الفصل 5

الحركة الدائرية

תנועה מעגלית

الفيزياء — 5 وحدات تعليمية · 8 ساعات تعليمية

عجلة تدور، سيّارة في منعطف، قمر اصطناعي حول الأرض: الحركة الدائرية في كلّ مكان حولنا. في هذا الفصل نتعلّم أوّلا لغة الحركة الدورية — زمن الدورة، التردّد والسرعة الزاوية — ثم نكتشف المفاجأة الكبرى: جسم يدور بسرعة ثابتة المقدار يتسارع باستمرار، لأنّ اتّجاه سرعته يتغيّر بلا توقّف. نحسب هذا التسارع الراديالي، نجد القوّة التي تُحدثه، ونطبّق ذلك على القرص الدوّار، قمّة التلّ، البندول المخروطي والطريق المائل — ونختم بالحركة الدائرية التي يتغيّر فيها مقدار السرعة أيضا.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نصف الحركة الدائرية المنتظمة بزمن الدورة والتردّد والسرعة الزاوية، ونربط بينها بـ v = ω·r.
نفسّر لماذا يوجد تسارع رغم ثبات مقدار السرعة، ونحسب التسارع الراديالي a_r = v²r = ω²·r.
نفهم أنّ «القوّة المركزية» اسم للمحصّلة في الاتّجاه الراديالي، ونحدّد في كلّ حالة أيّ قوّة مألوفة تقوم بدورها.
نكتب ΣF_r = m·v²r ونحلّل البندول المخروطي، الطريق الدائري الأفقي، الطريق المائل والحركة فوق قمّة تلّ.
نحلّل الحركة الدائرية غير المنتظمة إلى مركّبة راديالية تغيّر اتّجاه السرعة ومركّبة مماسّية تغيّر مقدارها.

عجلة تدور، قمر اصطناعي حول الأرض، سيّارة في منعطف، حجر في مقلاع: كلّها أجسام تتحرّك على دائرة. في الحركة الدائرية يتغيّر اتّجاه السرعة باستمرار، وتغيّر الاتّجاه هو تسارع — حتى لو بقي مقدار السرعة ثابتا. في هذا الفصل نحسب هذا التسارع، نجد القوّة التي تُحدثه، ونطبّق ذلك على أمثلة من الحياة.

תנועה מעגלית קצובה ומהירות זוויתית – الحركة الدائرية المنتظمة والسرعة الزاوية (Uniform Circular Motion and Angular Velocity)

الحركة الدائرية المنتظمة كحركة دورية – תנועה מעגלית קצובה כתנועה מחזורית:

الحركة الدائرية المنتظمة (תנועה מעגלית קצובה): هي حركة جسم على مسار دائري نصف قطره r بسرعة ثابتة المقدار v. الحركة دورية: يعود الجسم إلى النقطة نفسها بعد كلّ دورة كاملة.

زمن الدورة، التردّد والسرعة · זמן מחזור, תדירות ומהירות

T = 2π·rv

f = 1T

v = 2π·rT = 2π·r·f

الرمز	المعنى	وحدة القياس
T	زمن الدورة: زمن دورة كاملة واحدة	[s]
f	التردّد: عدد الدورات في الثانية	[Hz]
2π·r	محيط الدائرة: الطريق المقطوع في دورة واحدة	[m]

السرعة الزاوية – מהירות זוויתית:

السرعة الزاوية (מהירות זוויתית): هي الزاوية (بالراديان) التي يقطعها نصف القطر الواصل إلى الجسم في وحدة الزمن: ω = ΔθΔt، وتُقاس بـ rad/s. في الحركة المنتظمة يقطع الجسم زاوية 2π في زمن دورة واحد، لذلك ω = 2πT.

العلاقة بين السرعة الخطّية والسرعة الزاوية: طول القوس الذي يقطعه الجسم عندما يدور نصف القطر زاوية Δθ (بالراديان) هو Δs = r·Δθ. نقسم على Δt:

السرعة الزاوية · מהירות זוויתית

ω = 2πT = 2π·f

v = ω·r

الرمز	المعنى	وحدة القياس
ω	السرعة الزاوية	[rad/s]
v	السرعة الخطّية (المماسّية)	[m/s]
r	نصف قطر المسار	[m]

ملاحظة: السرعة الزاوية واحدة لكلّ نقاط الجسم الدوّار (كلّ نقاط العجلة تُنهي دورة في الزمن نفسه)، أمّا السرعة الخطّية فتتناسب مع البُعد عن المركز: نقطة على حافّة العجلة أسرع من نقطة قريبة من المحور.

