الفصل 8

شبكات مرشح الترددات المنخفضة والمرتفعة

רשתות HP ו-LP

الصف الحادي عشر · 10 ساعات تعليمية

مقاومة واحدة ومكثف واحد — هذه أبسط شبكة في الإلكترونيات، وهي موجودة في كل دائرة تقريبا: في دائرة تأخير تُشعل مصباحا بعد ثانيتين، في مرشح مصدر التغذية من الفصل السابق، وفي مكثف الربط في مكبر الترانزستور. في هذا الفصل نسأل سؤالا واحدا: ماذا يحدث لجهد الخرج مع الزمن عندما يتغير جهد الدخل بشكل فجائي؟ سنرى أن الجواب دائما منحنى واحد، يحدده مقدار واحد: ثابت الزمن.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نرسم شبكة مرشح الترددات المنخفضة (LP) وشبكة مرشح الترددات المرتفعة (HP) ونميّز بينهما.
نحسب ثابت الزمن τ = R·C ونشرح معناه.
نرسم استجابة كل شبكة لإشارة الدرجة ونحسب جهد الخرج في كل لحظة.
نحسب الزمن اللازم كي يصل الجهد إلى قيمة معطاة.
نرسم استجابة كل شبكة لنبضة، في الحالات t_p ≫ τ ، t_p ≈ τ ، t_p ≪ τ ، ونحسب القيم عند حافتي النبضة.
نرسم الاستجابة لإشارة مربعة دورية عندما T ≫ τ وعندما T ≪ τ.
نحل دوائر شحن وتفريغ مع مفتاح، ودوائر تأخير مع مُقارن.

תגובת רשת מעבירה נמוכים (LP) ורשת מעבירה גבוהים (HP) לאות מדרגה ולדופק. סרטוט מתח המוצא וחישוב ערכיו – استجابة شبكة LP وشبكة HP لإشارة الدرجة وللنبضة: رسم جهد الخرج وحساب قيمه (Step and Pulse Response of RC Networks)

الشبكتان – שתי הרשתות:

الشبكتان مبنيتان من نفس المكوّنين، مقاومة R ومكثف C على التوالي. الفرق الوحيد هو من أين نأخذ جهد الخرج.

مرشح الترددات المنخفضة (רשת מעבירה נמוכים, LP): شبكة فيها المقاومة على التوالي مع الدخل، وجهد الخرج يؤخذ عن المكثف: v_o = v_C.

مرشح الترددات المرتفعة (רשת מעבירה גבוהים, HP): شبكة فيها المكثف على التوالي مع الدخل، وجهد الخرج يؤخذ عن المقاومة: v_o = v_R.

شبكة LP : الخرج على المكثف

شبكة HP : الخرج على المقاومة

في الشبكتين يمر نفس التيار في المقاومة وفي المكثف، وحسب قانون كيرشهوف للجهود مجموع الجهدين يساوي جهد الدخل في كل لحظة:

v_i = v_R + v_C

لذلك يكفي أن نعرف جهد المكثف v_C ؛ جهد المقاومة هو الباقي: v_R = v_i − v_C.

نتذكر: قاعدتان عن المكثف نبني عليهما كل الفصل: (1) جهد المكثف لا يتغير بشكل فجائي. كي يتغير جهده يجب أن تدخل إليه شحنة أو تخرج منه، وهذا يحتاج إلى زمن. (2) عندما ينتهي الشحن لا يمر تيار في المكثف: في الجهد المستمر المكثف هو دائرة مفتوحة.

إشارة الدرجة والنبضة – אות מדרגה ודופק:

إشارة الدرجة (אות מדרגה): هي إشارة تقفز في لحظة واحدة من جهد ثابت إلى جهد ثابت آخر، وتبقى فيه. مثال: نغلق مفتاحا يوصل بطارية بالدائرة في اللحظة t = 0.

النبضة (דופק): هي إشارة تقفز إلى جهد V ، تبقى فيه زمنا محدودا t_p (רוחב הדופק، عرض النبضة)، ثم تعود إلى الصفر.

الاستجابة (תגובה): هي إشارة الخرج التي تُخرجها الشبكة عندما ندخل إليها إشارة معيّنة.

ثابت الزمن – קבוע הזמן:

ثابت الزمن (קבוע זמן): هو مقدار يحدد سرعة شحن المكثف وتفريغه عبر مقاومة. رمزه τ ووحدته الثانية. كلما كان τ أكبر، كان التغيّر أبطأ.

ثابت الزمن · קבוע הזמן

τ = R·C

الرمز	المعنى	وحدة القياس
τ	ثابت الزمن	[s]
R	المقاومة التي يُشحن أو يتفرغ المكثف عبرها	[Ω]
C	سعة المكثف	[F]

مثال 8.1

في شبكة LP المقاومة R = 10 kΩ والمكثف C = 100 nF. نحسب ثابت الزمن.

الحل:

نحوّل إلى الوحدات الأساسية: R = 1·10⁴ Ω ، C = 1·10⁻⁷ F.

τ = R·C

τ = 1·10⁴·1·10⁻⁷ = 1·10⁻³ s = 1 ms

τ = 1 ms

ملاحظة: حيلة للحساب السريع: kΩ·µF = ms ، وكذلك MΩ·µF = s و kΩ·nF = µs. مثلا: 10 kΩ·0.1 µF = 1 ms.

سؤال 8.1: نحسب ثابت الزمن لمقاومة 4.7 kΩ ومكثف 10 µF.

استجابة شبكة LP لإشارة الدرجة – תגובת רשת LP לאות מדרגה:

المكثف فارغ، وفي اللحظة t = 0 يقفز الدخل من 0 إلى V. ماذا يحدث؟

في اللحظة t = 0 : جهد المكثف لا يستطيع أن يقفز، فيبقى v_C = 0. كل جهد الدخل يهبط على المقاومة، والتيار أعظمي: i = VR.
بعد ذلك: التيار يشحن المكثف وجهده يرتفع. الجهد على المقاومة V − v_C يصغر، فيصغر التيار، ويصبح الشحن أبطأ فأبطأ.
بعد زمن طويل: المكثف مشحون حتى v_C = V ، التيار صفر، ولا يتغير شيء بعد ذلك. هذه هي الحالة المستقرة (מצב מתמיד).

