الفصل 7

الطاقة الميكانيكية وحفظها

אנרגיה מכנית ושימורה

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 30 ساعات تعليمية

في الفصول السابقة حلّلنا الحركة بواسطة القوى وقوانين نيوتن: نجد محصّلة القوى، نحسب التسارع، ثم نستعمل معادلات الحركة. هذه الطريقة صحيحة دائما، لكنّها تصبح شاقّة عندما تتغيّر القوى على طول المسار أو عندما يكون المسار منحنيا. في هذا الفصل نتعرّف على طريقة ثانية، أقصر في كثير من الحالات: طريقة الطاقة. نُعرّف الشغل والطاقة الحركية والطاقة الوضعية، نبرهن نظرية الشغل والطاقة، ونصل إلى واحد من أهمّ قوانين الفيزياء: قانون حفظ الطاقة الميكانيكية. ثم نطبّقه على الحركة في دائرة عمودية، على الاصطدامات، وعلى القدرة والكفاءة.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف الطاقة الحركية E_k = 12·m·v² والشغل W = F·d·cos θ، ونحسب شغل قوّة ثابتة وشغل قوّة متغيّرة كمساحة تحت الرسم البياني.
نبرهن نظرية الشغل والطاقة ΣW = ΔE_k ونستعملها لإيجاد السرعة بدون معادلات الحركة.
نميّز بين القوّة الحافظة والقوّة غير الحافظة، ونُعرّف طاقة الثقل الوضعية m·g·h وطاقة المرونة الوضعية 12·k·x².
نصوغ قانون حفظ الطاقة الميكانيكية ونطبّقه، ونحسب الطاقة التي يحوّلها الاحتكاك إلى طاقة داخلية.
نحلّل الحركة في دائرة عمودية باعتبارات القوى والطاقة معا، ونجد شرط الانفصال عن المسار.
نحلّل تحوّلات الطاقة في الاصطدام المرن وغير المرن، ونحلّ اصطداما مرنا في بُعد واحد حلّا كاملا.
نُعرّف القدرة P = Wt = F·v والكفاءة η ونستعملهما في مسائل بسيطة.

אנרגיה קינטית, עבודה והקשר ביניהן – الطاقة الحركية، الشغل والعلاقة بينهما (Kinetic Energy, Work and the Work–Energy Theorem)

الطاقة الحركية – אנרגיה קינטית:

كرة تتدحرج بسرعة تستطيع أن تحرّك جسما آخر عندما تصطدم به، ومطرقة تهوي بسرعة تغرز مسمارا في الخشب. الجسم المتحرّك «يحمل» شيئا يستطيع أن يُحدث به تغييرا في الأجسام الأخرى. هذا الشيء هو الطاقة الحركية.

الطاقة الحركية (אנרגיה קינטית): هي الطاقة التي يملكها الجسم بسبب حركته، وتساوي نصف حاصل ضرب كتلته في مربّع سرعته. الطاقة مقدار قياسي (ليس متّجها): لها مقدار فقط وليس لها اتّجاه، ولا تكون سالبة أبدا.

الطاقة الحركية · אנרגיה קינטית

E_k = 12·m·v²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E_k	الطاقة الحركية	[J]
m	كتلة الجسم	[kg]
v	سرعة الجسم (مقدارها)	[m/s]

وحدة الطاقة هي الجول (ג'אול): 1 J = 1 kg·m²/s². لاحظوا أنّ الطاقة الحركية تتناسب مع مربّع السرعة: إذا تضاعفت السرعة تصبح الطاقة الحركية أربعة أضعاف، وإذا تضاعفت ثلاث مرّات تصبح تسعة أضعاف. ولأنّ السرعة مربّعة، فإنّ إشارة السرعة (اتّجاه الحركة) لا تؤثّر: جسم يتحرّك يمينا وجسم مماثل يتحرّك يسارا بالسرعة نفسها لهما الطاقة الحركية نفسها.

مثال 7.1

سيّارة كتلتها 1200 kg تسير بسرعة 72 km/h. نحسب طاقتها الحركية، ثم نحسب كم تصبح الطاقة إذا تضاعفت السرعة.

الحل:

نحوّل السرعة إلى وحدات SI:

v = 723.6 = 20 m/s

E_k = 12·m·v² = 12 · 1200 · 20² = 240000 J

عند مضاعفة السرعة (v = 40 m/s) تصبح الطاقة الحركية:

E_k = 12 · 1200 · 40² = 960000 J

أي أربعة أضعاف الطاقة الأصلية، وليس ضعفيها. لهذا السبب تطول مسافة الكبح أربع مرّات عندما تتضاعف السرعة.

E_k = 240000 J = 240 kJ

ملاحظة: وحدة أكبر: الكيلوجول 1 kJ = 1000 J. طاقة السيّارة في المثال هي 240 kJ.

سؤال 7.1: كرة تنس كتلتها 60 g طاقتها الحركية 54 J. ما هي سرعتها؟ وما هي الطاقة الحركية لكرة كتلتها ضعف ذلك تتحرّك بنصف السرعة؟

الشغل الذي تبذله قوّة ثابتة على مسار مستقيم – עבודה של כוח קבוע במסלול ישר:

كيف يكتسب الجسم طاقة حركية أو يفقدها؟ بواسطة القوى التي تؤثّر عليه أثناء حركته. المقدار الفيزيائي الذي يصف «ما تفعله القوّة» على طول الإزاحة يسمّى الشغل. نبدأ بأبسط حالة: جسم نقطي يتحرّك على مسار مستقيم، وتؤثّر عليه قوّة ثابتة F تصنع زاوية θ مع اتّجاه الإزاحة d.

الشغل (עבודה): شغل قوّة ثابتة على جسم يتحرّك في خطّ مستقيم هو حاصل ضرب مقدار القوّة في مقدار الإزاحة في جيب تمام الزاوية بينهما. الشغل مقدار قياسي، ويمكن أن يكون موجبا أو سالبا أو صفرا.

شغل قوّة ثابتة · עבודה של כוח קבוע

W = F·d·cos θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
W	الشغل	[J]
F	مقدار القوّة	[N]
d	مقدار الإزاحة	[m]
θ	الزاوية بين اتّجاه القوّة واتّجاه الإزاحة	[°]

قوّة F مائلة بزاوية θ فوق الأفق تسحب جسما على سطح أفقي مسافة d. المركّبة F·cos θ بمحاذاة الحركة هي وحدها التي تبذل شغلا؛ المركّبة F·sin θ عمودية على الحركة ولا تبذل شغلا

المعنى الهندسي للصيغة: F·cos θ هو مركّبة القوّة بمحاذاة الإزاحة. القوّة تبذل شغلا بمركّبتها بمحاذاة الحركة فقط؛ المركّبة العمودية على الحركة لا تبذل شغلا إطلاقا. وحدة الشغل هي وحدة الطاقة نفسها، الجول: 1 J = 1 N·m.

إشارة الشغل تحدّدها الزاوية θ:

القوّة باتّجاه الحركة (θ = 0): cos θ = 1 والشغل موجب — القوّة «تدفع» الحركة

القوّة عمودية على الحركة (θ = 90°): cos θ = 0 والشغل صفر

القوّة عكس الحركة (θ = 180°): cos θ = −1 والشغل سالب — القوّة «تعرقل» الحركة

الزاوية θ	cos θ	إشارة الشغل	مثال
0°	1	موجب، أكبر ما يمكن	قوّة شدّ خيط أفقي يسحب عربة أفقيا
بين 0° و 90°	موجب	موجب	قوّة مائلة إلى الأعلى تسحب صندوقا
90°	0	صفر	القوّة العمودية على جسم ينزلق على سطح؛ قوّة الشدّ في الحركة الدائرية
بين 90° و 180°	سالب	سالب	قوّة الجاذبية على جسم يرتفع على سطح مائل
180°	−1	سالب، أكبر ما يمكن بالمقدار	قوّة الاحتكاك الحركي على جسم ينزلق

انتبهوا: الشغل مقدار قياسي، لكنّ إشارته مهمّة. قوّة الاحتكاك الحركي تتّجه دائما عكس الحركة، ولذلك شغلها سالب دائما: W_f = −f_k·d. وقوّة الجاذبية تبذل شغلا سالبا عندما يرتفع الجسم وشغلا موجبا عندما ينزل.

مثال 7.2

صندوق كتلته 10 kg يُسحب على أرضية أفقية ملساء مسافة 8 m بقوّة ثابتة مقدارها 50 N مائلة بزاوية 37° فوق الأفق (cos 37° = 0.8 ، sin 37° = 0.6). نحسب شغل كلّ واحدة من القوى المؤثّرة على الصندوق.

الحل:

تؤثّر على الصندوق ثلاث قوى: القوّة الساحبة F، قوّة الجاذبية m·g، والقوّة العمودية N. شغل القوّة الساحبة:

W_F = F·d·cos θ = 50 · 8 · 0.8 = 320 J

قوّة الجاذبية تتّجه إلى الأسفل، أي عموديا على الإزاحة الأفقية (θ = 90°):

W_mg = m·g·d·cos 90° = 0

والقوّة العمودية عمودية على الإزاحة أيضا، فشغلها صفر كذلك. لحساب مقدارها نكتب الاتّزان في الاتّجاه العمودي (الصندوق لا يرتفع عن الأرضية):

N + F·sin θ = m·g

N = 10 · 10 − 50 · 0.6 = 70 N

W_N = N·d·cos 90° = 0

إذًا القوّة الساحبة وحدها تبذل شغلا، ومقداره 320 J.

W_F = 320 J , W_mg = W_N = 0

لاحظوا كيف صغرت القوّة العمودية: المركّبة F·sin θ «ترفع» جزءا من الصندوق عن الأرضية. هذه المركّبة لا تبذل شغلا، لكنّها تؤثّر بشكل غير مباشر عندما يوجد احتكاك، لأنّ قوّة الاحتكاك تتناسب مع N. سنرى ذلك في المثال التالي بعد أن نتعلّم نظرية الشغل والطاقة.

سؤال 7.2: يُدفع صندوق كتلته 20 kg على أرضية أفقية مسافة 5 m بقوّة مقدارها 60 N مائلة بزاوية 53° تحت الأفق (cos 53° = 0.6). احسبوا شغل القوّة الدافعة، واحسبوا القوّة العمودية.

شغل قوّة متغيّرة على مسار مستقيم — الشغل كمساحة – עבודה של כוח משתנה במסלול ישר — העבודה כ"שטח":

ماذا نفعل عندما يتغيّر مقدار القوّة أثناء الحركة؟ لا يمكن أن نعوّض في W = F·d·cos θ قيمة واحدة للقوّة. نبدأ من الحالة البسيطة ونفسّرها هندسيا: إذا كانت القوّة ثابتة وبمحاذاة الحركة، فإنّ الشغل W = F·d يساوي مساحة المستطيل المحصور تحت الرسم البياني للقوّة كدالّة للموقع، بين x = 0 و x = d:

قوّة ثابتة: الشغل هو مساحة المستطيل F·d

قوّة تقلّ خطّيا: الشغل هو مساحة المثلّث

الآن القوّة المتغيّرة: نقسّم المسار إلى قطع صغيرة جدّا Δx، في كلّ قطعة منها تكون القوّة ثابتة تقريبا، فشغلها هو مساحة مستطيل رفيع F·Δx. الشغل الكلّي هو مجموع مساحات كلّ المستطيلات، وكلّما صغرت القطع اقترب المجموع من المساحة المحصورة تحت المنحنى:

قوّة متغيّرة: نقسّم المسار إلى قطع صغيرة Δx، والشغل الكلّي هو مجموع مساحات المستطيلات الرفيعة — أي المساحة تحت المنحنى بين x₁ و x₂

الشغل كمساحة · העבודה כשטח מתחת לגרף כוח–מקום

W = ΣF·Δx

الرمز	المعنى	وحدة القياس
F	مركّبة القوّة بمحاذاة الحركة في القطعة الصغيرة	[N]
Δx	طول القطعة الصغيرة من المسار	[m]
W	الشغل = المساحة المحصورة بين الرسم البياني للقوّة كدالّة للموقع ومحور الموقع: موجبة فوق المحور، سالبة تحته	[J]

ملاحظة: المساحة التي تقع تحت محور الموقع (قوّة سالبة، أي عكس اتّجاه الحركة) تُحسب شغلا سالبا. هذه هي الطريقة نفسها التي تعلّمناها في الكينماتيكا: الإزاحة هي المساحة تحت الرسم البياني للسرعة كدالّة للزمن.

مثال 7.3

تؤثّر على جسم قوّة بمحاذاة حركته، مقدارها يقلّ خطّيا من 20 N في الموقع x = 0 إلى الصفر في الموقع x = 4 m (الرسم البياني الأيمن في الشكل أعلاه). نحسب شغل القوّة على طول هذه المسافة.

الحل:

الشغل هو مساحة المثلّث المحصور تحت الخطّ المستقيم:

W = 12 · F₀ · d = 12 · 20 · 4 = 40 J

نلاحظ أنّ هذا يساوي شغل قوّة ثابتة مقدارها 10 N (متوسّط القوّة) على المسافة نفسها.

W = 40 J

مثال 7.4

الرسم البياني يصف القوّة المؤثّرة بمحاذاة حركة جسم كتلته 2 kg كدالّة للموقع. ينطلق الجسم من السكون في x = 0 على سطح أملس. نحسب الشغل الكلّي حتى x = 5 m، ونجد سرعة الجسم في x = 2 m وفي x = 3 m وفي x = 5 m.

الحل:

نحسب المساحة قطعة قطعة، مع الانتباه إلى الإشارة. من 0 إلى 2 m مستطيل، ومن 2 إلى 3 m مثلّث فوق المحور:

W_0→2 = 10 · 2 = 20 J

W_2→3 = 12 · 1 · 10 = 5 J

من 3 إلى 4 m مثلّث تحت المحور، ومن 4 إلى 5 m مستطيل تحته — شغل سالب:

W_3→4 = −12 · 1 · 10 = −5 J

W_4→5 = −10 · 1 = −10 J

ΣW_0→5 = 20 + 5 + (−5) + (−10) = 10 J

السرعة في كلّ موقع من نظرية الشغل والطاقة (التي سنبرهنها بعد قليل: الشغل الكلّي حتى الموقع يساوي الطاقة الحركية فيه):

v₂ = 2 · 202 = 4.47 m/s

v₃ = 2 · 252 = 5 m/s

v₅ = 2 · 102 = 3.16 m/s

السرعة القصوى في x = 3 m، حيث تنعدم القوّة وتنقلب إشارتها: حتى هناك كانت القوّة تسرّع الجسم، وبعدها صارت تبطئه.

ΣW = 10 J , v₅ = 3.16 m/s

شغل قوّة النابض – עבודת כוח הקפיץ:

أهمّ مثال على قوّة متغيّرة هو قوّة النابض. تعلّمنا من قانون هوك أنّ القوّة التي يؤثّر بها النابض تتناسب مع استطالته: F = k·x، ولذلك الرسم البياني للقوّة كدالّة للاستطالة خطّ مستقيم يمرّ بنقطة الأصل، والشغل هو مساحة مثلّث:

لشدّ النابض ببطء نؤثّر بقوّة خارجية F = k·x تساوي قوّة النابض وتعاكسها

الرسم البياني للقوّة كدالّة للاستطالة: الشغل هو مساحة المثلّث

W = 12 · القاعدة · الارتفاع = 12 · x · k·x

شغل القوّة الخارجية التي تشدّ النابض (أو تضغطه) · עבודת מתיחת הקפיץ

W = 12·k·x²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
k	ثابت النابض	[N/m]
x	الاستطالة (أو الانضغاط) عن الطول الطبيعي	[m]

هذا هو شغل القوّة الخارجية التي تشدّ النابض. أمّا قوّة النابض نفسها فتتّجه عكس الاستطالة، ولذلك شغلها أثناء الشدّ سالب: W_spring = −12·k·x². وعندما نحرّر النابض ويعود إلى طوله الطبيعي، يبذل النابض شغلا موجبا مقداره 12·k·x² على الجسم المربوط به.

مثال 7.5

نابض ثابته 200 N/m. نحسب الشغل اللازم لشدّه 10 cm، ثم الشغل اللازم لشدّه من 10 cm إلى 20 cm.

