الفصل 2

الجهد الكهربائي

הפוטנציאל החשמלי

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 12 ساعات تعليمية

في الفصل الأوّل وصفنا التأثير الكهربائي بالقوّة وبالحقل، وهما مقداران متّجهان. في هذا الفصل ننظر إلى الظاهرة نفسها من زاوية الطاقة. نبيّن أنّ الحقل الكهروستاتيكي حقل حافظ مثل حقل الجاذبية، ولذلك نستطيع أن نعرّف فيه طاقة وضعية وأن نعرّف الجهد الكهربائي: مقدار قياسي، بلا اتّجاه، يسهّل الحساب كثيرا. نستعمله لوصف توزيع الشحنة على الموصلات، لفهم التأريض والسطوح متساوية الجهد، ثم نقطف الثمار في التطبيقات: تسريع الشحنات في فرق جهد، وانحراف حزمة الإلكترونات بين لوحين — وهو أساس مدفع الإلكترونات وراسم الإشارات. الجهد الذي نعرّفه هنا سيرافقنا في كلّ فصول الكتاب القادمة: في المكثّفات، في الدوائر الكهربائية وفي الحثّ.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف القوّة الحافظة والحقل الحافظ، ونبيّن أنّ الحقل الكهروستاتيكي حقل حافظ.
نُعرّف الطاقة الكهربائية الوضعية والجهد وفرق الجهد، ونستعمل إشارة الشغل والطاقة استعمالا صحيحا.
نحسب جهد شحنة نقطية V = k·qr وجهد مجموعة من الشحنات بالجمع القياسي.
نصف جهد كرة موصلة مشحونة، معنى التأريض، وتوزيع الشحنة بين موصلين نصل بينهما.
نرسم السطوح متساوية الجهد مع خطوط الحقل، ونستعمل العلاقة V = E·d في الحقل المتجانس.
نحسب سرعة شحنة تسارعت في فرق جهد، ونحلّل انحراف حزمة إلكترونات بين لوحين كقذف أفقي.

פוטנציאל והפרש פוטנציאלים – الجهد وفرق الجهد (Potential and Potential Difference)

القوّة الحافظة والحقل الحافظ – כוח משמר ושדה משמר:

تعلّمنا في الميكانيكا أنّ شغل قوّة الجاذبية على جسم ينتقل من نقطة إلى أخرى لا يتعلّق بالمسار، بل بفرق الارتفاع بين النقطتين فقط. جسم كتلته m ينزل من A إلى B مسافة عمودية h: شغل الجاذبية هو m·g·h، سواء نزل مباشرة على الخطّ المستقيم (1) أو نزل عموديا ثم تحرّك أفقيا (2). في القطعة الأفقية من المسار (2) القوّة عمودية على الإزاحة، فالشغل فيها صفر.

يسار: جسم في حقل الجاذبية. يمين: شحنة موجبة في حقل كهربائي متجانس. في الحالتين القوّة ثابتة (m·g أو q·E)، وشغلها من A إلى B واحد في المسارين 1 و 2

القوّة الحافظة (כוח משמר): هي قوّة لا يتعلّق شغلها على جسم ينتقل بين نقطتين بالمسار بينهما، بل بموقعي نقطة البداية ونقطة النهاية فقط. ونتيجة لذلك يكون شغلها على كلّ مسار مغلق (يعود فيه الجسم إلى نقطة البداية) صفرا.

الحقل الحافظ (שדה משמר): هو حقل قوى تكون القوّة التي يؤثّر بها على الجسم قوّة حافظة. في الحقل الحافظ نستطيع أن ننسب إلى كلّ نقطة طاقة وضعية، بحيث يساوي شغل قوّة الحقل بين نقطتين سالب التغيّر في الطاقة الوضعية.

في الميكانيكا كتبنا لقوّة الجاذبية W_mg = −ΔU_G، أي أنّ الجاذبية تبذل شغلا موجبا عندما ينزل الجسم وتقلّ طاقته الوضعية. سنبني الآن في الحقل الكهربائي الصورة نفسها تماما، خطوة بخطوة.

الحقل الكهروستاتيكي حقل حافظ – השדה האלקטרוסטטי כשדה משמר:

في الحقل المتجانس (القسم الأيمن من الرسم السابق) تؤثّر على الشحنة q قوّة ثابتة F = q·E، مثل قوّة الجاذبية الثابتة m·g قرب سطح الأرض. الحساب هو نفسه: في المسار (2) الشغل q·E·d في القطعة الموازية للحقل وصفر في القطعة العمودية عليه، وفي المسار (1) الشغل هو القوّة مضروبة في مركّبة الإزاحة بمحاذاة الحقل، وهي d أيضا. في المسارين W = q·E·d.

مساران من A إلى B قرب شحنة نقطية

في حقل شحنة نقطية القوّة ليست ثابتة، لكنّها دائما نصف قطرية: بمحاذاة الخطّ الذي يصل بين الشحنة Q والشحنة المتحرّكة. نقسم كلّ مسار إلى قطع نصف قطرية وأقواس دوائر حول Q. على القوس القوّة عمودية على الإزاحة، فالشغل صفر. يبقى الشغل في القطع نصف القطرية فقط، ومجموعها في كلّ مسار هو الانتقال نفسه من r_A إلى r_B. إذًا شغل قوّة كولون من A إلى B لا يتعلّق بالمسار.

وبما أنّ كلّ حقل كهروستاتيكي (حقل شحنات ساكنة) هو تراكب لحقول شحنات نقطية، وشغل المحصّلة هو مجموع الأشغال، نستنتج:

الاستنتاج: الحقل الكهروستاتيكي حقل حافظ. شغل القوّة الكهربائية على شحنة تنتقل بين نقطتين يتعلّق بالنقطتين فقط، وشغلها على كلّ مسار مغلق صفر. ولذلك نستطيع أن نعرّف الطاقة الكهربائية الوضعية.

مثال 2.1

في حقل كهربائي متجانس شدّته 1000 N/C ننقل شحنة q = +2 μC على المسار المغلق A → B → C → A: من A إلى B مسافة 6 cm في اتّجاه الحقل، ثم من B إلى C مسافة 8 cm عموديا على الحقل، ثم عائدين إلى A. نحسب شغل القوّة الكهربائية في كلّ قطعة وعلى المسار كلّه.

الحل:

القوّة F = q·E ثابتة ونحو اليمين. في القطعة AB القوّة في اتّجاه الإزاحة، وفي BC عمودية عليها:

W_AB = q·E·d_AB = 2·10⁻⁶ · 1000 · 0.06 = 1.2·10⁻⁴ J

W_BC = 0

القطعة CA طولها 0.06² + 0.08² = 0.1 m، والزاوية α بين القوّة والإزاحة منفرجة: cos α = −0.060.1 = −0.6:

W_CA = q·E·d_CA·cos α = 2·10⁻⁶ · 1000 · 0.1 · (−0.6) = −1.2·10⁻⁴ J

المجموع:

W = W_AB + W_BC + W_CA = 1.2·10⁻⁴ + 0 − 1.2·10⁻⁴ = 0

شغل القوّة الكهربائية على المسار المغلق صفر، كما يجب في حقل حافظ. ولاحظوا أنّ شغل الطريق A → B → C يساوي شغل الطريق المباشر A → C (سالب W_CA): الشغل لا يتعلّق بالمسار.

W_AB = 1.2·10⁻⁴ J , W_CA = −1.2·10⁻⁴ J , W = 0

الطاقة الكهربائية الوضعية – אנרגיה פוטנציאלית חשמלית:

الطاقة الكهربائية الوضعية (אנרגיה פוטנציאלית חשמלית): هي طاقة تملكها الشحنة بسبب موقعها في حقل كهربائي. نرمز لها U_E، كما في ملحق القوانين والمعطيات. نعرّف التغيّر فيها بين نقطتين A و B بأنّه سالب شغل القوّة الكهربائية على الشحنة عندما تنتقل من A إلى B: ΔU_E = U_E,B − U_E,A = −W_E. وحدتها الجول [J]، كسائر أنواع الطاقة.

إشارة الشغل والطاقة — القاعدة التي نستعملها في كلّ الفصل. نميّز بين شغلين:

W_E — شغل القوّة الكهربائية (شغل الحقل). عندما يكون موجبا تتحرّك الشحنة «من تلقاء نفسها» مع القوّة، وتقلّ طاقتها الوضعية: ΔU_E = −W_E.
W_ext — شغل قوّة خارجية تنقل الشحنة ببطء، بلا تغيّر في طاقتها الحركية. هذه القوّة تعاكس القوّة الكهربائية في كلّ نقطة، ولذلك W_ext = −W_E = ΔU_E: الشغل الذي نبذله يُخزَّن كطاقة وضعية.
الشحنة الموجبة تتحرّك تلقائيا من الجهد العالي إلى الجهد المنخفض، والشحنة السالبة من الجهد المنخفض إلى الجهد العالي. في الحالتين الطاقة الوضعية تقلّ، والقوّة الكهربائية تبذل شغلا موجبا.