مثال 5.1

تدور عجلة نصف قطرها 0.3 m بمعدّل 120 دورة في الدقيقة. نحسب تردّدها، زمن دورتها، سرعتها الزاوية، وسرعة نقطة على حافّتها.

الحل:

f = 12060 = 2 Hz

T = 1f = 0.5 s

ω = 2π·f = 2π · 2 = 12.57 rad/s

v = ω·r = 12.57 · 0.3 = 3.77 m/s

نفحص: v = 2π·rT = 2π · 0.30.5 = 3.77 m/s.

f = 2 Hz , T = 0.5 s , ω = 12.57 rad/s , v = 3.77 m/s

سؤال 5.1: عقرب الدقائق في ساعة طوله 12 cm. احسبوا سرعته الزاوية وسرعة طرفه. ما هي نسبة السرعة الزاوية لعقرب الدقائق إلى السرعة الزاوية لعقرب الساعات؟

תאוצה רדיאלית והכוח אל המרכז – التسارع الراديالي والقوّة نحو المركز (Radial Acceleration and the Centripetal Force)

بين موقعين قريبين على الدائرة يتغيّر اتّجاه السرعة لا مقدارها؛ متّجه التغيّر Δv = v₂ − v₁ يتّجه نحو المركز، وكذلك التسارع

مقدار السرعة ثابت، لكنّ المتّجه v يتغيّر لأنّ اتّجاهه يدور. نرسم v₁ و v₂ من نقطة واحدة: الفرق Δv يتّجه نحو مركز الدائرة (كلّما صغرت الفترة Δt اقترب اتّجاهه من اتّجاه نصف القطر تماما). والتسارع a = ΔvΔt له الاتّجاه نفسه. أمّا مقداره فنحصل عليه من تشابه المثلّثين: مثلّث السرعات (أضلاعه v ، v ، Δv) يشبه المثلّث في الدائرة (أضلاعه r ، r ، الوتر ≈ v·Δt):

Δvv = v·Δtr

a = ΔvΔt = v²r

التسارع الراديالي (תאוצה רדיאלית): (التسارع المركزي، أو القُطري) هو تسارع الجسم في الحركة الدائرية المنتظمة. يتّجه دائما نحو مركز الدائرة، عموديا على السرعة، ومقداره a_r = v²r. لأنّه عمودي على السرعة فهو يغيّر اتّجاهها فقط ولا يغيّر مقدارها.

التسارع والقوّة في الحركة الدائرية المنتظمة · תאוצה וכוח בתנועה מעגלית קצובה

a_r = v²r = ω²·r

ΣF_r = m·v²r

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a_r	التسارع الراديالي، نحو المركز	[m/s²]
ΣF_r	محصّلة القوى في الاتّجاه الراديالي (القوّة المركزية)	[N]
r	نصف قطر المسار	[m]

في كلّ نقطة من المسار: السرعة مماسّة للدائرة، والتسارع الراديالي عمودي عليها نحو المركز

انتبهوا: «القوّة المركزية» ليست قوّة جديدة نضيفها إلى مخطّط القوى. إنّها اسم للمحصّلة في الاتّجاه الراديالي، وتقوم بدورها دائما قوّة مألوفة: شدّ الخيط، الاحتكاك، القوّة العمودية، أو الجاذبية. وليست هناك «قوّة طاردة مركزية» تدفع الجسم إلى الخارج: الجسم «يحاول» الاستمرار في خطّ مستقيم بحسب قانون القصور الذاتي، والقوّة نحو المركز هي التي تثنيه إلى الدائرة. إذا انقطع الخيط تابع الجسم في خطّ مستقيم بمحاذاة المماسّ.

