الفصل 6

الحثّ الكهرومغناطيسي

השראה אלקטרומגנטית

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 20 ساعات تعليمية

في الفصل السابق رأينا أنّ التيار الكهربائي يُنشئ حقلا مغناطيسيا. في هذا الفصل نتعلّم الظاهرة المعاكسة: الحقل المغناطيسي الذي يتغيّر يُنشئ قوّة دافعة كهربائية، وفي الدائرة المغلقة — تيارا كهربائيا. هذه الظاهرة، الحثّ الكهرومغناطيسي، هي أساس عمل المولّدات في محطّات توليد الكهرباء، والمحوّلات في شبكة الكهرباء، والشاحن اللاسلكي للهاتف، والكبح المغناطيسي في القطارات. نبدأ بموصل يتحرّك في حقل مغناطيسي، نعرّف التدفّق المغناطيسي، ونصوغ قانون فاراداي وقانون لينز؛ ثمّ ننتقل إلى المولّد والمحوّل ونقل الطاقة، وننهي بمعادلات ماكسويل التي تجمع الكهرومغناطيسية كلّها.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نفسّر نشوء قوّة دافعة كهربائية بين طرفَي موصل يتحرّك في حقل مغناطيسي بواسطة قوّة لورنتس، ونحسبها: ε = B·ℓ·v.
نعرّف التدفّق المغناطيسي Φ = B·A·cos θ ووحدته الويبر.
نطبّق قانون فاراداي ε = −N·ΔΦΔt، ونستخرج القوّة الدافعة من ميل الرسم البياني للتدفّق كدالّة للزمن.
نحدّد اتّجاه التيار المستحث بقانون لينز، ونفسّر هذا القانون بحفظ الطاقة.
نصف عمل المولّد ε = N·B·A·ω·sin(ω·t)، ونحسب القيم الفعّالة والقدرة المتوسّطة.
نحسب الجهود والتيارات في المحوّل المثالي، ونفسّر لماذا تُنقل الطاقة الكهربائية بجهد عالٍ.
نعرف ما تقوله كلّ واحدة من معادلات ماكسويل الأربع، وكيف تنبّأت بالموجات الكهرومغناطيسية.

כא"מ מושרה, חוק פארדיי וחוק לנץ – القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة، قانون فاراداي وقانون لينز (Induced EMF, Faraday's Law and Lenz's Law)

في سنة 1831 اكتشف مايكل فاراداي أنّه يمكن الحصول على تيار كهربائي من المغناطيسية، بشرط أن يتغيّر شيء ما في العلاقة بين الموصل والحقل المغناطيسي: أن يتحرّك الموصل، أو أن يتحرّك المغناطيس، أو أن تتغيّر شدّة الحقل. نبدأ بأبسط حالة — قضيب معدني يتحرّك في حقل مغناطيسي متجانس — ونفسّرها بما نعرفه من الفصل السابق: قوّة لورنتس.

القوّة الدافعة المستحثة بين طرفَي موصل يتحرّك في حقل مغناطيسي متجانس – כא"מ מושרה בין קצות מוליך הנע בשדה מגנטי אחיד:

نحرّك قضيبا معدنيا طوله ℓ بسرعة ثابتة v نحو اليمين داخل حقل مغناطيسي متجانس B متّجه إلى داخل الصفحة. القضيب عمودي على الحقل، وسرعته عمودية على القضيب وعلى الحقل. في المعدن إلكترونات حرّة تتحرّك مع القضيب بالسرعة v، ولذلك تؤثّر على كلّ واحد منها قوّة لورنتس (الفصل 5)، ومقدارها:

F_B = e·v·B

نحدّد اتّجاه القوّة بقاعدة اليد اليمنى: على شحنة موجبة تتّجه القوّة نحو أعلى القضيب، وعلى الإلكترون — وشحنته سالبة — نحو أسفله. تتجمّع الإلكترونات في الطرف السفلي، ويبقى في الطرف العلوي نقص في الإلكترونات، أي شحنة موجبة. هذا الفصل بين الشحنات يُنشئ داخل القضيب حقلا كهربائيا E متّجها من الطرف الموجب إلى الطرف السالب، أي نحو الأسفل؛ وهذا الحقل يؤثّر على كلّ إلكترون بقوّة كهربائية F_E = e·E نحو الأعلى — بعكس القوّة المغناطيسية.

قضيب يتحرّك نحو اليمين في حقل إلى داخل الصفحة: قوّة لورنتس تدفع الإلكترونات نحو الأسفل، فيصبح الطرف العلوي موجبا. في حالة التوازن تتساوى القوّة الكهربائية F_E والقوّة المغناطيسية F_B على كلّ إلكترون

يستمرّ تجمّع الشحنات حتى تتساوى القوّتان على الإلكترون، وعندئذ تتوقّف حركة الإلكترونات بمحاذاة القضيب:

e·E = e·v·B

E = v·B

الحقل الكهربائي داخل القضيب متجانس، ولذلك فرق الجهد بين طرفَيه هو حاصل ضرب شدّة الحقل بطول القضيب:

V = E·ℓ = B·ℓ·v

القضيب المتحرّك يتصرّف كمصدر فرق جهد: طرفه العلوي هو القطب الموجب وطرفه السفلي هو القطب السالب. القوّة التي تفصل الشحنات هنا ليست قوّة كيميائية كما في البطارية، بل هي القوّة المغناطيسية. لذلك يسمّى فرق الجهد الناشئ القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة.

القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة (כא"מ מושרה): هي القوّة الدافعة الكهربائية التي تنشأ في موصل نتيجة حركته في حقل مغناطيسي، أو نتيجة تغيّر الحقل المغناطيسي الذي يعبره. إذا كان الموصل جزءا من دائرة كهربائية مغلقة فإنّه يسري فيها تيار يسمّى التيار المستحث (זרם מושרה).

القوّة الدافعة المستحثة في قضيب متحرّك · כא"מ מושרה במוט נע

ε = B·ℓ·v

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ε	القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة بين طرفَي القضيب	[V]
B	شدّة الحقل المغناطيسي	[T]
ℓ	طول القضيب داخل الحقل	[m]
v	سرعة القضيب، عمودية على القضيب وعلى الحقل	[m/s]

ملاحظة: الصيغة صالحة عندما تكون الاتّجاهات الثلاثة — القضيب، السرعة والحقل — متعامدة. إذا تحرّك القضيب بمحاذاة الحقل، أو بمحاذاة طوله، لا تنشأ قوّة دافعة إطلاقا: في الحالة الأولى قوّة لورنتس صفر، وفي الثانية هي عمودية على القضيب ولا تدفع الشحنات على طوله. وإذا كانت السرعة مائلة بزاوية α عن اتّجاه الحقل فإنّ مركّبتها العمودية على الحقل فقط تُسهم: ε = B·ℓ·v·sin α.

مثال 6.1

قضيب نحاسي طوله 50 cm يتحرّك بسرعة 4 m/s في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.3 T متّجه إلى داخل الصفحة، كما في الرسم السابق. نحسب:
أ. القوّة المغناطيسية على إلكترون حرّ في القضيب.
ب. شدّة الحقل الكهربائي داخل القضيب في حالة التوازن.
ج. القوّة الدافعة المستحثة، ونحدّد أيّ طرفَي القضيب جهده أعلى.

الحل:

أ. السرعة عمودية على الحقل، فنعوّض في صيغة قوّة لورنتس:

F_B = e·v·B = 1.6·10⁻¹⁹ · 4 · 0.3 = 1.92·10⁻¹⁹ N

ب. في التوازن تساوي القوّة الكهربائية القوّة المغناطيسية:

E = v·B = 4 · 0.3 = 1.2 V/m

ج. نحوّل الطول إلى متر، ℓ = 0.5 m:

ε = B·ℓ·v = 0.3 · 0.5 · 4 = 0.6 V

نفحص: ε = E·ℓ = 1.2 · 0.5 = 0.6 V — النتيجة نفسها. بقاعدة اليد اليمنى القوّة على الشحنة الموجبة نحو الأعلى، فيتجمّع الفائض الموجب في الطرف العلوي: جهد الطرف العلوي أعلى.

F_B = 1.92·10⁻¹⁹ N , E = 1.2 V/m , ε = 0.6 V

مثال 6.2

طائرة تطير أفقيا نحو الشمال بسرعة 250 m/s، والبعد بين طرفَي جناحيها 36 m. المركّبة العمودية للحقل المغناطيسي الأرضي في هذا المكان 4·10⁻⁵ T ومتّجهة نحو الأسفل. نحسب القوّة الدافعة المستحثة بين طرفَي الجناحين، ونحدّد أيّ طرف جهده أعلى. هل يمكن إضاءة لمبة بهذه القوّة الدافعة؟

الحل:

الجناح موصل طوله 36 m يتحرّك عموديا على المركّبة العمودية للحقل. المركّبة الأفقية للحقل الأرضي متّجهة نحو الشمال، أي بمحاذاة السرعة، فلا تُسهم:

ε = B·ℓ·v = 4·10⁻⁵ · 36 · 250 = 0.36 V

ننظر إلى الطائرة من الأعلى (الرسم): الحقل المتّجه نحو الأسفل يظهر كـ ⊗، والسرعة نحو الشمال. بقاعدة اليد اليمنى القوّة على الشحنة الموجبة نحو الغرب، فيكون جهد طرف الجناح الغربي (الأيسر) أعلى.

لا يمكن إضاءة لمبة بهذه الطريقة: الأسلاك التي نمدّها من طرف الجناح إلى اللمبة وإلى الطرف الآخر تتحرّك هي أيضا مع الطائرة، فتنشأ فيها القوّة الدافعة نفسها. في الدائرة المغلقة تعمل القوّتان الدافعتان باتّجاهين متعاكسين، ومجموعهما صفر.

ε = 0.36 V

سؤال 6.1: قضيب CD طوله 20 cm يتحرّك نحو أعلى الصفحة في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.8 T متّجه إلى خارج الصفحة (الرسم). ما هي السرعة اللازمة لكي تنشأ بين طرفَيه قوّة دافعة مقدارها 0.12 V؟ أيّ الطرفين جهده أعلى؟

القوّة الدافعة المستحثة في حلقة تتحرّك بالنسبة إلى الحقل – כא"מ בלולאה הנעה ביחס לשדה:

نصنع من سلك حلقة موصِلة (לולאה מוליכה) مستطيلة، ونحرّكها بسرعة ثابتة v نحو اليمين، فتدخل منطقة فيها حقل مغناطيسي متجانس إلى داخل الصفحة، تعبرها وتخرج منها. الضلعان العموديان على اتّجاه الحركة طول كلّ منهما ℓ. في الضلعين الموازيين للحركة لا تنشأ قوّة دافعة على طولهما، لأنّ قوّة لورنتس فيهما عمودية على السلك. لذلك نهتمّ بالضلعين العموديين فقط، ونميّز ثلاث مراحل:

الدخول: الضلع الأيمن فقط داخل الحقل. تنشأ فيه قوّة دافعة ε = B·ℓ·v، والقوّة على الشحنات الموجبة فيه نحو الأعلى، فيسري التيار في الحلقة عكس اتّجاه عقارب الساعة.
الحلقة كلّها داخل الحقل: في كلّ واحد من الضلعين تنشأ القوّة الدافعة نفسها B·ℓ·v، وكلتاهما تدفع الشحنات الموجبة نحو الأعلى. لكنّ الضلعين متقابلان في الحلقة، فالقوّتان الدافعتان تعملان باتّجاهين متعاكسين حول الحلقة وتلغي إحداهما الأخرى: لا يسري تيار.
الخروج: الضلع الأيسر فقط داخل الحقل. القوّة الدافعة B·ℓ·v تدفع الشحنات الموجبة فيه نحو الأعلى، فيسري التيار مع اتّجاه عقارب الساعة — بعكس اتّجاه التيار عند الدخول.

الدخول: التيار عكس اتّجاه عقارب الساعة

الحلقة كلّها في الحقل: لا تيار

الخروج: التيار مع اتّجاه عقارب الساعة

إذا كانت مقاومة الحلقة R فإنّ التيار المستحث حسب قانون أوم هو I = εR. هذا التيار يسري أيضا في الضلع الموجود داخل الحقل، ولذلك يؤثّر الحقل على هذا الضلع بقوّة مغناطيسية F = B·I·ℓ (الفصل 5). سنرى في نهاية هذا البند أنّ هذه القوّة تعاكس الحركة دائما.

اصطلاح الإشارة: لكي نرسم القوّة الدافعة كدالّة للزمن نختار اتّجاها موجبا للدوران حول الحلقة. في هذا الفصل، عندما يكون الحقل إلى داخل الصفحة، نعتبر الاتّجاه مع عقارب الساعة موجبا. سنرى في قانون فاراداي لماذا يجعل هذا الاختيار إشارة السالب في القانون تعطي الاتّجاه مباشرة.

