الفصل 3

المكثّفات

קבלים

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 8 ساعات تعليمية

رأينا في الفصل الثاني أنّ جهد موصل مشحون يتناسب مع شحنته. في هذا الفصل نقلب السؤال: كم شحنة يستطيع موصل أن يحمل عند جهد معيّن؟ نتعرّف على المكثّف: عنصر مبنيّ من موصلين متقابلين، يخزّن شحنة وطاقة، ونجده في كلّ جهاز إلكتروني تقريبا — في فلاش آلة التصوير، في ذاكرة الحاسوب، في الشاشة اللمسية وفي جهاز إزالة الرجفان. نحسب سعة مكثّف اللوحين وتأثير المادّة العازلة، نصل مكثّفات على التوازي وعلى التوالي، ونحسب الطاقة المخزّنة في الحقل الكهربائي بين اللوحين. وفي نهاية الفصل نجيب عن سؤال يحبّه واضعو امتحانات البجروت: ماذا يحدث للشحنة، للجهد وللطاقة عندما نغيّر البُعد بين اللوحين — عندما يكون المكثّف مفصولا عن الدائرة، وعندما يكون موصولا بالمصدر؟

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف السعة الكهربائية والفاراد، ونحسب سعة كرة موصلة وسعة مكثّف اللوحين C = ε₀·Ad.
نشرح كيف يشحن المصدر المكثّف، ولماذا الشحنة الكلّية للمكثّف صفر في كلّ لحظة.
نحسب تأثير المادّة العازلة على السعة وعلى الحقل بين اللوحين.
نحسب السعة المكافئة لمكثّفات موصولة على التوازي وعلى التوالي، والشحنة والجهد على كلّ مكثّف.
نحسب الطاقة المخزّنة في المكثّف U = 12·C·V² ونتتبّع تحوّلاتها.
نحسب قوّة التجاذب بين اللوحين، ونحلّل إبعاد اللوحين وتقريبهما في مكثّف مفصول وفي مكثّف موصول بالمصدر، مع الشغل الخارجي وميزان الطاقة.
نصف نوعيا شحن المكثّف وتفريغه عبر مقاوِم، ونتعرّف على استعمالات المكثّفات.

קיבול וקבל לוחות – السعة ومكثّف اللوحين (Capacitance and the Parallel-Plate Capacitor)

السعة الكهربائية لموصل – קיבול חשמלי:

رأينا في الفصل الثاني أنّ جهد كرة موصلة مشحونة هو V = k·QR: الجهد يتناسب طرديا مع الشحنة. هذا صحيح لكلّ موصل معزول، مهما كان شكله: إذا ضاعفنا الشحنة تتضاعف شدّة الحقل في كلّ نقطة، ويتضاعف الجهد. لذلك خارج القسمة QV ثابت للموصل، ويصف «قدرته على استيعاب الشحنة».

السعة الكهربائية (קיבול חשמלי): السعة الكهربائية لموصل هي خارج قسمة شحنته على جهده: C = QV. هي الشحنة اللازمة لرفع جهد الموصل ڤولطا واحدا، وتتعلّق بشكل الموصل وأبعاده وبالوسط المحيط به، ولا تتعلّق بالشحنة ولا بالجهد.

لكرة موصلة: C = QV = Qk·QR، أي:

سعة كرة موصلة معزولة · קיבול של כדור מוליך

C = Rk

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C	سعة الكرة	[F]
R	نصف قطر الكرة	[m]
k	ثابت كولون	[N·m²/C²]

مثال 3.1

نحسب سعة كرة موصلة نصف قطرها 10 cm، والشحنة اللازمة لرفع جهدها إلى 1000 V. ثم نحسب سعة الكرة الأرضية (نصف قطرها 6.4·10⁶ m) لو اعتبرناها كرة موصلة معزولة.

الحل:

C = Rk = 0.19·10⁹ = 1.11·10⁻¹¹ F = 11.1 pF

Q = C·V = 1.11·10⁻¹¹ · 1000 = 1.11·10⁻⁸ C

سعة الأرض:

C_earth = 6.4·10⁶9·10⁹ = 7.11·10⁻⁴ F = 711 μF

حتى الكرة الأرضية الضخمة سعتها أقلّ من واحد بالألف من الفاراد. سنرى أنّ الفاراد وحدة كبيرة جدّا.

C = 11.1 pF , C_earth = 711 μF

ملاحظة: السعة تعطي طريقة ثانية لفهم توزيع الشحنة بين كرتين موصولتين (الفصل الثاني): لهما الجهد نفسه، ولذلك تتوزّع الشحنة بنسبة السعتين، Q′₁Q′₂ = C₁C₂ = R₁R₂.

الفاراد – פרד:

وحدة السعة هي الفاراد (פרד)، على اسم العالم الإنجليزي مايكل فاراداي:

1 F = 1 C1 V

سعة مقدارها فاراد واحد تعني أنّ شحنة كولون واحد ترفع الجهد ڤولطا واحدا فقط — وهذه سعة ضخمة. السعات في الأجهزة العملية صغيرة، ولذلك نستعمل البادئات:

الوحدة	الرمز	القيمة بالفاراد	مثال
ميكروفاراد	μF	10⁻⁶ F	مكثّف في مصدر فرق جهد لحاسوب
نانوفاراد	nF	10⁻⁹ F	مكثّف في دائرة صوتية
بيكوفاراد	pF	10⁻¹² F	مكثّف في جهاز راديو، سعة كرة صغيرة

المكثّف – הקבל:

المكثّف (קבל): هو عنصر مكوّن من موصلين قريبين أحدهما من الآخر، يفصل بينهما عازل (هواء أو مادّة عازلة). عند الشحن يحمل أحد الموصلين شحنة +Q والآخر شحنة −Q. سعة المكثّف هي C = QV، حيث Q مقدار الشحنة على أحد الموصلين و V فرق الجهد بينهما.

شحن مكثّف بمصدر فرق جهد: المصدر ينقل الإلكترونات من اللوح العلوي إلى اللوح السفلي

في مخطّط الدائرة الكهربائية نرسم المكثّف كخطّين متوازيين متساويين. لكي نشحنه نصله بمصدر فرق جهد: المصدر يسحب إلكترونات من اللوح الموصول بقطبه الموجب، ويدفع العدد نفسه إلى اللوح الموصول بقطبه السالب. الشحنة الكلّية للمكثّف تبقى صفرا، لكنّ بين لوحيه فرق جهد. يتوقّف انتقال الإلكترونات عندما يصبح فرق الجهد بين اللوحين مساويا لجهد المصدر.

