الجاذبية
لماذا تدور الكواكب حول الشمس ولا تهرب منها؟ ولماذا يبقى القمر في مداره بينما تسقط التفّاحة من الشجرة؟ احتاج الإنسان إلى آلاف السنين من الرصد والتفكير حتى فهم أنّ القوّة التي تُسقط التفّاحة هي نفسها القوّة التي تمسك القمر والكواكب في مداراتها. في هذا الفصل نتتبّع هذه القصّة من اليونان القديمة حتى نيوتن، نتعرّف على قوانين كبلر، نصوغ قانون الجذب العام ونستعمله لحساب كتل الكواكب وحركة الأقمار الاصطناعية، ثم ندرس مجال الجاذبية والطاقة فيه، ونحسب السرعة اللازمة للإفلات من الأرض.
- نصف تطوّر نماذج الكون من مركزية الأرض إلى مركزية الشمس، ونعرف ما الذي حسم الخلاف بينهما.
- نصوغ قوانين كبلر الثلاثة ونستعمل القانون الثالث T2 ∝ a3 في الحساب.
- نستنتج قانون التربيع العكسي من قانون كبلر الثالث، ونفهم لماذا «يسقط القمر» مثل التفّاحة.
- نكتب قانون الجذب العام F = G·m1·m2r2 ونحسب به قوى وكتلا وتسارعات.
- نحلّل حركة القمر الاصطناعي في مدار دائري: السرعة، زمن الدورة، وكتلة الكوكب من بيانات قمره.
- نعرّف مجال الجاذبية وشدّته g = G·Mr2، ونميّز بين المجال المركزي والمجال المنتظم.
- نستعمل طاقة الثقل الوضعية UG = −G·M·mr في حفظ الطاقة، ونحسب سرعة الإفلات وطاقة الربط والطاقة الكلّية لقمر اصطناعي.
רקע היסטורי וחוקי קפלר – خلفية تاريخية وقوانين كبلر (Historical Background and Kepler's Laws)
قبل أن نكتب أيّ معادلة، نتوقّف عند السؤال الذي شغل الإنسان منذ القدم: كيف تتحرّك الأجرام في السماء، وما مكان الأرض بينها؟ الجواب الذي نعرفه اليوم لم يأتِ دفعة واحدة، بل بُني طبقة فوق طبقة على مدى ألفَي سنة. نتتبّع هنا المحطّات الرئيسية في هذه القصّة، لأنّ فهم الطريق يساعدنا على فهم القانون الذي ينتظرنا في نهايتها.
فيثاغورس وأرسطو — الأرض في المركز – פיתגורס ואריסטו — הארץ במרכז:
في القرن السادس قبل الميلاد علّم فيثاغورس وتلاميذه أنّ الأرض كرة، وأنّها ساكنة في مركز الكون، وأنّ الشمس والقمر والكواكب والنجوم تدور حولها على كرات شفّافة بحركة دائرية منتظمة. هذا هو نموذج مركزية الأرض (מודל גאוצנטרי): الأرض في المركز، وكلّ شيء يدور حولها. كان لهذا النموذج ما يدعمه في الحسّ المباشر: نحن لا نشعر بحركة الأرض، ونرى الشمس والنجوم تشرق في الشرق وتغرب في الغرب كلّ يوم.
في القرن الرابع قبل الميلاد أعطى أرسطو هذا النموذج أساسا فلسفيا وفيزيائيا بقي سائدا نحو ألفَي سنة. قسّم أرسطو الكون إلى عالمين مختلفين في طبيعتهما:
- العالم تحت القمري (העולם התת-ירחי): كلّ ما يقع تحت كرة القمر، أي الأرض وما حولها. مادّته مركّبة من العناصر الأربعة (التراب، الماء، الهواء، النار)، وهو عالم التغيّر والفساد. الحركة الطبيعية فيه مستقيمة: الأجسام الثقيلة تسقط إلى الأسفل نحو مركز الكون، والخفيفة ترتفع إلى الأعلى.
- العالم فوق القمري (העולם העל-ירחי): القمر وما فوقه. مادّته عنصر خامس كامل لا يتغيّر هو «الأثير»، والحركة الطبيعية فيه دائرية منتظمة لا تبدأ ولا تنتهي، لأنّ الدائرة هي الشكل الكامل.
بطليموس — فلك التدوير والفلك الحامل – תלמי — מעגל משני ומעגל ראשי:
كان في نموذج الكرات البسيط عيب واضح: الكواكب لا تتحرّك في السماء بانتظام. عندما نرصد المرّيخ مثلا ليلة بعد ليلة بين النجوم، نراه يتقدّم شرقا، ثم يبطئ ويتوقّف، ثم يعود غربا لبضعة أسابيع، ثم يتوقّف مرّة أخرى ويعود إلى تقدّمه. تسمّى هذه الظاهرة الحركة التراجعية (תנועה נסוגה)، ولا يمكن لحركة دائرية منتظمة واحدة حول الأرض أن تنتجها. كما يتغيّر لمعان الكوكب خلال ذلك، وكأنّه يقترب ويبتعد.
في القرن الثاني للميلاد بنى بطليموس في الإسكندرية نموذجا رياضيا يحلّ هذه المشكلة ويحافظ على الأرض في المركز وعلى الحركة الدائرية المنتظمة. الفكرة: الكوكب لا يدور حول الأرض مباشرة، بل يدور على دائرة صغيرة تسمّى فلك التدوير (אפיציקל — מעגל משני)، ومركز هذه الدائرة هو الذي يدور حول الأرض على دائرة كبيرة تسمّى الفلك الحامل (מעגל ראשי). عندما يكون الكوكب في الجزء الداخلي من فلك التدوير تكون حركته معاكسة لحركة المركز، فيبدو من الأرض وكأنّه يتراجع، ويكون في الوقت نفسه أقرب إلينا وأكثر لمعانا.
بإضافة أفلاك تدوير وتعديلات أخرى استطاع بطليموس التنبّؤ بمواقع الكواكب بدقّة لا بأس بها، وبقي كتابه «المجسطي» المرجع الأوّل في علم الفلك، عند العرب وفي أوروبا، نحو أربعة عشر قرنا.
كوبرنيكوس — نموذج مركزية الشمس – קופרניקוס — המודל ההליוצנטרי:
في سنة 1543 نشر الفلكي البولندي نيكولاوس كوبرنيكوس كتابه «في دوران الأجرام السماوية»، واقترح فيه نموذج مركزية الشمس (מודל הליוצנטרי): الشمس ساكنة في المركز، والأرض كوكب كسائر الكواكب يدور حولها مرّة في السنة ويدور حول محوره مرّة في اليوم، والقمر وحده يدور حول الأرض.
مزايا النموذج:
- الحركة التراجعية تُفسَّر تفسيرا طبيعيا بلا أفلاك تدوير: الأرض الأقرب إلى الشمس أسرع من المرّيخ، وعندما تتجاوزه يبدو لنا متراجعا، تماما كما تبدو لنا سيّارة بطيئة نتجاوزها على الطريق وكأنّها تعود إلى الوراء. وفي هذه الأثناء يكون المرّيخ أقرب إلينا — فيزداد لمعانه.
- الكواكب ترتّب ترتيبا طبيعيا واحدا حسب بُعدها عن الشمس وحسب زمن دورتها: عطارد الأقرب والأسرع، ثم الزهرة، الأرض، المرّيخ، المشتري وزحل.
- عطارد والزهرة لا يبتعدان في السماء عن الشمس أبدا إلّا بزاوية محدودة؛ في نموذج كوبرنيكوس هذا بديهي، لأنّ مداريهما داخل مدار الأرض.
- الحركة اليومية للسماء كلّها (شروق وغروب كلّ شيء) تُفسَّر بدوران واحد للأرض حول محورها بدل دوران آلاف النجوم.
عيوب النموذج ومصاعبه:
- بقي كوبرنيكوس أمينا للحركة الدائرية المنتظمة، فاحتاج هو أيضا إلى أفلاك تدوير صغيرة لتقريب الحسابات من الرصد، ولم تكن تنبّؤاته أدقّ من تنبّؤات بطليموس.
- لم يُرصد أيّ اختلاف منظر للنجوم (تغيّر طفيف في اتّجاهها عندما تنتقل الأرض من جانب من مدارها إلى الجانب الآخر). جواب كوبرنيكوس — أنّ النجوم بعيدة جدّا — كان صحيحا، لكنّه لم يُثبَت إلّا في سنة 1838.
