كمّيّة الحركة وحفظها
لماذا يصعب إيقاف شاحنة أكثر من إيقاف درّاجة تسير بالسرعة نفسها؟ ولماذا تحمي الوسادة الهوائية السائق، ولماذا ترتدّ البندقية إلى الخلف عند الإطلاق، وكيف يندفع الصاروخ في الفضاء حيث لا هواء يدفعه؟ في هذا الفصل نتعرّف على مقدار فيزيائي جديد هو كمّيّة الحركة، وعلى الدفع الذي يغيّرها، ثم نصل إلى أحد أهمّ قوانين الفيزياء: قانون حفظ كمّيّة الحركة، ونطبّقه على الاصطدامات والارتداد والانفجار.
- نُعرّف كمّيّة الحركة p = m·v كمتّجه، ونحسب كمّيّة الحركة الكلّية لمنظومة.
- نُعرّف دفع القوّة الثابتة J = F·Δt، ونجد دفع القوّة المتغيّرة من المساحة تحت منحنى القوّة–الزمن.
- نثبت أنّ الدفع الكلّي يساوي التغيّر في كمّيّة الحركة J = Δp، وأنّ القوّة هي معدّل تغيّر كمّيّة الحركة.
- نميّز بين القوى الداخلية والخارجية، ونُعرّف المنظومة المغلقة.
- نستنتج قانون حفظ كمّيّة الحركة من قانون نيوتن الثالث، ونصوغه صياغة دقيقة.
- نطبّق القانون على الاصطدامات المباشرة وفي المستوى، على الارتداد، على النابض المضغوط والانفجار، وعلى الدفع الصاروخي.
מתקף, תנע והקשר ביניהם – الدفع، كمّيّة الحركة والعلاقة بينهما (Impulse and Momentum)
كمّيّة الحركة – תנע:
عندما تريد إيقاف جسم متحرّك، لا تكفي معرفة سرعته: إيقاف شاحنة تسير بسرعة 5 m/s أصعب بكثير من إيقاف كرة بالسرعة نفسها. المقدار الذي يجمع بين الكتلة والسرعة هو كمّيّة الحركة.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| p | كمّيّة الحركة | [kg·m/s] |
| m | كتلة الجسم | [kg] |
| v | سرعة الجسم | [m/s] |
لكمّيّة الحركة وجهان يجب أن نتذكّرهما دائما: الأوّل أنّها تتناسب مع الكتلة ومع السرعة معا، فجسم ثقيل بطيء وجسم خفيف سريع قد تكون لهما كمّيّة الحركة نفسها؛ والثاني أنّها متّجه: جسمان يتحرّكان بالسرعة نفسها في اتّجاهين متعاكسين لهما كمّيّتا حركة متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الإشارة.
| الجسم | الكتلة | السرعة | كمّيّة الحركة |
|---|---|---|---|
| رصاصة | 0.01 kg | 800 m/s | 8 kg·m/s |
| كرة قدم | 0.45 kg | 20 m/s | 9 kg·m/s |
| إنسان يمشي | 70 kg | 1.5 m/s | 105 kg·m/s |
| سيّارة | 1200 kg | 25 m/s | 30000 kg·m/s |
| شاحنة | 20000 kg | 15 m/s | 300000 kg·m/s |
أ. نحسب كمّيّة حركتها.
ب. نقارنها بكمّيّة حركة رصاصة كتلتها 10 g تنطلق بسرعة 800 m/s.
ج. ما هي كمّيّة حركة السيّارة إذا سارت غربا بالسرعة نفسها؟
أ. نختار اتّجاه الشرق موجبا:
ب. نحوّل كتلة الرصاصة إلى كيلوغرام: m = 0.01 kg:
كمّيّة حركة السيّارة أكبر بـ 3000 مرّة رغم أنّ الرصاصة أسرع بأربعين مرّة، لأنّ الكتلة أكبر بمئة وعشرين ألف مرّة.
ج. السرعة الآن في الاتّجاه السالب v = −20 m/s:
المقدار نفسه، لكنّ الإشارة سالبة: كمّيّة الحركة متّجه.
كمّيّة الحركة الكلّية لمنظومة – התנע הכולל של מערכת:
عندما تتكوّن المنظومة من عدّة أجسام، كمّيّة حركتها الكلّية هي المجموع المتّجه لكمّيّات حركة أجسامها. على خطّ مستقيم نجمع جبريا مع مراعاة الإشارات:
نختار اليمين اتّجاها موجبا، فسرعة الثانية سالبة:
كمّيّة الحركة الكلّية صفر مع أنّ العربتين تتحرّكان! لو جمعنا المقدارين من دون إشارة لحصلنا على 12 kg·m/s، وهذا خطأ.
أ. احسبوا كمّيّة حركتها.
ب. بأيّ سرعة يجب أن يتحرّك جسم كتلته 2 kg لتكون له كمّيّة الحركة نفسها؟
ج. ما هي كمّيّة الحركة الكلّية إذا تحرّك الجسمان في اتّجاهين متعاكسين؟
الدفع — دفع قوّة ثابتة – מתקף של כוח קבוע:
لتغيير كمّيّة حركة جسم نحتاج إلى قوّة، لكنّ القوّة وحدها لا تكفي: قوّة كبيرة تؤثّر لحظة قصيرة قد تغيّر الحركة أقلّ ممّا تغيّرها قوّة صغيرة تؤثّر زمنا طويلا. المقدار الذي يجمع بين القوّة وزمن تأثيرها هو الدفع.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| J | الدفع | [N·s] |
| F | القوّة الثابتة | [N] |
| Δt | زمن تأثير القوّة | [s] |
تمثيل الدفع بيانيا: نرسم القوّة كدالّة للزمن. عندما تكون القوّة ثابتة يكون الرسم خطّا أفقيا، والدفع F·Δt هو بالضبط مساحة المستطيل المحصور بين الخطّ ومحور الزمن: ارتفاعه F وعرضه Δt. هذا التمثيل سيصبح الأداة الأساسية عندما تتغيّر القوّة مع الزمن.
