الحركة التوافقية البسيطة
كثير من الحركات حولنا تتكرّر: رقّاص الساعة، الأرجوحة، وتر الغيتار، وحتى كتلة معلّقة بنابض. في هذا الفصل نتعرّف على الحركة الدورية، ثم على نوع خاصّ ومهمّ منها هو الاهتزاز التوافقي البسيط، نكتب معادلة حركته ونحلّها، ونطبّق ذلك على النابض العمودي وعلى البندول البسيط.
- نُعرّف الحركة الدورية ونصفها بزمن الدورة T والتردّد f والتردّد الزاوي ω.
- نميّز الاهتزاز التوافقي البسيط بالصيغة الرياضية للقوّة المُرجِعة: F = −k·x.
- نكتب معادلة الحركة للمهتزّ التوافقي، ونفسّر معنى الثوابت في حلّها x(t) = A·cos(ω·t + φ).
- نحسب السرعة والتسارع كدالّة للزمن، والسرعة القصوى والتسارع الأقصى.
- نستنتج صيغة زمن الدورة T = 2π·mk ونستعملها.
- نحلّل القوى وتحوّلات الطاقة في اهتزاز جسم مربوط بنابض عمودي.
- نشتقّ زمن دورة البندول البسيط T = 2π·ℓg في تقريب الزوايا الصغيرة.
תנועה מחזורית, תנודות ותנודות הרמוניות – الحركة الدورية، الاهتزازات والاهتزازات التوافقية (Periodic Motion, Oscillations, Harmonic Oscillations)
الحركة الدورية – תנועה מחזורית:
رياضيا، الحركة دورية إذا تحقّق لكل لحظة t:
نصف الحركة الدورية بثلاثة مقادير مرتبطة بعضها ببعض:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| T | زمن الدورة: زمن دورة كاملة واحدة | [s] |
| f | التردّد: عدد الدورات في الثانية الواحدة | [Hz] |
| ω | التردّد الزاوي | [rad/s] |
| الحركة | زمن الدورة التقريبي | ما الذي يتكرّر؟ |
|---|---|---|
| دوران الأرض حول محورها | 24 h | موقع الشمس في السماء |
| رقّاص ساعة الحائط | 2 s | موقع الرقّاص وسرعته |
| نبض القلب في الراحة | 0.8 s | انقباض عضلة القلب |
| اهتزاز وتر الغيتار (النغمة لا) | 2.3 ms | موقع الوتر |
| الجهد في شبكة الكهرباء | 20 ms | قيمة الجهد واتّجاهه |
التردّد هو مقلوب زمن الدورة:
في الدقيقة الواحدة 60 ثانية، لذلك عدد النبضات في الدقيقة:
التردّد الزاوي:
الاهتزازات – תנודות:
المثال الأساسي للاهتزاز هو جسم مربوط بنابض على سطح أفقي أملس. عندما نزيح الجسم عن نقطة الاتّزان ونحرّره، يؤثّر النابض عليه بقوّة تعيده نحو نقطة الاتّزان؛ لذلك تسمّى هذه القوّة القوّة المُرجِعة (כוח מחזיר). يصل الجسم إلى نقطة الاتّزان بسرعة، فيتجاوزها، ثم تعيده القوّة من الجهة الأخرى، وهكذا.
الاهتزاز التوافقي البسيط – תנודה הרמונית פשוטה:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| F | القوّة المُرجِعة (محصّلة القوى بمحاذاة الحركة) | [N] |
| x | الإزاحة عن نقطة الاتّزان | [m] |
| k | ثابت التناسب (في النابض: ثابت النابض) | [N/m] |
الإشارة السالبة هي جوهر التعريف: عندما يكون الجسم على يمين نقطة الاتّزان (x > 0) تتّجه القوّة إلى اليسار (F < 0)، وعندما يكون على يسارها (x < 0) تتّجه القوّة إلى اليمين (F > 0). الرسم البياني للقوّة كدالّة للموقع هو خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل، وميله يساوي −k. إذا لم يكن الرسم خطّا مستقيما فالاهتزاز دوري لكنّه ليس توافقيا.
