الفصل 2

القوى والاتّزان

כוחות ושיווי משקל

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 20 ساعات تعليمية

في الفصل الأوّل وصفنا الحركة: الموقع، السرعة والتسارع. في هذا الفصل نسأل: ما الذي يغيّر حركة الأجسام؟ الجواب هو القوى. نتعرّف على القوّة وعلى طرق قياسها، ونتعلّم التعامل معها كمقدار متّجه: جمعا بمتوازي الأضلاع وتحليلا إلى مركّبات. نكتشف قانون نيوتن الثالث، ثم القصور الذاتي وقانون نيوتن الأوّل، ونتعرّف على قوى التلامس — قوّة الشدّ، القوّة العمودية والاحتكاك. وفي نهاية الفصل نبني أهمّ أدوات هذا الكتاب: مخطّط القوى وشرط الاتّزان، ونطبّقهما على أجسام ساكنة وعلى أجسام تتحرّك بسرعة ثابتة في خطّ مستقيم.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف القوّة ونقيسها بالدينامومتر، ونستعمل قانون هوك F = −k·x لوصف النابض.
نجمع القوى كمتّجهات: هندسيا بمتوازي الأضلاع، وجبريا بالتحليل إلى مركّبات.
نفسّر قانون نيوتن الثالث: كلّ قوّة تظهر ضمن زوج من قوّتين متساويتين ومتعاكستين على جسمين مختلفين.
نشرح القصور الذاتي وقانون نيوتن الأوّل، ونكتب شرط الاتّزان ΣF = 0.
نحلّل قوّة الشدّ، القوّة العمودية والاحتكاك الساكن والحركي، ونستعمل f_k = μ_k·N و f_s ≤ μ_s·N.
نرسم مخطّط القوى ونحلّل حالات اتّزان: جسم معلّق بخيوط، وجسم يُسحب على سطح أفقي بسرعة ثابتة.

כוחות ומדידתם – القوى وقياسها (Forces and Their Measurement)

مفهوم القوّة – מושג הכוח:

نقول في الحياة اليومية «دفعتُ الباب»، «سحبتُ الحبل»، «الأرض تجذب الحجر». في كلّ هذه الجمل يوجد تأثير يمارسه جسم على جسم آخر. هذا التأثير هو ما يسمّيه الفيزيائيون قوّة.

القوّة (כוח): هي تأثير يمارسه جسم على جسم آخر، ويمكن أن يغيّر حالة حركته (أي سرعته: مقدارا أو اتّجاها) أو يشوّه شكله. يرمز للقوّة بالحرف F، ووحدة قياسها هي النيوتن (ניוטון) ورمزها N.

نلاحظ أمرين في هذا التعريف. أوّلا، القوّة لا توجد وحدها: هناك دائما جسم يؤثّر وجسم يتأثّر، ولذلك نسأل عن كلّ قوّة: مَن يؤثّر بها، وعلى مَن؟ ثانيا، القوّة لا تعني بالضرورة حركة: الطاولة تؤثّر بقوّة على الكتاب الموضوع عليها رغم أنّه ساكن. سنرى في هذا الفصل أنّ ما تغيّره القوّة هو السرعة، لا الموقع.

نميّز بين نوعين من القوى حسب طريقة التأثير:

قوى تلامس (כוחות מגע): يؤثّر بها جسم على جسم آخر عندما يلامسه — دفع اليد، شدّ الحبل، قوّة الأرضية على القدم، الاحتكاك، مقاومة الهواء.
قوى عن بُعد (כוחות מרחוק): تؤثّر دون تلامس — قوّة الجاذبية بين الأرض والأجسام، القوّة الكهربائية بين الشحنات، القوّة المغناطيسية. في الميكانيكا نتعامل تقريبا مع قوّة واحدة عن بُعد: الجاذبية.

قوّة تلامس وقوّة عن بُعد. في الحالتين نحدّد الجسم المؤثّر والجسم المتأثّر

القوّة	مَن يؤثّر بها؟	على مَن؟	النوع
قوّة الجاذبية	الأرض	كلّ جسم قربها	عن بُعد
القوّة العمودية	السطح	الجسم الموضوع عليه	تلامس
قوّة الشدّ	الخيط أو الحبل	الجسم المربوط به	تلامس
قوّة النابض	النابض	الجسم المربوط به	تلامس
الاحتكاك	السطح	الجسم المنزلق عليه أو الذي يحاول الانزلاق	تلامس
مقاومة الهواء	الهواء	الجسم المتحرّك فيه	تلامس

قوّة الجاذبية والوزن – כוח הכובד והמשקל:

قوّة الجاذبية (כוח הכובד): (قوّة الثقل) هي القوّة التي تجذب بها الأرض كلّ جسم قربها نحو مركزها، أي عموديا إلى الأسفل. مقدارها يتناسب طرديا مع كتلة الجسم: F = m·g، حيث g هو تسارع السقوط الحرّ الذي تعرّفنا عليه في الفصل الأوّل.

قوّة الجاذبية (الوزن) · כוח הכובד (משקל)

F = m·g

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	الوزن: قوّة الجاذبية المؤثّرة على الجسم	[N]
m	كتلة الجسم	[kg]
g	تسارع السقوط الحرّ؛ قرب سطح الأرض نأخذ g = 10 m/s²	[m/s²]

في هذا الكتاب نسمّي قوّة الجاذبية المؤثّرة على الجسم الوزن (משקל) ونرمز له بـ F = m·g. يجب التمييز بوضوح بين الكتلة والوزن:

	الكتلة m	الوزن F
ما هي؟	كمّية المادّة في الجسم ومقياس لقصوره الذاتي	قوّة الجاذبية المؤثّرة على الجسم
نوع المقدار	عددي (ليس له اتّجاه)	متّجه (نحو الأسفل دائما)
وحدة القياس	kg	N
أداة القياس	ميزان ذو كفّتين (مقارنة بكتل معيارية)	ميزان نابض (دينامومتر)
هل تتغيّر من مكان إلى آخر؟	لا: الكتلة نفسها على الأرض وعلى القمر	نعم: تتعلّق بـ g في ذلك المكان

مثال 2.1

كتلة رائد فضاء مع بذلته 60 kg. نحسب وزنه على سطح الأرض، ثم على سطح القمر حيث g_moon = 1.6 m/s².

الحل:

على الأرض:

F = m·g = 60 · 10 = 600 N

على القمر الكتلة نفسها، لكن تسارع السقوط الحرّ أصغر:

F_moon = m·g_moon = 60 · 1.6 = 96 N

الوزن على القمر أصغر نحو ستّ مرّات، لكنّ كتلة الرائد لم تتغيّر: لو دفعه زميله بالقوّة نفسها لاكتسب التسارع نفسه هنا وهناك.

F = 600 N , F_moon = 96 N

انتبهوا: في لغة الحياة اليومية نقول «وزني 60 كيلوغرام»، لكن هذا في الفيزياء خطأ: الكيلوغرام وحدة كتلة. الصحيح: كتلتي 60 kg ووزني 600 N. في الامتحان نكتب دائما الوزن بالنيوتن.

سؤال 2.1: كتلة صندوق 25 kg. احسبوا وزنه على الأرض. ما هي كتلة جسم وزنه على الأرض 45 N؟

النابض وقانون هوك – הקפיץ וחוק הוק:

كيف نقيس قوّة؟ نحتاج إلى جسم يتغيّر شكله بطريقة منتظمة عندما تؤثّر عليه قوّة. أفضل مثال هو النابض (קפיץ). عندما نشدّ نابضا يستطيل، وعندما نضغطه يقصر، وعندما نتركه يعود إلى طوله الطبيعي ℓ₀. هذه الخاصّية — العودة إلى الشكل الأصلي بعد زوال القوّة — تسمّى المرونة (אלסטיות).

الاستطالة (התארכות): هي الفرق بين طول النابض المشدود وطوله الطبيعي: x = ℓ − ℓ₀. عند الضغط يكون x سالبا ونسمّيه انضغاطا. نقيس الاستطالة بالمتر (أو بالسنتيمتر ونحوّل).

نابض عمودي: حرّ بطوله الطبيعي ℓ₀؛ مع كتلة m يستطيل x؛ مع كتلة 2m يستطيل 2x — الاستطالة تتناسب مع القوّة

عندما نعلّق كتلا مختلفة على النابض ونقيس الاستطالة في كلّ مرّة، نكتشف قاعدة بسيطة: مضاعفة القوّة تضاعف الاستطالة، وتثليثها يثلّثها. الاستطالة تتناسب طرديا مع القوّة، أي أنّ النابض خطّي (לינארי). هذه هي النتيجة التي صاغها العالم الإنجليزي روبرت هوك عام 1676:

قانون هوك · חוק הוק

F = −k·x

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	القوّة التي يؤثّر بها النابض على الجسم — تعاكس دائما اتّجاه الإزاحة	[N]
x	الإزاحة عن الطول الطبيعي: الاستطالة (أو الانضغاط)	[m]
k	ثابت النابض: القوّة اللازمة لاستطالة متر واحد	[N/m]

ملاحظة: إشارة السالب تعني أنّ قوّة النابض تعاكس دائما اتّجاه الإزاحة — فهي قوّة مُرجِعة تحاول إعادة النابض إلى طوله الطبيعي، وهكذا تُدرَّس الفيزياء وهكذا يظهر القانون في الامتحان. عندما يهمّنا المقدار فقط نكتب F = k·x.

ثابت النابض (קבוע הקפיץ): هو مقياس «قساوة» النابض: كلّما كان k أكبر لزمت قوّة أكبر للحصول على الاستطالة نفسها. نابض فولاذي في سيّارة قد يكون ثابته عشرات آلاف النيوتن لكلّ متر، ونابض قلم الحبر بضع عشرات فقط. الثابت خاصّية للنابض نفسه ولا يتغيّر عندما نغيّر القوّة.

ملاحظة: قانون هوك صحيح ما دامت الاستطالة ضمن حدود المرونة: إذا شددنا النابض أكثر من اللازم يتشوّه نهائيا ولا يعود إلى طوله الطبيعي، ولا يعود الرسم البياني خطّا مستقيما. في جميع مسائل هذا الكتاب نفترض أنّ النابض يبقى ضمن حدود المرونة.

مثال 2.2

عُلّقت كتلة 200 g بنابض عمودي فاستطال 4 cm. نحسب ثابت النابض، ثم نحسب استطالته عندما نعلّق به كتلة 500 g.

الحل:

نحوّل الوحدات أوّلا: m = 0.2 kg ، x = 0.04 m. في حالة الاتّزان تساوي قوّة النابض وزن الكتلة:

F = m·g = 0.2 · 10 = 2 N

من قانون هوك نعزل ثابت النابض:

k = Fx = 20.04 = 50 N/m

ثابت النابض لا يتغيّر. مع الكتلة الجديدة m = 0.5 kg تكون القوّة F = 5 N والاستطالة:

x = Fk = 550 = 0.1 m = 10 cm

ازدادت الكتلة مرّتين ونصفا، فازدادت الاستطالة أيضا مرّتين ونصفا — كما يتنبّأ قانون هوك.

k = 50 N/m , x = 10 cm

اتّجاه قوّة النابض – כיוון כוח הקפיץ:

هذا هو معنى إشارة السالب في قانون هوك: النابض يحاول دائما العودة إلى طوله الطبيعي. النابض المشدود يجذب الجسم المربوط به نحو النابض، والنابض المضغوط يدفعه بعيدا عنه. في الحالتين تتّجه قوّة النابض عكس الإزاحة — وهذه الإشارة السالبة هي ما سنحتاج إليه في الفصل الثامن عند دراسة الاهتزازات.