الحل:

نحوّل إلى المتر: x₁ = 0.1 m ، x₂ = 0.2 m. الشغل من الطول الطبيعي حتى x₁:

W₁ = 12·k·x₁² = 12 · 200 · 0.1² = 1 J

الشغل من الطول الطبيعي حتى x₂:

W₂ = 12 · 200 · 0.2² = 4 J

الشغل اللازم للانتقال من x₁ إلى x₂ هو الفرق بينهما (مساحة شبه المنحرف بين الخطّين):

W_1→2 = W₂ − W₁ = 4 − 1 = 3 J

السنتيمترات العشرة الثانية تحتاج إلى شغل أكبر ثلاث مرّات من العشرة الأولى، لأنّ القوّة تكبر مع الاستطالة.

W₁ = 1 J , W_1→2 = 3 J

سؤال 7.3: نابض ثابته 500 N/m ضُغط بمقدار 6 cm. ما هو الشغل الذي بُذل لضغطه؟ هل يتغيّر الجواب لو شُدّ النابض 6 cm بدلا من ضغطه؟

شغل قوّة متغيّرة على مسار منحنٍ – עבודה של כוח משתנה במסלול עקום:

الحالة الأعمّ: قوّة يتغيّر مقدارها واتّجاهها، وجسم يتحرّك على مسار منحنٍ. الفكرة هي الفكرة نفسها التي استعملناها قبل قليل: نقسّم المسار إلى إزاحات صغيرة جدّا Δs₁, Δs₂, …، صغيرة إلى درجة أنّ كلّ واحدة منها مستقيمة تقريبا والقوّة فيها ثابتة تقريبا. في كلّ إزاحة صغيرة نحسب الشغل بالصيغة المعروفة، ثم نجمع:

مسار منحنٍ من A إلى B مقسّم إلى إزاحات صغيرة. في كلّ إزاحة Δs تصنع القوّة زاوية θ مع اتّجاه الحركة (المماس)

W = F₁·Δs₁·cos θ₁ + F₂·Δs₂·cos θ₂ + … = ΣF_i·Δs_i·cos θ_i

لن نحتاج في هذا الكتاب إلى حساب هذا المجموع بشكل عامّ، لكنّ الفكرة نفسها تعطينا نتيجتين مهمّتين جدّا:

قوّة تبقى عمودية على المسار في كلّ لحظة لا تبذل شغلا، لأنّ cos 90° = 0 في كلّ إزاحة صغيرة.
قوّة ثابتة المقدار والاتّجاه (مثل قوّة الجاذبية قرب سطح الأرض) يساوي شغلها على أيّ مسار حاصل ضرب مقدارها في المركّبة الكلّية للإزاحة بمحاذاتها — سنعود إلى ذلك في البند التالي.

شغل محصّلة القوى في الحركة الدائرية المنتظمة – עבודת הכוח השקול בתנועה מעגלית קצובה:

في الحركة الدائرية المنتظمة محصّلة القوى مركزية والسرعة مماسّية: الزاوية بينهما 90° دائما

في الحركة الدائرية المنتظمة تتّجه محصّلة القوى دائما نحو المركز (هي التي تزوّد التسارع الراديالي)، بينما تكون السرعة مماسّة للدائرة. الزاوية بين القوّة والإزاحة الصغيرة هي 90° في كلّ نقطة من المسار، ولذلك:
W = ΣF·Δs·cos 90° = 0
شغل محصّلة القوى في الحركة الدائرية المنتظمة يساوي صفرا. وهذا منطقيّ: مقدار السرعة لا يتغيّر، فالطاقة الحركية ثابتة، ولا يوجد شغل يغيّرها. قوّة الشدّ في خيط يدور أفقيا، والقوّة العمودية على عربة في مسار دائري أفقي — كلّها لا تبذل شغلا.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ كلّ قوّة تؤثّر على جسم متحرّك تبذل شغلا. في الحقيقة، قوّة تبقى عمودية على اتّجاه الحركة لا تبذل شغلا إطلاقا، مهما كان مقدارها: القوّة العمودية على جسم ينزلق على سطح، قوّة شدّ الخيط في الحركة الدائرية، والقوّة المغناطيسية على جسيم مشحون (ستتعلّمونها في الكهرومغناطيسية) — كلّها تغيّر اتّجاه الحركة أو تمنع الاختراق، لكنّها لا تضيف للجسم طاقة ولا تأخذ منه، لأنّ cos 90° = 0 في كلّ إزاحة صغيرة.

نظرية الشغل والطاقة – משפט עבודה–אנרגיה:

حان الوقت لربط المفهومين. ما العلاقة بين الشغل الذي تبذله القوى على الجسم وبين طاقته الحركية؟ نبرهن ذلك أوّلا في الحالة (1): قوّة محصّلة ثابتة ΣF بمحاذاة الحركة على مسار مستقيم.

البرهان للحالة (1). من قانون نيوتن الثاني تسارع الجسم ثابت: a = ΣFm. ومن معادلات الحركة بتسارع ثابت، بعد إزاحة d تتغيّر السرعة من v₀ إلى v حسب:

v² = v₀² + 2·a·d

نعزل a·d ونعوّض a = ΣFm:

a·d = v² − v₀²2

ΣFm·d = v² − v₀²2

ΣF·d = 12·m·v² − 12·m·v₀²

الطرف الأيسر هو شغل محصّلة القوى ΣW، والطرف الأيمن هو التغيّر في الطاقة الحركية. حصلنا على:

نظرية الشغل والطاقة · משפט עבודה–אנרגיה

ΣW = ΔE_k

ΣW = 12·m·v² − 12·m·v₀²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ΣW	مجموع أشغال جميع القوى المؤثّرة على الجسم (= شغل المحصّلة)	[J]
ΔE_k	التغيّر في الطاقة الحركية: النهائية ناقص الابتدائية	[J]

الحالة (2) — قوّة متغيّرة على مسار مستقيم. نقسّم المسار إلى قطع صغيرة تكون القوّة فيها ثابتة تقريبا. في كلّ قطعة تنطبق النتيجة التي برهنّاها: شغل المحصّلة في القطعة يساوي التغيّر في الطاقة الحركية خلالها. نجمع على كلّ القطع: مجموع الأشغال هو الشغل الكلّي (المساحة تحت الرسم البياني)، ومجموع التغيّرات في الطاقة الحركية هو التغيّر الكلّي من البداية إلى النهاية، لأنّ القيم الوسطية تُختصر. فالنظرية صحيحة أيضا للقوّة المتغيّرة.

الحالة (3) — مسار منحنٍ. المركّبة العمودية على المسار من محصّلة القوى تغيّر اتّجاه السرعة فقط ولا تبذل شغلا، والمركّبة المماسّية تغيّر مقدار السرعة بالضبط كما في الحركة المستقيمة. نطبّق الحالة (2) على كلّ إزاحة صغيرة على طول المسار ونجمع، فتبقى النظرية صحيحة لكلّ مسار ولكلّ قوّة: شغل محصّلة القوى يساوي دائما التغيّر في الطاقة الحركية.

ملاحظة: النظرية تتحدّث عن مجموع أشغال كلّ القوى. إذا كان المجموع موجبا تزداد السرعة، وإذا كان سالبا تقلّ، وإذا كان صفرا يبقى مقدار السرعة ثابتا (كما في الحركة الدائرية المنتظمة). الشغل يستطيع أن يغيّر الطاقة الحركية فقط، وليس الاتّجاه مباشرة.

مثال 7.6

صندوق كتلته 5 kg يُسحب من السكون على أرضية أفقية مسافة 4 m بقوّة ثابتة 50 N مائلة بزاوية 37° فوق الأفق. معامل الاحتكاك الحركي بين الصندوق والأرضية 0.2. نحسب شغل كلّ قوّة، والشغل الكلّي، وسرعة الصندوق في نهاية المسافة.

الحل:

أ. شغل القوّة الساحبة:

W_F = F·d·cos θ = 50 · 4 · 0.8 = 160 J

ب. القوّة العمودية وقوّة الاحتكاك. في الاتّجاه العمودي لا يوجد تسارع:

N = m·g − F·sin θ = 50 − 50 · 0.6 = 20 N

f_k = μ·N = 0.2 · 20 = 4 N

قوّة الاحتكاك عكس الحركة (θ = 180°)، فشغلها سالب:

W_f = −f_k·d = −4 · 4 = −16 J

ج. قوّة الجاذبية والقوّة العمودية عموديّتان على الحركة: W_mg = W_N = 0. الشغل الكلّي:

ΣW = W_F + W_f + W_mg + W_N = 160 + (−16) + 0 + 0 = 144 J

د. السرعة النهائية من نظرية الشغل والطاقة. الصندوق انطلق من السكون، فطاقته الحركية الابتدائية صفر:

ΣW = 12·m·v² − 0

v = 2·ΣWm = 2 · 1445 = 7.59 m/s

ΣW = 144 J , v = 7.59 m/s

قارنوا مع طريقة القوى: كنّا سنحسب المحصّلة الأفقية F·cos θ − f_k = 36 N، ثم التسارع a = 7.2 m/s²، ثم v² = 2·a·d. النتيجة واحدة، لكنّ طريقة الطاقة تصل إليها مباشرة بدون التسارع.

مثال 7.7

سيّارة كتلتها 1000 kg تسير بسرعة 20 m/s. يضغط السائق على المكابح فتؤثّر على السيّارة قوّة كبح ثابتة مقدارها 5000 N. نحسب مسافة الكبح حتى التوقّف.

الحل:

الشغل الوحيد هو شغل قوّة الكبح (سالب، عكس الحركة)، والطاقة الحركية النهائية صفر:

ΣW = ΔE_k

−F·d = 0 − 12·m·v₀²

d = m·v₀²2·F = 1000 · 20²2 · 5000 = 40 m

لو كانت السرعة 40 m/s لتضاعفت مسافة الكبح أربع مرّات: 160 m.

d = 40 m

مثال 7.8

كرة كتلتها 2 kg تسقط سقوطا حرّا من السكون من ارتفاع 1.8 m. نحسب سرعتها عند وصولها إلى الأرض بواسطة نظرية الشغل والطاقة.

الحل:

القوّة الوحيدة هي قوّة الجاذبية، وهي باتّجاه الحركة (θ = 0)، فشغلها موجب:

W_mg = m·g·h·cos 0 = 2 · 10 · 1.8 = 36 J

ΣW = 12·m·v² − 0

v = 2 · 362 = 2·g·h = 6 m/s

النتيجة v = 2·g·h هي ما حصلنا عليه في الكينماتيكا للسقوط الحرّ، ولا تتعلّق بالكتلة.

v = 6 m/s

مثال 7.9

جسم كتلته 4 kg يُحرَّر من السكون من قمّة سطح مائل أملس طوله 5 m وزاوية ميله 37°. نحسب شغل كلّ قوّة على طول السطح، وسرعة الجسم في أسفله.

الحل:

القوّة العمودية N عمودية على الحركة فشغلها صفر. قوّة الجاذبية تتّجه إلى الأسفل، والإزاحة بمحاذاة السطح إلى الأسفل؛ الزاوية بينهما α = 90° − θ = 53°:

W_mg = m·g·d·cos α = 4 · 10 · 5 · cos 53° = 4 · 10 · 5 · 0.6 = 120 J

نلاحظ أنّ d·cos α = d·sin θ = h هو ارتفاع السطح المائل (h = 5 · 0.6 = 3 m)، أي أنّ شغل الجاذبية هو m·g·h بالضبط كما في السقوط الحرّ. من نظرية الشغل والطاقة:

ΣW = 12·m·v²

v = 2 · 1204 = 7.746 m/s

وهي السرعة نفسها التي يصل إليها الجسم لو سقط سقوطا حرّا من ارتفاع 3 m.

W_mg = 120 J , v = 7.746 m/s

ملاحظة: شغل قوّة الجاذبية لا يتعلّق بطول السطح المائل ولا بزاوية ميله، بل بفرق الارتفاع فقط: W_mg = m·g·h عند النزول و −m·g·h عند الصعود. هذه الملاحظة هي مفتاح البند التالي.

مثال 7.10

جسم كتلته 4 kg يُسحب من السكون إلى أعلى سطح مائل خشن زاوية ميله 37° بواسطة حبل موازٍ للسطح، قوّة الشدّ فيه 40 N. معامل الاحتكاك الحركي 0.25. نحسب شغل كلّ قوّة على طول 5 m، والشغل الكلّي، وسرعة الجسم بعد هذه المسافة.

الحل:

أربع قوى: قوّة الشدّ T بمحاذاة الحركة، الاحتكاك f_k عكسها، القوّة العمودية N عمودية عليها، وقوّة الجاذبية التي تصنع مع الحركة (إلى الأعلى على السطح) زاوية 90° + θ. شغل قوّة الشدّ:

W_T = T·d·cos 0 = 40 · 5 = 200 J

القوّة العمودية والاحتكاك:

N = m·g·cos θ = 4 · 10 · 0.8 = 32 N

f_k = μ·N = 0.25 · 32 = 8 N

W_f = −f_k·d = −8 · 5 = −40 J

شغل الجاذبية: الجسم يرتفع h = d·sin θ = 5 · 0.6 = 3 m، فشغلها سالب:

W_mg = −m·g·h = −4 · 10 · 3 = −120 J

W_N = 0

ΣW = 200 + (−40) + (−120) + 0 = 40 J

v = 2·ΣWm = 2 · 404 = 4.47 m/s

ΣW = 40 J , v = 4.47 m/s

سؤال 7.4: جسم كتلته 2 kg يُسحب من السكون إلى أعلى سطح مائل أملس زاوية ميله 30° بقوّة 15 N موازية للسطح، مسافة 4 m. احسبوا شغل كلّ قوّة والسرعة النهائية.

سؤال 7.5: قرص خشبي كتلته 0.5 kg ينزلق على أرضية أفقية بسرعة ابتدائية 6 m/s، ومعامل الاحتكاك الحركي 0.3. احسبوا شغل الاحتكاك حتى التوقّف، والمسافة التي يقطعها القرص. هل تتعلّق المسافة بالكتلة؟

▶تجربة حية — الشغل، الطاقة الحركية ونظرية الشغل والطاقةنغيّر مقدار القوّة الساحبة وزاويتها ومعامل الاحتكاك، ونتابع أعمدة الشغل لكلّ قوّة والشغل الكلّي، ونفحص أنّ الشغل الكلّي يساوي دائما التغيّر في الطاقة الحركية.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#work

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#work

אנרגיה פוטנציאלית – الطاقة الوضعية (Potential Energy)

القوى الحافظة والقوى غير الحافظة – כוחות משמרים וכוחות שאינם משמרים:

رأينا في نهاية البند السابق أنّ شغل قوّة الجاذبية على جسم ينزل من ارتفاع h هو m·g·h، سواء أسقط سقوطا حرّا أم انزلق على سطح مائل. لنفحص هذه الخاصّية بدقّة: ننقل جسما من النقطة A إلى النقطة B التي تقع تحتها بفرق ارتفاع h، في ثلاثة مسارات مختلفة.

ثلاثة مسارات من A إلى B: مستقيم (1)، عمودي ثم أفقي (2)، ومنحنٍ (3). شغل قوّة الجاذبية في المسارات الثلاثة هو m·g·h نفسه

في المسار (2) تبذل الجاذبية شغلا m·g·h في القطعة العمودية وصفرا في القطعة الأفقية. في المسار (1) الزاوية بين m·g والإزاحة هي α، والشغل m·g·d·cos α = m·g·h لأنّ d·cos α هو المركّبة العمودية للإزاحة. وفي المسار (3) نقسّم المنحنى إلى إزاحات صغيرة، شغل الجاذبية في كلّ منها هو m·g مضروبا في «النزول» الصغير، ومجموع كلّ النزولات الصغيرة هو h. في الحالات الثلاث: W_mg = m·g·h.

القوّة الحافظة (כוח משמר): هي قوّة لا يتعلّق شغلها بين نقطتين بالمسار الذي يسلكه الجسم بينهما، بل بموقع نقطة البداية ونقطة النهاية فقط. ونتيجة لذلك: شغل القوّة الحافظة على مسار مغلق (يعود فيه الجسم إلى نقطة البداية) يساوي صفرا. القوّتان الحافظتان في هذا الكتاب هما قوّة الجاذبية وقوّة النابض.

القوّة غير الحافظة (כוח שאינו משמר): هي قوّة يتعلّق شغلها بالمسار. المثال الأساسي هو قوّة الاحتكاك الحركي: شغلها −f_k·s يتناسب مع طول الطريق المقطوع s، فكلّما طال المسار بين النقطتين كبر الشغل السالب، وعلى مسار مغلق لا يعود الشغل إلى الصفر بل يتراكم.