لماذا موصلان وليس موصل واحد؟ الشحنة السالبة القريبة على اللوح الثاني «تخفض» جهد اللوح الأوّل، فنستطيع أن نضع عليه شحنة أكبر بكثير بفرق الجهد نفسه. لذلك سعة المكثّف أكبر بكثير من سعة موصل وحيد بالحجم نفسه.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ المكثّف المشحون يخزّن شحنة كلّية. الصحيح أنّ الشحنة الكلّية للمكثّف صفر في كلّ لحظة: على أحد اللوحين +Q وعلى الآخر −Q، والمصدر لا يضيف شحنة إلى المكثّف بل ينقلها من لوح إلى لوح. الذي يخزّنه المكثّف فعلا هو طاقة في الحقل الكهربائي بين لوحيه، وسنحسبها في البند 3.2.

مكثّف اللوحين المتوازيين – קבל לוחות:

مكثّف اللوحين هو أبسط مكثّف: لوحان معدنيان متوازيان، مساحة كلّ منهما A، والبُعد بينهما d صغير مقارنة بأبعاد اللوحين. رأينا في الفصل الأوّل (قانون غاوس) أنّ الحقل بين اللوحين متجانس، وشدّته تتعلّق بكثافة الشحنة السطحية σ = QA:

مكثّف لوحين: الحقل بين اللوحين متجانس (ما عدا قرب الطرفين)، وخارجهما يكاد يكون صفرا

E = σε₀ = Qε₀·A

V = E·d = Q·dε₀·A

C = QV = ε₀·Ad

سعة مكثّف اللوحين المتوازيين · קיבול של קבל לוחות

C = ε₀·Ad

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C	سعة المكثّف	[F]
A	مساحة كلّ لوح (المساحة المتقابلة)	[m²]
d	البُعد بين اللوحين	[m]
ε₀	عازلية الفراغ: 8.85·10⁻¹² C²/(N·m²)	[F/m]

السعة تتناسب طرديا مع مساحة اللوحين: لوحان أكبر يتّسعان لشحنة أكبر بالكثافة نفسها. وتتناسب عكسيا مع البُعد بينهما: عند البُعد الأصغر تكفي شدّة الحقل نفسها لفرق جهد أصغر. ولهذا تُصنع المكثّفات العملية من شرائط رقيقة طويلة ملفوفة، يفصل بينها عازل رقيق جدّا.

مثال 3.2

مكثّف لوحين في الهواء، مساحة كلّ لوح 200 cm² والبُعد بينهما 1 mm، موصول بمصدر فرق جهد 50 V. نحسب السعة، الشحنة، شدّة الحقل بين اللوحين، والكثافة السطحية للشحنة.

الحل:

نحوّل إلى وحدات SI: A = 200 cm² = 0.02 m² ، d = 10⁻³ m.

C = ε₀·Ad = 8.85·10⁻¹² · 0.0210⁻³ = 1.77·10⁻¹⁰ F = 177 pF

Q = C·V = 1.77·10⁻¹⁰ · 50 = 8.85·10⁻⁹ C

E = Vd = 5010⁻³ = 5·10⁴ V/m

σ = QA = 4.425·10⁻⁷ C/m²

نفحص: σε₀ = 4.425·10⁻⁷8.85·10⁻¹² = 5·10⁴ V/m — الشدّة نفسها.

C = 177 pF , Q = 8.85·10⁻⁹ C

سؤال 3.1: ما هي مساحة لوحي مكثّف في الهواء، البُعد بينهما 1 mm، لكي تكون سعته 1 F؟ قارنوا مع مساحة مدينة.

الشحنة (بالميكروكولون) كدالّة لفرق الجهد (بالڤولط) لمكثّفين: خطّان مستقيمان يمرّان بنقطة الأصل، والميل هو السعة. هنا C₁ = 2 μF و C₂ = 1 μF

مكثّف موصول بالمصدر أو مفصول عنه. عندما نغيّر أبعاد مكثّف مشحون يجب أن نسأل أوّلا: ما الذي يبقى ثابتا؟ إذا بقي موصولا بالمصدر فالجهد ثابت (جهد المصدر). وإذا فُصل عن المصدر قبل التغيير فلا طريق للشحنة لتغادر اللوحين، والشحنة ثابتة.

مثال 3.3

نضاعف البُعد بين لوحي المكثّف من المثال السابق (C = 177 pF ، V = 50 V). نحسب السعة، الشحنة، الجهد وشدّة الحقل الجديدة في حالتين:
أ. المكثّف ما زال موصولا بالمصدر.
ب. فصلنا المكثّف عن المصدر قبل إبعاد اللوحين.

الحل:

في الحالتين السعة تقلّ إلى النصف: C′ = ε₀·A2·d = 88.5 pF.

أ. الجهد ثابت 50 V:

Q′ = C′·V = 4.425·10⁻⁹ C

E′ = V2d = 2.5·10⁴ V/m

الشحنة قلّت إلى النصف: نصفها عاد إلى المصدر. والحقل ضعف.

ب. الشحنة ثابتة 8.85·10⁻⁹ C:

V′ = QC′ = 2·V = 100 V

E′ = V′2d = 1002·10⁻³ = 5·10⁴ V/m

الجهد تضاعف، أمّا الحقل فلم يتغيّر: هو يتعلّق بكثافة الشحنة Qε₀·A فقط، وهي لم تتغيّر.

المقدار	موصول بالمصدر (V ثابت)	مفصول عن المصدر (Q ثابت)
السعة C	تقلّ إلى النصف	تقلّ إلى النصف
الشحنة Q	تقلّ إلى النصف	لا تتغيّر
الجهد V	لا يتغيّر	يتضاعف
شدّة الحقل E	تقلّ إلى النصف	لا تتغيّر

ثابت العزل الكهربائي والمادّة العازلة – הקבוע הדיאלקטרי וחומר דיאלקטרי:

عندما نملأ الحيّز بين لوحي المكثّف بمادّة عازلة بدل الهواء تزداد السعة. وُجد بالتجربة أنّ السعة تزداد بنسبة ثابتة تميّز المادّة:

المادّة العازلة (الديالكتريك) (חומר דיאלקטרי): هي مادّة لا توصل الكهرباء، نضعها بين لوحي المكثّف. ثابت العزل الكهربائي ε_r (הקבוע הדיאלקטרי) للمادّة هو النسبة بين سعة المكثّف المملوء بها وسعته في الفراغ. هو عدد بلا وحدات، أكبر من 1.