نابض مضغوط x يدفع الجسم بعيدا عن الحائط

نابض مشدود x يجذب الجسم نحو الحائط

مثال 2.3

نابض ثابته 400 N/m مثبّت في حائط، وطرفه الآخر مربوط بجسم على طاولة ملساء. نضغط الجسم نحو الحائط حتى يقصر النابض 3 cm ونمسكه. نحسب القوّة التي يؤثّر بها النابض على الجسم، واتّجاهها، والقوّة التي يجب أن نؤثّر بها لإبقاء الجسم ساكنا.

الحل:

F = k·x = 400 · 0.03 = 12 N

النابض مضغوط، فهو يدفع الجسم بعيدا عن الحائط بقوّة 12 N. ولكي يبقى الجسم ساكنا يجب أن نوازن هذه القوّة: نؤثّر على الجسم بقوّة 12 N نحو الحائط. إذا تركنا الجسم انطلق بعيدا عن الحائط — وهذا مبدأ عمل كثير من الألعاب والأجهزة.

F = 12 N

الرسم البياني للاستطالة كدالّة للقوّة – גרף ההתארכות כפונקציה של הכוח:

في التجربة نحن الذين نحدّد القوّة المؤثّرة في النابض — نعلّق الأثقال واحدا بعد الآخر — ثم نقيس الاستطالة الناتجة. لذلك نرسم القوّة F (المتغيّر المستقلّ) على المحور الأفقي، والاستطالة x (المتغيّر التابع) على المحور العمودي. نحصل على خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل — هذا هو الشكل البياني لكلّ تناسب طردي — وميل الخطّ هو مقلوب ثابت النابض:

ΔxΔF = 1k

الاستطالة كدالّة للقوّة لنابض ثابته 50 N/m: خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل وميله 1k

مثال 2.4

في تجربة علّق طالب أثقالا مختلفة بنابض وقاس الاستطالة عند كلّ قوّة، وحصل على الجدول التالي. نرسم الاستطالة كدالّة للقوّة ونحسب ثابت النابض من الميل.

الحل:

القوّة F [N]	1	2	3	4
الاستطالة x [m]	0.02	0.04	0.06	0.08

النقاط تقع على خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل (الرسم أعلاه)، إذًا النابض يحقّق قانون هوك. نختار نقطتين بعيدتين على الخطّ ونحسب الميل:

ΔxΔF = 0.08 − 0.024 − 1 = 0.063 = 0.02 m/N

k = 10.02 = 50 N/m

نفحص بنقطة واحدة: F = k·x = 50 · 0.04 = 2 N — يطابق الجدول.

k = 50 N/m

سؤال 2.2: ثابت نابض 200 N/m.
أ. ما القوّة اللازمة لضغطه 5 cm؟
ب. ما الكتلة التي يجب تعليقها به ليستطيل 2.5 cm؟
ج. نابض آخر يستطيل 8 cm تحت القوّة التي يستطيل بها الأوّل 2 cm — أيّهما أقسى، وما ثابته؟

مثال 2.5

يبيّن الرسم البياني الاستطالة كدالّة للقوّة لنابضين A و B. أيّهما أقسى؟ نحسب ثابت كلّ نابض، ثم استطالة كلّ منهما تحت قوّة 6 N.

الحل:

النابض الأقسى هو الذي يستطيل أقلّ تحت القوّة نفسها — أي الخطّ الأقلّ ميلا: النابض B. نقرأ من كلّ خطّ نقطة ونحسب ثابت النابض:

k_A = ΔFΔx = 10 − 00.1 − 0 = 100 N/m

k_B = ΔFΔx = 18 − 00.06 − 0 = 300 N/m

تحت القوّة نفسها 6 N:

x_A = Fk_A = 6100 = 0.06 m = 6 cm

x_B = Fk_B = 6300 = 0.02 m = 2 cm

الخطّ العمودي المنقّط عند 6 N في الرسم يقطع الخطّين عند هاتين الاستطالتين: النابض الأقسى يستطيل أقلّ بثلاث مرّات.

k_A = 100 N/m , k_B = 300 N/m , x_A = 6 cm , x_B = 2 cm

نشاط: قيسوا ثابت نابض في البيت: علّقوا نابضا (أو شريطا مطّاطيا) من مسمار، وثبّتوا إلى جانبه مسطرة. علّقوا به كيسا وضعوا فيه قنّينة ماء صغيرة (0.5 kg)، ثم قنّينتين، ثم ثلاثا، وسجّلوا الاستطالة في كلّ مرّة. ارسموا الاستطالة كدالّة للقوّة (m·g): هل حصلتم على خطّ مستقيم؟ احسبوا k من مقلوب الميل. (الشريط المطّاطي غالبا لا يعطي خطّا مستقيما — وهذا بحدّ ذاته نتيجة مهمّة.)

الدينامومتر وميزان النابض – הדינמומטר ומאזני הקפיץ:

الدينامومتر: نابض داخل أنبوب مدرّج؛ المؤشّر يبيّن القوّة مباشرة بالنيوتن

بما أنّ استطالة النابض تتناسب مع القوّة، يمكننا تحويل النابض إلى أداة لقياس القوّة: نثبّته داخل أنبوب، ونرسم إلى جانبه سلّما مدرّجا بالنيوتن بدلا من السنتيمتر. هذه الأداة هي الدينامومتر. عندما نعلّق به جسما يستطيل النابض حتى تتساوى قوّته مع وزن الجسم، فيقرأ المؤشّر الوزن مباشرة. وعندما نسحب به صندوقا يقرأ قوّة السحب.
تدريج الدينامومتر مبنيّ على قانون هوك: إذا كان ثابت نابضه k فإنّ كلّ نيوتن يقابل استطالة 1k متر، ولذلك تكون التدريجات متساوية البعد — وهذه ميزة النابض الخطّي.

الدينامومتر (דינמומטר): هو أداة لقياس القوّة، مبنيّة من نابض معاير مدرّج بالنيوتن. القراءة هي القوّة المؤثّرة على خطّافه.

ميزان النابض (מאזני קפיץ): هو دينامومتر نعلّق به الجسم عموديا فيقيس وزنه. بعض هذه الموازين مدرّج بالكيلوغرام، لكنّه في الحقيقة يقيس القوّة (F = m·g) ويقسمها على g = 10 — ولذلك يعطي على القمر قراءة خاطئة للكتلة، بخلاف الميزان ذي الكفّتين الذي يقارن الكتل مباشرة.

تعريف أوّلي للنيوتن – הגדרה ראשונית של הניוטון:

حتى الآن استعملنا وحدة النيوتن دون أن نعرّفها بدقّة. تعريف مؤقّت وعملي: النيوتن هو تقريبا الوزن الذي تؤثّر به الأرض على كتلة 100 g (تفاحة صغيرة). بدقّة أكبر: 1 N هي قوّة الجاذبية على كتلة 0.1 kg حيث g = 10 m/s². سنعطي التعريف الدقيق في البند 3.1 بعد أن نتعلّم قانون نيوتن الثاني: النيوتن هو القوّة التي تكسب كتلة كيلوغرام واحد تسارعا مقداره 1 m/s².

لنكوّن إحساسا بالوحدة، إليكم مقادير نموذجية لبعض القوى:

القوّة	المقدار التقريبي
وزن تفاحة صغيرة	1 N
وزن كتاب مدرسي	10 N
قوّة شدّ الحبل في لعبة شدّ الحبل	500 N
وزن إنسان بالغ	700 N
قوّة دفع محرّك سيّارة صغيرة	3000 N
وزن سيّارة	1.2·10⁴ N
قوّة الفرامل في قطار	1·10⁶ N
قوّة دفع صاروخ فضائي عند الإقلاع	3·10⁷ N

مثال 2.6

دينامومتر ثابت نابضه 250 N/m وطول سلّمه يسمح باستطالة أقصاها 10 cm.
أ. ما هي أكبر قوّة يستطيع قياسها؟
ب. علّقنا به كتلة 1.5 kg — ما قراءته وما استطالة نابضه؟

الحل:

أ. أكبر قوّة تقابل أكبر استطالة:

F_max = k·x_max = 250 · 0.1 = 25 N

ب. الجسم معلّق في حالة اتّزان، لذلك القراءة تساوي وزنه:

F = m·g = 1.5 · 10 = 15 N

x = Fk = 15250 = 0.06 m = 6 cm

الاستطالة أصغر من الحدّ الأقصى، فالقياس ممكن.

F_max = 25 N , F = 15 N , x = 6 cm

سؤال 2.3: علّقنا حجرا بميزان نابض فقرأ 8 N. ما كتلة الحجر؟ ماذا سيقرأ الميزان نفسه على سطح القمر (g = 1.6 m/s²)، وماذا سيبيّن ميزان ذو كفّتين هناك؟

▶تجربة حية — قانون هوك والدينامومترنغيّر ثابت النابض والكتلة المعلّقة، نقرأ الاستطالة على المسطرة ونتابع الرسم البياني للعلاقة بين القوّة والاستطالة: ماذا يتغيّر عندما نغيّر الكتلة فقط، وماذا عندما نغيّر الثابت؟

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#hooke

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#hooke

תכונות של כוחות – خصائص القوى (Properties of Forces)

القوّة مقدار متّجه – הכוח הוא וקטור:

لا يكفي أن نعرف مقدار القوّة؛ دفع الصندوق إلى اليمين يختلف عن دفعه إلى اليسار أو إلى الأعلى. القوّة إذًا مقدار متّجه (וקטור) مثل الإزاحة والسرعة والتسارع، ونرسمها بسهم:

طول السهم يمثّل مقدار القوّة (بمقياس رسم مناسب، مثلا 1 cm لكلّ 10 N).
اتّجاه السهم يمثّل اتّجاه القوّة، ونصفه عادة بزاوية مع الأفق أو مع الشاقول.
ذيل السهم هو نقطة التأثير: النقطة التي تؤثّر فيها القوّة على الجسم.

القوّة كمتّجه: نقطة تأثير، مقدار واتّجاه. نرمز للمتّجه بـ F ولمقداره بـ F

في كثير من المسائل نعامل الجسم كنقطة مادّية ونرسم كلّ القوى من نقطة واحدة هي مركزه. الرسم الذي يبيّن الجسم كنقطة مع كلّ القوى المؤثّرة عليه (وعليه فقط!) يسمّى مخطّط القوى (תרשים כוחות) أو مخطّط الجسم الحرّ، وسنرسمه في كلّ مسألة قوى في هذا الكتاب.

محصّلة القوى – הכוח השקול:

محصّلة القوى (כוח שקול): (القوّة المحصّلة) هي القوّة الواحدة التي لو أثّرت وحدها على الجسم لأحدثت التأثير نفسه الذي تحدثه كلّ القوى معا. نحصل عليها بالجمع المتّجهي لكلّ القوى المؤثّرة على الجسم، ونرمز لها بـ ΣF:

ΣF = F₁ + F₂ + F₃ + ...

أبسط حالة هي قوى على خطّ واحد. إذا أثّرت قوّتان بالاتّجاه نفسه فالمحصّلة هي مجموعهما بالاتّجاه نفسه؛ وإذا تعاكستا فالمحصّلة هي الفرق بينهما باتّجاه القوّة الأكبر:

قوّتان على خطّ واحد: بالاتّجاه نفسه تُجمع، وباتّجاهين متعاكسين تُطرح

مثال 2.7

يسحب ولدان زلّاجة بحبلين أفقيين: الأوّل بقوّة 120 N والثاني بقوّة 80 N. نحسب محصّلة القوّتين:
أ. عندما يسحبان بالاتّجاه نفسه.
ب. عندما يسحبان باتّجاهين متعاكسين.

