פרק 1

קינמטיקה

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 25 שעות לימוד

הכול סביבנו נע: מכונית על הכביש, כדור שנופל, ירח שמקיף את כדור הארץ. הקינמטיקה היא החלק של המכניקה שמתאר את התנועה כפי שהיא — היכן נמצא הגוף בכל רגע, באיזו מהירות ובאיזו תאוצה הוא נע — בלי לשאול מה גורם לה. בפרק זה נבנה את השפה שנשתמש בה בכל הספר: מקום, העתק ומרחק, מהירות ותאוצה, הגרפים שמתארים את התנועה, ולבסוף הווקטורים, שמאפשרים לנו לעבור מתנועה לאורך קו ישר לתנועה במישור.

בסוף הפרק הזה נדע:

נבחין בין מקום, העתק, מרחק ודרך, ונחשב אותם על ציר המקום.
נתאר תנועה בטבלה, בגרף, בביטוי מתמטי ובתרשים עקבות, ונעבור בחופשיות בין ארבע הדרכים.
ננתח תנועה קצובה: נקרא את המהירות משיפוע גרף מקום–זמן, ונחשב מהירות ממוצעת.
נבחין בין מהירות ממוצעת (שיפוע המיתר) למהירות רגעית (שיפוע המשיק), וכן בין תאוצה ממוצעת לתאוצה רגעית.
נשתמש במשוואות התנועה בתאוצה קבועה, ונקרא את ההעתק מן השטח שמתחת לגרף מהירות–זמן.
נפתור בעיות של נפילה חופשית ושל זריקה אנכית עם g = 10 m/s².
נחבר ונחסר וקטורים בדרך גאומטרית ובדרך אלגברית, ונפרק וקטור לרכיביו.
נפרק את תאוצתו של גוף הנע במסלול עקום לרכיב משיקי ולרכיב רדיאלי.

מושגי יסוד בתנועה לאורך קו ישר (Basic Concepts of Motion Along a Straight Line)

אורך וזמן — מדידתם ויחידותיהם:

תיאור של כל תנועה מתחיל במדידה של שני גדלים בסיסיים: אורך (היכן נמצא הגוף, וכמה התרחק) וזמן (מתי היה שם). כל שאר הגדלים בפרק זה — מהירות ותאוצה — נגזרים משני הגדלים האלה. כדי שכל קורא יבין את אותה תוצאה, אנו מסכימים על יחידות מידה אחידות.

מערכת היחידות SI: זו מערכת היחידות המקובלת במדע. יחידת האורך בה היא מטר (m), יחידת הזמן היא שנייה (s), ויחידת המסה היא קילוגרם (kg). היחידות של שאר הגדלים בנויות מן היחידות הבסיסיות האלה: מהירות נמדדת במטר לשנייה (m/s), ותאוצה במטר לשנייה בריבוע (m/s²).

הגודל	היחידה	הסמל	מכשיר המדידה
אורך	מטר	m	סרגל, סרט מדידה, מד-טווח לייזר
זמן	שנייה	s	שעון עצר, שער אור
מסה	קילוגרם	kg	מאזניים
מהירות	מטר לשנייה	m/s	מחושבת מאורך ומזמן
תאוצה	מטר לשנייה בריבוע	m/s²	מחושבת ממהירות ומזמן

בחיי היום-יום אנו משתמשים גם ביחידות אחרות, וצריך לדעת להמיר אותן ליחידות SI לפני כל חישוב:

היחידה	הקשר ליחידת SI	היחידה	הקשר ליחידת SI
קילומטר ( km)	1 km = 1000 m	דקה ( min)	1 min = 60 s
סנטימטר ( cm)	1 cm = 0.01 m	שעה ( h)	1 h = 3600 s
מילימטר ( mm)	1 mm = 0.001 m	מילישנייה ( ms)	1 ms = 0.001 s

המרת יחידות מהירות

1 km/h = 1000 m3600 s = 13.6 m/s

סימן	משמעות	יחידת מידה
km/h	קילומטר לשעה	—
m/s	מטר לשנייה (יחידת SI)	—

דוגמה 1.1

(א) מכונית נוסעת במהירות 72 km/h. נבטא את מהירותה ביחידות SI.
(ב) אצן רץ במהירות 15 m/s. נבטא את מהירותו בקילומטר לשעה.

פתרון:

(א) בכל קילומטר יש 1000 מטר, ובכל שעה 3600 שניות:

v = 72 km/h = 72 · 1000 m3600 s = 20 m/s

(ב) בכיוון ההפוך נכפול ב-3.6:

v = 15 m/s = 15 · 3.6 = 54 km/h

כלל מהיר: כדי להמיר מקילומטר לשעה למטר לשנייה נחלק ב-3.6, ובכיוון ההפוך נכפול ב-3.6.

v = 20 m/s , v = 54 km/h

שאלה 1.1: המהירות המרבית המותרת בכביש מהיר היא 108 km/h. בטאו אותה במטר לשנייה. כמה מטרים עוברת מכונית במהירות זו בתוך 10 שניות?

ציר מקום ומערכת ייחוס:

כדי לומר היכן נמצא גוף, אנו זקוקים למשהו שביחס אליו נמדוד. כשאנו אומרים "המכונית נמצאת במרחק 300 m מן הצומת", בחרנו בצומת כנקודה שביחס אליה אנו מציינים מקומות. הבחירה הזאת היא הצעד הראשון בתיאור של כל תנועה.

מערכת ייחוס: (מסגרת ייחוס) היא גוף או קבוצת גופים שאנו מחשיבים כנחים, וביחס אליהם אנו מודדים את מקומם של גופים אחרים, יחד עם שעון למדידת הזמן. ברוב הבעיות בספר זה מערכת הייחוס היא כדור הארץ (הכביש, החדר, המעבדה).

ציר מקום: הוא קו ישר הקבוע במערכת הייחוס, ועליו אנו מתארים תנועה לאורך קו ישר. כדי להגדיר אותו בוחרים שלושה דברים: ראשית (x = 0), כיוון חיובי (שאליו מצביע חץ הציר), ויחידת מידה.

מקום: הוא שיעור הגוף על ציר המקום, ומסמנים אותו באות x. המקום הוא מספר בעל סימן: חיובי אם הגוף נמצא בצד החיובי של הראשית, ושלילי אם הוא נמצא בצד השני. יחידת המקום היא מטר.

ציר מקום: ראשית, כיוון חיובי ויחידות. מקומה של A הוא x_A = −2 m ומקומה של B הוא x_B = 4 m

מקום יחסי. מקומו של הגוף B ביחס לגוף A הוא ההפרש x_B − x_A. באיור שלמעלה: x_B − x_A = 4 − (−2) = 6 m, כלומר B נמצא במרחק 6 m מ-A בכיוון החיובי. ואילו מקומו של A ביחס ל-B הוא x_A − x_B = −6 m: אותו מרחק, בכיוון ההפוך.

הערה: הבחירה של הראשית ושל הכיוון החיובי היא בחירה שלנו, והיא יכולה להשתנות מפתרון לפתרון. אם נזיז את הראשית, ישתנו כל המקומות באותו שיעור, אבל ההפרשים בין המקומות אינם משתנים. לכן כל הפיזיקה בנויה על הפרשי מקומות, ולא על המקומות עצמם. בכל בעיה נכתוב בתחילת הפתרון: היכן הראשית ומהו הכיוון החיובי.

העתק, מרחק ודרך:

גוף נע על ציר המקום ממקום התחלתי x₁ למקום סופי x₂. יש שלושה גדלים שונים שמתארים "כמה הוא נע", ויש להבחין ביניהם בקפידה, כי הבלבול ביניהם הוא הטעות הנפוצה ביותר בפרק זה.

העתק: הוא השינוי במקום: המקום הסופי פחות המקום ההתחלתי, Δx = x₂ − x₁. להעתק יש סימן: חיובי אם התנועה הסתיימה בצד החיובי של נקודת ההתחלה, ושלילי אם הסתיימה בצד השלילי. ההעתק תלוי רק בנקודות ההתחלה והסיום, ואינו תלוי במסלול שבו עבר הגוף ביניהן.

מרחק: הוא גודל ההעתק, כלומר ערכו המוחלט: d = |Δx|. המרחק בין שתי נקודות לעולם אינו שלילי, ואין בו מידע על הכיוון.

דרך: היא אורך המסלול שהגוף עבר בפועל, ומסמנים אותה באות s. אם הגוף הלך ואחר כך חזר, הדרך מצרפת את אורכי שני הקטעים. הדרך לעולם אינה קטנה במהלך התנועה, ואינה שלילית.

העתק, מרחק ודרך

Δx = x₂ − x₁

d = |Δx|

s = |Δx₁| + |Δx₂| + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δx	העתק (בעל סימן)	[m]
d	המרחק בין המקום ההתחלתי למקום הסופי	[m]
s	דרך: סכום אורכי קטעי המסלול	[m]

גוף נע מ-x₀ = 2 m אל x₁ = 9 m ואחר כך חוזר אל x₂ = −3 m: ההעתק הכולל (החץ הירוק) שונה מן הדרך (סכום אורכי שני החצים)

דוגמה 1.2

גוף נע על ציר המקום מן המקום x₀ = 2 m אל המקום x₁ = 9 m, ואחר כך חוזר ונעצר במקום x₂ = −3 m. נחשב את ההעתק הכולל, את המרחק בין נקודת ההתחלה לנקודת הסיום, ואת הדרך.

פתרון:

ההעתק הכולל תלוי רק במקום ההתחלתי ובמקום הסופי, והמקום שבאמצע אינו נכנס לחישוב:

Δx = x₂ − x₀ = −3 − 2 = −5 m

הסימן השלילי פירושו שהגוף סיים בצד השלילי של נקודת ההתחלה שלו. המרחק הוא גודל ההעתק:

d = |Δx| = 5 m

הדרך היא סכום האורכים של שני הקטעים, כל אחד בערכו המוחלט:

Δx₁ = 9 − 2 = 7 m

Δx₂ = −3 − 9 = −12 m

s = |Δx₁| + |Δx₂| = 7 + 12 = 19 m

בקטע הראשון התקדם הגוף 7 m בכיוון החיובי, ובשני חזר 12 m בכיוון השלילי. החזרה מבטלת חלק מן ההתקדמות בחישוב ההעתק, אבל היא מוסיפה לדרך.

Δx = −5 m , d = 5 m , s = 19 m

הערה: הדרך תמיד גדולה מן המרחק או שווה לו: s ≥ d. השוויון מתקיים רק כשהגוף נע בכיוון אחד ואינו חוזר לאחור. ואם הגוף חזר לנקודת ההתחלה שלו, ההעתק שלו אפס, אבל הדרך שעבר אינה אפס.

שאלה 1.2: גוף מתחיל לנוע מן הראשית, נע אל המקום x = −4 m, ואחר כך חוזר ונעצר במקום x = 6 m. חשבו את ההעתק הכולל ואת הדרך. מהו העתק הגוף אם אחר כך הוא חוזר לראשית?

▶ניסוי חי — מקום, העתק, מרחק ודרךבוחרים שלושה מקומות על הציר, מריצים את המסלול, ומשווים את קריאת מונה הדרך להעתק הכולל — ומחפשים מסלול שההעתק בו אפס והדרך אינה אפס.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#basics

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#basics

תיאור תנועה — מקום כפונקציה של הזמן (Describing Motion — Position as a Function of Time)

לתאר תנועה פירושו לדעת את מקום הגוף בכל רגע, כלומר לדעת את המקום כפונקציה של הזמן x(t). אפשר להציג את הפונקציה הזאת בארבע דרכים שונות, וכולן מתארות את אותו גוף באותם רגעים. המיומנות הבסיסית בקינמטיקה היא לעבור בחופשיות ביניהן.

הדרך הראשונה: טבלה:

רושמים בטבלה את מקום הגוף ברגעים מסוימים. כך נראות תוצאות של מדידה אמיתית במעבדה: עגלה קטנה שעוברת מול שערי אור, או סרט נייר שרשם-זמן מסמן עליו נקודה בכל פרק זמן קבוע.

הזמן t בשניות	0	1	2	3	4	5
המקום x במטרים	2	5	8	11	14	17

הדרך השנייה: גרף:

גרף מקום–זמן שנבנה מן הטבלה: הנקודות מונחות על קו ישר

משרטטים שני צירים: הציר האופקי לזמן t והציר האנכי למקום x, ומסמנים נקודה לכל שורה בטבלה. באיור, שש הנקודות מונחות על קו ישר אחד; פירוש הדבר שהגוף עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים, ותנועה כזאת נכנה תנועה קצובה.
שימו לב: גרף מקום–זמן אינו תמונה של המסלול. הגוף נע לאורך קו ישר (ציר המקום), והקו המשופע בגרף מתאר כיצד משתנה מקומו עם הזמן, ולא את צורת מסלולו.

הדרך השלישית: ביטוי מתמטי:

נתבונן בטבלה: בכל שנייה גדל המקום ב-3 m, וברגע t = 0 המקום היה 2 m. לכן המקום ברגע t הוא:

x(t) = 2 + 3·t

הביטוי הזה מכיל את כל המידע שבטבלה ויותר: אפשר לחשב ממנו את המקום בכל רגע, גם ברגעים שלא מדדנו, כמו t = 2.5 s או t = 100 s (כל עוד סוג התנועה אינו משתנה). היחידות של המספרים בביטוי: 2 במטרים ו-3 במטר לשנייה, ובקיצור נכתוב "ביחידות SI".

הדרך הרביעית: תרשים עקבות:

תרשים עקבות: הוא שרטוט של ציר המקום שעליו מסומנים מקומות הגוף ברגעים עוקבים, המרוחקים זה מזה בפרקי זמן שווים (למשל כל שנייה), כאילו הגוף משאיר עקבה בכל פעם שהשעון מתקתק. המרחקים בין העקבות חושפים מיד את סוג התנועה.