- ناقض النموذج فيزياء أرسطو: إذا كانت الأرض تتحرّك بسرعة هائلة فلماذا لا نشعر بذلك؟ ولماذا يسقط الحجر عموديا ولا يتخلّف غربا؟ لم يكن هناك بعدُ علم حركة يجيب (وهو ما أسّسه غاليليو ونيوتن لاحقا).
- عارضه رجال الدين، لأنّه أزاح الأرض — ومعها الإنسان — عن مركز الكون.
تيخو براهي — الرصد الدقيق – טיכו ברהה — תצפיות:
لم يحسم الخلاف بين النموذجين الجدلُ الفلسفي، بل القياس. الفلكي الدنماركي تيخو براهي (1546–1601) بنى في جزيرته مرصدا ضخما وأدوات رصد كبيرة ودقيقة (بلا مقراب، فالمقراب لم يُخترع بعد)، ورصد على مدى أكثر من عشرين سنة مواقع الكواكب والنجوم بدقّة لم يسبقه إليها أحد: نحو دقيقة قوسية واحدة، أي جزء من ستّين من الدرجة — عشر مرّات أدقّ من كلّ ما سبقه. كما رصد سنة 1572 نجما جديدا يظهر ثم يخبو (مستعرّا أعظم)، وفي سنة 1577 مذنّبا يتحرّك فيما وراء القمر — دليلان على أنّ السماء «الكاملة التي لا تتغيّر» عند أرسطو تتغيّر فعلا.
لم يقبل تيخو نموذج كوبرنيكوس، واقترح نموذجا وسطا تدور فيه الكواكب حول الشمس وتدور الشمس مع كلّ الكواكب حول أرض ساكنة. لكنّ أهمّ ما تركه ليس نموذجه، بل جداول رصده الدقيقة — وخاصّة رصد المرّيخ — التي ورثها مساعده الشابّ يوهانس كبلر.
غاليليو — اكتشافات المقراب – גלילאו — תגליות בטלסקופ:
في سنة 1609 سمع غاليليو غاليلي باختراع المقراب (التلسكوب) في هولندا، فصنع لنفسه مقرابا محسّنا ووجّهه نحو السماء. خلال أشهر قليلة اكتشف أربع ظواهر غيّرت صورة الكون:
- سطح القمر: رأى جبالا وفوّهات وسهولا وظلالا تتغيّر مع ارتفاع الشمس عليها، وقاس ارتفاع الجبال من أطوال ظلالها. القمر إذًا جرم أرضيّ الطبيعة، وليس كرة ملساء كاملة من «الأثير» كما قال أرسطو.
- درب التبّانة: الشريط الضبابي الذي يعبر السماء تبيّن أنّه مكوّن من آلاف النجوم الخافتة التي لا تراها العين المجرّدة. الكون أكبر وأغنى بكثير ممّا ظُنّ، والنجوم قد تكون بعيدة جدّا — وهذا يدعم جواب كوبرنيكوس عن اختلاف المنظر.
- أقمار المشتري: رأى بجانب المشتري أربع نقاط مضيئة تغيّر موقعها ليلة بعد ليلة، وتابعها حتى تأكّد أنّها أقمار تدور حوله. هذه ضربة قاصمة لحجّة أساسية ضدّ كوبرنيكوس: «لو كانت الأرض تدور حول الشمس لتخلّف القمر عنها». ها هي أجرام تدور حول جرم متحرّك، وها هو مركز دوران في الكون ليس هو الأرض.
- أطوار الزهرة: رأى أنّ للزهرة أطوارا كأطوار القمر — هلالا ونصفا وأحدب وبدرا — وأنّ حجمها الظاهري يتغيّر كثيرا بين طور وآخر.
كان اكتشاف أطوار الزهرة هو الأهمّ: في نموذج بطليموس تبقى الزهرة دائما بين الأرض والشمس، فلا يمكن أن نرى منها إلّا هلالا. أمّا رؤية الزهرة بدرا كاملا صغيرا، ثم هلالا كبيرا، فلا تفسير لها إلّا أنّ الزهرة تدور حول الشمس، وتكون أحيانا وراءها وأحيانا أمامها. كتب غاليليو عن هذه الاكتشافات في «رسول النجوم» (1610)، وصار المدافع الأشهر عن نموذج كوبرنيكوس، ودفع ثمن ذلك محاكمةً وإقامة جبرية.
| العالم | الفترة | مساهمته في القصّة |
|---|---|---|
| فيثاغورس | القرن 6 ق.م. | الأرض كرة في مركز الكون، والأجرام تدور حولها على كرات |
| أرسطو | القرن 4 ق.م. | عالم تحت قمري متغيّر وعالم فوق قمري كامل؛ الحركة السماوية دائرية منتظمة |
| بطليموس | القرن 2 م. | فلك التدوير والفلك الحامل لتفسير الحركة التراجعية |
| كوبرنيكوس | 1543 | الشمس في المركز، والأرض كوكب يدور حولها |
| تيخو براهي | 1572–1601 | رصد دقيق لعشرات السنين؛ السماء تتغيّر |
| غاليليو | 1609–1610 | سطح القمر، درب التبّانة، أقمار المشتري، أطوار الزهرة |
| كبلر | 1609–1619 | القوانين الثلاثة لحركة الكواكب |
| نيوتن | 1687 | قانون الجذب العام يفسّر قوانين كبلر وسقوط الأجسام معا |
كبلر — القوانين الثلاثة لحركة الكواكب – קפלר — שלושת החוקים:
حاول يوهانس كبلر (1571–1630) سنوات طويلة أن يوفّق بين رصد تيخو للمرّيخ وبين مدار دائري حول الشمس، فبقي فرق صغير عنيد مقداره ثماني دقائق قوسية. وثق كبلر بدقّة تيخو أكثر ممّا وثق بالدائرة، فتخلّى عن فكرة عمرها ألفا سنة وجرّب شكلا آخر: القطع الناقص. هنا انطبق الحساب على الرصد تماما. صاغ كبلر نتائجه في ثلاثة قوانين، نشر الأوّلَين سنة 1609 والثالث سنة 1619.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| a | نصف المحور الأكبر للمدار | [m] |
| r1 , r2 | بُعدا الكوكب عن البؤرتين | [m] |
نصّ القانون الأوّل: يدور كلّ كوكب حول الشمس في مسار على شكل قطع ناقص، تقع الشمس في إحدى بؤرتيه.
نصّ القانون الثاني (قانون المساحات): الخطّ الواصل بين الشمس والكوكب يمسح مساحات متساوية في أزمنة متساوية.
معنى القانون: سرعة الكوكب ليست ثابتة. عندما يقترب من الشمس يُسرع، وعندما يبتعد يُبطئ. يمكن أن نستخرج من القانون علاقة كمّية في نقطتي الحضيض والأوج: في زمن قصير Δt يقطع الكوكب قوسا صغيرا طوله v·Δt، والمساحة التي يمسحها الخطّ الواصل هي تقريبا مساحة مثلّث قاعدته v·Δt وارتفاعه r (في الحضيض والأوج تكون السرعة عمودية على الخطّ الواصل):
بما أنّ المساحات المسوحة في الزمن نفسه متساوية، نحصل على:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| rp , vp | البُعد عن الشمس والسرعة في الحضيض | [m] , [m/s] |
| ra , va | البُعد عن الشمس والسرعة في الأوج | [m] , [m/s] |
من قانون المساحات في الحضيض والأوج:
السرعة في الأوج أصغر خمس مرّات، لأنّ البُعد أكبر خمس مرّات. والمحور الأكبر هو مجموع بُعدَي الحضيض والأوج:
نصّ القانون الثالث (قانون الأزمنة): مربّع زمن دورة الكوكب حول الشمس يتناسب طرديا مع مكعّب نصف المحور الأكبر لمداره. النسبة T2a3 واحدة لجميع الكواكب التي تدور حول الشمس نفسها.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| T | زمن دورة الكوكب حول الشمس | [s] |
| a | نصف المحور الأكبر (في المدار الدائري: نصف القطر r) | [m] |
يبيّن الجدول قيمة النسبة T2a3 لستّة كواكب. البُعد مقيس بالوحدة الفلكية (יחידה אסטרונומית) 1 AU = 1.5·1011 m وهي البُعد المتوسّط بين الأرض والشمس، والزمن بالسنوات. بهذه الوحدات تساوي النسبة 1 بالضبط للأرض، وتقريبا 1 لجميع الكواكب الأخرى — هذا هو القانون الثالث.
