פרק 2

כוחות ושיווי משקל

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 20 שעות לימוד

בפרק הראשון תיארנו את התנועה: מקום, מהירות ותאוצה. בפרק הזה נשאל: מה משנה את תנועת הגופים? התשובה היא כוחות. נכיר את הכוח ואת הדרכים למדוד אותו, ונלמד לטפל בו כגודל וקטורי: חיבור במקבילית הכוחות ופירוק לרכיבים. נגלה את החוק השלישי של ניוטון, אחר כך את ההתמדה ואת החוק הראשון, ונכיר את כוחות המגע — המתיחות, הכוח הנורמלי והחיכוך. בסוף הפרק נבנה את החשובים שבכלי הספר הזה — תרשים הכוחות ותנאי שיווי המשקל — וניישם אותם על גופים נחים ועל גופים הנעים במהירות קבועה בקו ישר.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר את הכוח ונמדוד אותו בדינמומטר, ונשתמש בחוק הוק F = −k·x לתיאור הקפיץ.
נחבר כוחות כווקטורים: גרפית בעזרת מקבילית, ואלגברית בפירוק לרכיבים.
נסביר את החוק השלישי של ניוטון: כל כוח מופיע בזוג של שני כוחות שווים ומנוגדים הפועלים על שני גופים שונים.
נסביר את ההתמדה ואת החוק הראשון של ניוטון, ונכתוב את תנאי שיווי המשקל ΣF = 0.
ננתח את המתיחות, את הכוח הנורמלי ואת החיכוך הסטטי והקינטי, ונשתמש ב-f_k = μ_k·N וב-f_s ≤ μ_s·N.
נסרטט תרשים כוחות וננתח מצבי שיווי משקל: גוף תלוי על חוטים, וגוף הנגרר על משטח אופקי במהירות קבועה.

כוחות ומדידתם (Forces and Their Measurement)

מושג הכוח:

בחיי היום-יום אנו אומרים "דחפתי את הדלת", "משכתי את החבל", "כדור הארץ מושך את האבן". בכל המשפטים האלה יש השפעה שגוף אחד מפעיל על גוף אחר. ההשפעה הזאת היא מה שהפיזיקאים מכנים כוח.

כוח: השפעה שגוף מפעיל על גוף אחר, ושיכולה לשנות את מצב התנועה שלו (כלומר את מהירותו: בגודל או בכיוון) או לעוות את צורתו. מסמנים כוח באות F, ויחידת המידה שלו היא ניוטון, שסימנה N.

נשים לב לשני דברים בהגדרה הזאת. ראשית, כוח אינו קיים לבדו: תמיד יש גוף מפעיל וגוף מושפע, ולכן על כל כוח נשאל: מי מפעיל אותו, ועל מי? שנית, כוח אינו מחייב תנועה: השולחן מפעיל כוח על הספר המונח עליו, אף שהספר נמצא במנוחה. נראה בפרק הזה שמה שהכוח משנה הוא המהירות, ולא המקום.

נבחין בין שני סוגי כוחות לפי אופן הפעולה:

כוחות מגע: גוף מפעיל אותם על גוף אחר כשהוא נוגע בו — דחיפת היד, משיכת החבל, הכוח של הרצפה על כף הרגל, החיכוך, התנגדות האוויר.
כוחות מרחוק: פועלים בלי מגע — כוח הכובד בין כדור הארץ לגופים, הכוח החשמלי בין מטענים, הכוח המגנטי. במכניקה אנו עוסקים כמעט רק בכוח אחד הפועל מרחוק: כוח הכובד.

כוח מגע וכוח מרחוק. בשני המקרים נזהה את הגוף המפעיל ואת הגוף המושפע

הכוח	מי מפעיל אותו?	על מי?	הסוג
כוח הכובד	כדור הארץ	כל גוף בקרבתו	מרחוק
הכוח הנורמלי	המשטח	הגוף המונח עליו	מגע
המתיחות	החוט או החבל	הגוף הקשור אליו	מגע
כוח הקפיץ	הקפיץ	הגוף הקשור אליו	מגע
החיכוך	המשטח	הגוף המחליק עליו או המנסה להחליק	מגע
התנגדות האוויר	האוויר	הגוף הנע בו	מגע

כוח הכובד והמשקל:

כוח הכובד: (כוח המשיכה) הכוח שבו כדור הארץ מושך כל גוף בקרבתו אל מרכזו, כלומר אנכית כלפי מטה. גודלו נמצא ביחס ישר למסת הגוף: F = m·g, כאשר g היא תאוצת הנפילה החופשית שהכרנו בפרק הראשון.

כוח הכובד (משקל)

F = m·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	המשקל: כוח הכובד הפועל על הגוף	[N]
m	מסת הגוף	[kg]
g	תאוצת הנפילה החופשית; ליד פני כדור הארץ נציב g = 10 m/s²	[m/s²]

בספר הזה נקרא לכוח הכובד הפועל על הגוף משקל ונסמן אותו F = m·g. יש להבחין היטב בין מסה למשקל:

	המסה m	המשקל F
מה זה?	כמות החומר בגוף ומדד להתמדה שלו	כוח הכובד הפועל על הגוף
סוג הגודל	סקלרי (אין לו כיוון)	וקטורי (תמיד כלפי מטה)
יחידת מידה	kg	N
מכשיר מדידה	מאזני כפות (השוואה למסות תקניות)	מאזני קפיץ (דינמומטר)
האם משתנה ממקום למקום?	לא: אותה מסה על כדור הארץ ועל הירח	כן: תלוי ב-g באותו מקום

דוגמה 2.1

מסתו של אסטרונאוט עם החליפה היא 60 kg. נחשב את משקלו על פני כדור הארץ, ואחר כך על פני הירח, שם g_moon = 1.6 m/s².

פתרון:

על כדור הארץ:

F = m·g = 60 · 10 = 600 N

על הירח המסה זהה, אבל תאוצת הנפילה החופשית קטנה יותר:

F_moon = m·g_moon = 60 · 1.6 = 96 N

המשקל על הירח קטן בערך פי שישה, אבל מסת האסטרונאוט לא השתנתה: אילו דחף אותו חברו באותו כוח, הוא היה מקבל אותה תאוצה כאן ושם.

F = 600 N , F_moon = 96 N

שימו לב: בשפת היום-יום אומרים "אני שוקל 60 קילוגרם", אבל בפיזיקה זו טעות: הקילוגרם הוא יחידת מסה. הנכון: המסה שלי 60 kg והמשקל שלי 600 N. בבחינה כותבים את המשקל תמיד בניוטון.

שאלה 2.1: מסתו של ארגז 25 kg. חשבו את משקלו על כדור הארץ. מהי מסתו של גוף שמשקלו על כדור הארץ 45 N?

הקפיץ וחוק הוק:

איך מודדים כוח? צריך גוף שצורתו משתנה באופן סדיר כשפועל עליו כוח. הדוגמה הטובה ביותר היא הקפיץ. כשמותחים קפיץ הוא מתארך, כשדוחסים אותו הוא מתקצר, וכשמשחררים אותו הוא חוזר לאורכו הרפוי ℓ₀. התכונה הזאת — החזרה לצורה המקורית אחרי שהכוח מפסיק לפעול — נקראת אלסטיות.

התארכות: ההפרש בין אורך הקפיץ המתוח לאורכו הרפוי: x = ℓ − ℓ₀. בדחיסה x שלילי ונקרא לו התקצרות. מודדים את ההתארכות במטרים (או בסנטימטרים וממירים).

קפיץ אנכי: חופשי באורכו הרפוי ℓ₀; עם מסה m הוא מתארך x; עם מסה 2m הוא מתארך 2x — ההתארכות נמצאת ביחס ישר לכוח

כשתולים על הקפיץ מסות שונות ומודדים בכל פעם את ההתארכות, מגלים כלל פשוט: הכפלת הכוח מכפילה את ההתארכות, והשלשתו משלשת אותה. ההתארכות נמצאת ביחס ישר לכוח, כלומר הקפיץ לינארי. זו התוצאה שניסח המדען האנגלי רוברט הוק בשנת 1676:

חוק הוק

F = −k·x

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	הכוח שהקפיץ מפעיל על הגוף — מנוגד תמיד לכיוון ההעתק	[N]
x	ההעתק מהאורך הרפוי: ההתארכות (או ההתקצרות)	[m]
k	קבוע הקפיץ: הכוח הדרוש להתארכות של מטר אחד	[N/m]

הערה: סימן המינוס פירושו שכוח הקפיץ מנוגד תמיד לכיוון ההעתק — זהו כוח מחזיר המנסה להשיב את הקפיץ לאורכו הרפוי, וכך מלמדים את הפיזיקה וכך מופיע החוק בבחינה. כשחשוב לנו הגודל בלבד נכתוב F = k·x.

קבוע הקפיץ: מדד ל"קשיחות" הקפיץ: ככל ש-k גדול יותר, דרוש כוח גדול יותר כדי לקבל אותה התארכות. לקפיץ פלדה במכונית יכול להיות קבוע של עשרות אלפי ניוטון למטר, ולקפיץ של עט כדורי — עשרות ספורות בלבד. הקבוע הוא תכונה של הקפיץ עצמו, ואינו משתנה כשמשנים את הכוח.

הערה: חוק הוק נכון כל עוד ההתארכות נמצאת בתוך גבול האלסטיות: אם מותחים את הקפיץ יותר מדי, הוא מתעוות לצמיתות ואינו חוזר לאורכו הרפוי, והגרף כבר אינו קו ישר. בכל הבעיות בספר הזה נניח שהקפיץ נשאר בתוך גבול האלסטיות.

דוגמה 2.2

מסה של 200 g נתלתה על קפיץ אנכי, והקפיץ התארך 4 cm. נחשב את קבוע הקפיץ, ואחר כך את התארכותו כשתולים עליו מסה של 500 g.

פתרון:

קודם נמיר יחידות: m = 0.2 kg , x = 0.04 m. בשיווי משקל כוח הקפיץ שווה למשקל המסה:

F = m·g = 0.2 · 10 = 2 N

מחוק הוק נבודד את קבוע הקפיץ:

k = Fx = 20.04 = 50 N/m

קבוע הקפיץ אינו משתנה. עם המסה החדשה m = 0.5 kg הכוח הוא F = 5 N, וההתארכות:

x = Fk = 550 = 0.1 m = 10 cm

המסה גדלה פי שניים וחצי, ולכן גם ההתארכות גדלה פי שניים וחצי — כפי שחוזה חוק הוק.

k = 50 N/m , x = 10 cm

כיוון כוח הקפיץ:

זהו פשר סימן המינוס בחוק הוק: הקפיץ תמיד מנסה לחזור לאורכו הרפוי. קפיץ מתוח מושך את הגוף הקשור אליו לעבר הקפיץ, וקפיץ דחוס דוחף אותו הרחק ממנו. בשני המקרים כוח הקפיץ מכוון נגד ההעתק — ולסימן המינוס הזה נזדקק בפרק השמיני, כשנלמד על תנודות.