الفترة التي يتغير فيها الجهد تسمى الحالة العابرة (מצב מעבר). المنحنى الذي يرتفع بسرعة في البداية ثم يقترب ببطء من قيمته النهائية يسمى منحنى أُسّيا.

استجابة شبكة LP لإشارة الدرجة (شحن المكثف) · תגובת רשת LP למדרגה (טעינת קבל)

v_o(t) = V·(1 − e^−tτ)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v_o(t)	جهد الخرج (جهد المكثف) في اللحظة t	[V]
V	ارتفاع الدرجة في الدخل	[V]
t	الزمن منذ لحظة القفزة	[s]
τ	ثابت الزمن، τ = R·C	[s]
e	عدد ثابت، e ≈ 2.718 ؛ في الحاسبة الزر e^x	—

هذا القانون حالة خاصة من القانون العام للحالة العابرة (משוואת הדפקים). كل جهد في دائرة فيها مكثف واحد ومقاومات ينتقل بشكل أُسّي من قيمة ابتدائية إلى قيمة نهائية، ويكفي أن نعرف ثلاثة مقادير: من أين نبدأ، إلى أين نصل، وما هو ثابت الزمن. في كل الحلول في هذا الفصل نعوّض في القانون العام، وهكذا نحل بنفس الطريقة الشحن والتفريغ والنبضات.

القانون العام للحالة العابرة · הנוסחה הכללית למצב המעבר (משוואת הדפקים)

v(t) = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v(t)	الجهد في اللحظة t	[V]
V₀	القيمة الابتدائية: الجهد مباشرة بعد التغيّر (Δt = 0)	[V]
V_∞	القيمة النهائية: الجهد في الحالة المستقرة	[V]
Δt	الزمن الذي مرّ منذ التغيّر الأخير (إغلاق مفتاح أو قفزة في الدخل)؛ في لحظة التغيّر Δt = 0 ، وفي كل مرحلة جديدة نقيسه من جديد	[s]
τ	ثابت الزمن	[s]

ملاحظة: قانون شحن المكثف هو القانون العام مع V₀ = 0 و V_∞ = V : نعوّض فنحصل على v_o = V·(1 − e^−tτ).

مثال 8.2

ندخل إلى شبكة LP من المثال السابق (τ = 1 ms) إشارة درجة ارتفاعها V = 10 V. نحسب جهد الخرج بعد 1 ms وبعد 2 ms ، ونرسم إشارة الخرج تحت إشارة الدخل.

الحل:

المكثف يبدأ فارغا، V₀ = 0 ، ويتجه نحو V_∞ = 10 V. نعوّض Δt = 1 ms في القانون العام. الزمن وثابت الزمن بنفس الوحدة (ميلي ثانية)، ولذلك نقسمهما مباشرة:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o = 10 + (0 − 10)·e⁻¹¹

v_o = 10 − 10·0.368 = 6.32 V

وبنفس الطريقة لـ Δt = 2 ms:

v_o = 10 + (0 − 10)·e⁻²¹

v_o = 10 − 10·0.135 = 8.65 V

الخرج يبدأ من الصفر بدون قفزة، ويقترب من 10 V (الخط المنقط) دون أن يتجاوزه.

v_o(1 ms) = 6.32 V , v_o(2 ms) = 8.65 V

كم يدوم الشحن؟ قاعدة 5τ – כמה זמן נמשכת הטעינה? כלל 5τ:

نعوّض في القانون أزمنة تساوي مضاعفات صحيحة لثابت الزمن، ونكتب النتيجة كنسبة مئوية من القيمة النهائية:

الزمن t	الشحن: 1 − e^−tτ	التفريغ: e^−tτ
τ	63.2%	36.8%
2τ	86.5%	13.5%
3τ	95%	5%
4τ	98.2%	1.8%
5τ	99.3%	0.7%

منحنى الشحن ومنحنى التفريغ بالنسبة المئوية من الجهد الكامل

بعد ثابت زمن واحد يصل المكثف إلى 63.2% من الجهد النهائي (تقريبا ثلثين).
بعد 5τ يصل إلى أكثر من 99% . نعتبر أن الحالة العابرة انتهت بعد 5τ ، وأن الدائرة وصلت إلى الحالة المستقرة.

سؤال 8.2: في شبكة LP ثابت الزمن τ = 2 ms والدرجة في الدخل 5 V. ما هو جهد الخرج بعد 2 ms ؟ وبعد كم من الزمن نعتبر أن الشحن انتهى؟

استجابة شبكة HP لإشارة الدرجة – תגובת רשת HP לאות מדרגה:

في شبكة HP الخرج هو جهد المقاومة، v_o = v_i − v_C. المكثف يُشحن تماما كما في شبكة LP ، ولذلك:

v_o = V − V·(1 − e^−tτ) = V·e^−tτ

في اللحظة t = 0 : المكثف فارغ وجهده صفر، فالقفزة كلها تظهر في الخرج: v_o = V. نقول إن المكثف ينقل القفزة.
بعد ذلك: المكثف يُشحن، التيار يصغر، ومعه يصغر جهد المقاومة.
في الحالة المستقرة: المكثف مشحون حتى V ، التيار صفر، و v_o = 0. الجهد المستمر لا يصل إلى الخرج.

استجابة شبكة HP لإشارة الدرجة · תגובת רשת HP למדרגה

v_o(t) = V·e^−tτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v_o(t)	جهد الخرج (جهد المقاومة) في اللحظة t	[V]
V	ارتفاع الدرجة في الدخل	[V]
τ	ثابت الزمن، τ = R·C	[s]

مثال 8.3

نبدّل بين المقاومة والمكثف في الشبكة السابقة فنحصل على شبكة HP مع نفس ثابت الزمن τ = 1 ms. الدخل إشارة درجة V = 10 V. نحسب جهد الخرج في اللحظة t = 0 ، بعد 0.5 ms وبعد 1 ms ، ونرسم إشارة الخرج.

الحل:

في لحظة القفزة: v_o(0) = V = 10 V.

