פרק 3

החוק השני של ניוטון ויישומיו

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 20 שעות לימוד

בפרק הקודם הכרנו את תנאי שיווי המשקל: כששקול הכוחות אפס, המהירות נשארת קבועה. בפרק הזה נשאל את השאלה הבאה: מה קורה כשהשקול אינו אפס? התשובה היא החוק השני של ניוטון ΣF = m·a — החוק הקושר את הכוחות לתנועה, והוא לב המכניקה כולה. נבנה את החוק צעד אחר צעד מן הניסוי, נבחין בין שני פניה של המסה — ההתמדית והכובדית — ונכיר את הצפיפות ואת המשקל הסגולי, ואחר כך ניישם את החוק במצבים המופיעים בכל בחינה: משטח אופקי ומישור משופע, מעלית, מכונית מאיצה ובולמת, ומערכות של שני גופים הקשורים בחוט ובגלגלת.

בסוף הפרק הזה נדע:

נכתוב את החוק השני של ניוטון ΣF = m·a ונבין שהתאוצה היא תמיד בכיוון השקול.
נכתוב משוואת תנועה לגוף ונפתור אותה: מן הכוחות אל התאוצה, ומן התאוצה אל התנועה כולה.
נבחין בין מסה התמדית למסה כובדית ובין מאזני כפות למאזני קפיץ, ונחשב צפיפות ומשקל סגולי.
ניישם את החוק על גוף על משטח אופקי ועל מישור משופע, חלק או מחוספס.
נחשב את המשקל המדומה במעלית מאיצה, ונסביר את תחושת הכובד, הקלילות וחוסר המשקל.
ננתח מערכת של שני גופים הקשורים בחוט ובגלגלת: משוואת תנועה לכל גוף בנפרד ופתרון משותף.

החוק השני של ניוטון (Newton's Second Law)

החוק הראשון של ניוטון אומר לנו מה קורה כשהשקול הוא אפס: שום דבר אינו משתנה. ועכשיו השאלה החשובה ביותר: מה קורה כשהוא אינו אפס? התשובה היא החוק השני של ניוטון, ונבנה אותו שלב אחר שלב: קודם כיוון התאוצה, אחר כך גודלה, ואחר כך תפקיד המסה.

כיוון הכוח השקול וכיוון התאוצה:

נערוך ניסוי: עגלה על מסילה אופקית חלקה, שאותה מושכים בחוט בכוח קבוע. העגלה מאיצה — מהירותה גדלה באופן קבוע — בכיוון הכוח. אם מושכים נגד כיוון תנועתה, היא מאטה: התאוצה עדיין בכיוון הכוח, אבל עכשיו היא מנוגדת למהירות.

בתנועה בקו ישר: התאוצה תמיד בכיוון הכוח השקול

ומה במישור? זורקים כדור בכיוון נטוי: הכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכובד כלפי מטה, וגם התאוצה g כלפי מטה — ואילו המהירות מכוונת לאורך המסלול המעוקל. העובדה הכללית:

כיוון התאוצה: התאוצה מכוונת תמיד בכיוון הכוח השקול — לא בכיוון המהירות ולא בכיוון של כוח בודד כלשהו. כשהשקול מכוון לאורך המהירות, משתנה רק גודל המהירות (תנועה בקו ישר); וכשהוא נטוי ביחס אליה, משתנה גם כיוון המהירות, והמסלול מתעקל.

תנועה במישור: המהירות משיקה למסלול, והתאוצה בכיוון הכוח השקול — המסלול מתעקל לעבר הכוח

שימו לב: "הגוף נע בכיוון הכוח" — זה משפט שגוי. הגוף נע בכיוון מהירותו, והכוח קובע כיצד המהירות הזאת משתנה. כדור שנזרק כלפי מעלה נע כלפי מעלה, בזמן שהכוח (והתאוצה) כלפי מטה — ולכן הוא מאט.

גודל הכוח השקול וגודל התאוצה:

נחזור לעגלה. נמדוד את התאוצה שלה בכוחות שונים (עם אותה מסה), ואחר כך במסות שונות (עם אותו כוח). שתי התוצאות:

התאוצה נמצאת ביחס ישר לשקול: הכפלת הכוח מכפילה את התאוצה

התאוצה נמצאת ביחס הפוך למסה: הכפלת המסה מקטינה את התאוצה פי שניים

במסה קבועה: a ∝ ΣF. גרף התאוצה כפונקציה של השקול הוא קו ישר העובר בראשית.
בשקול קבוע: a ∝ 1m. מסה גדולה מאיצה פחות — זו ההתמדה בשפת המספרים.

נצרף את שתי התוצאות: a ∝ ΣFm. אם נבחר את יחידת הכוח כך שקבוע היחס יהיה אחד, נקבל את החוק השני של ניוטון.

המסה ההתמדית והקילוגרם:

מסה התמדית: מדד להתנגדות של הגוף לשינוי מצב התנועה שלו: היחס בין הכוח השקול הפועל עליו לבין התאוצה שהוא מקבל, m = ΣFa. אותו כוח מקנה לגוף בעל המסה הגדולה יותר תאוצה קטנה יותר. (בפרק התשיעי נפגוש את המסה הכובדית — המדד למשיכה ההדדית בין הגוף לכדור הארץ — ונראה ששתי המסות שוות.)

אותו כוח על שתי עגלות: העגלה שמסתה כפולה מקבלת מחצית התאוצה

ההגדרה הזאת נותנת לנו דרך להשוות מסות בלי מאזניים: מפעילים אותו כוח על שני גופים ומשווים את התאוצות שלהם; יחס המסות הפוך ליחס התאוצות. וכדי שלמסה יהיה מספר, צריך יחידה: הקילוגרם. משנת 1889 היה הקילוגרם המסה של גליל עשוי פלטינה ואירידיום שנשמר ליד פריז; ומשנת 2019 הוא מוגדר בעזרת קבועי הטבע היסודיים. בפועל: קילוגרם אחד הוא בקירוב המסה של ליטר מים.

דוגמה 3.1

כוח שקול מסוים מקנה לעגלה שמסתה 3 kg תאוצה של 2 m/s². אותו כוח מקנה לעגלה שנייה תאוצה של 1.5 m/s². נחשב את מסת העגלה השנייה.

פתרון:

הכוח זהה בשני המקרים, ולכן מכפלת המסה בתאוצה זהה:

m₁·a₁ = m₂·a₂

m₂ = m₁·a₁a₂ = 3 · 21.5 = 4 kg

העגלה השנייה כבדה יותר, ולכן התאוצה שלה קטנה יותר. (גודל הכוח, דרך אגב, הוא 6 N — אבל לא נזקקנו לו.)

m₂ = 4 kg

ניסוח החוק:

החוק השני של ניוטון

ΣF = m·a

ΣF_x = m·a_x

ΣF_y = m·a_y

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣF	השקול של כל הכוחות הפועלים על הגוף	[N]
m	מסת הגוף (ההתמדית)	[kg]
a	תאוצת הגוף — בכיוון השקול	[m/s²]

החוק הוא משוואה וקטורית, כלומר שתי משוואות מספריות: אחת לכל ציר. על הציר שלאורכו הגוף אינו נע (למשל הציר האנכי לגוף המחליק על רצפה) a = 0, וחוזרת משוואת שיווי המשקל. החוק הראשון של ניוטון הוא המקרה הפרטי ΣF = 0 של החוק השני.

ניוטון — ההגדרה המדויקת: ניוטון הוא גודל הכוח המקנה למסה של 1 kg תאוצה של 1 m/s²: 1 N = 1 kg·m/s². כך קבוע היחס בחוק שווה לאחד, וההגדרה מתיישבת עם ההגדרה הראשונית: כדור הארץ מושך 100 g בכוח של 0.1 · 10 = 1 N.

דוגמה 3.2

עגלה שמסתה 3 kg נגררת על מסילה אופקית בכוח אופקי קבוע של 12 N, ומקדם החיכוך הקינטי 0.2. העגלה יוצאת ממנוחה. נחשב את התאוצה שלה, ואת מהירותה ואת הדרך שעברה אחרי 4 s.

פתרון:

נסרטט תרשים כוחות: F קדימה, f_k לאחור, N כלפי מעלה ו-m·g כלפי מטה. הציר האנכי (אין תנועה):

N = m·g = 30 N

f_k = μ_k·N = 0.2 · 30 = 6 N

הציר האופקי, כשכיוון התנועה חיובי — כאן השקול אינו אפס:

ΣF_x = F − f_k = 12 − 6 = 6 N

a = ΣF_xm = 63 = 2 m/s²

התאוצה קבועה (הכוחות קבועים), ולכן נשתמש בנוסחאות של הפרק הראשון עם v₀ = 0:

v = a·t = 2 · 4 = 8 m/s

x = 12·a·t² = 12 · 2 · 4² = 16 m

שימו לב שאת התאוצה קובע השקול, 6 N, ולא כוח הגרירה, 12 N.

a = 2 m/s² , v = 8 m/s , x = 16 m

דוגמה 3.3

מכונית שמסתה 1000 kg נוסעת במהירות 20 m/s. הנהג לוחץ על הבלמים, והמכונית נעצרת אחרי 50 m בהאטה קבועה. נחשב את כוח החיכוך שעצר אותה, ואת מקדם החיכוך בין הצמיגים לכביש.

פתרון:

קודם התנועה: ידועות לנו המהירות ההתחלתית, המהירות הסופית והדרך, ולכן נשתמש ב-v² = v₀² + 2·a·x:

0 = 20² + 2·a·50

a = −400100 = −4 m/s²

הסימן השלילי: התאוצה מנוגדת למהירות (האטה). הכוח האופקי היחיד הוא החיכוך, ולכן הוא השקול:

f = m·|a| = 1000 · 4 = 4000 N

בכביש אופקי N = m·g = 10000 N, ומכאן המקדם:

μ = fN = 400010000 = 0.4

הכוח מכוון לאחור (נגד התנועה), וגם התאוצה — והמכונית נעה קדימה עד שהיא נעצרת.

f = 4000 N , μ = 0.4

דוגמה 3.4

מנוף מרים מטען שמסתו 500 kg בכבל. נחשב את המתיחות בכבל:
א. כשהמטען עולה בתאוצה של 2 m/s² כלפי מעלה.
ב. כשהוא עולה במהירות קבועה.
ג. כשהוא יורד בתאוצה של 2 m/s² כלפי מטה.

פתרון:

על המטען פועלים שני כוחות: T כלפי מעלה ו-m·g = 5000 N כלפי מטה. נבחר את הכיוון כלפי מעלה כחיובי ונכתוב ΣF_y = m·a_y.

