الفصل 1

علم الحركة (الكينماتيكا)

קינמטיקה

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 25 ساعات تعليمية

كلّ ما حولنا يتحرّك: سيّارة على الطريق، كرة تسقط، قمر يدور حول الأرض. علم الحركة (الكينماتيكا) هو الجزء من الميكانيكا الذي يصف الحركة كما هي — أين يوجد الجسم في كلّ لحظة، وبأيّ سرعة وبأيّ تسارع يتحرّك — من دون أن يسأل عن سبب الحركة. في هذا الفصل نبني اللغة التي سنستعملها في الكتاب كلّه: الموقع والإزاحة والمسافة، السرعة والتسارع، الرسوم البيانية التي تصف الحركة، ثم المتّجهات التي تسمح لنا بالانتقال من الخطّ المستقيم إلى المستوى.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نميّز بين الموقع، الإزاحة، المسافة والطريق المقطوع، ونحسبها على محور الموقع.
نصف الحركة بجدول، برسم بياني، بتعبير رياضي وبمخطّط آثار، وننتقل بحرّية بين الطرق الأربع.
نحلّل الحركة المنتظمة: نقرأ السرعة من ميل الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن، ونحسب السرعة المتوسّطة.
نفرّق بين السرعة المتوسّطة (ميل الوتر) والسرعة اللحظية (ميل المماس)، وكذلك بين التسارع المتوسّط والتسارع اللحظي.
نستعمل معادلات الحركة بتسارع ثابت، ونقرأ الإزاحة من المساحة تحت الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن.
نحلّ مسائل السقوط الحرّ والقذف العمودي مع g = 10 m/s².
نجمع المتّجهات ونطرحها هندسيا وجبريا، ونحلّل متّجها إلى مركّباته.
نحلّل تسارع جسم يتحرّك على مسار منحنٍ إلى مركّبة مماسّية ومركّبة راديالية.

מושגי יסוד בתנועה לאורך קו ישר – مفاهيم أساسية في الحركة على خطّ مستقيم (Basic Concepts of Motion Along a Straight Line)

الطول والزمن — قياسهما ووحداتهما – אורך וזמן — מדידתם ויחידותיהם:

يبدأ وصف أيّ حركة بقياس مقدارين أساسيين: الطول (أين يوجد الجسم، وكم ابتعد) والزمن (متى كان هناك). كلّ المقادير الأخرى في هذا الفصل — السرعة والتسارع — مشتقّة من هذين المقدارين. لكي يفهم كلّ قارئ النتيجة نفسها، نتّفق على وحدات قياس موحّدة.

منظومة الوحدات الدولية (SI) (מערכת היחידות SI): هي منظومة الوحدات المعتمدة في العلوم. وحدة الطول فيها هي المتر (m)، ووحدة الزمن هي الثانية (s)، ووحدة الكتلة هي الكيلوغرام (kg). وحدات المقادير الأخرى تُبنى من هذه الوحدات الأساسية: السرعة تُقاس بالمتر في الثانية (m/s) والتسارع بالمتر في الثانية المربّعة (m/s²).

المقدار	الوحدة	الرمز	أداة القياس
الطول	متر	m	مسطرة، شريط قياس، جهاز ليزر
الزمن	ثانية	s	ساعة توقيت، بوّابة ضوئية
الكتلة	كيلوغرام	kg	ميزان
السرعة	متر في الثانية	m/s	تُحسب من الطول والزمن
التسارع	متر في الثانية المربّعة	m/s²	يُحسب من السرعة والزمن

في الحياة اليومية نستعمل وحدات أخرى أيضا، ويجب أن نعرف تحويلها إلى وحدات SI قبل أيّ حساب:

الوحدة	العلاقة بوحدة SI	الوحدة	العلاقة بوحدة SI
كيلومتر ( km)	1 km = 1000 m	دقيقة ( min)	1 min = 60 s
سنتيمتر ( cm)	1 cm = 0.01 m	ساعة ( h)	1 h = 3600 s
ملّيمتر ( mm)	1 mm = 0.001 m	ملّي ثانية ( ms)	1 ms = 0.001 s

تحويل السرعة من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية · המרת יחידות מהירות

1 km/h = 1000 m3600 s = 13.6 m/s

الرمز	المعنى	وحدة القياس
km/h	كيلومتر في الساعة	—
m/s	متر في الثانية (وحدة SI)	—

مثال 1.1

أ. تسير سيّارة بسرعة 72 km/h. نعبّر عن سرعتها بوحدات SI.
ب. يركض عدّاء بسرعة 15 m/s. نعبّر عن سرعته بالكيلومتر في الساعة.

الحل:

أ. في كلّ كيلومتر 1000 متر، وفي كلّ ساعة 3600 ثانية:

v = 72 km/h = 72 · 1000 m3600 s = 20 m/s

ب. في الاتّجاه المعاكس نضرب في 3.6:

v = 15 m/s = 15 · 3.6 = 54 km/h

قاعدة سريعة: للتحويل من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية نقسم على 3.6، وللعكس نضرب في 3.6.

v = 20 m/s , v = 54 km/h

سؤال 1.1: السرعة القصوى المسموح بها في طريق سريع هي 108 km/h. عبّروا عنها بالمتر في الثانية. كم مترا تقطع سيّارة بهذه السرعة في 10 ثوانٍ؟

محور الموقع ومنظومة الإسناد – ציר מקום ומערכת ייחוס:

لكي نقول أين يوجد جسم ما، نحتاج إلى شيء نقيس بالنسبة إليه. عندما نقول «السيّارة على بُعد 300 m من المفترق» فقد اخترنا المفترق نقطة ننسب إليها المواقع. هذا الاختيار هو الخطوة الأولى في وصف أيّ حركة.

منظومة الإسناد (מערכת ייחוס): (الإطار المرجعي) هي جسم أو مجموعة أجسام نعتبرها ساكنة، ونقيس بالنسبة إليها مواقع الأجسام الأخرى، مع ساعة لقياس الزمن. في معظم مسائل هذا الكتاب منظومة الإسناد هي الأرض (الطريق، الغرفة، المختبر).

محور الموقع (ציר מקום): هو خطّ مستقيم مثبّت في منظومة الإسناد، نصف عليه الحركة على خطّ مستقيم. لتعريفه نختار ثلاثة أشياء: نقطة الأصل (x = 0)، الاتّجاه الموجب (يشير إليه سهم المحور)، ووحدة القياس.

الموقع (מקום): هو إحداثيّ الجسم على محور الموقع، ويرمز له بالحرف x. الموقع عدد يحمل إشارة: موجب إذا كان الجسم في الجهة الموجبة من نقطة الأصل، وسالب إذا كان في الجهة الأخرى. وحدة الموقع هي المتر.

محور موقع: نقطة الأصل، الاتّجاه الموجب والوحدات. موقع A هو x_A = −2 m وموقع B هو x_B = 4 m

الموقع النسبي. موقع الجسم B بالنسبة إلى الجسم A هو الفرق x_B − x_A. في الشكل أعلاه: x_B − x_A = 4 − (−2) = 6 m، أي أنّ B يوجد على بُعد 6 m من A في الاتّجاه الموجب. أمّا موقع A بالنسبة إلى B فهو x_A − x_B = −6 m: المسافة نفسها، في الاتّجاه المعاكس.

ملاحظة: اختيار نقطة الأصل والاتّجاه الموجب هو اختيارنا نحن، ويمكن أن يختلف من حلّ إلى حلّ. إذا نقلنا نقطة الأصل تتغيّر جميع المواقع بالمقدار نفسه، لكنّ الفروق بين المواقع لا تتغيّر. لذلك الفيزياء كلّها مبنيّة على فروق المواقع، وليس على المواقع نفسها. في كلّ مسألة نكتب في بداية الحلّ: أين نقطة الأصل وما هو الاتّجاه الموجب.

الإزاحة، المسافة والطريق المقطوع – העתק, מרחק ודרך:

يتحرّك جسم على محور الموقع من موقع ابتدائي x₁ إلى موقع نهائي x₂. هناك ثلاثة مقادير مختلفة تصف «كم تحرّك»، ويجب أن نميّز بينها بدقّة لأنّ الخلط بينها هو أكثر الأخطاء شيوعا في هذا الفصل.

الإزاحة (העתק): هي التغيّر في الموقع: الموقع النهائي ناقص الموقع الابتدائي، Δx = x₂ − x₁. الإزاحة تحمل إشارة: موجبة إذا انتهت الحركة في الجهة الموجبة من نقطة البداية، وسالبة إذا انتهت في الجهة السالبة. الإزاحة تتعلّق بنقطتي البداية والنهاية فقط، ولا تتعلّق بالمسار الذي سلكه الجسم بينهما.

المسافة (מרחק): هي مقدار الإزاحة، أي القيمة المطلقة لها: d = |Δx|. المسافة بين نقطتين لا تكون سالبة أبدا، ولا تحمل معلومات عن الاتّجاه.

الطريق المقطوع (דרך): هو طول المسار الذي سلكه الجسم فعلا، ويرمز له بالحرف s. إذا تحرّك الجسم ذهابا ثم عاد، فالطريق المقطوع يجمع طولي القطعتين. الطريق المقطوع لا يقلّ أبدا أثناء الحركة، ولا يكون سالبا.

الإزاحة، المسافة والطريق المقطوع · העתק, מרחק ודרך

Δx = x₂ − x₁

d = |Δx|

s = |Δx₁| + |Δx₂| + ...

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Δx	الإزاحة (تحمل إشارة)	[m]
d	المسافة بين الموقع الابتدائي والنهائي	[m]
s	الطريق المقطوع: مجموع أطوال قطع المسار	[m]

جسم يتحرّك من x₀ = 2 m إلى x₁ = 9 m ثم يعود إلى x₂ = −3 m: الإزاحة الكلّية (السهم الأخضر) تختلف عن الطريق المقطوع (مجموع طولي السهمين)

مثال 1.2

يتحرّك جسم على محور الموقع من الموقع x₀ = 2 m إلى الموقع x₁ = 9 m، ثم يعود ويتوقّف في الموقع x₂ = −3 m. نحسب الإزاحة الكلّية، المسافة بين نقطة البداية ونقطة النهاية، والطريق المقطوع.

الحل:

الإزاحة الكلّية تتعلّق بالموقع الابتدائي والنهائي فقط، والموقع الوسيط لا يدخل في الحساب:

Δx = x₂ − x₀ = −3 − 2 = −5 m

الإشارة السالبة تعني أنّ الجسم انتهى في الجهة السالبة من نقطة بدايته. المسافة هي مقدار الإزاحة:

d = |Δx| = 5 m

الطريق المقطوع هو مجموع طولي القطعتين، كلّ منهما بقيمتها المطلقة:

Δx₁ = 9 − 2 = 7 m

Δx₂ = −3 − 9 = −12 m

s = |Δx₁| + |Δx₂| = 7 + 12 = 19 m

في القطعة الأولى تقدّم الجسم 7 m في الاتّجاه الموجب، وفي الثانية عاد 12 m في الاتّجاه السالب. العودة تلغي جزءا من التقدّم في حساب الإزاحة، لكنّها تضيف إلى الطريق المقطوع.

Δx = −5 m , d = 5 m , s = 19 m

ملاحظة: الطريق المقطوع أكبر من المسافة أو يساويها دائما: s ≥ d. تتحقّق المساواة فقط عندما يتحرّك الجسم في اتّجاه واحد ولا يعود إلى الوراء. وإذا عاد الجسم إلى نقطة بدايته فإزاحته صفر، لكنّ طريقه المقطوع ليس صفرا.

سؤال 1.2: يبدأ جسم حركته من نقطة الأصل، يتحرّك إلى الموقع x = −4 m، ثم يعود ويتوقّف في الموقع x = 6 m. احسبوا الإزاحة الكلّية والطريق المقطوع. ما هي إزاحة الجسم إذا عاد بعد ذلك إلى نقطة الأصل؟

▶تجربة حية — الموقع، الإزاحة، المسافة والطريق المقطوعنختار ثلاثة مواقع على المحور، ننفّذ المسار، ونقارن قراءة عدّاد الطريق المقطوع مع الإزاحة الكلّية — ونبحث عن مسار إزاحته صفر وطريقه ليس صفرا.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#basics

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#basics

תיאור תנועה — מקום כפונקציה של הזמן – وصف الحركة — الموقع كدالّة للزمن (Describing Motion — Position as a Function of Time)

وصف الحركة يعني أن نعرف موقع الجسم في كلّ لحظة، أي أن نعرف الموقع كدالّة للزمن x(t). يمكن تقديم هذه الدالّة بأربع طرق مختلفة، كلّها تصف الجسم نفسه في اللحظات نفسها، والمهارة الأساسية في علم الحركة هي الانتقال الحرّ بينها.

الطريقة الأولى: الجدول – הדרך הראשונה: טבלה:

نسجّل في جدول موقع الجسم في لحظات محدّدة. هكذا تبدو نتائج قياس حقيقية في المختبر: سيّارة صغيرة تمرّ أمام بوّابات ضوئية، أو شريط ورقي يسجّل عليه مؤقّت نقطة كلّ فترة زمنية ثابتة.

الزمن t بالثواني	0	1	2	3	4	5
الموقع x بالأمتار	2	5	8	11	14	17

الطريقة الثانية: الرسم البياني – הדרך השנייה: גרף:

الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن المبنيّ من الجدول: النقاط تقع على خطّ مستقيم

نرسم محورين: المحور الأفقي للزمن t والمحور العمودي للموقع x، ونضع نقطة لكلّ سطر في الجدول. في الشكل تقع النقاط الستّ على خطّ مستقيم واحد؛ هذا يدلّ على أنّ الجسم يقطع إزاحات متساوية في أزمنة متساوية، وسنسمّي حركة كهذه حركة منتظمة.
انتبهوا: الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن ليس صورة للمسار. الجسم يتحرّك على خطّ مستقيم (محور الموقع)، والخطّ المائل في الرسم يصف كيف يتغيّر موقعه مع الزمن، لا شكل طريقه.

الطريقة الثالثة: التعبير الرياضي – הדרך השלישית: ביטוי מתמטי:

ننظر إلى الجدول: في كلّ ثانية يزداد الموقع بمقدار 3 m، وفي اللحظة t = 0 كان الموقع 2 m. إذًا الموقع في اللحظة t هو:

x(t) = 2 + 3·t

هذا التعبير يحتوي على كلّ المعلومات التي في الجدول وأكثر: نستطيع أن نحسب منه الموقع في أيّ لحظة، حتى في اللحظات التي لم نقسها، مثل t = 2.5 s أو t = 100 s (ما دام نوع الحركة لا يتغيّر). وحدات الأعداد في التعبير: 2 بالأمتار و 3 بالمتر في الثانية، وسنكتب «بوحدات SI» اختصارا.

