الفصل 3

قانون نيوتن الثاني وتطبيقاته

החוק השני של ניוטון ויישומיו

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 20 ساعات تعليمية

عرفنا في الفصل السابق شرط الاتّزان: عندما تكون محصّلة القوى صفرا تبقى السرعة ثابتة. في هذا الفصل نسأل السؤال التالي: ماذا يحدث عندما لا تكون المحصّلة صفرا؟ الجواب هو قانون نيوتن الثاني ΣF = m·a — القانون الذي يربط القوى بالحركة، وهو قلب الميكانيكا كلّها. نبني القانون خطوة خطوة من التجربة، نميّز بين وجهَي الكتلة — القصوري والثقالي — ونتعرّف على الكثافة والوزن النوعي، ثم نطبّق القانون على الحالات التي تظهر في كلّ امتحان: السطح الأفقي والسطح المائل، المصعد، السيّارة المتسارعة والكابحة، ومنظومات من جسمين مربوطين بخيط وبكرة.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نكتب قانون نيوتن الثاني ΣF = m·a ونفهم أنّ التسارع باتّجاه المحصّلة دائما.
نكتب معادلة الحركة لجسم ونحلّها: من القوى إلى التسارع، ومن التسارع إلى الحركة كلّها.
نميّز بين الكتلة القصورية والكتلة الثقالية، وبين ميزان الكفّتين وميزان النابض، ونحسب الكثافة والوزن النوعي.
نطبّق القانون على جسم على سطح أفقي وعلى سطح مائل، أملس أو خشن.
نحسب الوزن الظاهري في مصعد متسارع، ونفسّر الشعور بالثقل والخفّة وانعدام الوزن.
نحلّل منظومة من جسمين مربوطين بخيط وبكرة: معادلة حركة لكلّ جسم على حدة وحلّ مشترك.

החוק השני של ניוטון – قانون نيوتن الثاني (Newton's Second Law)

قانون نيوتن الأوّل يخبرنا ماذا يحدث عندما تكون المحصّلة صفرا: لا شيء يتغيّر. والآن السؤال الأهمّ: ماذا يحدث عندما لا تكون صفرا؟ الجواب هو قانون نيوتن الثاني، ونبنيه خطوة خطوة: أوّلا اتّجاه التسارع، ثم مقداره، ثم دور الكتلة.

اتّجاه محصّلة القوى واتّجاه التسارع – כיוון הכוח השקול וכיוון התאוצה:

نجري تجربة: عربة على سكّة أفقية ملساء نسحبها بخيط بقوّة ثابتة. العربة تتسارع — سرعتها تزداد بانتظام — باتّجاه القوّة. إذا سحبنا بالاتّجاه المعاكس لحركتها تباطأت: التسارع ما زال باتّجاه القوّة، لكنّه الآن يعاكس السرعة.

في الحركة على خطّ مستقيم: التسارع دائما باتّجاه محصّلة القوى

وفي المستوى؟ نرمي كرة في اتّجاه مائل: القوّة الوحيدة عليها هي الجاذبية نحو الأسفل، والتسارع g نحو الأسفل أيضا — بينما السرعة تتّجه على طول المسار المنحني. الحقيقة العامّة:

اتّجاه التسارع (כיוון התאוצה): التسارع يتّجه دائما باتّجاه محصّلة القوى — لا باتّجاه السرعة ولا باتّجاه أيّ قوّة منفردة. عندما تكون المحصّلة بمحاذاة السرعة يتغيّر مقدار السرعة فقط (حركة مستقيمة)؛ وعندما تكون مائلة عليها يتغيّر أيضا اتّجاه السرعة وينحني المسار.

حركة في المستوى: السرعة مماسّة للمسار، والتسارع باتّجاه محصّلة القوى — المسار ينحني نحو القوّة

انتبهوا: «الجسم يتحرّك باتّجاه القوّة» جملة خاطئة. الجسم يتحرّك باتّجاه سرعته، والقوّة تحدّد كيف تتغيّر هذه السرعة. كرة مقذوفة نحو الأعلى تتحرّك نحو الأعلى بينما القوّة (والتسارع) نحو الأسفل — لذلك تتباطأ.

مقدار محصّلة القوى ومقدار التسارع – גודל הכוח השקול וגודל התאוצה:

نعود إلى العربة. نقيس تسارعها بقوى مختلفة (مع الكتلة نفسها)، ثم بكتل مختلفة (مع القوّة نفسها). النتيجتان:

التسارع يتناسب طرديا مع المحصّلة: مضاعفة القوّة تضاعف التسارع

التسارع يتناسب عكسيا مع الكتلة: مضاعفة الكتلة تنصّف التسارع

عند كتلة ثابتة: a ∝ ΣF. الرسم البياني للتسارع كدالّة للمحصّلة خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل.
عند محصّلة ثابتة: a ∝ 1m. الكتلة الكبيرة تتسارع أقلّ — هذا هو القصور الذاتي بلغة الأرقام.

نجمع النتيجتين: a ∝ ΣFm. باختيار وحدة القوّة بحيث يكون ثابت التناسب واحدا نحصل على قانون نيوتن الثاني.

الكتلة القصورية والكيلوغرام – המסה ההתמדית והקילוגרם:

الكتلة القصورية (מסה התמדית): هي مقياس مقاومة الجسم لتغيير حالة حركته: النسبة بين محصّلة القوى المؤثّرة عليه والتسارع الذي يكتسبه، m = ΣFa. القوّة نفسها تكسب الجسم ذا الكتلة الأكبر تسارعا أصغر. (في الفصل التاسع سنلتقي بـ الكتلة الثقالية — مقياس تجاذب الجسم مع الأرض — ونرى أنّ الكتلتين متساويتان.)

القوّة نفسها على عربتين: العربة ذات الكتلة المضاعفة تكتسب نصف التسارع

هذا التعريف يعطينا طريقة لمقارنة الكتل من دون ميزان: نؤثّر بالقوّة نفسها على جسمين ونقارن تسارعيهما؛ نسبة الكتل هي مقلوب نسبة التسارعات. ولكي يكون للكتلة عدد نحتاج إلى وحدة: الكيلوغرام (קילוגרם). منذ عام 1889 كان الكيلوغرام كتلة أسطوانة من البلاتين والإيريديوم محفوظة قرب باريس؛ ومنذ عام 2019 يُعرَّف بثوابت الطبيعة الأساسية. عمليا: كيلوغرام واحد هو تقريبا كتلة لتر من الماء.

مثال 3.1

قوّة محصّلة معيّنة تكسب عربة كتلتها 3 kg تسارعا 2 m/s². القوّة نفسها تكسب عربة ثانية تسارعا 1.5 m/s². نحسب كتلة العربة الثانية.

الحل:

القوّة نفسها في الحالتين، فحاصل ضرب الكتلة في التسارع واحد:

m₁·a₁ = m₂·a₂

m₂ = m₁·a₁a₂ = 3 · 21.5 = 4 kg

العربة الثانية أثقل، ولذلك تسارعها أصغر. (مقدار القوّة بالمناسبة 6 N — لكنّنا لم نحتج إليه.)

m₂ = 4 kg

صياغة القانون – ניסוח החוק:

قانون نيوتن الثاني · החוק השני של ניוטון

ΣF = m·a

ΣF_x = m·a_x

ΣF_y = m·a_y

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣF	محصّلة كلّ القوى المؤثّرة على الجسم	[N]
m	كتلة الجسم (القصورية)	[kg]
a	تسارع الجسم — باتّجاه المحصّلة	[m/s²]

القانون معادلة متّجهية، أي معادلتان عدديتان: واحدة لكلّ محور. على المحور الذي لا يتحرّك عليه الجسم (مثلا العمودي لجسم ينزلق على أرضية) يكون a = 0 وتعود معادلة الاتّزان. قانون نيوتن الأوّل هو الحالة الخاصّة ΣF = 0 من القانون الثاني.

النيوتن — التعريف الدقيق (הניוטון): النيوتن هو مقدار القوّة التي تكسب كتلة 1 kg تسارعا مقداره 1 m/s²: 1 N = 1 kg·m/s². هكذا يصبح ثابت التناسب في القانون مساويا واحدا، ويتّفق التعريف مع التعريف الأوّلي: الأرض تجذب 100 g بقوّة 0.1 · 10 = 1 N.

مثال 3.2

عربة كتلتها 3 kg تُسحب على سكّة أفقية بقوّة أفقية ثابتة 12 N، ومعامل الاحتكاك الحركي 0.2. تنطلق العربة من السكون. نحسب تسارعها، وسرعتها والمسافة التي قطعتها بعد 4 s.

الحل:

نرسم مخطّط القوى: F إلى الأمام، f_k إلى الخلف، N نحو الأعلى و m·g نحو الأسفل. المحور العمودي (لا حركة):

N = m·g = 30 N

f_k = μ_k·N = 0.2 · 30 = 6 N

المحور الأفقي، باتّجاه الحركة موجبا — هنا المحصّلة ليست صفرا:

ΣF_x = F − f_k = 12 − 6 = 6 N

a = ΣF_xm = 63 = 2 m/s²

التسارع ثابت (القوى ثابتة)، فنستعمل صيغ الفصل الأوّل مع v₀ = 0:

v = a·t = 2 · 4 = 8 m/s

x = 12·a·t² = 12 · 2 · 4² = 16 m

لاحظوا أنّ التسارع تحدّده المحصّلة 6 N وليس قوّة السحب 12 N.

a = 2 m/s² , v = 8 m/s , x = 16 m

مثال 3.3

سيّارة كتلتها 1000 kg تسير بسرعة 20 m/s. يضغط السائق على الفرامل فتتوقّف السيّارة بعد 50 m بتباطؤ منتظم. نحسب قوّة الاحتكاك التي أوقفتها، ومعامل الاحتكاك بين الإطارات والطريق.

الحل:

أوّلا الحركة: نعرف السرعة الابتدائية والنهائية والمسافة، فنستعمل v² = v₀² + 2·a·x:

0 = 20² + 2·a·50

a = −400100 = −4 m/s²

الإشارة السالبة: التسارع يعاكس السرعة (تباطؤ). القوّة الأفقية الوحيدة هي الاحتكاك، فهي المحصّلة:

f = m·|a| = 1000 · 4 = 4000 N

على طريق أفقي N = m·g = 10000 N، ومنه المعامل:

μ = fN = 400010000 = 0.4

القوّة تتّجه إلى الخلف (عكس الحركة) والتسارع كذلك — والسيّارة تتحرّك إلى الأمام حتى تتوقّف.

f = 4000 N , μ = 0.4

مثال 3.4

ترفع رافعة حمولة كتلتها 500 kg بكبل. نحسب قوّة الشدّ في الكبل:
أ. عندما ترتفع الحمولة بتسارع 2 m/s² نحو الأعلى.
ب. عندما ترتفع بسرعة ثابتة.
ج. عندما تنزل بتسارع 2 m/s² نحو الأسفل.

الحل:

على الحمولة قوّتان: T نحو الأعلى و m·g = 5000 N نحو الأسفل. نختار الأعلى موجبا ونكتب ΣF_y = m·a_y.

