الفصل 5

الحقل المغناطيسي

השדה המגנטי

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 25 ساعات تعليمية

منذ آلاف السنين عرف الإنسان أنّ حجارة معيّنة تجذب الحديد، وأنّ الإبرة الممغنطة تشير نحو الشمال. لكنّ فهم المغناطيسية بدأ حقّا عندما اكتُشف أنّ التيار الكهربائي يُنشئ حقلا مغناطيسيا، وأنّ الحقل المغناطيسي يؤثّر بقوّة على الشحنات المتحرّكة. في هذا الفصل نصف الحقل المغناطيسي بخطوطه، ونحسب القوّة التي يؤثّر بها على تيار وعلى شحنة متحرّكة، ونربطه بمصادره من خلال قانون أمبير، وننهي بأجهزة تعتمد عليه: منتقي السرعات، مطياف الكتلة والسيكلوترون. وفي كلّ خطوة سنهتمّ بالاتّجاهات، فهي قلب هذا الموضوع.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نصف الحقل المغناطيسي كمقدار اتّجاهي، نحدّد اتّجاهه بالبوصلة، ونرسم خطوطه ونقارنها بخطوط الحقل الكهربائي.
نحدّد اتّجاه القوّة المغناطيسية على تيار بقاعدة اليد اليمنى، ونحسب مقدارها: F = B·I·ℓ·sin θ.
نعرّف شدّة الحقل المغناطيسي ووحدتها التسله، ونقارن التعريف بتعريف الحقل الكهربائي.
نستعمل قانون أمبير لحساب الحقل قرب سلك مستقيم وداخل ملفّ حلزوني، ونحسب الحقل في مركز لفّة، ونجمع حقول عدّة أسلاك.
نحسب القوّة بين تيارين متوازيين ونعرّف الأمبير.
نحسب قوّة لورنتس على شحنة متحرّكة ونكتبها كضرب اتّجاهي، ونحلّل الحركة الدائرية والحلزونية في حقل متجانس.
نشرح عمل منتقي السرعات ومطياف الكتلة والسيكلوترون ونجري حسابات عليها.

שדות מגנטיים של מגנטים ושל זרמים – الحقول المغناطيسية للمغانط وللتيارات (Magnetic Fields of Magnets and Currents)

عرف الإنسان الظواهر المغناطيسية منذ آلاف السنين: حجر طبيعي يجذب قطع الحديد، وإبرة ممغنطة تشير دائما نحو الشمال. في هذا الفصل نتعلّم أنّ مصدر هذه الظواهر كلّها هو حركة الشحنات الكهربائية: التيار الكهربائي يُنشئ حقلا مغناطيسيا، والحقل المغناطيسي يؤثّر بقوّة على التيار وعلى كلّ شحنة متحرّكة. نبدأ بوصف الحقل حول المغانط والتيارات، ثم نحسب القوّة التي يؤثّر بها، ونربطه بمصادره، وننهي بأجهزة تعتمد عليه.

المغناطيس (מגנט): هو جسم يجذب الحديد وبعض الفلزّات الأخرى (النيكل والكوبالت). لكلّ مغناطيس قطبان: القطب الشمالي N (קוטב צפוני) والقطب الجنوبي S (קוטב דרומי). القطب الشمالي هو الطرف الذي يتّجه نحو الشمال الجغرافي عندما نعلّق المغناطيس ونتركه يدور بحرّية.

عندما نقرّب مغناطيسين أحدهما من الآخر نلاحظ قاعدة بسيطة: القطبان المتشابهان يتنافران، والقطبان المختلفان يتجاذبان. تشبه هذه القاعدة قاعدة الشحنات الكهربائية، لكنّ بين الحالتين فرقا جوهريا سنراه بعد قليل: الشحنة الموجبة يمكن أن توجد وحدها، أمّا القطب المغناطيسي فلا يوجد وحده أبدا.

الطبيعة الاتّجاهية للحقل المغناطيسي – האופי הווקטורי של השדה המגנטי:

الحقل المغناطيسي (שדה מגנטי): هو الحيّز المحيط بمغناطيس أو بموصل يمرّ فيه تيار، والذي يتأثّر فيه مغناطيس آخر، أو تيار، أو شحنة متحرّكة، بقوّة مغناطيسية. الحقل المغناطيسي مقدار اتّجاهي (גודל וקטורי) نرمز له بالرمز B: في كلّ نقطة من الحيّز له مقدار، هو شدّة الحقل المغناطيسي، وله اتّجاه.

كما في الحقل الكهربائي، نعامل الحقل المغناطيسي كخاصّية للحيّز نفسه: المغناطيس يُنشئ الحقل في كلّ النقاط حوله، وأيّ جسم مغناطيسي يوضع في نقطة ما «يشعر» بالحقل الموجود فيها. ولأنّ الحقل اتّجاهي، فإنّ حقلَي مصدرين مختلفين في النقطة نفسها يُجمعان جمعا اتّجاهيا (مبدأ التراكب)، كما سنرى في البند 5.3.

تحديد الحقل في نقطة بواسطة البوصلة – זיהוי השדה בנקודה בעזרת מצפן:

البوصلة (מצפן) هي مغناطيس صغير وخفيف على شكل إبرة، يدور بحرّية حول محور. عندما نضع البوصلة في حقل مغناطيسي، يؤثّر الحقل على قطبَي الإبرة بقوّتين متعاكستين فتدور الإبرة حتى تستقرّ موازية للحقل. هذا يعطينا تعريفا عمليا لاتّجاه الحقل:

اتّجاه الحقل المغناطيسي (כיוון השדה המגנטי): اتّجاه الحقل المغناطيسي في نقطة هو الاتّجاه الذي يشير إليه القطب الشمالي لإبرة بوصلة صغيرة موضوعة في تلك النقطة، بعد أن تستقرّ.

بوصلات صغيرة حول مغناطيس قضيبي: تستقرّ كلّ إبرة موازية للحقل في موضعها، والطرف الأحمر (الشمالي) يشير إلى اتّجاه الحقل

البوصلة تعطي الاتّجاه فقط. أمّا المقدار فنقيسه بقوّة الحقل على تيار (البند 5.2) أو بجهاز قياس خاصّ. وكلّما كانت البوصلة أصغر كان القياس «نقطيا» أكثر، تماما كشحنة الاختبار في الحقل الكهربائي.

خطوط الحقل المغناطيسي – קווי שדה מגנטי:

لكي نرى صورة الحقل كلّها، نرسم خطوط الحقل المغناطيسي (קווי שדה מגנטי): خطوط وهمية نرسمها بحيث يكون المماسّ لها في كلّ نقطة باتّجاه الحقل. يمكن الحصول على صورتها عمليا ببرادة الحديد: كلّ ذرّة برادة تصبح بوصلة صغيرة، فتصطفّ البرادة على طول الخطوط.

خطوط الحقل المغناطيسي لمغناطيس قضيبي، محسوبة من نموذج القطبين. خارج المغناطيس تخرج الخطوط من القطب الشمالي وتدخل إلى القطب الجنوبي؛ داخله (الخطوط المتقطّعة) تتابع من الجنوبي إلى الشمالي فتنغلق

خصائص خطوط الحقل المغناطيسي:

المماسّ للخطّ في كلّ نقطة يعطي اتّجاه الحقل B في تلك النقطة، والسهم على الخطّ يبيّن هذا الاتّجاه.
كثافة الخطوط تدلّ على شدّة الحقل: حيث تتقارب الخطوط (قرب القطبين) يكون الحقل قويّا، وحيث تتباعد يكون ضعيفا.
خطوط الحقل لا تتقاطع أبدا، لأنّ للحقل في كلّ نقطة اتّجاها واحدا فقط.
خارج المغناطيس تتّجه الخطوط من القطب الشمالي إلى القطب الجنوبي، وداخله من الجنوبي إلى الشمالي.
خطوط الحقل المغناطيسي خطوط مغلقة: ليس لها بداية وليس لها نهاية.

مثال 5.1

نضع ثلاث بوصلات صغيرة قرب مغناطيس قضيبي أفقي قطبه الشمالي على اليمين: البوصلة A على امتداد محور المغناطيس يمين القطب الشمالي، البوصلة B فوق منتصف المغناطيس، والبوصلة C على امتداد المحور يسار القطب الجنوبي. إلى أين يشير القطب الشمالي لكلّ إبرة؟

الحل:

نعتمد على اتّجاه خطوط الحقل خارج المغناطيس: من القطب الشمالي إلى القطب الجنوبي.

عند A يخرج الخطّ من القطب الشمالي مبتعدا عنه على طول المحور، لذلك يشير الحقل نحو اليمين.

عند B (فوق المنتصف) يمرّ الخطّ موازيا للمغناطيس في طريقه من N على اليمين إلى S على اليسار، لذلك يشير الحقل نحو اليسار. لاحظوا أنّ الحقل فوق المغناطيس يعاكس اتّجاه الحقل داخله.

عند C يتّجه الخطّ نحو القطب الجنوبي ليدخل إليه، أي نحو اليمين.

تحقّقنا من الاتّجاهات الثلاثة بحساب الحقل من نموذج القطبين الذي رُسمت به خطوط الحقل في الشكل السابق.

الجواب: A — نحو اليمين ، B — نحو اليسار ، C — نحو اليمين.

مقارنة بين خطوط الحقل المغناطيسي وخطوط الحقل الكهروستاتيكي – השוואה בין קווי שדה מגנטי לקווי שדה אלקטרוסטטי:

خارج المغناطيس القضيبي تشبه صورة الخطوط إلى حدّ بعيد صورة خطوط الحقل الكهربائي لشحنتين متساويتين ومختلفتين في الإشارة. لكنّ الفرق يظهر في «النهاية»: خطّ الحقل الكهربائي يبدأ في الشحنة الموجبة وينتهي في الشحنة السالبة، أمّا خطّ الحقل المغناطيسي فلا يتوقّف عند القطب، بل يتابع داخل المغناطيس ويعود إلى نقطة بدايته.

خطوط الحقل الكهربائي لشحنتين +q و −q: تبدأ في الموجبة وتنتهي في السالبة

خطوط الحقل المغناطيسي لمغناطيس: خطوط مغلقة تمرّ داخل المغناطيس

وجه المقارنة	خطوط الحقل الكهروستاتيكي	خطوط الحقل المغناطيسي
بداية الخطّ ونهايته	تبدأ في شحنة موجبة وتنتهي في شحنة سالبة	لا بداية ولا نهاية: خطوط مغلقة
المصدر المنفرد	توجد شحنة منفردة	لا يوجد قطب مغناطيسي منفرد
داخل المصدر	لا خطوط داخل الموصل في حالة الاتّزان	تمرّ الخطوط داخل المغناطيس من S إلى N
المماسّ والكثافة	المماسّ باتّجاه E، والكثافة تدلّ على E	المماسّ باتّجاه B، والكثافة تدلّ على B
التقاطع	لا تتقاطع	لا تتقاطع

لا يوجد قطب مغناطيسي منفرد. إذا قطعنا مغناطيسا إلى نصفين لا نحصل على قطب شمالي وحده وقطب جنوبي وحده، بل على مغناطيسين كاملين، لكلّ منهما قطبان. ومهما واصلنا التقطيع، حتى مستوى الذرّات، نحصل دائما على مغانط كاملة. هذه الحقيقة هي الوجه الآخر لكون الخطوط مغلقة: لو وُجد قطب منفرد لبدأت منه الخطوط أو انتهت فيه.

قطع المغناطيس لا يفصل القطبين: كلّ قطعة مغناطيس كامل

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ خطوط الحقل المغناطيسي «تبدأ» في القطب الشمالي و«تنتهي» في القطب الجنوبي، على غرار خطوط الحقل الكهربائي التي تبدأ في شحنة موجبة وتنتهي في شحنة سالبة. هذا غير صحيح: خطّ الحقل المغناطيسي مغلق دائما — خارج المغناطيس يتّجه من N إلى S، لكنّه يتابع داخل المغناطيس من S إلى N ويعود إلى نقطة بدايته. لا بداية له ولا نهاية، لأنّه لا يوجد قطب مغناطيسي منفرد تبدأ منه الخطوط أو تنتهي فيه.

ملاحظة: لأنّ الخطوط مغلقة، فإنّ كلّ خطّ حقل مغناطيسي يدخل إلى سطح مغلق يخرج منه أيضا. لذلك التدفّق المغناطيسي عبر أيّ سطح مغلق يساوي صفرا دائما، بينما التدفّق الكهربائي عبر سطح مغلق يتناسب مع الشحنة المحاطة (قانون غاوس، الفصل 1). سنعود إلى التدفّق المغناطيسي في الفصل 6.

الحقل المغناطيسي للتيار — تجربة أورستد – השדה המגנטי של זרם — ניסוי אורסטד:

في سنة 1820 لاحظ العالم الدنماركي أورستد أنّ إبرة بوصلة موضوعة قرب سلك تنحرف عندما يمرّ في السلك تيار، وتعود إلى وضعها عندما يتوقّف التيار، وتنحرف إلى الجهة المعاكسة عندما نعكس اتّجاه التيار. كان هذا أوّل دليل على أنّ التيار الكهربائي مصدر لحقل مغناطيسي، وأنّ الكهرباء والمغناطيسية وجهان لظاهرة واحدة.