مثال 7.11

ننقل صندوقا كتلته 2 kg على أرضية أفقية من النقطة A إلى النقطة B، والمسافة المستقيمة بينهما 4 m، ومعامل الاحتكاك الحركي 0.25. نحسب شغل الاحتكاك في المسار المستقيم، وشغله في مسار ملتوٍ طوله 10 m بين النقطتين نفسيهما. ثم نحسب شغل قوّة الجاذبية في المسارين.

الحل:

قوّة الاحتكاك على الأرضية الأفقية: f_k = μ·m·g = 0.25 · 2 · 10 = 5 N، وهي عكس الحركة دائما. في المسار المستقيم:

W_f,1 = −f_k·s₁ = −5 · 4 = −20 J

في المسار الملتوي:

W_f,2 = −f_k·s₂ = −5 · 10 = −50 J

الشغلان مختلفان مع أنّ نقطتي البداية والنهاية هما نفسهما: الاحتكاك قوّة غير حافظة. أمّا قوّة الجاذبية فهي عمودية على الأرضية في المسارين، وشغلها صفر في كليهما (فرق الارتفاع صفر): قوّة حافظة.

W_f,1 = −20 J , W_f,2 = −50 J , W_mg = 0

	قوّة حافظة	قوّة غير حافظة
أمثلة	قوّة الجاذبية، قوّة النابض	الاحتكاك، مقاومة الهواء، قوّة شدّ الخيط، قوّة محرّك
الشغل بين نقطتين	يتعلّق بالموقعين فقط	يتعلّق بالمسار
الشغل على مسار مغلق	صفر	ليس صفرا (في الاحتكاك: سالب دائما)
هل يمكن تعريف طاقة وضعية؟	نعم	لا

طاقة الثقل الوضعية – אנרגיה פוטנציאלית כובדית:

بما أنّ شغل قوّة الجاذبية يتعلّق بالارتفاع فقط، نستطيع أن ننسب إلى كلّ ارتفاع «مخزونا» من الطاقة: جسم مرفوع إلى ارتفاع h يستطيع، عندما ينزل، أن يكتسب طاقة حركية مقدارها m·g·h. هذا المخزون هو طاقة الثقل الوضعية.

طاقة الثقل الوضعية (الطاقة الكامنة الثقالية) (אנרגיה פוטנציאלית כובדית): هي الطاقة التي يملكها الجسم بسبب ارتفاعه فوق مستوى نختاره مستوى صفر، وتساوي حاصل ضرب وزنه في الارتفاع: U_G = m·g·h. شغل قوّة الجاذبية يساوي سالب التغيّر في الطاقة الوضعية.

طاقة الثقل الوضعية · אנרגיה פוטנציאלית כובדית

U_G = m·g·h

W_mg = −ΔU_G = −(U_G,2 − U_G,1)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U_G	طاقة الثقل الوضعية	[J]
m	كتلة الجسم	[kg]
g	تسارع السقوط الحرّ	[m/s²]
h	ارتفاع الجسم فوق مستوى الصفر (سالب تحته)	[m]

لماذا الإشارة السالبة؟ عندما يرتفع الجسم (Δh > 0) تزداد طاقته الوضعية، بينما تبذل الجاذبية شغلا سالبا (القوّة إلى الأسفل والإزاحة إلى الأعلى). وعندما ينزل تقلّ طاقته الوضعية وتبذل الجاذبية شغلا موجبا. في الحالتين W_mg = −ΔU_G.

الجسم نفسه: طاقته الوضعية m·g·h₁ بالنسبة إلى الأرض و m·g·h₂ بالنسبة إلى الطاولة

اختيار مستوى الصفر. الصيغة تتحدّث عن «ارتفاع»، والارتفاع يُقاس دائما من مستوى ما. نحن أحرار في اختيار هذا المستوى: الأرض، سطح الطاولة، أو أدنى نقطة في الحركة. قيمة U_G نفسها تتغيّر حسب اختيارنا، وقد تكون سالبة لجسم يقع تحت مستوى الصفر — وهذا سليم تماما. المقدار الذي له معنى فيزيائي هو التغيّر ΔU_G = m·g·Δh بين حالتين، وهو لا يتعلّق باختيار المستوى لأنّ المستوى يُختصر عند الطرح. القاعدة العملية: نختار مستوى الصفر بحيث تكون الحسابات أبسط ما يمكن، ونكتبه بوضوح في الحلّ.

مثال 7.12

جسم كتلته 3 kg يُرفع من ارتفاع 2 m فوق الأرض إلى ارتفاع 5 m. نحسب التغيّر في طاقته الوضعية وشغل قوّة الجاذبية، مرّة باختيار مستوى الصفر على الأرض ومرّة باختياره على ارتفاع 5 m.

الحل:

مستوى الصفر على الأرض:

U_G,1 = m·g·h₁ = 3 · 10 · 2 = 60 J

U_G,2 = m·g·h₂ = 3 · 10 · 5 = 150 J

ΔU_G = 150 − 60 = 90 J

مستوى الصفر على ارتفاع 5 m: الآن الموقع الابتدائي تحت المستوى (h₁ = −3 m) والنهائي على المستوى (h₂ = 0):

U_G,1 = 3 · 10 · (−3) = −90 J

U_G,2 = 0

ΔU_G = 0 − (−90) = 90 J

القيمتان الابتدائية والنهائية تغيّرتا، بل صارت إحداهما سالبة، لكنّ التغيّر هو نفسه. شغل الجاذبية أثناء الرفع:

W_mg = −ΔU_G = −90 J

ΔU_G = 90 J , W_mg = −90 J

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ للجسم طاقة وضعية «خاصّة به»، لها قيمة واحدة صحيحة. في الحقيقة الطاقة الوضعية ملك للمنظومة كلّها — الجسم والأرض معا: لولا الأرض وجاذبيتها لما كان للارتفاع أيّ معنى. وقيمتها تتعلّق باختيارنا الحرّ لمستوى الصفر، وقد تكون سالبة؛ المقدار الوحيد الذي له معنى فيزيائي مطلق هو التغيّر ΔU_G بين حالتين، وهو لا يتعلّق بالاختيار. مع ذلك نقول اختصارا «الطاقة الوضعية للجسم».

سؤال 7.6: شخص كتلته 60 kg يصعد سلّما من الطابق الأرضي إلى الطابق الرابع، على ارتفاع 12 m. ما هو التغيّر في طاقته الوضعية؟ وما هو شغل قوّة الجاذبية؟ ماذا يتغيّر في الجواب لو صعد في مصعد بدلا من السلّم؟

طاقة المرونة الوضعية – אנרגיה פוטנציאלית אלסטית:

قوّة النابض حافظة أيضا: الشغل الذي يبذله النابض بين استطالتين يتعلّق بالاستطالتين فقط (مساحة تحت الخطّ المستقيم F = k·x)، وليس بكيفية الانتقال بينهما. ولذلك يمكن أن نُعرّف طاقة وضعية للنابض: الشغل الذي بذلناه لشدّه، 12·k·x²، «مخزون» فيه، ويستطيع النابض أن يعيده كاملا عندما نحرّره.

طاقة المرونة الوضعية (الطاقة الكامنة المرنة) (אנרגיה פוטנציאלית אלסטית): هي الطاقة المخزونة في نابض مشدود أو مضغوط بمقدار x عن طوله الطبيعي: U_sp = 12·k·x². وعلى عكس طاقة الثقل الوضعية، مستوى الصفر هنا ليس اختياريا: طاقة المرونة الوضعية صفر عند الطول الطبيعي فقط.

طاقة المرونة الوضعية · אנרגיה פוטנציאלית אלסטית

U_sp = 12·k·x²

W_spring = −ΔU_sp

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U_sp	طاقة المرونة الوضعية	[J]
k	ثابت النابض	[N/m]
x	الاستطالة أو الانضغاط عن الطول الطبيعي	[m]

طاقة المرونة الوضعية كدالّة للإزاحة: قطع مكافئ متماثل — الاستطالة والانضغاط بالمقدار نفسه يخزّنان الطاقة نفسها

الرسم البياني للطاقة المرنة كدالّة للإزاحة قطع مكافئ: الطاقة تتناسب مع مربّع الإزاحة. مضاعفة الاستطالة تضاعف الطاقة أربع مرّات. ولأنّ x مربّعة فالطاقة موجبة دائما، ولا فرق بين شدّ النابض وضغطه بالمقدار نفسه.
كما في الجاذبية، شغل قوّة النابض يساوي سالب التغيّر في طاقة المرونة الوضعية: عندما نشدّ النابض يبذل شغلا سالبا وتزداد طاقته، وعندما يعود يبذل شغلا موجبا وتقلّ.

مثال 7.13

نابض ثابته 400 N/m. نحسب طاقة مرونته الوضعية عندما يُشدّ 5 cm، وعندما يُضغط 10 cm، وشغل قوّة النابض عند الانتقال من الحالة الأولى إلى الثانية.

الحل:

U_sp,1 = 12·k·x₁² = 12 · 400 · 0.05² = 0.5 J

الانضغاط x₂ = −0.1 m، والتربيع يُلغي الإشارة:

U_sp,2 = 12 · 400 · (−0.1)² = 2 J

شغل قوّة النابض من الحالة 1 إلى الحالة 2 هو سالب التغيّر في طاقة المرونة الوضعية:

W_spring = −(U_sp,2 − U_sp,1) = −(2 − 0.5) = −1.5 J

الشغل سالب: الطاقة المخزونة ازدادت، وكان لا بدّ أن تبذل قوّة خارجية شغلا موجبا مقداره 1.5 J.

U_sp,1 = 0.5 J , U_sp,2 = 2 J , W_spring = −1.5 J

	طاقة الثقل الوضعية	طاقة المرونة الوضعية
الصيغة	m·g·h	12·k·x²
تتعلّق بـ	الارتفاع (الأسّ 1)	الإزاحة عن الطول الطبيعي (الأسّ 2)
مستوى الصفر	اختياري	الطول الطبيعي للنابض — ليس اختياريا
الإشارة	موجبة أو سالبة حسب المستوى	موجبة دائما
الشغل الذي تبذله القوّة	W_mg = −ΔU_G	W_spring = −ΔU_sp

سؤال 7.7: نابض ثابته 800 N/m مخزون فيه طاقة مرنة مقدارها 1 J. كم مقدار استطالته؟ وكم تصبح الطاقة إذا شُدّ ثلاثة أضعاف هذه الاستطالة؟

▶تجربة حية — طاقة الثقل الوضعية وطاقة المرونة الوضعيةنرفع الجسم ونغيّر مستوى الصفر فنرى أنّ قيمة الطاقة تتغيّر لكنّ الفرق بين حالتين ثابت، ثم ننتقل إلى النابض ونفحص أنّ الطاقة تتناسب مع مربّع الإزاحة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#epot

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#epot

שימור אנרגיה מכנית – حفظ الطاقة الميكانيكية (Conservation of Mechanical Energy)

الطاقة الميكانيكية الكلّية – אנרגיה מכנית כוללת:

الطاقة الميكانيكية (אנרגיה מכנית): هي مجموع الطاقة الحركية والطاقات الوضعية (طاقة الثقل وطاقة المرونة) للمنظومة: E = E_k + U_G + U_sp. إذا لم يكن في المنظومة نابض فإنّ E = 12·m·v² + m·g·h.

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية – חוק שימור האנרגיה המכנית:

نشتقّ القانون من نظرية الشغل والطاقة. نقسّم أشغال القوى المؤثّرة على الجسم إلى شغل القوى الحافظة W_c وشغل القوى غير الحافظة W_nc:

ΣW = W_c + W_nc = ΔE_k

شغل القوى الحافظة يساوي سالب التغيّر في الطاقة الوضعية: W_c = −ΔU (ونقصد هنا مجموع طاقتي الثقل والمرونة الوضعيتين). نعوّض وننقل إلى الطرف الآخر:

−ΔU + W_nc = ΔE_k

ΔE_k + ΔU = W_nc

ΔE = W_nc

أي أنّ التغيّر في الطاقة الميكانيكية الكلّية يساوي شغل القوى غير الحافظة فقط. وعندما لا تؤثّر قوى غير حافظة، أو تؤثّر لكنّها لا تبذل شغلا (كالقوّة العمودية على سطح أملس، وقوّة الشدّ في خيط البندول)، يكون W_nc = 0 ونحصل على:

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية · חוק שימור האנרגיה המכנית

E₁ = E₂

12·m·v₁² + m·g·h₁ + 12·k·x₁² = 12·m·v₂² + m·g·h₂ + 12·k·x₂²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E₁	الطاقة الميكانيكية في الحالة الابتدائية	[J]
E₂	الطاقة الميكانيكية في الحالة النهائية	[J]
W_nc	شغل القوى غير الحافظة — يجب أن يكون صفرا	[J]

بالكلمات: عندما تبذل القوى الحافظة وحدها شغلا، تبقى الطاقة الميكانيكية ثابتة طوال الحركة. الطاقة الحركية والطاقة الوضعية تتبادلان الأدوار — كلّ جول ينقص من إحداهما يظهر في الأخرى — لكنّ مجموعهما لا يتغيّر.

طريقة العمل: كيف نحلّ بقانون الحفظ؟ (1) نرسم الحالتين ونختار مستوى الصفر. (2) نتأكّد أنّ القوى غير الحافظة لا تبذل شغلا. (3) نكتب الطاقة الميكانيكية في كلّ حالة، حدًّا حدًّا. (4) نساوي ونعزل المجهول. لا نحتاج إلى التسارع ولا إلى الزمن ولا إلى شكل المسار!

مثال 7.14

يُحرَّر جسم من السكون من ارتفاع 5 m على مسار أملس منحنٍ ينتهي بقطعة أفقية. نحسب سرعة الجسم في أسفل المسار، وسرعته عند مروره في نقطة ارتفاعها 3.2 m. هل تتعلّق النتائج بالكتلة؟

الحل:

نختار مستوى الصفر في أسفل المسار. القوى على الجسم: الجاذبية (حافظة) والقوّة العمودية (عمودية على المسار، لا تبذل شغلا)، فالطاقة الميكانيكية محفوظة. في نقطة التحرير v₁ = 0 ، h₁ = 5 m؛ في الأسفل h₂ = 0:

E₁ = E₂

m·g·h₁ = 12·m·v₂²

v₂ = 2·g·h₁ = 2 · 10 · 5 = 10 m/s

الكتلة تظهر في الطرفين فتُختصر: السرعة لا تتعلّق بالكتلة. في النقطة التي ارتفاعها h₃ = 3.2 m:

m·g·h₁ = 12·m·v₃² + m·g·h₃

v₃ = 2·g·(h₁ − h₃) = 2 · 10 · (5 − 3.2) = 6 m/s

لاحظوا أنّنا لم نحتج إلى معرفة شكل المسار إطلاقا، ولا كان بإمكاننا حلّ المسألة بقوانين نيوتن لأنّ التسارع يتغيّر على طول المنحنى.

v₂ = 10 m/s , v₃ = 6 m/s

الرسوم البيانية للطاقة – גרפים של אנרגיה:

من المفيد أن نرى قانون الحفظ في رسم بياني. جسم كتلته 2 kg يسقط سقوطا حرّا من السكون من ارتفاع 5 m (مستوى الصفر على الأرض). طاقته الميكانيكية E = m·g·h₀ = 100 J ثابتة. في كلّ ارتفاع h الطاقة الوضعية m·g·h والطاقة الحركية هي الباقي:

h [m]	U_G [J]	E_k [J]	E [J]	v [m/s]
5	100	0	100	0
4	80	20	100	4.47
3	60	40	100	6.32
2	40	60	100	7.75
1	20	80	100	8.94
0	0	100	100	10

الطاقة الوضعية (أزرق) خطّ مستقيم يتناسب مع الارتفاع، والطاقة الحركية (أخضر) خطّ مستقيم بالميل المعاكس، ومجموعهما (أحمر) ثابت. في منتصف الارتفاع تتساوى الطاقتان

مثال 7.15

من الرسم البياني أعلاه: في أيّ ارتفاع تتساوى الطاقة الحركية مع الطاقة الوضعية؟ وما سرعة الجسم هناك؟

الحل:

عند التساوي كلّ منهما نصف الطاقة الكلّية:

m·g·h = 12·E = 12·m·g·h₀

h = h₀2 = 2.5 m

12·m·v² = 12·E

v = Em = 1002 = 7.07 m/s

نلاحظ أنّ التساوي يحدث في منتصف الارتفاع، لا في منتصف الزمن: الجسم يقضي أكثر من نصف زمن السقوط فوق هذه النقطة لأنّه أبطأ هناك.

h = 2.5 m , v = 7.07 m/s

سؤال 7.8: في المنظومة نفسها، في أيّ ارتفاع تكون سرعة الجسم نصف سرعته عند الوصول إلى الأرض؟ (تلميح: الطاقة الحركية هناك ربع الطاقة الكلّية.)