مثال 6.3

حلقة مربّعة طول ضلعها 20 cm ومقاومتها 0.5 Ω تتحرّك بسرعة ثابتة 2 m/s نحو اليمين، وتعبر منطقة عرضها 50 cm فيها حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.5 T إلى داخل الصفحة. في اللحظة t = 0 يصل الضلع الأيمن إلى حدّ المنطقة.
أ. نحسب القوّة الدافعة والتيار في مرحلة الدخول.
ب. نحدّد متى تبدأ كلّ مرحلة ومتى تنتهي.
ج. نرسم القوّة الدافعة كدالّة للزمن.
د. نحسب القوّة الخارجية اللازمة لإبقاء السرعة ثابتة أثناء الدخول.

الحل:

أ. طول الضلع داخل الحقل ℓ = a = 0.2 m:

ε = B·ℓ·v = 0.5 · 0.2 · 2 = 0.2 V

I = εR = 0.20.5 = 0.4 A

ب. تدخل الحلقة كلّها إلى الحقل عندما يقطع الضلع الأيمن مسافة تساوي طول الضلع a؛ ويبدأ الخروج عندما يصل الضلع الأيمن إلى الحدّ الثاني بعد مسافة d = 0.5 m؛ وينتهي الخروج بعد مسافة d + a:

t₁ = av = 0.22 = 0.1 s

t₂ = dv = 0.52 = 0.25 s

t₃ = d + av = 0.72 = 0.35 s

ج. عند الدخول التيار عكس اتّجاه عقارب الساعة، أي في الاتّجاه السالب: ε = −0.2 V. بين t₁ و t₂ لا قوّة دافعة. عند الخروج التيار مع اتّجاه عقارب الساعة: ε = +0.2 V.

القوّة الدافعة المستحثة كدالّة للزمن (الموجب — مع عقارب الساعة)

د. على الضلع الأيمن تؤثّر قوّة مغناطيسية نحو اليسار تعاكس الحركة، ولإبقاء السرعة ثابتة يجب أن تساويها القوّة الخارجية:

F = B·I·ℓ = 0.5 · 0.4 · 0.2 = 0.04 N

ε = 0.2 V , I = 0.4 A , F = 0.04 N

سؤال 6.2: في المثال 5.3 نضاعف سرعة الحلقة إلى 4 m/s. ما هي القوّة الدافعة في مرحلة الدخول، وكم تدوم كلّ واحدة من المراحل الثلاث؟

التدفّق المغناطيسي – שטף מגנטי:

رأينا أنّ تيارا يسري في الحلقة فقط عندما يتغيّر «مقدار الحقل» الذي يعبرها: عند الدخول يزداد الجزء من مساحة الحلقة الموجود في الحقل، وعند الخروج يقلّ، وعندما تكون الحلقة كلّها في الحقل لا يتغيّر شيء. لكي نصوغ هذه الفكرة بدقّة نعرّف مقدارا جديدا.

التدفّق المغناطيسي (שטף מגנטי): التدفّق المغناطيسي Φ عبر سطح مستوٍ مساحته A، موجود في حقل مغناطيسي متجانس B، هو حاصل ضرب شدّة الحقل بالمساحة وبجيب تمام الزاوية θ بين الحقل والعمود على السطح (האנך למשטח). التدفّق مقدار عددي وليس متّجها، ويمكن تصوّره كمقياس لعدد خطوط الحقل التي تعبر السطح.

التدفّق المغناطيسي · שטף מגנטי

Φ = B·A·cos θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Φ	التدفّق المغناطيسي عبر السطح	[Wb]
B	شدّة الحقل المغناطيسي المتجانس	[T]
A	مساحة السطح	[m²]
θ	الزاوية بين الحقل والعمود على السطح	[°]

وحدة التدفّق هي الويبر (ובר): 1 Wb = 1 T·m². المقدار A·cos θ هو مساحة إسقاط السطح على مستوى عمودي على الحقل — «المساحة الفعّالة» التي تعترض خطوط الحقل. كلّما مال السطح أكثر عن الوضع العمودي على الحقل، قلّ عدد خطوط الحقل التي تعبره.

منظر جانبي: السطح الذي مساحته A يظهر كخطّ، والعمود عليه n يصنع زاوية θ مع الحقل B

نميّز ثلاث حالات:

الحقل عمودي على السطح، أي موازٍ للعمود (θ = 0): التدفّق أكبر ما يمكن، Φ = B·A.
الحقل مائل عن العمود بزاوية θ: Φ = B·A·cos θ، وهو أصغر من B·A.
الحقل موازٍ للسطح (θ = 90°): لا تعبر السطح أيّ خطوط حقل، و Φ = 0.

الحقل عمودي على السطح: Φ = B·A

العمود مائل عن الحقل بزاوية 60°: Φ = 12·B·A

الحقل موازٍ للسطح: Φ = 0

انتبهوا: الزاوية θ في الصيغة هي الزاوية بين الحقل والعمود على السطح، وليست الزاوية بين الحقل والسطح نفسه. إذا أُعطيت الزاوية α بين الحقل ومستوى السطح فإنّ θ = 90° − α.

ملاحظة: إشارة التدفّق: نختار جهة للعمود على السطح. إذا كان الحقل في جهة العمود فالتدفّق موجب، وإذا كان في الجهة المعاكسة (θ > 90°) فالتدفّق سالب. قلب الحلقة نصف دورة يغيّر التدفّق من +B·A إلى −B·A، أي أنّ مقدار التغيّر 2·B·A. في ملفّ فيه N لفّة يعبر التدفّق نفسه كلّ لفّة، ونتحدّث دائما عن التدفّق Φ عبر لفّة واحدة.

مثال 6.4

حلقة مستطيلة أبعادها 30 cm × 20 cm موجودة في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.4 T. نحسب التدفّق عبر الحلقة عندما تكون الزاوية بين الحقل والعمود على سطحها:
أ. 0°
ب. 60°
ج. 90°
د. 180°.

الحل:

مساحة الحلقة بالمتر المربّع:

A = 0.3 · 0.2 = 0.06 m²

Φ_a = B·A·cos 0° = 0.4 · 0.06 · 1 = 0.024 Wb

Φ_b = 0.4 · 0.06 · cos 60° = 0.012 Wb

Φ_c = 0.4 · 0.06 · cos 90° = 0

Φ_d = 0.4 · 0.06 · cos 180° = −0.024 Wb

في الحالة د الحلقة مقلوبة: خطوط الحقل تعبرها من الجهة الأخرى، والتدفّق سالب.

Φ = 0.024 Wb , 0.012 Wb , 0 , −0.024 Wb

سؤال 6.3: ملفّ دائري نصف قطره 5 cm وفيه 50 لفّة موجود في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.2 T. خطوط الحقل تصنع زاوية 30° مع مستوى الملفّ. احسبوا التدفّق عبر لفّة واحدة.

قانون فاراداي – חוק פארדיי:

نعيد تجربة فاراداي: ملفّ موصول بـغلفانومتر — أميتر حسّاس صفره في وسط التدريج — ومغناطيس مستقيم.

تجربة فاراداي: عندما يتحرّك المغناطيس بالنسبة إلى الملفّ ينحرف مؤشّر الغلفانومتر

المغناطيس ساكن، داخل الملفّ أو خارجه: مؤشّر الغلفانومتر على الصفر.
نقرّب المغناطيس من الملفّ: ينحرف المؤشّر إلى جهة ما — يسري تيار مستحث.
نُبعد المغناطيس: ينحرف المؤشّر إلى الجهة المعاكسة.
نحرّك المغناطيس بسرعة أكبر: الانحراف أكبر.
نستعمل ملفّا عدد لفّاته أكبر: الانحراف أكبر.
نُبقي المغناطيس ساكنا ونحرّك الملفّ نحوه: النتيجة نفسها — المهمّ هو الحركة النسبية.

في كلّ الحالات التي يسري فيها تيار يتغيّر التدفّق المغناطيسي عبر الملفّ، وكلّما كان التغيّر أسرع كانت القوّة الدافعة أكبر. هذه هي خلاصة قانون فاراداي:

قانون فاراداي (חוק פארדיי): القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة في ملفّ تساوي عدد لفّاته (מספר כריכות) مضروبا في معدّل تغيّر التدفّق المغناطيسي عبر لفّة واحدة، بإشارة سالبة.

قانون فاراداي · חוק פארדיי

ε = −N·ΔΦΔt

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ε	القوّة الدافعة المستحثة المتوسّطة في الفترة Δt	[V]
N	عدد لفّات الملفّ	—
ΔΦ	التغيّر في التدفّق عبر لفّة واحدة، ΔΦ = Φ₂ − Φ₁	[Wb]
Δt	الفترة الزمنية التي حدث فيها التغيّر	[s]

معنى الإشارة السالبة: القوّة الدافعة المستحثة تعمل في الاتّجاه الذي يعاكس التغيّر في التدفّق. هذا هو قانون لينز، وسنتعلّمه بالتفصيل في هذا البند. عندما نحسب المقدار فقط نهمل الإشارة.
المتوسّط واللحظي: معدّل التغيّر ΔΦΔt في فترة زمنية يعطي القوّة الدافعة المتوسّطة في هذه الفترة. لكي نحصل على القوّة الدافعة في لحظة معيّنة نقرأ ميل المماسّ للرسم البياني للتدفّق كدالّة للزمن في تلك اللحظة: القوّة الدافعة اللحظية تساوي −N مضروبا في ميل المماسّ. إذا كان الرسم البياني خطّا مستقيما فالميل ثابت، والقوّة الدافعة ثابتة.
الوحدات: 1 Wb1 s = 1 T·m²1 s = 1 V.

التدفّق Φ = B·A·cos θ يتغيّر عندما يتغيّر واحد على الأقلّ من عوامله الثلاثة:

شدّة الحقل B: نقرّب مغناطيسا أو نبعده، أو نغيّر التيار في ملفّ مجاور.
المساحة A الموجودة في الحقل: حلقة تدخل الحقل أو تخرج منه، أو قضيب ينزلق على سكّتين موصلتين.
الزاوية θ: ملفّ يدور في الحقل — وهذا مبدأ المولّد الذي نتعلّمه في بند التطبيقات التكنولوجية.

مثال 6.5

ملفّ فيه 150 لفّة، مساحة كلّ لفّة 0.02 m²، موجود في حقل مغناطيسي متجانس عمودي على مستوى اللفّات. تزداد شدّة الحقل بانتظام من 0.1 T إلى 0.5 T خلال 0.2 s. طرفا الملفّ موصولان معا، والمقاومة الكلّية للملفّ 3 Ω. نحسب:
أ. التغيّر في التدفّق عبر لفّة واحدة.
ب. القوّة الدافعة المستحثة.
ج. التيار المستحث والشحنة التي مرّت في الملفّ.

الحل:

أ. الحقل عمودي على اللفّات، θ = 0:

Φ₁ = B₁·A = 0.1 · 0.02 = 0.002 Wb

Φ₂ = B₂·A = 0.5 · 0.02 = 0.01 Wb

ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = 0.008 Wb

ب. حسب قانون فاراداي:

ε = −N·ΔΦΔt = −150 · 0.0080.2 = −6 V

الإشارة السالبة تتعلّق بالاتّجاه؛ مقدار القوّة الدافعة 6 V.

ج. حسب قانون أوم، والشحنة التي مرّت هي التيار مضروبا في الزمن:

I = εR = 63 = 2 A

Δq = I·Δt = 2 · 0.2 = 0.4 C

نلاحظ أنّ Δq = N·ΔΦR = 150 · 0.0083 = 0.4 C: الشحنة التي تمرّ في الملفّ لا تتعلّق بسرعة التغيّر، بل بالتغيّر في التدفّق وبالمقاومة فقط.

ε = 6 V , I = 2 A , Δq = 0.4 C

مثال 6.6

يبيّن الرسم البياني التدفّق عبر كلّ لفّة من لفّات ملفّ فيه 100 لفّة كدالّة للزمن. نجد القوّة الدافعة المستحثة في كلّ فترة، ونرسمها كدالّة للزمن.

الحل:

في كلّ فترة الرسم البياني خطّ مستقيم، فالقوّة الدافعة ثابتة وتساوي −N مضروبا في الميل:

ε₁ = −100 · 6·10⁻³ − 02 − 0 = −0.3 V

ε₂ = −100 · 6·10⁻³ − 6·10⁻³4 − 2 = 0

ε₃ = −100 · −6·10⁻³ − 6·10⁻³6 − 4 = +0.6 V

القوّة الدافعة المستحثة كدالّة للزمن

في اللحظة t = 5 s التدفّق صفر، ومع ذلك القوّة الدافعة 0.6 V: القوّة الدافعة تتعلّق بميل الرسم البياني وليس بقيمة التدفّق. وبين 2 s و 4 s التدفّق أكبر ما يمكن لكنّه ثابت، فالقوّة الدافعة صفر.

ε₁ = −0.3 V , ε₂ = 0 , ε₃ = +0.6 V

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ تدفّقا مغناطيسيا كبيرا يعني قوّة دافعة مستحثة كبيرة. الصحيح أنّ القوّة الدافعة تتعلّق بمعدّل تغيّر التدفّق فقط، لا بمقدار التدفّق نفسه: تدفّق كبير جدّا لكنّه ثابت لا يحثّ شيئا (ΔΦ = 0)، وتدفّق صغير يتغيّر بسرعة يحثّ قوّة دافعة كبيرة. في الرسم البياني للتدفّق المهمّ هو الميل، لا ارتفاع المنحنى — كما رأينا في المثال الأخير.