سلك عمودي على الصفحة يخرج منه التيار (⊙): خطوط الحقل دوائر حول السلك، والبوصلات تستقرّ مماسّة لها

عندما نضع بوصلات حول سلك مستقيم طويل عمودي على الصفحة، تستقرّ الإبر مماسّة لدوائر مركزها السلك. خطوط الحقل حول سلك مستقيم هي إذن دوائر مغلقة في مستوى عمودي على السلك، وليست خطوطا قطرية تخرج منه. وكلّما ابتعدنا عن السلك تباعدت الدوائر، أي ضعف الحقل.
نصطلح على رمزين لاتّجاه عمودي على الصفحة: ⊙ — خارج الصفحة نحو القارئ (رأس سهم يقترب منّا)، و ⊗ — داخل الصفحة مبتعدا عن القارئ (ذيل سهم يبتعد عنّا).

قاعدة اليد اليمنى للسلك (כלל יד ימין לתיל): نُمسك السلك باليد اليمنى بحيث يشير الإبهام إلى اتّجاه التيار؛ عندئذ تلتفّ الأصابع الأربعة حول السلك في اتّجاه خطوط الحقل المغناطيسي. سلك يخرج منه التيار من الصفحة (⊙) تدور خطوطه عكس اتّجاه عقارب الساعة، وسلك يدخل فيه التيار إلى الصفحة (⊗) تدور خطوطه مع اتّجاه عقارب الساعة.

مثال 5.2

يمرّ تيار في سلك مستقيم طويل عمودي على الصفحة، واتّجاهه إلى خارج الصفحة (⊙). نحدّد اتّجاه الحقل المغناطيسي في أربع نقاط على البعد نفسه من السلك: P₁ يمينه، P₂ فوقه، P₃ يساره و P₄ تحته.

الحل:

حسب قاعدة اليد اليمنى، الإبهام نحو القارئ والأصابع تلتفّ عكس اتّجاه عقارب الساعة. الحقل في كلّ نقطة مماسّ للدائرة التي تمرّ بها وفي اتّجاه الالتفاف.

يمكن الوصول إلى النتيجة نفسها بقاعدة حسابية: اتّجاه الحقل هو اتّجاه الضرب الاتّجاهي لاتّجاه التيار في اتّجاه الخطّ من السلك إلى النقطة (سنعرّف الضرب الاتّجاهي في البند 5.5). مثلا في P₁: التيار +z والخطّ إلى النقطة +x، و z × x = +y، أي نحو الأعلى.

في P₁ الحقل نحو الأعلى، في P₂ نحو اليسار، في P₃ نحو الأسفل، وفي P₄ نحو اليمين. الأسهم الأربعة تكمل دائرة واحدة عكس اتّجاه عقارب الساعة.

الجواب: P₁ — نحو الأعلى ، P₂ — نحو اليسار ، P₃ — نحو الأسفل ، P₄ — نحو اليمين.

سؤال 5.1: سلك مستقيم طويل يقع في مستوى الصفحة، ويمرّ فيه تيار نحو اليمين. ما اتّجاه الحقل المغناطيسي في النقطة A فوق السلك، وفي النقطة C تحته؟ ارسموا الرمز المناسب (⊙ أو ⊗) في كلّ نقطة.

التيار في لفّة دائرية (כריכה מעגלית) وفي ملفّ حلزوني (סילונית) يُنشئ حقلا يشبه حقل مغناطيس قضيبي: لأحد وجهَي اللفّة أو أحد طرفَي الملفّ سلوك قطب شمالي، وللآخر سلوك قطب جنوبي. سنحسب هذه الحقول في البند 5.3. وفي الحقيقة، حقل المغناطيس الدائم نفسه مصدره تيارات صغيرة جدا داخل الذرّات: حركة الإلكترونات ودورانها حول نفسها.

الحقل المغناطيسي الأرضي – השדה המגנטי של כדור הארץ:

الكرة الأرضية كمغناطيس كبير: القطب الجنوبي للمغناطيس «الداخلي» قرب الشمال الجغرافي، ومحوره مائل عن محور الدوران

تتصرّف الكرة الأرضية كأنّ في داخلها مغناطيسا قضيبيا كبيرا، فيحيط بها الحقل المغناطيسي الأرضي (השדה המגנטי של כדור הארץ). القطب الشمالي لإبرة البوصلة ينجذب نحو الشمال الجغرافي، ولأنّ القطبين المختلفين يتجاذبان، فإنّ قرب القطب الشمالي الجغرافي يوجد قطب مغناطيسي جنوبي، وقرب القطب الجنوبي الجغرافي قطب مغناطيسي شمالي.
المحور المغناطيسي مائل بنحو 11° عن محور دوران الأرض، ولذلك تشير البوصلة إلى «الشمال المغناطيسي» الذي يختلف قليلا عن الشمال الجغرافي.

خطوط الحقل الأرضي تخرج من نصف الكرة الجنوبي وتدخل في نصف الكرة الشمالي. عند خطّ الاستواء الحقل أفقي تقريبا ويتّجه نحو الشمال، وكلّما اتّجهنا شمالا مال الحقل نحو الأرض أكثر، حتى يصبح عموديا تقريبا قرب القطب المغناطيسي. في إسرائيل يميل الحقل نحو الأسفل بزاوية تقارب 45° مع الأفق، والبوصلة العادية الأفقية تستجيب فقط للمركّبة الأفقية للحقل. الحقل الأرضي ضعيف نسبيا، لكنّه يحمي الأرض من جزء كبير من الجسيمات المشحونة القادمة من الشمس، كما سنرى في البند 5.5.

سؤال 5.2: أ. إلى أين يشير القطب الشمالي لإبرة بوصلة أفقية موضوعة على خطّ الاستواء؟
ب. بوصلة يمكنها الدوران في مستوى عمودي نقلناها إلى نقطة قريبة من القطب المغناطيسي في نصف الكرة الشمالي. كيف تستقرّ إبرتها؟

▶تجربة حية — خطوط الحقل المغناطيسينختار مصدر الحقل (مغناطيس قضيبي، لفّة دائرية أو الكرة الأرضية)، ونحرّك البوصلة في الحيّز لنقرأ اتّجاه الحقل وشدّته في كلّ نقطة، ونعكس اتّجاه المصدر لنرى انقلاب الخطوط.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#blines

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#blines

השפעת השדה המגנטי על זרם, עוצמת השדה המגנטי – تأثير الحقل المغناطيسي على تيار، شدّة الحقل المغناطيسي (Magnetic Force on a Current, Magnetic Field Strength)

رأينا أنّ التيار يؤثّر على إبرة البوصلة. حسب قانون نيوتن الثالث، إذا أثّر التيار بقوّة على المغناطيس فلا بدّ أن يؤثّر المغناطيس بقوّة على التيار. نتحقّق من ذلك بتجربة بسيطة: نعلّق سلكا قصيرا بين قطبَي مغناطيس على شكل حدوة حصان، ونمرّر فيه تيارا. يقفز السلك إلى أعلى أو إلى أسفل، ويتغيّر اتّجاه قفزته عندما نعكس اتّجاه التيار أو نقلب المغناطيس.

سلك يخرج منه التيار من الصفحة (⊙) بين قطبين: الحقل نحو اليمين، والقوّة نحو الأعلى

الحقل المغناطيسي يؤثّر بقوّة على الشحنات المتحرّكة. التيار في السلك هو حركة منتظمة لحاملات الشحنة، والحقل يؤثّر على كلّ واحد منها بقوّة صغيرة؛ مجموع هذه القوى هو القوّة التي نقيسها على السلك. أمّا الشحنة الساكنة فلا يؤثّر عليها الحقل المغناطيسي بأيّ قوّة. سنحسب القوّة على شحنة واحدة في البند 5.5؛ في هذا البند نهتمّ بالقوّة على السلك كلّه، وهي التي نسمّيها القوّة المغناطيسية (כוח מגנטי).

اتّجاه القوّة المغناطيسية — قاعدة اليد اليمنى – כיוון הכוח המגנטי — כלל יד ימין:

تبيّن التجارب أنّ القوّة المغناطيسية على سلك عمودية دائما على السلك وعلى الحقل معا: لا تكون أبدا باتّجاه الحقل، كما هي الحال في القوّة الكهربائية. لتحديد اتّجاهها من بين الاتّجاهين العموديين الممكنين نستعمل قاعدة:

قاعدة اليد اليمنى (כלל יד ימין): نبسط كفّ اليد اليمنى بحيث تشير الأصابع الأربعة إلى اتّجاه الحقل B، ويشير الإبهام المفتوح إلى اتّجاه التيار I. عندئذ تخرج القوّة المغناطيسية F من باطن الكفّ، عموديا عليه. للشحنة الموجبة المتحرّكة نضع الإبهام باتّجاه سرعتها؛ وللشحنة السالبة تكون القوّة في الاتّجاه المعاكس.

التيار I نحو اليمين والحقل B نحو الأعلى، كلاهما في مستوى الصفحة: القوّة عمودية على الاثنين، وهنا إلى خارج الصفحة (⊙)

عكس اتّجاه التيار وحده، أو عكس اتّجاه الحقل وحده، يعكس اتّجاه القوّة.
عكس الاتّجاهين معا لا يغيّر اتّجاه القوّة.
عندما يكون الحقل عموديا على الصفحة (⊙ أو ⊗) والسلك في مستواها، تكون القوّة في مستوى الصفحة وعمودية على السلك.
عندما يكون السلك والحقل كلاهما في مستوى الصفحة، تكون القوّة عمودية على الصفحة.

مثال 5.3

نحدّد اتّجاه القوّة المغناطيسية على السلك في كلّ واحدة من الحالات الثلاث في الأشكال:
أ. حقل إلى داخل الصفحة وتيار نحو اليمين.
ب. حقل إلى خارج الصفحة وتيار نحو الأسفل.
ج. حقل نحو اليمين وتيار يخرج من الصفحة.

الحل:

أ. الأصابع إلى داخل الصفحة (نحو الورقة)، والإبهام نحو اليمين: باطن الكفّ يتّجه نحو الأعلى.

ب. الأصابع نحو القارئ، والإبهام نحو الأسفل: القوّة نحو اليسار.

ج. الأصابع نحو اليمين، والإبهام نحو القارئ: القوّة نحو الأعلى.

في الحالات الثلاث رسمنا القوّة عمودية على السلك وعلى الحقل. نتحقّق دائما من ذلك قبل أن نكتب الجواب.

الجواب: أ — نحو الأعلى ، ب — نحو اليسار ، ج — نحو الأعلى.

سؤال 5.3: يمرّ تيار في سلك عمودي على الصفحة، اتّجاهه إلى داخلها (⊗)، والحقل المغناطيسي في مستوى الصفحة نحو الأعلى (الشكل). ما اتّجاه القوّة على السلك؟

تعلّق القوّة بالمقادير المختلفة – תלות הכוח בגורמים השונים:

نقيس القوّة على سلك مستقيم موضوع في حقل متجانس بواسطة ميزان التيار (מאזני זרם): نغيّر في كلّ مرّة مقدارا واحدا ونبقي الباقي ثابتا. النتائج:

القوّة تتناسب طرديا مع شدّة التيار I.
القوّة تتناسب طرديا مع طول السلك ℓ الموجود داخل الحقل.
القوّة تتناسب طرديا مع شدّة الحقل B (مغناطيس أقوى — قوّة أكبر).
القوّة تتعلّق بالزاوية θ بين السلك والحقل: قصوى عندما يكون السلك عموديا على الحقل، وصفر عندما يكون موازيا له.

I [A]	1	2	3	4	5
F [N]	0.02	0.04	0.06	0.08	0.1

نتائج قياس القوّة كدالّة لشدّة التيار (ℓ = 8 cm عمودي على الحقل): خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل

ميل الخطّ هو 0.02 N/A، وهو يساوي حاصل الضرب B·ℓ. بما أنّ ℓ = 0.08 m، نستنتج من الرسم أنّ B = 0.020.08 = 0.25 T. هكذا نقيس الحقل المغناطيسي عمليا.

أمّا التعلّق بالزاوية فيبيّن أنّ مركّبة الحقل العمودية على السلك وحدها، B·sin θ، تؤثّر في القوّة؛ المركّبة الموازية للسلك لا تُنتج أيّ قوّة مهما كانت كبيرة.

سلك يصنع زاوية θ مع حقل في مستوى الصفحة: القوّة عمودية على الصفحة (هنا إلى داخل الصفحة (⊗))

القوّة كدالّة للزاوية بين السلك والحقل: F = F₀·sin θ

القوّة المغناطيسية على سلك مستقيم في حقل متجانس · הכוח המגנטי על תיל ישר

F = B·I·ℓ·sin θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	مقدار القوّة المغناطيسية على السلك	[N]
B	شدّة الحقل المغناطيسي	[T]
I	شدّة التيار في السلك	[A]
ℓ	طول السلك الموجود داخل الحقل	[m]
θ	الزاوية بين اتّجاه التيار واتّجاه الحقل	—

ملاحظة: الاتّجاه يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى، والمقدار بالصيغة. الحالتان الخاصّتان المهمّتان: سلك عمودي على الحقل (θ = 90°): F = B·I·ℓ — القوّة القصوى؛ سلك موازٍ للحقل (θ = 0° أو 180°): F = 0.

تعريف شدّة الحقل المغناطيسي — التسله – הגדרת עוצמת השדה המגנטי — טסלה:

القوّة على سلك عمودي على الحقل تتناسب مع I·ℓ، ونسبة القوّة إلى هذا الحاصل لا تتعلّق بالسلك، بل بالحقل وحده. لذلك نعتمدها تعريفا:

شدّة الحقل المغناطيسي (עוצמת השדה המגנטי): هي النسبة بين مقدار القوّة المغناطيسية التي تؤثّر على سلك مستقيم عمودي على الحقل، وحاصل ضرب شدّة التيار فيه في طوله: B = FI·ℓ. وحدة القياس هي التسله (טסלה): 1 T = 1 N/(A·m) — حقل شدّته تسله واحد يؤثّر بقوّة نيوتن واحد على كلّ متر من سلك عمودي عليه يمرّ فيه تيار أمبير واحد.