א. התאוצה כלפי מעלה חיובית:

T − m·g = m·a

T = m·(g + a) = 500 · (10 + 2) = 6000 N

ב. מהירות קבועה, a = 0:

T = m·g = 5000 N

ג. התאוצה כלפי מטה, כלומר a = −2 m/s²:

T − m·g = m·(−2)

T = m·(g − 2) = 500 · 8 = 4000 N

במקרה (ג) המתיחות קטנה מן המשקל — ובכל זאת הכבל מתוח. ואילו המטען היה יורד במהירות קבועה, T הייתה חוזרת להיות שווה למשקל: את T קובעת התאוצה, ולא כיוון התנועה.

T = 6000 N , 5000 N , 4000 N

דוגמה 3.5

כדור שמסתו 0.5 kg נופל באוויר. ברגע מסוים פועלת עליו התנגדות האוויר בכוח של 2 N כלפי מעלה. נחשב את התאוצה שלו באותו רגע. ומהי התאוצה שלו כשהתנגדות האוויר מגיעה ל-5 N?

פתרון:

על הכדור פועלים שני כוחות בציר האנכי: המשקל m·g = 5 N כלפי מטה והתנגדות האוויר כלפי מעלה. נבחר את הכיוון כלפי מטה כחיובי:

ΣF = m·g − f = 5 − 2 = 3 N

a = ΣFm = 30.5 = 6 m/s²

התאוצה כלפי מטה, אבל היא קטנה מ-g: ההתנגדות מקטינה את התאוצה. כשההתנגדות גדלה עד 5 N:

ΣF = 5 − 5 = 0 ⇒ a = 0

השקול הוא אפס, והכדור ממשיך ליפול במהירות קבועה — זו "המהירות הסופית" שאליה מגיע כל גוף הנופל באוויר זמן רב מספיק, ובזכותה המצנח מציל את הצונח.

a = 6 m/s² , a = 0

דוגמה 3.6

שני מחליקים על קרח (נזניח את החיכוך), שמסותיהם 50 kg ו-70 kg, עומדים זה מול זה, וכל אחד דוחף את השני בכוח של 140 N. נחשב את התאוצה של כל אחד מהם.

פתרון:

לפי החוק השלישי שני הכוחות שווים ומנוגדים: הראשון דוחף את השני בכוח של 140 N ימינה, והשני דוחף את הראשון בכוח של 140 N שמאלה. על כל מחליק פועל רק כוח אופקי אחד, ולכן הוא השקול. החוק השני לכל אחד בנפרד:

a₁ = Fm₁ = 14050 = 2.8 m/s²

a₂ = Fm₂ = 14070 = 2 m/s²

הכוחות שווים, אבל התאוצות שונות: הקל מאיץ יותר (שמאלה), והכבד פחות (ימינה). החוק השלישי מדבר על כוחות, והחוק השני על תאוצות — ואין ביניהם סתירה.

a₁ = 2.8 m/s² , a₂ = 2 m/s²

שאלה 3.1: גוף שמסתו 2 kg יוצא ממנוחה על משטח אופקי, ואחרי 3 s מהירותו 6 m/s.
א. מהו הכוח השקול הפועל עליו?
ב. אם המשטח חלק — מהו הכוח האופקי הפועל?
ג. ואם μ_k = 0.1 — מהו הכוח האופקי הפועל?

שאלה 3.2: האם גוף יכול לנוע בכיוון מנוגד לכוח השקול הפועל עליו? תנו דוגמה. והאם גוף יכול לנוע במהירות גדולה כשהשקול הפועל עליו הוא אפס?

משוואת התנועה:

משוואת תנועה: החוק השני של ניוטון כשהוא כתוב לגוף מסוים במצב מסוים: באגף אחד סכום הכוחות הפועלים עליו בפועל (ברכיביהם), ובאגף השני m·a. פתרון המשוואה נותן לנו את התאוצה, ומן התאוצה מקבלים את כל התנועה בעזרת הנוסחאות של הפרק הראשון.

כתיבת משוואת התנועה נעשית בששת השלבים שהצגנו בתחילת סעיף 2.5, עם שינוי אחד: בשלב החמישי כותבים ΣF = m·a על ציר התנועה במקום ΣF = 0. על הציר הניצב לתנועה המשוואה נשארת ΣF = 0, כי הגוף אינו מאיץ בכיוון הזה.

דוגמה 3.7

ארגז שמסתו 10 kg מונח על רצפה אופקית, μ_k = 0.2. מושכים אותו בחבל בכוח של 50 N, היוצר זווית 37° מעל האופק. נכתוב את משוואת התנועה ונחשב את התאוצה. (השוו לסעיף 2.5: שם המהירות הייתה קבועה וחיפשנו את הכוח; כאן הכוח נתון ואנו מחפשים את התאוצה.)

פתרון:

תרשים הכוחות כמו באיור שבסעיף 2.5. הציר האנכי — אין תנועה, ולכן המשוואה ΣF_y = 0:

N + 50·sin 37° − 100 = 0

N = 100 − 30 = 70 N

החיכוך הקינטי:

f_k = μ_k·N = 0.2 · 70 = 14 N

הציר האופקי — משוואת התנועה ΣF_x = m·a:

50·cos 37° − f_k = m·a

40 − 14 = 10·a

a = 2610 = 2.6 m/s²

התאוצה חיובית: הארגז מאיץ בכיוון הרכיב האופקי של כוח החבל.

a = 2.6 m/s²

דוגמה 3.8

נחזור לארגז מסעיף 2.4 (m = 4 kg , μ_s = 0.5 , μ_k = 0.3) ולכוח האופקי של 25 N שהזיז אותו. נחשב את התאוצה שלו, ואת מהירותו שתי שניות אחרי תחילת התנועה.

פתרון:

מצאנו שם שהכוח עולה על החיכוך הסטטי המרבי (20 N), ולכן הארגז זז והחיכוך קינטי, f_k = 12 N. משוואת התנועה:

F − f_k = m·a

25 − 12 = 4·a

a = 134 = 3.25 m/s²

v = a·t = 3.25 · 2 = 6.5 m/s

אילו הכוח היה 12 N (מקרה א שם), הארגז לא היה זז כלל: לפני שכותבים משוואת תנועה, יש לוודא שהגוף אכן נע.

a = 3.25 m/s² , v = 6.5 m/s

דוגמה 3.9

הגרף מתאר את המהירות של גוף שמסתו 2 kg, הנע בקו ישר, כפונקציה של הזמן. נחשב את הכוח השקול הפועל עליו בכל אחד משלושת השלבים.

פתרון:

בכל שלב הגרף הוא קו ישר, ולכן התאוצה קבועה ושווה לשיפוע הקו. השקול שווה ל-m·a:

שלב I (מ-0 עד 2 s): המהירות גדלה מ-0 עד 6 m/s:

a_I = ΔvΔt = 6 − 02 = 3 m/s²

ΣF_I = m·a_I = 2 · 3 = 6 N

שלב II (מ-2 עד 4 s): המהירות קבועה — הגוף בשיווי משקל דינמי:

a_II = 0 ⇒ ΣF_II = 0

שלב III (מ-4 עד 6 s): המהירות קטנה מ-6 עד 2 m/s:

a_III = 2 − 62 = −2 m/s²

ΣF_III = 2 · (−2) = −4 N

בשלב השלישי השקול שלילי, כלומר מנוגד לכיוון התנועה, והגוף מאט. שימו לב שהגרף אינו אומר לנו אילו כוחות פועלים — אלא רק מהו השקול שלהם.

ΣF = 6 N , 0 , −4 N

דוגמה 3.10

ארגז שמסתו 2 kg מונח על קטע חלק של רצפה. דוחפים אותו בכוח אופקי של 10 N במשך 2 s ואז עוזבים אותו, והוא ממשיך לנוע ונכנס לקטע מחוספס של הרצפה, שבו μ_k = 0.25. נחשב:
א. את מהירותו ברגע שעוזבים אותו ואת הדרך שעבר עד אותו רגע.
ב. מה קורה לו אחרי שעוזבים אותו על הקטע החלק?
ג. את התאוצה שלו על הקטע המחוספס, ואת הזמן והדרך עד שהוא נעצר.

פתרון:

א. בזמן הדחיפה, על הקטע החלק, השקול האופקי הוא כוח הדחיפה בלבד:

a = Fm = 102 = 5 m/s²

v = a·t = 5 · 2 = 10 m/s

x₁ = 12·a·t² = 12 · 5 · 2² = 10 m

ב. אחרי שעוזבים אותו לא פועל עליו שום כוח אופקי (המשטח חלק), ולכן השקול הוא אפס — ולפי החוק הראשון הוא ממשיך במהירות קבועה של 10 m/s. הוא אינו זקוק לכוח כדי להמשיך לנוע.

ג. על הקטע המחוספס פועל כוח אופקי אחד: החיכוך הקינטי, נגד התנועה:

f_k = μ_k·m·g = 0.25 · 2 · 10 = 5 N

a = −f_km = −52 = −2.5 m/s²

t = 0 − va = −10−2.5 = 4 s

x₂ = v²2·a = 10²2 · 2.5 = 20 m

בבעיה אחת הופיעו שלושת החוקים: השלישי (הרצפה דוחפת את הארגז לאחור כי הוא דוחף אותה קדימה), הראשון (תנועה בלי כוח) והשני (תאוצה והאטה).

v = 10 m/s , x₁ = 10 m , a = −2.5 m/s² , t = 4 s , x₂ = 20 m

שאלה 3.3: ארגז שמסתו 6 kg על רצפה אופקית חלקה נגרר בכוח של 24 N, היוצר זווית 30° מעל האופק (cos 30° ≈ 0.87). חשבו את הכוח הנורמלי ואת תאוצת הארגז. מהי מהירותו אחרי 5 s, אם יצא ממנוחה?

דוגמה 3.11

מכונית שמסתה 1000 kg יוצאת ממנוחה ומגיעה למהירות 20 m/s אחרי 10 s, בתאוצה קבועה. סכום כוחות ההתנגדות (החיכוך והתנגדות האוויר) הוא 500 N. נחשב את הכוח המניע שהכביש מפעיל על גלגלי המכונית.

פתרון:

מן התנועה נמצא את התאוצה:

a = ΔvΔt = 2010 = 2 m/s²

על הציר האופקי פועלים שני כוחות: הכוח המניע F קדימה וההתנגדות לאחור. משוואת התנועה:

F − f = m·a

F = m·a + f = 1000 · 2 + 500 = 2500 N

שימו לב מי דוחף את המכונית: המנוע מסובב את הגלגלים, הגלגלים דוחפים את הכביש לאחור, והכביש — לפי החוק השלישי — דוחף את המכונית קדימה. הכוח המניע הוא חיכוך סטטי בין הצמיגים לכביש, ולכן על קרח המכונית מחליקה ואינה מאיצה.

F = 2500 N

דוגמה 3.12

ארגז מונח על משטח אופקי של משאית; מקדם החיכוך הסטטי ביניהם 0.4. מהי התאוצה הגדולה ביותר שבה המשאית יכולה לזנק בלי שהארגז יחליק על המשטח שלה?

