الفصل 4

دوائر التيار المستمر

מעגלי זרם ישר

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 35 ساعات تعليمية

في الفصلين السابقين درسنا الشحنات الساكنة: القوى بينها، الحقل الذي تولّده، والجهد. في هذا الفصل نجعل الشحنات تتحرّك. الحركة المنظّمة للشحنات في موصل هي التيار الكهربائي، وهو أساس كلّ جهاز كهربائي من حولنا: اللمبة، الهاتف، الحاسوب والسيّارة الكهربائية. نبدأ بشدّة التيار وعلاقتها بحركة الإلكترونات داخل الفلزّ، ثم ننتقل إلى الجهد وقانون أوم، إلى المقاومة وتعلّقها بأبعاد الموصل ومادّته، وإلى البطّارية الحقيقية بقوّتها الدافعة الكهربائية ومقاومتها الداخلية. بعد ذلك ندرس شحن المكثّف وتفريغه، القدرة والطاقة والكفاءة، الدوائر المركّبة وقانوني كيرخهوف، وأخيرا أجهزة القياس. هذا هو الفصل الأطول في الكتاب، وفيه الأدوات التي نحلّ بها كلّ دائرة كهربائية.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف التيار الكهربائي وشدّته I = ΔqΔt، ونحسب التيار اللحظي من ميل منحنى الشحنة–الزمن، والشحنة من المساحة تحت منحنى التيار–الزمن.
نربط شدّة التيار بسرعة الانسياق I = n·e·A·v_d، ونفسّر لماذا هي صغيرة جدّا رغم أنّ اللمبة تضيء فورا.
نُعرّف الجهد كشغل لوحدة الشحنة، ونطبّق قانون أوم، ونميّز بين المنحنى المميّز لمقاوِم أومي وللمبة التوهّج.
نحسب المقاومة من مادّة الموصل وأبعاده R = ρ·ℓA، ونصل المقاوِم المتغيّر كريوستات وكمجزّئ جهد.
نُعرّف القوّة الدافعة الكهربائية، فرق جهد القطبين والمقاومة الداخلية، ونستعمل V = ε − I·r ورسمه البياني.
نصف شحن المكثّف وتفريغه عبر مقاوِم، ونستعمل ثابت الزمن τ = R·C.
نحسب القدرة والطاقة الكهربائية والكفاءة في الدائرة.
نحلّل دوائر مركّبة: نجد المقاومة المكافئة للوصل على التوالي وعلى التوازي، ونطبّق قانوني كيرخهوف.
نصف عمل الأميتر والڤولطمتر، ونقدّر تأثيرهما على الدائرة المقيسة.

הזרם החשמלי ועוצמתו – التيار الكهربائي وشدّته (Electric Current)

الشحنات الحرّة في الموصل – מטענים חופשיים במוליך:

تعلّمنا في الفصل الأوّل أنّ الموصل مادّة فيها شحنات تستطيع أن تتحرّك بحرّية. في الفلزّات (النحاس، الألمنيوم، الحديد) هذه الشحنات هي الإلكترونات الحرّة: في كلّ ذرّة إلكترون واحد أو اثنان من الإلكترونات الخارجية لا يبقى مرتبطا بذرّته، بل يتجوّل بين الأيونات الموجبة التي تبقى ثابتة في أماكنها في الشبكة البلّورية. هذه الإلكترونات هي حاملات الشحنة (נושאי מטען) في الفلزّ. في المحاليل وفي الغازات المتأيّنة تكون حاملات الشحنة أيونات موجبة وسالبة.

حتى عندما لا يكون الموصل موصولا بشيء، تتحرّك الإلكترونات الحرّة بسرعة كبيرة جدّا — نحو ألف كيلومتر في الثانية — بسبب طاقتها الحرارية. لكنّ هذه الحركة عشوائية: في كلّ لحظة يعبر مقطع السلك عدد من الإلكترونات إلى اليمين يساوي تقريبا عدد العابرة إلى اليسار، فلا تنتقل شحنة صافية. عندما نصل طرفي الموصل بقطبي بطّارية ينشأ داخل الموصل حقل كهربائي، فيؤثّر على كلّ إلكترون بقوّة F = q·E عكس اتّجاه الحقل (لأنّ شحنته سالبة). فوق الحركة العشوائية تُضاف الآن حركة بطيئة ومنظّمة عكس الحقل تسمّى الانسياق، وعندئذ تنتقل شحنة صافية عبر كلّ مقطع.

إلكترونات حرّة (أزرق) بين الأيونات الموجبة الثابتة (رمادي). بدون حقل تتحرّك عشوائيا؛ مع حقل E تنساق ببطء عكس الحقل

التيار الكهربائي (זרם חשמלי): هو حركة منظّمة لحاملات الشحنة عبر مقطع الموصل، أي انتقال صافٍ للشحنة من جهة إلى أخرى. في الفلزّات تحمل الإلكترونات الحرّة التيار، وفي المحاليل والغازات المتأيّنة تحمله الأيونات.

الاتّجاه الاصطلاحي للتيار – הכיוון המוסכם של הזרם:

اتُّفق تاريخيا — قبل اكتشاف الإلكترون بكثير — على أنّ اتّجاه التيار هو الاتّجاه الذي تتحرّك فيه الشحنات الموجبة. هذا هو الاتّجاه الاصطلاحي (הכיוון המוסכם): في الدائرة الخارجية يخرج التيار من القطب الموجب للمصدر ويعود إلى قطبه السالب، وهو باتّجاه الحقل الكهربائي داخل الموصل. الإلكترونات في الفلزّ تتحرّك في الاتّجاه المعاكس تماما. لحسن الحظّ، انتقال شحنة سالبة إلى اليسار يكافئ تماما — من ناحية الشحنة المنقولة — انتقال شحنة موجبة مساوية إلى اليمين، ولذلك لا يُغيّر هذا الاتّفاق أيّ نتيجة حسابية. في كلّ رسومات هذا الكتاب نرسم اتّجاه التيار الاصطلاحي بسهم أحمر على السلك.

الدائرة الكهربائية (מעגל חשמלי): (الدارة) هي مسار مغلق من الموصلات يمرّ عبر مصدر فرق جهد (بطّارية مثلا) وعبر مركّبات مثل اللمبات والمقاوِمات. يمرّ التيار فقط عندما تكون الدائرة مغلقة (סגור)؛ إذا فتحنا المفتاح أو انقطع السلك في أيّ نقطة أصبحت الدائرة مفتوحة (פתוח) وتوقّف التيار في كلّ أجزائها في اللحظة نفسها.

دائرة كهربائية بسيطة مغلقة: يخرج التيار الاصطلاحي (أحمر) من القطب الموجب (الخطّ الطويل في رمز البطّارية)، يمرّ في اللمبة ويعود إلى القطب السالب؛ الإلكترونات تتحرّك في الاتّجاه المعاكس

ملاحظة: في رمز البطّارية الخطّ الطويل هو القطب الموجب والخطّ القصير السميك هو القطب السالب. داخل البطّارية نفسها يتحرّك التيار من القطب السالب إلى القطب الموجب: هناك «تضخّ» البطّارية الشحنات عكس الحقل، كما سنرى في البند 4.4.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ اللمبة «تستهلك» التيار، فيخرج منها تيار أصغر من التيار الذي دخل إليها. هذا غير صحيح: الشحنة لا تُستهلك ولا تتراكم في أيّ نقطة من الدائرة، فشدّة التيار الخارج من اللمبة تساوي تماما شدّة التيار الداخل إليها — وفي دائرة غير متفرّعة شدّة التيار واحدة في كلّ النقاط. الذي «يُستهلك» في اللمبة هو الطاقة التي تحملها الشحنات، وهي تتحوّل فيها إلى حرارة وضوء، كما سنحسب في البند 4.6.

آثار التيار الكهربائي – תופעות הלוואי של הזרם:

لا نرى الإلكترونات وهي تنساق في السلك، لكنّنا نعرف أنّ تيارا يمرّ من خلال آثاره. هناك أربعة آثار أساسية، وعلى كلّ واحد منها تُبنى عائلة كاملة من الأجهزة:

الآثار الأربعة للتيار الكهربائي

الأثر	ماذا يحدث؟	أمثلة واستعمالات
الأثر الحراري	تصطدم الإلكترونات المنساقة بأيونات الشبكة وتنقل إليها طاقة، فترتفع درجة حرارة الموصل. هذا الأثر يظهر في كلّ موصل يمرّ فيه تيار.	المدفأة، الغلّاية، المكواة، مجفّف الشعر؛ المصهر الذي يذوب عندما يكبر التيار أكثر من اللازم
الأثر الضوئي	سلك رفيع يسخن حتى التوهّج فيُصدر ضوءا؛ أو غاز أو مادّة شبه موصلة تُصدر ضوءا مباشرة عند مرور التيار.	لمبة التوهّج، لمبة الفلورسنت، الثنائي الباعث للضوء في الشاشات واللمبات الحديثة
الأثر الكيميائي	مرور التيار في محلول يحلّل موادّه: تنفصل الأيونات وتتجمّع عند الأقطاب، وتظهر فقاعات غاز أو طبقة فلزّ.	التحليل الكهربائي للماء، طلاء المعادن بالذهب أو الكروم، شحن بطّارية الهاتف
الأثر المغناطيسي	حول كلّ سلك يمرّ فيه تيار ينشأ حقل مغناطيسي، فتنحرف إبرة بوصلة قريبة.	المغناطيس الكهربائي، المحرّك الكهربائي، الجرس الكهربائي، مكبّر الصوت — موضوع الفصل الخامس

الأثر المغناطيسي هو الوحيد الذي يظهر دائما ومع كلّ نوع من الموصلات وحاملات الشحنة، ولذلك تُبنى عليه معظم أجهزة قياس التيار. الأثر الحراري يظهر أيضا في كلّ موصل، وهو أحيانا مرغوب فيه (المدفأة) وأحيانا خسارة (سخونة أسلاك الشبكة)، كما سنرى في البند 4.6.

نشاط: خذوا بطّارية 1.5 V وبوصلة صغيرة. ضعوا سلكا معزولا فوق البوصلة بمحاذاة إبرتها، ثم المسوا بطرفي السلك قطبي البطّارية للحظة قصيرة فقط. ماذا يحدث للإبرة؟ اعكسوا طرفي السلك على القطبين: هل تنحرف الإبرة إلى الجهة نفسها؟ (لا تُبقوا السلك موصولا مدّة طويلة — هذه دائرة قصر تُفرغ البطّارية وتُسخّن السلك.)

شدّة التيار – עוצמת הזרם:

السؤال التالي هو: كم من الشحنة يمرّ؟ نختار مقطعا عرضيا في السلك ونعدّ الشحنة Δq التي تعبره خلال فترة زمنية Δt. كلّما عبرت شحنة أكبر في الزمن نفسه كان التيار «أقوى».

شدّة التيار (עוצמת הזרם): هي كمّية الشحنة التي تعبر مقطعا عرضيا للموصل في وحدة الزمن. يرمز لها بالحرف I، ووحدتها الأمبير (אמפר) ورمزه A.

شدّة التيار · עוצמת הזרם

I = ΔqΔt

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I	شدّة التيار	[A]
Δq	الشحنة التي تعبر المقطع العرضي	[C]
Δt	الفترة الزمنية	[s]

من القانون نرى أنّ 1 A = 1 C/s: في تيار شدّته أمبير واحد يعبر كلّ مقطع من السلك كولون واحد من الشحنة في كلّ ثانية. منذ سنة 2019 يُعرَّف الأمبير في النظام الدولي بواسطة القيمة الدقيقة للشحنة الأوّلية e، أي بعدد الشحنات الأوّلية التي تعبر المقطع في الثانية. وسنتعرّف في الفصل الخامس على التعريف التقليدي للأمبير بواسطة القوّة المغناطيسية بين سلكين متوازيين. عندما يكون التيار ثابتا، تكون الشحنة التي تعبر المقطع ببساطة:

Δq = I·Δt

وبما أنّ كلّ إلكترون يحمل الشحنة الأوّلية e = 1.6·10⁻¹⁹ C، فإنّ عدد الإلكترونات التي تعبر المقطع هو:

N = Δqe

ملاحظة: شدّة التيار مقدار عددي (ليس متّجها)، رغم أنّنا نتحدّث عن «اتّجاه التيار» في السلك. السبب أنّ التيار يتبع السلك أينما انعطف، ولا يُجمع التياران في سلكين كمتّجهين بل كأعداد. ما نقصده بالاتّجاه هو اتّجاه الحركة على طول السلك.

لتكوين إحساس بالوحدة، إليكم قيما نموذجية لشدّة التيار:

الجهاز أو الظاهرة	شدّة التيار التقريبية
ثنائي باعث للضوء صغير (مؤشّر جهاز)	20 mA
مصباح يدوي	0.3 A
شاحن هاتف	2 A
غلّاية كهربائية	10 A
محرّك بدء التشغيل في سيّارة	150 A
البرق	3·10⁴ A

مثال 4.1

يمرّ في مصباح يدوي تيار ثابت شدّته 0.4 A مدّة دقيقتين. نحسب الشحنة التي عبرت مقطع سلك المصباح، وعدد الإلكترونات التي عبرته.

الحل:

نحوّل الزمن إلى ثوانٍ: Δt = 2 min = 120 s. التيار ثابت، لذلك:

Δq = I·Δt = 0.4 · 120 = 48 C

كلّ إلكترون يحمل الشحنة الأوّلية، فنقسم:

N = Δqe = 481.6·10⁻¹⁹ = 3·10²⁰

عدد هائل من الإلكترونات، ومع ذلك هذا تيار عادي جدّا. السبب أنّ شحنة الإلكترون الواحد صغيرة جدّا.

Δq = 48 C , N = 3·10²⁰

سؤال 4.1: عبرت مقطع سلك شحنة مقدارها 90 C خلال دقيقة ونصف. ما شدّة التيار في السلك؟ كم إلكترونا يعبر المقطع في كلّ ثانية؟

التيار اللحظي: ميل منحنى الشحنة–الزمن – הזרם הרגעי: שיפוע גרף מטען–זמן:

التيار لا يكون دائما ثابتا. نرسم الشحنة الكلّية q التي عبرت المقطع منذ اللحظة t = 0 كدالّة للزمن. خلال فترة Δt ازدادت الشحنة بمقدار Δq، ولذلك:

التيار المتوسّط (זרם ממוצע) في الفترة هو ΔqΔt — ميل الوتر الذي يصل بين نقطتي الرسم في بداية الفترة ونهايتها.
التيار اللحظي (זרם רגעי) في لحظة ما هو ميل المماسّ لمنحنى الشحنة–الزمن في تلك اللحظة.
عندما يكون الرسم خطّا مستقيما يكون التيار ثابتا، ويتساوى التيار اللحظي والمتوسّط. وعندما يكون الرسم أفقيا يكون التيار صفرا.

المعطى: الشحنة التي عبرت مقطع السلك كدالّة للزمن

النتيجة: التيار كدالّة للزمن

مثال 4.2

يبيّن الرسم الأيمن أعلاه الشحنة التي عبرت مقطع سلك كدالّة للزمن. نجد شدّة التيار في كلّ واحدة من الفترات الثلاث، والتيار المتوسّط في الثواني العشر كلّها، ثم نرسم التيار كدالّة للزمن.

الحل:

في كلّ فترة الرسم خطّ مستقيم، إذًا التيار ثابت فيها ويساوي الميل:

I₁ = ΔqΔt = 12 − 04 − 0 = 3 A

I₂ = 12 − 126 − 4 = 0 A

I₃ = 20 − 1210 − 6 = 2 A

في الفترة الثانية الرسم أفقي: الشحنة لا تزداد، أي أنّ التيار انقطع (فُتحت الدائرة مثلا). التيار المتوسّط على الفترة كلّها:

I_avg = ΔqΔt = 2010 = 2 A

التيار المتوسّط ليس متوسّط التيارات الثلاثة ( 3 + 0 + 23 ≈ 1.67 A)، لأنّ الفترات ليست متساوية الطول. رسم التيار كدالّة للزمن هو الرسم الأيسر أعلاه: «درجات» أفقية، ارتفاع كلّ منها هو الميل في الفترة نفسها.

I₁ = 3 A , I₂ = 0 , I₃ = 2 A , I_avg = 2 A

العلاقة بين منحنى الشحنة ومنحنى التيار هي العلاقة نفسها التي عرفناها في الميكانيكا بين الموقع والسرعة: السرعة هي ميل منحنى الموقع–الزمن، والتيار هو ميل منحنى الشحنة–الزمن.

منحنى الشحنة–الزمن عندما يزداد التيار مع الزمن: التيار اللحظي في t = 2 s هو ميل المماسّ (أحمر)، والتيار المتوسّط بين 0 و 2 s هو ميل الوتر (أخضر)

مثال 4.3

في الرسم أعلاه تزداد الشحنة التي عبرت المقطع بشكل غير متجانس. رُسم المماسّ للمنحنى في اللحظة t = 2 s، وهو يمرّ بالنقطتين (1 s, 0) و (3 s, 4 C). نجد التيار اللحظي في هذه اللحظة، والتيار المتوسّط في الثانيتين الأوليين.

الحل:

التيار اللحظي هو ميل المماسّ. نحسبه من نقطتين بعيدتين عليه:

I = ΔqΔt = 4 − 03 − 1 = 2 A

التيار المتوسّط هو ميل الوتر من نقطة الأصل إلى نقطة المنحنى في t = 2 s، حيث عبرت شحنة 2 C:

I_avg = 2 − 02 − 0 = 1 A

المنحنى يزداد انحدارا مع الزمن، لذلك التيار يزداد: في اللحظة t = 2 s هو أكبر من متوسّطه في الفترة التي سبقتها.

I(2) = 2 A , I_avg = 1 A

الشحنة: المساحة تحت منحنى التيار–الزمن – המטען: השטח מתחת לגרף זרם–זמן:

العلاقة العكسية مهمّة بالقدر نفسه. إذا كان التيار ثابتا فالشحنة Δq = I·Δt هي مساحة المستطيل الذي ارتفاعه I وعرضه Δt تحت منحنى التيار–الزمن. وإذا تغيّر التيار نقسم الزمن إلى فترات قصيرة جدّا يكون التيار في كلّ منها ثابتا تقريبا، ونجمع المستطيلات الضيّقة. النتيجة العامّة:

الشحنة من منحنى التيار–الزمن · המטען = השטח מתחת לגרף

Δq = S

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Δq	الشحنة التي عبرت المقطع بين لحظتين	[C]
S	المساحة تحت منحنى التيار–الزمن بين اللحظتين نفسيهما	[A·s] = [C]

مثال 4.4

عند تشغيل جهاز يزداد التيار فيه بانتظام من الصفر إلى 0.6 A خلال ثانيتين، يبقى ثابتا حتى اللحظة t = 5 s، ثم يتناقص بانتظام إلى الصفر حتى t = 6 s (الرسم). نحسب الشحنة التي عبرت الجهاز، وعدد الإلكترونات، والتيار المتوسّط.

الحل:

نقسم المساحة تحت المنحنى إلى ثلاثة أجزاء بسيطة: مثلّث، مستطيل، مثلّث.

S₁ = 12 · 2 · 0.6 = 0.6 C

S₂ = (5 − 2) · 0.6 = 1.8 C

S₃ = 12 · (6 − 5) · 0.6 = 0.3 C

الشحنة الكلّية هي مجموع المساحات، وعدد الإلكترونات:

Δq = 0.6 + 1.8 + 0.3 = 2.7 C

N = Δqe = 2.71.6·10⁻¹⁹ = 1.69·10¹⁹

التيار المتوسّط هو التيار الثابت الذي ينقل الشحنة نفسها في الزمن نفسه:

I_avg = ΔqΔt = 2.76 = 0.45 A

يمكن الفحص بطريقة ثانية: المساحة كلّها شبه منحرف قاعدتاه 6 s و 3 s وارتفاعه 0.6 A، ومساحته 12 · (6 + 3) · 0.6 = 2.7 C — النتيجة نفسها.

Δq = 2.7 C , I_avg = 0.45 A

سؤال 4.2: يبيّن الرسم البياني التيار في سلك كدالّة للزمن. احسبوا الشحنة التي عبرت مقطع السلك في الثواني السبع، والتيار المتوسّط في هذه الفترة. ارسموا منحنى الشحنة كدالّة للزمن.

▶تجربة حية — التيار الكهربائي وسرعة الانسياقنشغّل المصدر ونتابع في الوقت نفسه منحنى الشحنة ومنحنى التيار: نرى أنّ ميل الأوّل هو ارتفاع الثاني، وأنّ المساحة تحت الثاني هي الشحنة؛ ثم نغيّر مساحة المقطع وكثافة حاملات الشحنة ونقرأ سرعة الانسياق.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#current

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#current

شدّة التيار وسرعة الانسياق – עוצמת הזרם ומהירות הסחיפה:

كيف ترتبط شدّة التيار بحركة الإلكترونات نفسها؟ نتأمّل سلكا مساحة مقطعه A، فيه n إلكترونا حرّا في كلّ متر مكعّب، وكلّها تنساق بسرعة متوسّطة v_d. خلال الزمن Δt يقطع كلّ إلكترون مسافة v_d·Δt. لذلك كلّ الإلكترونات الموجودة في أسطوانة طولها v_d·Δt أمام المقطع ستعبره خلال هذا الزمن — لا أكثر ولا أقلّ (الرسم).