من الصيغة:
من الرسم: مساحة المستطيل الذي ارتفاعه 50 N وعرضه 0.2 s:
دفع قوّة متغيّرة — المساحة تحت منحنى القوّة–الزمن – מתקף של כוח משתנה — השטח מתחת לעקומת כוח–זמן:
في معظم الحالات الواقعية لا تكون القوّة ثابتة: عندما يضرب المضرب الكرة تبدأ القوّة من الصفر، تكبر بسرعة إلى قيمة قصوى، ثم تعود إلى الصفر عند انفصال الكرة. كيف نحسب الدفع عندئذ؟ نقسّم الزمن إلى فترات صغيرة جدا تكون القوّة في كلّ منها ثابتة تقريبا، فيكون دفع كلّ فترة مساحة مستطيل رفيع، والدفع الكلّي مجموع هذه المساحات، أي المساحة تحت منحنى القوّة–الزمن.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| J | الدفع في الفترة الزمنية: المساحة تحت المنحنى | [N·s] |
| Favg | معدّل القوّة: ارتفاع مستطيل عرضه Δt ومساحته تساوي المساحة تحت المنحنى | [N] |
| Δt | الفترة الزمنية | [s] |
الدفع هو مساحة المثلّث الذي قاعدته 0.05 s وارتفاعه 400 N:
معدّل القوّة هو الدفع مقسوما على زمن التلامس كلّه:
لاحظوا أنّ معدّل القوّة نصف القوّة القصوى — وهذا صحيح لكلّ منحنى مثلّثي.
الدفع الكلّي – המתקף הכולל:
عندما تؤثّر على الجسم عدّة قوى في الفترة Δt نفسها، لكلّ قوّة دفعها. الدفع الكلّي هو المجموع المتّجه لدفوع جميع القوى، وهو يساوي دفع محصّلة القوى:
نختار اتّجاه الدفع موجبا. قوّة الجاذبية والقوّة العمودية متساويتان ومتعاكستان، فدفعاهما يلغي أحدهما الآخر. دفع قوّة الدفع ودفع الاحتكاك:
الدفع الكلّي هو مجموعهما، وهو أيضا دفع المحصّلة ΣF = 20 − 5 = 15 N:
الدفع الكلّي كتغيّر في كمّيّة الحركة – המתקף הכולל כשינוי התנע:
نربط الآن بين المفهومين. وفق قانون نيوتن الثاني محصّلة القوى تساوي الكتلة في التسارع، والتسارع هو التغيّر في السرعة مقسوما على الزمن:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| Jtot | الدفع الكلّي (دفع محصّلة القوى) | [N·s] |
| Δp | التغيّر في كمّيّة الحركة p2 − p1 | [kg·m/s] |
| Δt | زمن تأثير القوى | [s] |
هذه العلاقة متّجهة: اتّجاه الدفع الكلّي هو اتّجاه التغيّر في كمّيّة الحركة، وليس بالضرورة اتّجاه الحركة. وهي تصلح أيضا للقوّة المتغيّرة، لأنّ الدفع عندئذ هو المساحة تحت المنحنى. وأهمّ ما يجب الانتباه إليه: Δp هو فرق متّجهين، فإذا انعكس اتّجاه الحركة يكون التغيّر أكبر من كلّ من القيمتين.
نختار الاتّجاه نحو الحائط موجبا: السرعة قبل الاصطدام v1 = +6 m/s وبعده v2 = −4 m/s (الإشارة السالبة لأنّ الكرة ارتدّت):
الإشارة السالبة تعني أنّ التغيّر في كمّيّة الحركة — والدفع — في الاتّجاه المبتعد عن الحائط. الحائط هو القوّة الوحيدة الأفقية، لذلك:
القوّة سالبة: الحائط يدفع الكرة بعيدا عنه بقوّة معدّلها 40 N — نحو عشرين ضعف وزن الكرة.
الدفع الكلّي يساوي التغيّر في كمّيّة الحركة، والجسم بدأ من السكون (p1 = 0):
التحقّق بالطريقة التي تعلّمناها في الفصل الثالث:
الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها؛ ميزة طريقة الدفع أنّها تصلح أيضا عندما لا تكون القوّة ثابتة.
نختار الاتّجاه نحو الأعلى موجبا: v1 = −5 m/s ، v2 = +3 m/s:
معدّل محصّلة القوى من العلاقة ΣF·Δt = Δp:
أثناء التلامس تؤثّر على الكرة قوّتان: قوّة الأرض N نحو الأعلى وقوّة الجاذبية m·g = 4 N نحو الأسفل. المحصّلة هي N − m·g:
دفع الجاذبية خلال زمن التلامس القصير (0.08 N·s) صغير جدا مقارنة بالدفع الكلّي، ولذلك نهمله كثيرا في الاصطدامات القصيرة — لكن في هذا المثال رأينا الحساب الدقيق.
أوّلا نجد السرعتين بصيغ السقوط الحرّ من الفصل الأوّل. سرعة الوصول إلى الأرض:
سرعة الارتداد — الكرة تصعد إلى 1.8 m وتتوقّف هناك:
الأعلى موجب: قبل الاصطدام v1 = −10 m/s وبعده v2 = +6 m/s:
معدّل محصّلة القوى، ثم قوّة الأرض (نضيف الوزن m·g = 5 N):
لاحظوا كيف اجتمع في سؤال واحد الفصل الأوّل (السقوط الحرّ) وهذا الفصل (الدفع) — وهذا شائع جدا في أسئلة البجروت.
الدفع والتغيّر في كمّيّة الحركة من الرسم البياني سرعة–زمن – מתקף ושינוי תנע מגרף מהירות–זמן:
في كثير من أسئلة الامتحان لا تُعطى السرعات مباشرة بل من رسم بياني للسرعة كدالّة للزمن. نقرأ منه السرعة قبل التفاعل وبعده بإشارتيهما، فنحصل على Δp، ونقرأ منه أيضا زمن التفاعل فنحصل على معدّل القوّة.
أ. صفوا حركة الجسم.
ب. احسبوا التغيّر في كمّيّة حركته بين اللحظتين t = 1 s و t = 1.5 s.
ج. احسبوا معدّل محصّلة القوى عليه في هذه الفترة، واتّجاهها.
أ. حتى اللحظة 1 s يتحرّك الجسم بسرعة ثابتة 4 m/s في الاتّجاه الموجب. بين 1 s و 1.5 s تنخفض سرعته بانتظام، تمرّ بالصفر عند t ≈ 1.33 s، وينعكس اتّجاهه؛ وبعد ذلك يتحرّك بسرعة ثابتة 2 m/s في الاتّجاه السالب.
ب. نقرأ السرعتين بإشارتيهما:
ج. زمن التفاعل من الرسم Δt = 1.5 − 1 = 0.5 s:
القوّة في الاتّجاه السالب، وهي ثابتة هنا لأنّ الخطّ مستقيم (الميل ثابت). نتحقّق بقانون نيوتن الثاني:
الدفع هو المساحة تحت المنحنى: مثلّث ومستطيل ومثلّث:
الدفع يساوي التغيّر في كمّيّة الحركة، والجسم لم يبدأ من السكون:
لا نستطيع هنا استعمال v = v0 + a·t لأنّ التسارع ليس ثابتا — طريقة الدفع هي الطريقة المناسبة عندما تتغيّر القوّة.