مثال 5.2

كرة كتلتها 0.4 kg مربوطة بخيط طوله 0.8 m وتدور على طاولة أفقية ملساء في دائرة بسرعة ثابتة 4 m/s. نحسب التسارع الراديالي، قوّة الشدّ في الخيط، السرعة الزاوية وزمن الدورة. وماذا يحدث للشدّ إذا تضاعفت السرعة؟

الحل:

في الاتّجاه الأفقي تؤثّر على الكرة قوّة الشدّ فقط، وهي التي تقوم بدور القوّة المركزية:

a_r = v²r = 4²0.8 = 20 m/s²

T = m·a_r = 0.4 · 20 = 8 N

ω = vr = 40.8 = 5 rad/s

t_cycle = 2π·rv = 2π · 0.84 = 1.26 s

إذا تضاعفت السرعة تضاعف الشدّ أربع مرّات (32 N) لأنّ السرعة تظهر مربّعة — ولهذا ينقطع الخيط عند سرعة معيّنة.

a_r = 20 m/s² , T = 8 N , ω = 5 rad/s

سؤال 5.2: سيّارة كتلتها 1000 kg تسير في منعطف دائري نصف قطره 50 m بسرعة ثابتة 10 m/s. احسبوا تسارعها الراديالي والقوّة المركزية اللازمة. أيّ قوّة تقوم بهذا الدور؟

יישומי התנועה המעגלית הקצובה – تطبيقات الحركة الدائرية المنتظمة (Applications of Uniform Circular Motion)

«القوّة المركزية» ليست قوّة جديدة: في كلّ تطبيق تقوم بدورها قوّة مألوفة أو مركّبة منها. في الأمثلة التالية نحدّد في كلّ حالة مَن يقوم بهذا الدور، ونكتب معادلة القوى في الاتّجاه الراديالي.

مثال: قطعة نقود على قرص دوّار – דוגמה: מטבע על דיסק מסתובב:

قطعة نقود على قرص يدور: الاحتكاك الساكن نحو المركز هو القوّة المركزية

توضع قطعة نقود على بُعد r من مركز قرص أفقي يدور بسرعة زاوية ω. القطعة تدور مع القرص في دائرة، والقوّة الوحيدة التي يمكن أن تثنيها نحو المركز هي الاحتكاك الساكن بينها وبين القرص (ساكن، لأنّها لا تنزلق على القرص). عموديا N = m·g، ونحو المركز: f_s = m·ω²·r. عندما تزيد سرعة الدوران يصل الاحتكاك إلى حدّه μ_s·m·g وتنزلق القطعة نحو الخارج — بمحاذاة المماسّ.

m·ω²·r ≤ μ_s·m·g

ω_max = μ_s·gr

مثال 5.3

قطعة نقود على بُعد 20 cm من مركز قرص دوّار، ومعامل الاحتكاك الساكن بينهما 0.4. نحسب أكبر سرعة زاوية يدور بها القرص قبل أن تنزلق القطعة، والتردّد المقابل بالدورات في الدقيقة. هل تتغيّر النتيجة لقطعة أثقل؟

الحل:

ω_max = μ_s·gr = 0.4 · 100.2 = 20 = 4.47 rad/s

f = ω2π = 0.71 Hz

n = f · 60 = 43

الكتلة اختُصرت: القطعة الثقيلة والخفيفة تنزلقان عند السرعة الزاوية نفسها. أمّا القطعة الأبعد عن المركز فتنزلق أوّلا، لأنّ ω_max تصغر مع r.

ω_max = 4.47 rad/s ≈ 43 rpm

مثال: سيّارة فوق قمّة تلّ – דוגמה: מכונית על פסגת גבעה:

سيّارة تعبر قمّة تلّ دائرية: التسارع الراديالي نحو الأسفل، لذلك N < m·g

تعبر سيّارة قمّة تلّ مستديرة نصف قطرها r بسرعة v. عند القمّة يتّجه مركز الدائرة إلى الأسفل، فتكون القوّة المركزية m·g − N (الجاذبية ناقص القوّة العمودية):
m·g − N = m·v²r ومنه N = m·(g − v²r).
كلّما زادت السرعة صغرت القوّة العمودية — تشعر «بالخفّة» — وعند v = g·r تنعدم: السيّارة تنفصل عن الطريق وتبدأ بالطيران. في قاع منخفض دائري يحدث العكس: N = m·(g + v²r)، أكبر من الوزن.

مثال 5.4

سيّارة كتلتها 1000 kg تعبر قمّة تلّ نصف قطره 50 m بسرعة 10 m/s. نحسب القوّة العمودية من الطريق على السيّارة، والسرعة التي تنفصل عندها السيّارة عن الطريق.

الحل:

m·g − N = m·v²r

N = m·(g − v²r) = 1000 · (10 − 10²50) = 8000 N

القوّة العمودية أصغر من الوزن (10000 N). الانفصال عند N = 0:

v = g·r = 10 · 50 = 22.4 m/s

أي نحو 80 km/h — ولهذا تحدّد السرعة على الطرق المتموّجة.

