابقة	نعم — الحركة مطابقة تمامًا، نصف القطر ذاته والسرعة ذاتها وزمن الدورة ذاته
و	عندما تكون الكرة الوسطى عازلة	الكرات الثلاث A وC وD متعادلة

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2020 السؤال 1 — كرة مشحونة معلّقة أمام لوح لا نهائيّ مشحون

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى على الكرة المعلّقة	ثلاث قوى — قوّة الجاذبيّة m₁g عموديًّا إلى الأسفل · قوّة شدّ الخيط T على امتداد الخيط · القوّة الكهربائيّة q₁E أفقيًّا نحو اللوح
ب	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	خمس نقاط معلّمة، ويُمرّر عبرها وعبر نقطة الأصل خطّ اتّجاه مستقيم واحد — لأنّ σ = 0 يستلزم tan(α) = 0
ج	حساب ميل خطّ الاتّجاه	الميل هو 0.0438 لوحدة 10⁻⁷ C/m² ، أي 4.4·10⁵ m²/C
د	اشتقاق تعبير tan(α) كدالّة لـ σ	tan(α) = [ q₁ ÷ (2·ε₀·m₁·g) ] · σ — خطّ مستقيم عبر نقطة الأصل ميله q₁ مقسومًا على 2ε₀m₁g
هـ	إشارة الشحنة q₁ ومقدارها	الشحنة سالبة · \|q₁\| = 7.7·10⁻⁸ C ، أي q₁ = −7.7·10⁻⁸ C
و	أيّ المخطّطات الأربعة ممكن	المخطّط 1 — الكرتان في الجهة ذاتها من اللوح، q₁ قريبة من اللوح وq₂ بعيدة عنه

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 7 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)