مثال 6.7

التدفّق عبر كلّ لفّة في ملفّ فيه 50 لفّة يتغيّر كما في الرسم البياني. رُسم المماسّ للمنحنى في اللحظة t = 2 s، وهو يمرّ بالنقطتين (1 s, 0) و (3 s, 12 mWb). نجد:
أ. القوّة الدافعة اللحظية في t = 2 s.
ب. القوّة الدافعة المتوسّطة بين t = 0 و t = 2 s.

الحل:

أ. ميل المماسّ:

ΔΦΔt = 12·10⁻³ − 03 − 1 = 6·10⁻³ Wb/s

ε = −N·ΔΦΔt = −50 · 6·10⁻³ = −0.3 V

ب. نقرأ من الرسم: Φ(0) = 0 و Φ(2 s) = 6 mWb:

ε_avg = −50 · 6·10⁻³ − 02 − 0 = −0.15 V

القوّة الدافعة المتوسّطة أصغر من اللحظية في t = 2 s، لأنّ المنحنى يزداد انحدارا مع الزمن.

ε(2 s) = −0.3 V , ε_avg = −0.15 V

قانون فاراداي والقضيب المتحرّك. قضيب طوله ℓ ينزلق بسرعة v على سكّتين موصلتين فيغلق معهما حلقة. في فترة Δt يقطع القضيب مسافة v·Δt، فتزداد مساحة الحلقة بـ ΔA = ℓ·v·Δt ويزداد التدفّق بـ ΔΦ = B·ℓ·v·Δt. حسب قانون فاراداي، للفّة واحدة:

ε = ΔΦΔt = B·ℓ·v·ΔtΔt = B·ℓ·v

حصلنا على النتيجة نفسها التي استنتجناها من قوّة لورنتس: قانون فاراداي يشمل الحالتين. ونعود إلى المثال 5.3: عند الدخول يزداد التدفّق من الصفر إلى B·a² = 0.02 Wb خلال 0.1 s، فحسب قانون فاراداي ε = −0.020.1 = −0.2 V — المقدار والإشارة نفساهما اللذان حصلنا عليهما هناك. السبب أنّنا اخترنا الاتّجاه الموجب للدوران (مع عقارب الساعة) مرتبطا بقاعدة اليد اليمنى بجهة العمود على الحلقة (إلى داخل الصفحة، جهة الحقل): الإبهام في جهة العمود، والأصابع المنحنية تحدّد الاتّجاه الموجب. بهذا الاختيار تعطي إشارة السالب في قانون فاراداي الاتّجاه مباشرة.

التدفّق عبر الحلقة في المثال 5.3 كدالّة للزمن: الميل موجب عند الدخول، صفر في الوسط، وسالب عند الخروج

سؤال 6.4: ملفّ فيه 400 لفّة، مساحة كلّ لفّة 25 cm²، موجود في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.6 T عمودي على مستوى اللفّات. يتلاشى الحقل بانتظام خلال 0.05 s. احسبوا مقدار القوّة الدافعة المستحثة.

القوّة الدافعة المستحثة في حلقة نتيجة تغيّر الحقل مع الزمن – כא"מ בלולאה כתוצאה משינוי השדה בזמן:

في الحالات السابقة كان الموصل يتحرّك، وفسّرنا القوّة الدافعة بقوّة لورنتس على الشحنات المتحرّكة معه. لكنّ قانون فاراداي يتنبّأ بقوّة دافعة أيضا في حلقة ساكنة تماما، إذا تغيّرت شدّة الحقل الذي يعبرها: مثلا عندما نزيد التيار في ملفّ حلزوني مجاور، أو نقرّب منها مغناطيسا. والتجربة تؤكّد ذلك.

هنا لا يمكن أن تكون قوّة لورنتس هي السبب: الشحنات في الحلقة الساكنة لا تتحرّك، والقوّة المغناطيسية على شحنة ساكنة صفر. التفسير هو أنّ الحقل المغناطيسي المتغيّر يُنشئ حوله حقلا كهربائيا. خطوط هذا الحقل الكهربائي المستحث مغلقة — دوائر حول منطقة التغيّر — وليست خطوطا تبدأ عند شحنة موجبة وتنتهي عند شحنة سالبة كما في الحقل الكهروستاتيكي. هذا الحقل يدفع الشحنات الحرّة على طول الحلقة، والشغل الذي يبذله على شحنة تدور دورة كاملة، مقسوما على الشحنة، هو القوّة الدافعة المستحثة. سنعود إلى هذه الفكرة في معادلات ماكسويل.

حقل مغناطيسي إلى داخل الصفحة يزداد، فيُنشئ حقلا كهربائيا مستحثا E خطوطه دوائر مغلقة. اتّجاه هذه الدوائر — واتّجاه التيار في الحلقة — يحدّده قانون لينز الذي نتعلّمه بعد قليل

في حلقة ساكنة مساحتها ثابتة A وعمودية على الحقل، التغيّر في التدفّق ناتج فقط عن التغيّر في الحقل، ΔΦ = A·ΔB، ولذلك:

ε = −N·A·ΔBΔt

مثال 6.8

حلقة دائرية نصف قطرها 10 cm ومقاومتها 0.2 Ω ساكنة في حقل مغناطيسي متجانس عمودي على مستواها ومتّجه إلى داخل الصفحة. شدّة الحقل تتغيّر مع الزمن كما في الرسم البياني. نحسب القوّة الدافعة والتيار في كلّ فترة، ونرسم القوّة الدافعة كدالّة للزمن (الموجب — مع عقارب الساعة).

الحل:

مساحة الحلقة:

A = π·r² = π · 0.1² = 0.0314 m²

الفترة الأولى، من 0 إلى 0.8 s:

ΔBΔt = 0.4 − 00.8 − 0 = 0.5 T/s

ε₁ = −A·ΔBΔt = −0.0314 · 0.5 = −0.0157 V

I₁ = ε₁R = −0.01570.2 = −0.0785 A

الفترة الثانية، من 0.8 s إلى 1.4 s: الحقل ثابت، فلا قوّة دافعة ولا تيار.

الفترة الثالثة، من 1.4 s إلى 1.6 s:

ΔBΔt = 0 − 0.41.6 − 1.4 = −2 T/s

ε₃ = −0.0314 · (−2) = +0.0628 V

I₃ = 0.06280.2 = +0.3142 A

القوّة الدافعة المستحثة في الحلقة كدالّة للزمن

التيار في الفترة الثالثة أكبر بأربع مرّات منه في الأولى، ومعاكس له في الاتّجاه: الحقل يقلّ أسرع بأربع مرّات ممّا ازداد.

ε₁ = −15.7 mV , ε₂ = 0 , ε₃ = +62.8 mV

سؤال 6.5: ملفّ مربّع فيه 20 لفّة وطول ضلعه 10 cm، مستواه عمودي على حقل مغناطيسي متجانس. خلال 0.1 s يتغيّر الحقل بانتظام من 0.2 T في اتّجاه معيّن إلى 0.2 T في الاتّجاه المعاكس (الرسم). احسبوا مقدار القوّة الدافعة المستحثة. (ما هو ΔB؟)

▶تجربة حية — التدفّق وقانون فاراداينغيّر شدّة الحقل، أو مساحة الملفّ، أو نديره، أو نحرّك قضيبا في الحقل، ونتابع معا الرسم البياني للتدفّق وميله والقوّة الدافعة المستحثة.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#faraday

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#faraday

قانون لينز وتحديد اتّجاه التيار المستحث – חוק לנץ וקביעת כיוון הזרם המושרה:

قانون فاراداي يعطينا مقدار القوّة الدافعة المستحثة. أمّا اتّجاهها — واتّجاه التيار المستحث — فيحدّده قانون صاغه هاينريش لينز سنة 1834:

قانون لينز (חוק לנץ): التيار المستحث يسري دائما في الاتّجاه الذي يُنشئ فيه حقلا مغناطيسيا يعاكس التغيّر في التدفّق المغناطيسي الذي أنشأه. إذا ازداد التدفّق فالحقل المستحث معاكس للحقل الخارجي؛ وإذا قلّ التدفّق فالحقل المستحث في اتّجاه الحقل الخارجي، ويحاول الحافظة عليه.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ التيار المستحث يعاكس دائما الحقل الخارجي، «لأنّ هذا ما يقوله قانون لينز». الصحيح أنّ التيار المستحث يعاكس التغيّر في التدفّق، لا الحقل نفسه: عندما يزداد التدفّق يكون الحقل المستحث فعلا معاكسا للحقل الخارجي، لكن عندما يقلّ التدفّق يسري التيار المستحث في اتّجاه يقوّي الحقل الخارجي ويحاول الحفاظ عليه.

لتحديد الاتّجاه نتبع في كلّ سؤال سلسلة لينز ذات الخطوات الأربع:

التدفّق: ما اتّجاه الحقل الخارجي عبر الحلقة؟ وهل التدفّق يزداد أم يقلّ؟
الحقل المستحث: إذا ازداد التدفّق — الحقل المستحث داخل الحلقة معاكس للحقل الخارجي؛ إذا قلّ — في اتّجاهه.
قاعدة اليد اليمنى: نوجّه إبهام اليد اليمنى في اتّجاه الحقل المستحث داخل الحلقة؛ الأصابع المنحنية تشير إلى اتّجاه التيار المستحث.
الفحص: الحلقة التي يسري فيها التيار تتصرّف كمغناطيس. نتحقّق من أنّ القوّة بينها وبين المغناطيس — أو قوّة الحقل على الضلع المتحرّك — تعاكس الحركة.

الحقل ⊗ يزداد: الحقل المستحث ⊙ والتيار عكس اتّجاه عقارب الساعة

الحقل ⊗ يقلّ: الحقل المستحث ⊗ والتيار مع اتّجاه عقارب الساعة

ملاحظة: الإشارة السالبة في قانون فاراداي هي قانون لينز مكتوبا بلغة الرياضيات: إذا ازداد التدفّق (ΔΦ > 0) تكون القوّة الدافعة سالبة، أي تعمل في الاتّجاه المعاكس للاتّجاه الموجب المرتبط بالحقل — وهذا بالضبط ما تقوله سلسلة لينز.

مثال 6.9

نقرّب القطب الشمالي لمغناطيس من حلقة موصلة. نحدّد اتّجاه التيار المستحث في الحلقة بالنظر من جهة المغناطيس، والقطب الذي ينشأ في وجه الحلقة القريب من المغناطيس. ثمّ نكرّر عندما نُبعد المغناطيس.

الحل:

الاقتراب. 1. خطوط الحقل تخرج من القطب الشمالي، فالحقل الخارجي عبر الحلقة متّجه من المغناطيس نحو الحلقة. المغناطيس يقترب، والحقل عند الحلقة يقوى: التدفّق يزداد.

2. الحقل المستحث يعاكس الزيادة: داخل الحلقة يتّجه نحو المغناطيس.

3. بالنظر من جهة المغناطيس الحقل المستحث يتّجه نحونا (⊙). نوجّه الإبهام نحونا فتنحني الأصابع عكس اتّجاه عقارب الساعة: التيار المستحث عكس اتّجاه عقارب الساعة بالنظر من جهة المغناطيس.

4. الحقل المستحث يخرج من وجه الحلقة القريب من المغناطيس، فهذا الوجه قطب شمالي. قطبان شماليان يتنافران: الحلقة تدفع المغناطيس وتعاكس اقترابه.

الاقتراب: الحقل الخارجي (بنفسجي) يزداد، والحقل المستحث (برتقالي) يعاكسه

الابتعاد. التدفّق يقلّ، فالحقل المستحث في اتّجاه الحقل الخارجي (مبتعدا عنّا، ⊗)، والتيار مع اتّجاه عقارب الساعة بالنظر من جهة المغناطيس، والوجه القريب قطب جنوبي يجذب المغناطيس — ومرّة أخرى القوّة تعاكس الحركة.

الابتعاد: الحقل الخارجي يقلّ، والحقل المستحث في اتّجاهه

الحركة	التدفّق	التيار بالنظر من جهة المغناطيس	قطب الوجه القريب	القوّة على المغناطيس
القطب شمالي يقترب	يزداد	عكس اتّجاه عقارب الساعة	شمالي	تنافر: الحلقة تدفع المغناطيس
القطب شمالي يبتعد	يقلّ	مع اتّجاه عقارب الساعة	جنوبي	تجاذب: الحلقة تجذب المغناطيس
القطب جنوبي يقترب	يزداد	مع اتّجاه عقارب الساعة	جنوبي	تنافر: الحلقة تدفع المغناطيس
القطب جنوبي يبتعد	يقلّ	عكس اتّجاه عقارب الساعة	شمالي	تجاذب: الحلقة تجذب المغناطيس

في الحالات الأربع القوّة تعاكس الحركة: عند الاقتراب تنافر، وعند الابتعاد تجاذب.