פתרון:

כשהמשאית מאיצה, הארגז חייב להאיץ יחד איתה, אחרת הוא יחליק לאחור. הכוח האופקי היחיד על הארגז הוא החיכוך הסטטי מצד משטח המשאית, והוא מכוון קדימה — בכיוון התאוצה. משוואת התנועה של הארגז:

f_s = m·a

החיכוך הסטטי מוגבל בערכו המרבי μ_s·N, ועל משטח אופקי N = m·g:

m·a ≤ μ_s·m·g

a_max = μ_s·g = 0.4 · 10 = 4 m/s²

התוצאה אינה תלויה במסת הארגז. אם המשאית מאיצה ביותר מ-4 m/s², החיכוך אינו יכול להקנות לארגז את התאוצה הדרושה, והארגז מחליק לאחור ביחס למשאית (ולמעשה: המשאית מזנקת מתחתיו).

a_max = 4 m/s²

שלושת חוקי ניוטון יחד:

החוק	מה הוא אומר?	מתי משתמשים בו?
הראשון (התמדה)	אם ΣF = 0, המהירות קבועה, וגם להפך	גוף במנוחה או בתנועה במהירות קבועה: כותבים ΣF_x = 0 ו-ΣF_y = 0
השני	השקול מקנה לגוף תאוצה בכיוונו: ΣF = m·a	גוף מאיץ: כותבים משוואת תנועה על כל ציר
השלישי	לכל כוח יש כוח נגדי, שווה ומנוגד, הפועל על הגוף האחר	כדי למצוא את הכוח על הגוף השני, וכדי לעבור מגוף לגוף במערכת

שימו לב: טעויות נפוצות בבעיות כוחות: (1) לסרטט "כוח תנועה" או "כוח מהירות" בתרשים הכוחות — מהירות אינה כוח. (2) לסרטט את שני הכוחות שבזוג (החוק השלישי) על אותו גוף. (3) לכתוב N = m·g באופן אוטומטי, בלי להתחשב בכוחות האנכיים האחרים. (4) לכתוב f_s = μ_s·N לגוף במנוחה שאינו על סף החלקה. (5) להשתמש בכוח הגרירה במקום בשקול ב-ΣF = m·a.

▶ניסוי חי — החוק השני של ניוטון — כוח, מסה ותאוצהנמשוך את העגלה בכוח קבוע ונעקוב אחר גרפי המהירות והמקום; נכפיל את הכוח, ואחר כך נכפיל את המסה, ונראה כיצד משתנה בכל פעם השיפוע של גרף המהירות.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#newton2

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#newton2

כוח הכובד, והמסה כמדד לעוצמתו (Gravity and Mass)

למדנו שהמסה m בחוק השני של ניוטון היא מדד להתמדה של הגוף: ככל שהמסה גדולה יותר, קשה יותר לשנות את מהירות הגוף. אבל למסה יש גם פן אחר, שאין לו קשר לתאוצה: גופים בעלי מסה גדולה יותר נמשכים אל כדור הארץ בכוח גדול יותר. בסעיף זה נבחין בין שני הפנים, נראה כיצד מודדים מסה, ואחר כך נכיר שני גדלים הנגזרים ממנה: צפיפות ומשקל סגולי.

מסה התמדית ומסה כובדית:

מסה כובדית: היא מדד לעוצמת כוח הכובד הפועל על הגוף: כוח הכובד על גוף הנמצא סמוך לפני כדור הארץ נמצא ביחס ישר למסתו, F = m·g. לעומת זאת, מסה התמדית היא המסה המופיעה בחוק השני של ניוטון ΣF = m·a, והיא מודדת את התנגדות הגוף לשינוי מהירותו.

כוח הכובד סמוך לפני כדור הארץ

F_g = m·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
F_g	כוח הכובד (המשקל), מכוון אנכית כלפי מטה	[N]
m	המסה הכובדית של הגוף	[kg]
g	תאוצת הנפילה החופשית	[m/s²]

מדוע אנו נותנים למסה שני שמות? מפני שמבחינה עקרונית אלה שתי תכונות שונות: האחת קשורה לתנועה, והאחרת לכבידה. אבל הניסוי חושף עובדה עמוקה: המסה ההתמדית והמסה הכובדית נמצאות ביחס ישר, וכשמודדים אותן באותן יחידות הן שוות. ההוכחה היא הנפילה החופשית: נכתוב את החוק השני של ניוטון לגוף נופל שפועל עליו כוח הכובד בלבד, ונבחין בין שתי המסות בסמלים m_g ו-m_i:

m_g·g = m_i·a

a = m_gm_i·g

אילו היחס m_gm_i היה משתנה מחומר לחומר, גופים היו נופלים בתאוצות שונות. אבל גלילאו, אחריו ניוטון, ואחר כך ניסויים מדויקים מאוד במאה העשרים, מצאו שכל הגופים נופלים באותה תאוצה g, בלי קשר לחומר שלהם ולמסתם. לכן היחס זהה לכל הגופים, ובוחרים את היחידות כך ש-m_g = m_i = m. מעתה נשתמש בסמל m לשתי המסות.

הערה: השוויון הזה אינו מובן מאליו: זוהי עובדה ניסויית שאיינשטיין קרא לה "עקרון השקילות", ועליה ביסס את תורת הכבידה שלו. ברמה של ספר זה די לנו לדעת שהמסה שאנו מודדים במאזני כפות היא אותה מסה שאנו מציבים ב-ΣF = m·a.

מדידת מסה במאזני כפות:

מאזני כפות: הזרוע מתאזנת כאשר כוחות הכובד על שתי הכפות שווים, כלומר כאשר שתי המסות שוות

במאזני כפות מניחים בכף אחת את הגוף שמסתו אינה ידועה, ובכף האחרת משקולות תקניות שמסתן ידועה, ומוסיפים משקולות עד שהזרוע מתאזנת. בשיווי משקל כוחות הכובד על שתי הכפות שווים:

m·g = m₀·g

m = m₀

את g מצמצמים משני האגפים, וזה עיקר השיטה: מאזני כפות משווים שתי מסות כובדיות ואינם תלויים בערך של g. אילו העברנו את המאזניים ואת המשקולות לירח, שבו g קטן פי שישה בקירוב, היינו מקבלים בדיוק אותה הוראה. לעומת זאת, מאזני קפיץ (דינמומטר) מודדים את הכוח המותח את הקפיץ שלהם, כלומר את כוח הכובד m·g; על הירח ההוראה שלהם קטנה פי שישה.

מאזני קפיץ מודדים את כוח הכובד m·g, ולכן ההוראה שלהם תלויה במקום

דוגמה 3.13

גוף נתלה על מאזני קפיץ על פני כדור הארץ, והמאזניים הראו כוח של 4.5 N. נחשב את מסת הגוף, ואחר כך נמצא מה יראו מאזני הקפיץ ומה יראו מאזני הכפות (עם אותן משקולות) אם הגוף יועבר אל פני הירח, שבהם g_m = 1.6 m/s².

פתרון:

על כדור הארץ מאזני הקפיץ מודדים את כוח הכובד F_g = m·g, וממנו את המסה:

m = F_gg = 4.510 = 0.45 kg

על הירח המסה אינה משתנה, אבל כוח הכובד משתנה, ולכן מאזני הקפיץ יראו:

F_g = m·g_m = 0.45 · 1.6 = 0.72 N

מאזני הכפות, לעומת זאת, משווים את מסת הגוף למסת המשקולות, ושתי המסות לא השתנו; לכן הם יתאזנו עם אותן משקולות: 0.45 kg.

m = 0.45 kg , F_g = 0.72 N

שאלה 3.4: מסתו של אדם 70 kg. מהו כוח הכובד הפועל עליו על כדור הארץ? ועל מאדים, שבו g = 3.7 m/s²? האם מסתו משתנה?

צפיפות ומשקל סגולי:

לגוש ברזל ולגוש אלומיניום באותו נפח יש מסות שונות; המסה אינה תכונה של החומר אלא של הגוף. התכונה המאפיינת את החומר היא היחס בין המסה לנפח:

שתי קוביות באותו נפח: מסת הברזל גדולה פי שלושה בקירוב ממסת האלומיניום

צפיפות: היא המסה של יחידת נפח מן החומר: ρ = mV, והיא נמדדת ב-kg/m³. הצפיפות היא תכונה של החומר עצמו ואינה תלויה בגודל הגוש.

משקל סגולי: הוא כוח הכובד הפועל על יחידת נפח מן החומר: γ = F_gV = m·gV = ρ·g, והוא נמדד ב-N/m³. בשונה מן הצפיפות, המשקל הסגולי תלוי במקום, כי הוא כולל את g.

צפיפות ומשקל סגולי

ρ = mV

γ = ρ·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
ρ	צפיפות	[kg/m³]
γ	משקל סגולי	[N/m³]
V	נפח	[m³]

החומר	צפיפות ρ	משקל סגולי γ (על כדור הארץ)
אוויר (בתנאים רגילים)	1.2 kg/m³	12 N/m³
עץ (אורן)	500 kg/m³	5000 N/m³
מים	1000 kg/m³	10000 N/m³
אלומיניום	2700 kg/m³	27000 N/m³
ברזל	7800 kg/m³	78000 N/m³
עופרת	11300 kg/m³	113000 N/m³

דוגמה 3.14

קובייה מאלומיניום שאורך צלעה 10 cm. נחשב את נפחה, את מסתה, את כוח הכובד הפועל עליה ואת המשקל הסגולי של האלומיניום.

פתרון:

נמיר את האורך למטרים ונחשב את הנפח:

V = a³ = 0.1³ = 0.001 m³

המסה מן הצפיפות:

m = ρ·V = 2700 · 0.001 = 2.7 kg

F_g = m·g = 2.7 · 10 = 27 N

המשקל הסגולי הוא תכונה של החומר ואינו תלוי בגודל הקובייה:

γ = ρ·g = 2700 · 10 = 27000 N/m³

נבדוק: γ = F_gV = 270.001 = 27000 N/m³ — אותה תוצאה.

m = 2.7 kg , F_g = 27 N , γ = 27000 N/m³

שאלה 3.5: מכל מים שמידותיו הפנימיות 2 m × 1.5 m × 1 m מלא עד הסוף. חשבו את מסת המים ואת כוח הכובד הפועל עליהם.