الجهد الكهربائي وفرق الجهد – הפוטנציאל החשמלי והפרש פוטנציאלים:

شغل القوّة الكهربائية يتناسب مع الشحنة المنقولة: شحنة مضاعفة تتأثّر بقوّة مضاعفة في كلّ نقطة. لذلك خارج القسمة W_Eq لا يتعلّق بالشحنة المنقولة، بل بالنقطتين وبالحقل فقط. هذا المقدار هو فرق الجهد. نحصل على صفة للحقل نفسه، تماما كما حصلنا على شدّة الحقل E = Fq من القوّة.

فرق الجهد (הפרש פוטנציאלים): فرق الجهد بين النقطتين A و B (ويُسمّى أيضا الجهد بينهما، מתח) هو شغل القوّة الكهربائية على شحنة اختبار موجبة تنتقل من A إلى B، مقسوما على مقدار شحنة الاختبار. نرمز له V_AB، وهو يساوي الفرق V_A − V_B بين الجهد الكهربائي (פוטנציאל חשמלי) في النقطتين.

فرق الجهد والطاقة الكهربائية الوضعية · הפרש פוטנציאלים ואנרגיה פוטנציאלית

V_AB = V_A − V_B = W_Eq

W_E = q·V_AB

ΔU_E = −W_E = q·(V_B − V_A)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V_AB	فرق الجهد بين A و B	[V]
W_E	شغل القوّة الكهربائية على الشحنة من A إلى B	[J]
q	الشحنة المنقولة، مع إشارتها	[C]
ΔU_E	التغيّر في الطاقة الكهربائية الوضعية للشحنة	[J]

فرق الجهد يحدّد الفرق فقط. لكي ننسب جهدا إلى كلّ نقطة وحدها نختار نقطة مرجع جهدها صفر، كما اخترنا في الميكانيكا مستوى صفر للارتفاع. في حقل الشحنات النقطية نختار عادة V = 0 في اللانهاية (بعيدا جدّا عن كلّ الشحنات)، وفي الدوائر الكهربائية نختار الأرض. بعد اختيار المرجع تكون الطاقة الوضعية لشحنة q في نقطة جهدها V:

U_E = q·V

الجهد ليس طاقة: الجهد V صفة للنقطة في الحقل: طاقة لكلّ وحدة شحنة، ووحدته الڤولط. أمّا الطاقة الوضعية U_E = q·V فهي صفة للشحنة الموضوعة في تلك النقطة، ووحدتها الجول. في النقطة نفسها جهد واحد، أمّا الطاقة الوضعية فتتعلّق بالشحنة التي نضعها فيها — بمقدارها وبإشارتها.

مثال 2.2

في حقل كهربائي متجانس شدّته 2000 N/C ننقل شحنة q = +3 μC من النقطة A إلى النقطة B، وهي على بُعد 5 cm منها في اتّجاه الحقل. نحسب:
أ. شغل القوّة الكهربائية.
ب. التغيّر في الطاقة الكهربائية الوضعية.
ج. فرق الجهد V_AB.
د. الشغل الذي تبذله قوّة خارجية لإعادة الشحنة ببطء من B إلى A.

الحل:

أ. القوّة الكهربائية F = q·E ثابتة وفي اتّجاه الإزاحة:

W_E = q·E·d = 3·10⁻⁶ · 2000 · 0.05 = 3·10⁻⁴ J

ب. الشغل موجب، فالطاقة الوضعية تقلّ:

ΔU_E = −W_E = −3·10⁻⁴ J

ج. فرق الجهد هو الشغل لوحدة الشحنة:

V_AB = W_Eq = 3·10⁻⁴3·10⁻⁶ = 100 V

الجهد في A أعلى من الجهد في B بمقدار 100 V: الحقل يتّجه من الجهد العالي إلى الجهد المنخفض.

د. في طريق العودة تعاكس القوّة الخارجية القوّة الكهربائية، وتعيد إلى الشحنة الطاقة الوضعية التي فقدتها:

W_ext = q·V_BA = 3·10⁻⁶ · 100 = 3·10⁻⁴ J

W_E = 3·10⁻⁴ J , V_AB = 100 V

سؤال 2.1: في حقل متجانس شدّته 500 N/C ينتقل بروتون مسافة 4 cm عكس اتّجاه الحقل. ما هو فرق الجهد V_B − V_A بين نقطة النهاية ونقطة البداية؟ ما هو التغيّر في طاقة وضعية البروتون؟ هل يحدث هذا الانتقال من تلقاء نفسه؟

الڤولط – וולט:

وحدة الجهد وفرق الجهد هي الڤولط (וולט)، على اسم العالم الإيطالي ألساندرو ڤولطا. من التعريف V = Wq:

1 V = 1 J1 C

بين نقطتين فرق جهد مقداره ڤولط واحد إذا بذلت القوّة الكهربائية شغلا مقداره جول واحد على شحنة مقدارها كولون واحد تنتقل بينهما. من العلاقة W = q·E·d نستنتج وحدة ثانية لشدّة الحقل: E = Vd، ولذلك

1 N/C = 1 V/m

المصدر أو الحالة	فرق الجهد التقريبي
خليّة عصبية (بين داخل الخليّة وخارجها)	0.07 V
بطّارية قلم	1.5 V
بطّارية سيارة	12 V
الشبكة البيتية	230 V
مدفع الإلكترونات في أنبوب قديم لراسم الإشارات	1000–2000 V
خطّ نقل الطاقة القُطري	400000 V
البرق بين الغيمة والأرض	10⁸ V

جهد شحنة نقطية – הפוטנציאל של מטען נקודתי:

نحسب الجهد في نقطة على بُعد r من شحنة نقطية q، مع المرجع V = 0 في اللانهاية. القوّة تتغيّر مع المسافة، ولذلك لا نستطيع ضرب القوّة في المسافة مباشرة؛ نقسم الطريق إلى قطع صغيرة ونجمع شغل كلّ منها (المساحة تحت رسم القوّة كدالّة للمسافة). النتيجة بسيطة:

جهد شحنة نقطية · הפוטנציאל של מטען נקודתי

V = k·qr

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	الجهد في النقطة، بالنسبة إلى اللانهاية	[V]
q	الشحنة المسبّبة للحقل، مع إشارتها	[C]
r	بُعد النقطة عن الشحنة	[m]
k	ثابت كولون: 9·10⁹ N·m²/C²	[N·m²/C²]

الجهد حول شحنة نقطية موجبة كدالّة للبُعد

شدّة الحقل حول الشحنة نفسها

حول شحنة موجبة الجهد موجب، ويقلّ كلّما ابتعدنا؛ وحول شحنة سالبة الجهد سالب، ويزداد (يقترب من الصفر) كلّما ابتعدنا. انتبهوا إلى الفرق بين الصيغتين: الجهد يتناسب مع 1r أمّا شدّة الحقل فمع 1r². عندما نضاعف المسافة يقلّ الجهد إلى النصف، وتقلّ شدّة الحقل إلى الربع.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّه لا يوجد جهد في نقطة لا توجد فيها شحنة اختبار. الصحيح أنّ الجهد صفة للنقطة نفسها في الفضاء حول الشحنات المصدرية: لكلّ نقطة جهد محدّد، سواء وضعنا فيها شحنة أم لم نضع. شحنة الاختبار تكشف الجهد ولا تصنعه — تماما كما يقيس ميزان الحرارة درجة حرارة كانت موجودة في الغرفة قبل أن ندخله.

مثال 2.3

شحنة نقطية Q = +6 nC ثابتة في مكانها. النقطة A على بُعد 20 cm منها والنقطة B على بُعد 60 cm. نحسب:
أ. الجهد في النقطتين.
ب. شغل القوّة الكهربائية على شحنة q = +2 nC تنتقل من A إلى B.
ج. الشغل الخارجي اللازم لنقلها ببطء من B إلى A.

الحل:

أ. نعوّض في صيغة جهد الشحنة النقطية، والمسافات بالمتر:

V_A = k·Qr_A = 9·10⁹ · 6·10⁻⁹0.2 = 270 V

V_B = k·Qr_B = 9·10⁹ · 6·10⁻⁹0.6 = 90 V

ب. فرق الجهد V_AB = V_A − V_B = 180 V، والشغل:

W_E = q·V_AB = 2·10⁻⁹ · 180 = 3.6·10⁻⁷ J

الشغل موجب: شحنتان موجبتان تتنافران، والقوّة الكهربائية تدفع q بعيدا عن Q.

ج. لكي نقرّب q من Q ضدّ التنافر نبذل شغلا مساويا في المقدار، وهو يُخزَّن كطاقة وضعية:

W_ext = q·(V_A − V_B) = 3.6·10⁻⁷ J

V_A = 270 V , V_B = 90 V , W_E = 3.6·10⁻⁷ J

جهد مجموعة من الشحنات النقطية – הפוטנציאל של מערך מטענים נקודתיים:

الجهد مقدار قياسي، ولذلك يُجمع جمعا عاديا. حسب مبدأ التراكب، الجهد في نقطة بسبب عدّة شحنات هو مجموع الجهود التي تسبّبها كلّ شحنة وحدها، مع إشارة كلّ شحنة، بلا زوايا وبلا تحليل إلى مركّبات. هذه هي الفائدة الكبرى للجهد مقارنة بالحقل.