קפיץ דחוס x דוחף את הגוף הרחק מן הקיר

קפיץ מתוח x מושך את הגוף אל הקיר

דוגמה 2.3

קפיץ שקבועו 400 N/m מחובר לקיר, וקצהו השני קשור לגוף המונח על שולחן חלק. דוחפים את הגוף אל הקיר עד שהקפיץ מתקצר 3 cm, ומחזיקים אותו. נחשב את הכוח שהקפיץ מפעיל על הגוף ואת כיוונו, ואת הכוח שעלינו להפעיל כדי שהגוף יישאר במנוחה.

פתרון:

F = k·x = 400 · 0.03 = 12 N

הקפיץ דחוס, ולכן הוא דוחף את הגוף הרחק מן הקיר בכוח של 12 N. כדי שהגוף יישאר במנוחה עלינו לאזן את הכוח הזה: נפעיל על הגוף כוח של 12 N לכיוון הקיר. אם נשחרר את הגוף, הקפיץ ישגר אותו הרחק מן הקיר — וזה עקרון הפעולה של משחקים ומכשירים רבים.

F = 12 N

גרף ההתארכות כפונקציה של הכוח:

בניסוי אנחנו אלה שקובעים את הכוח המופעל על הקפיץ — תולים את המשקולות אחת אחרי השנייה — ואז מודדים את ההתארכות המתקבלת. לכן נשרטט את הכוח F (המשתנה הבלתי-תלוי) על הציר האופקי, ואת ההתארכות x (המשתנה התלוי) על הציר האנכי. נקבל קו ישר העובר בראשית — זו הצורה הגרפית של כל יחס ישר — ושיפוע הקו הוא ההופכי של קבוע הקפיץ:

ΔxΔF = 1k

ההתארכות כפונקציה של הכוח לקפיץ שקבועו 50 N/m: קו ישר העובר בראשית ושיפועו 1k

דוגמה 2.4

בניסוי תלה תלמיד משקולות שונות על קפיץ ומדד את ההתארכות בכל כוח, וקיבל את הטבלה הבאה. נשרטט את ההתארכות כפונקציה של הכוח ונחשב את קבוע הקפיץ מן השיפוע.

פתרון:

הכוח F [N]	1	2	3	4
ההתארכות x [m]	0.02	0.04	0.06	0.08

הנקודות נמצאות על קו ישר העובר בראשית (הגרף שלמעלה), ולכן הקפיץ מקיים את חוק הוק. נבחר שתי נקודות רחוקות זו מזו על הקו ונחשב את השיפוע:

ΔxΔF = 0.08 − 0.024 − 1 = 0.063 = 0.02 m/N

k = 10.02 = 50 N/m

נבדוק בנקודה אחת: F = k·x = 50 · 0.04 = 2 N — מתאים לטבלה.

k = 50 N/m

שאלה 2.2: קפיץ שקבועו 200 N/m.
א. מהו הכוח הדרוש כדי לדחוס אותו 5 cm?
ב. איזו מסה יש לתלות עליו כדי שיתארך 2.5 cm?
ג. קפיץ אחר מתארך 8 cm תחת אותו כוח שבו הראשון מתארך 2 cm — איזה מהם קשיח יותר, ומהו קבועו של השני?

דוגמה 2.5

הגרף מתאר את ההתארכות כפונקציה של הכוח לשני קפיצים, A ו-B. איזה מהם קשיח יותר? נחשב את הקבוע של כל קפיץ, ואחר כך את ההתארכות של כל אחד מהם תחת כוח של 6 N.

פתרון:

הקפיץ הקשיח יותר הוא זה שמתארך פחות תחת אותו כוח — כלומר הקו המתון יותר: הקפיץ B. נקרא נקודה מכל קו ונחשב את קבוע הקפיץ:

k_A = ΔFΔx = 10 − 00.1 − 0 = 100 N/m

k_B = ΔFΔx = 18 − 00.06 − 0 = 300 N/m

תחת אותו כוח, 6 N:

x_A = Fk_A = 6100 = 0.06 m = 6 cm

x_B = Fk_B = 6300 = 0.02 m = 2 cm

הקו האנכי המקווקו בכוח 6 N בגרף חותך את שני הקווים בשתי ההתארכויות האלה: הקפיץ הקשיח מתארך פי שלושה פחות.

k_A = 100 N/m , k_B = 300 N/m , x_A = 6 cm , x_B = 2 cm

פעילות: מדדו קבוע של קפיץ בבית: תלו קפיץ (או גומייה) על מסמר, וקבעו לידו סרגל. תלו עליו שקית ושימו בה בקבוק מים קטן (0.5 kg), אחר כך שני בקבוקים, אחר כך שלושה, ורשמו בכל פעם את ההתארכות. שרטטו את ההתארכות כפונקציה של הכוח (m·g): האם קיבלתם קו ישר? חשבו את k מן ההופכי של השיפוע. (גומייה בדרך כלל אינה נותנת קו ישר — וזו כשלעצמה תוצאה חשובה.)

הדינמומטר ומאזני הקפיץ:

הדינמומטר: קפיץ בתוך צינור מסומן בשנתות; המחוג מראה את הכוח ישירות בניוטון

מכיוון שהתארכות הקפיץ נמצאת ביחס ישר לכוח, אפשר להפוך את הקפיץ למכשיר למדידת כוח: מקבעים אותו בתוך צינור, ומסמנים לידו סקאלה בניוטונים במקום בסנטימטרים. המכשיר הזה הוא הדינמומטר. כשתולים עליו גוף, הקפיץ מתארך עד שהכוח שלו משתווה למשקל הגוף, והמחוג מראה את המשקל ישירות. כשגוררים בעזרתו ארגז, הוא מראה את הכוח שבו מושכים אותו.
הסקאלה של הדינמומטר מבוססת על חוק הוק: אם קבוע הקפיץ שלו הוא k, כל ניוטון מתאים להתארכות של 1k מטר, ולכן השנתות נמצאות במרחקים שווים — וזה היתרון של קפיץ לינארי.

דינמומטר: מכשיר למדידת כוח, הבנוי מקפיץ מכויל עם סקאלה בניוטונים. ההוריה היא הכוח הפועל על הוו שלו.

מאזני קפיץ: דינמומטר שתולים עליו את הגוף אנכית, והוא מודד את משקלו. חלק מן המאזניים האלה מסומנים בקילוגרמים, אבל למעשה הם מודדים כוח (F = m·g) ומחלקים אותו ב-g = 10 — ולכן על הירח הם מראים מסה שגויה, בניגוד למאזני כפות, המשווים מסות ישירות.

הגדרה ראשונית של הניוטון:

עד עכשיו השתמשנו ביחידה ניוטון בלי להגדיר אותה במדויק. הגדרה זמנית ומעשית: ניוטון הוא בקירוב המשקל שכדור הארץ מפעיל על מסה של 100 g (תפוח קטן). ביתר דיוק: 1 N הוא כוח הכובד על מסה של 0.1 kg, כאשר g = 10 m/s². את ההגדרה המדויקת ניתן בסעיף 3.1, אחרי שנלמד את החוק השני של ניוטון: ניוטון הוא הכוח המקנה למסה של קילוגרם אחד תאוצה של 1 m/s².

כדי לפתח תחושה של היחידה, הנה גדלים אופייניים של כמה כוחות:

הכוח	הגודל המשוער
משקל של תפוח קטן	1 N
משקל של ספר לימוד	10 N
מתיחות החבל במשחק משיכת חבל	500 N
משקל של אדם מבוגר	700 N
הכוח המניע של מכונית קטנה	3000 N
משקל של מכונית	1.2·10⁴ N
כוח הבלימה ברכבת	1·10⁶ N
כוח הדחף של טיל חלל בהמראה	3·10⁷ N

דוגמה 2.6

לדינמומטר יש קפיץ שקבועו 250 N/m, ואורך הסקאלה שלו מאפשר התארכות מרבית של 10 cm.
א. מהו הכוח הגדול ביותר שהוא יכול למדוד?
ב. תלינו עליו מסה של 1.5 kg — מהי ההוריה שלו ומהי התארכות הקפיץ?

פתרון:

א. הכוח הגדול ביותר מתאים להתארכות הגדולה ביותר:

F_max = k·x_max = 250 · 0.1 = 25 N

ב. הגוף תלוי בשיווי משקל, ולכן ההוריה שווה למשקלו:

F = m·g = 1.5 · 10 = 15 N

x = Fk = 15250 = 0.06 m = 6 cm

ההתארכות קטנה מן הגבול המרבי, ולכן המדידה אפשרית.

F_max = 25 N , F = 15 N , x = 6 cm

שאלה 2.3: תלינו אבן על מאזני קפיץ, והם הראו 8 N. מהי מסת האבן? מה יראו אותם מאזניים על פני הירח (g = 1.6 m/s²), ומה יראו שם מאזני כפות?

▶ניסוי חי — חוק הוק והדינמומטרנשנה את קבוע הקפיץ ואת המסה התלויה, נקרא את ההתארכות על הסרגל ונעקוב אחר הגרף של הקשר בין הכוח להתארכות: מה משתנה כשמשנים רק את המסה, ומה כשמשנים את הקבוע?

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#hooke

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#hooke

תכונות של כוחות (Properties of Forces)

הכוח הוא וקטור:

לא די לדעת את גודל הכוח; לדחוף ארגז ימינה שונה מלדחוף אותו שמאלה או למעלה. לכן הכוח הוא וקטור, כמו ההעתק, המהירות והתאוצה, ומסרטטים אותו כחץ:

אורך החץ מייצג את גודל הכוח (בקנה מידה מתאים, למשל 1 cm לכל 10 N).
כיוון החץ מייצג את כיוון הכוח, ובדרך כלל מתארים אותו בזווית עם האופק או עם האנך.
זנב החץ הוא נקודת האחיזה: הנקודה שבה הכוח פועל על הגוף.

הכוח כווקטור: נקודת אחיזה, גודל וכיוון. מסמנים את הווקטור F ואת גודלו F

בבעיות רבות מתייחסים לגוף כאל נקודה חומרית, ומסרטטים את כל הכוחות מנקודה אחת — מרכזו. תרשים המראה את הגוף כנקודה עם כל הכוחות הפועלים עליו (ורק עליו!) נקרא תרשים כוחות או תרשים גוף חופשי, ונסרטט אותו בכל בעיית כוחות בספר הזה.

הכוח השקול:

כוח שקול: (הכוח הכולל) הכוח היחיד שאילו פעל לבדו על הגוף, היה יוצר אותה השפעה שיוצרים כל הכוחות יחד. מקבלים אותו בחיבור וקטורי של כל הכוחות הפועלים על הגוף, ומסמנים אותו ΣF:

ΣF = F₁ + F₂ + F₃ + ...

המקרה הפשוט ביותר הוא כוחות על קו אחד. אם שני כוחות פועלים באותו כיוון, השקול הוא סכומם, באותו כיוון; ואם הם מנוגדים, השקול הוא ההפרש ביניהם, בכיוון הכוח הגדול:

שני כוחות על קו אחד: באותו כיוון מחברים אותם, ובכיוונים מנוגדים מחסרים

דוגמה 2.7

שני ילדים מושכים מזחלת בשני חבלים אופקיים: הראשון בכוח של 120 N והשני בכוח של 80 N. נחשב את השקול של שני הכוחות:
א. כשהם מושכים באותו כיוון.
ב. כשהם מושכים בכיוונים מנוגדים.