خلال الزمن Δt تعبر المقطع A كلّ الإلكترونات الموجودة في الأسطوانة التي طولها v_d·Δt. الإلكترونات تنساق إلى اليسار، والتيار الاصطلاحي إلى اليمين

حجم الأسطوانة A·v_d·Δt، وعدد الإلكترونات فيها N = n·A·v_d·Δt، والشحنة التي تعبر المقطع Δq = N·e. نقسم على Δt:

Δq = n·A·v_d·Δt·e

I = ΔqΔt = n·e·A·v_d

سرعة الانسياق (מהירות סחיפה): هي السرعة المتوسّطة المنظّمة التي تتحرّك بها حاملات الشحنة في الموصل تحت تأثير الحقل الكهربائي، وهي تُضاف إلى الحركة العشوائية الحرارية السريعة. يرمز لها بـ v_d.

شدّة التيار وسرعة الانسياق · עוצמת הזרם ומהירות הסחיפה

I = n·e·A·v_d

الرمز	المعنى	وحدة القياس
n	كثافة حاملات الشحنة: عددها في وحدة الحجم	[m⁻³]
e	شحنة حامل الشحنة؛ للإلكترون e = 1.6·10⁻¹⁹ C	[C]
A	مساحة المقطع العرضي للموصل	[m²]
v_d	سرعة الانسياق	[m/s]

القانون منطقي: التيار أكبر كلّما كانت حاملات الشحنة أكثر (n)، وكلّما كان المقطع أوسع (A)، وكلّما انساقت أسرع (v_d). في الفلزّات كثافة الإلكترونات الحرّة هائلة: في النحاس يوجد تقريبا إلكترون حرّ واحد لكلّ ذرّة، أي n ≈ 8.5·10²⁸ m⁻³.

مثال 4.5

في سلك نحاسي مساحة مقطعه 1 mm² يمرّ تيار شدّته 2 A. كثافة الإلكترونات الحرّة في النحاس 8.5·10²⁸ m⁻³. نحسب سرعة الانسياق، والزمن الذي يحتاجه إلكترون ليتقدّم مترا واحدا على طول السلك.

الحل:

نحوّل المساحة إلى المتر المربّع: 1 mm² = 10⁻⁶ m². نعزل سرعة الانسياق من القانون:

v_d = In·e·A = 28.5·10²⁸ · 1.6·10⁻¹⁹ · 10⁻⁶ = 1.47·10⁻⁴ m/s

أي نحو 0.15 mm/s فقط — أبطأ من نملة! الزمن اللازم لتقدّم متر واحد:

Δt = Δxv_d = 11.47·10⁻⁴ = 6800 s ≈ 113 min

v_d = 1.47·10⁻⁴ m/s

النتيجة مدهشة: إلكترون في سلك اللمبة يحتاج إلى نحو ساعتين ليقطع مترا واحدا. فكيف تضيء اللمبة فورا عندما نضغط على المفتاح، حتى لو كانت بعيدة عنه عشرة أمتار؟

الجواب أنّ السلك مليء بالإلكترونات الحرّة من البداية. عندما نغلق الدائرة لا ننتظر وصول إلكترونات من البطّارية إلى اللمبة؛ ما يتحرّك بسرعة هو الحقل الكهربائي، الذي ينتشر على طول السلك بسرعة قريبة من سرعة الضوء. خلال جزء من مليون من الثانية يؤثّر الحقل على كلّ إلكترونات الدائرة، فتبدأ كلّها بالانسياق معا — ومنها الإلكترونات الموجودة أصلا في سلك اللمبة. يشبه ذلك أنبوبا مليئا بالكرات الزجاجية: ندفع كرة من طرف فتخرج كرة من الطرف الآخر في اللحظة نفسها، مع أنّ كلّ كرة تحرّكت قليلا فقط.

السرعة	المقدار التقريبي في سلك نحاسي
سرعة الحركة العشوائية الحرارية للإلكترونات	1·10⁶ m/s
سرعة انتشار الحقل (الإشارة) على طول السلك	2·10⁸ m/s
سرعة الانسياق في تيار عادي	1·10⁻⁴ m/s

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الإلكترونات نفسها تجري في الأسلاك بسرعة الضوء، «ولهذا» تضيء اللمبة فورا. في الحقيقة سرعة الانسياق لا تتعدّى أجزاء المليمتر في الثانية. الذي ينتشر بسرعة قريبة من سرعة الضوء هو الحقل الكهربائي، وهو يحرّك إلكترونات الدائرة كلّها معا في اللحظة نفسها تقريبا — ومنها الإلكترونات الموجودة أصلا داخل اللمبة.

مثال 4.6

سلك نحاسي مكوّن من جزأين موصولين معا: مساحة مقطع الجزء السميك 2 mm² ومساحة مقطع الجزء الرفيع 0.5 mm². يمرّ في السلك تيار شدّته 3 A. نحسب سرعة الانسياق في كلّ جزء.

الحل:

الجزآن موصولان واحدا بعد الآخر، ولا تتراكم الشحنة في نقطة الالتقاء؛ لذلك الشحنة التي تعبر كلّ مقطع في الثانية هي نفسها، أي أنّ شدّة التيار متساوية في الجزأين. الفرق هو في مساحة المقطع:

v_d1 = In·e·A₁ = 38.5·10²⁸ · 1.6·10⁻¹⁹ · 2·10⁻⁶ = 1.1·10⁻⁴ m/s

v_d2 = In·e·A₂ = 38.5·10²⁸ · 1.6·10⁻¹⁹ · 0.5·10⁻⁶ = 4.41·10⁻⁴ m/s

النسبة بين السرعتين هي عكس النسبة بين المساحتين:

v_d2v_d1 = A₁A₂ = 20.5 = 4

كما في نهر يضيق مجراه: الماء الذي يمرّ في الثانية هو نفسه، فيتحرّك أسرع في المقطع الضيّق.

v_d1 = 1.1·10⁻⁴ m/s , v_d2 = 4.41·10⁻⁴ m/s

سؤال 4.3: في سلك فلزّي كثافة الإلكترونات الحرّة 5·10²⁸ m⁻³، ومساحة مقطعه 0.8 mm². سرعة انسياق الإلكترونات فيه 0.25 mm/s. احسبوا شدّة التيار في السلك. كم تصبح سرعة الانسياق إذا ضاعفنا التيار في السلك نفسه؟

המתח החשמלי וחוק אוהם – الجهد الكهربائي وقانون أوم (Voltage and Ohm's Law)

الجهد: الشغل لوحدة الشحنة – המתח: עבודה ליחידת מטען:

في الفصل الثاني عرّفنا فرق الجهد بين نقطتين A و B في حقل كهربائي: هو الشغل الذي يبذله الحقل على وحدة شحنة موجبة تنتقل من A إلى B. نستعمل هذا التعريف نفسه في الدائرة الكهربائية. عندما يمرّ تيار في لمبة، يبذل الحقل الكهربائي داخل سلك اللمبة شغلا على حاملات الشحنة، وهي تنقل هذه الطاقة إلى الشبكة البلّورية بالاصطدامات فيسخن السلك ويتوهّج. الجهد بين طرفي اللمبة يخبرنا كم من الطاقة الكهربائية يتحوّل في اللمبة لكلّ كولون من الشحنة يعبره.

الجهد (מתח): (فرق الجهد) بين طرفي مركّب في الدائرة هو الشغل الذي يبذله الحقل الكهربائي على وحدة الشحنة عندما تعبر المركّب، وهو يساوي الطاقة الكهربائية التي تتحوّل في المركّب لكلّ وحدة شحنة. يرمز له بـ V (أو V_AB)، ووحدته الڤولط V.

الجهد بين طرفي مركّب · המתח בין קצות רכיב

V = Wq

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	الجهد (فرق الجهد) بين طرفي المركّب	[V]
W	الشغل الذي يبذله الحقل على الشحنة = الطاقة المتحوّلة في المركّب	[J]
q	الشحنة التي عبرت المركّب	[C]

من القانون 1 V = 1 J/C: جهد لمبة السيّارة 12 V يعني أنّ كلّ كولون يعبر اللمبة ينقل إليها 12 J من الطاقة. وكما رأينا في الفصل الثاني، إلكترون واحد يعبر جهدا مقداره 1 V يكسب أو يفقد طاقة مقدارها إلكترون ڤولط واحد:

1 eV = 1.6·10⁻¹⁹ J

من المفيد أن نتخيّل الدائرة كدائرة ماء مغلقة: البطّارية مضخّة ترفع الماء (الشحنات) إلى ارتفاع أعلى (جهد أعلى)، والماء ينزل عبر عجلة مائية (اللمبة) ويعطيها طاقة، ثم يعود إلى المضخّة. الجهد يشبه فرق الارتفاع، والتيار يشبه كمّية الماء التي تمرّ في الثانية. هذا التشبيه يساعد على الفهم، لكنّه ليس دقيقا في كلّ شيء.

مثال 4.7

عبرت لمبةً شحنةٌ مقدارها 3 C، وتحوّلت فيها طاقة كهربائية مقدارها 36 J إلى حرارة وضوء. نحسب الجهد بين طرفي اللمبة، والطاقة التي يعطيها للمبة كلّ إلكترون يعبره.

الحل:

V = Wq = 363 = 12 V

كلّ إلكترون يحمل الشحنة الأوّلية، فالطاقة التي ينقلها:

E = e·V = 1.6·10⁻¹⁹ · 12 = 1.92·10⁻¹⁸ J = 12 eV

V = 12 V , E = 12 eV

سؤال 4.4: بطّارية جهدها 9 V موصولة بجهاز. ما الطاقة التي تتحوّل في الجهاز عندما تعبره شحنة 0.5 C؟ وما الشحنة التي يجب أن تعبره ليتحوّل فيه 18 J؟

قياس التيار والجهد في الدائرة – מדידת זרם ומתח במעגל:

لكي ندرس العلاقة بين التيار والجهد نحتاج إلى جهازين، وسنتعرّف على بنائهما بالتفصيل في البند 4.8:

الأميتر (מד-זרם) يقيس التيار الذي يعبره، ولذلك يوصل على التوالي مع المركّب: نفتح الدائرة ونُدخله فيها بحيث يمرّ فيه التيار نفسه الذي يمرّ في المركّب.
الڤولطمتر (מד-מתח) يقيس فرق الجهد بين نقطتين، ولذلك يوصل على التوازي مع المركّب: طرفاه موصولان بطرفي المركّب، دون فتح الدائرة.
نفترض في هذا الفصل أنّ الأجهزة مثالية: الأميتر لا يغيّر التيار، والڤولطمتر لا يسحب تيارا.

الأميتر (أزرق) موصول على التوالي مع المقاوِم، والڤولطمتر (أخضر) موصول على التوازي معه. الإشارة + على كلّ جهاز تُوصل نحو القطب الموجب للمصدر

قانون أوم – חוק אוהם:

في سنة 1827 نشر الفيزيائي الألماني جورج أوم نتائج تجارب قاس فيها التيار في أسلاك فلزّية تحت جهود مختلفة. نعيد التجربة: نصل بمقاوِم بطّارية واحدة ثم اثنتين ثم ثلاثا، ونقرأ في كلّ مرّة الجهد والتيار. نجد أنّ مضاعفة الجهد تضاعف التيار، وتثليثه يثلّثه: التيار يتناسب طرديا مع الجهد، والنسبة VI تبقى ثابتة.

المقاومة (התנגדות): مقاومة مركّب هي النسبة بين الجهد بين طرفيه والتيار الذي يمرّ فيه: R = VI. وحدتها الأوم (אוהם) ورمزها  Ω، حيث 1 Ω = 1 V/A. المقاومة تصف «صعوبة» مرور التيار: بالجهد نفسه، كلّما كانت المقاومة أكبر كان التيار أصغر. المركّب الذي صُنع ليكون له مقاومة معيّنة يسمّى المقاوِم (נגד).

قانون أوم (חוק אוהם): في موصل فلزّي درجة حرارته ثابتة، شدّة التيار تتناسب طرديا مع الجهد بين طرفيه، أي أنّ مقاومته R ثابتة لا تتعلّق بالجهد ولا بالتيار.

قانون أوم · חוק אוהם

V = I·R

I = VR

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	الجهد بين طرفي المقاوِم	[V]
I	شدّة التيار في المقاوِم	[A]
R	المقاومة	[Ω]

انتبهوا: العلاقة R = VI هي تعريف المقاومة، وهي صحيحة لكلّ مركّب في كلّ نقطة عمل. أمّا قانون أوم فيقول شيئا إضافيا: إنّ هذه النسبة ثابتة. المركّب الذي يحقّق ذلك يسمّى مقاوِما أوميا (נגד אוהמי)، وليست كلّ المركّبات كذلك.

المنحنى المميّز للمقاوِم – האופיין של נגד:

المنحنى المميّز (אופיין): هو الرسم البياني للتيار في مركّب كدالّة للجهد بين طرفيه I(V). شكل المنحنى «بطاقة هويّة» للمركّب: منه نعرف إن كان يحقّق قانون أوم وما هي مقاومته في كلّ نقطة.

المنحنى المميّز لمقاوِم أومي هو خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل، وميله ΔIΔV = 1R — مقلوب المقاومة. كلّما كان الخطّ أشدّ ميلا كانت المقاومة أصغر. في بعض الكتب والامتحانات يُرسم الجهد كدالّة للتيار V(I)، وعندئذ يكون الميل R نفسه؛ لذلك نقرأ دائما أسماء المحورين قبل أن نفسّر الميل.

المنحنى المميّز لمقاوِم أومي: نقاط القياس (أحمر) تقع على خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل، وميله 1R

مثال 4.8

في تجربة قيس الجهد على مقاوِم والتيار فيه، وسُجّلت النتائج في الجدول. رُسمت النقاط في الرسم البياني أعلاه. نفحص إن كان المقاوِم أوميا، ونجد مقاومته، ثم نتنبّأ بالتيار عندما يكون الجهد 10 V.

الحل:

الجهد V [V]	2	4	6	8
التيار I [A]	0.05	0.1	0.15	0.2

النقاط تقع على خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل، إذًا المقاوِم أومي. نحسب الميل من نقطتين بعيدتين:

ΔIΔV = 0.2 − 0.058 − 2 = 0.156 = 0.025 A/V

R = ΔVΔI = 60.15 = 40 Ω

نفحص بنقطة واحدة: R = VI = 60.15 = 40 Ω. التيار عند 10 V:

I = VR = 1040 = 0.25 A

R = 40 Ω , I = 0.25 A

مثال 4.9

يبيّن الرسم المنحنى المميّز لمقاوِمين A و B. أيّ المقاوِمين مقاومته أكبر؟ نحسب مقاومة كلّ منهما، والتيار في كلّ منهما عندما يكون الجهد 6 V، والجهد اللازم ليمرّ في كلّ منهما تيار 0.2 A.

الحل:

الخطّ B أقلّ ميلا: بالجهد نفسه يمرّ فيه تيار أصغر، إذًا مقاومته أكبر. نقرأ من الرسم نقطة على كلّ خطّ — عند 10 V يمرّ في A تيار 0.5 A وفي B تيار 0.2 A:

R_A = 100.5 = 20 Ω

R_B = 100.2 = 50 Ω

عند الجهد 6 V (الخطّ المنقّط):

I_A = 620 = 0.3 A

I_B = 650 = 0.12 A

ولكي يمرّ تيار 0.2 A:

V_A = I·R_A = 0.2 · 20 = 4 V

V_B = I·R_B = 0.2 · 50 = 10 V

R_A = 20 Ω , R_B = 50 Ω

سؤال 4.5: يمرّ في مقاوِم مقاومته 15 Ω تيار عندما يكون الجهد بين طرفيه 6 V. ما شدّة التيار؟ ما الجهد اللازم ليمرّ فيه تيار 0.8 A؟ ارسموا منحناه المميّز بين 0 و 12 V.

لمبة التوهّج: مركّب غير أومي – נורת להט: רכיב לא אוהמי:

في لمبة التوهّج (נורת להט) يمرّ التيار في سلك رفيع جدّا من التنغستن، فيسخن حتى نحو 2500 °C ويتوهّج. عندما نرسم منحناها المميّز لا نحصل على خطّ مستقيم: في الجهود الصغيرة يزداد التيار بسرعة، ثم يزداد ببطء أكبر فأكبر. المنحنى «ينحني» نحو محور الجهد.

المنحنى المميّز للمبة توهّج (برتقالي). الخطّان المنقّطان من نقطة الأصل إلى P₁ وإلى P₂ ميلهما IV = 1R في كلّ نقطة: الثاني أقلّ ميلا، أي أنّ المقاومة ازدادت

السبب هو درجة الحرارة. كلّما ازداد الجهد ازداد التيار وسخن السلك أكثر، ومقاومة الفلزّ تزداد مع درجة الحرارة (البند 4.3). لذلك اللمبة لا تحقّق قانون أوم: مقاومتها ليست ثابتة، بل تتعلّق بنقطة العمل. لكنّ تعريف المقاومة R = VI يبقى صحيحا في كلّ نقطة على المنحنى.

مثال 4.10

من المنحنى المميّز للمبة التوهّج أعلاه نقرأ نقطتين: P₁ عند الجهد 1.5 V والتيار 0.15 A، و P₂ عند الجهد 12 V (جهد التشغيل العادي) والتيار 0.4 A. نحسب مقاومة اللمبة في كلّ نقطة.

الحل:

المقاومة في كلّ نقطة هي النسبة بين الجهد والتيار في تلك النقطة:

R₁ = V₁I₁ = 1.50.15 = 10 Ω

R₂ = V₂I₂ = 120.4 = 30 Ω

ازدادت المقاومة 3 أضعاف بين النقطتين، لأنّ السلك أسخن كثيرا في P₂.

R₁ = 10 Ω , R₂ = 30 Ω

انتبهوا: مقاومة مركّب غير أومي في نقطة ما هي VI في تلك النقطة، وليست مقلوب ميل المماسّ للمنحنى هناك. خطأ شائع في الامتحان هو حساب الميل المحلّي بدلا من النسبة بين الإحداثيّين.

سؤال 4.6: افترض طالب أنّ اللمبة السابقة أومية، وأنّ مقاومتها دائما 30 Ω (كما عند جهد التشغيل). ما التيار الذي يتوقّعه عند الجهد 1.5 V؟ قارنوا بقيمة التيار الحقيقية من المنحنى، وفسّروا الفرق.

▶تجربة حية — قانون أوم والمنحنى المميّزنمسح الجهد على مقاوِم ثم على لمبة توهّج، ونقارن المنحنيين المميّزين؛ نوقف المسح في عدّة نقاط ونحسب VI بأنفسنا لنرى أنّ مقاومة اللمبة تزداد مع الجهد.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#ohm

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#ohm

התנגדות – المقاومة (Resistance)

على ماذا تتعلّق مقاومة الموصل؟ – במה תלויה ההתנגדות של מוליך?:

لماذا يقاوم الموصل مرور التيار أصلا؟ الإلكترونات المنساقة تصطدم باستمرار بأيونات الشبكة البلّورية وبالشوائب، فتفقد في كلّ تصادم جزءا من الطاقة التي كسبتها من الحقل. إذا فكّرنا في هذه الصورة نستطيع أن نتوقّع على ماذا تتعلّق مقاومة سلك متجانس:

الطول ℓ: في سلك أطول تقطع الإلكترونات طريقا أطول وتصطدم أكثر. التجربة تبيّن أنّ مضاعفة الطول تضاعف المقاومة: R تتناسب طرديا مع ℓ.
مساحة المقطع A: في سلك أسمك توجد «مسارات» أكثر للإلكترونات جنبا إلى جنب. مضاعفة المساحة تُنصّف المقاومة: R تتناسب عكسيا مع A.
المادّة: في النحاس تتحرّك الإلكترونات بسهولة أكبر منها في الحديد أو في النيكروم. تأثير المادّة يعبَّر عنه بمقدار يسمّى المقاومة النوعية ρ.
درجة الحرارة: في الفلزّات تزداد المقاومة عندما ترتفع درجة الحرارة (سنعود إلى ذلك بعد قليل).

ثلاث مقارنات بين سلكين: طول مضاعف يضاعف المقاومة، مساحة مقطع مضاعفة تنصّفها، ومادّة أخرى تغيّرها

سلك متجانس: طوله ℓ، مساحة مقطعه A، ومادّته ذات مقاومة نوعية ρ

نجمع التناسبين في قانون واحد. ثابت التناسب يتعلّق بالمادّة فقط ويسمّى المقاومة النوعية. إذا عزلنا ρ من القانون نجد أنّ وحدتها  Ω·m، وأنّها تساوي عدديا مقاومة مكعّب من المادّة طول ضلعه متر واحد، يمرّ فيه التيار من وجه إلى الوجه المقابل.

المقاومة النوعية (התנגדות סגולית): هي خاصّية للمادّة تعبّر عن مدى معارضتها لمرور التيار، ولا تتعلّق بشكل الموصل أو بأبعاده (لكنّها تتعلّق بدرجة الحرارة). يرمز لها بـ ρ ووحدتها  Ω·m.