النسبة ثابتة لكلّ الأجرام التي تدور حول الجرم المركزي نفسه؛ لأقمار المشتري ثابت آخر، ولأقمار الأرض الاصطناعية ثابت ثالث. في البند التالي سنفهم من أين يأتي هذا الثابت.
| الكوكب | a [AU] | T [سنة] | a³ | T² | T² / a³ |
|---|---|---|---|---|---|
| عطارد | 0.387 | 0.241 | 0.06 | 0.06 | 1 |
| الزهرة | 0.723 | 0.615 | 0.38 | 0.38 | 1 |
| الأرض | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| المرّيخ | 1.524 | 1.881 | 3.54 | 3.54 | 1 |
| المشتري | 5.203 | 11.86 | 140.85 | 140.66 | 1 |
| زحل | 9.54 | 29.46 | 868.25 | 867.89 | 1 |
نكتب القانون الثالث للمرّيخ وللأرض ونقسم:
زمن دورة المرّيخ نحو 1.88 سنة، أي سنة أرضية و11 شهرا تقريبا.
القمران يدوران حول الجرم المركزي نفسه، فالنسبة T2r3 واحدة لهما:
نصف القطر أكبر أربع مرّات، فزمن الدورة أكبر ثماني مرّات:
لاحظوا أنّنا لم نحتج إلى تحويل الأيام إلى ثوانٍ ولا إلى معرفة كتلة الكوكب: في النسبة تُختصر الوحدات والثوابت.
القمران يدوران حول المشتري، فالقانون الثالث ينطبق عليهما بالثابت نفسه:
هذا بالضبط ما رصده غاليليو: نحو سبعة أيام. انتبهوا أنّ الثابت T2r3 لأقمار المشتري يختلف عن ثابت الكواكب حول الشمس.
هذا الثابت واحد لكلّ ما يدور حول الشمس. للمرّيخ:
النتيجة نفسها التي حصلنا عليها بالوحدة الفلكية والسنة. في البند التالي سنرى أنّ k = 4π2G·MS — أي أنّ الثابت يحمل في داخله كتلة الشمس.
חוק הכבידה – قانون الجذب العام (The Law of Universal Gravitation)
من قانون كبلر الثالث إلى قانون التربيع العكسي – מחוק קפלר השלישי לחוק הריבוע ההפוך:
وصف كبلر كيف تتحرّك الكواكب، لكنّه لم يعرف لماذا. الجواب جاء من إسحاق نيوتن سنة 1687 في كتابه «المبادئ». نسير في طريقه مستعملين تقريب المدار الدائري: كوكب كتلته m يدور حول الشمس في دائرة نصف قطرها r بزمن دورة T. تعلّمنا في الفصل الخامس أنّ الحركة الدائرية المنتظمة تحتاج إلى قوّة مركزية مقدارها:
(لأنّ v = 2π·rT). الآن نُدخل قانون كبلر الثالث: T2 = k·r3 حيث k ثابت واحد لكلّ الكواكب. نعوّض:
حصلنا على نتيجة مهمّة: القوّة التي تمسك الكوكب في مداره تتناسب طرديا مع كتلة الكوكب وعكسيا مع مربّع بُعده عن الشمس:
وبحسب قانون نيوتن الثالث، الكوكب يجذب الشمس بقوّة مساوية في المقدار؛ وبالتماثل يجب أن تتناسب هذه القوّة أيضا مع كتلة الشمس M. هكذا وصل نيوتن إلى الشكل العامّ F ∝ M·mr2. بقي سؤال جريء: هل هذه القوّة هي نفسها التي تُسقط الأجسام على الأرض؟
«القمر يسقط» — الفكرة الكبرى عند نيوتن – "הירח נופל" — הרעיון הגדול של ניוטון:
قصّة التفّاحة مشهورة، وجوهرها هذا: التفّاحة تسقط نحو الأرض بتسارع g. والقمر؟ لو لم تؤثّر عليه قوّة لتحرّك في خطّ مستقيم بحسب قانون القصور الذاتي. لكنّه يدور في دائرة، أي ينحرف باستمرار عن الخطّ المستقيم نحو الأرض. القمر إذًا يسقط أيضا، بتسارع راديالي a = 4π2·rT2 — لكنّه لا يصل إلى الأرض أبدا لأنّ له سرعة مماسّية كبيرة.
سأل نيوتن: إذا كانت القوّة التي تُسقط التفّاحة والقوّة التي تُسقط القمر قوّة واحدة تتناسب مع 1r2، فيجب أن تكون النسبة بين تسارع التفّاحة وتسارع القمر مساوية للنسبة العكسية بين مربّعَي بُعديهما عن مركز الأرض. التفّاحة على بُعد R (نصف قطر الأرض) والقمر على بُعد r:
أ. التسارع الراديالي من زمن الدورة ونصف القطر (نحوّل الأيام إلى ثوانٍ):
ب. ما يتوقّعه قانون التربيع العكسي: بُعد القمر أكبر من نصف قطر الأرض بنسبة rR = 60.3 مرّة، فالتسارع يجب أن يكون أصغر من g بمقدار مربّع هذه النسبة:
القيمتان متقاربتان جدّا (الفرق نحو 1 بالمئة ناتج عن تقريب g = 10؛ وبالقيمة الأدقّ 9.8 m/s² يصبح التطابق شبه تامّ). الاستنتاج: القوّة التي تُسقط التفّاحة هي نفسها التي تُبقي القمر في مداره، وهي تضعف بالتربيع العكسي للبُعد.
صياغة قانون الجذب العام – ניסוח חוק הכבידה:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| F | قوّة الجذب بين الجسمين | [N] |
| m1 , m2 | كتلتا الجسمين | [kg] |
| r | البُعد بين مركزَي الجسمين | [m] |
| G | ثابت الجذب العام: G = 6.67·10−11 N·m²/kg² | [N·m²/kg²] |
- r هو البُعد بين المركزين، لا بين السطحين. لجسم على سطح الأرض r = R (نصف قطر الأرض) وليس صفرا. أثبت نيوتن أنّ الكرة المتجانسة تجذب كأنّ كلّ كتلتها مركّزة في مركزها.
- القوّتان على الجسمين متساويتان في المقدار دائما: الأرض تجذب التفّاحة بقوّة F، والتفّاحة تجذب الأرض بالقوّة F نفسها. الذي يختلف هو التسارع a = Fm، ولذلك تتحرّك التفّاحة ولا تتحرّك الأرض بشكل ملحوظ.
- مضاعفة البُعد تُقلّل القوّة أربع مرّات؛ وثلاثة أضعاف البُعد تُقلّلها تسع مرّات. القوّة لا تنعدم أبدا تماما، لكنّها تصبح صغيرة جدّا.
- الثابت G صغير جدّا، ولذلك لا نشعر بالجذب بين الأجسام العادية، بل فقط عندما تكون إحدى الكتلتين هائلة ككتلة كوكب.
نعوّض في قانون الجذب العام:
هذه القوّة تؤثّر على القمر نحو الأرض، وتؤثّر بالمقدار نفسه على الأرض نحو القمر. تسارع كلّ منهما:
تسارع القمر هو بالضبط التسارع الراديالي الذي حسبناه في المثال السابق من حركته — تأكيد آخر للقانون. وتسارع الأرض أصغر 81 مرّة، بنسبة الكتلتين؛ لذلك نقول عمليا إنّ القمر يدور حول الأرض، رغم أنّ الحقيقة أنّ كليهما يدور حول مركز كتلتهما المشترك.
نضع جسما كتلته m في النقطة P على بُعد x من مركز الأرض (وبُعد d − x من مركز القمر). القوّتان متعاكستان، فتنعدم المحصّلة عندما تتساويان:
نعزل x:
أي على بُعد نحو 90 بالمئة من الطريق إلى القمر، وعلى بُعد 3.84·107 m فقط من مركز القمر. مركبة فضائية تتجاوز هذه النقطة تبدأ «السقوط» نحو القمر.
وزن الطالب الأوّل m·g = 60 · 10 = 600 N، أي أكبر من قوّة الجذب بينهما نحو 4.7·108 مرّة. لهذا لا نشعر إطلاقا بالجذب بين الأجسام من حولنا، ولا يمكن قياسه إلّا بتجربة دقيقة جدّا كما سنرى.