פתרון:

א. שני הכוחות באותו כיוון, ולכן נחבר את הגדלים:

ΣF = F₁ + F₂ = 120 + 80 = 200 N

ב. שני הכוחות מנוגדים. נבחר את כיוון הכוח הראשון כחיובי, ואז השני שלילי:

ΣF = F₁ − F₂ = 120 − 80 = 40 N

השקול חיובי, כלומר בכיוון הילד הראשון (החזק יותר).

א. ΣF = 200 N , ב. ΣF = 40 N

חיבור גאומטרי — מקבילית הכוחות:

כששני הכוחות יוצרים ביניהם זווית α, מחברים אותם לפי כלל המקבילית: מסרטטים את שני הווקטורים מנקודה אחת, משלימים את המקבילית שהם יוצרים, והשקול הוא האלכסון היוצא מן הנקודה המשותפת. אפשר גם לסרטט את הווקטור השני מראש הראשון ("זנב לראש"), והשקול מחבר את זנב הראשון לראש השני — שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה.

שני כוחות בזווית 60°: השקול הוא אלכסון המקבילית

שני כוחות ניצבים: המקבילית היא מלבן

במקרה המיוחד שבו שני הכוחות ניצבים זה לזה (α = 90°), המקבילית היא מלבן, ומחשבים את השקול לפי משפט פיתגורס:

שקול שני כוחות ניצבים

ΣF = F₁² + F₂²

tan θ = F₂F₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	גודל השקול	[N]
θ	הזווית בין השקול לבין הכוח F₁	[°]

דוגמה 2.8

על גוף פועלים שני כוחות: 6 N מזרחה ו-8 N צפונה. נמצא את גודל השקול ואת כיוונו.

פתרון:

שני הכוחות ניצבים, ולכן ניישם את משפט פיתגורס:

ΣF = F₁² + F₂² = 6² + 8² = 100 = 10 N

כיוון השקול: הזווית שהוא יוצר עם כיוון המזרח:

tan θ = F₂F₁ = 86 = 1.333

θ = 53°

השקול הוא 10 N לכיוון צפון-מזרח, בזווית 53° מכיוון המזרח. שימו לב שגודלו קטן מ-6 + 8 = 14: וקטורים אינם מתחברים כמו מספרים.

ΣF = 10 N , θ = 53°

הערה: גודל השקול של שני כוחות F₁ ו-F₂ נמצא תמיד בין ההפרש ביניהם לבין סכומם: |F₁ − F₂| ≤ ΣF ≤ F₁ + F₂. הערך המרבי מתקבל כשהם פועלים באותו כיוון, והמזערי — כשהם מנוגדים, וביניהם כל שאר הזוויות. שני כוחות שגודל כל אחד מהם 10 N אינם יכולים לתת שקול של 25 N — בשום זווית.

הזווית בין שני הכוחות	צורת המקבילית	גודל השקול
0°	שני הווקטורים מונחים על קו אחד	F₁ + F₂ (הערך המרבי)
90°	מלבן	F₁² + F₂²
180°	מונחים על קו אחד בכיוונים מנוגדים	\|F₁ − F₂\| (הערך המזערי)
60° ושני כוחות שווים F	מעוין	3·F ≈ 1.73·F
120° ושני כוחות שווים F	מעוין	F

חיבור אלגברי — פירוק לרכיבים:

השרטוט הגאומטרי עוזר להבנה, אבל הוא אינו מדויק ואינו מעשי כשיש כוחות רבים. השיטה הכללית היא ההפך מחיבור: פירוק של כל כוח לשני רכיבים על שני צירים ניצבים x ו-y, ואחר כך חיבור הרכיבים על כל ציר כמו מספרים רגילים.

כוח F יוצר זווית θ עם הכיוון החיובי של ציר x. נטיל אותו על שני הצירים: הרכיב האופקי הוא הניצב שליד הזווית במשולש ישר הזווית, והרכיב האנכי הוא הניצב שמול הזווית:

פירוק הכוח F לרכיב אופקי F_x ולרכיב אנכי F_y: שני הרכיבים והכוח יוצרים משולש ישר זווית

רכיבי הכוח

F_x = F·cos θ

F_y = F·sin θ

F = F_x² + F_y²

סימן	משמעות	יחידת מידה
F	גודל הכוח	[N]
θ	הזווית בין הכוח לבין הכיוון החיובי של ציר x	[°]
F_x , F_y	שני הרכיבים; כל אחד מהם מספר שעשוי להיות שלילי	[N]

הסימן של הרכיב מבטא את כיוונו: רכיב x שלילי פירושו שהכוח נוטה לכיוון השלילי של x. בבחינה משתמשים בערכים המקורבים sin 37° = 0.6 , cos 37° = 0.8 , sin 53° = 0.8 , cos 53° = 0.6 וכן sin 30° = 0.5 , cos 60° = 0.5 , sin 45° = cos 45° ≈ 0.71.

דוגמה 2.9

כוח שגודלו 50 N יוצר זווית 37° עם האופק. נחשב את שני רכיביו.

פתרון:

F_x = F·cos θ = 50 · cos 37° = 50 · 0.8 = 40 N

F_y = F·sin θ = 50 · sin 37° = 50 · 0.6 = 30 N

נבדוק: 40² + 30² = 2500 = 50 N — חזרנו לגודל הכוח המקורי.

F_x = 40 N , F_y = 30 N

ועכשיו — השיטה לחיבור כמה כוחות בעזרת רכיבים, שלב אחר שלב:

נבחר שני צירים ניצבים x ו-y (בדרך כלל האופקי והאנכי, או לאורך התנועה ובניצב לה).
נפרק כל כוח לשני רכיביו, עם הסימנים הנכונים.
נחבר את כל רכיבי x ונקבל ΣF_x, ונחבר את כל רכיבי y ונקבל ΣF_y.
נרכיב את השקול: גודלו ΣF = ΣF_x² + ΣF_y², וכיוונו מתוך tan θ = ΣF_yΣF_x.

שקול כמה כוחות בעזרת רכיבים

ΣF_x = F_1x + F_2x + ...

ΣF_y = F_1y + F_2y + ...

ΣF = ΣF_x² + ΣF_y²

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF_x	סכום הרכיבים האופקיים	[N]
ΣF_y	סכום הרכיבים האנכיים	[N]

דוגמה 2.10

על גוף פועלים שלושה כוחות במישור אחד: F₁ = 8 N בכיוון החיובי של x, F₂ = 10 N בזווית 37° מעל ציר x, ו-F₃ = 6 N בכיוון השלילי של y (באיור). נחשב את השקול.

פתרון:

נפרק כל כוח. F₁ נמצא כולו על ציר x, ו-F₃ כולו על ציר y, עם סימן שלילי:

F_1x = 8 N , F_1y = 0

F_2x = 10 · cos 37° = 8 N , F_2y = 10 · sin 37° = 6 N

F_3x = 0 , F_3y = −6 N

נחבר על כל ציר:

ΣF_x = 8 + 8 + 0 = 16 N

ΣF_y = 0 + 6 − 6 = 0 N

הרכיב האנכי של השקול הוא אפס: הכוח F₃ ביטל לגמרי את הרכיב האנכי של F₂. לכן השקול אופקי:

ΣF = 16² + 0² = 16 N

ΣF = 16 N

דוגמה 2.11

שני כוחות שווים, שגודל כל אחד מהם 30 N, והזווית ביניהם 60°. נחשב את השקול שלהם בעזרת רכיבים (האיור בתחילת הסעיף).

פתרון:

נציב את ציר x לאורך הכוח הראשון, ואז השני יוצר איתו זווית של 60° (sin 60° ≈ 0.87):

F_1x = 30 N , F_1y = 0

F_2x = 30 · cos 60° = 15 N , F_2y = 30 · sin 60° = 26 N

ΣF_x = 30 + 15 = 45 N

ΣF_y = 0 + 26 = 26 N

ΣF = 45² + 26² = 52 N

tan θ = 2645 ⇒ θ = 30°

השקול חוצה את הזווית שבין שני הכוחות השווים (בגלל הסימטריה), וגודלו 52 N — קטן מ-60 N וגדול מ-30 N, כפי שמראה השרטוט.

ΣF = 52 N , θ = 30°

שאלה 2.4: כוח שגודלו 20 N יוצר זווית 60° עם ציר x. חשבו את שני רכיביו. ואחר כך: שני כוחות ניצבים, 9 N ו-12 N — מהו גודל השקול שלהם?

החוק השלישי של ניוטון:

אמרנו שכוח הוא השפעה הדדית בין שני גופים. ניוטון הבחין שההדדיות הזאת סימטרית לגמרי: כשאתם דוחפים את הקיר ביד, אתם מרגישים שהקיר דוחף את היד; כשכדור הארץ מושך את האבן, האבן מושכת את כדור הארץ; כשהמשוט דוחף את המים לאחור, המים דוחפים את הסירה קדימה.

החוק השלישי של ניוטון

F_AB = −F_BA

סימן	משמעות	יחידת מידה
F_AB	הכוח שהגוף A מפעיל על הגוף B	[N]
F_BA	הכוח שהגוף B מפעיל על הגוף A	[N]

החוק השלישי: אם גוף A מפעיל כוח על גוף B, הגוף B מפעיל על הגוף A כוח השווה לו בגודלו ומנוגד לו בכיוונו. שני הכוחות הם מאותו סוג (מגע או כבידה), מופיעים ונעלמים יחד, ופועלים על שני גופים שונים.

זוג הכוחות: A דוחף את B ימינה, ו-B דוחף את A שמאלה באותו גודל

שימו לב: שני הכוחות שבזוג לעולם אינם מבטלים זה את זה, כי כל אחד מהם פועל על גוף אחר. כשמסרטטים תרשים כוחות לגוף אחד, מופיע בו רק כוח אחד מכל זוג. הטעות הנפוצה: "השולחן דוחף את הספר למעלה והספר דוחף את השולחן למטה, ולכן הם מתאזנים" — לא! מה שמאזן את הכוח הנורמלי על הספר הוא משקל הספר, וזה אינו כוח התגובה שלו.

ספר על שולחן: שני זוגות של כוחות. הזוג הראשון: כדור הארץ מושך את הספר (m·g) והספר מושך את כדור הארץ (m·g′). הזוג השני: השולחן דוחף את הספר (N) והספר לוחץ על השולחן (N′). על הספר עצמו פועלים רק שני כוחות: m·g ו-N

פעולה	תגובה	סוג הכוח
כדור הארץ מושך את הספר כלפי מטה	הספר מושך את כדור הארץ כלפי מעלה	כבידה
השולחן דוחף את הספר כלפי מעלה	הספר לוחץ על השולחן כלפי מטה	מגע (נורמלי)
כף הרגל דוחפת את הקרקע לאחור	הקרקע דוחפת את כף הרגל קדימה — כך אנו הולכים	מגע (חיכוך)
הטיל דוחף את הגזים כלפי מטה	הגזים דוחפים את הטיל כלפי מעלה	מגע
החבל מושך את הארגז ימינה	הארגז מושך את החבל שמאלה	מגע (מתיחות)

דוגמה 2.12

ספר שמסתו 2 kg מונח על שולחן אופקי. נמנה את הכוחות הפועלים על הספר, ונקבע לכל אחד מהם את כוח התגובה ואת גודלו.