יישום החוק השני לגבי תנועה לאורך קו ישר (Applying Newton's Second Law to Straight-Line Motion)

בפרק הקודם ובסעיף 3.1 למדנו את שלושת חוקי ניוטון והכרנו את הכוחות המוכרים: כוח הכובד, הכוח הנורמלי, החיכוך, המתיחות וכוח הקפיץ. בסעיף זה ניישם את החוק השני של ניוטון במגוון מצבים המופיעים בכל בחינה: גוף הנמשך על משטח אופקי, גוף על מישור משופע, אדם במעלית, מכונית מאיצה או בולמת, ושני גופים הקשורים בחוט. השיטה זהה בכל המצבים:

נסרטט את המצב, ונסרטט תרשים כוחות (גוף חופשי) לכל גוף בנפרד.
נבחר צירים וכיוון חיובי; רצוי שאחד הצירים יהיה בכיוון התאוצה.
נפרק את הכוחות המוטים לרכיבים לאורך הצירים.
נכתוב ΣF = m·a לכל ציר בנפרד: בציר שאין בו תנועה ΣF = 0.
נפתור את המשוואות ונבדוק אם התוצאה סבירה (סימן, יחידות, מקרים פרטיים).

הערה: בספר הזה נשתמש בשתי זוויות "נוחות" השכיחות בבחינות: sin 37° = 0.6 ו-cos 37° = 0.8, וכן sin 53° = 0.8 ו-cos 53° = 0.6. ובזווית 30°: sin 30° = 0.5 ו-cos 30° ≈ 0.87.

תנועה על משטח אופקי:

גוף הנמשך על משטח אופקי מחוספס בכוח F היוצר זווית θ עם האופק, ותרשים ארבעת הכוחות הפועלים עליו

גוף שמסתו m נמשך בכוח F היוצר זווית θ עם האופק. נפרק את F לרכיב אופקי F·cos θ ולרכיב אנכי F·sin θ כלפי מעלה. בציר האנכי אין תנועה, ובציר האופקי הגוף מאיץ:

y: N + F·sin θ − m·g = 0

x: F·cos θ − f_k = m·a

הרכיב האנכי של הכוח "מקל" על הגוף: הכוח הנורמלי N קטן מן המשקל, ולכן גם החיכוך הקינטי f_k = μ_k·N קטן יותר. אילו דחפנו את הגוף בכוח מוטה כלפי מטה, היה קורה ההפך: N גדול מן המשקל והחיכוך גדול יותר.

דוגמה 3.15

גוף שמסתו 5 kg מונח על משטח אופקי. מושכים אותו בכוח של 20 N היוצר זווית 37° עם האופק. נחשב את תאוצת הגוף:
א. אם המשטח חלק.
ב. אם מקדם החיכוך הקינטי μ_k = 0.25.

פתרון:

א. רכיבי הכוח:

F_x = F·cos θ = 20 · 0.8 = 16 N

F_y = F·sin θ = 20 · 0.6 = 12 N

על משטח חלק הכוח האופקי היחיד הוא F_x:

a = F_xm = 165 = 3.2 m/s²

ב. נתחיל בציר האנכי כדי למצוא את הכוח הנורמלי:

N = m·g − F·sin θ = 50 − 12 = 38 N

f_k = μ_k·N = 0.25 · 38 = 9.5 N

ואחר כך הציר האופקי:

F·cos θ − f_k = m·a

a = 16 − 9.55 = 1.3 m/s²

שימו לב: הכוח הנורמלי כאן הוא 38 N ולא 50 N; מי שמציב f_k = μ·m·g מקבל תשובה שגויה.

a = 3.2 m/s² , a = 1.3 m/s²

שאלה 3.6: אותו גוף (5 kg, μ_k = 0.25) נדחף עכשיו בכוח של 20 N היוצר זווית 37° עם האופק כלפי מטה. חשבו את הכוח הנורמלי ואת התאוצה. האם הגוף זז בכלל, אם גם μ_s = 0.25?

תנועה על מישור משופע:

מישור משופע: הוא משטח מישורי היוצר זווית θ עם האופק. על מישור משופע נבחר את הציר x לאורך המשטח ואת הציר y בניצב לו, כי התנועה — אם יש כזאת — היא לאורך המשטח.

גוף המחליק על מישור משופע מחוספס: הכוח הנורמלי N ניצב למשטח, החיכוך f מנוגד לתנועה, וכוח הכובד מתפרק ל-m·g·sin θ לאורך המשטח ול-m·g·cos θ בניצב לו

הכוח היחיד שצריך לפרק הוא כוח הכובד: הזווית בין m·g לבין הציר y (הניצב למשטח) שווה לזווית המישור θ עצמה. לכן:

y: N − m·g·cos θ = 0

x: m·g·sin θ − f = m·a

מן המשוואה הראשונה N = m·g·cos θ: הכוח הנורמלי על מישור משופע קטן מן המשקל, והוא קטן ככל שהזווית גדלה. נבחין עכשיו בשלושה מקרים.

א. מישור משופע חלק:

ללא חיכוך נשאר על הציר x כוח אחד, m·g·sin θ:

התאוצה על מישור משופע חלק

m·g·sin θ = m·a

a = g·sin θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	התאוצה לאורך המשטח, כלפי מטה	[m/s²]
θ	זווית השיפוע של המישור	[°]

הערה: התאוצה אינה תלויה במסה — כמו בנפילה חופשית. המישור המשופע "מאט" את הנפילה החופשית בגורם sin θ: בזווית θ = 90° מקבלים a = g, ובזווית θ = 0 אין תאוצה.

דוגמה 3.16

גוף משוחרר ממנוחה על מישור משופע חלק שזווית השיפוע שלו 30° ואורכו 10 m. נחשב את תאוצת הגוף, את הזמן שבו הוא מגיע לתחתית המישור ואת מהירותו שם.

פתרון:

a = g·sin θ = 10 · sin 30° = 10 · 0.5 = 5 m/s²

תנועה בתאוצה קבועה ממנוחה לאורך d = 10 m:

d = 12·a·t²

t = 2·da = 2 · 105 = 2 s

v = a·t = 5 · 2 = 10 m/s

a = 5 m/s² , t = 2 s , v = 10 m/s

ב. מישור משופע מחוספס — הגוף מחליק למטה:

החיכוך הקינטי מכוון במעלה המישור (נגד התנועה), וגודלו f_k = μ_k·N = μ_k·m·g·cos θ:

התאוצה על מישור משופע מחוספס (החלקה כלפי מטה)

m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

a = g·(sin θ − μ_k·cos θ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
μ_k	מקדם החיכוך הקינטי	—
a	התאוצה במורד המישור	[m/s²]

דוגמה 3.17

גוף שמסתו 2 kg מחליק כלפי מטה על מישור משופע שזוויתו 37°, ומקדם החיכוך הקינטי ביניהם 0.25. נחשב את הכוח הנורמלי, את כוח החיכוך ואת התאוצה.

פתרון:

הציר הניצב למשטח:

N = m·g·cos θ = 2 · 10 · 0.8 = 16 N

f_k = μ_k·N = 0.25 · 16 = 4 N

הציר לאורך המשטח, הכיוון החיובי כלפי מטה:

m·g·sin θ − f_k = m·a

2 · 10 · 0.6 − 4 = 2·a

a = 12 − 42 = 4 m/s²

נבדוק בנוסחה הישירה: a = g·(sin θ − μ_k·cos θ) = 10 · (0.6 − 0.25 · 0.8) = 4 m/s².

N = 16 N , f_k = 4 N , a = 4 m/s²

ג. מישור משופע מחוספס — הגוף עולה:

גוף העולה על מישור משופע מחוספס: עכשיו החיכוך מכוון כלפי מטה, יחד עם רכיב כוח הכובד — הגוף מאט במהירות

אם הגוף נדחף כלפי מעלה והוא ממשיך לעלות מכוח התמדתו, גם m·g·sin θ וגם החיכוך מכוונים כלפי מטה. נבחר את הכיוון החיובי כלפי מעלה (כיוון התנועה):

−m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

a = −g·(sin θ + μ_k·cos θ)

דוגמה 3.18

הגוף מן הדוגמה הקודמת (2 kg, 37°, μ_k = μ_s = 0.25) נדחף מתחתית המישור כלפי מעלה במהירות התחלתית של 8 m/s. נחשב:
א. את תאוצתו בזמן העלייה.
ב. את זמן העלייה ואת המרחק שהוא עובר עד שהוא נעצר.
ג. האם הגוף חוזר למטה? ואם כן, באיזו מהירות הוא מגיע לנקודת המוצא?

פתרון:

א. הכיוון החיובי כלפי מעלה. הכוח הנורמלי כמו קודם, N = 16 N, והחיכוך 4 N, אבל עכשיו הוא מכוון כלפי מטה:

a = −g·(sin θ + μ_k·cos θ) = −10 · (0.6 + 0.25 · 0.8) = −8 m/s²

ב. הגוף מאט מ-8 m/s עד לעצירה:

t = 0 − v₀a = −8−8 = 1 s

d = v₀²2·a = 6416 = 4 m

ג. ברגע העצירה החיכוך הופך לסטטי, והערך המרבי שלו f_s,max = μ_s·N = 4 N. רכיב כוח הכובד לאורך המשטח, m·g·sin θ = 12 N, גדול ממנו, ולכן החיכוך הסטטי אינו יכול להחזיק את הגוף, והוא מחליק כלפי מטה בתאוצה שחישבנו בדוגמה הקודמת, a = 4 m/s²:

v² = 2·a·d = 2 · 4 · 4 = 32

v = 5.66 m/s

הגוף חוזר במהירות קטנה ממהירות היציאה שלו: חלק מן האנרגיה שלו הפך לחום בגלל החיכוך (נחזור לכך בפרק האנרגיה).

a = −8 m/s² , d = 4 m , v = 5.66 m/s

ד. משיכת גוף במעלה המישור המשופע בכוח חיצוני:

גוף הנמשך במעלה מישור משופע מחוספס בכוח F המקביל למשטח: הכוח צריך להתגבר גם על רכיב כוח הכובד וגם על החיכוך

נמשוך את הגוף כלפי מעלה בכוח F המקביל למשטח. הכיוון החיובי כלפי מעלה, והחיכוך הקינטי כלפי מטה:

F − m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

דוגמה 3.19

אותו גוף (2 kg, 37°, μ_k = 0.25). נחשב את הכוח המקביל למשטח הדרוש:
א. כדי למשוך את הגוף כלפי מעלה במהירות קבועה.
ב. כדי למשוך אותו כלפי מעלה בתאוצה של 2 m/s².
ג. כדי להוריד אותו כלפי מטה במהירות קבועה.

פתרון:

א. במהירות קבועה a = 0, והחיכוך כלפי מטה:

F = m·g·sin θ + μ_k·m·g·cos θ = 12 + 4 = 16 N

ב. נוסיף את מה שדרוש לתאוצה:

F = m·g·sin θ + μ_k·m·g·cos θ + m·a = 12 + 4 + 2 · 2 = 20 N

ג. בהורדה איטית החיכוך מכוון כלפי מעלה (נגד התנועה), וגם הכוח F מכוון כלפי מעלה ומונע מן הגוף להאיץ:

F + μ_k·m·g·cos θ = m·g·sin θ

F = 12 − 4 = 8 N

שימו לב להבדל בין 16 N לבין 8 N: החיכוך מתנגד לתנועה בשני הכיוונים, ולכן הוא מגדיל את הכוח הדרוש לעלייה ומקטין את הכוח הדרוש לבלימת הירידה.