قوّة جذب الأرض للقمر حسبناها سابقا: 1.98·1020 N. النسبة بينهما:
الشمس تجذب القمر بقوّة أكبر من قوّة الأرض بأكثر من مرّتين! فلماذا لا «تسرق» الشمس القمر؟ لأنّ الشمس تجذب الأرض أيضا بالتسارع نفسه تقريبا، فالأرض والقمر يسقطان معا حول الشمس، وما يحدّد حركة القمر بالنسبة إلى الأرض هو جذب الأرض وحده.
تجربة كافندش و«وزن» الأرض – ניסוי קוונדיש ו"שקילת" כדור הארץ:
لم يعرف نيوتن قيمة G. فالقوى بين الكواكب تعطينا حاصل الضرب G·M فقط، ولا نستطيع فصل G عن كتلة الشمس أو الأرض. لقياس G يجب قياس قوّة الجذب بين كتلتين معروفتين في المختبر — وهي قوّة صغيرة إلى حدّ لا يُصدَّق، كما رأينا في مثال الطالبين.
في سنة 1798 نجح الفيزيائي الإنجليزي هنري كافندش في ذلك بواسطة ميزان الفتل (מאזני פיתול): قضيب في طرفيه كرتان صغيرتان من الرصاص معلّق من منتصفه بخيط رفيع. قرّب كافندش كرتين كبيرتين من الرصاص (كتلة كلّ منهما نحو 160 kg) إلى الكرتين الصغيرتين، فجذبتاهما وأدار الجذب القضيب بزاوية صغيرة جدّا. قاس كافندش الزاوية بواسطة مرآة وشعاع ضوء، وعرف القوّة اللازمة لِلَيّ الخيط بكلّ زاوية، فحصل على قوّة الجذب، ومنها على G. قيمته كانت قريبة جدّا من القيمة المقبولة اليوم:
سمّى كافندش تجربته «وزن الأرض»، لأنّ معرفة G تسمح فورا بحساب كتلة الأرض. نكتب قوّة الجذب على جسم كتلته m على سطح الأرض بطريقتين: هي قوّة الجاذبية m·g، وهي أيضا قوّة الجذب العام:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| g | تسارع السقوط الحرّ على السطح | [m/s²] |
| M | كتلة الجرم (كوكب، قمر، نجم) | [kg] |
| R | نصف قطر الجرم | [m] |
ب. نفعل ما فعل كافندش: نحسب كتلة الأرض من g ونصف قطرها.
أ. نعوّض في الصيغة:
وهذه هي القيمة المقيسة (9.8 m/s²) التي نقرّبها في الامتحان إلى 10 m/s². ب. بالاتّجاه المعاكس، مع g = 10 m/s²:
النتيجة قريبة من القيمة المعروفة 5.97·1024 kg (الفرق 2 بالمئة مصدره تقريب g = 10). هكذا، بتجربة على طاولة في المختبر، «وُزنت» الأرض كلّها.
أي نحو سُدس تسارع السقوط على الأرض. وزن رائد الفضاء على القمر:
بدل 800 N على الأرض. الكتلة لم تتغيّر (80 kg في كلّ مكان)، لكنّ الوزن تغيّر.
كتلة المرّيخ نحو عُشر كتلة الأرض (0.11 من كتلتها).
| الجرم | الكتلة M [kg] | نصف القطر R [m] | g على السطح [m/s²] |
|---|---|---|---|
| القمر | 7.35·1022 | 1.74·106 | 1.62 |
| المرّيخ | 6.42·1023 | 3.39·106 | 3.73 |
| الأرض | 5.97·1024 | 6.37·106 | 9.81 |
| المشتري | 1.9·1027 | 7·107 | 26 |
| الشمس | 1.99·1030 | 6.96·108 | 274 |
يبيّن الجدول تسارع السقوط الحرّ على سطح أجرام مختلفة، محسوبا من الصيغة g = G·MR2. لاحظوا أنّ المشتري أثقل من الأرض نحو 318 مرّة، لكنّ g على سطحه أكبر بنحو 2.6 مرّات فقط — لأنّ نصف قطره كبير أيضا، وهو يظهر في المقام مربّعا.
نجاحات أخرى للقانون: اكتشاف نبتون، والمدّ والجزر – הצלחות נוספות: גילוי נפטון, גאות ושפל:
اكتشاف نبتون (1846). بعد اكتشاف الكوكب أورانوس سنة 1781 حسب الفلكيّون مداره من قانون الجذب العام، لكنّ الرصد انحرف عن الحساب انحرافا صغيرا متزايدا. افترض الفلكيّان لوفيرييه في فرنسا وآدمز في إنجلترا، كلّ على حدة، أنّ كوكبا مجهولا وراء أورانوس يجذبه ويحرفه، وحسبا من الانحرافات أين يجب أن يكون هذا الكوكب. وجّه مرصد برلين مقرابه إلى الموقع المحسوب فوجد الكوكب في الليلة الأولى، على بُعد درجة واحدة من المكان المتوقّع. كان هذا أعظم انتصار لقانون نيوتن: كوكب اكتُشف بالقلم قبل أن يُرى بالعين.
المدّ والجزر (גאות ושפל). مرّتين في اليوم يرتفع سطح البحر على الشاطئ (مدّ) وينخفض (جزر). فسّر نيوتن الظاهرة بأنّها نتيجة لقانون التربيع العكسي: جذب القمر للماء في الجهة القريبة منه أقوى من جذبه لمركز الأرض، وجذبه للماء في الجهة البعيدة أضعف من جذبه للمركز. فالماء في الجهة القريبة يُسحب نحو القمر أكثر من الأرض كلّها، والأرض كلّها تُسحب نحو القمر أكثر من الماء في الجهة البعيدة — فينتفخ الماء في الجهتين معا.
- بسبب الانتفاخين يحدث مدّان وجزران كلّ يوم تقريبا؛ والفاصل بينهما نحو 12 ساعة و 25 دقيقة، لأنّ القمر يتقدّم في مداره خلال اليوم.
- الشمس تُحدث مدّا أيضا، لكنّه أضعف من مدّ القمر بنحو النصف رغم كتلتها الهائلة، لأنّ المهمّ في المدّ ليس الجذب نفسه بل الفرق فيه بين جهتَي الأرض، وهذا الفرق يقلّ بسرعة مع البُعد.
- عندما تقع الشمس والقمر والأرض على خطّ واحد (البدر والمحاق) يجتمع المدّان فيكون المدّ أعلى ما يمكن (المدّ الربيعي)؛ وعندما يكونان على زاويتين قائمتين (التربيع) يكون المدّ أضعف ما يمكن.
حركة الأقمار الاصطناعية في مدار دائري – תנועת לוויינים במסלולים מעגליים:
نكتب قانون نيوتن الثاني لقمر اصطناعي كتلته m يدور حول كوكب كتلته M في دائرة نصف قطرها r (مقيسا من مركز الكوكب): القوّة المحصّلة هي قوّة الجذب، والتسارع راديالي:
اختُصرت كتلة القمر الاصطناعي: السرعة المدارية لا تتعلّق بكتلة القمر الاصطناعي، بل بكتلة الكوكب ونصف قطر المدار فقط. زمن الدورة هو محيط المدار مقسوما على السرعة:
وجدنا قانون كبلر الثالث مرّة أخرى — لكنّ الثابت هذه المرّة معروف: T2r3 = 4π2G·M. إنّه يتعلّق بكتلة الجرم المركزي فقط، ولذلك يختلف من الشمس إلى الأرض إلى المشتري. وبقلب الصيغة نحصل على أداة قويّة: كتلة الكوكب من بيانات قمر يدور حوله.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| v | السرعة المدارية | [m/s] |
| r | نصف قطر المدار من مركز الكوكب: r = R + h | [m] |
| h | ارتفاع المدار فوق سطح الكوكب | [m] |
| T | زمن الدورة | [s] |
| M | كتلة الكوكب (الجرم المركزي) | [kg] |
أوّلا نصف قطر المدار من مركز الأرض:
السرعة المدارية:
زمن الدورة:
المحطّة تُتمّ دورة كاملة حول الأرض في نحو ساعة ونصف، ويرى روّادها 16 شروقا في اليوم.