سعة مكثّف لوحين بمادّة عازلة · קבל עם חומר דיאלקטרי

C = ε_r·ε₀·Ad

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ε_r	ثابت العزل الكهربائي للمادّة (في الفراغ 1، وفي الهواء تقريبا 1)	—

المادّة	ثابت العزل ε_r (تقريبي)
الفراغ	1
الهواء	1.0006
التفلون	2.1
الورق	3.5
الزجاج	5 إلى 10
الميكا	6
الماء النقي	80

تفسير نوعي. في المادّة العازلة لا توجد شحنات حرّة، لكنّ الحقل يُزيح قليلا الإلكترونات في كلّ ذرّة أو جزيء نحو اللوح الموجب، والشحنة الموجبة نحو اللوح السالب: الجزيئات تستقطب. داخل المادّة تُلغي الشحنات المتجاورة بعضها بعضا، لكن على الوجه المقابل للّوح الموجب تبقى طبقة من الشحنة السالبة، وعلى الوجه المقابل للّوح السالب طبقة موجبة. هذه الشحنات المقيّدة تنشئ حقلا معاكسا يُضعف الحقل داخل المادّة. لذلك، لكي نحصل على فرق الجهد نفسه، يجب أن ندفع إلى اللوحين شحنة أكبر — والسعة أكبر.

استقطاب المادّة العازلة بين لوحين: الشحنات المقيّدة على وجهي المادّة تُضعف الحقل داخلها من E₀ إلى E = E₀ε_r

ملاحظة: للمادّة العازلة فائدتان أخريان: هي تسمح بوضع اللوحين قريبين جدّا دون أن يتلامسا، وهي تحتمل حقلا أقوى من الهواء قبل أن تحدث فيها شرارة. لذلك يُكتب على كلّ مكثّف عمليّ، بالإضافة إلى سعته، أكبر جهد مسموح به.

مثال 3.4

نملأ الحيّز بين لوحي المكثّف من مثال اللوحين (C₀ = 177 pF) بالميكا، ε_r = 6.
أ. ما السعة الجديدة، وما الشحنة إذا بقي موصولا بمصدر 50 V؟
ب. لو شحنّاه أوّلا إلى 50 V ثم فصلناه عن المصدر وبعد ذلك أدخلنا الميكا، ما الجهد بين اللوحين؟

الحل:

C = ε_r·C₀ = 6 · 177 = 1062 pF

Q = C·V = 1.062·10⁻⁹ · 50 = 5.31·10⁻⁸ C

ب. المكثّف مفصول، فالشحنة ثابتة Q₀ = 8.85·10⁻⁹ C، والسعة ازدادت ستّ مرّات:

V = Q₀C = Q₀ε_r·C₀ = 506 = 8.33 V

الجهد قلّ بالنسبة نفسها التي ضعف بها الحقل داخل المادّة العازلة.

C = 1062 pF , V = 8.33 V

▶تجربة حية — السعة ومكثّف اللوحيننغيّر مساحة اللوحين والبُعد بينهما وثابت العزل وجهد المصدر، نقرأ السعة والشحنة والطاقة، ونقارن بين مكثّف موصول بالمصدر ومكثّف مفصول عنه.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#cap

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#cap

חיבורי קבלים ואנרגיה – وصل المكثّفات والطاقة المخزّنة (Combinations of Capacitors and Stored Energy)

الوصل على التوازي – חיבור קבלים במקביל:

مكثّفان على التوازي: على كلّ منهما جهد المصدر V

في الوصل على التوازي (חיבור במקביל) كلّ المكثّفات موصولة بين العقدتين نفسيهما، ولذلك على كلّ منها الجهد نفسه V. كلّ مكثّف يأخذ شحنة حسب سعته، Q₁ = C₁·V و Q₂ = C₂·V، والشحنة الكلّية التي أعطاها المصدر هي مجموعهما:

Q = Q₁ + Q₂ = (C₁ + C₂)·V

السعة المكافئة على التوازي · קיבול שקול במקביל

C_eq = C₁ + C₂ + C₃ + ...

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C_eq	السعة المكافئة: سعة مكثّف واحد يأخذ من المصدر الشحنة الكلّية نفسها	[F]

الوصل على التوازي يشبه تكبير مساحة اللوحين: السعة المكافئة أكبر من كلّ واحد من المكثّفات.

مثال 3.5

مكثّفان سعتاهما 2 μF و 6 μF موصولان على التوازي بمصدر 12 V. نحسب السعة المكافئة، شحنة كلّ مكثّف، والشحنة الكلّية.

الحل:

C_eq = C₁ + C₂ = 2 + 6 = 8 μF

الجهد على كلّ مكثّف 12 V:

Q₁ = C₁·V = 2·10⁻⁶ · 12 = 24 μC

Q₂ = C₂·V = 6·10⁻⁶ · 12 = 72 μC

Q = C_eq·V = 8·10⁻⁶ · 12 = 96 μC

نفحص: 24 + 72 = 96 μC. المكثّف الكبير يأخذ الشحنة الكبيرة.

C_eq = 8 μF , Q = 96 μC

الوصل على التوالي – חיבור קבלים בטור:

مكثّفان على التوالي: الشحنة نفسها على كلّ مكثّف، وجهد المصدر يتوزّع بينهما

في الوصل على التوالي (חיבור בטור) المكثّفات موصولة الواحد بعد الآخر. اللوح الأيمن للمكثّف الأوّل واللوح الأيسر للمكثّف الثاني والسلك بينهما جزء معزول، شحنته الكلّية صفر. عندما يأخذ المصدر شحنة +Q إلى اللوح الأوّل، تنفصل في الجزء المعزول شحنتان −Q و +Q. لذلك على كلّ المكثّفات الشحنة نفسها Q، وجهد المصدر يتوزّع بينها:

V = V₁ + V₂ = QC₁ + QC₂

VQ = 1C₁ + 1C₂

السعة المكافئة على التوالي · קיבול שקול בטור

1C_eq = 1C₁ + 1C₂ + 1C₃ + ...

C_eq = C₁·C₂C₁ + C₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C_eq	السعة المكافئة (الصيغة الثانية لمكثّفين فقط)	[F]

الوصل على التوالي يشبه زيادة البُعد بين اللوحين: السعة المكافئة أصغر من أصغر المكثّفات. والمكثّف ذو السعة الأصغر يأخذ الجهد الأكبر.

انتبهوا: قوانين وصل المكثّفات «معكوسة» مقارنة بقوانين وصل المقاوِمات التي سنتعلّمها في الفصل الرابع: على التوازي تُجمع السعات نفسها، وعلى التوالي تُجمع مقلوباتها.

مثال 3.6

مكثّفان سعتاهما 3 μF و 6 μF موصولان على التوالي بمصدر 12 V. نحسب السعة المكافئة، الشحنة، والجهد على كلّ مكثّف.

