الفصل 9

تحويل الإشارات

המרת אותות

الصف الحادي عشر · 10 ساعات تعليمية

الصوت، درجة الحرارة وشدة الضوء هي إشارات تماثلية، أما الحاسوب والمتحكم فلا يفهمان إلا الأرقام. لكي يقيس الحاسوب درجة حرارة أو يسجّل صوتا يجب أن نحوّل الجهد التماثلي إلى كلمة رقمية، ولكي يُسمعنا موسيقى مخزونة في ذاكرته يجب أن نحوّل الكلمات الرقمية إلى جهد من جديد. في هذا الفصل نتعرف على المحوِّلين اللذين يربطان بين العالمين، ونتعلم كيف نحسب جهد الخرج، الكلمة الرقمية وقدرة التمييز.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نشرح لماذا نحوّل الإشارة التماثلية إلى رقمية وبالعكس، ونرسم المخطط الصندوقي لنظام كامل.
نحوّل كلمة ثنائية إلى عدد عشري وبالعكس، ونحسب عدد المستويات 2ⁿ.
نحسب قدرة التمييز ΔV وجهد الخرج V_o لمحوِّل رقمي إلى تماثلي حسب كلمة الدخل.
نحلل محوِّلا من نوع شبكة السلم R–2R مع مكبر عمليات ونحسب جهد خرجه.
نحسب الكلمة الرقمية في خرج محوِّل تماثلي إلى رقمي حسب جهد الدخل.
نشرح طريقة عمل محوِّل «جهد الدرجات» ونحسب زمن التحويل.

הצורך בהמרת אותות אנלוגיים לספרתיים ולהיפך – الحاجة إلى تحويل الإشارات التماثلية إلى رقمية وبالعكس (Why Convert Signals)

تعلمنا في الفصل 1 أن الإشارة التماثلية متصلة وتأخذ أي قيمة، وأن الإشارة الرقمية مبنية من بتات قيمة كل منها 0 أو 1. المجسات تُخرج إشارات تماثلية، والسماعات والمحركات تحتاج إلى إشارات تماثلية، لكن المعالجة نفسها تتم اليوم في دوائر رقمية. لذلك نحتاج إلى دائرتين تنقلان الإشارة من عالم إلى آخر:

المحوِّل التماثلي إلى رقمي (ממיר אנלוגי לספרתי, A/D): هو دائرة تستقبل جهدا تماثليا V_i وتُخرج كلمة رقمية تتناسب قيمتها مع هذا الجهد. نرمز له ADC أو A/D.

المحوِّل الرقمي إلى تماثلي (ממיר ספרתי לאנלוגי, D/A): هو دائرة تستقبل كلمة رقمية وتُخرج جهدا تماثليا V_o يتناسب مع قيمة هذه الكلمة. نرمز له DAC أو D/A.

المخطط الصندوقي لنظام كامل: المجس يُخرج إشارة تماثلية ضعيفة، المُكبر يكبّرها، المحوِّل ADC يحوّلها إلى كلمات رقمية، المعالج يعالجها أو يخزنها، والمحوِّل DAC يعيدها إلى جهد تماثلي يشغّل عنصر التنفيذ

لماذا نعالج الإشارة بشكل رقمي؟ – מדוע ספרתי:

مناعة ضد الضجيج: في الإشارة الرقمية يوجد مستويان فقط، ولذلك تشويش صغير على الجهد لا يغيّر 0 إلى 1. في الإشارة التماثلية كل تشويش يضاف إلى الإشارة ولا نستطيع فصله عنها.
التخزين: الأرقام تُخزن في الذاكرة بدون أن تتغير مع الزمن، ونستطيع نسخها مرات كثيرة بدون أن تفقد من جودتها.
المعالجة: المعالج يُجري على الأرقام عمليات حسابية ومنطقية بحسب برنامج، ونغيّر عمل النظام بتغيير البرنامج فقط، بدون تغيير الدائرة.

تذكير: الأعداد الثنائية – תזכורת: מספרים בינאריים:

الكلمة الرقمية (מילה ספרתית): هي مجموعة من n بتات تمثل معا عددا واحدا. لكل بت وزن (משקל) هو قوة للعدد 2. البت الأيسر هو البت الأعلى وزنا MSB (הסיבית המשמעותית ביותר)، والبت الأيمن هو البت الأدنى وزنا LSB (הסיבית הפחות משמעותית) ووزنه 1.

القيمة العشرية للكلمة وعدد المستويات · הערך העשרוני של מילה ומספר הרמות

N = b_n−1·2ⁿ⁻¹ + ... + b₁·2¹ + b₀·2⁰

M = 2ⁿ

N_max = 2ⁿ − 1

الرمز	المعنى	وحدة القياس
N	القيمة العشرية للكلمة، و b₀ ... b_n−1 بتاتها	—
n	عدد البتات	—
M	عدد المستويات: عدد الكلمات المختلفة الممكنة	—
N_max	أكبر قيمة عشرية، حين تكون كل البتات 1	—

مثال 9.1

نحوّل الكلمة الثنائية 10110100 إلى عدد عشري.