الحل:

أ. القوّتان بالاتّجاه نفسه، فنجمع المقدارين:

ΣF = F₁ + F₂ = 120 + 80 = 200 N

ب. القوّتان متعاكستان. نختار اتّجاه القوّة الأولى موجبا، فتكون الثانية سالبة:

ΣF = F₁ − F₂ = 120 − 80 = 40 N

المحصّلة موجبة، أي باتّجاه الولد الأوّل (الأقوى).

أ. ΣF = 200 N , ب. ΣF = 40 N

الجمع الهندسي — متوازي أضلاع القوى – חיבור גאומטרי — מקבילית הכוחות:

عندما تصنع القوّتان زاوية α بينهما نجمعهما بقاعدة متوازي الأضلاع (מקבילית): نرسم المتّجهين من نقطة واحدة، نكمل متوازي الأضلاع الذي يشكّلانه، والمحصّلة هي القطر الخارج من النقطة المشتركة. يمكن أيضا رسم المتّجه الثاني من رأس الأوّل («الذيل إلى الرأس»)، والمحصّلة تصل ذيل الأوّل برأس الثاني — الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها.

قوّتان بزاوية 60°: المحصّلة هي قطر متوازي الأضلاع

قوّتان متعامدتان: متوازي الأضلاع مستطيل

في الحالة الخاصّة التي تكون فيها القوّتان متعامدتين (α = 90°) يصبح متوازي الأضلاع مستطيلا، ونحسب المحصّلة بنظرية فيثاغورس:

محصّلة قوّتين متعامدتين · שקול שני כוחות ניצבים

ΣF = F₁² + F₂²

tan θ = F₂F₁

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣF	مقدار المحصّلة	[N]
θ	الزاوية بين المحصّلة والقوّة F₁	[°]

مثال 2.8

تؤثّر على جسم قوّتان: 6 N نحو الشرق و 8 N نحو الشمال. نجد مقدار المحصّلة واتّجاهها.

الحل:

القوّتان متعامدتان، فنطبّق نظرية فيثاغورس:

ΣF = F₁² + F₂² = 6² + 8² = 100 = 10 N

اتّجاه المحصّلة: الزاوية التي تصنعها مع اتّجاه الشرق:

tan θ = F₂F₁ = 86 = 1.333

θ = 53°

المحصّلة 10 N نحو الشمال الشرقي، بزاوية 53° من اتّجاه الشرق. لاحظوا أنّ مقدارها أصغر من 6 + 8 = 14: المتّجهات لا تُجمع كالأعداد.

ΣF = 10 N , θ = 53°

ملاحظة: مقدار محصّلة قوّتين F₁ و F₂ يقع دائما بين الفرق بينهما والمجموع: |F₁ − F₂| ≤ ΣF ≤ F₁ + F₂. القيمة العظمى عندما تتّجهان الاتّجاه نفسه، والصغرى عندما تتعاكسان، وبينهما كلّ الزوايا الأخرى. قوّتان مقدار كلّ منهما 10 N لا يمكن أن تعطيا محصّلة 25 N — ولا بأيّ زاوية.

الزاوية بين القوّتين	شكل متوازي الأضلاع	مقدار المحصّلة
0°	ينطبق المتّجهان على خطّ واحد	F₁ + F₂ (القيمة العظمى)
90°	مستطيل	F₁² + F₂²
180°	ينطبقان على خطّ واحد بالعكس	\|F₁ − F₂\| (القيمة الصغرى)
60° وقوّتان متساويتان F	معيّن	3·F ≈ 1.73·F
120° وقوّتان متساويتان F	معيّن	F

الجمع الجبري — التحليل إلى مركّبات – חיבור אלגברי — פירוק לרכיבים:

الرسم الهندسي مفيد للفهم، لكنّه غير دقيق وغير عملي عندما تكثر القوى. الطريقة العامّة هي عكس الجمع: تحليل كلّ قوّة إلى مركّبتين على محورين متعامدين x و y، ثم جمع المركّبات على كلّ محور كأعداد عادية.

قوّة F تصنع زاوية θ مع المحور x الموجب. نسقطها على المحورين: المركّبة الأفقية هي الضلع المجاور للزاوية في المثلّث القائم، والمركّبة العمودية هي الضلع المقابل:

تحليل القوّة F إلى مركّبة أفقية F_x ومركّبة عمودية F_y: المركّبتان والقوّة تشكّل مثلّثا قائما

مركّبتا القوّة · רכיבי הכוח

F_x = F·cos θ

F_y = F·sin θ

F = F_x² + F_y²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	مقدار القوّة	[N]
θ	الزاوية بين القوّة والمحور x الموجب	[°]
F_x , F_y	المركّبتان؛ كلّ واحدة عدد قد يكون سالبا	[N]

إشارة المركّبة تعبّر عن اتّجاهها: مركّبة x سالبة تعني أنّ القوّة تميل نحو x السالب. في الامتحان نستعمل القيم المقرّبة sin 37° = 0.6 ، cos 37° = 0.8 ، sin 53° = 0.8 ، cos 53° = 0.6 وكذلك sin 30° = 0.5 ، cos 60° = 0.5 ، sin 45° = cos 45° ≈ 0.71.

مثال 2.9

قوّة مقدارها 50 N تصنع زاوية 37° مع الأفق. نحسب مركّبتيها.

الحل:

F_x = F·cos θ = 50 · cos 37° = 50 · 0.8 = 40 N

F_y = F·sin θ = 50 · sin 37° = 50 · 0.6 = 30 N

نفحص: 40² + 30² = 2500 = 50 N — نعود إلى مقدار القوّة الأصلية.

F_x = 40 N , F_y = 30 N

الآن طريقة جمع عدّة قوى بالمركّبات، خطوة خطوة:

نختار محورين متعامدين x و y (عادة الأفقي والعمودي، أو بمحاذاة الحركة وعموديا عليها).
نحلّل كلّ قوّة إلى مركّبتيها مع الإشارات الصحيحة.
نجمع كلّ مركّبات x فنحصل على ΣF_x، ونجمع كلّ مركّبات y فنحصل على ΣF_y.
نركّب المحصّلة: مقدارها ΣF = ΣF_x² + ΣF_y² واتّجاهها من tan θ = ΣF_yΣF_x.

محصّلة عدّة قوى بالمركّبات · שקול כמה כוחות

ΣF_x = F_1x + F_2x + ...

ΣF_y = F_1y + F_2y + ...

ΣF = ΣF_x² + ΣF_y²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣF_x	مجموع المركّبات الأفقية	[N]
ΣF_y	مجموع المركّبات العمودية	[N]

مثال 2.10

تؤثّر على جسم ثلاث قوى في مستوى واحد: F₁ = 8 N باتّجاه x الموجب، F₂ = 10 N بزاوية 37° فوق المحور x، و F₃ = 6 N باتّجاه y السالب (الشكل). نحسب المحصّلة.

الحل:

نحلّل كلّ قوّة. F₁ على المحور x كلّها، و F₃ على المحور y كلّها بإشارة سالبة:

F_1x = 8 N , F_1y = 0

F_2x = 10 · cos 37° = 8 N , F_2y = 10 · sin 37° = 6 N

F_3x = 0 , F_3y = −6 N

نجمع على كلّ محور:

ΣF_x = 8 + 8 + 0 = 16 N

ΣF_y = 0 + 6 − 6 = 0 N

المركّبة العمودية للمحصّلة صفر: القوّة F₃ ألغت تماما المركّبة العمودية لـ F₂. المحصّلة إذًا أفقية:

ΣF = 16² + 0² = 16 N

ΣF = 16 N

مثال 2.11

قوّتان متساويتان مقدار كلّ منهما 30 N، والزاوية بينهما 60°. نحسب محصّلتهما بالمركّبات (الشكل في بداية البند).

الحل:

نضع المحور x بمحاذاة القوّة الأولى، فتصنع الثانية زاوية 60° معه (sin 60° ≈ 0.87):

F_1x = 30 N , F_1y = 0

F_2x = 30 · cos 60° = 15 N , F_2y = 30 · sin 60° = 26 N

ΣF_x = 30 + 15 = 45 N

ΣF_y = 0 + 26 = 26 N

ΣF = 45² + 26² = 52 N

tan θ = 2645 ⇒ θ = 30°

المحصّلة تنصّف الزاوية بين القوّتين المتساويتين (بالتماثل)، ومقدارها 52 N — أقلّ من 60 N وأكبر من 30 N كما يقتضي الرسم.

ΣF = 52 N , θ = 30°

سؤال 2.4: قوّة مقدارها 20 N تصنع زاوية 60° مع المحور x. احسبوا مركّبتيها. ثم: قوّتان متعامدتان 9 N و 12 N — ما مقدار محصّلتهما؟

قانون نيوتن الثالث – החוק השלישי של ניוטון:

قلنا إنّ القوّة تأثير متبادل بين جسمين. نيوتن لاحظ أنّ هذا التبادل متماثل تماما: عندما تدفع الحائط بيدك تشعر بأنّ الحائط يدفع يدك؛ عندما تجذب الأرض الحجر يجذب الحجر الأرض؛ عندما يدفع المجداف الماء إلى الخلف يدفع الماء القارب إلى الأمام.

قانون نيوتن الثالث · החוק השלישי של ניוטון

F_AB = −F_BA

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F_AB	القوّة التي يؤثّر بها الجسم A على الجسم B	[N]
F_BA	القوّة التي يؤثّر بها الجسم B على الجسم A	[N]

قانون نيوتن الثالث (החוק השלישי): إذا أثّر جسم A بقوّة على جسم B، أثّر الجسم B على الجسم A بقوّة مساوية لها في المقدار ومعاكسة لها في الاتّجاه. القوّتان من النوع نفسه (تلامس أو جاذبية)، تظهران وتختفيان معا، وتؤثّران على جسمين مختلفين.

زوج القوى: A يدفع B نحو اليمين، و B يدفع A نحو اليسار بالمقدار نفسه

انتبهوا: قوّتا الزوج لا تلغي إحداهما الأخرى أبدا، لأنّ كلّ واحدة تؤثّر على جسم آخر. عندما نرسم مخطّط القوى لجسم واحد تظهر فيه قوّة واحدة فقط من كلّ زوج. الخطأ الشائع: «الطاولة تدفع الكتاب إلى الأعلى والكتاب يدفع الطاولة إلى الأسفل، إذًا يتوازنان» — لا! ما يوازن القوّة العمودية على الكتاب هو وزن الكتاب، وهذه ليست قوّة الفعل المقابلة لها.

كتاب على طاولة: زوجان من القوى. الزوج الأوّل: الأرض تجذب الكتاب (m·g) والكتاب يجذب الأرض (m·g′). الزوج الثاني: الطاولة تدفع الكتاب (N) والكتاب يضغط الطاولة (N′). على الكتاب نفسه تؤثّر قوّتان فقط: m·g و N

الفعل	ردّ الفعل	نوع القوّة
الأرض تجذب الكتاب نحو الأسفل	الكتاب يجذب الأرض نحو الأعلى	جاذبية
الطاولة تدفع الكتاب نحو الأعلى	الكتاب يضغط الطاولة نحو الأسفل	تلامس (عمودية)
القدم تدفع الأرض نحو الخلف	الأرض تدفع القدم نحو الأمام — هكذا نمشي	تلامس (احتكاك)
الصاروخ يدفع الغازات نحو الأسفل	الغازات تدفع الصاروخ نحو الأعلى	تلامس
الحبل يشدّ الصندوق نحو اليمين	الصندوق يشدّ الحبل نحو اليسار	تلامس (شدّ)

مثال 2.12

كتاب كتلته 2 kg موضوع على طاولة أفقية. نعدّد القوى المؤثّرة على الكتاب، ونحدّد لكلّ منها قوّة ردّ الفعل ومقدارها.