الحل:

C_eq = C₁·C₂C₁ + C₂ = 3 · 63 + 6 = 2 μF

Q = C_eq·V = 2·10⁻⁶ · 12 = 24 μC

الشحنة نفسها على كلّ مكثّف:

V₁ = QC₁ = 24·10⁻⁶3·10⁻⁶ = 8 V

V₂ = QC₂ = 24·10⁻⁶6·10⁻⁶ = 4 V

نفحص: 8 + 4 = 12 V. المكثّف الصغير أخذ الجهد الأكبر.

C_eq = 2 μF , V₁ = 8 V , V₂ = 4 V

مثال 3.7

في الدائرة المرسومة: C₁ = 4 μF ، C₂ = 2 μF ، C₃ = 10 μF، وجهد المصدر 18 V. نحسب السعة المكافئة، وشحنة كلّ مكثّف وجهده.

الحل:

نبدأ من الداخل: C₂ و C₃ على التوازي، وهما معا على التوالي مع C₁:

C₂₃ = C₂ + C₃ = 2 + 10 = 12 μF

C_eq = C₁·C₂₃C₁ + C₂₃ = 4 · 124 + 12 = 3 μF

Q₁ = Q = C_eq·V = 3·10⁻⁶ · 18 = 54 μC

الشحنة Q تمرّ كلّها في C₁، ثم تتوزّع بين C₂ و C₃ اللذين عليهما الجهد نفسه:

V₁ = QC₁ = 544 = 13.5 V

V₂₃ = 18 − 13.5 = 4.5 V

Q₂ = C₂·V₂₃ = 9 μC

Q₃ = C₃·V₂₃ = 45 μC

C_eq = 3 μF , Q₂ = 9 μC , Q₃ = 45 μC

سؤال 3.2: ثلاثة مكثّفات سعاتها 2 μF ، 3 μF و 6 μF. احسبوا السعة المكافئة عندما تكون موصولة على التوالي، وعندما تكون موصولة على التوازي. إذا وصلناها على التوالي بمصدر 24 V، ما الشحنة على كلّ منها؟

▶تجربة حية — وصل المكثّفاتنصل مكثّفين أو ثلاثة على التوالي أو على التوازي، نغيّر السعات وجهد المصدر، ونقرأ السعة المكافئة والشحنة والجهد والطاقة في كلّ مكثّف.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#capcomb

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#capcomb

طاقة الموصل المشحون والطاقة المخزّنة في المكثّف – האנרגיה של מוליך טעון והאגורה בקבל:

لكي نشحن مكثّفا يجب أن ننقل شحنة من لوح إلى آخر ضدّ فرق الجهد بينهما. في البداية فرق الجهد صفر والنقل سهل، ومع تراكم الشحنة يزداد فرق الجهد ويصبح نقل كلّ شحنة إضافية أصعب. الشغل اللازم لنقل شحنة صغيرة Δq عندما يكون الجهد V هو V·Δq، وهو مساحة شريط ضيّق تحت رسم الجهد كدالّة للشحنة. الشغل الكلّي هو المساحة تحت الرسم — مساحة مثلث:

الطاقة المخزّنة هي المساحة تحت رسم V كدالّة لـ Q: مساحة مثلث قاعدته Q وارتفاعه V

الطاقة المخزّنة في مكثّف · האנרגיה האגורה בקבל

U = 12·Q·V

U = 12·C·V² = Q²2·C

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U	الطاقة المخزّنة	[J]
Q	شحنة المكثّف	[C]
V	فرق الجهد بين لوحيه	[V]

هذه الطاقة هي طاقة كهربائية وضعية. أين تُخزَّن؟ يمكن أن نقول إنّها مخزّنة في الحقل بين اللوحين: حيث يوجد حقل توجد طاقة. والحساب نفسه يصلح لكلّ موصل مشحون، لأنّ جهده يتناسب مع شحنته. لكرة موصلة نصف قطرها R:

U = 12·Q·V = k·Q²2·R

للكرة الموصلة التي حسبنا جهدها في الفصل الثاني (شحنتها 5 nC وجهدها 450 V):

U = 12 · 5·10⁻⁹ · 450 = 1.125·10⁻⁶ J

طاقة صغيرة جدّا — والسبب أنّ سعة الكرة صغيرة.

مثال 3.8

جهاز إزالة الرجفان (דפיברילטור) يعيد نبض القلب بصدمة كهربائية من مكثّف سعته 20 μF، والطاقة المطلوبة 360 J. نحسب الجهد الذي يجب أن يُشحن إليه المكثّف، والشحنة التي يحملها.

الحل:

نعزل الجهد من صيغة الطاقة:

U = 12·C·V²

V = 2·UC = 2 · 36020·10⁻⁶ = 6000 V

Q = C·V = 20·10⁻⁶ · 6000 = 0.12 C

نفحص: U = 12·Q·V = 12 · 0.12 · 6000 = 360 J.

V = 6000 V , Q = 0.12 C

مثال 3.9

المكثّف من مثال اللوحين (C = 177 pF) شُحن إلى 50 V ثم فُصل عن المصدر. نحسب الطاقة المخزّنة فيه، والطاقة بعد أن نضاعف البُعد بين لوحيه. من أين جاء الفرق؟

الحل:

U₁ = 12·C·V² = 12 · 1.77·10⁻¹⁰ · 50² = 2.212·10⁻⁷ J

المكثّف مفصول، فالشحنة ثابتة والسعة تقلّ إلى النصف. نستعمل الصيغة التي فيها الشحنة:

C′ = C2

U₂ = Q²2·C′ = Q²C = 2·U₁ = 4.425·10⁻⁷ J

الطاقة تضاعفت. الفرق 2.212·10⁻⁷ J هو الشغل الذي بذلناه لإبعاد اللوحين: اللوحان مشحونان بشحنتين متعاكستين ويتجاذبان، وإبعادهما يحتاج إلى قوّة خارجية — شغلها يُخزَّن في الحقل الذي امتدّ على حجم أكبر.

U₁ = 2.212·10⁻⁷ J , U₂ = 4.425·10⁻⁷ J

مثال 3.10

مكثّف سعته 4 μF مشحون إلى 12 V. نفصله عن المصدر ونصله بمكثّف غير مشحون سعته 2 μF (لوح بلوح). نحسب الجهد المشترك بعد الوصل، والطاقة قبل الوصل وبعده.

الحل:

كما في الكرتين الموصولتين: الشحنة محفوظة، والجهد على المكثّفين يتساوى. هذا وصل على التوازي:

Q = C₁·V₁ = 4·10⁻⁶ · 12 = 48 μC

V′ = QC₁ + C₂ = 48·10⁻⁶6·10⁻⁶ = 8 V

U_before = 12 · 4·10⁻⁶ · 12² = 288 μJ

U_after = 12 · 6·10⁻⁶ · 8² = 192 μJ

ضاعت 96 μJ، ثلث الطاقة. أثناء انتقال الشحنة يمرّ تيار في الأسلاك فتسخن، وجزء صغير يُشعّ. الشحنة محفوظة، أمّا الطاقة الكهربائية فلا.