مقاومة موصل متجانس · התנגדות של מוליך אחיד

R = ρ·ℓA

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R	مقاومة الموصل	[Ω]
ρ	المقاومة النوعية للمادّة	[Ω·m]
ℓ	طول الموصل	[m]
A	مساحة المقطع العرضي	[m²]

يبيّن الجدول المقاومة النوعية لبعض الموادّ في درجة حرارة الغرفة. لاحظوا الفرق الهائل — أكثر من عشرين مرتبة عشرية — بين الموصلات الجيّدة والعوازل:

المادّة	المقاومة النوعية ρ [Ω·m]	استعمال نموذجي
الفضّة	1.6·10⁻⁸	أفضل موصل؛ يُستعمل في الملامسات الدقيقة
النحاس	1.7·10⁻⁸	أسلاك الكهرباء في البيوت والأجهزة
الألمنيوم	2.8·10⁻⁸	خطوط نقل الطاقة الهوائية (خفيف ورخيص)
التنغستن	5.6·10⁻⁸	سلك لمبة التوهّج (يتحمّل حرارة عالية)
الحديد	1·10⁻⁷
النيكروم (سبيكة)	1.1·10⁻⁶	سلك التسخين في المدافئ والغلّايات
الغرافيت (كربون)	3.5·10⁻⁵	المقاوِمات الصغيرة في الإلكترونيات
الزجاج	1·10¹²	عازل
المطّاط	1·10¹³	عازل: غلاف الأسلاك

مثال 4.11

سلك نحاسي طوله 50 m وقطره 0.8 mm (سلك تمديد نموذجي). نحسب مساحة مقطعه ومقاومته، ثم الجهد بين طرفيه عندما يمرّ فيه تيار 5 A.

الحل:

مقطع السلك دائرة. نصف القطر r = 0.4 mm = 4·10⁻⁴ m، والمساحة:

A = π·r² = π · (4·10⁻⁴)² = 5.027·10⁻⁷ m²

نعوّض في قانون المقاومة، ومقاومة النحاس النوعية من الجدول:

R = ρ·ℓA = 1.7·10⁻⁸ · 505.027·10⁻⁷ = 1.69 Ω

الجهد بين طرفي السلك عندما يمرّ فيه تيار 5 A:

V = I·R = 5 · 1.69 = 8.5 V

هذا جهد «يضيع» على السلك نفسه ولا يصل إلى الجهاز؛ لذلك يجب أن تكون أسلاك التمديد الطويلة سميكة بما يكفي.

A = 5.027·10⁻⁷ m² , R = 1.69 Ω

مثال 4.12

سلك مقاومته 5 Ω. نشدّه بآلة سحب حتى يتضاعف طوله، دون أن يتغيّر حجمه أو مادّته. ما مقاومته الجديدة؟

الحل:

حجم السلك ثابت: A′·ℓ′ = A·ℓ. إذا تضاعف الطول فلا بدّ أن تقلّ المساحة إلى النصف:

ℓ′ = 2ℓ

A′ = A2

نعوّض في قانون المقاومة:

R′ = ρ·ℓ′A′ = ρ·2ℓA2 = 4·ρ·ℓA = 4R = 4 · 5 = 20 Ω

المقاومة تزداد أربعة أضعاف وليس ضعفين: الطول يضاعفها مرّة، وتصغير المقطع يضاعفها مرّة أخرى.

R′ = 20 Ω

مثال 4.13

نريد صنع عنصر تسخين لمدفأة مقاومته 44 Ω من سلك نيكروم مساحة مقطعه 0.2 mm². ما طول السلك اللازم؟

الحل:

نعزل الطول من قانون المقاومة، ونحوّل المساحة: A = 0.2 mm² = 2·10⁻⁷ m²:

ℓ = R·Aρ = 44 · 2·10⁻⁷1.1·10⁻⁶ = 8 m

لو صنعنا العنصر من النحاس لاحتجنا إلى سلك طوله أكثر من نصف كيلومتر! لهذا تُصنع عناصر التسخين من سبائك مقاومتها النوعية كبيرة، ويُلفّ السلك على شكل نابض ليشغل حيّزا صغيرا.

ℓ = 8 m

سؤال 4.7: سلك طوله 2 m مقاومته 6 Ω.
أ. نقطعه إلى ثلاث قطع متساوية الطول: ما مقاومة كلّ قطعة؟
ب. سلك ثانٍ من المادّة نفسها وبالطول نفسه (2 m)، لكنّ قطره ضعف قطر الأوّل: ما مقاومته؟

تعلّق المقاومة بدرجة الحرارة – תלות ההתנגדות בטמפרטורה:

عندما ترتفع درجة حرارة الفلزّ تهتزّ أيونات الشبكة بسعة أكبر، فتصبح «هدفا» أكبر للإلكترونات المنساقة وتكثر التصادمات. لذلك تزداد المقاومة النوعية للفلزّات — وبالتالي مقاومتها — مع ارتفاع درجة الحرارة، تقريبا بشكل خطّي. في الموادّ شبه الموصلة (מוליכים למחצה)، مثل السيليكون والغرافيت، يحدث العكس: ارتفاع درجة الحرارة يحرّر حاملات شحنة إضافية، فتقلّ المقاومة بسرعة كبيرة.

مقاومة ملفّ نحاسي: 10 Ω عند 0 °C ونحو 14.3 Ω عند 100 °C

مقاوِم من مادّة شبه موصلة: مقاومته تقلّ بسرعة مع ارتفاع درجة الحرارة

هذه الظاهرة هي ما رأيناه في المنحنى المميّز للمبة التوهّج. وتُستعمل أيضا للقياس: مقياس الحرارة الكهربائي في السيّارة وفي الأفران الصناعية هو مقاوِم نقيس مقاومته ونحوّلها إلى درجة حرارة. في هذا الكتاب نتعامل مع تعلّق المقاومة بدرجة الحرارة بشكل نوعي فقط، ونفترض في المسائل أنّ مقاومة المقاوِمات ثابتة إلّا إذا ذُكر غير ذلك.

مثال 4.14

لمبة سيّارة تعمل على جهد 12 V ويمرّ فيها عندئذ تيار 0.5 A. قسنا مقاومة اللمبة وهي باردة (مطفأة) فوجدناها 2 Ω. نحسب مقاومة اللمبة وهي تعمل، والتيار الذي يمرّ فيها في اللحظة الأولى بعد تشغيلها.

الحل:

R_hot = VI = 120.5 = 24 Ω

في لحظة التشغيل السلك ما زال باردا، ومقاومته 2 Ω فقط:

I₀ = VR_cold = 122 = 6 A

التيار في اللحظة الأولى أكبر 12 مرّة من التيار العادي! خلال جزء من الثانية يسخن السلك ويتناقص التيار إلى 0.5 A. لهذا السبب «تحترق» اللمبات عادة في لحظة تشغيلها.

R_hot = 24 Ω , I₀ = 6 A

المقاوِم المتغيّر – נגד משתנה:

في كثير من الأجهزة نحتاج إلى تغيير التيار أو الجهد بشكل متواصل: مفتاح الصوت في جهاز الراديو القديم، منظّم شدّة الإضاءة، دوّاسة الوقود الكهربائية في السيّارة. الأداة لذلك هي المقاوِم المتغيّر، وهي تستغلّ مباشرة تناسب المقاومة مع الطول.

المقاوِم المتغيّر (נגד משתנה): هو مقاوِم نستطيع تغيير مقاومته بشكل متواصل بواسطة ملامس متحرّك يسمّى المنزلق (זחלן). يُبنى عادة من سلك مقاومته كبيرة ملفوف على أسطوانة عازلة، وفوقه قضيب معدني يتحرّك عليه المنزلق ويلامس اللفّات. له ثلاثة أطراف: طرفا السلك A و B، وطرف المنزلق C.

بناء المقاوِم المتغيّر: المقاومة بين A و C تتناسب مع طول السلك بين A والمنزلق، والمقاومة بين C و B مع الباقي؛ المقاومة بين A و B ثابتة

عندما نحرّك المنزلق نحو B يطول الجزء AC من السلك ويقصر الجزء CB. بما أنّ المقاومة تتناسب مع الطول:

R_AC + R_CB = R_AB

R_AC = R_AB·ℓ_ACℓ_AB

نستطيع أن نصل المقاوِم المتغيّر في الدائرة بطريقتين مختلفتين، ولكلّ منهما وظيفة مختلفة:

رموز المقاوِمات في مخطّط الدائرة

الوصل كريوستات: التحكّم بالتيار – חיבור כראוסטט: שליטה בזרם:

الريوستات (ראוסטט): هو مقاوِم متغيّر موصول بطرفين فقط — طرف من طرفي السلك وطرف المنزلق — على التوالي مع الحمل. تحريك المنزلق يغيّر المقاومة الكلّية في الدائرة، وبالتالي يغيّر التيار في الحمل.

التيار في دائرة الريوستات يمرّ في الحمل وفي الجزء الفعّال من الريوستات واحدا بعد الآخر، فتُجمع المقاومتان (سنبرهن ذلك في البند 4.7). إذا كان جهد المصدر V ومقاومة الحمل R_L والجزء الفعّال من الريوستات R_x:

I = VR_L + R_x

مثال 4.15

مصدر فرق جهده ثابت 12 V (نهمل مقاومته الداخلية) موصول على التوالي مع حمل مقاومته 20 Ω ومع ريوستات مقاومته الكاملة 40 Ω (الرسم). نحسب أكبر تيار وأصغر تيار يمكن الحصول عليهما في الحمل، ومجال الجهد على الحمل، والتيار عندما يكون المنزلق في منتصف الريوستات.

الحل:

أكبر تيار عندما يكون الجزء الفعّال من الريوستات صفرا (R_x = 0):

I_max = VR_L = 1220 = 0.6 A

أصغر تيار عندما يكون الريوستات كلّه في الدائرة (R_x = 40 Ω):

I_min = VR_L + R_x = 1220 + 40 = 0.2 A

الجهد على الحمل V_L = I·R_L يتراوح إذًا بين:

V_L,min = 0.2 · 20 = 4 V

V_L,max = 0.6 · 20 = 12 V

المنزلق في المنتصف: R_x = 20 Ω:

I = 1220 + 20 = 0.3 A

لاحظوا أنّ الريوستات لا يستطيع إنزال الجهد على الحمل إلى الصفر: أدنى جهد هنا 4 V.

I: 0.2 → 0.6 A , V_L: 4 → 12 V

الوصل كمجزّئ جهد: التحكّم بالجهد – חיבור כמחלק מתח: שליטה במתח:

مجزّئ الجهد (البوتنشيومتر) (פוטנציומטר – מחלק מתח): هو مقاوِم متغيّر موصول بأطرافه الثلاثة: طرفا السلك A و B موصولان بقطبي المصدر، والجهد المطلوب يؤخذ بين المنزلق C وأحد الطرفين. بتحريك المنزلق نحصل على أيّ جهد بين الصفر وجهد المصدر كلّه.

عندما لا يُسحب تيار من المنزلق (مثلا عندما نصل بين C و B ڤولطمتر مثاليا)، يمرّ في السلك كلّه تيار واحد I = VR_AB، والجهد بين C و B هو V_CB = I·R_CB. نعوّض:

مجزّئ الجهد (بدون حمل) · מחלק מתח (ללא עומס)

V_CB = V·R_CBR_AB = V·ℓ_CBℓ_AB

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	جهد المصدر الموصول بين A و B	[V]
V_CB	الجهد بين المنزلق C والطرف B	[V]
R_CB	مقاومة الجزء بين المنزلق والطرف B	[Ω]
R_AB	المقاومة الكاملة للمقاوِم المتغيّر	[Ω]

مثال 4.16

مقاوِم متغيّر مقاومته الكاملة 60 Ω موصول كمجزّئ جهد بمصدر فرق جهده 12 V. المنزلق على ربع طول السلك من الطرف B. نحسب التيار في المقاوِم المتغيّر وقراءة الڤولطمتر المثالي الموصول بين C و B، ومجال الجهود الذي نحصل عليه بتحريك المنزلق.

الحل:

الڤولطمتر المثالي لا يسحب تيارا، فالتيار نفسه يمرّ في السلك كلّه:

I = VR_AB = 1260 = 0.2 A

الجزء بين المنزلق والطرف B هو ربع السلك، ومقاومته R_CB = 14 · 60 = 15 Ω:

V_CB = I·R_CB = 0.2 · 15 = 3 V

نفحص بالقانون: V_CB = V·R_CBR_AB = 12 · 1560 = 3 V. عندما يكون المنزلق عند B تكون القراءة صفرا، وعندما يكون عند A تكون 12 V: مجزّئ الجهد يعطي كلّ جهد بين 0 و 12 V.

I = 0.2 A , V_CB = 3 V

ملاحظة: عندما نصل بين C و B حملا حقيقيا (لمبة مثلا)، يمرّ جزء من التيار في الحمل، ويصبح الجهد بين C و B أصغر من الذي يعطيه القانون. سنحسب هذه الحالة في البند 4.7 بعد أن نتعلّم الوصل على التوازي. القانون صحيح بدقّة عندما تكون مقاومة الحمل أكبر بكثير من R_CB.

	الريوستات	مجزّئ الجهد (البوتنشيومتر)
عدد الأطراف المستعملة	اثنان: طرف السلك والمنزلق	ثلاثة: طرفا السلك والمنزلق
طريقة الوصل	على التوالي مع الحمل	السلك كلّه بين قطبي المصدر، والحمل بين المنزلق وأحد الطرفين
ماذا يغيّر؟	التيار في الدائرة	الجهد على الحمل
مجال الجهد على الحمل	من قيمة دنيا أكبر من الصفر حتى جهد المصدر	من الصفر حتى جهد المصدر
مثال	تنظيم سرعة محرّك لعبة	مفتاح الصوت، دوّاسة الوقود الكهربائية

سؤال 4.8: مقاوِم متغيّر مقاومته الكاملة 100 Ω موصول كمجزّئ جهد بمصدر فرق جهده 9 V. على أيّ بُعد من الطرف B (كنسبة من طول السلك) يجب وضع المنزلق لكي يقرأ ڤولطمتر مثالي بين C و B القيمة 3.6 V؟ ما مقاومة الجزء CB عندئذ؟

▶تجربة حية — المقاومة، الريوستات ومجزّئ الجهدنغيّر طول السلك ومساحة مقطعه ومادّته ونقرأ المقاومة؛ ثم نقارن وصلة الريوستات بوصلة مجزّئ الجهد: نحرّك المنزلق ونراقب مجال الجهد على الحمل في كلّ منهما.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#resist

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#resist

כא"מ ומתח הדקים – القوّة الدافعة الكهربائية وفرق جهد القطبين (EMF and Terminal Voltage)

مصدر فرق الجهد – מקור מתח:

في الدائرة الخارجية تتحرّك الشحنات الموجبة (اصطلاحيا) من الجهد العالي إلى الجهد المنخفض، وتفقد طاقة في المقاوِمات. لكي تستمرّ الحركة في دائرة مغلقة يجب أن يكون في الدائرة جهاز «يرفع» الشحنات من جديد من الجهد المنخفض إلى الجهد العالي، أي يحرّكها عكس القوّة الكهربائية. هذا الجهاز يجب أن يبذل شغلا على الشحنات، والطاقة لذلك تأتي من مصدر غير كهربائي.

مصدر فرق الجهد (מקור מתח): هو جهاز يحوّل نوعا آخر من الطاقة إلى طاقة كهربائية، ويحافظ على فرق جهد بين طرفيه. في البطّارية مصدر الطاقة كيميائي، في الخلية الشمسية ضوئي، وفي المولّد (الفصل السادس) ميكانيكي.

القوّة الدافعة الكهربائية (כוח אלקטרו-מניע – כא"מ): هي الشغل الذي يبذله المصدر على وحدة الشحنة الموجبة عندما ينقلها داخله من القطب السالب إلى القطب الموجب. يرمز لها بـ ε، ووحدتها الڤولط. رغم اسمها هي ليست قوّة، بل طاقة لوحدة الشحنة: ε = Wq، حيث W هو الشغل الذي يبذله المصدر على الشحنة q.

البطّارية العادية 1.5 V تعطي كلّ كولون يمرّ فيها 1.5 J من الطاقة الكيميائية، وبطّارية السيّارة 12 V تعطيه 12 J. لكنّ هذه الطاقة لا تصل كلّها إلى الدائرة الخارجية: داخل البطّارية نفسها توجد موادّ يجب أن يمرّ فيها التيار، ولها مقاومة. هذه هي المقاومة الداخلية للمصدر.

نموذج البطّارية الحقيقية: مصدر مثالي ε ومقاومة داخلية r على التوالي، داخل «صندوق» واحد

نصف البطّارية الحقيقية كمركّبتين موصولتين على التوالي داخل صندوق واحد: مصدر مثالي قوّته الدافعة الكهربائية ε، ومقاومة داخلية r. لا نستطيع الوصول إلى النقطة التي بينهما — من الخارج نصل فقط إلى الطرفين A و B. الجهد الذي نقيسه بين A و B يسمّى فرق جهد القطبين.

المقاومة الداخلية (התנגדות פנימית): هي مقاومة الموادّ التي يمرّ فيها التيار داخل المصدر نفسه. يرمز لها بـ r. في البطّارية الجديدة هي صغيرة (أجزاء من الأوم)، وتكبر كلّما «تعبت» البطّارية.

فرق جهد القطبين (מתח הדקים): (جهد القطبين) هو فرق الجهد بين طرفي المصدر A و B عندما يكون موصولا بالدائرة. يرمز له بـ V (أو V_AB).

العلاقة بين فرق جهد القطبين والقوّة الدافعة الكهربائية – הקשר בין מתח ההדקים לכא"מ:

نصل المصدر بمقاوِم خارجي R (الحمل) ونتابع شحنة q تدور مرّة واحدة في الدائرة. المصدر يعطيها طاقة q·ε. جزء منها تفقده داخل المصدر على المقاومة الداخلية (q·I·r)، والباقي تفقده في الحمل (q·V). حفظ الطاقة يعطي:

q·ε = q·V + q·I·r

ε = V + I·r

فرق جهد القطبين · מתח ההדקים

V = ε − I·r

I = εR + r

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	فرق جهد القطبين (يساوي الجهد على الحمل V = I·R)	[V]
ε	القوّة الدافعة الكهربائية للمصدر	[V]
I	شدّة التيار في الدائرة (وفي المصدر)	[A]
r	المقاومة الداخلية	[Ω]
R	مقاومة الحمل الخارجي	[Ω]

القانون الثاني نحصل عليه عندما نعوّض V = I·R في الأوّل: ε = I·R + I·r. المقدار I·r هو «هبوط الجهد» داخل المصدر، وهو الجهد الذي يضيع قبل أن يصل إلى الدائرة الخارجية. نستنتج ثلاث حالات مهمّة:

دائرة مفتوحة (I = 0): لا يوجد هبوط جهد داخلي، وفرق جهد القطبين يساوي القوّة الدافعة الكهربائية: V = ε. لذلك ڤولطمتر مثالي موصول وحده بطرفي بطّارية يقيس قوّتها الدافعة الكهربائية.
دائرة مغلقة: فرق جهد القطبين أصغر من ε، وكلّما كبر التيار (أي كلّما صغرت مقاومة الحمل) صغر فرق جهد القطبين.
دائرة قصر (R = 0): التيار أكبر ما يمكن، I_max = εr، وفرق جهد القطبين صفر.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ البطّارية «تعطي» دائما التيار نفسه مهما وصلنا بطرفيها. البطّارية مصدر قوّة دافعة كهربائية ثابتة، وليست مصدر تيار ثابت: شدّة التيار تتحدّد من الدائرة كلّها — من القوّة الدافعة الكهربائية ومن المقاومة الكلّية R + r — فكلّما صغرت مقاومة الحمل كبر التيار المسحوب، وهبط معه فرق جهد القطبين.

مثال 4.17

بطّارية قوّتها الدافعة الكهربائية 6 V ومقاومتها الداخلية 0.5 Ω موصولة بمقاوِم R = 5.5 Ω. نحسب التيار، فرق جهد القطبين والجهد الذي يضيع داخل البطّارية. ثم نستبدل المقاوِم بمقاوِم 2.5 Ω ونحسب من جديد.

الحل:

المصدر المثالي والمقاومة الداخلية والحمل على التوالي، فيمرّ فيها التيار نفسه:

I = εR + r = 65.5 + 0.5 = 1 A

V = ε − I·r = 6 − 1 · 0.5 = 5.5 V

نفحص بالحمل نفسه: V = I·R = 1 · 5.5 = 5.5 V. الجهد الضائع داخل البطّارية I·r = 0.5 V. مع المقاوِم الثاني:

I′ = 62.5 + 0.5 = 2 A

V′ = 6 − 2 · 0.5 = 5 V

المقاوِم الأصغر سحب تيارا أكبر، فازداد الجهد الضائع داخل البطّارية إلى 1 V ونقص فرق جهد القطبين.

I = 1 A , V = 5.5 V ; I′ = 2 A , V′ = 5 V

دائرة المثال التالي: الڤولطمتر على طرفي البطّارية يقرأ فرق جهد القطبين

مثال 4.18

ڤولطمتر مثالي موصول وحده بطرفي بطّارية قديمة يقرأ 1.5 V. عندما نصل بطرفي البطّارية مقاوِما 2 Ω تنخفض القراءة إلى 1.2 V (الرسم أعلاه). نجد القوّة الدافعة الكهربائية للبطّارية، التيار، والمقاومة الداخلية.