פתרון:

על הספר פועלים שני כוחות: משקלו m·g מצד כדור הארץ, והכוח הנורמלי N מצד השולחן. הספר במנוחה, ולכן שני הכוחות שווים:

m·g = 2 · 10 = 20 N

N = m·g = 20 N

התגובה למשקל: הספר מושך את כדור הארץ כלפי מעלה בכוח של 20 N (הכוח הזה פועל על כדור הארץ, לא על הספר). התגובה לכוח הנורמלי: הספר לוחץ על השולחן כלפי מטה בכוח N′ = 20 N (פועל על השולחן). השוויון בין N לבין m·g אינו נובע מן החוק השלישי, אלא מכך שהספר בשיווי משקל — נראה זאת בסעיף הבא.

m·g = N = N′ = 20 N

שאלה 2.5: כדור הארץ מושך אדם שמסתו 60 kg בכוח של 600 N. באיזה כוח מושך האדם את כדור הארץ? ומדוע אנו רואים את האדם נופל אל כדור הארץ, ואיננו רואים את כדור הארץ "נופל" אליו? (רמז: מסת כדור הארץ 6 · 10²⁴ kg — חשבו על התמדה.)

שאלה 2.6: סוס מושך עגלה. לפי החוק השלישי העגלה מושכת את הסוס בכוח שווה ומנוגד — אז איך העגלה נעה קדימה? (רמז: סרטטו את הכוחות על העגלה לבדה, ואחר כך על הסוס לבדו, וזכרו את הקרקע.)

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים מאמינים שהגוף "החזק" או הכבד מפעיל כוח גדול יותר: המשאית המתנגשת ביתוש מפעילה עליו — לפי הדעה הזאת — כוח גדול מזה שהיתוש מפעיל על המשאית. החוק השלישי של ניוטון אינו מכיר יוצאים מן הכלל: שני הכוחות שווים בגודלם תמיד, יהיו המסות אשר יהיו. ההבדל כולו בתוצאה: אותו כוח מקנה ליתוש הקטן תאוצה עצומה, ולמשאית הענקית תאוצה זניחה.

▶ניסוי חי — תכונות הכוחות: חיבור וקטורי והחוק השלישינכוון את הגודל ואת הזווית של כל אחד משני הכוחות, ונעקוב אחר המקבילית, הרכיבים והשקול שלהם; אחר כך נעבור ללוח החוק השלישי כדי לראות את זוג הכוחות על שני גופים הנוגעים זה בזה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#forces

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#forces

התמדה (Inertia)

מאריסטו לגלילאו:

אריסטו, ואיתו רוב האנשים עד היום, האמין שגוף זקוק לכוח כדי להמשיך לנוע: העגלה נעצרת אם הסוס מפסיק למשוך אותה. גלילאו היה הראשון שראה את הדבר אחרת. דמיינו כדור היורד במישור משופע חלק ואחר כך עולה במישור משופע אחר: הוא תמיד מגיע לאותו גובה שממנו יצא. אם נקטין את השיפוע של המישור השני, הכדור יעבור דרך ארוכה יותר עד שיגיע לגובה הזה. ואם נעשה את המשטח השני אופקי לגמרי — הכדור לעולם לא יגיע לגובה הזה, וימשיך לנוע במהירות קבועה ללא סוף.

ניסוי המחשבה של גלילאו: על משטח אופקי חלק דבר אינו עוצר את הכדור, והוא ממשיך במהירות קבועה

אם כן, מה שעוצר את העגלה אינו היעדר כוח אלא דווקא נוכחות של כוח: החיכוך. אילו ביטלנו את החיכוך לגמרי, העגלה הייתה ממשיכה לנוע בלי סוס. תנועה במהירות קבועה אינה דורשת כוח; מה שדורש כוח הוא שינוי המהירות.

התמדה: (אינרציה) התכונה של כל גוף לשמור על מצב התנועה שלו — מנוחה, או תנועה בקו ישר במהירות קבועה — כל עוד לא פועל עליו כוח שקול שמשנה את המצב הזה. המדד להתמדה הוא המסה: ככל שהמסה גדולה יותר, קשה יותר לשנות את מצב התנועה של הגוף.

החוק הראשון של ניוטון (חוק ההתמדה)

ΣF = 0 ⇔ v = const

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	הכוח השקול הפועל על הגוף	[N]
v	המהירות קבועה בגודלה ובכיוונה (כולל מצב מנוחה, v = 0)	[m/s]

החוק פועל בשני הכיוונים: אם השקול הוא אפס, המהירות קבועה; ואם המהירות קבועה (או שהגוף במנוחה), השקול הוא אפס. שימו לב שהחוק אינו אומר "אין כוחות", אלא "הכוח השקול הוא אפס": על הספר המונח על השולחן פועלים שני כוחות, אבל הם מבטלים זה את זה.

כשהאוטובוס בולם בפתאומיות, הנוסעים נזרקים קדימה: גופם שומר על מהירותו בזמן שהאוטובוס מאט. חגורת הבטיחות היא הכוח שעוצר את הנוסע יחד עם האוטובוס.
כשהמכונית מזנקת בפתאומיות, הנוסע נלחץ למושב: הוא "נשאר במקומו" והמושב נדחף אליו.
משיכה מהירה של מפת השולחן משאירה את הצלחות במקומן: הכוח הקטן (החיכוך) בזמן הקצר אינו מספיק כדי לשנות את מצב המנוחה שלהן.
חללית רחוקה מכוכבי הלכת מכבה את המנועים וממשיכה במהירות קבועה שנים רבות — אין כוח הפועל עליה.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים מאמינים שגוף הנע במהירות קבועה "נדחף" בידי כוח שקול בכיוון תנועתו, ושכוח המנוע של מכונית הנוסעת בקצב אחיד גדול מכוחות ההתנגדות. האמת הפוכה: מהירות קבועה בקו ישר פירושה ששקול הכוחות הוא אפס — כוח המנוע שווה בדיוק לחיכוך ולהתנגדות האוויר, לא יותר. הכוח אינו דרוש להמשך התנועה, אלא לשינויה.

תנאי שיווי המשקל:

שיווי משקל: אומרים שגוף נמצא בשיווי משקל אם הכוח השקול הפועל עליו הוא אפס. שיווי המשקל יכול להיות סטטי (הגוף אינו נע) או דינמי (הגוף נע במהירות קבועה בקו ישר) — מבחינת הכוחות אין הבדל בין שני המצבים.

השקול הוא וקטור, ואם הוא אפס, כל אחד מרכיביו הוא אפס. לכן תנאי שיווי המשקל הוא למעשה שתי משוואות:

תנאי שיווי המשקל

ΣF_x = 0

ΣF_y = 0

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF_x	סכום הרכיבים של כל הכוחות על ציר x	[N]
ΣF_y	סכום הרכיבים של כל הכוחות על ציר y	[N]

במובן הגאומטרי: אם נסרטט את הכוחות "זנב לראש", המצולע חייב להיסגר ולחזור לנקודת ההתחלה. שני כוחות בשיווי משקל שווים ומנוגדים; ושלושה כוחות בשיווי משקל יוצרים משולש סגור.

דוגמה 2.13

מנורה שמסתה 3 kg תלויה בשני חוטים זהים, שכל אחד מהם יוצר זווית 37° עם האנך (באיור). נחשב את המתיחות בכל חוט.

פתרון:

נסרטט תרשים כוחות למנורה: משקלה m·g כלפי מטה, ושני כוחות מתיחות T₁ ו-T₂ לאורך החוטים. בגלל הסימטריה T₁ = T₂ = T. נבחר את ציר y כלפי מעלה ואת ציר x אופקי, ונפרק את שני כוחות המתיחות (הזווית נמדדת מן האנך, ולכן הרכיב האנכי הוא T·cos θ):

ΣF_x = T·sin 37° − T·sin 37° = 0

ΣF_y = T·cos 37° + T·cos 37° − m·g = 0

המשוואה הראשונה מתקיימת מאליה בגלל הסימטריה. מן השנייה:

2·T·cos 37° = m·g

T = m·g2·cos 37° = 3 · 102 · 0.8 = 18.75 N

שימו לב שכל חוט נושא יותר ממחצית המשקל (15 N), כי חלק מן המתיחות "הולך לאיבוד" ברכיב האופקי. ככל שהזווית גדלה, המתיחות גדלה — ולכן אי אפשר למתוח חבל כביסה עד שיהיה אופקי לגמרי.

T = 18.75 N

דוגמה 2.14

שלט שמסתו 4 kg תלוי בשני חוטים: הראשון אופקי ומחובר לקיר, והשני מחובר לתקרה ויוצר זווית 53° עם האופק (באיור). נחשב את המתיחות בכל חוט.

פתרון:

על השלט פועלים שלושה כוחות: משקלו m·g = 40 N כלפי מטה, T₁ אופקי לכיוון הקיר, ו-T₂ לאורך החוט הנטוי. הרכיב האנכי היחיד הפונה כלפי מעלה הוא T₂·sin 53°, ולכן הוא שנושא את כל המשקל:

ΣF_y = T₂·sin 53° − m·g = 0

T₂ = m·gsin 53° = 400.8 = 50 N

הציר האופקי: את הרכיב האופקי של T₂, הפונה ימינה, מאזן החוט האופקי, המושך שמאלה:

ΣF_x = T₂·cos 53° − T₁ = 0

T₁ = T₂·cos 53° = 50 · 0.6 = 30 N

החוט הנטוי נושא יותר מן המשקל (50 N > 40 N), כי הוא נושא את המשקל ובו בזמן מושך נגד החוט האופקי. שימו לב לסדר: התחלנו בציר שיש בו נעלם אחד בלבד.

T₁ = 30 N , T₂ = 50 N

דוגמה 2.15

על גוף הנמצא במנוחה פועלים שני כוחות: F₁ = 30 N בכיוון החיובי של x ו-F₂ = 40 N בכיוון החיובי של y, וכוח שלישי F₃ שאינו ידוע. נמצא את הגודל ואת הכיוון של F₃.

פתרון:

הגוף בשיווי משקל, ולכן השקול של שלושת הכוחות הוא אפס: הכוח השלישי שווה בגודלו לשקול של שני הראשונים ומנוגד לו בכיוונו.

ΣF_x = 30 + F_3x = 0 ⇒ F_3x = −30 N

ΣF_y = 40 + F_3y = 0 ⇒ F_3y = −40 N

F₃ = 30² + 40² = 50 N

tan θ = 4030 ⇒ θ = 53°

גודל הכוח השלישי 50 N, והוא מכוון לכיוון השלילי של x ולכיוון השלילי של y, בזווית 53° מתחת לכיוון השלילי של ציר x — כלומר הוא מנוגד בדיוק לשקול של שני הראשונים.

F₃ = 50 N

התמדה בציר מסוים:

מאחר שתנאי שיווי המשקל הוא שתי משוואות בלתי תלויות, הוא יכול להתקיים בציר אחד בלבד. אם ΣF_x = 0 בזמן ש-ΣF_y ≠ 0, רכיב המהירות על ציר x נשאר קבוע, ואילו רכיבה על ציר y משתנה. זה בדיוק מה שקורה בזריקה האופקית שלמדנו בפרק הראשון: הכוח היחיד הוא כוח הכובד, והוא אנכי, ולכן אין כוח אופקי, והרכיב האופקי של המהירות אינו משתנה, בעוד הרכיב האנכי גדל באופן קבוע.