مثال 7.16

بندول طول خيطه 2 m وكتلة جسمه 1 kg يُحرَّر من السكون عندما يصنع الخيط زاوية 60° مع العمودي. نحسب سرعة الجسم عند مروره في أدنى نقطة، وقوّة الشدّ في الخيط هناك.

الحل:

قوّة الشدّ عمودية على المسار الدائري في كلّ لحظة، فلا تبذل شغلا؛ الجاذبية حافظة. إذًا الطاقة الميكانيكية محفوظة. نختار مستوى الصفر في أدنى نقطة. ارتفاع نقطة التحرير فوقها (انظروا الرسم):

h = ℓ − ℓ·cos θ = ℓ·(1 − cos θ) = 2 · (1 − 0.5) = 1 m

m·g·h = 12·m·v²

v = 2·g·h = 2 · 10 · 1 = 4.47 m/s

لحساب قوّة الشدّ نعود إلى القوى: في أدنى نقطة التسارع راديالي نحو الأعلى، ومحصّلة القوى T − m·g:

T − m·g = m·v²ℓ

T = m·g + m·v²ℓ = 1 · 10 + 1 · 202 = 20 N

قوّة الشدّ تساوي ضعف الوزن تماما — الطاقة تعطينا السرعة، والقوى تعطينا الشدّ. هذا المزج هو ما سنستعمله في البند 7.4.

v = 4.47 m/s , T = 20 N

مثال 7.17

تُقذف كرة من سطح الأرض بسرعة 10 m/s بزاوية 37° فوق الأفق. نحسب بواسطة الطاقة سرعتها عندما تكون على ارتفاع 1 m، وأقصى ارتفاع تصل إليه. نهمل مقاومة الهواء.

الحل:

القوّة الوحيدة هي الجاذبية، فالطاقة الميكانيكية محفوظة. مستوى الصفر على الأرض:

12·m·v₀² = 12·m·v² + m·g·h

v = v₀² − 2·g·h = 10² − 2 · 10 · 1 = 8.94 m/s

هذه السرعة نفسها في الصعود وفي الهبوط، وهي لا تتعلّق بزاوية القذف ولا بالكتلة — الطاقة تعطي مقدار السرعة فقط، وليس اتّجاهها. في أقصى ارتفاع لا تنعدم السرعة (الحركة الأفقية مستمرّة)، بل تبقى منها المركّبة الأفقية v_x = v₀·cos θ = 8 m/s:

12·m·v₀² = 12·m·v_x² + m·g·h_max

h_max = v₀² − v_x²2·g = 100 − 6420 = 1.8 m

فحص بالكينماتيكا: v_0y = v₀·sin θ = 6 m/s و h_max = v_0y²2·g = 1.8 m — النتيجة نفسها.

v = 8.94 m/s , h_max = 1.8 m

مثال 7.18

نابض ثابته 800 N/m مضغوط بمقدار 10 cm ويلامس جسما كتلته 0.5 kg على سطح أفقي أملس. نحرّر النابض فيقذف الجسم، ويواصل الجسم حركته على سطح مائل أملس زاوية ميله 30°. نحسب سرعة الجسم عندما ينفصل عن النابض، وأقصى ارتفاع يصل إليه على السطح المائل، والمسافة التي يقطعها عليه.

الحل:

كلّ القوى حافظة أو لا تبذل شغلا. الطاقة الميكانيكية الابتدائية كلّها مرنة:

E = 12·k·x² = 12 · 800 · 0.1² = 4 J

عندما يعود النابض إلى طوله الطبيعي تتحوّل كلّ هذه الطاقة إلى طاقة حركية:

12·m·v² = 4

v = 2 · 40.5 = 4 m/s

على السطح المائل تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة ثقل وضعية حتى يتوقّف الجسم لحظيا (v = 0):

m·g·h = 4

h = 40.5 · 10 = 0.8 m

المسافة على طول السطح المائل:

d = hsin θ = 0.80.5 = 1.6 m

v = 4 m/s , h = 0.8 m , d = 1.6 m

مثال 7.19

نابض عمودي ثابته 500 N/m مثبّت على الأرض. يُحرَّر جسم كتلته 2 kg من السكون من ارتفاع 30 cm فوق الطرف العلوي للنابض. نحسب سرعة الجسم لحظة ملامسته النابض، وأقصى انضغاط للنابض.

الحل:

نختار مستوى الصفر عند الطرف العلوي للنابض الحرّ. حتى لحظة الملامسة سقوط حرّ:

m·g·h = 12·m·v²

v = 2·g·h = 2 · 10 · 0.3 = 2.45 m/s

عند أقصى انضغاط x يتوقّف الجسم لحظيا، وهو الآن تحت مستوى الصفر بمقدار x (ارتفاعه −x). نكتب الحفظ بين نقطة التحرير وهذه النقطة:

m·g·h = −m·g·x + 12·k·x²

2 · 10 · 0.3 = −2 · 10 · x + 12 · 500 · x²

250·x² − 20·x − 6 = 0

نحلّ المعادلة التربيعية ونأخذ الجذر الموجب:

x = 20 + 20² + 4 · 250 · 62 · 250 = 0.2 m = 20 cm

انتبهوا: الجسم ينزل أثناء الانضغاط مسافة x إضافية، ولذلك ظهر الحدّ −m·g·x. من ينسى هذا الحدّ يحصل على انضغاط أصغر من الصحيح.

v = 2.45 m/s , x = 20 cm

انتبهوا: في مسائل النابض العمودي يتغيّر الارتفاع والانضغاط معا. اكتبوا الحدود الثلاثة (حركية، ثقالية، مرنة) في كلّ حالة، وتحقّقوا أنّ إشارة الارتفاع صحيحة بالنسبة إلى مستوى الصفر الذي اخترتموه.

سؤال 7.9: من قمّة منزلق مائي أملس ارتفاعه 20 m ينطلق طفل بسرعة ابتدائية 4 m/s. احسبوا سرعته في أسفل المنزلق. هل يحصل طفل أثقل منه بمرّتين على سرعة مختلفة؟

سؤال 7.10: لعبة قذف تطلق كرة كتلتها 0.5 kg عموديا إلى الأعلى بنابض ثابته 100 N/m مضغوط 20 cm. إلى أيّ ارتفاع فوق موضع الإطلاق تصل الكرة؟ (أهملوا مقاومة الهواء، وانتبهوا إلى أنّ الكرة ترتفع 20 cm أثناء تمدّد النابض.)

▶تجربة حية — حفظ الطاقة الميكانيكيةنحرّر الجسم من ارتفاعات مختلفة على مسار أملس ونتابع عمود الطاقة: الطاقة الحركية والطاقة الوضعية تتبادلان لكنّ المجموع ثابت؛ ثم نضيف احتكاكا ونرى إلى أين تذهب الطاقة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#econs

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#econs

مع الاحتكاك: شغل الاحتكاك يساوي النقص في الطاقة الميكانيكية – עם כוח חיכוך: עבודת החיכוך = ההפסד:

ماذا يحدث عندما يؤثّر الاحتكاك؟ نعود إلى المعادلة العامّة التي اشتققناها: ΔE = W_nc. الاحتكاك الحركي قوّة غير حافظة شغلها سالب دائما، ولذلك تقلّ الطاقة الميكانيكية بمقدار يساوي بالضبط مقدار شغل الاحتكاك:

الطاقة الميكانيكية مع الاحتكاك · עבודת החיכוך = ההפסד באנרגיה המכנית

E₂ − E₁ = W_f = −f_k·s

E₁ = E₂ + f_k·s

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E₁ , E₂	الطاقة الميكانيكية قبل وبعد	[J]
f_k	قوّة الاحتكاك الحركي	[N]
s	طول الطريق الذي يؤثّر الاحتكاك على امتداده	[m]
f_k·s	الطاقة الميكانيكية «المفقودة» — تحوّلت إلى طاقة داخلية	[J]

الطاقة الداخلية (אנרגיה פנימית): هي الطاقة التي تتحوّل إليها الطاقة الميكانيكية المفقودة بفعل الاحتكاك: ترتفع درجة حرارة السطحين المتلامسين (حرارة)، وقد يُسمع صوت ويحدث تآكل. الطاقة لا تختفي أبدا، بل تغيّر شكلها؛ هذا هو قانون حفظ الطاقة العامّ: E₁ = E₂ + Q، حيث Q = f_k·s هي الطاقة الداخلية المتكوّنة.

انتبهوا إلى الفرق: في W_f = −f_k·s المقدار s هو الطريق المقطوع على السطح الخشن، وليس الإزاحة ولا فرق الارتفاع. جسم يتحرّك ذهابا وإيابا على سطح خشن يفقد طاقة في الاتّجاهين.

تصوّر خاطئ شائع: يعتقد كثيرون أنّ الطاقة «تضيع» أو «تفنى» في الاحتكاك. في الحقيقة لا يفنى منها جول واحد: كلّ النقص في الطاقة الميكانيكية يظهر طاقة داخلية في السطحين — تسخين وصوت وتآكل — وقانون حفظ الطاقة العامّ E₁ = E₂ + Q يبقى صحيحا دائما. الذي لا يُحفَظ مع الاحتكاك هو الطاقة الميكانيكية وحدها؛ لذلك اكتبوا في الحلّ «تحوّلت إلى طاقة داخلية» وليس «ضاعت».

مثال 7.20

جسم كتلته 2 kg يُحرَّر من السكون من ارتفاع 1.8 m على سطح مائل أملس، ثم يواصل حركته على سطح أفقي يبدأ فيه مقطع خشن عند النقطة A، معامل الاحتكاك الحركي فيه 0.3. نحسب سرعة الجسم عند النقطة A، والمسافة التي يقطعها على المقطع الخشن حتى يتوقّف، والطاقة الداخلية المتكوّنة.

الحل:

من التحرير إلى A: السطح أملس والطاقة محفوظة. مستوى الصفر على السطح الأفقي:

m·g·h = 12·m·v_A²

v_A = 2·g·h = 2 · 10 · 1.8 = 6 m/s

الطاقة الميكانيكية عند A كلّها حركية: E_A = m·g·h = 36 J.

على المقطع الخشن: قوّة الاحتكاك f_k = μ·N = μ·m·g = 0.3 · 2 · 10 = 6 N. يتوقّف الجسم عندما تتحوّل كلّ طاقته الميكانيكية إلى طاقة داخلية:

E_A = E_B + f_k·d

36 = 0 + 6 · d

d = 366 = 6 m

الطاقة الداخلية المتكوّنة تساوي كلّ الطاقة الميكانيكية الابتدائية: Q = f_k·d = 36 J.

v_A = 6 m/s , d = 6 m , Q = 36 J

لاحظوا الاختصار الجميل: m·g·h = μ·m·g·d ومنه d = hμ — المسافة لا تتعلّق بالكتلة ولا بزاوية السطح المائل.

مثال 7.21

جسم كتلته 2 kg ينزلق من السكون على سطح مائل خشن طوله 10 m وزاوية ميله 37°، ويصل إلى أسفله بسرعة 6 m/s. نحسب الطاقة الميكانيكية المفقودة، وقوّة الاحتكاك، ومعامل الاحتكاك الحركي.

الحل:

ارتفاع السطح: h = L·sin θ = 10 · 0.6 = 6 m. مستوى الصفر في الأسفل. الطاقة في الأعلى (سكون) وفي الأسفل:

E₁ = m·g·h = 2 · 10 · 6 = 120 J

E₂ = 12·m·v² = 12 · 2 · 6² = 36 J

الفرق هو مقدار شغل الاحتكاك على طول السطح:

f_k·L = E₁ − E₂ = 120 − 36 = 84 J

f_k = 8410 = 8.4 N

القوّة العمودية على السطح المائل N = m·g·cos θ = 2 · 10 · 0.8 = 16 N، ومنها معامل الاحتكاك:

μ = f_kN = 8.416 = 0.525

f_k·L = 84 J , f_k = 8.4 N , μ = 0.525

فحص بطريقة القوى: المحصّلة بمحاذاة السطح m·g·sin θ − f_k = 12 − 8.4 = 3.6 N، والتسارع a = 1.8 m/s²، و v² = 2·a·L = 36، أي v = 6 m/s — تماما كما في المعطيات.

مثال 7.22

جسم كتلته 2 kg يُحرَّر من السكون من ارتفاع 2 m على سطح مائل أملس، ينزلق إلى سطح أفقي فيه مقطع خشن AB طوله 4 m معامل الاحتكاك فيه 0.25، وبعده سطح أملس ينتهي بنابض ثابته 1000 N/m. نحسب سرعة الجسم عند B، وأقصى انضغاط للنابض، ثم نصف ما يحدث للجسم بعد أن يقذفه النابض عائدا.

الحل:

نتابع «ميزانية» الطاقة مرحلة مرحلة. الطاقة الابتدائية (مستوى الصفر على السطح الأفقي):

E₀ = m·g·h = 2 · 10 · 2 = 40 J

على المقطع الخشن يأخذ الاحتكاك f_k·d من الطاقة:

f_k = μ·m·g = 0.25 · 2 · 10 = 5 N

E_B = E₀ − f_k·d = 40 − 5 · 4 = 20 J

v_B = 2·E_Bm = 2 · 202 = 4.47 m/s

من B إلى النابض السطح أملس، فتتحوّل الطاقة الحركية كلّها إلى طاقة مرنة عند أقصى انضغاط:

12·k·x² = E_B

x = 2 · 201000 = 0.2 m = 20 cm

النابض يعيد للجسم 20 J كاملة (قوّة حافظة) ويقذفه عائدا نحو B. عند عبور المقطع الخشن مرّة ثانية يفقد الجسم 20 J أخرى:

E_A = E_B − f_k·d = 20 − 20 = 0 J

يصل الجسم إلى A بطاقة صفر بالضبط — أي يتوقّف عند بداية المقطع الخشن ولا يعود إلى السطح المائل. كلّ الطاقة الابتدائية (40 J) تحوّلت إلى طاقة داخلية في عبورين للمقطع الخشن.

v_B = 4.47 m/s , x = 20 cm

سؤال 7.11: في المنظومة نفسها حُرّر الجسم من ارتفاع 3 m. احسبوا أقصى انضغاط للنابض، والارتفاع الذي يصل إليه الجسم على السطح المائل في طريق عودته.

مثال 7.23

جسم كتلته 0.5 kg يُضغط على نابض ثابته 200 N/m حتى ينضغط النابض 10 cm، على أرضية أفقية خشنة معامل الاحتكاك فيها 0.4. نحرّر الجسم. نحسب المسافة الكلّية التي يقطعها حتى يتوقّف (من نقطة التحرير)، وسرعته لحظة انفصاله عن النابض.

الحل:

الطاقة الابتدائية كلّها مرنة، والاحتكاك يؤثّر على طول الطريق كلّه (بما فيه القطعة التي يتمدّد فيها النابض):

E₁ = 12·k·x² = 12 · 200 · 0.1² = 1 J

f_k = μ·m·g = 0.4 · 0.5 · 10 = 2 N

عند التوقّف الطاقة الميكانيكية صفر (النابض عاد إلى طوله الطبيعي ولم يعد ملامسا للجسم):

E₁ = 0 + f_k·d

d = 12 = 0.5 m

الجسم ينفصل عن النابض عندما يعود النابض إلى طوله الطبيعي، أي بعد x = 0.1 m من التحرير. حتى هناك فقد الجسم f_k·x = 0.2 J:

12·k·x² − f_k·x = 12·m·v²

v = 2 · (1 − 0.2)0.5 = 1.79 m/s

d = 0.5 m , v = 1.79 m/s

الطريقة	متى نفضّلها؟	ما الذي تعطيه؟
القوى وقوانين نيوتن	قوى ثابتة، مسار مستقيم، عندما يُطلب التسارع أو الزمن أو قوّة	التسارع، القوى، الزمن
الطاقة	مسار منحنٍ، قوى متغيّرة (نابض)، عندما يُطلب ربط السرعة بالموقع	السرعة في موقع معيّن، الارتفاع، الانضغاط
الطاقة مع f_k·s	يوجد احتكاك ومعروف طول الطريق	الطاقة المفقودة، مسافة التوقّف، معامل الاحتكاك

سؤال 7.12: متزلّج كتلته 50 kg يصل إلى أسفل منحدر بسرعة 8 m/s ثم يصعد تلّة ثلجية ارتفاعها 2.5 m على مسار طوله 10 m، ويصل إلى قمّتها بسرعة 2 m/s. احسبوا الطاقة الميكانيكية المفقودة بفعل الاحتكاك ومعدّل قوّة الاحتكاك على طول المسار.