نحوّل الإزاحة إلى متر: x = 4 cm = 0.04 m. على اليمين x = +0.04 m:
الإشارة السالبة تعني أنّ القوّة تتّجه إلى اليسار، أي نحو نقطة الاتّزان. على اليسار x = −0.04 m:
الآن القوّة موجبة، أي نحو اليمين — ومرّة أخرى نحو نقطة الاتّزان.
נוסחאות קינמטיות לתיאור תנועתו של אוסצילטור הרמוני – الصيغ الحركية لوصف حركة المهتزّ التوافقي (Kinematics of the Harmonic Oscillator)
معادلة الحركة – משוואת התנועה:
نكتب قانون نيوتن الثاني لجسم كتلته m مربوط بنابض ثابته k على سطح أفقي أملس. القوّة الوحيدة بمحاذاة الحركة هي قوّة النابض:
هذه هي معادلة الحركة (משוואת התנועה) للمهتزّ التوافقي: التسارع يتناسب مع الإزاحة ويعاكسها. التسارع ليس ثابتا، ولذلك لا تصلح هنا صيغ الحركة بتسارع ثابت التي تعلّمناها في الفصل الأوّل. نحتاج إلى دالّة x(t) يكون تسارعها مساويا لسالب ثابت مضروبا في الدالّة نفسها.
الحلّ العامّ لمعادلة الحركة – הפתרון הכללי של משוואת התנועה:
الدالّة التي تحقّق ذلك هي دالّة جيب التمام (أو الجيب). الحلّ العامّ لمعادلة الحركة هو:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A | السعة: أكبر إزاحة عن نقطة الاتّزان | [m] |
| ω | التردّد الزاوي، ω = km | [rad/s] |
| φ | الطور الابتدائي: يحدّد موقع الجسم في اللحظة t = 0 | [rad] |
| ω·t + φ | الطور في اللحظة t | [rad] |
معنى الثوابت: السعة A والطور الابتدائي φ يُحدَّدان من الشروط الابتدائية (أين كان الجسم وما سرعته في اللحظة t = 0)، أما التردّد الزاوي ω فتحدّده المنظومة نفسها: الكتلة وثابت النابض فقط. إذا حرّرنا الجسم من السكون في الموقع x = A فإنّ φ = 0 والحلّ يصبح x(t) = A·cos(ω·t)، وهذه هي الحالة التي سنستعملها غالبا.
لماذا جيب التمام؟ العلاقة مع الحركة الدائرية المنتظمة – למה קוסינוס? הקשר לתנועה מעגלית קצובה:
لننظر إلى نقطة P تتحرّك على دائرة نصف قطرها A بسرعة زاوية ثابتة ω. الزاوية التي تقطعها في الزمن t هي ω·t، ولذلك إحداثيّ إسقاطها على القطر الأفقي هو x = A·cos(ω·t) — تماما صيغة الاهتزاز التوافقي.
تعلّمنا في الفصل الخامس أنّ تسارع الحركة الدائرية المنتظمة راديالي ومقداره ar = ω2·A. إسقاط هذا التسارع على المحور الأفقي هو a = −ω2·A·cos(ω·t) = −ω2·x. نقارن مع معادلة الحركة a = −km·x فنحصل على:
ومن العلاقة ω = 2πT نستنتج صيغة زمن الدورة:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| T | زمن الدورة | [s] |
| m | كتلة الجسم المهتزّ | [kg] |
| k | ثابت النابض | [N/m] |
السرعة والتسارع كدالّة للزمن – המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן:
من الحركة الدائرية المرافقة نحصل أيضا على السرعة: سرعة النقطة P على الدائرة مقدارها ω·A، وإسقاطها على المحور الأفقي هو −ω·A·sin(ω·t). وهكذا نحصل على الصيغ الثلاث (في الحالة φ = 0):
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A·ω | السرعة القصوى vmax، في نقطة الاتّزان | [m/s] |
| A·ω2 | التسارع الأقصى amax، في طرفي الحركة x = ±A | [m/s²] |
- في طرفي الحركة (x = ±A): السرعة صفر، والتسارع أقصى ومقداره A·ω2 ويتّجه نحو نقطة الاتّزان.
- في نقطة الاتّزان (x = 0): التسارع صفر، والسرعة قصوى ومقدارها A·ω.