الحل:

نكتب الكلمة تحت الأوزان، ونجمع أوزان البتات التي قيمتها 1 فقط:

N = 2⁷ + 2⁵ + 2⁴ + 2²

N = 128 + 32 + 16 + 4 = 180

N = 180

مثال 9.2

نحوّل العدد العشري 100 إلى كلمة ثنائية من 8 بتات.

الحل:

نبحث في كل مرة عن أكبر وزن لا يزيد عن الباقي، نطرحه، ونكتب 1 في مكانه:

100 − 64 = 36

36 − 32 = 4

4 − 4 = 0

استعملنا الأوزان 64 , 32 , 4 ، فنكتب 1 في أماكنها و 0 في بقية الأماكن:

100 = 01100100

سؤال 9.1: (أ) ما هي القيمة العشرية للكلمة 01011010؟
(ب) نكتب العدد 37 ككلمة من 8 بتات.
(ج) كم مستوى يوجد لكلمة من 6 بتات؟

המרת אות ספרתי לאנלוגי. חישוב מתח המוצא בתלות במילת המבוא הספרתית. כושר ההבחנה – تحويل إشارة رقمية إلى تماثلية: جهد الخرج حسب كلمة الدخل وقدرة التمييز (D/A Conversion)

للمحوِّل DAC يوجد n مداخل رقمية، مدخل لكل بت، ومخرج تماثلي واحد. يحتاج المحوِّل أيضا إلى جهد مرجعي V_ref (מתח ייחוס) ثابت ودقيق، ومنه يبني جهد الخرج.

كلمة من n بتات تأخذ 2ⁿ قيمة مختلفة فقط، ولذلك جهد الخرج لا يتغير بشكل متصل، بل يقفز من مستوى إلى مستوى في درجات متساوية.

قدرة التمييز (כושר הבחנה (רזולוציה)): هي أصغر تغيّر ممكن في جهد خرج المحوِّل: مقدار ارتفاع جهد الخرج عندما تزداد كلمة الدخل بواحد. هذا هو الجهد الذي يساهم به البت LSB. رمزها ΔV ، ونسميها أيضا الدرجة (מדרגה).

قدرة التمييز وجهد الخرج في محوِّل DAC · כושר ההבחנה ומתח המוצא

ΔV = V_ref2ⁿ

V_o = N·ΔV

V_FS = (2ⁿ − 1)·ΔV

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΔV	قدرة التمييز: جهد الدرجة الواحدة	[V]
V_ref	الجهد المرجعي ( n هو عدد البتات)	[V]
N	القيمة العشرية لكلمة الدخل	—
V_o	جهد الخرج	[V]
V_FS	جهد السلّم الكامل: أكبر جهد خرج، حين تكون كل البتات 1. هو أصغر من V_ref بدرجة واحدة	[V]

رمز محوِّل DAC من 4 بتات

مثال 9.3

محوِّل DAC من 4 بتات، جهده المرجعي V_ref = 8 V. نحسب:
(أ) قدرة التمييز.
(ب) جهد الخرج للكلمة 1011.
(ج) أكبر جهد خرج.

الحل:

(أ) قدرة التمييز:

ΔV = V_ref2ⁿ

ΔV = 82⁴ = 816 = 0.5 V

(ب) نحوّل الكلمة إلى عدد عشري، ثم نضرب في قدرة التمييز:

N = 8 + 2 + 1 = 11

V_o = N·ΔV

V_o = 11·0.5 = 5.5 V

(ج) أكبر جهد خرج نحصل عليه للكلمة 1111:

V_FS = (2ⁿ − 1)·ΔV

V_FS = 15·0.5 = 7.5 V

ΔV = 0.5 V , V_o = 5.5 V , V_FS = 7.5 V

إذا أدخلنا إلى المحوِّل كل الكلمات بالترتيب، من الصفر حتى أكبر كلمة، ورسمنا جهد الخرج، نحصل على شكل درج. الشكل التالي مرسوم لمحوِّل من 3 بتات جهده المرجعي 8 V ، أي ΔV = 1 V.

جهد الخرج V_o حسب كلمة الدخل لمحوِّل DAC من 3 بتات: 8 مستويات و 7 درجات، وأكبر جهد هو 7 V

انتبه: في بعض الأسئلة لا يُعطى الجهد المرجعي، بل يُعطى أكبر جهد خرج V_FS (حين تكون كل البتات 1). عندها نقسم على عدد الدرجات وليس على عدد المستويات: ΔV = V_FS2ⁿ − 1. مثلا: محوِّل من 8 بتات أكبر جهد خرج له 5.1 V ، فنحسب ΔV = 5.1255 = 0.02 V = 20 mV. هذا المحوِّل جهده المرجعي 5.12 V ، وبالقانون الأول نحصل على النتيجة نفسها: 5.12256 = 20 mV. نقرأ صيغة السؤال بدقة: إذا أُعطي V_ref نقسم على 2ⁿ ، وإذا أُعطي أكبر جهد خرج نقسم على 2ⁿ − 1.