أ. التسارع نحو الأعلى موجب:

T − m·g = m·a

T = m·(g + a) = 500 · (10 + 2) = 6000 N

ب. سرعة ثابتة، a = 0:

T = m·g = 5000 N

ج. التسارع نحو الأسفل، أي a = −2 m/s²:

T − m·g = m·(−2)

T = m·(g − 2) = 500 · 8 = 4000 N

في الحالة (ج) قوّة الشدّ أصغر من الوزن — ومع ذلك الكبل مشدود. ولو كانت الحمولة تهبط بسرعة ثابتة لعادت T إلى الوزن: ما يحدّد T هو التسارع، لا اتّجاه الحركة.

T = 6000 N , 5000 N , 4000 N

مثال 3.5

كرة كتلتها 0.5 kg تسقط في الهواء. في لحظة معيّنة تؤثّر عليها مقاومة الهواء بقوّة 2 N نحو الأعلى. نحسب تسارعها في تلك اللحظة. وما تسارعها عندما تصبح مقاومة الهواء 5 N؟

الحل:

على الكرة قوّتان على المحور العمودي: الوزن m·g = 5 N نحو الأسفل ومقاومة الهواء نحو الأعلى. نختار الأسفل موجبا:

ΣF = m·g − f = 5 − 2 = 3 N

a = ΣFm = 30.5 = 6 m/s²

التسارع نحو الأسفل لكنّه أصغر من g: المقاومة تبطئ التسارع. عندما تكبر المقاومة حتى 5 N:

ΣF = 5 − 5 = 0 ⇒ a = 0

المحصّلة صفر والكرة تستمرّ في السقوط بسرعة ثابتة — هذه هي «السرعة الحدّية» التي يبلغها كلّ جسم يسقط في الهواء مدّة كافية، وهي ما يجعل المظلّة تنقذ القافز.

a = 6 m/s² , a = 0

مثال 3.6

متزلّجان على الجليد (نهمل الاحتكاك) كتلتاهما 50 kg و 70 kg يقفان متقابلين، ويدفع كلّ منهما الآخر بقوّة 140 N. نحسب تسارع كلّ منهما.

الحل:

حسب القانون الثالث القوّتان متساويتان ومتعاكستان: الأوّل يدفع الثاني بـ 140 N نحو اليمين، والثاني يدفع الأوّل بـ 140 N نحو اليسار. على كلّ متزلّج قوّة أفقية واحدة فقط، فهي المحصّلة. القانون الثاني لكلّ منهما على حدة:

a₁ = Fm₁ = 14050 = 2.8 m/s²

a₂ = Fm₂ = 14070 = 2 m/s²

القوّتان متساويتان، لكنّ التسارعين مختلفان: الأخفّ يتسارع أكثر (نحو اليسار)، والأثقل أقلّ (نحو اليمين). القانون الثالث يتحدّث عن القوى، والقانون الثاني عن التسارعات — ولا تناقض بينهما.

a₁ = 2.8 m/s² , a₂ = 2 m/s²

سؤال 3.1: جسم كتلته 2 kg ينطلق من السكون على سطح أفقي، وبعد 3 s تصبح سرعته 6 m/s.
أ. ما محصّلة القوى عليه؟
ب. إذا كان السطح أملس — ما القوّة الأفقية المؤثّرة؟
ج. وإذا كان μ_k = 0.1 — ما القوّة الأفقية المؤثّرة؟

سؤال 3.2: هل يمكن أن يتحرّك جسم في اتّجاه معاكس لمحصّلة القوى المؤثّرة عليه؟ أعطوا مثالا. وهل يمكن أن يتحرّك جسم بسرعة كبيرة بينما المحصّلة عليه صفر؟

معادلة الحركة – משוואת התנועה:

معادلة الحركة (משוואת תנועה): هي قانون نيوتن الثاني مكتوبا لجسم معيّن في حالة معيّنة: في طرف واحد مجموع القوى الفعلية المؤثّرة عليه (بمركّباتها)، وفي الطرف الآخر m·a. حلّ المعادلة يعطينا التسارع، ومن التسارع نحصل على الحركة كلّها بصيغ الفصل الأوّل.

كتابة معادلة الحركة تتبع الخطوات الستّ التي عرضناها في بداية البند 2.5، مع تغيير واحد: في الخطوة الخامسة نكتب ΣF = m·a على محور الحركة بدلا من ΣF = 0. على المحور العمودي على الحركة تبقى المعادلة ΣF = 0 لأنّ الجسم لا يتسارع في ذلك الاتّجاه.

مثال 3.7

صندوق كتلته 10 kg موضوع على أرضية أفقية، μ_k = 0.2. نسحبه بحبل بقوّة 50 N يصنع زاوية 37° فوق الأفق. نكتب معادلة الحركة ونحسب التسارع. (قارنوا مع البند 2.5: هناك كانت السرعة ثابتة وبحثنا عن القوّة؛ هنا القوّة مُعطاة ونبحث عن التسارع.)

الحل:

مخطّط القوى كما في الشكل في البند 2.5. المحور العمودي — لا حركة، فالمعادلة ΣF_y = 0:

N + 50·sin 37° − 100 = 0

N = 100 − 30 = 70 N

الاحتكاك الحركي:

f_k = μ_k·N = 0.2 · 70 = 14 N

المحور الأفقي — معادلة الحركة ΣF_x = m·a:

50·cos 37° − f_k = m·a

40 − 14 = 10·a

a = 2610 = 2.6 m/s²

التسارع موجب: الصندوق يتسارع باتّجاه المركّبة الأفقية لقوّة الحبل.

a = 2.6 m/s²

مثال 3.8

نعود إلى صندوق البند 2.4 (m = 4 kg ، μ_s = 0.5 ، μ_k = 0.3) والقوّة الأفقية 25 N التي حرّكته. نحسب تسارعه، وسرعته بعد ثانيتين من بدء الحركة.

الحل:

وجدنا هناك أنّ القوّة تتجاوز الاحتكاك الساكن الأقصى (20 N)، فالصندوق يتحرّك والاحتكاك حركي f_k = 12 N. معادلة الحركة:

F − f_k = m·a

25 − 12 = 4·a

a = 134 = 3.25 m/s²

v = a·t = 3.25 · 2 = 6.5 m/s

لو كانت القوّة 12 N (الحالة أ هناك) لما تحرّك الصندوق أصلا: قبل كتابة معادلة الحركة يجب التأكّد من أنّ الجسم يتحرّك فعلا.

a = 3.25 m/s² , v = 6.5 m/s

مثال 3.9

يبيّن الرسم البياني سرعة جسم كتلته 2 kg يتحرّك على خطّ مستقيم كدالّة للزمن. نحسب محصّلة القوى عليه في كلّ من المراحل الثلاث.

الحل:

في كلّ مرحلة الرسم خطّ مستقيم، فالتسارع ثابت ويساوي ميل الخطّ. المحصّلة تساوي m·a:

المرحلة I (0 إلى 2 s): السرعة تزداد من 0 إلى 6 m/s:

a_I = ΔvΔt = 6 − 02 = 3 m/s²

ΣF_I = m·a_I = 2 · 3 = 6 N

المرحلة II (2 إلى 4 s): السرعة ثابتة — الجسم في حالة اتّزان حركي:

a_II = 0 ⇒ ΣF_II = 0

المرحلة III (4 إلى 6 s): السرعة تقلّ من 6 إلى 2 m/s:

a_III = 2 − 62 = −2 m/s²

ΣF_III = 2 · (−2) = −4 N

في المرحلة الثالثة المحصّلة سالبة، أي تعاكس اتّجاه الحركة، والجسم يتباطأ. لاحظوا أنّ الرسم لا يخبرنا أيّ قوى تؤثّر — بل محصّلتها فقط.

ΣF = 6 N , 0 , −4 N

مثال 3.10

صندوق كتلته 2 kg موضوع على جزء أملس من أرضية. ندفعه بقوّة أفقية 10 N مدّة 2 s ثم نتركه، فيواصل حركته ويدخل جزءا خشنا من الأرضية μ_k = 0.25. نحسب:
أ. سرعته لحظة تركه والمسافة التي قطعها حتى تلك اللحظة.
ب. ماذا يحدث له بعد تركه على الجزء الأملس؟
ج. تسارعه على الجزء الخشن، والزمن والمسافة حتى يتوقّف.

الحل:

أ. أثناء الدفع، على الجزء الأملس، المحصّلة الأفقية هي قوّة الدفع وحدها:

a = Fm = 102 = 5 m/s²

v = a·t = 5 · 2 = 10 m/s

x₁ = 12·a·t² = 12 · 5 · 2² = 10 m

ب. بعد تركه لا تؤثّر عليه أيّ قوّة أفقية (السطح أملس)، فالمحصّلة صفر — وحسب القانون الأوّل يستمرّ بسرعة ثابتة 10 m/s. لا يحتاج إلى قوّة ليستمرّ في الحركة.

ج. على الجزء الخشن تؤثّر قوّة أفقية واحدة: الاحتكاك الحركي بعكس الحركة:

f_k = μ_k·m·g = 0.25 · 2 · 10 = 5 N

a = −f_km = −52 = −2.5 m/s²

t = 0 − va = −10−2.5 = 4 s

x₂ = v²2·a = 10²2 · 2.5 = 20 m

في المسألة الواحدة ظهرت القوانين الثلاثة: الثالث (الأرضية تدفع الصندوق إلى الخلف لأنّه يدفعها إلى الأمام)، الأوّل (الحركة بلا قوّة) والثاني (التسارع والتباطؤ).

v = 10 m/s , x₁ = 10 m , a = −2.5 m/s² , t = 4 s , x₂ = 20 m

سؤال 3.3: صندوق كتلته 6 kg على أرضية أفقية ملساء يُسحب بقوّة 24 N تصنع زاوية 30° فوق الأفق (cos 30° ≈ 0.87). احسبوا القوّة العمودية وتسارع الصندوق. كم تبلغ سرعته بعد 5 s إذا انطلق من السكون؟

مثال 3.11

سيّارة كتلتها 1000 kg تنطلق من السكون وتبلغ سرعة 20 m/s بعد 10 s بتسارع ثابت. مجموع قوى المقاومة (الاحتكاك ومقاومة الهواء) 500 N. نحسب القوّة الدافعة التي تؤثّر بها الطريق على عجلات السيّارة.

الحل:

من الحركة نجد التسارع:

a = ΔvΔt = 2010 = 2 m/s²

على المحور الأفقي قوّتان: القوّة الدافعة F إلى الأمام والمقاومة إلى الخلف. معادلة الحركة:

F − f = m·a

F = m·a + f = 1000 · 2 + 500 = 2500 N

لاحظوا مَن يدفع السيّارة: المحرّك يدير العجلات، والعجلات تدفع الطريق إلى الخلف، والطريق — حسب القانون الثالث — تدفع السيّارة إلى الأمام. القوّة الدافعة هي احتكاك ساكن بين الإطارات والطريق، ولذلك تنزلق السيّارة على الجليد ولا تتسارع.