مثال 6.10

نحدّد بقانون لينز اتّجاه التيار في الحلقة في المثال 5.8، في الفترة الأولى وفي الفترة الثالثة، ونقارن مع إشارة القوّة الدافعة التي حصلنا عليها هناك.

الحل:

الفترة الأولى: الحقل إلى داخل الصفحة يزداد ← الحقل المستحث إلى خارج الصفحة ← الإبهام نحونا، والتيار عكس اتّجاه عقارب الساعة. هذا هو الاتّجاه السالب، ويتّفق مع ε₁ = −15.7 mV.

الفترة الثالثة: الحقل إلى داخل الصفحة يقلّ ← الحقل المستحث إلى داخل الصفحة ← التيار مع اتّجاه عقارب الساعة، ويتّفق مع ε₃ = +62.8 mV.

الطريقتان — سلسلة لينز وإشارة السالب في قانون فاراداي — تعطيان دائما الاتّجاه نفسه.

مثال 6.11

سلك مستقيم طويل يسري فيه تيار I نحو اليمين، وتحته في مستوى الصفحة حلقة موصلة مستطيلة (الرسم). نحدّد اتّجاه التيار المستحث في الحلقة عندما:
أ. يزداد التيار في السلك.
ب. التيار ثابت، والحلقة تبتعد عن السلك نحو الأسفل.
ج. التيار ثابت، والحلقة تتحرّك نحو اليمين موازية للسلك.

الحل:

الحقل حول السلك (الفصل 5): بقاعدة اليد اليمنى — الإبهام في اتّجاه التيار — الحقل تحت السلك متّجه إلى داخل الصفحة، وشدّته B = μ₀·I2π·r تقلّ كلّما ابتعدنا عن السلك (رموز أصغر في الرسم).

أ. التيار يزداد ← الحقل إلى داخل الصفحة يقوى ← التدفّق يزداد ← الحقل المستحث إلى خارج الصفحة ← التيار المستحث عكس اتّجاه عقارب الساعة.

ب. الحلقة تنتقل إلى منطقة حقلها أضعف ← التدفّق إلى داخل الصفحة يقلّ ← الحقل المستحث إلى داخل الصفحة ← التيار المستحث مع اتّجاه عقارب الساعة.

أ. التيار في السلك يزداد

ب. الحلقة تبتعد عن السلك

ج. الحلقة تتحرّك موازية للسلك فتبقى على البعد نفسه منه ← التدفّق لا يتغيّر ← لا يسري تيار مستحث.

سؤال 6.6: ملفّ حلزوني عمودي ملفوف حول قلب حديدي، وعلى طرفه العلوي حلقة ألمنيوم خفيفة تحيط بالقلب (الرسم). نغلق المفتاح فيبدأ تيار مستمرّ بالسريان في الملفّ.
أ. ما اتّجاه التيار المستحث في الحلقة بالنسبة إلى اتّجاه التيار في لفّات الملفّ، لحظة إغلاق المفتاح؟
ب. لماذا تقفز الحلقة إلى أعلى؟
ج. هل تبقى الحلقة مرفوعة بعد أن يصبح التيار في الملفّ ثابتا؟

سؤال 6.7: حلقة مربّعة تُسحب نحو اليمين وتخرج من منطقة فيها حقل مغناطيسي متجانس إلى خارج الصفحة (الرسم). ما اتّجاه التيار المستحث في الحلقة؟ ما اتّجاه محصّلة القوى المغناطيسية على الحلقة؟

قانون لينز نتيجة لحفظ الطاقة – חוק לנץ כנובע משימור אנרגיה:

لماذا يعاكس التيار المستحث التغيّر ولا يساعده؟ لنفرض العكس: مغناطيس يقترب من حلقة، والتيار المستحث يُنشئ في الوجه القريب قطبا جنوبيا يجذب المغناطيس. عندئذ يتسارع المغناطيس من تلقاء نفسه، فيزداد معدّل تغيّر التدفّق، فيزداد التيار، فتزداد قوّة الجذب أكثر، وهكذا بلا نهاية. كنّا سنحصل على طاقة حركية متزايدة، وعلى طاقة كهربائية تتحوّل إلى حرارة في الحلقة — بدون أن يبذل أحد أيّ شغل. هذا يناقض قانون حفظ الطاقة.

إذن يجب أن يعاكس التيار المستحث الحركة: من يحرّك المغناطيس يبذل شغلا ضدّ القوّة المعاكسة، وهذا الشغل هو مصدر الطاقة الكهربائية في الحلقة. قانون لينز هو صورة قانون حفظ الطاقة في الحثّ الكهرومغناطيسي. نفحص ذلك كمّيا في منظومة بسيطة.

قضيب ينزلق على سكّتين. قضيب معدني طوله ℓ ينزلق بدون احتكاك على سكّتين أفقيتين موصلتين، وطرفا السكّتين موصولان بمقاوِم مقاومته R. المنظومة في حقل مغناطيسي متجانس B إلى داخل الصفحة، عمودي على مستوى السكّتين. نسحب القضيب بقوّة خارجية F_ext بحيث يتحرّك بسرعة ثابتة v نحو اليمين. نهمل مقاومة القضيب والسكّتين.

قضيب يُسحب على سكّتين في حقل إلى داخل الصفحة: التيار المستحث عكس اتّجاه عقارب الساعة، وقوّة الحقل على القضيب F_B تعاكس السرعة

1. القوّة الدافعة والتيار:

ε = B·ℓ·v

I = εR = B·ℓ·vR

2. الاتّجاه: المساحة المحصورة في الدائرة تزداد، فالتدفّق إلى داخل الصفحة يزداد؛ الحقل المستحث إلى خارج الصفحة؛ والتيار في الدائرة عكس اتّجاه عقارب الساعة — في القضيب نحو الأعلى وفي المقاوِم نحو الأسفل. هذه هي النتيجة نفسها التي نحصل عليها من قوّة لورنتس على الشحنات في القضيب.

3. قوّة الكبح: على القضيب الذي يسري فيه التيار تؤثّر قوّة مغناطيسية F_B = B·I·ℓ. بقاعدة اليد اليمنى — التيار نحو الأعلى والحقل إلى داخل الصفحة — تتّجه القوّة نحو اليسار، بعكس السرعة. لذلك نسمّيها قوّة الكبح (כוח בולם):

F_B = B·I·ℓ = B²·ℓ²·vR

4. سرعة ثابتة: حسب قانون نيوتن الأوّل، لكي يتحرّك القضيب بسرعة ثابتة يجب أن تكون محصّلة القوى عليه صفرا: F_ext = F_B.

5. ميزان القدرات: نقارن القدرة التي تبذلها القوّة الخارجية (القدرة الميكانيكية) بالقدرة الكهربائية التي تتحوّل إلى حرارة في المقاوِم:

P_mech = F_ext·v = B²·ℓ²·v²R

P_el = I²·R = (B·ℓ·vR)²·R = B²·ℓ²·v²R

القدرتان متساويتان تماما: كلّ جول من الشغل الذي تبذله القوّة الخارجية يتحوّل إلى جول من الطاقة الكهربائية، ومنها إلى حرارة في المقاوِم. لو كان التيار في الاتّجاه المعاكس لكانت القوّة على القضيب نحو اليمين، ولتسارع القضيب وحده بدون شغل خارجي — وهذا مستحيل.

قضيب على سكّتين في حقل متجانس · מוט על מסילות בשדה אחיד

I = B·ℓ·vR

F_B = B²·ℓ²·vR

F_ext·v = I²·R

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F_B	قوّة الكبح على القضيب، بعكس السرعة	[N]
F_ext	القوّة الخارجية اللازمة لسرعة ثابتة	[N]
R	مقاومة الدائرة	[Ω]

مثال 6.12

في المنظومة السابقة B = 0.5 T ، ℓ = 0.4 m ، R = 2 Ω، والقضيب يُسحب بسرعة ثابتة 5 m/s. نحسب القوّة الدافعة، التيار، القوّة الخارجية، القدرة الميكانيكية والقدرة الكهربائية، والطاقة التي تتحوّل إلى حرارة خلال 3 s.

الحل:

ε = B·ℓ·v = 0.5 · 0.4 · 5 = 1 V

I = εR = 12 = 0.5 A

F_ext = F_B = B·I·ℓ = 0.5 · 0.5 · 0.4 = 0.1 N

القدرتان:

P_mech = F_ext·v = 0.1 · 5 = 0.5 W

P_el = I²·R = 0.5² · 2 = 0.5 W

القدرتان متساويتان، كما يقتضي حفظ الطاقة. خلال 3 s:

E = P·t = 0.5 · 3 = 1.5 J

I = 0.5 A , F = 0.1 N , P = 0.5 W

مثال 6.13

في منظومة المثال 5.12 كتلة القضيب 0.1 kg. نؤثّر على القضيب، وهو ساكن، بقوّة خارجية ثابتة 0.2 N نحو اليمين.
أ. ما تسارع القضيب في البداية؟
ب. ما تسارعه عندما تبلغ سرعته 5 m/s؟
ج. ما هي السرعة الحدّية التي يقترب منها القضيب؟
د. نتحقّق من ميزان القدرات عند السرعة الحدّية.

الحل:

أ. في البداية v = 0، فلا قوّة دافعة ولا تيار ولا قوّة كبح:

a₀ = Fm = 0.20.1 = 2 m/s²

ب. عند 5 m/s:

F_B = B²·ℓ²·vR = 0.5² · 0.4² · 52 = 0.1 N

a = F − F_Bm = 0.2 − 0.10.1 = 1 m/s²

ج. كلّما ازدادت السرعة ازدادت قوّة الكبح وقلّ التسارع. السرعة تقترب من قيمة ثابتة — السرعة الحدّية v_t — تتساوى عندها القوّتان ويصبح التسارع صفرا:

F = B²·ℓ²·v_tR

v_t = F·RB²·ℓ² = 0.2 · 20.5² · 0.4² = 10 m/s

سرعة القضيب كدالّة للزمن: تبدأ بتسارع 2 m/s² (الخطّ المتقطّع) وتقترب من السرعة الحدّية

د. عند السرعة الحدّية:

I = B·ℓ·v_tR = 0.5 · 0.4 · 102 = 1 A

P_mech = F·v_t = 0.2 · 10 = 2 W

P_el = I²·R = 1² · 2 = 2 W

كلّ الشغل الذي تبذله القوّة الخارجية يتحوّل إلى حرارة، وطاقة القضيب الحركية لا تتغيّر بعد.

a₀ = 2 m/s² , a = 1 m/s² , v_t = 10 m/s

ملاحظة: إذا أزلنا القوّة الخارجية بعد أن يبلغ القضيب سرعته الحدّية، تبقى قوّة الكبح وحدها، فيتباطأ القضيب حتى يتوقّف. طاقته الحركية 12·m·v_t² = 12 · 0.1 · 10² = 5 J تتحوّل كلّها إلى حرارة في المقاوِم.

سؤال 6.8: قضيب طوله 0.5 m يُسحب بسرعة ثابتة 2 m/s على سكّتين موصولتين بمقاوِم 5 Ω، في حقل متجانس شدّته 0.6 T عمودي على مستوى السكّتين. احسبوا التيار، القوّة الخارجية اللازمة، وكمّية الحرارة التي تنشأ في المقاوِم خلال 10 s.

مغناطيس يسقط في أنبوب ألمنيوم. الألمنيوم ليس مادّة مغناطيسية، والمغناطيس لا ينجذب إليه. مع ذلك، إذا أسقطنا مغناطيسا قويّا داخل أنبوب ألمنيوم عمودي فإنّه يسقط ببطء شديد، أبطأ بكثير من قطعة حديد غير ممغنطة بالحجم نفسه. نفسّر ذلك بقانون لينز: يمكن النظر إلى جدار الأنبوب كسلسلة من الحلقات الموصلة، الواحدة فوق الأخرى.

مغناطيس يسقط في أنبوب ألمنيوم: الحلقات تحته تدفعه، والحلقات فوقه تجذبه

تحت المغناطيس (قطبه الشمالي إلى الأسفل): المغناطيس يقترب من الحلقات، التدفّق عبرها يزداد، والتيار المستحث يُنشئ في وجهها العلوي قطبا شماليا — مماثلا للقطب السفلي للمغناطيس — فتدفعه إلى أعلى.
فوق المغناطيس: المغناطيس يبتعد، التدفّق يقلّ، والتيار المستحث يُنشئ في وجهها السفلي قطبا شماليا — معاكسا للقطب العلوي الجنوبي للمغناطيس — فتجذبه إلى أعلى.
في الحالتين القوّة على المغناطيس نحو الأعلى، بعكس حركته. كلّما ازدادت سرعته ازدادت التيارات المستحثة وقوّة الكبح، حتى تساوي الوزن؛ عندئذ يسقط المغناطيس بسرعة حدّية ثابتة.