سؤال 7.13: كرة كتلتها 1 kg تُحرَّر من ارتفاع 2 m على مسار أملس، ثم تمرّ على مقطع أفقي خشن طوله 4 m معامل الاحتكاك فيه 0.2، وبعده تصعد على مسار أملس. إلى أيّ ارتفاع تصل؟ وكم مرّة تعبر المقطع الخشن قبل أن تتوقّف فيه؟

תנועה במעגל אנכי – الحركة في دائرة عمودية (Motion in a Vertical Circle)

اعتبارات القوى والطاقة – שיקולי כוחות ואנרגיה:

جسم مربوط بخيط يدور في دائرة عمودية، أو عربة في «حلقة الموت» في مدينة الملاهي، أو سيّارة تعبر قمّة تلّة: في كلّ هذه الحالات يتحرّك الجسم على مسار دائري في مستوى عمودي، وتؤثّر عليه قوّة الجاذبية طوال الحركة. على عكس الحركة الدائرية المنتظمة، هنا يتغيّر مقدار السرعة: الجسم يبطئ عندما يصعد ويسرع عندما ينزل. لحلّ هذه المسائل نستعمل أداتين معا:

اعتبار الطاقة: إذا كان المسار أملس (أو الخيط مشدودا دائما) فإنّ القوّة العمودية (أو قوّة الشدّ) لا تبذل شغلا، والطاقة الميكانيكية محفوظة. هذا يربط السرعة في نقطة بالسرعة في نقطة أخرى.
اعتبار القوى: في كلّ نقطة تكون محصّلة القوى في الاتّجاه الراديالي (نحو مركز الدائرة) مساوية m·v²R. هذا يعطي قوّة الشدّ أو القوّة العمودية في تلك النقطة.

جسم مربوط بخيط يدور في دائرة عمودية نصف قطرها R. في النقطة الدنيا A قوّة الشدّ إلى الأعلى والوزن إلى الأسفل؛ في النقطة العليا B كلتا القوّتين إلى الأسفل، نحو المركز

في النقطة الدنيا A: المركز فوق الجسم. قوّة الشدّ نحو المركز (إلى الأعلى) والوزن بعيدا عنه (إلى الأسفل):

T_A − m·g = m·v_A²R

T_A = m·g + m·v_A²R

في النقطة العليا B: المركز تحت الجسم. قوّة الشدّ والوزن كلاهما نحو المركز (إلى الأسفل):

T_B + m·g = m·v_B²R

T_B = m·v_B²R − m·g

العلاقة بين السرعتين من حفظ الطاقة (مستوى الصفر في A، والنقطة B أعلى منها بمقدار 2R):

12·m·v_A² = 12·m·v_B² + m·g·(2R)

v_A² = v_B² + 4·g·R

الحركة في دائرة عمودية — نقطة عامّة · מעגל אנכי — נקודה כללית

T − m·g·cos φ = m·v²R

12·m·v_A² = 12·m·v² + m·g·R·(1 − cos φ)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
φ	الزاوية بين الخيط والعمودي، مقيسة من النقطة الدنيا (φ = 0 في A ، φ = 180° في B)	[°]
T	قوّة الشدّ في الخيط (أو القوّة العمودية N من مسار)	[N]
m·g·cos φ	مركّبة الوزن على امتداد نصف القطر؛ في النصف السفلي تشدّ بعيدا عن المركز، وفي النصف العلوي (cos φ سالب) — نحو المركز	[N]
R·(1 − cos φ)	ارتفاع النقطة فوق النقطة الدنيا	[m]

ملاحظة: قاعدة عملية: في كلّ نقطة نرسم القوى، نحدّد اتّجاه المركز، ونكتب: (مجموع القوى نحو المركز) − (مجموع القوى بعيدا عن المركز) = m·v²R. قوّة الشدّ (أو القوّة العمودية) أكبر ما يمكن في النقطة الدنيا — السرعة هناك قصوى والوزن يعاكس الشدّ — وأصغر ما يمكن في النقطة العليا.

مثال 7.24

جسم كتلته 0.5 kg مربوط بخيط طوله 1 m يدور في دائرة عمودية. سرعته في النقطة الدنيا A هي 10 m/s. نحسب سرعته في النقطة العليا B، وقوّة الشدّ في الخيط في A وفي B، وفي النقطة C التي يكون فيها الخيط أفقيا.

الحل:

السرعة في B من حفظ الطاقة (قوّة الشدّ لا تبذل شغلا لأنّها عمودية على المسار):

v_B² = v_A² − 4·g·R = 10² − 4 · 10 · 1 = 60

v_B = 7.75 m/s

قوّة الشدّ في A:

T_A = m·g + m·v_A²R = 0.5 · 10 + 0.5 · 10²1 = 55 N

قوّة الشدّ في B:

T_B = m·v_B²R − m·g = 0.5 · 601 − 0.5 · 10 = 25 N

في C (الخيط أفقي، φ = 90°): النقطة أعلى من A بمقدار R، والوزن عمودي على الخيط فلا مركّبة له في الاتّجاه الراديالي:

v_C² = v_A² − 2·g·R = 100 − 20 = 80

T_C = m·v_C²R = 0.5 · 801 = 40 N

الفرق بين قوّة الشدّ في A وفي B هو 30 N، أي 6·m·g — وهذه نتيجة عامّة لا تتعلّق بالسرعة (تحقّقوا منها بالجبر!).

v_B = 7.75 m/s , T_A = 55 N , T_B = 25 N , T_C = 40 N

مثال 7.25

كرة صغيرة كتلتها 0.2 kg تُحرَّر من السكون من حافّة وعاء نصف كروي أملس نصف قطره 0.5 m. نحسب سرعة الكرة في قعر الوعاء والقوّة العمودية التي يؤثّر بها الوعاء عليها هناك.

الحل:

القوّة العمودية عمودية على المسار الدائري دائما فلا تبذل شغلا؛ الطاقة محفوظة. الحافّة أعلى من القعر بمقدار R:

m·g·R = 12·m·v_B²

v_B = 2·g·R = 2 · 10 · 0.5 = 3.16 m/s

في القعر المركز فوق الكرة: القوّة العمودية نحو المركز (إلى الأعلى) والوزن بعيدا عنه:

N − m·g = m·v_B²R

N = m·g + m·(2·g·R)R = 3·m·g = 3 · 0.2 · 10 = 6 N

نتيجة عامّة: جسم يُحرَّر من السكون من ارتفاع R على مسار دائري نصف قطره R يضغط في القعر بثلاثة أضعاف وزنه، مهما كانت الكتلة ونصف القطر.

v_B = 3.16 m/s , N = 3·m·g = 6 N

سؤال 7.14: في الوعاء نفسه، احسبوا القوّة العمودية عندما تمرّ الكرة بنقطة يصنع فيها نصف القطر إليها زاوية φ = 60° مع العمودي (ارتفاعها فوق القعر R·(1 − cos φ)). وعند أيّ زاوية تساوي القوّة العمودية ضعفي الوزن؟

الانفصال عن المسار – הינתקות מן המסלול:

الخيط يستطيع أن يسحب فقط، ولا يستطيع أن يدفع؛ والمسار يستطيع أن يدفع فقط (القوّة العمودية)، ولا يستطيع أن يسحب. لذلك قوّة الشدّ والقوّة العمودية لا تكونان سالبتين أبدا: T ≥ 0 ، N ≥ 0. ماذا يحدث إذا طلبت المعادلة قيمة سالبة؟ هذا يعني أنّ السرعة أصغر من أن تُبقي الجسم على الدائرة: يرتخي الخيط، أو ينفصل الجسم عن المسار، ومن تلك اللحظة يتحرّك حركة قذيفة حرّة تحت تأثير الجاذبية وحدها.

الانفصال عن المسار (הינתקות מן המסלול): هو اللحظة التي تنعدم فيها القوّة التي يؤثّر بها المسار (أو الخيط) على الجسم: N = 0 (أو T = 0). في هذه اللحظة يكون الوزن (أو مركّبته الراديالية) وحده هو الذي يزوّد القوّة المركزية. شرط بقاء الجسم على المسار الدائري: N ≥ 0 في كلّ نقطة.

النقطة الحرجة هي النقطة العليا B، لأنّ السرعة فيها أصغر ما يمكن والوزن يتّجه كلّه نحو المركز. نضع N_B = 0 في معادلة القوى:

0 + m·g = m·v_B²R

v_B,min = g·R

أدنى سرعة في النقطة العليا · מהירות מזערית בנקודה העליונה

v_B,min = g·R

v_A,min = 5·g·R

h_min = 2.5·R

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v_B,min	أدنى سرعة في النقطة العليا تُبقي الجسم على المسار (لا تتعلّق بالكتلة)	[m/s]
v_A,min	أدنى سرعة في النقطة الدنيا تكفي لإكمال الدورة	[m/s]
h_min	أدنى ارتفاع تحرير (من السكون) يُكمل منه الجسم الحلقة، مقيسا من أسفل الحلقة	[m]

السرعتان الأخريان تنتجان من حفظ الطاقة: v_A² = v_B² + 4·g·R = g·R + 4·g·R = 5·g·R. وإذا حُرّر الجسم من السكون من ارتفاع h فوق أسفل الحلقة: m·g·h = 12·m·v_B² + m·g·(2R) = 12·m·g·R + 2·m·g·R، أي h = 2.5·R.

مسار أملس مع حلقة عمودية نصف قطرها R. في النقطة العليا B تؤثّر على الجسم القوّة العمودية N والوزن m·g، وكلتاهما نحو المركز (إلى الأسفل)

انتبهوا: خطأ شائع: الظنّ أنّ السرعة في النقطة العليا يمكن أن تكون صفرا. لو توقّف الجسم في الأعلى لسقط عموديا منذ زمن — كان قد انفصل عن المسار قبل ذلك بكثير. في النقطة العليا يجب أن تكون السرعة g·R على الأقلّ، ولا يبقى الجسم على المسار بفضل «قوّة طرد مركزي» — لا وجود لهذه القوّة في منظومة الإسناد التي نعمل فيها.

مثال 7.26

عربة كتلتها 0.5 kg تُحرَّر من السكون على مسار أملس ينتهي بحلقة عمودية نصف قطرها 2 m (كما في الشكل).
أ. ما هو أدنى ارتفاع تحرير يسمح للعربة بإكمال الحلقة؟
ب. حُرّرت العربة من ارتفاع 6 m. نحسب القوّة العمودية في النقطة الدنيا A، وفي النقطة C (على ارتفاع R)، وفي النقطة العليا B.

الحل:

أ. في النقطة العليا يجب أن تكون السرعة g·R على الأقلّ:

v_B,min = g·R = 10 · 2 = 4.47 m/s

h_min = 2.5·R = 2.5 · 2 = 5 m

ب. ارتفاع التحرير h = 6 m أكبر من h_min، فالعربة تُكمل الحلقة. مستوى الصفر في A. في A (h_A = 0):

m·g·h = 12·m·v_A²

v_A² = 2·g·h = 2 · 10 · 6 = 120

N_A − m·g = m·v_A²R

N_A = 0.5 · 10 + 0.5 · 1202 = 35 N

في C (h_C = R = 2 m): القوّة العمودية أفقية نحو المركز، والوزن عمودي عليها:

v_C² = 2·g·(h − R) = 2 · 10 · (6 − 2) = 80

N_C = m·v_C²R = 0.5 · 802 = 20 N

في B (h_B = 2R = 4 m):

v_B² = 2·g·(h − 2R) = 2 · 10 · (6 − 4) = 40

N_B + m·g = m·v_B²R

N_B = 0.5 · 402 − 0.5 · 10 = 5 N

القوّة العمودية في B موجبة، فالعربة لا تنفصل. نتيجة عامّة جميلة: عند التحرير من h = 3R تكون N_B = m·g بالضبط، لكلّ كتلة ولكلّ نصف قطر.

h_min = 5 m , N_A = 35 N , N_C = 20 N , N_B = 5 N

مثال 7.27

سيّارة تعبر قمّة تلّة مستديرة نصف قطر تقوّسها 40 m. ما هي أقصى سرعة تستطيع أن تعبر بها القمّة بدون أن تنفصل عجلاتها عن الطريق؟

الحل:

في قمّة التلّة المركز تحت السيّارة. الوزن نحو المركز والقوّة العمودية بعيدا عنه:

m·g − N = m·v²R

N = m·g − m·v²R

كلّما زادت السرعة صغرت القوّة العمودية. الانفصال عندما N = 0:

v_max = g·R = 10 · 40 = 20 m/s = 72 km/h

بسرعة أكبر من ذلك «تطير» السيّارة عن القمّة وتتحرّك حركة قذيفة حتى تعود إلى الطريق. لاحظوا أنّ الشرط هو نفسه شرط النقطة العليا في الحلقة: هناك المسار يدفع من الخارج إلى الداخل، وهنا الطريق يدفع من الداخل، لكنّ الحدّ N = 0 واحد.

v_max = 20 m/s

مثال 7.28

كرة مربوطة بخيط طوله 1 m تمرّ في النقطة الدنيا بسرعة 6 m/s. هل تُكمل الكرة دورة كاملة؟ إذا لم تُكملها، نجد الزاوية التي يرتخي عندها الخيط وارتفاع الكرة في تلك اللحظة.

الحل:

أدنى سرعة لإكمال الدورة هي 5·g·R = 50 = 7.07 m/s، والسرعة المعطاة أصغر منها، فالخيط يرتخي في مكان ما في النصف العلوي من الدائرة. نبحث عن النقطة التي T = 0 فيها. بالزاوية φ من النقطة الدنيا، ارتفاع الكرة h = R·(1 − cos φ) وسرعتها من حفظ الطاقة:

v² = v_A² − 2·g·R·(1 − cos φ)

معادلة القوى في الاتّجاه الراديالي مع T = 0 (في النصف العلوي cos φ سالب، فالحدّ −m·g·cos φ موجب — الوزن يشدّ نحو المركز):

T − m·g·cos φ = m·v²R

−m·g·cos φ = m·(v_A² − 2·g·R + 2·g·R·cos φ)R

نختصر m، نضرب في R ونعزل:

−g·R·cos φ = v_A² − 2·g·R + 2·g·R·cos φ

−3·g·R·cos φ = v_A² − 2·g·R

cos φ = 2·g·R − v_A²3·g·R = 20 − 3630 = −0.533

φ = 122.2°

انتبهوا: cos φ سالب كما توقّعنا — النقطة في النصف العلوي. الارتفاع فوق النقطة الدنيا:

h = R·(1 − cos φ) = 1 · (1 + 0.533) = 1.53 m

في هذه اللحظة سرعة الكرة v = v_A² − 2·g·h = 2.31 m/s، وهي ليست صفرا: الكرة تواصل حركتها كقذيفة بهذه السرعة باتّجاه المماس.

φ ≈ 122° , h ≈ 1.53 m

سؤال 7.15: كرة كتلتها 0.2 kg مربوطة بخيط طوله 1.5 m تدور في دائرة عمودية. احسبوا أدنى سرعة في النقطة العليا، وقوّة الشدّ في النقطة الدنيا عندما تدور الكرة بهذه السرعة الدنيا بالضبط.

سؤال 7.16: عربة في مسار أملس مع حلقة نصف قطرها 0.8 m تُحرَّر من السكون من ارتفاع h. ما هو أدنى h لإكمال الحلقة؟ إذا حُرّرت من ارتفاع 1.6 m (أي 2R)، هل تصل إلى النقطة العليا؟ ما هو ارتفاع النقطة التي تنفصل فيها عن المسار؟ (تلميح: المعادلة نفسها كما في المثال الأخير، مع N = 0.)