القوّة كمعدّل تغيّر كمّيّة الحركة – הכוח כקצב שינוי התנע:
إذا قسمنا طرفي العلاقة ΣF·Δt = Δp على Δt حصلنا على صيغة أخرى لقانون نيوتن الثاني، وهي الصيغة التي كتبها نيوتن نفسه:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| ΣF | محصّلة القوى (معدّلها في الفترة Δt) | [N] |
| Δp | التغيّر في كمّيّة الحركة | [kg·m/s] |
| Δt | الفترة الزمنية | [s] |
محصّلة القوى هي معدّل تغيّر كمّيّة الحركة. عندما تكون الكتلة ثابتة تعود هذه الصيغة إلى ΣF = m·a، لكنّها أعمّ منها. ولها نتيجة عملية مهمّة: عند تغيّر معيّن في كمّيّة الحركة، كلّما طال الزمن صغرت القوّة.
هذا هو مبدأ عمل كلّ وسائل الأمان: الوسادة الهوائية تطيل زمن توقّف السائق فتقلّ القوّة عليه؛ مقدّمة السيّارة مصمّمة لتنضغط في الاصطدام لإطالة زمن التوقّف؛ قفّاز اللاعب المبطّن يطيل زمن التقاط الكرة؛ وثني الركبتين عند القفز من ارتفاع يطيل زمن الهبوط. في كلّ الحالات التغيّر في كمّيّة الحركة محدّد سلفا، والشيء الوحيد الذي نتحكّم به هو الزمن.
أ. يهبط بساقين مستقيمتين فيتوقّف خلال 0.05 s.
ب. يثني ركبتيه فيتوقّف خلال 0.5 s.
نختار الأعلى موجبا. في الحالتين كمّيّة الحركة تتغيّر من m·v = 60 · (−6) إلى صفر:
أ. بساقين مستقيمتين:
ب. بثني الركبتين:
في الحالة الأولى المحصّلة تساوي 12 ضعف الوزن (600 N) — قوّة قد تكسر العظام؛ في الثانية 1.2 أضعاف الوزن فقط. قوّة الأرض نفسها أكبر من المحصّلة بمقدار الوزن: N = ΣF + m·g.
التغيّر في كمّيّة الحركة في المستوى – שינוי התנע במישור:
عندما تغيّر الحركة اتّجاهها في المستوى، Δp هو فرق متّجهين غير متوازيين. نحلّل عندئذ كمّيّة الحركة إلى مركّبتين على محورين متعامدين، ونحسب التغيّر في كلّ مركّبة على حدة.
نحلّل السرعة إلى مركّبة أفقية ومركّبة عمودية (الأعلى موجب):
المركّبة الأفقية لا تتغيّر في الاصطدام (الأرض ملساء، لا قوّة أفقية)، فالتغيّر فيها صفر:
المركّبة العمودية تنعكس: قبل الاصطدام −5 m/s وبعده +5 m/s:
التغيّر في كمّيّة الحركة متّجه عمودي على الأرض نحو الأعلى — في اتّجاه القوّة التي أثّرت بها الأرض — مقداره 5 kg·m/s.
חוק שימור התנע – قانون حفظ كمّيّة الحركة (Conservation of Momentum)
المنظومة المغلقة والقوى الداخلية والخارجية – מערכת סגורה וכוחות פנימיים וחיצוניים:
حتى الآن نظرنا إلى جسم واحد وإلى القوى التي تؤثّر عليه. الآن ننظر إلى منظومة من عدّة أجسام، ونميّز بين نوعين من القوى:
| المنظومة | قوى داخلية | قوى خارجية | هل المنظومة مغلقة؟ |
|---|---|---|---|
| عربتان على سكّة أفقية ملساء | قوى التلامس بين العربتين | الجاذبية والقوّة العمودية (تلغي إحداهما الأخرى) | نعم (أفقيا) |
| عربتان على سكّة خشنة | قوى التلامس | الاحتكاك | لا |
| بندقية ورصاصة لحظة الإطلاق | قوّة الغازات على الرصاصة وعلى البندقية | الجاذبية (مهملة في اللحظة القصيرة) | تقريبا |
| كرة تصطدم بحائط | — | قوّة الحائط | لا (الحائط خارج المنظومة) |
| كرة وحائط والأرض كلّها | قوّة الحائط على الكرة | — | نعم |
حفظ كمّيّة الحركة في منظومة من جسمين – שימור התנע במערכת דו-גופית:
لننظر إلى منظومة مغلقة من عربتين على سكّة ملساء تصطدمان. أثناء التلامس، الذي يستمرّ فترة Δt، تؤثّر العربة الأولى على الثانية بقوّة F12، والثانية على الأولى بقوّة F21. وفق قانون نيوتن الثالث هاتان القوّتان متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتّجاه، وتؤثّران خلال الفترة الزمنية نفسها بالضبط. لذلك الدفعان متساويان ومتعاكسان:
التغيّر في كمّيّة حركة العربة الأولى يساوي بالضبط سالب التغيّر في كمّيّة حركة الثانية: ما تخسره إحداهما تكسبه الأخرى. ومن هنا التغيّر في كمّيّة الحركة الكلّية صفر:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| v1 , v2 | سرعتا الجسمين قبل التفاعل | [m/s] |
| v′1 , v′2 | سرعتا الجسمين بعد التفاعل | [m/s] |
| m1 , m2 | كتلتا الجسمين | [kg] |
صياغة القانون – ניסוח החוק:
نؤكّد أربع ملاحظات مهمّة عند استعمال القانون:
- القانون متّجه. على خطّ مستقيم نختار اتّجاها موجبا ونعطي كلّ سرعة إشارتها؛ في المستوى نكتب معادلة حفظ لكلّ محور على حدة.
- الحفظ في كلّ لحظة. كمّيّة الحركة الكلّية ثابتة قبل التفاعل، وأثناءه، وبعده — لا فقط في لحظتي "قبل" و"بعد".
- كمّيّة الحركة تُحفَظ حتى عندما تضيع الطاقة. في اصطدام تلتصق فيه العربتان تتحوّل طاقة حركية كثيرة إلى حرارة وتشوّه، لكنّ كمّيّة الحركة الكلّية لا تتغيّر. (نناقش الطاقة في الفصل السابع.)