- السرعة والتسارع يتقدّمان الموقع في الطور: السرعة بربع دورة، والتسارع بنصف دورة.
أ. التردّد الزاوي، زمن الدورة والتردّد.
ب. السرعة القصوى والتسارع الأقصى.
ج. موقع الجسم وسرعته في اللحظة t = 0.1 s.
أ. التردّد الزاوي تحدّده الكتلة وثابت النابض:
ب. تحرّر الجسم من السكون على بُعد 4 cm، لذلك السعة A = 0.04 m:
ج. تحرّر الجسم من السكون في x = A، إذًا φ = 0 ونعوّض في الصيغ (الزاوية بالراديان):
الموقع سالب والسرعة سالبة: الجسم على يسار نقطة الاتّزان ويبتعد عنها نحو الطرف x = −A.
نقارن مع الصيغة العامّة x(t) = A·cos(ω·t) ونقرأ مباشرة:
الطاقة في الاهتزاز التوافقي – אנרגיה בתנודה הרמונית:
على السطح الأملس لا توجد قوى غير حافظة، لذلك تُحفَظ الطاقة الميكانيكية: مجموع الطاقة الحركية وطاقة المرونة الوضعية للنابض (الفصل السابع) ثابت طوال الحركة. في طرفي الحركة كلّ الطاقة مرنة، وفي نقطة الاتّزان كلّها حركية:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| E | الطاقة الميكانيكية الكلّية | [J] |
| x | الموقع اللحظي | [m] |
| v | السرعة في الموقع x | [m/s] |
الطاقة الكلّية تساوي طاقة المرونة الوضعية في الطرف:
في الموقع x = 0.02 m جزء من الطاقة مرن والباقي حركي:
نفحص بالصيغة الثانية: v = ω·A2 − x2 = 20 · 0.042 − 0.022 = 0.693 m/s — النتيجة نفسها.
דוגמאות: תנודות גוף הקשור לקפיץ אנכי ותנודות של מטוטלת פשוטה – أمثلة: اهتزازات جسم مربوط بنابض عمودي واهتزازات البندول البسيط (Vertical Spring and Simple Pendulum)
اهتزازات جسم مربوط بنابض عمودي — تحليل القوى – תנודות גוף הקשור לקפיץ אנכי — ניתוח כוחות:
نعلّق جسما كتلته m بنابض عمودي ثابته k. تؤثّر على الجسم قوّتان: قوّة الجاذبية m·g نحو الأسفل، وقوّة النابض نحو الأعلى. في حالة الاتّزان يستطيل النابض استطالة x0 تتوازن فيها القوّتان:
الآن نسحب الجسم مسافة A أسفل نقطة الاتّزان ونحرّره. نقيس الإزاحة x من نقطة الاتّزان الجديدة (الموجب نحو الأسفل). استطالة النابض هي x0 + x، ومحصّلة القوى على الجسم:
اختُصر الوزن تماما مع الجزء الثابت من قوّة النابض، وبقيت معادلة الحركة نفسها الخاصّة بالنابض الأفقي. النتيجة مهمّة:
أ. استطالة النابض في الاتّزان.
ب. زمن الدورة والسرعة القصوى.
ج. القوّة التي يؤثّر بها النابض في الموضع الأدنى وفي الموضع الأعلى.
أ. في الاتّزان تتساوى قوّة النابض مع الوزن:
ب. زمن الدورة كما في النابض الأفقي، والسعة هي مسافة السحب A = 0.03 m:
ج. في الموضع الأدنى استطالة النابض أكبر ما يمكن x0 + A، وفي الأعلى أصغر ما يمكن x0 − A:
في الموضع الأدنى قوّة النابض أكبر من الوزن (4 N) فيتسارع الجسم نحو الأعلى، وفي الأعلى أصغر من الوزن فيتسارع نحو الأسفل.