V′ = 8 V , ΔU = −96 μJ

سؤال 3.3: مكثّف سعته 470 μF مشحون إلى 25 V. ما الطاقة المخزّنة فيه؟ إلى أيّ جهد يجب أن نشحنه لكي تكون فيه طاقة أكبر بأربع مرّات؟

شحن المكثّف وتفريغه: نظرة نوعية – טעינה ופריקה של קבל — דיון איכותי:

دائرة شحن: مصدر، مفتاح، مقاوِم ومكثّف

نصل مكثّفا غير مشحون بمصدر فرق جهد ε عبر مقاوِم R، ونغلق المفتاح. في اللحظة الأولى لا شحنة على المكثّف وجهده صفر، فكلّ جهد المصدر على المقاوِم، والتيار أكبر ما يمكن. مع تراكم الشحنة يزداد جهد المكثّف، ويقلّ الجهد على المقاوِم، فيقلّ التيار ويبطؤ الشحن. عندما يقترب جهد المكثّف من ε يقترب التيار من الصفر: المكثّف مشحون.

جهد المكثّف أثناء الشحن يقترب من ε

التيار أثناء الشحن يقلّ من قيمة ابتدائية إلى الصفر

التفريغ. إذا فصلنا المصدر ووصلنا لوحي المكثّف المشحون بالمقاوِم، يمرّ تيار في الاتّجاه المعاكس، وجهد المكثّف وتياره يقلّان تدريجيا إلى الصفر، والطاقة المخزّنة تتحوّل إلى حرارة في المقاوِم (أو إلى ضوء في لمبة). الشحن والتفريغ ليسا فوريّين: سرعتهما تتعلّق بحاصل الضرب R·C، وهو ثابت الزمن (קבוע זמן) للدائرة. الوصف الكمّي للشحن والتفريغ، مع الصيغ الأسّية، في الفصل الرابع.

استعمالات المكثّفات – שימושים בקבלים:

الفلاش في آلة التصوير: بطّارية صغيرة تشحن المكثّف ببطء، والمكثّف يتفرّغ في اللمبة خلال جزء من الألف من الثانية فيعطي ضوءا قويّا.
جهاز إزالة الرجفان: طاقة مئات الجولات تُخزَّن في مكثّف وتُعطى للقلب في صدمة قصيرة.
مصادر فرق الجهد للأجهزة الإلكترونية: المكثّف يُشحن ويتفرّغ باستمرار فيُنعّم الجهد ويجعله شبه ثابت.
الشاشات اللمسية ولوحات المفاتيح: الإصبع أو ضغط المفتاح يغيّر السعة بين أقطاب صغيرة، والدائرة تكشف هذا التغيّر.
ذاكرة الحاسوب: كلّ خليّة ذاكرة من نوع معيّن هي مكثّف صغير جدّا: مشحون يمثّل «1» وغير مشحون يمثّل «0».
دوائر التوقيت: زمن الشحن عبر مقاوِم يحدّد متى تومض إشارة الانعطاف في السيارة أو متى ينطفئ ضوء الدرج.
الميكروفون المكثّفي: الصوت يحرّك غشاء رقيقا هو أحد لوحي مكثّف، فتتغيّر السعة مع الصوت.

سلامة: حتى مع الجهاز مفصولا عن الكهرباء، قد يبقى في مكثّفاته الكبيرة جهد خطير لفترة طويلة. لذلك لا نفتح مصدر فرق جهد أو تلفازا قديما ولا نلمس ما في داخله.

עבודה חיצונית ושינוי המרחק בין לוחות הקבל – الشغل الخارجي وتغيير البُعد بين لوحي المكثّف (External Work and Changing the Plate Separation)

رأينا في البند 3.1 أنّ سعة مكثّف اللوحين C = ε₀·Ad تتعلّق بأبعاده، وأنّ السؤال الأوّل في كلّ تغيير هو: ما الذي يبقى ثابتا — الشحنة أم الجهد؟ في هذا البند نكمل الصورة بسؤال الطاقة. اللوحان يحملان شحنتين متعاكستين، فهما يتجاذبان؛ لكي نُبعد (להרחיק) أحدهما عن الآخر يجب أن نؤثّر بقوّة خارجية وأن نبذل شغلا، ولكي نقرّبهما (לקרב) يجب أن نكبح. إلى أين يذهب الشغل الذي نبذله؟ الجواب مختلف في المكثّف المفصول وفي المكثّف الموصول بالمصدر — وهذا من الأسئلة المحبوبة في امتحان البجروت.

إبعاد اللوحين: قوّة خارجية F_ext ترفع اللوح العلوي ببطء ضدّ قوّة التجاذب F بين اللوحين، والبُعد يزداد بالمقدار Δd

قوّة التجاذب بين اللوحين – כוח המשיכה בין הלוחות:

كلّ لوح موجود في حقل اللوح الآخر فقط، فاللوح لا يؤثّر بقوّة على نفسه. حقل لوح واحد هو نصف الحقل الكلّي بين اللوحين: E_one = E2 = Q2·ε₀·A، ولذلك القوّة التي يجذب بها كلّ لوح اللوح الآخر هي:

قوّة التجاذب بين لوحي مكثّف · כוח המשיכה בין לוחות קבל

F = Q·E2 = Q²2·ε₀·A

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	قوّة التجاذب بين اللوحين	[N]
Q	مقدار الشحنة على كلّ لوح	[C]
E	شدّة الحقل الكلّي بين اللوحين	[V/m]
A	مساحة كلّ لوح	[m²]

تصوّر خاطئ شائع: يكتب كثيرون F = Q·E مع الحقل الكلّي E بين اللوحين — وهذا خطأ. الحقل الكلّي هو تراكب حقلي اللوحين معا، واللوح لا يؤثّر على نفسه: القوّة على كلّ لوح هي شحنته مضروبة في حقل اللوح الآخر وحده، أي F = Q·E2.

مكثّف مفصول عن الدائرة: الشحنة ثابتة – קבל מנותק מהמעגל — מטען קבוע:

المكثّف شُحن ثم فُصل عن المصدر: لا طريق للشحنة لتغادر اللوحين، فالشحنة Q ثابتة. عندما نُبعد اللوحين من d₁ إلى d₂:

السعة C = ε₀·Ad تقلّ.
الجهد V = QC يزداد بنسبة ازدياد البُعد.
شدّة الحقل E = Qε₀·A تتعلّق بكثافة الشحنة وحدها — لا تتغيّر، ولذلك قوّة التجاذب F = Q²2·ε₀·A ثابتة أيضا.
الطاقة المخزّنة U = Q²2·C = Q²2·ε₀·A·d تزداد بالتناسب مع البُعد.