F = 2500 N

مثال 3.12

صندوق موضوع على سطح شاحنة أفقي؛ معامل الاحتكاك الساكن بينهما 0.4. ما أكبر تسارع يمكن أن تنطلق به الشاحنة دون أن ينزلق الصندوق على سطحها؟

الحل:

عندما تتسارع الشاحنة يجب أن يتسارع الصندوق معها، وإلا انزلق إلى الخلف. القوّة الأفقية الوحيدة على الصندوق هي الاحتكاك الساكن من سطح الشاحنة، وهي تتّجه إلى الأمام — باتّجاه التسارع. معادلة الحركة للصندوق:

f_s = m·a

الاحتكاك الساكن محدود بقيمته القصوى μ_s·N، وعلى سطح أفقي N = m·g:

m·a ≤ μ_s·m·g

a_max = μ_s·g = 0.4 · 10 = 4 m/s²

النتيجة لا تتعلّق بكتلة الصندوق. إذا تسارعت الشاحنة بأكثر من 4 m/s² لم يستطع الاحتكاك أن يكسب الصندوق التسارع المطلوب، فينزلق الصندوق إلى الخلف بالنسبة إلى الشاحنة (وفي الحقيقة: الشاحنة تنطلق من تحته).

a_max = 4 m/s²

قوانين نيوتن الثلاثة معا – שלושת חוקי ניוטון יחד:

القانون	ماذا يقول؟	متى نستعمله؟
الأوّل (القصور الذاتي)	إذا كانت ΣF = 0 فالسرعة ثابتة، والعكس صحيح	جسم ساكن أو يتحرّك بسرعة ثابتة: نكتب ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0
الثاني	المحصّلة تكسب الجسم تسارعا باتّجاهها: ΣF = m·a	جسم يتسارع: نكتب معادلة الحركة على كلّ محور
الثالث	كلّ قوّة لها قوّة مقابلة مساوية ومعاكسة على الجسم الآخر	لمعرفة القوّة على الجسم الثاني، وللانتقال من جسم إلى جسم في منظومة

انتبهوا: أخطاء شائعة في مسائل القوى: (1) رسم قوّة «الحركة» أو «السرعة» في مخطّط القوى — السرعة ليست قوّة. (2) رسم قوّتي الزوج (القانون الثالث) على الجسم نفسه. (3) كتابة N = m·g تلقائيا من دون النظر إلى القوى العمودية الأخرى. (4) كتابة f_s = μ_s·N لجسم ساكن ليس على وشك الانزلاق. (5) استعمال قوّة السحب بدلا من المحصّلة في ΣF = m·a.

▶تجربة حية — قانون نيوتن الثاني — القوّة والكتلة والتسارعنسحب العربة بقوّة ثابتة ونتابع منحنيي السرعة والموقع؛ نضاعف القوّة ثم نضاعف الكتلة ونرى كيف يتغيّر ميل منحنى السرعة في كلّ مرّة.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#newton2

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#newton2

כוח הכובד, והמסה כמדד לעוצמתו – قوّة الجاذبية، والكتلة كمقياس لشدّتها (Gravity and Mass)

تعلّمنا أنّ الكتلة m في قانون نيوتن الثاني هي مقياس لقصور الجسم الذاتي: كلّما كبرت الكتلة صَعُب تغيير سرعة الجسم. لكن للكتلة وجها آخر لا علاقة له بالتسارع: الأجسام ذات الكتلة الأكبر تنجذب إلى الأرض بقوّة أكبر. في هذا البند نميّز بين الوجهين، ونرى كيف نقيس الكتلة، ثم نتعرّف على مقدارين مشتقّين منها: الكثافة والوزن النوعي.

الكتلة القصورية والكتلة الثقالية – מסה התמדית ומסה כובדית:

الكتلة الثقالية (מסה כובדית): هي مقياس لشدّة قوّة الجاذبية التي تؤثّر على الجسم: قوّة الجاذبية على جسم قرب سطح الأرض تتناسب طرديا مع كتلته، F = m·g. أمّا الكتلة القصورية (מסה התמדית) فهي الكتلة التي تظهر في قانون نيوتن الثاني ΣF = m·a وتقيس مقاومة الجسم لتغيير سرعته.

قوّة الجاذبية قرب سطح الأرض · כוח הכובד

F_g = m·g

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F_g	قوّة الجاذبية (الوزن)، تتّجه عموديا نحو الأسفل	[N]
m	الكتلة الثقالية للجسم	[kg]
g	تسارع السقوط الحرّ	[m/s²]

لماذا نعطي الكتلة اسمين؟ لأنّ الخاصّيتين مختلفتان من حيث المبدأ: إحداهما تتعلّق بالحركة، والأخرى بالجاذبية. لكن التجربة تكشف حقيقة عميقة: الكتلة القصورية والكتلة الثقالية متناسبتان، وباختيار الوحدات نفسها تكونان متساويتين. الدليل هو السقوط الحرّ: نكتب قانون نيوتن الثاني لجسم يسقط ولا تؤثّر عليه إلّا الجاذبية، فنميّز بين الكتلتين بالرمزين m_g و m_i:

m_g·g = m_i·a

a = m_gm_i·g

لو اختلفت النسبة m_gm_i من مادّة إلى أخرى لسقطت الأجسام بتسارعات مختلفة. لكن غاليليو، ثم نيوتن، ثم تجارب دقيقة جدّا في القرن العشرين، وجدوا أنّ جميع الأجسام تسقط بالتسارع نفسه g بغضّ النظر عن مادّتها وكتلتها. إذًا النسبة واحدة للجميع، ونختار الوحدات بحيث تكون m_g = m_i = m. من الآن فصاعدا نستعمل الرمز m للكتلتين.

ملاحظة: هذا التساوي ليس بديهيا: إنّه حقيقة تجريبية سمّاها أينشتاين «مبدأ التكافؤ»، وبنى عليها نظريّته في الجاذبية. في مستوى هذا الكتاب يكفينا أن نعرف أنّ الكتلة التي نقيسها بميزان الكفّتين هي الكتلة نفسها التي نعوّضها في ΣF = m·a.

قياس الكتلة بميزان الكفّتين – מדידת מסה במאזני כפות:

ميزان الكفّتين: يتّزن الذراع عندما تتساوى قوّتا الجاذبية على الكفّتين، أي عندما تتساوى الكتلتان

في ميزان الكفّتين نضع الجسم المجهول في كفّة، وأثقالا معيارية معروفة الكتلة في الكفّة الأخرى، ونضيف أثقالا حتى يتّزن الذراع. عند الاتّزان تتساوى قوّتا الجاذبية على الكفّتين:

m·g = m₀·g

m = m₀

يُختصر g من الطرفين، وهذا هو جوهر الطريقة: ميزان الكفّتين يقارن كتلتين ثقاليتين ولا يتعلّق بقيمة g. لو نقلنا الميزان والأثقال إلى القمر، حيث g أصغر ستّ مرّات تقريبا، لحصلنا على القراءة نفسها تماما. بخلاف ذلك، ميزان النابض (الدينامومتر) يقيس القوّة التي تشدّ نابضه، أي قوّة الجاذبية m·g؛ قراءته على القمر أصغر ستّ مرّات.

ميزان النابض يقيس قوّة الجاذبية m·g، لذلك قراءته تتعلّق بالمكان

مثال 3.13

عُلّق جسم بميزان نابض على سطح الأرض فأشار الميزان إلى قوّة مقدارها 4.5 N. نحسب كتلة الجسم، ثم نجد ماذا يشير ميزان النابض وماذا يشير ميزان الكفّتين (مع الأثقال نفسها) إذا نُقل الجسم إلى سطح القمر، حيث g_m = 1.6 m/s².

الحل:

على الأرض يقيس ميزان النابض قوّة الجاذبية F_g = m·g، ومنها الكتلة:

m = F_gg = 4.510 = 0.45 kg

على القمر لا تتغيّر الكتلة، لكن قوّة الجاذبية تتغيّر، فيشير ميزان النابض إلى:

F_g = m·g_m = 0.45 · 1.6 = 0.72 N

أمّا ميزان الكفّتين فيقارن كتلة الجسم بكتلة الأثقال، والكتلتان لم تتغيّرا؛ لذلك يتّزن مع الأثقال نفسها: 0.45 kg.

m = 0.45 kg , F_g = 0.72 N

سؤال 3.4: شخص كتلته 70 kg. ما هي قوّة الجاذبية المؤثّرة عليه على الأرض؟ وعلى المرّيخ، حيث g = 3.7 m/s²؟ هل تتغيّر كتلته؟

الكثافة والوزن النوعي – צפיפות ומשקל סגולי:

قطعة حديد وقطعة ألمنيوم بالحجم نفسه لهما كتلتان مختلفتان؛ الكتلة ليست خاصّية للمادّة بل للجسم. الخاصّية التي تميّز المادّة هي نسبة الكتلة إلى الحجم:

مكعّبان بالحجم نفسه: كتلة الحديد نحو ثلاثة أضعاف كتلة الألمنيوم

الكثافة (צפיפות): هي كتلة وحدة الحجم من المادّة: ρ = mV، وتُقاس بـ kg/m³. الكثافة خاصّية للمادّة نفسها ولا تتعلّق بحجم القطعة.

الوزن النوعي (משקל סגולי): هو قوّة الجاذبية المؤثّرة على وحدة الحجم من المادّة: γ = F_gV = m·gV = ρ·g، ويُقاس بـ N/m³. بخلاف الكثافة، يتعلّق الوزن النوعي بالمكان لأنّه يحتوي على g.

الكثافة والوزن النوعي · צפיפות ומשקל סגולי

ρ = mV

γ = ρ·g

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ρ	الكثافة	[kg/m³]
γ	الوزن النوعي	[N/m³]
V	الحجم	[m³]

المادّة	الكثافة ρ	الوزن النوعي γ (على الأرض)
الهواء (في الظروف العادية)	1.2 kg/m³	12 N/m³
الخشب (صنوبر)	500 kg/m³	5000 N/m³
الماء	1000 kg/m³	10000 N/m³
الألمنيوم	2700 kg/m³	27000 N/m³
الحديد	7800 kg/m³	78000 N/m³
الرصاص	11300 kg/m³	113000 N/m³

مثال 3.14

مكعّب من الألمنيوم طول ضلعه 10 cm. نحسب حجمه، كتلته، قوّة الجاذبية المؤثّرة عليه، والوزن النوعي للألمنيوم.

الحل:

نحوّل الطول إلى متر ونحسب الحجم:

V = a³ = 0.1³ = 0.001 m³

الكتلة من الكثافة:

m = ρ·V = 2700 · 0.001 = 2.7 kg

F_g = m·g = 2.7 · 10 = 27 N

الوزن النوعي خاصّية للمادّة ولا يتعلّق بحجم المكعّب:

γ = ρ·g = 2700 · 10 = 27000 N/m³

نفحص: γ = F_gV = 270.001 = 27000 N/m³ — النتيجة نفسها.

m = 2.7 kg , F_g = 27 N , γ = 27000 N/m³

سؤال 3.5: خزّان ماء أبعاده الداخلية 2 m × 1.5 m × 1 m مملوء تماما. احسبوا كتلة الماء وقوّة الجاذبية المؤثّرة عليه.

יישום החוק השני לגבי תנועה לאורך קו ישר – تطبيق القانون الثاني على الحركة في خطّ مستقيم (Applying Newton's Second Law to Straight-Line Motion)

تعلّمنا في الفصل السابق وفي البند 3.1 قوانين نيوتن الثلاثة، وتعرّفنا على القوى المألوفة: الجاذبية، القوّة العمودية، الاحتكاك، قوّة الشدّ وقوّة النابض. في هذا البند نطبّق قانون نيوتن الثاني على مجموعة من الحالات التي تظهر في كلّ امتحان: جسم يُسحب على سطح أفقي، جسم على سطح مائل، شخص في مصعد، سيّارة تتسارع أو تكبح، وجسمان مربوطان بخيط. الطريقة واحدة في جميع الحالات:

نرسم الحالة ونرسم مخطّط القوى (الجسم الحرّ) لكلّ جسم على حدة.
نختار محاور واتّجاها موجبا، ويُفضَّل أن يكون أحد المحاور بمحاذاة التسارع.
نحلّل القوى المائلة إلى مركّبات بمحاذاة المحاور.
نكتب ΣF = m·a لكلّ محور على حدة: في المحور الذي لا توجد فيه حركة ΣF = 0.
نحلّ المعادلات، ونفحص معقولية النتيجة (الإشارة، الوحدات، الحالات الخاصّة).