F = 16 N , F = 20 N , F = 8 N

מתי הגוף נשאר במנוחה על המישור המשופע:

גוף המונח על מישור משופע מחוספס נשאר במנוחה כל עוד החיכוך הסטטי מסוגל לאזן את רכיב כוח הכובד לאורך המשטח:

m·g·sin θ ≤ μ_s·m·g·cos θ

tan θ ≤ μ_s

התנאי אינו תלוי במסה! הזווית שבה מתחילה ההחלקה מקיימת tan θ_c = μ_s, וזו דרך פשוטה למדוד את מקדם החיכוך הסטטי: מגביהים את המשטח לאט ומודדים את הזווית שבה הגוף מתחיל להחליק.

דוגמה 3.20

מקדם החיכוך הסטטי בין ארגז למשטח עץ הוא 0.5. נחשב את זווית השיפוע הגדולה ביותר שבה הארגז עדיין נשאר במנוחה.

פתרון:

tan θ_c = μ_s = 0.5

θ_c = 26.6°

בזווית גדולה מ-26.6° הארגז מחליק, תהיה מסתו אשר תהיה.

θ_c = 26.6°

שאלה 3.7: גוף שמסתו 3 kg מונח במנוחה על מישור משופע שזוויתו 30°. חשבו את כוח החיכוך הסטטי הפועל עליו, ואת מקדם החיכוך הסטטי הקטן ביותר המאפשר זאת.

▶ניסוי חי — גוף על מישור משופענשנה את זווית המישור, את מקדם החיכוך ואת הכוח החיצוני, נעקוב אחר תרשים הכוחות החי, ונמצא את הזווית שבה מתחילה ההחלקה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#incline

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#incline

תנועת מעלית והוראת מאזני קפיץ:

אדם שמסתו m עומד על מאזני קפיץ בתוך מעלית. פועלים עליו שני כוחות בלבד: כוח הכובד m·g כלפי מטה, והכוח הנורמלי N מן המאזניים כלפי מעלה. המאזניים מראים את N — הכוח שבו האדם לוחץ על המאזניים (ולפי החוק השלישי הוא שווה לכוח שבו המאזניים דוחפים אותו). נבחר את הכיוון החיובי כלפי מעלה ונכתוב את החוק השני:

הוראת מאזני קפיץ במעלית

N − m·g = m·a

N = m·(g + a)

סימן	משמעות	יחידת מידה
N	הכוח הנורמלי = הוראת המאזניים (המשקל המדומה)	[N]
a	תאוצת המעלית, חיובית כלפי מעלה ושלילית כלפי מטה	[m/s²]

משקל מדומה: הוא הכוח שמאזני הקפיץ מראים, כלומר הכוח הנורמלי N שהמאזניים מפעילים על הגוף. במנוחה או בתנועה קצובה המשקל המדומה שווה למשקל האמיתי m·g; במעלית מואצת הוא שונה ממנו. כוח הכובד עצמו אינו משתנה לעולם.

אותו אדם בשלושה מצבים: כשהמעלית מואצת כלפי מעלה המאזניים מראים יותר מן המשקל, במהירות קבועה הם מראים בדיוק את המשקל, וכשהיא מואצת כלפי מטה הם מראים פחות מן המשקל

תנועת המעלית	התאוצה a	הוראת המאזניים N	התחושה
במנוחה, או נעה במהירות קבועה (עולה או יורדת)	0	N = m·g	רגילה
עולה ומאיצה, או יורדת ומאטה	חיובית (כלפי מעלה)	N > m·g	כבד יותר
יורדת ומאיצה, או עולה ומאטה	שלילית (כלפי מטה)	N < m·g	קל יותר
נפילה חופשית (הכבל נקרע)	−g	N = 0	חוסר משקל

שימו לב: הוראת המאזניים תלויה בתאוצה בלבד, לא במהירות ולא בכיוונה. מעלית העולה במהירות קבועה של 5 m/s ומעלית היורדת במהירות קבועה של 5 m/s נותנות בדיוק אותה הוראה: המשקל האמיתי. ומעלית העולה ומאטה נותנת הוראה קטנה מן המשקל, בדיוק כמו מעלית היורדת ומאיצה.

דוגמה 3.21

אדם שמסתו 60 kg עומד על מאזני קפיץ במעלית. נחשב את הוראת המאזניים בניוטון ובקילוגרם (המאזניים מכוילים כך שהם מציגים Ng) במצבים האלה:
א. המעלית במנוחה.
ב. עולה בתאוצה של 2 m/s².
ג. עולה במהירות קבועה של 3 m/s.
ד. יורדת בתאוצה של 2 m/s².
ה. עולה ומאטה בתאוצה שגודלה 3 m/s².
ו. הכבל נקרע והמעלית בנפילה חופשית.

פתרון:

בכל המצבים N = m·(g + a) כשהכיוון החיובי כלפי מעלה, והמשקל האמיתי m·g = 600 N.

א. ו-ג. התאוצה אפס:

N = m·g = 600 N

Ng = 60 kg

ב. התאוצה +2 m/s²:

N = 60 · (10 + 2) = 720 N

Ng = 72 kg

ד. התאוצה −2 m/s²:

N = 60 · (10 − 2) = 480 N

Ng = 48 kg

ה. המעלית עולה ומאטה, ולכן התאוצה מכוונת כלפי מטה: a = −3 m/s²:

N = 60 · (10 − 3) = 420 N

Ng = 42 kg

ו. בנפילה חופשית a = −g:

N = 60 · (10 − 10) = 0

האדם והמאזניים נופלים יחד באותה תאוצה, ולכן אינם לוחצים זה על זה: זהו "חוסר המשקל" שחשים האסטרונאוטים במסלול.

N = 600 , 720 , 600 , 480 , 420 , 0 N

גוף התלוי על מאזני קפיץ מתקרת מעלית מואצת

אם הגוף תלוי על מאזני קפיץ מתקרת המעלית במקום לעמוד עליהם, הניתוח זהה לחלוטין: במקום הכוח הנורמלי N פועלת המתיחות T כלפי מעלה, והמאזניים מראים T = m·(g + a). כך גם בכל מערכת מואצת: מנוף, טיל ממריא או מטוס נוחת.
נשים לב שהמשוואה N = m·(g + a) מאפשרת גם את הכיוון ההפוך: מהוראת המאזניים נסיק את תאוצת המעלית — וזה עקרון המד-תאוצה שנפגוש בהמשך הסעיף.

דוגמה 3.22

גוף שמסתו 5 kg תלוי על מאזני קפיץ מתקרת מעלית. המעלית יורדת במהירות של 4 m/s, ואז בולמת בתאוצה קבועה עד שהיא נעצרת לאחר מרחק של 2.67 m. נחשב את הוראת המאזניים בזמן הבלימה ואת זמן הבלימה.

פתרון:

המעלית יורדת ומאטה, ולכן התאוצה שלה מכוונת כלפי מעלה. את גודלה נמצא ממשוואות התנועה בתאוצה קבועה:

a = v₀²2·d = 4²2 · 2.67 = 3 m/s²

הוראת המאזניים היא המתיחות, והכיוון החיובי כלפי מעלה:

T − m·g = m·a

T = m·(g + a) = 5 · (10 + 3) = 65 N

t = v₀a = 43 = 1.33 s

בזמן הבלימה המאזניים מראים יותר מן המשקל (50 N) אף שהמעלית יורדת — כי התאוצה, ולא המהירות, היא שקובעת את ההוראה.

T = 65 N , t = 1.33 s

שאלה 3.8: המאזניים שמתחת לאותו אדם (60 kg) מראים 750 N. מהי תאוצת המעלית, בגודל ובכיוון? ציינו שני מצבי תנועה אפשריים של המעלית.

▶ניסוי חי — המעלית והמשקל המדומהנבחר את מסת האדם ואת תאוצת המעלית, ונעקוב אחר הוראת המאזניים בניוטון ובקילוגרם בעלייה מואצת, במהירות קבועה ובהאטה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#elevator

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#elevator

כוחות חיכוך על מכונית בהאצה ובבלימה:

הכוח האופקי היחיד על המכונית הוא החיכוך בין הכביש לגלגלים: בהאצה הוא מכוון קדימה, ובבלימה אחורה

מה גורם למכונית להאיץ? המנוע מסובב את הגלגלים, אבל המנוע מפעיל כוח פנימי, ואינו יכול להזיז את מרכז המסה של המכונית. הגלגל המניע מנסה לדחוף את הכביש אחורה, והכביש מגיב — לפי החוק השלישי — בכוח חיכוך סטטי קדימה. החיכוך הזה הוא הכוח החיצוני היחיד בכיוון התנועה, והוא שמאיץ את המכונית. קוראים לו סטטי כי נקודת המגע של הגלגל עם הכביש אינה מחליקה עליו (הגלגל מתגלגל ואינו מחליק).

תאוצה מרבית בעזרת חיכוך

f_s,max = μ_s·N = μ_s·m·g

a_max = μ_s·g

סימן	משמעות	יחידת מידה
a_max	התאוצה (או ההאטה) המרבית שהכביש יכול להקנות למכונית	[m/s²]
μ_s	מקדם החיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש	—

בבלימה הבלמים מאטים את סיבוב הגלגלים, הגלגלים מנסים לדחוף את הכביש קדימה, והכביש מגיב בחיכוך אחורה המאט את המכונית. כל עוד הגלגלים מתגלגלים בלי להחליק, החיכוך סטטי ויכול להגיע עד μ_s·m·g; אבל אם הגלגלים "ננעלים" ומחליקים על הכביש, החיכוך הופך לקינטי, והוא קטן יותר — ולכן מכוניות מודרניות מצוידות במערכת המונעת את נעילת הגלגלים.

דוגמה 3.23

מכונית שמסתה 1200 kg נוסעת על כביש אופקי. מקדם החיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש 0.8, והקינטי 0.5. נחשב:
א. את התאוצה המרבית שבה המכונית יכולה לצאת לדרך, ואת הכוח המאיץ אותה אז.
ב. את מרחק הבלימה ואת זמן הבלימה ממהירות של 20 m/s, אם הגלגלים ננעלים ומחליקים.
ג. את מרחק הבלימה אם הגלגלים מתגלגלים עד העצירה בלי להחליק.

פתרון:

א. הכוח הנורמלי על כביש אופקי שווה למשקל, והחיכוך הסטטי המרבי:

f_s,max = μ_s·m·g = 0.8 · 1200 · 10 = 9600 N

a_max = f_s,maxm = μ_s·g = 0.8 · 10 = 8 m/s²

התאוצה אינה תלויה במסת המכונית: למשאית כבדה ולמכונית קלה יש אותה תאוצה מרבית על אותו כביש.