تعريف شدّة الحقل المغناطيسي · עוצמת השדה המגנטי

B = FI·ℓ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
B	شدّة الحقل المغناطيسي	[T]
F	القوّة على سلك عمودي على الحقل	[N]
I·ℓ	حاصل ضرب التيار في طول السلك	[A·m]

نقارن بتعريف شدّة الحقل الكهربائي في الفصل 1. في الحالتين نعرّف الحقل بواسطة القوّة على «جسم اختبار» مقسومة على مقدار يميّز هذا الجسم؛ لكنّ جسم الاختبار مختلف، وكذلك علاقة اتّجاه القوّة باتّجاه الحقل:

	الحقل الكهربائي	الحقل المغناطيسي
جسم الاختبار	شحنة نقطية ساكنة q	قطعة سلك ℓ يمرّ فيها تيار I (أو شحنة متحرّكة)
التعريف	E = Fq	B = FI·ℓ (سلك عمودي على الحقل)
وحدة القياس	N/C = V/m	T = N/(A·m)
اتّجاه القوّة	باتّجاه الحقل (للشحنة الموجبة)	عمودي على الحقل وعلى التيار
شحنة ساكنة	تتأثّر بقوّة	لا تتأثّر بأيّ قوّة

المصدر	شدّة الحقل التقريبية
الحقل المغناطيسي الأرضي (في إسرائيل)	4.5·10⁻⁵ T
قرب سلك يمرّ فيه تيار 10 A، على بعد 1 cm	2·10⁻⁴ T
قرب مغناطيس صغير للثلّاجة	5·10⁻³ T
بين قطبَي مغناطيس في مختبر المدرسة	0.1 T حتى 0.5 T
جهاز التصوير بالرنين المغناطيسي في المستشفى	1.5 T حتى 3 T

ملاحظة: التسله وحدة كبيرة؛ لذلك نستعمل كثيرا الميلي تسله 1 mT = 10⁻³ T والميكرو تسله 1 μT = 10⁻⁶ T. في بعض الكتب تظهر أيضا وحدة الغاوس: 1 G = 10⁻⁴ T.

مثال 5.4

سلك مستقيم طوله 20 cm يمرّ فيه تيار شدّته 6 A، وهو موضوع في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.25 T. نحسب القوّة على السلك عندما:
أ. يكون عموديا على الحقل.
ب. يصنع مع الحقل زاوية 30°.
ج. يكون موازيا للحقل.

الحل:

نحوّل الطول إلى متر: ℓ = 0.2 m.

أ. θ = 90° و sin 90° = 1:

F = B·I·ℓ = 0.25 · 6 · 0.2 = 0.3 N

ب. sin 30° = 0.5، لذلك تنخفض القوّة إلى النصف:

F = B·I·ℓ·sin 30° = 0.3 · 0.5 = 0.15 N

ج. θ = 0° و sin 0° = 0: القوّة صفر، مع أنّ في السلك تيارا وحوله حقل قويّ.

F_a = 0.3 N , F_b = 0.15 N , F_c = 0

مثال 5.5

قضيب نحاسي أفقي كتلته 30 g وطوله 25 cm معلّق بخيطين خفيفين، وهو موجود في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.4 T اتّجاهه إلى داخل الصفحة (الشكل). نمرّر في القضيب تيارا.
أ. في أيّ اتّجاه يجب أن يمرّ التيار لكي تقلّ قوّة الشدّ في الخيطين؟
ب. ما شدّة التيار التي تجعل قوّة الشدّ صفرا؟

الحل:

أ. لكي تقلّ قوّة الشدّ يجب أن تكون القوّة المغناطيسية نحو الأعلى. الأصابع إلى داخل الصفحة، وباطن الكفّ نحو الأعلى، فيشير الإبهام نحو اليمين: التيار يجب أن يمرّ في القضيب نحو اليمين.

ب. قوّة الشدّ صفر عندما تتوازن القوّة المغناطيسية مع الوزن (القضيب عمودي على الحقل):

B·I·ℓ = m·g

I = m·gB·ℓ = 0.03 · 100.4 · 0.25 = 3 A

I = 3 A

مثال 5.6

إطار مستطيل من السلك معلّق بمقياس قوّة (دينامومتر). ضلعه السفلي الأفقي، وطوله 10 cm، موجود داخل حقل مغناطيسي متجانس اتّجاهه إلى داخل الصفحة، والضلع العلوي خارج الحقل. عندما لا يمرّ تيار يقرأ المقياس 0.50 N. نمرّر في الإطار تيارا شدّته 2 A يمرّ في الضلع السفلي نحو اليسار، فيقرأ المقياس 0.62 N. نحسب شدّة الحقل المغناطيسي.

الحل:

نحدّد أوّلا القوى على أضلاع الإطار. في الضلع السفلي التيار نحو اليسار والحقل إلى داخل الصفحة، فالقوّة نحو الأسفل. لذلك تزداد قراءة المقياس، كما حدث فعلا.

في الضلعين الجانبيين التيار نحو الأعلى في أحدهما ونحو الأسفل في الآخر، فالقوّتان عليهما متساويتان ومتعاكستان (نحو اليسار ونحو اليمين) وتلغي إحداهما الأخرى. والضلع العلوي خارج الحقل فلا قوّة عليه.

الزيادة في القراءة هي القوّة المغناطيسية على الضلع السفلي:

F = 0.62 − 0.50 = 0.12 N

B = FI·ℓ = 0.122 · 0.1 = 0.6 T

B = 0.6 T

سؤال 5.4: سلك طوله 50 cm يمرّ فيه تيار 2 A، وهو عمودي على الحقل المغناطيسي الأرضي الذي شدّته 4.5·10⁻⁵ T. احسبوا القوّة على السلك. هل يمكن أن نلاحظ هذه القوّة في الحياة اليومية؟

سؤال 5.5: سلك طوله 40 cm يمرّ فيه تيار 5 A في حقل متجانس شدّته 0.3 T. قيست القوّة على السلك فكانت 0.3 N. ما الزاوية بين السلك والحقل؟

▶تجربة حية — القوّة على سلك يحمل تيارانغيّر شدّة التيار وطول السلك وشدّة الحقل والزاوية بينهما، ونراقب مقدار القوّة واتّجاهها حسب قاعدة اليد اليمنى، ثم ننتقل إلى وضع ميزان التيار ونقرأ التغيّر في القراءة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#fcur

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#fcur

הקשר בין השדה המגנטי ומקורותיו – العلاقة بين الحقل المغناطيسي ومصادره (Magnetic Field and Its Sources)

رأينا في تجربة أورستد أنّ التيار الكهربائي مصدر للحقل المغناطيسي. في هذا البند نجيب عن السؤال الكمّي: ما شدّة الحقل الذي يُنشئه تيار معيّن في نقطة معيّنة؟ نتعلّم قانونا عامّا يربط الحقل بالتيار، ثم نطبّقه على ثلاثة مصادر مهمّة: السلك المستقيم الطويل، اللفّة الدائرية والملفّ الحلزوني.

قانون أمبير – חוק אמפר:

مسار مغلق دائري حول سلك: الحقل مماسّ للمسار في كلّ نقطة

نختار مسارا مغلقا حول تيار، ونقسمه إلى قطع صغيرة طول كلّ منها Δℓ. لكلّ قطعة نضرب مركّبة الحقل الموازية للقطعة، B_∥، في طولها، ثم نجمع على المسار كلّه. وجد أمبير أنّ هذا المجموع لا يتعلّق بشكل المسار ولا بحجمه، بل بالتيار المحاط بالمسار فقط. هذا هو قانون أمبير (חוק אמפר)، وهو للحقل المغناطيسي كقانون غاوس للحقل الكهربائي: أداة تعطي الحقل بسهولة عندما يكون للمنظومة تماثل.

قانون أمبير · חוק אמפר

Σ B_∥·Δℓ = μ₀·I

الرمز	المعنى	وحدة القياس
B_∥	مركّبة الحقل الموازية لقطعة المسار	[T]
Δℓ	طول قطعة صغيرة من المسار المغلق	[m]
I	التيار الكلّي الذي يخترق المسار (المحاط به)	[A]
μ₀	النفاذية المغناطيسية للفراغ، μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A	[T·m/A]

ملاحظة: الثابت μ₀ (פרמיאביליות הריק (החדירות המגנטית)) يقوم في المغناطيسية بالدور الذي يقوم به ε₀ في الكهرباء. نستعمل كثيرا الحاصل μ₀2π = 2·10⁻⁷ T·m/A، فهو يبسّط الحساب في السلك المستقيم.

الحقل قرب سلك مستقيم طويل – השדה בקרבת תיל ישר ארוך:

نطبّق قانون أمبير على سلك مستقيم طويل (תיל ישר ארוך). بسبب التماثل، شدّة الحقل متساوية في كلّ نقاط دائرة نصف قطرها r حول السلك، والحقل مماسّ للدائرة. نختار هذه الدائرة مسارا: كلّ الحقل موازٍ للمسار، فيصبح المجموع حاصل ضرب B في محيط الدائرة:

Σ B_∥·Δℓ = B·2π·r = μ₀·I

B = μ₀·I2π·r

الحقل المغناطيسي على بعد r من سلك مستقيم طويل · השדה של תיל ישר ארוך

B = μ₀·I2π·r

الرمز	المعنى	وحدة القياس
B	شدّة الحقل	[T]
I	التيار في السلك	[A]
r	البعد العمودي عن السلك	[m]

الاتّجاه حسب قاعدة اليد اليمنى للسلك: مماسّ لدائرة حول السلك. الحقل يتناسب عكسيا مع البعد r: مضاعفة البعد تقلّل الحقل إلى النصف، وليس إلى الربع كما في قانون كولون لشحنة نقطية.

شدّة الحقل حول سلك مستقيم كدالّة للبعد (B ∝ 1r)، مقارنة بالتناسب 1r² (المتقطّع): عند 2r₀ يبقى نصف الحقل

مثال 5.7

يمرّ تيار شدّته 10 A في سلك مستقيم طويل. نحسب شدّة الحقل المغناطيسي على بعد 4 cm من السلك وعلى بعد 8 cm، ونقارن بالحقل الأرضي (4.5·10⁻⁵ T).

الحل:

B = μ₀·I2π·r = 4π·10⁻⁷ · 102π · 0.04 = 2·10⁻⁷ · 100.04 = 5·10⁻⁵ T

على بعد مضاعف يقلّ الحقل إلى النصف:

B' = 2·10⁻⁷ · 100.08 = 2.5·10⁻⁵ T

على بعد 4 cm حقل السلك قريب من الحقل الأرضي؛ لذلك تنحرف البوصلة قرب سلك كهذا انحرافا واضحا.

B = 5·10⁻⁵ T , B' = 2.5·10⁻⁵ T

مثال 5.8

نعيد تجربة أورستد بصورة كمّية: بوصلة أفقية تشير نحو الشمال، حيث المركّبة الأفقية للحقل الأرضي 3·10⁻⁵ T. نشدّ فوقها سلكا طويلا باتّجاه شمال–جنوب، على ارتفاع 2 cm فوق الإبرة، ونمرّر فيه تيارا شدّته 3 A نحو الشمال. بأيّ زاوية تنحرف الإبرة، وإلى أيّ جهة؟

الحل:

ننظر من الأعلى: الشمال إلى أعلى الصفحة، والاتّجاه «إلى داخل الصفحة» هو نحو الأسفل، نحو الأرض.

B_w = μ₀·I2π·r = 2·10⁻⁷ · 30.02 = 3·10⁻⁵ T

الاتّجاه: الإبهام نحو الشمال (أعلى الصفحة)، والإبرة تحت السلك، أي في جهة «داخل الصفحة» بالنسبة إليه. حسب قاعدة اليد اليمنى (اتّجاه التيار مضروبا ضربا اتّجاهيا في الاتّجاه من السلك إلى الإبرة) يكون حقل السلك عند الإبرة نحو اليسار، أي نحو الغرب.

تستقرّ الإبرة باتّجاه الحقل المحصّل، وهو مجموع اتّجاهي لحقلين متعامدين:

tan α = B_wB_E = 3·10⁻⁵3·10⁻⁵ = 1

α = 45°

الجواب: تنحرف الإبرة بزاوية 45° عن الشمال نحو الغرب. عند عكس التيار تنحرف بالزاوية نفسها نحو الشرق.

الحقل في مركز لفّة دائرية – השדה במרכז כריכה מעגלית:

لفّة في مستوى الصفحة والتيار فيها عكس اتّجاه عقارب الساعة: الحقل في المركز إلى خارج الصفحة (⊙)

اللفّة نفسها من الجانب (مقطع): خطوط الحقل، محسوبة، تمرّ عبر اللفّة كما في مغناطيس قصير

نثني السلك على شكل لفّة دائرية نصف قطرها R. في مركز اللفّة تُسهم كلّ قطع السلك في الحقل بالاتّجاه نفسه، عموديا على مستوى اللفّة، ولذلك يكون الحقل في المركز قويّا نسبيا. عندما نلفّ N لفّة متلاصقة، يتضاعف الحقل N مرّة. حساب الحقل في المركز يحتاج إلى أدوات تتجاوز قانون أمبير (لا يوجد هنا مسار متماثل)، لذلك نكتفي بالنتيجة:

الحقل في مركز لفّة دائرية (أو N لفّة متلاصقة) · השדה במרכז כריכה מעגלית

B = μ₀·N·I2R

الرمز	المعنى	وحدة القياس
N	عدد اللفّات	—
I	التيار في السلك	[A]
R	نصف قطر اللفّة	[m]

الاتّجاه — قاعدة اليد اليمنى للّفّة: نلفّ أصابع اليد اليمنى باتّجاه التيار في اللفّة، فيشير الإبهام إلى اتّجاه الحقل في المركز. لفّة نرى التيار فيها يدور عكس اتّجاه عقارب الساعة يكون حقلها في المركز نحونا (⊙)، ووجهها المقابل لنا يتصرّف كقطب شمالي. خارج اللفّة، في مستواها، يكون الحقل في الاتّجاه المعاكس.