جهد مجموعة من الشحنات النقطية · עקרון הסופרפוזיציה לפוטנציאל

V = k·q₁r₁ + k·q₂r₂ + k·q₃r₃ + ...

الرمز	المعنى	وحدة القياس
q_i	الشحنة رقم i، مع إشارتها	[C]
r_i	بُعد النقطة عن الشحنة رقم i	[m]

مثال 2.4

الشحنتان q₁ = +8 nC و q₂ = −4 nC على بُعد 60 cm إحداهما من الأخرى. النقطة M في منتصف المسافة بينهما، والنقطة P على بُعد 40 cm فوق M. نحسب:
أ. الجهد في M وفي P.
ب. شغل القوّة الكهربائية على شحنة +1 nC تنتقل من M إلى P.

الحل:

أ. بُعد M عن كلّ شحنة 0.3 m. نجمع الجهدين مع الإشارات:

V_M = k·q₁0.3 + k·q₂0.3 = 9·10⁹ · (8·10⁻⁹ − 4·10⁻⁹)0.3 = 120 V

بُعد P عن كلّ شحنة (فيثاغورس): r = 0.3² + 0.4² = 0.5 m:

V_P = 9·10⁹ · (8·10⁻⁹ − 4·10⁻⁹)0.5 = 72 V

ب. فرق الجهد V_MP = 120 − 72 = 48 V، والشغل:

W_E = q·V_MP = 1·10⁻⁹ · 48 = 4.8·10⁻⁸ J

لاحظوا أنّنا لم نحتج إلى أيّ زاوية. لو حسبنا الحقل في P لاحتجنا إلى تحليل متّجهين إلى مركّبات.

V_M = 120 V , V_P = 72 V , W_E = 4.8·10⁻⁸ J

سؤال 2.2: في المنظومة نفسها، أين تقع النقاط على الخطّ الواصل بين الشحنتين التي يكون فيها الجهد صفرا؟ (تلميح: نقطة بين الشحنتين ونقطة أخرى خلف q₂.) هل الحقل صفر في هذه النقاط؟

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الجهد والحقل «يتصفّران معا»: حيث يكون V = 0 يكون E = 0، والعكس. الصحيح أنّهما مقداران مستقلّان: في منتصف المسافة بين شحنتين متساويتين ومتعاكستين الجهد صفر والحقل قويّ، وفي منتصف المسافة بين شحنتين متساويتين ومتشابهتين الحقل صفر والجهد ليس صفرا. الحقل يتعلّق بمدى تغيّر الجهد من نقطة إلى نقطة، لا بقيمة الجهد نفسها.

الطاقة الوضعية لمنظومة شحنتين نقطيتين – האנרגיה הפוטנציאלית של שני מטענים:

نعود الآن إلى الطاقة. نضع الشحنة q₂ في نقطة جهدها بسبب q₁ هو V = k·q₁r. الطاقة الوضعية هي U_E = q₂·V:

شحنتان نقطيتان

الطاقة الكهربائية الوضعية لشحنتين نقطيتين · אנרגיה פוטנציאלית של שני מטענים

U_E = k·q₁·q₂r

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U_E	الطاقة الوضعية للمنظومة (صفر عندما تكونان بعيدتين جدّا)	[J]
r	البُعد بين الشحنتين	[m]

هذه هي الطاقة التي يجب أن تبذلها قوّة خارجية لكي تجلب الشحنتين ببطء من اللانهاية إلى البُعد r. إذا كانت الشحنتان متشابهتين فالطاقة الوضعية موجبة: يجب أن «ندفعهما» إحداهما نحو الأخرى ضدّ التنافر. وإذا كانتا متعاكستين فالطاقة الوضعية سالبة: الحقل نفسه يقرّبهما، ولكي نفصلهما يجب أن نبذل شغلا.

مثال 2.5

شحنتان q₁ = +2 μC و q₂ = −3 μC على بُعد 30 cm إحداهما من الأخرى. نحسب الطاقة الكهربائية الوضعية للمنظومة، والشغل الخارجي الأدنى اللازم لإبعاد الشحنتين إلى مسافة كبيرة جدّا.

الحل:

U_E = k·q₁·q₂r = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · (−3·10⁻⁶)0.3 = −0.18 J

الطاقة الوضعية سالبة لأنّ الشحنتين تتجاذبان. عندما نبعدهما إلى اللانهاية تصبح الطاقة الوضعية صفرا، أي أنّها تزداد بالمقدار:

W_ext = ΔU_E = 0 − (−0.18) = 0.18 J

U_E = −0.18 J , W_ext = 0.18 J

حساب فرق الجهد وتطبيق حفظ الطاقة – חישוב הפרש פוטנציאלים:

عندما تؤثّر على شحنة متحرّكة القوّة الكهربائية وحدها، تُحفَظ مجموع طاقتها الحركية وطاقتها الكهربائية الوضعية:

E_k,A + q·V_A = E_k,B + q·V_B

ΔE_k = q·(V_A − V_B) = q·V_AB

التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل القوّة الكهربائية، وهو الشحنة مضروبة في فرق الجهد. هذه الطريقة لا تحتاج إلى معرفة القوّة في كلّ نقطة من المسار، ولذلك هي الطريقة المفضّلة في كلّ حقل غير متجانس.

مثال 2.6

شحنة نقطية Q = +2 μC ثابتة في مكانها. يتحرّر بروتون من السكون على بُعد 2 cm منها. نحسب سرعة البروتون عندما يصل إلى بُعد 8 cm من الشحنة، وسرعته بعيدا جدّا عنها.

الحل:

نحسب الجهد في النقطتين:

V₁ = k·Qr₁ = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶0.02 = 9·10⁵ V

V₂ = k·Qr₂ = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶0.08 = 2.25·10⁵ V

البروتون موجب، فيتحرّك من الجهد العالي إلى الجهد المنخفض، ويكتسب طاقة حركية:

E_k = e·(V₁ − V₂) = 1.6·10⁻¹⁹ · 6.75·10⁵ = 1.08·10⁻¹³ J

v = 2·E_km_p = 2 · 1.08·10⁻¹³1.67·10⁻²⁷ = 1.14·10⁷ m/s

بعيدا جدّا عن الشحنة الجهد صفر، فكلّ الطاقة الوضعية الابتدائية e·V₁ تتحوّل إلى طاقة حركية:

E_k,∞ = e·V₁ = 1.44·10⁻¹³ J

v_∞ = 2 · 1.44·10⁻¹³1.67·10⁻²⁷ = 1.31·10⁷ m/s

v = 1.14·10⁷ m/s , v_∞ = 1.31·10⁷ m/s

سؤال 2.3: في المثال السابق، ما هي سرعة البروتون عندما يصل إلى بُعد 4 cm من الشحنة؟

جهد كرة موصلة مشحونة – פוטנציאל של כדור מוליך טעון:

رأينا في الفصل الأوّل أنّ الموصل في حالة الاتّزان الكهروستاتيكي (שיווי משקל אלקטרוסטטי) يتميّز بأنّ الحقل داخله صفر، وأنّ الشحنة الزائدة تتوزّع على سطحه الخارجي. من هنا نستنتج نتيجة مهمّة للجهد:

داخل الموصل لا يوجد حقل، فلا شغل في نقل شحنة بين نقطتين داخله: كلّ نقاط الموصل لها الجهد نفسه، داخله وعلى سطحه.
سطح الموصل سطح متساوي الجهد، ولذلك خطوط الحقل خارجه تخرج عمودية على السطح.
خارج كرة موصلة مشحونة بالشحنة Q الحقل والجهد كحقل وجهد شحنة نقطية Q موضوعة في مركز الكرة.

جهد كرة موصلة نصف قطرها R · פוטנציאל של כדור מוליך

V = k·QR (r ≤ R)

V = k·Qr (r ≥ R)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Q	شحنة الكرة	[C]
R	نصف قطر الكرة	[m]
r	البُعد عن مركز الكرة	[m]

أمّا شدّة الحقل فهي صفر داخل الكرة، وخارجها كحقل شحنة نقطية:

E = 0 (r < R)

E = k·Qr² (r > R)

جهد كرة موصلة: ثابت داخلها ويساوي V₀ = k·QR

الحقل صفر داخلها، وأقصى على سطحها E₀ = k·QR²

مثال 2.7

كرة موصلة نصف قطرها 10 cm مشحونة بالشحنة +5 nC. نحسب الجهد في مركز الكرة، على سطحها، وعلى بُعد 30 cm من مركزها؛ وشدّة الحقل على السطح وفي المركز.

الحل:

على السطح وفي كلّ نقاط الموصل:

V_center = V_surface = k·QR = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.1 = 450 V

خارج الكرة كشحنة نقطية:

V(0.3 m) = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.3 = 150 V

E_surface = k·QR² = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹0.1² = 4500 V/m

وفي المركز الحقل صفر، مع أنّ الجهد هناك 450 V.