- تقريب الاصطدام القصير. إذا كانت القوى الخارجية (مثل الاحتكاك) صغيرة جدا مقارنة بالقوى الداخلية الهائلة أثناء الاصطدام، فإنّ دفعها خلال زمن الاصطدام القصير مهمل، ونعتبر كمّيّة الحركة محفوظة بين اللحظة التي قبل الاصطدام مباشرة واللحظة التي بعده مباشرة.
السكّة ملساء، والجاذبية والقوّة العمودية تلغي إحداهما الأخرى، فالمنظومة مغلقة أفقيا. نختار اتّجاه حركة العربة الأولى موجبا. كمّيّة الحركة الكلّية قبل الاصطدام:
بعد الاصطدام تتحرّك العربتان كجسم واحد كتلته m1 + m2 = 8 kg بسرعة v′:
نساوي كمّيّة الحركة قبل بكمّيّة الحركة بعد:
السرعة موجبة: تتحرّك العربتان في اتّجاه حركة العربة الأولى، وأبطأ منها.
اليمين موجب. كمّيّة الحركة الكلّية قبل الاصطدام (انتبهوا إلى إشارة السرعة الثانية):
بعد الاصطدام سرعة الأولى v′1 = −2 m/s، وسرعة الثانية v′2 مجهولة:
حفظ كمّيّة الحركة:
السرعة موجبة: انعكس اتّجاه العربة الثانية أيضا، وهي تتحرّك الآن يمينا بسرعة 1.6 m/s.
عندما لا تكون المنظومة مغلقة – כשהמערכת אינה סגורה:
إذا أثّرت على المنظومة قوّة خارجية محصّلتها ليست صفرا، فإنّ كمّيّة الحركة الكلّية تتغيّر — وتغيّرها يساوي بالضبط دفع القوى الخارجية: ΣFext·Δt = Δptot. القوى الداخلية لا تستطيع تغيير كمّيّة الحركة الكلّية مهما كانت كبيرة.
الاحتكاك قوّة خارجية على العربة، فكمّيّة حركتها ليست محفوظة. مقدار قوّة الاحتكاك:
دفع الاحتكاك خلال ثانية واحدة (اتّجاه الحركة موجب، والاحتكاك يعاكسه):
نقصت كمّيّة الحركة من 6 kg·m/s إلى 4 kg·m/s، أي أنّ سرعة العربة أصبحت 2 m/s. لو ضممنا الأرض إلى المنظومة لأصبح الاحتكاك قوّة داخلية، ولكانت كمّيّة الحركة الكلّية (عربة + أرض) محفوظة: الأرض تكتسب كمّيّة الحركة التي خسرتها العربة — لكنّ كتلتها هائلة فلا نلاحظ لها أيّ سرعة.
نشاط: فحص قانون الحفظ على سكّة هوائية – פעילות: בדיקת חוק השימור על מסלול אוויר:
| التجربة | m1 | v1 | m2 | v2 | v′ (معا) | pbefore | pafter |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.25 kg | 0.8 m/s | 0.25 kg | 0 m/s | 0.4 m/s | 0.2 kg·m/s | 0.2 kg·m/s |
| 2 | 0.25 kg | 0.8 m/s | 0.5 kg | 0 m/s | 0.27 m/s | 0.2 kg·m/s | 0.203 kg·m/s |
| 3 | 0.25 kg | 0.6 m/s | 0.25 kg | −0.6 m/s | 0 m/s | 0 kg·m/s | 0 kg·m/s |
| 4 | 0.5 kg | 0.4 m/s | 0.25 kg | 0 m/s | 0.27 m/s | 0.2 kg·m/s | 0.203 kg·m/s |
في التجارب كلّها كمّيّة الحركة الكلّية بعد الاصطدام تساوي التي قبله (الفرق الضئيل في التجربتين 2 و 4 ناتج عن دقّة القياس). في التجربة الثالثة كانت كمّيّتا الحركة متساويتين في المقدار ومتعاكستين، فكمّيّة الحركة الكلّية صفر — والعربتان الملتصقتان تتوقّفان تماما.
יישומים של חוק שימור התנע – تطبيقات قانون حفظ كمّيّة الحركة (Applications of Momentum Conservation)
الاصطدامات وأنواعها – התנגשויות וסוגיהן:
| نوع الاصطدام | ماذا يحدث للأجسام؟ | كمّيّة الحركة | الطاقة الحركية الكلّية |
|---|---|---|---|
| اصطدام مرن (אלסטית) | ينفصل الجسمان بعد الاصطدام من دون تشوّه دائم | محفوظة | محفوظة |
| اصطدام غير مرن (לא אלסטית) | ينفصل الجسمان، لكن مع تشوّه أو تسخين | محفوظة | تنقص |
| اصطدام غير مرن تماما (لدن) (פלסטית לחלוטין) | يلتصق الجسمان ويتحرّكان معا بسرعة مشتركة | محفوظة | تنقص أكبر نقصان ممكن |
الاصطدام المباشر غير المرن تماما – התנגשות חזיתית פלסטית לחלוטין:
عندما يلتصق الجسمان تكون لهما سرعة مشتركة واحدة بعد الاصطدام، فيكفي حفظ كمّيّة الحركة لإيجادها:
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| v′ | السرعة المشتركة بعد الاصطدام | [m/s] |
| v1 , v2 | السرعتان قبل الاصطدام (بإشارتيهما) | [m/s] |
الاصطدام قصير جدا والأرض ملساء، فكمّيّة الحركة الأفقية محفوظة. كتلة الرصاصة 0.02 kg، واتّجاه حركتها موجب:
الرصاصة الخفيفة السريعة أعطت كمّيّة حركتها كلّها لجسم أثقل بمئة مرّة، فتحرّك بسرعة أصغر بمئة مرّة.
السيّارتان تتحرّكان في الاتّجاه نفسه، فالسرعتان موجبتان:
السرعة المشتركة بين السرعتين الأصليتين، كما هو متوقّع: الأولى أبطأت والثانية أسرعت.
الاصطدام الأوّل: A تلتصق بـB:
الاصطدام الثاني: AB (كتلتها 3 kg) تلتصق بـC:
طريقة أسرع: كمّيّة الحركة الكلّية للمنظومة كلّها (A وB وC) محفوظة من البداية إلى النهاية، فنستطيع القفز مباشرة إلى الحالة النهائية:
النتيجة نفسها — لأنّ كلّ القوى بين العربات داخلية، ولا يهمّ كم اصطداما حدث بينها.