الحل:

في الدائرة المفتوحة لا يمرّ تيار، فالقراءة الأولى هي القوّة الدافعة الكهربائية: ε = 1.5 V. بعد وصل المقاوِم القراءة هي فرق جهد القطبين، وهو الجهد على المقاوِم نفسه:

I = VR = 1.22 = 0.6 A

من قانون فرق جهد القطبين نعزل المقاومة الداخلية:

r = ε − VI = 1.5 − 1.20.6 = 0.5 Ω

ε = 1.5 V , I = 0.6 A , r = 0.5 Ω

دائرة القصر – קצר:

دائرة قصر (קצר): هي وصل طرفي المصدر (أو طرفي مركّب) بموصل مقاومته مهملة. في دائرة القصر يحدّ التيار فقط المقاومة الداخلية: I_max = εr، ويصبح فرق جهد القطبين صفرا — الڤولطمتر على الطرفين يقرأ صفرا.

دائرة قصر: سلك مقاومته مهملة بين طرفي البطّارية؛ كلّ القوّة الدافعة الكهربائية «تضيع» على المقاومة الداخلية

تحذير: لأنّ المقاومة الداخلية صغيرة، يكون تيار القصر كبيرا جدّا. في بطّارية سيّارة (ε = 12 V ، r = 0.02 Ω) يصل تيار القصر إلى 600 A! هذا التيار يسخّن الأسلاك حتى الانصهار ويُشعل حريقا، وقد يُفجّر البطّارية. لهذا السبب نضع في كلّ دائرة مصهرا أو قاطعا آليا، ولا نلمس قطبي بطّارية بأداة معدنية في الوقت نفسه.

سؤال 4.9: القوّة الدافعة الكهربائية لبطّارية سيّارة 12.6 V ومقاومتها الداخلية 0.02 Ω. عند تشغيل المحرّك يسحب محرّك البدء تيارا شدّته 150 A. ما فرق جهد القطبين في هذه اللحظة؟ لماذا تخفت أضواء السيّارة قليلا عند تشغيل المحرّك؟ ما تيار القصر لهذه البطّارية؟

الرسم البياني لفرق جهد القطبين كدالّة للتيار – גרף מתח ההדקים כפונקציה של הזרם:

القانون V = ε − r·I هو معادلة خطّ مستقيم في رسم فرق جهد القطبين كدالّة للتيار، مثل y = b + m·x. من الرسم نقرأ مباشرة خصائص المصدر:

نقطة التقاطع مع محور الجهد (I = 0) هي القوّة الدافعة الكهربائية ε.
نقطة التقاطع مع محور التيار (V = 0) هي تيار القصر I_max = εr.
الميل سالب ويساوي −r: ΔVΔI = −r. كلّما كانت المقاومة الداخلية أكبر كان الخطّ أشدّ انحدارا.

فرق جهد القطبين كدالّة للتيار لبطّارية المثال 3.17 (ε = 6 V ، r = 0.5 Ω). نقطتا العمل في المثال (أسود) تقعان على الخطّ نفسه

كلّ مقاوِم خارجي نصله بالبطّارية يحدّد نقطة عمل واحدة على هذا الخطّ: المقاوِم الكبير قريب من محور الجهد (تيار صغير، V ≈ ε)، والمقاوِم الصغير قريب من محور التيار. الخطّ نفسه لا يتغيّر ما دامت البطّارية نفسها — هو «المنحنى المميّز» للمصدر.

مثال 4.19

من الرسم البياني أعلاه نقرأ القوّة الدافعة الكهربائية وتيار القصر، ونحسب المقاومة الداخلية. ثم نجد فرق جهد القطبين ومقاومة الحمل عندما يكون التيار 4 A.

الحل:

من نقطتي التقاطع مع المحورين: ε = 6 V و I_max = 12 A. المقاومة الداخلية هي سالب الميل:

r = −ΔVΔI = −0 − 612 − 0 = 0.5 Ω

عند التيار 4 A:

V = ε − I·r = 6 − 4 · 0.5 = 4 V

R = VI = 44 = 1 Ω

r = 0.5 Ω , V = 4 V , R = 1 Ω

قياس القوّة الدافعة الكهربائية والمقاومة الداخلية في المختبر – מדידת הכא"מ וההתנגדות הפנימית במעבדה:

هذه هي الطريقة المتّبعة في المختبر لقياس خصائص بطّارية: نصل بالبطّارية ريوستات وأميتر على التوالي، وڤولطمتر بين طرفيها. نحرّك المنزلق ونسجّل في كلّ مرّة التيار وفرق جهد القطبين، ثم نرسم النقاط ونمرّر بينها أفضل خطّ مستقيم. نمدّ الخطّ حتى المحورين فنقرأ ε و I_max، ونحسب r من الميل.

مثال 4.20

في تجربة لقياس خصائص بطّارية حصل الطلاب على النتائج في الجدول. نرسم فرق جهد القطبين كدالّة للتيار، ونجد القوّة الدافعة الكهربائية، المقاومة الداخلية وتيار القصر.

الحل:

التيار I [A]	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2
فرق جهد القطبين V [V]	2.84	2.68	2.52	2.36	2.2	2.04

النقاط تقع على خطّ مستقيم. نحسب الميل من النقطتين الأبعد:

ΔVΔI = 2.04 − 2.841.2 − 0.2 = −0.8 Ω

r = 0.8 Ω

نمدّ الخطّ (منقّطا في الرسم) حتى محور الجهد. نحسب نقطة التقاطع من نقطة واحدة والميل:

ε = V + I·r = 2.84 + 0.2 · 0.8 = 3 V

I_max = εr = 30.8 = 3.75 A

نقاط القياس والخطّ الممدود حتى المحورين

ε = 3 V , r = 0.8 Ω , I_max = 3.75 A

مثال 4.21

يبيّن الرسم البياني فرق جهد القطبين كدالّة للتيار لبطّاريتين A و B. نقارن بين قوّتيهما الدافعتين ومقاومتيهما الداخليتين، ونجد التيار الذي يكون عنده فرق جهد القطبين متساويا في البطّاريتين.

الحل:

من التقاطع مع محور الجهد: ε_A = 4.5 V و ε_B = 3 V. من التقاطع مع محور التيار I_max,A = 3 A و I_max,B = 6 A، ومنه:

r_A = ε_AI_max,A = 4.53 = 1.5 Ω

r_B = ε_BI_max,B = 36 = 0.5 Ω

للبطّارية A قوّة دافعة كهربائية أكبر، لكنّ مقاومتها الداخلية أكبر أيضا (خطّها أشدّ انحدارا). جهدا الأطراف متساويان في نقطة تقاطع الخطّين:

4.5 − 1.5·I = 3 − 0.5·I

I = 4.5 − 31.5 − 0.5 = 1.5 A

V = 4.5 − 1.5 · 1.5 = 2.25 V

في التيارات الأصغر من 1.5 A تعطي البطّارية A جهد أطراف أكبر، وفي التيارات الأكبر تتفوّق البطّارية B.

I = 1.5 A , V = 2.25 V

فرق جهد القطبين كدالّة لمقاومة الحمل – מתח ההדקים כפונקציה של התנגדות העומס:

من القانونين معا نحصل على فرق جهد القطبين بدلالة مقاومة الحمل: V = I·R = ε·RR + r. عندما تكون R أكبر بكثير من r يقترب V من ε، وعندما تكون R = r يكون V = ε2 بالضبط. لذلك المصدر «الجيّد» هو الذي مقاومته الداخلية صغيرة جدّا مقارنة بالأحمال التي نصلها به: عندئذ يبقى جهد أطرافه شبه ثابت مهما كان الحمل.

فرق جهد القطبين كدالّة لمقاومة الحمل لمصدر ε = 6 V و r = 2 Ω: يقترب من ε عندما تكبر R، ويساوي ε2 عندما R = r

سؤال 4.10: خطّ فرق جهد القطبين كدالّة للتيار لمصدر ما يقطع محور الجهد عند 12 V ومحور التيار عند 4 A. احسبوا القوّة الدافعة الكهربائية والمقاومة الداخلية. ما فرق جهد القطبين وما مقاومة الحمل عندما يكون التيار 1.5 A؟

نشاط: اصنعوا بطّارية من ليمونة: اغرسوا فيها مسمارا مجلفنا (مطليّا بالزنك) وقطعة نحاس على بُعد بضعة سنتيمترات. قيسوا الجهد بينهما بڤولطمتر رقمي — هذه هي القوّة الدافعة الكهربائية (نحو 0.9 V). صِلوا بين القطعتين مقاوِما 1 kΩ وقيسوا الجهد من جديد: لماذا ينخفض كثيرا؟ احسبوا من القياسين المقاومة الداخلية لبطّارية الليمون.

▶تجربة حية — القوّة الدافعة الكهربائية وفرق جهد القطبيننضبط القوّة الدافعة الكهربائية والمقاومة الداخلية، ونصغّر مقاومة الحمل خطوة بعد خطوة: قبل كلّ خطوة نتنبّأ بفرق جهد القطبين، ونراقب نقطة العمل تنزلق على الخطّ المستقيم نفسه حتى دائرة القصر.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#emf

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#emf

טיפול כמותי בטעינה ופריקה של קבל – معالجة كمّية لشحن المكثّف وتفريغه (Charging and Discharging a Capacitor)

عرفنا أنّ المكثّف يخزّن شحنة كهربائية، وأنّ سعته الكهربائية هي النسبة بين الشحنة على أحد لوحيه وفرق الجهد بينهما: C = QV. عندما نصل مكثّفا فارغا بمصدر فرق جهد مباشرة بسلك، يُشحن في لحظة قصيرة جدّا. أمّا إذا وصلناه عبر مقاوِم، فإنّ المقاوِم يحدّ من شدّة التيار، فتتراكم الشحنة على اللوحين تدريجيا ويرتفع جهد المكثّف ببطء يمكن قياسه. في هذا البند نصف هذه العملية كمّيا: كم من الوقت يستغرق الشحن والتفريغ، وكيف يتغيّر الجهد والتيار والشحنة مع الزمن.

دائرة الشحن والتفريغ – מעגל טעינה ופריקה:

دائرة RC: مصدر فرق جهد ε، مقاوِم R، مكثّف C ومفتاح ثنائي الوضع S. في الوضع 1 يُشحن المكثّف عبر المقاوِم، وفي الوضع 2 يُفصل المصدر ويتفرّغ المكثّف عبر المقاوِم نفسه

نفترض أنّ المكثّف فارغ، وأنّ المصدر مثالي (مقاومته الداخلية مهملة أو مضمومة إلى R). في اللحظة t = 0 ننقل المفتاح إلى الوضع 1. نكتب قانون الحلقات (الذي سنتوسّع فيه لاحقا في هذا الفصل): القوّة الدافعة الكهربائية للمصدر تساوي مجموع الجهد على المقاوِم والجهد على المكثّف:

ε = V_R + V_C

ε = I·R + qC

في اللحظة الأولى (t = 0): المكثّف فارغ، q = 0 ، فجهده صفر، وكلّ جهد المصدر يقع على المقاوِم. التيار أكبر ما يمكن: I₀ = εR. المكثّف الفارغ يتصرّف في هذه اللحظة كسلك (دائرة قصر).
أثناء الشحن: تتراكم الشحنة فيرتفع V_C = qC ، وينخفض الجهد على المقاوِم V_R = ε − V_C ، فيقلّ التيار. وكلّما قلّ التيار تباطأ تراكم الشحنة — لذلك يتباطأ الشحن مع الزمن.
في النهاية: يقترب جهد المكثّف من ε ، والتيار من الصفر. المكثّف المشحون كلّيا يتصرّف كقطع في الدائرة (دائرة مفتوحة). الشحنة النهائية هي Q₀ = C·ε.

ثابت الزمن (קבוע זמן): هو حاصل ضرب مقاومة الدائرة في سعة المكثّف، τ = R·C. يحدّد ثابت الزمن سرعة الشحن والتفريغ: كلّما كبر τ استغرقت العملية وقتا أطول. ثابت الزمن لا يتعلّق بجهد المصدر.

ثابت الزمن لدائرة RC · קבוע הזמן

τ = R·C

الرمز	المعنى	وحدة القياس
τ	ثابت الزمن	[s]
R	المقاومة التي يمرّ عبرها تيار الشحن أو التفريغ	[Ω]
C	سعة المكثّف	[F]

نتحقّق من أنّ وحدة حاصل الضرب هي الثانية، بالاستعانة بتعريفَي المقاومة والسعة:

Ω·F = VA·CV = CA = A·sA = s

الجهد والشحنة والتيار أثناء الشحن – מתח, מטען וזרם בזמן הטעינה:

حلّ معادلة الدائرة (الذي لا نستنتجه هنا) هو دالّة أسّية (פונקציה מעריכית) في الزمن. العدد e ≈ 2.718 هو أساس اللوغاريتم الطبيعي، ونحسب قوى هذا العدد بالحاسبة (الزرّ e^x):

شحن المكثّف عبر مقاوِم · טעינת קבל

q(t) = Q₀·(1 − e^−tτ)

V_C(t) = ε·(1 − e^−tτ)

I(t) = I₀·e^−tτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Q₀	الشحنة النهائية، Q₀ = C·ε	[C]
I₀	التيار الابتدائي، I₀ = εR	[A]
V_C	جهد المكثّف في اللحظة t	[V]
τ	ثابت الزمن، τ = R·C	[s]

هذه القوانين حالات خاصة من القانون العام للحالة العابرة (משוואת הדפקים): كلّ مقدار في الدائرة — جهد، شحنة أو تيار — ينتقل بشكل أسّي من قيمة ابتدائية إلى قيمة نهائية، ويكفي أن نعرف من أين نبدأ، إلى أين نصل، وما هو ثابت الزمن. في كلّ الحلول نعوّض في القانون العام.

القانون العام للحالة العابرة · הנוסחה הכללית למצב המעבר (משוואת הדפקים)

x(t) = x_∞ + (x₀ − x_∞)·e^−Δtτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
x(t)	الجهد أو الشحنة أو التيار في اللحظة t	—
x₀	القيمة الابتدائية: مباشرة بعد إغلاق المفتاح	—
x_∞	القيمة النهائية: في الحالة المستقرّة	—
Δt	الزمن الذي مرّ منذ التغيّر الأخير (إغلاق مفتاح أو قفزة في الدخل)؛ في لحظة التغيّر Δt = 0 ، وفي كل مرحلة جديدة نقيسه من جديد	[s]
τ	ثابت الزمن، τ = R·C	[s]

ملاحظة: جهد المكثّف أثناء الشحن هو القانون العام مع x₀ = 0 و x_∞ = ε ، والتيار هو القانون العام مع x₀ = I₀ و x_∞ = 0 ؛ وفي التفريغ x_∞ = 0 لكلّ المقادير.

جهد المكثّف أثناء الشحن: يرتفع نحو ε ويقترب منه دون أن يبلغه. المماسّ في البداية (متقطّع أحمر) يبلغ ε عند t = τ

التيار أثناء الشحن: يبدأ من I₀ = εR ويتضاءل أسّيا نحو الصفر

الزمن	e^−tτ — نسبة التيار المتبقّية	1 − e^−tτ — نسبة الشحنة	مقدار الشحن
t = τ	0.368	0.632	63.2 بالمئة
t = 2τ	0.135	0.865	86.5 بالمئة
t = 3τ	0.05	0.95	95 بالمئة
t = 4τ	0.018	0.982	98.2 بالمئة
t = 5τ	0.007	0.993	99.3 بالمئة

من الجدول نستخلص القاعدة العملية: بعد ثابت زمن واحد يبلغ جهد المكثّف (وشحنته) نحو 63 بالمئة من قيمته النهائية، ويهبط التيار إلى نحو 37 بالمئة من قيمته الابتدائية. بعد 5τ يكون الشحن قد اكتمل عمليا (أكثر من 99 بالمئة). نلاحظ أيضا أنّ في كلّ لحظة V_R + V_C = ε: ما يكسبه المكثّف من الجهد يخسره المقاوِم.

ملاحظة: طريقة لقراءة τ من الرسم البياني: نرسم المماسّ لمنحنى الجهد (أو التيار) في اللحظة t = 0. هذا المماسّ يقطع الخطّ الأفقي V = ε (أو محور الزمن في رسم التيار) في اللحظة t = τ بالضبط. وطريقة ثانية: نبحث عن اللحظة التي يبلغ فيها الجهد 0.63ε ، أو يهبط فيها التيار إلى 0.37I₀.

مثال 4.22

نصل مكثّفا فارغا سعته 400 μF بمصدر فرق جهد 9 V عبر مقاوِم 5 kΩ ، ونغلق المفتاح في اللحظة t = 0. نحسب:
أ. ثابت الزمن.
ب. التيار الابتدائي والشحنة النهائية.
ج. جهد المكثّف والتيار في اللحظة t = 4 s.
د. متى يبلغ جهد المكثّف 6 V؟

الحل:

أ. نحوّل إلى الوحدات الأساسية: R = 5·10³ Ω ، C = 400·10⁻⁶ F:

τ = R·C = 5·10³ · 400·10⁻⁶ = 2 s

ب. في اللحظة الأولى كلّ الجهد على المقاوِم، وفي النهاية كلّه على المكثّف:

I₀ = εR = 95·10³ = 1.8·10⁻³ A = 1.8 mA

Q₀ = C·ε = 400·10⁻⁶ · 9 = 3.6·10⁻³ C = 3.6 mC

ج. اللحظة t = 4 s تساوي 2τ ، فالأسّ يساوي −2. للجهد x₀ = 0 و x_∞ = ε = 9 V ، وللتيار x₀ = I₀ = 1.8 mA و x_∞ = 0. نعوّض في القانون العام:

V_C = 9 + (0 − 9)·e⁻² = 7.78 V

I = 0 + (1.8 − 0)·e⁻² = 0.244 mA

نتحقّق بقانون الحلقات: الجهد على المقاوِم V_R = I·R = 1.22 V ، ومجموعهما 7.78 + 1.22 = 9 V كما يجب.

د. نعوّض V_C = 6 V في القانون العام ونعزل الحدّ الأسّي:

6 = 9 + (0 − 9)·e^−Δtτ

e^−Δtτ = 9 − 69 = 13

e^Δtτ = 3

Δt = τ·ln 3 = 2 · ln 3 = 2.2 s

الزرّ ln في الحاسبة هو العملية العكسية للقوّة e^x: إذا كان e^x = 3 فإنّ x = ln 3.

τ = 2 s , I₀ = 1.8 mA , V_C(4 s) = 7.78 V , Δt = 2.2 s

جهد المكثّف في المثال: 5.69 V عند t = τ = 2 s و 7.78 V عند t = 4 s

التيار في المثال: من 1.8 mA إلى 0.66 mA عند t = τ

سؤال 4.11: مقاوِم 2 MΩ ومكثّف 1.5 μF موصولان على التوالي بمصدر فرق جهد 6 V. احسبوا ثابت الزمن، وجهد المكثّف بعد 3 s من إغلاق الدائرة، والزمن الذي يكتمل بعده الشحن بنسبة 95 بالمئة تقريبا.

تفريغ المكثّف – פריקת הקבל:

التفريغ: المفتاح في الوضع 2. المكثّف المشحون يعمل كمصدر، والتيار يخرج من لوحه الموجب ويمرّ في المقاوِم بعكس اتّجاه تيار الشحن

بعد أن يُشحن المكثّف إلى الجهد V₀ ننقل المفتاح إلى الوضع 2. الآن لا يوجد مصدر في الحلقة، والمكثّف نفسه يدفع الشحنة من لوحه الموجب عبر المقاوِم إلى لوحه السالب. في اللحظة الأولى يقع كلّ جهد المكثّف على المقاوِم، فالتيار I₀ = V₀R. مع خروج الشحنة يقلّ جهد المكثّف، فيقلّ التيار، ويتباطأ التفريغ. قانون الحلقات في التفريغ هو V_C = I·R ، وحلّه دالّة أسّية متناقصة بثابت الزمن نفسه τ = R·C:

تفريغ المكثّف عبر مقاوِم · פריקת קבל

q(t) = Q₀·e^−tτ

V_C(t) = V₀·e^−tτ

I(t) = I₀·e^−tτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Q₀	شحنة المكثّف في بداية التفريغ، Q₀ = C·V₀	[C]
V₀	جهد المكثّف في بداية التفريغ	[V]
I₀	التيار الابتدائي، I₀ = V₀R	[A]

جهد المكثّف أثناء التفريغ: بعد τ يبقى 37 بالمئة من الجهد الابتدائي

مقدار التيار أثناء التفريغ. اتّجاهه معاكس لاتّجاه تيار الشحن

في التفريغ تتناقص المقادير الثلاثة — الشحنة والجهد والتيار — بالنسبة نفسها: بعد كلّ ثابت زمن يبقى منها e⁻¹ ≈ 0.37 ممّا كان. من المفيد أيضا أن نعرف الزمن الذي يهبط فيه الجهد إلى النصف. نعوّض e^−tτ = 12:

t_h = τ·ln 2 ≈ 0.69τ

ملاحظة: t_h هو «زمن نصف التفريغ»: خلال كلّ فترة كهذه يهبط الجهد (والشحنة والتيار) إلى نصف قيمته، مهما كانت القيمة في بداية الفترة. بعد t_h يبقى النصف، وبعد 2t_h الربع، وبعد 3t_h الثُّمن.