الجرم المركزي هنا هو القمر، فنعوّض كتلته ونصف قطر المدار من مركزه:
السرعة أصغر بكثير من سرعة محطّة الفضاء حول الأرض، لأنّ كتلة القمر أصغر بنحو 81 مرّة.
وهي القيمة المعروفة لكتلة الأرض (ضمن دقّة المعطيات). بالطريقة نفسها تُحسب كتلة أيّ كوكب له قمر، وكتلة الشمس من حركة الأرض حولها — ولا نحتاج إلى الذهاب إلى هناك.
القمر الثابت بالنسبة للأرض (לוויין גאוסטציונרי) (جيوستاشيونري): قمر اصطناعي للاتّصالات والبثّ يجب أن يبدو من الأرض ثابتا في نقطة واحدة من السماء، حتى تبقى الهوائيات موجّهة نحوه. لذلك يجب أن يدور حول الأرض بزمن دورة يساوي زمن دوران الأرض حول محورها (24 ساعة)، في مستوى خطّ الاستواء، وفي اتّجاه دوران الأرض. لزمن دورة معيّن يوجد نصف قطر مدار واحد فقط — فجميع هذه الأقمار تدور في الحلقة نفسها.
زمن الدورة T = 24 h = 86400 s. نعزل r من قانون كبلر الثالث بالثابت المعروف:
الارتفاع فوق السطح:
السرعة المدارية:
نصف قطر المدار نحو 6.6 أضعاف نصف قطر الأرض، والسرعة أصغر بكثير من سرعة محطّة الفضاء: كلّما ارتفع المدار قلّت السرعة وطال زمن الدورة.
ب. قمر اصطناعي يدور حول الأرض على بُعد 4R من مركزها. احسبوا سرعته وزمن دورته بالساعات.
המושג "שדה", עבודה ואנרגיה בשדה הכבידה – مفهوم «المجال»، الشغل والطاقة في مجال الجاذبية (The Field Concept; Work and Energy in the Gravitational Field)
شدّة مجال الجاذبية – עצמת שדה הכבידה:
حتى الآن وصفنا الجاذبية كقوّة بين جسمين: الأرض تجذب التفّاحة. هناك طريقة أخرى للنظر إلى الأمر، أثبتت أنّها أخصب بكثير: الأرض تُنشئ حولها في كلّ الفضاء مجال جاذبية (שדה כבידה)، سواء وُجدت تفّاحة أم لا؛ وعندما توضع التفّاحة في نقطة ما، يؤثّر عليها المجال الموجود هناك بقوّة. بذلك نفصل المسألة إلى خطوتين: ما المجال الذي ينشئه المصدر؟ وما القوّة التي يؤثّر بها المجال على جسم؟
نحسب شدّة المجال الذي تنشئه كتلة M على بُعد r من مركزها: القوّة على جسم اختبار كتلته m هي G·M·mr2، نقسمها على m:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| g | شدّة المجال على بُعد r من المركز | [N/kg] |
| M | كتلة الجرم المصدر | [kg] |
| r | البُعد عن مركز الجرم (r ≥ R) | [m] |
| F | القوّة على جسم كتلته m في تلك النقطة | [N] |
على سطح الأرض r = R فنحصل على g0 = G·MR2 ≈ 10 m/s² — تسارع السقوط الحرّ المعروف هو ببساطة شدّة مجال الجاذبية على السطح. وكلّما ابتعدنا عن المركز ضعف المجال بالتربيع العكسي:
أ. على ارتفاع R فوق السطح.
ب. في مدار محطّة الفضاء (h = 400 km).
ج. في موقع القمر (r = 3.84·108 m).
أ. الارتفاع يُقاس من السطح، لكنّ الصيغة تحتاج إلى البُعد عن المركز: r = R + R = 2R.
ب. نصف قطر المدار r = 6.77·106 m كما حسبنا سابقا:
المجال في مدار المحطّة ما زال نحو 87 بالمئة من قيمته على السطح. ج. في موقع القمر:
وهذا بالضبط التسارع الراديالي للقمر الذي حسبناه في بداية الفصل: القمر يتحرّك بتسارع يساوي شدّة مجال الأرض في موقعه.
المجال المركزي والمجال المنتظم – שדה רדיאלי ושדה אחיד:
نرسم المجال بخطوط المجال: خطوط تشير في كلّ نقطة إلى اتّجاه g، وتكون متقاربة حيث المجال قويّ ومتباعدة حيث هو ضعيف.
- المجال المركزي (שדה רדיאלי): مجال الجرم الكروي. خطوطه مستقيمة تتّجه نحو المركز، وشدّته g = G·Mr2 تتغيّر مع البُعد. هذا هو المجال الذي نستعمله للأقمار الاصطناعية والكواكب وكلّ ما يبتعد كثيرا عن السطح.
- المجال المنتظم (שדה אחיד): قرب سطح الأرض، عندما يكون الارتفاع h صغيرا جدّا بالنسبة إلى R = 6370 km، يتغيّر g تغيّرا لا يُذكر (على ارتفاع 10 km يقلّ بنحو 0.3 بالمئة فقط). فنعتبر المجال ثابتا في المقدار والاتّجاه: خطوط متوازية متساوية التباعد، وF = m·g بـg = 10 m/s². هذا هو التقريب الذي استعملناه في كلّ الفصول السابقة.
ما الفائدة من وصف الجاذبية بالمجال؟
- يفصل الوصف بين المصدر والمتأثّر: نحسب المجال مرّة واحدة، ثم نحسب القوّة على أيّ جسم بسهولة: F = m·g.
- المجال كمّية محلّية: ما يحدث لجسم في نقطة ما يحدّده المجال في تلك النقطة فقط، لا الجسم البعيد الذي أنشأه. هذا يحلّ مشكلة «التأثير عن بُعد» التي أقلقت نيوتن نفسه.
- يستعمل الوصف نفسه في الكهرباء والمغناطيسية: المجال الكهربائي E = Fq يُعرَّف تماما كما عُرّف g، وستلتقون به في الفصل القادم من الفيزياء.
- يسهّل التعميم إلى مصادر كثيرة: مجال مجموعة من الكتل هو المجموع المتّجهي لمجالاتها.
مجال الجاذبية مجال حافظ — طاقة الثقل الوضعية – שדה הכבידה כשדה משמר — האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית:
تعلّمنا في الفصل السابع أنّ قوّة الجاذبية قوّة حافظة: شغلها بين نقطتين لا يتعلّق بالمسار، بل بالنقطتين فقط، ولذلك يمكن تعريف طاقة وضعية لها. هناك عرّفنا UG = m·g·h — وهذا صحيح في المجال المنتظم قرب السطح. لكن عندما يرتفع القمر الاصطناعي آلاف الكيلومترات تضعف القوّة على طول الطريق، ولا يصحّ ضرب قوّة ثابتة في المسافة. نحتاج إلى صيغة عامّة للطاقة الوضعية في المجال المركزي.
نبدأ من اتّفاق على نقطة الصفر. في المجال المنتظم اخترنا الصفر على الأرض أو في أيّ مكان مريح. في المجال المركزي يوجد خيار طبيعي واحد: الطاقة الوضعية تساوي صفرا على بُعد لا نهائي، حيث ينعدم المجال. الصيغة التي تنتج من هذا الاختيار (ويمكن إثباتها بتقسيم الطريق إلى قطع صغيرة وجمع الشغل عليها) هي:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| UG | طاقة الثقل الوضعية للمنظومة (الجرم والجسم) | [J] |
| M | كتلة الجرم المصدر | [kg] |
| m | كتلة الجسم | [kg] |
| r | البُعد بين المركزين | [m] |
لماذا الإشارة سالبة؟ لأنّ الصفر في اللانهاية، وقوّة الجاذبية قوّة جذب: لإبعاد الجسم عن الكوكب يجب أن نبذل شغلا موجبا ضدّ الجذب، فتزداد الطاقة الوضعية من قيمة سالبة حتى تصل إلى الصفر. الجسم القريب من الكوكب «في حفرة» من الطاقة، وكلّما كان أقرب كانت الحفرة أعمق. ما يهمّ في الحسابات دائما هو الفرق في الطاقة الوضعية بين نقطتين، وهو لا يتعلّق باختيار الصفر:
هل تتّفق الصيغة مع m·g·h؟ نرفع جسما من السطح (r1 = R) إلى ارتفاع صغير h (r2 = R + h):
عندما يكون h صغيرا جدّا بالنسبة إلى R يصبح R + h ≈ R، ونحصل على ΔUG ≈ G·MR2·m·h = m·g0·h — الصيغة القديمة تماما. إذًا m·g·h ليست خطأ، بل حالة خاصّة من الصيغة العامّة للارتفاعات الصغيرة.