الحل:

على الكتاب تؤثّر قوّتان: وزنه m·g من الأرض، والقوّة العمودية N من الطاولة. الكتاب ساكن، فالقوّتان متساويتان:

m·g = 2 · 10 = 20 N

N = m·g = 20 N

ردّ فعل الوزن: الكتاب يجذب الأرض نحو الأعلى بقوّة 20 N (هذه القوّة تؤثّر على الأرض، لا على الكتاب). ردّ فعل القوّة العمودية: الكتاب يضغط الطاولة نحو الأسفل بقوّة N′ = 20 N (تؤثّر على الطاولة). مساواة N و m·g ليست من القانون الثالث بل من كون الكتاب في حالة اتّزان — سنرى ذلك في البند التالي.

m·g = N = N′ = 20 N

سؤال 2.5: تجذب الأرض إنسانا كتلته 60 kg بقوّة 600 N. بأيّ قوّة يجذب الإنسان الأرض؟ ولماذا نرى الإنسان يسقط نحو الأرض ولا نرى الأرض «تسقط» نحوه؟ (تلميح: كتلة الأرض 6 · 10²⁴ kg — فكّروا بالقصور الذاتي.)

سؤال 2.6: يدفع حصان عربة. حسب القانون الثالث تدفع العربة الحصان بقوّة مساوية ومعاكسة — فكيف تتحرّك العربة إلى الأمام؟ (تلميح: ارسموا القوى على العربة وحدها، ثم على الحصان وحده، وتذكّروا الأرض.)

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الجسم «الأقوى» أو الأثقل يؤثّر بقوّة أكبر: الشاحنة التي تصدم بعوضة تؤثّر عليها — بحسب هذا الظنّ — بقوّة أكبر ممّا تؤثّر البعوضة على الشاحنة. قانون نيوتن الثالث لا يعرف استثناءات: القوّتان متساويتان في المقدار دائما، مهما اختلفت الكتلتان. الفرق كلّه في النتيجة: القوّة نفسها تُكسب البعوضة الصغيرة تسارعا هائلا، والشاحنة الضخمة تسارعا مهملا.

▶تجربة حية — خصائص القوى: الجمع المتّجهي والقانون الثالثنضبط مقدار كلّ من القوّتين وزاويتها، ونراقب متوازي الأضلاع والمركّبات ومحصّلتهما؛ ثم ننتقل إلى لوحة القانون الثالث لنرى زوج القوى على جسمين متلامسين.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#forces

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#forces

התמדה – القصور الذاتي (Inertia)

من أرسطو إلى غاليليو – מאריסטו לגלילאו:

اعتقد أرسطو، ومعه معظم الناس حتى اليوم، أنّ الجسم يحتاج إلى قوّة ليبقى متحرّكا: العربة تتوقّف إذا توقّف الحصان عن سحبها. غاليليو كان أوّل من رأى الأمر بطريقة أخرى. تخيّل كرة تنزل على سطح مائل أملس ثم تصعد على سطح مائل آخر: تصل دائما إلى الارتفاع نفسه الذي انطلقت منه. إذا قلّلنا ميل السطح الثاني قطعت الكرة طريقا أطول لتبلغ ذلك الارتفاع. وإذا جعلنا السطح الثاني أفقيا تماما — لن تبلغ الارتفاع أبدا، وستستمرّ في الحركة بسرعة ثابتة إلى ما لا نهاية.

تجربة غاليليو الفكرية: على سطح أفقي أملس لا شيء يوقف الكرة، فتستمرّ بسرعة ثابتة

إذًا ما يوقف العربة ليس غياب القوّة بل وجود قوّة: الاحتكاك. لو ألغينا الاحتكاك تماما لاستمرّت العربة في حركتها بلا حصان. الحركة بسرعة ثابتة لا تحتاج إلى قوّة؛ ما يحتاج إلى قوّة هو تغيير السرعة.

القصور الذاتي (התמדה): (الاستمرارية) هو خاصّية كلّ جسم أن يحافظ على حالة حركته — السكون أو الحركة المستقيمة بسرعة ثابتة — ما لم تؤثّر عليه قوّة محصّلة تغيّر هذه الحالة. مقياس القصور الذاتي هو الكتلة: كلّما كبرت الكتلة صعب تغيير حالة حركة الجسم.

قانون نيوتن الأوّل (قانون القصور الذاتي) · החוק הראשון של ניוטון

ΣF = 0 ⇔ v = const

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣF	محصّلة القوى المؤثّرة على الجسم	[N]
v	السرعة ثابتة مقدارا واتّجاها (ومنها حالة السكون v = 0)	[m/s]

القانون يعمل في الاتّجاهين: إذا كانت المحصّلة صفرا فالسرعة ثابتة، وإذا كانت السرعة ثابتة (أو الجسم ساكنا) فالمحصّلة صفر. لاحظوا أنّه لا يقول «لا توجد قوى» بل «محصّلة القوى صفر»: على الكتاب الموضوع على الطاولة تؤثّر قوّتان، لكنّهما تلغيان إحداهما الأخرى.

عندما تفرمل الحافلة فجأة يندفع الركّاب إلى الأمام: أجسامهم تحافظ على سرعتها بينما الحافلة تبطئ. حزام الأمان هو القوّة التي توقف الراكب مع الحافلة.
عندما تنطلق السيّارة فجأة يُضغط الراكب في مقعده: هو «يبقى في مكانه» والمقعد يندفع نحوه.
سحب مفرش الطاولة بسرعة يترك الأطباق في مكانها: القوّة الصغيرة (الاحتكاك) في الزمن القصير لا تكفي لتغيير حالة سكونها.
مركبة فضائية بعيدة عن الكواكب تطفئ محرّكاتها وتستمرّ بسرعة ثابتة سنوات طويلة — لا قوّة تؤثّر عليها.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الجسم المتحرّك بسرعة ثابتة «تدفعه» قوّة محصّلة باتّجاه حركته، وأنّ قوّة محرّك السيّارة التي تسير بانتظام أكبر من قوى المقاومة. الصحيح عكس ذلك: السرعة الثابتة في خطّ مستقيم تعني أنّ محصّلة القوى صفر — قوّة المحرّك تساوي الاحتكاك ومقاومة الهواء بالضبط، لا أكثر. القوّة لا تلزم لاستمرار الحركة، بل لتغييرها.

شرط الاتّزان – תנאי שיווי המשקל:

الاتّزان (שיווי משקל): نقول إنّ الجسم في حالة اتّزان إذا كانت محصّلة القوى المؤثّرة عليه صفرا. الاتّزان قد يكون ساكنا (الجسم لا يتحرّك) أو حركيا (الجسم يتحرّك بسرعة ثابتة في خطّ مستقيم) — من ناحية القوى لا فرق بين الحالتين.

المحصّلة متّجه، وانعدامها يعني انعدام كلّ مركّبة من مركّباتها. لذلك شرط الاتّزان هو في الحقيقة معادلتان:

شرط الاتّزان · תנאי שיווי המשקל

ΣF_x = 0

ΣF_y = 0

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣF_x	مجموع مركّبات كلّ القوى على المحور x	[N]
ΣF_y	مجموع مركّبات كلّ القوى على المحور y	[N]

بالمعنى الهندسي: إذا رسمنا القوى «الذيل إلى الرأس» وجب أن يُغلَق المضلّع ويعود إلى نقطة البداية. قوّتان في حالة اتّزان متساويتان ومتعاكستان؛ وثلاث قوى في حالة اتّزان تشكّل مثلّثا مغلقا.

مثال 2.13

مصباح كتلته 3 kg معلّق بخيطين متماثلين يصنع كلّ منهما زاوية 37° مع الشاقول (الشكل). نحسب قوّة الشدّ في كلّ خيط.

الحل:

نرسم مخطّط القوى للمصباح: وزنه m·g نحو الأسفل، وقوّتا شدّ T₁ و T₂ بمحاذاة الخيطين. بسبب التماثل T₁ = T₂ = T. نختار المحور y نحو الأعلى والمحور x أفقيا، ونحلّل قوّتي الشدّ (الزاوية مقيسة من الشاقول، فالمركّبة العمودية هي T·cos θ):

ΣF_x = T·sin 37° − T·sin 37° = 0

ΣF_y = T·cos 37° + T·cos 37° − m·g = 0

المعادلة الأولى تتحقّق تلقائيا بسبب التماثل. من الثانية:

2·T·cos 37° = m·g

T = m·g2·cos 37° = 3 · 102 · 0.8 = 18.75 N

لاحظوا أنّ كلّ خيط يحمل أكثر من نصف الوزن (15 N)، لأنّ جزءا من قوّة الشدّ «يضيع» في المركّبة الأفقية. كلّما كبرت الزاوية كبرت قوّة الشدّ — ولذلك لا يمكن شدّ حبل غسيل حتى يصبح أفقيا تماما.

T = 18.75 N

مثال 2.14

لافتة كتلتها 4 kg معلّقة بخيطين: الأوّل أفقي مثبّت في الحائط، والثاني مثبّت في السقف ويصنع زاوية 53° مع الأفق (الشكل). نحسب قوّة الشدّ في كلّ خيط.

الحل:

على اللافتة ثلاث قوى: وزنها m·g = 40 N نحو الأسفل، T₁ أفقية نحو الحائط، و T₂ بمحاذاة الخيط المائل. المركّبة العمودية الوحيدة نحو الأعلى هي T₂·sin 53°، فهي التي تحمل الوزن كلّه:

ΣF_y = T₂·sin 53° − m·g = 0

T₂ = m·gsin 53° = 400.8 = 50 N

المحور الأفقي: المركّبة الأفقية لـ T₂ نحو اليمين يوازنها الخيط الأفقي نحو اليسار:

ΣF_x = T₂·cos 53° − T₁ = 0

T₁ = T₂·cos 53° = 50 · 0.6 = 30 N

الخيط المائل يحمل أكثر من الوزن (50 N > 40 N)، لأنّه يحمل الوزن ويشدّ ضدّ الخيط الأفقي في آن واحد. لاحظوا الترتيب: بدأنا بالمحور الذي فيه مجهول واحد فقط.

T₁ = 30 N , T₂ = 50 N

مثال 2.15

تؤثّر على جسم ساكن قوّتان: F₁ = 30 N باتّجاه x الموجب و F₂ = 40 N باتّجاه y الموجب، وقوّة ثالثة F₃ مجهولة. نجد مقدار F₃ واتّجاهها.

الحل:

الجسم في حالة اتّزان، فمحصّلة القوى الثلاث صفر: القوّة الثالثة تساوي محصّلة الأوليين مقدارا وتعاكسها اتّجاها.

ΣF_x = 30 + F_3x = 0 ⇒ F_3x = −30 N

ΣF_y = 40 + F_3y = 0 ⇒ F_3y = −40 N

F₃ = 30² + 40² = 50 N

tan θ = 4030 ⇒ θ = 53°

القوّة الثالثة مقدارها 50 N وتتّجه نحو x السالب و y السالب، بزاوية 53° تحت المحور x السالب — أي تعاكس تماما محصّلة الأوليين.