ב. גלגלים מחליקים: חיכוך קינטי, וההאטה a = μ_k·g = 5 m/s²:

d = v₀²2·a = 20²2 · 5 = 40 m

t = v₀a = 205 = 4 s

ג. גלגלים מתגלגלים בלי להחליק: החיכוך סטטי ומגיע עד μ_s·g = 8 m/s²:

d = 20²2 · 8 = 25 m

בלימה בלי החלקה קצרה בהרבה — זו הסיבה לקיומה של מערכת למניעת נעילת הגלגלים.

a_max = 8 m/s² , d = 40 m , d = 25 m

שאלה 3.9: מכונית נוסעת במהירות של 30 m/s (108 km/h). מקדם החיכוך בין הצמיגים לכביש 0.6. חשבו את המרחק הקצר ביותר שבו היא יכולה לעצור, וכיצד משתנה המרחק הזה אם המהירות מוכפלת.

מד-תאוצה: גוף תלוי בחוט מתקרת מכונית מואצת:

כשהמכונית מאיצה קדימה, החוט נוטה אחורה בזווית θ; השקול של שני הכוחות T ו-m·g הוא הכוח האופקי m·a

נתלה כדור קטן שמסתו m בחוט מתקרת מכונית. כשהמכונית נוסעת במהירות קבועה החוט תלוי אנכית, וכשהיא מאיצה קדימה החוט נוטה אחורה בזווית θ, שנשארת קבועה כל עוד התאוצה קבועה. ננתח את הכוחות הפועלים על הכדור במערכת הייחוס של הקרקע: המתיחות T לאורך החוט וכוח הכובד m·g. הכדור מאיץ אופקית יחד עם המכונית בתאוצה a:

y: T·cos θ − m·g = 0

x: T·sin θ = m·a

נחלק את המשוואה השנייה בראשונה, והמתיחות מצטמצמת:

מד-תאוצה

tan θ = ag

T = m·gcos θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
θ	זווית הנטייה של החוט מן האנך	[°]
a	תאוצת המכונית (והכדור)	[m/s²]

הערה: הזווית אינה תלויה במסת הכדור ולא באורך החוט, אלא בתאוצה בלבד; לכן המתקן הפשוט הזה יכול לשמש מד-תאוצה: מודדים את הזווית ומחשבים a = g·tan θ. אין צורך בשום "כוח הדוחף את הכדור אחורה": הכדור מפגר אחרי המכונית בגלל ההתמדה שלו, והחוט הנטוי הוא שגורר אותו איתה.

דוגמה 3.24

מכונית מאיצה בתאוצה קבועה שגודלה 7.5 m/s². כדור שמסתו 0.2 kg תלוי בחוט מתקרתה. נחשב את זווית הנטייה של החוט ואת המתיחות בו.

פתרון:

tan θ = ag = 7.510 = 0.75

θ = 37°

המתיחות מן המשוואה האנכית:

T = m·gcos θ = 0.2 · 100.8 = 2.5 N

המתיחות גדולה ממשקל הכדור (2 N), כי היא מאזנת את המשקל ומאיצה את הכדור בעת ובעונה אחת. נבדוק: T·sin θ = 2.5 · 0.6 = 1.5 N = m·a.

θ = 37° , T = 2.5 N

שאלה 3.10: החוט של מד-תאוצה ברכבת נוטה בזווית 30° מן האנך בזמן היציאה לדרך. חשבו את תאוצת הרכבת. לאיזה צד נוטה החוט כשהרכבת בולמת?

האצת שני גופים הקשורים בחוט:

מערכת דו-גופית: היא שני גופים הקשורים בחוט (או צמודים זה לזה) הנעים יחד. אם החוט מתוח ואינו מתארך, גודל התאוצה של שני הגופים שווה, ואם המסה של החוט ושל הגלגלת זניחה ואין חיכוך בגלגלת, המתיחות זהה לאורך כל החוט. נכתוב את החוק השני לכל גוף בנפרד ונפתור את שתי המשוואות יחד.

א. שני גופים על משטח אופקי:

שני גופים הקשורים בחוט נמשכים בכוח F: החוט מושך את m₁ קדימה ואת m₂ אחורה באותו כוח T

דוגמה 3.25

שני גופים שמסותיהם m₁ = 2 kg ו-m₂ = 3 kg קשורים בחוט על משטח אופקי חלק. מושכים את m₂ בכוח אופקי של 20 N. נחשב את תאוצת המערכת ואת המתיחות בחוט. אחר כך נחזור על החישוב אם מקדם החיכוך הקינטי בין הגופים למשטח 0.1.

פתרון:

נכתוב את החוק השני לכל גוף, והכיוון החיובי בכיוון F. על m₁ פועלת בכיוון האופקי רק המתיחות, ועל m₂ הכוח F והמתיחות:

m₁: T = m₁·a

m₂: F − T = m₂·a

נחבר את שתי המשוואות, ו-T מצטמצם:

F = (m₁ + m₂)·a

a = Fm₁ + m₂ = 205 = 4 m/s²

T = m₁·a = 2 · 4 = 8 N

דרך מהירה יותר למציאת התאוצה: נתייחס לשני הגופים כאל גוף אחד שמסתו 5 kg, שפועל עליו רק הכוח החיצוני F (המתיחות היא כוח פנימי).

עם חיכוך: על כל גוף פועל חיכוך μ_k·m·g אחורה:

m₁: T − μ_k·m₁·g = m₁·a

m₂: F − T − μ_k·m₂·g = m₂·a

F − μ_k·(m₁ + m₂)·g = (m₁ + m₂)·a

a = 20 − 0.1 · 5 · 105 = 3 m/s²

T = m₁·(a + μ_k·g) = 2 · (3 + 1) = 8 N

התאוצה קטנה בגלל החיכוך, אבל המתיחות נשארה 8 N: היא תמיד החלק m₁m₁ + m₂ מ-F כאשר מקדם החיכוך זהה לשני הגופים.

a = 4 m/s² , T = 8 N ; a = 3 m/s² , T = 8 N

שני גופים צמודים הנדחפים בכוח F: הגוף הראשון דוחף את השני בכוח מגע P, והשני מגיב על הראשון באותו כוח בכיוון ההפוך (החוק השלישי)

דוגמה 3.26

שני גופים צמודים שמסותיהם m₁ = 2 kg ו-m₂ = 3 kg נמצאים על משטח אופקי חלק. דוחפים את m₁ בכוח אופקי של 20 N, והוא דוחף בתורו את m₂. נחשב את תאוצת הגופים ואת כוח המגע ביניהם. אחר כך נמצא את כוח המגע אם דוחפים את m₂ באותו כוח מן הצד השני.

פתרון:

הגופים נעים יחד, ולכן נחשב את התאוצה למערכת כולה:

a = Fm₁ + m₂ = 205 = 4 m/s²

הכוח האופקי היחיד על m₂ הוא כוח המגע P מ-m₁:

P = m₂·a = 3 · 4 = 12 N

נבדוק במשוואה של m₁: F − P = m₁·a, כלומר 20 − 12 = 2 · 4 ✓.

אם דוחפים את m₂ במקום את m₁, התאוצה זהה, אבל עכשיו כוח המגע מאיץ את m₁ בלבד:

P = m₁·a = 2 · 4 = 8 N

כוח המגע קטן יותר כשהגוף הנדחף הוא הכבד יותר — כי הוא מאיץ רק את הגוף הקל.

a = 4 m/s² , P = 12 N ; P = 8 N

ב. גוף על שולחן וגוף תלוי:

גוף על שולחן, הקשור בחוט העובר מעל גלגלת לגוף תלוי: הגוף התלוי יורד, והגוף שעל השולחן נגרר באותה תאוצה

הגוף התלוי m₂ מושך את החוט, והגוף m₁ נגרר על השולחן. נבחר לכל גוף כיוון חיובי שהוא כיוון תנועתו: ל-m₁ — לעבר הגלגלת, ול-m₂ — כלפי מטה. הגלגלת משנה רק את כיוון החוט ואינה משנה את גודל המתיחות.

m₁: T = m₁·a

m₂: m₂·g − T = m₂·a

גוף על שולחן חלק וגוף תלוי

a = m₂·gm₁ + m₂

T = m₁·a = m₁·m₂·gm₁ + m₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
m₁	מסת הגוף שעל השולחן	[kg]
m₂	מסת הגוף התלוי	[kg]
T	המתיחות בחוט	[N]

הערה: המתיחות קטנה ממשקל הגוף התלוי: אילו הייתה שווה למשקלו, הכוח השקול עליו היה אפס והוא לא היה מאיץ. הטעות הנפוצה היא להציב T = m₂·g. הכוח ש"מאיץ" את המערכת כולה הוא m₂·g, אבל הוא מאיץ את המסה הכוללת m₁ + m₂.

דוגמה 3.27

גוף שמסתו m₁ = 3 kg מונח על שולחן, וקשור בחוט העובר מעל גלגלת בקצה השולחן לגוף תלוי שמסתו m₂ = 2 kg. נחשב את התאוצה ואת המתיחות:
א. אם השולחן חלק.
ב. אם מקדם החיכוך הקינטי בין m₁ לשולחן 0.2.

פתרון:

א. נחבר את המשוואות של שני הגופים:

m₂·g = (m₁ + m₂)·a

a = 2 · 103 + 2 = 4 m/s²

T = m₁·a = 3 · 4 = 12 N

ב. על m₁ פועל עכשיו חיכוך אחורה, f_k = μ_k·m₁·g = 0.2 · 3 · 10 = 6 N:

m₁: T − f_k = m₁·a

m₂: m₂·g − T = m₂·a

m₂·g − f_k = (m₁ + m₂)·a

a = 20 − 65 = 2.8 m/s²

T = m₂·(g − a) = 2 · (10 − 2.8) = 14.4 N

נבדוק במשוואה של m₁: T = m₁·a + f_k = 3 · 2.8 + 6 = 14.4 N — מתאים.

a = 4 m/s² , T = 12 N ; a = 2.8 m/s² , T = 14.4 N

ג. מכונת אטווד: שני גופים תלויים:

מכונת אטווד: הגוף הכבד יורד והקל עולה באותה תאוצה

שני גופים שמסותיהם m₁ ו-m₂ (m₂ > m₁) תלויים בחוט העובר מעל גלגלת קבועה. הכבד יורד והקל עולה. נבחר לכל גוף כיוון חיובי בכיוון תנועתו:
m₁ (עולה): T − m₁·g = m₁·a
m₂ (יורד): m₂·g − T = m₂·a
כשמחברים את שתי המשוואות T מצטמצם, ומקבלים תאוצה קטנה מ-g, כי ההפרש בין שני המשקלים מאיץ את סכום שתי המסות. את המכונה הזאת המציא אטווד בשנת 1784 כדי למדוד את g במדויק: את התאוצה הקטנה קל למדוד, וממנה מחשבים את g.