שני תרשימי עקבות של שתי תנועות: למעלה תנועה קצובה (x = 2 + 3·t), ולמטה תנועה מואצת (x = t²). המספרים מעל הנקודות הם הזמן בשניות

יתרונות וחסרונות:

הדרך	יתרונות	חסרונות
טבלה	רושמת את המדידות כפי שהן; מדויקת ברגעים שנמדדו	אינה נותנת את המקום בין המדידות; קשה לראות ממנה את סוג התנועה
גרף	מראה את סוג התנועה במבט אחד: ישר, עקום, עולה או יורד	הקריאה ממנו מקורבת; קשה לקבל ערכים מדויקים
ביטוי מתמטי	נותן את המקום בכל רגע במדויק; נוח לחישוב	מתאים רק כשהתנועה פשוטה דיה כדי לתארה בנוסחה
תרשים עקבות	דומה לתנועה האמיתית; מראה את התאוצה ישירות	הזמן מופיע בו רק בעקיפין; העקבות נדחסות במהירויות קטנות

דוגמה 1.3

נתונה טבלת מקומות של גוף הנע על ציר המקום.
(א) נכתוב את הביטוי המתמטי של המקום כפונקציה של הזמן.
(ב) נחשב את המקום ברגע t = 10 s.
(ג) נמצא את הרגע שבו הגוף עובר בראשית.

פתרון:

t בשניות	0	1	2	3	4
x במטרים	10	7	4	1	−2

(א) בכל שנייה קטן המקום ב-3 m — ההפרש קבוע, ולכן התנועה קצובה והביטוי קווי. המקום ההתחלתי הוא 10 m:

x(t) = 10 − 3·t

(ב) נציב t = 10 s:

x(10) = 10 − 3 · 10 = −20 m

(ג) בראשית x = 0. נשווה את הביטוי לאפס ונבודד את הזמן:

0 = 10 − 3·t

t = 103 = 3.33 s

x(t) = 10 − 3·t , x(10) = −20 m , t = 3.33 s

שאלה 1.3: מקומות של גוף נרשמו ברגעים t = 0, 2, 4, 6 s, והתקבלו x = −5, 1, 7, 13 m בהתאמה. כתבו את הביטוי המתמטי של המקום כפונקציה של הזמן, וחשבו את מקום הגוף ברגע t = 10 s.

דוגמה 1.4

הגרף מתאר את מקומו של גוף כפונקציה של הזמן. נבנה מן הגרף:
(א) את הביטוי המתמטי.
(ב) טבלת מקומות לכל שנייה.
(ג) תרשים עקבות.

פתרון:

הגרף הנתון: קו ישר מ-(0, −4) אל (4, 8)

(א) הקו ישר, ולכן התנועה קצובה. נקרא את המקום ההתחלתי ב-t = 0, ונחשב את המהירות משתי נקודות על הקו:

x₀ = −4 m

v = 8 − (−4)4 − 0 = 3 m/s

x(t) = −4 + 3·t

(ב) נציב בביטוי t = 0, 1, 2, 3, 4:

t בשניות	0	1	2	3	4
x במטרים	−4	−1	2	5	8

(ג) נסמן על ציר המקום עקבה בכל מקום מן הטבלה, ונכתוב מעליה את הזמן. הגוף מתחיל בצד השלילי, עובר בראשית בין t = 1 s ל-t = 2 s וממשיך בכיוון החיובי:

ארבע הדרכים מתארות את אותה תנועה, ומכל אחת מהן אפשר לבנות את שלוש האחרות.

x(t) = −4 + 3·t

שאלה 1.4: בתרשים עקבות נרשמו בכל שנייה המקומות x = 12, 9, 6, 3, 0 m. מהו סוג התנועה? מהו סימן המהירות? כתבו את x(t), ותארו את צורת גרף מקום–זמן.

▶ניסוי חי — מקום כפונקציה של הזמן — ארבע הדרכיםמשנים את המקום ההתחלתי ואת המהירות ועוקבים בו-זמנית אחר תרשים העקבות, הטבלה והגרף — ומנבאים מה קורה כשהמהירות נעשית שלילית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#postime

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#postime

תנועה קצובה לאורך קו ישר (Uniform Motion Along a Straight Line)

המהירות בתנועה קצובה:

תנועה קצובה: היא תנועה לאורך קו ישר שבה הגוף עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים, קטנים ככל שיהיו. בתנועה כזאת היחס בין ההעתק לפרק הזמן קבוע, והיחס הזה הוא המהירות.

המהירות בתנועה קצובה

v = ΔxΔt = x₂ − x₁t₂ − t₁

x(t) = x₀ + v·t

סימן	משמעות	יחידת מידה
v	המהירות (קבועה; סימנה מציין את הכיוון)	[m/s]
Δx	ההעתק בפרק הזמן Δt	[m]
Δt	פרק הזמן	[s]
x₀	המקום ההתחלתי (ברגע t = 0)	[m]

המהירות בתנועה לאורך קו ישר היא גודל בעל סימן: v > 0 פירושו שהגוף נע בכיוון החיובי של הציר, ו-v < 0 פירושו שהוא נע בכיוון השלילי. גודל המהירות (בלי סימן) הוא מה שמראה מד-המהירות במכונית.

המהירות כשיפוע גרף מקום–זמן:

גרף מקום–זמן בתנועה קצובה הוא קו ישר. נבחר על הקו שתי נקודות (t₁, x₁) ו-(t₂, x₂) ונשרטט את משולש השיפוע: הניצב האופקי הוא Δt והניצב האנכי הוא Δx. שיפוע הקו הוא היחס ביניהם — וזו בדיוק המהירות:

שיפוע הקו הישר = ΔxΔt = v

ככל שהקו תלול יותר, המהירות גדולה יותר; קו יורד פירושו מהירות שלילית

קו עולה: המהירות חיובית, והגוף נע בכיוון החיובי.
קו יורד: המהירות שלילית, והגוף נע בכיוון השלילי.
קו אופקי: המהירות אפס, והגוף נח (מקומו אינו משתנה עם הזמן).
נקודת החיתוך של הקו עם ציר x (ב-t = 0) היא המקום ההתחלתי x₀.

שימו לב: השיפוע בגרף הוא Δx חלקי Δt ביחידות הצירים, ולא הזווית שאנו רואים על הנייר. אם נשנה את קנה המידה של אחד הצירים, הזווית תשתנה אבל המהירות לא תשתנה.

גרף מהירות–זמן: השטח שווה להעתק:

השטח הכלוא בין קו המהירות לציר הזמן שווה להעתק

בתנועה קצובה גרף מהירות–זמן הוא קו אופקי. השטח הכלוא בין הקו הזה לציר הזמן בפרק הזמן מ-0 עד t הוא שטח של מלבן: גובהו v ובסיסו t, כלומר v·t — וזה ההעתק Δx = v·Δt.
ההבחנה הזאת נראית כאן פשוטה, אבל בסעיף 1.6 היא תהפוך לכלי רב-עוצמה: השטח שמתחת לגרף מהירות–זמן שווה להעתק בכל תנועה, גם כשהמהירות משתנה. שטח שמתחת לציר הזמן (מהירות שלילית) נספר בסימן שלילי.

דוגמה 1.5

גוף A יוצא מן הראשית במהירות 4 m/s בכיוון החיובי, ובאותו רגע יוצא גוף B מן המקום x = 60 m במהירות שגודלה 2 m/s בכיוון השלילי (לעבר A). נכתוב את פונקציית המקום של כל גוף, ונמצא מתי והיכן הם נפגשים.

פתרון:

נבחר את ציר המקום כמו בנתונים: הראשית ב-A והכיוון החיובי לעבר B. המהירות של B שלילית, כי הוא נע בכיוון השלילי:

x_A(t) = 4·t

x_B(t) = 60 − 2·t

ברגע המפגש שני הגופים נמצאים באותו מקום, ולכן נשווה את שתי הפונקציות:

4·t = 60 − 2·t

6·t = 60

t = 10 s

נציב באחת הפונקציות (ורצוי לבדוק בשנייה):

x_A = 4 · 10 = 40 m

x_B = 60 − 2 · 10 = 40 m

גרף מקום–זמן של שני הגופים: נקודת החיתוך של שני הקווים היא רגע המפגש ומקומו

בגרף המפגש נראה כנקודת החיתוך של שני הקווים: הקו העולה של A (מהירות חיובית) והקו היורד של B (מהירות שלילית).

t = 10 s , x = 40 m

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים ששני גופים הנמצאים באותו מקום נעים בהכרח באותה מהירות. זהו בלבול בין מקום למהירות, שהם שני גדלים בלתי תלויים: ברגע המפגש בדוגמה שלמעלה המקומות שווים, אבל A נע באותו רגע במהירות +4 m/s ו-B במהירות −2 m/s. המקום אומר היכן הגוף עכשיו, והמהירות אומרת כיצד מקומו משתנה — וידיעת האחד אינה מספיקה לידיעת האחר.

תנועה קצובה למקוטעין:

לעתים קרובות התנועה מורכבת מכמה קטעים, ובכל קטע מהירות קבועה אחרת. גרף מקום–זמן נעשה קו שבור: בכל קטע קו ישר בשיפוע משלו. מן הגרף נקרא את מהירות כל קטע לפי שיפועו, את ההעתק הכולל לפי הפרש המקומות בשני קצות הגרף, ואת הדרך לפי סכום הערכים המוחלטים של העתקי הקטעים.

דוגמה 1.6

הגרף מתאר את מקומו של גוף כפונקציה של הזמן. נחשב:
(א) את מהירות הגוף בכל קטע.
(ב) את ההעתק הכולל ואת הדרך בתשע השניות.
(ג) את המהירות הממוצעת בכל התנועה.

פתרון:

מקום הגוף כפונקציה של הזמן: שלושה קטעים של תנועה קצובה

(א) בכל קטע הקו ישר, והמהירות היא שיפועו:

v₁ = 8 − 02 − 0 = 4 m/s

v₂ = 8 − 85 − 2 = 0 m/s

v₃ = −4 − 89 − 5 = −3 m/s

בקטע השני הגוף נח (קו אופקי), ובשלישי הוא חוזר בכיוון השלילי (קו יורד).

(ב) ההעתק הכולל הוא ההפרש בין המקום הסופי למקום ההתחלתי, והדרך היא סכום הערכים המוחלטים:

Δx = x(9) − x(0) = −4 − 0 = −4 m

s = |8| + |0| + |−12| = 20 m

(ג) המהירות הממוצעת היא ההעתק הכולל חלקי הזמן הכולל:

v_avg = ΔxΔt = −49 = −0.44 m/s

v₁ = 4 m/s , v₂ = 0 , v₃ = −3 m/s , Δx = −4 m , s = 20 m

גרף מהירות–זמן של תנועה קצובה למקוטעין:

נשרטט לתנועה שבדוגמה הקודמת את גרף מהירות–זמן: בכל קטע קו אופקי בגובה ערך המהירות, ובמעבר בין הקטעים המהירות קופצת (במציאות השינוי מתרחש בזמן קצר מאוד). השטח בין כל קו לציר הזמן שווה להעתק של הקטע, והוא נספר בסימן שלילי כשהקו נמצא מתחת לציר:

המהירות כפונקציה של הזמן בתנועה בת שלושה קטעים: השטח שמעל הציר +8 m, השטח שמתחתיו −12 m, והסכום −4 m הוא ההעתק הכולל

Δx = (4 · 2) + (0 · 3) + (−3 · 4) = 8 + 0 − 12 = −4 m

דוגמה 1.7

מכונית A עוברת ליד מחסום ביקורת במהירות קבועה 20 m/s. כעבור 10 s יוצאת מאותה נקודה מכונית B במהירות קבועה 30 m/s באותו כיוון. נמצא מתי והיכן B משיגה את A.

פתרון:

הראשית במחסום, והזמן נמדד מרגע המעבר של A. המכונית B מתחילה לנוע ב-t = 10 s, ולכן פונקציית המקום שלה היא:

x_A(t) = 20·t

x_B(t) = 30·(t − 10)

ברגע ההשגה שני המקומות שווים:

20·t = 30·(t − 10)

20·t = 30·t − 300

t = 30 s

x = 20 · 30 = 600 m

הקו של B מתחיל באיחור אבל תלול יותר, ולכן הוא חותך את הקו של A ברגע ההשגה

בדיקה: בתוך 30 s עברה A מרחק 600 m, ו-B עברה את אותו מרחק בתוך 20 s: 30 · 20 = 600 m.

t = 30 s , x = 600 m

מהירות ממוצעת:

מהירות ממוצעת: בפרק זמן היא ההעתק הכולל באותו פרק זמן חלקי משך פרק הזמן. זו המהירות הקבועה שאילו נע בה הגוף לאורך כל פרק הזמן, היה עובר את אותו העתק באותו זמן.

מהירות ממוצעת

v_avg = Δx_totalΔt_total = Δx₁ + Δx₂ + ...Δt₁ + Δt₂ + ...

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_avg	מהירות ממוצעת	[m/s]
Δx_total	ההעתק הכולל	[m]
Δt_total	הזמן הכולל	[s]

שימו לב: המהירות הממוצעת אינה הממוצע החשבוני של המהירויות. אם גוף נע בשתי מהירויות שונות, המשקל של כל מהירות בממוצע הוא הזמן שבו נע בה הגוף, והממוצע החשבוני נכון רק כשמשכי הזמן שווים. כמו כן יש להבחין בין המהירות הממוצעת (מן ההעתק) לבין ממוצע גודל המהירות, שמחושב מן הדרך.

דוגמה 1.8

מכונית נוסעת מעיר A לעיר B המרוחקת ממנה 120 km במהירות קבועה 60 km/h, ומיד חוזרת אל A במהירות קבועה 40 km/h. נחשב:
(א) את זמן הנסיעה הכולל.
(ב) את המהירות הממוצעת בכל הנסיעה.
(ג) את ממוצע גודל המהירות (הדרך חלקי הזמן).