F₃ = 50 N

القصور الذاتي بمحاذاة محور معيّن – התמדה בציר מסוים:

بما أنّ شرط الاتّزان معادلتان مستقلّتان، يمكن أن يتحقّق على محور واحد فقط. إذا كانت ΣF_x = 0 بينما ΣF_y ≠ 0 فإنّ مركّبة السرعة على المحور x تبقى ثابتة، في حين تتغيّر مركّبتها على المحور y. هذا بالضبط ما يحدث في القذف الأفقي الذي درسناه في الفصل الأوّل: القوّة الوحيدة هي الجاذبية، وهي عمودية، فلا توجد قوّة أفقية والمركّبة الأفقية للسرعة لا تتغيّر، بينما المركّبة العمودية تزداد بانتظام.

مثال 2.16

قُذفت كرة أفقيا من سطح بناية بسرعة 5 m/s. نهمل مقاومة الهواء. نحسب مركّبتي سرعة الكرة بعد 2 s، ونفسّر النتيجة بلغة القوى.

الحل:

القوّة الوحيدة المؤثّرة على الكرة بعد القذف هي وزنها m·g نحو الأسفل. على المحور الأفقي ΣF_x = 0، فالكرة «قاصرة» أفقيا:

v_x = v₀ = 5 m/s

على المحور العمودي تؤثّر الجاذبية، فتتغيّر السرعة كما في السقوط الحرّ:

v_y = g·t = 10 · 2 = 20 m/s

المركّبة الأفقية لم تتغيّر رغم أنّ الكرة تسقط: قانون القصور الذاتي يعمل على كلّ محور على حدة.

v_x = 5 m/s , v_y = 20 m/s

سؤال 2.7: يُسحب صندوق على أرضية بحبلين أفقيين متعامدين بقوّتين 30 N و 40 N، فيتحرّك بسرعة ثابتة. ما مقدار قوّة الاحتكاك المؤثّرة عليه وما اتّجاهها؟

سؤال 2.8: يقف راكب في حافلة تسير بسرعة ثابتة على طريق مستقيم. هل تؤثّر عليه قوّة محصّلة؟ وماذا يحدث له عندما تنعطف الحافلة فجأة إلى اليمين؟ فسّروا بالقصور الذاتي.

מתיחות, כוח נורמלי וכוח חיכוך – قوّة الشدّ، القوّة العمودية وقوّة الاحتكاك (Tension, Normal Force and Friction)

تعرّفنا على قوّة الجاذبية وقوّة النابض. الآن نتعرّف على ثلاث قوى تلامس تظهر في معظم مسائل الميكانيكا: قوّة الشدّ في الخيوط والحبال، القوّة العمودية التي يؤثّر بها كلّ سطح، وقوّة الاحتكاك بنوعيها.

قوّة الشدّ في الخيط – המתיחות בחוט:

عندما نشدّ حبلا من طرفيه ينشدّ كلّه. لنتخيّل مقطعا عرضيا في منتصف الحبل: الجزء الأيمن يشدّ الجزء الأيسر نحو اليمين، والجزء الأيسر يشدّ الجزء الأيمن نحو اليسار — زوج من القوى المتساوية حسب القانون الثالث. مقدار هذه القوّة المتبادلة بين جزأي الحبل في كلّ مقطع هو ما نسمّيه قوّة الشدّ.

قوّة الشدّ (מתיחות): (التوتّر) هي القوّة التي يؤثّر بها الخيط أو الحبل على الجسم المربوط بطرفه، وتتّجه دائما بمحاذاة الخيط ونحو داخله (بعيدا عن الجسم). الخيط يستطيع أن يشدّ فقط، ولا يستطيع أن يدفع. نرمز لها بـ T.

حبل يسحب جسما: في كلّ مقطع عرضي يشدّ جزءا الحبل أحدهما الآخر بقوّة T — هذه هي قوّة الشدّ في ذلك المقطع

ملاحظة: في هذا الكتاب نفترض أنّ الخيط مهمل الكتلة وغير قابل للتمدّد. عندها تكون قوّة الشدّ واحدة في كلّ مقاطع الخيط، ويؤثّر الخيط بالقوّة نفسها T على الجسمين المربوطين بطرفيه. وإذا مرّ الخيط على بكرة ملساء مهملة الكتلة فإنّ قوّة الشدّ لا تتغيّر أيضا عند عبورها — وسنستعمل ذلك في البند 3.3.

جسم معلّق بخيط في حالة اتّزان: T = m·g

أبسط حالة: جسم كتلته m معلّق بخيط من السقف وساكن. على الجسم قوّتان فقط: وزنه نحو الأسفل وقوّة الشدّ نحو الأعلى. من شرط الاتّزان ΣF_y = T − m·g = 0 نحصل على T = m·g. لاحظوا أنّ هذا صحيح أيضا إذا كان الجسم يتحرّك بسرعة ثابتة نحو الأعلى أو نحو الأسفل — فالاتّزان الحركي كالاتّزان الساكن. أما إذا كان الجسم يتسارع فلن تساوي T الوزن، وهذا موضوع البند 3.1.

مثال 2.17

جسمان كتلتاهما m₁ = 3 kg و m₂ = 2 kg معلّقان بخيطين كما في الشكل: الخيط الأوّل يربط m₁ بالسقف، والخيط الثاني يربط m₂ بـ m₁. نحسب قوّة الشدّ في كلّ خيط.

الحل:

نبدأ بالجسم السفلي m₂، لأنّ عليه قوّتين فقط: وزنه وقوّة شدّ الخيط الثاني نحو الأعلى:

T₂ − m₂·g = 0

T₂ = m₂·g = 2 · 10 = 20 N

الآن الجسم العلوي m₁: عليه ثلاث قوى — وزنه نحو الأسفل، الخيط الثاني يشدّه نحو الأسفل بـ T₂ (الخيط نفسه يشدّ الجسمين في الاتّجاهين)، والخيط الأوّل يشدّه نحو الأعلى بـ T₁:

T₁ − m₁·g − T₂ = 0

T₁ = m₁·g + T₂ = 30 + 20 = 50 N

الخيط العلوي يحمل الجسمين معا: T₁ = (m₁ + m₂)·g. الخيط السفلي يحمل الجسم السفلي فقط.

T₁ = 50 N , T₂ = 20 N

سؤال 2.9: حبل يتحمّل قوّة شدّ قصوى 400 N. ما أكبر كتلة يمكن تعليقها به دون أن ينقطع؟ وإذا علّقنا بالحبل جسمين كتلتاهما 15 kg و 20 kg كما في المثال السابق — هل ينقطع الحبل العلوي؟

القوّة العمودية – הכוח הנורמלי:

لماذا لا يسقط الكتاب عبر الطاولة؟ لأنّ الطاولة تدفعه نحو الأعلى. كيف تفعل الطاولة ذلك؟ نموذج النوابض يساعد على الفهم: سطح الطاولة ليس صلبا تماما؛ تحت الكتاب ينضغط قليلا جدا — كأنّه مكوّن من نوابض صغيرة قاسية جدا — وكلّ نابض مضغوط يدفع نحو الأعلى. ينضغط السطح بالضبط بالمقدار الذي يجعل قوّته توازن القوى الأخرى؛ ولو وضعنا كتابا ثانيا لانضغط أكثر ودفع أكثر.

نموذج النوابض للقوّة العمودية: السطح ينضغط ويدفع الجسم عموديا على السطح

القوّة العمودية (כוח נורמלי): هي القوّة التي يؤثّر بها سطح على جسم يلامسه، وتتّجه دائما عموديا على السطح ونحو الخارج (بعيدا عن السطح). نرمز لها بـ N. السطح يستطيع أن يدفع فقط، ولا يستطيع أن يجذب؛ وإذا انفصل الجسم عن السطح انعدمت القوّة العمودية.

انتبهوا: لا توجد صيغة عامّة للقوّة العمودية! مقدارها يتحدّد في كلّ مسألة من معادلة القوى على المحور العمودي على السطح. على سطح أفقي لا تؤثّر عليه قوى عمودية أخرى N = m·g، لكن إذا ضغطنا الجسم نحو الأسفل كبرت N، وإذا سحبناه نحو الأعلى صغرت، وعلى سطح مائل تكون أصغر من الوزن حتى بلا قوى إضافية (البند 3.3).

القوّة العمودية على سطح أفقي في ثلاث حالات: من دون قوى إضافية، مع ضغط نحو الأسفل، ومع سحب نحو الأعلى

مثال 2.18

صندوق كتلته 5 kg موضوع على أرضية أفقية. نحسب القوّة العمودية:
أ. من دون قوى إضافية.
ب. عندما نضغطه نحو الأسفل بقوّة 20 N.
ج. عندما نسحبه نحو الأعلى بحبل بقوّة 20 N.
د. عندما نسحبه نحو الأعلى بقوّة 50 N.

الحل:

في كلّ الحالات الصندوق ساكن، فمجموع القوى العمودية صفر (نختار الأعلى موجبا). الوزن m·g = 50 N.

أ. قوّتان فقط:

N − m·g = 0 ⇒ N = 50 N

ب. القوّة الإضافية نحو الأسفل تزيد ما يجب على الأرضية أن تحمله:

N − m·g − F = 0 ⇒ N = 50 + 20 = 70 N

ج. الحبل يحمل جزءا من الوزن، فيقلّ الضغط على الأرضية:

N + F − m·g = 0 ⇒ N = 50 − 20 = 30 N

د. قوّة الحبل تساوي الوزن بالضبط:

N = 50 − 50 = 0

الصندوق على وشك الانفصال عن الأرضية: أيّ زيادة في قوّة الحبل سترفعه، وستبقى N = 0 لأنّ الأرضية لا تستطيع الجذب.

N = 50 N , 70 N , 30 N , 0

ملاحظة: ميزان الحمّام (ميزان نابض نقف عليه) يقيس في الحقيقة القوّة العمودية التي يؤثّر بها على القدمين، لا الوزن. في الحالات العادية القوّتان متساويتان؛ لكن إذا ضغطتم بيدكم على الحائط أو أمسكتم بطاولة تغيّرت القراءة من دون أن يتغيّر وزنكم. سنعود إلى ذلك في المصعد المتسارع (البند 3.3).

سؤال 2.10: شخص كتلته 70 kg يقف على ميزان ويضغط بيديه على سقف منخفض بقوّة 100 N نحو الأعلى. ماذا يقرأ الميزان (بالنيوتن)؟ وماذا يقرأ إذا تعلّق بحبل مثبّت في السقف بقوّة 100 N؟

الالتصاق ومنشأ الاحتكاك – אדהזיה ומקור החיכוך:

سطح يبدو أملس بالعين هو تحت المجهر سلسلة من النتوءات والفجوات. عندما نضع جسما على سطح لا يتلامسان إلا في نقاط قليلة — قمم النتوءات — وفي هذه النقاط تتقارب ذرّات الجسمين إلى حدّ تظهر فيه بينها قوى كهربائية جاذبة. هذا الالتصاق في نقاط التلامس هو المنشأ الرئيسي للاحتكاك: لتحريك الجسم يجب «قطع» هذه الالتصاقات الصغيرة، وعند الحركة تتكوّن وتُقطع باستمرار.

الالتصاق (אדהזיה): هو قوّة التجاذب بين ذرّات سطحين مختلفين متلامسين. كلّما ضغطنا الجسم أكثر على السطح كبرت مساحة التلامس الحقيقية وكثرت نقاط الالتصاق — ولهذا يتناسب الاحتكاك مع القوّة العمودية. أما مساحة التلامس الظاهرية (حجم وجه الجسم) فلا تؤثّر، لأنّ عدد نقاط التلامس الحقيقية يتحدّد بالضغط لا بالمساحة.