דוגמה 2.16

כדור נזרק אופקית מגג בניין במהירות 5 m/s. נזניח את התנגדות האוויר. נחשב את שני רכיבי מהירות הכדור אחרי 2 s, ונסביר את התוצאה בשפת הכוחות.

פתרון:

הכוח היחיד הפועל על הכדור אחרי הזריקה הוא משקלו m·g כלפי מטה. על הציר האופקי ΣF_x = 0, ולכן הכדור "מתמיד" בכיוון האופקי:

v_x = v₀ = 5 m/s

על הציר האנכי פועל כוח הכובד, ולכן המהירות משתנה כמו בנפילה חופשית:

v_y = g·t = 10 · 2 = 20 m/s

הרכיב האופקי לא השתנה, אף שהכדור נופל: חוק ההתמדה פועל על כל ציר בנפרד.

v_x = 5 m/s , v_y = 20 m/s

שאלה 2.7: ארגז נגרר על רצפה בשני חבלים אופקיים ניצבים זה לזה, בכוחות של 30 N ו-40 N, והוא נע במהירות קבועה. מהו גודל כוח החיכוך הפועל עליו, ומהו כיוונו?

שאלה 2.8: נוסע עומד באוטובוס הנוסע במהירות קבועה בכביש ישר. האם פועל עליו כוח שקול? ומה קורה לו כשהאוטובוס פונה בפתאומיות ימינה? הסבירו בעזרת ההתמדה.

מתיחות, כוח נורמלי וכוח חיכוך (Tension, Normal Force and Friction)

הכרנו את כוח הכובד ואת כוח הקפיץ. עכשיו נכיר שלושה כוחות מגע המופיעים ברוב הבעיות במכניקה: המתיחות בחוטים ובחבלים, הכוח הנורמלי שכל משטח מפעיל, וכוח החיכוך על שני סוגיו.

המתיחות בחוט:

כשמושכים חבל משני קצותיו, כל החבל נמתח. נדמיין חתך רוחב באמצע החבל: החלק הימני מושך את החלק השמאלי ימינה, והחלק השמאלי מושך את החלק הימני שמאלה — זוג כוחות שווים לפי החוק השלישי. גודל הכוח ההדדי הזה בין שני חלקי החבל בכל חתך הוא מה שאנו מכנים מתיחות.

מתיחות: (כוח המתיחות) הכוח שהחוט או החבל מפעיל על הגוף הקשור לקצהו. הוא מכוון תמיד לאורך החוט ואל תוכו (הרחק מן הגוף). חוט יכול רק למשוך, ואינו יכול לדחוף. מסמנים אותו T.

חבל מושך גוף: בכל חתך רוחב שני חלקי החבל מושכים זה את זה בכוח T — זו המתיחות באותו חתך

הערה: בספר הזה נניח שהחוט חסר מסה ואינו מתארך. אז המתיחות זהה בכל חתכי החוט, והחוט מפעיל אותו כוח T על שני הגופים הקשורים לקצותיו. ואם החוט עובר על גלגלת חלקה וחסרת מסה, המתיחות אינה משתנה גם במעבר עליה — ונשתמש בכך בסעיף 3.3.

גוף תלוי בחוט בשיווי משקל: T = m·g

המקרה הפשוט ביותר: גוף שמסתו m תלוי בחוט מן התקרה ונמצא במנוחה. על הגוף פועלים רק שני כוחות: משקלו כלפי מטה והמתיחות כלפי מעלה. מתנאי שיווי המשקל ΣF_y = T − m·g = 0 נקבל T = m·g. שימו לב שזה נכון גם אם הגוף נע במהירות קבועה כלפי מעלה או כלפי מטה — כי שיווי משקל דינמי הוא כמו שיווי משקל סטטי. אבל אם הגוף מאיץ, T לא תהיה שווה למשקל — וזה הנושא של סעיף 3.1.

דוגמה 2.17

שני גופים שמסותיהם m₁ = 3 kg ו-m₂ = 2 kg תלויים בשני חוטים כמו באיור: החוט הראשון מחבר את m₁ לתקרה, והחוט השני מחבר את m₂ ל-m₁. נחשב את המתיחות בכל חוט.

פתרון:

נתחיל בגוף התחתון m₂, כי פועלים עליו רק שני כוחות: משקלו והמתיחות של החוט השני כלפי מעלה:

T₂ − m₂·g = 0

T₂ = m₂·g = 2 · 10 = 20 N

עכשיו הגוף העליון m₁: פועלים עליו שלושה כוחות — משקלו כלפי מטה, החוט השני מושך אותו כלפי מטה בכוח T₂ (אותו חוט מושך את שני הגופים בשני הכיוונים), והחוט הראשון מושך אותו כלפי מעלה בכוח T₁:

T₁ − m₁·g − T₂ = 0

T₁ = m₁·g + T₂ = 30 + 20 = 50 N

החוט העליון נושא את שני הגופים יחד: T₁ = (m₁ + m₂)·g. החוט התחתון נושא רק את הגוף התחתון.

T₁ = 50 N , T₂ = 20 N

שאלה 2.9: חבל עומד במתיחות מרבית של 400 N. מהי המסה הגדולה ביותר שאפשר לתלות עליו בלי שייקרע? ואם נתלה על החבל שני גופים שמסותיהם 15 kg ו-20 kg, כמו בדוגמה הקודמת — האם החבל העליון ייקרע?

הכוח הנורמלי:

מדוע הספר אינו נופל דרך השולחן? כי השולחן דוחף אותו כלפי מעלה. איך השולחן עושה זאת? מודל הקפיצים עוזר להבין: פני השולחן אינם קשיחים לגמרי; מתחת לספר הם נדחסים מעט מאוד — כאילו הם בנויים מקפיצים זעירים וקשיחים מאוד — וכל קפיץ דחוס דוחף כלפי מעלה. המשטח נדחס בדיוק במידה שבה הכוח שלו מאזן את הכוחות האחרים; ואילו הנחנו ספר שני, הוא היה נדחס יותר ודוחף יותר.

מודל הקפיצים של הכוח הנורמלי: המשטח נדחס ודוחף את הגוף בניצב למשטח

כוח נורמלי: הכוח שמשטח מפעיל על גוף הנוגע בו. הוא מכוון תמיד בניצב למשטח והחוצה (הרחק מן המשטח). מסמנים אותו N. משטח יכול רק לדחוף, ואינו יכול למשוך; ואם הגוף ניתק מן המשטח, הכוח הנורמלי מתאפס.

שימו לב: אין נוסחה כללית לכוח הנורמלי! גודלו נקבע בכל בעיה מתוך משוואת הכוחות על הציר הניצב למשטח. על משטח אופקי שלא פועלים עליו כוחות אנכיים נוספים N = m·g, אבל אם לוחצים את הגוף כלפי מטה N גדל, ואם מושכים אותו כלפי מעלה הוא קטן, ועל מישור משופע הוא קטן מן המשקל גם בלי כוחות נוספים (סעיף 3.3).

הכוח הנורמלי על משטח אופקי בשלושה מצבים: בלי כוחות נוספים, עם לחיצה כלפי מטה, ועם משיכה כלפי מעלה

דוגמה 2.18

ארגז שמסתו 5 kg מונח על רצפה אופקית. נחשב את הכוח הנורמלי:
א. בלי כוחות נוספים.
ב. כשלוחצים אותו כלפי מטה בכוח של 20 N.
ג. כשמושכים אותו כלפי מעלה בחבל בכוח של 20 N.
ד. כשמושכים אותו כלפי מעלה בכוח של 50 N.

פתרון:

בכל המקרים הארגז במנוחה, ולכן סכום הכוחות האנכיים הוא אפס (נבחר את הכיוון כלפי מעלה כחיובי). המשקל m·g = 50 N.

א. רק שני כוחות:

N − m·g = 0 ⇒ N = 50 N

ב. הכוח הנוסף כלפי מטה מגדיל את מה שהרצפה צריכה לשאת:

N − m·g − F = 0 ⇒ N = 50 + 20 = 70 N

ג. החבל נושא חלק מן המשקל, ולכן הלחיצה על הרצפה קטנה:

N + F − m·g = 0 ⇒ N = 50 − 20 = 30 N

ד. הכוח של החבל שווה בדיוק למשקל:

N = 50 − 50 = 0

הארגז עומד להתנתק מן הרצפה: כל הגדלה של כוח החבל תרים אותו, ויישאר N = 0, כי הרצפה אינה יכולה למשוך.

N = 50 N , 70 N , 30 N , 0

הערה: מאזני אמבטיה (מאזני קפיץ שעומדים עליהם) מודדים למעשה את הכוח הנורמלי שהם מפעילים על כפות הרגליים, ולא את המשקל. במצבים רגילים שני הכוחות שווים; אבל אם תלחצו ביד על הקיר או תיאחזו בשולחן, ההוריה תשתנה בלי שהמשקל שלכם ישתנה. נחזור לכך במעלית המאיצה (סעיף 3.3).

שאלה 2.10: אדם שמסתו 70 kg עומד על מאזניים ולוחץ בידיו על תקרה נמוכה בכוח של 100 N כלפי מעלה. מה מראים המאזניים (בניוטון)? ומה הם מראים אם הוא נתלה על חבל המחובר לתקרה בכוח של 100 N?

אדהזיה ומקור החיכוך:

משטח שנראה חלק לעין הוא, מתחת למיקרוסקופ, שורה של בליטות ושקעים. כשמניחים גוף על משטח, הם נוגעים זה בזה רק בנקודות מעטות — בקצות הבליטות — ובנקודות האלה האטומים של שני הגופים מתקרבים עד כדי כך שנוצרים ביניהם כוחות משיכה חשמליים. האדהזיה הזאת בנקודות המגע היא המקור העיקרי של החיכוך: כדי להזיז את הגוף צריך "לנתק" את ההיצמדויות הקטנות האלה, ובזמן התנועה הן נוצרות ומתנתקות ללא הרף.

אדהזיה: כוח המשיכה בין האטומים של שני משטחים שונים הנוגעים זה בזה. ככל שלוחצים את הגוף חזק יותר אל המשטח, שטח המגע האמיתי גדל ונקודות האדהזיה מתרבות — ולכן החיכוך נמצא ביחס ישר לכוח הנורמלי. לעומת זאת, שטח המגע הנראה (גודל הפאה של הגוף) אינו משפיע, כי מספר נקודות המגע האמיתיות נקבע לפי הלחיצה ולא לפי השטח.

שני משטחים "חלקים" מתחת למיקרוסקופ: המגע האמיתי הוא בנקודות מעטות, ובהן נוצרת האדהזיה שגורמת לחיכוך

החיכוך הקינטי:

חיכוך קינטי: הכוח שהמשטח מפעיל על גוף המחליק עליו. הוא מכוון לאורך המשטח, נגד כיוון ההחלקה של הגוף ביחס למשטח. מסמנים אותו f_k.