مثال 5.9

ملفّ مسطّح فيه 50 لفّة متلاصقة نصف قطرها 5 cm، يمرّ فيه تيار 2 A عكس اتّجاه عقارب الساعة كما نراه. نحسب شدّة الحقل في المركز ونحدّد اتّجاهه.

الحل:

B = μ₀·N·I2R = 4π·10⁻⁷ · 50 · 22 · 0.05 = 1.257·10⁻³ T = 1.26 mT

الاتّجاه: الأصابع تدور عكس اتّجاه عقارب الساعة، فيشير الإبهام إلى خارج الصفحة (⊙). الوجه الذي ننظر إليه هو القطب الشمالي للملفّ.

B = 1.26 mT

سؤال 5.6: ما التيار اللازم في لفّة واحدة نصف قطرها 10 cm لكي يساوي الحقل في مركزها الحقل الأرضي 4.5·10⁻⁵ T؟

الحقل داخل الملفّ الحلزوني – השדה בתוך סילונית:

ملفّ حلزوني: التيار في الجهة الأمامية من اللفّات نحو الأسفل، فالحقل في الداخل نحو اليمين؛ في الداخل الحقل متجانس، وفي الخارج ضعيف جدا. يتصرّف الملفّ كمغناطيس قضيبي

الملفّ الحلزوني (סילונית): هو سلك ملفوف لفّات كثيرة متلاصقة على شكل أسطوانة طويلة (ويُسمّى أيضا الملفّ اللولبي). عندما يكون طول الملفّ أكبر بكثير من قطره، يكون الحقل في داخله متجانسا تقريبا وموازيا للمحور، ويكون الحقل في خارجه ضعيفا جدا.

مسار أمبير مستطيل: ضلع طوله L داخل الملفّ

نطبّق قانون أمبير على مسار مستطيل: ضلع طوله L داخل الملفّ موازٍ للمحور، وضلع مقابل خارجه. على الضلع الداخلي B_∥ = B؛ على الضلع الخارجي الحقل مهمل؛ وعلى الضلعين العموديين الحقل عمودي على المسار. يخترق المسار N لفّة، في كلّ منها التيار I:

B·L = μ₀·N·I

B = μ₀·NL·I = μ₀·n·I

الحقل داخل ملفّ حلزوني طويل · השדה בתוך סילונית

B = μ₀·n·I

الرمز	المعنى	وحدة القياس
n	عدد اللفّات لوحدة الطول، n = NL	[1/m]
I	التيار	[A]

الحقل داخل الملفّ لا يتعلّق بنصف قطره ولا بالموقع داخله، بل بكثافة اللفّات وبالتيار فقط.
عند طرفَي الملفّ يهبط الحقل إلى نحو نصف قيمته الداخلية.
الطرف الذي يخرج منه الحقل هو القطب الشمالي للملفّ: إذا نظرنا إلى هذا الطرف نرى التيار يدور عكس اتّجاه عقارب الساعة.
وضع قضيب من الحديد داخل الملفّ يقوّي الحقل مئات المرّات — هذا هو المغناطيس الكهربائي.

مثال 5.10

ملفّ حلزوني طوله 40 cm فيه 800 لفّة، يمرّ فيه تيار 1.5 A. نحسب شدّة الحقل في داخله. ثم نحسب الحقل إذا شددنا الملفّ حتى يصبح طوله 80 cm (بالعدد نفسه من اللفّات).

الحل:

كثافة اللفّات:

n = NL = 8000.4 = 2000 m⁻¹

B = μ₀·n·I = 4π·10⁻⁷ · 2000 · 1.5 = 3.77·10⁻³ T

عندما يتضاعف الطول بالعدد نفسه من اللفّات تقلّ كثافة اللفّات إلى النصف، فيقلّ الحقل إلى النصف:

B' = B2 = 1.885·10⁻³ T

B = 3.77·10⁻³ T , B' = 1.885·10⁻³ T

سؤال 5.7: ما التيار اللازم في ملفّ حلزوني فيه 2000 لفّة لكلّ متر للحصول على حقل 0.01 T في داخله؟ وهل يتغيّر الجواب إذا كان نصف قطر الملفّ أكبر مرّتين؟

المصدر	الصيغة	يتعلّق بـ	الاتّجاه
سلك مستقيم طويل	B = μ₀·I2π·r	التيار والبعد عن السلك	دوائر حول السلك
مركز لفّة دائرية	B = μ₀·N·I2R	عدد اللفّات، التيار ونصف القطر	عمودي على مستوى اللفّة
داخل ملفّ حلزوني	B = μ₀·n·I	كثافة اللفّات والتيار فقط	موازٍ لمحور الملفّ

تراكب الحقول المغناطيسية لعدّة أسلاك – סופרפוזיציה של שדות מכמה תילים:

الحقل المغناطيسي مقدار اتّجاهي، ولذلك يخضع لـمبدأ التراكب (עקרון הסופרפוזיציה): الحقل في نقطة بسبب عدّة تيارات هو المجموع الاتّجاهي للحقول التي يُنشئها كلّ تيار وحده. طريقة العمل: نحسب مقدار كلّ حقل، نحدّد اتّجاهه بقاعدة اليد اليمنى، نرسمه، ثم نجمع.

مثال 5.11

سلكان مستقيمان طويلان متوازيان عموديان على الصفحة، والبعد بينهما 10 cm. في السلك الأيسر تيار I₁ = 6 A إلى خارج الصفحة، وفي الأيمن تيار I₂ = 4 A إلى داخلها. نحسب الحقل المغناطيسي في النقطة P في منتصف المسافة بينهما، وفي النقطة Q التي تبعد 5 cm يمين السلك الثاني.

الحل:

في P: البعد عن كلّ سلك 0.05 m. حقل السلك الأوّل نحو الأعلى، وحقل السلك الثاني نحو الأعلى — في الاتّجاه نفسه، فنجمع المقدارين:

B₁ = 2·10⁻⁷ · 60.05 = 2.4·10⁻⁵ T

B₂ = 2·10⁻⁷ · 40.05 = 1.6·10⁻⁵ T

B_P = B₁ + B₂ = 4·10⁻⁵ T

في Q: البعد عن الأوّل 0.15 m وعن الثاني 0.05 m. حقل الأوّل نحو الأعلى وحقل الثاني نحو الأسفل — متعاكسان، فنطرح:

B₁ = 2·10⁻⁷ · 60.15 = 8·10⁻⁶ T

B₂ = 2·10⁻⁷ · 40.05 = 1.6·10⁻⁵ T

B_Q = B₂ − B₁ = 8·10⁻⁶ T

الحقل المحصّل في Q باتّجاه الحقل الأكبر، أي نحو الأسفل، مع أنّ التيار في السلك الأوّل أكبر — لأنّ Q أقرب إلى السلك الثاني.

الجواب: في P — 4·10⁻⁵ T نحو الأعلى ؛ في Q — 8·10⁻⁶ T نحو الأسفل.

مثال 5.12

سلكان متوازيان طويلان عموديان على الصفحة، البعد بينهما 8 cm، والتياران فيهما إلى خارج الصفحة: I₁ = 6 A و I₂ = 2 A. أين تقع على الخطّ الواصل بين السلكين النقطة التي ينعدم فيها الحقل؟

الحل:

خارج المقطع بين السلكين يكون الحقلان في الاتّجاه نفسه، فلا يمكن أن يلغي أحدهما الآخر. بين السلكين الحقلان متعاكسان: حقل السلك الأوّل نحو الأعلى وحقل السلك الثاني نحو الأسفل (انظروا الشكل).

نرمز إلى بعد النقطة عن السلك الأوّل بـ x، فبعدها عن الثاني 0.08 − x. ينعدم الحقل عندما يتساوى المقداران:

μ₀·I₁2π·x = μ₀·I₂2π·(0.08 − x)

6·(0.08 − x) = 2·x

x = 0.06 m = 6 cm

النقطة أقرب إلى السلك ذي التيار الأصغر — منطقيّ، فعلى حقله الضعيف أن «يعوّض» بقرب أكبر.

x = 6 cm

مثال 5.13

سلكان طويلان عموديان على الصفحة، والتياران فيهما إلى خارجها: I₁ = 6 A على بعد 3 cm يسار النقطة P، و I₂ = 8 A على بعد 4 cm تحتها. نحسب الحقل المحصّل في P.

الحل:

نحسب كلّ حقل على حدة ونحدّد اتّجاهه:

B₁ = 2·10⁻⁷ · 60.03 = 4·10⁻⁵ T

B₂ = 2·10⁻⁷ · 80.04 = 4·10⁻⁵ T

السلك الأوّل يسار P، فحقله في P نحو الأعلى؛ السلك الثاني تحت P، فحقله نحو اليسار. الحقلان متعامدان، فنجمعهما بفيثاغورس:

B = B₁² + B₂² = 2 · 4·10⁻⁵ = 5.66·10⁻⁵ T

المقداران متساويان، فالمحصّلة تصنع زاوية 45° مع كلّ منهما: نحو الأعلى واليسار (الشكل).

B = 5.66·10⁻⁵ T

سؤال 5.8: سلكان متوازيان طويلان، البعد بينهما 10 cm، في كلّ منهما تيار 5 A والتياران في الاتّجاه نفسه. احسبوا الحقل في منتصف المسافة بينهما، وفي نقطة على الخطّ الواصل بينهما تبعد 10 cm عن أحد السلكين و 20 cm عن الآخر.

▶تجربة حية — مصادر الحقل: سلك، لفّة وملفّ حلزونينختار السلك المستقيم أو اللفّة الدائرية أو الملفّ الحلزوني، نغيّر التيار والبعد أو نصف القطر أو كثافة اللفّات، ونقارن منحنى الحقل بالبعد مع منحنى قانون كولون.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#bsrc

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#bsrc

כוח בין זרמים מקבילים, הגדרת האמפר – القوّة بين تيارين متوازيين، تعريف الأمبير (Force Between Parallel Currents, Definition of the Ampere)

في البندين السابقين تعلّمنا حقيقتين: التيار يُنشئ حقلا مغناطيسيا، والحقل المغناطيسي يؤثّر بقوّة على تيار. عندما نجمعهما نستنتج أنّ سلكين يمرّ فيهما تيار يؤثّر أحدهما على الآخر بقوّة، دون أيّ اتّصال بينهما. التأثير يحدث في مرحلتين: السلك الأوّل يُنشئ حقلا في مكان السلك الثاني، ثم يؤثّر هذا الحقل بقوّة على التيار في السلك الثاني. وبالطريقة نفسها يؤثّر السلك الثاني على الأوّل.

تياران في الاتّجاه نفسه: السلك الأيمن يتأثّر بقوّة نحو اليسار والأيسر نحو اليمين — تجاذب

تياران متعاكسان: السلك الأيمن يتأثّر بقوّة نحو اليمين والأيسر نحو اليسار — تنافر

نحسب القوّة. سلكان طويلان متوازيان، البعد بينهما d، يمرّ فيهما التياران I₁ و I₂. حقل السلك الأوّل في مكان السلك الثاني:

B₁ = μ₀·I₁2π·d

هذا الحقل عمودي على السلك الثاني (دوائره تحيط بالسلك الأوّل وتقطع مستوى السلكين عموديا)، لذلك القوّة على قطعة طولها ℓ من السلك الثاني هي:

F = B₁·I₂·ℓ = μ₀·I₁·I₂2π·d·ℓ

القوّة بين تيارين متوازيين لكلّ وحدة طول · כוח בין זרמים מקבילים

Fℓ = μ₀·I₁·I₂2π·d

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F/ℓ	القوّة على كلّ متر من طول أحد السلكين	[N/m]
I₁ , I₂	التياران في السلكين	[A]
d	البعد بين السلكين	[m]

تياران في الاتّجاه نفسه يتجاذبان، وتياران متعاكسان يتنافران. انتبهوا: هذا عكس ما اعتدنا عليه في الشحنات، حيث المتشابه يتنافر. لا تناقض هنا، فالقوّة المغناطيسية بين تيارين تختلف في طبيعتها عن القوّة الكهربائية بين شحنتين ساكنتين.
القوّتان على السلكين متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتّجاه، حتى لو كان التياران مختلفين تماما — هذا قانون نيوتن الثالث. الصيغة متماثلة في I₁ و I₂.
نرسم حقل كلّ سلك في مكان الآخر فقط، لأنّ السلك لا يتأثّر بحقله الذاتي.

تعريف الأمبير – הגדרת האמפר:

نعوّض في الصيغة I₁ = I₂ = 1 A و d = 1 m:

Fℓ = 4π·10⁻⁷ · 1 · 12π · 1 = 2·10⁻⁷ N/m

الأمبير (אמפר): هو شدّة التيار الثابت الذي إذا مرّ في سلكين مستقيمين طويلين جدا ومتوازيين، البعد بينهما متر واحد في الفراغ، أثّر كلّ منهما على الآخر بقوّة مقدارها 2·10⁻⁷ N على كلّ متر من الطول. ومن الأمبير يُعرَّف الكولون: 1 C = 1 A·s.