פתרון:

(א) הזמן של כל קטע הוא המרחק חלקי המהירות:

t₁ = 12060 = 2 h

t₂ = 12040 = 3 h

t = t₁ + t₂ = 5 h

(ב) המכונית חזרה לנקודת ההתחלה שלה, ולכן ההעתק הכולל אפס, וגם המהירות הממוצעת:

v_avg = ΔxΔt = 05 = 0

(ג) הדרך היא 240 km (הלוך ושוב):

sΔt = 2405 = 48 km/h

שימו לב שהתוצאה אינה 50 km/h (הממוצע החשבוני של שתי המהירויות), כי המכונית נסעה זמן רב יותר במהירות הקטנה.

v_avg = 0 , sΔt = 48 km/h

שאלה 1.5: משאית נוסעת 3 שעות במהירות 80 km/h ואחר כך 2 שעות במהירות 50 km/h באותו כיוון. חשבו את המהירות הממוצעת בכל הנסיעה. האם התוצאה שווה ל-65 km/h? הסבירו.

▶ניסוי חי — תנועה קצובה למקוטעין ומהירות ממוצעתבונים נסיעה בת שלושה קטעים במהירויות שונות, עוקבים אחר גרף מקום–זמן וגרף מהירות–זמן, ומשווים את המהירות הממוצעת לממוצע החשבוני של המהירויות.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#uniform

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#uniform

תנועה במהירות משתנה (Motion with Varying Velocity)

ברוב התנועות האמיתיות המהירות אינה נשארת קבועה: המכונית יוצאת לדרך ונעצרת, והכדור מאיץ בזמן נפילתו. כשהמהירות משתנה, גרף מקום–זמן אינו קו ישר אלא עקום, ואנו זקוקים לשתי הגדרות חדשות של מהירות: מהירות שמתארת פרק זמן שלם, ומהירות שמתארת רגע אחד.

מהירות ממוצעת כשיפוע מיתר:

ההגדרה של המהירות הממוצעת שראינו נשארת תקפה בכל תנועה: v_avg = ΔxΔt. בגרף מקום–זמן ניקח את שתי הנקודות שמתאימות לקצות פרק הזמן, (t₁, x₁) ו-(t₂, x₂), ונחבר ביניהן בקטע ישר שנקרא מיתר. שיפוע המיתר הוא Δx חלקי Δt — כלומר המהירות הממוצעת באותו פרק זמן.

שיפוע המיתר בין t₁ ל-t₂ הוא המהירות הממוצעת בפרק הזמן

כשמקצרים את פרק הזמן, המיתר מתקרב אל המשיק בנקודה P

מהירות רגעית כשיפוע משיק:

מה פירוש "המהירות ברגע t₁"? נחשב את המהירות הממוצעת בפרק זמן קצר שמתחיל ב-t₁, ואחר כך נקצר את פרק הזמן עוד ועוד. ככל שפרק הזמן קצר יותר, המיתר מתקרב לקו ישר אחד שנוגע בעקום בנקודה P — הקו הזה הוא המשיק, ושיפועו הוא המהירות באותו רגע.

מהירות רגעית: ברגע t היא המהירות הממוצעת בפרק זמן קצר מאוד סביב אותו רגע, כלומר הערך שאליו מתקרב היחס ΔxΔt כאשר Δt נעשה קטן מאוד. בגרף מקום–זמן, המהירות הרגעית היא שיפוע המשיק לעקום באותו רגע.

מהירות ממוצעת ורגעית

v_avg = ΔxΔt = x(t₂) − x(t₁)t₂ − t₁

v = ΔxΔt (Δt → 0)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v_avg	המהירות הממוצעת בפרק הזמן: שיפוע המיתר	[m/s]
v	המהירות הרגעית: שיפוע המשיק	[m/s]

קריאת סימן המהירות מגרף המקום: משיק עולה — מהירות חיובית; משיק אופקי — מהירות אפס (הגוף משנה כיוון); משיק יורד — מהירות שלילית

היכן שהעקום עולה המהירות הרגעית חיובית, והיכן שהוא יורד — שלילית.
בשיא העקום או בשפלו המשיק אופקי והמהירות הרגעית אפס: הגוף נעצר לרגע ומשנה את כיוון תנועתו.
ככל שהעקום תלול יותר, גודל המהירות גדול יותר.
בתנועה קצובה העקום הוא קו ישר, ולכן כל משיק מתלכד עם הקו עצמו, והמהירות הרגעית שווה למהירות הממוצעת בכל פרק זמן.

דוגמה 1.9

הגרף שלמעלה מתאר את מקומו של גוף הנתון בביטוי x(t) = 6·t − t² (ביחידות SI) במשך 6 s. נחשב את המהירות הממוצעת בפרקי הזמן 0 → 3 s , 3 → 6 s , 0 → 6 s, ונמצא את ההעתק ואת הדרך בשש השניות.

פתרון:

x(0) = 0

x(3) = 6 · 3 − 3² = 9 m

x(6) = 6 · 6 − 6² = 0 m

v_avg,1 = x(3) − x(0)3 = 3 m/s

v_avg,2 = x(6) − x(3)3 = −3 m/s

v_avg,3 = x(6) − x(0)6 = 0 m/s

בפרק הזמן הראשון הגוף נע בכיוון החיובי (העקום עולה), ובשני הוא חוזר (העקום יורד). המהירות הממוצעת בפרק הזמן הכולל אפס, כי הגוף חזר לנקודת ההתחלה שלו — אף שנעצר רק לרגע אחד, ב-t = 3 s:

Δx = x(6) − x(0) = 0

s = |9 − 0| + |0 − 9| = 18 m

הדרך אינה אפס, ולכן המהירות הממוצעת לבדה אינה מספיקה כדי לתאר תנועה כזאת.

v_avg = 3 , −3 , 0 m/s ; Δx = 0 , s = 18 m

דוגמה 1.10

מקומו של גוף נתון בביטוי x(t) = t² + 2·t (ביחידות SI). נחשב:
(א) את המהירות הממוצעת בין t = 1 s ל-t = 3 s.
(ב) את המהירות הרגעית ברגע t = 2 s.

פתרון:

(א) נחשב את המקום בשני קצות פרק הזמן, ואחר כך את שיפוע המיתר:

x(1) = 1² + 2 · 1 = 3 m

x(3) = 3² + 2 · 3 = 15 m

v_avg = x(3) − x(1)3 − 1 = 15 − 32 = 6 m/s

(ב) אין נוסחה מוכנה למהירות הרגעית, ולכן נתקרב אליה במיתרים שמתחילים ב-t = 2 s והולכים ומתקצרים. המקום ב-t = 2 s הוא x(2) = 8 m:

Δt בשניות	Δx = x(2 + Δt) − x(2) במטרים	ΔxΔt במטר לשנייה
1	7	7
0.1	0.61	6.1
0.01	0.0601	6.01
0.001	0.006001	6.001

ככל שפרק הזמן קצר יותר, היחס מתקרב ל-6. לכן שיפוע המשיק ב-t = 2 s הוא:

v(2) = 6 m/s

שימו לב שהמהירות הרגעית באמצע פרק הזמן שווה כאן למהירות הממוצעת בכל פרק הזמן. זו תכונה של תנועה בתאוצה קבועה (העקום הוא פרבולה); נבין אותה בסעיף הבא, והיא אינה מתקיימת בכל תנועה.

v_avg = 6 m/s , v(2) = 6 m/s

הערה: בבחינה לא נדרש לחשב מהירות רגעית מביטוי מתמטי בדרך זו; הנדרש הוא להבין את המשמעות: שיפוע המיתר — לממוצעת, ושיפוע המשיק — לרגעית, ולקרוא אותם מגרף נתון. ובתנועה בתאוצה קבועה נקבל נוסחה ישירה למהירות הרגעית.

שאלה 1.6: מקומו של גוף נתון בביטוי x(t) = 5·t − t² (ביחידות SI). חשבו את המהירות הממוצעת בין t = 0 ל-t = 2 s, ובין t = 0 ל-t = 5 s. באיזה רגע מתאפסת המהירות הרגעית? (חשבו על צורת העקום.)

▶ניסוי חי — מיתר ומשיק — מהירות ממוצעת ורגעיתקובעים פרק זמן על הגרף ומקצרים אותו צעד אחר צעד, ועוקבים כיצד שיפוע המיתר מתקרב לשיפוע המשיק.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avgv

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avgv

תנועה בתאוצה קבועה (Motion with Constant Acceleration)

התאוצה:

תאוצה: היא קצב השינוי של המהירות עם הזמן: השינוי במהירות חלקי פרק הזמן שבו התרחש. לתאוצה בתנועה לאורך קו ישר יש סימן, ויחידתה מטר לשנייה בריבוע (m/s²): תאוצה שגודלה 3 m/s² פירושה שהמהירות משתנה ב-3 m/s בכל שנייה.

תנועה בתאוצה קבועה: (תנועה שוות-תאוצה) היא תנועה לאורך קו ישר שבה המהירות משתנה בשיעורים שווים בפרקי זמן שווים, כלומר התאוצה בה קבועה בגודלה ובסימנה. גרף מהירות–זמן שלה הוא קו ישר, וגרף תאוצה–זמן שלה הוא קו אופקי.

תאוצה ומהירות כפונקציה של הזמן

a = ΔvΔt = v − v₀t

v(t) = v₀ + a·t

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	התאוצה (קבועה)	[m/s²]
v₀	המהירות ההתחלתית ברגע t = 0	[m/s]
v	המהירות ברגע t	[m/s]

דוגמה 1.11

מכונית יוצאת ממנוחה ומגיעה למהירות 30 m/s בתוך 10 s בתאוצה קבועה. נחשב את תאוצתה, ואת מהירותה 4 s אחרי היציאה.

פתרון:

a = v − v₀t = 30 − 010 = 3 m/s²

בכל שנייה המהירות גדלה ב-3 m/s. אחרי 4 s:

v = v₀ + a·t = 0 + 3 · 4 = 12 m/s

a = 3 m/s² , v(4) = 12 m/s

ההעתק כשטח מתחת לגרף מהירות–זמן:

השטח מתחת לקו המהירות = מלבן (כחול) + משולש (כתום)

ראינו בתנועה קצובה שהשטח מתחת לגרף מהירות–זמן שווה להעתק. אותו כלל נכון גם כאשר המהירות משתנה: נחלק את פרק הזמן לפרקי זמן קצרים מאוד, שבכל אחד מהם המהירות קבועה בקירוב; ההעתק בכל פרק זמן קצר הוא שטח של מלבן צר, וסכום המלבנים הוא השטח מתחת לקו.
בתנועה בתאוצה קבועה הצורה מתחת לקו היא טרפז, ונחלק אותו למלבן ולמשולש: שטח המלבן v₀·t, ושטח המשולש 12·t·(v − v₀) = 12·t·a·t. סכומם הוא ההעתק:

Δx = v₀·t + 12·a·t²

ומכיוון ש-Δx = x − x₀, נקבל את המקום כפונקציה של הזמן. ואם נציב את t = v − v₀a ממשוואת המהירות במשוואת ההעתק ונפשט, נקבל קשר שלישי שהזמן אינו מופיע בו, והוא שימושי מאוד כשהזמן אינו נתון וגם אינו נדרש:

משוואות התנועה בתאוצה קבועה

v = v₀ + a·t

x = x₀ + v₀·t + 12·a·t²

v² = v₀² + 2·a·Δx

Δx = v₀ + v2·t

סימן	משמעות	יחידת מידה
x₀ , v₀	המקום והמהירות ברגע t = 0	[m] , [m/s]
x , v	המקום והמהירות ברגע t	[m] , [m/s]
a	התאוצה הקבועה	[m/s²]
Δx	ההעתק x − x₀	[m]

הערה: המשוואה הרביעית אומרת שהמהירות הממוצעת בתנועה בתאוצה קבועה היא הממוצע החשבוני של המהירות ההתחלתית והסופית — וזה נכון רק משום שהמהירות משתנה באופן קווי עם הזמן. מכאן התוצאה שראינו בדוגמה 1.10: המהירות הרגעית באמצע פרק הזמן שווה למהירות הממוצעת בו.

שלושת הגרפים:

נשרטט לתנועה אחת (x₀ = 0 , v₀ = 2 m/s , a = 1 m/s²) את שלושת הגרפים: מקום, מהירות ותאוצה כפונקציה של הזמן. גרף המקום הוא פרבולה (פונקציה ממעלה שנייה), גרף המהירות הוא קו ישר ששיפועו a, וגרף התאוצה הוא קו אופקי.

מקום (כחול), מהירות (ירוק) ותאוצה (כתום) כפונקציה של הזמן בתנועה בתאוצה קבועה חיובית: השיפוע של גרף המקום גדל כל הזמן, כי המהירות גדלה

הגרף	מה מייצג השיפוע?	מה מייצג השטח מתחת לקו?
מקום–זמן x(t)	המהירות הרגעית v	—
מהירות–זמן v(t)	התאוצה a	ההעתק Δx
תאוצה–זמן a(t)	—	השינוי במהירות Δv

סימן התאוצה: האצה או האטה?:

סימן התאוצה לבדו אינו אומר לנו אם הגוף מאיץ או מאט. הכלל: אם למהירות ולתאוצה אותו סימן, גודל המהירות גדל (הגוף מאיץ), ואם סימניהן הפוכים, גודל המהירות קטן (הגוף מאט). תאוצה שלילית של גוף הנע בכיוון השלילי פירושה שהוא מאיץ בכיוון השלילי.

סימן v	סימן a	מה קורה לגודל המהירות?	דוגמה
+	+	גדל	מכונית שיוצאת לדרך בכיוון החיובי
+	−	קטן	מכונית שבולמת בזמן שהיא נעה בכיוון החיובי
−	−	גדל	כדור שנופל כשהכיוון החיובי כלפי מעלה
−	+	קטן	כדור שנזרק כלפי מטה וכוח כלשהו מאט אותו

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים שכיוון התאוצה הוא תמיד כיוון התנועה. הטבלה שלמעלה מראה את ההפך: כשהגוף מאט, תאוצתו מנוגדת בדיוק למהירותו — מכונית שבולמת נעה קדימה בעוד תאוצתה מצביעה אחורה. ובסעיף 1.10 נראה גוף שנע בעיקול בגודל מהירות קבוע ותאוצתו ניצבת למהירותו. כיוון התאוצה הוא כיוון השינוי במהירות Δv, ולא כיוון המהירות עצמה.