ملاحظة: في هذا الكتاب نستعمل زاويتين «مريحتين» كثيرتي الظهور في الامتحانات: sin 37° = 0.6 و cos 37° = 0.8، وكذلك sin 53° = 0.8 و cos 53° = 0.6. وفي الزاوية 30°: sin 30° = 0.5 و cos 30° ≈ 0.87.

الحركة على سطح أفقي – תנועה על משטח אופקי:

جسم يُسحب على سطح أفقي خشن بقوّة F تصنع زاوية θ مع الأفق، ومخطّط القوى الأربع المؤثّرة عليه

يُسحب جسم كتلته m بقوّة F تصنع زاوية θ مع الأفق. نحلّل F إلى مركّبة أفقية F·cos θ ومركّبة عمودية F·sin θ نحو الأعلى. في المحور العمودي لا توجد حركة، وفي المحور الأفقي يتسارع الجسم:

y: N + F·sin θ − m·g = 0

x: F·cos θ − f_k = m·a

المركّبة العمودية للقوّة «تخفّف» الجسم: القوّة العمودية N أصغر من الوزن، وبالتالي الاحتكاك الحركي f_k = μ_k·N أصغر أيضا. لو دفعنا الجسم بقوّة مائلة نحو الأسفل لحدث العكس: N أكبر من الوزن والاحتكاك أكبر.

مثال 3.15

جسم كتلته 5 kg موضوع على سطح أفقي. نسحبه بقوّة 20 N تصنع زاوية 37° مع الأفق. نحسب تسارع الجسم:
أ. إذا كان السطح أملس.
ب. إذا كان معامل الاحتكاك الحركي μ_k = 0.25.

الحل:

أ. مركّبتا القوّة:

F_x = F·cos θ = 20 · 0.8 = 16 N

F_y = F·sin θ = 20 · 0.6 = 12 N

على السطح الأملس القوّة الأفقية الوحيدة هي F_x:

a = F_xm = 165 = 3.2 m/s²

ب. نبدأ بالمحور العمودي لإيجاد القوّة العمودية:

N = m·g − F·sin θ = 50 − 12 = 38 N

f_k = μ_k·N = 0.25 · 38 = 9.5 N

ثمّ المحور الأفقي:

F·cos θ − f_k = m·a

a = 16 − 9.55 = 1.3 m/s²

انتبهوا: القوّة العمودية هنا 38 N وليست 50 N؛ من يعوّض f_k = μ·m·g يحصل على جواب خاطئ.

a = 3.2 m/s² , a = 1.3 m/s²

سؤال 3.6: الجسم نفسه (5 kg ، μ_k = 0.25) يُدفع الآن بقوّة 20 N تصنع زاوية 37° مع الأفق نحو الأسفل. احسبوا القوّة العمودية والتسارع. هل الجسم يتحرّك أصلا إذا كان μ_s = 0.25 أيضا؟

الحركة على السطح المائل – תנועה על מישור משופע:

السطح المائل (מישור משופע): (المستوى المائل) هو سطح مستوٍ يصنع زاوية θ مع الأفق. على السطح المائل نختار المحور x بمحاذاة السطح والمحور y عموديا عليه، لأنّ الحركة — إن وُجدت — تكون بمحاذاة السطح.

جسم ينزلق على سطح مائل خشن: القوّة العمودية N عمودية على السطح، الاحتكاك f يعاكس الحركة، وقوّة الجاذبية تُحلَّل إلى m·g·sin θ بمحاذاة السطح و m·g·cos θ عموديا عليه

القوّة الوحيدة التي تحتاج إلى تحليل هي قوّة الجاذبية: الزاوية بين m·g والمحور y (العمودي على السطح) تساوي زاوية السطح θ نفسها. لذلك:

y: N − m·g·cos θ = 0

x: m·g·sin θ − f = m·a

من المعادلة الأولى N = m·g·cos θ: القوّة العمودية على السطح المائل أصغر من الوزن، وتصغر كلّما كبرت الزاوية. نميّز الآن ثلاث حالات.

أ. سطح مائل أملس – א. מישור משופע חלק:

بدون احتكاك تبقى على المحور x قوّة واحدة هي m·g·sin θ:

التسارع على سطح مائل أملس · תאוצה על מישור משופע חלק

m·g·sin θ = m·a

a = g·sin θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a	التسارع بمحاذاة السطح، نحو الأسفل	[m/s²]
θ	زاوية ميل السطح	[°]

ملاحظة: التسارع لا يتعلّق بالكتلة — كما في السقوط الحرّ. السطح المائل «يُخفّف» السقوط الحرّ بالعامل sin θ: عند θ = 90° نحصل على a = g، وعند θ = 0 لا يوجد تسارع.

مثال 3.16

يُحرَّر جسم من السكون على سطح مائل أملس زاوية ميله 30°، طوله 10 m. نحسب تسارع الجسم، زمن وصوله إلى أسفل السطح، وسرعته هناك.

الحل:

a = g·sin θ = 10 · sin 30° = 10 · 0.5 = 5 m/s²

حركة بتسارع ثابت من السكون على طول d = 10 m:

d = 12·a·t²

t = 2·da = 2 · 105 = 2 s

v = a·t = 5 · 2 = 10 m/s

a = 5 m/s² , t = 2 s , v = 10 m/s

ب. سطح مائل خشن — الجسم ينزلق نحو الأسفل – ב. מישור משופע מחוספס — הגוף מחליק למטה:

الاحتكاك الحركي يتّجه نحو أعلى السطح (عكس الحركة) ومقداره f_k = μ_k·N = μ_k·m·g·cos θ:

التسارع على سطح مائل خشن (انزلاق نحو الأسفل) · תאוצה במורד מישור מחוספס

m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

a = g·(sin θ − μ_k·cos θ)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
μ_k	معامل الاحتكاك الحركي	—
a	التسارع نحو أسفل السطح	[m/s²]

مثال 3.17

جسم كتلته 2 kg ينزلق نحو الأسفل على سطح مائل زاويته 37°، ومعامل الاحتكاك الحركي بينهما 0.25. نحسب القوّة العمودية، قوّة الاحتكاك، والتسارع.

الحل:

المحور العمودي على السطح:

N = m·g·cos θ = 2 · 10 · 0.8 = 16 N

f_k = μ_k·N = 0.25 · 16 = 4 N

المحور بمحاذاة السطح، الموجب نحو الأسفل:

m·g·sin θ − f_k = m·a

2 · 10 · 0.6 − 4 = 2·a

a = 12 − 42 = 4 m/s²

نفحص بالصيغة المباشرة: a = g·(sin θ − μ_k·cos θ) = 10 · (0.6 − 0.25 · 0.8) = 4 m/s².

N = 16 N , f_k = 4 N , a = 4 m/s²

ج. سطح مائل خشن — الجسم يصعد – ג. מישור משופע מחוספס — הגוף עולה:

جسم يصعد على سطح مائل خشن: الآن الاحتكاك يتّجه نحو الأسفل، مع مركّبة الجاذبية — الجسم يتباطأ بسرعة

إذا دُفع الجسم نحو الأعلى وتُرك يصعد بسرعته، فإنّ كلّا من m·g·sin θ والاحتكاك يتّجهان نحو الأسفل. نختار الموجب نحو الأعلى (اتّجاه الحركة):

−m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

a = −g·(sin θ + μ_k·cos θ)

مثال 3.18

يُدفع الجسم من المثال السابق (2 kg ، 37° ، μ_k = μ_s = 0.25) من أسفل السطح نحو الأعلى بسرعة ابتدائية 8 m/s. نحسب:
أ. تسارعه أثناء الصعود.
ب. زمن الصعود والمسافة التي يقطعها حتى يتوقّف.
ج. هل يعود الجسم إلى الأسفل؟ وإن عاد، بأيّ سرعة يصل إلى نقطة البداية؟

الحل:

أ. الموجب نحو الأعلى. القوّة العمودية كما في السابق N = 16 N والاحتكاك 4 N، لكنّه الآن نحو الأسفل:

a = −g·(sin θ + μ_k·cos θ) = −10 · (0.6 + 0.25 · 0.8) = −8 m/s²

ب. يتباطأ الجسم من 8 m/s حتى السكون:

t = 0 − v₀a = −8−8 = 1 s

d = v₀²2·a = 6416 = 4 m

ج. عند التوقّف يصبح الاحتكاك ساكنا، وأقصى قيمة له f_s,max = μ_s·N = 4 N. مركّبة الجاذبية بمحاذاة السطح m·g·sin θ = 12 N أكبر منها، لذلك لا يستطيع الاحتكاك الساكن إمساك الجسم، وينزلق نحو الأسفل بالتسارع الذي حسبناه في المثال السابق a = 4 m/s²:

v² = 2·a·d = 2 · 4 · 4 = 32

v = 5.66 m/s

يعود الجسم بسرعة أصغر من سرعة انطلاقه: جزء من طاقته تحوّل إلى حرارة بفعل الاحتكاك (سنعود إلى ذلك في فصل الطاقة).

a = −8 m/s² , d = 4 m , v = 5.66 m/s

د. سحب جسم نحو أعلى السطح المائل بقوّة خارجية – ד. משיכת גוף במעלה המישור המשופע בכוח חיצוני:

جسم يُسحب نحو أعلى سطح مائل خشن بقوّة F موازية للسطح: على القوّة أن تتغلّب على مركّبة الجاذبية وعلى الاحتكاك معا

نسحب الجسم نحو الأعلى بقوّة F موازية للسطح. الموجب نحو الأعلى، والاحتكاك الحركي نحو الأسفل:

F − m·g·sin θ − μ_k·m·g·cos θ = m·a

مثال 3.19

الجسم نفسه (2 kg ، 37° ، μ_k = 0.25). نحسب القوّة الموازية للسطح اللازمة:
أ. لسحب الجسم نحو الأعلى بسرعة ثابتة.
ب. لسحبه نحو الأعلى بتسارع 2 m/s².
ج. لإنزاله نحو الأسفل بسرعة ثابتة.

الحل:

أ. بسرعة ثابتة a = 0، والاحتكاك نحو الأسفل:

F = m·g·sin θ + μ_k·m·g·cos θ = 12 + 4 = 16 N

ب. نضيف ما يلزم للتسارع:

F = m·g·sin θ + μ_k·m·g·cos θ + m·a = 12 + 4 + 2 · 2 = 20 N

ج. في الإنزال البطيء يتّجه الاحتكاك نحو الأعلى (عكس الحركة)، والقوّة F نحو الأعلى أيضا تمنع الجسم من التسارع:

F + μ_k·m·g·cos θ = m·g·sin θ

F = 12 − 4 = 8 N

لاحظوا الفرق بين 16 N و 8 N: الاحتكاك يعمل ضدّنا في الاتّجاهين، فيزيد القوّة اللازمة للصعود ويقلّل القوّة اللازمة لكبح النزول.