ملاحظة: هذا هو التعريف الكلاسيكي للأمبير، وقد اختير بسببه μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A بالضبط. منذ سنة 2019 يُعرَّف الأمبير في النظام الدولي بواسطة القيمة الثابتة للشحنة الأوّلية، لكنّ الفرق العددي صغير جدا ولا يهمّنا في هذا الكتاب.

مثال 5.14

سلكان متوازيان طويلان في مستوى الصفحة، البعد بينهما 2 cm. في الأيسر تيار 15 A وفي الأيمن تيار 10 A، وكلاهما نحو الأعلى. نحسب القوّة على كلّ متر من طول السلكين، والقوّة على قطعة طولها 2 m من السلك الأيمن، ونحدّد اتّجاهها.

الحل:

Fℓ = μ₀·I₁·I₂2π·d = 2·10⁻⁷ · 15 · 100.02 = 1.5·10⁻³ N/m

F = 1.5·10⁻³ · 2 = 3·10⁻³ N

الاتّجاه: حقل السلك الأيسر عند الأيمن إلى داخل الصفحة (⊗) (قاعدة اليد اليمنى للسلك). التيار في الأيمن نحو الأعلى، فالقوّة عليه نحو اليسار، أي نحو السلك الأيسر: تجاذب. وعلى السلك الأيسر قوّة مساوية نحو اليمين.

F/ℓ = 1.5·10⁻³ N/m , F = 3·10⁻³ N

مثال 5.15

ثلاثة أسلاك متوازية طويلة في مستوى الصفحة، البعد بين كلّ سلكين متجاورين 5 cm. التيار في A هو 10 A نحو الأعلى، وفي B (الأوسط) 5 A نحو الأعلى، وفي C هو 20 A نحو الأسفل. نحسب القوّة المحصّلة على كلّ متر من السلك الأوسط B.

الحل:

القوّة من A: التياران في الاتّجاه نفسه — تجاذب، أي نحو A (نحو اليسار):

F_Aℓ = 2·10⁻⁷ · 10 · 50.05 = 2·10⁻⁴ N/m

القوّة من C: التياران متعاكسان — تنافر، أي مبتعدة عن C (نحو اليسار):

F_Cℓ = 2·10⁻⁷ · 20 · 50.05 = 4·10⁻⁴ N/m

القوّتان في الاتّجاه نفسه، فنجمع:

Fℓ = 2·10⁻⁴ + 4·10⁻⁴ = 6·10⁻⁴ N/m

الجواب: 6·10⁻⁴ N/m نحو اليسار.

سؤال 5.9: سلك أفقي طويل مثبّت يمرّ فيه تيار 50 A. فوقه، على بعد 5 mm، سلك موازٍ حرّ الحركة كتلة كلّ متر منه 1 g. ما التيار اللازم في السلك العلوي، وفي أيّ اتّجاه بالنسبة إلى التيار السفلي، لكي «يطفو» في مكانه؟

سؤال 5.10: سلكان متوازيان يتنافران بقوّة 4·10⁻⁴ N لكلّ متر. ماذا تصبح القوّة لكلّ متر إذا ضاعفنا التيار في أحدهما وضاعفنا البعد بينهما؟

▶تجربة حية — القوّة بين تيارين متوازييننغيّر التيارين والبعد بينهما، ونعكس اتّجاه أحد التيارين لنرى التجاذب يتحوّل إلى تنافر، ونجرّب وضع تعريف الأمبير.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#par

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#par

כוח הפועל על מטען הנע בשדה מגנטי (כוח לורנץ) – القوّة المؤثّرة على شحنة تتحرّك في حقل مغناطيسي (قوّة لورنتس) (Force on a Moving Charge (Lorentz Force))

من القوّة على سلك إلى القوّة على شحنة – מכוח על תיל לכוח על מטען נע:

قطعة سلك طولها ℓ ومساحة مقطعها A: حاملات الشحنة تتحرّك بسرعة الانسياق v_d

القوّة على سلك هي مجموع القوى على حاملات الشحنة المتحرّكة فيه. في الفصل 4 كتبنا التيار بواسطة كثافة حاملات الشحنة n (عددها في وحدة الحجم)، وشحنة كلّ منها q، وسرعة الانسياق v_d، ومساحة المقطع A: I = n·q·v_d·A. في قطعة طولها ℓ يوجد N = n·A·ℓ حاملا للشحنة. نعوّض في القوّة على سلك عمودي على الحقل:

F = B·I·ℓ = B·(n·q·v_d·A)·ℓ = (n·A·ℓ)·q·v_d·B = N·q·v_d·B

القوّة على حامل شحنة واحد هي إذن FN = q·v_d·B. هذه النتيجة صحيحة لكلّ جسيم مشحون يتحرّك في حقل مغناطيسي، داخل سلك أو في الفراغ. وعندما تصنع السرعة زاوية θ مع الحقل تؤثّر مركّبة الحقل العمودية على السرعة وحدها، تماما كما في السلك:

قوّة لورنتس (כוח לורנץ): هي القوّة المغناطيسية التي يؤثّر بها حقل مغناطيسي على جسيم مشحون يتحرّك فيه. مقدارها يتناسب مع مقدار الشحنة ومع السرعة ومع شدّة الحقل ومع جيب الزاوية بين السرعة والحقل، واتّجاهها عمودي على السرعة وعلى الحقل معا.

قوّة لورنتس (المقدار) · כוח לורנץ

F = q·v·B·sin θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	مقدار القوّة المغناطيسية على الجسيم	[N]
q	مقدار شحنة الجسيم (نعوّض دائما قيمة موجبة)	[C]
v	سرعة الجسيم	[m/s]
B	شدّة الحقل المغناطيسي	[T]
θ	الزاوية بين السرعة والحقل	—

الشحنة الساكنة (v = 0) لا تتأثّر بقوّة مغناطيسية.
شحنة تتحرّك موازية للحقل (θ = 0° أو 180°) لا تتأثّر بقوّة.
القوّة قصوى، F = q·v·B، عندما تكون السرعة عمودية على الحقل.

انتبهوا: اتّجاه القوّة بقاعدة اليد اليمنى يُعطى للشحنة الموجبة (الإبهام باتّجاه السرعة). على الشحنة السالبة — الإلكترون مثلا — تؤثّر القوّة في الاتّجاه المعاكس تماما. هذا هو الخطأ الأكثر شيوعا في الامتحانات: نحدّد الاتّجاه للشحنة الموجبة أوّلا، ثم نعكسه للسالبة.

يمكن أيضا أن نتذكّر أنّ الإلكترون الذي يتحرّك نحو اليمين يعادل تيارا اصطلاحيا نحو اليسار؛ لذلك نضع الإبهام في اتّجاه معاكس لسرعة الإلكترون.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الحقل المغناطيسي يؤثّر بقوّة على كلّ شحنة موجودة فيه، كما يفعل الحقل الكهربائي. هذا غير صحيح: القوّة المغناطيسية تؤثّر على الشحنة المتحرّكة فقط (F = q·v·B·sin θ)، أمّا الشحنة الساكنة (v = 0) فلا تؤثّر عليها أيّ قوّة مغناطيسية مهما كان الحقل قويّا: إذا وُضعت شحنة ساكنة في حقل مغناطيسي فإنّها تبقى في مكانها.

الضرب الاتّجاهي – מכפלה וקטורית:

القوّة المغناطيسية عمودية على متّجهين معا، ومقدارها يتعلّق بجيب الزاوية بينهما. هذا بالضبط ما تصفه عملية رياضية تسمّى الضرب الاتّجاهي:

الضرب الاتّجاهي (מכפלה וקטורית): الضرب الاتّجاهي لمتّجهين a و b، ونكتبه a × b، هو متّجه: مقداره a·b·sin θ، حيث θ الزاوية بينهما، واتّجاهه عمودي على المستوى الذي يحويهما، ويُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى: الإبهام باتّجاه a، والأصابع باتّجاه b، والناتج خارج من باطن الكفّ.

القوّة المغناطيسية بصيغة الضرب الاتّجاهي · הכוח המגנטי כמכפלה וקטורית

F = q·v × B

F = I·ℓ × B

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v	سرعة الجسيم (للشحنة السالبة نعوّض q بإشارتها السالبة)	[m/s]
ℓ	متّجه طوله طول السلك واتّجاهه اتّجاه التيار	[m]

خصائص الضرب الاتّجاهي:

الترتيب مهمّ: b × a = −a × b. لذلك نكتب دائما السرعة (أو التيار) أوّلا والحقل ثانيا.
ضرب متّجه في متّجه موازٍ له يعطي صفرا، ومن هنا لا قوّة على شحنة تتحرّك موازية للحقل.
في الشحنة السالبة تكون إشارة q سالبة، فيتّجه F عكس v × B — هذا هو «عكس الاتّجاه» بلغة الرياضيات.

نختار محاور: x نحو اليمين، y نحو الأعلى في مستوى الصفحة، و z خارج الصفحة نحو القارئ (⊙). عندئذ تكفي القواعد التالية لحساب كلّ اتّجاه في هذا الفصل:

الترتيب الدوري	الترتيب المعكوس
x × y = z	y × x = −z
y × z = x	z × y = −x
z × x = y	x × z = −y

ملاحظة: مثال: بروتون يتحرّك نحو اليمين (+x) في حقل إلى داخل الصفحة (−z): v × B في اتّجاه x × (−z) = −(x × z) = +y، أي نحو الأعلى. ولو كان إلكترونا لكانت القوّة نحو الأسفل.

مثال 5.16

نحدّد اتّجاه القوّة المغناطيسية على الجسيم في كلّ حالة:
أ. بروتون يتحرّك نحو اليمين في حقل إلى داخل الصفحة.
ب. إلكترون يتحرّك نحو اليمين في الحقل نفسه.
ج. بروتون يتحرّك نحو الأعلى في حقل إلى خارج الصفحة.
د. إلكترون يتحرّك نحو الأعلى في حقل نحو اليمين.

الحل:

أ. الأصابع إلى داخل الصفحة، والإبهام نحو اليمين: القوّة نحو الأعلى. وبالضرب الاتّجاهي: x × (−z) = +y.

ب. الحالة نفسها لكنّ الشحنة سالبة، فتنعكس القوّة: نحو الأسفل.

ج. y × z = +x: القوّة نحو اليمين.

د. v × B في اتّجاه y × x = −z (إلى داخل الصفحة)، والشحنة سالبة فتنعكس: القوّة إلى خارج الصفحة (⊙).

الجواب: أ — نحو الأعلى ، ب — نحو الأسفل ، ج — نحو اليمين ، د — إلى خارج الصفحة.

القوّة المغناطيسية لا تبذل شغلا – הכוח המגנטי אינו מבצע עבודה:

قوّة لورنتس عمودية على السرعة في كلّ لحظة، أي عمودية على اتّجاه الإزاحة. القوّة العمودية على الإزاحة لا تبذل شغلا (W = F·Δx·cos 90° = 0)، لذلك حسب مبرهنة الشغل والطاقة لا تتغيّر الطاقة الحركية للجسيم، ويبقى مقدار سرعته ثابتا. الحقل المغناطيسي يغيّر اتّجاه السرعة فقط.
هذا فرق جوهري عن الحقل الكهربائي: القوّة الكهربائية تبذل شغلا وتسرّع الجسيم أو تبطّئه، كما رأينا في مدفع الإلكترونات (الفصل 2). لذلك نسرّع الجسيمات بحقول كهربائية، ونوجّهها بحقول مغناطيسية.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ القوّة المغناطيسية «تدفع» الجسيم المشحون فتسرّعه وتزيد مقدار سرعته. هذا غير صحيح: القوّة المغناطيسية عمودية على السرعة في كلّ لحظة، فهي لا تبذل شغلا ولا تغيّر مقدار السرعة ولا الطاقة الحركية — إنّها تغيّر اتّجاه السرعة فقط. من يريد زيادة سرعة جسيم مشحون يحتاج إلى حقل كهربائي.

الحركة الدائرية في حقل مغناطيسي متجانس – תנועה מעגלית בשדה מגנטי אחיד:

شحنة موجبة في حقل إلى داخل الصفحة: تدور عكس اتّجاه عقارب الساعة

شحنة سالبة في الحقل نفسه: تدور مع اتّجاه عقارب الساعة

عندما يدخل جسيم مشحون حقلا متجانسا وسرعته عمودية على الحقل، تكون القوّة ثابتة المقدار (q·v·B) وعمودية دائما على السرعة. قوّة كهذه هي بالضبط القوّة المركزية في الحركة الدائرية المنتظمة. لذلك يتحرّك الجسيم على دائرة، والقوّة المغناطيسية تتّجه دائما نحو مركزها. نكتب قانون نيوتن الثاني للحركة الدائرية:

q·v·B = m·v²r

r = m·vq·B

زمن الدورة هو محيط الدائرة مقسوما على السرعة. نعوّض نصف القطر فتُختصر السرعة:

T = 2π·rv = 2π·mq·B

f = 1T = q·B2π·m

حركة جسيم مشحون عمودية على حقل متجانس · תנועה מעגלית בשדה מגנטי

r = m·vq·B

T = 2π·mq·B

الرمز	المعنى	وحدة القياس
r	نصف قطر المسار الدائري	[m]
m	كتلة الجسيم	[kg]
v	مقدار السرعة	[m/s]
T	زمن الدورة	[s]

نصف القطر يتناسب مع كمّيّة الحركة m·v: جسيم أسرع أو أثقل يرسم دائرة أكبر، وحقل أقوى يحني المسار أكثر.
زمن الدورة لا يتعلّق بالسرعة ولا بنصف القطر: الجسيم الأسرع يقطع دائرة أكبر في الزمن نفسه. هذه هي الفكرة التي يقوم عليها السيكلوترون (البند 5.6).
جسيمان متشابهان بشحنتين متعاكستين يدوران في اتّجاهين متعاكسين.