الخرج نفسه يتبع القانون العام: يبدأ من V₀ = 10 V ويتجه نحو V_∞ = 0. نعوّض Δt = 0.5 ms ثم Δt = 1 ms:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o(0.5 ms) = 0 + (10 − 0)·e^−0.51 = 10·0.607 = 6.07 V

v_o(1 ms) = 0 + (10 − 0)·e⁻¹¹ = 10·0.368 = 3.68 V

نقارن مع شبكة LP : في كل لحظة مجموع الخرجين يساوي 10 V ، لأن v_R + v_C = v_i.

v_o(0) = 10 V , v_o(0.5 ms) = 6.07 V , v_o(1 ms) = 3.68 V

	شبكة LP	شبكة HP
الخرج يؤخذ عن	المكثف	المقاومة
الخرج في لحظة القفزة	0	V
الخرج في الحالة المستقرة	V	0
القانون	v_o = V·(1 − e^−tτ)	v_o = V·e^−tτ
الخرج بعد τ	0.63·V	0.37·V

سؤال 8.3: في شبكة HP : R = 2 kΩ ، C = 1 µF ، والدخل درجة 6 V. ما هو جهد الخرج في لحظة القفزة؟ وبعد 4 ms ؟

▶تجربة حية — شبكات RC — استجابة الدرجةالمختبر يُفتح على إشارة الدرجة. نغيّر R و C ونرى كيف يتسلّق خرج LP نحو القيمة النهائية بلا قفزة، وكيف يقفز خرج HP كاملا ثم يتلاشى نحو الصفر.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=step

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=step

حساب الزمن من القانون العام – חישוב הזמן מהנוסחה הכללית:

حتى الآن عوّضنا زمنا في القانون العام وحسبنا جهدا. أحيانا السؤال معكوس: ما هو الزمن الذي يصل فيه الجهد إلى قيمة معيّنة v ؟ نستخرج الزمن من القانون العام فنحصل على:

حساب الزمن من القانون العام · חישוב הזמן מהנוסחה הכללית

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v	الجهد المطلوب	[V]
V₀	القيمة الابتدائية: الجهد مباشرة بعد التغيّر	[V]
V_∞	القيمة النهائية: الجهد في الحالة المستقرة	[V]
τ	ثابت الزمن	[s]
ln	اللوغاريتم الطبيعي؛ في الحاسبة الزر ln	—

ملاحظة: هذا القانون هو القانون العام نفسه بعد أن نستخرج منه الزمن. في البسط الفرق بين نقطة البداية والنهاية، وفي المقام الفرق بين الجهد المطلوب والنهاية. النتيجة داخل ln يجب أن تكون عددا موجبا أكبر من 1 ؛ إذا لم تكن كذلك، فالجهد المطلوب ليس بين V₀ و V_∞ والدائرة لن تصل إليه أبدا.

مثال 8.4

في شبكة LP (τ = 1 ms) مع درجة V = 10 V : بعد كم من الزمن يصل جهد الخرج إلى 5 V ؟ وإلى 9 V ؟

الحل:

المكثف يبدأ فارغا، V₀ = 0 ، ويتجه نحو V_∞ = 10 V. نعوّض v = 5 V:

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

Δt = 1·ln(0 − 105 − 10)

Δt = 1·ln(2) = 0.693 ms

ولـ v = 9 V:

Δt = 1·ln(0 − 109 − 10)

Δt = 1·ln(10) = 2.303 ms

الوصول إلى نصف الجهد يحتاج إلى 0.69·τ فقط، لكن الوصول إلى 90% يحتاج إلى 2.3·τ.

Δt = 0.693 ms , Δt = 2.303 ms

مثال 8.5

مكثف C = 50 µF مشحون مسبقا بجهد 2 V. في اللحظة t = 0 نوصله عبر مقاومة R = 20 kΩ بمصدر جهد 12 V. نحسب:
(أ) ثابت الزمن.
(ب) جهد المكثف بعد 1 s.
(ج) الزمن الذي يصل فيه جهد المكثف إلى 10 V.

الحل:

(أ) ثابت الزمن:

τ = R·C = 2·10⁴·5·10⁻⁵ = 1 s

(ب) المكثف لا يبدأ من الصفر: V₀ = 2 V ، وهو يتجه نحو جهد المصدر V_∞ = 12 V:

v_C = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_C = 12 + (2 − 12)·e⁻¹¹

v_C = 12 − 10·0.368 = 8.32 V

(ج) نعوّض v = 10 V في قانون الزمن:

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

Δt = 1·ln(2 − 1210 − 12)

Δt = 1·ln(5) = 1.61 s

τ = 1 s , v_C = 8.32 V , t = 1.61 s

سؤال 8.4: مكثف مشحون بجهد 8 V يتفرغ عبر مقاومة، وثابت الزمن τ = 5 ms. بعد كم من الزمن يهبط جهده إلى 2 V ؟

استجابة شبكة LP لنبضة – תגובת רשת LP לדופק:

النبضة هي درجتان متتاليتان: قفزة إلى الأعلى في t = 0 ، وقفزة إلى الأسفل في t = t_p. لذلك نحل على مرحلتين:

أثناء النبضة (0 < t < t_p): المكثف يُشحن من V₀ = 0 نحو V_∞ = V. في نهاية النبضة يصل إلى V₁ الذي نحسبه من القانون العام.
بعد النبضة (t > t_p): الدخل صفر، والمكثف يتفرغ من V₀ = V₁ نحو V_∞ = 0 بنفس ثابت الزمن. نقيس الزمن من جديد ابتداء من t_p.

استجابة شبكة LP لنبضة (القانون العام على مرحلتين) · תגובת רשת LP לדופק (משוואת הדפקים בשני שלבים)

V₁ = V + (0 − V)·e^−t_pτ

v_o(t) = 0 + (V₁ − 0)·e^{−t − t_pτ}

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V₁	جهد الخرج في نهاية النبضة	[V]
t_p	عرض النبضة	[s]
v_o(t)	جهد الخرج بعد انتهاء النبضة، t > t_p	[V]

شكل الخرج يتعلق بالنسبة بين عرض النبضة وثابت الزمن. في الشكل نبضة ارتفاعها 5 V وعرضها t_p = 1 ms تدخل إلى ثلاث شبكات LP مختلفة.