▶تجربة حية — الحركة في دائرة عمودية والانفصال عن المسارنغيّر نصف القطر والسرعة في النقطة الدنيا، ونقرأ قوّة الشدّ في كلّ نقطة من الدائرة؛ نُنقص السرعة تدريجيا حتى تنعدم القوّة في النقطة العليا ونرى لحظة الانفصال.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#vcirc

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#vcirc

היבטים אנרגטיים בהתנגשות – الجوانب الطاقية في الاصطدام (Energy in Collisions)

تعلّمنا في الفصل السادس أنّ كمّيّة الحركة الكلّية لمنظومة مغلقة تُحفَظ في كلّ اصطدام، لأنّ القوى بين الجسمين داخلية. هل تُحفَظ الطاقة الحركية أيضا؟ ليس دائما. أثناء الاصطدام تتشوّه الأجسام وترتفع درجة حرارتها ويُسمع صوت — كلّ هذا يستهلك طاقة. نميّز بين نوعين من الاصطدام حسب ما يحدث للطاقة الحركية.

الاصطدام غير المرن وتحوّلات الطاقة – התנגשות פלסטית והמרות אנרגיה:

الاصطدام غير المرن (اللدن) (התנגשות פלסטית): هو اصطدام تقلّ فيه الطاقة الحركية الكلّية للمنظومة: جزء منها يتحوّل إلى طاقة داخلية (حرارة، تشوّه دائم، صوت). الحالة القصوى هي الاصطدام غير المرن التامّ، الذي يلتصق فيه الجسمان ويواصلان الحركة معا بسرعة مشتركة واحدة؛ فيه يكون النقص في الطاقة الحركية أكبر ما يمكن. كمّيّة الحركة محفوظة في كلّ الأحوال.

مثال 7.29

عربة كتلتها 3 kg تتحرّك بسرعة 8 m/s وتصطدم بعربة ساكنة كتلتها 5 kg، فتلتصق العربتان. نحسب سرعتهما المشتركة بعد الاصطدام، والطاقة الحركية للمنظومة قبل الاصطدام وبعده، والطاقة التي تحوّلت إلى طاقة داخلية ونسبتها.

الحل:

حفظ كمّيّة الحركة (الاتّجاه الموجب هو اتّجاه الحركة الابتدائية):

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·v

v = 3 · 83 + 5 = 3 m/s

الطاقة الحركية قبل الاصطدام:

E_k,1 = 12·m₁·v₁² = 12 · 3 · 8² = 96 J

بعد الاصطدام: كتلة واحدة 8 kg بسرعة 3 m/s:

E_k,2 = 12·(m₁ + m₂)·v² = 12 · 8 · 3² = 36 J

الطاقة المتحوّلة إلى طاقة داخلية:

Q = E_k,1 − E_k,2 = 96 − 36 = 60 J

QE_k,1 = 6096 = 0.625 = 62.5 %

كمّيّة الحركة حُفظت تماما (24 kg·m/s قبل وبعد)، بينما «اختفى» أكثر من نصف الطاقة الحركية من الميزان الميكانيكي وتحوّل إلى حرارة وتشوّه.

v = 3 m/s , Q = 60 J (62.5 %)

يمكن أن نبرهن أنّ نسبة الطاقة المفقودة في الاصطدام غير المرن التامّ بجسم ساكن هي m₂m₁ + m₂ دائما، مهما كانت السرعة: كلّما كان الجسم الساكن أثقل، ضاع جزء أكبر من الطاقة. في مثالنا 58 = 0.625.

مثال 7.30

عربة كتلتها 2 kg تتحرّك بسرعة 6 m/s وتصطدم بعربة ساكنة كتلتها 4 kg. بعد الاصطدام تتوقّف العربة الأولى تماما. نحسب سرعة العربة الثانية بعد الاصطدام، والطاقة التي تحوّلت إلى طاقة داخلية، ونحدّد نوع الاصطدام.

الحل:

حفظ كمّيّة الحركة (الأولى تتوقّف: v₁′ = 0):

m₁·v₁ = m₂·v₂′

v₂′ = 2 · 64 = 3 m/s

E_k,1 = 12 · 2 · 6² = 36 J

E_k,2 = 12 · 4 · 3² = 18 J

Q = 36 − 18 = 18 J

نصف الطاقة الحركية ضاع، لكنّ العربتين لم تلتصقا (سرعتاهما مختلفتان بعد الاصطدام)، فالاصطدام غير مرن جزئيا: ليس مرنا (الطاقة لم تُحفَظ) وليس غير مرن تامّ (لا سرعة مشتركة). السرعة النسبية قبل الاصطدام 6 m/s وبعده −3 m/s — انعكست وصغرت.

v₂′ = 3 m/s , Q = 18 J

انتبهوا: في الاصطدام غير المرن لا يجوز استعمال حفظ الطاقة الميكانيكية بين ما قبل الاصطدام وما بعده. الأداة الوحيدة الصالحة أثناء الاصطدام نفسه هي حفظ كمّيّة الحركة. أمّا قبل الاصطدام وبعده — في الحركة الحرّة — فيجوز استعمال الطاقة.

البندول البالستي (القذفي) – מטוטלת בליסטית:

تطبيق كلاسيكي يجمع الأداتين: رصاصة صغيرة تُطلق نحو كتلة خشبية معلّقة بخيوط، فتنغرس فيها، ثم ترتفع الكتلة مع الرصاصة إلى ارتفاع h نقيسه. من هذا الارتفاع نستنتج سرعة الرصاصة — التي يصعب قياسها مباشرة.

مثال 7.31

رصاصة كتلتها 10 g تنغرس في كتلة خشبية معلّقة كتلتها 990 g، فترتفع الكتلة مع الرصاصة إلى ارتفاع 20 cm. نحسب سرعة الكتلة مع الرصاصة مباشرة بعد الاصطدام، وسرعة الرصاصة قبله، ونسبة الطاقة الحركية التي تحوّلت إلى طاقة داخلية.

الحل:

المرحلة الثانية — الارتفاع (بعد الاصطدام): قوّة الشدّ لا تبذل شغلا والطاقة الميكانيكية محفوظة. الكتلة الكلّية m + M = 1 kg:

12·(m + M)·v² = (m + M)·g·h

v = 2·g·h = 2 · 10 · 0.2 = 2 m/s

المرحلة الأولى — الاصطدام: غير مرن تامّ، نستعمل حفظ كمّيّة الحركة فقط:

m·v₀ = (m + M)·v

v₀ = (m + M)·vm = 1 · 20.01 = 200 m/s

ميزان الطاقة:

E_k,1 = 12·m·v₀² = 12 · 0.01 · 200² = 200 J

E_k,2 = 12·(m + M)·v² = 12 · 1 · 2² = 2 J

E_k,1 − E_k,2E_k,1 = 198200 = 99 %

تسعة وتسعون بالمئة من طاقة الرصاصة تحوّلت إلى حرارة وتشوّه في الخشب! لو استعملنا — خطأً — حفظ الطاقة الميكانيكية في الاصطدام نفسه لحصلنا على سرعة رصاصة أصغر عشر مرّات من الصحيحة.

v = 2 m/s , v₀ = 200 m/s , 99 % مفقودة

ملاحظة: الاصطدام نفسه يستغرق جزءا صغيرا جدّا من الثانية، ولذلك لا تتحرّك الكتلة أثناءه إلّا مسافة مهملة، وتبقى الخيوط عمودية: القوى الخارجية (الوزن والشدّ) تتعادل أفقيا، فحفظ كمّيّة الحركة الأفقية دقيق.

الاصطدام المرن – התנגשות אלסטית:

الاصطدام المرن (התנגשות אלסטית): هو اصطدام تُحفَظ فيه الطاقة الحركية الكلّية للمنظومة، إضافة إلى كمّيّة الحركة: مجموع الطاقتين الحركيتين بعد الاصطدام يساوي مجموعهما قبله. أثناء الاصطدام تتحوّل الطاقة الحركية مؤقّتا إلى طاقة مرونة وضعية في الأجسام المتشوّهة، ثم تعود كلّها طاقة حركية. اصطدام كرات البلياردو واصطدام الجزيئات في الغاز قريبان من المرن.

الاصطدام المرن في بُعد واحد · התנגשות אלסטית חד-ממדית

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v₁′ + m₂·v₂′

12·m₁·v₁² + 12·m₂·v₂² = 12·m₁·v₁′² + 12·m₂·v₂′²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v₁ , v₂	السرعتان قبل الاصطدام (مع الإشارة)	[m/s]
v₁′ , v₂′	السرعتان بعد الاصطدام	[m/s]

حلّ هاتين المعادلتين معا شاقّ بسبب التربيع. لكن يمكن استخلاص علاقة أبسط منهما. ننقل في كلّ معادلة حدود الجسم الأوّل إلى طرف وحدود الجسم الثاني إلى الطرف الآخر:

m₁·(v₁ − v₁′) = m₂·(v₂′ − v₂)

m₁·(v₁² − v₁′²) = m₂·(v₂′² − v₂²)

نحلّل فرق المربّعات في المعادلة الثانية: v₁² − v₁′² = (v₁ − v₁′)·(v₁ + v₁′) وبالمثل في الطرف الآخر، ثم نقسم المعادلة الثانية على الأولى:

m₁·(v₁ − v₁′)·(v₁ + v₁′)m₁·(v₁ − v₁′) = m₂·(v₂′ − v₂)·(v₂′ + v₂)m₂·(v₂′ − v₂)

v₁ + v₁′ = v₂′ + v₂

السرعة النسبية في الاصطدام المرن · המהירות היחסית מתהפכת

v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
v₁ − v₂	السرعة النسبية (سرعة الاقتراب) قبل الاصطدام	[m/s]
v₁′ − v₂′	السرعة النسبية (سرعة الابتعاد) بعد الاصطدام	[m/s]

بالكلمات: في الاصطدام المرن تنعكس السرعة النسبية بين الجسمين في اتّجاهها وتحافظ على مقدارها: الجسمان يبتعدان أحدهما عن الآخر بالسرعة نفسها التي كانا يقتربان بها. هذه المعادلة خطّية، ونحلّها مع معادلة حفظ كمّيّة الحركة بدلا من معادلة الطاقة — فنتخلّص من التربيع. وهي أيضا فحص سريع: إذا لم تنعكس السرعة النسبية فالاصطدام ليس مرنا.

طريقة العمل: طريقة حلّ الاصطدام المرن في بُعد واحد: (1) نختار اتّجاها موجبا ونكتب السرعات بإشاراتها. (2) نكتب حفظ كمّيّة الحركة. (3) نكتب انعكاس السرعة النسبية. (4) نحلّ المعادلتين الخطّيتين. (5) نفحص بحفظ الطاقة الحركية.

مثال 7.32

كرة كتلتها 2 kg تتحرّك بسرعة 6 m/s وتصطدم اصطداما مرنا بكرة ساكنة كتلتها 4 kg. نحسب سرعة كلّ كرة بعد الاصطدام، ونفحص حفظ الطاقة الحركية.

الحل:

الاتّجاه الموجب هو اتّجاه حركة الكرة الأولى. حفظ كمّيّة الحركة:

m₁·v₁ + 0 = m₁·v₁′ + m₂·v₂′

2 · 6 = 2·v₁′ + 4·v₂′

12 = 2·v₁′ + 4·v₂′

انعكاس السرعة النسبية:

v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)

6 − 0 = v₂′ − v₁′

v₂′ = v₁′ + 6

نعوّض في المعادلة الأولى:

12 = 2·v₁′ + 4·(v₁′ + 6) = 6·v₁′ + 24

v₁′ = 12 − 246 = −2 m/s

v₂′ = −2 + 6 = 4 m/s

الكرة الأولى (الأخفّ) ارتدّت إلى الخلف بسرعة 2 m/s، والثانية انطلقت إلى الأمام بسرعة 4 m/s. فحص بالطاقة:

E_k,1 = 12 · 2 · 6² = 36 J

E_k,2 = 12 · 2 · (−2)² + 12 · 4 · 4² = 4 + 32 = 36 J

الطاقة الحركية محفوظة كما يجب في الاصطدام المرن. (قارنوا مع الاصطدام غير المرن التامّ بالكتلتين نفسيهما: هناك السرعة المشتركة 2 m/s والطاقة بعد الاصطدام 12 J فقط.)

v₁′ = −2 m/s , v₂′ = 4 m/s

مثال 7.33

عربة كتلتها 1 kg تتحرّك يمينا بسرعة 5 m/s، وعربة كتلتها 3 kg تتحرّك نحوها (يسارا) بسرعة 1 m/s. تصطدم العربتان اصطداما مرنا. نحسب سرعتيهما بعد الاصطدام.

الحل:

الاتّجاه الموجب نحو اليمين: v₁ = +5 m/s ، v₂ = −1 m/s. حفظ كمّيّة الحركة:

1 · 5 + 3 · (−1) = 1·v₁′ + 3·v₂′

2 = v₁′ + 3·v₂′

انعكاس السرعة النسبية:

5 − (−1) = −(v₁′ − v₂′)

v₂′ = v₁′ + 6

2 = v₁′ + 3·(v₁′ + 6)

v₁′ = 2 − 184 = −4 m/s

v₂′ = −4 + 6 = 2 m/s

العربة الخفيفة ارتدّت يسارا بسرعة 4 m/s، والثقيلة انعكست حركتها وصارت يمينا بسرعة 2 m/s. فحص بالطاقة:

E_k,1 = 12 · 1 · 5² + 12 · 3 · 1² = 14 J

E_k,2 = 12 · 1 · 4² + 12 · 3 · 2² = 14 J

ونفحص كمّيّة الحركة أيضا: 1 · (−4) + 3 · 2 = 2 kg·m/s — كما قبل الاصطدام.

v₁′ = −4 m/s , v₂′ = 2 m/s

حالات خاصّة من الاصطدام المرن بجسم ساكن – מקרים מיוחדים:

عندما يكون الجسم الثاني ساكنا (v₂ = 0) يمكن حلّ المعادلتين بشكل عامّ، فنحصل على:

v₁′ = m₁ − m₂m₁ + m₂·v₁

v₂′ = 2·m₁m₁ + m₂·v₁

الحالة	v₁′	v₂′	ماذا يحدث؟
m₁ = m₂	0	v₁	تبادل السرعات: الأوّل يتوقّف والثاني ينطلق بسرعة الأوّل (كرات البلياردو)
m₁ ≪ m₂ (جسم خفيف يصطدم بجدار)	≈ −v₁	≈ 0	الخفيف يرتدّ بالسرعة نفسها تقريبا، والثقيل لا يكاد يتحرّك
m₁ ≫ m₂ (جسم ثقيل يصطدم بخفيف)	≈ v₁	≈ 2·v₁	الثقيل يواصل كأنّ شيئا لم يحدث، والخفيف ينطلق بضعف سرعته

حالة الجسم الخفيف الذي يصطدم بجدار ثابت مهمّة: كرة تصطدم بالجدار اصطداما مرنا تعود بالسرعة نفسها مقدارا وبالاتّجاه المعاكس — كمّيّة حركتها تغيّرت بمقدار 2·m·v (كمّيّة الحركة هذه انتقلت إلى الأرض عبر الجدار)، لكنّ طاقتها الحركية لم تتغيّر.

نوع الاصطدام	كمّيّة الحركة	الطاقة الحركية	السرعة النسبية بعد الاصطدام
مرن	محفوظة	محفوظة	تنعكس وتحافظ على مقدارها
غير مرن (جزئيا)	محفوظة	تقلّ	تنعكس ويصغر مقدارها
غير مرن تامّ (التصاق)	محفوظة	تقلّ بأكبر قدر ممكن	صفر — سرعة مشتركة

ملاحظة: وهل توجد اصطدامات تزداد فيها الطاقة الحركية؟ نعم — عندما تنطلق طاقة مخزونة أثناء التلامس، كنابض مضغوط بين عربتين يتحرّر، أو انفجار قذيفة إلى شظايا. هذه «الاصطدامات العكسية» تخضع لحفظ كمّيّة الحركة أيضا، والطاقة الحركية الزائدة مصدرها طاقة المرونة الوضعية أو الكيميائية المخزونة.

مثال 7.34

عربتان كتلتاهما 1 kg و 3 kg ساكنتان على سطح أفقي أملس، وبينهما نابض مضغوط مخزون فيه 6 J، مربوطتان بخيط. نقطع الخيط فتنطلق العربتان في اتّجاهين متعاكسين. نحسب سرعة كلّ عربة بعد انفصالها عن النابض، وكيف تتوزّع الطاقة بينهما.