سطحان «أملسان» تحت المجهر: التلامس الحقيقي في نقاط قليلة، وفيها يحدث الالتصاق الذي يولّد الاحتكاك

الاحتكاك الحركي – החיכוך הקינטי:

قوّة الاحتكاك الحركي (חיכוך קינטי): هي القوّة التي يؤثّر بها السطح على جسم ينزلق عليه، وتتّجه بمحاذاة السطح وبعكس اتّجاه انزلاق الجسم بالنسبة إلى السطح. نرمز لها بـ f_k.

الاحتكاك الحركي · חיכוך קינטי

f_k = μ_k·N

الرمز	المعنى	وحدة القياس
f_k	قوّة الاحتكاك الحركي	[N]
μ_k	معامل الاحتكاك الحركي: عدد بلا وحدات يتعلّق بمادّتي السطحين وبحالتهما	—
N	القوّة العمودية بين الجسم والسطح	[N]

ثلاث حقائق تجريبية عن الاحتكاك الحركي، كلّها تقريبية لكنّها دقيقة بما يكفي لمسائلنا:

يتناسب مع القوّة العمودية N — وليس مع الوزن. على سطح أفقي بلا قوى عمودية إضافية N = m·g ويصبح f_k = μ_k·m·g، لكن هذه حالة خاصّة.
لا يتعلّق بمساحة التلامس: صندوق على وجهه الكبير وعلى وجهه الصغير يواجه الاحتكاك نفسه.
لا يتعلّق (تقريبا) بالسرعة: الجسم البطيء والسريع على السطح نفسه يواجهان الاحتكاك نفسه.

السطحان	μ_s (ساكن)	μ_k (حركي)
مطّاط على إسفلت جافّ	0.9	0.8
مطّاط على إسفلت مبلّل	0.5	0.3
خشب على خشب	0.5	0.3
فولاذ على فولاذ (جافّ)	0.7	0.6
فولاذ على فولاذ (مزيّت)	0.1	0.05
جليد على جليد	0.1	0.03
تفلون على تفلون	0.04	0.04

القيم في الجدول نموذجية فقط وتتغيّر كثيرا مع الرطوبة والنظافة والتآكل؛ في المسائل يُعطى المعامل دائما. لاحظوا أنّ معامل الاحتكاك الساكن أكبر عادة من الحركي: البدء بالحركة أصعب من الاستمرار فيها.

مثال 2.19

صندوق كتلته 4 kg ينزلق على أرضية أفقية، ومعامل الاحتكاك الحركي بينهما 0.3. نحسب قوّة الاحتكاك:
أ. عندما ينزلق الصندوق وحده.
ب. عندما ينزلق ويضغطه شخص نحو الأسفل بقوّة 30 N.

الحل:

أ. على سطح أفقي من دون قوى عمودية إضافية، القوّة العمودية تساوي الوزن:

N = m·g = 4 · 10 = 40 N

f_k = μ_k·N = 0.3 · 40 = 12 N

ب. الضغط الإضافي يكبّر القوّة العمودية، وبالتالي الاحتكاك:

N = m·g + F = 40 + 30 = 70 N

f_k = μ_k·N = 0.3 · 70 = 21 N

في الحالتين تتّجه قوّة الاحتكاك بعكس اتّجاه الانزلاق، مهما كان اتّجاه القوّة التي تسحب الصندوق.

f_k = 12 N , 21 N

الاحتكاك الساكن – החיכוך הסטטי:

ندفع خزانة ثقيلة بقوّة صغيرة — لا تتحرّك. نزيد القوّة — ما زالت لا تتحرّك. نزيد أكثر — وفجأة تنزلق. ما دامت الخزانة ساكنة فمحصّلة القوى عليها صفر، أي أنّ الأرضية تؤثّر عليها بقوّة احتكاك تساوي بالضبط قوّتنا وتعاكسها. هذه القوّة تكبر معنا — لكن إلى حدّ.

قوّة الاحتكاك الساكن (חיכוך סטטי): هي القوّة التي يؤثّر بها السطح على جسم ساكن بالنسبة إليه يحاول الانزلاق، وتمنع هذا الانزلاق. مقدارها ليس ثابتا: تساوي ما يلزم بالضبط لمنع الحركة، حتى قيمة قصوى f_s,max = μ_s·N؛ وإذا احتاج الجسم إلى أكثر من ذلك انزلق. نرمز لها بـ f_s.

الاحتكاك الساكن · חיכוך סטטי

f_s ≤ μ_s·N

f_s,max = μ_s·N

الرمز	المعنى	وحدة القياس
f_s	قوّة الاحتكاك الساكن الفعلية (تتحدّد من شرط الاتّزان)	[N]
μ_s	معامل الاحتكاك الساكن	—
f_s,max	القيمة القصوى للاحتكاك الساكن: عندها يكون الجسم «على وشك الانزلاق»	[N]

انتبهوا: الخطأ الأكثر شيوعا في مسائل الاحتكاك: كتابة f_s = μ_s·N لجسم ساكن. الصيغة بالمساواة صحيحة فقط عندما يكون الجسم على وشك الانزلاق. في كلّ حالة أخرى نحسب f_s من شرط الاتّزان، ثم نتأكّد أنّها لا تتجاوز μ_s·N.

قوّة الاحتكاك كدالّة للقوّة المؤثّرة على صندوق كتلته 4 kg (μ_s = 0.5 ، μ_k = 0.3): ترتفع مع القوّة حتى 20 N، ثم تهبط فجأة إلى القيمة الحركية 12 N وتبقى ثابتة

يلخّص الرسم البياني القصّة كلّها. في المنطقة الأولى الجسم ساكن والاحتكاك يساوي القوّة المؤثّرة (خطّ بميل 1). عند النقطة القصوى μ_s·N ينفلت الجسم، ويهبط الاحتكاك إلى μ_k·N ويبقى ثابتا مهما زادت القوّة. الهبوط المفاجئ هو سبب «القفزة» التي نشعر بها عندما تبدأ الخزانة بالحركة.

مثال 2.20

صندوق كتلته 4 kg موضوع على أرضية أفقية؛ μ_s = 0.5 و μ_k = 0.3. نؤثّر عليه بقوّة أفقية.
أ. F = 12 N — هل يتحرّك الصندوق، وما قوّة الاحتكاك؟
ب. F = 25 N — هل يتحرّك، وما قوّة الاحتكاك ومحصّلة القوى؟

الحل:

نحسب أوّلا القوّة العمودية وسقف الاحتكاك الساكن:

N = m·g = 40 N

f_s,max = μ_s·N = 0.5 · 40 = 20 N

أ. القوّة 12 N أصغر من السقف، فالصندوق يبقى ساكنا، والاحتكاك الساكن يوازن القوّة تماما:

f_s = F = 12 N ( < 20 N)

ΣF = 0

ب. القوّة 25 N أكبر من السقف، فالصندوق ينزلق والاحتكاك يصبح حركيا:

f_k = μ_k·N = 0.3 · 40 = 12 N

ΣF = F − f_k = 25 − 12 = 13 N

المحصّلة ليست صفرا، فالصندوق يتسارع — وسنحسب تسارعه في البند 3.1.

f_s = 12 N ; f_k = 12 N , ΣF = 13 N

مثال 2.21

خزانة كتلتها 20 kg على أرضية خشبية؛ μ_s = 0.4 و μ_k = 0.3.
أ. ما أصغر قوّة أفقية تحرّك الخزانة من السكون؟
ب. بعد أن تتحرّك، ما القوّة اللازمة لإبقائها تتحرّك بسرعة ثابتة؟

الحل:

أ. لتحريك الخزانة يجب التغلّب على الاحتكاك الساكن الأقصى:

F_min = f_s,max = μ_s·m·g = 0.4 · 20 · 10 = 80 N

ب. أثناء الحركة بسرعة ثابتة المحصّلة صفر، فالقوّة تساوي الاحتكاك الحركي:

F = f_k = μ_k·m·g = 0.3 · 200 = 60 N

بعد الانفلات يمكننا تخفيف القوّة بمقدار 20 N والخزانة تستمرّ في الحركة. وإذا أبقينا 80 N فستتسارع.

F_min = 80 N , F = 60 N

مثال 2.22

نضغط كتابا كتلته 1 kg على حائط عمودي بقوّة أفقية F (الشكل). معامل الاحتكاك الساكن بين الكتاب والحائط 0.4.
أ. ما أصغر قوّة تمنع الكتاب من الانزلاق؟
ب. إذا ضغطنا بقوّة 40 N — ما قوّة الاحتكاك؟

الحل:

هنا السطح عمودي، فالقوّة العمودية أفقية: الحائط يدفع الكتاب نحو اليسار بـ N. الاحتكاك الساكن يتّجه نحو الأعلى ويمنع الانزلاق. المحور الأفقي:

N − F = 0 ⇒ N = F

المحور العمودي: الاحتكاك يحمل الوزن كلّه:

f_s − m·g = 0 ⇒ f_s = m·g = 10 N

أ. الكتاب على وشك الانزلاق عندما يبلغ الاحتكاك الساكن قيمته القصوى:

f_s = μ_s·N = μ_s·F_min = m·g

F_min = m·gμ_s = 100.4 = 25 N

ب. بقوّة 40 N يصبح N = 40 N وسقف الاحتكاك μ_s·N = 16 N، لكنّ الاحتكاك الفعلي يبقى مساويا للوزن فقط:

f_s = m·g = 10 N ( < 16 N)

الضغط الأقوى لا يزيد الاحتكاك الفعلي، بل يزيد فقط «الاحتياطي» المتاح — مثال واضح على أنّ f_s ليست دائما μ_s·N.

F_min = 25 N , f_s = 10 N

سؤال 2.11: لتحريك صندوق كتلته 2 kg من السكون على أرضية لزمت قوّة أفقية 6 N على الأقلّ، ولإبقائه متحرّكا بسرعة ثابتة لزمت قوّة 4 N. احسبوا معاملي الاحتكاك الساكن والحركي.

ملاحظة: الاحتكاك الساكن ليس «عدوّ الحركة» دائما — بل هو ما يجعل المشي والقيادة ممكنين. عندما تدفع قدمك الأرض نحو الخلف يدفعك الاحتكاك الساكن نحو الأمام (القانون الثالث)؛ وعجلة السيّارة التي تدور من دون انزلاق تتقدّم بفضل الاحتكاك الساكن بينها وبين الطريق. على الجليد، حيث المعامل صغير، يصعب المشي والانطلاق والتوقّف معا.

سؤال 2.12: صندوق كتلته 10 kg على أرضية؛ μ_s = 0.6 و μ_k = 0.4. ما قوّة الاحتكاك عندما نؤثّر عليه بقوّة أفقية:
أ. 50 N؟
ب. 70 N؟ وما محصّلة القوى في كلّ حالة؟

▶تجربة حية — القوّة العمودية والاحتكاك الساكن والحركينزيد القوّة المؤثّرة تدريجيا ونتابع قوّة الاحتكاك على الرسم البياني: متى تنفلت الكتلة، وكم يهبط الاحتكاك لحظة الانفلات؛ ثم نغيّر المعاملين ونرى كيف يتغيّر الرسم.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#friction

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#friction

ניתוח מצבי התמדה פשוטים – تحليل حالات الاتّزان البسيطة (Analysis of Simple Equilibrium Situations)

نجمع الآن كلّ ما تعلّمناه — شرط الاتّزان، القوّة العمودية والاحتكاك، التحليل إلى مركّبات — في طريقة عمل ثابتة لحلّ مسائل القوى. سنستعمل هذه الطريقة نفسها في بقيّة الكتاب كلّه، سواء كان الجسم في حالة اتّزان أو متسارعا:

نرسم الحالة ونحدّد الجسم الذي نحلّل القوى عليه.
نرسم مخطّط القوى: الجسم نقطة، ومنها كلّ القوى المؤثّرة عليه — وعليه فقط. نتذكّر: الوزن دائما، القوّة العمودية من كلّ سطح يلامسه، قوّة الشدّ من كلّ خيط مربوط به، الاحتكاك إذا كان السطح خشنا، وأيّ قوّة خارجية مُعطاة.
نختار محورين: عادة أحدهما بمحاذاة الحركة (أو الحركة المحتملة) والآخر عموديا عليه.
نحلّل القوى المائلة إلى مركّبات على المحورين.
نكتب معادلة لكلّ محور: ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 في حالة الاتّزان (وفي البند التالي: ΣF = m·a).
نحلّ المعادلات ونفحص معقولية النتيجة (الإشارات، الوحدات، مقارنة N مع m·g).