استجابة شبكة LP لنبضة عرضها 1 ms ، لثلاثة ثوابت زمن. النقطة تبيّن الجهد في نهاية النبضة

الحالة	ثابت الزمن	الجهد في نهاية النبضة V₁	شكل الخرج
t_p ≫ τ	0.2 ms	4.97 V	المكثف يُشحن كليا ثم يتفرغ كليا. الخرج يشبه النبضة، لكن حافتيه مدوّرتان
t_p ≈ τ	1 ms	3.16 V	المكثف لا يصل إلى V . الخرج يشبه سنّ القرش
t_p ≪ τ	5 ms	0.91 V	المكثف يكاد لا يُشحن. الخرج صغير ويرتفع تقريبا بخط مستقيم

مثال 8.6

نبضة ارتفاعها V = 5 V وعرضها t_p = 1 ms تدخل إلى شبكة LP ثابت زمنها τ = 1 ms. نحسب جهد الخرج:
(أ) في نهاية النبضة.
(ب) في اللحظة t = 2 ms.

الحل:

(أ) أثناء النبضة المكثف يُشحن من V₀ = 0 نحو V_∞ = 5 V. نعوّض t = t_p في القانون العام:

V₁ = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−t_pτ

V₁ = 5 + (0 − 5)·e⁻¹¹ = 3.16 V

(ب) بعد النبضة المكثف يتفرغ: V₀ = 3.16 V و V_∞ = 0. الزمن الذي مر منذ نهاية النبضة هو 2 − 1 = 1 ms:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o = 0 + (3.16 − 0)·e⁻¹¹ = 1.16 V

V₁ = 3.16 V , v_o(2 ms) = 1.16 V

استجابة شبكة HP لنبضة – תגובת רשת HP לדופק:

في شبكة HP المكثف على التوالي مع الدخل، وجهده لا يتغير في لحظة القفزة. لذلك كل قفزة في الدخل تنتقل كما هي إلى الخرج: إذا قفز الدخل بمقدار V إلى الأعلى يقفز الخرج بـ V إلى الأعلى، وإذا قفز الدخل بـ V إلى الأسفل يقفز الخرج بـ V إلى الأسفل. بين قفزة وقفزة الخرج يعود نحو الصفر بشكل أُسّي.

الحافة الصاعدة (t = 0): الخرج يقفز من 0 إلى V.
أثناء النبضة: الخرج يهبط من V₀ = V نحو V_∞ = 0 ، وفي نهاية النبضة يصل إلى V₁ الذي نحسبه من القانون العام.
الحافة الهابطة (t = t_p): الدخل يقفز بـ V إلى الأسفل، والخرج يقفز معه إلى V₂ = V₁ − V. هذه قيمة سالبة.
بعد النبضة: الخرج يعود من V₀ = V₂ نحو V_∞ = 0 ، من الجهة السالبة.

استجابة شبكة HP لنبضة (القانون العام على مرحلتين) · תגובת רשת HP לדופק

V₁ = 0 + (V − 0)·e^−t_pτ

V₂ = V₁ − V

v_o(t) = 0 + (V₂ − 0)·e^{−t − t_pτ}

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V₁	جهد الخرج في نهاية النبضة، قبل الحافة الهابطة	[V]
V₂	جهد الخرج مباشرة بعد الحافة الهابطة (سالب)	[V]
v_o(t)	جهد الخرج بعد انتهاء النبضة، t > t_p	[V]

استجابة شبكة HP لنفس النبضة. النقطتان تبيّنان الجهد قبل الحافة الهابطة وبعدها

الحالة	ثابت الزمن	V₁	V₂	شكل الخرج
t_p ≫ τ	0.2 ms	0.03 V	−4.97 V	إبرة موجبة عند الحافة الصاعدة وإبرة سالبة عند الحافة الهابطة
t_p ≈ τ	1 ms	1.84 V	−3.16 V	نبضة مائلة، وبعدها ذيل سالب
t_p ≪ τ	5 ms	4.09 V	−0.91 V	الخرج يشبه النبضة مع ميل صغير في قمتها، وبعدها ذيل سالب صغير وطويل

ملاحظة: الحالة t_p ≫ τ في شبكة HP مهمة في الدوائر الرقمية: الشبكة تحوّل كل حافة في الإشارة إلى إبرة قصيرة، موجبة عند الحافة الصاعدة وسالبة عند الحافة الهابطة. هكذا «نكتشف» لحظة تغيّر الإشارة.

مثال 8.7

نفس النبضة (V = 5 V ، t_p = 1 ms) تدخل إلى شبكة HP ثابت زمنها τ = 1 ms. نحسب جهد الخرج:
(أ) في بداية النبضة.
(ب) في نهاية النبضة، قبل الحافة الهابطة.
(ج) مباشرة بعد الحافة الهابطة.
(د) في اللحظة t = 2 ms.

الحل:

(أ) القفزة تنتقل كلها إلى الخرج: v_o(0) = 5 V.

(ب) أثناء النبضة الخرج يهبط من V₀ = 5 V نحو V_∞ = 0. نعوّض t = t_p في القانون العام:

V₁ = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−t_pτ

V₁ = 0 + (5 − 0)·e⁻¹¹ = 1.84 V

(ج) الدخل يقفز 5 V إلى الأسفل، والخرج يقفز معه:

V₂ = V₁ − V

V₂ = 1.84 − 5 = −3.16 V

(د) بعد النبضة: V₀ = −3.16 V و V_∞ = 0:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_o = 0 + (−3.16 − 0)·e⁻¹¹ = −1.16 V

V₁ = 1.84 V , V₂ = −3.16 V , v_o(2 ms) = −1.16 V

سؤال 8.5: نبضة ارتفاعها 10 V وعرضها 2 ms تدخل إلى شبكة ثابت زمنها τ = 2 ms. ما هو الخرج في نهاية النبضة:
(أ) إذا كانت الشبكة LP ؟
(ب) إذا كانت الشبكة HP ، قبل الحافة الهابطة وبعدها؟

▶تجربة حية — مختبر المكثّف — استجابة النبضةالمختبر يُفتح على لسان المرشّحات مع نبضة واحدة في الدخل. نغيّر عرض النبضة وثابت الزمن، ونرى معا جهد المكثّف Vc (خرج LP) وجهد المقاومة Vr (خرج HP).