V_center = 450 V , E_center = 0

لاحظوا أنّ على سطح الكرة E₀ = V₀R. لكرة جهدها معيّن، كلّما صغر نصف القطر كبر الحقل على سطحها. سنعود إلى هذه النتيجة عندما نصل بين كرتين.

سؤال 2.4: يفقد الهواء خاصّية العزل (تحدث شرارة) عندما تتجاوز شدّة الحقل 3·10⁶ V/m. ما هي أكبر شحنة يمكن أن تحملها كرة موصلة نصف قطرها 10 cm في الهواء؟ ما هو جهدها عندئذ؟

التأريض – הארקה:

التأريض (הארקה): هو وصل موصل بالأرض بواسطة موصل. الأرض موصل ضخم جدّا: عندما تدخلها شحنة أو تخرج منها لا يتغيّر جهدها عمليا، ولذلك نختارها مرجعا: V_earth = 0. بعد التأريض يصبح جهد الموصل صفرا.

يسار: كرة معزولة مشحونة بشحنة موجبة، جهدها موجب. يمين: بعد التأريض تصعد إلكترونات من الأرض إلى الكرة حتى يصبح جهدها صفرا

عندما نؤرّض كرة مشحونة بشحنة موجبة، جهدها أعلى من جهد الأرض، فتنتقل إلكترونات من الأرض إلى الكرة (تيار عابر قصير) حتى يتساوى الجهدان. الكرة البعيدة عن كلّ شحنة أخرى لا يكون جهدها صفرا إلّا إذا كانت شحنتها صفرا، ولذلك التأريض يفرّغها تماما. كرة مشحونة بشحنة سالبة تتفرّغ بالطريقة نفسها، لكنّ الإلكترونات تنتقل منها إلى الأرض.

ملاحظة: التأريض لا يعني دائما «شحنة صفر»، بل «جهد صفر». إذا قرّبنا قضيبا موجب الشحنة من كرة مؤرّضة، تصعد إلكترونات من الأرض وتبقى على الكرة شحنة سالبة، لأنّ جهد القضيب الموجب يجب أن يُعادَل بجهد سالب لشحنة الكرة. إذا فصلنا التأريض ثم أبعدنا القضيب، تبقى الكرة مشحونة بشحنة سالبة — وهذا هو الشحن بالحثّ الذي تعلّمناه في الفصل الأوّل.

لهذا السبب تؤرَّض الأجهزة الكهربائية ذات الغلاف المعدني في البيت: إذا لامس سلك مكشوف الغلاف بالخطأ، يبقى جهد الغلاف صفرا ويمرّ التيار إلى الأرض، بدلا من أن يمرّ في جسم من يلمس الجهاز.

وصل موصلين مشحونين: توزيع الشحنة بين كرتين – חיבור שני מוליכים טעונים:

لدينا كرتان موصلتان بعيدتان إحداهما عن الأخرى، نصفا قطريهما R₁ و R₂ وشحنتاهما Q₁ و Q₂. نصل بينهما بسلك موصل رفيع وطويل. ماذا يحدث؟

كرتان موصلتان موصولتان بسلك: بعد الاتّزان لهما الجهد نفسه، وكثافة الشحنة على الكرة الصغيرة أكبر

الكرتان والسلك صارت موصلا واحدا. إذا كان جهداهما مختلفين تتحرّك الشحنة في السلك حتى يتساوى الجهدان، ثم تتوقّف (اتّزان كهروستاتيكي).
السلك رفيع والكرتان بعيدتان، فجهد كلّ كرة تحدّده شحنتها هي فقط: V₁ = k·Q′₁R₁ و V₂ = k·Q′₂R₂.
لا تضيع شحنة ولا تُخلَق (حفظ الشحنة): مجموع الشحنتين بعد الوصل يساوي مجموعهما قبله.

توزيع الشحنة بين كرتين موصولتين · חלוקת מטען בין כדורים

Q′₁R₁ = Q′₂R₂

Q′₁ + Q′₂ = Q₁ + Q₂

Q′₁ = (Q₁ + Q₂)·R₁R₁ + R₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Q′₁ , Q′₂	شحنتا الكرتين بعد الوصل	[C]
R₁ , R₂	نصفا قطري الكرتين	[m]

الشحنة تتوزّع بنسبة أنصاف الأقطار: الكرة الكبيرة تأخذ شحنة أكبر. أمّا شدّة الحقل على السطح E = VR فأكبر على الكرة الصغيرة. لهذا السبب يتركّز الحقل قرب الأطراف المدبّبة لموصل مشحون، وقد يتجاوز هناك حدّ عزل الهواء فتتفرّغ الشحنة. على هذا المبدأ تعمل مانعة الصواعق: قضيب معدني مدبّب مؤرّض على سطح البناية.

مثال 2.8

كرة موصلة نصف قطرها 10 cm مشحونة بالشحنة +12 nC، وكرة موصلة أخرى نصف قطرها 5 cm غير مشحونة، بعيدة عنها. نصل بين الكرتين بسلك رفيع. نحسب:
أ. جهد الكرة الأولى قبل الوصل.
ب. شحنة كلّ كرة وجهدهما المشترك بعد الوصل.
ج. شدّة الحقل على سطح كلّ كرة بعد الوصل.

الحل:

V₁ = k·Q₁R₁ = 9·10⁹ · 12·10⁻⁹0.1 = 1080 V

ب. قبل الوصل جهد الكرة الثانية صفر، فتنتقل إليها شحنة موجبة (أي تنتقل منها إلكترونات إلى الكرة الأولى) حتى يتساوى الجهدان:

Q′₁ = (Q₁ + Q₂)·R₁R₁ + R₂ = 12 · 0.10.15 = 8 nC

Q′₂ = 12 − 8 = 4 nC

V = k·Q′₁R₁ = 9·10⁹ · 8·10⁻⁹0.1 = 720 V

نفحص بالكرة الثانية: 9·10⁹ · 4·10⁻⁹0.05 = 720 V — الجهد نفسه.

ج. الحقل على السطح:

E₁ = k·Q′₁R₁² = 7200 V/m

E₂ = k·Q′₂R₂² = 14400 V/m

على الكرة الصغيرة شحنة أصغر، لكنّ الحقل على سطحها أكبر مرّتين.

Q′₁ = 8 nC , Q′₂ = 4 nC , V = 720 V

مثال 2.9

كرتان موصلتان بعيدتان: الأولى نصف قطرها 6 cm وشحنتها +10 nC، والثانية نصف قطرها 3 cm وشحنتها −4 nC. نصل بينهما بسلك. نجد شحنة كلّ كرة بعد الوصل، والجهد المشترك، وعدد الإلكترونات التي انتقلت في السلك واتّجاه انتقالها.

الحل:

مجموع الشحنة محفوظ مع الإشارات: Q₁ + Q₂ = 10 + (−4) = 6 nC.

Q′₁ = 6 · 0.060.09 = 4 nC

Q′₂ = 6 − 4 = 2 nC

V = 9·10⁹ · 4·10⁻⁹0.06 = 600 V

شحنة الكرة الثانية تغيّرت من −4 nC إلى +2 nC، أي ازدادت بالمقدار 6 nC. الإلكترونات سالبة، فقد خرجت من الكرة الثانية وانتقلت إلى الكرة الأولى. عددها:

N = Δqe = 6·10⁻⁹1.6·10⁻¹⁹ = 3.75·10¹⁰

Q′₁ = 4 nC , Q′₂ = 2 nC , V = 600 V

سؤال 2.5: كرتان موصلتان متماثلتان، شحنتاهما +8 nC و −2 nC، نلامس إحداهما بالأخرى ثم نفصلهما. ما شحنة كلّ منهما؟ وماذا تكون الشحنتان لو كان نصف قطر الكرة الأولى 2 cm والثانية 6 cm، والشحنة الابتدائية +16 nC على الأولى فقط، ووصلناهما بسلك وهما بعيدتان؟

السطوح متساوية الجهد وخطوط الحقل – משטחים שווי-פוטנציאל וקווי שדה:

السطح متساوي الجهد (משטח שווה-פוטנציאל): هو سطح لكلّ نقاطه الجهد نفسه. في رسم مستوٍ نرى مقطعه: خطّا متساوي الجهد. نقل شحنة على سطح متساوي الجهد لا يحتاج إلى شغل، لأنّ V_AB = 0 بين كلّ نقطتين عليه.

إذا لم يكن شغل في كلّ انتقال صغير على السطح، فالقوّة الكهربائية — والحقل — عمودية على السطح في كلّ نقطة. هذه هي الخاصّية الأساسية التي نرسم بها السطوح: خطوط الحقل تقطع السطوح متساوية الجهد بزاوية قائمة.