مثال 5.17

بروتون يتحرّك بسرعة 3·10⁶ m/s عمودية على حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.2 T. نحسب القوّة المغناطيسية عليه، ونصف قطر مساره، وزمن دورته.

الحل:

F = q·v·B = 1.6·10⁻¹⁹ · 3·10⁶ · 0.2 = 9.6·10⁻¹⁴ N

r = m·vq·B = 1.67·10⁻²⁷ · 3·10⁶1.6·10⁻¹⁹ · 0.2 = 0.157 m

T = 2π·mq·B = 2π · 1.67·10⁻²⁷1.6·10⁻¹⁹ · 0.2 = 3.28·10⁻⁷ s

لنقارن القوّة بوزن البروتون: m·g = 1.67·10⁻²⁶ N — أصغر منها بأكثر من 10¹² مرّة. لذلك نهمل الجاذبية دائما في حركة الجسيمات المشحونة في الحقول.

F = 9.6·10⁻¹⁴ N , r = 0.157 m , T = 3.28·10⁻⁷ s

مثال 5.18

إلكترون يبدأ من السكون ويتسارع بفرق جهد 200 V، ثم يدخل حقلا مغناطيسيا متجانسا شدّته 2·10⁻³ T وسرعته عمودية على الحقل. نحسب نصف قطر مساره.

الحل:

في مرحلة التسريع تتحوّل الطاقة الكهربائية الوضعية إلى طاقة حركية (الفصل 2):

e·V = 12·m_e·v²

v = 2·e·Vm_e = 2 · 1.6·10⁻¹⁹ · 2009.1·10⁻³¹ = 8.39·10⁶ m/s

في الحقل المغناطيسي يحافظ الإلكترون على مقدار سرعته، ويتحرّك على دائرة:

r = m_e·ve·B = 9.1·10⁻³¹ · 8.39·10⁶1.6·10⁻¹⁹ · 2·10⁻³ = 0.0238 m

r = 0.0238 m = 2.38 cm

مثال 5.19

بروتون سرعته 2·10⁵ m/s يدخل، عموديا على حدّها، منطقة فيها حقل متجانس شدّته 0.05 T اتّجاهه إلى داخل الصفحة (الشكل).
أ. إلى أيّ جهة ينحرف؟
ب. على أيّ بعد من نقطة الدخول A يخرج من المنطقة؟
ج. كم من الوقت يقضي في الحقل؟

الحل:

أ. عند نقطة الدخول السرعة نحو اليمين والحقل إلى داخل الصفحة: x × (−z) = +y، والشحنة موجبة، فالقوّة نحو الأعلى. ينحرف البروتون نحو الأعلى ويرسم نصف دائرة.

ب. يخرج في النقطة C بعد نصف دائرة، على بعد قطر كامل من نقطة الدخول:

r = m·vq·B = 1.67·10⁻²⁷ · 2·10⁵1.6·10⁻¹⁹ · 0.05 = 0.0418 m

AC = 2r = 0.0835 m = 8.35 cm

ج. يقضي نصف زمن دورة:

t = T2 = π·mq·B = 6.56·10⁻⁷ s

AC = 8.35 cm , t = 6.56·10⁻⁷ s

سؤال 5.11: بروتون وجسيم ألفا (كتلته 4m_p وشحنته 2e) يدخلان الحقل نفسه بالسرعة نفسها، عموديا عليه. ما النسبة بين نصفَي قطرَي مساريهما، وبين زمنَي دورتيهما؟

سؤال 5.12: إلكترون سرعته 10⁶ m/s يتحرّك عموديا على الحقل المغناطيسي الأرضي (5·10⁻⁵ T). احسبوا نصف قطر مساره.

الحركة الحلزونية — وصف نوعي – תנועה בורגית — תיאור איכותי:

جسيم سرعته مائلة عن الحقل: يدور حول خطوط الحقل وفي الوقت نفسه يتقدّم بمحاذاتها — مسار حلزوني خطوته p

عندما تصنع السرعة زاوية θ مع الحقل، نحلّلها إلى مركّبتين: مركّبة عمودية على الحقل v_⊥ = v·sin θ، ومركّبة موازية له v_∥ = v·cos θ. المركّبة الموازية لا تتأثّر بأيّ قوّة فتبقى ثابتة، أمّا المركّبة العمودية فتنتج حركة دائرية نصف قطرها r = m·v_⊥q·B وزمن دورتها T = 2π·mq·B. تركيب الحركتين هو حركة حلزونية (תנועה בורגית) حول خطوط الحقل، وخطوة الحلزون — المسافة التي يتقدّمها الجسيم في دورة واحدة — هي p = v_∥·T.

بهذه الطريقة «تلتفّ» الجسيمات المشحونة القادمة من الشمس حول خطوط الحقل المغناطيسي الأرضي وتنقاد نحو القطبين، حيث تصطدم بالغلاف الجوّي وتُنتج ظاهرة الشفق القطبي.

مثال 5.20

بروتون سرعته 4·10⁵ m/s يدخل حقلا متجانسا شدّته 0.1 T، وسرعته تصنع زاوية 60° مع اتّجاه الحقل. نحسب نصف قطر الحلزون وخطوته.

الحل:

v_⊥ = v·sin 60° = 3.464·10⁵ m/s

v_∥ = v·cos 60° = 2·10⁵ m/s

r = m·v_⊥q·B = 1.67·10⁻²⁷ · 3.464·10⁵1.6·10⁻¹⁹ · 0.1 = 0.0362 m

T = 2π·mq·B = 6.558·10⁻⁷ s

p = v_∥·T = 2·10⁵ · 6.558·10⁻⁷ = 0.131 m

r = 3.62 cm , p = 13.1 cm

مقارنة بين القوّة الكهربائية والقوّة المغناطيسية – השוואה בין הכוח החשמלי לכוח המגנטי:

	القوّة الكهربائية	القوّة المغناطيسية
الصيغة	F = q·E	F = q·v × B
على شحنة ساكنة	تؤثّر	لا تؤثّر
تعلّقها بالسرعة	لا تتعلّق بالسرعة	تتناسب مع السرعة (المركّبة العمودية على الحقل)
اتّجاهها بالنسبة إلى الحقل	موازية للحقل (للشحنة الموجبة)	عمودية على الحقل وعلى السرعة
الشغل	تبذل شغلا وتغيّر مقدار السرعة	لا تبذل شغلا؛ مقدار السرعة ثابت
المسار في حقل متجانس	قطع مكافئ (كقذيفة أفقية)	دائرة، أو حلزون

▶تجربة حية — قوّة لورنتسنطلق جسيما مشحونا في حقل متجانس، نغيّر سرعته وشدّة الحقل والزاوية بينهما، ونراقب نصف القطر وزمن الدورة، ونتحقّق من أنّ مقدار السرعة والطاقة الحركية لا يتغيّران.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#lorentz

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#lorentz

יישומים של הכוח המגנטי – تطبيقات القوّة المغناطيسية (Applications of the Magnetic Force)

القوّة المغناطيسية على الجسيمات المشحونة هي أساس أجهزة كثيرة في المختبر وفي الصناعة والطبّ. في هذا البند نتعلّم ثلاثة منها: منتقي السرعات الذي يختار جسيمات بسرعة محدّدة، ومطياف الكتلة الذي يقيس كتل الذرّات، والسيكلوترون الذي يسرّع الجسيمات إلى طاقات عالية.

منتقي السرعات – בורר מהירויות:

منتقي السرعات: حقل كهربائي نحو الأسفل وحقل مغناطيسي إلى داخل الصفحة. على شحنة موجبة القوّة الكهربائية نحو الأسفل والمغناطيسية نحو الأعلى

في منتقي السرعات (בורר מהירויות) يوجد حقل كهربائي متجانس بين لوحين متوازيين، وحقل مغناطيسي متجانس عمودي عليه وعلى اتّجاه حركة الجسيمات. على جسيم موجب يدخل نحو اليمين تؤثّر قوّة كهربائية q·E نحو الأسفل، وقوّة مغناطيسية q·v·B نحو الأعلى. يعبر الجسيم المنتقي في خطّ مستقيم فقط إذا تساوت القوّتان:

q·E = q·v·B

v = EB

شرط المرور في منتقي السرعات · בורר מהירויות

v = EB

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v	السرعة الوحيدة التي تعبر دون انحراف	[m/s]
E	شدّة الحقل الكهربائي	[V/m]
B	شدّة الحقل المغناطيسي	[T]

الشرط لا يتعلّق بالشحنة ولا بالكتلة ولا بإشارة الشحنة: في الإلكترون تنعكس القوّتان معا وتبقيان متوازنتين.
جسيم أسرع من EB تغلب عليه القوّة المغناطيسية فينحرف نحو الأعلى؛ وجسيم أبطأ تغلب عليه القوّة الكهربائية فينحرف نحو الأسفل. فتحة ضيّقة في نهاية المنتقي تمرّر الجسيمات ذات السرعة المطلوبة فقط.

مثال 5.21

في منتقي سرعات البعد بين اللوحين 1 cm والجهد بينهما 400 V، وشدّة الحقل المغناطيسي 0.02 T. ما سرعة الأيونات التي تعبر دون انحراف؟

الحل:

الحقل بين اللوحين متجانس (الفصل 2):

E = Vd = 4000.01 = 4·10⁴ V/m

v = EB = 4·10⁴0.02 = 2·10⁶ m/s

v = 2·10⁶ m/s

سؤال 5.13: في منتقي السرعات الذي في المثال السابق دخل إلكترون بالسرعة 2·10⁶ m/s. هل ينحرف؟ وماذا يحدث لبروتون سرعته 3·10⁶ m/s؟

مطياف الكتلة – ספקטרוגרף מסות:

مطياف الكتلة: أيونات بسرعة واحدة تدخل حقلا B'، فترسم أنصاف دوائر نصف قطرها يتناسب مع الكتلة، وتصطدم بالكاشف في مواضع مختلفة

مطياف الكتلة (ספקטרוגרף מסות) جهاز يفصل الأيونات حسب كتلتها ويقيسها بدقّة كبيرة. تمرّ الأيونات أوّلا في منتقي سرعات، فتخرج منه جميعها بالسرعة نفسها v = EB. ثم تدخل منطقة فيها حقل مغناطيسي آخر B' فقط، فترسم نصف دائرة وتصطدم بكاشف (لوح تصوير أو جهاز إلكتروني). نصف القطر:

r = m·vq·B'

m = q·B'·rv

الأيونات ذات الشحنة نفسها تختلف في نصف القطر بسبب الكتلة فقط: الأثقل ترسم دائرة أكبر. بهذا الجهاز اكتُشفت النظائر (איזוטופים): ذرّات للعنصر نفسه تختلف في كتلتها. البعد بين موضعَي الاصطدام لنظيرين هو Δx = 2·(r₂ − r₁).

مثال 5.22

أيونات نيون أحادية الشحنة (شحنتها e) من نظيرين كتلتاهما m₁ = 20m_p و m₂ = 22m_p تمرّ في منتقي سرعات فيه E = 2·10⁴ V/m و B = 0.2 T، ثم تدخل حقلا B' = 0.5 T. نحسب نصفَي القطرين والبعد بين موضعَي الاصطدام على الكاشف.

الحل:

السرعة الخارجة من المنتقي:

v = EB = 2·10⁴0.2 = 1·10⁵ m/s

نصفا القطرين (m_p = 1.67·10⁻²⁷ kg):

r₁ = m₁·ve·B' = 20 · 1.67·10⁻²⁷ · 10⁵1.6·10⁻¹⁹ · 0.5 = 0.04175 m

r₂ = 22 · 1.67·10⁻²⁷ · 10⁵1.6·10⁻¹⁹ · 0.5 = 0.04593 m

يصطدم كلّ أيون بالكاشف بعد نصف دائرة، على بعد 2r من الفتحة:

Δx = 2·(r₂ − r₁) = 2·(0.04593 − 0.04175) = 0.00835 m

الاتّجاه: عند الفتحة السرعة نحو اليمين والحقل إلى داخل الصفحة، والأيون موجب: القوّة نحو الأعلى، فتنحني الأيونات نحو الأعلى كما في الشكل.

r₁ = 4.18 cm , r₂ = 4.59 cm , Δx = 8.35 mm

سؤال 5.14: في مطياف كتلة دخلت أيونات أحادية الشحنة بالسرعة نفسها، فرسم أحد النظيرين، وكتلته 24m_p، نصف دائرة نصف قطرها 12 cm، ورسم الآخر نصف دائرة نصف قطرها 13 cm. ما كتلة النظير الثاني؟

السيكلوترون – ציקלוטרון:

السيكلوترون من الأعلى: نصفا أسطوانة معدنيان (D) في حقل إلى داخل الصفحة، وجهد متناوب بينهما. البروتون يدور عكس اتّجاه عقارب الساعة

السيكلوترون (ציקלוטרון) مسرّع جسيمات مكوّن من علبتين معدنيتين مجوّفتين على شكل نصف أسطوانة (تسمّيان «D» بسبب شكلهما)، بينهما فجوة ضيّقة، وموضوعتين في حقل مغناطيسي متجانس عمودي عليهما. بين العلبتين جهد متناوب.

داخل كلّ علبة لا يوجد حقل كهربائي (المعدن يحجبه)، فيتحرّك الجسيم بسرعة ثابتة المقدار على نصف دائرة بتأثير الحقل المغناطيسي وحده.
عندما يصل الجسيم إلى الفجوة يكون الجهد قد انعكس، فيتسارع عبرها ويكتسب طاقة q·V.
في العلبة الثانية يرسم نصف دائرة أكبر (لأنّ سرعته أكبر)، ويعود إلى الفجوة — وهكذا مرّات كثيرة، حتى يصل إلى حافّة الجهاز ويخرج.