الطريقة الرابعة: مخطّط الآثار – הדרך הרביעית: תרשים עקבות:

مخطّط الآثار (תרשים עקבות): هو رسم لمحور الموقع تُسجَّل عليه مواقع الجسم في لحظات متتالية متباعدة بفترات زمنية متساوية (مثلا كلّ ثانية)، كأنّ الجسم يترك أثرا كلّما دقّت الساعة. المسافات بين الآثار تكشف نوع الحركة مباشرة.

مخطّطا آثار لحركتين: في الأعلى حركة منتظمة (x = 2 + 3·t)، وفي الأسفل حركة متسارعة (x = t²). الأرقام فوق النقاط هي الزمن بالثواني

مزايا كلّ طريقة وعيوبها – יתרונות וחסרונות:

الطريقة	المزايا	العيوب
الجدول	يسجّل القياسات كما هي؛ دقيق في اللحظات المقيسة	لا يعطي الموقع بين القياسات؛ يصعب رؤية نوع الحركة منه
الرسم البياني	يُظهر نوع الحركة بنظرة واحدة: مستقيم، منحنٍ، صعود أو هبوط	القراءة منه تقريبية؛ يصعب الحصول على قيم دقيقة
التعبير الرياضي	يعطي الموقع في أيّ لحظة بدقّة؛ مناسب للحساب	يصلح فقط عندما تكون الحركة بسيطة بما يكفي لوصفها بصيغة
مخطّط الآثار	يشبه الحركة الحقيقية؛ يُظهر التسارع مباشرة	لا يحتوي على الزمن إلّا بشكل غير مباشر؛ تتكدّس الآثار عند السرعات الصغيرة

مثال 1.3

يُعطى جدول مواقع جسم يتحرّك على محور الموقع.
أ. نكتب التعبير الرياضي للموقع كدالّة للزمن.
ب. نحسب الموقع في اللحظة t = 10 s.
ج. نجد اللحظة التي يمرّ فيها الجسم بنقطة الأصل.

الحل:

t بالثواني	0	1	2	3	4
x بالأمتار	10	7	4	1	−2

أ. في كلّ ثانية يقلّ الموقع بمقدار 3 m — الفرق ثابت، إذًا الحركة منتظمة والتعبير خطّي. الموقع الابتدائي 10 m:

x(t) = 10 − 3·t

ب. نعوّض t = 10 s:

x(10) = 10 − 3 · 10 = −20 m

ج. عند نقطة الأصل x = 0. نساوي التعبير بالصفر ونعزل الزمن:

0 = 10 − 3·t

t = 103 = 3.33 s

x(t) = 10 − 3·t , x(10) = −20 m , t = 3.33 s

سؤال 1.3: سُجّلت مواقع جسم في اللحظات t = 0, 2, 4, 6 s فكانت x = −5, 1, 7, 13 m على الترتيب. اكتبوا التعبير الرياضي للموقع كدالّة للزمن، واحسبوا موقع الجسم في اللحظة t = 10 s.

مثال 1.4

يصف الرسم البياني موقع جسم كدالّة للزمن. نبني من الرسم:
أ. التعبير الرياضي.
ب. جدول المواقع كلّ ثانية.
ج. مخطّط الآثار.

الحل:

الرسم البياني المعطى: خطّ مستقيم من (0, −4) إلى (4, 8)

أ. الخطّ مستقيم، إذًا الحركة منتظمة. نقرأ الموقع الابتدائي عند t = 0، ونحسب السرعة من نقطتين على الخطّ:

x₀ = −4 m

v = 8 − (−4)4 − 0 = 3 m/s

x(t) = −4 + 3·t

ب. نعوّض t = 0, 1, 2, 3, 4 في التعبير:

t بالثواني	0	1	2	3	4
x بالأمتار	−4	−1	2	5	8

ج. نضع على محور الموقع أثرا في كلّ موقع من الجدول، ونكتب فوقه الزمن. الجسم يبدأ في الجهة السالبة، يمرّ بنقطة الأصل بين t = 1 s و t = 2 s ويتابع في الاتّجاه الموجب:

الطرق الأربع تصف الحركة نفسها، ومن أيّ واحدة منها نستطيع بناء الثلاث الأخرى.

x(t) = −4 + 3·t

سؤال 1.4: في مخطّط آثار سُجّلت كلّ ثانية المواقع x = 12, 9, 6, 3, 0 m. ما نوع الحركة؟ ما إشارة السرعة؟ اكتبوا x(t)، وصفوا شكل الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن.

▶تجربة حية — الموقع كدالّة للزمن — الطرق الأربعنغيّر الموقع الابتدائي والسرعة ونراقب في الوقت نفسه مخطّط الآثار والجدول والرسم البياني — ونتنبّأ بما يحدث عندما تصبح السرعة سالبة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#postime

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#postime

תנועה קצובה לאורך קו ישר – الحركة المنتظمة على خطّ مستقيم (Uniform Motion Along a Straight Line)

السرعة في الحركة المنتظمة – המהירות בתנועה קצובה:

الحركة المنتظمة (תנועה קצובה): هي حركة على خطّ مستقيم يقطع فيها الجسم إزاحات متساوية في فترات زمنية متساوية، مهما صغرت هذه الفترات. في حركة كهذه تكون النسبة بين الإزاحة والفترة الزمنية ثابتة، وهذه النسبة هي السرعة.

السرعة في الحركة المنتظمة · מהירות ופונקציית מקום–זמן

v = ΔxΔt = x₂ − x₁t₂ − t₁

x(t) = x₀ + v·t

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v	السرعة (ثابتة؛ تحمل إشارة الاتّجاه)	[m/s]
Δx	الإزاحة في الفترة Δt	[m]
Δt	الفترة الزمنية	[s]
x₀	الموقع الابتدائي (في اللحظة t = 0)	[m]

السرعة في الحركة على خطّ مستقيم مقدار يحمل إشارة: v > 0 يعني أنّ الجسم يتحرّك في الاتّجاه الموجب للمحور، و v < 0 يعني أنّه يتحرّك في الاتّجاه السالب. مقدار السرعة (بلا إشارة) هو ما تُظهره عدّادات السرعة في السيّارات.

السرعة كميل الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن – המהירות כשיפוע גרף מקום–זמן:

الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن في الحركة المنتظمة هو خطّ مستقيم. نختار على الخطّ نقطتين (t₁, x₁) و (t₂, x₂) ونرسم مثلّث الميل: الضلع الأفقي هو Δt والضلع العمودي هو Δx. ميل الخطّ هو النسبة بينهما — وهذه بالضبط السرعة:

ميل الخطّ المستقيم = ΔxΔt = v

كلّما كان الخطّ أشدّ انحدارا كانت السرعة أكبر؛ الخطّ الهابط يعني سرعة سالبة

خطّ صاعد: السرعة موجبة، والجسم يتحرّك في الاتّجاه الموجب.
خطّ هابط: السرعة سالبة، والجسم يتحرّك في الاتّجاه السالب.
خطّ أفقي: السرعة صفر، والجسم ساكن (موقعه لا يتغيّر مع الزمن).
نقطة تقاطع الخطّ مع محور x (عند t = 0) هي الموقع الابتدائي x₀.

انتبهوا: الميل في الرسم البياني هو Δx مقسوما على Δt بوحدات المحورين، وليس الزاوية التي نراها على الورق. إذا غيّرنا مقياس أحد المحورين تغيّرت الزاوية ولم تتغيّر السرعة.

الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن: المساحة تساوي الإزاحة – גרף מהירות–זמן: השטח שווה להעתק:

المساحة المحصورة بين خطّ السرعة ومحور الزمن تساوي الإزاحة

في الحركة المنتظمة الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن خطّ أفقي. المساحة المحصورة بين هذا الخطّ ومحور الزمن في الفترة من 0 إلى t هي مساحة مستطيل: ارتفاعه v وقاعدته t، أي v·t — وهذه هي الإزاحة Δx = v·Δt.
هذه الملاحظة تبدو بسيطة هنا، لكنّها ستصبح أداة قويّة في البند 1.6: المساحة تحت الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن تساوي الإزاحة في كلّ حركة، حتى عندما تتغيّر السرعة. مساحة تحت محور الزمن (سرعة سالبة) تُحسب بإشارة سالبة.

مثال 1.5

ينطلق جسم A من نقطة الأصل بسرعة 4 m/s في الاتّجاه الموجب، وفي اللحظة نفسها ينطلق جسم B من الموقع x = 60 m بسرعة مقدارها 2 m/s في الاتّجاه السالب (نحو A). نكتب دالّة الموقع لكلّ جسم، ونجد متى وأين يلتقيان.

الحل:

نختار محور الموقع كما في المعطيات: نقطة الأصل عند A والاتّجاه الموجب نحو B. سرعة B سالبة لأنّه يتحرّك في الاتّجاه السالب:

x_A(t) = 4·t

x_B(t) = 60 − 2·t

في لحظة اللقاء يكون الجسمان في الموقع نفسه، فنساوي الدالّتين:

4·t = 60 − 2·t

6·t = 60

t = 10 s

نعوّض في إحدى الدالّتين (ويُستحسن الفحص في الثانية):

x_A = 4 · 10 = 40 m

x_B = 60 − 2 · 10 = 40 m

الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن للجسمين: نقطة تقاطع الخطّين هي لحظة اللقاء وموقعه

في الرسم البياني يظهر اللقاء كنقطة تقاطع الخطّين: الخطّ الصاعد لـ A (سرعة موجبة) والخطّ الهابط لـ B (سرعة سالبة).

t = 10 s , x = 40 m

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ جسمين موجودين في المكان نفسه لهما بالضرورة السرعة نفسها. هذا خلط بين الموقع والسرعة، وهما مقداران مستقلّان: في لحظة اللقاء في المثال أعلاه يتساوى الموقعان، لكنّ A يتحرّك عندئذٍ بسرعة +4 m/s و B بسرعة −2 m/s. الموقع يقول أين الجسم الآن، والسرعة تقول كيف يتغيّر موقعه — ومعرفة أحدهما لا تكفي لمعرفة الآخر.

الحركة المنتظمة على مقاطع – תנועה קצובה למקוטעין:

كثيرا ما تتألّف الحركة من عدّة مقاطع، في كلّ مقطع منها سرعة ثابتة مختلفة. الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن يصبح خطّا منكسرا: في كلّ مقطع خطّ مستقيم بميل خاصّ به. نقرأ من الرسم سرعة كلّ مقطع من ميله، والإزاحة الكلّية من فرق الموقعين في طرفي الرسم، والطريق المقطوع من مجموع القيم المطلقة لإزاحات المقاطع.

مثال 1.6

يصف الرسم البياني موقع جسم كدالّة للزمن. نحسب:
أ. سرعة الجسم في كلّ مقطع.
ب. الإزاحة الكلّية والطريق المقطوع في الثواني التسع.
ج. السرعة المتوسّطة في الحركة كلّها.

الحل:

موقع الجسم كدالّة للزمن: ثلاثة مقاطع من الحركة المنتظمة

أ. في كلّ مقطع الخطّ مستقيم، والسرعة هي ميله:

v₁ = 8 − 02 − 0 = 4 m/s

v₂ = 8 − 85 − 2 = 0 m/s

v₃ = −4 − 89 − 5 = −3 m/s

في المقطع الثاني الجسم ساكن (خطّ أفقي)، وفي الثالث يعود في الاتّجاه السالب (خطّ هابط).

ب. الإزاحة الكلّية هي الفرق بين الموقع النهائي والابتدائي، والطريق المقطوع مجموع القيم المطلقة:

Δx = x(9) − x(0) = −4 − 0 = −4 m

s = |8| + |0| + |−12| = 20 m

ج. السرعة المتوسّطة هي الإزاحة الكلّية مقسومة على الزمن الكلّي:

v_avg = ΔxΔt = −49 = −0.44 m/s

v₁ = 4 m/s , v₂ = 0 , v₃ = −3 m/s , Δx = −4 m , s = 20 m

الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن للحركة على مقاطع – גרף מהירות–זמן של תנועה קצובה למקוטעין:

نرسم للحركة في المثال السابق الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن: في كلّ مقطع خطّ أفقي عند قيمة السرعة، وعند الانتقال بين المقاطع تقفز السرعة قفزة (في الواقع يحدث التغيّر في زمن قصير جدّا). المساحة بين كلّ خطّ ومحور الزمن تساوي إزاحة المقطع، وتُحسب بإشارة سالبة عندما يكون الخطّ تحت المحور:

السرعة كدالّة للزمن للحركة على ثلاثة مقاطع: المساحة فوق المحور +8 m، وتحته −12 m، والمجموع −4 m هو الإزاحة الكلّية

Δx = (4 · 2) + (0 · 3) + (−3 · 4) = 8 + 0 − 12 = −4 m

مثال 1.7

تمرّ سيّارة A بنقطة تفتيش بسرعة ثابتة 20 m/s. بعد 10 s تنطلق من النقطة نفسها سيّارة B بسرعة ثابتة 30 m/s في الاتّجاه نفسه. نجد متى وأين تلحق B بـ A.

الحل:

نقطة الأصل عند نقطة التفتيش، والزمن يُقاس من لحظة مرور A. السيّارة B تبدأ حركتها في t = 10 s، فتكون دالّة موقعها:

x_A(t) = 20·t

x_B(t) = 30·(t − 10)

في لحظة اللحاق يتساوى الموقعان:

20·t = 30·(t − 10)

20·t = 30·t − 300

t = 30 s

x = 20 · 30 = 600 m

خطّ B يبدأ متأخّرا لكنّه أشدّ انحدارا، فيقطع خطّ A في لحظة اللحاق

فحص: في 30 s قطعت A مسافة 600 m، وقطعت B في 20 s المسافة نفسها: 30 · 20 = 600 m.

t = 30 s , x = 600 m

السرعة المتوسّطة – מהירות ממוצעת:

السرعة المتوسّطة (מהירות ממוצעת): في فترة زمنية هي الإزاحة الكلّية في تلك الفترة مقسومة على مدّة الفترة. إنّها السرعة الثابتة التي لو تحرّك بها الجسم طوال الفترة لقطع الإزاحة نفسها في الزمن نفسه.

السرعة المتوسّطة · מהירות ממוצעת

v_avg = Δx_totalΔt_total = Δx₁ + Δx₂ + ...Δt₁ + Δt₂ + ...

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v_avg	السرعة المتوسّطة	[m/s]
Δx_total	الإزاحة الكلّية	[m]
Δt_total	الزمن الكلّي	[s]

انتبهوا: السرعة المتوسّطة ليست المتوسّط الحسابي للسرعات. إذا سار جسم بسرعتين مختلفتين فإنّ وزن كلّ سرعة في المتوسّط هو الزمن الذي سار به، والمتوسّط الحسابي يصحّ فقط عندما تتساوى المدد الزمنية. كذلك يجب أن نميّز بين السرعة المتوسّطة (من الإزاحة) وبين متوسّط مقدار السرعة الذي يُحسب من الطريق المقطوع.