الاصطدام المباشر المرن – התנגשות חזיתית אלסטית:
في الاصطدام المرن ينفصل الجسمان بسرعتين مختلفتين، فهناك مجهولان. حفظ كمّيّة الحركة يعطينا معادلة واحدة، ولذلك نحتاج إلى معطى إضافي: إمّا سرعة أحد الجسمين بعد الاصطدام (كما في الأمثلة هنا)، وإمّا حفظ الطاقة الحركية (الفصل السابع).
اتّجاه الحركة الأصلي موجب، فسرعة الأولى بعد الاصطدام v′1 = −2 m/s:
الكرة الثانية تتحرّك في الاتّجاه الأصلي بسرعة 4 m/s. لاحظوا: الكرة الخفيفة ترتدّ عندما تصطدم بكرة أثقل منها.
مثال بأسلوب البجروت: قراءة الرسم البياني سرعة–زمن – דוגמה בסגנון הבגרות: קריאת גרף מהירות–זמן:
أ. صفوا ما حدث.
ب. احسبوا كتلة الجسم B.
ج. احسبوا معدّل القوّة التي أثّر بها A على B أثناء الاصطدام، ومعدّل القوّة التي أثّر بها B على A.
أ. حتى اللحظة t = 2 s يتحرّك A بسرعة 6 m/s وB بسرعة 1 m/s في الاتّجاه نفسه، فيلحق A بـB. الاصطدام يستمرّ من 2 s حتى 2.2 s: سرعة A تنخفض إلى 1 m/s وسرعة B ترتفع إلى 3.5 m/s، وبعده يتحرّكان بسرعتين ثابتتين (اصطدام مرن أو غير مرن — لم يلتصقا).
ب. السكّة ملساء فكمّيّة الحركة الكلّية محفوظة: ما خسره A كسبه B. التغيّر في كمّيّة حركة A:
ج. القوّة هي معدّل تغيّر كمّيّة الحركة، وزمن الاصطدام من الرسم Δt = 0.2 s:
وفق قانون نيوتن الثالث القوّة التي أثّر بها B على A مساوية في المقدار ومعاكسة في الاتّجاه: FB→A = −50 N. يمكن التحقّق من الرسم: ميل خطّ A أثناء الاصطدام هو تسارعه، ومنه القوّة:
الاصطدام في المستوى — الحفظ بالمركّبات – התנגשות במישור — שימור ברכיבים:
عندما لا يكون الاصطدام مباشرا يتحرّك الجسمان بعده في اتّجاهين مختلفين داخل المستوى. قانون حفظ كمّيّة الحركة قانون متّجه، ولذلك يتحقّق في كلّ محور على حدة: نختار محورين متعامدين x وy، ونكتب معادلة حفظ لكلّ منهما.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| v1x , v1y | مركّبتا سرعة الجسم 1 على المحورين | [m/s] |
| v′ | السرعة بعد الاصطدام | [m/s] |
مركّبة متّجه مقداره v يصنع زاوية θ مع المحور x هي v·cos θ على المحور x و v·sin θ على المحور y، مع الإشارة حسب الاتّجاه. في الامتحان نستعمل التقريبين sin 37° ≈ 0.6 و cos 37° ≈ 0.8 (ومنهما sin 53° ≈ 0.8 ، cos 53° ≈ 0.6).
نختار المحور x في اتّجاه الحركة الأصلية والمحور y نحو الأعلى. الكتلتان متساويتان فتُختصر m من كلّ المعادلات. حفظ المركّبة y (قبل الاصطدام لا توجد حركة في اتّجاه y):
حفظ المركّبة x:
نعوّض v′2 = 0.75·v′1:
نتحقّق في المحور y: 0.2 · 4 · 0.6 = 0.48 و 0.2 · 3 · 0.8 = 0.48 — المركّبتان متساويتان ومتعاكستان، كما قبل الاصطدام.
المحور x نحو الشرق والمحور y نحو الشمال. قبل الاصطدام لسيّارة A مركّبة x فقط ولسيّارة B مركّبة y فقط:
بعد الاصطدام تتحرّك الكتلة الكلّية 2500 kg بسرعة v′ مركّبتاها:
مقدار السرعة واتّجاهها:
تتحرّك السيّارتان معا نحو الشمال الشرقي بزاوية 45° مع اتّجاه الشرق.
الارتداد – רתע:
حتى الآن كان الجسمان يتحرّكان ثم يصطدمان. الآن العكس: منظومة ساكنة تنقسم فجأة إلى جزأين. كمّيّة الحركة الكلّية قبل الانقسام صفر، ولذلك تبقى صفرا بعده: يتحرّك الجزآن في اتّجاهين متعاكسين بكمّيّتي حركة متساويتين في المقدار.
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| M , V | كتلة القاذف وسرعة ارتداده | [kg] , [m/s] |
| m , v | كتلة القذيفة وسرعتها | [kg] , [m/s] |
المنظومة: البندقية والرصاصة. قوّة الغازات داخلية، فكمّيّة الحركة الأفقية محفوظة. قبل الإطلاق المنظومة ساكنة فكمّيّة حركتها صفر. نختار اتّجاه الرصاصة موجبا، وكتلتها 0.008 kg:
الإشارة السالبة تعني أنّ البندقية ترتدّ إلى الخلف. كمّيّة حركة البندقية (4.8 kg·m/s) تساوي كمّيّة حركة الرصاصة في المقدار، لكنّ سرعتها أصغر بـ 375 مرّة لأنّ كتلتها أكبر بهذا العدد من المرّات.
في الاتّجاه الأفقي لا توجد قوّة خارجية (السكّة ملساء)، فالمركّبة الأفقية لكمّيّة الحركة محفوظة. أمّا في الاتّجاه العمودي فتؤثّر السكّة على العربة بقوّة عمودية خارجية كبيرة أثناء الإطلاق تمنعها من الغوص في الأرض — لذلك المركّبة العمودية ليست محفوظة، ونكتب الحفظ للمحور الأفقي فقط.
المركّبة الأفقية لسرعة القذيفة:
حفظ كمّيّة الحركة الأفقية (قبل الإطلاق كلّ شيء ساكن):
ترتدّ العربة إلى الخلف بسرعة 1.6 m/s. لو أطلق المدفع القذيفة أفقيا لكان الارتداد أكبر: 2 m/s.