تأثير عدد البتات: كلما زاد عدد البتات صغرت الدرجة وصار جهد الخرج أقرب إلى إشارة متصلة. الجدول التالي محسوب لجهد مرجعي V_ref = 10.24 V:

عدد البتات n	عدد المستويات 2ⁿ	قدرة التمييز ΔV
4	16	640 mV
6	64	160 mV
8	256	40 mV
10	1024	10 mV

سؤال 9.2: محوِّل DAC من 4 بتات جهده المرجعي 4 V. ما هي قدرة التمييز؟ وما هو جهد الخرج للكلمة 0110؟

ממיר D/A מסוג רשת סולם נגדים R–2R, חישובים בממיר – محوِّل رقمي إلى تماثلي من نوع شبكة السلم R–2R (R–2R Ladder DAC)

كيف نبني دائرة يتناسب جهد خرجها مع قيمة الكلمة؟ الفكرة: كل بت يساهم في الخرج بمقدار يتناسب مع وزنه، ثم نجمع المساهمات كلها. الدائرة التي تجمع هي المكبر الجامع الذي تعلمناه في الفصل 2.

الفكرة البسيطة: مقاومات موزونة – נגדים משוקללים:

نوصل كل بت إلى المدخل العاكس للمكبر الجامع عبر مقاومة. للبت الأعلى وزنا نختار المقاومة الأصغر R ، ولكل بت بعده مقاومة مضاعفة: 2R ، 4R ، 8R. هكذا يمرّر كل بت نصف تيار البت الذي قبله. جهد البت هو V_H عندما قيمته 1 و 0 V عندما قيمته 0.

محوِّل DAC من 4 بتات بمقاومات موزونة: مكبر جامع مقاوماته R ، 2R ، 4R ، 8R

مثال 9.4

في الدائرة التي في الشكل: R = 10 kΩ ، R_f = 8 kΩ ، وجهد البت في الحالة 1 هو V_H = 5 V. نحسب جهد الخرج للكلمة 1010.

الحل:

المدخل العاكس هو أرضي افتراضي (0 V) ، ولذلك تيار كل بت قيمته 1 هو جهده مقسوما على مقاومته. في الكلمة 1010 البتان b₃ و b₁ قيمتهما 1:

I₃ = V_HR = 5 V10 kΩ = 0.5 mA

I₁ = V_H4R = 5 V40 kΩ = 0.125 mA

التياران يجتمعان ويمران في مقاومة التغذية الراجعة R_f:

V_o = −R_f·(I₃ + I₁)

V_o = −8 kΩ·0.625 mA = −5 V

الإشارة السالبة ناتجة عن المكبر العاكس.

V_o = −5 V

ملاحظة: عيب هذه الطريقة: كل بت يحتاج إلى مقاومة بقيمة مختلفة ودقيقة جدا. في محوِّل من 8 بتات المقاومة الكبرى هي 128R ، وخطأ صغير في المقاومة الصغرى يفسد مساهمة البتات الدنيا. لذلك نستعمل في الواقع شبكة فيها قيمتان فقط.

شبكة السلم – רשת סולם נגדים R–2R:

شبكة السلم R–2R (רשת סולם נגדים): هي شبكة مبنية من مقاومات لها قيمتان فقط: R و 2R ، مرتبة على شكل سلّم. الشبكة تقسم تيار المصدر المرجعي إلى نصفين مرة بعد مرة، فيمر في كل «درجة» من السلم نصف التيار الذي يمر في الدرجة التي قبلها.

محوِّل DAC من 4 بتات من نوع شبكة السلم مع مكبر عمليات. المفاتيح مرسومة للكلمة 1010

لكل بت يوجد مفتاح ذو وضعين. عندما قيمة البت 1 يوصل المفتاح المقاومة 2R إلى المدخل العاكس لمكبر العمليات، وعندما قيمته 0 يوصلها إلى الأرضي. المدخل العاكس هو أرضي افتراضي جهده 0 V ، إذن:

الفكرة الأولى: في الوضعين يكون الطرف السفلي للمقاومة 2R عند الجهد 0 V. لذلك التيارات I₃ ، I₂ ، I₁ ، I₀ في الشبكة لا تتغير عندما نغيّر الكلمة. المفتاح يقرر فقط إلى أين يذهب التيار: إلى المكبر (فيساهم في الخرج) أو إلى الأرضي (فلا يساهم).