الطاقة: طاقة الثقل الوضعية للمغناطيس لا تتحوّل إلى طاقة حركية، بل إلى حرارة في جدار الأنبوب، بواسطة التيارات المستحثة التي تدور فيه. تسمّى التيارات المستحثة في قطعة معدن كاملة التيارات الدوّامية (זרמי ערבולת). إذا شققنا الأنبوب على طوله فإنّ التيارات لا تستطيع أن تدور حوله، ويسقط المغناطيس أسرع بكثير.

تطبيق: الكبح المغناطيسي يُستعمل في قطارات سريعة وفي ألعاب الملاهي: صفائح معدنية تتحرّك بين مغناطيسات قويّة، فتنشأ فيها تيارات دوّامية تكبحها بدون احتكاك وبدون تآكل. وكلّما كانت السرعة أكبر كان الكبح أقوى.

▶تجربة حية — قانون لينزنقرّب مغناطيسا من ملفّ ونبعده، ونتابع سلسلة لينز خطوة بعد خطوة: التدفّق، الحقل المستحث، اتّجاه التيار والقطب الناشئ. وفي وضع الأنبوب الموصل نقارن سقوط مغناطيس بسقوط جسم غير ممغنط، ونتابع الشغل والطاقة الكهربائية.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#lenz

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#lenz

יישומים טכנולוגיים – تطبيقات تكنولوجية (Technological Applications)

الحثّ الكهرومغناطيسي ليس ظاهرة مخبرية فقط: كلّ الكهرباء التي تصل إلى بيوتنا تقريبا تنتجها مولّدات تعمل بقانون فاراداي، وتمرّ في طريقها بمحوّلات تعمل بالقانون نفسه. في هذا البند نتعرّف على المولّد وعلى التيار المتناوب الذي ينتجه، على القيم الفعّالة، على المحوّل المثالي، وعلى طريقة نقل الطاقة الكهربائية إلى مسافات بعيدة.

المولّد: القوّة الدافعة المستحثة في ملفّ يدور في حقل مغناطيسي – גנרטור: הכא"מ המושרה בסליל המסתובב בשדה:

المولّد (גנרטור) في أبسط صوره هو ملفّ مستطيل فيه N لفّة، مساحة كلّ منها A، يدور بسرعة زاوية ثابتة ω حول محور يقع في مستواه وعمودي على حقل مغناطيسي متجانس B. الزاوية بين العمود على الملفّ والحقل تتغيّر بانتظام مع الزمن؛ إذا كان العمود موازيا للحقل في اللحظة t = 0 فإنّ θ = ω·t. لذلك يتغيّر التدفّق عبر كلّ لفّة باستمرار:

Φ = B·A·cos(ω·t)

مولّد بسيط في منظر من طرف المحور: الملفّ (الخطّ) يدور عكس اتّجاه عقارب الساعة، والعمود عليه n يصنع الزاوية θ = ω·t مع الحقل. الرمزان ⊙ و ⊗ في طرفَي الخطّ هما الضلعان الطويلان، وفيهما اتّجاه التيار المستحث

نحسب القوّة الدافعة بما تعلّمناه عن القضيب المتحرّك. الضلعان الموازيان لمحور الدوران طول كلّ منهما ℓ، والضلعان الآخران طولهما w، فمساحة اللفّة A = ℓ·w. كلّ ضلع طوله ℓ يتحرّك على دائرة نصف قطرها w2 بسرعة v = ω·w2. مركّبة السرعة العمودية على الحقل فقط تُسهم، ومقدارها v·sin(ω·t): عندما يكون مستوى الملفّ عموديا على الحقل (θ = 0) يتحرّك الضلعان موازيين للحقل ولا تنشأ قوّة دافعة؛ وعندما يكون مستوى الملفّ موازيا للحقل (θ = 90°) يقطع الضلعان خطوط الحقل عموديا، والقوّة الدافعة أكبر ما يمكن. في الرسم الضلعان يتحرّكان في اتّجاهين متعاكسين، فالتيار في أحدهما خارج من الصفحة وفي الآخر داخل إليها — وهذا يعني أنّ القوّتين الدافعتين تعملان في الاتّجاه نفسه حول اللفّة، فتُجمعان:

ε₁ = 2·B·ℓ·(ω·w2)·sin(ω·t) = B·A·ω·sin(ω·t)

وفي N لفّة موصولة على التوالي تُجمع القوى الدافعة لكلّ اللفّات:

القوّة الدافعة في المولّد · כא"מ בגנרטור

ε = N·B·A·ω·sin(ω·t)

ε_max = N·B·A·ω

ω = 2π·f = 2πT

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ε	القوّة الدافعة اللحظية	[V]
ε_max	القيمة العظمى للقوّة الدافعة	[V]
ω	السرعة الزاوية لدوران الملفّ	[rad/s]
f	تردّد الدوران، وهو أيضا تردّد الجهد	[Hz]

القوّة الدافعة تتغيّر كدالّة جيبية للزمن، وتغيّر إشارتها مرّتين في كلّ دورة: في نصف دورة يدفع المولّد التيار في الدائرة في اتّجاه، وفي النصف الثاني في الاتّجاه المعاكس. هذا هو التيار المتناوب (זרם חילופין). نقارن الرسمين البيانيين للتدفّق وللقوّة الدافعة:

التدفّق عبر لفّة (بنفسجي) والقوّة الدافعة (أحمر) في المولّد كدالّة للزمن، بمعطيات المثال التالي.

عندما يكون التدفّق أكبر ما يمكن (مستوى الملفّ عمودي على الحقل) يكون ميل منحنى التدفّق صفرا، والقوّة الدافعة صفرا.
عندما يكون التدفّق صفرا (مستوى الملفّ موازٍ للحقل) يكون ميل منحنى التدفّق أكبر ما يمكن، والقوّة الدافعة عظمى.
القوّة الدافعة هي −N مضروبا في ميل منحنى التدفّق — تماما كما يقول قانون فاراداي: حيث ينحدر Φ نحو الأسفل تكون ε موجبة.

ملاحظة: لكي يخرج التيار من الملفّ الدوّار إلى الدائرة الخارجية بدون أن تلتفّ الأسلاك، يُوصل كلّ طرف من طرفَي الملفّ بحلقة معدنية تدور معه (حلقتا الانزلاق)، وتلامس كلّ حلقة فرشاة كربونية ثابتة موصولة بالدائرة. في محطّة توليد الكهرباء يدير التوربين الملفّ — بالبخار أو بالماء أو بالرياح — فتتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة كهربائية. في المولّدات الكبيرة يدور المغناطيس الكهربائي وتبقى الملفّات ثابتة، والمبدأ نفسه: التدفّق عبر الملفّات يتغيّر.

مثال 6.14

ملفّ مولّد فيه 100 لفّة، مساحة كلّ لفّة 0.05 m²، يدور بتردّد 50 Hz في حقل مغناطيسي متجانس شدّته 0.2 T. في اللحظة t = 0 مستوى الملفّ عمودي على الحقل. نحسب:
أ. السرعة الزاوية والقيمة العظمى للقوّة الدافعة.
ب. القوّة الدافعة في اللحظة t = 2.5 ms.
ج. في أيّ لحظات خلال الدورة الأولى تكون القوّة الدافعة صفرا؟
د. ماذا يحدث للقوّة الدافعة العظمى إذا ضاعفنا تردّد الدوران؟

الحل:

ω = 2π·f = 2π · 50 = 314.2 rad/s

ε_max = N·B·A·ω = 100 · 0.2 · 0.05 · 314.2 = 314.2 V

ب. الزاوية في هذه اللحظة بالراديان:

ω·t = 314.2 · 2.5·10⁻³ = π4

ε = ε_max·sin(ω·t) = 314.2 · sin(π4) = 222.1 V

ج. sin(ω·t) = 0 عندما يكون مستوى الملفّ عموديا على الحقل: في t = 0 و t = T2 = 10 ms و t = T = 20 ms.

د. القيمة العظمى تتناسب مع ω: مضاعفة التردّد تضاعف ε_max إلى 628.3 V، ويتضاعف أيضا تردّد الجهد المتناوب.

ε_max = 314.2 V , ε(2.5 ms) = 222.1 V

سؤال 6.9: ملفّ مولّد فيه 250 لفّة، أبعاد كلّ لفّة 10 cm × 8 cm، يدور 1500 دورة في الدقيقة في حقل متجانس شدّته 0.4 T. احسبوا تردّد الجهد والقيمة العظمى للقوّة الدافعة.

الجهد والتيار الفعّالان والقدرة المتوسّطة – מתח וזרם אפקטיביים, הספק ממוצע:

نوصل مولّدا بمقاوِم R. الجهد على المقاوِم V = V₀·sin(ω·t)، حيث V₀ القيمة العظمى (ערך מרבי) للجهد، والتيار حسب قانون أوم I = I₀·sin(ω·t)، حيث I₀ = V₀R. القدرة اللحظية في المقاوِم:

P = I²·R = I₀²·R·sin²(ω·t)

القدرة موجبة دائما — المقاوِم يسخن في نصفَي الدورة — لكنّها تتذبذب بين الصفر والقيمة العظمى P₀ = I₀²·R، بتردّد ضعف تردّد الجهد. منحنى sin² متماثل حول منتصف ارتفاعه: الأجزاء التي فوق الخطّ P₀2 تملأ تماما الفجوات التي تحته. لذلك القدرة المتوسّطة هي نصف القيمة العظمى:

P_avg = 12·I₀²·R

فوق: الجهد المتناوب وقيمته الفعّالة (الخطّ الأخضر المتقطّع). تحت: القدرة اللحظية في المقاوِم، ومتوسّطها نصف قيمتها العظمى.

القيمة الفعّالة (ערך אפקטיבי): القيمة الفعّالة لتيار متناوب هي شدّة التيار المستمرّ الذي يُنتج في المقاوِم نفسه القدرة المتوسّطة نفسها. وبالمثل للجهد. المقاييس في دوائر التيار المتناوب تُظهر القيم الفعّالة.

نساوي القدرة المتوسّطة بقدرة التيار المستمرّ المكافئ: I_eff²·R = 12·I₀²·R، ومن هنا:

القيم الفعّالة والقدرة المتوسّطة · ערכים אפקטיביים והספק ממוצע

I_eff = I₀2

V_eff = V₀2

P_avg = V_eff·I_eff = I_eff²·R = V_eff²R

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I₀ , V₀	القيمة العظمى للتيار وللجهد	[A] , [V]
I_eff , V_eff	القيمة الفعّالة للتيار وللجهد	[A] , [V]
P_avg	القدرة المتوسّطة	[W]

ملاحظة: جهد شبكة الكهرباء في إسرائيل 230 V — وهذه قيمة فعّالة — وتردّده 50 Hz. القيمة العظمى للجهد في المقبس أكبر: V₀ = 2 · 230 = 325.3 V. وعندما نقول إنّ قدرة مدفأة 2000 W فالمقصود هو القدرة المتوسّطة.

مثال 6.15

غلّاية كهربائية قدرتها 2000 W موصولة بالشبكة (230 V فعّال). نحسب مقاومة عنصر التسخين، التيار الفعّال، القيمة العظمى للتيار، والقيمة العظمى للقدرة.

الحل:

R = V_eff²P_avg = 230²2000 = 26.45 Ω

I_eff = P_avgV_eff = 2000230 = 8.7 A

I₀ = 2·I_eff = 2 · 8.7 = 12.3 A

P₀ = 2·P_avg = 4000 W

R = 26.45 Ω , I_eff = 8.7 A , I₀ = 12.3 A

مثال 6.16

نوصل المولّد من المثال 5.14 بمقاوِم 50 Ω (نهمل مقاومة الملفّ). نحسب القيمة العظمى للتيار، الجهد والتيار الفعّالين، والقدرة المتوسّطة.

الحل:

مقاومة الملفّ مهملة، فالجهد على المقاوِم يساوي القوّة الدافعة، V₀ = ε_max = 314.2 V:

I₀ = V₀R = 314.250 = 6.28 A

V_eff = V₀2 = 314.22 = 222.1 V

I_eff = I₀2 = 4.44 A

P_avg = V_eff·I_eff = 222.1 · 4.44 = 987 W

نفحص: P_avg = 12·I₀²·R = 12 · 6.28² · 50 = 987 W.

I₀ = 6.28 A , V_eff = 222.1 V , P_avg = 987 W

سؤال 6.10: لمبة كتب عليها 60 W , 230 V (قيم فعّالة). احسبوا التيار الفعّال، القيمة العظمى للتيار، ومقاومة اللمبة أثناء عملها.

المحوّل المثالي – שנאי אידאלי:

المحوّل (שנאי): هو جهاز يرفع جهد التيار المتناوب أو يخفضه. يتكوّن من ملفّين ملفوفين على قلب حديدي مغلق مشترك: الملفّ الابتدائي (ליפוף ראשוני) الموصول بمصدر فرق الجهد المتناوب، والملفّ الثانوي (ליפוף משני) الموصول بالحمل. لا يوجد اتّصال كهربائي بين الملفّين.