قوّة الاحتكاك بين قدمي الشخص والعربة داخلية، فكمّيّة الحركة الكلّية (بالنسبة إلى الأرض) محفوظة وتساوي صفرا. انتبهوا: السرعة المعطاة نسبية إلى العربة، وقانون الحفظ يُكتب بسرعات بالنسبة إلى منظومة إسناد واحدة — الأرض. إذا تحرّكت العربة بسرعة V (اتّجاه مشي الشخص موجب) فسرعة الشخص بالنسبة إلى الأرض هي v = 1.5 + V:
تتحرّك العربة إلى الخلف بسرعة 0.5 m/s ويتقدّم الشخص بالنسبة إلى الأرض بسرعة 1 m/s فقط. نتحقّق: 50 · 1 + 100 · (−0.5) = 0.
حفظ كمّيّة الحركة أثناء التفاعل: النابض المضغوط و"الانفجار" – שימור תנע במהלך אינטראקציה: קפיץ דחוס ו"פיצוץ":
قانون الحفظ لا يقتصر على الاصطدامات القصيرة. في كلّ تفاعل بقوى داخلية فقط — نابض مضغوط يدفع عربتين، أو انفجار يفتّت جسما إلى شظايا — تبقى كمّيّة الحركة الكلّية كما كانت قبل التفاعل. وإذا كانت المنظومة ساكنة في البداية، يبقى مجموع كمّيّات الحركة صفرا.
قوّة النابض داخلية، والمنظومة ساكنة قبل قطع الخيط فكمّيّة حركتها صفر. نختار اتّجاه العربة الخفيفة موجبا:
تتحرّك العربة الثقيلة في الاتّجاه المعاكس. النسبة بين مقداري السرعتين:
السرعات تتناسب عكسيا مع الكتل: الخفيفة أسرع ثلاث مرّات. هذه النتيجة لا تتعلّق بصلابة النابض ولا بمقدار انضغاطه — النابض الأقوى يعطي سرعتين أكبر، لكنّ نسبتهما تبقى 3.
كتلة الشظيّة الثالثة 9 − 2 − 3 = 4 kg. المحور x نحو الشرق وy نحو الشمال. قبل الانفجار كمّيّة الحركة صفر في كلّ محور، فبعده مجموع المركّبات في كلّ محور صفر:
مقدار كمّيّة حركة الشظيّة الثالثة وسرعتها:
المركّبتان سالبتان متساويتان، فالشظيّة الثالثة تنطلق نحو الجنوب الغربي بزاوية 45° مع كلّ من المحورين — في الاتّجاه المعاكس لمحصّلة كمّيّتي حركة الشظيّتين الأوليين.
الانفجار قصير جدا، ودفع الجاذبية خلاله مهمل، فكمّيّة الحركة محفوظة في لحظة الانفجار. في أعلى نقطة لا توجد مركّبة عمودية للسرعة. المحور x في اتّجاه الحركة:
الجزء الثاني يواصل الحركة أفقيا بضعف سرعة القذيفة الأصلية. أمّا المركّبة العمودية فتبقى صفرا للجزأين، ولذلك يصل الجزآن إلى الأرض في اللحظة نفسها — الأوّل تحت نقطة الانفجار مباشرة، والثاني على بُعد ضعف المدى المتبقّي.
الدفع الصاروخي – הנעה רקטית:
كيف يتحرّك الصاروخ في الفضاء حيث لا يوجد هواء ولا أرض يدفعها؟ الجواب في حفظ كمّيّة الحركة. يحرق الصاروخ وقوده ويقذف الغازات الناتجة إلى الخلف بسرعة كبيرة. المنظومة "صاروخ + غاز" مغلقة، فكمّيّة الحركة الكلّية محفوظة: الغاز المقذوف يحمل كمّيّة حركة إلى الخلف، ولذلك يكتسب الصاروخ كمّيّة حركة مساوية إلى الأمام. بلغة القوى: الصاروخ يدفع الغاز إلى الخلف، والغاز — وفق القانون الثالث — يدفع الصاروخ إلى الأمام بقوّة مساوية ومعاكسة. الصاروخ لا يحتاج إلى هواء يستند إليه؛ بل يعمل في الفراغ أفضل، لأنّ لا مقاومة للهواء.
- قوّة الدفع تتعلّق بسرعة قذف الغاز u بالنسبة إلى الصاروخ وبكتلة الغاز المقذوفة في وحدة الزمن — لا بسرعة الصاروخ نفسه.
- كتلة الصاروخ تنقص باستمرار مع احتراق الوقود، ولذلك تُنتج قوّة الدفع نفسها تسارعا يزداد مع الزمن.
- المبدأ نفسه يعمل في البالون الذي نفلته فينطلق، وفي الحبّار الذي يقذف الماء، وفي رائد الفضاء الذي يرمي أداة ليعود إلى مركبته.
المنظومة مغلقة وساكنة في البداية. بعد القذف كتلة الصاروخ 1000 − 10 = 990 kg. نختار اتّجاه حركة الصاروخ موجبا، فسرعة الغاز سالبة:
في الصاروخ الحقيقي يُقذف الغاز باستمرار لا دفعة واحدة، والكتلة تنقص تدريجيا، لكنّ المبدأ هو نفسه: كلّ كيلوغرام غاز يُقذف إلى الخلف يدفع الصاروخ إلى الأمام.
أهمّ أفكار الفصل:
- كمّيّة الحركة p = m·v متّجه: المقدار وحده لا يكفي، والإشارة (أو المركّبات في المستوى) جزء من الجواب.
- الدفع يجمع بين القوّة وزمن تأثيرها؛ وعندما تتغيّر القوّة يكون الدفع هو المساحة تحت منحنى القوّة–الزمن.
- الدفع الكلّي يساوي التغيّر في كمّيّة الحركة — وهذه الصيغة أعمّ من ΣF = m·a لأنّها تصلح أيضا عندما تتغيّر القوّة.
- عندما يكون التغيّر في كمّيّة الحركة محدّدا سلفا، إطالة زمن التوقّف تصغّر القوّة — هذا مبدأ الوسادة الهوائية وثني الركبتين.
- في منظومة مغلقة القوى الداخلية — مهما كانت كبيرة — لا تغيّر كمّيّة الحركة الكلّية: ما يخسره جسم يكسبه الآخر.
- قانون الحفظ ليس قانونا "يصلح دائما": قبل استعماله نحدّد المنظومة ونفحص القوى الخارجية، وقد يتحقّق على محور واحد فقط.
- عندما يلتصق الجسمان يكفي حفظ كمّيّة الحركة لإيجاد السرعة المشتركة؛ وعندما ينفصلان نحتاج إلى معطى إضافي.