شحنة نقطية: خطوط الحقل نصف قطرية، والسطوح متساوية الجهد كرات (دوائر في الرسم)، V₁ > V₂ > V₃

حقل متجانس بين لوحين: السطوح متساوية الجهد مستويات موازية للوحين، على أبعاد متساوية لفروق جهد متساوية

شحنتان متساويتان ومتعاكستان: المستوى في منتصف المسافة بينهما جهده صفر

شحنتان موجبتان متساويتان: قريبا من كلّ شحنة السطوح شبه كروية، وبعيدا عنهما تحيط بالشحنتين معا

خطوط الحقل (برتقالي) والسطوح متساوية الجهد (أخضر متقطّع) — حُسبت عدديا من قانون كولون.

خصائص السطوح متساوية الجهد:

نقل شحنة على سطح متساوي الجهد لا يحتاج إلى شغل.
خطوط الحقل عمودية على السطوح متساوية الجهد في كلّ نقطة.
خطوط الحقل تتّجه من السطح ذي الجهد الأعلى إلى السطح ذي الجهد الأدنى.
إذا رسمنا السطوح لفروق جهد متساوية، فحيث تتقارب السطوح يكون الحقل قويّا، وحيث تتباعد يكون ضعيفا.
سطحان متساويا الجهد مختلفان لا يتقاطعان أبدا (لا يكون لنقطة واحدة جهدان).
سطح كلّ موصل في حالة اتّزان كهروستاتيكي هو سطح متساوي الجهد.

سؤال 2.6: خطّا متساوي الجهد متجاوران، جهد الأوّل 60 V والثاني 45 V. ننقل شحنة −2 μC من نقطة على الخطّ الأوّل إلى نقطة على الخطّ الثاني. ما شغل القوّة الكهربائية؟ وما الشغل لو نقلناها بين نقطتين على الخطّ الأوّل نفسه؟

▶تجربة حية — الجهد والسطوح متساوية الجهدنضع شحنتين ونغيّر مقداريهما وإشارتيهما، نرى خريطة الجهد والسطوح متساوية الجهد مع خطوط الحقل، وننقل شحنة اختبار في مسارين مختلفين لنتحقّق من أنّ الشغل لا يتعلّق بالمسار.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#potential

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#potential

العلاقة بين فرق الجهد والحقل – הקשר בין הפרש פוטנציאלים לשדה:

في الحقل المتجانس القوّة على الشحنة ثابتة، وقد رأينا أنّ W_E = q·E·d حيث d هي الإزاحة بمحاذاة الحقل. نقسم على q:

فرق الجهد في حقل متجانس · הפרש פוטנציאלים בשדה אחיד

V_AB = E·d

E = V_ABd

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E	شدّة الحقل المتجانس	[V/m]
d	البُعد بين النقطتين بمحاذاة خطوط الحقل	[m]
V_AB	فرق الجهد؛ A هي النقطة الأقرب إلى مصدر خطوط الحقل (الجهد الأعلى)	[V]

بين لوحين متوازيين مشحونين البُعد بينهما d وفرق الجهد بينهما V، الحقل متجانس وشدّته E = Vd. الجهد ينخفض خطّيا من اللوح الموجب إلى اللوح السالب، والرسم البياني للجهد كدالّة للموقع خطّ مستقيم ميله سالب ومقداره E. وبصورة عامّة، حتى في الحقل غير المتجانس: شدّة الحقل تساوي ميل رسم الجهد كدالّة للموقع، بإشارة سالبة E = −ΔVΔx — الحقل يتّجه نحو انخفاض الجهد، وهو أقوى حيث يتغيّر الجهد بسرعة.

لوحان أفقيان: العلوي جهده 300 V والسفلي مؤرَّض

الجهد بين لوحين كدالّة للبُعد x عن اللوح الموجب

مثال 2.10

لوحان معدنيان أفقيان متوازيان، البُعد بينهما 2 cm. اللوح العلوي جهده +300 V واللوح السفلي مؤرَّض. نحسب:
أ. شدّة الحقل بين اللوحين واتّجاهه.
ب. الجهد في النقطة P الواقعة 0.5 cm فوق اللوح السفلي.
ج. شغل القوّة الكهربائية على إلكترون ينتقل من اللوح السفلي إلى اللوح العلوي.

الحل:

E = Vd = 3000.02 = 15000 V/m

الحقل يتّجه من الجهد العالي إلى المنخفض، أي إلى الأسفل.

ب. من اللوح السفلي (V = 0) إلى P نتحرّك عكس الحقل مسافة 0.005 m، فيرتفع الجهد بالمقدار E·d:

V_P = 0 + E·d = 15000 · 0.005 = 75 V

ج. الإلكترون شحنته q = −e، وينتقل من A (اللوح السفلي، 0 V) إلى B (اللوح العلوي، 300 V):

W_E = q·V_AB = (−1.6·10⁻¹⁹) · (0 − 300) = 4.8·10⁻¹⁷ J

الشغل موجب: الإلكترون السالب يتحرّك من تلقاء نفسه نحو الجهد العالي، وطاقته الوضعية تقلّ.

E = 15000 V/m , V_P = 75 V , W_E = 4.8·10⁻¹⁷ J

سؤال 2.7: شدّة الحقل بين لوحين متوازيين 4000 V/m والبُعد بينهما 5 mm. ما فرق الجهد بين اللوحين؟ إذا ضاعفنا البُعد وأبقينا فرق الجهد نفسه، ماذا تصبح شدّة الحقل؟

יישומים: האצת מטענים והטיית אלומה – تطبيقات: تسريع الشحنات وانحراف الحزمة (Applications: Acceleration and Deflection)

تسريع الشحنات في الحقل – האצת מטענים בשדה:

شحنة q كتلتها m تتحرّر من السكون قرب أحد لوحين بينهما فرق جهد V، وتتحرّك نحو اللوح الآخر. القوّة الكهربائية الوحيدة تبذل عليها شغلا q·V، فتكتسب طاقة حركية بالمقدار نفسه:

إلكترون يتحرّر قرب اللوح السالب: القوّة عليه عكس الحقل، فيتسارع نحو اللوح الموجب ويخرج من ثقب فيه بسرعة v

تسريع شحنة من السكون في فرق جهد · האצת מטען

12·m·v² = q·V

v = 2·q·Vm

الرمز	المعنى	وحدة القياس
q	مقدار شحنة الجسيم	[C]
V	فرق الجهد الذي اجتازه (جهد التسريع)	[V]
m	كتلة الجسيم	[kg]
v	السرعة النهائية	[m/s]

نتيجتان مهمّتان: الطاقة النهائية تتعلّق بالشحنة وبفرق الجهد فقط، ولا تتعلّق بالبُعد بين اللوحين؛ والسرعة النهائية تتعلّق أيضا بالكتلة. إلكترون وبروتون يجتازان فرق الجهد نفسه (كلّ في الاتّجاه المناسب له) يكتسبان الطاقة نفسها، لكنّ البروتون يخرج أبطأ بكثير.

مثال 2.11

إلكترون يتحرّر من السكون قرب اللوح السالب ويتسارع نحو اللوح الموجب. فرق الجهد بين اللوحين 2000 V والبُعد بينهما 4 cm. نحسب:
أ. الطاقة الحركية والسرعة عند اللوح الموجب.
ب. التسارع وزمن الحركة بين اللوحين.
ج. سرعة بروتون يتسارع في فرق الجهد نفسه.

الحل:

أ. من حفظ الطاقة:

E_k = e·V = 1.6·10⁻¹⁹ · 2000 = 3.2·10⁻¹⁶ J

v = 2·E_km_e = 2 · 3.2·10⁻¹⁶9.1·10⁻³¹ = 2.65·10⁷ m/s

ب. الحقل متجانس، فالقوّة ثابتة والتسارع ثابت:

E = Vd = 20000.04 = 5·10⁴ V/m

a = e·Em_e = 1.6·10⁻¹⁹ · 5·10⁴9.1·10⁻³¹ = 8.79·10¹⁵ m/s²

t = va = 2.65·10⁷8.79·10¹⁵ = 3.02·10⁻⁹ s

نفحص بالحركيّة: v² = 2·a·d تعطي v² = 2 · 8.79·10¹⁵ · 0.04 = 7.03·10¹⁴ m²/s²، وهذا فعلا مربّع السرعة من البند أ.

ج. البروتون يكتسب الطاقة نفسها 3.2·10⁻¹⁶ J، لكنّ كتلته أكبر:

v_p = 2 · 3.2·10⁻¹⁶1.67·10⁻²⁷ = 6.19·10⁵ m/s

نسبة السرعتين v_ev_p = m_pm_e = 42.8.

v_e = 2.65·10⁷ m/s , t = 3.02·10⁻⁹ s , v_p = 6.19·10⁵ m/s

سؤال 2.8: جسيم ألفا شحنته 2e وكتلته 4·m_p يتسارع من السكون في فرق جهد 1000 V. ما طاقته الحركية بالجول؟ ما سرعته النهائية؟

سؤال 2.9: إلكترون سرعته 4·10⁶ m/s يدخل من ثقب في لوح إلى منطقة حقل متجانس، ويتحرّك نحو لوح آخر جهده أدنى. ما هو أصغر فرق جهد بين اللوحين يوقف الإلكترون قبل أن يصل إلى اللوح الثاني؟

▶تجربة حية — تسريع الشحنات في الحقلنختار إلكترونا أو بروتونا، نغيّر جهد التسريع والبُعد بين اللوحين، ونقرأ الطاقة بالجول وبالإلكترون ڤولط والسرعة النهائية. نتحقّق من أنّ البُعد يغيّر التسارع لكنّه لا يغيّر الطاقة النهائية.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#accel

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#accel

الإلكترون ڤولط – אלקטרון-וולט:

الإلكترون ڤولط (אלקטרון-וולט): هو وحدة طاقة تساوي الطاقة الحركية التي يكتسبها جسيم شحنته الشحنة الأوّلية e عندما يتسارع في فرق جهد مقداره ڤولط واحد. رمزها eV.