مثال 4.23

مكثّف سعته 200 μF مشحون إلى جهد 20 V ، ويتفرّغ عبر مقاوِم 50 kΩ. نحسب:
أ. ثابت الزمن، والتيار الابتدائي، والشحنة الابتدائية.
ب. جهد المكثّف بعد 10 s وبعد 20 s.
ج. بعد كم من الوقت يهبط جهده إلى 5 V؟
د. ما مقدار الطاقة التي تتحوّل إلى حرارة في المقاوِم خلال التفريغ كلّه؟

الحل:

أ. ثابت الزمن والقيمتان الابتدائيتان:

τ = R·C = 50·10³ · 200·10⁻⁶ = 10 s

I₀ = V₀R = 2050·10³ = 4·10⁻⁴ A = 0.4 mA

Q₀ = C·V₀ = 200·10⁻⁶ · 20 = 4·10⁻³ C

ب. 10 s هي τ ، و 20 s هي 2τ. في التفريغ x₀ = 20 V و x_∞ = 0 ، ونعوّض في القانون العام:

V_C(10 s) = 0 + (20 − 0)·e⁻¹ = 7.36 V

V_C(20 s) = 0 + (20 − 0)·e⁻² = 2.71 V

ج. نعوّض V_C = 5 V في القانون العام:

5 = 0 + (20 − 0)·e^−Δtτ

e^Δtτ = 205 = 4

Δt = τ·ln 4 = 10 · ln 4 = 13.9 s

يمكن أن نصل إلى النتيجة نفسها بزمن نصف التفريغ: من 20 V إلى 5 V هبوط إلى الربع، أي 2t_h = 2 · 0.69 · 10 ≈ 13.8 s.

د. في النهاية المكثّف فارغ، فكلّ الطاقة التي كانت مخزونة فيه تحوّلت إلى حرارة في المقاوِم:

U = 12·C·V₀² = 12 · 200·10⁻⁶ · 20² = 0.04 J

τ = 10 s , V_C(10 s) = 7.36 V , Δt = 13.9 s , E = 0.04 J

سؤال 4.12: مكثّف سعته 100 μF يتفرّغ عبر مقاوِم. هبط جهده من 12 V إلى 4.41 V خلال 0.5 s. ما هو ثابت الزمن؟ وما هي مقاومة المقاوِم؟

الشحنة هي المساحة تحت منحنى التيار – המטען הוא השטח מתחת לגרף הזרם:

إذا كان التيار ثابتا فإنّ الشحنة التي تمرّ في الزمن Δt هي Δq = I·Δt ، وهذه هي مساحة المستطيل تحت الرسم البياني للتيار كدالّة للزمن. عندما يتغيّر التيار نقسم الزمن إلى فترات قصيرة جدّا، يكون التيار في كلّ منها ثابتا تقريبا، فتكون الشحنة في كلّ فترة مساحة شريط ضيّق. بجمع الشرائح نحصل على قاعدة عامّة:

القاعدة: الشحنة التي تمرّ في الدائرة خلال فترة زمنية تساوي المساحة المحصورة بين منحنى التيار ومحور الزمن في تلك الفترة. في الشحن هذه هي الشحنة التي تراكمت على المكثّف، وفي التفريغ هي الشحنة التي خرجت منه.

المساحة الزرقاء تحت منحنى التيار هي الشحنة الكلّية. الشريط الأصفر الضيّق مساحته I·Δt تقريبا: الشحنة التي مرّت في فترة قصيرة

في الشحن الكامل المساحة الكلّية تحت المنحنى I = I₀·e^−tτ تساوي بالضبط مساحة مستطيل ارتفاعه I₀ وعرضه τ. نتحقّق من أنّ ذلك يتّفق مع الشحنة النهائية:

Q₀ = I₀·τ = εR·R·C = C·ε

مثال 4.24

يبيّن الرسم البياني السابق التيار الذي قيس أثناء شحن مكثّف فارغ عبر مقاوِم، بمصدر فرق جهد 12 V. نستخدم الرسم لنجد:
أ. ثابت الزمن.
ب. مقاومة المقاوِم وسعة المكثّف.
ج. الشحنة النهائية على المكثّف.

الحل:

أ. نقرأ من الرسم التيار الابتدائي I₀ = 2 mA. نبحث عن اللحظة التي يهبط فيها التيار إلى 0.37 · 2 = 0.74 mA ، فنجدها عند t = 3 s. إذًا:

τ = 3 s

ب. في اللحظة الأولى كلّ جهد المصدر على المقاوِم:

R = εI₀ = 122·10⁻³ = 6·10³ Ω = 6 kΩ

C = τR = 36·10³ = 5·10⁻⁴ F = 500 μF

ج. الشحنة النهائية هي المساحة الكلّية تحت المنحنى:

Q₀ = I₀·τ = 2·10⁻³ · 3 = 6·10⁻³ C = 6 mC

ونتحقّق: C·ε = 5·10⁻⁴ · 12 = 6·10⁻³ C — النتيجة نفسها.

τ = 3 s , R = 6 kΩ , C = 500 μF , Q₀ = 6 mC

سؤال 4.13: يتناقص التيار في دائرة بشكل خطّي من 4 mA إلى الصفر خلال 5 s. ارسموا الرسم البياني للتيار كدالّة للزمن، واحسبوا الشحنة التي مرّت في الدائرة.

الطاقة في عملية الشحن – האנרגיה בתהליך הטעינה:

أثناء الشحن يدفع المصدر الشحنة Q₀ كلّها عبر فرق الجهد ε ، فيبذل طاقة E = Q₀·ε = C·ε². لكنّ المكثّف المشحون يخزّن فقط U = 12·C·ε². النصف الآخر يتحوّل إلى حرارة في المقاوِم. والنتيجة المدهشة أنّ هذا التقسيم لا يتعلّق بمقدار R: المقاوِم الكبير يطيل الشحن ويُضعف التيار، لكنّ الحرارة الكلّية المنبعثة فيه تبقى نصف الطاقة.

سؤال 4.14: في دائرة المثال الأوّل من هذا البند (ε = 9 V ، C = 400 μF) احسبوا الطاقة التي يبذلها المصدر حتى اكتمال الشحن، والطاقة المخزونة في المكثّف، والحرارة المنبعثة في المقاوِم.

▶تجربة حية — شحن المكثّف وتفريغهنغيّر المقاومة والسعة وجهد المصدر، نشغّل الشحن ثمّ التفريغ، ونقرأ على المنحنيات ثابت الزمن ونسبتَي 63 و 37 بالمئة. نتحقّق من أنّ مضاعفة R تطيل العملية ولا تغيّر الجهد النهائي.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#rc

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#rc

הספק ואנרגיה במעגל חשמלי, נצילות – القدرة والطاقة في الدائرة الكهربائية، الكفاءة (Power, Energy and Efficiency)

الطاقة الكهربائية – אנרגיה חשמלית:

عندما تنتقل شحنة q عبر فرق جهد V تتغيّر طاقتها الكهربائية الوضعية بالمقدار q·V. في المصدر تكتسب الشحنة طاقة، وفي المستهلِك (مقاوِم، لمبة، محرّك) تفقدها، فتتحوّل الطاقة الكهربائية إلى صورة أخرى: حرارة، ضوء، أو شغل ميكانيكي. إذا مرّ تيار I خلال زمن t فإنّ الشحنة المنتقلة q = I·t ، ومنه:

الطاقة الكهربائية (אנרגיה חשמלית): هي الطاقة التي يتلقّاها مركّب في الدائرة (أو يعطيها) عندما تمرّ فيه شحنة عبر فرق جهد. لمركّب جهده V ويمرّ فيه تيار ثابت I خلال زمن t: E = V·I·t. وحدتها الجول J.

القدرة (הספק): هي الطاقة المنقولة في وحدة الزمن، P = Et. القدرة الكهربائية لمركّب هي حاصل ضرب الجهد عليه في التيار المارّ فيه. وحدتها الواط: 1 W = 1 J1 s = 1 V·A.

القدرة الكهربائية · הספק חשמלי

P = V·I

E = P·t = V·I·t

الرمز	المعنى	وحدة القياس
P	القدرة	[W]
V	الجهد على المركّب	[V]
I	شدّة التيار في المركّب	[A]
E	الطاقة الكهربائية خلال الزمن t	[J]

القدرة في المقاوِم – ההספק בנגד:

في المقاوِم تتحوّل الطاقة الكهربائية كلّها إلى حرارة (تسخين المقاوِم). بالتعويض من قانون أوم V = I·R نحصل على صيغتين إضافيتين للقدرة:

القدرة المتحوّلة إلى حرارة في مقاوِم · הספק בנגד

P = V·I

P = I²·R

P = V²R

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R	مقاومة المقاوِم	[Ω]
I	التيار في المقاوِم	[A]
V	الجهد على المقاوِم	[V]

ملاحظة: أيّ الصيغ نختار؟ في مقاوِمات موصولة على التوالي التيار مشترك، فالصيغة P = I²·R تبيّن أنّ القدرة الكبرى في المقاوِم الكبير. في مقاوِمات موصولة على التوازي الجهد مشترك، فالصيغة P = V²R تبيّن أنّ القدرة الكبرى في المقاوِم الصغير.

مثال 4.25

مكتوب على مدفأة كهربائية: «230 V ، 2300 W». نحسب التيار في المدفأة ومقاومتها عند التشغيل العادي، والطاقة التي تستهلكها في 3 ساعات تشغيل.

الحل:

المعطيات المكتوبة على الجهاز هي جهد التشغيل وقدرته عند هذا الجهد:

I = PV = 2300230 = 10 A

R = V²P = 230²2300 = 23 Ω

نتحقّق: P = I²·R = 10² · 23 = 2300 W. الطاقة في 3 ساعات، أي t = 3 · 3600 = 10800 s:

E = P·t = 2300 · 10800 = 2.484·10⁷ J

I = 10 A , R = 23 Ω , E = 2.484·10⁷ J

الكيلوواط ساعة وحساب استهلاك الكهرباء – קילוואט-שעה וחשבון החשמל:

الجول وحدة صغيرة بالنسبة إلى الاستهلاك المنزلي، ولذلك تقيس شركة الكهرباء الطاقة بوحدة الكيلوواط ساعة (קוט"ש): الطاقة التي يستهلكها جهاز قدرته 1 kW خلال ساعة واحدة:

1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6·10⁶ J

لحساب الطاقة بالكيلوواط ساعة نضرب القدرة بالكيلوواط في زمن التشغيل بالساعات. في المثال السابق: E = 2.3 kW · 3 h = 6.9 kWh ، ونتحقّق: 6.9 · 3.6·10⁶ = 2.484·10⁷ J.

الجهاز	القدرة	التشغيل في اليوم	الطاقة في اليوم	في 30 يوما (kWh)
لمبة LED	10 W	5 h	0.05 kWh	1.5
تلفاز	120 W	4 h	0.48 kWh	14.4
ثلاجة (متوسّط)	150 W	24 h	3.6 kWh	108
غسّالة	500 W	1 h	0.5 kWh	15
مكيّف هواء	1200 W	6 h	7.2 kWh	216
غلّاية ماء	2000 W	0.5 h	1 kWh	30
المجموع			12.83 kWh	384.9

مثال 4.26

بحسب الجدول، وبسعر 0.6 شيكل للكيلوواط ساعة، نحسب تكلفة الكهرباء الشهرية (30 يوما) لهذا البيت، ونجد أيّ جهاز هو الأغلى.

الحل:

نجمع الطاقة اليومية لكلّ الأجهزة ونضرب في عدد الأيّام:

E = 12.83 kWh · 30 = 384.9 kWh

نضرب في سعر الكيلوواط ساعة: 384.9 · 0.6 = 230.9 ، أي أنّ التكلفة الشهرية 230.9 شيكل.

المكيّف يستهلك 7.2 kWh في اليوم، وهي أكبر حصّة. أمّا الثلاجة فقدرتها صغيرة، لكنّها تعمل طوال اليوم، فاستهلاكها أكبر من استهلاك الغلّاية التي قدرتها أكبر بكثير: الطاقة تتعلّق بالقدرة وبالزمن.

E = 384.9 kWh

سؤال 4.15: مكتوب على لمبة توهّج: «230 V ، 60 W». احسبوا مقاومتها والتيار فيها عند التشغيل العادي. ما هي قدرتها إذا وُصلت بجهد 115 V (افترضوا أنّ مقاومتها لا تتغيّر)؟

الكفاءة – נצילות:

كلّ جهاز يحوّل الطاقة الكهربائية إلى صورة أخرى. المحرّك مثلا يحوّلها إلى شغل ميكانيكي، لكنّ جزءا منها يضيع حتما كحرارة في ملفّاته وكاحتكاك في محاوره. الطاقة التي لا تتحوّل إلى الصورة المطلوبة تسمّى فواقد الطاقة (הפסדי אנרגיה).

الكفاءة (المردود) (נצילות): هي النسبة بين القدرة المفيدة (المستغَلّة) التي يعطيها الجهاز وبين القدرة الكلّية (المبذولة) التي يتلقّاها: η = P_outP_in. الكفاءة عدد بلا وحدات، دائما أصغر من 1 ، ونعبّر عنها غالبا بالمئة.

الكفاءة · נצילות

η = P_outP_in = E_outE_in

P_in = P_out + P_loss

الرمز	المعنى	وحدة القياس
η	الكفاءة	—
P_out	القدرة المفيدة (المستغَلّة)	[W]
P_in	القدرة المبذولة الداخلة إلى الجهاز	[W]
P_loss	قدرة الفواقد	[W]

مثال 4.27

محرّك كهربائي موصول بجهد 24 V ويمرّ فيه تيار 2.5 A. يرفع المحرّك جسما كتلته 9 kg بسرعة ثابتة إلى ارتفاع 2 m خلال 4 s. نحسب كفاءة المحرّك وقدرة الفواقد.

الحل:

القدرة الداخلة هي القدرة الكهربائية:

P_in = V·I = 24 · 2.5 = 60 W

القدرة المفيدة هي الشغل المبذول ضدّ الجاذبية في وحدة الزمن:

P_out = m·g·ht = 9 · 10 · 24 = 45 W

η = P_outP_in = 4560 = 0.75

P_loss = 60 − 45 = 15 W

أي أنّ كفاءة المحرّك 75 بالمئة، والباقي يتحوّل إلى حرارة في ملفّاته وفي الاحتكاك.

η = 0.75 , P_loss = 15 W

الطاقة في دائرة فيها مصدر ذو مقاومة داخلية – האנרגיה במעגל עם מקור בעל התנגדות פנימית:

مصدر حقيقي (داخل الإطار المتقطّع): قوّة دافعة كهربائية ε ومقاومة داخلية r. فرق جهد القطبين V_AB هو الجهد على المقاوِم الخارجي R

المصدر يحوّل طاقة كيميائية (في البطارية) أو ميكانيكية (في المولّد) إلى طاقة كهربائية، بقدرة ε·I. جزء من هذه القدرة يضيع داخل المصدر نفسه كحرارة في مقاومته الداخلية، والباقي يصل إلى الدائرة الخارجية. نضرب معادلة فرق جهد القطبين V = ε − I·r في التيار I:

V·I = ε·I − I²·r

ε·I = I²·R + I²·r

ميزان القدرة في دائرة بسيطة · מאזן ההספקים

P_ε = ε·I

P_R = V·I = I²·R

P_r = I²·r

η = P_RP_ε = Vε = RR + r

الرمز	المعنى	وحدة القياس
P_ε	القدرة التي يعطيها المصدر (القدرة الكلّية)	[W]
P_R	القدرة في المقاوِم الخارجي (المفيدة)	[W]
P_r	القدرة الضائعة في المقاومة الداخلية	[W]
η	كفاءة المصدر	—

مثال 4.28

بطارية قوّتها الدافعة الكهربائية 12 V ومقاومتها الداخلية 1 Ω موصولة بمقاوِم 5 Ω. نحسب التيار، فرق جهد القطبين، القدرة التي تعطيها البطارية، القدرة في المقاوِم، القدرة الضائعة داخل البطارية، وكفاءة البطارية.

الحل:

I = εR + r = 125 + 1 = 2 A

V = I·R = 2 · 5 = 10 V

P_ε = ε·I = 12 · 2 = 24 W

P_R = I²·R = 2² · 5 = 20 W

P_r = I²·r = 2² · 1 = 4 W

نتحقّق من ميزان القدرة: 24 = 20 + 4. الكفاءة:

η = Vε = 1012 = 0.833

أي نحو 83 بالمئة من الطاقة التي تنتجها البطارية تصل إلى المقاوِم.

I = 2 A , V = 10 V , P_ε = 24 W , P_R = 20 W , η = 0.833

فواقد الطاقة في خطوط النقل – הפסדי אנרגיה בקווי הולכה:

نقل الطاقة من محطّة التوليد إلى المستهلك بخطّين لهما مقاومة. التيار نفسه يمرّ في الخطّين وفي المستهلك

تنتقل الطاقة الكهربائية من محطّة التوليد إلى المدن بخطوط نقل طولها عشرات الكيلومترات، ولهذه الخطوط مقاومة R_ℓ. التيار المطلوب لنقل قدرة P بجهد V هو I = PV ، والقدرة التي تضيع كحرارة في الخطوط هي:

P_loss = I²·R_ℓ = (PV)²·R_ℓ

الفاقد يتناسب عكسيا مع مربّع جهد النقل: رفع الجهد عشرة أضعاف يقلّل التيار عشرة أضعاف، ويقلّل الفاقد مئة ضعف. لهذا السبب تُنقل الكهرباء بجهد عالٍ جدّا (مئات آلاف الڤولطات)، ثمّ يُخفَّض الجهد قرب المستهلك. الجهاز الذي يرفع الجهد ويخفّضه هو المحوّل، وسنتعرّف عليه في فصل الحثّ الكهرومغناطيسي.

مثال 4.29

بلدة صغيرة تحتاج إلى قدرة 50 kW ، والمقاومة الكلّية لخطَّي النقل إليها 0.4 Ω. نحسب التيار في الخطوط والقدرة الضائعة فيها إذا نُقلت القدرة بجهد 1 kV ، ثمّ بجهد 10 kV. (نفترض أنّ الجهد المعطى هو جهد النقل وأنّ الفاقد صغير بالنسبة إلى القدرة المنقولة.)

الحل:

بجهد 1 kV:

I = PV = 50·10³10³ = 50 A

P_loss = I²·R_ℓ = 50² · 0.4 = 1000 W

أي 2 بالمئة من القدرة المنقولة. أمّا بجهد 10 kV:

I = 50·10³10⁴ = 5 A

P_loss = 5² · 0.4 = 10 W

رفعنا الجهد عشرة أضعاف، فهبط الفاقد من 1000 W إلى 10 W — مئة ضعف.

P_loss = 1000 W → 10 W

القدرة العظمى لمصدر ذي مقاومة داخلية – הספק מרבי של מקור בעל התנגדות פנימית:

نصل بمصدر (ε ، r) مقاوِما خارجيا R ونسأل: لأيّ قيمة لـ R تكون القدرة في المقاوِم أكبر ما يمكن؟ إذا كان R صغيرا جدّا (قريبا من دائرة قصر) فالتيار كبير لكنّ الجهد على المقاوِم يكاد ينعدم. وإذا كان R كبيرا جدّا فالجهد قريب من ε لكنّ التيار يكاد ينعدم. في الحالتين القدرة صغيرة، فلا بدّ من قيمة وسطى. القدرة في المقاوِم:

P_R = I²·R = ε²·R(R + r)²

القدرة في المقاوِم الخارجي كدالّة لمقاومته، لمصدر ε = 12 V ، r = 2 Ω. القمّة عند R = r

R [Ω]	I [A]	P_R [W]	η
0.5	4.8	11.52	0.2
1	4	16	0.33
2	3	18	0.5
4	2	16	0.67
8	1.2	11.52	0.8

الجدول والرسم البياني يبيّنان أنّ القدرة العظمى تتحقّق عندما R = r. يمكن إثبات ذلك جبريا: نكتب (R + r)² = (R − r)² + 4·R·r ونقسم البسط والمقام على R:

P_R = ε²(R − r)²R + 4·r

المقام أصغر ما يمكن — والقدرة أكبر ما يمكن — عندما ينعدم الحدّ (R − r)² ، أي عندما R = r:

القدرة العظمى في المقاوِم الخارجي · הספק מרבי

R = r

P_max = ε²4·r

η = 12

الرمز	المعنى	وحدة القياس
r	المقاومة الداخلية للمصدر	[Ω]
P_max	أكبر قدرة يمكن أن تصل إلى الدائرة الخارجية	[W]

انتبهوا: عند القدرة العظمى تضيع نصف القدرة داخل المصدر، فالكفاءة 50 بالمئة فقط. لذلك لا تعمل شبكة الكهرباء في هذه الحالة: في الشبكة الهدف هو الكفاءة العالية، فتكون مقاومة المستهلكين أكبر بكثير من مقاومة المصدر والخطوط. حالة القدرة العظمى مهمّة في دوائر الإشارة الضعيفة، كالهوائيّ ومكبّر الصوت، حيث نريد أن نستخلص من المصدر أكبر قدرة ممكنة.