مثال 1.8

تسافر سيّارة من مدينة A إلى مدينة B تبعد عنها 120 km بسرعة ثابتة 60 km/h، ثم تعود فورا إلى A بسرعة ثابتة 40 km/h. نحسب:
أ. زمن الرحلة الكلّي.
ب. السرعة المتوسّطة في الرحلة كلّها.
ج. متوسّط مقدار السرعة (الطريق المقطوع مقسوما على الزمن).

الحل:

أ. زمن كلّ مقطع هو المسافة مقسومة على السرعة:

t₁ = 12060 = 2 h

t₂ = 12040 = 3 h

t = t₁ + t₂ = 5 h

ب. السيّارة عادت إلى نقطة بدايتها، فالإزاحة الكلّية صفر، ومعها السرعة المتوسّطة:

v_avg = ΔxΔt = 05 = 0

ج. الطريق المقطوع هو 240 km (ذهابا وإيابا):

sΔt = 2405 = 48 km/h

لاحظوا أنّ النتيجة ليست 50 km/h (المتوسّط الحسابي للسرعتين)، لأنّ السيّارة قضت زمنا أطول بالسرعة الصغيرة.

v_avg = 0 , sΔt = 48 km/h

سؤال 1.5: تسير شاحنة 3 ساعات بسرعة 80 km/h ثم 2 ساعتين بسرعة 50 km/h في الاتّجاه نفسه. احسبوا السرعة المتوسّطة في الرحلة كلّها. هل النتيجة تساوي 65 km/h؟ فسّروا.

▶تجربة حية — الحركة المنتظمة على مقاطع والسرعة المتوسّطةنبني رحلة من ثلاثة مقاطع بسرعات مختلفة، نراقب الرسم البياني للموقع وللسرعة كدالّة للزمن، ونقارن السرعة المتوسّطة مع المتوسّط الحسابي للسرعات.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#uniform

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#uniform

תנועה במהירות משתנה – الحركة بسرعة متغيّرة (Motion with Varying Velocity)

في معظم الحركات الحقيقية لا تبقى السرعة ثابتة: السيّارة تنطلق وتتوقّف، والكرة تتسارع أثناء سقوطها. عندما تتغيّر السرعة لا يكون الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن خطّا مستقيما بل منحنيا، ونحتاج إلى تعريفين جديدين للسرعة: سرعة تصف فترة زمنية كاملة، وسرعة تصف لحظة واحدة.

السرعة المتوسّطة كميل الوتر – מהירות ממוצעת כשיפוע מיתר:

تعريف السرعة المتوسّطة الذي رأيناه يبقى صالحا في أيّ حركة: v_avg = ΔxΔt. في الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن نأخذ النقطتين اللتين تقابلان طرفي الفترة، (t₁, x₁) و (t₂, x₂)، ونصل بينهما بقطعة مستقيمة تسمّى الوتر (מיתר). ميل الوتر هو Δx مقسوما على Δt — أي السرعة المتوسّطة في تلك الفترة.

ميل الوتر بين t₁ و t₂ هو السرعة المتوسّطة في الفترة

عندما نقصّر الفترة يقترب الوتر من المماس عند النقطة P

السرعة اللحظية كميل المماس – מהירות רגעית כשיפוע משיק:

ماذا تعني «السرعة في اللحظة t₁»؟ نحسب السرعة المتوسّطة في فترة قصيرة تبدأ في t₁، ثم نقصّر الفترة أكثر فأكثر. كلّما قصُرت الفترة اقترب الوتر من خطّ مستقيم واحد يلامس المنحنى عند النقطة P — هذا الخطّ هو المماس (משיק)، وميله هو السرعة في تلك اللحظة.

السرعة اللحظية (מהירות רגעית): في اللحظة t هي السرعة المتوسّطة في فترة زمنية قصيرة جدّا حول تلك اللحظة، أي القيمة التي تقترب منها النسبة ΔxΔt عندما تصبح Δt صغيرة جدّا. في الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن، السرعة اللحظية هي ميل المماس للمنحنى عند تلك اللحظة.

السرعة المتوسّطة والسرعة اللحظية · מהירות ממוצעת ורגעית

v_avg = ΔxΔt = x(t₂) − x(t₁)t₂ − t₁

v = ΔxΔt (Δt → 0)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v_avg	السرعة المتوسّطة في الفترة: ميل الوتر	[m/s]
v	السرعة اللحظية: ميل المماس	[m/s]

قراءة إشارة السرعة من الرسم البياني للموقع: مماس صاعد — سرعة موجبة؛ مماس أفقي — سرعة صفر (الجسم يغيّر اتّجاهه)؛ مماس هابط — سرعة سالبة

حيث يصعد المنحنى السرعة اللحظية موجبة، وحيث يهبط سالبة.
في قمّة المنحنى أو قعره المماس أفقي والسرعة اللحظية صفر: الجسم يتوقّف للحظة ويغيّر اتّجاه حركته.
كلّما كان المنحنى أشدّ انحدارا كان مقدار السرعة أكبر.
في الحركة المنتظمة المنحنى خطّ مستقيم، فينطبق كلّ مماس على الخطّ نفسه وتتساوى السرعة اللحظية مع المتوسّطة في كلّ فترة.

مثال 1.9

يصف الرسم البياني أعلاه موقع جسم مُعطى بالتعبير x(t) = 6·t − t² (بوحدات SI) خلال 6 s. نحسب السرعة المتوسّطة في الفترات 0 → 3 s ، 3 → 6 s ، 0 → 6 s، ونجد الإزاحة والطريق المقطوع في الثواني الستّ.

الحل:

x(0) = 0

x(3) = 6 · 3 − 3² = 9 m

x(6) = 6 · 6 − 6² = 0 m

v_avg,1 = x(3) − x(0)3 = 3 m/s

v_avg,2 = x(6) − x(3)3 = −3 m/s

v_avg,3 = x(6) − x(0)6 = 0 m/s

في الفترة الأولى يتحرّك الجسم في الاتّجاه الموجب (المنحنى صاعد)، وفي الثانية يعود (المنحنى هابط). السرعة المتوسّطة في الفترة الكلّية صفر لأنّ الجسم عاد إلى نقطة بدايته — مع أنّه لم يتوقّف إلّا للحظة واحدة في t = 3 s:

Δx = x(6) − x(0) = 0

s = |9 − 0| + |0 − 9| = 18 m

الطريق المقطوع ليس صفرا، ولذلك لا تصلح السرعة المتوسّطة وحدها لوصف حركة كهذه.

v_avg = 3 , −3 , 0 m/s ; Δx = 0 , s = 18 m

مثال 1.10

موقع جسم مُعطى بالتعبير x(t) = t² + 2·t (بوحدات SI). نحسب:
أ. السرعة المتوسّطة بين t = 1 s و t = 3 s.
ب. السرعة اللحظية في اللحظة t = 2 s.

الحل:

أ. نحسب الموقع في طرفي الفترة ثم ميل الوتر:

x(1) = 1² + 2 · 1 = 3 m

x(3) = 3² + 2 · 3 = 15 m

v_avg = x(3) − x(1)3 − 1 = 15 − 32 = 6 m/s

ب. لا توجد صيغة جاهزة للسرعة اللحظية، فنقترب منها بأوتار تبدأ في t = 2 s وتقصر شيئا فشيئا. الموقع في t = 2 s هو x(2) = 8 m:

Δt بالثواني	Δx = x(2 + Δt) − x(2) بالأمتار	ΔxΔt بالمتر في الثانية
1	7	7
0.1	0.61	6.1
0.01	0.0601	6.01
0.001	0.006001	6.001

كلّما قصُرت الفترة اقتربت النسبة من 6. إذًا ميل المماس عند t = 2 s هو:

v(2) = 6 m/s

لاحظوا أنّ السرعة اللحظية في منتصف الفترة تساوي هنا السرعة المتوسّطة في الفترة كلّها. هذه خاصّية للحركة بتسارع ثابت (المنحنى قطع مكافئ)، وسنفهمها في البند التالي، وهي لا تصحّ في كلّ حركة.

v_avg = 6 m/s , v(2) = 6 m/s

ملاحظة: في الامتحان لا يُطلب حساب السرعة اللحظية من تعبير رياضي بهذه الطريقة؛ المطلوب هو فهم المعنى: ميل الوتر للمتوسّطة، وميل المماس للّحظية، وقراءتهما من رسم بياني معطى. أمّا في الحركة بتسارع ثابت فسنحصل على صيغة مباشرة للسرعة اللحظية.

سؤال 1.6: موقع جسم مُعطى بالتعبير x(t) = 5·t − t² (بوحدات SI). احسبوا السرعة المتوسّطة بين t = 0 و t = 2 s، وبين t = 0 و t = 5 s. في أيّ لحظة تنعدم السرعة اللحظية؟ (فكّروا في شكل المنحنى.)

▶تجربة حية — الوتر والمماس — السرعة المتوسّطة واللحظيةنضبط فترة زمنية على الرسم البياني ونقلّصها خطوة خطوة، ونراقب كيف يقترب ميل الوتر من ميل المماس.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avgv

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avgv

תנועה בתאוצה קבועה – الحركة بتسارع ثابت (Motion with Constant Acceleration)

التسارع – התאוצה:

التسارع (תאוצה): هو معدّل تغيّر السرعة مع الزمن: التغيّر في السرعة مقسوما على الفترة الزمنية التي حدث فيها. التسارع في الحركة على خطّ مستقيم يحمل إشارة، ووحدته هي المتر في الثانية المربّعة (m/s²): تسارع مقداره 3 m/s² يعني أنّ السرعة تتغيّر بمقدار 3 m/s في كلّ ثانية.

الحركة بتسارع ثابت (תנועה בתאוצה קבועה): (الحركة المتسارعة بانتظام) هي حركة على خطّ مستقيم تتغيّر فيها السرعة بمقادير متساوية في فترات زمنية متساوية، أي أنّ التسارع فيها ثابت المقدار والإشارة. الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن فيها خطّ مستقيم، والرسم البياني للتسارع كدالّة للزمن خطّ أفقي.

التسارع والسرعة كدالّة للزمن · תאוצה ומהירות כפונקציה של הזמן

a = ΔvΔt = v − v₀t

v(t) = v₀ + a·t

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a	التسارع (ثابت)	[m/s²]
v₀	السرعة الابتدائية في اللحظة t = 0	[m/s]
v	السرعة في اللحظة t	[m/s]

مثال 1.11

تنطلق سيّارة من السكون وتصل إلى سرعة 30 m/s خلال 10 s بتسارع ثابت. نحسب تسارعها، وسرعتها بعد 4 s من الانطلاق.

الحل:

a = v − v₀t = 30 − 010 = 3 m/s²

في كلّ ثانية تزداد السرعة بمقدار 3 m/s. بعد 4 s:

v = v₀ + a·t = 0 + 3 · 4 = 12 m/s

a = 3 m/s² , v(4) = 12 m/s

الإزاحة كمساحة تحت الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن – ההעתק כשטח מתחת לגרף מהירות–זמן:

المساحة تحت خطّ السرعة = مستطيل (أزرق) + مثلّث (برتقالي)

رأينا في الحركة المنتظمة أنّ المساحة تحت الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن تساوي الإزاحة. القاعدة نفسها تصحّ عندما تتغيّر السرعة: نقسّم الفترة إلى فترات قصيرة جدّا تكون السرعة في كلّ منها ثابتة تقريبا، فتكون إزاحة كلّ فترة قصيرة مساحة مستطيل رفيع، ومجموع المستطيلات هو المساحة تحت الخطّ.
في الحركة بتسارع ثابت الشكل تحت الخطّ شبه منحرف نقسّمه إلى مستطيل ومثلّث: مساحة المستطيل v₀·t، ومساحة المثلّث 12·t·(v − v₀) = 12·t·a·t. مجموعهما هو الإزاحة:

Δx = v₀·t + 12·a·t²

ولأنّ Δx = x − x₀ نحصل على الموقع كدالّة للزمن. وإذا عوّضنا t = v − v₀a من معادلة السرعة في معادلة الإزاحة وبسّطنا، نحصل على علاقة ثالثة لا يظهر فيها الزمن، وهي مفيدة جدّا عندما لا يكون الزمن معطى ولا مطلوبا:

معادلات الحركة بتسارع ثابت · משוואות התנועה בתאוצה קבועה

v = v₀ + a·t

x = x₀ + v₀·t + 12·a·t²

v² = v₀² + 2·a·Δx

Δx = v₀ + v2·t

الرمز	المعنى	وحدة القياس
x₀ , v₀	الموقع والسرعة في اللحظة t = 0	[m] , [m/s]
x , v	الموقع والسرعة في اللحظة t	[m] , [m/s]
a	التسارع الثابت	[m/s²]
Δx	الإزاحة x − x₀	[m]

ملاحظة: المعادلة الرابعة تقول إنّ السرعة المتوسّطة في الحركة بتسارع ثابت هي المتوسّط الحسابي للسرعة الابتدائية والنهائية — وهذا يصحّ فقط لأنّ السرعة تتغيّر خطّيا مع الزمن. من هنا جاءت النتيجة التي رأيناها في المثال 1.10: السرعة اللحظية في منتصف الفترة تساوي السرعة المتوسّطة فيها.

الرسوم البيانية الثلاثة – שלושת הגרפים:

نرسم لحركة واحدة (x₀ = 0 ، v₀ = 2 m/s ، a = 1 m/s²) الرسوم البيانية الثلاثة: الموقع، السرعة والتسارع كدالّة للزمن. الرسم البياني للموقع قطع مكافئ (دالّة من الدرجة الثانية)، وللسرعة خطّ مستقيم ميله a، وللتسارع خطّ أفقي.

الموقع (أزرق)، السرعة (أخضر) والتسارع (برتقالي) كدالّة للزمن في حركة بتسارع ثابت موجب: ميل الرسم البياني للموقع يكبر باستمرار، لأنّ السرعة تزداد

الرسم البياني	ماذا يمثّل الميل؟	ماذا تمثّل المساحة تحت الخطّ؟
الموقع كدالّة للزمن x(t)	السرعة اللحظية v	—
السرعة كدالّة للزمن v(t)	التسارع a	الإزاحة Δx
التسارع كدالّة للزمن a(t)	—	التغيّر في السرعة Δv

إشارة التسارع: تسارع أم تباطؤ؟ – סימן התאוצה: האצה או האטה?:

إشارة التسارع وحدها لا تخبرنا هل الجسم يُسرع أم يُبطئ. القاعدة: إذا كانت للسرعة وللتسارع الإشارة نفسها يزداد مقدار السرعة (الجسم يُسرع)، وإذا كانت إشارتاهما متعاكستين يقلّ مقدار السرعة (الجسم يُبطئ). تسارع سالب لجسم يتحرّك في الاتّجاه السالب يعني أنّه يُسرع في الاتّجاه السالب.