الفكرة الثانية: المقاومة التي نراها من كل عقدة نحو اليمين هي R. نبدأ من الطرف الأيمن للسلم ونبسّط خطوة بعد خطوة:

(1) عند العقدة الأخيرة مقاومتان 2R على التوازي

(2) المحصلة R على التوالي مع R

(3) من جديد 2R على التوازي مع 2R

2R ∥ 2R = 2R·2R2R + 2R = R

R + R = 2R

الصورة تتكرر عند كل عقدة: التيار الواصل إلى العقدة يجد أمامه فرعين متساويين، المقاومة 2R النازلة وبقية السلم التي محصلتها 2R أيضا. لذلك ينقسم التيار عند كل عقدة إلى نصفين متساويين. المقاومة التي يراها المصدر المرجعي هي R ، وتياره I = V_refR ، ومنه:

I₃ = I2 ، I₂ = I4 ، I₁ = I8 ، I₀ = I16. التيار I_T الذي يصل إلى المكبر هو مجموع تيارات البتات التي قيمتها 1 فقط، وهو يمر في R_f:

I_T = V_refR·(b₃2 + b₂4 + b₁8 + b₀16) = V_refR·N16

V_o = −R_f·I_T

جهد الخرج في محوِّل شبكة السلم R–2R · מתח המוצא בממיר R–2R

V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ

ΔV = R_fR·V_ref2ⁿ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V_o	جهد الخرج، و V_ref الجهد المرجعي	[V]
R_f	مقاومة التغذية الراجعة	[Ω]
R	مقاومة الشبكة (المقاومات الأفقية)	[Ω]
N	القيمة العشرية للكلمة من n بتات	—
ΔV	قدرة التمييز (مقدار الدرجة)	[V]

ملاحظة: إذا اخترنا R_f = R نحصل على V_o = −N·V_ref2ⁿ ، أي نفس قانون البند السابق مع إشارة سالبة سببها المكبر العاكس. لنحصل على جهد خرج موجب نستعمل جهدا مرجعيا سالبا.

مثال 9.5

في الدائرة التي في الشكل السابق: V_ref = 8 V ، R = 10 kΩ ، 2R = 20 kΩ ، R_f = 10 kΩ. نحسب تيارات الشبكة وجهد الخرج للكلمة 1010.

الحل:

المقاومة التي يراها المصدر المرجعي هي R ، فتيار المصدر:

I = V_refR = 8 V10 kΩ = 0.8 mA

التيار ينقسم إلى نصفين عند كل عقدة:

I₃ = 0.82 = 0.4 mA

I₂ = 0.42 = 0.2 mA

I₁ = 0.22 = 0.1 mA

I₀ = 0.12 = 0.05 mA

في الكلمة 1010 المفتاحان b₃ و b₁ في الوضع 1 ، فتياراهما يصلان إلى المكبر:

I_T = I₃ + I₁ = 0.4 + 0.1 = 0.5 mA

V_o = −R_f·I_T

V_o = −10 kΩ·0.5 mA = −5 V

فحص بواسطة القانون، مع N = 10:

V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ = −1010·8·1016 = −5 V

I = 0.8 mA , V_o = −5 V

لنفس المحوِّل مقدار الدرجة هو ΔV = R_fR·V_ref2ⁿ = 0.5 V ، ولكل كلمة V_o = −N·ΔV. نلاحظ في الجدول أن البت b₃ وحده يعطي نصف الجهد المرجعي، وكل بت بعده يعطي نصف مساهمة البت الذي قبله:

الكلمة	القيمة العشرية N	جهد الخرج V_o
0001	1	−0.5 V
0010	2	−1 V
0100	4	−2 V
1000	8	−4 V
1111	15	−7.5 V

ملاحظة: أفضليات شبكة السلم: نحتاج إلى قيمتين فقط من المقاومات مهما كان عدد البتات، وتيار المصدر المرجعي ثابت لا يتعلق بالكلمة. إذا كان R_f مختلفا عن R يتغير مقدار الدرجة بالنسبة R_fR.

سؤال 9.3: في محوِّل شبكة السلم من 4 بتات: V_ref = 8 V و R_f = R. ما هو جهد الخرج للكلمة 0110؟ وما هي مساهمة البت b₂ وحده؟

המרת אות אנלוגי לספרתי. חישוב מילת המוצא הספרתית בתלות במתח המבוא התקבילי. חישוב כושר ההבחנה – تحويل إشارة تماثلية إلى رقمية: كلمة الخرج حسب جهد الدخل وقدرة التمييز (A/D Conversion)

المحوِّل ADC يعمل بالاتجاه المعاكس: يقيس جهد الدخل V_i ويُخرج العدد الذي يقول كم درجة كاملة يحتوي هذا الجهد. هذا يشبه قياس طول بمسطرة مقسمة إلى ملمترات: نقرأ عدد الملمترات الكاملة، وما هو أقل من ملمتر لا نراه.