מכונת אטווד

a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂

T = m₁·(g + a) = 2·m₁·m₂·gm₁ + m₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
a	תאוצת הגופים (הכבד כלפי מטה)	[m/s²]
T	המתיחות, בין m₁·g ל-m₂·g	[N]

דוגמה 3.28

במכונת אטווד מסות הגופים 3 kg ו-5 kg. המערכת משוחררת ממנוחה. נחשב את התאוצה, את המתיחות ואת המרחק שהגוף הכבד יורד בשנייה הראשונה.

פתרון:

a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂ = (5 − 3) · 108 = 2.5 m/s²

T = m₁·(g + a) = 3 · (10 + 2.5) = 37.5 N

נבדוק במשוואת הגוף השני: T = m₂·(g − a) = 5 · (10 − 2.5) = 37.5 N. המתיחות נמצאת בין שני המשקלים, 30 N ו-50 N, כפי שציפינו.

d = 12·a·t² = 12 · 2.5 · 1² = 1.25 m

a = 2.5 m/s² , T = 37.5 N , d = 1.25 m

ד. גוף על מישור משופע וגוף תלוי:

גוף על מישור משופע מחוספס, הקשור דרך גלגלת בראש המישור לגוף תלוי; כאן הגוף התלוי כבד יותר ולכן מושך את m₁ כלפי מעלה, והחיכוך מתנגד לכך

המצב הזה משלב את כל מה שלמדנו. לפני שכותבים את המשוואות צריך לדעת לאיזה כיוון המערכת נעה — אחרת איננו יודעים את כיוון החיכוך. נשווה את שני הכוחות "המניעים": משקל הגוף התלוי m₂·g מצד אחד, ורכיב המשקל של הגוף שעל המישור m₁·g·sin θ מן הצד האחר. אם ההפרש ביניהם גדול מן החיכוך הסטטי המרבי, המערכת נעה בכיוון הכוח הגדול; אחרת היא נשארת במנוחה.

דוגמה 3.29

גוף שמסתו m₁ = 2 kg מונח על מישור משופע שזוויתו 37°, וקשור בחוט העובר מעל גלגלת בראש המישור לגוף תלוי שמסתו m₂ = 3 kg. מקדם החיכוך (הסטטי והקינטי) בין m₁ למשטח 0.25. המערכת משוחררת ממנוחה. נקבע אם היא נעה ובאיזה כיוון, ונחשב את התאוצה ואת המתיחות.

פתרון:

הכוח הנורמלי והחיכוך המרבי על m₁:

N = m₁·g·cos θ = 2 · 10 · 0.8 = 16 N

f_max = μ·N = 0.25 · 16 = 4 N

הכוחות המניעים: m₂·g = 30 N כלפי מטה מצד הגוף התלוי, ו-m₁·g·sin θ = 2 · 10 · 0.6 = 12 N במורד המישור. ההפרש 30 − 12 = 18 N גדול מ-f_max = 4 N, ולכן המערכת נעה: m₂ יורד ו-m₁ עולה על המישור, והחיכוך על m₁ מכוון במורד המישור.

לכל גוף הכיוון החיובי הוא כיוון תנועתו:

m₁: T − m₁·g·sin θ − f_k = m₁·a

m₂: m₂·g − T = m₂·a

נחבר:

m₂·g − m₁·g·sin θ − f_k = (m₁ + m₂)·a

a = 30 − 12 − 45 = 2.8 m/s²

T = m₂·(g − a) = 3 · (10 − 2.8) = 21.6 N

המתיחות נמצאת בין 12 + 4 = 16 N (מה שדרוש כדי להזיז את m₁ בלי תאוצה) לבין 30 N (משקל m₂) — סביר.

a = 2.8 m/s² , T = 21.6 N

שאלה 3.11: גוף שמסתו 4 kg נמצא על שולחן אופקי, ומקדם החיכוך הקינטי ביניהם 0.1. הוא קשור בחוט העובר מעל גלגלת לגוף תלוי שמסתו 1 kg. חשבו את התאוצה ואת המתיחות. מה יקרה אם מקדם החיכוך הסטטי הוא 0.3?

▶ניסוי חי — מערכת דו-גופית — גלגלת ומישור משופענשנה את שתי המסות, את זווית המישור ואת מקדם החיכוך, ונגלה מתי המערכת נשארת במנוחה ומתי הגוף עולה או יורד, ובמקביל נקרא את המתיחות.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#pulley

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#pulley

דטרמיניזם ויכולת ניבוי:

בכל הדוגמאות הקודמות עשינו אותו דבר: ידענו את הכוחות הפועלים על הגוף ואת מצבו ההתחלתי (מקומו ומהירותו), חישבנו את תאוצתו, וממנה את מהירותו ומקומו בכל רגע מאוחר יותר. זהו כוחם הגדול של חוקי ניוטון: אם ידועים הכוחות והמצב ההתחלתי, עתידה של המערכת נקבע לחלוטין. רעיון זה נקרא דטרמיניזם: ההווה קובע את העתיד באופן חד-משמעי, ואין בו מקום למקרה.

אבל דטרמיניזם בחוקים אינו מבטיח תמיד יכולת ניבוי מעשית. איננו יודעים את המצב ההתחלתי בדיוק אינסופי, ובמערכות רבות — מזג האוויר, למשל, או כדור ביליארד אחרי עשר התנגשויות — השגיאות הקטנות ביותר בנתונים גדלות במהירות, עד שבפועל אי אפשר לנבא את התוצאה, אף שכל צעד בדרך כפוף לחוקי ניוטון. לעומת זאת, במערכות הפשוטות שלמדנו החוקים מנבאים את מה שיקרה בדיוק מפליא: כך משגרים חללית, והיא מגיעה לכוכב לכת רחוק אחרי שנים, ברגע שחושב לה מראש.

עיקרי הדברים:

החוק השני של ניוטון קושר את שקול הכוחות לתאוצה: התאוצה תמיד בכיוון השקול — לא בכיוון המהירות — והיא עומדת ביחס ישר לשקול וביחס הפוך למסה.
למסה שני פנים שקולים: מסה התמדית המודדת את התנגדות הגוף לשינוי מהירותו, ומסה כובדית המודדת את משיכתו לכדור הארץ; מאזני כפות משווים מסות ואינם תלויים ב-g, ומאזני קפיץ מודדים כוח.
דרך הפתרון של בעיות דינמיקה אחת היא תמיד: תרשים כוחות לגוף לבדו, בחירת שני צירים שאחד מהם בכיוון התאוצה, ומשוואת כוחות לכל ציר (ובמערכת גופים: משוואה לכל גוף בנפרד).
הוראת מאזני הקפיץ במעלית — המשקל המדומה — שווה ל-N = m·(g + a): גדולה מן המשקל בתאוצה כלפי מעלה, קטנה ממנו בתאוצה כלפי מטה, ואפס בנפילה חופשית.
במערכת של שני גופים הקשורים בחוט העובר על גלגלת שמסתה זניחה: גודל התאוצה משותף, והמתיחות אחת לכל אורך החוט — ושתי משוואות הגופים נפתרות יחד.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
החוק השני של ניוטון	ΣF_x = m·a_x , ΣF_y = m·a_y
הניוטון	1 N = 1 kg·m/s²
כוח הכובד סמוך לפני כדור הארץ	F_g = m·g
צפיפות ומשקל סגולי	ρ = mV , γ = ρ·g
מישור משופע חלק	a = g·sin θ
מישור משופע מחוספס (החלקה כלפי מטה)	a = g·(sin θ − μ_k·cos θ)
הוראת מאזני קפיץ במעלית	N = m·(g + a)
מכונת אטווד	a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
מסה התמדית	Inertial mass	الكتلة القصورية
קילוגרם	Kilogram	الكيلوغرام
החוק השני של ניוטון	Newton's second law	قانون نيوتن الثاني
משוואת תנועה	Equation of motion	معادلة الحركة
מסה כובדית	Gravitational mass	الكتلة الثقالية
מאזני כפות	Beam balance	ميزان الكفّتين
צפיפות	Density	الكثافة
משקל סגולי	Specific weight	الوزن النوعي
מישור משופע	Inclined plane	السطح المائل (المستوى المائل)
מעלית	Elevator	المصعد
משקל מדומה	Apparent weight	الوزن الظاهري
חוסר משקל	Weightlessness	انعدام الوزن
מד-תאוצה	Accelerometer	مقياس التسارع
גלגלת	Pulley	البكرة
מערכת דו-גופית	Two-body system	منظومة من جسمين
מכונת אטווד	Atwood machine	آلة أتوود
דטרמיניזם	Determinism	الحتمية
יכולת ניבוי	Predictability	القدرة على التنبّؤ

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 3.1) עגלה שמסתה 1.5 kg יוצאת ממנוחה על מסילה אופקית, ואחרי 3 s מהירותה 9 m/s.
א. מהו הכוח השקול הפועל עליה?
ב. מהו הכוח המושך, אם המסילה חלקה?
ג. ומהו הכוח המושך, אם μ_k = 0.2?
ד. מהי הדרך שעברה בשלוש השניות האלה?

תשובות: א. ΣF = 4.5 N ; ב. F = 4.5 N ; ג. F = 7.5 N ; ד. x = 13.5 m

(לסעיף 3.2) מוט אלומיניום שאורכו 0.5 m ושטח החתך שלו 4 cm² (צפיפות האלומיניום 2700 kg/m³). חשבו את נפחו, את מסתו ואת כוח הכובד הפועל עליו. מה יראו מאזני כפות ומה יראו מאזני קפיץ אם ישקלו את המוט על הירח (g = 1.6 m/s²)?

תשובות: V = 2·10⁻⁴ m³, m = 0.54 kg, F_g = 5.4 N; מאזני כפות 0.54 kg, מאזני קפיץ 0.864 N

(לסעיף 3.3) גוף שמסתו 4 kg מחליק כלפי מטה על מישור משופע שזוויתו 30°, ומקדם החיכוך הקינטי ביניהם 0.2. סרטטו תרשים כוחות, וחשבו את הכוח הנורמלי, את כוח החיכוך ואת התאוצה. מהי מהירות הגוף אחרי שעבר 3 m ממנוחה?

תשובות: N = 34.6 N, f_k = 6.93 N, a = 3.27 m/s², v = 4.43 m/s

(לסעיף 3.3) אדם שמסתו 50 kg עומד על מאזני קפיץ במעלית.
א. המאזניים מראים 400 N — מהי תאוצת המעלית, בגודל ובכיוון? ציינו שני מצבי תנועה אפשריים.
ב. מה מראים המאזניים כשהמעלית עולה בתאוצה של 2 m/s²?
ג. ומתי המאזניים מראים אפס?