إشارة v	إشارة a	ماذا يحدث لمقدار السرعة؟	مثال
+	+	يزداد	سيّارة تنطلق في الاتّجاه الموجب
+	−	يقلّ	سيّارة تكبح وهي تتحرّك في الاتّجاه الموجب
−	−	يزداد	كرة تسقط عندما يكون الاتّجاه الموجب نحو الأعلى
−	+	يقلّ	كرة قُذفت نحو الأسفل تُبطئها قوّة ما

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ اتّجاه التسارع هو دائما اتّجاه الحركة. الجدول أعلاه يبيّن العكس: عندما يُبطئ الجسم يكون تسارعه معاكسا لسرعته تماما — السيّارة التي تكبح تتحرّك إلى الأمام بينما يشير تسارعها إلى الخلف. وسنرى في البند 1.10 جسما يتحرّك على منعطف بمقدار سرعة ثابت وتسارعه عمودي على سرعته. اتّجاه التسارع هو اتّجاه التغيّر في السرعة Δv، وليس اتّجاه السرعة نفسها.

مثال 1.12

تتحرّك سيّارة بسرعة 10 m/s وتبدأ بالتسارع بتسارع ثابت 2 m/s². نحسب سرعتها وإزاحتها بعد 5 s، ونفحص النتيجة بالمعادلة الثالثة.

الحل:

نختار الاتّجاه الموجب في اتّجاه الحركة، فتكون v₀ = 10 m/s و a = 2 m/s²:

v = v₀ + a·t = 10 + 2 · 5 = 20 m/s

Δx = v₀·t + 12·a·t² = 10 · 5 + 12 · 2 · 5² = 75 m

فحص بالمعادلة التي لا تحتوي على الزمن:

v² = v₀² + 2·a·Δx = 10² + 2 · 2 · 75 = 400

v = 400 = 20 m/s

v = 20 m/s , Δx = 75 m

مثال 1.13

تسير سيّارة بسرعة 20 m/s. يضغط السائق على المكابح فتتوقّف السيّارة بتسارع ثابت بعد أن تقطع 40 m. نحسب التسارع وزمن الكبح.

الحل:

الزمن غير معطى، فنبدأ بالمعادلة التي لا تحتوي على الزمن. السرعة النهائية صفر:

v² = v₀² + 2·a·Δx

0 = 20² + 2·a · 40

a = −40080 = −5 m/s²

الإشارة السالبة تعني أنّ التسارع معاكس لاتّجاه الحركة (الاتّجاه الموجب): السيّارة تُبطئ. زمن الكبح من معادلة السرعة:

0 = v₀ + a·t

t = −v₀a = −20−5 = 4 s

فحص: الإزاحة تساوي المساحة تحت الرسم البياني للسرعة، وهي مثلّث: 12 · 20 · 4 = 40 m — صحيح.

a = −5 m/s² , t = 4 s

مثال 1.14

ينطلق قطار من محطّة من السكون بتسارع ثابت 0.5 m/s² مدّة 40 s، ثم يسير بالسرعة التي وصل إليها مدّة 60 s، ثم يكبح بتسارع ثابت حتى يتوقّف في المحطّة التالية بعد 20 s. نحسب السرعة القصوى، تسارع الكبح، والمسافة بين المحطّتين، ونرسم السرعة كدالّة للزمن.

الحل:

المقطع الأوّل — تسارع من السكون:

v = a·t = 0.5 · 40 = 20 m/s

Δx₁ = 12·a·t² = 12 · 0.5 · 40² = 400 m

المقطع الثاني — حركة منتظمة:

Δx₂ = v·t = 20 · 60 = 1200 m

المقطع الثالث — كبح حتى التوقّف:

a₃ = 0 − 2020 = −1 m/s²

Δx₃ = v₀ + v2·t = 20 + 02 · 20 = 200 m

Δx = 400 + 1200 + 200 = 1800 m

السرعة كدالّة للزمن: المساحات الثلاث (مثلّث، مستطيل، مثلّث) تساوي مسافات المقاطع

نفحص بالمساحة: 12 · 40 · 20 + 60 · 20 + 12 · 20 · 20 = 1800 m — النتيجة نفسها، وبطريقة أسرع.

v = 20 m/s , a₃ = −1 m/s² , Δx = 1800 m

قراءة الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن – קריאת גרף מהירות–זמן:

في أسئلة البجروت يُعطى كثيرا الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن ويُطلب منه كلّ شيء: التسارع في كلّ مقطع (من الميل)، الإزاحة (من المساحة)، ثم رسم التسارع والموقع كدالّة للزمن. نتدرّب على ذلك في المثال التالي.

مثال 1.15

يصف الرسم البياني سرعة جسم كدالّة للزمن.
أ. نحسب تسارع الجسم في كلّ مقطع.
ب. نحسب الإزاحة الكلّية في الثواني العشر.
ج. نرسم التسارع والموقع كدالّة للزمن (الموقع الابتدائي x₀ = 0).

الحل:

الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن، مع المساحات الثلاث التي تساوي الإزاحات

أ. في كلّ مقطع الرسم خطّ مستقيم، والتسارع هو ميله:

a₁ = 6 − 03 − 0 = 2 m/s²

a₂ = 6 − 67 − 3 = 0

a₃ = 0 − 610 − 7 = −2 m/s²

في المقطع الأوّل يُسرع الجسم، وفي الثاني يتحرّك بسرعة ثابتة (حركة منتظمة)، وفي الثالث يُبطئ حتى يتوقّف.

ب. الإزاحة في كلّ مقطع هي المساحة بين الخطّ ومحور الزمن: مثلّث، مستطيل، مثلّث:

A₁ = 12 · 3 · 6 = 9 m

A₂ = 4 · 6 = 24 m

A₃ = 12 · 3 · 6 = 9 m

Δx = A₁ + A₂ + A₃ = 42 m

ج. الرسم البياني للتسارع مكوّن من ثلاث درجات أفقية. والموقع: قطع مكافئ صاعد في المقطع الأوّل (حتى x = 9 m)، خطّ مستقيم في الثاني (حتى x = 33 m)، وقطع مكافئ يستوي ميله تدريجيا في الثالث (حتى x = 42 m):

التسارع كدالّة للزمن

الموقع كدالّة للزمن

a₁ = 2 m/s² , a₂ = 0 , a₃ = −2 m/s² , Δx = 42 m

انتبهوا: عند رسم الموقع كدالّة للزمن من الرسم البياني للسرعة: حيث السرعة موجبة الموقع يزداد؛ حيث السرعة ثابتة الرسم خطّ مستقيم؛ وحيث السرعة تقترب من الصفر يصبح ميل المنحنى أفقيا. المنحنى لا «ينزل» ما دامت السرعة موجبة — حتى عندما يُبطئ الجسم.

سؤال 1.7: ينطلق جسم بسرعة 4 m/s بتسارع ثابت 3 m/s² في اتّجاه حركته. احسبوا سرعته وإزاحته بعد 6 s، وارسموا الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن وتحقّقوا من الإزاحة بحساب المساحة.

السقوط الحرّ – נפילה חופשית:

السقوط الحرّ (נפילה חופשית): هو حركة جسم تحت تأثير قوّة الجاذبية وحدها، مع إهمال مقاومة الهواء. تجارب كثيرة (منذ غاليليو) تبيّن أنّ جميع الأجسام قرب سطح الأرض تسقط بالتسارع نفسه، بغضّ النظر عن كتلتها، وهذا التسارع يسمّى تسارع السقوط الحرّ (תאוצת הנפילה החופשית) (تسارع الجاذبية) ويرمز له بالحرف g. قيمته قرب سطح الأرض نحو 9.8 m/s²، وفي هذا الكتاب، كما في الامتحان، نستعمل g = 10 m/s². اتّجاهه دائما نحو الأسفل.

السقوط الحرّ هو إذًا حالة خاصّة من الحركة بتسارع ثابت، وتصلح له المعادلات نفسها. نسمّي المحور العمودي y، ويجب في كلّ مسألة أن نختار الاتّجاه الموجب (نحو الأعلى أو نحو الأسفل) ونكتب إشارة g وفقا له. عندما يُحرَّر جسم من السكون تكون سرعته الابتدائية صفرا:

السقوط الحرّ من السكون (الاتّجاه الموجب نحو الأسفل) · נפילה חופשית ממנוחה

v = g·t

y = 12·g·t²

v² = 2·g·y

الرمز	المعنى	وحدة القياس
g	تسارع السقوط الحرّ، 10 m/s² نحو الأسفل	[m/s²]
y	المسافة التي سقطها الجسم	[m]
v	السرعة بعد زمن t	[m/s]

مخطّط آثار لكرة تسقط سقوطا حرّا: الآثار كلّ ثانية، والمسافات بينها تكبر

يبيّن مخطّط الآثار جوهر السقوط الحرّ: في الثانية الأولى تسقط الكرة 5 m، وفي الثانية الثانية 15 m، وفي الثالثة 25 m. المسافات في الثواني المتتالية تتناسب مع الأعداد 1 : 3 : 5، والمسافة الكلّية تتناسب مع مربّع الزمن: 5 , 20 , 45 m بعد 1 , 2 , 3 s.
السرعة تزداد بمقدار 10 m/s في كلّ ثانية: 10 , 20 , 30 m/s. وكلّ هذا لا يتعلّق بكتلة الجسم: حجر وكرة خشبية يُحرَّران معا من الارتفاع نفسه يصلان إلى الأرض معا (عندما تكون مقاومة الهواء مهملة).

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الجسم الأثقل يسقط أسرع من الجسم الأخفّ. في السقوط الحرّ لا يصحّ هذا: الكتلة لا تظهر في أيّ من معادلات السقوط، وجميع الأجسام تسقط بالتسارع نفسه g — هذا ما بيّنه غاليليو، وما أكّده روّاد الفضاء حين أسقطوا مطرقة وريشة معا على سطح القمر فوصلتا في اللحظة نفسها. الانطباع اليومي بأنّ الورقة تسقط أبطأ من الحجر مصدره مقاومة الهواء، لا الكتلة؛ وعندما تكون المقاومة مهملة يسقط الجميع معا.

مثال 1.16

يُحرَّر حجر من السكون من ارتفاع 45 m. نحسب زمن سقوطه حتى الأرض وسرعته لحظة الارتطام. ماذا يتغيّر إذا كانت كتلة الحجر ضعفين؟

الحل:

نختار الاتّجاه الموجب نحو الأسفل ونقطة الأصل عند نقطة التحرير، فيكون v₀ = 0 و a = g = 10 m/s². عند الأرض y = 45 m:

y = 12·g·t²

45 = 12 · 10 · t²

t² = 9

t = 3 s

v = g·t = 10 · 3 = 30 m/s

فحص بالمعادلة الثالثة: v = 2·g·y = 2 · 10 · 45 = 30 m/s. أمّا الكتلة فلا تظهر في أيّ معادلة: الزمن والسرعة لا يتغيّران.

t = 3 s , v = 30 m/s

سؤال 1.8: سقطت كرة من شرفة ووصلت إلى الأرض بعد 2 s. احسبوا ارتفاع الشرفة وسرعة الكرة لحظة الارتطام. ما هو ارتفاع شرفة يستغرق السقوط منها 4 s؟

القذف العمودي – זריקה אנכית:

القذف العمودي (זריקה אנכית): (الرمي) هو حركة جسم قُذف بسرعة ابتدائية نحو الأعلى أو نحو الأسفل على خطّ عمودي، تحت تأثير الجاذبية وحدها. التسارع طوال الحركة هو g نحو الأسفل — أثناء الصعود، وفي النقطة العليا، وأثناء الهبوط.

كرة قُذفت نحو الأعلى بسرعة 20 m/s، الآثار كلّ ثانية: السرعة (أخضر) تقلّ في الصعود وتزداد في الهبوط، والتسارع (برتقالي) ثابت نحو الأسفل طوال الحركة

نختار عادة الاتّجاه الموجب نحو الأعلى. عندئذٍ a = −g = −10 m/s²، وسرعة القذف نحو الأعلى موجبة، ونحو الأسفل سالبة:

القذف العمودي (الاتّجاه الموجب نحو الأعلى) · זריקה אנכית

v = v₀ − g·t

y = y₀ + v₀·t − 12·g·t²

v² = v₀² − 2·g·(y − y₀)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v₀	سرعة القذف: موجبة نحو الأعلى، سالبة نحو الأسفل	[m/s]
y₀	ارتفاع نقطة القذف	[m]
g	تسارع السقوط الحرّ 10 m/s² (يدخل بإشارة سالبة)	[m/s²]

في النقطة العليا تنعدم السرعة للحظة واحدة (v = 0)، لكنّ التسارع لا ينعدم ويبقى g نحو الأسفل.
زمن الصعود إلى النقطة العليا: من 0 = v₀ − g·t نحصل على t_up = v₀g.
أقصى ارتفاع فوق نقطة القذف: من 0 = v₀² − 2·g·H نحصل على H = v₀²2·g.
الحركة متماثلة: زمن الهبوط إلى ارتفاع القذف يساوي زمن الصعود، ويعود الجسم إلى نقطة القذف بالسرعة نفسها مقدارا وبالاتّجاه المعاكس.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ السرعة صفر تعني تسارعا صفرا، فيستنتجون أنّ تسارع الكرة ينعدم في النقطة العليا. التسارع هو معدّل تغيّر السرعة، لا السرعة نفسها: في النقطة العليا تنعدم السرعة للحظة واحدة لكنّها تستمرّ في التغيّر بمعدّل 10 m/s في كلّ ثانية، فالتسارع هناك هو g نحو الأسفل كما في سائر الحركة. لو انعدم التسارع في القمّة لبقيت الكرة معلّقة هناك ولم تعد أبدا.

مثال 1.17

تُقذف كرة من سطح الأرض نحو الأعلى بسرعة 20 m/s. نحسب:
أ. زمن الصعود إلى النقطة العليا.
ب. أقصى ارتفاع.
ج. زمن الحركة الكلّي حتى العودة إلى الأرض وسرعة الكرة عندئذٍ.
د. نرسم السرعة والموقع كدالّة للزمن.

الحل:

الاتّجاه الموجب نحو الأعلى، نقطة الأصل على الأرض: y₀ = 0 ، v₀ = +20 m/s ، a = −10 m/s².

أ. في النقطة العليا v = 0:

0 = 20 − 10·t

t_up = 2 s

ب. نعوّض في معادلة الموقع (أو في المعادلة الثالثة):

H = 20 · 2 − 12 · 10 · 2² = 20 m

ج. عند العودة إلى الأرض y = 0:

0 = 20·t − 5·t² = t·(20 − 5·t)

t = 0 , t = 4 s

الحلّ t = 0 هو لحظة القذف، والحلّ الثاني هو لحظة العودة. السرعة عندئذٍ:

v = 20 − 10 · 4 = −20 m/s

المقدار نفسه الذي قُذفت به، والإشارة السالبة تعني أنّها تتحرّك نحو الأسفل. زمن الهبوط (2 s) يساوي زمن الصعود.