N = 8000 N , v = 22.4 m/s

مثال: البندول المخروطي – דוגמה: מטוטלת קונית:

البندول المخروطي (מטוטלת חרוטית): هو جسم معلّق بخيط طوله ℓ يدور في دائرة أفقية بسرعة ثابتة، بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة θ مع العمودي ويرسم سطح مخروط.

البندول المخروطي: الجسم يدور في دائرة أفقية نصف قطرها r = ℓ·sin θ؛ المركّبة العمودية للشدّ توازن الوزن، والمركّبة الأفقية هي القوّة المركزية

على الجسم قوّتان فقط: الشدّ T بمحاذاة الخيط وقوّة الجاذبية m·g. مركز الدائرة يقع أفقيا من الجسم (وليس في نقطة التعليق!)، لذلك نحلّل الشدّ إلى مركّبة عمودية T·cos θ ومركّبة أفقية T·sin θ نحو المركز:

y: T·cos θ = m·g

r: T·sin θ = m·v²r

r = ℓ·sin θ

نقسم المعادلة الثانية على الأولى:

البندول المخروطي · מטוטלת קונית

tan θ = v²r·g

T = m·gcos θ

t_cycle = 2π·ℓ·cos θg

الرمز	المعنى	وحدة القياس
θ	زاوية الخيط عن العمودي	[°]
r	نصف قطر الدائرة الأفقية r = ℓ·sin θ	[m]
t_cycle	زمن الدورة	[s]

مثال 5.5

بندول مخروطي: جسم كتلته 0.2 kg معلّق بخيط طوله 1 m يدور في دائرة أفقية والخيط يصنع زاوية 37° مع العمودي. نحسب نصف قطر الدائرة، قوّة الشدّ، سرعة الجسم وزمن الدورة.

الحل:

r = ℓ·sin θ = 1 · 0.6 = 0.6 m

من المعادلة العمودية:

T = m·gcos θ = 0.2 · 100.8 = 2.5 N

من المعادلة في الاتّجاه الراديالي:

T·sin θ = m·v²r

v² = T·sin θ·rm = 2.5 · 0.6 · 0.60.2 = 4.5

v = 2.12 m/s

t_cycle = 2π·rv = 2π · 0.62.12 = 1.78 s

نفحص بالصيغة: t_cycle = 2π·ℓ·cos θg = 2π·0.810 = 1.78 s — متطابق. زمن الدورة لا يتعلّق بالكتلة.

r = 0.6 m , T = 2.5 N , v = 2.12 m/s , t = 1.78 s

سؤال 5.3: بندول مخروطي طول خيطه 0.5 m وكتلة جسمه 0.1 kg يدور والخيط يصنع زاوية 53° مع العمودي. احسبوا نصف قطر الدائرة، قوّة الشدّ، وسرعة الجسم. ما الذي يحدث للزاوية إذا زادت سرعة الدوران؟

مثال: الحركة على طريق دائري أفقي – דוגמה: תנועה על כביש מעגלי אופקי:

سيّارة في منعطف أفقي: من الأعلى نرى السرعة المماسّية والاحتكاك نحو المركز؛ ومن الخلف نرى القوى الثلاث: N ، m·g ، f

على طريق أفقية لا توجد قوّة نحو المركز سوى الاحتكاك الساكن بين الإطارات والطريق (ساكن لأنّ الإطارات لا تنزلق جانبيا). عموديا: N = m·g. ونحو المركز: f_s = m·v²r. كلّما زادت السرعة احتاجت السيّارة إلى احتكاك أكبر، والاحتكاك الساكن محدود بـ μ_s·N:

m·v²r ≤ μ_s·m·g

v_max = μ_s·g·r

ملاحظة: السرعة القصوى في المنعطف لا تتعلّق بكتلة السيّارة، بل بنصف قطر المنعطف وبحالة الطريق: على طريق مبتلّة (μ_s صغير) تصغر السرعة الآمنة. من يتجاوزها «ينزلق» إلى الخارج — لا لأنّ قوّة تدفعه، بل لأنّ الاحتكاك لم يعد كافيا لثنيه إلى الدائرة.

مثال 5.6

منعطف أفقي نصف قطره 50 m، ومعامل الاحتكاك الساكن بين الإطارات والطريق 0.5. نحسب السرعة القصوى التي تجتاز بها سيّارة المنعطف بأمان، بالمتر في الثانية وبالكيلومتر في الساعة.