رمز محوِّل ADC من 4 بتات

قدرة التمييز وكلمة الخرج في محوِّل ADC · כושר ההבחנה ומילת המוצא

ΔV = V_ref2ⁿ

N = V_iΔV

V_i,max = (2ⁿ − 1)·ΔV

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΔV	قدرة التمييز: أصغر تغيّر في جهد الدخل يغيّر كلمة الخرج	[V]
V_i	جهد الدخل التماثلي	[V]
N	القيمة العشرية لكلمة الخرج: نأخذ الجزء الصحيح فقط من ناتج القسمة	—
V_i,max	جهد الدخل الذي تبدأ عنده أكبر كلمة (كل البتات 1)	[V]

خطأ التكميم (שגיאת הכימוי (קוונטיזציה)): هو الفرق بين جهد الدخل الحقيقي والجهد الذي تمثله كلمة الخرج، N·ΔV. المحوِّل «يرمي» الكسر، ولذلك الخطأ دائما أصغر من درجة واحدة ΔV.

مثال 9.6

محوِّل ADC من 3 بتات، جهده المرجعي V_ref = 8 V. ندخل إليه الجهد V_i = 5.6 V. نحسب كلمة الخرج وخطأ التكميم.

الحل:

ΔV = V_ref2ⁿ = 88 = 1 V

V_iΔV = 5.61 = 5.6

نأخذ الجزء الصحيح فقط، ونحوّله إلى كلمة ثنائية من 3 بتات:

N = 5 = 101

الكلمة تمثل الجهد N·ΔV ، والباقي هو خطأ التكميم:

N·ΔV = 5·1 = 5 V

5.6 − 5 = 0.6 V

N = 101

منحنى الانتقال لمحوِّل ADC من 3 بتات، V_ref = 8 V: كلمة الخرج تبقى ثابتة على طول درجة كاملة ثم تقفز. الخط المنقط هو الخط المستقيم المثالي، والبعد الأفقي بينه وبين الدرج هو خطأ التكميم

ملاحظة: كل الجهود بين 5 V و 6 V تعطي نفس الكلمة 101 ، والمحوِّل لا يميز بينها. عندما يصل جهد الدخل إلى V_i,max = 7 V نحصل على أكبر كلمة 111 ، وكل جهد أعلى من ذلك يعطي الكلمة نفسها: المحوِّل وصل إلى نهاية مجاله.

مثال 9.7

عندما ندخل إلى محوِّل ADC من 8 بتات الجهد V_i = 1.2 V نحصل في خرجه على الكلمة 01111000. للجهد 0 V نحصل على الكلمة 00000000.
(أ) ما هي قدرة التمييز؟
(ب) أي كلمة نحصل عليها للجهد V_i = 0.45 V؟
(ج) أي جهد دخل يلائم الكلمة 11001000؟
(د) أي كلمة نحصل عليها للجهد V_i = 3 V؟

الحل:

(أ) نحوّل الكلمة المعطاة إلى عدد عشري. هذا العدد هو عدد الدرجات التي يحتويها الجهد 1.2 V:

N = 64 + 32 + 16 + 8 = 120

ΔV = V_iN = 1.2120 = 0.01 V = 10 mV

(ب) نقسم الجهد على قدرة التمييز ونحوّل إلى كلمة ثنائية:

N = V_iΔV = 0.450.01 = 45

45 = 00101101

(ج) نحوّل الكلمة إلى عدد عشري ونضرب في قدرة التمييز:

N = 128 + 64 + 8 = 200

V_i = N·ΔV = 200·0.01 = 2 V

(د) نفحص أولا الجهد الذي تبدأ عنده أكبر كلمة:

V_i,max = (2ⁿ − 1)·ΔV = 255·0.01 = 2.55 V

الجهد 3 V أعلى من هذه القيمة، فالمحوِّل وصل إلى نهاية مجاله ويُخرج أكبر كلمة: 11111111.

ΔV = 10 mV , 00101101 , V_i = 2 V , 11111111

ملاحظة: المتحكمات، مثل Arduino UNO، تحتوي على محوِّل ADC داخلي من 10 بتات يعمل بجهد مرجعي 5 V: قدرة تمييزه 5 V1024 ≈ 4.88 mV ، وأكبر قيمة يُخرجها هي 1023.

سؤال 9.4: محوِّل ADC من 4 بتات، V_ref = 8 V. ما هي كلمة الخرج للجهد V_i = 3.8 V؟ وما هو خطأ التكميم؟

ממיר A/D מסוג "מתח מדרגות" – محوِّل تماثلي إلى رقمي من نوع «جهد الدرجات» (Counter-Ramp ADC)

كيف نبني محوِّل ADC؟ أبسط طريقة تستعمل ما تعلمناه حتى الآن: نبني جهدا يصعد درجة بعد درجة بواسطة عدّاد ومحوِّل DAC ، ونقارنه مع جهد الدخل بواسطة مُقارن. عدد الدرجات التي صعدناها حتى تجاوزنا جهد الدخل هو الكلمة المطلوبة.