السرعة كدالّة للزمن: خطّ ميله −g؛ المساحة فوق المحور +H وتحته −H

الموقع كدالّة للزمن: قطع مكافئ قمّته في t = 2 s

t_up = 2 s , H = 20 m , t = 4 s , v = −20 m/s

مثال 1.18

يقف شخص على سطح مبنى ارتفاعه 25 m ويقذف كرة نحو الأعلى بسرعة 20 m/s. نحسب بعد كم من الزمن تصل الكرة إلى الأرض، وبأيّ سرعة ترتطم بها.

الحل:

نقطة الأصل على الأرض والاتّجاه الموجب نحو الأعلى: نقطة القذف في y₀ = h

نقطة الأصل على الأرض، الاتّجاه الموجب نحو الأعلى: y₀ = 25 m ، v₀ = 20 m/s ، a = −10 m/s². عند الأرض y = 0:

0 = 25 + 20·t − 5·t²

t² − 4·t − 5 = 0

(t − 5)·(t + 1) = 0

t = 5 s

الحلّ السالب t = −1 s مرفوض لأنّه قبل القذف. السرعة لحظة الارتطام:

v = 20 − 10 · 5 = −30 m/s

نفحص بالمعادلة الثالثة: v² = 20² − 2 · 10 · (0 − 25) = 900 ، ومنها v = 30 m/s نحو الأسفل — النتيجة نفسها.

t = 5 s , v = −30 m/s

مثال 1.19

يُحرَّر جسم A من السكون من ارتفاع 80 m، وفي اللحظة نفسها يُقذف جسم B من الأرض نحو الأعلى بسرعة 40 m/s على الخطّ العمودي نفسه. نجد متى وعلى أيّ ارتفاع يلتقيان، وسرعة كلّ منهما عندئذٍ.

الحل:

نقطة الأصل على الأرض والاتّجاه الموجب نحو الأعلى؛ الجسمان يتحرّكان بالتسارع نفسه g نحو الأسفل

نقطة الأصل على الأرض، الاتّجاه الموجب نحو الأعلى، والتسارع لكليهما −10 m/s². نكتب دالّة الموقع لكلّ جسم:

y_A(t) = 80 − 5·t²

y_B(t) = 40·t − 5·t²

في لحظة اللقاء يتساوى الموقعان. الحدّ −5·t² مشترك ويُختصر:

80 − 5·t² = 40·t − 5·t²

80 = 40·t

t = 2 s

y = 80 − 5 · 2² = 60 m

السرعتان في لحظة اللقاء:

v_A = 0 − 10 · 2 = −20 m/s

v_B = 40 − 10 · 2 = 20 m/s

الجسم A يهبط بسرعة 20 m/s، والجسم B ما زال يصعد بسرعة 20 m/s. لاحظوا أنّ لحظة اللقاء لا تتعلّق بـ g: الجسمان يسقطان معا بالتسارع نفسه، فالمسافة بينهما تقلّ بمعدّل 40 m/s ثابت.

t = 2 s , y = 60 m

ملاحظة: ليس مهمّا أين نضع نقطة الأصل وأيّ اتّجاه نختار موجبا — المهمّ أن نلتزم بالاختيار حتى نهاية الحلّ: إشارة v₀، إشارة g، وإشارة كلّ موقع تُكتب كلّها حسب الاختيار نفسه.

سؤال 1.9: تُقذف كرة نحو الأسفل بسرعة 5 m/s من ارتفاع 30 m. احسبوا زمن وصولها إلى الأرض وسرعتها عندئذٍ. (اختاروا الاتّجاه الموجب نحو الأسفل.)

▶تجربة حية — الحركة بتسارع ثابت — السقوط الحرّ والقذف العمودينقذف جسما نحو الأعلى أو نحو الأسفل من ارتفاع نختاره، ونتابع الرسوم البيانية الثلاثة والقياسات الحيّة — ونفحص أنّ زمن السقوط لا يتعلّق بالكتلة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#constacc

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#constacc

תנועה בתאוצה משתנה – الحركة بتسارع متغيّر (Motion with Varying Acceleration)

ليس كلّ تسارع ثابتا: سيّارة تنطلق يكون تسارعها كبيرا في البداية ثم يقلّ، وجسم يسقط في الهواء يقلّ تسارعه كلّما كبرت سرعته. عندما يتغيّر التسارع لا يكون الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن خطّا مستقيما بل منحنيا، ونعرّف — تماما كما فعلنا مع السرعة — تسارعا متوسّطا وتسارعا لحظيا.

التسارع المتوسّط (תאוצה ממוצעת): في فترة زمنية هو التغيّر في السرعة في تلك الفترة مقسوما على مدّتها: a_avg = ΔvΔt. في الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن هو ميل الوتر الواصل بين النقطتين عند طرفي الفترة.

التسارع اللحظي (תאוצה רגעית): في لحظة ما هو التسارع المتوسّط في فترة قصيرة جدّا حول تلك اللحظة. في الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن هو ميل المماس للمنحنى عند تلك اللحظة.

التسارع المتوسّط والتسارع اللحظي · תאוצה ממוצעת ורגעית

a_avg = ΔvΔt = v(t₂) − v(t₁)t₂ − t₁

a = ΔvΔt (Δt → 0)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a_avg	التسارع المتوسّط: ميل الوتر في رسم السرعة	[m/s²]
a	التسارع اللحظي: ميل المماس في رسم السرعة	[m/s²]

الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن في حركة بتسارع متغيّر: ميل الوتر هو التسارع المتوسّط بين t₁ و t₂، وميل المماس هو التسارع اللحظي في t₂

عندما يكون التسارع ثابتا يكون منحنى السرعة خطّا مستقيما، فينطبق كلّ مماس على الخطّ نفسه ويتساوى التسارع اللحظي مع المتوسّط في كلّ فترة. أمّا عندما يختلف ميل الوتر عن ميل المماس فهذه علامة أكيدة على أنّ التسارع متغيّر.

مثال 1.20

سرعة جسم مُعطاة بالتعبير v(t) = 2·t² (بوحدات SI). نحسب التسارع المتوسّط بين t = 0 و t = 3 s، ونقدّر التسارع اللحظي في اللحظة t = 3 s.

الحل:

التسارع المتوسّط هو ميل الوتر بين طرفي الفترة:

v(0) = 0

v(3) = 2 · 3² = 18 m/s

a_avg = v(3) − v(0)3 − 0 = 183 = 6 m/s²

التسارع اللحظي في t = 3 s: نحسب التسارع المتوسّط في فترات تبدأ في t = 3 s وتقصر شيئا فشيئا:

Δt بالثواني	Δv = v(3 + Δt) − v(3) بالمتر في الثانية	ΔvΔt بالمتر في الثانية المربّعة
1	14	14
0.1	1.22	12.2
0.01	0.1202	12.02
0.001	0.012002	12.002

a(3) = 12 m/s²

التسارع اللحظي في نهاية الفترة (12 m/s²) أكبر من التسارع المتوسّط فيها (6 m/s²)، لأنّ التسارع هنا يكبر مع الزمن: في بداية الفترة كان صفرا وفي نهايتها 12 m/s²، والمتوسّط بينهما.

a_avg = 6 m/s² , a(3) = 12 m/s²

مثال 1.21

قيست سرعة جسم كلّ ثانية فحصلنا على الجدول التالي. هل التسارع ثابت؟ نحسب التسارع المتوسّط في كلّ ثانية وفي الفترة الكلّية.

الحل:

t بالثواني	0	1	2	3	4
v بالمتر في الثانية	0	1	4	9	16

نحسب التغيّر في السرعة في كلّ ثانية (Δt = 1 s)، فيكون التسارع المتوسّط فيها مساويا عدديا لـ Δv:

الفترة بالثواني	Δv بالمتر في الثانية	a_avg بالمتر في الثانية المربّعة
0 → 1	1	1
1 → 2	3	3
2 → 3	5	5
3 → 4	7	7

التسارع المتوسّط يكبر من ثانية إلى ثانية (1, 3, 5, 7)، إذًا التسارع ليس ثابتا بل يزداد مع الزمن. في الفترة الكلّية:

a_avg = v(4) − v(0)4 − 0 = 164 = 4 m/s²

لو كان التسارع ثابتا لحصلنا على الفرق نفسه في كلّ ثانية، ولكان الرسم البياني للسرعة خطّا مستقيما.

a_avg = 4 m/s²

ملاحظة: في الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن تبقى القاعدة: المساحة تحت المنحنى تساوي الإزاحة، أيّا كان شكل المنحنى. وفي الرسم البياني للتسارع كدالّة للزمن المساحة تحت المنحنى تساوي التغيّر في السرعة Δv.

سؤال 1.10: يبيّن رسم بياني سرعة سيّارة كدالّة للزمن كمنحنٍ يصعد بميل يقلّ تدريجيا حتى يصبح أفقيا. صفوا كيف يتغيّر التسارع اللحظي مع الزمن، وقارنوا بين التسارع المتوسّط في الثانية الأولى والتسارع المتوسّط في الثانية الأخيرة.

▶تجربة حية — التسارع المتوسّط والتسارع اللحظينحرّك المماس على منحنى السرعة ونقارن ميله بميل الوتر، ونبحث عن اللحظة التي يتساوى فيها التسارعان.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avga

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#avga

מושגי יסוד בתנועה במישור – مفاهيم أساسية في الحركة في المستوى (Basic Concepts of Motion in a Plane)

حتى الآن تحرّكت أجسامنا على خطّ مستقيم واحد، فكفى عدد واحد (مع إشارته) لوصف الموقع والإزاحة والسرعة. لكنّ كرة مقذوفة بزاوية، أو سيّارة في منعطف، تتحرّك في مستوى، ولا يكفي عدد واحد لوصف موقعها. نحتاج هنا إلى محورين وإلى أداة رياضية جديدة: المتّجه.

الموقع والإزاحة في المستوى – מקום והעתק במישור:

نثبّت في منظومة الإسناد محورين متعامدين x و y يتقاطعان في نقطة الأصل. موقع الجسم يُحدَّد بزوج من الإحداثيّات (x, y)، أو — وهذا أنسب للفيزياء — بسهم يبدأ في نقطة الأصل وينتهي عند الجسم، يسمّى متّجه الموقع r.

جسم يتحرّك في المستوى على مسار منحنٍ من A إلى B: متّجه الإزاحة Δr هو السهم المستقيم من A إلى B، ومركّبتاه هما Δx و Δy

الإزاحة في المستوى (העתק במישור): هي السهم الذي يبدأ في الموقع الابتدائي A وينتهي في الموقع النهائي B، ويرمز له Δr. مركّبتاه على المحورين هما Δx = x₂ − x₁ و Δy = y₂ − y₁، ومقداره — المسافة بين A و B — يُحسب بمبرهنة فيثاغورس. كما في الخطّ المستقيم، الإزاحة لا تتعلّق بشكل المسار، بينما الطريق المقطوع هو طول المسار نفسه.

مقدار الإزاحة في المستوى واتّجاهها · גודל ההעתק וכיוונו

Δr = Δx² + Δy²

tan θ = ΔyΔx

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Δr	مقدار الإزاحة (المسافة بين الموقعين)	[m]
Δx , Δy	مركّبتا الإزاحة على المحورين	[m]
θ	الزاوية بين الإزاحة والمحور x	[°]

مثال 1.22

يمشي شخص 6 km نحو الشرق ثم 8 km نحو الشمال. نحسب مقدار إزاحته الكلّية واتّجاهها، والطريق الذي قطعه.

الحل:

نختار المحور x نحو الشرق والمحور y نحو الشمال. القطعة الأولى تساهم في Δx فقط والثانية في Δy فقط:

Δx = 6 km

Δy = 8 km

Δr = 6² + 8² = 100 = 10 km

الاتّجاه — الزاوية عن اتّجاه الشرق:

tan θ = ΔyΔx = 86

θ = 53.1°

الطريق المقطوع هو مجموع طولي القطعتين:

s = 6 + 8 = 14 km

الإزاحة (10 km) أقصر من الطريق (14 km) لأنّها تقيس الخطّ المستقيم بين البداية والنهاية فقط.

Δr = 10 km , θ = 53.1° , s = 14 km

سؤال 1.11: تسير سيّارة 3 km نحو الغرب ثم 4 km نحو الجنوب. احسبوا مقدار إزاحتها، والطريق المقطوع. هل يتغيّر الجواب لو سارت أوّلا نحو الجنوب ثم نحو الغرب؟

וקטורים – المتّجهات (Vectors)

المتّجه: المقدار والاتّجاه – וקטור: גודל וכיוון:

المتّجه (וקטור): هو مقدار فيزيائي يُحدَّد بـمقدار (גודל) واتّجاه (כיוון) معا، مثل الإزاحة والسرعة والتسارع والقوّة. نرسم المتّجه كسهم: طوله يمثّل المقدار، واتّجاهه يمثّل الاتّجاه. نرمز للمتّجه بحرف فوقه سهم، A، ولمقداره بالحرف نفسه من دون سهم، A. أمّا المقدار الذي يُحدَّد بعدد فقط — مثل الزمن والكتلة والطريق المقطوع — فيسمّى مقدارا قياسيا.

متّجه: الطول هو المقدار، والزاوية θ مع المحور تحدّد الاتّجاه

المتّجه لا يتعلّق بمكان رسمه: سهمان متوازيان، لهما الطول نفسه والاتّجاه نفسه، يمثّلان المتّجه نفسه حتى لو رُسما في مكانين مختلفين من الصفحة. هذه الخاصّية تسمح لنا بنقل المتّجهات بحرّية عند جمعها هندسيا.
نحدّد اتّجاه المتّجه بالزاوية التي يصنعها مع اتّجاه مرجعي متّفق عليه، عادة المحور x الموجب، وتُقاس الزاوية بعكس اتّجاه عقارب الساعة.

مقادير متّجهة	مقادير قياسية
الإزاحة Δr، السرعة v، التسارع a، القوّة F	الزمن t، الكتلة m، الطريق المقطوع s، المسافة d، الطاقة E

الجمع الهندسي للمتّجهات – חיבור גאומטרי של וקטורים:

إذا أزيح جسم أوّلا بالإزاحة A ثم بالإزاحة B، فإزاحته الكلّية هي السهم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. هذا هو تعريف مجموع متّجهين، ويسمّى المتّجه المحصّل (וקטור שקול) R = A + B. هناك طريقتان هندسيتان متكافئتان لرسمه:

طريقة المثلّث: نضع ذيل B على رأس A؛ المحصّل من ذيل A إلى رأس B

طريقة متوازي الأضلاع: المتّجهان من نقطة واحدة؛ المحصّل هو القطر

طريقة المثلّث: ننقل B بحيث يلامس ذيله رأس A. المحصّل يمتدّ من ذيل A حتى رأس B.
طريقة متوازي الأضلاع: نرسم المتّجهين من نقطة واحدة، ونكمل متوازي الأضلاع. المحصّل هو القطر الخارج من النقطة المشتركة.
الجمع تبديلي: A + B = B + A، ويمكن جمع أكثر من متّجهين بوضعها ذيلا إلى رأس واحدا بعد الآخر.
مقدار المحصّل ليس مجموع المقدارين إلّا إذا كان المتّجهان في الاتّجاه نفسه. إذا كانا متعاكسين فمقدار المحصّل هو فرق المقدارين.