جسم يُسحب بقوّة أفقية بسرعة ثابتة – גוף נגרר בכוח אופקי במהירות קבועה:

مخطّط القوى: F و f متساويتان، N و m·g متساويتان

صندوق كتلته m يُسحب على أرضية أفقية خشنة بقوّة أفقية F ويتحرّك بسرعة ثابتة. على الصندوق أربع قوى: الوزن m·g نحو الأسفل، القوّة العمودية N نحو الأعلى، قوّة السحب F باتّجاه الحركة، والاحتكاك الحركي f_k بعكسها. السرعة ثابتة، فالصندوق في حالة اتّزان حركي، ومحصّلة القوى على كلّ محور صفر:

ΣF_y = N − m·g = 0 ⇒ N = m·g

ΣF_x = F − f_k = 0 ⇒ F = f_k = μ_k·N = μ_k·m·g

صندوق يُسحب بقوّة أفقية بسرعة ثابتة: القوى الأربع، وحاصلها صفر

مثال 2.23

صندوق كتلته 10 kg يُسحب على أرضية أفقية بحبل أفقي، ويتحرّك بسرعة ثابتة 2 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0.4. نحسب قوّة الشدّ في الحبل. هل تتغيّر الإجابة إذا كانت السرعة الثابتة 5 m/s؟

الحل:

السرعة ثابتة، فالمحصّلة صفر على المحورين. على المحور العمودي:

N = m·g = 10 · 10 = 100 N

على المحور الأفقي تساوي قوّة الشدّ الاحتكاك الحركي:

T = f_k = μ_k·N = 0.4 · 100 = 40 N

الإجابة لا تتعلّق بالسرعة: الاحتكاك الحركي لا يتغيّر مع السرعة، والقوّة نفسها 40 N تحفظ أيّ سرعة ثابتة. ما يختلف هو القوّة التي كانت لازمة للوصول إلى تلك السرعة.

T = 40 N

مثال 2.24

صندوقان كتلتاهما m₁ = 2 kg و m₂ = 3 kg موضوعان على أرضية أفقية ومربوطان بخيط. نسحب الصندوق الأمامي m₂ بقوّة أفقية F فيتحرّك الصندوقان بسرعة ثابتة؛ μ_k = 0.2 للصندوقين. نحسب قوّة الشدّ في الخيط والقوّة F.

الحل:

نحلّل كلّ صندوق على حدة. على الصندوق الخلفي m₁ تؤثّر أفقيا قوّتان فقط: الخيط يشدّه إلى الأمام بـ T والاحتكاك إلى الخلف:

N₁ = m₁·g = 20 N , f₁ = μ_k·N₁ = 4 N

T − f₁ = 0 ⇒ T = 4 N

على الصندوق الأمامي m₂: القوّة F إلى الأمام، والخيط يشدّه إلى الخلف بـ T نفسها (قوّة الشدّ واحدة في الخيط)، والاحتكاك إلى الخلف:

N₂ = m₂·g = 30 N , f₂ = μ_k·N₂ = 6 N

F − T − f₂ = 0 ⇒ F = 4 + 6 = 10 N

نفحص بطريقة ثانية: لو نظرنا إلى الصندوقين كجسم واحد كتلته 5 kg لكان الاحتكاك الكلّي 0.2 · 50 = 10 N وهو يساوي F — الخيط قوّة داخلية لا تظهر في هذا الحساب. لكن لحساب T نفسها لا بدّ من تحليل صندوق واحد.

T = 4 N , F = 10 N

جسم يُسحب بقوّة مائلة – גוף נגרר בכוח נטוי:

الآن الحبل يصنع زاوية θ فوق الأفق. القوّة F مائلة، فنحلّلها إلى مركّبتين: أفقية F·cos θ تسحب الصندوق إلى الأمام، وعمودية F·sin θ تسحبه إلى الأعلى. المركّبة العمودية تحمل جزءا من الوزن، فتقلّ القوّة العمودية — ويقلّ معها الاحتكاك.

صندوق يُسحب بحبل مائل بزاوية θ بسرعة ثابتة: نحلّل F إلى F_x = F·cos θ و F_y = F·sin θ

مخطّط القوى: N أصغر من m·g لأنّ الحبل يرفع جزءا من الوزن

نكتب شرط الاتّزان على المحورين. على المحور العمودي تشترك ثلاث قوى: N و F·sin θ نحو الأعلى، والوزن نحو الأسفل. على المحور الأفقي: F·cos θ إلى الأمام والاحتكاك إلى الخلف.

السحب بقوّة مائلة بسرعة ثابتة · גרירה בכוח נטוי

ΣF_y = N + F·sin θ − m·g = 0 ⇒ N = m·g − F·sin θ

ΣF_x = F·cos θ − μ_k·N = 0 ⇒ F·cos θ = μ_k·(m·g − F·sin θ)

F = μ_k·m·gcos θ + μ_k·sin θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
θ	زاوية الحبل فوق الأفق	[°]
N	القوّة العمودية — أصغر من الوزن	[N]
F	القوّة اللازمة للحركة بسرعة ثابتة	[N]

ملاحظة: لا داعي لحفظ الصيغة الأخيرة. الطريقة هي المهمّة: معادلة لكلّ محور، نعزل N من المعادلة العمودية ونعوّضه في الأفقية. في الامتحان نكتب المعادلتين بالرموز، ثم نعوّض الأرقام.

مثال 2.25

صندوق كتلته 10 kg يُسحب على أرضية أفقية بحبل يصنع زاوية 53° فوق الأفق، ويتحرّك بسرعة ثابتة. معامل الاحتكاك الحركي 0.5. نحسب قوّة الشدّ في الحبل، القوّة العمودية وقوّة الاحتكاك.

الحل:

نرسم مخطّط القوى (الشكل أعلاه) ونحلّل قوّة الشدّ: F_x = F·cos 53° = 0.6·F ، F_y = F·sin 53° = 0.8·F. المحور العمودي:

N + 0.8·F − 100 = 0 ⇒ N = 100 − 0.8·F

المحور الأفقي (سرعة ثابتة):

0.6·F − μ_k·N = 0 ⇒ 0.6·F = 0.5·(100 − 0.8·F)

نفكّ الأقواس ونجمع حدود F:

0.6·F + 0.4·F = 50

F = 50 N

نعود إلى القوّة العمودية والاحتكاك:

N = 100 − 0.8 · 50 = 60 N

f_k = μ_k·N = 0.5 · 60 = 30 N

نفحص: المركّبة الأفقية 0.6 · 50 = 30 N تساوي الاحتكاك تماما. والقوّة العمودية 60 N أصغر من الوزن 100 N كما توقّعنا.

F = 50 N , N = 60 N , f_k = 30 N

مثال 2.26

صندوق كتلته 20 kg على أرضية μ_k = 0.25. نقارن القوّة اللازمة لسحبه بسرعة ثابتة:
أ. بحبل أفقي.
ب. بحبل مائل بزاوية 37°. أيّهما أسهل؟

الحل:

أ. بالحبل الأفقي N = m·g = 200 N:

F₁ = μ_k·m·g = 0.25 · 200 = 50 N

ب. بالحبل المائل نحلّ المعادلتين كما في المثال السابق:

N = 200 − 0.6·F

0.8·F = 0.25·(200 − 0.6·F)

0.8·F + 0.15·F = 50

F₂ = 500.95 = 52.6 N

المفاجأة: السحب المائل يحتاج هنا إلى قوّة أكبر قليلا! صحيح أنّ الاحتكاك قلّ (لأنّ N = 168.4 N فقط)، لكنّ جزءا كبيرا من القوّة ذهب إلى المركّبة العمودية ولم يبقَ للسحب إلا 0.8 منها. الزاوية 37° كبيرة جدا لهذا المعامل الصغير.

F₁ = 50 N , F₂ = 52.6 N

القوّة اللازمة لسحب الصندوق (m = 20 kg ، μ_k = 0.25) بسرعة ثابتة كدالّة لزاوية الحبل

يبيّن الرسم البياني القوّة اللازمة كدالّة للزاوية. توجد زاوية مثلى يكون السحب عندها أسهل ما يمكن؛ يمكن إثبات أنّها الزاوية التي يساوي ظلّها معامل الاحتكاك: tan θ = μ_k. هنا θ ≈ 14° والقوّة الدنيا نحو 48.5 N — توفير بسيط. كلّما كبر معامل الاحتكاك كبرت الزاوية المثلى وكبر التوفير: على سطح خشن يستحقّ الأمر رفع الحبل.

الدفع بقوّة مائلة إلى الأسفل – דחיפה בכוח נטוי כלפי מטה:

إذا دفعنا الصندوق بعصا مائلة نحو الأسفل بزاوية θ تحت الأفق انعكست الصورة: المركّبة العمودية للقوّة F·sin θ تضغط الصندوق على الأرضية، فتكبر القوّة العمودية ويكبر الاحتكاك:

دفع بقوّة مائلة إلى الأسفل: المركّبة العمودية تضغط الصندوق فتكبر N

ΣF_y = N − F·sin θ − m·g = 0 ⇒ N = m·g + F·sin θ

ΣF_x = F·cos θ − μ_k·N = 0 ⇒ F = μ_k·m·gcos θ − μ_k·sin θ

مثال 2.27

صندوق كتلته 10 kg على أرضية μ_k = 0.5. نحسب القوّة اللازمة لتحريكه بسرعة ثابتة بقوّة مائلة بزاوية 37°:
أ. سحبا نحو الأعلى.
ب. دفعا نحو الأسفل.

الحل:

أ. سحب مائل نحو الأعلى:

F = μ_k·m·gcos 37° + μ_k·sin 37° = 0.5 · 1000.8 + 0.5 · 0.6 = 501.1 = 45.5 N

ب. دفع مائل نحو الأسفل:

F = μ_k·m·gcos 37° − μ_k·sin 37° = 500.8 − 0.3 = 500.5 = 100 N

الدفع نحو الأسفل يحتاج إلى أكثر من ضعف القوّة! وإذا كان المقام cos θ − μ_k·sin θ صفرا أو سالبا (زاوية كبيرة أو معامل كبير) فلن تحرّك الصندوق أيّ قوّة مهما كبرت: كلّ زيادة في الدفع تزيد الاحتكاك أكثر ممّا تزيد المركّبة الدافعة.

F_pull = 45.5 N , F_push = 100 N

سؤال 2.13: صندوق كتلته 5 kg يُسحب بسرعة ثابتة بحبل يصنع زاوية 30° فوق الأفق؛ μ_k = 0.2. احسبوا قوّة الشدّ في الحبل والقوّة العمودية. (استعملوا cos 30° ≈ 0.87.)