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/capacitor?tab=4

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/capacitor?tab=4

الاستجابة لإشارة مربعة دورية – התגובה לאות ריבועי מחזורי:

الإشارة المربعة هي نبضات تتكرر: نصف زمن الدورة الجهد V ، ونصفه الآخر صفر. ما يحدد شكل الخرج هو النسبة بين زمن الدورة T وثابت الزمن τ. في الشكلين إشارة مربعة بين 0 و 5 V ، زمن دورتها T = 1 ms ، والخرج مرسوم بعد أن استقرت الدائرة (كما نراه على راسم الإشارة).

استجابة شبكة LP لإشارة مربعة: في الوسط T ≫ τ ، في الأسفل T ≪ τ

T ≫ τ : في كل نصف دورة يكفي الزمن لشحن كامل أو لتفريغ كامل. الخرج إشارة مربعة حافاتها مدوّرة. الشرط العملي: T2 ≥ 5τ.
T ≪ τ : المكثف لا يكاد يُشحن حتى يبدأ بالتفريغ. الخرج يتأرجح قليلا حول القيمة المتوسطة للدخل، V2 = 2.5 V ، بين 2.38 V و 2.62 V ، وشكله يشبه إشارة مثلثية. الشبكة «تنعّم» الإشارة وتُبقي منها الجهد المستمر فقط.

استجابة شبكة HP لنفس الإشارة المربعة: في الوسط T ≫ τ ، في الأسفل T ≪ τ

T ≫ τ : إبرة موجبة عند كل حافة صاعدة وإبرة سالبة عند كل حافة هابطة، ارتفاع كل واحدة V.
T ≪ τ : الخرج إشارة مربعة تشبه الدخل، لكنها متماثلة حول الصفر: بين +2.5 V و −2.5 V تقريبا. الشبكة تنقل التغيّرات السريعة وتحذف الجهد المستمر.

مثال 8.8

شبكة LP : R = 1 kΩ ، C = 10 nF. ندخل إليها إشارة مربعة بين 0 و 5 V.
(أ) نحسب ثابت الزمن.
(ب) ما هو أعلى تردد يبقى فيه المكثف يُشحن ويتفرغ بشكل كامل في كل دورة؟
(ج) كيف يبدو الخرج عند تردد 1 MHz ؟

الحل:

(أ) ثابت الزمن:

τ = R·C = 1·10³·1·10⁻⁸ = 1·10⁻⁵ s = 10 µs

(ب) الشحن الكامل يحتاج إلى 5τ ، وهو يجب أن ينتهي خلال نصف دورة:

T2 = 5·τ

T = 10·τ = 10·10 = 100 µs

f = 1T = 11·10⁻⁴ = 10 kHz

(ج) عند 1 MHz زمن الدورة T = 1 µs ، وهو أصغر بكثير من τ = 10 µs. الخرج تقريبا جهد مستمر 2.5 V ، وعليه إشارة مثلثية صغيرة.

τ = 10 µs , f = 10 kHz

نشاط: تجربة — استجابة شبكة LP لإشارة مربعة. نبني شبكة LP من R = 10 kΩ و C = 10 nF ونحسب τ. ندخل من مولد الإشارة إشارة مربعة بين 0 و 5 V ، ونعرض v_i و v_o على قناتي راسم الإشارة. (1) نختار ترددا فيه T > τ بكثير (مثلا 500 Hz) ونرسم الخرج. نقيس على الشاشة الزمن الذي يصل فيه الخرج إلى 63% من 5 V ونقارنه مع τ المحسوب. (2) نرفع التردد حتى T = τ ثم حتى T < τ بكثير (مثلا 100 kHz)، وفي كل مرة نرسم الخرج ونقيس جهده من القمة إلى القمة. (3) نبدّل بين المقاومة والمكثف ونعيد التجربة لشبكة HP.

▶تجربة حية — شبكات RC — الإشارة المربعةالمختبر يُفتح على الإشارة المربعة. نختار شبكة LP أو HP ، نغيّر المقاومة والسعة وزمن الدورة، ونرى كيف يتغير شكل الخرج عندما ينتقل τ من قيمة صغيرة إلى قيمة كبيرة.

⚠

https://fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=square

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/electronics/rc_networks?sig=square

لماذا «منخفضة» و«مرتفعة»؟ – מדוע "מעבירה נמוכים" ו"מעבירה גבוהים"?:

رأينا أن المكثف يحتاج إلى زمن كي يغيّر جهده. إشارة بطيئة (تردد منخفض، وفي الحد الأقصى جهد مستمر) تعطيه الزمن الكافي: جهد المكثف يتبع الدخل، ولذلك تصل الإشارة إلى خرج شبكة LP ولا تصل إلى خرج شبكة HP. إشارة سريعة (تردد مرتفع) لا تعطيه زمنا: جهد المكثف يكاد لا يتغير، وكل التغيّر يظهر على المقاومة، أي في خرج شبكة HP. من هنا الاسمان: شبكة LP تمرّر الترددات المنخفضة، وشبكة HP تمرّر الترددات المرتفعة.

ملاحظة: الحد بين «منخفض» و«مرتفع» يحدده أيضا ثابت الزمن: هو التردد f_c = 12·π·R·C. تحليل الشبكتين حسب التردد ليس جزءا من هذا الفصل.

دوائر شحن وتفريغ مع مفتاح – מעגלי טעינה ופריקה עם מפסק:

في أسئلة كثيرة لا تظهر كلمة «درجة»: بدلا منها يوجد مصدر جهد مستمر ومفتاح. إغلاق المفتاح هو بالضبط إشارة درجة. نحل دائما بنفس الخطوات:

نحدد V₀ : جهد المكثف قبل تحريك المفتاح. هو لا يتغير في لحظة التحريك.
نحدد V_∞ : جهد المكثف بعد زمن طويل، عندما لا يمر فيه تيار (نبدّله بدائرة مفتوحة).
نحسب τ = R·C ، حيث R هي المقاومة التي يمر فيها تيار المكثف في وضع المفتاح الجديد.
نعوّض في القانون العام.