محوّل: ملفّان على قلب حديدي مشترك. الملفّ الابتدائي (N₁ لفّة) موصول بمصدر متناوب، والثانوي (N₂ لفّة) بالحمل R

التيار المتناوب في الملفّ الابتدائي يُنشئ في القلب الحديدي تدفّقا مغناطيسيا متناوبا. القلب الحديدي «يقود» خطوط الحقل داخله، فيعبر التدفّق نفسه Φ كلّ لفّة من لفّات الملفّين. حسب قانون فاراداي، القوّة الدافعة في كلّ لفّة هي نفسها في الملفّين، ΔΦΔt، ولذلك الجهد على كلّ ملفّ يتناسب مع عدد لفّاته:

V₁ = N₁·ΔΦΔt

V₂ = N₂·ΔΦΔt

V₂V₁ = N₂N₁

في المحوّل المثالي لا توجد فواقد طاقة: القدرة التي يأخذها الملفّ الابتدائي من المصدر تساوي القدرة التي يعطيها الملفّ الثانوي للحمل.

المحوّل المثالي · שנאי אידאלי

V₁V₂ = N₁N₂

I₁·V₁ = I₂·V₂

I₂I₁ = N₁N₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
N₁ , N₂	عدد لفّات الملفّ الابتدائي والملفّ الثانوي	—
V₁ , V₂	الجهد الفعّال على الملفّ الابتدائي وعلى الملفّ الثانوي	[V]
I₁ , I₂	التيار الفعّال في الملفّ الابتدائي وفي الملفّ الثانوي	[A]

محوّل رافع (N₂ > N₁): الجهد في الملفّ الثانوي أكبر، والتيار فيه أصغر بالنسبة نفسها.
محوّل خافض (N₂ < N₁): الجهد في الملفّ الثانوي أصغر والتيار أكبر — كما في شاحن الهاتف.
المحوّل يغيّر الجهد والتيار، لكنّه لا يُنتج طاقة: في المحوّل المثالي القدرة محفوظة.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ المحوّل الرافع «يضخّم» الطاقة لأنّه يرفع الجهد. الصحيح أنّ المحوّل يبادل جهدا بتيار: عندما يرتفع الجهد يقلّ التيار بالنسبة نفسها، والقدرة لا تزداد أبدا. في المحوّل المثالي I₁·V₁ = I₂·V₂، وفي المحوّل الحقيقي قدرة الملفّ الثانوي أصغر حتى من قدرة الابتدائي بسبب الفواقد.

انتبهوا: المحوّل لا يعمل بالتيار المستمرّ: تيار ثابت في الملفّ الابتدائي يُنشئ تدفّقا ثابتا، والتدفّق الثابت لا يحثّ قوّة دافعة في الملفّ الثانوي.

ملاحظة: المحوّلات الحقيقية قريبة من المثالية: كفاءة المحوّلات الكبيرة أعلى من 0.98. الفواقد الأساسية هي تسخين الأسلاك، والتيارات الدوّامية التي تنشأ في القلب الحديدي نفسه بسبب التدفّق المتناوب. لتقليلها يُبنى القلب من صفائح حديد رقيقة معزولة إحداها عن الأخرى، بدل قطعة حديد كاملة.

مثال 6.17

محوّل مثالي في ملفّه الابتدائي 1200 لفّة وفي ملفّه الثانوي 60 لفّة، موصول بالشبكة (230 V). يُوصل بالملفّ الثانوي مقاوِم 4.6 Ω. نحسب الجهد على الملفّ الثانوي، التيار في الحمل، القدرة، والتيار في الملفّ الابتدائي.

الحل:

V₂ = V₁·N₂N₁ = 230 · 601200 = 11.5 V

I₂ = V₂R = 11.54.6 = 2.5 A

P = V₂·I₂ = 11.5 · 2.5 = 28.75 W

القدرة محفوظة في المحوّل المثالي:

I₁ = PV₁ = 28.75230 = 0.125 A

نفحص بنسبة اللفّات: I₁ = I₂·N₂N₁ = 2.5 · 601200 = 0.125 A.

V₂ = 11.5 V , I₂ = 2.5 A , I₁ = 0.125 A

مثال 6.18

شاحن هاتف يحتوي على محوّل خافض يعطي 5 V (فعّال) من الشبكة. في الملفّ الابتدائي 2300 لفّة. نحسب عدد لفّات الملفّ الثانوي، والتيار من الشبكة عندما يعطي الشاحن تيارا 2 A (نعتبر المحوّل مثاليا).

الحل:

N₂ = N₁·V₂V₁ = 2300 · 5230 = 50

I₁ = V₂·I₂V₁ = 5 · 2230 = 0.0435 A

التيار في الملفّ الابتدائي أصغر بـ 46 مرّة من التيار في الثانوي — بنسبة اللفّات نفسها.

N₂ = 50 , I₁ = 0.0435 A

سؤال 6.11: لإضاءة أنبوب نيون نحتاج إلى 9200 V. في المحوّل المستعمل 200 لفّة في الملفّ الابتدائي الموصول بالشبكة (230 V). احسبوا عدد لفّات الملفّ الثانوي. إذا كان التيار في الأنبوب 20 mA، فما التيار في الملفّ الابتدائي؟

نقل الطاقة – העברת אנרגיה:

محطّات توليد الكهرباء بعيدة عن المدن، والطاقة الكهربائية تُنقل منها في خطوط طولها عشرات الكيلومترات وأكثر. للأسلاك مقاومة R_L، والتيار الذي يسري فيها يسخّنها. القدرة الضائعة في الخطّ — فواقد الطاقة — حسب قانون جول (الفصل 4):

P_loss = I²·R_L

المحطّة تنقل قدرة معيّنة P. إذا نقلناها بجهد V فالتيار في الخطّ I = PV، والقدرة الضائعة:

P_loss = (PV)²·R_L = P²·R_LV²

القدرة الضائعة تتناسب عكسيا مع مربّع الجهد: رفع الجهد عشر مرّات يخفض التيار عشر مرّات، ويخفض الفواقد مئة مرّة. لذلك يُرفع الجهد بمحوّل رافع قرب محطّة التوليد إلى عشرات أو مئات آلاف الڤولطات (في إسرائيل تعمل خطوط النقل الرئيسية بجهد 161 kV و 400 kV)، ثمّ يُخفض على مراحل بمحوّلات خافضة قرب المستهلكين حتى 230 V. هذا ممكن فقط بالتيار المتناوب، لأنّ المحوّل لا يعمل بالتيار المستمرّ — وهذا أحد الأسباب الرئيسية لاستعمال التيار المتناوب في شبكات الكهرباء.

نقل الطاقة: المحوّل الرافع يرفع الجهد ويخفض التيار في خطّ النقل، والمحوّل الخافض يعيد الجهد إلى قيمة آمنة للمستهلكين

مثال 6.19

محطّة تنقل قدرة 200 kW إلى بلدة في خطّ مقاومته الكلّية 5 Ω. نحسب التيار في الخطّ، القدرة الضائعة، وكفاءة النقل عندما يكون جهد النقل:
أ. 2 kV
ب. 20 kV.

الحل:

أ.

I = PV = 2000002000 = 100 A

P_loss = I²·R_L = 100² · 5 = 50000 W

η = P − P_lossP = 200000 − 50000200000 = 0.75

ربع القدرة يضيع في الخطّ! وفوق ذلك ينخفض الجهد على الخطّ بـ I·R_L = 500 V.

ب.

I = 20000020000 = 10 A

P_loss = 10² · 5 = 500 W

η = 200000 − 500200000 = 0.9975

رفع الجهد عشر مرّات خفض الفواقد 100 مرّة.

P_loss = 50 kW , 500 W

سؤال 6.12: يجب نقل قدرة 100 kW في خطّ مقاومته 2.5 Ω، بحيث لا تزيد القدرة الضائعة على جزء من مئة من القدرة المنقولة. ما هو أقلّ جهد نقل ممكن؟ ما التيار في الخطّ عندئذ؟

▶تجربة حية — المولّد، القيم الفعّالة والمحوّلنغيّر عدد اللفّات وشدّة الحقل والمساحة وتردّد الدوران، ونقارن منحنى التدفّق بمنحنى القوّة الدافعة؛ ثمّ ننتقل إلى المحوّل المثالي ونقيس الجهدين والتيارين والقدرتين على طرفيه.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#gen

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#gen

משוואות מקסוול – معادلات ماكسويل (Maxwell's Equations)

في منتصف القرن التاسع عشر كانت قوانين الكهرباء والمغناطيسية معروفة كقوانين منفصلة. جمعها جيمس كلارك ماكسويل سنة 1865 في أربع معادلات، وأضاف إليها حدّا جديدا واحدا. هذه المعادلات الأربع — معادلات ماكسويل — تصف كلّ الظواهر الكهرومغناطيسية التي تعلّمناها في هذا الكتاب. نعرضها هنا كخلاصة للكهرومغناطيسية، بالكلمات وبدون اشتقاق.

المعادلة	ماذا تقول؟	أين التقينا بها؟
1. قانون غاوس للحقل الكهربائي	التدفّق الكهربائي عبر سطح مغلق يتناسب مع الشحنة المحصورة داخله. الشحنات هي مصادر الحقل الكهربائي: خطوط الحقل تبدأ عند الشحنات الموجبة وتنتهي عند الشحنات السالبة.	الفصل 1: قانون غاوس
2. قانون غاوس للحقل المغناطيسي	التدفّق المغناطيسي عبر أيّ سطح مغلق صفر. لا يوجد قطب مغناطيسي منفرد، وخطوط الحقل المغناطيسي مغلقة: كلّ خطّ يدخل سطحا مغلقا يخرج منه.	الفصل 5: خطوط الحقل المغناطيسي
3. قانون فاراداي	الحقل المغناطيسي المتغيّر يُنشئ حقلا كهربائيا مستحثا خطوطه مغلقة؛ القوّة الدافعة حول حلقة تساوي سالب معدّل تغيّر التدفّق المغناطيسي عبرها.	الفصل 6: هذا الفصل
4. قانون أمبير–ماكسويل	التيار الكهربائي يُنشئ حوله حقلا مغناطيسيا (قانون أمبير)، وكذلك الحقل الكهربائي المتغيّر يُنشئ حقلا مغناطيسيا (إضافة ماكسويل).	الفصل 5: مصادر الحقل المغناطيسي

معادلات ماكسويل بالصيغ التي التقينا بها · משוואות מקסוול

Φ_E = Qε₀

Φ_B = 0

ε = −ΔΦ_BΔt

ΣB_∥·Δℓ = μ₀·(I + ε₀·ΔΦ_EΔt)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Φ_E	التدفّق الكهربائي عبر سطح مغلق	[N·m²/C]
Q	الشحنة المحصورة داخل السطح	[C]
Φ_B	التدفّق المغناطيسي (في المعادلة 2 — عبر سطح مغلق)	[Wb]
B_∥·Δℓ	مركّبة الحقل بمحاذاة قطعة صغيرة Δℓ من مسار مغلق، مضروبة في طولها	[T·m]
I	التيار الذي يعبر المسار المغلق	[A]

ملاحظة: لا نستعمل هذه الصيغ في الحساب في هذا الكتاب، ولا يُطلب اشتقاقها. المهمّ أن نعرف ما تقوله كلّ معادلة بالكلمات، وأن نلاحظ التماثل بين المعادلتين الأخيرتين: حقل مغناطيسي متغيّر يُنشئ حقلا كهربائيا، وحقل كهربائي متغيّر يُنشئ حقلا مغناطيسيا.

لماذا احتاج ماكسويل إلى الحدّ الجديد؟ لننظر إلى مكثّف يُشحن. في الأسلاك يسري تيار، وحولها حقل مغناطيسي. لكن بين اللوحين لا يسري تيار — الفراغ عازل. مع ذلك تُظهر القياسات أنّ حول الفراغ بين اللوحين يوجد أيضا حقل مغناطيسي. مصدره هو الحقل الكهربائي بين اللوحين الذي يزداد أثناء الشحن. هذا هو الحدّ الذي أضافه ماكسويل إلى قانون أمبير.

التنبّؤ بالموجات الكهرومغناطيسية – ניבוי הגלים האלקטרומגנטיים:

من المعادلتين الأخيرتين استنتج ماكسويل نتيجة مدهشة: حقل كهربائي متغيّر يُنشئ حقلا مغناطيسيا متغيّرا، وهذا يُنشئ بدوره حقلا كهربائيا متغيّرا، وهكذا. الحقلان يُبقي أحدهما الآخر ويتقدّمان معا في الفضاء، حتى بعيدا عن الشحنات والتيارات التي أنشأتهما. هذه هي الموجة الكهرومغناطيسية (גל אלקטרומגנטי). من المعادلات ينتج:

الحقل الكهربائي والحقل المغناطيسي في الموجة متعامدان، وكلاهما عمودي على اتّجاه انتشار الموجة.
الموجة لا تحتاج إلى وسط، وتنتشر في الفراغ.
سرعة الموجة في الفراغ تتحدّد بالثابتين ε₀ و μ₀ فقط، ولا تتعلّق بالتردّد.