תשובות: א. a = 2 m/s² כלפי מטה: יורדת ומאיצה או עולה ומאטה; ב. N = 600 N; ג. בנפילה חופשית

תרגילי סיכום:

ארגז שמסתו 6 kg על רצפה אופקית; μ_s = 0.4 ו-μ_k = 0.25. מפעילים עליו כוח אופקי.
א. F = 20 N: האם הוא זז? מהו כוח החיכוך?
ב. F = 30 N: מהם כוח החיכוך, הכוח השקול ותאוצת הארגז?

תשובות: א. אינו זז (f_s,max = 24 N), f_s = 20 N ; ב. f_k = 15 N , ΣF = 15 N , a = 2.5 m/s²

ארגז שמסתו 10 kg נדחף על רצפה אופקית בכוח של 50 N היוצר זווית 37° מתחת לאופק; μ_k = 0.2.
א. חשבו את הכוח הנורמלי.
ב. את כוח החיכוך הקינטי.
ג. את תאוצת הארגז.
ד. מה היה משתנה אילו נגרר הארגז באותו כוח בזווית 37° מעל האופק?

תשובות: א. N = 130 N ; ב. f_k = 26 N ; ג. a = 1.4 m/s² ; ד. N הייתה קטנה, ולכן החיכוך קטן והתאוצה גדלה

גוף שמסתו 3 kg מונח על שולחן אופקי (μ_k = 0.25) ומחובר בחוט העובר על גלגלת שמסתה זניחה בקצה השולחן, ובקצהו האחר תלוי גוף שמסתו 2 kg (באיור).
א. חשבו את תאוצת המערכת.
ב. את המתיחות בחוט.
ג. את המרחק שהגוף התלוי יורד בשתי השניות הראשונות ממנוחה.

תשובות: א. a = 2.5 m/s²; ב. T = 15 N; ג. d = 5 m

במכונת אטווד מסות הגופים 2 kg ו-3 kg. חשבו את תאוצת המערכת, את המתיחות בחוט ואת הכוח שהחוט מפעיל על ציר הגלגלת (שמסתה זניחה).

תשובות: a = 2 m/s², T = 24 N, על הגלגלת 2T = 48 N

תרגילי העמקה:

(*) גוף שמסתו 4 kg מונח על מישור משופע מחוספס שזוויתו 37° (μ_k = 0.25 , μ_s = 0.4), ומחובר בחוט העובר על גלגלת בראש המישור, ובקצהו תלוי גוף שמסתו 4 kg (באיור).
א. הראו בחישוב שהמערכת נעה כך שהגוף התלוי יורד.
ב. חשבו את תאוצת המערכת ואת המתיחות בחוט.
ג. בין אילו שתי מסות של הגוף התלוי הייתה המערכת נשארת במנוחה?

תשובות: ב. a = 1 m/s², T = 36 N; ג. בין 1.12 kg ל-3.68 kg

תשובות סופיות לשאלות הפרק

3.1 א. ΣF = 4 N ; ב. F = 4 N ; ג. F = 6 N

3.2 כן: כדור שנזרק כלפי מעלה (השקול כלפי מטה) או מכונית בולמת — הגוף מאט; וכן: כל גוף הנע במהירות קבועה בקו ישר

3.3 N = 48 N , a ≈ 3.46 m/s² , v ≈ 17.3 m/s

3.4 על כדור הארץ 700 N, על מאדים 259 N; המסה אינה משתנה

3.5 V = 3 m³, m = 3000 kg, F_g = 30000 N

3.6 N = 62 N, a = 0.1 m/s²; כן, כי F·cos θ = 16 N גדול מעט מ-f_s,max = 15.5 N

3.7 f_s = m·g·sin θ = 15 N, μ_s ≥ tan 30° = 0.58

3.8 a = 2.5 m/s² כלפי מעלה; המעלית עולה ומאיצה, או יורדת ומאטה

3.9 a = 6 m/s², d = 75 m; המרחק גדל פי ארבעה

3.10 a = g·tan 30° = 5.77 m/s²; בבלימה החוט נוטה קדימה

3.11 a = 1.2 m/s², T = 8.8 N; עם μ_s = 0.3 מתקבל f_s,max = 12 N > 10 N, ולכן המערכת נשארת במנוחה ו-T = 10 N

שאלות בגרות לפרק 3

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון המכניקה (36361). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 2 — מכונת אטווד — שתי מסות התלויות מגלגלת

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הכוחות על כל מסה	על כל מסה פועלים שני כוחות בלבד — משקל כלפי מטה מכדור הארץ, ומתיחות כלפי מעלה מן החוט. גודל המתיחות זהה בשני הצדדים.
ב	פסילת שני הביטויים	(i) נפסל כי הוא נותן תאוצה הגדולה מתאוצת הנפילה החופשית · (ii) נפסל כי יחידותיו אינן יחידות של תאוצה
ג	הביטוי לתאוצת המערכת	בפתרון המלא
ד	יחס המסות מן המרחק בשנייה הראשונה	בפתרון המלא
ה	מדוע גודל התאוצה שווה לשתי המסות	אורך החוט קבוע והוא אינו מחליק על הגלגלת, ולכן ההעתקים שווים בגודלם בכל רגע — ומכאן גם המהירויות וגם התאוצות. הכיוונים הפוכים.

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2025 שאלה 2 — מישור משופע — חיכוך סטטי מול חיכוך קינטי, זווית סף התנועה, ותאוצה בעלייה ובירידה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים הכוחות	בפתרון המלא
ב	הקטנת הזווית לזווית α₁	גודל כוח החיכוך קטן
ג	הזווית α₂ שבה הגוף על סף תנועה	בפתרון המלא
ד	המהירות בתחתית המישור המשופע	v ≈ 1.56 m/s
ה	התרשים המתאר נכון את שתי התאוצות	תרשים 3

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 2 — ארגז על משטח מחוספס עם גלגלת — חילוץ המסה ומקדם החיכוך מתוך הגרף

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים הכוחות על הארגז	m·g כלפי מטה (כדור הארץ) · N כלפי מעלה (המשטח) · T = F אופקית אל הגלגלת (החוט) · f אופקית הפוך לתנועה (המשטח)
ב	פיתוח הביטוי לתאוצה	a = (F − μ·m·g) חלקי m , כלומר a = F חלקי m פחות μ·g , בתוקף כאשר F גדול מ μ·m·g
ג	תרשים מבוזר וקו מגמה	תרשים מבוזר של חמש הנקודות , ודרכן קו מגמה a = 1.55·F − 3.53
ד	חילוץ המסה ומקדם החיכוך מן הגרף	m = 0.645 kg ≈ 0.65 kg , μ = 0.3525 ≈ 0.35 (חסר יחידות)
ה	מה קורה כאשר F = 1.5 N	a = 0 · הארגז אינו זז , כי F = 1.5 N קטן מן החיכוך הסטטי המרבי 2.275 N , והחיכוך הסטטי בפועל הוא 1.5 N

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 2 — שני גופים קשורים בחוט ומד־כוח ביניהם — חילוץ המסה, הכוח החיצוני וסוג התנועה מתוך גרף המתיחות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשימי הכוחות על A ועל B	על A — F₁ כלפי מעלה (כוח חיצוני) , m_A·g = 30 N כלפי מטה (כדור הארץ) , T כלפי מטה (החוט) · על B — T כלפי מעלה (החוט) , m_B·g = 10 N כלפי מטה (כדור הארץ)
ב	משוואות הכוחות והביטוי לתאוצה	F₁ − T − m_A·g = m_A·a וגם T − m_B·g = m_B·a , ומכאן a = (F₁ − (m_A + m_B)·g) מחולק ב (m_A + m_B)
ג	חישוב מסת הגוף B	m_B = 1 kg
ד	הכוח החיצוני בשלושת פרקי הזמן	F₁ = 40 N בקטע הראשון , F₁ = 48 N בקטע השני , F₁ = 40 N בקטע השלישי
ה	סוג התנועה בכל אחד משני הקטעים	בקטע 0.3 עד 0.8 שניות תנועה בתאוצה קבועה 2 m/s² כלפי מעלה , ובקטע 0.8 עד 1.2 שניות תנועה קצובה כלפי מעלה במהירות קבועה 1 m/s
ו	הטענה הנכונה מבין ארבע	הטענה הנכונה היא טענה 3 , כלומר F₂ גדול מ m_B·g , מפני ש F₂ = m_B·(g + a₁) והתאוצה a₁ חיובית

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 (נבצרים) שאלה 2 — מכונת אטווד בדוח מעבדה — הוכחת תאוצה קבועה מטבלת גבהים וזמנים, ופיתוח הקשר בין התאוצה להפרש המסות עד חילוץ המסה הכוללת מן הגרף

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	מדוע לפי חוקי ניוטון התאוצה קבועה	שני כוחות בלבד על כל סלסלה, כובד קבוע ומתיחות זהה בשני הצדדים, ואף כוח אינו תלוי במקום או במהירות , ולכן a = (m_A − m_B)·g מחולק ב (m_A + m_B) — ביטוי של קבועים בלבד
ב	כיצד חושבה התאוצה מן הגובה ומן הזמן	מן המשוואה h = חצי a t בריבוע עם מהירות התחלתית אפס מתקבל a = 2h מחולק ב t בריבוע , וההצבה נותנת 0.98 , 1.02 , 1.01 m/s²
ג	האם התוצאות מוכיחות שהתאוצה קבועה	כן , התוצאות מאששות את ההשערה — שלושה גבהים השונים פי שלושה נותנים 0.98 , 1.02 , 1.01 m/s² בלי מגמה שיטתית , פיזור של 2.33 אחוז בלבד , והיחס t בריבוע חלקי h קבוע
ד	תרשים הכוחות על כל אחת מן הסלסלות	על A — כוח הכובד m_A·g כלפי מטה (כדור הארץ) וכוח המתיחות T כלפי מעלה (החוט) , כאשר m_A·g גדול מ T · על B — כוח הכובד m_B·g כלפי מטה וכוח המתיחות T כלפי מעלה , כאשר T גדול מ m_B·g · גודל T זהה בשני הצדדים
ה	פיתוח המשוואה הקושרת בין התאוצה להפרש המסות	a = g·(m_A − m_B) מחולק ב (m_A + m_B) · בניסוי 2 המסה הכוללת קבועה , ולכן זהו קו ישר של a מול (m_A − m_B) העובר דרך הראשית ששיפועו g מחולק במסה הכוללת
ו	חישוב המסה הכוללת מתוך הגרף	שיפוע קו המגמה 20 (m/s²)/kg , ומכיוון שהשיפוע הוא g מחולק במסה הכוללת מתקבל m_A + m_B = 10 מחולק ב 20 = 0.5 kg = 500 g

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 10 — נוסחאון הספר.