- الارتداد والانفجار والدفع الصاروخي وجوه مختلفة للفكرة نفسها: منظومة كمّيّة حركتها الكلّية صفر تبقى كذلك.
ملخّص قوانين الفصل:
| القانون | الصيغة |
|---|---|
| كمّيّة الحركة | p = m·v |
| كمّيّة الحركة الكلّية لمنظومة | ptot = m1·v1 + m2·v2 + ... |
| دفع قوّة ثابتة | J = F·Δt |
| دفع قوّة متغيّرة (المساحة تحت منحنى القوّة–الزمن) | J = Favg·Δt |
| معدّل القوّة | Favg = JΔt |
| الدفع الكلّي والتغيّر في كمّيّة الحركة | ΣF·Δt = Δp = m·v2 − m·v1 |
| القوّة كمعدّل تغيّر كمّيّة الحركة | ΣF = ΔpΔt |
| حفظ كمّيّة الحركة (جسمان) | m1·v1 + m2·v2 = m1·v′1 + m2·v′2 |
| الاصطدام غير المرن تماما | v′ = m1·v1 + m2·v2m1 + m2 |
| الحفظ في المستوى | Σpx = const , Σpy = const |
| الارتداد (منظومة ساكنة) | m·v + M·V = 0 , V = −m·vM |
قاموس المصطلحات – מילון מונחים:
| بالعربية | بالعبرية (كما تظهر في الامتحان) | English |
|---|---|---|
| كمّيّة الحركة (الزخم) | תנע | Momentum |
| الدفع | מתקף | Impulse |
| معدّل القوّة (القوّة المتوسّطة) | כוח ממוצע | Average force |
| منحنى القوّة–الزمن | גרף כוח–זמן | Force–time graph |
| الدفع الكلّي | מתקף כולל | Total (net) impulse |
| التغيّر في كمّيّة الحركة | שינוי התנע | Change in momentum |
| المنظومة | מערכת | System |
| منظومة مغلقة | מערכת סגורה | Closed (isolated) system |
| قوّة داخلية | כוח פנימי | Internal force |
| قوّة خارجية | כוח חיצוני | External force |
| حفظ كمّيّة الحركة | שימור התנע | Conservation of momentum |
| الاصطدام (التصادم) | התנגשות | Collision |
| اصطدام مباشر | התנגשות חזיתית (בממד אחד) | Head-on collision |
| اصطدام مرن | התנגשות אלסטית | Elastic collision |
| اصطدام غير مرن (لدن) | התנגשות לא אלסטית (פלסטית) | Inelastic collision |
| اصطدام غير مرن تماما | התנגשות פלסטית לחלוטין | Perfectly inelastic collision |
| الاصطدام في المستوى | התנגשות במישור | Collision in a plane |
| المركّبة | רכיב | Component |
| الارتداد | רתע | Recoil |
| الانفجار | פיצוץ | Explosion |
| الدفع الصاروخي | הנעה רקטית | Rocket propulsion |
تمارين ملائمة لبنود الفصل:
أ. احسبوا كمّيّة حركتها.
ب. بأيّ سرعة يجب أن تتحرّك كرة كتلتها 0.5 kg لتكون لها كمّيّة الحركة نفسها؟ هل هذا ممكن عمليا؟
(أ) ما هو التغيّر في كمّيّة حركة العربة الثانية؟
(ب) ما هو التغيّر في كمّيّة الحركة الكلّية للمنظومة؟
تمارين تلخيصية:
أ. احسبوا معدّل محصّلة القوى عليها إذا توقّفت على بلاط خلال 2 ms.
ب. وإذا توقّفت على وسادة إسفنجية خلال 0.1 s. فسّروا لماذا تنكسر في الحالة الأولى فقط.
تمارين تعمّق:
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 6
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | حفظ الطاقة في التصادم | في الحل الكامل |
| ب | السرعة المشتركة في الحالات الثلاث | في الحل الكامل |
| ج | شدّ الخيط في الحركة الدائرية | في الحل الكامل |
| د | في أيّ حالة ينقطع الخيط | الحالة الثالثة — رصاصة 0.5m بسرعة 2v · هناك يكون الشدّ أقصى |
| هـ | حفظ الزخم في ربع دورة | في الحل الكامل |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | لماذا A و B والنابض منظومة مغلقة | مجموع القوى الخارجيّة صفر — الجاذبيّة والعموديّ يلغي أحدهما الآخر، الاحتكاك قابل للإهمال، وقوى النابض داخليّة — ولذلك المنظومة مغلقة والزخم محفوظ |
| ب | حساب السرعة u_B مباشرةً بعد الانفصال | u_B = 0.9 m/s ، باتّجاه اليمين |
| ج | الشغل الذي نُفّذ على الجسم A أثناء الانفصال | W_A = −0.018 J ، شغل سالب مقداره 18 mJ |
| د | حساب u_C، سرعة الجسم C بعد الاصطدام | u_C = 0.45 m/s ، باتّجاه اليمين |
| هـ | حساب m_C، كتلة الجسم C | m_C = 0.6 kg |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | أيّ رسم بيانيّ يمثّل الصندوق B | الرسم البيانيّ 2 يمثّل الصندوق B ، والرسم البيانيّ 1 يمثّل الصندوق A |
| ب | حساب كتلة الصندوق B | m_B = 0.04 kg ، أي 40 غرامًا |
| ج | الدفع الذي أثّر به الصندوق B على الصندوق A | مقدار الدفع 0.28 N·s ، واتّجاهه نحو اليسار ، أي J = −0.28 N·s |
| د | معدّل القوّة الذي أثّر به الصندوق B على الصندوق A | مقدار معدّل القوّة 56 N ، واتّجاهه نحو اليسار ، أي F = −56 N |
| هـ | مَن مِن الطالبَين على حقّ | الطالب ب على حقّ · أثّر على كلّ واحد من الصندوقَين دفع مقداره 0.28 N·s |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ(1) | كمّيّة حركة المنظومة مباشرةً بعد تحرير النابض | كمّيّة الحركة الكلّيّة لمنظومة الجسمَين A و B مباشرةً بعد تحرير النابض هي صفر |