الحل:

لا قوى خارجية أفقية: كمّيّة الحركة الكلّية محفوظة، وكانت صفرا قبل القطع. الاتّجاه الموجب نحو اليمين (العربة الثانية):

0 = −m₁·v₁ + m₂·v₂

v₂ = m₁m₂·v₁ = v₁3

كلّ طاقة المرونة الوضعية تتحوّل إلى طاقة حركية (النابض والسطح أملسان):

12·m₁·v₁² + 12·m₂·v₂² = 6

12 · 1 · v₁² + 12 · 3 · (v₁3)² = 6

23·v₁² = 6

v₁ = 3 m/s , v₂ = 1 m/s

توزيع الطاقة: العربة الخفيفة تحصل على 12 · 1 · 3² = 4.5 J والثقيلة على 1.5 J فقط — الطاقة تتوزّع عكسيا مع الكتلة، لأنّ كمّيّتي الحركة متساويتان بالمقدار و E_k = p²2·m. هذا هو مبدأ الارتداد الذي تعلّمناه في الفصل السادس، بلغة الطاقة.

v₁ = 3 m/s , v₂ = 1 m/s

سؤال 7.17: كرة كتلتها 1 kg تتحرّك بسرعة 4 m/s وتصطدم اصطداما مرنا بكرة ساكنة كتلتها 3 kg. احسبوا سرعتي الكرتين بعد الاصطدام، وتحقّقوا من حفظ الطاقة الحركية.

سؤال 7.18: عربتان متساويتا الكتلة تتحرّكان إحداهما نحو الأخرى بسرعتين 3 m/s و 2 m/s. ما سرعتاهما بعد اصطدام مرن؟ وما سرعتهما المشتركة بعد اصطدام غير مرن تامّ، وما نسبة الطاقة المفقودة فيه؟

▶تجربة حية — الطاقة في الاصطدامنغيّر الكتلتين والسرعتين ودرجة المرونة من التصاق تامّ إلى اصطدام مرن، ونتابع عمود كمّيّة الحركة الذي لا يتغيّر وعمود الطاقة الحركية الذي يقلّ، ومقياس السرعة النسبية.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#ecol

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#ecol

הספק ונצילות – القدرة والكفاءة (Power and Efficiency)

القدرة – הספק:

رافعتان ترفعان الحِمل نفسه إلى الارتفاع نفسه، فتبذلان الشغل نفسه؛ لكنّ إحداهما تنجزه في دقيقة والأخرى في عشر دقائق. الشغل لا يميّز بينهما — ما يميّز بينهما هو معدّل بذل الشغل.

القدرة (הספק): هي الشغل المبذول في وحدة الزمن (أو الطاقة المتحوّلة في وحدة الزمن): P = Wt. وحدتها الواط (ואט): 1 W = 1 J/s.

عندما تؤثّر قوّة ثابتة F بمحاذاة حركة جسم يتحرّك بسرعة v، يكون الشغل في زمن t هو W = F·d = F·v·t، ومنه قدرة القوّة:

القدرة · הספק

P = Wt

P = F·v

الرمز	المعنى	وحدة القياس
P	القدرة	[W]
W	الشغل المبذول (أو الطاقة المتحوّلة)	[J]
t	الزمن	[s]
F	القوّة بمحاذاة الحركة	[N]
v	السرعة	[m/s]

الصيغة P = F·v تصلح أيضا للقدرة اللحظية عندما تتغيّر السرعة. وحدات شائعة: الكيلوواط 1 kW = 1000 W. ومن القدرة نحصل على وحدة طاقة عملية: الكيلوواط-ساعة 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6·10⁶ J، وهي الوحدة التي تظهر في فاتورة الكهرباء.

مثال 7.35

محرّك مصعد يرفع مقصورة كتلتها (مع الركّاب) 600 kg بسرعة ثابتة 2 m/s. نحسب القدرة التي يبذلها المحرّك، والشغل الذي يبذله في رحلة صعود مدّتها 15 s.

الحل:

السرعة ثابتة، فمحصّلة القوى صفر والقوّة التي يؤثّر بها الكابل تساوي الوزن:

F = m·g = 600 · 10 = 6000 N

P = F·v = 6000 · 2 = 12000 W = 12 kW

الشغل في 15 s:

W = P·t = 12000 · 15 = 180000 J

وهو بالضبط m·g·h للارتفاع h = v·t = 30 m — الشغل تحوّل كلّه إلى طاقة وضعية.

P = 12 kW , W = 180000 J

مثال 7.36

سيّارة تسير على طريق أفقي بسرعة ثابتة 30 m/s (108 km/h)، وتؤثّر عليها قوى مقاومة (هواء واحتكاك) محصّلتها 500 N. نحسب قدرة المحرّك.

الحل:

بسرعة ثابتة تساوي القوّة الدافعة للمحرّك قوى المقاومة. القدرة:

P = F·v = 500 · 30 = 15000 W = 15 kW

لو تضاعفت السرعة لتضاعفت القدرة اللازمة — بل أكثر، لأنّ مقاومة الهواء نفسها تكبر مع السرعة.

P = 15 kW

الكفاءة – נצילות:

لا يحوّل أيّ محرّك كلّ الطاقة التي يستهلكها إلى شغل مفيد: جزء منها يتحوّل دائما إلى حرارة بفعل الاحتكاك والمقاومة الكهربائية. النسبة بين ما نحصل عليه وما ندفعه تسمّى الكفاءة.

الكفاءة (المردود) (נצילות): هي النسبة بين الطاقة (أو القدرة) المفيدة التي تخرج من الآلة وبين الطاقة (أو القدرة) التي تستهلكها: η = E_outE_in. الكفاءة عدد بلا وحدة، بين 0 و 1، ونعبّر عنها عادة بالنسبة المئوية. لا توجد آلة كفاءتها 100 %.

الكفاءة · נצילות

η = E_outE_in = P_outP_in

E_in = E_out + Q

الرمز	المعنى	وحدة القياس
η	الكفاءة	[—]
E_out , P_out	الطاقة أو القدرة المفيدة	[J] , [W]
E_in , P_in	الطاقة أو القدرة المستهلكة	[J] , [W]
Q	الطاقة المهدورة (حرارة)	[J]

مثال 7.37

محرّك المصعد في المثال السابق يستهلك من الشبكة قدرة كهربائية مقدارها 15 kW. نحسب كفاءته، والقدرة المهدورة حرارة.

الحل:

η = P_outP_in = 1200015000 = 0.8 = 80 %

P_lost = P_in − P_out = 15000 − 12000 = 3000 W

في كلّ ثانية يتحوّل 3000 J إلى حرارة في المحرّك وفي الكابلات.

η = 80 % , P_lost = 3 kW

سؤال 7.19: رافعة ترفع حِملا كتلته 200 kg إلى ارتفاع 15 m خلال 20 s بسرعة ثابتة. احسبوا القدرة المفيدة، والقدرة التي يستهلكها محرّكها إذا كانت كفاءته 75 %.

▶تجربة حية — القدرة والكفاءةنغيّر كتلة الحِمل وسرعة الرفع والقدرة المستهلكة من الشبكة، ونقرأ القدرة المفيدة والقدرة المهدورة والكفاءة.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#mpower

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_energy#mpower

أهمّ أفكار الفصل:

الشغل يقيس ما تنقله القوّة من طاقة على طول الإزاحة: موجب عندما تدفع القوّة الحركة، سالب عندما تعرقلها، وصفر عندما تكون عمودية عليها.
شغل محصّلة القوى يساوي دائما التغيّر في الطاقة الحركية — في كلّ مسار، مستقيما كان أو منحنيا، ولكلّ قوّة، ثابتة أو متغيّرة.
شغل قوّة متغيّرة هو المساحة المحصورة بين الرسم البياني للقوّة كدالّة للموقع وبين محور الموقع: موجبة فوق المحور وسالبة تحته.
القوّة الحافظة (الجاذبية والنابض) لا يتعلّق شغلها بالمسار، ولذلك نخزّنه في طاقة وضعية؛ الاحتكاك قوّة غير حافظة ولا طاقة وضعية له.
عندما تبذل القوى الحافظة وحدها شغلا تبقى الطاقة الميكانيكية ثابتة: الطاقة الحركية والطاقة الوضعية تتبادلان الأدوار والمجموع محفوظ.
الاحتكاك لا يفني الطاقة بل يحوّلها إلى طاقة داخلية؛ النقص في الطاقة الميكانيكية يساوي حاصل ضرب قوّة الاحتكاك في طول الطريق المقطوع.
في الدائرة العمودية نجمع أداتين: الطاقة تربط السرعات بين النقاط، والقوى في الاتّجاه الراديالي تعطي قوّة الشدّ أو القوّة العمودية؛ والجسم ينفصل عن المسار في النقطة التي تنعدمان فيها.
كمّيّة الحركة محفوظة في كلّ اصطدام، أمّا الطاقة الحركية فتُحفَظ في الاصطدام المرن فقط؛ القدرة هي معدّل بذل الشغل، والكفاءة هي نسبة الطاقة المفيدة إلى الطاقة المستهلكة.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
الطاقة الحركية	E_k = 12·m·v²
شغل قوّة ثابتة	W = F·d·cos θ
شغل قوّة متغيّرة (المساحة تحت الرسم البياني)	W = ΣF·Δx
شغل شدّ النابض	W = 12·k·x²
نظرية الشغل والطاقة	ΣW = ΔE_k = 12·m·v² − 12·m·v₀²
طاقة الثقل الوضعية	U_G = m·g·h , W_mg = −ΔU_G
طاقة المرونة الوضعية	U_sp = 12·k·x²
الطاقة الميكانيكية	E = E_k + U_G + U_sp
حفظ الطاقة الميكانيكية	E₁ = E₂
مع الاحتكاك	E₁ = E₂ + f_k·s
دائرة عمودية — النقطة الدنيا	T_A − m·g = m·v_A²R
دائرة عمودية — النقطة العليا	T_B + m·g = m·v_B²R
أدنى سرعة في النقطة العليا	v_B,min = g·R , v_A,min = 5·g·R
الاصطدام المرن	v₁ − v₂ = −(v₁′ − v₂′)
اصطدام مرن بجسم ساكن	v₁′ = m₁ − m₂m₁ + m₂·v₁ , v₂′ = 2·m₁m₁ + m₂·v₁
القدرة	P = Wt = F·v
الكفاءة	η = E_outE_in = P_outP_in

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الشغل	עבודה	Work
الطاقة الحركية	אנרגיה קינטית	Kinetic energy
الجول	ג'אול	Joule
نظرية الشغل والطاقة	משפט עבודה–אנרגיה	Work–energy theorem
القوّة الحافظة	כוח משמר	Conservative force
القوّة غير الحافظة	כוח שאינו משמר	Non-conservative force
طاقة الثقل الوضعية (الطاقة الكامنة)	אנרגיה פוטנציאלית כובדית	Gravitational potential energy
طاقة المرونة الوضعية	אנרגיה פוטנציאלית אלסטית	Elastic potential energy
مستوى الصفر	גובה האפס	Reference level
الطاقة الميكانيكية	אנרגיה מכנית	Mechanical energy
حفظ الطاقة الميكانيكية	שימור האנרגיה המכנית	Conservation of mechanical energy
الطاقة الداخلية	אנרגיה פנימית	Internal energy
الحركة في دائرة عمودية	תנועה במעגל אנכי	Vertical circular motion
الانفصال عن المسار	הינתקות מן המסלול	Leaving the track
الاصطدام المرن	התנגשות אלסטית	Elastic collision
الاصطدام غير المرن (اللدن)	התנגשות פלסטית	Inelastic collision
السرعة النسبية	מהירות יחסית	Relative velocity
البندول البالستي	מטוטלת בליסטית	Ballistic pendulum
القدرة	הספק	Power
الواط	ואט	Watt
الكفاءة (المردود)	נצילות	Efficiency

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 7.1) عدّاء كتلته 70 kg يركض بسرعة 8 m/s. احسبوا طاقته الحركية. بأيّ سرعة يجب أن يركض لتتضاعف طاقته الحركية؟

الإجابات: E_k = 2240 J ؛ v = 11.31 m/s

(للبند 7.1) تُسحب عربة على أرضية أفقية مسافة 10 m بقوّة 40 N تصنع زاوية 60° مع الأفق. احسبوا شغل القوّة. إذا أثّرت على العربة قوّة احتكاك مقدارها 5 N، ما هو الشغل الكلّي؟

الإجابات: W_F = 200 J ؛ ΣW = 150 J

(للبند 7.2) كتاب كتلته 0.8 kg يُرفع من الأرض إلى رفّ ارتفاعه 1.6 m. احسبوا التغيّر في طاقة الثقل الوضعية وشغل قوّة الجاذبية أثناء الرفع. ما طاقة الكتاب الوضعية على الرفّ بالنسبة إلى سطح طاولة ارتفاعها 0.8 m؟

الإجابات: ΔU_G = 12.8 J ، W_mg = −12.8 J ؛ بالنسبة إلى الطاولة U_G = 6.4 J

(للبند 7.2) نابض ثابته 250 N/m ضُغط بمقدار 8 cm. احسبوا طاقة المرونة الوضعية المخزونة فيه. كم تصبح الطاقة إذا ضُغط النابض ضعف هذا المقدار؟

الإجابات: U_sp = 0.8 J ؛ 3.2 J — أربعة أضعاف

(للبند 7.3) طفل ينزلق من السكون على منزلق أملس ارتفاعه 3.2 m. احسبوا سرعته في أسفل المنزلق. هل تتغيّر النتيجة إذا كان المنزلق أطول وأقلّ انحدارا، بالارتفاع نفسه؟

الإجابات: v = 2·g·h = 8 m/s ؛ لا — السرعة تتعلّق بالارتفاع فقط

(للبند 7.3) جسم يُحرَّر من السكون من ارتفاع 5 m على سطح مائل أملس، ثم يصل إلى أرضية أفقية خشنة معامل الاحتكاك فيها 0.25. على أيّ مسافة من بداية الأرضية الخشنة يتوقّف؟ بيّنوا أنّ الجواب لا يتعلّق بالكتلة ولا بزاوية السطح.

الإجابات: d = hμ = 20 m

(للبند 7.4) سيّارة تعبر قمّة تلّة نصف قطر تقوّسها 50 m. ما أقصى سرعة (بالمتر في الثانية وبالكيلومتر في الساعة) تعبر بها القمّة دون أن تنفصل عن الطريق؟ إذا عبرت بسرعة 10 m/s، ما النسبة بين القوّة العمودية ووزنها؟

الإجابات: v_max = 22.36 m/s = 80.5 km/h ؛ Nm·g = 0.8

(للبند 7.5) عربة كتلتها 4 kg تتحرّك بسرعة 5 m/s وتصطدم بعربة ساكنة كتلتها 6 kg فتلتصقان. احسبوا سرعتهما المشتركة، والطاقة الحركية قبل الاصطدام وبعده، ونسبة الطاقة المفقودة.

الإجابات: v = 2 m/s ؛ E_k,1 = 50 J ، E_k,2 = 20 J ؛ فُقد 60 %

(للبند 7.5) كرة كتلتها 3 kg تتحرّك بسرعة 4 m/s وتصطدم اصطداما مرنا بكرة ساكنة كتلتها 1 kg. احسبوا سرعتي الكرتين بعد الاصطدام، وتحقّقوا من حفظ الطاقة الحركية.

الإجابات: v₁′ = 2 m/s ، v₂′ = 6 m/s ؛ E_k = 24 J قبل وبعد

10.

(للبند 7.6) محرّك مصعد يرفع مقصورة كتلتها 300 kg بسرعة ثابتة 1.5 m/s. احسبوا القوّة التي يؤثّر بها الكابل على المقصورة، والقدرة المفيدة للمحرّك.

الإجابات: F = m·g = 3000 N ، P = F·v = 4500 W = 4.5 kW

11.