متّجهات خاصّة: التساوي، متّجه الصفر، المتّجه المعاكس – וקטורים שווים, וקטור האפס, וקטור נגדי:

متّجهان متساويان (المقدار نفسه والاتّجاه نفسه)، ومتّجه ومعاكسه

متّجهان متساويان: لهما المقدار نفسه والاتّجاه نفسه، A = B، مهما كان موضع رسمهما.
المتّجه المعاكس (וקטור נגדי) −A: له مقدار A نفسه والاتّجاه المعاكس تماما.
متّجه الصفر (וקטור האפס) 0: مقداره صفر وليس له اتّجاه. مجموع متّجه ومعاكسه هو متّجه الصفر: A + (−A) = 0. جسم عاد إلى نقطة بدايته إزاحته هي متّجه الصفر.

الطرح الهندسي للمتّجهات – חיסור גאומטרי:

الطرح: A − B = A + (−B)؛ أو مباشرة: السهم من رأس B إلى رأس A

طرح متّجه هو جمع معاكسه: A − B = A + (−B). نرسم −B (مقلوب الاتّجاه) ونضيفه إلى A بطريقة المثلّث.
هناك طريقة أسرع: نرسم A و B من نقطة واحدة؛ المتّجه A − B هو السهم الذي يبدأ عند رأس B وينتهي عند رأس A. سنستعمل هذه الطريقة كثيرا لحساب التغيّر في السرعة Δv = v₂ − v₁: نرسم السرعتين من نقطة واحدة، و Δv يمتدّ من رأس v₁ إلى رأس v₂.

مركّبات المتّجه والجمع الجبري – רכיבים וחיבור אלגברי:

الرسم الهندسي يعطي الاتّجاه الصحيح لكنّه غير دقيق في المقدار. الطريقة الدقيقة هي تحليل كلّ متّجه إلى مركّبتين على محورين متعامدين، ثم التعامل مع كلّ محور على حدة بأعداد عادية.

تحليل المتّجه A إلى مركّبتيه: A_x على المحور x و A_y على المحور y

مركّبة المتّجه على محور هي إسقاطه على ذلك المحور، وتحمل إشارة: موجبة إذا أشار الإسقاط في الاتّجاه الموجب للمحور، وسالبة إذا أشار في الاتّجاه السالب. من المثلّث القائم في الشكل نحصل على المركّبتين من المقدار والزاوية، وبالعكس: من المركّبتين نحصل على المقدار (مبرهنة فيثاغورس) وعلى الزاوية (الظلّ).

مركّبات المتّجه · רכיבי וקטור

A_x = A·cos θ

A_y = A·sin θ

A = A_x² + A_y²

tan θ = A_yA_x

الرمز	المعنى	وحدة القياس
A	مقدار المتّجه	—
θ	الزاوية بين المتّجه والمحور x الموجب	[°]
A_x , A_y	المركّبتان على المحورين (تحملان إشارة)	—

الجمع الجبري. لجمع متّجهين نجمع مركّباتهما على كلّ محور على حدة: مركّبة المحصّل على x هي مجموع المركّبتين على x، ومثلها على y. ثم نركّب مقدار المحصّل وزاويته من مركّبتيه. والطرح مثله تماما، بطرح المركّبات.

الجمع الجبري للمتّجهات · חיבור אלגברי

R_x = A_x + B_x

R_y = A_y + B_y

R = R_x² + R_y²

tan θ = R_yR_x

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_x , R_y	مركّبتا المحصّل	—
R	مقدار المحصّل	—
θ	زاوية المحصّل مع المحور x	[°]

مثال 1.23

متّجه مقداره 10 وحدات يصنع زاوية 30° مع المحور x الموجب. نحسب مركّبتيه، ثم نتحقّق من أنّهما تعيدان المقدار.

الحل:

A_x = A·cos θ = 10 · cos 30° = 8.66

A_y = A·sin θ = 10 · sin 30° = 5

الفحص بمبرهنة فيثاغورس:

A = A_x² + A_y² = 8.66² + 5² = 10

A_x = 8.66 , A_y = 5

مثال 1.24

متّجهان مقدار كلّ منهما 5 وحدات: A على المحور x الموجب، و B يصنع زاوية 120° مع المحور x الموجب. نحسب مقدار المحصّل R = A + B واتّجاهه، ونقارن مع الرسم الهندسي.

الحل:

نحلّل كلّ متّجه إلى مركّباته. الزاوية 120° في الربع الثاني، فمركّبة B على x سالبة:

A_x = 5 , A_y = 0

B_x = 5 · cos 120° = −2.5

B_y = 5 · sin 120° = 4.33

R_x = A_x + B_x = 5 + (−2.5) = 2.5

R_y = A_y + B_y = 0 + 4.33 = 4.33

R = 2.5² + 4.33² = 5

tan θ = 4.332.5

θ = 60°

مقدار المحصّل (5) أصغر من مجموع المقدارين (10) لأنّ المتّجهين ليسا في الاتّجاه نفسه. هندسيا: المتّجهان والمحصّل يشكّلون مثلّثا متساوي الأضلاع، فالمحصّل ينصّف الزاوية بينهما.

R = 5 , θ = 60°

مثال 1.25

يمشي متنزّه 4 km نحو الشرق، ثم 3 km نحو الشمال، ثم 4 km نحو الغرب. نحسب إزاحته الكلّية بجمع المركّبات، والطريق الذي قطعه.

الحل:

المحور x نحو الشرق والمحور y نحو الشمال. نكتب مركّبتي كلّ إزاحة (الغرب هو الاتّجاه السالب للمحور x):

الإزاحة	المركّبة x بالكيلومتر	المركّبة y بالكيلومتر
الأولى (شرقا)	4	0
الثانية (شمالا)	0	3
الثالثة (غربا)	−4	0
المجموع	0	3

R_x = 4 + 0 − 4 = 0

R_y = 0 + 3 + 0 = 3

R = 0² + 3² = 3 km

الإزاحة الكلّية 3 km نحو الشمال تماما: الإزاحتان الأولى والثالثة متعاكستان فتلغي إحداهما الأخرى. أمّا الطريق المقطوع فهو مجموع الأطوال:

s = 4 + 3 + 4 = 11 km

R = 3 km , s = 11 km

ضرب المتّجه بعدد قياسي – כפל וקטור בסקלר:

ضرب المتّجه A بعدد قياسي: 2A ضعف الطول في الاتّجاه نفسه؛ 0.5A نصف الطول؛ −A الطول نفسه في الاتّجاه المعاكس

ضرب المتّجه A بعدد قياسي k يعطي متّجها مقداره |k|·A: إذا كان k موجبا يبقى الاتّجاه كما هو، وإذا كان سالبا ينقلب الاتّجاه. كلّ مركّبة تُضرب في k. أمثلة فيزيائية: p = m·v (كمّيّة الحركة في الفصل السادس) في اتّجاه السرعة لأنّ الكتلة موجبة؛ و F = m·a في اتّجاه التسارع.

سؤال 1.12: متّجه A مقداره 8 وحدات على المحور x الموجب، ومتّجه B مقداره 6 وحدات على المحور y الموجب. احسبوا مقدار واتّجاه كلّ من: A + B ، A − B ، 2A.

▶تجربة حية — المتّجهات — الجمع والطرح والمركّباتنغيّر مقدار كلّ متّجه وزاويته، نعرض البناء بطريقة المثلّث وبطريقة متوازي الأضلاع، ونقرأ المركّبات والمحصّل — ونبحث عن الزاوية التي يبلغ فيها المحصّل قيمته العظمى والصغرى.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#vectors

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#vectors

המהירות והתאוצה בתנועה במישור – السرعة والتسارع في الحركة في المستوى (Velocity and Acceleration in Plane Motion)

السرعة كمتّجه – המהירות כווקטור:

في المستوى تكون السرعة متّجها: متّجه السرعة المتوسّطة في فترة زمنية هو متّجه الإزاحة مقسوما على الفترة، ويتّجه في اتّجاه الإزاحة. وعندما نقصّر الفترة أكثر فأكثر يقترب متّجه الإزاحة من اتّجاه المسار نفسه عند تلك النقطة، فنحصل على متّجه السرعة اللحظية.

السرعة اللحظية في المستوى (מהירות רגעית במישור): هي متّجه مقداره مقدار السرعة (ما يُظهره عدّاد السرعة) واتّجاهه مماسّ للمسار عند موقع الجسم، في اتّجاه الحركة. جسم يتحرّك على مسار منحنٍ يغيّر اتّجاه سرعته باستمرار، حتى لو بقي مقدار سرعته ثابتا.

جسم على مسار منحنٍ: متّجه السرعة في كلّ نقطة مماسّ للمسار. متّجه الإزاحة Δr بين P₁ و P₂ يحدّد اتّجاه السرعة المتوسّطة

السرعة المتوسّطة والسرعة اللحظية في المستوى · מהירות ממוצעת ורגעית במישור

v_avg = ΔrΔt

v = ΔrΔt (Δt → 0)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Δr	متّجه الإزاحة في الفترة Δt	[m]
v_avg	متّجه السرعة المتوسّطة: في اتّجاه الإزاحة	[m/s]
v	متّجه السرعة اللحظية: مماسّ للمسار	[m/s]

التسارع كمتّجه – התאוצה כווקטור:

التسارع في المستوى (תאוצה במישור): هو متّجه التغيّر في السرعة مقسوما على الزمن: a = ΔvΔt، حيث Δv = v₂ − v₁ هو الفرق الهندسي بين متّجهي السرعة. التسارع يتّجه في اتّجاه Δv — وليس بالضرورة في اتّجاه السرعة. للجسم تسارع كلّما تغيّر متّجه سرعته: في المقدار، أو في الاتّجاه، أو في كليهما.

حركة بمقدار سرعة ثابت على مسار منحنٍ: نرسم v₁ و v₂ من نقطة واحدة؛ Δv يمتدّ من رأس v₁ إلى رأس v₂ ويتّجه نحو داخل المنعطف — وهذا هو اتّجاه التسارع

اتّجاه التسارع في الحركة المنتظمة على مسار منحنٍ – כיוון התאוצה בתנועה קצובה על מסלול עקום:

مقدار السرعة ثابت: التسارع عمودي على السرعة ويتّجه نحو مركز الانحناء

عندما يتحرّك جسم على مسار منحنٍ بمقدار سرعة ثابت، يكون للمتّجهين v₁ و v₂ الطول نفسه، فيشكّلان مع Δv مثلّثا متساوي الساقين. كلّما قصّرنا الفترة الزمنية اقتربت الزاوية بين Δv والسرعة من 90°: التسارع عمودي على السرعة، ويتّجه نحو الجهة المقعّرة من المسار، أي نحو مركز الانحناء (מרכז העקמומיות) C.
هذه نتيجة مهمّة: السرعة الثابتة في مقدارها لا تعني تسارعا صفريا. سيّارة تسير في منعطف بسرعة ثابتة لها تسارع — وهو ما نشعر به عندما نُدفع نحو الخارج.

المركّبة المماسّية والمركّبة الراديالية للتسارع – רכיב משיקי ורכיב רדיאלי:

في الحالة العامّة يتغيّر مقدار السرعة واتّجاهها معا، ومن المفيد تحليل متّجه التسارع إلى مركّبتين متعامدتين:

جسم عند النقطة P على مسار منحنٍ: السرعة مماسّية، والتسارع a (أحمر) محلَّل إلى مركّبة مماسّية a_t بمحاذاة السرعة ومركّبة راديالية a_r نحو مركز الانحناء C

المركّبة المماسّية للتسارع (רכיב משיקי של התאוצה): a_t هي مركّبة التسارع على مماسّ المسار (بمحاذاة السرعة). هي وحدها المسؤولة عن تغيّر مقدار السرعة: إذا كانت في اتّجاه السرعة يزداد مقدارها، وإذا كانت معاكسة يقلّ، وإذا انعدمت بقي مقدار السرعة ثابتا.

المركّبة الراديالية للتسارع (רכיב רדיאלי של התאוצה): (المركزية، القُطرية) a_r هي مركّبة التسارع العمودية على المماس، وتتّجه دائما نحو مركز الانحناء. هي وحدها المسؤولة عن تغيّر اتّجاه السرعة. في الحركة على خطّ مستقيم تنعدم المركّبة الراديالية، وفي الحركة بمقدار سرعة ثابت على مسار منحنٍ تنعدم المركّبة المماسّية.

مركّبتا التسارع · רכיבי התאוצה

a = a_t² + a_r²

tan φ = a_ra_t

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a_t	المركّبة المماسّية: تغيّر مقدار السرعة	[m/s²]
a_r	المركّبة الراديالية: تغيّر اتّجاه السرعة	[m/s²]
a	مقدار التسارع الكلّي	[m/s²]
φ	الزاوية بين التسارع والمماس	[°]

ملاحظة: سنتعلّم في الفصل الخامس (الحركة الدائرية) أنّ مقدار المركّبة الراديالية يساوي a_r = v²r، حيث r نصف قطر الانحناء. هنا يكفينا فهم الاتّجاه: نحو المركز، عموديا على السرعة.

الحركة	المركّبة المماسّية a_t	المركّبة الراديالية a_r
حركة منتظمة على خطّ مستقيم	صفر	صفر
حركة بتسارع على خطّ مستقيم	لا تنعدم	صفر
حركة بمقدار سرعة ثابت على مسار منحنٍ	صفر	لا تنعدم (نحو المركز)
حركة بمقدار سرعة متغيّر على مسار منحنٍ	لا تنعدم	لا تنعدم

مثال 1.26

تدخل سيّارة منعطفا وهي تُسرع. في لحظة ما مركّبة تسارعها المماسّية 3 m/s² ومركّبتها الراديالية 4 m/s². نحسب مقدار تسارعها والزاوية بين متّجه التسارع واتّجاه السرعة. ماذا يتغيّر إذا كانت السيّارة تكبح بالمركّبة المماسّية نفسها؟

الحل:

المركّبتان متعامدتان، فمقدار التسارع من مبرهنة فيثاغورس:

a = a_t² + a_r² = 3² + 4² = 5 m/s²

tan φ = a_ra_t = 43

φ = 53.1°

إذا كبحت السيّارة انقلبت المركّبة المماسّية إلى الاتّجاه المعاكس للسرعة. مقدار التسارع لا يتغيّر (5 m/s²)، لكنّ متّجه التسارع يميل الآن إلى الخلف: الزاوية بينه وبين السرعة تصبح 126.9°.

a = 5 m/s² , φ = 53.1°

مثال 1.27

تسير سيّارة بسرعة 10 m/s نحو الشرق، وبعد 5 s تسير بسرعة 10 m/s نحو الشمال. نحسب مقدار متّجه تسارعها المتوسّط واتّجاهه.