الإلكترون ڤولط · אלקטרון-וולט

1 eV = 1.6·10⁻¹⁹ C · 1 V = 1.6·10⁻¹⁹ J

E_k[eV] = E_k[J]1.6·10⁻¹⁹

الرمز	المعنى	وحدة القياس
1 eV	الطاقة التي تكتسبها الشحنة e في فرق جهد 1 V	[J]
1 keV , 1 MeV	كيلو إلكترون ڤولط 10³ eV ، ميغا إلكترون ڤولط 10⁶ eV	—

هذه الوحدة مريحة جدّا في حسابات التسريع: جسيم شحنته e تسارع من السكون في فرق جهد V ڤولط يكتسب بالضبط V إلكترون ڤولط، بلا أيّ حساب. الإلكترون في مثال التسريع بين اللوحين اكتسب 2000 eV = 2 keV، وجسيم ألفا (شحنته 2e) في 1000 V اكتسب 2000 eV أيضا.

مثال 2.12

أ. بروتون تسارع من السكون في فرق جهد 5 kV. نعبّر عن طاقته بالإلكترون ڤولط وبالجول.
ب. ما طاقة إلكترون سرعته 10⁷ m/s بالإلكترون ڤولط؟

الحل:

E_k = e·V = 5000 eV = 5 keV

E_k = 5000 · 1.6·10⁻¹⁹ = 8·10⁻¹⁶ J

ب. نحسب الطاقة بالجول ثم نحوّل:

E_k = 12·m_e·v² = 12 · 9.1·10⁻³¹ · (10⁷)² = 4.55·10⁻¹⁷ J

E_k = 4.55·10⁻¹⁷1.6·10⁻¹⁹ = 284.4 eV

E_k,p = 5 keV , E_k,e = 284.4 eV

سؤال 2.10: الطاقة اللازمة لانتزاع الإلكترون من ذرّة الهيدروجين هي 13.6 eV. عبّروا عنها بالجول. ما هو فرق الجهد الأدنى الذي يجب أن يتسارع فيه إلكترون من السكون لكي تكون طاقته مساوية لهذه الطاقة؟

انحراف حزمة الإلكترونات في حقل متجانس – הטיית אלומת אלקטרונים בשדה אחיד:

حزمة إلكترونات تسارعت في جهد V_a تدخل بسرعة أفقية v₀ في منتصف المسافة بين لوحين أفقيين طولهما L والبُعد بينهما d، وبينهما فرق جهد V_d (جهد الانحراف). اللوح العلوي موجب، فالحقل يتّجه إلى الأسفل، والقوّة على الإلكترون السالب تتّجه إلى الأعلى. نختار محورين: x في اتّجاه الدخول و y إلى الأعلى، ونقطة الأصل نقطة الدخول.

هذه الحالة تشبه تماما القذف الأفقي في الميكانيكا: في اتّجاه x لا توجد قوّة، فالسرعة ثابتة؛ وفي اتّجاه y قوّة ثابتة e·E تعطي تسارعا ثابتا a = e·Em، والسرعة الابتدائية في هذا الاتّجاه صفر. القوّة الكهربائية حلّت محلّ الجاذبية، والفرق الوحيد أنّ الانحراف هنا إلى الأعلى (نحو اللوح الموجب).

نحذف الزمن t = xv₀ من معادلتي الحركة فنحصل على معادلة المسار بين اللوحين، وهي معادلة قطع مكافئ:

y = a2·v₀²·x²

وبما أنّ 12·m·v₀² = e·V_a و a = e·V_dm·d، تختصر الشحنة والكتلة:

y = V_d4·d·V_a·x²

المسار لا يتعلّق بنوع الجسيم ولا بكتلته، بل بالجهدين وبهندسة اللوحين فقط.

انحراف إلكترون بين لوحين: مسار قطع مكافئ بين اللوحين، ثم خطّ مستقيم حتى الشاشة. امتداد الخطّ المستقيم إلى الوراء يمرّ بمنتصف اللوحين. (الأبعاد العمودية مكبّرة في الرسم)

القذف الأفقي: المسار نفسه، والجاذبية في دور القوّة الكهربائية

انحراف حزمة في حقل متجانس بين لوحين · הטיית אלומה

t = Lv₀

y₁ = 12·a·t² = V_d·L²4·d·V_a

tan θ = v_yv₀ = V_d·L2·d·V_a

Y = y₁ + D·tan θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V_a , V_d	جهد التسريع وجهد الانحراف	[V]
L , d	طول اللوحين والبُعد بينهما	[m]
y₁	الانحراف عند الخروج من اللوحين	[m]
θ	زاوية الحركة عند الخروج من اللوحين	[°]
D	بُعد الشاشة عن طرف اللوحين	[m]
Y	الانحراف على الشاشة	[m]

	القذف الأفقي	إلكترون بين لوحين
القوّة الثابتة	m·g نحو الأسفل	e·E نحو اللوح الموجب
التسارع	g	a = e·Em = e·V_dm·d
الحركة في اتّجاه x	x = v₀·t	x = v₀·t
الحركة في الاتّجاه العمودي	y = 12·g·t²	y = 12·a·t²
المسار	قطع مكافئ	قطع مكافئ

مثال 2.13

إلكترونات تسارعت من السكون في جهد 1500 V، تدخل أفقيا في منتصف المسافة بين لوحي انحراف طولهما 5 cm والبُعد بينهما 1.5 cm، وبينهما فرق جهد 120 V. الشاشة على بُعد 20 cm من طرف اللوحين. نحسب:
أ. سرعة الدخول.
ب. الانحراف عند الخروج من اللوحين وزاوية الخروج.
ج. الانحراف على الشاشة.

الحل:

v₀ = 2·e·V_am_e = 2 · 1.6·10⁻¹⁹ · 15009.1·10⁻³¹ = 2.3·10⁷ m/s

ب. التسارع العمودي وزمن المكوث بين اللوحين:

a = e·V_dm_e·d = 1.6·10⁻¹⁹ · 1209.1·10⁻³¹ · 0.015 = 1.41·10¹⁵ m/s²

t = Lv₀ = 0.052.3·10⁷ = 2.18·10⁻⁹ s

y₁ = 12·a·t² = 3.33·10⁻³ m = 3.33 mm

نفحص بالصيغة الرمزية: y₁ = V_d·L²4·d·V_a = 120 · 0.05²4 · 0.015 · 1500 = 3.33 mm. وزاوية الخروج:

v_y = a·t = 3.06·10⁶ m/s

tan θ = v_yv₀ = 0.1333

θ = 7.6°

ج. خارج اللوحين لا حقل، فيتحرّك الإلكترون بخطّ مستقيم:

Y = y₁ + D·tan θ = 0.00333 + 0.2 · 0.1333 = 0.03 m

y₁ = 3.33 mm , Y = 3 cm

مثال 2.14

في المنظومة نفسها نزيد جهد الانحراف تدريجيا. ما هو أكبر جهد انحراف تخرج فيه الإلكترونات من بين اللوحين دون أن تصطدم باللوح العلوي؟

الحل:

الإلكترونات تدخل في منتصف المسافة، فأقصى انحراف ممكن عند الخروج هو d2:

V_d·L²4·d·V_a = d2

V_d,max = 2·d²·V_aL² = 2 · 0.015² · 15000.05² = 270 V

بجهد أكبر من هذا تصطدم الحزمة باللوح الموجب قبل نهايته.

V_d,max = 270 V

سؤال 2.11: في المثال الأوّل من هذا البند نضاعف جهد التسريع إلى 3000 V ونُبقي جهد الانحراف 120 V. ماذا يصبح الانحراف على الشاشة؟ فسّروا.

▶تجربة حية — انحراف حزمة الإلكتروناتنغيّر جهد التسريع وجهد الانحراف وأبعاد اللوحين، نراقب المسار على شكل قطع مكافئ والنقطة على الشاشة، ونعرض المقارنة مع القذف الأفقي.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#deflect

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#deflect

تطبيقات: مدفع الإلكترونات وراسم الإشارات – יישומים: תותח אלקטרונים ואוסצילוסקופ:

مدفع الإلكترونات (תותח אלקטרונים): هو جهاز ينتج حزمة رفيعة من الإلكترونات السريعة. سلك تسخين يسخّن المهبط (קתודה)، فتنطلق منه إلكترونات (انبعاث حراري). جهد تسريع كبير بين المهبط والمصعد (אנודה) يسرّع الإلكترونات، فتخرج من ثقب في المصعد كحزمة سرعتها v = 2·e·V_am_e.