الحل:

v_max = μ_s·g·r = 0.5 · 10 · 50 = 250 = 15.8 m/s

v_max = 15.8 · 3.6 = 57 km/h

سيّارة كتلتها طنّ وشاحنة كتلتها عشرة أطنان لهما الحدّ نفسه.

v_max = 15.8 m/s ≈ 57 km/h

مثال: الطريق المائل – דוגמה: כביש נטוי:

الطريق المائل (כביש נטוי): (المنحدر) هو طريق في منعطف تُبنى مائلة نحو داخل المنعطف بزاوية θ، بحيث تساعد القوّة العمودية على ثني السيّارة إلى الدائرة ولا تعتمد على الاحتكاك وحده.

مقطع في طريق مائل: القوّة العمودية N عمودية على سطح الطريق؛ مركّبتها الأفقية N·sin θ تتّجه نحو مركز المنعطف ومركّبتها العمودية توازن الوزن

نهمل الاحتكاك. على السيّارة قوّتان: m·g و N. انتبهوا: هنا لا نميل المحاور مع السطح كما في السطح المائل، لأنّ التسارع أفقي (نحو مركز المنعطف)؛ نحلّل N إلى مركّبة عمودية وأخرى أفقية:

y: N·cos θ = m·g

r: N·sin θ = m·v²r

الطريق المائل بلا احتكاك · כביש נטוי

tan θ = v²r·g

v = r·g·tan θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
θ	زاوية ميل الطريق	[°]
v	السرعة التي تجتاز بها السيّارة المنعطف بلا احتكاك	[m/s]

العلاقة هي نفسها التي وجدناها في البندول المخروطي — والسبب أنّ الحالتين متطابقتان من حيث القوى: قوّة مائلة بزاوية θ عن العمودي (N هنا، T هناك) وقوّة الجاذبية. بهذه السرعة بالضبط لا تحتاج السيّارة إلى أيّ احتكاك. بسرعة أكبر يلزم احتكاك نحو الداخل (أسفل المنحدر)، وبسرعة أصغر احتكاك نحو الخارج.

مثال 5.7

منعطف نصف قطره 100 m مصمَّم لسرعة 20 m/s (72 km/h). نحسب زاوية ميل الطريق التي تجعل السيّارة تجتاز المنعطف بهذه السرعة بلا احتكاك.

الحل:

tan θ = v²r·g = 20²100 · 10 = 0.4

θ = 21.8°

الزاوية لا تتعلّق بكتلة السيّارة. في مضامير السباق تصل زاوية الميل إلى أكثر من 30° لأنّ السرعات كبيرة جدّا.

θ = 21.8°

سؤال 5.4: طريق مائلة بزاوية 37° في منعطف نصف قطره 80 m. بأيّ سرعة تجتاز سيّارة المنعطف بلا احتكاك؟ وما هي القوّة العمودية على سيّارة كتلتها 1200 kg عندئذ؟

▶تجربة حية — الحركة المنتظمة في دائرةنغيّر نصف القطر والسرعة ونقرأ التسارع الراديالي والشدّ وزمن الدورة، ثم نقطع الخيط ونرى الجسم يتابع في خطّ مستقيم بمحاذاة المماسّ.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#circular

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/physics/mechanics_dynamics#circular

תנועה מעגלית שאינה קצובה – الحركة الدائرية غير المنتظمة (Non-Uniform Circular Motion)

إذا تغيّر مقدار السرعة أيضا (سيّارة تتسارع في منعطف، بندول يتأرجح) فالتسارع لا يتّجه نحو المركز تماما. نحلّله إلى مركّبتين:

التسارع في حركة دائرية غير منتظمة: مركّبة مماسّية تغيّر مقدار السرعة، ومركّبة راديالية تغيّر اتّجاهها

المركّبة الراديالية a_r = v²r — نحو المركز، تغيّر اتّجاه السرعة؛ هنا v هي السرعة اللحظية.
المركّبة المماسّية a_t — بمحاذاة المماسّ، تغيّر مقدار السرعة: a_t = ΔvΔt، في اتّجاه الحركة إذا كان الجسم يتسارع وعكسه إذا كان يتباطأ.
مقدار التسارع الكلّي: a = a_r² + a_t².
السرعة الزاوية اللحظية: ω = vr — تتغيّر مع الزمن.