| أ(2) | سرعة الجسم B، مقدارها واتّجاهها | مقدار سرعة الجسم B هو 0.35 m/s ، في الاتّجاه المعاكس لحركة الجسم A ، أي مبتعدًا عن الحائط ونحو الجسم C |
| ب(1) | سرعة الجسم A مباشرةً بعد الاصطدام المرن بالحائط | مقدار سرعة الجسم A مباشرةً بعد الاصطدام هو 0.7 m/s ، باتّجاه مبتعد عن الحائط ، أي بالترميز المحوريّ v_A = −0.7 m/s |
| ب(2) | مقدار الدفع الذي يؤثّر به الحائط على الجسم A واتّجاهه | مقدار الدفع الذي يؤثّر به الحائط على الجسم A هو 0.14 N·s ، باتّجاه مبتعد عن الحائط |
| ج(1) | ماذا تمثّل المساحة المحصورة بين الرسم ومحور الزمن | المساحة تمثّل مقدار الدفع الذي يؤثّر به الحائط على الجسم A ، وهو يساوي مقدار التغيّر في زخم الجسم A أثناء الاصطدام |
| ج(2) | حساب القوّة القصوى بمساعدة الرسم البيانيّ | القوّة القصوى التي أثّر بها الحائط على الجسم A هي F_max = 3.5 N |
| د(1) | حساب سرعة الجسم C قبل الاصطدام | v_C = 0.28 m/s ، باتّجاه الحائط ، أي نحو الجسم B |
| د(2) | اتّجاه حركة الجسمَين المتلاصقَين عندما تكون سرعة الجسم C أصغر | الجسمان المتلاصقان B و C سيتحرّكان في اتّجاه حركة الجسم B ، أي مبتعدَين عن الحائط |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | سرعة الكرة في لحظة الاصطدام بالأرض | v = √120 = 10.95 m/s ، تقريبًا 11 m/s ، نحو الأسفل |
| ب | مقارنة بين السرعة عند الخروج من اليد وبين السرعة عند الاصطدام | أصغر. v₀ = 10.00 m/s مقابل v = 10.95 m/s ، بسبب الطاقة الوضعية الإضافيّة على ارتفاع متر واحد |
| ج | الدفع المؤثّر على الكرة أثناء الاصطدام | نعم. J = 2·m·v = 8.76 N·s ، واتّجاه الدفع نحو الأعلى |
| د | الشغل المنفَّذ على الكرة أثناء الاصطدام | لم يُنفَّذ شغل كلّيّ. W = ΔEk = 24 − 24 = 0 J ، لأنّ مقدار السرعة لم يتغيّر |
| هـ | سرعتا الكرتين مباشرةً بعد انتهاء التصادم | u₁ = 0 ، الكرة 1 تتوقّف تمامًا · u₂ = 10.00 m/s نحو الأعلى |
| و | أيّ من المخطّطات 1 حتّى 4 يمكنه وصف حالة الكرتين | المخطّط الوحيد الذي يمكنه وصف حالة الكرتين هو المخطّط 3 |
| ملخّص الأجوبة | السؤال 5 | أ 10.95 m/s · ب أصغر · ج 8.76 N·s · د صفر · هـ 0 و 10.00 m/s · و المخطّط 3 |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | السرعتان بعد التصادم | u₁ = 0.1 m/s باتّجاه الحركة الأصليّ · u₂ = 0.4 m/s باتّجاه الحركة الأصليّ |
| ب | التعبير العامّ لسرعة القرص الساكن | u₂ = 2·m₁·v₁ مقسومًا على (m₁ + m₂) · وبالمناسبة u₁ = (m₁ − m₂)·v₁ مقسومًا على (m₁ + m₂) |
| ج | إثبات المتباينة | v₁ − u₂ = v₁·(m₂ − m₁) مقسومًا على (m₁ + m₂) · فرق موجب عندما تكون m₂ أكبر من m₁، ولذلك u₂ أصغر من v₁ |
| د | رسم القوّة على القرص الثاني | (1) الرسم B · (2) الرسم B — وفقًا لقانون نيوتن الثالث، دون تعلّق بنسبة الكتلتين |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | المقدار الفيزيائيّ الذي تمثّله المساحة تحت المنحنى | المساحة تمثّل الدفع الذي أثّرت به العربة 1 على العربة 2، وحسب مبرهنة الدفع والزخم يساوي التغيّر في زخم العربة 2 · J = 5 N·s باتّجاه اليمين |
| ب | حساب الكتلة m₂ للعربة 2 | m₂ = 4 kg |
| ج | معادلتا إيجاد v₁ | حفظ الزخم — 2·v₁ = 2·u₁ + 4 · 1.25 ، أي 2·v₁ = 2·u₁ + 5 · حفظ الطاقة الحركيّة — ½ · 2 · v₁² = ½ · 2 · u₁² + ½ · 4 · (1.25)² ، أي v₁² = u₁² + 3.125 |
| د | إضافة منحنى القوّة التي أثّرت على العربة 1 | حسب قانون نيوتن الثالث المنحنى هو انعكاس دقيق للمثلّث المُعطى تحت محور الزمن — من الصفر في الزمن 0 ، إلى حدّ أدنى −10⁴ N في الزمن 0.5 · 10⁻³ s ، وعودة إلى الصفر في الزمن 1 · 10⁻³ s · مساحته −5 N·s |
| هـ | اختيار الرسم الملائم لحركة العربة 2 | الرسم (1) · على AB سرعة ثابتة 1.25 m/s ، على المنحدر BC تباطؤ ثابت بتسارع a = −g·sin θ ولذلك خطّ مستقيم هابط ، وعلى CD تعود السرعة ثابتة لكنّها أصغر 0.75 m/s |
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| أ | المقدار الذي تعبّر عنه المساحة وحسابه | المساحة تعبّر عن الدفع · J = 2.2 N·s ، اتّجاهه نحو اليسار ، وبالترميز القياسيّ J = −2.2 N·s |
| ب | رسم متّجه كمّيّة الحركة ومتّجه الدفع | p₀ = 1.6 kg·m/s نحو اليمين ، J = 2.2 N·s نحو اليسار ، النسبة بين طولَي السهمَين 1.375 ، أي 11 مقابل 8 |
| ج | مقدار سرعة الصندوق بعد الاصطدام | v_f = −0.3 m/s ، أي أنّ مقدار السرعة 0.3 m/s والاتّجاه نحو اليسار |
| د | رسم التسارع كدالّة للزمن | a = 0 بين 0 و 10 ms ، هبوط مستقيم حتّى −20 m/s² في اللحظة 20 ms ، ثابت −20 m/s² حتّى 40 ms ، صعود مستقيم عودةً إلى 0 في اللحظة 100 ms |
| هـ | القوّة الثابتة المكافئة | Δt = 0.090 s ، F = 24.44 N ، تقريبًا 24.4 N ، بالاتّجاه نحو اليسار |