F = 16 N , F = 20 N , F = 8 N

متى يبقى الجسم ساكنا على السطح المائل؟ – מתי הגוף נשאר במנוחה על המישור המשופע?:

جسم موضوع على سطح مائل خشن يبقى ساكنا ما دام الاحتكاك الساكن قادرا على موازنة مركّبة الجاذبية بمحاذاة السطح:

m·g·sin θ ≤ μ_s·m·g·cos θ

tan θ ≤ μ_s

الشرط لا يتعلّق بالكتلة! الزاوية التي يبدأ عندها الانزلاق تحقّق tan θ_c = μ_s، وهذه طريقة بسيطة لقياس معامل الاحتكاك الساكن: نرفع السطح ببطء ونقيس الزاوية التي يبدأ عندها الجسم بالانزلاق.

مثال 3.20

معامل الاحتكاك الساكن بين صندوق وسطح خشبي هو 0.5. نحسب أكبر زاوية ميل يبقى عندها الصندوق ساكنا.

الحل:

tan θ_c = μ_s = 0.5

θ_c = 26.6°

عند زاوية أكبر من 26.6° ينزلق الصندوق مهما كانت كتلته.

θ_c = 26.6°

سؤال 3.7: جسم كتلته 3 kg موضوع ساكنا على سطح مائل زاويته 30°. احسبوا قوّة الاحتكاك الساكن المؤثّرة عليه، وأصغر معامل احتكاك ساكن يسمح بذلك.

▶تجربة حية — جسم على سطح مائلنغيّر زاوية السطح ومعامل الاحتكاك والقوّة الخارجية، نراقب مخطّط القوى الحيّ، ونجد الزاوية التي يبدأ عندها الانزلاق.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#incline

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#incline

حركة المصعد وقراءة ميزان النابض – תנועת מעלית והוראת מאזני קפיץ:

يقف شخص كتلته m على ميزان نابض داخل مصعد. تؤثّر عليه قوّتان فقط: قوّة الجاذبية m·g نحو الأسفل، والقوّة العمودية N من الميزان نحو الأعلى. الميزان يقرأ N — القوّة التي يضغط بها الشخص على الميزان (وهي بحسب القانون الثالث مساوية للقوّة التي يدفعه بها الميزان). نختار الموجب نحو الأعلى ونكتب القانون الثاني:

قراءة ميزان النابض في المصعد · הוראת מאזני קפיץ במעלית

N − m·g = m·a

N = m·(g + a)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
N	القوّة العمودية = قراءة الميزان (الوزن الظاهري)	[N]
a	تسارع المصعد، موجب نحو الأعلى وسالب نحو الأسفل	[m/s²]

الوزن الظاهري (משקל מדומה): هو القوّة التي يقرأها ميزان النابض، أي القوّة العمودية N التي يؤثّر بها الميزان على الجسم. في السكون أو في الحركة المنتظمة يساوي الوزن الظاهري الوزن الحقيقي m·g؛ وفي المصعد المتسارع يختلف عنه. قوّة الجاذبية نفسها لا تتغيّر أبدا.

الشخص نفسه في ثلاث حالات: عندما يتسارع المصعد إلى أعلى يقرأ الميزان أكثر من الوزن، وفي السرعة الثابتة يقرأ الوزن بالضبط، وعندما يتسارع إلى أسفل يقرأ أقلّ من الوزن

حركة المصعد	التسارع a	قراءة الميزان N	الإحساس
ساكن، أو يتحرّك بسرعة ثابتة (صعودا أو نزولا)	0	N = m·g	عادي
يصعد ويتسارع، أو ينزل ويتباطأ	موجب (نحو الأعلى)	N > m·g	أثقل
ينزل ويتسارع، أو يصعد ويتباطأ	سالب (نحو الأسفل)	N < m·g	أخفّ
سقوط حرّ (انقطع الحبل)	−g	N = 0	انعدام الوزن

انتبهوا: قراءة الميزان تتعلّق بالتسارع فقط، لا بالسرعة ولا باتّجاهها. مصعد يصعد بسرعة ثابتة 5 m/s ومصعد ينزل بسرعة ثابتة 5 m/s يعطيان القراءة نفسها تماما: الوزن الحقيقي. والمصعد الذي يصعد ويتباطأ يعطي قراءة أصغر من الوزن، تماما كالمصعد الذي ينزل ويتسارع.

مثال 3.21

شخص كتلته 60 kg يقف على ميزان نابض في مصعد. نحسب قراءة الميزان بالنيوتن وبالكيلوغرام (الميزان مُعاير بحيث يعرض Ng) في الحالات:
أ. المصعد ساكن.
ب. يصعد بتسارع 2 m/s².
ج. يصعد بسرعة ثابتة 3 m/s.
د. ينزل بتسارع 2 m/s².
هـ. يصعد ويتباطأ بتسارع مقداره 3 m/s².
و. انقطع الحبل والمصعد في سقوط حرّ.

الحل:

في جميع الحالات N = m·(g + a) مع الموجب نحو الأعلى، والوزن الحقيقي m·g = 600 N.

أ. و ج. التسارع صفر:

N = m·g = 600 N

Ng = 60 kg

ب. التسارع +2 m/s²:

N = 60 · (10 + 2) = 720 N

Ng = 72 kg

د. التسارع −2 m/s²:

N = 60 · (10 − 2) = 480 N

Ng = 48 kg

هـ. المصعد يصعد ويتباطأ، إذًا التسارع نحو الأسفل: a = −3 m/s²:

N = 60 · (10 − 3) = 420 N

Ng = 42 kg

و. في السقوط الحرّ a = −g:

N = 60 · (10 − 10) = 0

الشخص والميزان يسقطان معا بالتسارع نفسه، فلا يضغط أحدهما على الآخر: هذا هو «انعدام الوزن» الذي يشعر به روّاد الفضاء في المدار.

N = 600 , 720 , 600 , 480 , 420 , 0 N

جسم معلّق بميزان نابض من سقف مصعد متسارع

إذا عُلّق الجسم بميزان نابض من سقف المصعد بدل أن يقف عليه، فالتحليل هو نفسه تماما: بدل القوّة العمودية N تؤثّر قوّة الشدّ T نحو الأعلى، والميزان يقرأ T = m·(g + a). وكذلك الأمر في أيّ منظومة متسارعة: رافعة، صاروخ ينطلق، أو طائرة تهبط.
نلاحظ أنّ المعادلة N = m·(g + a) تسمح أيضا بالاتّجاه المعاكس: من قراءة الميزان نستنتج تسارع المصعد — وهذا هو مبدأ مقياس التسارع الذي سنلتقي به بعد قليل.

مثال 3.22

جسم كتلته 5 kg معلّق بميزان نابض من سقف مصعد. ينزل المصعد بسرعة 4 m/s ثم يكبح بتسارع ثابت حتى يتوقّف خلال مسافة 2.67 m. نحسب قراءة الميزان أثناء الكبح وزمن الكبح.

الحل:

المصعد ينزل ويتباطأ، إذًا تسارعه نحو الأعلى. مقداره من معادلات الحركة بتسارع ثابت:

a = v₀²2·d = 4²2 · 2.67 = 3 m/s²

قراءة الميزان هي قوّة الشدّ، والموجب نحو الأعلى:

T − m·g = m·a

T = m·(g + a) = 5 · (10 + 3) = 65 N

t = v₀a = 43 = 1.33 s

أثناء الكبح يقرأ الميزان أكثر من الوزن (50 N) رغم أنّ المصعد ينزل — لأنّ التسارع، لا السرعة، هو ما يحدّد القراءة.

T = 65 N , t = 1.33 s

سؤال 3.8: يقرأ الميزان تحت الشخص نفسه (60 kg) قيمة 750 N. ما هو تسارع المصعد مقدارا واتّجاها؟ اذكروا حالتين حركيتين ممكنتين للمصعد.

▶تجربة حية — المصعد والوزن الظاهرينختار كتلة الشخص وتسارع المصعد، ونراقب قراءة الميزان بالنيوتن وبالكيلوغرام في الصعود المتسارع والسرعة الثابتة والتباطؤ.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#elevator

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#elevator

قوى الاحتكاك على السيّارة: التسارع والكبح – כוחות חיכוך על מכונית בהאצה ובבלימה:

القوّة الأفقية الوحيدة على السيّارة هي احتكاك الطريق بالعجلات: في التسارع يتّجه إلى الأمام، وفي الكبح إلى الخلف

ما الذي يجعل السيّارة تتسارع؟ المحرّك يدير العجلات، لكنّ المحرّك قوّة داخلية لا تستطيع تحريك مركز كتلة السيّارة. العجلة الدافعة تحاول أن تدفع الطريق إلى الخلف، فيردّ الطريق — بحسب القانون الثالث — بقوّة احتكاك ساكن نحو الأمام. هذا الاحتكاك هو القوّة الخارجية الوحيدة في اتّجاه الحركة، وهو الذي يُسرّع السيّارة. نسمّيه ساكنا لأنّ نقطة تماسّ العجلة مع الطريق لا تنزلق عليه (العجلة تدور ولا تنزلق).

أقصى تسارع بفعل الاحتكاك · תאוצה מרבית בעזרת חיכוך

f_s,max = μ_s·N = μ_s·m·g

a_max = μ_s·g

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a_max	أقصى تسارع (أو تباطؤ) يمكن للطريق أن يمنحه للسيّارة	[m/s²]
μ_s	معامل الاحتكاك الساكن بين الإطارات والطريق	—

في الكبح تعمل المكابح على إبطاء دوران العجلات، فتحاول العجلات دفع الطريق إلى الأمام، ويردّ الطريق باحتكاك نحو الخلف يُبطئ السيّارة. ما دامت العجلات تدور بلا انزلاق فالاحتكاك ساكن ويمكن أن يصل إلى μ_s·m·g؛ أمّا إذا «قُفلت» العجلات وانزلقت على الطريق فيصبح الاحتكاك حركيا، وهو أصغر — ولهذا تُجهَّز السيّارات الحديثة بمنظومة تمنع قفل العجلات.

مثال 3.23

سيّارة كتلتها 1200 kg تسير على طريق أفقية. معامل الاحتكاك الساكن بين الإطارات والطريق 0.8 والحركي 0.5. نحسب:
أ. أقصى تسارع يمكن للسيّارة أن تنطلق به، والقوّة التي تُسرّعها عندئذ.
ب. مسافة الكبح وزمنه من سرعة 20 m/s إذا قُفلت العجلات وانزلقت.
ج. مسافة الكبح إذا دارت العجلات حتى التوقّف بلا انزلاق.

الحل:

أ. القوّة العمودية على طريق أفقية تساوي الوزن، وأقصى احتكاك ساكن:

f_s,max = μ_s·m·g = 0.8 · 1200 · 10 = 9600 N

a_max = f_s,maxm = μ_s·g = 0.8 · 10 = 8 m/s²

التسارع لا يتعلّق بكتلة السيّارة: الشاحنة الثقيلة والسيّارة الخفيفة لهما حدّ التسارع نفسه على الطريق نفسها.