من أين جاءت الطاقة الإضافية؟ من شغلنا نحن. في الإبعاد البطيء تساوي القوّة الخارجية قوّة التجاذب في كلّ لحظة، وهي ثابتة هنا، فالشغل الخارجي هو القوّة مضروبة في الإزاحة — وهو يساوي تماما الزيادة في الطاقة المخزّنة:

الشغل الخارجي في إبعاد لوحي مكثّف مفصول · עבודה חיצונית בקבל מנותק

W_ext = ΔU = U₂ − U₁

W_ext = F·Δd = Q²2·ε₀·A·(d₂ − d₁)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
W_ext	شغل القوّة الخارجية: موجب في الإبعاد، سالب في التقريب	[J]
ΔU	التغيّر في الطاقة المخزّنة في المكثّف	[J]
Δd	التغيّر في البُعد بين اللوحين	[m]

مثال 3.11

مكثّف لوحين في الهواء، مساحة كلّ لوح 100 cm² والبُعد بينهما 1 mm، شُحن إلى 100 V ثم فُصل عن المصدر. بعد الفصل أبعدنا اللوحين ببطء إلى 3 mm. نحسب:
أ. الشحنة وقوّة التجاذب بين اللوحين.
ب. الجهد الجديد بين اللوحين.
ج. الشغل الخارجي بطريقتين: من تغيّر الطاقة ومن F·Δd.

الحل:

أ. قبل الفصل عن المصدر:

C₁ = ε₀·Ad₁ = 8.85·10⁻¹² · 0.0110⁻³ = 8.85·10⁻¹¹ F = 88.5 pF

Q = C₁·V₀ = 8.85·10⁻¹¹ · 100 = 8.85·10⁻⁹ C

بعد الفصل الشحنة ثابتة، وكذلك الحقل E = V₀d₁ = 1·10⁵ V/m وقوّة التجاذب:

F = Q²2·ε₀·A = (8.85·10⁻⁹)²2 · 8.85·10⁻¹² · 0.01 = 4.425·10⁻⁴ N

F = Q·E2 = 8.85·10⁻⁹ · 1·10⁵2 = 4.425·10⁻⁴ N

ب. البُعد تضاعف ثلاث مرّات، فالسعة قلّت إلى الثلث والجهد تضاعف ثلاث مرّات:

C₂ = ε₀·Ad₂ = C₁3 = 29.5 pF

V₂ = QC₂ = 3·V₀ = 300 V

ج. من الطاقة:

U₁ = Q²2·C₁ = 4.425·10⁻⁷ J

U₂ = Q²2·C₂ = 3·U₁ = 1.328·10⁻⁶ J

W_ext = ΔU = 1.328·10⁻⁶ − 4.425·10⁻⁷ = 8.85·10⁻⁷ J

ومن القوّة الثابتة:

W_ext = F·Δd = 4.425·10⁻⁴ · 2·10⁻³ = 8.85·10⁻⁷ J

الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها تماما: كلّ شغلنا أصبح طاقة مخزّنة في الحقل، الذي يملأ الآن حجما أكبر.

F = 4.425·10⁻⁴ N , V₂ = 300 V , W_ext = 8.85·10⁻⁷ J

سؤال 3.4: في المثال السابق نعيد اللوح إلى مكانه: نقرّب اللوحين ببطء من 3 mm إلى 1 mm والمكثّف ما زال مفصولا. ما إشارة شغل القوّة الخارجية؟ احسبوا مقداره. أين ذهبت الطاقة التي خرجت من الحقل؟

مكثّف موصول بالمصدر: الجهد ثابت – קבל מחובר למקור — מתח קבוע:

الآن يبقى المكثّف موصولا بالمصدر أثناء الإبعاد، فجهده ثابت: V هو جهد المصدر. عندما نُبعد اللوحين تقلّ السعة، وتقلّ معها الشحنة Q = C·V: شحنة بالمقدار |ΔQ| تعود عبر الأسلاك إلى المصدر. شدّة الحقل E = Vd تقلّ، وتقلّ معها قوّة التجاذب، وتقلّ أيضا الطاقة المخزّنة U = 12·C·V².

الطاقة المخزّنة قلّت — فهل «ربحنا» شغلا؟ لا. الشحنة العائدة تدخل المصدر عند الجهد V، فيستقبل المصدر طاقة مقدارها V·|ΔQ| — أكثر ممّا فقده الحقل. الفرق هو بالضبط الشغل الذي بذلناه:

ميزان الطاقة في مكثّف موصول بالمصدر · מאזן אנרגיה בקבל מחובר

W_ext = ΔU − V·ΔQ

W_ext = 12·V²·(C₁ − C₂)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΔU	التغيّر في طاقة المكثّف: ΔU = 12·V²·(C₂ − C₁) — سالب في الإبعاد	[J]
ΔQ	التغيّر في شحنة المكثّف: ΔQ = V·(C₂ − C₁) — سالب في الإبعاد	[C]
V·ΔQ	الطاقة المتبادلة مع المصدر: عندما يكون ΔQ سالبا يستقبل المصدر طاقة V·\|ΔQ\|	[J]

مثال 3.12

المكثّف نفسه (C₁ = 88.5 pF عند d₁ = 1 mm) موصول بمصدر 100 V ويبقى موصولا به. نُبعد اللوحين ببطء إلى 2 mm. نحسب:
أ. الشحنة قبل الإبعاد وبعده، والشحنة التي عادت إلى المصدر.
ب. الطاقة المخزّنة قبل وبعد.
ج. الشغل الخارجي والطاقة التي استقبلها المصدر — ونفحص ميزان الطاقة.

الحل:

أ. الجهد ثابت، والسعة قلّت إلى النصف:

C₂ = C₁2 = 44.25 pF

Q₁ = C₁·V = 8.85·10⁻⁹ C

Q₂ = C₂·V = 4.425·10⁻⁹ C

نصف الشحنة، |ΔQ| = 4.425·10⁻⁹ C، عاد عبر الأسلاك إلى المصدر.

ب. الطاقة المخزّنة:

U₁ = 12·C₁·V² = 4.425·10⁻⁷ J

U₂ = 12·C₂·V² = 2.212·10⁻⁷ J

الطاقة المخزّنة قلّت — مع أنّنا بذلنا شغلا موجبا في الإبعاد!