דוגמה 1.12

מכונית נוסעת במהירות 10 m/s ומתחילה להאיץ בתאוצה קבועה 2 m/s². נחשב את מהירותה ואת העתקה אחרי 5 s, ונבדוק את התוצאה במשוואה השלישית.

פתרון:

נבחר את הכיוון החיובי בכיוון התנועה, ולכן v₀ = 10 m/s ו-a = 2 m/s²:

v = v₀ + a·t = 10 + 2 · 5 = 20 m/s

Δx = v₀·t + 12·a·t² = 10 · 5 + 12 · 2 · 5² = 75 m

בדיקה במשוואה שאין בה זמן:

v² = v₀² + 2·a·Δx = 10² + 2 · 2 · 75 = 400

v = 400 = 20 m/s

v = 20 m/s , Δx = 75 m

דוגמה 1.13

מכונית נוסעת במהירות 20 m/s. הנהג לוחץ על הבלמים, והמכונית נעצרת בתאוצה קבועה אחרי שעברה 40 m. נחשב את התאוצה ואת זמן הבלימה.

פתרון:

הזמן אינו נתון, ולכן נתחיל במשוואה שאין בה זמן. המהירות הסופית אפס:

v² = v₀² + 2·a·Δx

0 = 20² + 2·a · 40

a = −40080 = −5 m/s²

הסימן השלילי פירושו שהתאוצה מנוגדת לכיוון התנועה (הכיוון החיובי): המכונית מאטה. את זמן הבלימה נמצא ממשוואת המהירות:

0 = v₀ + a·t

t = −v₀a = −20−5 = 4 s

בדיקה: ההעתק שווה לשטח מתחת לגרף המהירות, והוא משולש: 12 · 20 · 4 = 40 m — נכון.

a = −5 m/s² , t = 4 s

דוגמה 1.14

רכבת יוצאת מתחנה ממנוחה בתאוצה קבועה 0.5 m/s² במשך 40 s, אחר כך נוסעת במהירות שהגיעה אליה במשך 60 s, ואחר כך בולמת בתאוצה קבועה עד שהיא נעצרת בתחנה הבאה כעבור 20 s. נחשב את המהירות המרבית, את תאוצת הבלימה ואת המרחק בין התחנות, ונשרטט את המהירות כפונקציה של הזמן.

פתרון:

הקטע הראשון — האצה ממנוחה:

v = a·t = 0.5 · 40 = 20 m/s

Δx₁ = 12·a·t² = 12 · 0.5 · 40² = 400 m

הקטע השני — תנועה קצובה:

Δx₂ = v·t = 20 · 60 = 1200 m

הקטע השלישי — בלימה עד עצירה:

a₃ = 0 − 2020 = −1 m/s²

Δx₃ = v₀ + v2·t = 20 + 02 · 20 = 200 m

Δx = 400 + 1200 + 200 = 1800 m

המהירות כפונקציה של הזמן: שלושת השטחים (משולש, מלבן, משולש) שווים למרחקי הקטעים

נבדוק בעזרת השטח: 12 · 40 · 20 + 60 · 20 + 12 · 20 · 20 = 1800 m — אותה תוצאה, ובדרך מהירה יותר.

v = 20 m/s , a₃ = −1 m/s² , Δx = 1800 m

קריאת גרף מהירות–זמן:

בשאלות הבגרות ניתן לעתים קרובות גרף מהירות–זמן, ונדרש להפיק ממנו הכול: את התאוצה בכל קטע (מן השיפוע), את ההעתק (מן השטח), ואחר כך לשרטט את התאוצה ואת המקום כפונקציה של הזמן. נתרגל זאת בדוגמה הבאה.

דוגמה 1.15

הגרף מתאר את מהירותו של גוף כפונקציה של הזמן.
(א) נחשב את תאוצת הגוף בכל קטע.
(ב) נחשב את ההעתק הכולל בעשר השניות.
(ג) נשרטט את התאוצה ואת המקום כפונקציה של הזמן (המקום ההתחלתי x₀ = 0).

פתרון:

גרף מהירות–זמן, עם שלושת השטחים השווים להעתקים

(א) בכל קטע הגרף הוא קו ישר, והתאוצה היא שיפועו:

a₁ = 6 − 03 − 0 = 2 m/s²

a₂ = 6 − 67 − 3 = 0

a₃ = 0 − 610 − 7 = −2 m/s²

בקטע הראשון הגוף מאיץ, בשני הוא נע במהירות קבועה (תנועה קצובה), ובשלישי הוא מאט עד שנעצר.

(ב) ההעתק בכל קטע הוא השטח בין הקו לציר הזמן: משולש, מלבן, משולש:

A₁ = 12 · 3 · 6 = 9 m

A₂ = 4 · 6 = 24 m

A₃ = 12 · 3 · 6 = 9 m

Δx = A₁ + A₂ + A₃ = 42 m

(ג) גרף התאוצה בנוי משלוש מדרגות אופקיות. והמקום: פרבולה עולה בקטע הראשון (עד x = 9 m), קו ישר בשני (עד x = 33 m), ופרבולה ששיפועה הולך ומתיישר בשלישי (עד x = 42 m):

התאוצה כפונקציה של הזמן

המקום כפונקציה של הזמן

a₁ = 2 m/s² , a₂ = 0 , a₃ = −2 m/s² , Δx = 42 m

שימו לב: כשמשרטטים את המקום כפונקציה של הזמן מתוך גרף המהירות: היכן שהמהירות חיובית המקום גדל; היכן שהמהירות קבועה הגרף קו ישר; והיכן שהמהירות מתקרבת לאפס שיפוע העקום נעשה אופקי. העקום אינו "יורד" כל עוד המהירות חיובית — גם כשהגוף מאט.

שאלה 1.7: גוף יוצא במהירות 4 m/s בתאוצה קבועה 3 m/s² בכיוון תנועתו. חשבו את מהירותו ואת העתקו אחרי 6 s, שרטטו את גרף מהירות–זמן ובדקו את ההעתק בחישוב השטח.

נפילה חופשית:

נפילה חופשית: היא תנועה של גוף בהשפעת כוח הכובד בלבד, כשמזניחים את התנגדות האוויר. ניסויים רבים (מאז גלילאו) מראים שכל הגופים בקרבת פני כדור הארץ נופלים באותה תאוצה, בלי קשר למסתם. תאוצה זו נקראת תאוצת הנפילה החופשית (תאוצת הכובד) ומסמנים אותה באות g. ערכה בקרבת פני כדור הארץ הוא כ-9.8 m/s², ובספר זה, כמו בבחינה, נשתמש ב-g = 10 m/s². כיוונה תמיד כלפי מטה.

נפילה חופשית היא אפוא מקרה פרטי של תנועה בתאוצה קבועה, ואותן משוואות תקפות לגביה. את הציר האנכי נכנה y, ובכל בעיה עלינו לבחור את הכיוון החיובי (כלפי מעלה או כלפי מטה) ולכתוב את הסימן של g בהתאם. כשמשחררים גוף ממנוחה מהירותו ההתחלתית אפס:

נפילה חופשית ממנוחה (הכיוון החיובי כלפי מטה)

v = g·t

y = 12·g·t²

v² = 2·g·y

סימן	משמעות	יחידת מידה
g	תאוצת הנפילה החופשית, 10 m/s² כלפי מטה	[m/s²]
y	המרחק שהגוף נפל	[m]
v	המהירות אחרי זמן t	[m/s]

תרשים עקבות של כדור בנפילה חופשית: עקבה בכל שנייה, והמרחקים ביניהן גדלים

תרשים העקבות מראה את מהות הנפילה החופשית: בשנייה הראשונה הכדור נופל 5 m, בשנייה השנייה 15 m, ובשלישית 25 m. המרחקים בשניות העוקבות עומדים ביחס 1 : 3 : 5, והמרחק הכולל עומד ביחס ישר לריבוע הזמן: 5 , 20 , 45 m אחרי 1 , 2 , 3 s.
המהירות גדלה ב-10 m/s בכל שנייה: 10 , 20 , 30 m/s. וכל זה אינו תלוי במסת הגוף: אבן וכדור עץ שמשוחררים יחד מאותו גובה מגיעים לקרקע יחד (כשהתנגדות האוויר זניחה).

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים שגוף כבד נופל מהר יותר מגוף קל. בנפילה חופשית אין זה נכון: המסה אינה מופיעה באף אחת ממשוואות הנפילה, וכל הגופים נופלים באותה תאוצה g — כך הראה גלילאו, וכך אישרו האסטרונאוטים כשהפילו יחד פטיש ונוצה על פני הירח, ושניהם הגיעו בו ברגע. הרושם היומיומי שדף נייר נופל לאט מאבן מקורו בהתנגדות האוויר, לא במסה; כשההתנגדות זניחה הכול נופלים יחד.

דוגמה 1.16

אבן משוחררת ממנוחה מגובה 45 m. נחשב את זמן נפילתה עד הקרקע ואת מהירותה ברגע הפגיעה. מה ישתנה אם מסת האבן תהיה כפולה?

פתרון:

נבחר את הכיוון החיובי כלפי מטה ואת הראשית בנקודת השחרור, ולכן v₀ = 0 ו-a = g = 10 m/s². בקרקע y = 45 m:

y = 12·g·t²

45 = 12 · 10 · t²

t² = 9

t = 3 s

v = g·t = 10 · 3 = 30 m/s

בדיקה במשוואה השלישית: v = 2·g·y = 2 · 10 · 45 = 30 m/s. המסה אינה מופיעה באף משוואה: הזמן והמהירות אינם משתנים.

t = 3 s , v = 30 m/s

שאלה 1.8: כדור נפל ממרפסת והגיע לקרקע כעבור 2 s. חשבו את גובה המרפסת ואת מהירות הכדור ברגע הפגיעה. מהו גובהה של מרפסת שהנפילה ממנה נמשכת 4 s?

זריקה אנכית:

זריקה אנכית: (הטלה אנכית) היא תנועה של גוף שנזרק במהירות התחלתית כלפי מעלה או כלפי מטה לאורך קו אנכי, בהשפעת כוח הכובד בלבד. התאוצה לאורך כל התנועה היא g כלפי מטה — בזמן העלייה, בנקודה העליונה ובזמן הירידה.

כדור שנזרק כלפי מעלה במהירות 20 m/s, עקבה בכל שנייה: המהירות (ירוק) קטנה בעלייה וגדלה בירידה, והתאוצה (כתום) קבועה כלפי מטה לאורך כל התנועה

בדרך כלל נבחר את הכיוון החיובי כלפי מעלה. אז a = −g = −10 m/s², ומהירות הזריקה כלפי מעלה חיובית, וכלפי מטה שלילית:

זריקה אנכית (הכיוון החיובי כלפי מעלה)

v = v₀ − g·t

y = y₀ + v₀·t − 12·g·t²

v² = v₀² − 2·g·(y − y₀)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v₀	מהירות הזריקה: חיובית כלפי מעלה, שלילית כלפי מטה	[m/s]
y₀	גובה נקודת הזריקה	[m]
g	תאוצת הנפילה החופשית 10 m/s² (נכנסת בסימן שלילי)	[m/s²]

בנקודה העליונה המהירות מתאפסת לרגע אחד (v = 0), אבל התאוצה אינה מתאפסת ונשארת g כלפי מטה.
זמן העלייה לנקודה העליונה: מ-0 = v₀ − g·t נקבל t_up = v₀g.
הגובה המרבי מעל נקודת הזריקה: מ-0 = v₀² − 2·g·H נקבל H = v₀²2·g.
התנועה סימטרית: זמן הירידה לגובה הזריקה שווה לזמן העלייה, והגוף חוזר לנקודת הזריקה במהירות שווה בגודלה ובכיוון הפוך.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים סבורים שמהירות אפס פירושה תאוצה אפס, ומסיקים שתאוצת הכדור מתאפסת בנקודה העליונה. התאוצה היא קצב שינוי המהירות, לא המהירות עצמה: בנקודה העליונה המהירות מתאפסת לרגע אחד, אבל היא ממשיכה להשתנות בקצב 10 m/s בכל שנייה, ולכן התאוצה שם היא g כלפי מטה כמו בכל שאר התנועה. אילו התאפסה התאוצה בשיא, היה הכדור נשאר תלוי שם ולא היה חוזר לעולם.

דוגמה 1.17

כדור נזרק מפני הקרקע כלפי מעלה במהירות 20 m/s. נחשב:
(א) את זמן העלייה לנקודה העליונה.
(ב) את הגובה המרבי.
(ג) את זמן התנועה הכולל עד החזרה לקרקע ואת מהירות הכדור באותו רגע.
(ד) נשרטט את המהירות ואת המקום כפונקציה של הזמן.

פתרון:

הכיוון החיובי כלפי מעלה, הראשית על הקרקע: y₀ = 0 , v₀ = +20 m/s , a = −10 m/s².

(א) בנקודה העליונה v = 0:

0 = 20 − 10·t

t_up = 2 s

(ב) נציב במשוואת המקום (או במשוואה השלישית):

H = 20 · 2 − 12 · 10 · 2² = 20 m

(ג) בחזרה לקרקע y = 0:

0 = 20·t − 5·t² = t·(20 − 5·t)

t = 0 , t = 4 s

הפתרון t = 0 הוא רגע הזריקה, והפתרון השני הוא רגע החזרה. המהירות באותו רגע:

v = 20 − 10 · 4 = −20 m/s

אותו גודל שבו נזרק, והסימן השלילי פירושו שהוא נע כלפי מטה. זמן הירידה (2 s) שווה לזמן העלייה.

המהירות כפונקציה של הזמן: קו ששיפועו −g; השטח שמעל הציר +H והשטח שמתחתיו −H

המקום כפונקציה של הזמן: פרבולה ששיאה ב-t = 2 s

t_up = 2 s , H = 20 m , t = 4 s , v = −20 m/s

דוגמה 1.18

אדם עומד על גג בניין שגובהו 25 m וזורק כדור כלפי מעלה במהירות 20 m/s. נחשב כעבור כמה זמן מגיע הכדור לקרקע, ובאיזו מהירות הוא פוגע בה.