السرّ في عمل السيكلوترون هو أنّ زمن نصف الدورة لا يتعلّق بالسرعة: T2 = π·mq·B. لذلك يصل الجسيم إلى الفجوة دائما بعد الزمن نفسه، ويكفي جهد متناوب بتردّد ثابت يساوي تردّد الدوران:

السيكلوترون · ציקלוטרון

f = q·B2π·m

v_max = q·B·Rm

E_k,max = q²·B²·R²2m

الرمز	المعنى	وحدة القياس
f	تردّد الجهد المتناوب (يساوي تردّد الدوران)	[Hz]
R	نصف قطر العلبتين	[m]
E_k,max	الطاقة الحركية القصوى للجسيم الخارج	[J]

مثال 5.23

سيكلوترون لتسريع البروتونات، شدّة الحقل فيه 1 T ونصف قطر علبتيه 0.4 m. نحسب:
أ. تردّد الجهد المتناوب.
ب. السرعة القصوى والطاقة الحركية القصوى للبروتونات.
ج. عدد الدورات التي يقوم بها البروتون إذا كان الجهد بين العلبتين 50 kV.

الحل:

f = q·B2π·m = 1.6·10⁻¹⁹ · 12π · 1.67·10⁻²⁷ = 1.525·10⁷ Hz

ب. الجسيم يخرج عندما يصبح نصف قطر مساره R:

v_max = q·B·Rm = 1.6·10⁻¹⁹ · 1 · 0.41.67·10⁻²⁷ = 3.832·10⁷ m/s

E_k,max = 12·m·v_max² = 1.226·10⁻¹² J

E_k,max = 1.226·10⁻¹²1.6·10⁻¹⁹ = 7.665·10⁶ eV

ج. في كلّ دورة يعبر البروتون الفجوة مرّتين، ويكتسب في كلّ عبور e·V = 5·10⁴ eV، أي 10⁵ eV في الدورة:

n = 7.665·10⁶10⁵ ≈ 77

سرعة البروتون في النهاية نحو ثُمن سرعة الضوء؛ عند سرعات أكبر من ذلك بكثير تفشل الصيغ الكلاسيكية ويلزم تصحيح نسبي.

f = 15.2 MHz , E_k = 7.66 MeV , n ≈ 77

سؤال 5.15: نستعمل السيكلوترون من المثال السابق لتسريع جسيمات ألفا (كتلة 4m_p وشحنة 2e). ما التردّد اللازم للجهد المتناوب، وما الطاقة الحركية القصوى لجسيمات ألفا؟

▶تجربة حية — تطبيقات: منتقي السرعات، مطياف الكتلة والسيكلوتروننختار أحد الأجهزة الثلاثة: في المنتقي نغيّر الحقلين والسرعة، في المطياف نفصل نظيرين، وفي السيكلوترون نتابع زيادة نصف القطر والطاقة مع ثبات زمن الدورة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#mapp

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_magnetic_field#mapp

أهمّ أفكار الفصل:

التيار الكهربائي مصدر للحقل المغناطيسي، والحقل المغناطيسي يؤثّر بقوّة على التيارات وعلى الشحنات المتحرّكة — الكهرباء والمغناطيسية وجهان لظاهرة واحدة.
خطوط الحقل المغناطيسي خطوط مغلقة دائما: لا بداية لها ولا نهاية، ولا يوجد قطب مغناطيسي منفرد.
اتّجاه الحقل في نقطة هو الاتّجاه الذي يشير إليه القطب الشمالي لإبرة بوصلة تستقرّ فيها، واتّجاه القوّة المغناطيسية يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى.
القوّة المغناطيسية عمودية دائما على التيار (أو على السرعة) وعلى الحقل معا، ومركّبة الحقل العمودية وحدها تؤثّر: سلك أو شحنة يتحرّكان بموازاة الحقل لا يتأثّران بأيّ قوّة.
الشحنة الساكنة لا تتأثّر بقوّة مغناطيسية أبدا.
حقل السلك المستقيم يتناسب عكسيا مع البعد عنه، والحقل داخل الملفّ الحلزوني متجانس ولا يتعلّق بنصف قطره؛ حقول عدّة مصادر في نقطة واحدة تُجمع جمعا اتّجاهيا.
تياران متوازيان في الاتّجاه نفسه يتجاذبان، وتياران متعاكسان يتنافران — وعلى هذه القوّة بُني تعريف الأمبير.
القوّة المغناطيسية لا تبذل شغلا: مقدار السرعة ثابت، والجسيم يتحرّك على دائرة زمن دورتها لا يتعلّق بالسرعة — وهذه هي الفكرة التي يقوم عليها السيكلوترون.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
القوّة على سلك مستقيم في حقل متجانس	F = B·I·ℓ·sin θ
تعريف شدّة الحقل المغناطيسي	B = FI·ℓ
قانون أمبير	Σ B_∥·Δℓ = μ₀·I
الحقل قرب سلك مستقيم طويل	B = μ₀·I2π·r
الحقل في مركز لفّة دائرية	B = μ₀·N·I2R
الحقل داخل ملفّ حلزوني	B = μ₀·n·I
القوّة بين تيارين متوازيين	Fℓ = μ₀·I₁·I₂2π·d
قوّة لورنتس	F = q·v·B·sin θ
قوّة لورنتس بالضرب الاتّجاهي	F = q·v × B
نصف قطر المسار الدائري	r = m·vq·B
زمن الدورة	T = 2π·mq·B
خطوة المسار الحلزوني	p = v_∥·T
منتقي السرعات	v = EB
تردّد السيكلوترون	f = q·B2π·m
الطاقة القصوى في السيكلوترون	E_k,max = q²·B²·R²2m
النفاذية المغناطيسية للفراغ	μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
المغناطيس	מגנט	Magnet
القطب الشمالي · القطب الجنوبي	קוטב צפוני · קוטב דרומי	North pole · South pole
البوصلة	מצפן	Compass
الحقل المغناطيسي	שדה מגנטי	Magnetic field
شدّة الحقل المغناطيسي	עוצמת השדה המגנטי	Magnetic field strength
تسله	טסלה	Tesla
خطوط الحقل المغناطيسي	קווי שדה מגנטי	Magnetic field lines
الحقل المغناطيسي الأرضي	השדה המגנטי של כדור הארץ	Earth's magnetic field
القوّة المغناطيسية	כוח מגנטי	Magnetic force
قاعدة اليد اليمنى	כלל יד ימין	Right-hand rule
ميزان التيار	מאזני זרם	Current balance
سلك مستقيم طويل	תיל ישר ארוך	Long straight wire
لفّة دائرية	כריכה מעגלית	Circular loop
الملفّ الحلزوني (اللولبي)	סילונית	Solenoid
قانون أمبير	חוק אמפר	Ampère's law
النفاذية المغناطيسية للفراغ	פרמיאביליות הריק (החדירות המגנטית)	Permeability of free space
مبدأ التراكب	עקרון הסופרפוזיציה	Superposition principle
أمبير	אמפר	Ampere
قوّة لورنتس	כוח לורנץ	Lorentz force
الضرب الاتّجاهي	מכפלה וקטורית	Cross product
حركة حلزونية	תנועה בורגית	Helical motion
منتقي السرعات	בורר מהירויות	Velocity selector
مطياف الكتلة	ספקטרוגרף מסות	Mass spectrometer
النظائر	איזוטופים	Isotopes
السيكلوترون	ציקלוטרון	Cyclotron

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 5.1) يمرّ في سلك مستقيم طويل عمودي على الصفحة تيار إلى داخلها. حدّدوا اتّجاه الحقل المغناطيسي في النقاط الأربع A ، B ، C ، D التي في الشكل. هل تدور الخطوط مع اتّجاه عقارب الساعة أم عكسه؟

الإجابات: A — نحو اليمين ، B — نحو الأسفل ، C — نحو اليسار ، D — نحو الأعلى ؛ مع اتّجاه عقارب الساعة

(للبند 5.1) سلك مستقيم طويل يقع في مستوى الصفحة ويمرّ فيه تيار نحو الأعلى. ما اتّجاه الحقل المغناطيسي في نقطة على يمين السلك، وفي نقطة على يساره؟ ارسموا الرمز المناسب (⊙ أو ⊗) في كلّ نقطة.

الإجابات: يمين السلك: إلى داخل الصفحة (⊗) ؛ يساره: إلى خارج الصفحة (⊙)

(للبند 5.2) سلك طوله 50 cm يمرّ فيه تيار 4 A في حقل متجانس شدّته 0.15 T. احسبوا القوّة على السلك عندما يكون عموديا على الحقل، وعندما يصنع معه زاوية 53°.

الإجابات: F = 0.3 N ؛ F = 0.24 N

(للبند 5.2) قضيب كتلته 50 g يستند إلى سكّتين أفقيتين أملستين البعد بينهما 20 cm، في حقل عمودي شدّته 0.5 T (الشكل، منظر من الأعلى). يمرّ في القضيب تيار 5 A. احسبوا القوّة على القضيب وتسارعه، وحدّدوا اتّجاههما.

الإجابات: F = 0.5 N ، a = 10 m/s² ، نحو اليسار

(للبند 5.3) ما التيار اللازم في سلك مستقيم طويل لكي يكون الحقل على بعد 3 cm منه 10⁻⁴ T؟

الإجابات: I = 15 A

(للبند 5.3) ملفّ حلزوني طوله 30 cm فيه 600 لفّة. ما التيار اللازم للحصول على حقل 5 mT في داخله؟

الإجابات: I = 1.99 A

(للبند 5.4) سلكان متوازيان طويلان البعد بينهما 4 cm، يمرّ في أحدهما تيار 3 A وفي الآخر تيار 6 A في الاتّجاه نفسه. احسبوا القوّة المؤثّرة على كلّ متر من طول أحد السلكين، وحدّدوا هل هي تجاذب أم تنافر.

الإجابات: Fℓ = 9·10⁻⁵ N/m ؛ تجاذب

(للبند 5.4) سلكان متوازيان يمرّ في أحدهما تيار 20 A وفي الآخر 5 A في الاتّجاه نفسه. على أيّ بعد بينهما تكون القوّة بينهما 4·10⁻⁴ N لكلّ متر؟ هل هي تجاذب أم تنافر؟

الإجابات: d = 5 cm ؛ تجاذب

(للبند 5.5) إلكترون يتحرّك نحو الأعلى في حقل مغناطيسي إلى خارج الصفحة (الشكل). ما اتّجاه القوّة عليه؟ وما اتّجاهها لو كان بروتونا؟

الإجابات: الإلكترون: نحو اليسار ؛ البروتون: نحو اليمين

10.

(للبند 5.5) إلكترون سرعته 5·10⁶ m/s يتحرّك عموديا على حقل متجانس شدّته 0.01 T. احسبوا القوّة عليه، ونصف قطر مساره، وزمن دورته.

الإجابات: F = 8·10⁻¹⁵ N ، r = 2.84 mm ، T = 3.57·10⁻⁹ s

11.

(للبند 5.6) في منتقي سرعات E = 6·10⁴ V/m و B = 0.03 T (الحقل الكهربائي نحو الأسفل والمغناطيسي إلى داخل الصفحة). ما السرعة التي تعبر دون انحراف؟ إلى أين ينحرف بروتون أسرع من ذلك يدخل نحو اليمين؟

الإجابات: v = 2·10⁶ m/s ؛ ينحرف نحو الأعلى

12.

(للبند 5.6) سيكلوترون يسرّع نوى الديوتيريوم (كتلتها 2m_p وشحنتها e)، الحقل فيه 1.2 T ونصف قطره 0.5 m. احسبوا تردّد الجهد المتناوب والطاقة الحركية القصوى بالإلكترون ڤولط.

الإجابات: f = 9.15 MHz ، E_k = 8.62 MeV

تمارين تلخيصية:

يمرّ التيار نفسه في سلك مستقيم طويل وفي لفّة دائرية نصف قطرها R. ما النسبة بين الحقل في مركز اللفّة والحقل على بعد R من السلك؟

الإجابات: B₁B₂ = π ≈ 3.14 (B₁ في مركز اللفّة، B₂ قرب السلك)

سلكان طويلان عموديان على الصفحة، البعد بينهما 20 cm، في كلّ منهما تيار 10 A إلى خارج الصفحة. النقطة P تبعد 10 cm عن منتصف المسافة بينهما (الشكل). احسبوا الحقل المحصّل في P وحدّدوا اتّجاهه.

الإجابات: B = 2·10⁻⁵ T ، نحو اليسار

سلك مستقيم طويل في مستوى الصفحة يمرّ فيه تيار 10 A نحو الأعلى. إلكترون يتحرّك بسرعة 2·10⁶ m/s موازيا للسلك وباتّجاه التيار نفسه، على بعد 2 cm يمين السلك.
(أ) احسبوا شدّة الحقل المغناطيسي في موضع الإلكترون.
(ب) احسبوا القوّة المغناطيسية على الإلكترون وحدّدوا اتّجاهها.
(ج) كيف يتغيّر الجواب إذا تحرّك الإلكترون عكس اتّجاه التيار؟

الإجابات: (أ) B = 1·10⁻⁴ T (⊗ في موضع الإلكترون) ؛ (ب) F = 3.2·10⁻¹⁷ N نحو اليمين، أي مبتعدا عن السلك ؛ (ج) ينعكس اتّجاه القوّة: نحو السلك

أيونات ليثيوم أحادية الشحنة من نظيرين كتلتاهما 6m_p و 7m_p تتسارع من السكون بفرق جهد 1000 V، ثم تدخل حقلا شدّته 0.2 T عموديا عليه. احسبوا نصفَي قطرَي المسارين والبعد بين موضعَي الاصطدام بعد نصف دورة.