الطاقة الكلّية سالبة، فالجسم مقيّد. في نقطة الرجوع تنعدم السرعة وتصبح كلّ الطاقة طاقة وضعية — أي حيث يقطع خطّ E المنحنى:
سرعة الإطلاق من حفظ الطاقة بين السطح ونقطة الرجوع:
لاحظوا أنّ الجسم يصل إلى ارتفاع ثلاثة أضعاف نصف قطر الأرض بسرعة أصغر من سرعة الإفلات التي سنحسبها لاحقا (11.2 km/s).
بالصيغة العامّة، من r1 = R إلى r2 = 2R:
بالصيغة التقريبية:
الصيغة التقريبية تعطي ضعف القيمة الصحيحة! السبب: هي تفترض أنّ القوّة تبقى m·g0 طوال الطريق، بينما القوّة تضعف فعلا من m·g0 على السطح إلى m·g04 في النهاية. على الارتفاعات التي تقارن بـR يجب استعمال الصيغة العامّة.
من المعادلة أعلاه:
الفرق أقلّ من 0.2 بالمئة — وهذا هو السبب الذي يسمح لنا باستعمال m·g·h في كلّ مسائل الميكانيكا اليومية بلا تردّد.
تحوّلات الطاقة في مجال الجاذبية – המרות אנרגיה בשדה הכבידה:
بما أنّ قوّة الجذب حافظة، تُحفَظ الطاقة الميكانيكية لجسم يتحرّك في مجال الجاذبية وحده (بلا احتكاك ولا محرّك): مجموع الطاقة الحركية وطاقة الثقل الوضعية ثابت.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| E | الطاقة الميكانيكية الكلّية | [J] |
| v1 , v2 | السرعة في البُعدين r1 و r2 | [m/s] |
هذه هي الأداة الرئيسية لكلّ مسائل الإطلاق والسقوط من ارتفاعات كبيرة. لاحظوا أنّ كتلة الجسم m تظهر في كلّ الحدود، فتُختصر: السرعات لا تتعلّق بكتلة الجسم المُطلَق.
في النقطة العليا v2 = 0. من حفظ الطاقة بين السطح (r1 = R) والنقطة العليا (r2):
الارتفاع فوق السطح:
أمّا الصيغة التقريبية للمجال المنتظم فتعطي:
الصيغة التقريبية تبالغ في تقدير القوّة (تفترضها m·g0 طوال الطريق) فتعطي ارتفاعا أصغر. الفرق كبير لأنّ الارتفاع هنا يقارن بنصف قطر الأرض.
من حفظ الطاقة بين نقطة الإفلات (r1 = 2R ، v1 = 0) والسطح (r2 = R):
لو استعملنا v = 2·g·h بـg = 10 لحصلنا على 11.3 km/s — أكبر من الصحيح، لأنّ القوّة في معظم الطريق أصغر من m·g0.
سرعة الإفلات وطاقة الربط – מהירות המילוט ואנרגיית הקשר:
في المثال 9.22 صعد الجسم إلى ارتفاع محدود ثم عاد، لأنّ طاقته الكلّية كانت سالبة. كلّما زادت سرعة الإطلاق ارتفعت الطاقة الكلّية وارتفعت نقطة الرجوع (انظروا الرسم البياني للطاقة الوضعية). عندما تصل الطاقة الكلّية إلى الصفر تنتقل نقطة الرجوع إلى اللانهاية: الجسم يبتعد إلى الأبد وسرعته تتناقص نحو الصفر دون أن تنعدم. هذه هي حالة الإفلات.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| vesc | سرعة الإفلات من سطح الجرم | [m/s] |
| M | كتلة الجرم | [kg] |
| R | نصف قطر الجرم (أو البُعد الذي يُطلَق منه الجسم) | [m] |
- سرعة الإفلات لا تتعلّق بكتلة الجسم المُطلَق ولا باتّجاه الإطلاق (ما دام لا يصطدم بالجرم)، بل بكتلة الجرم ونصف قطره فقط.
- قارنوا مع السرعة المدارية قرب السطح v = G·MR: سرعة الإفلات أكبر منها بالعامل 2 فقط.
- كلّما كان الجرم أثقل وأصغر كانت سرعة الإفلات أكبر. النجم النيوتروني تبلغ سرعة الإفلات منه نحو نصف سرعة الضوء، والثقب الأسود جرم سرعة الإفلات منه أكبر من سرعة الضوء — فلا يفلت منه حتى الضوء.
من الأرض:
من القمر:
سرعة الإفلات من القمر أصغر بنحو خمس مرّات. هذا يفسّر لماذا لا يملك القمر غلافا جويّا: جزيئات الغاز السريعة تفلت منه بسهولة، بينما تمسك الأرض بغلافها. طاقة الربط لكلّ كيلوغرام على سطح الأرض:
أي أنّ إطلاق كلّ كيلوغرام إلى الفضاء البعيد يحتاج إلى 63 مليون جول على الأقلّ — ولهذا الصواريخ ضخمة.
بعيدا جدّا الطاقة الوضعية صفر، وعلى السطح r = R. من حفظ الطاقة:
نتيجة عامّة جميلة: مربّع سرعة الوصول يساوي مربّع السرعة البعيدة زائد مربّع سرعة الإفلات. حتى نيزك يبدأ من السكون يصل إلى السطح بسرعة الإفلات 11.2 km/s على الأقلّ.
الطاقة الكلّية لقمر اصطناعي في مدار دائري – האנרגיה הכוללת של לוויין במסלול מעגלי:
نجمع ما تعلّمناه. لقمر اصطناعي في مدار دائري نصف قطره r وجدنا v2 = G·Mr، فطاقته الحركية:
وطاقته الوضعية UG = −G·M·mr، وهي سالبة وضعف الطاقة الحركية في المقدار. الطاقة الكلّية:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| Ek | الطاقة الحركية | [J] |
| UG | طاقة الثقل الوضعية | [J] |
| E | الطاقة الكلّية: سالبة — القمر مقيّد | [J] |
| r | نصف قطر المدار | [m] |
أ. طاقته الحركية وطاقته الوضعية وطاقته الكلّية.
ب. الطاقة التي يجب أن يبذلها الصاروخ لنقله من السكون على سطح الأرض إلى هذا المدار (نهمل دوران الأرض ومقاومة الهواء).
أ. نعوّض في الصيغ الثلاث:
ب. على السطح القمر ساكن، فطاقته الكلّية هي طاقته الوضعية فقط. الشغل المطلوب هو الفرق في الطاقة الكلّية:
الجزء الأكبر من هذه الطاقة (1.42·1010 J) يذهب إلى الطاقة الحركية، والباقي (2.81·109 J) إلى رفع القمر من السطح إلى المدار. الوصول إلى المدار المنخفض مسألة سرعة أكثر منها مسألة ارتفاع.
أ. السرعة المدارية في كلّ مدار:
ب. الطاقة المضافة هي الفرق بين الطاقتين الكلّيتين:
ج. الطاقة الوضعية ازدادت بمقدار G·M·m·(1r1 − 1r2) = 1.42·1010 J، والطاقة الحركية نقصت بمقدار نصف ذلك (7.11·109 J). المجموع موجب: أضفنا طاقة، لكنّ أكثر من كلّها ذهب إلى الطاقة الوضعية، فبقيت الطاقة الحركية أصغر ممّا كانت.
| المدار | h [km] | r [10⁶ m] | v [km/s] | T [h] | E/m [J/kg] |
|---|---|---|---|---|---|
| محطّة الفضاء | 400 | 6.77 | 7.67 | 1.5 | −2.94·107 |
| أقمار الملاحة (GPS) | 20200 | 26.57 | 3.87 | 12 | −7.49·106 |
| القمر الثابت بالنسبة للأرض | 35857 | 42.23 | 3.07 | 24 | −4.71·106 |
يلخّص الجدول ثلاثة مدارات شائعة: كلّما ارتفع المدار قلّت السرعة، وطال زمن الدورة، وارتفعت الطاقة الكلّية (أصبحت أقلّ سلبية).