פתרון:

הראשית על הקרקע והכיוון החיובי כלפי מעלה: נקודת הזריקה ב-y₀ = h

הראשית על הקרקע, הכיוון החיובי כלפי מעלה: y₀ = 25 m , v₀ = 20 m/s , a = −10 m/s². בקרקע y = 0:

0 = 25 + 20·t − 5·t²

t² − 4·t − 5 = 0

(t − 5)·(t + 1) = 0

t = 5 s

הפתרון השלילי t = −1 s נפסל, כי הוא לפני הזריקה. המהירות ברגע הפגיעה:

v = 20 − 10 · 5 = −30 m/s

נבדוק במשוואה השלישית: v² = 20² − 2 · 10 · (0 − 25) = 900 , ומכאן v = 30 m/s כלפי מטה — אותה תוצאה.

t = 5 s , v = −30 m/s

דוגמה 1.19

גוף A משוחרר ממנוחה מגובה 80 m, ובאותו רגע נזרק גוף B מן הקרקע כלפי מעלה במהירות 40 m/s לאורך אותו קו אנכי. נמצא מתי ובאיזה גובה הם נפגשים, ואת מהירותו של כל אחד מהם באותו רגע.

פתרון:

הראשית על הקרקע והכיוון החיובי כלפי מעלה; שני הגופים נעים באותה תאוצה g כלפי מטה

הראשית על הקרקע, הכיוון החיובי כלפי מעלה, והתאוצה של שניהם −10 m/s². נכתוב את פונקציית המקום של כל גוף:

y_A(t) = 80 − 5·t²

y_B(t) = 40·t − 5·t²

ברגע המפגש שני המקומות שווים. האיבר −5·t² משותף ומצטמצם:

80 − 5·t² = 40·t − 5·t²

80 = 40·t

t = 2 s

y = 80 − 5 · 2² = 60 m

המהירויות ברגע המפגש:

v_A = 0 − 10 · 2 = −20 m/s

v_B = 40 − 10 · 2 = 20 m/s

הגוף A יורד במהירות 20 m/s, והגוף B עדיין עולה במהירות 20 m/s. שימו לב שרגע המפגש אינו תלוי ב-g: שני הגופים נופלים יחד באותה תאוצה, ולכן המרחק ביניהם קטן בקצב קבוע של 40 m/s.

t = 2 s , y = 60 m

הערה: לא חשוב היכן נציב את הראשית ואיזה כיוון נבחר כחיובי — חשוב לדבוק בבחירה עד סוף הפתרון: הסימן של v₀, הסימן של g והסימן של כל מקום נכתבים כולם לפי אותה בחירה.

שאלה 1.9: כדור נזרק כלפי מטה במהירות 5 m/s מגובה 30 m. חשבו את הזמן שבו הוא מגיע לקרקע ואת מהירותו באותו רגע. (בחרו את הכיוון החיובי כלפי מטה.)

▶ניסוי חי — תנועה בתאוצה קבועה — נפילה חופשית וזריקה אנכיתזורקים גוף כלפי מעלה או כלפי מטה מגובה שבוחרים, ועוקבים אחר שלושת הגרפים והמדידות החיות — ובודקים שזמן הנפילה אינו תלוי במסה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#constacc

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#constacc

תנועה בתאוצה משתנה (Motion with Varying Acceleration)

לא כל תאוצה קבועה: למכונית שיוצאת לדרך יש תאוצה גדולה בהתחלה, והיא הולכת וקטנה; ותאוצתו של גוף הנופל באוויר קטנה ככל שמהירותו גדלה. כשהתאוצה משתנה, גרף מהירות–זמן אינו קו ישר אלא עקום, ואנו מגדירים — בדיוק כפי שעשינו עם המהירות — תאוצה ממוצעת ותאוצה רגעית.

תאוצה ממוצעת: בפרק זמן היא השינוי במהירות באותו פרק זמן חלקי משכו: a_avg = ΔvΔt. בגרף מהירות–זמן היא שיפוע המיתר המחבר את שתי הנקודות שבקצות פרק הזמן.

תאוצה רגעית: ברגע מסוים היא התאוצה הממוצעת בפרק זמן קצר מאוד סביב אותו רגע. בגרף מהירות–זמן היא שיפוע המשיק לעקום באותו רגע.

תאוצה ממוצעת ורגעית

a_avg = ΔvΔt = v(t₂) − v(t₁)t₂ − t₁

a = ΔvΔt (Δt → 0)

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_avg	התאוצה הממוצעת: שיפוע המיתר בגרף המהירות	[m/s²]
a	התאוצה הרגעית: שיפוע המשיק בגרף המהירות	[m/s²]

גרף מהירות–זמן בתנועה בתאוצה משתנה: שיפוע המיתר הוא התאוצה הממוצעת בין t₁ ל-t₂, ושיפוע המשיק הוא התאוצה הרגעית ב-t₂

כשהתאוצה קבועה, גרף המהירות הוא קו ישר, ולכן כל משיק מתלכד עם הקו עצמו, והתאוצה הרגעית שווה לממוצעת בכל פרק זמן. ואילו כששיפוע המיתר שונה משיפוע המשיק — זה סימן ודאי שהתאוצה משתנה.

דוגמה 1.20

מהירותו של גוף נתונה בביטוי v(t) = 2·t² (ביחידות SI). נחשב את התאוצה הממוצעת בין t = 0 ל-t = 3 s, ונעריך את התאוצה הרגעית ברגע t = 3 s.

פתרון:

התאוצה הממוצעת היא שיפוע המיתר בין קצות פרק הזמן:

v(0) = 0

v(3) = 2 · 3² = 18 m/s

a_avg = v(3) − v(0)3 − 0 = 183 = 6 m/s²

התאוצה הרגעית ב-t = 3 s: נחשב את התאוצה הממוצעת בפרקי זמן שמתחילים ב-t = 3 s והולכים ומתקצרים:

Δt בשניות	Δv = v(3 + Δt) − v(3) במטר לשנייה	ΔvΔt במטר לשנייה בריבוע
1	14	14
0.1	1.22	12.2
0.01	0.1202	12.02
0.001	0.012002	12.002

a(3) = 12 m/s²

התאוצה הרגעית בסוף פרק הזמן (12 m/s²) גדולה מן התאוצה הממוצעת בו (6 m/s²), כי התאוצה כאן גדלה עם הזמן: בתחילת פרק הזמן היא הייתה אפס ובסופו 12 m/s², והממוצעת נמצאת ביניהן.

a_avg = 6 m/s² , a(3) = 12 m/s²

דוגמה 1.21

מהירותו של גוף נמדדה בכל שנייה, והתקבלה הטבלה הבאה. האם התאוצה קבועה? נחשב את התאוצה הממוצעת בכל שנייה ובפרק הזמן הכולל.

פתרון:

t בשניות	0	1	2	3	4
v במטר לשנייה	0	1	4	9	16

נחשב את השינוי במהירות בכל שנייה (Δt = 1 s), ולכן התאוצה הממוצעת בה שווה מספרית ל-Δv:

פרק הזמן בשניות	Δv במטר לשנייה	a_avg במטר לשנייה בריבוע
0 → 1	1	1
1 → 2	3	3
2 → 3	5	5
3 → 4	7	7

התאוצה הממוצעת גדלה משנייה לשנייה (1, 3, 5, 7), ולכן התאוצה אינה קבועה אלא גדלה עם הזמן. בפרק הזמן הכולל:

a_avg = v(4) − v(0)4 − 0 = 164 = 4 m/s²

אילו התאוצה הייתה קבועה, היינו מקבלים אותו הפרש בכל שנייה, וגרף המהירות היה קו ישר.

a_avg = 4 m/s²

הערה: בגרף מהירות–זמן הכלל נשאר בתוקף: השטח מתחת לעקום שווה להעתק, תהיה צורת העקום אשר תהיה. ובגרף תאוצה–זמן השטח מתחת לעקום שווה לשינוי במהירות Δv.

שאלה 1.10: גרף מתאר את מהירותה של מכונית כפונקציה של הזמן כעקום עולה ששיפועו הולך וקטן עד שהוא נעשה אופקי. תארו כיצד משתנה התאוצה הרגעית עם הזמן, והשוו בין התאוצה הממוצעת בשנייה הראשונה לתאוצה הממוצעת בשנייה האחרונה.

▶ניסוי חי — תאוצה ממוצעת ותאוצה רגעיתמזיזים את המשיק לאורך עקום המהירות ומשווים את שיפועו לשיפוע המיתר, ומחפשים את הרגע שבו שתי התאוצות שוות.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avga

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avga

מושגי יסוד בתנועה במישור (Basic Concepts of Motion in a Plane)

עד כה נעו הגופים שלנו לאורך קו ישר אחד, ולכן הספיק מספר אחד (עם סימנו) כדי לתאר את המקום, ההעתק והמהירות. אבל כדור שנזרק בזווית, או מכונית בעיקול, נעים במישור, ומספר אחד אינו מספיק כדי לתאר את מקומם. כאן אנו זקוקים לשני צירים ולכלי מתמטי חדש: הווקטור.

מקום והעתק במישור:

נקבע במערכת הייחוס שני צירים מאונכים x ו-y שנחתכים בראשית. מקום הגוף נקבע בזוג שיעורים (x, y), או — וזה מתאים יותר לפיזיקה — בחץ שמתחיל בראשית ומסתיים בגוף, ונקרא וקטור המקום r.

גוף נע במישור במסלול עקום מ-A ל-B: וקטור ההעתק Δr הוא החץ הישר מ-A ל-B, ורכיביו הם Δx ו-Δy

העתק במישור: הוא החץ שמתחיל במקום ההתחלתי A ומסתיים במקום הסופי B, ומסמנים אותו Δr. רכיביו על הצירים הם Δx = x₂ − x₁ ו-Δy = y₂ − y₁, וגודלו — המרחק בין A ל-B — מחושב לפי משפט פיתגורס. כמו בקו ישר, ההעתק אינו תלוי בצורת המסלול, ואילו הדרך היא אורך המסלול עצמו.

גודל ההעתק וכיוונו

Δr = Δx² + Δy²

tan θ = ΔyΔx

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δr	גודל ההעתק (המרחק בין שני המקומות)	[m]
Δx , Δy	רכיבי ההעתק על הצירים	[m]
θ	הזווית בין ההעתק לציר x	[°]

דוגמה 1.22

אדם הולך 6 km מזרחה ואחר כך 8 km צפונה. נחשב את גודל ההעתק הכולל שלו ואת כיוונו, ואת הדרך שעבר.

פתרון:

נבחר את ציר x מזרחה ואת ציר y צפונה. הקטע הראשון תורם רק ל-Δx, והשני רק ל-Δy:

Δx = 6 km

Δy = 8 km

Δr = 6² + 8² = 100 = 10 km

הכיוון — הזווית ביחס לכיוון מזרח:

tan θ = ΔyΔx = 86

θ = 53.1°

הדרך היא סכום האורכים של שני הקטעים:

s = 6 + 8 = 14 km

ההעתק (10 km) קצר מן הדרך (14 km), כי הוא מודד רק את הקו הישר בין ההתחלה לסוף.

Δr = 10 km , θ = 53.1° , s = 14 km

שאלה 1.11: מכונית נוסעת 3 km מערבה ואחר כך 4 km דרומה. חשבו את גודל ההעתק שלה ואת הדרך. האם התשובה תשתנה אילו נסעה תחילה דרומה ואחר כך מערבה?

וקטורים (Vectors)

וקטור: גודל וכיוון:

וקטור: הוא גודל פיזיקלי שנקבע על ידי גודל וכיוון יחד, כמו העתק, מהירות, תאוצה וכוח. משרטטים וקטור כחץ: אורכו מייצג את הגודל, וכיוונו מייצג את הכיוון. מסמנים וקטור באות שמעליה חץ, A, ואת גודלו באותה אות בלי חץ, A. ואילו גודל שנקבע על ידי מספר בלבד — כמו זמן, מסה ודרך — נקרא סקלר.

וקטור: האורך הוא הגודל, והזווית θ עם הציר קובעת את הכיוון

הווקטור אינו תלוי במקום שבו שורטט: שני חצים מקבילים, בעלי אותו אורך ואותו כיוון, מייצגים את אותו וקטור גם אם שורטטו בשני מקומות שונים בדף. התכונה הזאת מאפשרת לנו להזיז וקטורים בחופשיות כשמחברים אותם בדרך גאומטרית.
את כיוון הווקטור קובעים לפי הזווית שהוא יוצר עם כיוון ייחוס מוסכם, בדרך כלל ציר x החיובי, והזווית נמדדת נגד כיוון השעון.

גדלים וקטוריים	גדלים סקלריים
העתק Δr, מהירות v, תאוצה a, כוח F	זמן t, מסה m, דרך s, מרחק d, אנרגיה E

חיבור גאומטרי של וקטורים:

אם גוף הועתק תחילה בהעתק A ואחר כך בהעתק B, ההעתק הכולל שלו הוא החץ מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום. זו ההגדרה של סכום שני וקטורים, והוא נקרא וקטור שקול R = A + B. יש שתי דרכים גאומטריות שקולות לשרטט אותו:

שיטת המשולש: מציבים את הזנב של B על הראש של A; השקול — מזנב A לראש B

שיטת המקבילית: שני הווקטורים יוצאים מנקודה אחת; השקול הוא האלכסון

שיטת המשולש: מזיזים את B כך שזנבו נוגע בראש של A. השקול נמתח מזנב A עד ראש B.
שיטת המקבילית: משרטטים את שני הווקטורים מנקודה אחת ומשלימים מקבילית. השקול הוא האלכסון היוצא מן הנקודה המשותפת.
החיבור חילופי: A + B = B + A, ואפשר לחבר יותר משני וקטורים כשמציבים אותם זנב לראש בזה אחר זה.
גודל השקול אינו סכום שני הגדלים, אלא אם שני הווקטורים באותו כיוון. אם הם בכיוונים הפוכים, גודל השקול הוא הפרש הגדלים.