الإجابات: r₆ = 5.6 cm ، r₇ = 6.04 cm ، Δx = 8.97 mm

هل يمكن أن يزيد حقل مغناطيسي ساكن الطاقة الحركية لجسيم مشحون؟ وهل يمكن أن يحرّك جسيما مشحونا ساكنا؟ علّلوا.

الإجابات: لا ولا: القوّة المغناطيسية عمودية على السرعة فلا تبذل شغلا، وعلى الجسيم الساكن لا تؤثّر قوّة مغناطيسية أصلا

تمارين تعمّق:

(*) سلكان طويلان عموديان على الصفحة، البعد بينهما 10 cm: في الأيسر تيار 9 A إلى خارج الصفحة، وفي الأيمن تيار 3 A إلى داخلها.
(أ) بيّنوا أنّ الحقل المغناطيسي لا يمكن أن ينعدم في أيّ نقطة من المقطع الذي بين السلكين.
(ب) جدوا النقطة التي ينعدم فيها الحقل على المستقيم المارّ بالسلكين.

الإجابات: (أ) بين السلكين حقلا السلكين في الاتّجاه نفسه فلا يلغي أحدهما الآخر ؛ (ب) على بعد 5 cm يمين السلك الثاني — خارج المقطع، في الجهة الأقرب إلى التيار الأصغر

(*) سلك مستقيم طويل في مستوى الصفحة يمرّ فيه تيار 20 A نحو الأعلى. إطار مستطيل من السلك يقع في مستوى الصفحة يمين السلك: ضلعاه الموازيان للسلك طولهما 10 cm، القريب على بعد 2 cm من السلك والبعيد على بعد 6 cm، ويمرّ في الإطار تيار 5 A اتّجاهه في الضلع القريب نحو الأعلى (باتّجاه تيار السلك).
(أ) حدّدوا اتّجاه القوّة على كلّ ضلع من أضلاع الإطار الأربعة.
(ب) احسبوا القوّة المحصّلة على الإطار وحدّدوا اتّجاهها.

الإجابات: (أ) على الضلع القريب نحو اليسار (تجاذب)، وعلى البعيد نحو اليمين (تنافر)، وعلى الضلعين العموديين على السلك قوّتان متساويتان ومتعاكستان تلغي إحداهما الأخرى ؛ (ب) F = 6.67·10⁻⁵ N نحو السلك

(*) بروتون يتحرّك في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.05 T، وسرعته تصنع زاوية 30° مع اتّجاه الحقل، فيتحرّك في مسار حلزوني خطوته 0.5 m.
(أ) احسبوا زمن الدورة.
(ب) احسبوا مقدار سرعة البروتون.
(ج) احسبوا نصف قطر الحلزون.

الإجابات: (أ) T = 1.31·10⁻⁶ s ؛ (ب) v = 4.4·10⁵ m/s ؛ (ج) r = 4.6 cm

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

5.1 A: إلى خارج الصفحة (⊙) ، C: إلى داخل الصفحة (⊗)

5.2 أ. نحو الشمال الجغرافي، والإبرة أفقية ؛ ب. تكاد تكون عمودية، وقطبها الشمالي نحو الأسفل (نحو الأرض)

5.3 نحو اليمين

5.4 F = 4.5·10⁻⁵ N — قوّة صغيرة جدا لا نلاحظها

5.5 θ = 30° (أو 150°)

5.6 I = 7.2 A

5.7 I = 3.98 A ؛ لا يتغيّر

5.8 في المنتصف B = 0 ؛ في النقطة الخارجية B = 1.5·10⁻⁵ T

5.9 I₂ = 5 A ، بعكس اتّجاه التيار السفلي (تنافر)

5.10 لا تتغيّر: 4·10⁻⁴ N/m

5.11 r_αr_p = 2 ، T_αT_p = 2

5.12 r = 0.114 m (نحو 11 cm)

5.13 الإلكترون لا ينحرف ؛ البروتون ينحرف نحو الأعلى (القوّة المغناطيسية أكبر)

5.14 m₂ = 26m_p

5.15 f = 7.62 MHz ، E_k = 7.66 MeV (الطاقة نفسها)

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 5

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الكهرومغناطيسية (אלקטרומגנטיות — 36371)، بالنسخة العربية الرسمية للامتحان (2019–2026). تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 5 — بروتون في حقل مغناطيسيّ — حركة دائريّة، منتقي سرعات وحركة لولبيّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	القوّة على البروتون عند دخوله إلى الحقل	F = 3.2·10⁻¹⁵ N · اتّجاه القوّة خارجًا من الورقة، نحو القارئ
ب	نصف قطر الدوران وزمن الدور	R₁ = 0.52 m · T₁ = 3.28·10⁻⁶ s
ج	الحقل الكهربائيّ الذي أعاد البروتون إلى خطّ مستقيم	E = 2·10⁴ V/m · اتّجاه الحقل إلى داخل الورقة
د	لماذا الحركة لولبيّة	المركّبة الموازية لا تشعر بقوّة وتبقى ثابتة، المركّبة العموديّة تدور في دائرة، ودمجهما هو لولب
هـ	قراءة مقدار الحقل B₂ واتّجاهه من الرسم 4	\|B₂\| = 50 mT = 0.05 T · الحقل يقع بزاوية 50° بالنسبة للأرض

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2025 السؤال 4 — جلفانومتر ظلّي — منظومتا لفّات وحقل الكرة الأرضيّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه انحراف البوصلة في الحالتين	في الحالة الأولى تميل الإبرة خمسًا وأربعين درجة نحو جهة حقل المنظومة 2 · وفي الحالة الثانية تميل إلى الجهة ذاتها لكن بزاوية أصغر، نحو ثماني عشرة درجة
ب		i₂ = 0.50 A
ج	المركّبة الأفقيّة لحقل الكرة الأرضيّة	B(E∥) = 3.1·10⁻⁵ T ≈ 31 ميكروتسله
د	مخطّط الحقول بعد الإدائرة	حقلان شمالًا مجموعهما 2B(E∥) وحقل واحد عموديّ عليهما، ومنهما tan θ = B₁ مقسومًا على 2B(E∥)
هـ	التيّار الذي يعطي ظلًّا 1.4	i₁ = 2.1 A

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 6 — قضيب موصل في حقل مغناطيس حدوة — شدّ الخيوط وقياس الحقل

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه الحقل المغناطيسيّ	القوّة المغناطيسيّة موجّهة إلى الأعلى، ومن هنا أنّ الحقل موجّه من القطب Q إلى القطب P
ب	عبارة الشدّ	T = (mg − BiL) مقسومًا على 2
ج	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	النقاط تقع على خطّ مستقيم هابط — انظروا الرسم أعلاه
د	الكتلة وشدّة الحقل	m ≈ 20 غرام · B = 0.2 T
هـ	القضيب على طول محور الملفّ	المنحنى الأفقيّ الثابت — القضيب موازٍ للحقل، القوّة المغناطيسيّة تنعدم، والشدّ يبقى mg مقسومًا على 2

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 5 — جسيم مشحون في حقلين مغناطيسيّين وفي منتقي سرعات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه الحقل المغناطيسيّ B₁	B₁ موجّه إلى داخل الورقة
ب	كتلة الجسيم	m = 1.67·10⁻²⁷ kg — هذه كتلة البروتون
ج	الحقل المغناطيسيّ B₂	B₂ = 0.1 T · موجّه إلى خارج الورقة
د	الحقل الكهربائيّ في منتقي السرعات	E = 1·10⁵ V/m · موجّه إلى اليمين، عموديًّا على السرعة
هـ	هل عُكس اتّجاه أيّ حقل	نعم — عُكس اتّجاه الحقل الكهربائيّ E وحده · الحقلان المغناطيسيّان بقيا كما كانا

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 5 — حزمة بروتونات — دائرة في حقل مغناطيسيّ واتّزان منتقي السرعات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه B₁ ونصف قطر المسار	B₁ إلى خارج الصفحة · r = 8.7·10⁻² m = 8.7 cm
ب	مقدار الحقل الكهربائيّ واتّجاهه	E = 1.6·10⁴ V/m · اتّجاهه من اللوح P إلى اللوح Q
ج	مقدار الحقل المغناطيسيّ B₂	B₂ = 1.6·10⁻² T
د	مقدار السرعة عند الارتطام بالشاشة	مقدار السرعة أكبر منه
هـ	زمن الحركة حتّى الشاشة	زمن الحركة يساويه

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 4 — قياس المركّبة الأفقيّة للحقل المغناطيسيّ الأرضيّ — بوصلة وسلك مستقيم طويل

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه التيّار في السلك	التيّار I₁ يخرج من الصفحة
ب	اشتقاق عبارة tan α	tan α يساوي مُعامِلًا ثابتًا مضروبًا في 1 مقسومًا على x، والمُعامِل هو μ₀I₁ مقسومًا على 2π·B(E∥)
ج	المتغيّر الجديد	المتغيّر الجديد هو 1 مقسومًا على x، ووحداته m⁻¹
د	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	مخطّط انتشار من خمس نقاط، وخطّ اتّجاه مستقيم عبر نقطة الأصل ميله نحو 0.055 متر
هـ	المركّبة الأفقيّة للحقل الأرضيّ	B(E∥) = 2.9·10⁻⁵ T ≈ 29 ميكروتسله
و	التيّار في السلك الثاني	I₂ = 10 A · التيّار يخرج من الصفحة، أي بالاتّجاه ذاته كالتيّار في السلك 1

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 5 — ميزان تيّار — حقل ملفّ لولبيّ، قوّة على موصل وقياس كتلة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه الحقل المغناطيسيّ في الملفّ	الحقل المغناطيسيّ في الملفّ يشير من اليسار إلى اليمين، على طول محور الملفّ
ب	تعبير للقوّة المغناطيسيّة	F(B) = μ₀·N·ℓ(ab)·I² / L
ج	تعبير لـ I² كدالّة لـ K	I² = [m₀·g·L / (μ₀·N·ℓ(ab))] · K · مستقيم يمرّ بالمبدأ
د	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	مخطّط انتشار للنقاط الخمس، ومستقيم اتّجاه ينطلق من المبدأ ميله نحو 14.2 A² لكلّ حلقة
هـ	حساب كتلة الحلقة	m₀ ≈ 5.0·10⁻⁴ kg = 0.5 غرام
و	عكس قطبيّة المصدر	نعم · القوّة تتعلّق بـ I²، وعند عكس القطبيّة ينعكس الحقل والتيّار معًا — ولذلك تبقى القوّة مطابقة مقدارًا واتّجاهًا

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 4 — سيكلوترون — حركة دائريّة في حقل مغناطيسيّ وتسريع في الفجوة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	طبيعة الحركة واتّجاه الدوران	الحركة دائريّة لأنّ القوّة المغناطيسيّة عموديّة على السرعة وثابتة المقدار · نصف القطر يزداد لأنّ r يتناسب مع v · البروتون يتحرّك عكس اتّجاه عقارب الساعة
ب	إثبات تساوي زمنَي العبور	t½ = πm/(qB) · الزمن لا يتعلّق بالسرعة ولا بنصف القطر، ولذلك هو متطابق في نصفَي الدائرة
ج	حساب الحقل المغناطيسيّ	B ≈ 4.7 T
د	حساب الحقل الكهربائيّ	E ≈ 1.4·10⁵ V/m
هـ	مقارنة بين القوّتين القطريّتين	F₁ أصغر من F₂ · عبر البروتون في هذه الأثناء مرّتين في الفجوة C ولذلك ازدادت سرعته، و F = qvB يتناسب مع السرعة

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 5 — جسيم مشحون في أربع مناطق حقل مغناطيسيّ · بناء المسار

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	إشارة شحنة الجسيم أ	شحنة الجسيم أ سالبة
ب	اتّجاهات الحقول في المناطق 1 و2 و3	المنطقة 1 · الحقل يخرج من الورقة · المنطقة 2 · الحقل يدخل إلى الورقة · المنطقة 3 · الحقل يدخل إلى الورقة
ج	حساب الشحنة من الهندسة	q = −1.6·10⁻¹⁹ C · نصف القطر r = 0.15 m = 15 cm
د	هل يتغيّر متّجه السرعة	(1) نعم — الاتّجاه يتغيّر باستمرار · (2) لا — المقدار محفوظ، لأنّ القوّة المغناطيسيّة لا تبذل شغلًا
هـ	زمن الحركة من P إلى Q	t = 2.6·10⁻⁷ s
و	أيّ جسيم سيعيد مسار الجسيم أ	الجسيم ج — الذي شحنته معاكسة لشحنة الجسيم أ

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 4 — قياس المركّبة الأفقيّة للحقل المغناطيسيّ الأرضيّ بواسطة بوصلات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ		الحقل الأرضيّ الأفقيّ شمالًا على طول الخطّ المتقطّع · حقل السلك شرقًا، عموديًّا عليه · الإبرة على طول المحصّل
ب	اتّجاه التيّار في السلك	كان التيّار إلى الأسفل، أي داخلًا إلى الورقة
ج	التعبير عن tan(α)	tan(α) = μ₀·I مقسومًا على 2π·r·B(E) — ككسر، كما هو معروض أعلاه
د	حساب الحقل الأرضيّ الأفقيّ	B(E) = 2.3·10⁻⁵ T
هـ		الرسم 2
و	المغناطيس العصويّ في مركز الطاولة	الرسم 1

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 7 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)