تحوّلات الطاقة في النابض العمودي – המרות אנרגיה בקפיץ אנכי:
في النابض العمودي ثلاثة أنواع من الطاقة: الحركية، طاقة المرونة الوضعية في النابض، وطاقة الثقل الوضعية. مجموعها ثابت. عندما ينزل الجسم من الموضع الأعلى إلى الموضع الأدنى تقلّ طاقة الثقل الوضعية بمقدار m·g·2A، وتزداد طاقة المرونة الوضعية بالمقدار نفسه تماما — ففي موضعَي الطرفين السرعة صفر، فلا فرق بينهما. أمّا في المواضع الوسطى فطاقة المرونة الوضعية المكتسبة أصغر من طاقة الثقل الوضعية المفقودة، والفرق هو الطاقة الحركية. بالنسبة إلى نقطة الاتّزان الجديدة يمكن اختصار الحساب: مجموع طاقتي الثقل والمرونة الوضعيتين يتصرّف تماما كطاقة مرونة وضعية واحدة 12·k·x2 مقيسة من نقطة الاتّزان، ولذلك تبقى الصيغة E = 12·k·A2 صالحة.
الفرق بينهما:
التغيّر في طاقة الثقل الوضعية بين الموضعين (الفرق في الارتفاع 2A):
في الموضعين السرعة صفر، فلا طاقة حركية؛ وطاقة المرونة الوضعية التي زادت تساوي بالضبط طاقة الثقل الوضعية التي نقصت — الطاقة محفوظة.
البندول البسيط وتقريب الزوايا الصغيرة – מטוטלת פשוטה וקירוב הזוויות הקטנות:
تؤثّر على الجسم قوّتان: قوّة الشدّ T بمحاذاة الخيط، وقوّة الجاذبية m·g. نحلّل قوّة الجاذبية إلى مركّبتين: m·g·cos θ بمحاذاة الخيط، و m·g·sin θ مماسّة للمسار. المركّبة المماسّية هي القوّة المُرجِعة لأنّها تتّجه دائما نحو نقطة الاتّزان:
هذه القوّة تتناسب مع sin θ وليس مع الإزاحة نفسها، ولذلك فاهتزاز البندول ليس توافقيا بدقّة. لكن للزوايا الصغيرة (حتى نحو 10°) يكون الجيب مساويا تقريبا للزاوية بالراديان: sin θ ≈ θ. الإزاحة على طول القوس هي x = ℓ·θ، ومنه θ = xℓ:
حصلنا على قوّة مُرجِعة من الشكل F = −k·x مع ثابت فعّال k = m·gℓ. نعوّض في صيغة زمن الدورة:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| T | زمن الدورة | [s] |
| ℓ | طول الخيط (حتى مركز الجسم) | [m] |
| g | تسارع السقوط الحرّ | [m/s²] |
| الزاوية θ | θ بالراديان | sin θ | الخطأ النسبي |
|---|---|---|---|
| 5° | 0.0873 | 0.0872 | 0.13 % |
| 10° | 0.1745 | 0.1736 | 0.51 % |
| 20° | 0.3491 | 0.342 | 2.1 % |
| 45° | 0.7854 | 0.7071 | 11.1 % |
يبيّن الجدول حدود التقريب: حتى 10° الخطأ أقل من نصف بالمئة، وعند 45° يصبح التقريب غير مقبول.
للحصول على T = 2 s نعزل الطول من الصيغة:
قياس تسارع السقوط الحرّ بالبندول – מדידת תאוצת הנפילה החופשית בעזרת מטוטלת:
صيغة زمن الدورة تعطينا طريقة دقيقة لقياس g: نقيس زمن 10 دورات (لتقليل خطأ القياس) ونحسب زمن الدورة، ثم نعزل g:
زمن الدورة الواحدة:
النتيجة قريبة من القيمة المعروفة، والفرق ناتج عن دقّة القياس وعن كون الزوايا ليست صغيرة تماما.
مقارنة: رسم القوّة–الموقع في اهتزاز توافقي وغير توافقي – השוואה: גרף כוח–מקום בתנודה הרמונית ולא הרמונית:
في النابض المثالي الرسم البياني للقوّة المُرجِعة كدالّة للموقع خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل مهما كانت السعة؛ لذلك يبقى زمن الدورة ثابتا. في البندول تتناسب القوّة مع sin θ: قرب نقطة الأصل ينطبق المنحنى على الخطّ المستقيم، وكلّما كبرت الزاوية انحنى المنحنى تحت الخطّ — القوّة المُرجِعة أصغر ممّا يقتضيه الاهتزاز التوافقي، ولذلك يطول زمن الدورة قليلا مع زيادة السعة.