וקטורים שווים, וקטור האפס, וקטור נגדי:

שני וקטורים שווים (אותו גודל ואותו כיוון), ווקטור והווקטור הנגדי לו

וקטורים שווים: יש להם אותו גודל ואותו כיוון, A = B, בכל מקום שבו שורטטו.
וקטור נגדי −A: יש לו אותו גודל כמו ל-A וכיוון הפוך לגמרי.
וקטור האפס 0: גודלו אפס ואין לו כיוון. סכום של וקטור והווקטור הנגדי לו הוא וקטור האפס: A + (−A) = 0. ההעתק של גוף שחזר לנקודת ההתחלה שלו הוא וקטור האפס.

חיסור גאומטרי:

חיסור: A − B = A + (−B); או ישירות: החץ מראש B לראש A

חיסור וקטור הוא חיבור הווקטור הנגדי לו: A − B = A + (−B). משרטטים את −B (בכיוון הפוך) ומחברים אותו ל-A בשיטת המשולש.
יש דרך מהירה יותר: משרטטים את A ואת B מנקודה אחת; הווקטור A − B הוא החץ שמתחיל בראש של B ומסתיים בראש של A. נשתמש בדרך הזאת הרבה כדי לחשב את השינוי במהירות Δv = v₂ − v₁: משרטטים את שתי המהירויות מנקודה אחת, ו-Δv נמתח מראש v₁ לראש v₂.

רכיבים וחיבור אלגברי:

השרטוט הגאומטרי נותן את הכיוון הנכון, אבל אינו מדויק בגודל. הדרך המדויקת היא לפרק כל וקטור לשני רכיבים על שני צירים מאונכים, ואחר כך לטפל בכל ציר בנפרד במספרים רגילים.

פירוק הווקטור A לרכיביו: A_x על ציר x ו-A_y על ציר y

הרכיב של וקטור על ציר הוא ההיטל שלו על אותו ציר, ויש לו סימן: חיובי אם ההיטל מצביע בכיוון החיובי של הציר, ושלילי אם הוא מצביע בכיוון השלילי. מן המשולש ישר-הזווית שבאיור נקבל את שני הרכיבים מן הגודל ומן הזווית, ולהפך: מן הרכיבים נקבל את הגודל (משפט פיתגורס) ואת הזווית (טנגנס).

רכיבי וקטור

A_x = A·cos θ

A_y = A·sin θ

A = A_x² + A_y²

tan θ = A_yA_x

סימן	משמעות	יחידת מידה
A	גודל הווקטור	—
θ	הזווית בין הווקטור לציר x החיובי	[°]
A_x , A_y	הרכיבים על הצירים (בעלי סימן)	—

חיבור אלגברי. כדי לחבר שני וקטורים מחברים את רכיביהם על כל ציר בנפרד: רכיב השקול על x הוא סכום שני הרכיבים על x, וכך גם על y. אחר כך מרכיבים מן הרכיבים את גודל השקול ואת זוויתו. החיסור נעשה בדיוק באותו אופן, בחיסור הרכיבים.

חיבור אלגברי

R_x = A_x + B_x

R_y = A_y + B_y

R = R_x² + R_y²

tan θ = R_yR_x

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_x , R_y	רכיבי השקול	—
R	גודל השקול	—
θ	זווית השקול עם ציר x	[°]

דוגמה 1.23

וקטור שגודלו 10 יחידות יוצר זווית 30° עם ציר x החיובי. נחשב את שני רכיביו, ואחר כך נוודא שהם מחזירים את הגודל.

פתרון:

A_x = A·cos θ = 10 · cos 30° = 8.66

A_y = A·sin θ = 10 · sin 30° = 5

בדיקה לפי משפט פיתגורס:

A = A_x² + A_y² = 8.66² + 5² = 10

A_x = 8.66 , A_y = 5

דוגמה 1.24

שני וקטורים שגודל כל אחד מהם 5 יחידות: A על ציר x החיובי, ו-B יוצר זווית 120° עם ציר x החיובי. נחשב את גודל השקול R = A + B ואת כיוונו, ונשווה לשרטוט הגאומטרי.

פתרון:

נפרק כל וקטור לרכיביו. הזווית 120° ברביע השני, ולכן הרכיב של B על x שלילי:

A_x = 5 , A_y = 0

B_x = 5 · cos 120° = −2.5

B_y = 5 · sin 120° = 4.33

R_x = A_x + B_x = 5 + (−2.5) = 2.5

R_y = A_y + B_y = 0 + 4.33 = 4.33

R = 2.5² + 4.33² = 5

tan θ = 4.332.5

θ = 60°

גודל השקול (5) קטן מסכום שני הגדלים (10), כי שני הווקטורים אינם באותו כיוון. מבחינה גאומטרית: שני הווקטורים והשקול יוצרים משולש שווה-צלעות, ולכן השקול חוצה את הזווית שביניהם.

R = 5 , θ = 60°

דוגמה 1.25

מטייל הולך 4 km מזרחה, אחר כך 3 km צפונה, ואחר כך 4 km מערבה. נחשב את ההעתק הכולל שלו בחיבור רכיבים, ואת הדרך שעבר.

פתרון:

ציר x מזרחה וציר y צפונה. נכתוב את שני הרכיבים של כל העתק (מערב הוא הכיוון השלילי של ציר x):

ההעתק	רכיב x בקילומטרים	רכיב y בקילומטרים
הראשון (מזרחה)	4	0
השני (צפונה)	0	3
השלישי (מערבה)	−4	0
הסכום	0	3

R_x = 4 + 0 − 4 = 0

R_y = 0 + 3 + 0 = 3

R = 0² + 3² = 3 km

ההעתק הכולל הוא 3 km צפונה בדיוק: ההעתק הראשון והשלישי הפוכים זה לזה ומבטלים זה את זה. ואילו הדרך היא סכום האורכים:

s = 4 + 3 + 4 = 11 km

R = 3 km , s = 11 km

כפל וקטור בסקלר:

כפל הווקטור A בסקלר: 2A — אורך כפול באותו כיוון; 0.5A — מחצית האורך; −A — אותו אורך בכיוון ההפוך

כפל הווקטור A בסקלר k נותן וקטור שגודלו |k|·A: אם k חיובי הכיוון נשאר כפי שהוא, ואם הוא שלילי הכיוון מתהפך. כל רכיב מוכפל ב-k. דוגמאות פיזיקליות: p = m·v (התנע, בפרק השישי) בכיוון המהירות, כי המסה חיובית; ו-F = m·a בכיוון התאוצה.

שאלה 1.12: וקטור A שגודלו 8 יחידות נמצא על ציר x החיובי, ווקטור B שגודלו 6 יחידות נמצא על ציר y החיובי. חשבו את הגודל ואת הכיוון של כל אחד מאלה: A + B , A − B , 2A.

▶ניסוי חי — וקטורים — חיבור, חיסור ורכיביםמשנים את הגודל ואת הזווית של כל וקטור, מציגים את הבנייה בשיטת המשולש ובשיטת המקבילית, וקוראים את הרכיבים ואת השקול — ומחפשים את הזווית שבה השקול מגיע לערכו המרבי ולערכו המזערי.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#vectors

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#vectors

המהירות והתאוצה בתנועה במישור (Velocity and Acceleration in Plane Motion)

המהירות כווקטור:

במישור המהירות היא וקטור: וקטור המהירות הממוצעת בפרק זמן הוא וקטור ההעתק חלקי פרק הזמן, וכיוונו ככיוון ההעתק. וכשמקצרים את פרק הזמן עוד ועוד, וקטור ההעתק מתקרב לכיוון המסלול עצמו באותה נקודה, ומתקבל וקטור המהירות הרגעית.

מהירות רגעית במישור: היא וקטור שגודלו הוא גודל המהירות (מה שמראה מד-המהירות), וכיוונו משיק למסלול במקום הגוף, בכיוון התנועה. גוף הנע במסלול עקום משנה כל הזמן את כיוון מהירותו, גם אם גודל מהירותו נשאר קבוע.

גוף במסלול עקום: וקטור המהירות בכל נקודה משיק למסלול. וקטור ההעתק Δr בין P₁ ל-P₂ קובע את כיוון המהירות הממוצעת

מהירות ממוצעת ורגעית במישור

v_avg = ΔrΔt

v = ΔrΔt (Δt → 0)

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δr	וקטור ההעתק בפרק הזמן Δt	[m]
v_avg	וקטור המהירות הממוצעת: בכיוון ההעתק	[m/s]
v	וקטור המהירות הרגעית: משיק למסלול	[m/s]

התאוצה כווקטור:

תאוצה במישור: היא וקטור השינוי במהירות חלקי הזמן: a = ΔvΔt, כאשר Δv = v₂ − v₁ הוא ההפרש הגאומטרי בין שני וקטורי המהירות. התאוצה מכוונת בכיוון Δv — ולא בהכרח בכיוון המהירות. לגוף יש תאוצה בכל פעם שווקטור מהירותו משתנה: בגודל, בכיוון, או בשניהם.

תנועה בגודל מהירות קבוע במסלול עקום: משרטטים את v₁ ואת v₂ מנקודה אחת; Δv נמתח מראש v₁ לראש v₂ ומכוון אל תוך העיקול — וזה כיוון התאוצה

כיוון התאוצה בתנועה קצובה על מסלול עקום:

גודל המהירות קבוע: התאוצה ניצבת למהירות ומכוונת אל מרכז העקמומיות

כשגוף נע במסלול עקום בגודל מהירות קבוע, לשני הווקטורים v₁ ו-v₂ יש אותו אורך, ולכן הם יוצרים יחד עם Δv משולש שווה-שוקיים. ככל שמקצרים את פרק הזמן, הזווית בין Δv למהירות מתקרבת ל-90°: התאוצה ניצבת למהירות, ומכוונת לצד הקעור של המסלול, כלומר אל מרכז העקמומיות C.
זו תוצאה חשובה: מהירות קבועה בגודלה אין פירושה תאוצה אפס. למכונית הנוסעת בעיקול במהירות קבועה יש תאוצה — וזה מה שאנו מרגישים כשאנו נדחפים כלפי חוץ.

רכיב משיקי ורכיב רדיאלי:

במקרה הכללי משתנים גם גודל המהירות וגם כיוונה, וכדאי לפרק את וקטור התאוצה לשני רכיבים מאונכים:

גוף בנקודה P במסלול עקום: המהירות משיקית, והתאוצה a (אדום) מפורקת לרכיב משיקי a_t לאורך המהירות ולרכיב רדיאלי a_r אל מרכז העקמומיות C

רכיב משיקי של התאוצה: a_t הוא רכיב התאוצה לאורך המשיק למסלול (לאורך המהירות). הוא לבדו אחראי לשינוי גודל המהירות: אם הוא בכיוון המהירות, גודלה גדל; אם הוא מנוגד לה, גודלה קטן; ואם הוא אפס, גודל המהירות נשאר קבוע.

רכיב רדיאלי של התאוצה: (רכיב מרכזי, נורמלי) a_r הוא רכיב התאוצה הניצב למשיק, והוא מכוון תמיד אל מרכז העקמומיות. הוא לבדו אחראי לשינוי כיוון המהירות. בתנועה לאורך קו ישר הרכיב הרדיאלי מתאפס, ובתנועה בגודל מהירות קבוע במסלול עקום הרכיב המשיקי מתאפס.

רכיבי התאוצה

a = a_t² + a_r²

tan φ = a_ra_t

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_t	הרכיב המשיקי: שינוי גודל המהירות	[m/s²]
a_r	הרכיב הרדיאלי: שינוי כיוון המהירות	[m/s²]
a	גודל התאוצה הכוללת	[m/s²]
φ	הזווית בין התאוצה למשיק	[°]

הערה: בפרק החמישי (תנועה מעגלית) נלמד שגודל הרכיב הרדיאלי הוא a_r = v²r, כאשר r הוא רדיוס העקמומיות. כאן מספיק לנו להבין את הכיוון: אל המרכז, בניצב למהירות.

התנועה	הרכיב המשיקי a_t	הרכיב הרדיאלי a_r
תנועה קצובה לאורך קו ישר	אפס	אפס
תנועה בתאוצה לאורך קו ישר	שונה מאפס	אפס
תנועה בגודל מהירות קבוע במסלול עקום	אפס	שונה מאפס (אל המרכז)
תנועה בגודל מהירות משתנה במסלול עקום	שונה מאפס	שונה מאפס

דוגמה 1.26

מכונית נכנסת לעיקול תוך כדי האצה. ברגע מסוים הרכיב המשיקי של תאוצתה 3 m/s² והרכיב הרדיאלי 4 m/s². נחשב את גודל תאוצתה ואת הזווית בין וקטור התאוצה לכיוון המהירות. מה ישתנה אם המכונית בולמת באותו רכיב משיקי?

פתרון:

שני הרכיבים מאונכים, ולכן את גודל התאוצה נקבל ממשפט פיתגורס:

a = a_t² + a_r² = 3² + 4² = 5 m/s²

tan φ = a_ra_t = 43

φ = 53.1°

אם המכונית בולמת, הרכיב המשיקי מתהפך לכיוון ההפוך למהירות. גודל התאוצה אינו משתנה (5 m/s²), אבל וקטור התאוצה נוטה עכשיו לאחור: הזווית בינו לבין המהירות נעשית 126.9°.

a = 5 m/s² , φ = 53.1°

דוגמה 1.27

מכונית נוסעת במהירות 10 m/s מזרחה, וכעבור 5 s היא נוסעת במהירות 10 m/s צפונה. נחשב את הגודל ואת הכיוון של וקטור התאוצה הממוצעת שלה.