محوِّل «جهد الدرجات» (محوِّل العدّاد) (ממיר "מתח מדרגות"): هو محوِّل ADC مبني من عدّاد، محوِّل DAC ومُقارن. العدّاد (מונה) يعدّ نبضات إشارة الساعة، المحوِّل DAC يحوّل العدد إلى جهد درجات V_DAC ، والمُقارن يوقف العدّ عندما يتجاوز هذا الجهد جهد الدخل.

المخطط الصندوقي لمحوِّل «جهد الدرجات»: المُقارن يقارن جهد الدخل V_i مع جهد الدرجات V_DAC ، وخرجه يفتح البوابة أمام نبضات الساعة أو يغلقها

في بداية التحويل نصفّر العدّاد، فيكون N = 0 وجهد الدرجات V_DAC = 0 V.
ما دام V_i > V_DAC يكون خرج المُقارن في المستوى المرتفع، والبوابة AND تمرّر نبضات الساعة إلى العدّاد.
مع كل نبضة ساعة يزداد العدّاد بواحد، وجهد الدرجات يصعد درجة واحدة ΔV.
عندما يصبح V_DAC أكبر من V_i ينتقل خرج المُقارن إلى المستوى المنخفض، فتُغلق البوابة ويتوقف العدّاد.
العدد الذي بقي في العدّاد هو كلمة الخرج. بعد قراءتها نصفّر العدّاد ونبدأ تحويلا جديدا.

زمن التحويل في محوِّل «جهد الدرجات» · זמן ההמרה

t_c = N·T_CLK

t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK

T_CLK = 1f_CLK

الرمز	المعنى	وحدة القياس
t_c	زمن التحويل: من بداية العدّ حتى توقف العدّاد	[s]
N	عدد النبضات التي عدّها العدّاد، وهو قيمة كلمة الخرج	—
T_CLK	زمن الدورة لإشارة الساعة، و f_CLK ترددها	[s]
t_c,max	أطول زمن تحويل، حين يصل العدّاد إلى أكبر كلمة	[s]

مثال 9.8

محوِّل «جهد الدرجات» من 4 بتات: V_ref = 8 V وتردد إشارة الساعة f_CLK = 1 kHz. ندخل إليه الجهد V_i = 3.3 V. نحسب:
(أ) كلمة الخرج.
(ب) زمن التحويل.
(ج) أطول زمن تحويل ممكن.

الحل:

مقدار الدرجة وزمن الدورة لإشارة الساعة:

ΔV = V_ref2ⁿ = 816 = 0.5 V

T_CLK = 1f_CLK = 11000 = 0.001 s = 1 ms

(أ) جهد الدرجات يصعد 0.5 V مع كل نبضة. بعد 6 نبضات يكون V_DAC = 3 V ، وهو ما زال أصغر من V_i. بعد النبضة رقم 7 يصبح V_DAC = 3.5 V ، أكبر من 3.3 V ، فيتوقف العدّاد:

N = 7 = 0111

(ب) العدّاد عدّ 7 نبضات:

t_c = N·T_CLK = 7·1 = 7 ms

(ج) في أسوأ حالة يعدّ العدّاد حتى الكلمة 1111:

t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK = 15·1 = 15 ms

N = 0111 , t_c = 7 ms , t_c,max = 15 ms

انتبه: في هذا المحوِّل يتوقف العدّاد عند أول درجة أعلى من جهد الدخل، ولذلك الكلمة هنا أكبر بواحد من الجزء الصحيح للقسمة V_iΔV (في المثال: 3.30.5 = 6.6 والعدّاد توقف عند 7). الخطأ يبقى أصغر من درجة واحدة. في سؤال عن محوِّل ADC عام نحسب حسب قانون البند السابق.

مثال 9.9

محوِّل «جهد الدرجات» يعمل بإشارة ساعة ترددها f_CLK = 100 kHz. نحسب أطول زمن تحويل:
(أ) لمحوِّل من 8 بتات.
(ب) لمحوِّل من 10 بتات.

الحل:

T_CLK = 1f_CLK = 1100000 = 10 µs

(أ) لمحوِّل من 8 بتات:

t_c,max = (2⁸ − 1)·T_CLK = 255·10 µs = 2.55 ms

(ب) لمحوِّل من 10 بتات:

t_c,max = (2¹⁰ − 1)·T_CLK = 1023·10 µs = 10.23 ms

t_c,max = 2.55 ms , t_c,max = 10.23 ms

لماذا هذا المحوِّل بطيء؟ لأنه يصعد درجة واحدة فقط في كل نبضة ساعة، ويبدأ دائما من الصفر. كل بت إضافي يضاعف عدد الدرجات، وبذلك يضاعف تقريبا أطول زمن تحويل، كما رأينا في المثال: زيادة بتّين جعلت الزمن أطول بأربع مرات تقريبا. عيب آخر: زمن التحويل ليس ثابتا، بل يتعلق بجهد الدخل. لذلك يلائم هذا المحوِّل إشارات تتغير ببطء، مثل درجة الحرارة، وأفضليته أنه بسيط ورخيص. توجد محوِّلات أسرع، مثل محوِّل التقريب المتتالي (SAR) والمحوِّل الوميضي (Flash) ، لكنها خارج مادة هذا الفصل.