الحركة الدائرية غير المنتظمة · תנועה מעגלית שאינה קצובה

a_r = v²r

a_t = ΔvΔt

a = a_r² + a_t²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a_r	المركّبة الراديالية	[m/s²]
a_t	المركّبة المماسّية	[m/s²]

مثال 5.8

سيّارة تسير في منعطف دائري نصف قطره 100 m. في لحظة ما سرعتها 10 m/s وهي تزيد سرعتها بمعدّل 2 m/s كلّ ثانية. نحسب مركّبتَي تسارعها، مقدار التسارع الكلّي، وسرعتها الزاوية في تلك اللحظة.

الحل:

a_r = v²r = 10²100 = 1 m/s²

a_t = 2 m/s²

a = 1² + 2² = 2.24 m/s²

ω = vr = 10100 = 0.1 rad/s

بعد ثوانٍ قليلة تزداد السرعة، فتزداد المركّبة الراديالية والسرعة الزاوية، بينما تبقى المركّبة المماسّية 2 m/s².

a_r = 1 m/s² , a_t = 2 m/s² , a = 2.24 m/s²

مثال: القوى على البندول البسيط في نقطة ما – דוגמה: הכוחות על מטוטלת פשוטה בנקודה כלשהי:

جسم البندول عند زاوية θ بسرعة v: الشدّ بمحاذاة الخيط نحو نقطة التعليق، وقوّة الجاذبية تُحلَّل إلى مركّبة بمحاذاة الخيط ومركّبة مماسّية

يتأرجح البندول على قوس دائرة نصف قطرها ℓ ومركزها نقطة التعليق، وسرعته تتغيّر: إذًا حركته دائرية غير منتظمة. في نقطة ما يصنع الخيط زاوية θ مع العمودي وتكون سرعة الجسم v. نحلّل القوى إلى الاتّجاه الراديالي (بمحاذاة الخيط، نحو نقطة التعليق) والاتّجاه المماسّي:

r: T − m·g·cos θ = m·v²ℓ

t: m·g·sin θ = m·a_t

الشدّ أكبر من m·g·cos θ كلّما تحرّك الجسم، لأنّه يجب أن يوفّر التسارع الراديالي إضافة إلى موازنة مركّبة الجاذبية.
في أدنى نقطة (θ = 0): T = m·g + m·v²ℓ — الشدّ أقصى، والتسارع راديالي فقط.
في أقصى نقطة (v = 0): T = m·g·cos θ — الشدّ أصغر ما يمكن، والتسارع مماسّي فقط a_t = g·sin θ.

مثال 5.9

بندول بسيط طول خيطه 2 m وكتلة جسمه 0.5 kg. في لحظة ما يصنع الخيط زاوية 37° مع العمودي وسرعة الجسم 2 m/s. نحسب قوّة الشدّ في الخيط ومركّبتَي التسارع ومقداره في تلك اللحظة. ثم نحسب الشدّ عند مرور الجسم في أدنى نقطة بسرعة 4 m/s.

الحل:

في الاتّجاه الراديالي (نحو نقطة التعليق):

T − m·g·cos θ = m·v²ℓ

T = 0.5 · 10 · 0.8 + 0.5 · 2²2 = 4 + 1 = 5 N

المركّبتان:

a_r = v²ℓ = 2²2 = 2 m/s²

a_t = g·sin θ = 10 · 0.6 = 6 m/s²

a = 2² + 6² = 6.32 m/s²

في أدنى نقطة θ = 0 و v = 4 m/s:

T = m·g + m·v²ℓ = 5 + 0.5 · 162 = 9 N

الشدّ في أدنى نقطة (9 N) أكبر من وزن الجسم (5 N): من يظنّ أنّ الخيط يحمل الوزن فقط يخطئ.

T = 5 N , a = 6.32 m/s² ; T = 9 N

سؤال 5.5: البندول نفسه (ℓ = 2 m ، m = 0.5 kg) يصل إلى أقصى انحراف عند زاوية 53°. احسبوا قوّة الشدّ ومركّبتَي التسارع في تلك اللحظة.