ب. عجلات منزلقة: احتكاك حركي، والتباطؤ a = μ_k·g = 5 m/s²:

d = v₀²2·a = 20²2 · 5 = 40 m

t = v₀a = 205 = 4 s

ج. عجلات تدور بلا انزلاق: الاحتكاك ساكن ويصل إلى μ_s·g = 8 m/s²:

d = 20²2 · 8 = 25 m

الكبح بلا انزلاق أقصر بكثير — هذا هو سبب وجود منظومة منع قفل العجلات.

a_max = 8 m/s² , d = 40 m , d = 25 m

سؤال 3.9: سيّارة تسير بسرعة 30 m/s (108 km/h). معامل الاحتكاك بين إطاراتها والطريق 0.6. احسبوا أقصر مسافة يمكن أن تتوقّف فيها، وكيف تتغيّر هذه المسافة إذا تضاعفت السرعة.

مقياس التسارع: جسم معلّق بخيط من سقف سيّارة متسارعة – מד-תאוצה: גוף תלוי בחוט מתקרת מכונית מואצת:

عندما تتسارع السيّارة إلى الأمام يميل الخيط إلى الخلف بزاوية θ؛ محصّلة القوّتين T و m·g هي القوّة الأفقية m·a

نعلّق كرة صغيرة كتلتها m بخيط من سقف سيّارة. عندما تسير السيّارة بسرعة ثابتة يتدلّى الخيط عموديا، وعندما تتسارع إلى الأمام يميل الخيط إلى الخلف بزاوية θ تبقى ثابتة ما دام التسارع ثابتا. نحلّل القوى على الكرة بالنسبة إلى الأرض: قوّة الشدّ T بمحاذاة الخيط وقوّة الجاذبية m·g. الكرة تتسارع أفقيا مع السيّارة بالتسارع a:

y: T·cos θ − m·g = 0

x: T·sin θ = m·a

نقسم المعادلة الثانية على الأولى فتُختصر قوّة الشدّ:

مقياس التسارع · מד-תאוצה

tan θ = ag

T = m·gcos θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
θ	زاوية ميل الخيط عن العمودي	[°]
a	تسارع السيّارة (والكرة)	[m/s²]

ملاحظة: الزاوية لا تتعلّق بكتلة الكرة ولا بطول الخيط، بل بالتسارع فقط؛ لذلك يمكن أن يكون هذا الجهاز البسيط مقياس تسارع (מד-תאוצה): نقيس الزاوية ونحسب a = g·tan θ. لا داعي لأيّ «قوّة تدفع الكرة إلى الخلف»: الكرة تتخلّف عن السيّارة بسبب قصورها الذاتي، والخيط المائل هو ما يجرّها معها.

مثال 3.24

تتسارع سيّارة بتسارع ثابت مقداره 7.5 m/s². كرة كتلتها 0.2 kg معلّقة بخيط من سقفها. نحسب زاوية ميل الخيط وقوّة الشدّ فيه.

الحل:

tan θ = ag = 7.510 = 0.75

θ = 37°

قوّة الشدّ من المعادلة العمودية:

T = m·gcos θ = 0.2 · 100.8 = 2.5 N

قوّة الشدّ أكبر من وزن الكرة (2 N)، لأنّها توازن الوزن وتُسرّع الكرة في الوقت نفسه. نفحص: T·sin θ = 2.5 · 0.6 = 1.5 N = m·a.

θ = 37° , T = 2.5 N

سؤال 3.10: يميل خيط مقياس التسارع في قطار بزاوية 30° عن العمودي أثناء الانطلاق. احسبوا تسارع القطار. إلى أيّ جهة يميل الخيط عندما يكبح القطار؟

تسارع جسمين مربوطين بخيط – האצת שני גופים הקשורים בחוט:

منظومة من جسمين (מערכת דו-גופית): هي جسمان مربوطان بخيط (أو متلامسان) يتحرّكان معا. إذا كان الخيط مشدودا وغير قابل للتمدّد فإنّ مقدار تسارع الجسمين متساوٍ، وإذا كان الخيط والبكرة مهملَي الكتلة والاحتكاك فإنّ قوّة الشدّ واحدة على طول الخيط. نكتب القانون الثاني لكلّ جسم على حدة ونحلّ المعادلتين معا.

أ. جسمان على سطح أفقي – א. שני גופים על משטח אופקי:

جسمان مربوطان بخيط يُسحبان بقوّة F: الخيط يشدّ m₁ إلى الأمام ويشدّ m₂ إلى الخلف بالقوّة نفسها T

مثال 3.25

جسمان كتلتاهما m₁ = 2 kg و m₂ = 3 kg مربوطان بخيط على سطح أفقي أملس. نسحب m₂ بقوّة أفقية 20 N. نحسب تسارع المنظومة وقوّة الشدّ في الخيط. ثم نعيد الحساب إذا كان معامل الاحتكاك الحركي بين الجسمين والسطح 0.1.

الحل:

نكتب القانون الثاني لكلّ جسم، الموجب في اتّجاه F. على m₁ تؤثّر أفقيا قوّة الشدّ فقط، وعلى m₂ القوّة F والشدّ:

m₁: T = m₁·a

m₂: F − T = m₂·a

نجمع المعادلتين فتُختصر T:

F = (m₁ + m₂)·a

a = Fm₁ + m₂ = 205 = 4 m/s²

T = m₁·a = 2 · 4 = 8 N

طريقة أسرع للتسارع: ننظر إلى الجسمين كجسم واحد كتلته 5 kg تؤثّر عليه القوّة الخارجية F فقط (الشدّ قوّة داخلية).

مع الاحتكاك: على كلّ جسم احتكاك μ_k·m·g نحو الخلف:

m₁: T − μ_k·m₁·g = m₁·a

m₂: F − T − μ_k·m₂·g = m₂·a

F − μ_k·(m₁ + m₂)·g = (m₁ + m₂)·a

a = 20 − 0.1 · 5 · 105 = 3 m/s²

T = m₁·(a + μ_k·g) = 2 · (3 + 1) = 8 N

التسارع صغر بسبب الاحتكاك، لكنّ قوّة الشدّ بقيت 8 N: فهي دائما الجزء m₁m₁ + m₂ من F عندما يكون معامل الاحتكاك واحدا للجسمين.

a = 4 m/s² , T = 8 N ; a = 3 m/s² , T = 8 N

جسمان متلامسان يُدفعان بقوّة F: الجسم الأوّل يدفع الثاني بقوّة التماسّ P، والثاني يردّ على الأوّل بالقوّة نفسها عكسا (القانون الثالث)

مثال 3.26

جسمان متلامسان كتلتاهما m₁ = 2 kg و m₂ = 3 kg على سطح أفقي أملس. نُدفع m₁ بقوّة أفقية 20 N فيدفع بدوره m₂. نحسب تسارع الجسمين وقوّة التماسّ بينهما. ثم نجد قوّة التماسّ إذا دفعنا m₂ بالقوّة نفسها من الجهة الأخرى.

الحل:

الجسمان يتحرّكان معا، فنحسب التسارع للمنظومة كلّها:

a = Fm₁ + m₂ = 205 = 4 m/s²

القوّة الأفقية الوحيدة على m₂ هي قوّة التماسّ P من m₁:

P = m₂·a = 3 · 4 = 12 N

نفحص بمعادلة m₁: F − P = m₁·a أي 20 − 12 = 2 · 4 ✓.

إذا دفعنا m₂ بدل m₁ فالتسارع نفسه، لكن قوّة التماسّ تُسرّع الآن m₁ وحده:

P = m₁·a = 2 · 4 = 8 N

قوّة التماسّ أصغر عندما يكون الجسم المدفوع هو الأثقل — لأنّها تُسرّع الجسم الأخفّ فقط.

a = 4 m/s² , P = 12 N ; P = 8 N

ب. جسم على طاولة وجسم معلّق – ב. גוף על שולחן וגוף תלוי:

جسم على طاولة مربوط بخيط يمرّ فوق بكرة بجسم معلّق: الجسم المعلّق يسقط والجسم الذي على الطاولة ينسحب بالتسارع نفسه

يسحب الجسم المعلّق m₂ الخيط، فينسحب الجسم m₁ على الطاولة. نختار لكلّ جسم اتّجاها موجبا هو اتّجاه حركته: لـ m₁ نحو البكرة، ولـ m₂ نحو الأسفل. البكرة تغيّر اتّجاه الخيط فقط ولا تغيّر مقدار الشدّ.

m₁: T = m₁·a

m₂: m₂·g − T = m₂·a

جسم على طاولة ملساء وجسم معلّق · גוף על שולחן וגוף תלוי

a = m₂·gm₁ + m₂

T = m₁·a = m₁·m₂·gm₁ + m₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
m₁	كتلة الجسم على الطاولة	[kg]
m₂	كتلة الجسم المعلّق	[kg]
T	قوّة الشدّ في الخيط	[N]

ملاحظة: قوّة الشدّ أصغر من وزن الجسم المعلّق: لو ساوت وزنه لكانت محصّلة القوى عليه صفرا ولما تسارع. الخطأ الشائع هو التعويض T = m₂·g. والقوّة التي «تُسرّع» المنظومة كلّها هي m₂·g، لكنّها تُسرّع الكتلة الكلّية m₁ + m₂.

مثال 3.27

جسم كتلته m₁ = 3 kg موضوع على طاولة، ومربوط بخيط يمرّ فوق بكرة في طرف الطاولة بجسم معلّق كتلته m₂ = 2 kg. نحسب التسارع وقوّة الشدّ:
أ. إذا كانت الطاولة ملساء.
ب. إذا كان معامل الاحتكاك الحركي بين m₁ والطاولة 0.2.

الحل:

أ. نجمع معادلتَي الجسمين:

m₂·g = (m₁ + m₂)·a

a = 2 · 103 + 2 = 4 m/s²

T = m₁·a = 3 · 4 = 12 N

ب. على m₁ يؤثّر الآن احتكاك نحو الخلف f_k = μ_k·m₁·g = 0.2 · 3 · 10 = 6 N:

m₁: T − f_k = m₁·a

m₂: m₂·g − T = m₂·a

m₂·g − f_k = (m₁ + m₂)·a

a = 20 − 65 = 2.8 m/s²

T = m₂·(g − a) = 2 · (10 − 2.8) = 14.4 N

نفحص بمعادلة m₁: T = m₁·a + f_k = 3 · 2.8 + 6 = 14.4 N — متطابق.

a = 4 m/s² , T = 12 N ; a = 2.8 m/s² , T = 14.4 N

ج. آلة أتوود: جسمان معلّقان – ג. מכונת אטווד: שני גופים תלויים:

آلة أتوود: الجسم الأثقل ينزل والأخفّ يصعد بالتسارع نفسه

جسمان كتلتاهما m₁ و m₂ (m₂ > m₁) معلّقان بخيط يمرّ فوق بكرة ثابتة. الأثقل ينزل والأخفّ يصعد. نختار الموجب لكلّ جسم في اتّجاه حركته:
m₁ (يصعد): T − m₁·g = m₁·a
m₂ (ينزل): m₂·g − T = m₂·a
بجمع المعادلتين تُختصر T، ونحصل على تسارع أصغر من g لأنّ الفرق بين الوزنين يُسرّع مجموع الكتلتين. هذه الآلة اخترعها أتوود عام 1784 لقياس g بدقّة: التسارع الصغير سهل القياس، ومنه نحسب g.