(للبند 7.6) رافعة ترفع حِملا كتلته 500 kg إلى ارتفاع 20 m خلال 25 s بسرعة ثابتة. احسبوا القدرة المفيدة. إذا كانت كفاءة المحرّك 80 %، ما القدرة التي يستهلكها؟ وكم جولا تُهدر حرارة في كلّ ثانية؟

الإجابات: P_out = 4000 W ؛ P_in = 5000 W ؛ 1000 J في الثانية

تمارين تلخيصية:

نابض ثابته 150 N/m. احسبوا الشغل اللازم لشدّه 20 cm من طوله الطبيعي، ثم الشغل اللازم لشدّه من 20 cm إلى 30 cm. لماذا يكبر الشغل في المرحلة الثانية؟

الإجابات: W₁ = 3 J ؛ W_1→2 = 3.75 J — القوّة تكبر مع الاستطالة

الرسم البياني يصف القوّة المؤثّرة على جسم كتلته 2 kg بمحاذاة حركته كدالّة للموقع. الجسم ينطلق من السكون في x = 0 على سطح أملس. احسبوا الشغل الكلّي حتى x = 5 m، وسرعة الجسم هناك.

الإجابات: W = 35 J ؛ v = 5.92 m/s

سيّارة كتلتها 800 kg تسير بسرعة 25 m/s وتتوقّف بعد كبح على مسافة 50 m. احسبوا قوّة الكبح (الثابتة) بواسطة نظرية الشغل والطاقة. ما مسافة الكبح بالقوّة نفسها من سرعة 50 m/s؟

الإجابات: F = 5000 N ؛ d = 200 m

بندول طوله 1.5 m وكتلة جسمه 0.4 kg يُحرَّر من السكون عندما يصنع الخيط زاوية 37° مع العمودي. احسبوا سرعة الجسم في أدنى نقطة وقوّة الشدّ في الخيط هناك.

الإجابات: h = 0.3 m ، v = 2.45 m/s ، T = 5.6 N

جسم كتلته 3 kg ينزلق من السكون على سطح مائل خشن طوله 4 m وزاوية ميله 53°، ومعامل الاحتكاك الحركي 0.2. احسبوا الطاقة التي تحوّلت إلى طاقة داخلية على طول السطح، وسرعة الجسم في أسفله.

الإجابات: Q = 14.4 J ؛ v = 7.38 m/s

عربة كتلتها 0.5 kg تُحرَّر من السكون على مسار أملس ينتهي بحلقة عمودية نصف قطرها 0.8 m.
أ. ما أدنى ارتفاع تحرير لإكمال الحلقة؟
ب. حُرّرت العربة من ارتفاع 2.8 m: احسبوا سرعتها في النقطة العليا والقوّة العمودية هناك.

الإجابات: h_min = 2 m ؛ v_B = 4.9 m/s ، N_B = 10 N

رصاصة كتلتها 20 g تنطلق بسرعة 300 m/s وتنغرس في كتلة خشبية معلّقة كتلتها 1.98 kg. احسبوا السرعة المشتركة بعد الاصطدام، الارتفاع الذي ترتفع إليه الكتلة، والطاقة التي تحوّلت إلى طاقة داخلية.

الإجابات: v = 3 m/s ؛ h = 0.45 m ؛ Q = 891 J

تمارين تعمّق:

(*) جسم كتلته 1 kg يُضغط على نابض ثابته 400 N/m حتى ينضغط النابض 20 cm، على سطح أفقي أملس. بين النابض وأسفل سطح مائل أملس يقع مقطع خشن AB طوله 1.5 m ومعامل الاحتكاك الحركي فيه 0.2. نحرّر الجسم.
(أ) احسبوا سرعته لحظة انفصاله عن النابض.
(ب) إلى أيّ ارتفاع يصل على السطح المائل؟
(ج) ما أقصى انضغاط للنابض بعد عودة الجسم؟
(د) أين يتوقّف الجسم نهائيا؟

الإجابات: (أ) v = 4 m/s (ب) h = 0.5 m (ج) x = 10 cm (د) داخل المقطع الخشن، على بعد 1 m من طرفه القريب من النابض

(*) كرة تتحرّك على سطح أفقي أملس بسرعة v₁ وتصطدم اصطداما مرنا بكرة ساكنة مساوية لها في الكتلة. بعد الاصطدام تدخل الكرة الثانية حلقة عمودية ملساء نصف قطرها 0.5 m.
(أ) ما أدنى سرعة v₁ تسمح للكرة الثانية بإكمال الحلقة؟ وماذا يحدث للكرة الأولى في هذه الحالة؟
(ب) إذا كانت v₁ = 4 m/s، على أيّ ارتفاع فوق أسفل الحلقة تنفصل الكرة الثانية عن المسار؟

الإجابات: (أ) v₁ = 5·g·R = 5 m/s ؛ الكرة الأولى تتوقّف تماما (تبادل السرعات) (ب) cos φ = −0.4 ، h = 0.7 m

(*) سيّارة كتلتها 1200 kg تصعد طريقا مستقيما ميله sin θ = 0.1 بسرعة ثابتة 20 m/s، وتؤثّر عليها قوى مقاومة محصّلتها 400 N.
(أ) احسبوا القوّة الدافعة وقدرة المحرّك.
(ب) على طريق أفقي تبلغ قوى المقاومة 800 N بسبب السرعة العالية؛ ما أقصى سرعة تصل إليها السيّارة بالقدرة نفسها؟
(ج) إذا كان المحرّك يحوّل 25 % فقط من طاقة الوقود إلى شغل مفيد، بأيّ معدّل تُستهلك طاقة الوقود أثناء الصعود؟

الإجابات: (أ) F = 1600 N ، P = 32 kW (ب) v_max = 40 m/s (ج) P_in = 128 kW

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

7.1 v = 42.4 m/s ؛ الطاقة الثانية 27 J

7.2 W = 180 J ، N = 248 N

7.3 W = 0.9 J ؛ لا يتغيّر، لأنّ x مرفوعة إلى التربيع

7.4 W_T = 60 J ، W_mg = −40 J ، W_N = 0 ؛ v = 4.47 m/s

7.5 W_f = −9 J ، d = 6 m ؛ لا تتعلّق بالكتلة

7.6 ΔU_G = 7200 J ، W_mg = −7200 J ؛ لا يتغيّر شيء — الجاذبية قوّة حافظة

7.7 x = 5 cm ؛ U_sp = 9 J

7.8 h = 34·h₀ = 3.75 m

7.9 v = 20.4 m/s ؛ لا، السرعة لا تتعلّق بالكتلة

7.10 h = 0.4 m فوق موضع الإطلاق (أي 20 cm فوق الطرف الحرّ للنابض)

7.11 x = 28.3 cm ؛ h = 1 m

7.12 E_lost = 250 J ، f = 25 N

7.13 تصل إلى h = 1.2 m ؛ تعبر المقطع مرّتين كاملتين وتتوقّف في العبور الثالث

7.14 N = 3·m·g·cos φ = 3 N ؛ عند cos φ = 23 أي φ = 48.2°

7.15 v_B,min = 3.87 m/s ، T_A = 12 N (أي 6·m·g)

7.16 h_min = 2 m ؛ لا تصل؛ تنفصل على ارتفاع 1.333 m فوق أسفل الحلقة

7.17 v₁′ = −2 m/s ، v₂′ = 2 m/s ؛ E_k = 8 J قبل وبعد

7.18 مرن: تبادل السرعات — 3 m/s و 2 m/s بالاتّجاهين المعاكسين؛ غير مرن تامّ: v = 0.5 m/s، الطاقة المفقودة 96.2 %

7.19 P_out = 1500 W ، P_in = 2000 W

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 7

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الميكانيكا (מכניקה — 36361): حتى سنة 2025 نعرض النسخة العربية الرسمية للامتحان، ومن سنة 2026 النسخة العبرية كما يحصل عليها الطالب في قاعة الامتحان. تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 4 — مسار مائل وأربع تجارب — مبرهنة الشغل والطاقة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	الارتفاع في التجربة الأولى	h = 0.80 m
ب	شغل قوّة الاحتكاك في التجربة الثانية	W(f) = −0.16 J
ج		v ≈ 3.1 m/s
د	شغل القوّة الخارجيّة في التجربة الثالثة	W(F) = 0.80 J
هـ	القوّة الأفقيّة في التجربة الرابعة	بلغ الجسم السرعة 4 m/s قبل النقطة A₁

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2026 السؤال 3 — مسار مع حلقة عموديّة — حفظ الطاقة، حركة دائريّة وقذف مائل

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ		H = 1.1 m = 110 cm
ب		المخطّط 3 — مركّبة قطريّة نحو المركز ومركّبة مماسّيّة معاكسة لاتّجاه الحركة
ج	سرعة الارتطام بالأرض	v = 4.69 m/s بزاوية 47° تحت الأفق
د(1)		قوّتان فقط، كلتاهما عموديّتان إلى الأسفل — الثقالة mg والردّ العموديّ N
د(2)	ارتفاع التحرير الأدنى	H₁ = 2.5·r = 0.25 m = 25 cm
هـ	أقصى ارتفاع بعد المغادرة	أقصى ارتفاع أصغر من H — وهو 0.588 m مقابل H = 1.1 m

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 5 — جسم على سطح أفقيّ خشن بقوّة متغيّرة — المساحة تحت الرسم البيانيّ، شغل الاحتكاك ومسافة التوقّف

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	ماذا تُعبّر عنه المساحة وكم مقدارها	المساحة تُعبّر عن شغل القوّة F · W_F = 15 + 20 = 35 J
ب		W_الاحتكاك = −μ·m·g·x_A = −20 J
ج		½·m·v_A² = 35 − 20 = 15 J · v_A² = 15 m²/s² · v_A = 3.87 m/s
د		d = 3.75 m · x_B = 5 + 3.75 = 8.75 m
هـ	المقارنة بين x_C و x_B	التعبير الصحيح هو رقم 3 · x_C أكبر من x_B

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 5 — سطح مائل أملس وسطح أفقيّ خشن — حفظ الطاقة، معامل الاحتكاك، تصادم مرن ومقارنة الدفعَين

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	حفظ الطاقة الميكانيكيّة وحفظ كمّيّة الحركة	أ(1) على المنحدر الأملس تُحفَظ ، وعلى السطح الخشن لا تُحفَظ · أ(2) لا تُحفَظ كمّيّة الحركة في القطعتَين ، لأنّ محصّلة القوى في كلتَيهما تختلف عن الصفر
ب	حساب معامل الاحتكاك للجسم A	μ = 0.4 ، مقدار عديم الوحدات · السرعة في القاع 3.46 m/s والتباطؤ على السطح 4 m/s²
ج	المسافة التي سيقطعها الجسم B	المسافة متساوية بالضبط ، x الخاصّة بـ B تساوي x الخاصّة بـ A وتساوي 1.5 m ، لأنّ الكتلة تُختصر ولذلك x تساوي h مقسومًا على μ
د	الدفع الذي أثّر على الجسم B في التصادم	J الخاصّ بـ B يساوي سالب 2.4 N·s · مقداره 2.4 N·s أي 2.4 kg·m/s ، واتّجاهه إلى اليسار أي في الاتّجاه السالب
هـ	مقارنة الدفعَين في المنحدرَين	التعبير الصحيح هو رقم 2 ، أي J₁ يساوي J₂ ، لأنّ دفع المحصّلة يساوي m·v والسرعة في القاع تتعلّق بالارتفاع H فقط

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2023 السؤال 4 — سكّة ملساء مع حلقة عموديّة — استخراج نصف القطر والكتلة من قراءة المجسّ في أعلى الحلقة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ (1)		قوّتان فقط ، كلتاهما عموديًّا نحو الأسفل باتّجاه المركز O : قوّة الجاذبيّة mg من الكرة الأرضيّة ، والقوّة العموديّة N من السكّة. لا يوجد احتكاك ولا توجد قوّة مركزيّة منفصلة
أ (2)	تعبير القوّة على المجسّ كدالّة لـ h	N_C = 2·m·g·h مقسومًا على R ، ناقص 5·m·g
ب	الرسم المبعثر وخطّ التوجّه	النقاط الخمس تنتظم على مستقيم ، وخطّ التوجّه هو N_C = 1.20·h − 0.47 ، الميل 1.20 N/m والتقاطع −0.47 N
ج	استخراج نصف القطر R وكتلة الكرة m	m = 0.0094 kg ≈ 9.4 g ، R = 0.157 m (نحو 16 سم)
د	الارتفاع الأدنى الذي تُضيء منه اللامبة	h_min = 0.8917 m ≈ 0.89 m ، وكلّ ارتفاع أكبر منه أو مساوٍ له سيُضيء اللامبة
هـ		h₁ = 0.3917 m ≈ 0.39 m · لا ، السرعة في النقطة C لا تساوي صفرًا بل v_C = 1.25 m/s

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 (موعد خاص) السؤال 4 — تجربتان على مستوى مائل 30° — تمييز مستوى عديم الاحتكاك من تساوي السرعتَين، حساب شغل الاحتكاك وقوّة الاحتكاك، قراءة المساحة تحت رسم السرعة وتمييز شكل رسم الطاقة الحركيّة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	حساب السرعة الابتدائيّة v_A	v_A = 3 m/s · لا يوجد احتكاك إطلاقًا في المستوى الأوّل، ولذلك تُحفظ الطاقة الميكانيكيّة
ب	الطاقات في التجربة الثانية، شغل الاحتكاك وقوّة الاحتكاك	E_k,A = 0.9 J ، U_G,A = 0 J ، E_k,B₂ = 0 J ، U_G,B₂ = 0.6 J · W_f = −0.3 J · L = 0.6 m ولذلك f = 0.5 N
ج	المساحة تحت رسم السرعة وحساب الزمن t₁	المساحة تمثّل المسافة التي قطعها الجسم · t₁ = 0.4 s
د	الرسم البيانيّ الذي يصف الطاقة الحركيّة أثناء الصعود	الرسم الصحيح هو الرسم I · E_k = 0.1·(3 − 7.5·t)² دالّة تربيعيّة نازلة مقعّرة نحو الأعلى، تنعدم عند t₁ = 0.4 s

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 السؤال 4 — جسم ينزلق على سكّة القطعة الأفقيّة BC فيها وحدها خشنة، يصطدم مرنًا بالحائط ويعود — من مخطّط القوى وحتّى قراءة h₀ و μ من خطّ التوجّه

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى في القطعة BC	قوّة الجاذبيّة m·g عموديًّا نحو الأسفل (الكرة الأرضيّة) ، القوّة العموديّة N = m·g عموديًّا نحو الأعلى (السكّة) ، قوّة الاحتكاك f = μ·m·g أفقيًّا عكس اتّجاه الحركة (السكّة)
ب	شغل قوّة الاحتكاك من الارتفاع h₀ وحتّى الارتفاع h₁	شغل قوّة الاحتكاك = −2·μ·m·g·ℓ ، شغل سالب ، مكافئ لـ m·g·h₁ − m·g·h₀
ج	تطوير التعبير للارتفاع h_n	h_n = h₀ − 2·μ·ℓ·n
د	الرسم البيانيّ المبعثر وخطّ التوجّه	النقاط تنتظم على مستقيم متناقص ، وخطّ التوجّه هو h_n = 1.491 − 0.193·n ، أي ميل −0.193 m لكلّ قياس وتقاطع 1.491 m
هـ	قراءة الارتفاع الابتدائيّ ومعامل الاحتكاك من الرسم	h₀ = 1.491 m ≈ 1.5 m ، μ = 0.386 ≈ 0.39
و	إشارة شغل القوّة العموديّة من جهة الحائط	الشغل سالب ، لأنّ القوّة العموديّة للحائط هي القوّة الوحيدة التي تبذل شغلًا في التصادم ولذلك W = ΔE_k ، والطاقة الحركيّة انخفضت ، أي W = −m·g·(h₁ − h₁ مع شَرطة)

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2021 (موعد خاص) السؤال 4 — صندوق، مرتقى ومروحة — حفظ الطاقة الميكانيكيّة، شغل قوّة متغيّرة كمساحة تحت الرسم البيانيّ، ووصف الحركة في طريق العودة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ		v الصغرى = 5 m/s، والنتيجة لا تتعلّق بالكتلة.
ب	شغل القوّة من B وحتّى C	شغل القوّة من B وحتّى C هو ناقص 11 جولًا.
ج	البُعد بين B وبين C	BC = جذر 11، أي نحو 3.32 مترًا.
د	وصف الحركة من C وحتّى B	حركة متسارعة، تسارع متغيّر ومتناقص من 3.32 متر لكلّ ثانية مربّعة في النقطة C حتّى الصفر في النقطة B، ومقدار السرعة آخذ في الازدياد حتّى 3.32 متر لكلّ ثانية في النقطة B.

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)