▶تجربة حية — تحليل حالات الاتّزان — السحب بقوّة مائلةنغيّر زاوية الحبل من صفر حتى ستّين درجة ونراقب مؤشّر القوّة اللازمة للحركة بسرعة ثابتة: عند أيّ زاوية تكون أصغر ما يمكن، وكيف تتغيّر القوّة العمودية مع الزاوية؟

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#equil

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#equil

أهمّ أفكار الفصل:

القوّة تأثير متبادل بين جسمين، وهي مقدار متّجه: تُجمع جمعا هندسيا (متوازي الأضلاع) وتُحلَّل إلى مركّبات على محورين متعامدين.
الحركة بسرعة ثابتة في خطّ مستقيم لا تحتاج إلى قوّة: ما تفعله القوى هو تغيير السرعة — مقدارا أو اتّجاها. هذا هو القصور الذاتي.
شرط الاتّزان هو انعدام محصّلة القوى على كلّ محور على حدة؛ ومن ناحية القوى لا فرق بين السكون والحركة المستقيمة المنتظمة.
قوّتا الفعل وردّ الفعل متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتّجاه دائما — مهما اختلفت الكتلتان — وتؤثّران على جسمين مختلفين، فلا تلغي إحداهما الأخرى أبدا.
القوّة العمودية وقوّة الشدّ والاحتكاك الساكن ليست لها صيغ عامّة: مقدارها يتحدّد في كلّ مسألة من معادلات القوى، والاحتكاك الساكن يبلغ حدّه الأقصى على حافّة الانزلاق فقط.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
قوّة الجاذبية (الوزن)	F = m·g
قانون هوك	F = −k·x , k = ΔFΔx
محصّلة قوّتين متعامدتين	ΣF = F₁² + F₂² , tan θ = F₂F₁
مركّبتا القوّة	F_x = F·cos θ , F_y = F·sin θ
محصّلة عدّة قوى	ΣF_x = F_1x + F_2x + ... , ΣF = ΣF_x² + ΣF_y²
قانون نيوتن الثالث	F_AB = −F_BA
قانون نيوتن الأوّل وشرط الاتّزان	ΣF_x = 0 , ΣF_y = 0
الاحتكاك الحركي	f_k = μ_k·N
الاحتكاك الساكن	f_s ≤ μ_s·N
السحب بقوّة مائلة بسرعة ثابتة	N = m·g − F·sin θ , F·cos θ = μ_k·N

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
القوّة	כוח	Force
قوّة الجاذبية (قوّة الثقل)	כוח הכובד	Gravitational force
الوزن	משקל	Weight
النابض (الزنبرك)	קפיץ	Spring
ثابت النابض	קבוע הקפיץ	Spring constant
الاستطالة	התארכות	Extension
المرونة	אלסטיות	Elasticity
قانون هوك	חוק הוק	Hooke's law
الدينامومتر	דינמומטר	Dynamometer
ميزان نابض	מאזני קפיץ	Spring balance
نيوتن	ניוטון	Newton
محصّلة القوى (القوّة المحصّلة)	כוח שקול	Net force (resultant)
المركّبة	רכיב	Component
متوازي أضلاع القوى	מקבילית הכוחות	Parallelogram of forces
مخطّط القوى (مخطّط الجسم الحرّ)	תרשים כוחות (גוף חופשי)	Free-body diagram
قانون نيوتن الثالث	החוק השלישי של ניוטון	Newton's third law
القصور الذاتي (الاستمرارية)	התמדה	Inertia
قانون نيوتن الأوّل	החוק הראשון של ניוטון	Newton's first law
الاتّزان	שיווי משקל	Equilibrium
قوّة الشدّ (التوتّر)	מתיחות	Tension
القوّة العمودية	כוח נורמלי	Normal force
الالتصاق	אדהזיה	Adhesion
الاحتكاك الساكن	חיכוך סטטי	Static friction
الاحتكاك الحركي	חיכוך קינטי	Kinetic friction
معامل الاحتكاك	מקדם חיכוך	Coefficient of friction

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 2.1) عُلّقت كتلة 300 g بنابض عمودي فاستطال 5 cm. احسبوا ثابت النابض، ثم استطالته عند تعليق كتلة 800 g. ما القوّة اللازمة لضغطه 2 cm؟

الإجابات: k = 60 N/m ، x = 13.3 cm ، F = 1.2 N

(للبند 2.2) تؤثّر على جسم قوّتان متعامدتان: F₁ = 9 N و F₂ = 12 N (الشكل). احسبوا مقدار المحصّلة والزاوية التي تصنعها مع F₁. ما أكبر وأصغر مقدار يمكن أن تكون عليه محصّلة هاتين القوّتين لو غيّرنا الزاوية بينهما؟

الإجابات: ΣF = 15 N ، θ = 53° ؛ بين 3 N و 21 N

(للبند 2.2) قوّة مقدارها 80 N تصنع زاوية 60° مع الأفق. احسبوا مركّبتيها الأفقية والعمودية (sin 60° ≈ 0.87). قوّة ثانية مقدارها 40 N تؤثّر أفقيا بالاتّجاه المعاكس — ما محصّلة القوّتين؟

الإجابات: F_x = 40 N ، F_y ≈ 69.3 N ؛ ΣF_x = 0 ، ΣF = F_y ≈ 69.3 N عموديا

(للبند 2.2) حدّدوا لكلّ قوّة قوّة ردّ الفعل المقابلة لها حسب القانون الثالث:
أ. الأرض تجذب القمر.
ب. الحبل يشدّ الزلّاجة.
ج. الأرضية تدفع قدم العدّاء إلى الأمام. هل يمكن أن تلغي قوّة ردّ الفعل قوّة الفعل؟ علّلوا.

الإجابات: أ. القمر يجذب الأرض ؛ ب. الزلّاجة تشدّ الحبل ؛ ج. القدم تدفع الأرضية إلى الخلف ؛ لا — تؤثّران على جسمين مختلفين

(للبند 2.3) جسم ساكن تؤثّر عليه ثلاث قوى: F₁ = 6 N باتّجاه x الموجب، F₂ = 8 N باتّجاه y الموجب، وقوّة ثالثة مجهولة. احسبوا مقدار القوّة الثالثة والزاوية التي تصنعها محصّلة الأوليين مع المحور x. ماذا يحدث للجسم إذا أُزيلت القوّة الثالثة فجأة؟

الإجابات: F₃ = 10 N بعكس اتّجاه محصّلة الأوليين (التي تصنع 53° مع x)؛ عندها يتسارع الجسم باتّجاه محصّلة القوّتين الباقيتين

(للبند 2.4) صندوق كتلته 8 kg على أرضية أفقية. احسبوا القوّة العمودية:
أ. من دون قوى إضافية.
ب. عند الضغط عليه نحو الأسفل بقوّة 30 N.
ج. عند سحبه نحو الأعلى بقوّة 30 N.
د. ما القوّة نحو الأعلى التي تجعل N = 0؟

الإجابات: N = 80 N ، 110 N ، 50 N ؛ د. F = 80 N

(للبند 2.4) خزانة كتلتها 40 kg على أرضية أفقية؛ μ_s = 0.5 و μ_k = 0.4.
أ. ما أصغر قوّة أفقية تلزم لتحريكها من مكانها؟
ب. بعد أن تحرّكت، ما القوّة التي تُبقيها تتحرّك بسرعة ثابتة؟
ج. ما قوّة الاحتكاك عليها عندما ندفعها بقوّة 150 N وهي ما زالت ساكنة؟

الإجابات: أ. أكثر من f_s,max = 200 N ؛ ب. F = f_k = 160 N ؛ ج. f_s = 150 N — يساوي القوّة الدافعة بالضبط

(للبند 2.5) صندوق كتلته 20 kg يُسحب على أرضية أفقية بحبل يصنع زاوية 37° فوق الأفق (الشكل) ويتحرّك بسرعة ثابتة؛ μ_k = 0.3. ارسموا مخطّط القوى، واحسبوا قوّة الشدّ في الحبل والقوّة العمودية.

الإجابات: T = 61.2 N ، N = 163.3 N

تمارين تلخيصية:

مصباح كتلته 2 kg معلّق بخيطين متماثلين يصنع كلّ منهما زاوية 53° مع الشاقول (الشكل).
أ. احسبوا قوّة الشدّ في كلّ خيط.
ب. أعيدوا الحساب عندما تكون الزاوية 37°.
ج. فسّروا لماذا يستحيل شدّ الخيطين حتى يصبحا أفقيين تماما.

الإجابات: أ. T = 16.67 N ؛ ب. T = 12.5 N ؛ ج. T = m·g2·cos θ: كلّما اقتربت θ من 90° اقترب المقام من الصفر وكبرت T بلا حدود

تمارين تعمّق:

(*) صندوق كتلته 20 kg يُسحب بسرعة ثابتة على أرضية أفقية (μ_k = 0.5) بقوّة تصنع زاوية θ فوق الأفق.
أ. بيّنوا من معادلتَي المحورين أنّ F = μ_k·m·gcos θ + μ_k·sin θ.
ب. احسبوا F عند θ = 0° ، 37° ، 53°.
ج. في أيّ الزوايا الثلاث يكون السحب أسهل؟ فسّروا كيف تقلّل المركّبة العمودية للقوّة (نحو الأعلى) قوّة الاحتكاك.

الإجابات: ب. F(0°) = 100 N ، F(37°) = 90.9 N ، F(53°) = 100 N ؛ ج. عند 37°: المركّبة نحو الأعلى تصغّر N والاحتكاك أكثر ممّا «يضيع» من المركّبة الأفقية

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

2.1 F = 250 N ، m = 4.5 kg

2.2 أ. F = 10 N ؛ ب. m = 0.5 kg ؛ ج. الأوّل أقسى، k₂ = 50 N/m

2.3 m = 0.8 kg ؛ على القمر يقرأ ميزان النابض 1.28 N ، والميزان ذو الكفّتين يبيّن 0.8 kg كما على الأرض

2.4 F_x = 10 N ، F_y = 17.3 N ؛ ΣF = 15 N

2.5 بقوّة 600 N نحو الأعلى؛ كتلة الأرض هائلة فتسارعها تحت هذه القوّة مهمل تماما

2.6 القوّتان المتبادلتان تؤثّران على جسمين مختلفين: العربة تتحرّك لأنّ قوّة الحصان عليها أكبر من الاحتكاك عليها، والحصان يتقدّم لأنّ قوّة الأرض على حوافره أكبر من قوّة العربة عليه

2.7 f = 50 N ، تعاكس تماما محصّلة قوّتي الحبلين (بزاوية 53° من اتّجاه الحبل الأوّل، إلى الجهة المقابلة)

2.8 المحصّلة صفر ما دامت السرعة ثابتة؛ عند الانعطاف يميل الراكب إلى اليسار لأنّ جسمه يحافظ على حركته المستقيمة بينما الحافلة تنحرف يمينا

2.9 m_max = 40 kg ؛ لا ينقطع: T₁ = 350 N < 400 N

2.10 يقرأ 800 N عند الضغط على السقف (الميزان يحمل أكثر)، و 600 N عند التعلّق بالحبل

2.11 μ_s = 0.3 ، μ_k = 0.2

2.12 أ. ساكن: f_s = 50 N ، ΣF = 0 ؛ ب. ينزلق: f_k = 40 N ، ΣF = 30 N

2.13 T ≈ 10.4 N ، N ≈ 44.8 N

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 2

لا يأتي الاتّزان في البجروت كسؤال مستقلّ، بل كبند أوّل داخل أسئلة الديناميكا — رسم مخطّط القوى وكتابة شرط الاتّزان. تجدون ذلك في أسئلة البجروت للفصل الثالث، وفي كلّ سؤال تقريبا.

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)