راسم الإشارات (الأوسيلوسكوب) (אוסצילוסקופ): هو جهاز يعرض فرق جهد متغيّرا كدالّة للزمن على شاشة. في الصورة الكلاسيكية: مدفع إلكترونات، زوجان من لوحي الانحراف، وشاشة مطلية بمادّة تتوهّج حيث تصطدم بها الحزمة، كلّها داخل أنبوب مفرّغ من الهواء.

أنبوب راسم الإشارات: المهبط والمصعد (مدفع الإلكترونات)، لوحا Y للانحراف العمودي، لوحا X للانحراف الأفقي (عموديان على مستوى الرسم)، والشاشة

لوحا Y (أفقيان) يحرفان الحزمة إلى الأعلى أو إلى الأسفل. نصل إليهما فرق الجهد الذي نريد قياسه. رأينا أنّ الانحراف على الشاشة يتناسب طرديا مع جهد الانحراف، ولذلك تصبح الشاشة «مسطرة» للجهد.
لوحا X (عموديان) يحرفان الحزمة أفقيا. نصل إليهما جهد مسح على شكل «سنّ المنشار»: يزداد بانتظام مع الزمن ثم يعود فجأة إلى بدايته. هكذا تتحرّك النقطة على الشاشة من اليسار إلى اليمين بسرعة ثابتة، فيصبح المحور الأفقي محور زمن.
عندما يعمل اللوحان معا ترسم النقطة على الشاشة الجهد كدالّة للزمن. هذه هي فكرة راسم الإشارات.

جهد المسح على لوحي X: يزداد خطّيا خلال الزمن T ثم يعود فورا إلى الصفر

مثال 2.15

في راسم إشارات أبعاده كما في مثال الانحراف (V_a = 1500 V)، حسبنا أنّ جهد انحراف 120 V يحرف النقطة 3 cm على الشاشة. نحسب حساسية الجهاز (الانحراف لكلّ ڤولط)، وجهد الانحراف الذي يحرف النقطة 1.5 cm.

الحل:

الانحراف يتناسب طرديا مع جهد الانحراف، فالحساسية ثابتة:

S = YV_d = 30 mm120 V = 0.25 mm/V

V_d = YS = 150.25 = 60 V

S = 0.25 mm/V , V_d = 60 V

ملاحظة: اليوم حلّ محلّ أنبوب راسم الإشارات جهاز رقميّ وشاشة مسطّحة، لكنّ مبدأ مدفع الإلكترونات ما زال يعمل في المجهر الإلكتروني، في أنبوب الأشعّة السينية في المستشفى، وفي مسرّعات الجسيمات.

أهمّ أفكار الفصل:

الحقل الكهروستاتيكي حقل حافظ: شغل القوّة الكهربائية بين نقطتين لا يتعلّق بالمسار، ولذلك نستطيع أن نعرّف طاقة كهربائية وضعية وجهدا.
الجهد صفة للنقطة في الحقل — طاقة وضعية لكلّ وحدة شحنة — وهو مقدار قياسي يُجمع جمعا عاديا بلا اتّجاهات، وهذه ميزته الكبرى على الحقل.
الشحنة الموجبة تتحرّك من تلقاء نفسها نحو الجهد المنخفض، والشحنة السالبة نحو الجهد العالي؛ وفي الحالتين تقلّ الطاقة الوضعية.
كلّ نقاط الموصل في الاتّزان الكهروستاتيكي لها الجهد نفسه، وخطوط الحقل تخرج عمودية على سطحه وعلى كلّ سطح متساوي الجهد.
الحقل يتّجه دائما من الجهد العالي إلى الجهد المنخفض، وهو قويّ حيث تتقارب السطوح متساوية الجهد ويتغيّر الجهد بسرعة.
شحنة تتسارع في فرق جهد تكتسب طاقة حركية تساوي شحنتها مضروبة في فرق الجهد، بلا تعلّق بالمسافة؛ وحركة حزمة بين لوحين هي «قذف أفقي» كهربائي.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
فرق الجهد وشغل القوّة الكهربائية	V_AB = V_A − V_B = W_Eq
الطاقة الوضعية والشغل	ΔU_E = −W_E = q·(V_B − V_A)
الطاقة الوضعية في نقطة جهدها V	U_E = q·V
جهد شحنة نقطية	V = k·qr
جهد مجموعة من الشحنات	V = Σk·q_ir_i
الطاقة الوضعية لشحنتين	U_E = k·q₁·q₂r
جهد كرة موصلة (على السطح وداخلها)	V = k·QR
توزيع الشحنة بين كرتين موصولتين	Q′₁R₁ = Q′₂R₂
فرق الجهد في حقل متجانس	V = E·d
تسريع شحنة من السكون	12·m·v² = q·V
الانحراف بين لوحين	y₁ = V_d·L²4·d·V_a
الإلكترون ڤولط	1 eV = 1.6·10⁻¹⁹ J

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
القوّة الحافظة	כוח משמר	Conservative force
الحقل الحافظ	שדה משמר	Conservative field
الطاقة الكهربائية الوضعية	אנרגיה פוטנציאלית חשמלית	Electric potential energy
الجهد الكهربائي	פוטנציאל חשמלי	Electric potential
فرق الجهد · الجهد	הפרש פוטנציאלים · מתח	Potential difference · Voltage
ڤولط	וולט	Volt
شحنة الاختبار	מטען בוחן	Test charge
مبدأ التراكب	עקרון הסופרפוזיציה	Superposition principle
الاتّزان الكهروستاتيكي	שיווי משקל אלקטרוסטטי	Electrostatic equilibrium
التأريض	הארקה	Grounding (earthing)
تيار عابر	זרם חולף	Transient current
سطح متساوي الجهد	משטח שווה-פוטנציאל	Equipotential surface
حقل متجانس	שדה אחיד	Uniform field
تسريع	האצה	Acceleration
انحراف الحزمة	הטיה (הסחה) של אלומה	Beam deflection
مدفع الإلكترونات	תותח אלקטרונים	Electron gun
المهبط · المصعد	קתודה · אנודה	Cathode · Anode
راسم الإشارات (الأوسيلوسكوب)	אוסצילוסקופ	Oscilloscope
إلكترون ڤولط	אלקטרון-וולט	Electron-volt

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 2.1) في حقل متجانس شدّته 3000 N/C تنتقل شحنة q = −2 μC من A إلى B مسافة 10 cm في اتّجاه الحقل.
(أ) احسبوا شغل القوّة الكهربائية.
(ب) احسبوا التغيّر في الطاقة الوضعية وفرق الجهد V_AB.
(ج) هل تتحرّك الشحنة من A إلى B من تلقاء نفسها؟

الإجابات: W_E = −6·10⁻⁴ J ، ΔU_E = +6·10⁻⁴ J ، V_AB = 300 V ؛ لا

(للبند 2.1) شحنة نقطية Q = −3 nC. النقطة A على بُعد 45 cm منها والنقطة B على بُعد 15 cm.
(أ) احسبوا الجهد في النقطتين.
(ب) احسبوا شغل القوّة الكهربائية على بروتون ينتقل من A إلى B، وفسّروا إشارة الشغل.

الإجابات: V_A = −60 V ، V_B = −180 V ، W_E = 1.92·10⁻¹⁷ J (موجب: التجاذب)

(للبند 2.1) كرة موصلة نصف قطرها 5 cm مشحونة بالشحنة +2 nC.
(أ) احسبوا جهد الكرة.
(ب) احسبوا الجهد في نقطة على بُعد 20 cm من مركزها.
(ج) ماذا يصبح جهد الكرة إذا أرّضناها؟

الإجابات: V = 360 V ، V(20 cm) = 90 V ؛ صفر — التأريض يفرّغ الكرة

(للبند 2.2) إلكترون يتسارع من السكون في فرق جهد 4500 V.
(أ) ما طاقته الحركية بالإلكترون ڤولط وبالجول؟
(ب) ما سرعته النهائية؟

الإجابات: 4500 eV = 7.2·10⁻¹⁶ J ، v = 3.98·10⁷ m/s

تمارين تلخيصية:

في رؤوس مربّع طول ضلعه 30 cm الشحنات +3 nC ، +3 nC ، +3 nC و −1 nC.
(أ) احسبوا الجهد في مركز المربّع O.
(ب) لماذا لا يتعلّق الجواب بترتيب الشحنات على الرؤوس؟

الإجابات: V_O = 339.4 V ؛ الجهد مقدار قياسي والأبعاد كلّها متساوية

كرة موصلة نصف قطرها 20 cm جهدها 900 V.
(أ) احسبوا شحنتها.
(ب) شدّة الحقل على سطحها.
(ج) الجهد على بُعد 60 cm من مركزها.
(د) ما شدّة الحقل في مركزها؟