ج. الشحنة العائدة تدخل المصدر عند الجهد V، فيستقبل طاقة V·|ΔQ| = 100 · 4.425·10⁻⁹ = 4.425·10⁻⁷ J. ميزان الطاقة:

W_ext = ΔU − V·ΔQ = (−2.212·10⁻⁷) − (−4.425·10⁻⁷) = 2.212·10⁻⁷ J

W_ext = 12·V²·(C₁ − C₂) = 2.212·10⁻⁷ J

نفحص: المصدر استقبل 4.425·10⁻⁷ J — وهذا بالضبط شغلنا 2.212·10⁻⁷ J زائد النقص في طاقة المكثّف 2.212·10⁻⁷ J. لا تضيع طاقة في الإبعاد البطيء.

|ΔQ| = 4.425·10⁻⁹ C , W_ext = 2.212·10⁻⁷ J

سؤال 3.5: مكثّف سعته 60 pF موصول بمصدر 12 V. نُبعد لوحيه ببطء، وهو موصول، حتى تصير سعته 20 pF. احسبوا الشحنة التي عادت إلى المصدر والشغل الخارجي الذي بذلناه.

مقارنة بين الحالتين – השוואה בין שני המצבים:

المقدار	مفصول عن الدائرة (Q ثابتة)	موصول بالمصدر (V ثابت)
السعة C = ε₀·Ad في الإبعاد	تقلّ	تقلّ
الشحنة Q	ثابتة	تقلّ — شحنة \|ΔQ\| تعود إلى المصدر
الجهد V	يزداد	ثابت
شدّة الحقل E	ثابتة	تقلّ
قوّة التجاذب F	ثابتة	تقلّ
الطاقة المخزّنة U	تزداد	تقلّ
الشغل الخارجي في الإبعاد	موجب: W_ext = ΔU = F·Δd	موجب: W_ext = ΔU − V·ΔQ
إلى أين تتدفّق الطاقة؟	شغلنا يُخزَّن في الحقل	شغلنا ونقص طاقة الحقل يذهبان معا إلى المصدر

تصوّر خاطئ شائع: في المكثّف الموصول بالمصدر تقلّ الطاقة المخزّنة عند الإبعاد، فيستنتج كثيرون أنّ اللوحين «يتنافران» وأنّ الشغل الخارجي سالب. الصحيح أنّ اللوحين مشحونان بشحنتين متعاكستين ويتجاذبان دائما، وفي الحالتين الشغل الخارجي في الإبعاد موجب. في الحالة الموصولة يذهب شغلنا، ومعه كلّ النقص في طاقة المكثّف، إلى المصدر: V·|ΔQ| = W_ext + |ΔU|.

▶تجربة حية — شغل إبعاد لوحي المكثّفنختار مكثّفا موصولا بالمصدر أو مفصولا عنه، نسحب اللوح فنغيّر البُعد بين اللوحين، ونقرأ في كلّ لحظة Q ، V ، C ، U والشغل الخارجي المتراكم — ونرى إلى أين تتدفّق الطاقة في كلّ حالة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#platework

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_potential_capacitors#platework

أهمّ أفكار الفصل:

سعة الموصل أو المكثّف هي خارج قسمة الشحنة على الجهد: صفة هندسية تتعلّق بالشكل والأبعاد والمادّة العازلة، ولا تتعلّق بالشحنة ولا بالجهد.
المكثّف يحمل شحنتين متساويتين ومتعاكستين وشحنته الكلّية صفر؛ الذي يخزّنه فعلا هو طاقة في الحقل الكهربائي بين لوحيه.
على التوازي الجهد مشترك والسعات تُجمع؛ على التوالي الشحنة مشتركة وتُجمع مقلوبات السعات.
قبل كلّ سؤال عن تغيير في مكثّف مشحون نسأل أوّلا: مفصول عن الدائرة (الشحنة ثابتة) أم موصول بالمصدر (الجهد ثابت)؟
اللوحان المشحونان يتجاذبان دائما، وإبعادهما يحتاج إلى شغل خارجي موجب في الحالتين: في المكثّف المفصول يُخزَّن الشغل في الحقل (W_ext = ΔU = F·Δd)، وفي الموصول بالمصدر تذهب الطاقة إلى المصدر (W_ext = ΔU − V·ΔQ).

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
السعة	C = QV
سعة كرة موصلة	C = Rk
سعة مكثّف اللوحين	C = ε_r·ε₀·Ad
الوصل على التوازي	C_eq = C₁ + C₂ + ...
الوصل على التوالي	1C_eq = 1C₁ + 1C₂ + ...
الطاقة المخزّنة في مكثّف	U = 12·Q·V = 12·C·V² = Q²2·C
قوّة التجاذب بين اللوحين	F = Q·E2 = Q²2·ε₀·A
الشغل الخارجي — مكثّف مفصول	W_ext = ΔU = F·Δd
الشغل الخارجي — مكثّف موصول بالمصدر	W_ext = ΔU − V·ΔQ = 12·V²·(C₁ − C₂)

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
السعة الكهربائية	קיבול	Capacitance
فاراد	פרד	Farad
المكثّف	קבל	Capacitor
مكثّف اللوحين المتوازيين	קבל לוחות	Parallel-plate capacitor
المادّة العازلة (الديالكتريك)	חומר דיאלקטרי	Dielectric
ثابت العزل الكهربائي	הקבוע הדיאלקטרי	Dielectric constant
الوصل على التوازي	חיבור במקביל	Parallel connection
الوصل على التوالي	חיבור בטור	Series connection
قوّة التجاذب بين اللوحين	כוח המשיכה בין הלוחות	Attraction force between the plates
الشغل الخارجي	עבודה חיצונית	External work
الشحن · التفريغ	טעינה · פריקה	Charging · Discharging
ثابت الزمن	קבוע זמן	Time constant

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 3.1) مكثّف لوحين في الهواء، مساحة كلّ لوح 0.05 m² والبُعد بينهما 0.5 mm، موصول بمصدر 200 V.
(أ) احسبوا السعة.
(ب) الشحنة.
(ج) شدّة الحقل بين اللوحين.
(د) الطاقة المخزّنة.

الإجابات: C = 885 pF ، Q = 1.77·10⁻⁷ C ، E = 4·10⁵ V/m ، U = 1.77·10⁻⁵ J

(للبند 3.2) مكثّفان سعتاهما 4 μF و 12 μF.
(أ) احسبوا السعة المكافئة عندما نصلهما على التوازي.
(ب) احسبوا السعة المكافئة عندما نصلهما على التوالي.
(ج) وصلناهما على التوازي بمصدر 6 V — ما الشحنة الكلّية التي أعطاها المصدر؟

الإجابات: C_par = 16 μF ، C_ser = 3 μF ، Q = 96 μC

(للبند 3.3) مكثّف لوحين في الهواء، مساحة كلّ لوح 50 cm² والبُعد بينهما 0.5 mm، شُحن إلى 200 V ثم فُصل عن المصدر، وبعد ذلك أبعدنا اللوحين ببطء إلى 1.5 mm.
(أ) احسبوا الشحنة وقوّة التجاذب بين اللوحين.
(ب) احسبوا الجهد الجديد بين اللوحين.
(ج) احسبوا الشغل الخارجي بطريقتين: F·Δd وفرق الطاقة المخزّنة.