نلاحظ في الجدول أنّ R = 0.5 Ω و R = 8 Ω يعطيان القدرة نفسها 11.52 W ، لكنّ الكفاءة مختلفة جدّا: 0.2 مقابل 0.8. لكلّ قدرة أصغر من P_max قيمتان للمقاومة الخارجية، حاصل ضربهما يساوي r².

مثال 4.30

بطارية قوّتها الدافعة الكهربائية 12 V ومقاومتها الداخلية 2 Ω. نحسب أكبر قدرة يمكن أن تعطيها لمقاوِم خارجي، والتيار وفرق جهد القطبين في هذه الحالة.

الحل:

R = r = 2 Ω

P_max = ε²4·r = 12²4 · 2 = 18 W

I = εR + r = 124 = 3 A

V = I·R = 3 · 2 = 6 V

فرق جهد القطبين نصف القوّة الدافعة الكهربائية، والقدرة الضائعة داخل البطارية I²·r = 18 W تساوي القدرة المفيدة.

P_max = 18 W , I = 3 A , V = 6 V

سؤال 4.16: مصدر قوّته الدافعة الكهربائية 9 V ومقاومته الداخلية 1.5 Ω. ما قيمة المقاوِم الخارجي الذي يتلقّى أكبر قدرة؟ احسبوا هذه القدرة والتيار. ما هي الكفاءة إذا وصلنا بدلا منه مقاوِما 6 Ω؟

▶تجربة حية — القدرة والطاقة والكفاءةنغيّر جهد النقل ومقاومة الخطّ ونراقب الفاقد في الخطوط، ونحسب في حاسبة الاستهلاك المنزلي الطاقة بالكيلوواط ساعة وتكلفتها.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#power

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#power

מעגלים חשמליים – الدوائر الكهربائية (Electric Circuits)

الدوائر الحقيقية تحتوي على عدّة مقاوِمات وأحيانا على عدّة مصادر. في هذا البند نتعلّم كيف نستبدل مجموعة من المقاوِمات بمقاوِم واحد يكافئها، وكيف نصل المصادر بعضها ببعض، وكيف نحلّ دائرة لا يمكن تبسيطها بقانونَي كيرخهوف.

المقاومة المكافئة (התנגדות שקולה): هي مقاومة مقاوِم واحد يمكن أن يحلّ محلّ مجموعة من المقاوِمات بين نقطتين، دون أن يتغيّر الجهد بين النقطتين ولا التيار الذي يدخل المجموعة. نرمز لها بـ R_eq.

الوصل على التوالي – חיבור בטור:

ثلاثة مقاوِمات على التوالي: التيار نفسه يمرّ في كلّ منها، وجهد المصدر يتوزّع عليها

في الوصل على التوالي لا يوجد للشحنة سوى مسار واحد، ولذلك يمرّ التيار نفسه في كلّ المقاوِمات. الجهد الكلّي هو مجموع الجهود على المقاوِمات:

V = V₁ + V₂ + V₃ = I·R₁ + I·R₂ + I·R₃

V = I·(R₁ + R₂ + R₃) = I·R_eq

المقاومة المكافئة على التوالي · חיבור בטור

R_eq = R₁ + R₂ + R₃ + …

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_eq	المقاومة المكافئة — أكبر من أكبر المقاوِمات	[Ω]
I	التيار المشترك	[A]

مثال 4.31

ثلاثة مقاوِمات 2 Ω ، 4 Ω و 6 Ω موصولة على التوالي بمصدر فرق جهد 24 V (كما في الشكل). نحسب المقاومة المكافئة، التيار، الجهد على كلّ مقاوِم والقدرة في كلّ منها.

الحل:

R_eq = 2 + 4 + 6 = 12 Ω

I = VR_eq = 2412 = 2 A

V₁ = I·R₁ = 4 V

V₂ = I·R₂ = 8 V

V₃ = I·R₃ = 12 V

مجموع الجهود 4 + 8 + 12 = 24 V. القدرات P = I²·R:

P₁ = 8 W

P₂ = 16 W

P₃ = 24 W

المقاوِم الأكبر يحصل على الجهد الأكبر وعلى القدرة الكبرى.

R_eq = 12 Ω , I = 2 A , V₁ : V₂ : V₃ = 1 : 2 : 3

مجزّئ الجهد. مقاوِمان على التوالي يقسمان جهد المصدر بنسبة مقاومتيهما. الجهد على كلّ منهما:

V₁ = V·R₁R₁ + R₂

V₂ = V·R₂R₁ + R₂

سؤال 4.17: نريد أن نحصل من مصدر فرق جهد 12 V على جهد 4 V بمقاوِمين على التوالي. أحدهما 3 kΩ ، ونأخذ الجهد عن المقاوِم الآخر. ما مقاومة المقاوِم الآخر؟

مثال 4.32

لمبة توهّج مكتوب عليها «230 V ، 60 W» ولمبة أخرى مكتوب عليها «230 V ، 100 W» موصولتان على التوالي بجهد 230 V. أيّ اللمبتين تضيء أكثر؟ (نفترض أنّ مقاومة اللمبتين لا تتغيّر.)

الحل:

نحسب مقاومة كلّ لمبة من المعطيات المكتوبة عليها:

R₁ = V²P₁ = 230²60 = 881.7 Ω

R₂ = 230²100 = 529 Ω

على التوالي التيار مشترك:

I = 230881.7 + 529 = 0.163 A

P₁ = I²·R₁ = 23.4 W

P₂ = I²·R₂ = 14.1 W

اللمبة «60 W» تضيء أكثر من اللمبة «100 W»! على التوالي التيار مشترك، فالقدرة الكبرى في المقاومة الكبرى — واللمبة ذات القدرة الاسمية الصغيرة هي صاحبة المقاومة الكبيرة. وكلتاهما تضيء أضعف بكثير من إضاءتها الاسمية.

P₁ = 23.4 W , P₂ = 14.1 W

الوصل على التوازي – חיבור במקביל:

ثلاثة مقاوِمات على التوازي: كلّها موصولة بين النقطتين نفسيهما، فالجهد عليها واحد، والتيار الكلّي يتفرّع بينها

في الوصل على التوازي كلّ المقاوِمات موصولة بين النقطتين نفسيهما، ولذلك الجهد عليها متساوٍ. التيار الكلّي يتفرّع بين المسارات، ولأنّ الشحنة لا تتراكم في نقطة التفرّع فهو مجموع التيارات:

I = I₁ + I₂ + I₃ = VR₁ + VR₂ + VR₃ = VR_eq

المقاومة المكافئة على التوازي · חיבור במקביל

1R_eq = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃ + …

R_eq = R₁·R₂R₁ + R₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_eq	المقاومة المكافئة — أصغر من أصغر المقاوِمات (السطر الثاني: لمقاوِمين اثنين فقط)	[Ω]
V	الجهد المشترك على كلّ المقاوِمات	[V]

مثال 4.33

ثلاثة مقاوِمات 6 Ω ، 12 Ω و 4 Ω موصولة على التوازي بمصدر فرق جهد 12 V. نحسب المقاومة المكافئة، التيار في كلّ مقاوِم، والتيار الكلّي.

الحل:

1R_eq = 16 + 112 + 14 = 2 + 1 + 312 = 612

R_eq = 2 Ω

الجهد على كلّ مقاوِم 12 V:

I₁ = 126 = 2 A

I₂ = 1212 = 1 A

I₃ = 124 = 3 A

I = I₁ + I₂ + I₃ = 6 A

نتحقّق: I = VR_eq = 122 = 6 A. المقاوِم الأصغر يمرّ فيه التيار الأكبر.

R_eq = 2 Ω , I = 6 A

ملاحظة: كلّ مسار جديد على التوازي يفتح أمام الشحنة طريقا إضافيا، ولذلك تقلّ المقاومة المكافئة كلّما أضفنا مقاوِما على التوازي — حتى لو كان كبيرا. وهكذا تعمل الأجهزة في البيت: كلّها موصولة على التوازي بجهد الشبكة، وكلّ جهاز نشغّله يزيد التيار الكلّي.

الوصل المختلط – חיבור מעורב:

في دائرة مختلطة نبحث عن مجموعات بسيطة — مقاوِمات على التوالي أو على التوازي — ونستبدل كلّ مجموعة بمقاومتها المكافئة، خطوة بعد خطوة، حتى يبقى مقاوِم واحد. بعد ذلك نعود في الاتّجاه المعاكس لحساب التيار والجهد في كلّ مقاوِم.

دائرة مختلطة: المقاوِم R₁ على التوالي مع الزوج المتوازي R₂ و R₃ بين النقطتين C و D

مثال 4.34

في الدائرة المرسومة نحسب:
أ. المقاومة المكافئة للدائرة الخارجية.
ب. التيار الخارج من المصدر وفرق جهد القطبين.
ج. التيار في كلّ من R₂ و R₃.

الحل:

أ. نبدأ بالزوج المتوازي بين C و D:

R_CD = R₂·R₃R₂ + R₃ = 20 · 520 + 5 = 4 Ω

R_ext = R₁ + R_CD = 4 + 4 = 8 Ω

ب. التيار من قانون أوم للدائرة كلّها، ثمّ فرق جهد القطبين:

I = εR_ext + r = 188 + 1 = 2 A

V = I·R_ext = 2 · 8 = 16 V

ج. الجهد على الزوج المتوازي، ومنه التيار في كلّ فرع:

V_CD = I·R_CD = 2 · 4 = 8 V

I₂ = V_CDR₂ = 820 = 0.4 A

I₃ = V_CDR₃ = 85 = 1.6 A

نتحقّق: I₂ + I₃ = 0.4 + 1.6 = 2 A = I.

R_ext = 8 Ω , I = 2 A , I₂ = 0.4 A , I₃ = 1.6 A

سؤال 4.18: في الدائرة المرسومة ثلاث لمبات توهّج متماثلة، والمصدر مثالي. ماذا يحدث لإضاءة كلّ من L₁ و L₂ عندما نغلق المفتاح S؟ احسبوا النسبة بين القدرة في كلّ لمبة بعد الإغلاق وقبله (افترضوا أنّ مقاومة اللمبات ثابتة).

وصل المصادر – חיבור מקורות:

على التوالي: نصل القطب الموجب لمصدر بالقطب السالب للمصدر الذي يليه. الشحنة تمرّ في كلّ المصادر، فتجمع الطاقة من كلّ منها: القوى الدافعة الكهربائية تُجمع، والمقاومات الداخلية تُجمع أيضا (كمقاوِمات على التوالي). إذا وُصل أحد المصادر بالاتّجاه المعاكس تُطرح قوّته الدافعة الكهربائية.

على التوازي: نصل المصادر المتماثلة فقط، القطب الموجب بالموجب والسالب بالسالب. القوّة الدافعة الكهربائية للمجموعة هي قوّة مصدر واحد، والمقاومة الداخلية تقلّ (كمقاوِمات متماثلة على التوازي). الفائدة: كلّ مصدر يعطي جزءا من التيار، فيدوم وقتا أطول.

أربع خلايا على التوالي

أربع خلايا متماثلة على التوازي

وصل المصادر · חיבור מקורות

ε_eq = ε₁ + ε₂ + …

r_eq = r₁ + r₂ + …

ε_eq = ε , r_eq = rn

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ε_eq	القوّة الدافعة الكهربائية المكافئة (السطران الأوّلان: على التوالي)	[V]
r_eq	المقاومة الداخلية المكافئة (السطر الثالث: n مصادر متماثلة على التوازي)	[Ω]

مثال 4.35

لدينا أربع خلايا متماثلة، قوّة كلّ منها الدافعة الكهربائية 1.5 V ومقاومتها الداخلية 0.2 Ω. نحسب التيار في مقاوِم 2.2 Ω عندما تكون الخلايا موصولة على التوالي، وعندما تكون موصولة على التوازي.

الحل:

على التوالي:

ε_eq = 4 · 1.5 = 6 V

r_eq = 4 · 0.2 = 0.8 Ω

I = ε_eqR + r_eq = 62.2 + 0.8 = 2 A

على التوازي:

ε_eq = 1.5 V

r_eq = 0.24 = 0.05 Ω

I = 1.52.2 + 0.05 = 0.667 A

الوصل على التوالي يعطي تيارا أكبر في هذا المقاوِم. أمّا على التوازي فكلّ خلية تعطي ربع التيار فقط (0.167 A)، فتدوم البطارية أطول.

I = 2 A , I = 0.667 A

مصدران متعاكسان في حلقة واحدة: المصدر ε₁ الأقوى يشحن البطارية ε₂

مثال 4.36

بطارية قوّتها 12 V ومقاومتها الداخلية 0.5 Ω تشحن بطارية قوّتها 9 V ومقاومتها الداخلية 0.5 Ω ، عبر مقاوِم 2 Ω. القطبان الموجبان متقابلان كما في الشكل. نحسب التيار، ونبيّن كيف تتوزّع القدرة.

الحل:

القوّتان متعاكستان، فتُطرحان، والمقاومات كلّها على التوالي:

I = ε₁ − ε₂r₁ + r₂ + R = 12 − 90.5 + 0.5 + 2 = 1 A

البطارية الأولى تعطي قدرة ε₁·I ، والبطارية الثانية تتلقّى قدرة ε₂·I وتخزّنها كطاقة كيميائية، والباقي حرارة:

P₁ = ε₁·I = 12 W

P₂ = ε₂·I = 9 W

P_loss = I²·(r₁ + r₂ + R) = 3 W

الميزان: 12 = 9 + 3. التيار يدخل البطارية الثانية من قطبها الموجب — وهذا هو معنى «شحن البطارية».

I = 1 A

قانونا كيرخهوف – חוקי קירכהוף:

بعض الدوائر لا يمكن تبسيطها إلى توالٍ وتوازٍ، وأشهرها دائرة فيها مصدران في فرعين مختلفين. لحلّ مثل هذه الدائرة نستعمل قانونين صاغهما العالم الألماني كيرخهوف، وهما في الحقيقة قانونا الحفظ اللذان نعرفهما: حفظ الشحنة وحفظ الطاقة.

العقدة · الفرع · الحلقة (צומת · ענף · לולאה): العقدة نقطة في الدائرة تلتقي فيها ثلاثة موصلات أو أكثر. الفرع جزء من الدائرة بين عقدتين متجاورتين، ويمرّ في كلّ مركّباته التيار نفسه. الحلقة أيّ مسار مغلق في الدائرة يبدأ من نقطة ويعود إليها.

قانون العُقد (قانون كيرخهوف الأوّل) · חוק הצמתים

ΣI_in = ΣI_out

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣI_in	مجموع التيارات الداخلة إلى العقدة	[A]
ΣI_out	مجموع التيارات الخارجة منها	[A]

الشحنة لا تتراكم في العقدة ولا تُخلق فيها، فما يدخل إليها في كلّ ثانية يخرج منها. هذا هو قانون حفظ الشحنة.

قانون الحلقات (قانون كيرخهوف الثاني) · חוק הלולאות

ΣΔV = 0

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣΔV	مجموع تغيّرات الجهد على طول حلقة مغلقة	[V]

الجهد في كلّ نقطة له قيمة واحدة. إذا تحرّكنا على طول حلقة وعدنا إلى نقطة البداية، فلا بدّ أن يعود الجهد إلى قيمته الأولى: مجموع الارتفاعات والانخفاضات في الجهد صفر. هذا هو قانون حفظ الطاقة لشحنة تدور في الحلقة. لكتابة القانون نختار اتّجاها للسير في الحلقة، ونجمع التغيّرات حسب القواعد التالية:

المركّب	انخفاض في الجهد	ارتفاع في الجهد
مقاوِم R	نسير باتّجاه التيار المفروض: ΔV = −I·R	نسير عكس اتّجاه التيار المفروض: ΔV = +I·R
مصدر ε	نعبره من القطب الموجب إلى السالب: ΔV = −ε	نعبره من القطب السالب إلى الموجب: ΔV = +ε

ملاحظة: في المصدر لا يهمّ اتّجاه التيار: الإشارة تتعلّق فقط بالقطب الذي ندخل منه. وإذا كانت للمصدر مقاومة داخلية نعاملها كمقاوِم إضافي في الفرع.

حلّ دائرة لها عقدتان – פתרון מעגל בעל שני צמתים:

دائرة لها عقدتان A و B وثلاثة فروع. الأسهم الحمراء اتّجاهات التيار التي فرضناها، والسهمان الرماديان اتّجاه السير في الحلقتين

في دائرة لها عقدتان فقط ثلاثة فروع، وفي كلّ فرع تيار مجهول. نحتاج إذًا إلى ثلاث معادلات: معادلة عقدة واحدة (معادلة العقدة الثانية مطابقة لها) ومعادلتا حلقتين. خطوات الحلّ:

نحدّد العقدتين ونرسم في كلّ فرع سهما لتيار مجهول. الاتّجاه نختاره كما نشاء.
نكتب قانون العُقد لإحدى العقدتين.
نختار حلقتين ونكتب قانون الحلقات لكلّ منهما، بالقواعد التي في الجدول.
نحلّ المعادلات الثلاث. إذا خرج تيار سالبا فمعنى ذلك أنّ اتّجاهه الحقيقي معاكس للسهم الذي رسمناه — ولا حاجة لإعادة الحلّ.

مثال 4.37

في الدائرة المرسومة ε₁ = 12 V ، R₁ = 4 Ω ، ε₂ = 9 V ، R₂ = 6 Ω ، R₃ = 3 Ω ، ومقاومة المصدرين الداخلية مهملة. نحسب التيار في كلّ فرع، والجهد بين العقدتين A و B.

الحل:

قانون العُقد في العقدة A: التياران I₁ و I₂ يدخلان، والتيار I₃ يخرج:

I₁ + I₂ = I₃

الحلقة 1 (اليسرى): نبدأ من B ونصعد في الفرع الأيسر، نمرّ في المصدر من السالب إلى الموجب، ثمّ في R₁ باتّجاه I₁ ، ونعود إلى B عبر R₃ باتّجاه I₃:

ε₁ − I₁·R₁ − I₃·R₃ = 0

12 − 4·I₁ − 3·I₃ = 0

الحلقة 2 (اليمنى) بالطريقة نفسها عبر الفرع الأيمن والفرع الأوسط:

ε₂ − I₂·R₂ − I₃·R₃ = 0

9 − 6·I₂ − 3·I₃ = 0

من المعادلتين نعبّر عن I₁ و I₂ بدلالة I₃ ، ونعوّض في معادلة العقدة:

I₁ = 12 − 3·I₃4

I₂ = 9 − 3·I₃6

12 − 3·I₃4 + 9 − 3·I₃6 = I₃

نضرب الطرفين في 12:

36 − 9·I₃ + 18 − 6·I₃ = 12·I₃

54 = 27·I₃

I₃ = 2 A

I₁ = 12 − 64 = 1.5 A

I₂ = 9 − 66 = 0.5 A

التيارات كلّها موجبة، فالاتّجاهات التي فرضناها صحيحة: المصدران كلاهما يعطيان طاقة. الجهد بين العقدتين هو الجهد على R₃:

V_AB = I₃·R₃ = 2 · 3 = 6 V

نتحقّق في كلّ فرع: V_AB = ε₁ − I₁·R₁ = 12 − 6 = 6 V ، و V_AB = ε₂ − I₂·R₂ = 9 − 3 = 6 V.

I₁ = 1.5 A , I₂ = 0.5 A , I₃ = 2 A , V_AB = 6 V

طريقة أقصر: الفحص الأخير يقترح طريقة أقصر لدائرة لها عقدتان: كلّ الفروع موصولة بين A و B نفسيهما، فنجعل الجهد V_AB هو المجهول الوحيد. نكتب تيار كلّ فرع بدلالته (I₁ = ε₁ − V_ABR₁ ، I₂ = ε₂ − V_ABR₂ ، I₃ = V_ABR₃)، ونعوّض في قانون العُقد — فنحصل على معادلة واحدة بمجهول واحد. تُسمّى هذه الطريقة «طريقة جهد العقدة».

سؤال 4.19: في دائرة مبنيّة كالدائرة المرسومة، ε₁ = 18 V ، R₁ = 3 Ω ، ε₂ = 6 V ، R₂ = 6 Ω ، R₃ = 12 Ω. احسبوا التيارات الثلاثة والجهد V_AB. ما معنى الإشارة التي حصلتم عليها للتيار I₂؟ وأيّ المصدرين يُشحَن؟

▶تجربة حية — وصل المقاوِمات وقانونا كيرخهوفنبني دائرة على التوالي ثمّ على التوازي، ونقرأ المقاومة المكافئة والتيار والجهد في كلّ مقاوِم، ثمّ نضيف مصدرا ثانيا ونفحص قانون العُقد وقانون الحلقات على الأرقام الحيّة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#networks

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#networks

מכשירי מדידה – أجهزة القياس (Measuring Instruments)

الأميتر والڤولطمتر – מד-זרם ומד-מתח:

الأميتر (مقياس التيار) (מד-זרם): جهاز يقيس شدّة التيار في فرع. يُوصل على التوالي في الفرع، فيمرّ فيه التيار المقيس نفسه. رمزه في الدائرة دائرة صغيرة فيها الحرف A.

الڤولطمتر (مقياس الجهد) (מד-מתח): جهاز يقيس فرق الجهد بين نقطتين. يُوصل على التوازي مع المركّب، بين طرفيه. رمزه دائرة صغيرة فيها الحرف V.