חיכוך קינטי

f_k = μ_k·N

סימן	משמעות	יחידת מידה
f_k	כוח החיכוך הקינטי	[N]
μ_k	מקדם החיכוך הקינטי: מספר חסר יחידות, התלוי בחומרים של שני המשטחים ובמצבם	—
N	הכוח הנורמלי בין הגוף למשטח	[N]

שלוש עובדות ניסיוניות על החיכוך הקינטי — כולן מקורבות, אבל מדויקות מספיק לבעיות שלנו:

הוא נמצא ביחס ישר לכוח הנורמלי N — ולא למשקל. על משטח אופקי בלי כוחות אנכיים נוספים N = m·g, ואז f_k = μ_k·m·g, אבל זה מקרה פרטי.
הוא אינו תלוי בשטח המגע: ארגז המונח על פאתו הגדולה ועל פאתו הקטנה חווה אותו חיכוך.
הוא אינו תלוי (בקירוב) במהירות: גוף איטי וגוף מהיר על אותו משטח חווים אותו חיכוך.

שני המשטחים	μ_s (סטטי)	μ_k (קינטי)
גומי על אספלט יבש	0.9	0.8
גומי על אספלט רטוב	0.5	0.3
עץ על עץ	0.5	0.3
פלדה על פלדה (יבשה)	0.7	0.6
פלדה על פלדה (משומנת)	0.1	0.05
קרח על קרח	0.1	0.03
טפלון על טפלון	0.04	0.04

הערכים בטבלה אופייניים בלבד, והם משתנים מאוד עם הלחות, הניקיון והשחיקה; בבעיות המקדם תמיד נתון. שימו לב שמקדם החיכוך הסטטי גדול בדרך כלל מן הקינטי: קשה יותר להתחיל לנוע מאשר להמשיך לנוע.

דוגמה 2.19

ארגז שמסתו 4 kg מחליק על רצפה אופקית, ומקדם החיכוך הקינטי ביניהם 0.3. נחשב את כוח החיכוך:
א. כשהארגז מחליק לבדו.
ב. כשהוא מחליק ואדם לוחץ אותו כלפי מטה בכוח של 30 N.

פתרון:

א. על משטח אופקי בלי כוחות אנכיים נוספים, הכוח הנורמלי שווה למשקל:

N = m·g = 4 · 10 = 40 N

f_k = μ_k·N = 0.3 · 40 = 12 N

ב. הלחיצה הנוספת מגדילה את הכוח הנורמלי, ולכן גם את החיכוך:

N = m·g + F = 40 + 30 = 70 N

f_k = μ_k·N = 0.3 · 70 = 21 N

בשני המקרים כוח החיכוך מכוון נגד כיוון ההחלקה, יהיה כיוון הכוח המושך את הארגז אשר יהיה.

f_k = 12 N , 21 N

החיכוך הסטטי:

דוחפים ארון כבד בכוח קטן — הוא אינו זז. מגדילים את הכוח — הוא עדיין אינו זז. מגדילים עוד — ופתאום הוא מחליק. כל עוד הארון במנוחה, הכוח השקול עליו הוא אפס, כלומר הרצפה מפעילה עליו כוח חיכוך השווה בדיוק לכוח שלנו ומנוגד לו. הכוח הזה גדל יחד עם הכוח שאנו מפעילים — אבל עד גבול מסוים.

חיכוך סטטי: הכוח שהמשטח מפעיל על גוף הנמצא במנוחה ביחס אליו ונוטה להחליק, והוא מונע את ההחלקה הזאת. גודלו אינו קבוע: הוא שווה בדיוק למה שדרוש כדי למנוע את התנועה, עד ערך מרבי f_s,max = μ_s·N; ואם הגוף זקוק ליותר מזה, הוא מחליק. מסמנים אותו f_s.

חיכוך סטטי

f_s ≤ μ_s·N

f_s,max = μ_s·N

סימן	משמעות	יחידת מידה
f_s	כוח החיכוך הסטטי בפועל (נקבע מתנאי שיווי המשקל)	[N]
μ_s	מקדם החיכוך הסטטי	—
f_s,max	הערך המרבי של החיכוך הסטטי: בו הגוף "על סף החלקה"	[N]

שימו לב: הטעות הנפוצה ביותר בבעיות חיכוך: לכתוב f_s = μ_s·N לגוף הנמצא במנוחה. הנוסחה עם סימן השוויון נכונה רק כשהגוף על סף החלקה. בכל מקרה אחר מחשבים את f_s מתנאי שיווי המשקל, ואחר כך מוודאים שהוא אינו עולה על μ_s·N.

כוח החיכוך כפונקציה של הכוח הפועל על ארגז שמסתו 4 kg (μ_s = 0.5 , μ_k = 0.3): הוא עולה עם הכוח עד 20 N, ואז יורד בבת אחת לערך הקינטי 12 N ונשאר קבוע

הגרף מסכם את כל הסיפור. בתחום הראשון הגוף במנוחה, והחיכוך שווה לכוח הפועל (קו ששיפועו 1). בנקודת המקסימום μ_s·N הגוף מתחיל להחליק, והחיכוך יורד ל-μ_k·N ונשאר קבוע גם כשהכוח ממשיך לגדול. הירידה הפתאומית היא הסיבה ל"קפיצה" שאנו מרגישים כשהארון מתחיל לזוז.

דוגמה 2.20

ארגז שמסתו 4 kg מונח על רצפה אופקית; μ_s = 0.5 ו-μ_k = 0.3. מפעילים עליו כוח אופקי.
א. F = 12 N — האם הארגז זז, ומהו כוח החיכוך?
ב. F = 25 N — האם הוא זז, ומהם כוח החיכוך והכוח השקול?

פתרון:

קודם נחשב את הכוח הנורמלי ואת התקרה של החיכוך הסטטי:

N = m·g = 40 N

f_s,max = μ_s·N = 0.5 · 40 = 20 N

א. הכוח 12 N קטן מן התקרה, ולכן הארגז נשאר במנוחה, והחיכוך הסטטי מאזן את הכוח לגמרי:

f_s = F = 12 N ( < 20 N)

ΣF = 0

ב. הכוח 25 N גדול מן התקרה, ולכן הארגז מחליק והחיכוך הופך לקינטי:

f_k = μ_k·N = 0.3 · 40 = 12 N

ΣF = F − f_k = 25 − 12 = 13 N

השקול אינו אפס, ולכן הארגז מאיץ — את התאוצה שלו נחשב בסעיף 3.1.

f_s = 12 N ; f_k = 12 N , ΣF = 13 N

דוגמה 2.21

ארון שמסתו 20 kg עומד על רצפת עץ; μ_s = 0.4 ו-μ_k = 0.3.
א. מהו הכוח האופקי הקטן ביותר שיזיז את הארון ממנוחה?
ב. אחרי שהוא זז, איזה כוח דרוש כדי שימשיך לנוע במהירות קבועה?

פתרון:

א. כדי להזיז את הארון יש להתגבר על החיכוך הסטטי המרבי:

F_min = f_s,max = μ_s·m·g = 0.4 · 20 · 10 = 80 N

ב. בזמן תנועה במהירות קבועה השקול הוא אפס, ולכן הכוח שווה לחיכוך הקינטי:

F = f_k = μ_k·m·g = 0.3 · 200 = 60 N

אחרי שהארון התחיל לזוז, אפשר להקטין את הכוח ב-20 N, והארון ימשיך לנוע. ואם נשאיר 80 N, הוא יאיץ.

F_min = 80 N , F = 60 N

דוגמה 2.22

לוחצים ספר שמסתו 1 kg אל קיר אנכי בכוח אופקי F (באיור). מקדם החיכוך הסטטי בין הספר לקיר 0.4.
א. מהו הכוח הקטן ביותר שמונע מן הספר להחליק?
ב. אם לוחצים בכוח של 40 N — מהו כוח החיכוך?

פתרון:

כאן המשטח אנכי, ולכן הכוח הנורמלי אופקי: הקיר דוחף את הספר שמאלה בכוח N. החיכוך הסטטי מכוון כלפי מעלה ומונע את ההחלקה. הציר האופקי:

N − F = 0 ⇒ N = F

הציר האנכי: החיכוך נושא את כל המשקל:

f_s − m·g = 0 ⇒ f_s = m·g = 10 N

א. הספר על סף החלקה כשהחיכוך הסטטי מגיע לערכו המרבי:

f_s = μ_s·N = μ_s·F_min = m·g

F_min = m·gμ_s = 100.4 = 25 N

ב. בכוח של 40 N מתקבל N = 40 N, ותקרת החיכוך μ_s·N = 16 N, אבל החיכוך בפועל נשאר שווה למשקל בלבד:

f_s = m·g = 10 N ( < 16 N)

לחיצה חזקה יותר אינה מגדילה את החיכוך בפועל, אלא רק את "הרזרבה" הזמינה — דוגמה ברורה לכך ש-f_s אינו תמיד μ_s·N.

F_min = 25 N , f_s = 10 N

שאלה 2.11: כדי להזיז ממנוחה ארגז שמסתו 2 kg על רצפה, נדרש כוח אופקי של 6 N לפחות, וכדי שימשיך לנוע במהירות קבועה נדרש כוח של 4 N. חשבו את מקדמי החיכוך הסטטי והקינטי.

הערה: החיכוך הסטטי אינו תמיד "אויב התנועה" — דווקא הוא מאפשר ללכת ולנסוע. כשכף הרגל דוחפת את הקרקע לאחור, החיכוך הסטטי דוחף אתכם קדימה (החוק השלישי); וגלגל המכונית, המסתובב בלי להחליק, מתקדם בזכות החיכוך הסטטי בינו לבין הכביש. על קרח, שבו המקדם קטן, קשה גם ללכת, גם לזנק וגם לעצור.

שאלה 2.12: ארגז שמסתו 10 kg מונח על רצפה; μ_s = 0.6 ו-μ_k = 0.4. מהו כוח החיכוך כשמפעילים עליו כוח אופקי של:
א. 50 N?
ב. 70 N? ומהו הכוח השקול בכל מקרה?

▶ניסוי חי — הכוח הנורמלי והחיכוך הסטטי והקינטינגדיל בהדרגה את הכוח הפועל ונעקוב אחר כוח החיכוך בגרף: מתי הגוף מתחיל להחליק, ובכמה יורד החיכוך ברגע זה; אחר כך נשנה את שני המקדמים ונראה כיצד הגרף משתנה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#friction

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#friction

ניתוח מצבי התמדה פשוטים (Analysis of Simple Equilibrium Situations)

עכשיו נאחד את כל מה שלמדנו — תנאי שיווי המשקל, הכוח הנורמלי והחיכוך, הפירוק לרכיבים — לשיטת עבודה קבועה לפתרון בעיות כוחות. נשתמש באותה שיטה בכל המשך הספר, בין שהגוף בשיווי משקל ובין שהוא מאיץ:

נסרטט את המצב ונקבע את הגוף שאת הכוחות עליו ננתח.
נסרטט תרשים כוחות: הגוף כנקודה, וממנה כל הכוחות הפועלים עליו — ורק עליו. נזכור: המשקל תמיד, כוח נורמלי מכל משטח שהגוף נוגע בו, מתיחות מכל חוט הקשור אליו, חיכוך אם המשטח מחוספס, וכל כוח חיצוני נתון.
נבחר שני צירים: בדרך כלל אחד לאורך התנועה (או התנועה האפשרית) והשני בניצב לו.
נפרק את הכוחות הנטויים לרכיבים על שני הצירים.
נכתוב משוואה לכל ציר: ΣF_x = 0 ו-ΣF_y = 0 בשיווי משקל (ובסעיף הבא: ΣF = m·a).
נפתור את המשוואות ונבדוק שהתוצאה סבירה (סימנים, יחידות, השוואה בין N לבין m·g).