القاعدة العامّة: كلّ منحنى قوّة–موقع ليس خطّا مستقيما يمرّ بنقطة الأصل يصف اهتزازا دوريا لكنّه غير توافقي، وزمن دورته يتعلّق بالسعة.
أهمّ أفكار الفصل:
- الحركة الدورية تتكرّر بالشكل نفسه كلّ زمن دورة؛ التردّد هو عدد الدورات في الثانية الواحدة، والتردّد الزاوي يربط الاهتزاز بالحركة الدائرية المرافقة.
- الاهتزاز حركة دورية ذهابا وإيابا حول نقطة الاتّزان، والقوّة المُرجِعة تتّجه دائما نحو هذه النقطة.
- يكون الاهتزاز توافقيا بسيطا فقط عندما تتناسب القوّة المُرجِعة طرديا مع الإزاحة وتعاكسها: رسم القوّة كدالّة للموقع خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل.
- حلّ معادلة الحركة هو دالّة جيب التمام: السعة والطور الابتدائي يُحدَّدان من الشروط الابتدائية، أمّا التردّد الزاوي فتحدّده المنظومة نفسها.
- في طرفي الحركة السرعة صفر والتسارع أقصى؛ وفي نقطة الاتّزان السرعة قصوى والتسارع صفر.
- زمن الدورة لا يتعلّق بالسعة (التواقت)، وفي البندول البسيط لا يتعلّق بالكتلة أيضا.
- الطاقة الميكانيكية محفوظة في الاهتزاز: تتحوّل بين حركية ومرنة (وثقالية في النابض العمودي) ومجموعها ثابت.
- البندول البسيط توافقي تقريبا في الزوايا الصغيرة فقط؛ عندها يتعلّق زمن دورته بطول الخيط وبتسارع السقوط الحرّ فقط.
ملخّص قوانين الفصل:
| القانون | الصيغة |
|---|---|
| التردّد والتردّد الزاوي | f = 1T , ω = 2πT = 2π·f |
| القوّة المُرجِعة في الاهتزاز التوافقي | F = −k·x |
| معادلة الحركة | a = −km·x = −ω2·x |
| الموقع كدالّة للزمن | x(t) = A·cos(ω·t + φ) |
| السرعة والتسارع | v(t) = −A·ω·sin(ω·t) , a(t) = −A·ω2·cos(ω·t) |
| القيم القصوى | vmax = A·ω , amax = A·ω2 |
| زمن دورة الكتلة والنابض | T = 2π·mk |
| الطاقة في الاهتزاز | E = 12·k·A2 = 12·m·v2 + 12·k·x2 |
| السرعة في الموقع x | v = ω·A2 − x2 |
| استطالة الاتّزان في النابض العمودي | x0 = m·gk |
| زمن دورة البندول البسيط | T = 2π·ℓg |
قاموس المصطلحات – מילון מונחים:
| بالعربية | بالعبرية (كما تظهر في الامتحان) | English |
|---|---|---|
| الحركة الدورية | תנועה מחזורית | Periodic motion |
| زمن الدورة | זמן מחזור | Period |
| التردّد | תדירות | Frequency |
| التردّد الزاوي | תדירות זוויתית | Angular frequency |
| الاهتزاز | תנודה | Oscillation |
| نقطة الاتّزان | נקודת שיווי משקל | Equilibrium point |
| القوّة المُرجِعة | כוח מחזיר | Restoring force |
| الاهتزاز التوافقي البسيط | תנודה הרמונית פשוטה | Simple harmonic motion |
| المهتزّ التوافقي | אוסצילטור הרמוני | Harmonic oscillator |
| السعة | משרעת | Amplitude |
| الطور (الطور الابتدائي) | מופע (מופע התחלתי) | Phase (initial phase) |
| معادلة الحركة | משוואת תנועה | Equation of motion |
| ثابت النابض | קבוע הקפיץ | Spring constant |
| الاستطالة | התארכות | Extension |
| طاقة المرونة الوضعية (الطاقة الكامنة المرنة) | אנרגיה פוטנציאלית אלסטית | Elastic potential energy |
| البندول البسيط | מטוטלת פשוטה | Simple pendulum |
| تقريب الزوايا الصغيرة | קירוב הזוויות הקטנות | Small-angle approximation |
| الراديان | רדיאן | Radian |
تمارين ملائمة لبنود الفصل:
(أ) ما سعة الاهتزاز؟
(ب) احسبوا زمن الدورة والتردّد.