مثال 8.9

في الدائرة المرسومة المكثف فارغ. في اللحظة t = 0 نغلق المفتاح S. نحسب:
(أ) ثابت الزمن.
(ب) التيار في لحظة الإغلاق.
(ج) جهد المكثف وجهد المقاومة بعد 0.2 s.
(د) التيار في تلك اللحظة.
(هـ) بعد كم من الزمن ينتهي الشحن؟

الحل:

(أ) ثابت الزمن:

τ = R·C = 2·10⁴·1·10⁻⁵ = 0.2 s

(ب) في لحظة الإغلاق v_C = 0 ، وكل جهد المصدر على المقاومة:

i(0) = VR = 1220000 = 0.6 mA

(ج) الزمن المطلوب يساوي ثابت زمن واحدا. V₀ = 0 و V_∞ = 12 V:

v_C = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ

v_C = 12 + (0 − 12)·e^−0.20.2 = 7.59 V

v_R = V − v_C = 12 − 7.59 = 4.41 V

(د) التيار هو تيار المقاومة:

i = v_RR = 4.4120000 = 0.22 mA

(هـ) نعتبر أن الشحن انتهى بعد 5τ:

t = 5·τ = 5·0.2 = 1 s

τ = 0.2 s , i(0) = 0.6 mA , v_C = 7.59 V , v_R = 4.41 V

ملاحظة: انتبه إلى العلاقة مع الشبكتين: جهد المكثف v_C في هذه الدائرة هو خرج شبكة LP ، وجهد المقاومة v_R هو خرج شبكة HP. التيار i = v_RR له نفس شكل v_R : أعظمي في لحظة الإغلاق، ثم يهبط نحو الصفر.

دائرة مع ثابتي زمن – מעגל עם שני קבועי זמן:

عندما يغيّر المفتاح المقاومة التي يُشحن المكثف عبرها، يتغير ثابت الزمن في منتصف الطريق. نحل كل مرحلة لوحدها مع ثابت الزمن الخاص بها، والقيمة التي ننهي بها مرحلة هي القيمة الابتدائية V₀ للمرحلة التالية. جهد المكثف نفسه لا يقفز في لحظة تحريك المفتاح.

مثال 8.10

في الدائرة المرسومة المكثف فارغ والمفتاح S مفتوح. في اللحظة t = 0 ندخل إشارة درجة ارتفاعها 12 V. في اللحظة التي يصل فيها جهد الخرج إلى 6 V نغلق المفتاح S. نحسب:
(أ) ثابت الزمن عندما المفتاح مفتوح.
(ب) اللحظة التي نغلق فيها المفتاح.
(ج) ثابت الزمن بعد إغلاق المفتاح.
(د) جهد الخرج 10 ms بعد إغلاق المفتاح.
(هـ) كم من الزمن بعد إغلاق المفتاح يصل الخرج إلى 11 V ؟ نرسم v_o كدالة للزمن.

الحل:

(أ) عندما المفتاح مفتوح، تيار المكثف يمر في R₁ وفي R₂ على التوالي:

τ₁ = (R₁ + R₂)·C = (1·10⁴ + 3·10⁴)·1·10⁻⁶ = 40 ms

(ب) مرحلة أولى: V₀ = 0 ، V_∞ = 12 V ، ونبحث عن الزمن الذي فيه v = 6 V:

t₁ = τ₁·ln(V₀ − V_∞v − V_∞) = 40·ln(0 − 126 − 12)

t₁ = 40·ln(2) = 27.7 ms

(ج) المفتاح المغلق هو دائرة قصر على التوازي مع R₂ ، فلا يمر فيها تيار. تبقى R₁ فقط:

τ₂ = R₁·C = 1·10⁴·1·10⁻⁶ = 10 ms

(د) مرحلة ثانية: جهد المكثف لا يقفز، ولذلك V₀ = 6 V. القيمة النهائية ما زالت V_∞ = 12 V. نقيس الزمن من لحظة الإغلاق:

v_o = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ₂

v_o = 12 + (6 − 12)·e⁻¹⁰¹⁰ = 9.79 V

(هـ) نعوّض في قانون الزمن مع τ₂:

Δt = τ₂·ln(V₀ − V_∞v − V_∞) = 10·ln(6 − 1211 − 12)

Δt = 10·ln(6) = 17.9 ms

حتى لحظة الإغلاق الشحن بطيء (τ₁ = 40 ms)، وبعدها أسرع بأربع مرات (τ₂ = 10 ms): في المنحنى «كسر» واضح. الخط المنقط يبيّن كيف كان الشحن يستمر لو بقي المفتاح مفتوحا.

τ₁ = 40 ms , t₁ = 27.7 ms , τ₂ = 10 ms , v_o = 9.79 V , Δt = 17.9 ms

سؤال 8.6: في دائرة المثال السابق نُبقي المفتاح مفتوحا كل الوقت. بعد كم من الزمن منذ القفزة يصل جهد الخرج إلى 11 V ؟

دائرة تأخير مع مُقارن – מעגל השהיה עם משווה:

في الفصل 4 تعلمنا أن المُقارن يقارن بين جهدين: إذا كان V₊ > V₋ فخرجه +V_sat ، وإذا كان V₊ < V₋ فخرجه −V_sat. إذا وصلنا بأحد مدخليه مكثفا يُشحن ببطء، وبالمدخل الآخر جهدا مرجعيا ثابتا، فإن الخرج ينقلب بعد زمن محدد من إغلاق المفتاح. هذه دائرة تأخير (מעגל השהיה).

مثال 8.11

في الدائرة المرسومة مكبر العمليات مثالي ويعمل كمُقارن، V_CC = 12 V و V_sat = ±12 V. المكثف فارغ، وفي اللحظة t = 0 نغلق المفتاح S. نحسب:
(أ) الجهد المرجعي V_ref.
(ب) ثابت الزمن.
(ج) جهد الخرج مباشرة بعد إغلاق المفتاح.
(د) اللحظة التي ينقلب فيها الخرج.
(هـ) أي مقاومة R نختار كي يكون التأخير 2 s ؟ نرسم v_C و V_o.

الحل:

(أ) لا يدخل تيار إلى مدخل المكبر، ولذلك R₁ و R₂ هما مُجزِّء جهد:

V_ref = V_CC·R₂R₁ + R₂

V_ref = 12·2010 + 20 = 8 V

(ب) لنفس السبب تيار المقاومة R كله يشحن المكثف:

τ = R·C = 1·10⁵·1·10⁻⁵ = 1 s

(ج) في البداية V₊ = v_C = 0 ، وهو أقل من V₋ = V_ref = 8 V ، ولذلك V_o = −V_sat = −12 V.