سؤال 9.5: في محوِّل «جهد الدرجات» من 4 بتات مقدار الدرجة ΔV = 0.5 V وتردد الساعة 2 kHz. ندخل الجهد V_i = 5.2 V. عند أي عدد يتوقف العدّاد؟ وما هو زمن التحويل؟

▶تجربة حية — مختبر

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/AD_DA/adc_dac_lab

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/AD_DA/adc_dac_lab

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
القيمة العشرية لكلمة من n بتات	N = b_n−1·2ⁿ⁻¹ + ... + b₁·2¹ + b₀·2⁰
عدد المستويات وأكبر قيمة	M = 2ⁿ , N_max = 2ⁿ − 1
قدرة التمييز (معطى V_ref)	ΔV = V_ref2ⁿ
قدرة التمييز (معطى أكبر جهد خرج V_FS)	ΔV = V_FS2ⁿ − 1
جهد الخرج في محوِّل DAC	V_o = N·ΔV
محوِّل شبكة السلم R–2R	V_o = −R_fR·V_ref·N2ⁿ
كلمة الخرج في محوِّل ADC (الجزء الصحيح)	N = V_iΔV
زمن التحويل في محوِّل «جهد الدرجات»	t_c = N·T_CLK
أطول زمن تحويل	t_c,max = (2ⁿ − 1)·T_CLK

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
تحويل الإشارات	המרת אותות	Signal conversion
محوِّل تماثلي إلى رقمي	ממיר אנלוגי לספרתי (A/D)	Analog-to-Digital Converter (ADC)
محوِّل رقمي إلى تماثلي	ממיר ספרתי לאנלוגי (D/A)	Digital-to-Analog Converter (DAC)
بت	סיבית	Bit
الكلمة الرقمية	מילה ספרתית	Digital word
البت الأعلى وزنا	הסיבית המשמעותית ביותר	MSB
البت الأدنى وزنا	הסיבית הפחות משמעותית	LSB
قدرة التمييز (الدرجة)	כושר הבחנה (רזולוציה)	Resolution (step)
الجهد المرجعي	מתח ייחוס	Reference voltage
جهد السلّم الكامل	מתח סקלה מלאה	Full-scale voltage
شبكة السلم	רשת סולם נגדים	R–2R ladder
خطأ التكميم	שגיאת כימוי (קוונטיזציה)	Quantisation error
محوِّل «جهد الدرجات»	ממיר "מתח מדרגות"	Counter (staircase) ADC
العدّاد	מונה	Counter
المُقارن	משווה	Comparator
زمن التحويل	זמן המרה	Conversion time
الضجيج	רעש	Noise

أسئلة للتمرين:

نذكر ثلاثة أسباب تجعلنا نحوّل الإشارة التماثلية إلى رقمية قبل معالجتها. أي محوِّل يأتي قبل المعالج وأي محوِّل بعده؟

الإجابات: مناعة ضد الضجيج، سهولة التخزين، معالجة ببرنامج؛ قبل المعالج ADC وبعده DAC

نحوّل إلى عدد عشري:
(أ) 1101.
(ب) 10010110.

الإجابات: (أ) 13 ، (ب) 150

نكتب ككلمة ثنائية من 8 بتات:
(أ) 77.
(ب) 200. كم مستوى يوجد لكلمة من 6 بتات، وما هي أكبر قيمة لها؟

الإجابات: (أ) 01001101 ، (ب) 11001000 ؛ 64 مستوى، أكبر قيمة 63

محوِّل DAC من 8 بتات جهده المرجعي 10.24 V.
(أ) ما هي قدرة التمييز؟
(ب) ما هو جهد الخرج للكلمة 01100100؟
(ج) أي كلمة تعطي V_o = 6 V؟

الإجابات: (أ) ΔV = 40 mV ، (ب) V_o = 4 V ، (ج) N = 150 = 10010110

أكبر جهد خرج لمحوِّل DAC من 4 بتات (للكلمة 1111) هو 6 V. نحسب قدرة التمييز وجهد الخرج للكلمة 0101.

الإجابات: ΔV = 615 = 0.4 V ، V_o = 2 V

في محوِّل المقاومات الموزونة الذي في الشكل: R = 5 kΩ ، R_f = 4 kΩ ، وجهد البت في الحالة 1 هو 5 V. نحسب قدرة التمييز وجهد الخرج للكلمة 0110.