الإجابات: Q = 1.77·10⁻⁸ C ، F = 3.54·10⁻³ N ، V = 600 V ، W_ext = 3.54·10⁻⁶ J بالطريقتين

(للبند 3.3) مكثّف سعته 300 pF موصول بمصدر 20 V. نُبعد لوحيه ببطء، وهو موصول، حتى تصير سعته 100 pF.
(أ) احسبوا شحنة المكثّف قبل الإبعاد وبعده، والشحنة التي عادت إلى المصدر.
(ب) احسبوا الطاقة المخزّنة قبل وبعد.
(ج) احسبوا الشغل الخارجي والطاقة التي استقبلها المصدر، وتحقّقوا من ميزان الطاقة.

الإجابات: Q₁ = 6 nC ، Q₂ = 2 nC (عادت 4 nC) ، U₁ = 6·10⁻⁸ J ، U₂ = 2·10⁻⁸ J ، W_ext = 4·10⁻⁸ J ، المصدر استقبل 8·10⁻⁸ J = W_ext + |ΔU|

تمارين تلخيصية:

في الدائرة المرسومة C₁ = 6 μF و C₂ = 3 μF على التوالي، ومعهما على التوازي C₃ = 4 μF، وجهد المصدر 10 V.
(أ) احسبوا السعة المكافئة.
(ب) الشحنة على C₃.
(ج) الجهد على كلّ من C₁ و C₂.

الإجابات: C_eq = 6 μF ، Q₃ = 40 μC ، V₁ = 3.33 V ، V₂ = 6.67 V

مكثّف لوحين في الهواء، مساحة كلّ لوح 400 cm² والبُعد بينهما 2 mm، موصول بمصدر 24 V.
(أ) احسبوا السعة والشحنة وشدّة الحقل بين اللوحين.
(ب) نفصل المكثّف عن المصدر ثم نضاعف البُعد بين اللوحين. احسبوا الجهد الجديد والطاقة المخزّنة قبل الإبعاد وبعده.
(ج) احسبوا الشغل الخارجي، وبيّنوا أنّه يساوي F·Δd.

الإجابات: C = 177 pF ، Q = 4.248·10⁻⁹ C ، E = 1.2·10⁴ V/m ؛ V′ = 48 V ، U₁ = 5.098·10⁻⁸ J ، U₂ = 1.02·10⁻⁷ J ؛ W_ext = 5.098·10⁻⁸ J = F·Δd

تمارين تعمّق:

(*) مكثّف سعته 50 pF شُحن إلى 100 V ثم فُصل عن المصدر، وأدخلنا بين لوحيه مادّة عازلة ثابت عزلها 4.
(أ) احسبوا السعة والجهد الجديدين.
(ب) احسبوا الطاقة قبل إدخال المادّة وبعده.
(ج) هل احتاج إدخال المادّة إلى شغل خارجي موجب أم أنّ المكثّف «سحبها» إلى الداخل؟

الإجابات: C = 200 pF ، V = 25 V ، U من 2.5·10⁻⁷ J إلى 6.25·10⁻⁸ J ؛ الطاقة قلّت: المكثّف يسحب المادّة

(*) مكثّف سعته 10 μF مشحون إلى 30 V نصله بمكثّف غير مشحون سعته 5 μF.
(أ) احسبوا الجهد المشترك بعد الوصل.
(ب) احسبوا الطاقة التي تحوّلت إلى حرارة وإشعاع، وفسّروا: الشحنة محفوظة — لماذا لا تُحفَظ الطاقة الكهربائية؟

الإجابات: V = 20 V ، ΔE = 1.5·10⁻³ J ؛ التيار العابر يسخّن الأسلاك

(*) مكثّف سعته 100 pF موصول بمصدر 50 V. ندخل بين لوحيه ببطء لوحا عازلا يملأ الحيّز كلّه، ثابت عزله ε_r = 3، والمكثّف ما زال موصولا بالمصدر.
(أ) احسبوا السعة والشحنة بعد الإدخال، والشحنة الإضافية التي أعطاها المصدر.
(ب) احسبوا الطاقة المخزّنة قبل الإدخال وبعده.
(ج) اكتبوا ميزان الطاقة واحسبوا شغل القوّة الخارجية. ما معنى إشارته؟

الإجابات: C = 300 pF ، Q₂ = 15 nC (ΔQ = +10 nC) ، U₁ = 1.25·10⁻⁷ J ، U₂ = 3.75·10⁻⁷ J ، W_ext = −2.5·10⁻⁷ J — سالب: المكثّف يسحب اللوح العازل إلى الداخل

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

3.1 A = 1.13·10⁸ m² ≈ 113 km²

3.2 1 μF ؛ 11 μF ؛ Q = 24 μC

3.3 U = 0.147 J ؛ V = 50 V

3.4 W_ext = −8.85·10⁻⁷ J — سالب: التجاذب يقرّب اللوحين والقوّة الخارجية تكبح؛ الطاقة خرجت من الحقل عبر شغل قوّة التجاذب

3.5 Δq = 4.8·10⁻¹⁰ C ، W_ext = 2.88·10⁻⁹ J

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 3

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الكهرومغناطيسية (אלקטרומגנטיות — 36371)، بالنسخة العربية الرسمية للامتحان (2019–2026). تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2025 السؤال 5 — مكثّف لوحين — السعة، حركة جسيم مشحون وتوصيلات المكثّفات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	السعة ومساحة اللوحين	C₁ = 5.9 pF · A = 1.0·10⁻² m² = 100 cm²
ب	السرعة الدنيا للجسيم	في الحل الكامل
ج	ماذا يحدث عند تقريب اللوحين	(1) لن تتغيّر — المصدر يفرض الجهد · (2) ستقلّ — الشحنة محفوظة، الحقل ثابت والجهد يقلّ مع المسافة
د	الشحنة على C₁ على التوالي وعلى التوازي	على التوالي Q = 0.43 nC · على التوازي Q₁ = 1.3 nC
هـ	فصل المصدر عن التوصيل على التوازي	الشحنة على C₁ لم تتغيّر — المكثّفان أصلًا عند الجهد نفسه، ولذلك لا يوجد ما يحرّك شحنة بينهما

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 7 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)