פתרון:

גודל המהירות לא השתנה, אבל כיוונה השתנה, ולכן יש תאוצה. נשרטט את שתי המהירויות מנקודה אחת: v₁ מזרחה ו-v₂ צפונה. הווקטור Δv נמתח מראש v₁ לראש v₂, ורכיביו:

Δv_x = v_2x − v_1x = 0 − 10 = −10 m/s

Δv_y = v_2y − v_1y = 10 − 0 = 10 m/s

Δv = 10² + 10² = 14.14 m/s

a_avg = ΔvΔt = 14.145 = 2.83 m/s²

כיוון התאוצה הממוצעת הוא כיוון Δv: צפון-מערב (זווית 135° ביחס לכיוון מזרח) — כלומר אל תוך העיקול, כפי שציפינו.

a_avg = 2.83 m/s² , θ = 135°

דוגמה 1.28

מכונית נוסעת לאורך רבע מעגל שרדיוסו 100 m מן הנקודה A אל הנקודה B בתוך 10 s. נחשב את גודל ההעתק, את הגודל ואת הכיוון של וקטור המהירות הממוצעת, את הדרך ואת ממוצע גודל המהירות.

פתרון:

רבע מעגל: ההעתק הוא המיתר AB ולא הקשת

ההעתק הוא החץ הישר מ-A ל-B, והוא היתר במשולש ישר-הזווית שניצביו r ו-r:

Δr = r² + r² = 100² + 100² = 141.4 m

וקטור המהירות הממוצעת בכיוון ההעתק (יוצר זווית 45° עם הרדיוס CA), וגודלו:

v_avg = ΔrΔt = 141.410 = 14.14 m/s

הדרך היא אורך הקשת — רבע מהיקף המעגל — וממוצע גודל המהירות הוא הדרך חלקי הזמן:

s = 2π·r4 = 2π · 1004 = 157.1 m

sΔt = 157.110 = 15.71 m/s

ממוצע גודל המהירות (15.71 m/s) גדול מגודל המהירות הממוצעת (14.14 m/s), כי הקשת ארוכה מן המיתר.

Δr = 141.4 m , v_avg = 14.14 m/s , s = 157.1 m

שאלה 1.13: גוף נע במסלול מעגלי בגודל מהירות קבוע 4 m/s.
(א) האם יש לגוף תאוצה?
(ב) מהו הרכיב המשיקי שלה?
(ג) מהו כיוון התאוצה?
(ד) אם הגוף מתחיל להאט, באיזה כיוון יהיה הרכיב המשיקי?

▶ניסוי חי — מהירות ותאוצה במישור — רכיב משיקי ורכיב רדיאלימשנים את רדיוס העיקול, את המהירות ואת הרכיב המשיקי, ועוקבים אחר וקטור התאוצה ושני רכיביו — ובודקים מה קורה כשהרכיב המשיקי מתאפס.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#plane

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#plane

עיקרי הדברים:

תיאור תנועה מתחיל בבחירת מערכת ייחוס וציר מקום: ראשית, כיוון חיובי ויחידת מדידה — וכל הפיזיקה בנויה על הפרשי מקומות, לא על המקומות עצמם.
ההעתק תלוי בנקודת ההתחלה ובנקודת הסיום בלבד, ואילו הדרך תלויה במסלול כולו; הם שווים רק כשהגוף נע בכיוון אחד בלי לחזור.
תנועה אחת מתוארת בארבע דרכים שקולות — טבלה, גרף, ביטוי מתמטי ותרשים עקבות — והמיומנות היסודית היא מעבר חופשי ביניהן.
בגרף המקום: שיפוע המיתר הוא המהירות הממוצעת ושיפוע המשיק הוא המהירות הרגעית; ובגרף המהירות: השיפוע הוא התאוצה, והשטח הכלוא עם ציר הזמן הוא ההעתק.
סימן התאוצה לבדו אינו אומר אם הגוף מאיץ או מאט: ההשוואה בין סימן המהירות לסימן התאוצה היא שמכריעה.
נפילה חופשית וזריקה אנכית הן תנועה בתאוצה קבועה g = 10 m/s² כלפי מטה: היא אינה תלויה במסת הגוף, ואינה מתאפסת בנקודה העליונה.
וקטור נקבע בגודל ובכיוון יחד: מחברים ומחסרים אותו גאומטרית (המשולש והמקבילית), ובמדויק — בעזרת רכיבים על שני צירים ניצבים.
במסלול עקום המהירות משיקה למסלול תמיד; הרכיב המשיקי של התאוצה משנה את גודל המהירות, והרכיב הרדיאלי משנה את כיוונה ופונה אל מרכז העקמומיות.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
העתק, מרחק ודרך	Δx = x₂ − x₁ , d = \|Δx\| , s = \|Δx₁\| + \|Δx₂\| + ...
תנועה קצובה	v = ΔxΔt , x(t) = x₀ + v·t
מהירות ממוצעת	v_avg = Δx_totalΔt_total
מהירות רגעית (שיפוע המשיק)	v = ΔxΔt (Δt → 0)
תאוצה	a = ΔvΔt , v(t) = v₀ + a·t
המקום בתנועה בתאוצה קבועה	x = x₀ + v₀·t + 12·a·t²
משוואה בלי זמן	v² = v₀² + 2·a·Δx
ההעתק בתנועה בתאוצה קבועה	Δx = v₀·t + 12·a·t² = v₀ + v2·t
נפילה חופשית ממנוחה	v = g·t , y = 12·g·t² , g = 10 m/s²
זריקה אנכית (החיובי כלפי מעלה)	v = v₀ − g·t , y = y₀ + v₀·t − 12·g·t²
גובה מרבי וזמן עלייה	H = v₀²2·g , t_up = v₀g
רכיבי וקטור	A_x = A·cos θ , A_y = A·sin θ , A = A_x² + A_y²
חיבור אלגברי	R_x = A_x + B_x , R_y = A_y + B_y
רכיבי התאוצה	a = a_t² + a_r²

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
קינמטיקה	Kinematics	علم الحركة (الكينماتيكا)
מערכת ייחוס	Frame of reference	منظومة الإسناد (الإطار المرجعي)
ציר מקום	Position axis	محور الموقع
מקום	Position	الموقع
העתק	Displacement	الإزاحة
מרחק	Distance	المسافة
דרך	Path length	الطريق المقطوع
תרשים עקבות	Motion diagram	مخطّط الآثار
תנועה קצובה	Uniform motion	الحركة المنتظمة
מהירות	Velocity	السرعة
מהירות ממוצעת	Average velocity	السرعة المتوسّطة
מהירות רגעית	Instantaneous velocity	السرعة اللحظية
שיפוע	Slope	الميل
מיתר	Chord (secant)	الوتر
משיק	Tangent	المماس
תאוצה	Acceleration	التسارع
תאוצה ממוצעת / רגעית	Average / instantaneous acceleration	التسارع المتوسّط / اللحظي
תנועה בתאוצה קבועה	Uniformly accelerated motion	الحركة بتسارع ثابت (المتسارعة بانتظام)
נפילה חופשית	Free fall	السقوط الحرّ
תאוצת הנפילה החופשית	Free-fall acceleration	تسارع السقوط الحرّ (تسارع الجاذبية)
זריקה אנכית	Vertical projection	القذف العمودي (الرمي)
וקטור	Vector	المتّجه
סקלר	Scalar	المقدار القياسي
גודל · כיוון	Magnitude · direction	المقدار · الاتّجاه
וקטור שקול	Resultant vector	المتّجه المحصّل
וקטור נגדי	Opposite vector	المتّجه المعاكس
וקטור האפס	Zero vector	متّجه الصفر
רכיב	Component	المركّبة
רכיב משיקי	Tangential component	المركّبة المماسّية
רכיב רדיאלי	Radial (centripetal) component	المركّبة الراديالية (المركزية)
מרכז העקמומיות	Center of curvature	مركز الانحناء

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 1.1) המירו:
(א) 90 km/h למטר לשנייה.
(ב) 12 m/s לקילומטר לשעה.
(ג) 2.5 min לשניות.

תשובות: 25 m/s , 43.2 km/h , 150 s

(לסעיף 1.1) גוף נע על ציר המקום מ-x = 3 m אל x = −5 m ואחר כך אל x = 4 m. חשבו את ההעתק הכולל, את המרחק בין נקודת ההתחלה לנקודת הסיום, ואת הדרך.

תשובות: Δx = 1 m , d = 1 m , s = 17 m

(לסעיף 1.2) מקומות של גוף נרשמו כל שתי שניות: x = 4, 9, 14, 19 m ב-t = 0, 2, 4, 6 s. מהו סוג התנועה? כתבו את x(t), וחשבו את המקום ב-t = 12 s ואת הרגע שבו x = 29 m.

תשובות: קצובה; x(t) = 4 + 2.5·t , x(12) = 34 m , t = 10 s

(לסעיף 1.2) בתרשים עקבות נרשמו מקומות של גוף כל שנייה: x = 1, 4, 7, 10, 13 m ב-t = 0, 1, 2, 3, 4 s. מהו סוג התנועה? כתבו את הביטוי המתמטי x(t) וחשבו את מקום הגוף ברגע t = 7 s.

תשובות: קצובה; x(t) = 1 + 3·t , x(7) = 22 m

(לסעיף 1.3) גרף המקום–זמן של גוף מסוים הוא קו ישר העובר דרך הנקודות (0, 6 m) ו-(3 s, 0). חשבו את מהירות הגוף, כתבו את x(t), וחשבו את מקומו ברגע t = 5 s.

תשובות: v = −2 m/s , x(t) = 6 − 2·t , x(5) = −4 m

(לסעיף 1.3) רוכב אופניים נוסע 100 km במהירות 50 km/h ואחר כך חוזר באותה דרך במהירות 100 km/h. חשבו את המהירות הממוצעת בכל הנסיעה ואת ממוצע גודל המהירות (הדרך חלקי הזמן).

תשובות: v_avg = 0 ; sΔt = 66.7 km/h

(לסעיף 1.5) מקומו של גוף נתון בביטוי x(t) = 3·t² (ביחידות SI). חשבו את המהירות הממוצעת בין t = 1 s ל-t = 2 s. העריכו את המהירות הרגעית ב-t = 2 s בחישוב המהירות הממוצעת בפרקי הזמן Δt = 0.1 s ו-Δt = 0.01 s שמתחילים ב-t = 2 s.

תשובות: v_avg = 9 m/s ; 12.3 m/s , 12.03 m/s → v(2) = 12 m/s

(לסעיף 1.6) גוף יוצא במהירות 5 m/s ומאיץ בתאוצה קבועה 3 m/s² בכיוון תנועתו. חשבו את מהירותו ואת העתקו אחרי 4 s, ואת המרחק שהוא עובר בשנייה הרביעית בלבד.

תשובות: v = 17 m/s , Δx = 44 m ; בשנייה הרביעית 15.5 m

(לסעיף 1.6) אבן משוחררת ממנוחה מגובה 20 m.
(א) חשבו את זמן נפילתה ואת מהירות פגיעתה בקרקע.
(ב) אבן שנייה נזרקת מאותו גובה כלפי מטה במהירות 15 m/s; חשבו את זמן נפילתה ואת מהירות פגיעתה.

תשובות: (א) t = 2 s , v = 20 m/s ; (ב) t = 1 s , v = 25 m/s

10.

(לסעיף 1.7) מהירותו של גוף נמדדה כל שנייה: v = 1, 2, 5, 10, 17 m/s ב-t = 0, 1, 2, 3, 4 s. האם התאוצה קבועה? חשבו את התאוצה הממוצעת בכל אחת מארבע השניות, ובפרק הזמן כולו.

תשובות: אינה קבועה; a_avg = 1, 3, 5, 7 m/s² בשניות העוקבות, ו-4 m/s² בפרק הזמן כולו

11.

(לסעיף 1.8) אדם הולך 9 km מזרחה ואחר כך 12 km צפונה. חשבו את גודל העתקו הכולל ואת הזווית שהוא יוצר עם כיוון מזרח, ואת הדרך שעבר.

תשובות: Δr = 15 km בזווית 53.1° ; s = 21 km

12.

(לסעיף 1.9) חותרים בסירה במהירות 12 m/s מזרחה בנהר שזורם צפונה במהירות 5 m/s, ולכן מהירות הסירה ביחס לחוף היא סכום שני הווקטורים. חשבו את גודל המהירות הזאת ואת הזווית שהיא יוצרת עם כיוון מזרח, בשרטוט גאומטרי ובעזרת רכיבים.

תשובות: v = 13 m/s בזווית 22.6° צפונית למזרח

13.

(לסעיף 1.10) אופנוע נוסע בעיקול תוך כדי האצה. ברגע מסוים הרכיב המשיקי של תאוצתו 6 m/s² והרכיב הרדיאלי 8 m/s². חשבו את גודל התאוצה ואת הזווית בינה לבין המהירות. מה משתנה ברכיבי התאוצה אם האופנוע נוסע באותו עיקול באותה מהירות בלי להאיץ?

תשובות: a = 10 m/s² , φ = 53.1° ; הרכיב המשיקי מתאפס, והרכיב הרדיאלי נשאר 8 m/s²

תרגילי סיכום:

מכונית יוצאת מן הראשית במהירות 15 m/s, ובאותו רגע יוצאת לקראתה מכונית שנייה מן המקום x = 300 m במהירות שגודלה 10 m/s. כתבו את פונקציית המקום של כל מכונית, וחשבו מתי והיכן הן נפגשות. שרטטו את גרף מקום–זמן של שתי המכוניות.

תשובות: x₁ = 15·t , x₂ = 300 − 10·t ; t = 12 s , x = 180 m

הגרף מתאר את מקומו של גוף כפונקציה של הזמן. חשבו את המהירות בכל קטע, את ההעתק הכולל, את הדרך ואת המהירות הממוצעת בעשר השניות.

תשובות: v₁ = 3 m/s , v₂ = 0 , v₃ = −3 m/s ; Δx = 0 , s = 24 m , v_avg = 0

הגרף מתאר את מהירותו של גוף כפונקציה של הזמן במשך 11 s. חשבו את התאוצה בכל אחד מארבעת הקטעים, את ההעתק הכולל, את הדרך ואת המהירות הממוצעת בתנועה כולה. באיזה רגע הגוף הופך את כיוון תנועתו?