الإجابات: Q = 2·10⁻⁸ C ، E = 4500 V/m ، V = 300 V ؛ صفر

كرة موصلة نصف قطرها 4 cm وشحنتها +9 nC، وكرة نصف قطرها 8 cm وشحنتها +3 nC، بعيدتان. نصلهما بسلك رفيع.
(أ) احسبوا شحنة كلّ كرة والجهد المشترك بعد الوصل.
(ب) ما الشحنة التي انتقلت، وفي أيّ اتّجاه؟

الإجابات: Q′₁ = 4 nC ، Q′₂ = 8 nC ، V = 900 V ؛ انتقلت 5 nC من الكرة الصغيرة إلى الكبيرة

في الرسم خطوط متساوية الجهد لحقل متجانس، والبُعد بين كلّ خطّين متجاورين 2 cm.
(أ) ما شدّة الحقل واتّجاهه؟
(ب) ما شغل القوّة الكهربائية على شحنة +3 μC تنتقل من A إلى B؟
(ج) وما الشغل من A إلى C؟

الإجابات: E = 500 V/m نحو اليمين (نحو انخفاض الجهد) ؛ W_AB = 9·10⁻⁵ J ؛ من A إلى C صفر

إلكترون يدخل بسرعة أفقية 2·10⁷ m/s في منتصف المسافة بين لوحين طولهما 4 cm والبُعد بينهما 2 cm، وبينهما فرق جهد 100 V (اللوح العلوي موجب).
(أ) احسبوا زمن المكوث بين اللوحين.
(ب) الانحراف عند الخروج وزاوية الخروج.
(ج) إلى أيّ جهة ينحرف الإلكترون؟

الإجابات: t = 2·10⁻⁹ s ، y₁ = 1.76 mm ، θ = 5° ؛ إلى الأعلى نحو اللوح الموجب

تمارين تعمّق:

(*) ثلاث شحنات متساوية q = +1 μC في رؤوس مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 10 cm. ما الشغل الخارجي اللازم لتجميعها من مسافات كبيرة جدّا؟ (تلميح: نجمع الطاقة الوضعية للأزواج الثلاثة.)

الإجابات: W_ext = U_E = 0.27 J

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

2.1 V_B − V_A = 20 V ، ΔU_E = 3.2·10⁻¹⁸ J ؛ لا، يلزم شغل خارجي

2.2 على بُعد 0.4 m و 1.2 m من q₁ ؛ لا، الحقل فيهما ليس صفرا

2.3 v = 9.29·10⁶ m/s

2.4 Q_max = 3.33·10⁻⁶ C ، V_max = 3·10⁵ V

2.5 +3 nC لكلّ منهما ؛ 4 nC و 12 nC

2.6 W_E = −3·10⁻⁵ J ؛ صفر

2.7 V = 20 V ؛ E = 2000 V/m

2.8 E_k = 3.2·10⁻¹⁶ J ، v = 3.1·10⁵ m/s

2.9 V = 45.5 V

2.10 2.18·10⁻¹⁸ J ؛ 13.6 V

2.11 Y = 1.5 cm (النصف): الحزمة الأسرع تمكث زمنا أقصر بين اللوحين

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 2

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الكهرومغناطيسية (אלקטרומגנטיות — 36371)، بالنسخة العربية الرسمية للامتحان (2019–2026). تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 2 — غلافان كرويّان مشحونان — الجهد، حفظ الشحنة وانتقال الإلكترونات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	الشحنة على الغلاف أ	Q₁ = +2·10⁻⁹ C = 2 nC — شحنة موجبة
ب	السرعة الابتدائيّة الدنيا للبروتون	v₀ = 1.86·10⁵ m/s
ج	توزيع الشحنة بعد زمن طويل من الوصل	Q₁′ = 1.71 nC موجبة · Q₂′ = 10.29 nC موجبة · كلتاهما عند جهد 154.3 V
د	اتّجاه حركة الإلكترونات وعددها	الإلكترونات انتقلت من الغلاف ب إلى الغلاف أ · n = 1.79·10⁹ إلكترون
هـ	لماذا نحتاج إلى مسافة كبيرة بين الغلافين	فقط عند مسافة كبيرة لا توجد مساهمة متبادلة في الجهد ولا حثّ شحنات، ولذلك تبقى الكثافة منتظمة ويكون شرط تساوي الجهدين صالحًا

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 2 — شحنتان موجبتان على المحور y — حقل، جهد وسطوح تساوي الجهد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ		E = k(Q − q) مقسومًا على d² · الاتّجاه إلى الأسفل، في الاتّجاه السالب للمحور y
ب		لا، لا توجد نقطة كهذه · الشحنتان موجبتان ولذلك حدّا الجهد موجبان تمامًا في كلّ نقطة منتهية
ج	حساب الشحنة q من رسم سطوح الجهد	q ≈ 2.2·10⁻¹⁰ C ≈ 0.2 nC
د		v_B = 6.2·10⁶ m/s · البوزيترون يتسارع لأنّه يتحرّك من جهد عالٍ إلى جهد منخفض
هـ		الاتّجاه 2 · إلى اليمين وإلى الأسفل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 1 — كرة موصلة مشحونة — خطوط تساوي الجهد وحركة أجسام مشحونة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	المسافة AO	AO = 0.54 m = 54 cm
ب		E(A) = 9.26·10⁴ V/m · الاتّجاه قطريّ نحو الخارج، على المستقيم OA وامتداده
ج		E(P) = 0 · V(P) = 90,000 V
د		v(B) = 1.28 m/s
هـ	مقارنة بين المسافة AC والمسافة AB	AC = 9 cm أصغر من AB = 13.5 cm · والسبب هو تراصّ أكبر لخطوط تساوي الجهد قرب الكرة

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 1 — شحنة نقطيّة بجانب لوح لانهائيّ مشحون — حقل، جهد ونوع الحركة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تعبير للحقل على طول المحور x	E(x) = kQ/x² + σ/(2ε₀) ، في الاتّجاه الموجب للمحور x
ب	استخراج σ و Q من الرسم	σ = 3.0·10⁻⁸ C/m² · Q = 2.0·10⁻⁷ C
ج	نوع الحركة على بعد كبير	الادّعاء 1 صحيح · على بعد كبير يبقى فقط حقل اللوح المتجانس، ولذلك تكون القوّة ثابتة والحركة منتظمة التسارع تقريبًا
د	فرق الجهد بين x = d و x = 2d	V(d) − V(2d) ≈ 7.0·10³ V
هـ	إزاحة اللوح إلى x = d/2	فرق الجهد لا يتغيّر · حقل اللوح اللانهائيّ متجانس ولا يتعلّق بالمسافة عنه، والشحنة النقطيّة لم تُزَح

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 2 — حقل وجهد لشحنتين · ورسم بيانيّ للجهد على طول محور

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	الحقل المحصّل في الرأس C	E = 1.73·10³ V/m · الاتّجاه عموديّ على الضلع AB، من منتصف AB عبر C وما بعدها
ب	الجهد في الرأس C	V(C) = 1200 V
ج		نعم — في منتصف القطعة AB · هناك E = 0 لكن V = 2400 V
د	الرسم البيانيّ للحقل الكهربائيّ على طول محور الـ x	0–2 cm: E = −300 V/m · 2–4 cm: E = 0 · 4–8 cm: E = +150 V/m
هـ	في أيّ اتّجاه يتحرّك الجسيم	يتحرّك الجسيم في الاتّجاه السالب لمحور الـ x
و	كتلة الجسيم	m = 3·10⁻³ kg = 3 غرامات

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2019 السؤال 1 — شحنتان متعاكستان · صورة خطوط الحقل والجهد والطاقة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تعريف خطّ الحقل الكهربائيّ	خطّ الحقل الكهربائيّ هو منحنٍ يعطي المماسّ له في كلّ نقطة اتّجاه الحقل الكهربائيّ في تلك النقطة، وكثافة الخطوط تمثّل مقدار شدّة الحقل
ب	لماذا الشحنتان متساويتان في القيمة المطلقة	عدد الخطوط الخارجة من الشحنة 1 يساوي عدد الداخلة إلى الشحنة 2، والصورة متناظرة بالنسبة إلى العمود المنصّف — ولذلك \|q₁\| = \|q₂\|
ج1		لا، شدّة الحقل في A ليست صفرًا. E(A) = 2·10⁵ V/m باتّجاه من الشحنة 1 نحو الشحنة 2
ج2		نعم، الجهد في النقطة A يساوي صفرًا. الجهد قياسيّ، والمساهمتان متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الإشارة
د		القوّة موازية للمستقيم الواصل بين الشحنتين وتشير من جهة الشحنة 2 نحو الشحنة 1
هـ	أين الحقل أقوى — في A أم في C	شدّة الحقل أكبر في النقطة C، لأنّها قريبة من الشحنة 1 وكثافة خطوط الحقل هناك أكبر بكثير
و	الطاقة الوضعية لمنظومة الشحنتين	U = −1.5·10⁻⁵ J

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2019 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 7 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)