(د) الخرج ينقلب عندما يصل جهد المكثف إلى الجهد المرجعي. المكثف يُشحن من V₀ = 0 نحو V_∞ = 12 V ، ونبحث عن الزمن الذي فيه v_C = 8 V:

Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)

Δt = 1·ln(0 − 128 − 12)

Δt = 1·ln(3) = 1.1 s

ابتداء من هذه اللحظة V₊ > V₋ والخرج +12 V.

(هـ) التأخير متناسب مع τ ، أي مع R. نستخرج R من نفس القانون:

τ = Δtln(3) = 21.099 = 1.82 s

R = τC = 1.821·10⁻⁵ = 182 kΩ

V_ref = 8 V , τ = 1 s , t = 1.1 s , R = 182 kΩ

ملاحظة: الجهد المرجعي يجب أن يكون أقل من الجهد الذي يُشحن نحوه المكثف. إذا كان V_ref ≥ V_CC فجهد المكثف لن يصل إليه أبدا، والخرج لن ينقلب.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
ثابت الزمن	τ = R·C
القانون العام للحالة العابرة	v(t) = V_∞ + (V₀ − V_∞)·e^−Δtτ
الزمن اللازم للوصول إلى الجهد v	Δt = τ·ln(V₀ − V_∞v − V_∞)
نهاية الحالة العابرة	t = 5·τ
شبكة LP: الاستجابة لإشارة الدرجة (V₀ = 0 ، V_∞ = V)	v_o = V·(1 − e^−tτ)
شبكة HP: الاستجابة لإشارة الدرجة (V₀ = V ، V_∞ = 0)	v_o = V·e^−tτ
شبكة LP: الجهد في نهاية النبضة	V₁ = V + (0 − V)·e^−t_pτ
شبكة HP: الجهد قبل الحافة الهابطة	V₁ = 0 + (V − 0)·e^−t_pτ
شبكة HP: الجهد بعد الحافة الهابطة	V₂ = V₁ − V
العلاقة بين الجهود في الشبكة	v_i = v_R + v_C

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
مرشح الترددات المنخفضة	רשת מעבירה נמוכים	Low-pass network (LP)
مرشح الترددات المرتفعة	רשת מעבירה גבוהים	High-pass network (HP)
الاستجابة	תגובה	Response
إشارة الدرجة	אות מדרגה	Step signal
النبضة	דופק	Pulse
عرض النبضة	רוחב הדופק	Pulse width
الحافة الصاعدة / الهابطة	חזית עולה / יורדת	Rising / Falling edge
ثابت الزمن	קבוע זמן	Time constant
الشحن / التفريغ	טעינה / פריקה	Charging / Discharging
الحالة العابرة	מצב מעבר	Transient state
الحالة المستقرة	מצב מתמיד	Steady state
القيمة الابتدائية / النهائية	ערך התחלתי / סופי	Initial / Final value
إشارة مربعة	אות ריבועי	Square wave
دائرة تأخير	מעגל השהיה	Delay circuit
المُقارن	משווה	Comparator
الجهد المرجعي	מתח ייחוס	Reference voltage

أسئلة للتمرين:

نحسب ثابت الزمن لشبكة فيها R = 4.7 kΩ و C = 100 nF. بعد كم من الزمن تنتهي الحالة العابرة؟

الإجابات: τ = 0.47 ms ، 5τ = 2.35 ms

أي مقاومة نوصل مع مكثف 22 nF كي يكون ثابت الزمن 1 ms ؟

الإجابات: R = 45.45 kΩ

نرسم شبكة LP وشبكة HP ، ونكتب لكل واحدة: عن أي مكوّن يؤخذ الخرج؟ ما هو الخرج في لحظة القفزة وما هو في الحالة المستقرة، عندما يكون الدخل درجة ارتفاعها V ؟

الإجابات: شبكة LP : عن المكثف؛ 0 ثم V. شبكة HP : عن المقاومة؛ V ثم 0

ندخل إلى شبكة LP المرسومة درجة ارتفاعها 5 V. نحسب ثابت الزمن وجهد الخرج بعد 0.5 ms ، 1 ms و 3 ms ، ونرسم الخرج تحت الدخل.

الإجابات: τ = 1 ms ؛ 1.97 V ، 3.16 V ، 4.75 V

في شبكة السؤال السابق: بعد كم من الزمن يصل جهد الخرج إلى 4 V ؟

الإجابات: Δt = 1·ln(5) = 1.61 ms

ندخل إلى شبكة HP المرسومة درجة ارتفاعها 8 V. نحسب جهد الخرج في لحظة القفزة، بعد 1 ms وبعد 2 ms. بعد كم من الزمن يهبط الخرج إلى 2 V ؟

الإجابات: τ = 1 ms ؛ 8 V ، 2.94 V ، 1.08 V ؛ Δt = 1.39 ms

بعد كم ثابت زمن يصل مكثف يُشحن إلى 95% تقريبا من جهده النهائي؟ وكم بالمئة من جهده يبقى في مكثف يتفرغ بعد 2τ ؟

الإجابات: بعد 3τ ؛ يبقى 13.5%

مكثف مشحون بجهد 3 V يوصَل في t = 0 عبر مقاومة بمصدر 9 V. ثابت الزمن 2 ms. نحسب جهد المكثف بعد 2 ms ، والزمن الذي يصل فيه إلى 6 V.

الإجابات: v_C = 6.79 V ، Δt = 1.39 ms

نبضة ارتفاعها 10 V وعرضها 2 ms تدخل إلى شبكة LP ثابت زمنها 1 ms. نحسب جهد الخرج في نهاية النبضة وفي اللحظة t = 3 ms ، ونرسم الخرج.

الإجابات: V₁ = 8.65 V ، v_o(3 ms) = 3.18 V

10.

نفس النبضة تدخل إلى شبكة HP ثابت زمنها 1 ms. نحسب جهد الخرج قبل الحافة الهابطة، مباشرة بعدها، وفي اللحظة t = 3 ms ، ونرسم الخرج.

الإجابات: V₁ = 1.35 V ، V₂ = −8.65 V ، v_o(3 ms) = −3.18 V

11.