(ج) ما طول الطريق الذي يقطعه الجسم في دورة واحدة؟
تمارين تلخيصية:
تمارين تعمّق:
(أ) بيّنوا أنّ الجسم يهتزّ اهتزازا توافقيا سعته A = m·gk واحسبوها.
(ب) احسبوا زمن الدورة والسرعة القصوى.
(ج) احسبوا قوّة النابض القصوى أثناء الاهتزاز وبيّنوا أنّها تساوي ضعف وزن الجسم.
(أ) احسبوا اللحظة التي يمرّ فيها الجسم لأوّل مرّة في الموقع x = A2.
(ب) أيّ جزء من الطاقة الكلّية يكون طاقة حركية هناك؟
(أ) احسبوا ثابت النابض المكافئ.
(ب) احسبوا الطاقة الكلّية للاهتزاز.
(ج) في أيّ المواقع تتساوى الطاقة الحركية مع طاقة المرونة الوضعية؟
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 8
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | هل كلّ حركة دوريّة هي توافقيّة بسيطة | لا · مثال مضادّ: كرة مرتدّة مرنًا عن الأرض — دوريّة، لكنّ القوّة المحصّلة عليها ثابتة وتساوي mg |
| ب | الرسم المبعثر وخطّ التوجُّه | خطّ التوجُّه هو F = −15.9·x · الميل −15.85 N/m · التقاطع +0.05 N ≈ 0 |
| ج | حساب السرعة الزاويّة ω | k = 15.85 N/m · ω ≈ 5.6 rad/s · T = 1.12 s |
| د | مكان السرعة القصوى ومقدارها | السرعة قصوى في نقطة التوازن x = 0 · v_max = A·ω ≈ 3.4 m/s |
| هـ | مقارنة التردُّدَين بين التجربتَين | التردُّد في التجربة الثانية يساوي التردُّد في التجربة الأولى · f = 0.90 Hz · السعة في التجربة الثانية هي 1.2 m |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | تعبير الموقع y كدالّة للزمن | y(t) = 0.20·cos(4·π·t) m ، أي y(t) = 0.20·cos(12.57·t) m |
| ب | السرعة عند المرور الأوّل عبر نصف الإزاحة | مقدار السرعة 2.18 m/s ، الاتّجاه نحو الأعلى ، أي الاتّجاه السالب لمحور y ، وذلك في اللحظة t = 0.083 s |
| ج | حساب الكتلة المضافة m₂ | m₂ = 0.0264 kg = 26.4 g |
| د | البُعد بين نقطتَي الاتّزان | Δ = 0.0279 m ، أي 2.79 cm ، ونقطة الاتّزان في التجربة الثانية أخفض |
| هـ | تمييز رسم التسارع كدالّة للإزاحة | الرسم 1 ، لأنّ a = −ω²·y خطّ مستقيم عبر أصل المحاور بميل ثابت وسالب −157.9 على الثانية المربّعة |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | فائدة قياس زمن 10 دورات | الخطأ النسبيّ يصغر 10 أضعاف، من 10% إلى 1%، ولذلك ΔT = 0.02 s |
| ب | تعبير لكتلة الجسم B كدالّة لزمن الدورة | في الحل الكامل |
| جـ | لماذا لا توجد في المنظومة أزمنة دورة أصغر من ثانية واحدة | T_min = 1.0 s، لأنّ mB = 0 هي أصغر كتلة ممكنة وكلّ إضافة كتلة تُطيل زمن الدورة فقط |
| د | حساب ثابت النابض | k = 4π² = 39.4784 ≈ 39.5 N/m · وقانون الرسم هو mB = T² − 1 |
| هـ | مخطّطات القوى الأربعة وموقع الكتلة | (1) فوق · (2) في نقطة الاتّزان · (3) فوق · (4) تحت |