وصل صحيح: الأميتر (أزرق) على التوالي في الدائرة، والڤولطمتر (أخضر) على التوازي مع R₂. الطرف الموجب لكلّ جهاز (+) يُوصل بالجهة الأقرب إلى القطب الموجب للمصدر

كلّ جهاز قياس هو مركّب كهربائي له مقاومة. الأميتر يُضاف إلى الفرع على التوالي، فلكي لا يغيّر التيار يجب أن تكون مقاومته صغيرة جدّا. الڤولطمتر يفتح مسارا جانبيا للتيار، فلكي لا يسحب تيارا يجب أن تكون مقاومته كبيرة جدّا.

جهاز قياس مثالي (מכשיר אידאלי): جهاز لا يغيّر الدائرة التي يقيسها: الأميتر المثالي مقاومته صفر (R_A = 0)، فلا يقع عليه جهد؛ والڤولطمتر المثالي مقاومته لانهائية (R_V → ∞)، فلا يمرّ فيه تيار.

	الأميتر	الڤولطمتر
طريقة الوصل	على التوالي في الفرع	على التوازي مع المركّب
مقاومة الجهاز المثالي	R_A = 0	R_V → ∞
إذا وُصل خطأً	على التوازي: يصنع دائرة قصر، ويمرّ فيه تيار كبير قد يتلفه	على التوالي: يقطع التيار تقريبا ويقرأ جهد المصدر تقريبا

مثال 4.38

بطارية قوّتها الدافعة الكهربائية 6 V ومقاومتها الداخلية 0.5 Ω موصولة بمقاوِم 5.5 Ω.
أ. ما هو التيار في الدائرة؟
ب. أخطأ طالب ووصل أميتر مقاومته 0.1 Ω على التوازي مع المقاوِم. ماذا يقرأ؟
ج. وصل طالب آخر ڤولطمتر مقاومته 10 kΩ على التوالي في الدائرة. ماذا يقرأ؟

الحل:

I = εR + r = 65.5 + 0.5 = 1 A

ب. الأميتر والمقاوِم على التوازي، ومقاومتهما المكافئة قريبة من 0.1 Ω:

R_eq = 5.5 · 0.15.5 + 0.1 = 0.0982 Ω

I = 60.5 + 0.0982 = 10.03 A

I_A = I·RR + R_A = 9.85 A

يمرّ في الجهاز تيار أكبر بنحو عشرة أضعاف من تيار الدائرة الأصلي — قد يحترق المقياس أو تفرغ البطارية بسرعة.

ج. مقاومة الڤولطمتر كبيرة جدّا، فهي تحدّد التيار:

I = 610⁴ + 6 = 6·10⁻⁴ A

V = I·R_V = 5.996 V

التيار في الدائرة شبه منعدم، والجهاز يقرأ تقريبا القوّة الدافعة الكهربائية للبطارية.

I = 1 A ; I_A = 9.85 A ; V ≈ 6 V

تأثير الڤولطمتر غير المثالي – השפעת מד-מתח לא אידאלי:

ڤولطمتر مقاومته R_V موصول على التوازي مع R₁ في مجزّئ جهد

عندما نصل ڤولطمتر مقاومته R_V على التوازي مع مقاوِم R ، تصبح مقاومة الزوج R_p = R·R_VR + R_V ، وهي أصغر من R. لذلك ينخفض الجهد على هذا الجزء من الدائرة، والجهاز يقرأ جهدا أصغر من الجهد الذي كان قبل وصله. الفرق النسبي بين القراءة والقيمة الحقيقية يسمّى خطأ القياس النسبي δ (هنا: خطأ التحميل):

δ = V_read − V_trueV_true

مثال 4.39

في مجزّئ الجهد المرسوم ε = 12 V (مصدر مثالي)، R₁ = 40 kΩ و R₂ = 20 kΩ. نحسب الجهد الحقيقي على R₁ ، ثمّ قراءة ڤولطمتر موصول عليه إذا كانت مقاومته 40 kΩ ، وإذا كانت 1 MΩ ، والخطأ النسبي في كلّ حالة.

الحل:

قبل وصل الجهاز:

V_true = ε·R₁R₁ + R₂ = 12 · 4060 = 8 V

مقياس مقاومته 40 kΩ: الزوج R₁ و R_V مقاومته 20 kΩ:

R_p = 40 · 4040 + 40 = 20 kΩ

V_read = 12 · 2020 + 20 = 6 V

δ = 6 − 88 = −0.25

خطأ 25 بالمئة — الجهاز يغيّر الدائرة تغييرا كبيرا. مقياس مقاومته 1 MΩ:

R_p = 40 · 100040 + 1000 = 38.46 kΩ

V_read = 12 · 38.4638.46 + 20 = 7.89 V

δ = −0.013

الخطأ الآن نحو 1.3 بالمئة فقط.

V_read = 6 V → 7.89 V

القاعدة: كلّما كانت مقاومة الڤولطمتر أكبر بالنسبة إلى المقاومة التي يُوصل عليها، كان الخطأ أصغر. القاعدة العملية: R_V أكبر بمئة ضعف على الأقلّ من المقاومة المقيسة.

تأثير الأميتر غير المثالي – השפעת מד-זרם לא אידאלי:

أميتر مقاومته R_A موصول على التوالي في دائرة بطارية ومقاوِم

مقاومة الأميتر R_A تُضاف إلى مقاومة الدائرة على التوالي، فيقلّ التيار. التيار المقيس هو I = εR + r + R_A ، بينما التيار الحقيقي (بلا جهاز) هو I = εR + r. الخطأ صغير إذا كانت R_A صغيرة جدّا بالنسبة إلى المقاومة الكلّية للدائرة.

مثال 4.40

بطارية (6 V ، 0.5 Ω) موصولة بمقاوِم 2.5 Ω. نحسب التيار الحقيقي، ثمّ قراءة أميتر مقاومته 1 Ω ، وقراءة مقياس مقاومته 0.05 Ω.

الحل:

I_true = 62.5 + 0.5 = 2 A

I_read = 62.5 + 0.5 + 1 = 1.5 A

δ = 1.5 − 22 = −0.25

I_read = 62.5 + 0.5 + 0.05 = 1.967 A

δ = −0.016

المقياس الأوّل يخطئ بربع القيمة، والثاني بأقلّ من 2 بالمئة. في دائرة مقاومتها الكلّية بضعة أومات، الأميتر يجب أن تكون مقاومته جزءا صغيرا من الأوم.

I_read = 1.5 A ; 1.967 A

قياس المقاومة بأميتر وڤولطمتر – מדידת התנגדות בעזרת מד-זרם ומד-מתח:

لقياس مقاومة مقاوِم نقيس الجهد عليه والتيار فيه، ونحسب R = VI. توجد طريقتان لوصل الجهازين، وفي كلّ منهما خطأ مختلف:

الحالة (أ): الڤولطمتر على المقاوِم وعلى الأميتر معا

الحالة (ب): الڤولطمتر على المقاوِم وحده

في الحالة (أ) الأميتر يقيس التيار في المقاوِم بالضبط، لكنّ الڤولطمتر يقيس أيضا الجهد على الأميتر. المقاومة المحسوبة هي R + R_A — أكبر من الحقيقية.
في الحالة (ب) الڤولطمتر يقيس الجهد على المقاوِم بالضبط، لكنّ الأميتر يقيس أيضا التيار في الڤولطمتر. المقاومة المحسوبة هي مقاومة R و R_V على التوازي — أصغر من الحقيقية.

مثال 4.41

مقاومة الأميتر 2 Ω ومقاومة الڤولطمتر 5 kΩ. نحسب المقاومة المقيسة في الحالتين لمقاوِم 100 Ω ، ثمّ لمقاوِم 10 kΩ.

الحل:

المقاوِم 100 Ω:

R_a = R + R_A = 102 Ω

R_b = 100 · 5000100 + 5000 = 98.04 Ω

في الحالة (أ) القيمة أكبر من الحقيقية بـ 2 بالمئة، وفي الحالة (ب) أصغر منها بـ 1.96 بالمئة — الخطآن متقاربان. المقاوِم 10 kΩ:

R_a = 10000 + 2 = 10002 Ω

R_b = 10⁴ · 500010⁴ + 5000 = 3333 Ω

الآن الحالة (أ) شبه دقيقة (خطأ 0.02 بالمئة)، أمّا الحالة (ب) فتخطئ بنحو 67 بالمئة: الڤولطمتر يسحب تيارا أكبر من تيار المقاوِم نفسه.

R = 100 Ω: 102 Ω , 98.04 Ω ; R = 10 kΩ: 10002 Ω , 3333 Ω

الخلاصة: لمقاوِم كبير (قريب من مقاومة الڤولطمتر) نستعمل الحالة (أ)؛ لمقاوِم صغير (قريب من مقاومة الأميتر) نستعمل الحالة (ب).

قياس القوّة الدافعة الكهربائية – מדידת הכא"מ:

ڤولطمتر على أطراف بطارية لا تعطي تيارا لدائرة أخرى

إذا وصلنا ڤولطمتر مثاليا بين قطبَي بطارية غير موصولة بدائرة، فلا يمرّ تيار، ولا يقع جهد على المقاومة الداخلية، والجهاز يقرأ القوّة الدافعة الكهربائية ε بالضبط. أمّا الڤولطمتر الحقيقي فيسحب تيارا صغيرا I = εR_V + r ، فيقرأ فرق جهد القطبين V = ε − I·r ، وهو أصغر قليلا من ε.

سؤال 4.20: بطارية قوّتها الدافعة الكهربائية 9 V ومقاومتها الداخلية 2 Ω. ماذا يقرأ ڤولطمتر مقاومته 1 kΩ موصول بين قطبيها؟ وما الخطأ النسبي؟

▶تجربة حية — أجهزة القياس المثالية وغير المثاليةنغيّر مقاومة الڤولطمتر والأميتر، ونقارن بين القيمة الحقيقية والقيمة التي يقرأها الجهاز، ونتابع منحنى الخطأ النسبي.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#meters

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#meters

أهمّ أفكار الفصل:

التيار الكهربائي هو حركة منظّمة لحاملات الشحنة، واتّجاهه الاصطلاحي هو اتّجاه حركة الشحنات الموجبة. في دائرة غير متفرّعة شدّة التيار واحدة في كلّ نقطة: التيار لا «يُستهلك» في المركّبات — الذي يُستهلك هو الطاقة.
سرعة انسياق الإلكترونات بطيئة جدّا (أجزاء المليمتر في الثانية)، واللمبة تضيء فورا لأنّ الحقل الكهربائي ينتشر في الدائرة بسرعة قريبة من سرعة الضوء ويحرّك كلّ الإلكترونات معا.
نسبة الجهد إلى التيار تُعرّف المقاومة لكلّ مركّب؛ قانون أوم يضيف أنّها ثابتة في الموصل الفلزّي ما دامت درجة حرارته ثابتة. مقاومة الموصل تكبر مع طوله، تصغر مع مساحة مقطعه، وتتعلّق بالمادّة وبدرجة الحرارة.
المصدر الحقيقي قوّة دافعة كهربائية ثابتة ومقاومة داخلية. التيار يتحدّد من الدائرة كلّها لا من المصدر وحده، وفرق جهد القطبين يهبط كلّما كبر التيار المسحوب.
شحن المكثّف وتفريغه عمليتان أسّيتان وتيرتهما يحدّدها ثابت الزمن؛ بعد زمن طويل ينقطع التيار في فرع المكثّف.
القدرة الكهربائية لمركّب هي حاصل ضرب الجهد عليه في التيار المارّ فيه، وفي المقاوِم تتحوّل كلّها إلى حرارة. الكفاءة هي نسبة القدرة المفيدة (المستغَلّة) إلى القدرة المبذولة.
في الوصل على التوالي التيار مشترك والجهود تُجمع؛ في الوصل على التوازي الجهد مشترك والتيارات تُجمع. قانونا كيرخهوف يعبّران عن حفظ الشحنة وحفظ الطاقة، وبهما تُحلّ كلّ دائرة.
الأميتر يوصل على التوالي ومقاومته صغيرة، والڤولطمتر على التوازي ومقاومته كبيرة؛ كلّ جهاز قياس حقيقي يغيّر الدائرة قليلا، وعلينا تقدير هذا التأثير.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
شدّة التيار	I = ΔqΔt
الشحنة التي تعبر المقطع (تيار ثابت)	Δq = I·Δt
عدد الإلكترونات	N = Δqe
شدّة التيار وسرعة الانسياق	I = n·e·A·v_d
الجهد بين طرفي مركّب	V = Wq
قانون أوم (تعريف المقاومة)	V = I·R
مقاومة موصل متجانس	R = ρ·ℓA
مجزّئ الجهد (بدون حمل)	V_CB = V·R_CBR_AB
التيار في دائرة فيها مصدر وحمل	I = εR + r
فرق جهد القطبين	V = ε − I·r
تيار القصر	I_max = εr
ثابت الزمن	τ = R·C
القانون العام للحالة العابرة	x(t) = x_∞ + (x₀ − x_∞)·e^−Δtτ
شحن المكثّف (x₀ = 0 ، x_∞ = ε)	V_C = ε·(1 − e^−tτ) , I = εR·e^−tτ
تفريغ المكثّف (x_∞ = 0)	q = Q₀·e^−tτ , V_C = V₀·e^−tτ
الشحنة الكلّية = المساحة تحت منحنى التيار	Q₀ = I₀·τ = C·ε
الطاقة والقدرة الكهربائية	E = V·I·t , P = V·I
القدرة في مقاوِم	P = I²·R = V²R
الكيلوواط ساعة	1 kWh = 3.6·10⁶ J
الكفاءة	η = P_outP_in
ميزان القدرة لمصدر حقيقي	ε·I = I²·R + I²·r
فواقد خطوط النقل	P_loss = (PV)²·R_ℓ
القدرة العظمى، عند R = r	P_max = ε²4·r
مقاوِمات على التوالي	R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاوِمات على التوازي	1R_eq = 1R₁ + 1R₂ + …
مجزّئ الجهد	V₁ = V·R₁R₁ + R₂
قانون العُقد	ΣI_in = ΣI_out
قانون الحلقات	ΣΔV = 0

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
التيار الكهربائي	זרם חשמלי	Electric current
شدّة التيار	עוצמת הזרם	Current (intensity)
أمبير	אמפר	Ampere
حاملات الشحنة	נושאי מטען	Charge carriers
سرعة الانسياق	מהירות סחיפה	Drift velocity
الاتّجاه الاصطلاحي للتيار	הכיוון המוסכם של הזרם	Conventional current direction
الدائرة الكهربائية (الدارة)	מעגל חשמלי	Electric circuit
دائرة مغلقة · دائرة مفتوحة	מעגל סגור · מעגל פתוח	Closed circuit · open circuit
التيار اللحظي · التيار المتوسّط	זרם רגעי · זרם ממוצע	Instantaneous current · average current
الجهد (فرق الجهد)	מתח (הפרש פוטנציאלים)	Voltage (potential difference)
قانون أوم	חוק אוהם	Ohm's law
المقاومة · المقاوِم	התנגדות · נגד	Resistance · resistor
أوم	אוהם	Ohm
مقاوِم أومي	נגד אוהמי	Ohmic resistor
المنحنى المميّز	אופיין	Characteristic curve
لمبة التوهّج (مصباح التوهّج)	נורת להט	Incandescent lamp
المقاومة النوعية	התנגדות סגולית	Resistivity
شبه موصل	מוליך למחצה	Semiconductor
المقاوِم المتغيّر	נגד משתנה	Variable resistor
المنزلق	זחלן	Slider (wiper)
الريوستات	ראוסטט	Rheostat
مجزّئ الجهد (البوتنشيومتر)	מחלק מתח (פוטנציומטר)	Voltage divider (potentiometer)
مصدر فرق الجهد	מקור מתח	Voltage source
القوّة الدافعة الكهربائية	כוח אלקטרו-מניע (כא"מ)	Electromotive force (emf)
فرق جهد القطبين (جهد الأطراف)	מתח הדקים	Terminal voltage
المقاومة الداخلية	התנגדות פנימית	Internal resistance
دائرة قصر	קצר	Short circuit
ثابت الزمن	קבוע זמן	Time constant
الشحن · التفريغ	טעינה · פריקה	Charging · Discharging
الدالّة الأسّية	פונקציה מעריכית	Exponential function
زمن نصف التفريغ	זמן מחצית	Half-time
الطاقة الكهربائية	אנרגיה חשמלית	Electrical energy
القدرة	הספק	Power
كيلوواط ساعة	קילוואט-שעה (קוט"ש)	Kilowatt-hour
الكفاءة (المردود)	נצילות	Efficiency
فواقد الطاقة	הפסדי אנרגיה	Energy losses
خطوط نقل الطاقة	קווי הולכה	Transmission lines
القدرة العظمى	הספק מרבי	Maximum power
المقاومة المكافئة	התנגדות שקולה	Equivalent resistance
الوصل على التوالي	חיבור בטור	Series connection
الوصل على التوازي	חיבור במקביל	Parallel connection
الوصل المختلط	חיבור מעורב	Combined connection
مجزّئ الجهد	מחלק מתח	Voltage divider
العقدة · الفرع · الحلقة	צומת · ענף · לולאה	Junction · Branch · Loop
قانونا كيرخهوف (قانون العُقد · قانون الحلقات)	חוקי קירכהוף (חוק הצמתים · חוק הלולאות)	Kirchhoff's laws (junction rule · loop rule)
الأميتر (مقياس التيار)	מד-זרם	Ammeter
الڤولطمتر (مقياس الجهد)	מד-מתח	Voltmeter
جهاز قياس مثالي	מכשיר אידאלי	Ideal meter
خطأ القياس	שגיאת מדידה	Measurement error

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 4.1) يمرّ في جهاز تيار ثابت شدّته 0.8 A مدّة 5 دقائق.
(أ) احسبوا الشحنة التي عبرت الجهاز، وعدد الإلكترونات.
(ب) كم من الزمن يحتاج التيار نفسه لنقل شحنة 1000 C؟

الإجابات: Δq = 240 C ، N = 1.5·10²¹ ؛ Δt = 1250 s

(للبند 4.1) في سلك ألمنيوم قطره 2 mm يمرّ تيار 5 A. كثافة الإلكترونات الحرّة في الألمنيوم 1.8·10²⁹ m⁻³.
(أ) احسبوا مساحة مقطع السلك وسرعة انسياق الإلكترونات.
(ب) ما الذي يحدث لسرعة الانسياق إذا استبدلنا السلك بسلك قطره 1 mm يمرّ فيه التيار نفسه؟

الإجابات: A = 3.142·10⁻⁶ m² ، v_d = 5.53·10⁻⁵ m/s ؛ تزداد أربع مرّات

(للبند 4.2) الجهد بين طرفي مقاوِم أومي 9 V والتيار فيه 0.36 A.
(أ) احسبوا مقاومته.
(ب) ما التيار فيه عندما يكون الجهد 4 V، وما الجهد اللازم ليمرّ فيه تيار 0.5 A؟
(ج) هل تبقى النتائج صحيحة لو استبدلنا المقاوِم بلمبة توهّج لها المقاومة نفسها عند 9 V؟ لماذا؟

الإجابات: R = 25 Ω ؛ I = 0.16 A ، V = 12.5 V ؛ لا: مقاومة اللمبة عند جهد أصغر تكون أصغر

(للبند 4.3) سلكان A و B من المادّة نفسها. طول السلك B ضعف طول السلك A، وقطره أيضا ضعف قطر A. مقاومة السلك A هي 8 Ω.
(أ) احسبوا مقاومة السلك B.
(ب) أيّ السلكين يمرّ فيه تيار أكبر إذا وصلنا كلّا منهما على حدة بالجهد نفسه؟

الإجابات: R_B = 4 Ω ؛ في السلك B

(للبند 4.3) في الدائرة مصدر فرق جهده ثابت 12 V، مقاوِم R_L = 10 Ω وريوستات مقاومته الكاملة 30 Ω.
(أ) احسبوا مجال التيارات في الدائرة ومجال الجهود على المقاوِم R_L عندما نحرّك المنزلق من طرف إلى آخر.
(ب) ما مقاومة الجزء الفعّال من الريوستات عندما يكون التيار 0.6 A؟

الإجابات: I من 0.3 A إلى 1.2 A ؛ V_L من 3 V إلى 12 V ؛ R_x = 10 Ω

(للبند 4.4) ڤولطمتر مثالي موصول بطرفي بطّارية يقرأ 4.5 V والمفتاح مفتوح. عندما نصل البطّارية بمقاوِم 4 Ω يقرأ 4 V.
(أ) احسبوا التيار والمقاومة الداخلية وتيار القصر.
(ب) ارسموا فرق جهد القطبين كدالّة للتيار، وعيّنوا عليه نقطة العمل.