الإجابات: ΔV = 0.5 V ، V_o = −3 V

في محوِّل شبكة السلم الذي في الشكل: V_ref = 4 V ، R = R_f = 2 kΩ ، والمفاتيح في وضع الكلمة 1110. نحسب:
(أ) تيار المصدر المرجعي I.
(ب) التيار I₃.
(ج) قدرة التمييز.
(د) جهد الخرج.

الإجابات: (أ) I = 2 mA ، (ب) I₃ = 1 mA ، (ج) ΔV = 0.25 V ، (د) V_o = −3.5 V

في محوِّل شبكة السلم من 4 بتات: V_ref = −4 V و R = 10 kΩ. نريد قدرة تمييز ΔV = 0.5 V. ما هي قيمة R_f المطلوبة؟ وما هو جهد الخرج للكلمة 1111؟

الإجابات: R_f = 20 kΩ ، V_o = 7.5 V

محوِّل ADC من 4 بتات، V_ref = 8 V. ندخل الجهد V_i = 6.2 V. نحسب كلمة الخرج وخطأ التكميم.

الإجابات: ΔV = 0.5 V ، N = 12 = 1100 ، الخطأ 0.2 V

10.

عندما ندخل إلى محوِّل ADC من 8 بتات الجهد 2.4 V نحصل على الكلمة 01111000 ، وللجهد 0 V نحصل على الكلمة صفر.
(أ) ما هي قدرة التمييز؟
(ب) أي كلمة نحصل عليها للجهد 3.5 V؟
(ج) ما هو جهد الدخل الذي تبدأ عنده الكلمة 11111111؟

الإجابات: (أ) ΔV = 20 mV ، (ب) N = 175 = 10101111 ، (ج) V_i = 5.1 V

11.

محوِّل ADC جهده المرجعي 8 V. كم بتا نحتاج على الأقل لكي لا تزيد قدرة التمييز عن 10 mV؟ وما هي قدرة التمييز التي نحصل عليها؟

الإجابات: n = 10 ، ΔV ≈ 7.81 mV

12.

محوِّل «جهد الدرجات» من 8 بتات: مقدار الدرجة ΔV = 20 mV وتردد إشارة الساعة 50 kHz. ندخل الجهد V_i = 1.01 V.
(أ) عند أي عدد يتوقف العدّاد؟
(ب) ما هو زمن التحويل؟
(ج) ما هو أطول زمن تحويل ممكن؟

الإجابات: (أ) N = 51 = 00110011 ، (ب) t_c = 1.02 ms ، (ج) t_c,max = 5.1 ms

13.

الشكل يصف جهد الدرجات V_DAC وجهد الدخل V_i في محوِّل «جهد الدرجات» من 3 بتات. نقرأ من الشكل:
(أ) مقدار الدرجة ΔV.
(ب) زمن الدورة لإشارة الساعة وترددها.
(ج) كلمة الخرج.
(د) زمن التحويل.

الإجابات: (أ) ΔV = 1 V ، (ب) T_CLK = 2 ms ، f_CLK = 500 Hz ، (ج) N = 5 = 101 ، (د) t_c = 10 ms

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

9.1 (أ) N = 90 ، (ب) 00100101 ، (ج) 64

9.2 ΔV = 0.25 V ، V_o = 1.5 V

9.3 V_o = −3 V ، مساهمة b₂ هي −2 V

9.4 ΔV = 0.5 V ، N = 7 = 0111 ، الخطأ 0.3 V

9.5 N = 11 = 1011 ، t_c = 5.5 ms

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 9

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، في موضوع الإلكترونيات والحاسوب (אלקטרוניקה ומחשבים)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2019 السؤال 11 — محوّل تماثليّ-رقميّ (A/D) من ثماني بتّات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	قدرة التمييز (الدقّة)	في الحل الكامل
البند ب	القيمة الثنائيّة في الخرج	V_in=2V → 01100100 ; V_in=3.045V → 10011000
البند ج	مجال جهد الدخل من أجل القيمة 01100001₂	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2019 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2018 السؤال 11 — محوّل تماثليّ-رقميّ (A/D) ذو 8 بتّات

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	قدرة التمييز (الدقّة)	في الحل الكامل
البند ب	الكلمة الثنائيّة لجهود الدخل	200 mV → 00001010₍₂₎ ; 5.1 V → 11111111₍₂₎
البند ج	جهد الدخل للكلمة 10101001₍₂₎	V_i = 3.38 V

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2018 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2017 السؤال 12 — حسّاس ضوء LDR ومحوّل A/D

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد في الطرف A₀ عند إضاءة 6 lux	V_A₀ = 2.5 V
البند ب	البرنامج بلغة C (Arduino)	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2017 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)