الحل:

مقدار السرعة لم يتغيّر، لكنّ اتّجاهها تغيّر، فهناك تسارع. نرسم السرعتين من نقطة واحدة: v₁ نحو الشرق و v₂ نحو الشمال. المتّجه Δv يمتدّ من رأس v₁ إلى رأس v₂، ومركّبتاه:

Δv_x = v_2x − v_1x = 0 − 10 = −10 m/s

Δv_y = v_2y − v_1y = 10 − 0 = 10 m/s

Δv = 10² + 10² = 14.14 m/s

a_avg = ΔvΔt = 14.145 = 2.83 m/s²

اتّجاه التسارع المتوسّط هو اتّجاه Δv: نحو الشمال الغربي (زاوية 135° عن اتّجاه الشرق) — أي نحو داخل المنعطف، كما توقّعنا.

a_avg = 2.83 m/s² , θ = 135°

مثال 1.28

تسير سيّارة على ربع دائرة نصف قطرها 100 m من النقطة A إلى النقطة B خلال 10 s. نحسب مقدار الإزاحة، مقدار متّجه السرعة المتوسّطة واتّجاهه، والطريق المقطوع، ومتوسّط مقدار السرعة.

الحل:

ربع دائرة: الإزاحة هي الوتر AB وليست القوس

الإزاحة هي السهم المستقيم من A إلى B، وهو وتر المثلّث القائم الذي ضلعاه r و r:

Δr = r² + r² = 100² + 100² = 141.4 m

متّجه السرعة المتوسّطة في اتّجاه الإزاحة (يصنع زاوية 45° مع نصف القطر CA)، ومقداره:

v_avg = ΔrΔt = 141.410 = 14.14 m/s

الطريق المقطوع هو طول القوس — ربع محيط الدائرة — ومتوسّط مقدار السرعة هو الطريق مقسوما على الزمن:

s = 2π·r4 = 2π · 1004 = 157.1 m

sΔt = 157.110 = 15.71 m/s

متوسّط مقدار السرعة (15.71 m/s) أكبر من مقدار السرعة المتوسّطة (14.14 m/s)، لأنّ القوس أطول من الوتر.

Δr = 141.4 m , v_avg = 14.14 m/s , s = 157.1 m

سؤال 1.13: يتحرّك جسم على مسار دائري بمقدار سرعة ثابت 4 m/s.
أ. هل للجسم تسارع؟
ب. ما هي مركّبته المماسّية؟
ج. ما اتّجاه تسارعه؟
د. إذا بدأ الجسم يُبطئ، في أيّ اتّجاه تكون مركّبته المماسّية؟

▶تجربة حية — السرعة والتسارع في المستوى — المركّبة المماسّية والمركّبة الرادياليةنغيّر نصف قطر المنعطف والسرعة والمركّبة المماسّية، ونراقب متّجه التسارع ومركّبتيه — ونفحص ما يحدث عندما تنعدم المركّبة المماسّية.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#plane

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_kinematics#plane

أهمّ أفكار الفصل:

وصف الحركة يبدأ باختيار منظومة إسناد ومحور موقع: نقطة أصل، اتّجاه موجب ووحدة قياس — والفيزياء كلّها مبنيّة على فروق المواقع، لا على المواقع نفسها.
الإزاحة تتعلّق بنقطتي البداية والنهاية فقط، أمّا الطريق المقطوع فيتعلّق بالمسار كلّه؛ ولا يتساويان إلّا عندما يتحرّك الجسم في اتّجاه واحد من دون عودة.
الحركة الواحدة تُوصف بأربع طرق متكافئة — جدول، رسم بياني، تعبير رياضي ومخطّط آثار — والمهارة الأساسية هي الانتقال الحرّ بينها.
في الرسم البياني للموقع: ميل الوتر هو السرعة المتوسّطة وميل المماس هو السرعة اللحظية؛ وفي الرسم البياني للسرعة: الميل هو التسارع، والمساحة المحصورة مع محور الزمن هي الإزاحة.
إشارة التسارع وحدها لا تقول إن كان الجسم يُسرع أم يُبطئ: المقارنة بين إشارة السرعة وإشارة التسارع هي التي تقرّر.
السقوط الحرّ والقذف العمودي حركة بتسارع ثابت g = 10 m/s² نحو الأسفل: لا يتعلّق بكتلة الجسم، ولا ينعدم في النقطة العليا.
المتّجه يُحدَّد بمقدار واتّجاه معا: نجمعه ونطرحه هندسيا (المثلّث ومتوازي الأضلاع)، وبدقّة عبر المركّبات على محورين متعامدين.
على مسار منحنٍ تكون السرعة مماسّية للمسار دائما؛ المركّبة المماسّية للتسارع تغيّر مقدار السرعة، والمركّبة الراديالية تغيّر اتّجاهها وتتّجه نحو مركز الانحناء.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
الإزاحة، المسافة والطريق المقطوع	Δx = x₂ − x₁ , d = \|Δx\| , s = \|Δx₁\| + \|Δx₂\| + ...
الحركة المنتظمة	v = ΔxΔt , x(t) = x₀ + v·t
السرعة المتوسّطة	v_avg = Δx_totalΔt_total
السرعة اللحظية (ميل المماس)	v = ΔxΔt (Δt → 0)
التسارع	a = ΔvΔt , v(t) = v₀ + a·t
الموقع في الحركة بتسارع ثابت	x = x₀ + v₀·t + 12·a·t²
معادلة بلا زمن	v² = v₀² + 2·a·Δx
الإزاحة في الحركة بتسارع ثابت	Δx = v₀·t + 12·a·t² = v₀ + v2·t
السقوط الحرّ من السكون	v = g·t , y = 12·g·t² , g = 10 m/s²
القذف العمودي (الموجب نحو الأعلى)	v = v₀ − g·t , y = y₀ + v₀·t − 12·g·t²
أقصى ارتفاع وزمن الصعود	H = v₀²2·g , t_up = v₀g
مركّبات المتّجه	A_x = A·cos θ , A_y = A·sin θ , A = A_x² + A_y²
الجمع الجبري	R_x = A_x + B_x , R_y = A_y + B_y
مركّبتا التسارع	a = a_t² + a_r²

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
علم الحركة (الكينماتيكا)	קינמטיקה	Kinematics
منظومة الإسناد (الإطار المرجعي)	מערכת ייחוס	Frame of reference
محور الموقع	ציר מקום	Position axis
الموقع	מקום	Position
الإزاحة	העתק	Displacement
المسافة	מרחק	Distance
الطريق المقطوع	דרך	Path length
مخطّط الآثار	תרשים עקבות	Motion diagram
الحركة المنتظمة	תנועה קצובה	Uniform motion
السرعة	מהירות	Velocity
السرعة المتوسّطة	מהירות ממוצעת	Average velocity
السرعة اللحظية	מהירות רגעית	Instantaneous velocity
الميل	שיפוע	Slope
الوتر	מיתר	Chord (secant)
المماس	משיק	Tangent
التسارع	תאוצה	Acceleration
التسارع المتوسّط / اللحظي	תאוצה ממוצעת / רגעית	Average / instantaneous acceleration
الحركة بتسارع ثابت (المتسارعة بانتظام)	תנועה בתאוצה קבועה	Uniformly accelerated motion
السقوط الحرّ	נפילה חופשית	Free fall
تسارع السقوط الحرّ (تسارع الجاذبية)	תאוצת הנפילה החופשית	Free-fall acceleration
القذف العمودي (الرمي)	זריקה אנכית	Vertical projection
المتّجه	וקטור	Vector
المقدار القياسي	סקלר	Scalar
المقدار · الاتّجاه	גודל · כיוון	Magnitude · direction
المتّجه المحصّل	וקטור שקול	Resultant vector
المتّجه المعاكس	וקטור נגדי	Opposite vector
متّجه الصفر	וקטור האפס	Zero vector
المركّبة	רכיב	Component
المركّبة المماسّية	רכיב משיקי	Tangential component
المركّبة الراديالية (المركزية)	רכיב רדיאלי	Radial (centripetal) component
مركز الانحناء	מרכז העקמומיות	Center of curvature

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 1.1) حوّلوا:
أ. 90 km/h إلى متر في الثانية.
ب. 12 m/s إلى كيلومتر في الساعة.
ج. 2.5 min إلى ثوانٍ.

الإجابات: 25 m/s ، 43.2 km/h ، 150 s

(للبند 1.1) يتحرّك جسم على محور الموقع من x = 3 m إلى x = −5 m ثم إلى x = 4 m. احسبوا الإزاحة الكلّية، المسافة بين نقطة البداية والنهاية، والطريق المقطوع.

الإجابات: Δx = 1 m ، d = 1 m ، s = 17 m

(للبند 1.2) سُجّلت مواقع جسم كلّ ثانيتين: x = 4, 9, 14, 19 m في t = 0, 2, 4, 6 s. ما نوع الحركة؟ اكتبوا x(t) واحسبوا الموقع في t = 12 s واللحظة التي يكون فيها x = 29 m.

الإجابات: منتظمة؛ x(t) = 4 + 2.5·t ، x(12) = 34 m ، t = 10 s

(للبند 1.2) في مخطّط آثار سُجّلت مواقع جسم كلّ ثانية: x = 1, 4, 7, 10, 13 m في t = 0, 1, 2, 3, 4 s. ما نوع الحركة؟ اكتبوا التعبير الرياضي x(t) واحسبوا موقع الجسم في اللحظة t = 7 s.

الإجابات: منتظمة؛ x(t) = 1 + 3·t ، x(7) = 22 m

(للبند 1.3) الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن لجسم ما هو خطّ مستقيم يمرّ بالنقطتين (0, 6 m) و (3 s, 0). احسبوا سرعة الجسم، اكتبوا x(t)، واحسبوا موقعه في اللحظة t = 5 s.

الإجابات: v = −2 m/s ، x(t) = 6 − 2·t ، x(5) = −4 m

(للبند 1.3) يسافر راكب درّاجة 100 km بسرعة 50 km/h ثم يعود في الطريق نفسه بسرعة 100 km/h. احسبوا السرعة المتوسّطة في الرحلة كلّها، ومتوسّط مقدار السرعة (الطريق على الزمن).

الإجابات: v_avg = 0 ؛ sΔt = 66.7 km/h

(للبند 1.5) موقع جسم مُعطى بالتعبير x(t) = 3·t² (بوحدات SI). احسبوا السرعة المتوسّطة بين t = 1 s و t = 2 s. قدّروا السرعة اللحظية في t = 2 s بحساب السرعة المتوسّطة في الفترات Δt = 0.1 s و Δt = 0.01 s التي تبدأ في t = 2 s.

الإجابات: v_avg = 9 m/s ؛ 12.3 m/s ، 12.03 m/s → v(2) = 12 m/s

(للبند 1.6) ينطلق جسم بسرعة 5 m/s ويتسارع بتسارع ثابت 3 m/s² في اتّجاه حركته. احسبوا سرعته وإزاحته بعد 4 s، والمسافة التي يقطعها في الثانية الرابعة وحدها.

الإجابات: v = 17 m/s ، Δx = 44 m ؛ في الثانية الرابعة 15.5 m

(للبند 1.6) يُحرَّر حجر من السكون من ارتفاع 20 m.
أ. احسبوا زمن سقوطه وسرعة ارتطامه بالأرض.
ب. يُقذف حجر ثانٍ من الارتفاع نفسه نحو الأسفل بسرعة 15 m/s؛ احسبوا زمن سقوطه وسرعة ارتطامه.

الإجابات: أ. t = 2 s ، v = 20 m/s ؛ ب. t = 1 s ، v = 25 m/s

10.

(للبند 1.7) قيست سرعة جسم كلّ ثانية: v = 1, 2, 5, 10, 17 m/s في t = 0, 1, 2, 3, 4 s. هل التسارع ثابت؟ احسبوا التسارع المتوسّط في كلّ ثانية من الثواني الأربع، وفي الفترة الكلّية.

الإجابات: ليس ثابتا؛ a_avg = 1, 3, 5, 7 m/s² في الثواني المتتالية، و 4 m/s² في الفترة الكلّية

11.

(للبند 1.8) يمشي شخص 9 km نحو الشرق ثم 12 km نحو الشمال. احسبوا مقدار إزاحته الكلّية والزاوية التي تصنعها مع اتّجاه الشرق، والطريق الذي قطعه.

الإجابات: Δr = 15 km بزاوية 53.1° ؛ s = 21 km

12.

(للبند 1.9) تجدّف قاربا بسرعة 12 m/s نحو الشرق في نهر يجري نحو الشمال بسرعة 5 m/s، فتكون سرعة القارب بالنسبة إلى الشاطئ مجموع المتّجهين. احسبوا مقدار هذه السرعة والزاوية التي تصنعها مع اتّجاه الشرق، بالرسم الهندسي وبالمركّبات.

الإجابات: v = 13 m/s بزاوية 22.6° شمال الشرق

13.

(للبند 1.10) تسير درّاجة نارية في منعطف وهي تُسرع. في لحظة ما مركّبة تسارعها المماسّية 6 m/s² ومركّبتها الراديالية 8 m/s². احسبوا مقدار التسارع والزاوية بينه وبين السرعة. ما الذي يتغيّر في مركّبتي التسارع إذا تحرّكت الدرّاجة في المنعطف نفسه بالسرعة نفسها من دون أن تُسرع؟

الإجابات: a = 10 m/s² ، φ = 53.1° ؛ تنعدم المركّبة المماسّية وتبقى الراديالية 8 m/s²

تمارين تلخيصية:

تنطلق سيّارة من نقطة الأصل بسرعة 15 m/s، وفي اللحظة نفسها تنطلق نحوها سيّارة ثانية من الموقع x = 300 m بسرعة مقدارها 10 m/s. اكتبوا دالّة الموقع لكلّ سيّارة، واحسبوا متى وأين تلتقيان. ارسموا الرسم البياني للموقع كدالّة للزمن للسيّارتين.

الإجابات: x₁ = 15·t ، x₂ = 300 − 10·t ؛ t = 12 s ، x = 180 m

يصف الرسم البياني موقع جسم كدالّة للزمن. احسبوا السرعة في كلّ مقطع، الإزاحة الكلّية، الطريق المقطوع، والسرعة المتوسّطة في الثواني العشر.

الإجابات: v₁ = 3 m/s ، v₂ = 0 ، v₃ = −3 m/s ؛ Δx = 0 ، s = 24 m ، v_avg = 0

يصف الرسم البياني سرعة جسم كدالّة للزمن خلال 11 s. احسبوا التسارع في كلّ مقطع من المقاطع الأربعة، الإزاحة الكلّية، الطريق المقطوع، والسرعة المتوسّطة في الحركة كلّها. في أيّ لحظة يغيّر الجسم اتّجاه حركته؟

الإجابات: a = 0 , −4 , −2 , 0 m/s² ؛ Δx = 33 m ، s = 75 m ، v_avg = 3 m/s ؛ في t = 6 s

يسير قطار بسرعة 30 m/s ويبدأ بالكبح بتسارع ثابت حتى يتوقّف بعد 150 m. احسبوا تسارعه وزمن الكبح، وسرعته بعد أن قطع نصف مسافة الكبح.