الطاقة الكلّية لكلّ كيلوغرام في المدار، وعلى السطح (بلا سرعة):
الطاقة المطلوبة هي الفرق:
وهي نحو 92 بالمئة من طاقة الربط على السطح (6.25·107 J/kg): الوصول إلى المدار الثابت بالنسبة للأرض يكلّف تقريبا ما يكلّفه الإفلات من الأرض كلّها، لأنّ المدار بعيد جدّا (r ≈ 6.6R) والطاقة الوضعية فيه قريبة من الصفر.
أ. احسبوا شدّة مجال الجاذبية في المدار.
ب. احسبوا سرعة القمر الاصطناعي.
ج. احسبوا زمن دورته بالدقائق.
د. احسبوا طاقته الحركية وطاقته الوضعية وطاقته الكلّية.
هـ. ما أصغر طاقة يجب إضافتها إليه كي يفلت من مجال جاذبية الأرض؟
نصف قطر المدار من مركز الأرض: r = R + h = 8.37·106 m. أ. شدّة المجال في المدار:
ب. السرعة المدارية (أو مباشرة من g = v2r):
ج. زمن الدورة:
د. الطاقات:
هـ. كي يفلت يجب أن تصبح طاقته الكلّية صفرا على الأقلّ، فالطاقة المطلوبة هي طاقة ربطه:
لاحظوا أنّ الطاقة اللازمة للإفلات من المدار تساوي بالضبط الطاقة الحركية في المدار.
كيف نحلّ مسألة في الجاذبية؟ – איך פותרים שאלה בכבידה?:
- نحدّد الجرم المركزي (الأرض؟ الشمس؟ القمر؟) ونأخذ كتلته ونصف قطره من ملحق المعطيات؛ كتلة الجسم الدائر تُختصر غالبا.
- نحوّل كلّ المعطيات إلى وحدات SI: الكيلومتر إلى متر، الأيام والساعات إلى ثوانٍ، الطنّ إلى كيلوغرام.
- نحسب البُعد عن المركز r = R + h — لا نعوّض أبدا بالارتفاع وحده.
- مسألة قوى وحركة دائرية: نساوي قوّة الجذب بالقوّة المركزية G·M·mr2 = m·v2r، ومنها v و T و M.
- مسألة تغيّر في البُعد أو في السرعة: نكتب حفظ الطاقة بالصيغة العامّة UG = −G·M·mr، ونستعمل m·g·h فقط عندما يكون h ≪ R.
- نفحص الإشارة والمنطق: الطاقة الكلّية لجسم مقيّد سالبة؛ المدار الأعلى أبطأ وزمن دورته أطول؛ g يقلّ مع الارتفاع.
أهمّ أفكار الفصل:
- الخلاف بين نموذج مركزية الأرض ونموذج مركزية الشمس لم يُحسم بالجدل بل بالرصد: أطوار الزهرة وأقمار المشتري التي اكتشفها غاليليو، ودقّة قياسات تيخو التي قادت كبلر إلى القطع الناقص.
- قوانين كبلر الثلاثة تصف كيف تتحرّك الكواكب: مدارات إهليلجية والشمس في البؤرة، مساحات متساوية في أزمنة متساوية (أسرع في الحضيض، أبطأ في الأوج)، والنسبة بين مربّع زمن الدورة ومكعّب نصف المحور الأكبر ثابتة لكلّ ما يدور حول الجرم المركزي نفسه.
- قانون الجذب العام يفسّر لماذا: القوّة التي تُسقط التفّاحة هي نفسها التي تمسك القمر والكواكب في مداراتها، وهي تتناسب طرديا مع حاصل ضرب الكتلتين وعكسيا مع مربّع البُعد بين المركزين.
- قوّتا الجذب المتبادلتان بين جسمين متساويتان في المقدار دائما مهما اختلفت الكتلتان؛ المختلف هو التسارع. والبُعد r في كلّ صيغ الفصل مقيس من مركز الجرم: r = R + h.
- القمر الاصطناعي لا يحتاج إلى محرّك في مداره: قوّة الجذب وحدها تقوم بدور القوّة المركزية، وسرعته وزمن دورته لا يتعلّقان بكتلته. من زمن دورة قمر ونصف قطر مداره تُحسب كتلة الجرم المركزي.
- الجرم ينشئ حوله مجال جاذبية يضعف بالتربيع العكسي للبُعد؛ قرب السطح، حيث h ≪ R، نعامل المجال كمجال منتظم — وهذا هو التقريب الذي استعملناه في الفصول السابقة.
- في المجال المركزي تكون طاقة الثقل الوضعية سالبة وصفرها في اللانهاية، وm·g·h ليست إلّا حالة خاصّة للارتفاعات الصغيرة. جسم طاقته الكلّية سالبة مقيّد بالجرم، وجسم طاقته صفر أو موجبة يفلت — ومن هنا سرعة الإفلات وطاقة الربط.
ملخّص قوانين الفصل:
| القانون | الصيغة |
|---|---|
| قانون كبلر الثاني (الحضيض والأوج) | rp·vp = ra·va |
| قانون كبلر الثالث | T2a3 = const , T12T22 = a13a23 |
| قانون الجذب العام | F = G·m1·m2r2 |
| ثابت الجذب العام | G = 6.67·10−11 N·m²/kg² |
| تسارع السقوط الحرّ / شدّة المجال | g = G·Mr2 |
| كتلة جرم من g على سطحه | M = g·R2G |
| السرعة المدارية (مدار دائري) | v = G·Mr |
| زمن الدورة | T = 2π·r3G·M |
| كتلة الكوكب من قمره | M = 4π2·r3G·T2 |
| طاقة الثقل الوضعية | UG = −G·M·mr |
| حفظ الطاقة | 12·m·v12 − G·M·mr1 = 12·m·v22 − G·M·mr2 |
| سرعة الإفلات | vesc = 2·G·MR |
| طاقات القمر الاصطناعي | Ek = G·M·m2r , E = −G·M·m2r |
| طاقة الربط | Eb = −E |
قاموس المصطلحات – מילון מונחים:
| بالعربية | بالعبرية (كما تظهر في الامتحان) | English |
|---|---|---|
| نموذج مركزية الأرض | מודל גאוצנטרי | Geocentric model |
| نموذج مركزية الشمس | מודל הליוצנטרי | Heliocentric model |
| فلك التدوير · الفلك الحامل | אפיציקל · מעגל ראשי | Epicycle · Deferent |
| الحركة التراجعية | תנועה נסוגה | Retrograde motion |
| قوانين كبلر | חוקי קפלר | Kepler's laws |
| القطع الناقص | אליפסה | Ellipse |
| البؤرة | מוקד | Focus |
| نصف المحور الأكبر | חצי הציר הראשי | Semi-major axis |
| الحضيض · الأوج | פריהליון · אפהליון | Perihelion · Aphelion |
| الوحدة الفلكية | יחידה אסטרונומית | Astronomical unit (AU) |
| قانون الجذب العام (قانون الجاذبية) | חוק הכבידה | Law of universal gravitation |
| ثابت الجذب العام | קבוע הכבידה | Gravitational constant |
| تجربة كافندش | ניסוי קוונדיש | Cavendish experiment |
| المدّ والجزر | גאות ושפל | Tides |
| القمر الاصطناعي | לוויין | Satellite |
| المدار | מסלול | Orbit |
| الكوكب | כוכב לכת | Planet |
| القمر الثابت بالنسبة للأرض (جيوستاشيونري) | לוויין גאוסטציונרי | Geostationary satellite |
| مجال الجاذبية | שדה כבידה | Gravitational field |
| شدّة المجال | עצמת השדה | Field strength |
| مجال مركزي · مجال منتظم | שדה רדיאלי · שדה אחיד | Radial field · Uniform field |
| خطوط المجال | קווי שדה | Field lines |
| قوّة حافظة | כוח משמר | Conservative force |
| طاقة الثقل الوضعية (الطاقة الكامنة) | אנרגיה פוטנציאלית כבידתית | Gravitational potential energy |
| سرعة الإفلات | מהירות מילוט | Escape velocity |
| طاقة الربط | אנרגיית קשר | Binding energy |
تمارين ملائمة لبنود الفصل:
(أ) تضاعفت كتلة أحدهما وتضاعف البُعد بينهما؟
(ب) تضاعفت الكتلتان وقلّ البُعد إلى النصف؟
تمارين تلخيصية:
تمارين تعمّق:
(أ) ما الطاقة التي يجب إضافتها إليه لنقله إلى مدار دائري نصف قطره 2·107 m؟
(ب) هل سرعته في المدار الجديد أكبر أم أصغر؟ علّلوا بواسطة الطاقة.