موجة كهرومغناطيسية: الحقل الكهربائي (برتقالي) والحقل المغناطيسي (بنفسجي) متعامدان، في الطور نفسه، وعموديان على اتّجاه الانتشار

سرعة الموجة الكهرومغناطيسية في الفراغ · מהירות הגל האלקטרומגנטי

c = 1ε₀·μ₀

λ = cf

الرمز	المعنى	وحدة القياس
c	سرعة الموجة (سرعة الضوء) في الفراغ	[m/s]
λ	طول الموجة	[m]
f	التردّد	[Hz]

مثال 6.20

نحسب سرعة الموجة الكهرومغناطيسية في الفراغ من الثابتين ε₀ = 8.85·10⁻¹² C²/(N·m²) و μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A، ونجد طول موجة محطّة إذاعة تبثّ بتردّد 100 MHz.

الحل:

ε₀·μ₀ = 8.85·10⁻¹² · 4π·10⁻⁷ = 1.112·10⁻¹⁷ s²/m²

c = 11.112·10⁻¹⁷ = 2.999·10⁸ m/s

النتيجة هي سرعة الضوء المقيسة. لهذين الثابتين لا علاقة بالضوء: ε₀ يُقاس من القوى بين الشحنات، و μ₀ من القوى بين التيارات. ومع ذلك تخرج منهما سرعة الضوء بالضبط — وهذا ما قاد ماكسويل إلى أنّ الضوء موجة كهرومغناطيسية.

طول موجة الإذاعة (نستعمل c = 3·10⁸ m/s):

λ = cf = 3·10⁸1·10⁸ = 3 m

c = 2.999·10⁸ m/s , λ = 3 m

في سنة 1887 أنتج هاينريش هيرتز موجات كهرومغناطيسية في المختبر بواسطة دائرة كهربائية متذبذبة، وأثبت أنّها تنتشر وتنعكس كالضوء. هكذا تأكّد تنبّؤ ماكسويل: الضوء موجة كهرومغناطيسية، والبصريات فرع من الكهرومغناطيسية. اليوم نعرف عائلة كاملة من الموجات الكهرومغناطيسية تختلف في التردّد وفي طول الموجة، وتنتشر كلّها في الفراغ بالسرعة نفسها c:

نوع الموجة	طول الموجة التقريبي	مثال على الاستعمال
موجات الراديو	λ > 1 m	البثّ الإذاعي والتلفزيوني
الموجات الدقيقة (الميكروويف)	1 mm – 1 m	الهاتف الخلوي، الشبكة اللاسلكية، فرن الميكروويف
الأشعّة تحت الحمراء	700 nm – 1 mm	جهاز التحكّم عن بعد، الكاميرا الحرارية
الضوء المرئي	400 nm – 700 nm	الرؤية
الأشعّة فوق البنفسجية	10 nm – 400 nm	التعقيم
الأشعّة السينية	0.01 nm – 10 nm	التصوير الطبّي
أشعّة غاما	λ < 0.01 nm	علاج الأورام

سؤال 6.13: أيّ معادلة من معادلات ماكسويل تعبّر عن كلّ واحدة من الحقائق التالية؟
أ. لا يمكن فصل القطب الشمالي لمغناطيس عن قطبه الجنوبي.
ب. مغناطيس يتحرّك قرب حلقة يُنشئ فيها تيارا.
ج. خطوط الحقل الكهربائي تبدأ عند الشحنات الموجبة.
د. بين لوحَي مكثّف يُشحن ينشأ حقل مغناطيسي.

سؤال 6.14: شبكة إنترنت لاسلكية تعمل بتردّد 2.4 GHz. احسبوا طول الموجة.

▶تجربة حية — معادلات ماكسويل والموجة الكهرومغناطيسيةنستعرض المعادلات الأربع واحدة واحدة، ونشاهد موجة كهرومغناطيسية يتقدّم فيها الحقلان المتعامدان معا؛ نغيّر التردّد ونرى أنّ طول الموجة يتغيّر بينما تبقى السرعة c ثابتة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#maxwell

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#maxwell

أهمّ أفكار الفصل:

قوّة لورنتس على الشحنات الحرّة في موصل يتحرّك في حقل مغناطيسي تفصل الشحنات بين طرفَيه، فتنشأ قوّة دافعة كهربائية مستحثة.
التدفّق المغناطيسي يقيس «كمّية خطوط الحقل» التي تعبر سطحا، والزاوية في تعريفه تقاس من العمود على السطح — لا من السطح نفسه.
حسب قانون فاراداي، القوّة الدافعة المستحثة تتعلّق بمعدّل تغيّر التدفّق، لا بمقدار التدفّق: في الرسم البياني للتدفّق هي تُقرأ من الميل.
حسب قانون لينز، التيار المستحث يعاكس التغيّر في التدفّق — لا الحقل نفسه — ولذلك تعاكس القوّة المغناطيسية الناتجة الحركةَ دائما.
قانون لينز هو صورة قانون حفظ الطاقة: الشغل الذي يُبذل ضدّ قوّة الكبح هو مصدر الطاقة الكهربائية المستحثة.
المولّد يحوّل طاقة حركية إلى طاقة كهربائية بتدوير ملفّ في حقل مغناطيسي، والقوّة الدافعة الناتجة جيبية — تيار متناوب.
القيمة الفعّالة لتيار متناوب هي شدّة التيار المستمرّ الذي يعطي القدرة المتوسّطة نفسها، وهي أصغر من القيمة العظمى.
المحوّل يبادل جهدا بتيار بنسبة عدد اللفّات ولا يزيد القدرة؛ والنقل بجهد عالٍ يقلّل فواقد الخطّ لأنّها تتناسب مع مربّع التيار.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
القوّة الدافعة في قضيب متحرّك	ε = B·ℓ·v
التدفّق المغناطيسي	Φ = B·A·cos θ
قانون فاراداي	ε = −N·ΔΦΔt
حلقة ساكنة في حقل متغيّر	ε = −N·A·ΔBΔt
الشحنة التي تمرّ في الملفّ	Δq = N·ΔΦR
قوّة الكبح على قضيب على سكّتين	F_B = B·I·ℓ = B²·ℓ²·vR
السرعة الحدّية تحت قوّة ثابتة	v_t = F·RB²·ℓ²
ميزان القدرات	F·v = I²·R
القوّة الدافعة في المولّد	ε = N·B·A·ω·sin(ω·t)
القيمة العظمى في المولّد	ε_max = N·B·A·ω
الجهد الفعّال	V_eff = V₀2
التيار الفعّال	I_eff = I₀2
القدرة المتوسّطة	P_avg = V_eff·I_eff
المحوّل المثالي — الجهدان	V₁V₂ = N₁N₂
المحوّل المثالي — القدرة	I₁·V₁ = I₂·V₂
الفواقد في خطّ النقل	P_loss = P²·R_LV²
سرعة الموجة الكهرومغناطيسية	c = 1ε₀·μ₀

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الحثّ الكهرومغناطيسي	השראה אלקטרומגנטית	Electromagnetic induction
القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة	כא"מ מושרה	Induced EMF
التيار المستحث	זרם מושרה	Induced current
الحقل الكهربائي المستحث	שדה חשמלי מושרה	Induced electric field
التدفّق المغناطيسي	שטף מגנטי	Magnetic flux
ويبر	ובר	Weber (Wb)
العمود على السطح	האנך למשטח	Normal to the surface
قانون فاراداي	חוק פארדיי	Faraday's law
قانون لينز	חוק לנץ	Lenz's law
حلقة موصِلة	לולאה מוליכה	Conducting loop
عدد اللفّات	מספר כריכות	Number of turns
الغلفانومتر	גלוונומטר	Galvanometer
قوّة الكبح	כוח בולם	Braking force
السرعة الحدّية	מהירות סופית	Terminal velocity
التيارات الدوّامية	זרמי ערבולת	Eddy currents
المولّد	גנרטור	Generator
التيار المتناوب	זרם חילופין	Alternating current (AC)
حلقتا الانزلاق	טבעות החלקה	Slip rings
القيمة العظمى	ערך מרבי	Peak value
القيمة الفعّالة	ערך אפקטיבי	Effective (RMS) value
القدرة المتوسّطة	הספק ממוצע	Average power
المحوّل	שנאי	Transformer
الملفّ الابتدائي	ליפוף ראשוני	Primary coil
الملفّ الثانوي	ליפוף משני	Secondary coil
القلب الحديدي	ליבת ברזל	Iron core
نقل الطاقة	העברת אנרגיה	Power transmission
فواقد الطاقة	הפסדי אנרגיה	Energy losses
معادلات ماكسويل	משוואות מקסוול	Maxwell's equations
الموجة الكهرومغناطيسية	גל אלקטרומגנטי	Electromagnetic wave

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 6.1) قضيب طوله 25 cm يتحرّك نحو اليسار بسرعة 6 m/s في حقل متجانس شدّته 0.4 T متّجه إلى خارج الصفحة (الرسم). احسبوا القوّة الدافعة المستحثة بين طرفيه، وشدّة الحقل الكهربائي داخله. أيّ طرف جهده أعلى؟

الإجابات: ε = 0.6 V ، E = 2.4 V/m ؛ جهد الطرف العلوي أعلى

(للبند 6.1) حلقة مربّعة طول ضلعها 30 cm في حقل متجانس شدّته 0.5 T. احسبوا التدفّق عبرها عندما يكون الحقل:
أ. عموديا على مستواها.
ب. يصنع زاوية 30° مع مستواها.
ج. موازيا لمستواها.

الإجابات: أ. 0.045 Wb ب. 0.0225 Wb ج. 0

(للبند 6.1) ملفّ فيه 50 لفّة، مساحة كلّ لفّة 0.01 m²، في حقل متجانس شدّته 0.6 T. نُدير الملفّ خلال 0.05 s من وضع يكون فيه مستواه عموديا على الحقل إلى وضع يكون فيه موازيا له. احسبوا القوّة الدافعة المتوسّطة.

الإجابات: ε_avg = 6 V

(للبند 6.1) القطب الجنوبي لمغناطيس مواجه لحلقة موصلة، والمغناطيس يبتعد عنها (الرسم). حدّدوا بسلسلة لينز اتّجاه التيار المستحث بالنظر من جهة المغناطيس، والقطب الناشئ في وجه الحلقة القريب. هل تجذب الحلقة المغناطيس أم تدفعه؟

الإجابات: التيار عكس اتّجاه عقارب الساعة؛ الوجه القريب قطب شمالي؛ الحلقة تجذب المغناطيس

(للبند 6.2) مدفأة قدرتها 1150 W موصولة بالشبكة (230 V). احسبوا التيار الفعّال، مقاومة المدفأة والقيمة العظمى للتيار.

الإجابات: I_eff = 5 A ، R = 46 Ω ، I₀ = 7.07 A

(للبند 6.2) محوّل مثالي: 2300 لفّة في الابتدائي و 120 في الثانوي، والابتدائي موصول بـ 230 V. التيار في الابتدائي 0.2 A. احسبوا جهد الثانوي، القدرة والتيار في الثانوي.

الإجابات: V₂ = 12 V ، P = 46 W ، I₂ = 3.83 A

(للبند 6.4) محطّة إذاعة تبثّ بتردّد 1.5 MHz. احسبوا طول الموجة. أيّ معادلتين من معادلات ماكسويل تفسّران معا وجود هذه الموجة؟

الإجابات: λ = 200 m ؛ قانون فاراداي وقانون أمبير–ماكسويل

تمارين تلخيصية:

ملفّ فيه 300 لفّة، مساحة كلّ لفّة 40 cm²، مستواه عمودي على حقل متجانس يقلّ بانتظام من 0.8 T إلى 0.2 T خلال 0.12 s. مقاومة الملفّ 12 Ω وطرفاه موصولان. احسبوا القوّة الدافعة، التيار، والشحنة التي مرّت.

الإجابات: ε = 6 V ، I = 0.5 A ، Δq = 0.06 C

يبيّن الرسم البياني التدفّق عبر كلّ لفّة في ملفّ فيه 40 لفّة. احسبوا القوّة الدافعة في الفترات الثلاث، وارسموها كدالّة للزمن.

الإجابات: ε₁ = −0.8 V ، ε₂ = 0 ، ε₃ = +1.6 V

سلك مستقيم طويل في مستوى الصفحة يسري فيه تيار نحو الأعلى، وعلى يمينه حلقة مستطيلة (الرسم). التيار في السلك يقلّ. ما اتّجاه التيار المستحث في الحلقة؟

الإجابات: الحقل على يمين السلك إلى داخل الصفحة ويقلّ؛ التيار المستحث مع اتّجاه عقارب الساعة

قضيب طوله 0.5 m يُسحب بسرعة ثابتة 3 m/s نحو اليمين على سكّتين موصولتين بمقاوِم 4 Ω، في حقل 0.8 T إلى خارج الصفحة. احسبوا القوّة الدافعة، التيار، القوّة الخارجية والقدرة. ما اتّجاه التيار في القضيب؟

الإجابات: ε = 1.2 V ، I = 0.3 A ، F = 0.12 N ، P = 0.36 W ؛ التيار في القضيب نحو الأسفل (مع اتّجاه عقارب الساعة)

مولّد فيه 80 لفّة، مساحة كلّ لفّة 0.025 m²، يدور بتردّد 60 Hz في حقل 0.25 T. احسبوا القيمة العظمى والقيمة الفعّالة للقوّة الدافعة، واكتبوا ε(t).