شبكة LP : R = 10 kΩ ، C = 10 nF ، والدخل إشارة مربعة. ما هو أعلى تردد يُشحن فيه المكثف شحنا كاملا في كل نصف دورة؟ وكيف يبدو الخرج عند تردد 100 kHz ؟

الإجابات: τ = 0.1 ms ، T = 10τ = 1 ms ، f = 1 kHz ؛ عند 100 kHz : إشارة مثلثية صغيرة حول القيمة المتوسطة

12.

في الدائرة المرسومة المكثف فارغ، ونغلق المفتاح في t = 0. نحسب ثابت الزمن، التيار في لحظة الإغلاق، جهد المكثف بعد 3 s ، والزمن الذي يصل فيه جهد المكثف إلى 6 V.

الإجابات: τ = 3 s ، i(0) = 0.3 mA ، v_C = 5.69 V ، Δt = 3.3 s

13.

في الدائرة المرسومة المكثف يُشحن عبر R₁ عندما المفتاح في الوضع 1 ، ويتفرغ عبر R₂ عندما المفتاح في الوضع 2. بقي المفتاح في الوضع 1 زمنا طويلا، وفي t = 0 ننقله إلى الوضع 2. نحسب ثابت الزمن في كل وضع، جهد المكثف في t = 0 ، جهده بعد 40 ms ، والزمن الذي يهبط فيه إلى 3 V.

الإجابات: τ₁ = 10 ms ، τ₂ = 40 ms ؛ 12 V ؛ 4.41 V ؛ Δt = 55.5 ms

14.

في دائرة التأخير المرسومة V_CC = 10 V و V_sat = ±10 V ، والمكثف فارغ. نغلق المفتاح في t = 0. نحسب V_ref ، ثابت الزمن، واللحظة التي ينقلب فيها الخرج. ما هو جهد الخرج قبل هذه اللحظة وبعدها؟

الإجابات: V_ref = 5 V ، τ = 1 s ، Δt = 0.69 s ؛ قبلها −10 V وبعدها +10 V

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

8.1 τ = 47 ms

8.2 v_o = 3.16 V ؛ بعد 5τ = 10 ms

8.3 τ = 2 ms ، v_o(0) = 6 V ، v_o(4 ms) = 0.81 V

8.4 Δt = 5·ln(4) = 6.93 ms

8.5 (أ) 6.32 V ، (ب) 3.68 V قبلها و −6.32 V بعدها

8.6 Δt = 40·ln(12) = 99.4 ms

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 8

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، في موضوع الإلكترونيات والحاسوب (אלקטרוניקה ומחשבים)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 5 — مقارن مع شبكة تأخير (LP) وLED

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	Y وجهد الخرج (المفتاح مفتوح)	في الحل الكامل
البند ب	ثابت الزمن، زمن الإضاءة، وجهد X عند t=20s	في الحل الكامل
البند ج	رسم X(t) وV_o(t) للمجال 0<t<30s	في الحل الكامل
البند د	المقاوم R₄ لتشغيل سليم للـ LED	R₄ = 960 Ω

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2025 السؤال 5 — دائرة شحن RC مع مفتاح وقفزة جهد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	ثابت الزمن τ (المفتاح مفتوح)	τ = 25 s
البند ب	الزمن الذي يصل فيه الخرج إلى 5V	t ≈ 7.19 s
البند ج	جهد الخرج بعد 2 ثانية من إغلاق المفتاح	في الحل الكامل
البند د	رسم V_o(t)	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2024 السؤال 5 — مرشّح LP، مضخّم وحدة وليد (LED)

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	جهد الخرج V_o في اللحظتين t = 8s و t = 20s	V_o(8s) ≈ 7.36 V ; V_o(20s) ≈ 1.0 V
البند ب	رسم V_i(t) و V_o(t) في المقطع 0 < t < 20s	في الحل الكامل
البند ج	الفترة الزمنيّة التي يضيء فيها الليد (LED)	في الحل الكامل
البند د	قيمة المقاوم R₂ للعمل السليم	R₂ = 400 Ω

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2022 السؤال 3 — مقارن مع شبكة HP (مرشّح تمرير عالٍ)

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهود في النقطتين A, B وفي الخرج (المفتاح مفتوح)	في الحل الكامل
البند ب	شكلا الموجة V_o و-V_B بعد إغلاق المفتاح (0 ≤ t ≤ 50s)	في الحل الكامل
البند ج	الأزمنة الّتي يغيّر فيها جهد الخرج قيمته	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2021 (موعد ب) السؤال 5 — مرشّح RC ذو تمرير منخفض مع دخل نبضة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	رسم جهد الخرج V_o(t)	في الحل الكامل
البند ب	القيمة القصوى لـ V_o	V_o(max) ≈ 3.57 V
البند ج	جهد الخرج عند t = 15 ms	V_o(15ms) ≈ 1.91 V
البند د	تصغير المقاوم R إلى النصف	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021-b في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2021 السؤال 5 — مرشّح تمرير عالٍ (HP) في الاستجابة لإشارة شبيهة بالدرجة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	نوع المرشّح	في الحل الكامل
البند ب	شكل إشارة الخرج V_o(t)	في الحل الكامل
البند ج	جهد الخرج عند t = 3 ms	V_o(3ms) ≈ -5.27 V
البند د	الزمن t الذي عنده V_o = -8V	t ≈ 2.58 ms

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2020 السؤال 5 — مرشّح تمرير التردّدات العالية (HPF) ومقارن مع ليد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد في النقطتين A وB وجهد الخرج (المفتاح مفتوح)	في الحل الكامل
البند ب	رسم V_B(t) وV_o(t) بعد إغلاق المفتاح عند t=0	في الحل الكامل
البند ج	مدّة الزمن الذي يضيء فيه الليد	في الحل الكامل
البند د	فتح المفتاح لمدّة 10 ثوانٍ وإغلاقه من جديد	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2017 السؤال 3 — مرشّح LP، مقارِن وليد LED

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد في النقطة X	V_X = 6 V
البند ب	رسم V_C(t) وV_o(t)	في الحل الكامل
البند ج	الزمن حتّى إضاءة الـLED	t ≈ 1.39 s
البند د	مقاومة المقاوم R_L	R_L = 1050 Ω

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2017 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)