الإجابات: I = 1 A ، r = 0.5 Ω ، I_max = 9 A

(للبند 4.5) مكثّف فارغ سعته 250 μF يُشحن عبر مقاوِم 20 kΩ من مصدر فرق جهد 6 V.
(أ) احسبوا ثابت الزمن والتيار الابتدائي والشحنة النهائية.
(ب) ما جهد المكثّف بعد 5 s؟
(ج) بعد كم من الوقت يبلغ جهد المكثّف نصف جهد المصدر؟

الإجابات: τ = 5 s ، I₀ = 0.3 mA ، Q₀ = 1.5 mC ؛ V_C = 3.79 V ؛ Δt = τ·ln 2 = 3.47 s

(للبند 4.5) يبيّن الرسم البياني جهد مكثّف سعته 100 μF أثناء تفريغه عبر مقاوِم.
(أ) اقرأوا من الرسم ثابت الزمن.
(ب) احسبوا مقاومة المقاوِم والتيار الابتدائي.
(ج) احسبوا شحنة المكثّف في اللحظة t = 8 s.

الإجابات: τ = 4 s (الجهد 3.68 V) ، R = 40 kΩ ، I₀ = 0.25 mA ، q = 0.135 mC

(للبند 4.6) مكتوب على سخّان ماء صغير: «12 V ، 48 W».
(أ) احسبوا التيار فيه ومقاومته عند التشغيل العادي.
(ب) كم من الطاقة بالجول يحرّر السخّان خلال 10 دقائق من التشغيل؟

الإجابات: I = 4 A ، R = 3 Ω ؛ E = 2.88·10⁴ J

10.

(للبند 4.6) محرّك رافعة صغيرة موصول بجهد 230 V ويمرّ فيه تيار 2 A، وهو يعطي قدرة ميكانيكية مفيدة 368 W. احسبوا القدرة الكهربائية المبذولة، الكفاءة وقدرة الفواقد.

الإجابات: P_in = 460 W ، η = 0.8 ، P_loss = 92 W

11.

(للبند 4.7) مقاوِمان R₁ = 4 Ω و R₂ = 12 Ω ومصدر مثالي فرق جهده 12 V.
(أ) نصل المقاوِمين على التوالي مع المصدر: احسبوا المقاومة المكافئة، التيار في الدائرة والجهد على كلّ مقاوِم.
(ب) نصلهما على التوازي مع المصدر: احسبوا المقاومة المكافئة، التيار في كلّ مقاوِم والتيار الكلّي.

الإجابات: R_eq = 16 Ω ، I = 0.75 A ، V₁ = 3 V ، V₂ = 9 V ؛ R_eq = 3 Ω ، I₁ = 3 A ، I₂ = 1 A ، I = 4 A

12.

(للبند 4.7) في الدائرة المرسومة المصدر مثالي. احسبوا المقاومة المكافئة، التيار الخارج من المصدر، التيار في R₂ ، والجهد على R₄.

الإجابات: R_eq = 12 Ω ، I = 2.5 A ، I₂ = 1.25 A ، V₄ = 10 V

13.

(للبند 4.8) مقاوِمان متماثلان 30 kΩ موصولان على التوالي بمصدر مثالي 9 V.
(أ) ما الجهد الحقيقي على كلّ مقاوِم؟
(ب) ماذا يقرأ ڤولطمتر مقاومته 30 kΩ موصول على أحدهما، وما الخطأ النسبي؟
(ج) ما أصغر مقاومة للڤولطمتر يكون معها الخطأ أقلّ من 1 بالمئة؟

الإجابات: 4.5 V ؛ 3 V ، الخطأ −0.33 ؛ R_V = 1.485 MΩ (نحو 50 ضعفا من المقاوِم)

تمارين تلخيصية:

يبيّن الرسم البياني التيار في سلك كدالّة للزمن.
(أ) احسبوا الشحنة التي عبرت مقطع السلك خلال 10 s، والتيار المتوسّط.
(ب) ما التيار اللحظي في t = 4 s؟

الإجابات: Δq = 24 C ، I_avg = 2.4 A ؛ I(4) = 2 A

قُصّت من سلك نيكروم مساحة مقطعه 0.2 mm² قطعة طولها 2 m، ووُصلت ببطّارية قوّتها الدافعة الكهربائية 12 V ومقاومتها الداخلية 1 Ω. المقاومة النوعية للنيكروم 1.1·10⁻⁶ Ω·m.
(أ) احسبوا مقاومة القطعة.
(ب) احسبوا التيار في الدائرة وفرق جهد القطبين.
(ج) كم إلكترونا يعبر مقطع السلك في كلّ ثانية؟

الإجابات: R = 11 Ω ؛ I = 1 A ، V = 11 V ؛ 6.25·10¹⁸ إلكترون في الثانية

في الدائرة المرسومة المصدر مثالي. نغلق المفتاح وننتظر زمنا طويلا.
(أ) ما التيار في المكثّف؟ ما التيار في R₁؟
(ب) احسبوا جهد المكثّف وشحنته.
(ج) نفتح المفتاح الآن: عبر أيّ مقاوِم يتفرّغ المكثّف، وما ثابت زمن التفريغ؟

الإجابات: (أ) صفر ، I = 2 mA ؛ (ب) V_C = 8 V ، Q = 400 μC ؛ (ج) عبر R₂ ، τ = 0.2 s

بطارية قوّتها الدافعة الكهربائية 24 V ومقاومتها الداخلية 3 Ω.
(أ) ما قيمة المقاوِم الخارجي الذي يتلقّى أكبر قدرة؟ وما هذه القدرة؟
(ب) نصل بدلا منه مقاوِما 9 Ω: احسبوا التيار، القدرة في المقاوِم، القدرة الضائعة في البطارية والكفاءة.
(ج) كم من الطاقة بالكيلوواط ساعة يستهلك المقاوِم 9 Ω في 10 ساعات؟

الإجابات: R = 3 Ω ، P_max = 48 W ؛ I = 2 A ، P_R = 36 W ، P_r = 12 W ، η = 0.75 ؛ E = 0.36 kWh

في دائرة كالدائرة المرسومة (مقاومات المصدرين الداخلية مهملة) ε₁ = 18 V ، R₁ = 6 Ω ، ε₂ = 12 V ، R₂ = 2 Ω ، R₃ = 3 Ω. اكتبوا قانون العُقد وقانونَي الحلقتين، واحسبوا التيارات الثلاثة والجهد V_AB. تحقّقوا من النتيجة بطريقة جهد العقدة.

الإجابات: I₁ = 1.5 A ، I₂ = 1.5 A ، I₃ = 3 A ، V_AB = 9 V

تمارين تعمّق:

(*) مكثّف مشحون يتفرّغ عبر مقاوِم، وثابت الزمن τ = 2 s.
(أ) بعد كم من الزمن يهبط جهد المكثّف إلى نصف قيمته الابتدائية؟
(ب) بعد كم من الزمن تهبط الطاقة المخزونة في المكثّف إلى نصفها؟ فسّروا لماذا هذا الزمن أقصر من زمن النصف للجهد.
(ج) ما النسبة المتبقّية من الطاقة الابتدائية في اللحظة t = τ؟

الإجابات: t_V = τ·ln 2 = 1.39 s ؛ t_E = τ2·ln 2 = 0.69 s — الطاقة تتناسب مع مربّع الجهد فتهبط أسرع ؛ e⁻² = 0.14

(*) نقيس مقاومة مقاوِم R = 100 Ω بأميتر مقاومته 1 Ω وڤولطمتر مقاومته 10 kΩ معا، ونحسب من القراءتين VI.
(أ) في الوصل الأوّل الڤولطمتر موصول على المقاوِم وحده، والأميتر يقيس مجموع تياري المقاوِم والڤولطمتر: احسبوا المقاومة المقيسة والخطأ النسبي.
(ب) في الوصل الثاني الأميتر يقيس تيار المقاوِم وحده، والڤولطمتر يقيس الجهد على المقاوِم والأميتر معا: احسبوا المقاومة المقيسة والخطأ النسبي.
(ج) أيّ الوصلين نفضّل لقياس مقاومة صغيرة، وأيّهما لمقاومة كبيرة؟ علّلوا.

الإجابات: R_m = 99 Ω ، خطأ −1 بالمئة ؛ R_m = 101 Ω ، خطأ +1 بالمئة ؛ الأوّل عندما تكون R أصغر بكثير من R_V والثاني عندما تكون R أكبر بكثير من r_A

(*) ريوستات مقاومته الكاملة 100 Ω موصول كمجزّئ جهد بمصدر مثالي 12 V، والمنزلق في منتصفه تماما.
(أ) ما الجهد بين المنزلق والطرف السفلي قبل وصل أيّ حمل؟
(ب) نصل بين المنزلق والطرف السفلي حملا مقاومته 50 Ω: احسبوا الجهد على الحمل الآن، وفسّروا لماذا صغر.
(ج) ما أصغر مقاومة للحمل يبقى معها الجهد على الحمل 5.5 V على الأقلّ؟

الإجابات: V₀ = 6 V ؛ V = 4 V — الحمل موصول على التوازي مع النصف السفلي فيُصغّر مقاومة هذا الجزء ؛ R_L = 275 Ω

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

4.1 I = 1 A ، 6.25·10¹⁸ إلكترون في الثانية

4.2 Δq = 8 C ، I_avg = 1.14 A ؛ منحنى الشحنة خطّان مستقيمان: ميل 2 A حتى 6 C ثم ميل 0.5 A

4.3 I = 1.6 A ؛ تتضاعف سرعة الانسياق إلى 0.5 mm/s

4.4 W = 4.5 J ، q = 2 C

4.5 I = 0.4 A ، V = 12 V ؛ خطّ مستقيم من نقطة الأصل إلى النقطة (12 V, 0.8 A)

4.6 I = 0.05 A ، والتيار الحقيقي 0.15 A أكبر بثلاث مرّات لأنّ السلك البارد مقاومته أصغر

4.7 أ. 2 Ω ؛ ب. 1.5 Ω (المساحة أكبر بأربع مرّات)

4.8 0.4 من طول السلك ؛ R_CB = 40 Ω

4.9 V = 9.6 V ؛ فرق جهد القطبين ينخفض فيقلّ الجهد على اللمبات ؛ I_max = 630 A

4.10 ε = 12 V ، r = 3 Ω ، V = 7.5 V ، R = 5 Ω

4.11 τ = 3 s ، V_C = 3.79 V ، نحو 3τ = 9 s

4.12 τ = 0.5 s (لأنّ 4.41 = 12·e⁻¹) ، R = 5 kΩ

4.13 Δq = 12 · 4·10⁻³ · 5 = 1·10⁻² C (مساحة مثلّث)

4.14 E = 32.4 mJ ، U = 16.2 mJ ، الحرارة 16.2 mJ

4.15 R = 881.7 Ω ، I = 0.261 A ، P = 15 W (ربع القدرة)

4.16 R = 1.5 Ω ، P_max = 13.5 W ، I = 3 A ؛ مع 6 Ω: η = 0.8

4.17 R₂ = 1.5 kΩ

4.18 L₁ تزداد إضاءة: القدرة تتضاعف بالنسبة 169 ؛ L₂ تخفت: النسبة 49

4.19 I₁ = 2 A ، I₂ = −1 A ، I₃ = 1 A ، V_AB = 12 V ؛ I₂ سالب: التيار في الفرع الأيمن نحو الأسفل، والمصدر ε₂ يُشحن

4.20 V = 8.982 V ، الخطأ −0.002 (نحو 0.2 بالمئة)

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 4

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الكهرومغناطيسية (אלקטרומגנטיות — 36371)، بالنسخة العربية الرسمية للامتحان (2019–2026). تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 4 — مقاومة متغيّرة، القوّة المحرّكة والمقاومة الداخليّة — قراءة خطّ مستقيم من مخطّط انتشار

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	عبارة مقاومة الجزء الفعّال	في الحل الكامل
ب	اسم المحور الأفقيّ ووحداته	في الحل الكامل
ج	القوّة المحرّكة والمقاومة الداخليّة من الخطّ	ε ≈ 23.5 V ≈ 24 V · r ≈ 1.8 Ω
د	القدرة في المقاومة المتغيّرة	P ≈ 39.7 W ≈ 40 W
هـ	عند أيّ تيّار تكون النجاعة أعلى	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2026 السؤال 3 — منحنيات مميّزة، دارات ومصدر جهد غير مثاليّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	أيّ مركّب له مقاومة ثابتة	للمركّب A · منحناه خطّ مستقيم عبر الأصل، ولذلك النسبة بين الجهد والتيّار ثابتة · R = 5 Ω
ب	المقاومة النوعيّة للسلك	ρ = 1.125·10⁻⁶ Ω·m ≈ 1.1·10⁻⁶ Ω·m
ج	جهد قطبَي المصدر في دائرة التوالي	V(MN) = 4.6 V · نقطة التشغيل هي 2.3 V و-0.46 A
د	التيّار عبر المصدر في دائرة التوازي	I = 1.22 A
هـ	القوّة المحرّكة الكهربائيّة والمقاومة الداخليّة	r ≈ 1.4 Ω · ε ≈ 5.3 V
و	قياس بفولطمتر غير مثاليّ	الجهد المقيس أصغر من ذلك الذي قيس بالفولطمتر المثاليّ

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2025 السؤال 3 — قوّة محرّكة كهربائيّة، مقاومة داخليّة والقدرة المستهلكة — قراءة من منحنيين

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	القوّة المحرّكة الكهربائيّة والمقاومة الداخليّة	ε = 18 V · r = 3 Ω
ب	عبارة القدرة المستهلكة	في الحل الكامل
ج	المقاومة التي تسخّن في أقصر زمن	R في القطعة QN تساوي 3 Ω · القدرة القصوى 27 W عند جهد قطبين 9 V
د	ادّعاءان — صحيح أو غير صحيح	(1) غير صحيح — النجاعة هناك 50% بالضبط · (2) صحيح — إلكترون فولط للثانية وحدة قدرة
هـ	التجربة بمقياس تيّار مقاومته غير مهملة	الرسم 2 — الخطّ ذاته بالضبط للتجربتين، وما تغيّر هو حقل التيّارات المقيس وحده

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2025 السؤال 2 — مقاومة متغيّرة مع مُلامس متحرّك — فرق جهد القطبين، وصل على التوازي ومُجزّئ جهد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط الدائرة وحساب R₁	I = 2 A · R₁ = 8 Ω
ب	مقارنة بين V₁ ونصف V₂	في الحل الكامل
ج	حساب مقاومة القطعة MP	I = 2.5 A · I₁ = 1.5 A · I_MP = 1.0 A · R_MP = 12 Ω
د	مقاومة المقاومة المتغيّرة كلّها	R_PN = 1.2 Ω · R_MN = 13.2 Ω
هـ	تحريك المُلامس نحو N مع مفتاح بدل المقاومة	المفتاح مفتوح — V₁ ستكبر، V₂ لن تتغيّر · المفتاح مغلق — V₁ لن تتغيّر وتبقى صفرًا، V₂ ستصغر

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 4 — مقاومة متغيّرة وقطع القدرة المكافئ — ق.م.ك، مقاومة داخليّة وقدرة مهدورة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	كيف تتغيّر قراءة الڤولطمتر	قراءة الڤولطمتر تكبر
ب	المقاومة القصوى	النقطة M₁ · R القصوى = 14 Ω
ج	القوّة المحرّكة والمقاومة الداخليّة	ε = 8 V · r = 2 Ω
د	القدرة المهدورة في النقطتين	غير متطابقة · في M₄ القدرة المهدورة أكبر بتسعة أضعاف — ثمانية عشر واط مقابل واطين
هـ	تبديل موقعَي الجهازين	الادّعاء 4 — قراءة مقياس التيّار صفر وقراءة الڤولطمتر هي ε، أي ثمانية فولط

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 3 — قضبان موصلة على التوازي وتماسّ متحرّك — مقاومة نوعيّة وإضافة قضبان

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مقاومة كلّ قضيب	R(x) = 6.4 Ω لكلّ قضيب
ب	مقاومة المقاومة R	R = 6.4 Ω
ج	المقاومة لوحدة الطول	λ = 24 Ω/m
د	التيّار مع n قضبانًا	I = nε مقسومًا على (nR + R(x))
هـ	كيف تتغيّر القراءتان	الادّعاء 3 — قراءة V₁ تكبر وقراءة V₂ تصغر

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 3 — لمبتان في فرعين متوازيين — ميل المنحنى، القدرة المدوّنة ومردود الدائرة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مقاومة اللمبة L₁	R(L1) = 28.8 Ω
ب	التيّار عبر المقاومة الثابتة	I(R) = 0.833 A
ج	موقع الملامس المتحرّك	الملامس المتحرّك يقع في النقطة K
د	العبارة الرابطة بين الجهدين	V₁ = (R(L1) مقسومًا على R(L2)) مضروبًا في V₂
هـ	القدرة المدوّنة للمبة L₂	R(L2) = 6.4 Ω · القدرة المدوّنة لـ L₂ هي 22.5 W
و	القوّة المحرّكة للمصدر غير المثاليّ	ε₁ = 30 V

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 2 — مصدر جهد غير مثاليّ ومقاومة متغيّرة — قراءة منحنيين في جملة المحاور ذاتها

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تمييز المنحنيين	المنحنى أ هو V₁ · المنحنى ب هو V₂
ب	القوّة المحرّكة والمقاومة الداخليّة	ε = 24 V · r = 4 Ω
ج	مقاومة المقاومة الثابتة	R = 8 Ω
د	المقاومة القصوى للمقاومة المتغيّرة	R(PK) القصوى = 36 Ω
هـ	الجهد على المقاومة المتغيّرة عند تحريك الملامس	الجهد على المقاومة المتغيّرة يزداد
و	مقياس جهد مثاليّ على التوالي بدل مقياس التيّار	V₁ = 24 V · V₂ = 0

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 3 — ثلاث لمبات على التوالي مقابل ثلاث على التوازي — قدرة ونجاعة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	قراءتا مقياس التيّار	I₁ = 2/3 A ≈ 0.667 A · I₂ = 2 A
ب	المقاومتان المتغيّرتان	R₁ = 0.5 Ω · R₂ = 0.5 Ω · ومن هنا أيضًا ε = 12 V , r = 4 Ω
ج	القدرة المستثمَرة من قِبل المصدر	في الدائرة 2 القدرة المستثمَرة أكبر، ثلاثة أضعاف · 24 W مقابل 8 W
د	القدرة المهدورة داخل المصدر	في الدائرة 2 القدرة المهدورة أكبر، تسعة أضعاف · 16 W مقابل 16/9 W
هـ	ادّعاء الطالب	الادّعاء خاطئ · النجاعة خارج قسمة، والمقام يكبر ثلاثة أضعاف في الدائرة 2 بينما البسط يكبر قليلًا فقط
و	في أيّ دائرة تكون النجاعة أكبر	في الدائرة 1 النجاعة أكبر · 77.8% مقابل 33.3%

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 2 — مصدر جهد بمقاومة داخليّة ومقاومة انزلاقيّة — فرق جهد القطبين، توالٍ وتوازٍ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	الادّعاءات الخمسة	الادّعاءات الصحيحة هي 1 , 4 , 5
ب	حساب ε و r	r = 2 Ω · ε = 21 V
ج	موقع التماسّ المتحرّك P	المسافة عن الطرف N هي 20 cm (والمسافة عن الطرف M هي 10 cm)
د	فرق جهد القطبين في الدائرة الواردة في الرسم 2	V = 12 V ، أصغر من 18 V
هـ	هل يمكن الوصول إلى V = ε وإلى V = 0	V = ε غير قابل للتحقيق · V = 0 قابل للتحقيق بإزاحة P إلى الطرف M، وعندئذٍ I = 10.5 A

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 3 — مصدر جهد بمقاومة داخليّة · استخراج القوّة الدافعة والمقاومة من رسم بيانيّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	التيّار عندما يكون K عند الطرف N	I = 0.5 A
ب	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	مستقيم منحدر معادلته V = −2.02·I + 5.99
ج	القوّة الدافعة لمصدر الجهد	ε = 6.0 V · النقطة المعلَّمة هي التقاطع مع محور V عندما I = 0
د	المقاومة الداخليّة	r = 2.0 Ω
هـ		I = 3.0 A
و	هل يوجد هنا تناقض مع قانون أوم	لا يوجد تناقض · في كلّ قياس على حدة يتحقّق قانون أوم، والمقاومة هي التي تغيّرت بين قياس وآخر

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2020 السؤال 5 — مكثّف على التوازي مع مقاومة · شحن وتفريغ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	الجهد على المقاومة R₂ لحظة الإغلاق	V(R₂) = 14 ڤولطًا (والتيّار في الدائرة 0.1 أمبير)
ب	شحنة المكثّف بعد زمن طويل	Q = 1.4·10⁻⁶ كولون، أي 1.4 ميكروكولون
ج	أيّ مخطّط يصف التيّار في R₁	المخطّط 2 — خطّ ثابت على ارتفاع ε/(R₁+R₂) حتّى t₁ ، وقفزة فوريّة إلى ε/R₁ في اللحظة t₁ ، وتناقص أسّيّ عائد إلى ε/(R₁+R₂)
د	المقادير الثلاثة بعد فتح S₁	(1) الشحنة Q تصغر — حتّى الصفر · (2) التيّار عبر R₂ يصغر — حتّى الصفر، دون تغيّر في الاتّجاه · (3) ثابت الزمن τ لم يتغيّر — على مدار هذه الفترة كلّها هو R₂·C = 14 ميكروثانية (وبالمقارنة مع مرحلة الشحن التي سبقته فقد كبر فعلًا من 5.8 إلى 14 ميكروثانية)

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 7 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)