גוף נגרר בכוח אופקי במהירות קבועה:

תרשים הכוחות: F ו-f שווים, N ו-m·g שווים

ארגז שמסתו m נגרר על רצפה אופקית מחוספסת בכוח אופקי F ונע במהירות קבועה. על הארגז פועלים ארבעה כוחות: המשקל m·g כלפי מטה, הכוח הנורמלי N כלפי מעלה, כוח הגרירה F בכיוון התנועה, והחיכוך הקינטי f_k נגדה. המהירות קבועה, ולכן הארגז בשיווי משקל דינמי, והשקול על כל ציר הוא אפס:

ΣF_y = N − m·g = 0 ⇒ N = m·g

ΣF_x = F − f_k = 0 ⇒ F = f_k = μ_k·N = μ_k·m·g

ארגז נגרר בכוח אופקי במהירות קבועה: ארבעת הכוחות, והשקול שלהם אפס

דוגמה 2.23

ארגז שמסתו 10 kg נגרר על רצפה אופקית בחבל אופקי, ונע במהירות קבועה של 2 m/s. מקדם החיכוך הקינטי 0.4. נחשב את המתיחות בחבל. האם התשובה משתנה אם המהירות הקבועה היא 5 m/s?

פתרון:

המהירות קבועה, ולכן השקול על שני הצירים הוא אפס. על הציר האנכי:

N = m·g = 10 · 10 = 100 N

על הציר האופקי המתיחות שווה לחיכוך הקינטי:

T = f_k = μ_k·N = 0.4 · 100 = 40 N

התשובה אינה תלויה במהירות: החיכוך הקינטי אינו משתנה עם המהירות, ואותו כוח, 40 N, שומר על כל מהירות קבועה. מה ששונה הוא הכוח שהיה דרוש כדי להגיע למהירות הזאת.

T = 40 N

דוגמה 2.24

שני ארגזים שמסותיהם m₁ = 2 kg ו-m₂ = 3 kg מונחים על רצפה אופקית וקשורים בחוט. מושכים את הארגז הקדמי m₂ בכוח אופקי F, ושני הארגזים נעים במהירות קבועה; μ_k = 0.2 לשניהם. נחשב את המתיחות בחוט ואת הכוח F.

פתרון:

ננתח כל ארגז בנפרד. על הארגז האחורי m₁ פועלים בכיוון האופקי רק שני כוחות: החוט מושך אותו קדימה בכוח T, והחיכוך פועל לאחור:

N₁ = m₁·g = 20 N , f₁ = μ_k·N₁ = 4 N

T − f₁ = 0 ⇒ T = 4 N

על הארגז הקדמי m₂: הכוח F קדימה, החוט מושך אותו לאחור באותו T (המתיחות זהה לאורך החוט), והחיכוך לאחור:

N₂ = m₂·g = 30 N , f₂ = μ_k·N₂ = 6 N

F − T − f₂ = 0 ⇒ F = 4 + 6 = 10 N

נבדוק בדרך שנייה: אילו התייחסנו לשני הארגזים כגוף אחד שמסתו 5 kg, החיכוך הכולל היה 0.2 · 50 = 10 N, והוא שווה ל-F — החוט הוא כוח פנימי שאינו מופיע בחישוב הזה. אבל כדי לחשב את T עצמו, חייבים לנתח ארגז אחד.

T = 4 N , F = 10 N

גוף נגרר בכוח נטוי:

עכשיו החבל יוצר זווית θ מעל האופק. הכוח F נטוי, ולכן נפרק אותו לשני רכיבים: רכיב אופקי F·cos θ המושך את הארגז קדימה, ורכיב אנכי F·sin θ המושך אותו כלפי מעלה. הרכיב האנכי נושא חלק מן המשקל, ולכן הכוח הנורמלי קטן — ואיתו קטן גם החיכוך.

ארגז נגרר בחבל נטוי בזווית θ במהירות קבועה: נפרק את F ל-F_x = F·cos θ ול-F_y = F·sin θ

תרשים הכוחות: N קטן מ-m·g, כי החבל מרים חלק מן המשקל

נכתוב את תנאי שיווי המשקל על שני הצירים. בציר האנכי משתתפים שלושה כוחות: N ו-F·sin θ כלפי מעלה, והמשקל כלפי מטה. בציר האופקי: F·cos θ קדימה והחיכוך לאחור.

גרירה בכוח נטוי במהירות קבועה

ΣF_y = N + F·sin θ − m·g = 0 ⇒ N = m·g − F·sin θ

ΣF_x = F·cos θ − μ_k·N = 0 ⇒ F·cos θ = μ_k·(m·g − F·sin θ)

F = μ_k·m·gcos θ + μ_k·sin θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית החבל מעל האופק	[°]
N	הכוח הנורמלי — קטן מן המשקל	[N]
F	הכוח הדרוש לתנועה במהירות קבועה	[N]

הערה: אין צורך לשנן את הנוסחה האחרונה. השיטה היא העיקר: משוואה לכל ציר, מבודדים את N מן המשוואה האנכית ומציבים אותו באופקית. בבחינה כותבים את שתי המשוואות בסימנים, ורק אחר כך מציבים מספרים.

דוגמה 2.25

ארגז שמסתו 10 kg נגרר על רצפה אופקית בחבל היוצר זווית 53° מעל האופק, ונע במהירות קבועה. מקדם החיכוך הקינטי 0.5. נחשב את המתיחות בחבל, את הכוח הנורמלי ואת כוח החיכוך.

פתרון:

נסרטט את תרשים הכוחות (באיור שלמעלה) ונפרק את המתיחות: F_x = F·cos 53° = 0.6·F , F_y = F·sin 53° = 0.8·F. הציר האנכי:

N + 0.8·F − 100 = 0 ⇒ N = 100 − 0.8·F

הציר האופקי (מהירות קבועה):

0.6·F − μ_k·N = 0 ⇒ 0.6·F = 0.5·(100 − 0.8·F)

נפתח את הסוגריים ונקבץ את האיברים עם F:

0.6·F + 0.4·F = 50

F = 50 N

נחזור לכוח הנורמלי ולחיכוך:

N = 100 − 0.8 · 50 = 60 N

f_k = μ_k·N = 0.5 · 60 = 30 N

נבדוק: הרכיב האופקי 0.6 · 50 = 30 N שווה בדיוק לחיכוך. והכוח הנורמלי 60 N קטן מן המשקל, 100 N, כפי שציפינו.

F = 50 N , N = 60 N , f_k = 30 N

דוגמה 2.26

ארגז שמסתו 20 kg על רצפה שבה μ_k = 0.25. נשווה את הכוח הדרוש לגרור אותו במהירות קבועה:
א. בחבל אופקי.
ב. בחבל נטוי בזווית 37°. איזו דרך קלה יותר?

פתרון:

א. בחבל האופקי N = m·g = 200 N:

F₁ = μ_k·m·g = 0.25 · 200 = 50 N

ב. בחבל הנטוי נפתור את שתי המשוואות כמו בדוגמה הקודמת:

N = 200 − 0.6·F

0.8·F = 0.25·(200 − 0.6·F)

0.8·F + 0.15·F = 50

F₂ = 500.95 = 52.6 N

ההפתעה: הגרירה בחבל הנטוי דורשת כאן כוח גדול במעט! נכון שהחיכוך קטן (כי N = 168.4 N בלבד), אבל חלק גדול מן הכוח הלך לרכיב האנכי, ולגרירה נשאר רק 0.8 ממנו. הזווית 37° גדולה מדי למקדם הקטן הזה.

F₁ = 50 N , F₂ = 52.6 N

הכוח הדרוש לגרירת הארגז (m = 20 kg , μ_k = 0.25) במהירות קבועה, כפונקציה של זווית החבל

הגרף מראה את הכוח הדרוש כפונקציה של הזווית. יש זווית מיטבית שבה הגרירה קלה ככל האפשר; אפשר להוכיח שזו הזווית שהטנגנס שלה שווה למקדם החיכוך: tan θ = μ_k. כאן θ ≈ 14°, והכוח המזערי הוא בערך 48.5 N — חיסכון קטן. ככל שמקדם החיכוך גדול יותר, הזווית המיטבית והחיסכון גדולים יותר: על משטח מחוספס כדאי להרים את החבל.

דחיפה בכוח נטוי כלפי מטה:

אם דוחפים את הארגז במקל נטוי כלפי מטה בזווית θ מתחת לאופק, התמונה מתהפכת: הרכיב האנכי של הכוח F·sin θ לוחץ את הארגז אל הרצפה, ולכן הכוח הנורמלי גדל והחיכוך גדל:

דחיפה בכוח נטוי כלפי מטה: הרכיב האנכי לוחץ את הארגז, ולכן N גדל

ΣF_y = N − F·sin θ − m·g = 0 ⇒ N = m·g + F·sin θ

ΣF_x = F·cos θ − μ_k·N = 0 ⇒ F = μ_k·m·gcos θ − μ_k·sin θ

דוגמה 2.27

ארגז שמסתו 10 kg על רצפה שבה μ_k = 0.5. נחשב את הכוח הדרוש להזיז אותו במהירות קבועה בכוח נטוי בזווית 37°:
א. משיכה כלפי מעלה.
ב. דחיפה כלפי מטה.

פתרון:

א. משיכה נטויה כלפי מעלה:

F = μ_k·m·gcos 37° + μ_k·sin 37° = 0.5 · 1000.8 + 0.5 · 0.6 = 501.1 = 45.5 N

ב. דחיפה נטויה כלפי מטה:

F = μ_k·m·gcos 37° − μ_k·sin 37° = 500.8 − 0.3 = 500.5 = 100 N

הדחיפה כלפי מטה דורשת יותר מפי שניים כוח! ואם המכנה cos θ − μ_k·sin θ הוא אפס או שלילי (זווית גדולה או מקדם גדול), שום כוח, גדול ככל שיהיה, לא יזיז את הארגז: כל הגדלה של הדחיפה מגדילה את החיכוך יותר משהיא מגדילה את הרכיב הדוחף.

F_pull = 45.5 N , F_push = 100 N

שאלה 2.13: ארגז שמסתו 5 kg נגרר במהירות קבועה בחבל היוצר זווית 30° מעל האופק; μ_k = 0.2. חשבו את המתיחות בחבל ואת הכוח הנורמלי. (השתמשו ב-cos 30° ≈ 0.87.)

▶ניסוי חי — ניתוח מצבי שיווי משקל — גרירה בכוח נטוינשנה את זווית החבל מאפס עד שישים מעלות ונעקוב אחר מחוון הכוח הדרוש לתנועה במהירות קבועה: באיזו זווית הוא קטן ככל האפשר, וכיצד הכוח הנורמלי משתנה עם הזווית?