الإجابات: ε_max = 188.5 V ، ε_eff = 133.3 V ، ε = 188.5·sin(377·t)

تُنقل قدرة 500 kW في خطّ مقاومته 8 Ω. احسبوا القدرة الضائعة عندما يكون جهد النقل 25 kV، وعندما يكون 5 kV.

الإجابات: 25 kV : I = 20 A ، P_loss = 3.2 kW ؛ 5 kV : I = 100 A ، P_loss = 80 kW

تمارين تعمّق:

(*) قضيب أفقي كتلته 10 g وطوله 20 cm ينزلق بدون احتكاك على سكّتين عموديتين موصولتين من الأعلى بمقاوِم 0.1 Ω، في حقل متجانس 0.5 T إلى داخل الصفحة (الرسم). نترك القضيب يسقط. احسبوا سرعته الحدّية والتيار عندئذ. ما اتّجاه التيار في القضيب؟

الإجابات: v_t = 1 m/s ، I = 1 A ؛ التيار في القضيب نحو اليمين (عكس اتّجاه عقارب الساعة)، والقوّة المغناطيسية عليه نحو الأعلى

(*) قضيب كتلته 100 g وطوله 0.5 m موضوع على سكّتين أفقيتين موصولتين من اليسار بمقاوِم 0.4 Ω، في حقل متجانس شدّته 0.8 T إلى داخل الصفحة. ندفع القضيب دفعة قصيرة فيبدأ حركته مبتعدا عن المقاوِم بسرعة 2 m/s، ثمّ نتركه لنفسه (بدون احتكاك وبدون قوّة خارجية).
(أ) اشرحوا لماذا يتباطأ القضيب حتى يتوقّف، وحدّدوا اتّجاه التيار المستحث أثناء الحركة.
(ب) ما كمّية الحرارة الكلّية التي تنشأ في المقاوِم حتى يتوقّف القضيب؟
(ج) احسبوا الشحنة الكلّية التي مرّت في الدائرة. (إرشاد: التغيّر في كمّية حركة القضيب يساوي مجموع B·ℓ·I·Δt، أي B·ℓ·Δq.)
(د) ما المسافة التي قطعها القضيب حتى توقّف؟

الإجابات: (أ) قوّة الكبح B·I·ℓ تعاكس الحركة؛ التيار عكس اتّجاه عقارب الساعة (ب) Q = E_k = 0.2 J (ج) Δq = m·v₀B·ℓ = 0.5 C (د) Δx = Δq·RB·ℓ = 0.5 m

(*) مولّد صغير في محطّة رياح يعطي قدرة 40 kW بجهد فعّال 400 V. تُنقل الطاقة إلى بلدة في خطّ مقاومته الكلّية 10 Ω.
(أ) يُرفع الجهد قرب المولّد بمحوّل مثالي نسبة لفّاته 1:50. احسبوا الجهد والتيار في خطّ النقل.
(ب) احسبوا القدرة الضائعة في الخطّ وكفاءة النقل.
(ج) احسبوا القدرة التي كانت ستضيع لو نُقلت الطاقة مباشرة بجهد 400 V، وبيّنوا لماذا هذا النقل مستحيل عمليا.
(د) لماذا لا تصلح هذه الطريقة إذا كان المولّد يعطي تيارا مستمرّا؟

الإجابات: (أ) V = 20 kV ، I = 2 A (ب) P_loss = 40 W ، η = 0.999 (ج) 100 kW — أكبر من القدرة المنقولة كلّها، فلا تصل أيّ قدرة إلى البلدة (د) المحوّل لا يعمل بالتيار المستمرّ: تدفّق ثابت لا يحثّ قوّة دافعة في الثانوي

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

6.1 v = 0.75 m/s ؛ جهد الطرف D أعلى

6.2 ε = 0.4 V ؛ الدخول 0.05 s ، داخل الحقل 0.075 s ، الخروج 0.05 s

6.3 θ = 60° ، Φ = 7.85·10⁻⁴ Wb

6.4 ε = 12 V

6.5 ΔB = −0.4 T ، مقدار القوّة الدافعة 0.8 V

6.6 أ. معاكس لاتّجاه التيار في لفّات الملفّ (الحقل المستحث يعاكس زيادة التدفّق) ب. تياران متعاكسان يتنافران ج. لا: عندما يثبت التيار يثبت التدفّق، فيتلاشى التيار المستحث وتسقط الحلقة

6.7 التيار عكس اتّجاه عقارب الساعة؛ القوّة نحو اليسار — تعاكس الحركة

6.8 I = 0.12 A ، F = 0.036 N ، Q = 0.72 J

6.9 f = 25 Hz ، ε_max = 125.7 V

6.10 I_eff = 0.261 A ، I₀ = 0.369 A ، R = 882 Ω

6.11 N₂ = 8000 ، I₁ = 0.8 A

6.12 I = 20 A ، V = 5000 V

6.13 أ. قانون غاوس للحقل المغناطيسي ب. قانون فاراداي ج. قانون غاوس للحقل الكهربائي د. قانون أمبير–ماكسويل

6.14 λ = 0.125 m = 12.5 cm

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 6

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الكهرومغناطيسية (אלקטרומגנטיות — 36371)، بالنسخة العربية الرسمية للامتحان (2019–2026). تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 6 — قضيب موصل على سكّة — من الاتّزان المغناطيسيّ إلى الحثّ والسرعة الثابتة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه الحقل المغناطيسيّ	في الحل الكامل
ب	كتلة الثقل	في الحل الكامل
ج	العمليّة التي تسبّب التيّار في اللمبة	في الحل الكامل
د	السرعة الثابتة	في الحل الكامل
هـ	اتّجاه التيّار المستحث في القضيب	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2025 السؤال 6 — حلقة موصلة حول ملفّ لولبيّ — تدفّق متغيّر، فرق طور وقوّة محرّكة مستحثّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	هل تضيء اللمبة	الادّعاء خاطئ · اللمبة يضيء، لأنّ القوّة المحرّكة المستحثّة تحدّدها التدفّق عبر مساحة الحلقة لا الحقل في مكان الموصل
ب	المنحنى الذي يصف التيّار المستحثّ	منحنى سالب جيب التمام — الذي يبدأ من القيمة السالبة القصوى ويصعد
ج	اشتقاق عبارة القوّة المحرّكة القصوى	ε₂,max = 0.12 V
د	عدد اللفّات اللازم في الحلقة	25 لفّة
هـ	لماذا لا تنفع زيادة نصف قطر الملفّ	الادّعاء غير صحيح · عندما تكون الحلقة داخل الملفّ يحدّد التدفّق مساحة الحلقة، والعبارة لا تتعلّق إطلاقًا بنصف قطر الملفّ — السقف هو 0.17 V

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 6 — إطار مربّع في حقل متغيّر — تدفّق، قوّة محرّكة مستحثّة، اتّجاه التيّار وكمّيّة الشحنة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تدفّق وقوّة محرّكة وتيّار في الفترات الثلاث	الفترتان I و III · Φ = 0.0225 Wb، ε = 0، I = 0 · الفترة II · Φ = −0.25t² + 0.3t − 0.0275، ε = 0.5t − 0.3، I = 0.25t − 0.15
ب	اتّجاه التيّار عند اللحظة 0.3 ثانية	التيّار يمرّ عكس اتّجاه عقارب الساعة
ج	منحنى التيّار والقيمة الموجبة القصوى	التيّار مع اتّجاه عقارب الساعة بين 0.6 و-1.0 ثانية · القيمة الموجبة القصوى هي 0.10 A عند اللحظة 1.0 ثانية
د	كمّيّة الشحنة التي مرّت في السلك	q = 0.02 C في الفترتين · الكمّيّتان متساويتان
هـ	متى تعمل القوى على تمدّد الإطار	الاحتمال 3 · في الفترة بين 0.8 و-1.0 ثانية

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 6 — حثّ كهرومغناطيسيّ — مثلّث موصل في حقل متغيّر

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اتّجاه الحقل المستحث	الحقل المغناطيسيّ المستحث داخل المثلّث خارج من مستوى الصفحة
ب	اتّجاه الحقل الخارجيّ	الحقل المغناطيسيّ المتجانس يدخل إلى داخل مستوى الصفحة
ج	التيّار المستحث في الفترات الثلاث	I(1) = 0.833 A من L إلى M · I(2) = 0 · I(3) = 0.278 A من L إلى M
د	القدرة في اللحظة t = 20 ms	P ≈ 9.26·10⁻² W
هـ	المثلّث الخارج من الحقل	شدّة التيّار متغيّرة · تزداد خطّيًّا، لأنّ طول المقطع القاطع لحدّ الحقل يزداد خطّيًّا
و	الحلقتان حول منطقة الحقل ذاتها	الادّعاء خاطئ · منطقة الحقل محتواة كلّها في الحلقتين، التدفّق متطابق ولذلك القوّة الدافعة المستحثة متطابقة

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 6 — الحثّ · حلقة متسارعة في حقل مغناطيسيّ متغيّر في الفضاء

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	وحدات الثابت K	وحدات K هي تسله للمتر، T/m
ب	لماذا يسري تيّار في الحلقة	تتحرّك الحلقة نحو منطقة يكون فيها الحقل أضعف، ولذلك يتغيّر التدفّق عبرها مع الزمن · ووفق قانون فاراداي تنشأ قوّة دافعة مستحثّة، وفي موصل مغلق تُسيّر تيّارًا
ج	التدفّق كدالّة للزمن	Φ(t) = A·B₀ₓ − ½·A·K·a·t²
د	التيّار كدالّة للزمن	I(t) = (A·K·a مقسومًا على R) · t — ككسر، كما هو معروض أعلاه
هـ	حساب مساحة الحلقة	A = 2·10⁻³ m² = 20 cm²
و	اتّجاه التيّار في الحلقة	يسري التيّار عكس اتّجاه عقارب الساعة

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2020 السؤال 6 — إطار مربّع في حقل مغناطيسيّ متغيّر

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مقاومة السلك	R = 10.8 أوم
ب	لماذا يمرّ تيّار وفي أيّ لحظة يكون أكبر	ب1 — التدفّق عبر الإطار يتغيّر مع الزمن، ولذلك تنشأ فيه وفق قانون فاراداي قوّة محرّكة مستحثّة، والإطار موصل ومغلق ولذلك يمرّ فيه تيّار · ب2 — شدّة التيّار أكبر في اللحظة t = 0.5s ، حيث 0.0375 أمبير مقابل 0.0075 أمبير
ج	اتّجاه التيّار في الإطار	يمرّ التيّار باتّجاه عقارب الساعة على مدار الثواني الثلاث — التدفّق الخارج من الصفحة يكبر، ولذلك ينشئ التيّار وفق لينز حقلًا داخلًا إلى الصفحة
د	شدّة التيّار في اللحظة t = 2.0s	I = 0.015 أمبير، أي 15 ملّي أمبير
هـ	التيّار عندما يكون الإطار مائلًا	شدّة التيّار أصغر ممّا حُسِب في البند د — التدفّق يصغر بالعامل cos(α) ، ولذلك تصغر القوّة المحرّكة والتيّار بالعامل ذاته

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2019 السؤال 6 — مغناطيس يسقط عبر لفّة موصلة · قانون فاراداي وقانون لينز والمساحة تحت الرسم

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	لماذا ينشأ جهد بين طرفي المقاوم	حركة المغناطيس تغيّر التدفّق المغناطيسيّ عبر اللفّة، وحسب قانون فاراداي تنشأ قوّة محرّكة مستحثّة تدفع تيّارًا عبر المقاوم
ب	اتّجاه الحقل المستحثّ عند الاقتراب	الحقل المغناطيسيّ المستحثّ داخل اللفّة يشير إلى الأعلى، أي في اتّجاه معاكس لحقل المغناطيس
ج	لماذا يتغيّر الجهد من سالب إلى موجب	عند الاقتراب يزداد التدفّق وعند الابتعاد ينقص، ولذلك تنقلب إشارة معدّل تغيّر التدفّق — ومعها إشارة الجهد
د	لماذا القيمة القصوى عند الخروج أكبر منها عند الدخول	المغناطيس يتسارع في السقوط الحرّ، ولذلك سرعته عند الخروج أكبر، ومعدّل تغيّر التدفّق أكبر والجهد المستحثّ أكبر
هـ	عرض التدفّق المغناطيسيّ بوحدات ڤولط مضروب في ثانية	ΔΦ = ε·Δt، ولذلك وحدة التدفّق هي ڤولط مضروب في ثانية — وهي الويبر
و	التغيّر في التدفّق خلال الـ0.15 ثانية الأولى	\|ΔΦ\| ≈ 1.5·10⁻⁴ حتّى 1.6·10⁻⁴ V·s ، أي نحو 0.16 ميلّي ويبر

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2019 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 7 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)