תשובות: a = 0 , −4 , −2 , 0 m/s² ; Δx = 33 m , s = 75 m , v_avg = 3 m/s ; ב-t = 6 s

רכבת נוסעת במהירות 30 m/s ומתחילה לבלום בתאוצה קבועה עד שהיא נעצרת אחרי 150 m. חשבו את תאוצתה ואת זמן הבלימה, ואת מהירותה אחרי שעברה מחצית ממרחק הבלימה.

תשובות: a = −3 m/s² , t = 10 s ; v = 21.2 m/s

הגרף מתאר את מהירותו של גוף כפונקציה של הזמן. חשבו את התאוצה בכל קטע ואת ההעתק הכולל, ושרטטו את התאוצה ואת המקום כפונקציה של הזמן.

תשובות: a₁ = 2 m/s² , a₂ = 0 , a₃ = −4 m/s² ; Δx = 72 m

כדור נזרק מפני הקרקע כלפי מעלה במהירות 30 m/s. חשבו את זמן העלייה, את הגובה המרבי, את זמן התנועה הכולל, ואת שני הרגעים שבהם הכדור נמצא בגובה 25 m.

תשובות: t_up = 3 s , H = 45 m , t = 6 s ; t = 1 s ו-t = 5 s

תרגילי העמקה:

(*) כדור נופל נפילה חופשית ממנוחה, וחולף על פני חלון שגובהו 2 m במשך 0.2 s. חשבו את מהירות הכדור בקצה העליון של החלון, ואת הגובה שממנו שוחרר הכדור מעל הקצה הזה.

תשובות: v = 9 m/s ; שוחרר מגובה 4.05 m מעל הקצה העליון

(*) גוף נופל נפילה חופשית ממנוחה, ובשנייה האחרונה של נפילתו הוא עובר בדיוק מחצית מן הגובה הכולל. חשבו את זמן הנפילה הכולל ואת הגובה שממנו נפל הגוף. (הדרכה: בטאו את המרחק שנעבר עד הרגע t ועד הרגע t − 1, וכתבו את הקשר ביניהם.)

תשובות: t = 2 + 2 = 3.41 s , H = 58.3 m (הפתרון השני t = 2 − 2 נפסל, כי הוא קטן משנייה אחת)

(*) גוף נע בגודל מהירות קבוע 10 m/s במסלול מעגלי שרדיוסו 50 m ועובר רבע הקפה. חשבו את זמן התנועה, את גודל וקטור המהירות הממוצעת ואת גודל וקטור התאוצה הממוצעת בפרק זמן זה. (הדרכה: שרטטו את וקטורי המהירות בשני קצות הרבע וחסרו אותם גאומטרית.)

תשובות: t = 7.85 s , v_avg = 9 m/s , a_avg = 1.8 m/s²

תשובות סופיות לשאלות הפרק

1.1 v = 30 m/s , 300 m

1.2 Δx = 6 m , s = 14 m ; בחזרה לראשית Δx = 0

1.3 x(t) = −5 + 3·t , x(10) = 25 m

1.4 קצובה; שלילי; x(t) = 12 − 3·t ; קו ישר יורד שחותך את ציר x ב-12 m ואת ציר t ב-4 s

1.5 v_avg = 68 km/h ; לא, כי משכי הזמן של שני הקטעים אינם שווים

1.6 v_avg = 3 m/s , v_avg = 0 m/s ; ב-t = 2.5 s (שיא הפרבולה)

1.7 v = 22 m/s , Δx = 78 m

1.8 h = 20 m , v = 20 m/s ; h = 80 m (פי ארבעה)

1.9 t = 2 s , v = 25 m/s

1.10 התאוצה הרגעית חיובית וקטנה עד אפס; התאוצה הממוצעת בשנייה הראשונה גדולה מן התאוצה הממוצעת בשנייה האחרונה (שמתקרבת לאפס)

1.11 Δr = 5 km , s = 7 km ; אינה משתנה

1.12 R = 10 בזווית 36.9° ; 10 בזווית −36.9° ; 16 על ציר x

1.13 כן; a_t = 0 ; אל מרכז המעגל (בניצב למהירות); מנוגד לכיוון המהירות

שאלות בגרות לפרק 1

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 1 — כדור מנתר — ניתוח מדידות, מהירות ותאוצה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	המהירות ברגע 0.08 שניות	v = 2.25 m/s כלפי מעלה
ב	השלמת טבלת המהירויות	+2.25 · +1.88 · +1.00 · +0.25 · −0.25 · −0.63 מטר לשנייה
ג	דיאגרמת הפיזור וקו המגמה	הנקודות נופלות על קו ישר יורד — ראו את הגרף שלמעלה
ד	מהירות הניתור והתאוצה	v₀ ≈ 3.1 m/s כלפי מעלה · a ≈ 10.3 m/s² כלפי מטה
ה	עם התנגדות אוויר	תרשים 1 — שיפוע תלול בעלייה ומתון בירידה

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 1 — שתי מכוניות בדרך אל תחנת האוטובוס — קריאת גרף מהירות מול זמן

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תאוצת כל אחת מן המכוניות	a_A = −0.4 m/s² · גודל 0.4 m/s² שמאלה , a_B = +0.8 m/s² · גודל 0.8 m/s² ימינה
ב	כיוון התנועה והמרחקים ברגע t = 10 s	(1) אותו כיוון · ימינה · שתיהן 8 m/s ‖ (2) x_A = 100 m גדול פי 2.5 מן המרחק x_B = 40 m
ג	מרחק תחנת האוטובוס ומשך הזמן עד ההגעה אליה	(1) מרחק התחנה x = 180 m ‖ (2) משך הזמן t = 30 s
ד	הפרש הזמנים בין עצירת מכונית א לעצירת מכונית ב	Δt = 45 − 30 = 15 s
ה	זיהוי תרשים כתמי הצבע	התרשים המתאים הוא תרשים 4 · צפוף ← מרווח ← צפוף

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 1 — שני ניסויים על מישור משופע חלק — קריאת גרף מהירות זמן וחילוץ המרחקים AK ו-AB

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
נתוני הפתיחה	קריאת שני הגרפים שבמכתט 2	נתוני הפתיחה: a = −5 m/s² בשני הניסויים , v₁ = 1.0 m/s , v₂ = 0.5 m/s , α = 30°
א	קביעת הכיוון החיובי	הכיוון החיובי נקבע במעלה המישור המשופע , מפני שהתאוצה מכוונת תמיד במורד וערכה בגרפים הוא −5 m/s²
ב		המרחק בין הנקודה הגבוהה ביותר לבין K הוא 0.225 m , כלומר 22.5 cm
ג	חישוב המרחק AK	AK = 0.125 m , כלומר 12.5 cm
ד	חישוב המרחק AB	BK = 1.271 m , ולכן AB = 1.271 − 0.125 = 1.146 m ≈ 1.15 m
ה	בחירת המכתט הנכון בנוכחות חיכוך	המכתט ב · בעלייה השיפוע תלול מ-5 m/s² , בירידה מתון מ-5 m/s² , ושיפוע הירידה של ניסוי 1 שווה לשיפוע של ניסוי 2

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 (נבצרים) שאלה 1 — שתי משאיות ותרשים נקודות במרווחי זמן שווים — מהירות נסיעה ממוצעת, תאוצה ממוצעת והשוואת מהירויות רגעיות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
קריאת התרשים	הבסיס לכל הפתרון	קריאת התרשים: Δt = 0.5 h , Δx_B = 31.5 km לכל מרווח , t_A = 5·Δt = 2.5 h , t_B = 6·Δt = 3 h
א	מהירות הנסיעה הממוצעת של B בקטע MN	v_B = 63 km/h = 17.5 m/s , והמשאית B נעה במהירות קבועה
ב	השוואת המהירויות הממוצעות בקטע MN	מהירות הנסיעה הממוצעת של A בקטע MN גדולה מזו של B , מפני שהדרך זהה בשתיהן ואילו זמן הנסיעה של A הוא חמישה מרווחים לעומת שישה מרווחים אצל B
ג	מהירות הנסיעה הממוצעת של A בקטע MP	v_A,MP = 94.5 km/h = 26.25 m/s
ד	התאוצה הממוצעת של A בקטע הרביעי	a = −4.86 · 10⁻³ m/s² , שהם −63 km/h² , והסימן השלילי מציין האטה
ה	האם קיים רגע שבו המהירויות הרגעיות שוות	כן , וקיים אף פרק זמן שלם באורך חצי שעה שבו v_A = v_B = 63 km/h = 17.5 m/s
טבלה מסכמת	המהירויות בכל אחד מן הקטעים	בפתרון המלא

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 1 — גרף מהירות־זמן של מכונית — סוג התנועה בכל שלב, תאוצת היצרן, המהירות הממוצעת, זמן התגובה ומרחק הבלימה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	סוג התנועה בכל אחד משלושת השלבים	0 עד 6 s — שוות־תאוצה , a = 2 m/s² · 6 עד 10 s — תאוצה משתנה , השיפוע יורד מ 1 עד 0.2 m/s² · 10 עד 13 s — שוות־מהירות , v = 14 m/s ו a = 0
ב	פי כמה גדולה תאוצת היצרן	תאוצת היצרן 10.68 m/s² גדולה בערך פי 5.3 מן התאוצה המרבית 2 m/s² שבה נסע הנהג
ג	המהירות הממוצעת ב־13 השניות הראשונות	x = 36 + 53.3 + 42 = 131.3 m , ולכן v̄ = 10.1 m/s , בערך 36.4 km/h
ד	משך הזמן מן הדריכה על הדוושה ועד לעצירה	משך הבלימה t = 4 s
ה	הדרך הכוללת מרגע ראיית הכדור ועד לעצירה	d = 10.5 + 28 = 38.5 m
ו	האם הפחתה של 10 קמ״ש תמיד חוצה את מרחק הבלימה	לא · d = v² מחולק ב 2a , ולכן היחס הוא ((v − 10) מחולק ב v) בריבוע ותלוי במהירות המקורית · החצייה מתקיימת רק ב v = 10 · (2 + שורש 2) = 34.1 km/h

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 (נבצרים) שאלה 1 — מרדף משטרתי · חילוץ תאוצה, דרך ומהירות ממוצעת משני גרפי מהירות־זמן, ומניין העקיפות בין המכונית לאופנוע

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תאוצת האופנוע מתוך שיפוע הגרף	a₂ = 2.2 m/s², חיובית בכיוון התנועה. בכל שנייה גדל גודל מהירות האופנוע ב־2.2 מטר לשנייה.
ב	תאוצת המכונית בקטע ההאטה ומשמעות הסימן	תאוצת המכונית שווה למינוס עשרים וחמישה חלקי תשע. התאוצה מכוונת נגד כיוון התנועה, והמכונית מאטה עד עצירה · a₁ = −2.78 m/s²
ג	מי מקדים ברגע 15 שניות · שטח מתחת לגרף ומקום התחלתי	האופנוע מקדים. x₁ = 262.5 m ואילו x₂ = 277.5 m, כלומר האופנוע נמצא 15 מטר לפני המכונית.
ד	כמה עקיפות היו · מעקב אחר סימן ההפרש	פעמיים. עקיפה ראשונה של המכונית ברגע 1.27 שניות, ועקיפה שנייה של האופנוע ברגע 14.53 שניות
ה	השוואת המהירויות הממוצעות	קטנה. v₂ = 16.5 m/s ואילו v₁ = 17.5 m/s.
ו	רגע שוויון המהירויות	ברגע t = 8.37 s, והמהירות המשותפת היא v = 18.4 m/s.

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 שאלה 1 — שתי מכוניות נעות זו לקראת זו — סימני התאוצות, זמן העצירה, המרחק ההתחלתי וגרפי המהירות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	קביעת סימני התאוצות	היגד 4 — שתי המכוניות נעו בתאוצה שלילית
ב	זמן העצירה של מכונית א	t = 15 s
ג		המרחק הוא 225 m , ומכונית א נעצרת ב x = +225 m
ד	גודל תאוצת הבלימה של מכונית ב	גודל תאוצת הבלימה הוא 6 m/s² , וערכה ביחס לציר הוא +6 m/s²
ה	חישוב המרחק AB ברגע t = 0	AB = 450 m
ו	שרטוט גרפי המהירות כפונקציה של הזמן	א — קו ישר מן הנקודה (0 , 30) אל הנקודה (15 , 0) · ב — קו ישר מן הנקודה (0 , 0) אל הנקודה (10 , −30) ואחר כך אל הנקודה (15 , 0)

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2020 שאלה 1 — נחיתה רכה של חללית על הירח — חילוץ התאוצה, כוח הדחף והגובה מתוך גרף מהירות מול זמן

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הצגת המושג נפילה חופשית	נפילה חופשית היא תנועה שבה פועל על הגוף כוח הכבידה בלבד · התאוצה g_M = 1.67 m/s² כלפי מטה, קבועה ובלתי תלויה במסה · בשאלה זו בין t = 10 s ל t = 12.45 s
ב	תרשים הכוחות בין t = 0 ל t = 10 s	שני כוחות בלבד · כוח הכבידה של הירח m·g_M = 273.88 N אנכית כלפי מטה, וכוח הדחף של המנועים F = 601.88 N אנכית כלפי מעלה, בחץ ארוך יותר
ג	גודל הכוח שבו משפיעים המנועים	F = m·(a₁ + g_M) = 164 · 3.67 = 601.88 N ≈ 6.0 · 10² N , כלומר כ 602 N אנכית כלפי מעלה
ד	הגובה שבו מהירות החללית הייתה אפס	h = 5.0120875 m ≈ 5.0 m מעל פני הירח
ה	חישוב H, הגובה ברגע t = 0	H = 105.0120875 m ≈ 105 m מעל פני הירח ברגע t = 0
ו	איזה מן התרשימים 1 עד 4 מתאר את הגובה	תרשים 2 · שיפוע התחלתי תלול של 20 m/s כלפי מטה, משיק אופקי ברגע t = 10 s בגובה 5.01 m בלבד, וירידה לאפס ברגע t = 12.45 s

הפתרון המלא לבחינת 2020 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.