أهمّ أفكار الفصل:

في الحركة الدائرية المنتظمة مقدار السرعة ثابت لكنّ اتّجاهها يتغيّر باستمرار — ولذلك يوجد تسارع: التسارع الراديالي a_r = v²r، المتّجه دائما نحو مركز الدائرة.
المحصّلة في الحركة الدائرية المنتظمة تتّجه نحو المركز، و«القوّة المركزية» ليست إلّا اسما لهذه المحصّلة، تقوم بدوره قوّة مألوفة: شدّ الخيط، الاحتكاك، القوّة العمودية أو الجاذبية.
لا توجد «قوّة طاردة مركزية»: الجسم «يحاول» الاستمرار في خطّ مستقيم بقصوره الذاتي، وإذا اختفت القوّة نحو المركز تابع حركته في خطّ مستقيم بمحاذاة المماسّ.
السرعة الزاوية واحدة لكلّ نقاط الجسم الدوّار، والسرعة الخطّية تتناسب مع البُعد عن المركز: v = ω·r.
في الحركة الدائرية غير المنتظمة نحلّل التسارع إلى مركّبة راديالية تغيّر اتّجاه السرعة ومركّبة مماسّية تغيّر مقدارها.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
زمن الدورة والتردّد والسرعة الزاوية	T = 2π·rv , f = 1T , ω = 2πT , v = ω·r
التسارع الراديالي والقوّة المركزية	a_r = v²r = ω²·r , ΣF_r = m·v²r
البندول المخروطي والطريق المائل	tan θ = v²r·g
الحركة الدائرية غير المنتظمة	a_t = ΔvΔt , a = a_r² + a_t²

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الحركة الدائرية المنتظمة	תנועה מעגלית קצובה	Uniform circular motion
التسارع الراديالي (المركزي)	תאוצה רדיאלית	Centripetal (radial) acceleration
القوّة المركزية	כוח צנטריפטלי (רדיאלי)	Centripetal force
زمن الدورة	זמן מחזור	Period
التردّد	תדירות	Frequency
السرعة الزاوية	מהירות זוויתית	Angular velocity
الراديان	רדיאן	Radian
البندول المخروطي	מטוטלת קונית	Conical pendulum
طريق مائل (منحدر)	כביש נטוי	Banked road
المركّبة المماسّية	רכיב משיקי	Tangential component
المركّبة الراديالية	רכיב רדיאלי	Radial component

تمارين ملائمة لبنود الفصل:

(للبند 5.2) كرة كتلتها 0.3 kg مربوطة بخيط طوله 0.5 m تدور في دائرة أفقية على طاولة ملساء بتردّد 2 Hz. احسبوا السرعة الزاوية، السرعة الخطّية، التسارع الراديالي، وقوّة الشدّ في الخيط. إذا كان الخيط ينقطع عند شدّ 100 N، فما هو أكبر تردّد ممكن؟

الإجابات: ω = 12.57 rad/s ، v = 6.28 m/s ، a_r = 79 m/s² ، T = 23.7 N ؛ f_max = 4.11 Hz

تمارين تلخيصية:

طريق مائلة بزاوية 37° في منعطف نصف قطره 60 m.
أ. بأيّ سرعة تجتاز سيّارة المنعطف بلا احتكاك؟
ب. ما هي القوّة العمودية على سيّارة كتلتها 1000 kg عندئذ؟
ج. لو كانت الطريق أفقية بمعامل احتكاك ساكن 0.5، فما هي السرعة القصوى في المنعطف نفسه؟

الإجابات: v = 21.2 m/s ، N = 12500 N ، v_max = 17.3 m/s

تمارين تعمّق:

(*) بندول مخروطي: كرة كتلتها 2 kg معلّقة بخيط طوله 2 m يميل بزاوية ثابتة 37° عن العمودي وترسم دائرة أفقية.
أ. ما نصف قطر الدائرة؟
ب. ما سرعة الكرة؟
ج. ما زمن الدورة؟
د. ما قوّة الشدّ في الخيط؟

الإجابات: أ. r = 1.2 m ؛ ب. v = 3 m/s ؛ ج. T = 2.51 s ؛ د. T_خيط = 25 N

(*) تمرّ سيّارة كتلتها 800 kg بسرعة ثابتة 15 m/s فوق قمّة تلّ نصف قطر تقوّسها 40 m، ثم في قاع وادٍ بنصف القطر نفسه.
أ. ما القوّة العمودية على القمّة؟
ب. وما هي في قاع الوادي؟ قارنوا بين النتيجتين وعلّلوا.
ج. بأيّ سرعة قصوى يمكن المرور فوق القمّة من غير أن «تطير» السيّارة عن الطريق؟

الإجابات: أ. N = 3500 N ؛ ب. N = 12500 N — في القاع المحصّلة نحو الأعلى فالعمودية أكبر من الوزن ؛ ج. v_max = 20 m/s (حين N = 0)