آلة أتوود · מכונת אטווד

a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂

T = m₁·(g + a) = 2·m₁·m₂·gm₁ + m₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a	تسارع الجسمين (الأثقل نحو الأسفل)	[m/s²]
T	قوّة الشدّ، بين m₁·g و m₂·g	[N]

مثال 3.28

في آلة أتوود كتلتا الجسمين 3 kg و 5 kg. تُحرَّر المنظومة من السكون. نحسب التسارع وقوّة الشدّ، والمسافة التي ينزلها الجسم الأثقل في الثانية الأولى.

الحل:

a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂ = (5 − 3) · 108 = 2.5 m/s²

T = m₁·(g + a) = 3 · (10 + 2.5) = 37.5 N

نفحص بمعادلة الجسم الثاني: T = m₂·(g − a) = 5 · (10 − 2.5) = 37.5 N. قوّة الشدّ بين الوزنين 30 N و 50 N كما توقّعنا.

d = 12·a·t² = 12 · 2.5 · 1² = 1.25 m

a = 2.5 m/s² , T = 37.5 N , d = 1.25 m

د. جسم على سطح مائل وجسم معلّق – ד. גוף על מישור משופע וגוף תלוי:

جسم على سطح مائل خشن مربوط عبر بكرة في أعلى السطح بجسم معلّق؛ هنا الجسم المعلّق أثقل فيسحب m₁ نحو الأعلى، والاحتكاك يعاكس ذلك

هذه الحالة تجمع كلّ ما تعلّمناه. قبل كتابة المعادلات يجب أن نعرف إلى أيّ جهة تتحرّك المنظومة — وإلّا لا نعرف اتّجاه الاحتكاك. نقارن القوّتين «المحرّكتين»: وزن الجسم المعلّق m₂·g من جهة، ومركّبة وزن الجسم على السطح m₁·g·sin θ من الجهة الأخرى. إذا كان الفرق بينهما أكبر من أقصى احتكاك ساكن تحرّكت المنظومة في اتّجاه القوّة الأكبر؛ وإلّا بقيت ساكنة.

مثال 3.29

جسم كتلته m₁ = 2 kg موضوع على سطح مائل زاويته 37°، ومربوط بخيط يمرّ فوق بكرة في أعلى السطح بجسم معلّق كتلته m₂ = 3 kg. معامل الاحتكاك (الساكن والحركي) بين m₁ والسطح 0.25. تُحرَّر المنظومة من السكون. نحدّد هل تتحرّك وفي أيّ اتّجاه، ونحسب التسارع وقوّة الشدّ.

الحل:

القوّة العمودية وأقصى احتكاك على m₁:

N = m₁·g·cos θ = 2 · 10 · 0.8 = 16 N

f_max = μ·N = 0.25 · 16 = 4 N

القوّتان المحرّكتان: m₂·g = 30 N نحو الأسفل من جهة الجسم المعلّق، و m₁·g·sin θ = 2 · 10 · 0.6 = 12 N نحو أسفل السطح. الفرق 30 − 12 = 18 N أكبر من f_max = 4 N، إذًا تتحرّك المنظومة: m₂ ينزل و m₁ يصعد على السطح، والاحتكاك على m₁ نحو أسفل السطح.

الموجب لكلّ جسم في اتّجاه حركته:

m₁: T − m₁·g·sin θ − f_k = m₁·a

m₂: m₂·g − T = m₂·a

نجمع:

m₂·g − m₁·g·sin θ − f_k = (m₁ + m₂)·a

a = 30 − 12 − 45 = 2.8 m/s²

T = m₂·(g − a) = 3 · (10 − 2.8) = 21.6 N

قوّة الشدّ بين 12 + 4 = 16 N (ما يلزم لتحريك m₁ بلا تسارع) و 30 N (وزن m₂) — معقول.

a = 2.8 m/s² , T = 21.6 N

سؤال 3.11: جسم كتلته 4 kg على طاولة أفقية، معامل الاحتكاك الحركي بينهما 0.1، مربوط بخيط فوق بكرة بجسم معلّق كتلته 1 kg. احسبوا التسارع وقوّة الشدّ. ماذا يحدث لو كان معامل الاحتكاك الساكن 0.3؟

▶تجربة حية — منظومة من جسمين — بكرة وسطح مائلنغيّر الكتلتين وزاوية السطح ومعامل الاحتكاك، ونكتشف متى تبقى المنظومة ساكنة ومتى يصعد الجسم أو ينزل، مع قراءة قوّة الشدّ.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#pulley

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#pulley

الحتمية والقدرة على التنبّؤ – דטרמיניזם ויכולת ניבוי:

في كلّ الأمثلة السابقة فعلنا الشيء نفسه: عرفنا القوى المؤثّرة على الجسم وحالته الابتدائية (موقعه وسرعته)، فحسبنا تسارعه، ومنه سرعته وموقعه في كلّ لحظة لاحقة. هذه هي القوّة الكبرى لقوانين نيوتن: إذا عرفنا القوى والحالة الابتدائية فإنّ مستقبل المنظومة محدَّد تماما. هذه الفكرة تسمّى الحتمية (דטרמיניזם): الحاضر يحدّد المستقبل بشكل قاطع، لا مكان فيه للصدفة.

لكن الحتمية في القوانين لا تعني دائما القدرة على التنبّؤ (יכולת ניבוי) عمليا. نحن لا نعرف الحالة الابتدائية بدقّة لا نهائية، وفي كثير من المنظومات — الطقس مثلا، أو كرة بلياردو بعد عشرة اصطدامات — تتضخّم أصغر الأخطاء في المعطيات بسرعة حتى تصبح النتيجة غير قابلة للتنبّؤ عمليا، رغم أنّ كلّ خطوة فيها تخضع لقوانين نيوتن. أمّا في المنظومات البسيطة التي درسناها، فالقوانين تتنبّأ بما سيحدث بدقّة تدهش من يطبّقها: هكذا تُرسَل مركبة فضائية فتصل إلى كوكب بعيد بعد سنوات، في اللحظة التي حُسبت لها.

أهمّ أفكار الفصل:

قانون نيوتن الثاني يربط محصّلة القوى بالتسارع: التسارع باتّجاه المحصّلة دائما — لا باتّجاه السرعة — ويتناسب طرديا مع المحصّلة وعكسيا مع الكتلة.
للكتلة وجهان متساويان: كتلة قصورية تقيس مقاومة الجسم لتغيير سرعته، وكتلة ثقالية تقيس انجذابه إلى الأرض؛ ميزان الكفّتين يقارن كتلا ولا يتعلّق بـ g، وميزان النابض يقيس قوّة.
طريقة حلّ مسائل الديناميكا واحدة دائما: مخطّط قوى للجسم وحده، اختيار محورين أحدهما باتّجاه التسارع، ومعادلة قوى لكلّ محور (وفي منظومة أجسام: معادلة لكلّ جسم على حدة).
قراءة ميزان النابض في المصعد — الوزن الظاهري — تساوي N = m·(g + a): أكبر من الوزن في التسارع نحو الأعلى، أصغر منه في التسارع نحو الأسفل، وصفر في السقوط الحرّ.
في منظومة جسمين مربوطين بخيط عبر بكرة مهملة الكتلة: مقدار التسارع مشترك، وقوّة الشدّ واحدة على طول الخيط — ومعادلتا الجسمين تُحلّان معا.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
قانون نيوتن الثاني	ΣF_x = m·a_x , ΣF_y = m·a_y
النيوتن	1 N = 1 kg·m/s²
قوّة الجاذبية قرب سطح الأرض	F_g = m·g
الكثافة والوزن النوعي	ρ = mV , γ = ρ·g
سطح مائل أملس	a = g·sin θ
سطح مائل خشن (انزلاق نحو الأسفل)	a = g·(sin θ − μ_k·cos θ)
قراءة ميزان النابض في المصعد	N = m·(g + a)
آلة أتوود	a = (m₂ − m₁)·gm₁ + m₂

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الكتلة القصورية	מסה התמדית	Inertial mass
الكيلوغرام	קילוגרם	Kilogram
قانون نيوتن الثاني	החוק השני של ניוטון	Newton's second law
معادلة الحركة	משוואת תנועה	Equation of motion
الكتلة الثقالية	מסה כובדית	Gravitational mass
ميزان الكفّتين	מאזני כפות	Beam balance
الكثافة	צפיפות	Density
الوزن النوعي	משקל סגולי	Specific weight
السطح المائل (المستوى المائل)	מישור משופע	Inclined plane
المصعد	מעלית	Elevator
الوزن الظاهري	משקל מדומה	Apparent weight
انعدام الوزن	חוסר משקל	Weightlessness
مقياس التسارع	מד-תאוצה	Accelerometer
البكرة	גלגלת	Pulley
منظومة من جسمين	מערכת דו-גופית	Two-body system
آلة أتوود	מכונת אטווד	Atwood machine
الحتمية	דטרמיניזם	Determinism
القدرة على التنبّؤ	יכולת ניבוי	Predictability

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 3.1) عربة كتلتها 1.5 kg تنطلق من السكون على سكّة أفقية، وبعد 3 s تبلغ سرعتها 9 m/s.
أ. ما محصّلة القوى عليها؟
ب. ما القوّة الساحبة إذا كانت السكّة ملساء؟
ج. وما القوّة الساحبة إذا كان μ_k = 0.2؟
د. كم تكون المسافة المقطوعة في هذه الثواني الثلاث؟

الإجابات: أ. ΣF = 4.5 N ؛ ب. F = 4.5 N ؛ ج. F = 7.5 N ؛ د. x = 13.5 m

(للبند 3.2) قضيب من الألمنيوم طوله 0.5 m ومساحة مقطعه 4 cm² (كثافة الألمنيوم 2700 kg/m³). احسبوا حجمه، كتلته، وقوّة الجاذبية المؤثّرة عليه. ماذا يشير ميزان الكفّتين وماذا يشير ميزان النابض إذا وُزن القضيب على القمر (g = 1.6 m/s²)؟

الإجابات: V = 2·10⁻⁴ m³ ، m = 0.54 kg ، F_g = 5.4 N ؛ ميزان الكفّتين 0.54 kg ، ميزان النابض 0.864 N

(للبند 3.3) جسم كتلته 4 kg ينزلق نحو الأسفل على سطح مائل زاويته 30°، معامل الاحتكاك الحركي بينهما 0.2. ارسموا مخطّط القوى، واحسبوا القوّة العمودية، قوّة الاحتكاك، والتسارع. ما هي سرعة الجسم بعد أن يقطع 3 m من السكون؟

الإجابات: N = 34.6 N ، f_k = 6.93 N ، a = 3.27 m/s² ، v = 4.43 m/s

(للبند 3.3) شخص كتلته 50 kg يقف على ميزان نابض في مصعد.
أ. يقرأ الميزان 400 N — ما هو تسارع المصعد مقدارا واتّجاها؟ اذكروا حالتين حركيتين ممكنتين.
ب. ما هي قراءة الميزان عندما يصعد المصعد بتسارع 2 m/s²؟
ج. ومتى يقرأ الميزان صفرا؟

الإجابات: أ. a = 2 m/s² نحو الأسفل: ينزل ويتسارع أو يصعد ويتباطأ ؛ ب. N = 600 N ؛ ج. في السقوط الحرّ

تمارين تلخيصية:

صندوق كتلته 6 kg على أرضية أفقية؛ μ_s = 0.4 و μ_k = 0.25. نؤثّر عليه بقوّة أفقية.
أ. F = 20 N: هل يتحرّك؟ ما قوّة الاحتكاك؟
ب. F = 30 N: ما قوّة الاحتكاك ومحصّلة القوى وتسارع الصندوق؟

الإجابات: أ. لا يتحرّك (f_s,max = 24 N)، f_s = 20 N ؛ ب. f_k = 15 N ، ΣF = 15 N ، a = 2.5 m/s²

يُدفع صندوق كتلته 10 kg على أرضية أفقية بقوّة 50 N تصنع زاوية 37° تحت الأفق؛ μ_k = 0.2.
أ. احسبوا القوّة العمودية.
ب. قوّة الاحتكاك الحركي.
ج. تسارع الصندوق.
د. ماذا كان يتغيّر لو سُحب الصندوق بالقوّة نفسها بزاوية 37° فوق الأفق؟

الإجابات: أ. N = 130 N ؛ ب. f_k = 26 N ؛ ج. a = 1.4 m/s² ؛ د. تصغر N فيصغر الاحتكاك ويكبر التسارع

جسم كتلته 3 kg موضوع على طاولة أفقية (μ_k = 0.25) وموصول بخيط يمرّ على بكرة مهملة الكتلة في حافّة الطاولة، وفي طرفه الآخر جسم معلّق كتلته 2 kg (الشكل).
أ. احسبوا تسارع المنظومة.
ب. قوّة الشدّ في الخيط.
ج. المسافة التي يهبطها الجسم المعلّق في أوّل ثانيتين من السكون.