(أ) احسبوا سرعته في كلّ من المدارين.
(ب) احسبوا التغيّر في طاقته الكلّية.
(ج) قوّة الاحتكاك تعاكس اتّجاه الحركة — ومع ذلك ازدادت سرعة القمر الاصطناعي. اشرحوا من أين جاءت الزيادة في الطاقة الحركية.
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 9
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | موقع الكوكب | الكوكب يقع في النقطة P |
| ب | العبارات الثلاث عن القمرين الدائريَّين | العبارة 1 خاطئة · العبارة 2 صحيحة · العبارة 3 خاطئة |
| ج | كتلة الكوكب من المنحنى | M ≈ 5.9 · 10²⁴ kg |
| د | تعبير لسرعة الإفلات | في الحل الكامل |
| هـ | نصف قطر الكوكب من المنحنى | R ≈ 6.5 · 10⁶ m |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | مقارنة مقدار السرعة في A وفي B | مقدار السرعة في النقطة A أصغر من مقدار السرعة في النقطة B |
| ب | هل تنفّذ قوّة الجاذبيّة شغلًا بين A و B | نعم · قوّة الجاذبيّة تنفّذ شغلًا موجبًا · W ≈ 2.0×10⁸ J |
| ج | نصف قطر المسار الدائريّ | r ≈ 7.14×10⁶ m ≈ 7,140 km · ارتفاع نحو 770 km فوق سطح الكرة الأرضيّة |
| د | الشغل اللازم لرفع القمر الاصطناعيّ 1,000 km | W ≈ 4.8×10⁷ J |
| هـ | زمن الدور في المسار الجديد | T₂ ≈ 122 min · أطول من 100 دقيقة بنحو 22 دقيقة |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | تسارع السقوط الحرّ على سطح أورانوس | في الحل الكامل |
| ب | التسارع الرادياليّ لميراندا | في الحل الكامل |
| ج | زمن دورة ميراندا | T_M = 1.22271·10⁵ s ≈ 1.22·10⁵ s ، أي 33.96 ساعة |
| د | النسبة بين زمن دورة أرييل وزمن دورة ميراندا | في الحل الكامل |
| هـ | قمران اصطناعيّان حول الكرة الأرضيّة | في الحل الكامل |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | إكمال الخانتَين الناقصتَين في الجدول | T للكوكب c = 2.41 أيّام = 2.0787·10⁵ s ، r للكوكب d = 3.34·10⁹ m |
| ب | هل أيمن على حقّ | أيمن ليس على حقّ · v تساوي جذر G·M مقسومًا على r ، ولذلك كلّما كبر البُعد صغرت السرعة |
| ج(1) | تعبير لتسارع الكوكب السيّار b | g للكوكب b تساوي 4π²·r مقسومًا على T² ، وعدديًّا 4.01 m/s² وبالتقريب 4.0 m/s² |
| ج(2) | هل الوزن على سطح الكوكب السيّار b هو m · g للكوكب b | لا · g للكوكب b هي شدّة مجال جاذبيّة Trappist-1 في موقع المسار ، والوزن على سطح الكوكب السيّار يتحدّد من كتلة الكوكب السيّار نفسه ومن نصف قطره |
| د | حساب كتلة الكوكب Trappist-1 | M = 4π²·r³ مقسومًا على حاصل ضرب G في T² ، وعدديًّا M = 1.80·10²⁹ kg |
| هـ | النسبة بين إضافتَي طاقة الإفلات | ΔE = G·M·m للسفينة مقسومًا على 2R ، ولذلك النسبة تساوي كتلة الشمس مقسومة على كتلة Trappist-1 وعدديًّا 11.1 |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ (1) | نصف قطر مسار ديموس | r_D = 2.346·10⁷ m ، أي بتقريب 2.35·10⁷ m |
| أ (2) | هل يمكن حساب نصف قطر مسار قمر الكرة الأرضيّة | لا، لا يمكن. ثابت كبلر يتعلّق بكتلة الجسم المركزيّ، والثابت المحسوب من فوبوس ومن ديموس يخصّ المرّيخ وحده. وكتلة الكرة الأرضيّة غير مُعطاة، ولذلك لدينا معادلة واحدة بمجهولَين |
| ب | كتلة الكوكب السيّار المرّيخ | M = 6.43·10²³ kg |
| ج | سرعة الجسم المركّب مباشرةً بعد الاصطدام | v = 0.299 m/s ، أي بتقريب 0.30 m/s ، في الاتّجاه الأفقيّ لحركة النيزك |
| د (1) | تسارع الجاذبيّة قرب سطح المرّيخ | g = 3.71 m/s² |
| د (2) | الزمن من الاصطدام حتّى إصابة سطح المرّيخ | t = 3.28 s ، أي بتقريب 3.3 ثانية بعد الاصطدام |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | البُعد الذي يتساوى فيه مقدارا قوّتَي الجاذبيّة | x = 3.457·10⁸ m عن مركز الكرة الأرضيّة ، أي 3.832·10⁷ m عن مركز القمر |
| ب | النسبة بين نصفَي قطر المسارَين | النسبة بين r₁ وبين r₂ تساوي 1.073 ، وبرقمَين معنويَّين 1.07 |
| ج | هل يوجد للمسبار 2 تسارع، وما مقداره | نعم ، يوجد تسارع مركزيّ موجّه نحو مركز القمر ، ومقداره a = 1.23 m/s² |
| د | أيّ قانون لنيوتن يلائم تماثل الكتلتَين | قانون نيوتن الثالث ، قانون الفعل وردّ الفعل . تماثل الكتلتَين في الجداء m₁·m₂ يضمن تساوي مقدارَي القوّتَين المتبادلتَين |
| هـ | المخطّط ب . الغاز يُطلق نحو سطح القمر ، ولذلك قوّة الدفع نحو الأعلى وأكبر من قوّة الجاذبيّة ، المحصّلة نحو الأعلى ، يتباطأ المسبار ويتوقّف توقّفًا لحظيًّا في النقطة O |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | زمن دورة عاموس 1 | T = 24 h = 86400 s — لأنّ السرعة الزاويّة للقمر الاصطناعيّ تساوي سرعة دوران الكرة الأرضيّة الزاويّة |
| ب | ارتفاع المسار فوق سطح الكرة الأرضيّة | r = 4.23·10⁷ m · h = r − R_E = 3.59·10⁷ m، أي نحو 35,900 كيلومتر فوق سطح الكرة الأرضيّة |
| ج | مقدار تسارع القمر الاصطناعيّ | a = 0.223 m/s², موجّهة نحو مركز الكرة الأرضيّة |
| د | ارتفاع مسار القمر الاصطناعيّ الثاني | r₂ = 2.95·10⁷ m · h₂ = 2.31·10⁷ m، أي نحو 23,100 كيلومتر فوق سطح الكرة الأرضيّة |
| هـ | الأقوال الثلاثة | القولان الصحيحان هما 1 و 3 · القول 2 غير صحيح |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | مخطّط القوى على أكرم | قوّتان فقط · قوّة الجاذبيّة نحو مركز الكرة الأرضيّة، تؤثّر بها الكرة الأرضيّة · القوّة العموديّة نحو الأعلى، تؤثّر بها أرضيّة البرج · السهمان متساويان في الطول |
| ب | مقدار القوّة التي تؤثّر بها الأرضيّة | N = F_g(r) = 310.14 N ≈ 3.1·10² N |
| ج | هل القوّة أصغر أم مساوية أم أكبر | القوّة أصغر من تلك التي في البند ب · تلزم محصّلة نحو مركز الدائرة m·ω²·r ولذلك N = F_g − m·ω²·r ≈ 306.59 N ≈ 307 N |
| د | زمن دورة كرة التنس | T = 9234 s ≈ 9.23·10³ s ≈ 2.565 ساعة، أي نحو ساعتين و 34 دقيقة |
| هـ | الارتفاع الذي فيه لا تؤثّر الأرضيّة بقوّة | h = r₁ − R = 4.2493·10⁷ − 6.37·10⁶ = 3.6123·10⁷ m ≈ 3.61·10⁷ m ≈ 36100 km |