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#equil

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#equil

עיקרי הדברים:

הכוח הוא השפעה הדדית בין שני גופים, והוא גודל וקטורי: מחברים אותו חיבור גאומטרי (מקבילית הכוחות) ומפרקים אותו לרכיבים על שני צירים מאונכים.
תנועה במהירות קבועה בקו ישר אינה זקוקה לכוח: מה שהכוחות עושים הוא לשנות את המהירות — בגודלה או בכיוונה. זוהי ההתמדה.
תנאי שיווי המשקל הוא התאפסות שקול הכוחות על כל ציר בנפרד; ומבחינת הכוחות אין הבדל בין מנוחה לתנועה ישרה במהירות קבועה.
כוחות הפעולה והתגובה שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם תמיד — יהיו המסות אשר יהיו — והם פועלים על שני גופים שונים, ולכן לעולם אין האחד מבטל את האחר.
לכוח הנורמלי, למתיחות ולחיכוך הסטטי אין נוסחאות כלליות: גודלם נקבע בכל בעיה ממשוואות הכוחות, והחיכוך הסטטי מגיע לערכו המרבי רק על סף ההחלקה.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
כוח הכובד (משקל)	F = m·g
חוק הוק	F = −k·x , k = ΔFΔx
שקול שני כוחות ניצבים	ΣF = F₁² + F₂² , tan θ = F₂F₁
רכיבי הכוח	F_x = F·cos θ , F_y = F·sin θ
שקול כמה כוחות	ΣF_x = F_1x + F_2x + ... , ΣF = ΣF_x² + ΣF_y²
החוק השלישי של ניוטון	F_AB = −F_BA
החוק הראשון של ניוטון ותנאי שיווי המשקל	ΣF_x = 0 , ΣF_y = 0
חיכוך קינטי	f_k = μ_k·N
חיכוך סטטי	f_s ≤ μ_s·N
גרירה בכוח נטוי במהירות קבועה	N = m·g − F·sin θ , F·cos θ = μ_k·N

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
כוח	Force	القوّة
כוח הכובד	Gravitational force	قوّة الجاذبية (قوّة الثقل)
משקל	Weight	الوزن
קפיץ	Spring	النابض (الزنبرك)
קבוע הקפיץ	Spring constant	ثابت النابض
התארכות	Extension	الاستطالة
אלסטיות	Elasticity	المرونة
חוק הוק	Hooke's law	قانون هوك
דינמומטר	Dynamometer	الدينامومتر
מאזני קפיץ	Spring balance	ميزان نابض
ניוטון	Newton	نيوتن
כוח שקול	Net force (resultant)	محصّلة القوى (القوّة المحصّلة)
רכיב	Component	المركّبة
מקבילית הכוחות	Parallelogram of forces	متوازي أضلاع القوى
תרשים כוחות (גוף חופשי)	Free-body diagram	مخطّط القوى (مخطّط الجسم الحرّ)
החוק השלישי של ניוטון	Newton's third law	قانون نيوتن الثالث
התמדה	Inertia	القصور الذاتي (الاستمرارية)
החוק הראשון של ניוטון	Newton's first law	قانون نيوتن الأوّل
שיווי משקל	Equilibrium	الاتّزان
מתיחות	Tension	قوّة الشدّ (التوتّر)
כוח נורמלי	Normal force	القوّة العمودية
אדהזיה	Adhesion	الالتصاق
חיכוך סטטי	Static friction	الاحتكاك الساكن
חיכוך קינטי	Kinetic friction	الاحتكاك الحركي
מקדם חיכוך	Coefficient of friction	معامل الاحتكاك

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 2.1) מסה של 300 g נתלתה על קפיץ אנכי, והקפיץ התארך 5 cm. חשבו את קבוע הקפיץ, ואחר כך את התארכותו כשתולים עליו מסה של 800 g. מהו הכוח הדרוש כדי לדחוס אותו 2 cm?

תשובות: k = 60 N/m , x = 13.3 cm , F = 1.2 N

(לסעיף 2.2) על גוף פועלים שני כוחות ניצבים: F₁ = 9 N ו-F₂ = 12 N (באיור). חשבו את גודל השקול ואת הזווית שהוא יוצר עם F₁. מהו הגודל הגדול ביותר והקטן ביותר שיכול להיות לשקול של שני הכוחות האלה, אילו שינינו את הזווית ביניהם?

תשובות: ΣF = 15 N , θ = 53° ; בין 3 N ל-21 N

(לסעיף 2.2) כוח שגודלו 80 N יוצר זווית 60° עם האופק. חשבו את רכיביו האופקי והאנכי (sin 60° ≈ 0.87). כוח שני, שגודלו 40 N, פועל אופקית בכיוון ההפוך — מהו השקול של שני הכוחות?

תשובות: F_x = 40 N , F_y ≈ 69.3 N ; ΣF_x = 0 , ΣF = F_y ≈ 69.3 N אנכית

(לסעיף 2.2) קבעו לכל כוח את כוח התגובה המתאים לו לפי החוק השלישי:
א. כדור הארץ מושך את הירח.
ב. החבל מושך את המזחלת.
ג. הרצפה דוחפת את כף הרגל של הרץ קדימה. האם כוח התגובה יכול לבטל את כוח הפעולה? נמקו.

תשובות: א. הירח מושך את כדור הארץ ; ב. המזחלת מושכת את החבל ; ג. כף הרגל דוחפת את הרצפה לאחור ; לא — הם פועלים על שני גופים שונים

(לסעיף 2.3) על גוף במנוחה פועלים שלושה כוחות: F₁ = 6 N בכיוון x החיובי, F₂ = 8 N בכיוון y החיובי, וכוח שלישי לא ידוע. חשבו את גודל הכוח השלישי ואת הזווית ששקול שני הראשונים יוצר עם ציר x. מה יקרה לגוף אם הכוח השלישי יוסר פתאום?

תשובות: F₃ = 10 N בכיוון המנוגד לשקול שני הראשונים (היוצר 53° עם x); אז הגוף יאיץ בכיוון השקול של שני הכוחות הנותרים

(לסעיף 2.4) ארגז שמסתו 8 kg על רצפה אופקית. חשבו את הכוח הנורמלי:
א. בלי כוחות נוספים.
ב. כשלוחצים אותו כלפי מטה בכוח של 30 N.
ג. כשמושכים אותו כלפי מעלה בכוח של 30 N.
ד. איזה כוח כלפי מעלה יגרום לכך ש-N = 0?

תשובות: N = 80 N , 110 N , 50 N ; ד. F = 80 N

(לסעיף 2.4) ארון שמסתו 40 kg על רצפה אופקית; μ_s = 0.5 ו-μ_k = 0.4.
א. מהו הכוח האופקי הקטן ביותר הדרוש כדי להזיז אותו ממקומו?
ב. אחרי שזז, איזה כוח משאיר אותו נע במהירות קבועה?
ג. מהו כוח החיכוך הפועל עליו כשדוחפים אותו בכוח של 150 N והוא עדיין במנוחה?

תשובות: א. יותר מ-f_s,max = 200 N ; ב. F = f_k = 160 N ; ג. f_s = 150 N — שווה בדיוק לכוח הדוחף

(לסעיף 2.5) ארגז שמסתו 20 kg נגרר על רצפה אופקית בחבל היוצר זווית 37° מעל האופק (באיור), ונע במהירות קבועה; μ_k = 0.3. סרטטו תרשים כוחות, וחשבו את המתיחות בחבל ואת הכוח הנורמלי.

תשובות: T = 61.2 N , N = 163.3 N

תרגילי סיכום:

מנורה שמסתה 2 kg תלויה על שני חוטים זהים, שכל אחד מהם יוצר זווית 53° עם האנך (באיור).
א. חשבו את המתיחות בכל חוט.
ב. חשבו שוב כשהזווית היא 37°.
ג. הסבירו מדוע אי אפשר למתוח את החוטים עד שיהיו אופקיים לגמרי.

תשובות: א. T = 16.67 N ; ב. T = 12.5 N ; ג. T = m·g2·cos θ: ככל ש-θ מתקרבת ל-90° המכנה מתקרב לאפס ו-T גדלה ללא גבול

תרגילי העמקה:

(*) ארגז שמסתו 20 kg נגרר במהירות קבועה על רצפה אופקית (μ_k = 0.5) בכוח היוצר זווית θ מעל האופק.
א. הראו משתי משוואות הצירים ש-F = μ_k·m·gcos θ + μ_k·sin θ.
ב. חשבו את F עבור θ = 0° , 37° , 53°.
ג. באיזו משלוש הזוויות הגרירה קלה ביותר? הסבירו כיצד הרכיב האנכי של הכוח (כלפי מעלה) מקטין את כוח החיכוך.

תשובות: ב. F(0°) = 100 N , F(37°) = 90.9 N , F(53°) = 100 N ; ג. בזווית 37°: הרכיב כלפי מעלה מקטין את N ואת החיכוך יותר ממה ש"הולך לאיבוד" מן הרכיב האופקי

תשובות סופיות לשאלות הפרק

2.1 F = 250 N , m = 4.5 kg

2.2 א. F = 10 N ; ב. m = 0.5 kg ; ג. הראשון קשיח יותר, k₂ = 50 N/m

2.3 m = 0.8 kg ; על הירח מאזני הקפיץ מראים 1.28 N , ומאזני הכפות מראים 0.8 kg, כמו על כדור הארץ

2.4 F_x = 10 N , F_y = 17.3 N ; ΣF = 15 N

2.5 בכוח של 600 N כלפי מעלה; מסת כדור הארץ עצומה, ולכן התאוצה שלו תחת הכוח הזה זניחה לגמרי

2.6 שני הכוחות ההדדיים פועלים על שני גופים שונים: העגלה נעה כי הכוח של הסוס עליה גדול מן החיכוך הפועל עליה, והסוס מתקדם כי הכוח של הקרקע על פרסותיו גדול מן הכוח של העגלה עליו

2.7 f = 50 N , מנוגד בדיוק לשקול של כוחות שני החבלים (בזווית 53° מכיוון החבל הראשון, לצד הנגדי)

2.8 השקול הוא אפס כל עוד המהירות קבועה; בפנייה הנוסע נוטה שמאלה, כי גופו שומר על תנועתו הישרה בזמן שהאוטובוס סוטה ימינה

2.9 m_max = 40 kg ; לא ייקרע: T₁ = 350 N < 400 N

2.10 הם מראים 800 N בלחיצה על התקרה (המאזניים נושאים יותר), ו-600 N בהיתלות על החבל

2.11 μ_s = 0.3 , μ_k = 0.2

2.12 א. במנוחה: f_s = 50 N , ΣF = 0 ; ב. מחליק: f_k = 40 N , ΣF = 30 N

2.13 T ≈ 10.4 N , N ≈ 44.8 N

שאלות בגרות לפרק 2

שיווי משקל אינו מופיע בבגרות כשאלה עצמאית, אלא כסעיף ראשון בתוך שאלות הדינמיקה — סרטוט תרשים הכוחות וכתיבת תנאי שיווי המשקל. תמצאו זאת בשאלות הבגרות של הפרק השלישי, כמעט בכל שאלה.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.