الإجابات: أ. a = 2.5 m/s² ؛ ب. T = 15 N ؛ ج. d = 5 m

في آلة أتوود كتلتا الجسمين 2 kg و 3 kg. احسبوا تسارع المنظومة وقوّة الشدّ في الخيط، والقوّة التي يؤثّر بها الخيط على محور البكرة (مهملة الكتلة).

الإجابات: a = 2 m/s² ، T = 24 N ، على البكرة 2T = 48 N

تمارين تعمّق:

(*) جسم كتلته 4 kg موضوع على سطح مائل خشن زاويته 37° (μ_k = 0.25 ، μ_s = 0.4)، وموصول بخيط يمرّ على بكرة في أعلى السطح وفي طرفه جسم معلّق كتلته 4 kg (الشكل).
أ. بيّنوا بالحساب أنّ المنظومة تتحرّك بحيث يهبط الجسم المعلّق.
ب. احسبوا تسارع المنظومة وقوّة الشدّ في الخيط.
ج. بين أيّ كتلتين للجسم المعلّق كانت المنظومة تبقى ساكنة؟

الإجابات: ب. a = 1 m/s² ، T = 36 N ؛ ج. بين 1.12 kg و 3.68 kg

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

3.1 أ. ΣF = 4 N ؛ ب. F = 4 N ؛ ج. F = 6 N

3.2 نعم: كرة مقذوفة نحو الأعلى (المحصّلة نحو الأسفل) أو سيّارة تفرمل — الجسم يتباطأ؛ ونعم: أيّ جسم يتحرّك بسرعة ثابتة في خطّ مستقيم

3.3 N = 48 N ، a ≈ 3.46 m/s² ، v ≈ 17.3 m/s

3.4 على الأرض 700 N ، على المرّيخ 259 N ؛ الكتلة لا تتغيّر

3.5 V = 3 m³ ، m = 3000 kg ، F_g = 30000 N

3.6 N = 62 N ، a = 0.1 m/s² ؛ نعم، لأنّ F·cos θ = 16 N أكبر بقليل من f_s,max = 15.5 N

3.7 f_s = m·g·sin θ = 15 N ، μ_s ≥ tan 30° = 0.58

3.8 a = 2.5 m/s² نحو الأعلى؛ المصعد يصعد ويتسارع، أو ينزل ويتباطأ

3.9 a = 6 m/s² ، d = 75 m ؛ المسافة تتضاعف أربع مرّات

3.10 a = g·tan 30° = 5.77 m/s² ؛ عند الكبح يميل الخيط إلى الأمام

3.11 a = 1.2 m/s² ، T = 8.8 N ؛ مع μ_s = 0.3 يكون f_s,max = 12 N > 10 N فتبقى المنظومة ساكنة و T = 10 N

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 3

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الميكانيكا (מכניקה — 36361): حتى سنة 2025 نعرض النسخة العربية الرسمية للامتحان، ومن سنة 2026 النسخة العبرية كما يحصل عليها الطالب في قاعة الامتحان. تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 2 — آلة أتوود — كتلتان معلّقتان من بكرة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	القوى على كلّ كتلة	على كلّ كتلة تؤثّر قوّتان فقط — وزن إلى الأسفل من الكرة الأرضيّة، وتوتر إلى الأعلى من الخيط. مقدار التوتر متساوٍ في الجهتين.
ب	رفض التعبيرين	(i) يُرفض لأنّه يعطي تسارعًا أكبر من تسارع السقوط الحرّ · (ii) يُرفض لأنّ وحداته ليست وحدات تسارع
ج	التعبير عن تسارع الجهاز	في الحل الكامل
د	نسبة الكتلتين من المسافة في الثانية الأولى	في الحل الكامل
هـ	لماذا مقدار التسارع متساوٍ للكتلتين	طول الخيط ثابت وهو لا ينزلق على البكرة، ولذلك الإزاحتان متساويتان في المقدار في كلّ لحظة — ومن هنا السرعتان والتسارعان أيضًا. الاتّجاهان معاكسان.

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2025 السؤال 2 — سطح مائل — احتكاك ساكن مقابل احتكاك حركيّ، زاوية وشك الحركة، والتسارع في الصعود والنزول

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى	في الحل الكامل
ب	تصغير الزاوية إلى الزاوية α₁	مقدار قوّة الاحتكاك يصغر
ج	الزاوية α₂ التي يكون فيها الجسم على وشك الحركة	في الحل الكامل
د	السرعة عند أسفل السطح المائل	v ≈ 1.56 m/s
هـ	المخطّط الذي يصف مقدارَي التسارع بشكل صحيح	المخطّط 3

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 2 — صندوق على سطح خشن مع بكرة — استخراج الكتلة ومعامل الاحتكاك من الرسم البيانيّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى على الصندوق	m·g نحو الأسفل (الكرة الأرضيّة) · N نحو الأعلى (السطح) · T = F أفقيًّا نحو البكرة (الخيط) · f أفقيًّا عكس الحركة (السطح)
ب	تطوير تعبير التسارع	a = (F − μ·m·g) مقسومًا على m ، أي a = F مقسومًا على m ناقص μ·g ، صالح عندما تكون F أكبر من μ·m·g
ج	مخطّط مبعثر وخطّ توجّه	مخطّط مبعثر للنقاط الخمس ، وخلالها خطّ توجّه a = 1.55·F − 3.53
د	استخراج الكتلة ومعامل الاحتكاك من الرسم	m = 0.645 kg ≈ 0.65 kg ، μ = 0.3525 ≈ 0.35 (عديم الوحدات)
هـ	ماذا يحدث عندما F = 1.5 N	a = 0 · الصندوق لا يتحرّك ، لأنّ F = 1.5 N أصغر من الاحتكاك الساكن الأقصى 2.275 N ، والاحتكاك الساكن الفعليّ هو 1.5 N

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 2 — جسمان مربوطان بخيط وبينهما مجسّ قوّة — استخراج الكتلة والقوّة الخارجيّة ونوع الحركة من رسم الشدّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّطا القوى على A وعلى B	على A — F₁ نحو الأعلى (قوّة خارجيّة) ، m_A·g = 30 N نحو الأسفل (الكرة الأرضيّة) ، T نحو الأسفل (الخيط) · على B — T نحو الأعلى (الخيط) ، m_B·g = 10 N نحو الأسفل (الكرة الأرضيّة)
ب	معادلتا القوى وتعبير التسارع	F₁ − T − m_A·g = m_A·a وأيضًا T − m_B·g = m_B·a ، ومن هنا a = (F₁ − (m_A + m_B)·g) مقسومًا على (m_A + m_B)
ج	حساب كتلة الجسم B	m_B = 1 kg
د	القوّة الخارجيّة في الفترات الزمنيّة الثلاث	F₁ = 40 N في الفترة الأولى ، F₁ = 48 N في الفترة الثانية ، F₁ = 40 N في الفترة الثالثة
هـ	نوع الحركة في كلّ واحدة من الفترتَين	في الفترة 0.3 حتّى 0.8 ثانية حركة بتسارع ثابت 2 m/s² نحو الأعلى ، وفي الفترة 0.8 حتّى 1.2 ثانية حركة منتظمة نحو الأعلى بسرعة ثابتة 1 m/s
و	القول الصحيح من بين أربعة	القول الصحيح هو القول 3 ، أي F₂ أكبر من m_B·g ، لأنّ F₂ = m_B·(g + a₁) والتسارع a₁ موجب

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 (موعد خاص) السؤال 2 — آلة أتوود في تقرير مختبريّ — إثبات ثبات التسارع من جدول الارتفاعات والأزمنة، وتطوير العلاقة بين التسارع والفرق بين الكتلتَين حتّى استخراج الكتلة الكلّيّة من الرسم البيانيّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	لماذا التسارع ثابت حسب قوانين نيوتن	قوّتان فقط على كلّ سلّة، جاذبيّة ثابتة وشدّ متطابق في الطرفَين، ولا قوّة تتعلّق بالموقع أو بالسرعة ، ولذلك a = (m_A − m_B)·g مقسومًا على (m_A + m_B) — تعبير من ثوابت فقط
ب	كيف حُسب التسارع من الارتفاع ومن الزمن	من المعادلة h = نصف a t تربيع مع سرعة ابتدائيّة صفر ينتج a = 2h مقسومًا على t تربيع ، والتعويض يعطي 0.98 ، 1.02 ، 1.01 m/s²
ج	هل تُثبت النتائج أنّ التسارع ثابت	نعم ، النتائج تؤكّد الفرضيّة — ثلاثة ارتفاعات تختلف بثلاثة أضعاف تعطي 0.98 ، 1.02 ، 1.01 m/s² بدون اتّجاه منهجيّ ، تشتّت 2.33 بالمئة فقط ، والنسبة t تربيع مقسومًا على h ثابتة
د	مخطّط القوى على كلّ واحدة من السلّتَين	على A — قوّة الجاذبيّة m_A·g نحو الأسفل (الكرة الأرضيّة) وقوّة الشدّ T نحو الأعلى (الخيط) ، حيث m_A·g أكبر من T · على B — قوّة الجاذبيّة m_B·g نحو الأسفل وقوّة الشدّ T نحو الأعلى ، حيث T أكبر من m_B·g · مقدار T متطابق في الطرفَين
هـ	تطوير المعادلة التي تربط بين التسارع والفرق بين الكتلتَين	a = g·(m_A − m_B) مقسومًا على (m_A + m_B) · في التجربة 2 الكتلة الكلّيّة ثابتة ، ولذلك هذا خطّ مستقيم لـ a مقابل (m_A − m_B) يمرّ عبر نقطة الأصل وميله g مقسومًا على الكتلة الكلّيّة
و	حساب الكتلة الكلّيّة من الرسم البيانيّ	ميل خطّ التوجّه 20 (m/s²)/kg ، وبما أنّ الميل هو g مقسومًا على الكتلة الكلّيّة ينتج m_A + m_B = 10 مقسومًا على 20 = 0.5 kg = 500 g

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)