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

5.1 ω = 1.75·10⁻³ rad/s ، v = 0.209 mm/s ؛ النسبة 12

5.2 a_r = 2 m/s² ، F = 2000 N ؛ الاحتكاك الساكن بين الإطارات والطريق

5.3 r = 0.4 m ، T = 1.67 N ، v = 2.31 m/s ؛ الزاوية تكبر (تقترب من 90° ولا تصلها)

5.4 v = 24.5 m/s ، N = m·gcos θ = 15000 N

5.5 T = m·g·cos θ = 3 N ، a_r = 0 ، a_t = g·sin θ = 8 m/s²

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 5

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم في الفيزياء، نموذج الميكانيكا (מכניקה — 36361): حتى سنة 2025 نعرض النسخة العربية الرسمية للامتحان، ومن سنة 2026 النسخة العبرية كما يحصل عليها الطالب في قاعة الامتحان. تحت كل سؤال جدول البنود والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، مع محاكاة حية للسؤال، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2025 السؤال 3 — كرة على خيطَين حول قضيب دوّار — حركة دائريّة في مستوًى أفقيّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى	ثلاث قوى فقط · mg = 2 N نحو الأسفل · T_A على امتداد الخيط A نحو رأس القضيب · T_B = 3 N أفقيّة نحو القضيب
ب	حساب قوّة الشدّ T_A	T_A = 2.5 N
ج	حساب تردّد الدوران f	ω = 10 rad/s ، f = 1.59 Hz ، T = 0.63 s
د	هل تُنفّذ T_A شغلًا على طول رُبع دائرة	لا · شغل T_A يساوي صفرًا ، W = 0
هـ	تغيير التردّد كي ينعدم الشدّ في الخيط B	يجب تصغير التردّد · f′ = 0.92 Hz بدلًا من 1.59 Hz
و	هل يتغيّر مقدار T_A بعد تكبير التردّد	لا · مقدار T_A لا يتغيّر ويبقى 2.5 N ، بينما يكبر T_B

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2024 السؤال 3 — جسم على خيط في طرف قضيب أفقيّ دوّار — بندول مخروطيّ حول محور عموديّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	اختيار مخطّط القوى	المخطّط المناسب هو المخطّط 2 · قوّتان فقط · T·cos α = m·g = 20 N
ب	قوّة الشدّ أثناء الدوران	T = 23.1 N · القيمة الدقيقة 23.094 N
ج	الشدّ عندما لا يدور الجهاز	قوّة الشدّ في السكون أصغر · T₀ = m·g = 20 N مقابل T = 23.09 N
د	حساب تردّد الدوران f	ω = 1.284 rad/s ، f = 0.204 Hz ، زمن الدور 4.89 s
هـ	تردّد الدوران الأقصى قبل انقطاع الخيط	f_max = 0.362 Hz · α_max = 63.61° · r_max = 3.896 m · أدنى زمن دور 2.76 s

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

بجروت 2022 (موعد خاص) السؤال 3 — بندول مخروطيّ على محور محرّك — تطوير العلاقة بين جيب تمام زاوية الميل ومقلوب مربّع التردّد، استخراج طول الخيط من الميل وتحديد التردّد الأدنى

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
أ	مخطّط القوى وتعبير جيب تمام الزاوية	تؤثّر على الكرة قوّتان فقط — m·g نحو الأسفل و T على طول الخيط · عموديًّا T·cos α = m·g · أفقيًّا T·sin α = m·(2π·f)²·L·sin α · ومن هنا cos α = g مقسومًا على 4π²·L ، مضروبًا في 1 مقسومًا على f² — مستقيم عبر نقطة الأصل ميله g مقسومًا على 4π²·L
ب	إكمال الجدول ورسم الرسم البيانيّ	1 مقسومًا على f² = 4.94 ، 4.00 ، 2.78 ، 2.04 ، 1.00 ثانية مربّعة · cos α = 0.848 ، 0.707 ، 0.454 ، 0.342 ، 0.174 · الرسم البيانيّ ينتج مستقيمًا يمرّ عبر نقطة الأصل
ج	حساب طول الخيط من الميل	الميل 0.169 s⁻² ، ومن هنا L = 1.4988 m ، أي L ≈ 1.5 m
د	التردّد الأدنى للحركة الدائريّة	f الأدنى ≈ 0.411 Hz ، أي نحو 0.41 Hz · تتحقّق الحركة الدائريّة في كلّ تردّد أكبر من هذه القيمة

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2022 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/physics

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 10 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)