الإجابات: a = −3 m/s² ، t = 10 s ؛ v = 21.2 m/s

يصف الرسم البياني سرعة جسم كدالّة للزمن. احسبوا التسارع في كلّ مقطع والإزاحة الكلّية، وارسموا التسارع والموقع كدالّة للزمن.

الإجابات: a₁ = 2 m/s² ، a₂ = 0 ، a₃ = −4 m/s² ؛ Δx = 72 m

تُقذف كرة من سطح الأرض نحو الأعلى بسرعة 30 m/s. احسبوا زمن الصعود، أقصى ارتفاع، زمن الحركة الكلّي، واللحظتين اللتين تكون فيهما الكرة على ارتفاع 25 m.

الإجابات: t_up = 3 s ، H = 45 m ، t = 6 s ؛ t = 1 s و t = 5 s

تمارين تعمّق:

(*) تسقط كرة سقوطا حرّا من السكون، فتمرّ أمام نافذة ارتفاعها 2 m خلال 0.2 s. احسبوا سرعة الكرة عند الحافّة العليا للنافذة، والارتفاع الذي حُرِّرت منه الكرة فوق هذه الحافّة.

الإجابات: v = 9 m/s ؛ حُرِّرت من ارتفاع 4.05 m فوق الحافّة العليا

(*) يسقط جسم سقوطا حرّا من السكون، فيقطع في الثانية الأخيرة من سقوطه نصف الارتفاع الكلّي بالضبط. احسبوا زمن السقوط الكلّي والارتفاع الذي سقط منه الجسم. (إرشاد: عبّروا عن المسافة المقطوعة حتى اللحظة t وحتى اللحظة t − 1، واكتبوا العلاقة بينهما.)

الإجابات: t = 2 + 2 = 3.41 s ، H = 58.3 m (الحلّ الثاني t = 2 − 2 مرفوض لأنّه أصغر من ثانية واحدة)

(*) يتحرّك جسم بمقدار سرعة ثابت 10 m/s على مسار دائري نصف قطره 50 m فيقطع ربع دورة. احسبوا زمن الحركة، مقدار متّجه السرعة المتوسّطة، ومقدار متّجه التسارع المتوسّط في هذه الفترة. (إرشاد: ارسموا متّجهي السرعة في طرفي الربع واطرحوهما هندسيا.)

الإجابات: t = 7.85 s ، v_avg = 9 m/s ، a_avg = 1.8 m/s²

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

1.1 v = 30 m/s ، 300 m

1.2 Δx = 6 m ، s = 14 m ؛ عند العودة إلى نقطة الأصل Δx = 0

1.3 x(t) = −5 + 3·t ، x(10) = 25 m

1.4 منتظمة؛ سالبة؛ x(t) = 12 − 3·t ؛ خطّ مستقيم هابط يقطع محور x في 12 m ومحور t في 4 s

1.5 v_avg = 68 km/h ؛ لا، لأنّ مدّتي المقطعين غير متساويتين

1.6 v_avg = 3 m/s ، v_avg = 0 m/s ؛ في t = 2.5 s (قمّة القطع المكافئ)

1.7 v = 22 m/s ، Δx = 78 m

1.8 h = 20 m ، v = 20 m/s ؛ h = 80 m (أربعة أضعاف)

1.9 t = 2 s ، v = 25 m/s

1.10 التسارع اللحظي موجب ويقلّ حتى الصفر؛ التسارع المتوسّط في الثانية الأولى أكبر من التسارع المتوسّط في الأخيرة (الذي يقترب من الصفر)

1.11 Δr = 5 km ، s = 7 km ؛ لا يتغيّر

1.12 R = 10 بزاوية 36.9° ؛ 10 بزاوية −36.9° ؛ 16 على المحور x

1.13 نعم؛ a_t = 0 ؛ نحو مركز الدائرة (عموديا على السرعة)؛ معاكسة لاتّجاه السرعة

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 1

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الميكانيكا (מכניקה — 36361): حتى سنة 2025 نعرض النسخة العربية الرسمية للامتحان، ومن سنة 2026 النسخة العبرية كما يحصل عليها الطالب في قاعة الامتحان. تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 1 — كرة مرتدّة — تحليل قياسات، سرعة وتسارع

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	السرعة في اللحظة 0.08 ثانية	v = 2.25 m/s إلى الأعلى
ب	إكمال جدول السرعات	‎+2.25 · +1.88 · +1.00 · +0.25 · −0.25 · −0.63 متر لكلّ ثانية
ج	مخطّط الانتشار وخطّ الاتّجاه	النقاط تقع على خطّ مستقيم نازل — انظروا الرسم أعلاه
د	سرعة الارتداد والتسارع	v₀ ≈ 3.1 m/s إلى الأعلى · a ≈ 10.3 m/s² إلى الأسفل
هـ	مع مقاومة الهواء	المخطّط 1 — ميل شديد في الصعود ومعتدل في الهبوط

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 1 — سيّارتان في طريقهما إلى محطّة الباص — قراءة رسم السرعة كدالّة للزمن

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تسارع كلّ من السيّارتَين	a_A = −0.4 m/s² · المقدار 0.4 m/s² إلى اليسار ، a_B = +0.8 m/s² · المقدار 0.8 m/s² إلى اليمين
ب	اتّجاه الحركة والبُعدان في اللحظة t = 10 s	(1) الاتّجاه ذاته · إلى اليمين · كلتاهما 8 m/s ‖ (2) x_A = 100 m أكبر بـ 2.5 مرّة من البُعد x_B = 40 m
ج	بُعد محطّة الباص والمدّة الزمنيّة حتّى الوصول إليها	(1) بُعد المحطّة x = 180 m ‖ (2) المدّة الزمنيّة t = 30 s
د	فرق الزمن بين توقّف السيّارة أ وتوقّف السيّارة ب	Δt = 45 − 30 = 15 s
هـ	تمييز مخطّط بقع اللون	الرسم الملائم هو الرسم 4 · متقارب ← متباعد ← متقارب

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 1 — تجربتان على سطح مائل أملس — قراءة الرسم البيانيّ للسرعة كدالّة للزمن واستخراج البُعدَين AK و AB

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
معطيات البداية	قراءة الرسمَين في المخطّط 2	معطيات البداية: a = −5 m/s² في التجربتَين ، v₁ = 1.0 m/s ، v₂ = 0.5 m/s ، α = 30°
أ	تحديد الاتّجاه الموجب	الاتّجاه الموجب حُدّد في مرتقى السطح المائل ، لأنّ التسارع يتّجه دائمًا نحو المنحدر وقيمته في الرسمَين هي −5 m/s²
ب		البُعد بين النقطة العليا وبين K هو 0.225 m ، أي 22.5 cm
ج	حساب البُعد AK	AK = 0.125 m ، أي 12.5 cm
د	حساب البُعد AB	BK = 1.271 m ، ولذلك AB = 1.271 − 0.125 = 1.146 m ≈ 1.15 m
هـ	اختيار المخطّط الصحيح بوجود احتكاك	المخطّط ب · في الصعود الميل أشدّ من 5 m/s² ، وفي النزول أقلّ من 5 m/s² ، وميل النزول في التجربة 1 يساوي ميل التجربة 2

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 (موعد خاص) السؤال 1 — شاحنتان ومخطّط نقاط بفترات زمنيّة متساوية — سرعة السفر المتوسّطة، التسارع المتوسّط ومقارنة السرعات اللحظيّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
قراءة المخطّط	الأساس لكلّ الحلّ	قراءة المخطّط: Δt = 0.5 h ، Δx_B = 31.5 km لكلّ فترة ، t_A = 5·Δt = 2.5 h ، t_B = 6·Δt = 3 h
أ	سرعة السفر المتوسّطة للشاحنة B في القطعة MN	v_B = 63 km/h = 17.5 m/s ، والشاحنة B تتحرّك بسرعة ثابتة
ب	مقارنة السرعتَين المتوسّطتَين في القطعة MN	سرعة السفر المتوسّطة للشاحنة A في القطعة MN أكبر من سرعة B ، لأنّ المسافة متطابقة فيهما بينما زمن سفر A هو خمس فترات مقابل ستّ فترات عند B
ج	سرعة السفر المتوسّطة للشاحنة A في القطعة MP	v_A,MP = 94.5 km/h = 26.25 m/s
د	التسارع المتوسّط للشاحنة A في القطعة الرابعة	a = −4.86 · 10⁻³ m/s² ، أي −63 km/h² ، والإشارة السالبة تدلّ على تباطؤ
هـ	هل توجد لحظة تتساوى فيها السرعتان اللحظيّتان	نعم ، بل توجد فترة زمنيّة كاملة طولها نصف ساعة يتحقّق فيها v_A = v_B = 63 km/h = 17.5 m/s
جدول تلخيصيّ	السرعات في كلّ واحدة من القطع	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 1 — رسم السرعة-الزمن لسيّارة — نوع الحركة في كلّ مرحلة، تسارع المصنّع، السرعة المتوسّطة، زمن ردّ الفعل ومسافة الكبح

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	نوع الحركة في كلّ واحدة من المراحل الثلاث	0 حتّى 6 s — متساوية التسارع ، a = 2 m/s² · 6 حتّى 10 s — تسارع متغيّر ، الميل ينخفض من 1 حتّى 0.2 m/s² · 10 حتّى 13 s — متساوية السرعة ، v = 14 m/s و a = 0
ب	بكم ضعفًا يكبر تسارع المصنّع	تسارع المصنّع 10.68 m/s² أكبر بحوالي 5.3 أضعاف من التسارع الأقصى 2 m/s² الذي سافر به السائق
ج	السرعة المتوسّطة في الـ 13 ثانية الأولى	x = 36 + 53.3 + 42 = 131.3 m ، ولذلك v̄ = 10.1 m/s ، حوالي 36.4 km/h
د	المدّة الزمنيّة من الدوس على الدوّاسة وحتّى التوقّف	مدّة الكبح t = 4 s
هـ	المسافة الكلّيّة من لحظة رؤية الكرة وحتّى التوقّف	d = 10.5 + 28 = 38.5 m
و	هل تخفيض 10 كم/س ينصّف مسافة الكبح دائمًا	لا · d = v² مقسومًا على 2a ، ولذلك النسبة هي ((v − 10) مقسومًا على v) تربيعًا وتتعلّق بالسرعة الأصليّة · والتنصيف يتحقّق فقط عند v = 10 · (2 + جذر 2) = 34.1 km/h

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 (موعد خاص) السؤال 1 — مطاردة شرطيّة · استخراج التسارع والمسافة والسرعة المتوسّطة من رسمَي السرعة والزمن، وعدد التجاوزات بين السيّارة والدرّاجة الناريّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تسارع الدرّاجة الناريّة من ميل الرسم	a₂ = 2.2 m/s²، موجب باتّجاه الحركة. في كلّ ثانية يكبر مقدار سرعة الدرّاجة الناريّة بمقدار 2.2 متر للثانية.
ب	تسارع السيّارة في قطعة التباطؤ ودلالة الإشارة	تسارع السيّارة يساوي سالب خمسة وعشرين مقسومًا على تسعة. التسارع باتّجاه معاكس لاتّجاه الحركة، والسيّارة تتباطأ حتّى التوقّف · a₁ = −2.78 m/s²
ج	من تسبق في اللحظة 15 ثانية · المساحة تحت الرسم والمكان الابتدائيّ	الدرّاجة الناريّة تسبق. x₁ = 262.5 m بينما x₂ = 277.5 m، أي أنّ الدرّاجة الناريّة تقع 15 مترًا أمام السيّارة.
د	كم تجاوزًا كان · متابعة إشارة الفرق	مرّتان. تجاوز أوّل للسيّارة في اللحظة 1.27 ثانية، وتجاوز ثانٍ للدرّاجة الناريّة في اللحظة 14.53 ثانية
هـ	مقارنة السرعتين المتوسّطتين	أصغر. v₂ = 16.5 m/s بينما v₁ = 17.5 m/s.
و	لحظة تساوي السرعتين	في اللحظة t = 8.37 s، والسرعة المشتركة هي v = 18.4 m/s.

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 السؤال 1 — سيّارتان تتحرّكان الواحدة باتّجاه الأخرى — إشارتا التسارع، زمن التوقّف، المسافة الابتدائيّة ورسما السرعة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	تحديد إشارتَي التسارع	القول 4 — السيّارتان تحرّكتا بتسارع سالب
ب	زمن توقّف السيّارة أ	t = 15 s
ج		البُعد هو 225 m ، والسيّارة أ تتوقّف عند x = +225 m
د	مقدار تسارع كبح السيّارة ب	مقدار تسارع الكبح هو 6 m/s² ، وقيمته بالنسبة للمحور هي +6 m/s²
هـ	حساب البُعد AB في اللحظة t = 0	AB = 450 m
و	رسم بيانَي السرعة كدالّة للزمن	أ — خطّ مستقيم من النقطة (0 , 30) إلى النقطة (15 , 0) · ب — خطّ مستقيم من النقطة (0 , 0) إلى النقطة (10 , −30) ثمّ إلى النقطة (15 , 0)

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2020 السؤال 1 — هبوط رقيق لسفينة فضائيّة على القمر — استخراج التسارع وقوّة الدفع والارتفاع من رسم السرعة كدالّة للزمن

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	عرض مصطلح السقوط الحرّ	السقوط الحرّ هو حركة تؤثّر فيها على الجسم قوّة الجاذبيّة فقط · التسارع g_M = 1.67 m/s² نحو الأسفل، ثابت ولا يتعلّق بالكتلة · في هذا السؤال بين t = 10 s و t = 12.45 s
ب	مخطّط القوى بين t = 0 و t = 10 s	قوّتان فقط · قوّة جاذبيّة القمر m·g_M = 273.88 N عموديًّا نحو الأسفل، وقوّة دفع المحرّكات F = 601.88 N عموديًّا نحو الأعلى، بسهم أطول
ج	مقدار القوّة التي تؤثّر بها المحرّكات	F = m·(a₁ + g_M) = 164 · 3.67 = 601.88 N ≈ 6.0 · 10² N ، أي نحو 602 N عموديًّا نحو الأعلى
د	الارتفاع الذي كانت فيه سرعة السفينة الفضائيّة صفرًا	h = 5.0120875 m ≈ 5.0 m فوق سطح القمر
هـ	حساب H، الارتفاع في اللحظة t = 0	H = 105.0120875 m ≈ 105 m فوق سطح القمر في اللحظة t = 0
و	أيّ مخطّط من 1 حتّى 4 يصف الارتفاع	المخطّط 2 · ميل ابتدائيّ حادّ مقداره 20 m/s نحو الأسفل، مماسّة أفقيّة في اللحظة t = 10 s في ارتفاع 5.01 m فقط، ونزول إلى الصفر في اللحظة t = 12.45 s

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)